MODULO 2

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ANALISE
COMBINATORIA
E PROBABILIDADE
 
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1. (Fac. Albert Einstein) Suponha que nos 
Jogos Olímpicos de 2016 apenas um 
representante do Brasil faça parte do grupo de 
atletas que disputarão a final da prova de 
natação dos 100 metros livres. Considerando 
que todos os oito atletas participantes têm a 
mesma chance de vencer, a probabilidade de 
que o brasileiro receba uma das medalhas 
(ouro, prata ou bronze) é de: 
a) 12,75% 
b) 25,50% 
c) 37,50% 
d) 42,25% 
 
2. (Uepa) Um jovem descobriu que o 
aplicativo de seu celular edita fotos, 
possibilitando diversas formas de composição, 
dentre elas, aplicar texturas, aplicar molduras 
e mudar a cor da foto. Considerando que esse 
aplicativo dispõe de 5 modelos de texturas, 6 
tipos de molduras e 4 possibilidades de mudar 
a cor da foto, o número de maneiras que esse 
jovem pode fazer uma composição com 4 
fotos distintas, utilizando apenas os recursos 
citados, para publicá-las nas redes sociais, 
conforme ilustração abaixo, é: 
 
 
a) 424 120 . 
b) 4120 . 
c) 24 120. 
d) 4 120. 
e) 120. 
 
3. (Uepa) Atual tendência alimentar baseada 
no maior consumo de legumes, verduras e 
frutas impulsiona o mercado de produtos 
naturais e frescos sem agrotóxicos e uma 
diminuição no consumo de produtos que 
levam glúten, lactose e açúcar. Uma empresa 
especializada no preparo de refeições, visando 
a esse novo mercado de consumidores, 
disponibiliza aos seus clientes uma “quentinha 
executiva” que pode ser entregue no local de 
trabalho na hora do almoço. O cliente pode 
compor o seu almoço escolhendo entradas, 
pratos principais e sobremesas. Se essa 
empresa oferece 8 tipos de entradas, 10 tipos 
de pratos principais e 5 tipos de sobremesas, 
o número de possiblidades com que um cliente 
pode compor seu almoço, escolhendo, dentre 
os tipos ofertados, duas entradas, um prato 
principal e uma sobremesa é: 
a) 400 
b) 600 
c) 800 
d) 1.200 
e) 1.400 
 
4. (Unisc) Newton possui 7 livros distintos, 
sendo 3 de Álgebra, 2 de Cálculo e 2 de 
Geometria. O número de maneiras diferentes 
que Newton pode organizar esses livros em 
uma estante, de forma que os livros de um 
mesmo assunto permaneçam juntos, é 
a) 24 
b) 36 
c) 56 
d) 72 
e) 144 
 
5. (ifsp) Um banco está testando um novo 
produto e disponibilizou a alguns dos seus 
clientes acesso via internet para esse produto, 
por meio de senhas compostas por cinco 
vogais distintas e dois números pares 
distintos, de 2 a 8, nessa ordem, ou seja, 
primeiro as vogais e depois os números. O 
número de clientes que podem acessar esse 
novo produto, via internet, é: 
a) 22. 
b) 3.520. 
c) 1.440. 
d) 180. 
e) 920. 
 
6. (Acafe) Um candidato em um concurso 
realiza uma prova de múltipla escolha, em que 
cada questão apresenta 4 alternativas, sendo 
uma, e apenas uma, correta. Esse candidato 
sabe 68% das questões da prova; as demais 
questões, ele marca aleatoriamente uma das 
alternativas. Então, a probabilidade de ele 
acertar uma questão qualquer da prova (isto é, 
de uma questão escolhida ao acaso) é igual a: 
a) 92%. 
b) 76%. 
c) 93%. 
d) 85%. 
 
