Determine o valor de \int_{1}^{e} \ln(x) \, dx. A) 1 B) 0 C) e - 1 D) e - e^2

Para resolver a integral \(\int_{1}^{e} \ln(x) \, dx\), podemos usar a técnica de integração por partes. Vamos definir: - \(u = \ln(x)\) \(\Rightarrow du = \frac{1}{x}dx\) - \(dv = dx\) \(\Rightarrow v = x\) Aplicando a fórmula de integração por partes, temos: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Substituindo, obtemos: \[ \int \ln(x) \, dx = x \ln(x) - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \ln(x) - \int 1 \, dx = x \ln(x) - x + C \] Agora, precisamos avaliar a integral definida de 1 a \(e\): \[ \int_{1}^{e} \ln(x) \, dx = \left[ x \ln(x) - x \right]_{1}^{e} \] Calculando os limites: 1. Para \(x = e\): \[ e \ln(e) - e = e \cdot 1 - e = e - e = 0 \] 2. Para \(x = 1\): \[ 1 \ln(1) - 1 = 1 \cdot 0 - 1 = -1 \] Agora, subtraímos os resultados: \[ \int_{1}^{e} \ln(x) \, dx = 0 - (-1) = 1 \] Portanto, o valor da integral é \(1\). A alternativa correta é: A) 1.