Para resolver a integral \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3(x) \, dx \), podemos usar a identidade de redução ou a fórmula de integração por partes. Uma forma comum de resolver essa integral é usar a identidade: \[ \sin^3(x) = \sin(x)(1 - \cos^2(x)) \] Assim, podemos reescrever a integral: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3(x) \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \, dx - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \cos^2(x) \, dx \] A primeira parte, \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \, dx \), é igual a 1. Para a segunda parte, podemos usar a substituição \( u = \cos(x) \), onde \( du = -\sin(x) \, dx \). Assim, os limites de integração mudam de \( x = 0 \) para \( x = \frac{\pi}{2} \) em \( u = 1 \) para \( u = 0 \): \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \cos^2(x) \, dx = -\int_1^0 u^2 \, du = \int_0^1 u^2 \, du = \left[ \frac{u^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3} \] Portanto, temos: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3(x) \, dx = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \] Assim, a resposta correta é: a) \( \frac{2}{3} \)