7. (Ebmsp) 
 
 
 
 
 
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46 
Na figura, a malha é formada por quadrados 
do mesmo tamanho cujos lados representam 
ruas de determinado bairro onde o 
deslocamento de veículos só é permitido no 
sentido leste ou norte e ao longo das ruas 
representadas pelas linhas. 
 
Nessas condições, o menor percurso para ir 
de P até R, sem passar por Q, pode ser feito 
por um número máximo de formas distintas 
igual a 
a) 115 
b) 75 
c) 54 
d) 36 
e) 15 
 
8. (Pucrs) Em cada uma das retas paralelas r 
e s, são marcados 4 pontos representados 
pelos sinais # e , como na figura. Na 
escolha de 3 desses pontos como vértices de 
um triângulo, sendo um deles representado 
por um sinal diferente, o número de triângulos 
que podem ser determinados é 
 
 
a) 48 
b) 46 
c) 44 
d) 42 
e) 40 
 
9. (Espcex) Permutam-se de todas as formas 
possíveis os algarismos 1, 3, 5, 7, 9 e, 
escrevem-se os números assim formados em 
ordem crescente. A soma de todos os 
números assim formados é igual a 
a) 1 000 000. 
b) 1111100. 
c) 6 000 000. 
d) 6 666 000. 
e) 6 666 600. 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Em um programa de televisão que revela 
novos talentos para a música, cada candidato 
faz uma breve apresentação para os 4 jurados 
que, inicialmente, ficam de costas, apenas 
ouvindo. Durante a apresentação, todos os 
jurados que gostarem da voz daquele 
candidato viram-se para ele. Se pelo menos 
um jurado se virar, o candidato é selecionado. 
 
 
10. (Insper) Em certa edição do programa, n 
candidatos tiveram pelo menos um dos 4 
jurados se virando durante sua apresentação. 
O conjunto de todos os jurados que se 
viraram, porém, nunca foi o mesmo para dois 
quaisquer desses n candidatos. Dessa forma, 
n pode valer, no máximo, 
a) 4. 
b) 6. 
c) 12. 
d) 15. 
e) 24. 
 
11. (ifsul) Para atender à crescente demanda 
de novos usuários em determinadas regiões 
do país, a Agência Nacional de 
Telecomunicações (ANATEL) decidiu 
acrescentar o nono dígito aos números de 
celulares, como já ocorre nos estados de São 
Paulo e Rio de Janeiro, por exemplo. No Rio 
Grande do Sul, os números de celulares ainda 
contêm 8 dígitos. Suponha que o código de 
área 53 do Rio Grande do Sul admita as 
seguintes combinações de números: 
 
91xx xxxx 96xx xxxx 81xx xxxx
92xx xxxx 97xx xxxx 82xx xxxx
93xx xxxx 98xx xxxx 84xx xxxx
94xx xxxx 99xx xxxx 85xx xxxx
  
  
  
  
 
 
Os dígitos representados pela letra “x” podem 
ser quaisquer números de 0 até 9, incluindo 
repetições. Assim, o número máximo de 
celulares que podem ser ativados na área 53 é 
de 
a) 64 10 
b) 68 10 
c) 612 10 
d) 624 10 
 
12. (ifpe) Um auditório em forma de um salão 
circular dispõe de 6 portas, que podem ser 
utilizadas tanto como entrada ou para saída do 
salão. De quantos modos distintos uma 
pessoa que se encontra fora do auditório pode 
entrar e sair do mesmo, utilizando como porta 
de saída uma porta diferente da que utilizou 
para entrar? 
a) 6 
b) 5 
c) 12 
d) 30 
e) 36 
 
13. (Pucrj) Uma escola quer fazer um sorteio 
com as crianças. Então, distribui cartelas que 
têm cada uma 3 números distintos de 1 a 20. 
No dia da festa, trarão uma urna com 20 
bolas numeradas de 1 a 20 e serão retiradas 
 
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47 
(simultaneamente) três bolas. A criança que 
tiver a cartela com os três números ganhará 
uma viagem. 
 
