Para resolver essa questão, precisamos considerar como organizar os seis homens e seis mulheres em um círculo, garantindo que pessoas do mesmo sexo não fiquem juntas. 1. Organização em círculo: Para permutações circulares, o número de maneiras de organizar \( n \) elementos em um círculo é dado por \( (n-1)! \). Como temos 12 pessoas (6 homens e 6 mulheres), o número total de arranjos circulares sem considerar a restrição é \( (12-1)! = 11! \). 2. Restrições de sexo: Para garantir que homens e mulheres não fiquem juntos, podemos alternar as posições. Assim, podemos começar com um homem e depois colocar uma mulher, formando a sequência: homem, mulher, homem, mulher, e assim por diante. 3. Arranjos: - Para os homens, temos 6! maneiras de organizá-los. - Para as mulheres, também temos 6! maneiras de organizá-las. 4. Cálculo total: O número total de arranjos em que homens e mulheres estão alternados em um círculo é dado por: \[ 6! \times 6! = 720 \times 720 = 518400 \] Portanto, o número de modos como seis homens e seis mulheres podem formar um círculo, de forma que pessoas do mesmo sexo não fiquem juntas, é 518400. Se a pergunta tiver alternativas, você deve verificar qual delas corresponde a esse resultado.