Segunda Lista de Revisao (MEM3)

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<p>UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE</p><p>DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA</p><p>Disciplina: Matemática para o Ensino Médio III Turmas: T01 e T02</p><p>Prof.: Adriano Veiga de Oliveira Data: 28/08/2024</p><p>SEGUNDA LISTA DE REVISÃO</p><p>1. Sejam A =</p><p> 1 2 3</p><p>4 5 6</p><p>7 8 9</p><p> e B =</p><p> 1 2 0</p><p>3 1 2</p><p>−2 0 −2</p><p>. Calcular AB e BA.</p><p>2. Escrever uma matriz A = (aij)3×3 e uma matriz B = (bij)3×3, definidas do seguinte</p><p>modo:</p><p>aij =</p><p> ij, se i = j</p><p>i</p><p>j</p><p>, se i ̸= j</p><p>e bij =</p><p> (i+ 1)j, se i = j</p><p>i</p><p>j + 1</p><p>, se i ̸= j</p><p>Calcular 6A− 12B.</p><p>3. Determinar o valor de x tal que AB = I3, onde</p><p>A =</p><p> 2 0 7</p><p>0 1 0</p><p>1 2 1</p><p> e B =</p><p> −x −14x 7x</p><p>0 1 0</p><p>x 4x −2x</p><p></p><p>4. Considere a seguinte matriz</p><p>A =</p><p> 30 x+ y 12z</p><p>12− x 20 2x− y</p><p>6z −3− x+ y 10</p><p></p><p>Determinar os valores de x, y e z para os quais A = AT .</p><p>5. Determine o posto das seguintes matrizes.</p><p>A =</p><p> 1 3 0</p><p>2 0 1</p><p>0 1 −1</p><p> , B =</p><p> 1 5 3</p><p>−2 6 2</p><p>3 −1 1</p><p> e C =</p><p> 1 −2 0 −5</p><p>3 1 2 −3</p><p>−5 −4 −4 1</p><p></p><p>6. Use o método de eliminação de Gauss ou o de Gauss-Jordan (o que você preferir) para</p><p>resolver os seguintes sistemas de equações lineares. Indique claramente cada operação</p><p>efetuada nas linhas da matriz aumentada de cada sistema.</p><p>(a)</p><p></p><p>x + 3y + 6z = 25</p><p>2x + 7y + 14z = 58</p><p>2y + 5z = 19</p><p>(b)</p><p></p><p>5x + 10y − 7z = −2</p><p>2x + 4y − 3z = −1</p><p>3x + 6y + 5z = 9</p><p>(c)</p><p></p><p>2x + 2y + 2z + 3w = 3</p><p>x + y + z + w = 1</p><p>3x + 3y + 3z + 2w = 2</p><p>(d)</p><p>{</p><p>2x + 3y + z = 0</p><p>x + y + z = 0</p><p>7. Determine os valores de a para os quais o sistema não tem solução, tem exatamente</p><p>uma solução ou tem infinitas soluções.</p><p>x + 2y − 3z = 4</p><p>3x − y + 5z = 2</p><p>4x + y + (a2 − 14)z = a+ 2</p><p>8. Use o método de Gauss-Jordan para encontrar a matriz inversa, se existir, das seguintes</p><p>matrizes:</p><p>A =</p><p> 2 1 0</p><p>1 1 1</p><p>1 0 1</p><p> , B =</p><p> 2 1 −1</p><p>1 0 2</p><p>4 −1 3</p><p></p><p>9. Considere as seguintes matrizes</p><p>A =</p><p> x −2 1</p><p>0 x+ 1 3</p><p>1 −5 1</p><p> , B =</p><p> x 1 1</p><p>2 x 3</p><p>−1 5 x</p><p> e C =</p><p>[</p><p>x2 2x</p><p>10 x</p><p>]</p><p>.</p><p>Resolva as seguintes equações: (a) det(A) = 9 (b) det(B) = det(C).</p><p>10. Determinar os valores de x para que a matriz A seja invert́ıvel.</p><p>A =</p><p></p><p>x 1 2 0</p><p>2 x 2 0</p><p>0 1 2 0</p><p>0 0 0 1</p><p></p><p>11. Considere o sistema linear:</p><p>5x + 2y + z = −12</p><p>−x + 4y + 2z = 20</p><p>2x − 3y + 10z = 3</p><p>Resolva-o usando a Regra de Cramer.</p><p>12. Se A e B são matrizes n× n tais que det(A) = −2 e det(B) = 3, calcule det(ATB−1).</p><p>13. Calcule o determinante da matriz a seguir usando operações elementares nas linhas</p><p>para transformá-la em uma matriz triangular superior.</p><p>A =</p><p></p><p>2 1 3 1</p><p>1 0 1 1</p><p>0 2 1 0</p><p>0 1 2 3</p><p></p><p>14. Seja A uma matriz 3 × 3. Suponha que X⃗ =</p><p> 1</p><p>2</p><p>3</p><p> é solução do sistema linear</p><p>homogêneo AX⃗ = O⃗. A matriz A é invert́ıvel ou não? Justifique.</p><p>15. Sejam A e B matrizes quadradas. Mostre que se A + B e A forem invert́ıveis, então</p><p>(A+B)−1 = A−1(In +BA−1)−1.</p><p>16. Mostre que se det(AB) = 0, então ou A é singular ou B é singular.</p><p>17. Mostre que se A é uma matriz invert́ıvel tal que A2 = A, então det(A) = 1.</p><p>18. Sejam A e P matrizes n× n, sendo P invert́ıvel. Mostre que det(P−1AP ) = det(A).</p><p>GABARITO</p><p>1. AB =</p><p> 1 4 −2</p><p>7 13 −2</p><p>13 22 −2</p><p> e BA =</p><p> 9 12 15</p><p>21 27 33</p><p>−16 −20 −24</p><p></p><p>2. 6A− 12B =</p><p> −18 −1 −1</p><p>0 −84 −2</p><p>0 −3 −606</p><p></p><p>3. x = 1</p><p>5</p><p>4. x = 3, y = 6, z = 0</p><p>5. posto(A) = 3, posto(B) = 2 e posto(C) = 2</p><p>6. (a) Solução única: (1, 2, 3) (b) O sistema é inconsistente (c) Infinitas soluções</p><p>com duas variáveis livres: S = {(−s− t, s, t, 1)|s, t ∈ R} (d) Infinitas soluções com</p><p>uma variável livre: S = {(−2t, t, t)|t ∈ R}</p><p>7. Se a = 4 o sistema tem infinitas soluções. Se a = −4 o sistema não tem solução. Se</p><p>a ̸= ±4 o sistema tem solução única.</p><p>8. A−1 = 1</p><p>2</p><p> 1 −1 1</p><p>0 2 −2</p><p>−1 1 1</p><p>, B−1 = 1</p><p>10</p><p> 2 −2 2</p><p>5 10 −5</p><p>−1 6 −1</p><p></p><p>9. (a) x = 1 ou x = −16 (b) x = −7</p><p>4</p><p>10. Para x ̸= 0 e x ̸= 1</p><p>11. (−4, 3, 2)</p><p>12. −2</p><p>3</p><p>13. 6</p><p>14. A matriz A é não invert́ıvel, pois o sistema homogêneo tem solução não nula.</p>