Quantas cartelas diferentes são possíveis? 
a) 1.140 
b) 2.000 
c) 6.840 
d) 8.000 
e) 4.400 
 
14. (ifsul) Durante os séculos 18 e 19, muitos 
matemáticos se destacaram por suas 
contribuições na área da matemática. Dentre 
eles está Carl Friedrich Gauss (1777–1855) 
que ficou conhecido como "o príncipe da 
matemática" ou "o mais notável dos 
matemáticos" e seu trabalho teve enorme 
importância principalmente em áreas como a 
teoria da probabilidade. De posse dessa 
teoria, duas pessoas, A e B, decidem lançar 
um par de dados. Eles combinam que se a 
soma dos números dos dados for 7, A 
ganha, e se a soma for 10, B ganha. Cada 
par de dados é lançado uma única vez. A 
probabilidade de B ganhar é de 
a) 
1
6
 
b) 
1
2
 
c) 
1
36
 
d) 
1
12
 
 
15. (Pucrj) O técnico da seleção brasileira de 
futebol precisa convocar mais 4 jogadores, 
dentre os quais exatamente um deve ser 
goleiro. 
 
Sabendo que na sua lista de possibilidades 
para essa convocação existem 15 nomes, dos 
quais 3 são goleiros, qual é o número de 
maneiras possíveis de ele escolher os 4 
jogadores? 
a) 220 
b) 660 
c) 1.980 
d) 3.960 
e) 7.920 
 
16. (Unioeste) A tabela a seguir apresenta o 
número de casos notificados ou prováveis de 
dengue, chikungunyae Zika vírus, registrados 
nos estados do Sul do Brasil até a semana 23 
do ano de 2016, conforme boletim 
epidemiológico do Ministério da Saúde. 
 
Estado Dengue Zika Chikungunya 
Paraná 71.114 1.935 1.459 
Santa 
Catarina 
5.344 360 324 
Rio 
Grande 
do Sul 
3.961 97 233 
 
Escolheu-se aleatoriamente um paciente do 
Sul do Brasil registrado como um caso 
(notificado ou provável) de uma dessas 
doenças. Com relação ao paciente 
supracitado, de acordo com a tabela acima, 
assinale a afirmação que é INCORRETA. 
a) A probabilidade de ser um caso de 
chikungunya ou de ter sido no Paraná é 
maior que 90%. 
b) A probabilidade de que seja um caso do Rio 
Grande do Sul é menor que a probabilidade de 
ser um caso de dengue. 
c) A probabilidade de que não seja do Paraná 
é menor que 15%. 
d) A probabilidade de ser um caso de Zika ou 
de ter sido em Santa Catarina é menor que 
10%. 
e) A probabilidade de ser um caso no Paraná 
ou ser de dengue é maior que 98%. 
 
17. (Fgvrj) A equipe olímpica de Matemática 
da Escola Math é composta de três meninos e 
quatro meninas. 
Para a próxima Olimpíada de Matemática, 
cada escola deverá enviar quatro 
representantes e, dada a homogeneidade 
intelectual de sua equipe, a Escola Math 
resolveu sortear entre os sete estudantes de 
sua equipe os quatro que a representarão. 
Os quatro representantes serão sorteados um 
de cada vez, sem reposição. 
 
A probabilidade de que nem todos os meninos 
estejam entre os quatro representantes é: 
a) 
2
7
 
b) 
3
7
 
c) 
11
14
 
d) 
25
28
 
e) 
31
35
 
 
18. (Unisinos) A bandeira a seguir está 
dividida em 4 regiões. Cada região deverá ser 
pintada com uma cor, e regiões que fazem 
fronteira devem ser pintadas com cores 
diferentes. 
 
 
p 
48 
 
 
Sabendo que dispomos de 6 cores, de 
quantas maneiras distintas podemos pintar 
essa bandeira? 
a) 20. 
b) 24. 
c) 120. 
d) 600. 
e) 720. 
 
