Qual é o valor de \( \tan(360^\circ - 105^\circ) \)? A) \( 1 \) B) \( -1 \) C) \( \sqrt{3} \) D) \( -\sqrt{3} \)

Para resolver \( \tan(360^\circ - 105^\circ) \), podemos simplificar a expressão: 1. Calcule \( 360^\circ - 105^\circ = 255^\circ \). 2. Agora, precisamos encontrar \( \tan(255^\circ) \). Sabemos que \( \tan(255^\circ) \) pode ser escrito como \( \tan(180^\circ + 75^\circ) \). Usando a propriedade da tangente, temos: \[ \tan(180^\circ + \theta) = \tan(\theta) \] Portanto, \( \tan(255^\circ) = \tan(75^\circ) \). Agora, precisamos saber o valor de \( \tan(75^\circ) \). Podemos usar a fórmula da tangente da soma: \[ \tan(75^\circ) = \tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan(45^\circ) + \tan(30^\circ)}{1 - \tan(45^\circ) \tan(30^\circ)} \] Sabendo que \( \tan(45^\circ) = 1 \) e \( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \): \[ \tan(75^\circ) = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} \] Multiplicando numerador e denominador por \( \sqrt{3} \): \[ = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \] No entanto, para a questão, precisamos apenas do sinal de \( \tan(255^\circ) \). Como \( 255^\circ \) está no terceiro quadrante, onde a tangente é positiva, temos que: \[ \tan(255^\circ) = -\tan(75^\circ) \] Assim, o valor de \( \tan(360^\circ - 105^\circ) = \tan(255^\circ) \) é negativo. Portanto, a resposta correta é: D) \( -\sqrt{3} \).