Qual é o valor de \( \tan(360^\circ - 75^\circ) \)? A) \( 1 \) B) \( -1 \) C) \( \sqrt{3} \) D) \( -\sqrt{3} \)

Para resolver \( \tan(360^\circ - 75^\circ) \), podemos usar a propriedade da tangente em relação ao ângulo negativo: \[ \tan(360^\circ - \theta) = -\tan(\theta) \] Portanto, temos: \[ \tan(360^\circ - 75^\circ) = -\tan(75^\circ) \] Agora, precisamos encontrar o valor de \( \tan(75^\circ) \). Podemos usar a fórmula da tangente da soma de ângulos: \[ \tan(75^\circ) = \tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan(45^\circ) + \tan(30^\circ)}{1 - \tan(45^\circ) \tan(30^\circ)} \] Sabendo que \( \tan(45^\circ) = 1 \) e \( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \), temos: \[ \tan(75^\circ) = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \] Assim, \( \tan(360^\circ - 75^\circ) = -\tan(75^\circ) \) será negativo. Agora, analisando as alternativas: A) \( 1 \) - Não é a resposta correta. B) \( -1 \) - Não é a resposta correta. C) \( \sqrt{3} \) - Não é a resposta correta. D) \( -\sqrt{3} \) - Esta é a resposta correta, pois \( \tan(75^\circ) \) é positivo e, portanto, \( -\tan(75^\circ) \) é negativo. Portanto, a resposta correta é: D) \( -\sqrt{3} \).