19. (Upe) A vendedora de roupas está 
arrumando os cabides da vitrine de uma loja. 
Ela deve pendurar 5 camisas, 3 bermudas e 
2 casacos na vitrine, de modo que cada peça 
fique uma do lado da outra sem sobreposição. 
 
Quantas são as disposições possíveis nessa 
arrumação, de modo que as peças de um 
mesmo tipo fiquem sempre juntas, lado a lado 
na vitrine? 
a) 30 
b) 120 
c) 1.440 
d) 4.320 
e) 8.640 
 
20. (Enem) O tênis é um esporte em que a 
estratégia de jogo a ser adotada depende, 
entre outros fatores, de o adversário ser 
canhoto ou destro. 
Um clube tem um grupo de 10 tenistas, sendo 
que 4 são canhotos e 6 são destros. O 
técnico do clube deseja realizar uma partida 
de exibição entre dois desses jogadores, 
porém, não poderão ser ambos canhotos. 
 
Qual o número de possibilidades de escolha 
dos tenistas para a partida de exibição? 
a) 
10! 4!
2! 8! 2! 2!

 
 
b) 
10! 4!
8! 2!
 
c) 
10!
2
2! 8!


 
d) 
6!
4 4
4!
  
e) 
6!
6 4
4!
  
 
21. (Upf) Na figura a seguir, as linhas 
horizontais e verticais representam ruas e os 
quadrados representam quarteirões. A 
quantidade de trajetos de comprimento mínimo 
ligando A a B é: 
 
 
a) 40.320 
b) 6.720 
c) 256 
d) 120 
e) 56 
 
22. (Fgv) A probabilidade de ocorrência do 
evento A é igual a 
3
,
4
 e a de ocorrência do 
evento B é igual a 
2
.
3
 Apenas com essas 
informações, e sendo p a probabilidade de 
ocorrência de A e B, pode-se afirmar que o 
menor intervalo ao qual p necessariamente 
pertence é 
a) 
1 2
, .
12 3
 
  
 
b) 
1 2
, .
2 3
 
  
 
c) 
1 1
, .
12 2
 
  
 
d) 
5 1
, .
12 2
 
  
 
e) 
5 2
, .
12 3
 
  
 
 
23. (Enem) Para estimular o raciocínio de sua 
filha, um pai fez o seguinte desenho e o 
entregou à criança juntamente com três lápis 
de cores diferentes. Ele deseja que a menina 
pinte somente os círculos, de modo que 
aqueles que estejam ligados por um segmento 
tenham cores diferentes. 
 
 
 
p 
49 
De quantas maneiras diferentes a criança 
pode fazer o que o pai pediu? 
a) 6 
b) 12 
c) 18 
d) 24 
e) 72 
 
24. (Puccamp) Para desbloquear a tela de um 
aparelho celular, o usuário deve digitar uma 
senha de três algarismos quaisquer. Note que 
também são válidas senhas, por exemplo, 
088 ou 000. Se a pessoa digita duas vezes a 
senha errada, o mecanismo de segurança do 
aparelho trava a tela por uma hora. 
 
Rafael esqueceu sua senha, mas lembra que 
ela formava um número que era: quadrado 
perfeito, menor do que 900 e múltiplo de 3. 
Usando corretamente suas três lembranças, 
as chances de Rafael conseguir desbloquear a 
tela do seu celular, sem que ela trave por uma 
hora, são iguais a 
a) 
2
.
9
 
b) 
2
.
11
 
c) 
3
.
11
 
d) 
1
.
3
 
e) 
1
.
5
 
 
25. (Acafe) Uma prova consta de 7 questões 
de múltipla escolha, com 4 alternativas cada 
uma, e apenas uma correta. Se um aluno 
escolher como correta uma alternativa ao 
acaso em cada questão, a probabilidade de 
que ele acerte ao menos uma questão da 
prova é de, aproximadamente: 
a) 87%. 
b) 85%. 
c) 90%. 
d) 47%. 
 
