Qual e a derivada da funcao f(x)=sin(x)e^x? a) cos(x)e^x b) sin(x)e^x + cos(x)e^x c) sin(x)cos(x)e^x d) sin(x)e^x

Para encontrar a derivada da função \( f(x) = \sin(x)e^x \), precisamos usar a regra do produto, que afirma que a derivada de um produto de duas funções \( u(x) \) e \( v(x) \) é dada por: \[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \] Neste caso, temos: - \( u(x) = \sin(x) \) e \( v(x) = e^x \) Calculando as derivadas: - \( u'(x) = \cos(x) \) - \( v'(x) = e^x \) Agora, aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = \cos(x)e^x + \sin(x)e^x \] Podemos fatorar \( e^x \): \[ f'(x) = e^x(\cos(x) + \sin(x)) \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( \cos(x)e^x \) - Incorreto, pois falta o termo \( \sin(x)e^x \). b) \( \sin(x)e^x + \cos(x)e^x \) - Correto, pois é a forma expandida da derivada. c) \( \sin(x)\cos(x)e^x \) - Incorreto, não corresponde à derivada. d) \( \sin(x)e^x \) - Incorreto, pois é a função original, não a derivada. Portanto, a alternativa correta é: b) \( \sin(x)e^x + \cos(x)e^x \).