Exercício 21: Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido W limitado pelos planos y + z = 1, y = x, z = 0 e x = 0.

Para calcular o volume do sólido \( W \) limitado pelos planos \( y + z = 1 \), \( y = x \), \( z = 0 \) e \( x = 0 \) usando uma integral tripla, vamos seguir os passos: 1. Identificar os limites de integração: - O plano \( z = 0 \) é o plano xy. - O plano \( y + z = 1 \) pode ser reescrito como \( z = 1 - y \). - O plano \( y = x \) indica que \( y \) varia de \( 0 \) a \( x \). - O plano \( x = 0 \) é o limite inferior para \( x \). 2. Determinar os limites de \( x \): - O plano \( y = x \) e \( y + z = 1 \) se cruzam quando \( z = 0 \), ou seja, \( y = 1 \) e \( x = 1 \). Portanto, \( x \) varia de \( 0 \) a \( 1 \). 3. Limites de \( y \): - Para um dado \( x \), \( y \) varia de \( 0 \) a \( x \). 4. Limites de \( z \): - Para um dado \( y \), \( z \) varia de \( 0 \) até \( 1 - y \). 5. Montar a integral tripla: O volume \( V \) é dado por: \[ V = \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} \int_{0}^{1-y} dz \, dy \, dx \] 6. Calcular a integral: - Primeiro, integramos em relação a \( z \): \[ \int_{0}^{1-y} dz = (1 - y) \] - Agora, substituímos na integral: \[ V = \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} (1 - y) \, dy \, dx \] - Agora, integramos em relação a \( y \): \[ \int_{0}^{x} (1 - y) \, dy = [y - \frac{y^2}{2}]_{0}^{x} = x - \frac{x^2}{2} \] - Substituímos novamente: \[ V = \int_{0}^{1} \left( x - \frac{x^2}{2} \right) dx \] - Agora, integramos em relação a \( x \): \[ \int_{0}^{1} \left( x - \frac{x^2}{2} \right) dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] Portanto, o volume do sólido \( W \) é \( \frac{1}{3} \).