Qual das alternativas e a derivada de f(x)=x^x (para x>0)? a) x^x 1 b) x^x (1+ln(x)) c) x^x ln(x) d) x^x /x

Para encontrar a derivada da função \( f(x) = x^x \) para \( x > 0 \), podemos usar a regra do logaritmo. Vamos derivar passo a passo: 1. Começamos aplicando o logaritmo natural: \[ y = x^x \implies \ln(y) = x \ln(x) \] 2. Agora, derivamos ambos os lados em relação a \( x \): \[ \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln(x) + 1 \] 3. Multiplicamos ambos os lados por \( y \) (que é \( x^x \)): \[ \frac{dy}{dx} = x^x (\ln(x) + 1) \] Portanto, a derivada de \( f(x) = x^x \) é: \[ \frac{dy}{dx} = x^x (1 + \ln(x)) \] Analisando as alternativas: a) \( x^x 1 \) - Incorreto. b) \( x^x (1 + \ln(x)) \) - Correto. c) \( x^x \ln(x) \) - Incorreto. d) \( \frac{x^x}{x} \) - Incorreto. A alternativa correta é: b) \( x^x (1 + \ln(x)) \).