Exercício 13: Inverta a ordem de integração e calcule o valor de I em I = ∫ 1 0 ∫ √y √y/2 ex3 dx dy + ∫ 4 1 ∫ √y/2 1 ex3 dx dy. Solução:

Para inverter a ordem de integração e calcular o valor de \( I \), precisamos primeiro entender os limites de integração das integrais dadas. 1. Primeira integral: \( \int_0^1 \int_{\sqrt{y}}^{\sqrt{y}/2} e^{x^3} \, dx \, dy \) - Aqui, \( y \) varia de 0 a 1 e \( x \) varia de \( \sqrt{y}/2 \) a \( \sqrt{y} \). 2. Segunda integral: \( \int_1^4 \int_{\sqrt{y}/2}^1 e^{x^3} \, dx \, dy \) - Aqui, \( y \) varia de 1 a 4 e \( x \) varia de \( \sqrt{y}/2 \) a 1. Agora, vamos determinar os limites para a nova ordem de integração. ### Para a primeira integral: - O limite de \( y \) vai de 0 a 1. - Para \( x \), temos \( \sqrt{y}/2 \leq x \leq \sqrt{y} \). ### Para a segunda integral: - O limite de \( y \) vai de 1 a 4. - Para \( x \), temos \( \sqrt{y}/2 \leq x \leq 1 \). ### Invertendo a ordem de integração: 1. Para \( x \) de 0 a 1, precisamos encontrar os limites de \( y \): - Para \( 0 \leq x \leq 1 \): - Quando \( x = \sqrt{y}/2 \) temos \( y = 4x^2 \). - Quando \( x = \sqrt{y} \) temos \( y = x^2 \). Assim, os limites de \( y \) para cada \( x \) são: - Para \( 0 \leq x \leq \frac{1}{2} \): \( 0 \leq y \leq 4x^2 \) - Para \( \frac{1}{2} < x \leq 1 \): \( 1 \leq y \leq x^2 \) ### A nova integral: Portanto, a integral \( I \) se torna: \[ I = \int_0^{1/2} \int_0^{4x^2} e^{x^3} \, dy \, dx + \int_{1/2}^1 \int_1^{x^2} e^{x^3} \, dy \, dx \] ### Calculando as integrais: 1. Primeira parte: \[ \int_0^{1/2} \int_0^{4x^2} e^{x^3} \, dy \, dx = \int_0^{1/2} e^{x^3} (4x^2) \, dx = 4 \int_0^{1/2} x^2 e^{x^3} \, dx \] 2. Segunda parte: \[ \int_{1/2}^1 \int_1^{x^2} e^{x^3} \, dy \, dx = \int_{1/2}^1 e^{x^3} (x^2 - 1) \, dx \] ### Resultado final: Agora, você precisa calcular essas integrais. O resultado final de \( I \) será a soma das duas partes. Se precisar de ajuda com a parte de cálculo, é só avisar!