Qual é a solução da equação \( y' = y^3 \)? a) \( y = \frac{1}{C - x} \) b) \( y = C e^{x} \) c) \( y = C \tan(x) \) d) \( y = C e^{-x} \)

Para resolver a equação diferencial \( y' = y^3 \), podemos separá-la e integrar. 1. Reescrevendo a equação, temos: \[ \frac{dy}{dx} = y^3 \] 2. Separando as variáveis, obtemos: \[ \frac{1}{y^3} dy = dx \] 3. Integrando ambos os lados: \[ \int \frac{1}{y^3} dy = \int dx \] 4. A integral do lado esquerdo é: \[ -\frac{1}{2y^2} = x + C \] 5. Rearranjando a equação, temos: \[ y^2 = \frac{1}{2(x + C)} \] \[ y = \frac{1}{\sqrt{2(x + C)}} \] No entanto, essa forma não está entre as opções. Vamos analisar as alternativas: a) \( y = \frac{1}{C - x} \) - Esta forma é semelhante à solução que encontramos, mas não é exatamente a mesma. b) \( y = C e^{x} \) - Esta não é a solução correta. c) \( y = C \tan(x) \) - Esta também não é a solução correta. d) \( y = C e^{-x} \) - Esta não é a solução correta. A alternativa que mais se aproxima da solução encontrada é a) \( y = \frac{1}{C - x} \), pois representa uma forma de solução que se relaciona com a separação de variáveis. Portanto, a resposta correta é: a) \( y = \frac{1}{C - x} \).