Para determinar o volume do sólido do primeiro octante limitado pelo cilindro parabólico \( z = 1 - y^2 \) e pelos planos \( y = x \), \( x = 0 \) e \( z = 0 \), podemos usar uma integral tripla. 1. Identifique os limites de integração: - O sólido está no primeiro octante, então \( x \geq 0 \), \( y \geq 0 \), e \( z \geq 0 \). - O plano \( z = 0 \) é o plano xy. - O cilindro parabólico \( z = 1 - y^2 \) limita a altura do sólido. - O plano \( y = x \) limita a região no plano xy. 2. Determine a região de integração no plano xy: - A interseção entre \( y = x \) e \( z = 1 - y^2 \) ocorre quando \( z = 0 \), ou seja, \( 1 - y^2 = 0 \) implica \( y = 1 \) (e \( x = 1 \)). - Portanto, a região de integração no plano xy é limitada por \( 0 \leq x \leq 1 \) e \( 0 \leq y \leq x \). 3. Escreva a integral tripla: O volume \( V \) pode ser expresso como: \[ V = \int_0^1 \int_0^x \int_0^{1 - y^2} dz \, dy \, dx \] 4. Calcule a integral: - Primeiro, integre em relação a \( z \): \[ \int_0^{1 - y^2} dz = (1 - y^2) \] - Agora, substitua na integral: \[ V = \int_0^1 \int_0^x (1 - y^2) \, dy \, dx \] - Integre em relação a \( y \): \[ \int_0^x (1 - y^2) \, dy = \left[ y - \frac{y^3}{3} \right]_0^x = x - \frac{x^3}{3} \] - Agora, substitua na integral: \[ V = \int_0^1 \left( x - \frac{x^3}{3} \right) dx \] - Calcule a integral: \[ V = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{12} \right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{12} = \frac{6}{12} - \frac{1}{12} = \frac{5}{12} \] 5. Resultado: O volume do sólido do primeiro octante é \( V = \frac{5}{12} \).