Para resolver a integral dada, precisamos primeiro converter as coordenadas cartesianas para coordenadas polares. As coordenadas polares são definidas por \( x = r \cos(\theta) \) e \( y = r \sin(\theta) \). A região \( D \) é limitada por \( 0 \leq x \leq 3 \) e \( 0 \leq y \leq \sqrt{9 - x^2} \). Essa região representa um quarto de círculo de raio 3, localizado no primeiro quadrante. Em coordenadas polares, a integral se torna: \[ I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^3 \sqrt{9 - r^2} \cdot r \, dr \, d\theta \] Aqui, \( \sqrt{9 - x^2 - y^2} \) se transforma em \( \sqrt{9 - r^2} \) e o elemento de área \( dx \, dy \) se transforma em \( r \, dr \, d\theta \). Agora, vamos calcular a integral: 1. Integral interna (em relação a \( r \)): \[ \int_0^3 r \sqrt{9 - r^2} \, dr \] Usando a substituição \( u = 9 - r^2 \), temos \( du = -2r \, dr \), então \( r \, dr = -\frac{1}{2} du \). Os limites de integração mudam de \( r = 0 \) (quando \( u = 9 \)) a \( r = 3 \) (quando \( u = 0 \)). A integral se torna: \[ -\frac{1}{2} \int_9^0 \sqrt{u} \, du = \frac{1}{2} \int_0^9 \sqrt{u} \, du \] Calculando: \[ \frac{1}{2} \cdot \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_0^9 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 27 = 9 \] 2. Integral externa (em relação a \( \theta \)): \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} 9 \, d\theta = 9 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{9\pi}{2} \] Portanto, o resultado da integral \( I \) é: \[ I = \frac{9\pi}{2} \] Se precisar de mais alguma coisa, é só avisar!