Problema 55: Calcule a integral \(\int_0^1 (3x^3 - x^2 + 2) \, dx\). A) \(\frac{7}{12}\) B) \(\frac{1}{2}\) C) \(\frac{5}{12}\) D) \(1\)

Para calcular a integral \(\int_0^1 (3x^3 - x^2 + 2) \, dx\), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \(3x^3 - x^2 + 2\). 1. A antiderivada de \(3x^3\) é \(\frac{3}{4}x^4\). 2. A antiderivada de \(-x^2\) é \(-\frac{1}{3}x^3\). 3. A antiderivada de \(2\) é \(2x\). Assim, a antiderivada completa é: \[ F(x) = \frac{3}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 + 2x \] Agora, vamos calcular \(F(1)\) e \(F(0)\): - \(F(1) = \frac{3}{4}(1)^4 - \frac{1}{3}(1)^3 + 2(1) = \frac{3}{4} - \frac{1}{3} + 2\) Para somar, precisamos de um denominador comum. O mínimo múltiplo comum de 4 e 3 é 12: \[ F(1) = \frac{9}{12} - \frac{4}{12} + \frac{24}{12} = \frac{9 - 4 + 24}{12} = \frac{29}{12} \] - \(F(0) = \frac{3}{4}(0)^4 - \frac{1}{3}(0)^3 + 2(0) = 0\) Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: \[ \int_0^1 (3x^3 - x^2 + 2) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{29}{12} - 0 = \frac{29}{12} \] Parece que houve um erro na análise das opções, pois a resposta correta não está entre as alternativas apresentadas. Por favor, verifique se as opções estão corretas ou se a integral foi formulada corretamente.