Problema 46: Determine o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\). A) \(1\) B) \(0\) C) \(e\) D) \(2\)

Para resolver o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\), podemos usar a regra de L'Hôpital, que é aplicada quando temos uma indeterminação do tipo \(\frac{0}{0}\). 1. Primeiro, verificamos que quando \(x\) se aproxima de 0, tanto o numerador \(e^x - 1\) quanto o denominador \(x\) se aproximam de 0. Portanto, temos uma indeterminação do tipo \(\frac{0}{0}\). 2. Aplicando a regra de L'Hôpital, derivamos o numerador e o denominador: - A derivada de \(e^x - 1\) é \(e^x\). - A derivada de \(x\) é \(1\). 3. Assim, o limite se torna: \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = e^0 = 1. \] Portanto, o valor do limite é \(1\). A alternativa correta é: A) \(1\).