 
1. [C] 
 
Número de maneiras de se escolher três nadadores medalhistas num total de 8. 
8,3
8!
C 56
3! 5!
 

 
 
Número de maneiras de se escolher três medalhistas de modo que um deles seja o brasileiro. 
7,2
7!
C 21
2! 5!
 

 
 
Portanto, a probabilidade pedida será dada por: 
21 3
P 37,50%
56 8
   
 
2. [A] 
 
Supondo que ao modificar a ordem das fotos obtemos composições distintas, tem-se que o número 
de maneiras possíveis de fazer uma composição é dado por 
 
4 4
4P (5 6 4) 24 120 .     
 
3. [E] 
 
O cliente pode escolher duas entradas de 
8 8!
28
2 2! 6!
 
    
 modos, um prato principal de 10 
maneiras e uma sobremesa de 5 modos. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, a resposta é 
28 10 5 1400.   
 
4. [E] 
 
Tem-se 3P 3! maneiras de dispor os três blocos de livros, 3P 3! modos de organizar os livros de 
Álgebra, 2P 2! maneiras de dispor os livros de Cálculo e 2P 2! modos de dispor os livros de 
Geometria. Em consequência, pelo Princípio Multiplicativo, a resposta é 3! 3! 2! 2! 144.    
 
5. [C] 
 
Considerando as vogais: a, e, i, o e u; existem 5P 5! modos de dispor as vogais, 4 modos de 
escolher o primeiro algarismo par e 3 modos de escolher o segundo algarismo par. Portanto, pelo 
Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é 5! 4 3 1.440.   
 
6. [B] 
 
Considere que a prova tenha 100 questões, 68% de acerto então, representa 68 questões. Cada 
questão tem a probabilidade de acerto de 25% (ou 1 4) e de erro de 75% (ou 3 4). Se o candidato 
já acertou 68 questões, restaram 32 questões onde a probabilidade de acerto de 1 4 cada uma. 
Assim: 
1
32 8 questões
4
  
 
Como o candidato já acertou 68 questões, com mais 8 ele terá acertado 76 questões de um total 
de 100, ou seja 76%. 
 
7. 
 
 
 
8. [E] 
 
Número de escolhas possíveis de 3 pontos: 8,3
8!
C 56
3! 5!
 

 
Número de escolhas com 3 pontos alinhados: 4,3
4!
2 C 8
3! 1!
  

 
Número de escolhas com 3 símbolos iguais: 4,3
4!
2 C 8
3! 1!
  

 
 
Portanto, o número de triângulos formados com símbolos diferentes será dado por: 
56 8 8 40.   
 
9. [E] 
 
Cada um dos algarismos acima aparecerá 4! 24 vezes em cada ordem decimal. 
 
A soma dos algarismos é 25. Portanto, a soma dos algarismos em cada ordem decimal será 
24 25 600.  
 
Concluímos então que a soma S pedida é: 
 4 3 2S 24 25 10 10 10 10 1 600 11111 6.666.600.          
 
10. [D] 
 
Sabendo que temos duas opções para cada jurado, virar ou não virar sua cadeira. 
Portanto, o número n de candidatos pedido será dado por: 
4n 2 2 2 2 1 2 1 15.        
 
Observação: foi subtraído 1 para desconsiderar a situação em que todos os jurados não viraramas 
cadeiras. 
 
11. [C] 
 
Como possuem doze sufixos e em cada sufixo seis possíveis números e em cada número dez 
números possíveis temos: 
612 10 
 
12. [D] 
 
Princípio Fundamental da Contagem 
entrar sair
6 5 30  
 
 
13. [A] 
 
O número de cartelas possíveis é dado por 
20 20!
1.140.
3 3!17!
 
