Qual é a derivada da função \(h(x) = \ln(\sin(x))\)? A) \cot(x) B) \frac{\cos(x)}{\sin(x)} C) \frac{1}{\sin(x)} D) \frac{1}{x}

Para encontrar a derivada da função \(h(x) = \ln(\sin(x))\), vamos usar a regra da cadeia. A derivada de \(\ln(u)\) é \(\frac{1}{u} \cdot u'\), onde \(u = \sin(x)\). 1. A derivada de \(\sin(x)\) é \(\cos(x)\). 2. Portanto, a derivada de \(h(x)\) é: \[ h'(x) = \frac{1}{\sin(x)} \cdot \cos(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}. \] Agora, analisando as alternativas: A) \(\cot(x)\) - Esta é a mesma que \(\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\), mas não é a forma direta da resposta. B) \(\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\) - Esta é a forma correta da derivada. C) \(\frac{1}{\sin(x)}\) - Esta não é a derivada correta. D) \(\frac{1}{x}\) - Esta também não é a derivada correta. Portanto, a alternativa correta é: B) \(\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\).