Exerćıcio 13: Inverta a ordem de integração e calcule o valor de I em I = ∫ 1 0 ∫ √y √y/2 ex3 dx dy + ∫ 4 1 ∫ √y/2 1 ex3 dx dy.

Para inverter a ordem de integração e calcular o valor de \( I \), vamos analisar as integrais dadas. 1. Primeira integral: \( I_1 = \int_0^1 \int_{\sqrt{y}}^{\sqrt{y}/2} e^{x^3} \, dx \, dy \) 2. Segunda integral: \( I_2 = \int_1^4 \int_{\sqrt{y}/2}^{1} e^{x^3} \, dx \, dy \) ### Passo 1: Determinar os limites de integração Para a primeira integral, os limites de \( y \) vão de 0 a 1 e para \( x \) de \( \sqrt{y}/2 \) a \( \sqrt{y} \). Para inverter, precisamos encontrar os limites de \( y \) em função de \( x \). - Para \( x = \sqrt{y} \), temos \( y = x^2 \). - Para \( x = \sqrt{y}/2 \), temos \( y = 4x^2 \). Assim, para \( x \) variando de 0 a 1, \( y \) varia de \( x^2 \) a \( 4x^2 \). ### Passo 2: Inverter a ordem de integração Agora, podemos reescrever a integral como: \[ I_1 = \int_0^1 \int_{x^2}^{4x^2} e^{x^3} \, dy \, dx \] ### Passo 3: Calcular a integral A integral em relação a \( y \) é simples: \[ \int_{x^2}^{4x^2} e^{x^3} \, dy = e^{x^3} (4x^2 - x^2) = 3x^2 e^{x^3} \] Portanto, temos: \[ I_1 = \int_0^1 3x^2 e^{x^3} \, dx \] ### Passo 4: Calcular a segunda integral Para a segunda integral \( I_2 \): Os limites de \( y \) vão de 1 a 4 e para \( x \) de \( \sqrt{y}/2 \) a 1. Invertendo, temos: \[ I_2 = \int_{1}^{2} \int_{1/2}^{1} e^{x^3} \, dy \, dx \] A integral em relação a \( y \) é: \[ \int_{1/2}^{1} e^{x^3} \, dy = e^{x^3} \left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{x^3} \] Portanto, temos: \[ I_2 = \int_{1}^{2} \frac{1}{2} e^{x^3} \, dx \] ### Passo 5: Somar as integrais Agora, somamos \( I_1 \) e \( I_2 \): \[ I = I_1 + I_2 = \int_0^1 3x^2 e^{x^3} \, dx + \int_{1}^{2} \frac{1}{2} e^{x^3} \, dx \] ### Passo 6: Calcular as integrais Para calcular essas integrais, você pode usar a substituição \( u = x^3 \) para a primeira integral e integrar diretamente a segunda. 1. Para \( I_1 \): - Substituição: \( u = x^3 \), \( du = 3x^2 dx \) - Limites: Quando \( x = 0 \), \( u = 0 \); quando \( x = 1 \), \( u = 1 \). - Integral se torna: \( \int_0^1 e^u \, du = e - 1 \). 2. Para \( I_2 \): - Integral direta: \( \int_{1}^{2} \frac{1}{2} e^{x^3} \, dx \) pode ser calculada numericamente ou usando tabelas. ### Resultado Final Assim, o valor de \( I \) será a soma dos resultados das duas integrais.