Problema 41: Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \). a) \( 0 \) b) \( 1 \) c) \( 2 \) d) \( \infty \)

Para resolver o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \), podemos usar a regra de L'Hôpital ou a propriedade do limite da tangente. Sabemos que \( \tan(x) \) se aproxima de \( x \) quando \( x \) se aproxima de 0. Portanto, podemos reescrever o limite: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{2x} \cdot 2 \] Agora, sabemos que \( \lim_{u \to 0} \frac{\tan(u)}{u} = 1 \). Assim, substituindo \( u = 2x \): \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{2x} = 1 \] Portanto, temos: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} = 1 \cdot 2 = 2 \] Assim, a resposta correta é: c) \( 2 \).