  
 
 
 
14. 
 
 
 
15. [B] 
 
Do enunciado, temos: 
Há 3 possibilidades para a escolha do goleiro. 
O total de maneiras de escolher os outros três jogadores, após a escolha do goleiro é dado por: 
 12,3
12,3
12,3
12,3
12!
C
3! 12 3 !
12!
C
3! 9!
12 11 10 9!
C
3 2 1 9!
C 220

 


  

  

 
 
Assim, o total de maneiras de escolher os quatro jogadores, pelo princípio fundamental da contagem 
é: 
3 220 660  
 
16. [A] 
 
Considere a tabela. 
 
Estado Dengue Zika Chikungunya Total 
Paraná 71.114 1.935 1.459 74.508 
Santa Catarina 5.344 360 324 6.028 
Rio Grande do Sul 3.961 97 233 4.291 
Total 80.419 2.392 2.016 84.827 
 
[A] Falsa. Tem-se, pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, que a probabilidade de ser um caso de 
chikungunya ou de ter sido no Paraná é dada por 
  
2016 74508 1459
88,49%.
84827 84827 84827
 
 
[B] Verdadeira. De fato, pois 
4291 80419
.
84827 84827
 
 
[C] Verdadeira. Com efeito, pois  
74508
1 12,16%.
84827
 
 
 
[D] Verdadeira. De fato, pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, segue que 
  
2392 6028 360
9,50%.
84827 84827 84827
 
 
[E] Verdadeira. Com efeito, novamente pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, temos 
  
74508 80419 71114
98,80%.
84827 84827 84827
 
 
17. 
 
 
 
18. [D] 
 
Há 6 escolhas para a cor do triângulo, 5 para a região compreendida entre a curva e o triângulo, 5 
para uma das regiões compreendidas entre o retângulo e a curva, e 4 para a região restante. 
Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é 6 5 5 4 600.    
 
19. [E] 
 
Supondo que as peças de um mesmo grupo (camisas, bermudas e casacos) sejam distinguíveis, há 
5P 5! 120  maneiras de arrumar as camisas, 3P 3! 6  modos de arrumar as bermudas e 
2P 2! maneiras de arrumar os casacos. Além disso, ainda podemos arrumar os 3 grupos de 
3P 3! 6  modos. 
Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, segue que o resultado pedido é 120 6 2 6 8640.    
 
20. [A] 
 
Desde que o número de maneiras de escolher dois tenistas quaisquer é 
10 10!
,
2 2! 8!
 
   
 e o número de 
modos de escolher dois tenistas canhotos é 
4 4!
,
2 2! 2!
 
   
 tem-se que o resultado é dado por 
10! 4!
.
2! 8! 2! 2!

 
 
 
21. [E] 
 
, , ,... 5,3
n 8
n! 8!
P P 56
! ! !... 5! 3!
α βθ
α β θ
    
 
22. [E] 
 
Supondo A e B eventos de um mesmo espaço amostral e sabendo que p P(A B),  pelo Princípio 
da Inclusão-Exclusão, vem 
 
3 2
P(A B) P(A) P(B) P(A B) p P(A B)
4 3
17
p P(A B).
12
         
   
 
 
Portanto, é fácil ver que p será mínima se P(A B) 1.  Nesse caso, temos 
5
p .
12
 Ademais, como 
P(B) P(A), se B estiver contido em A, então A B A  e, assim, vem P(A B) P(A),  implicando 
em 
2
p ,
3
 valor máximo de p. 
Em consequência, a resposta é 
5 2
p , .
12 3
    
 
 
23. [C] 
 
Considerando o caso em que os círculos A e C possuem cores distintas, tem-se 3 maneiras de 
escolher a cor do círculo A, 2 maneiras de escolher a cor do círculo C, 1 maneira de escolher a cor 
do círculo B e 1 maneira de escolher a cor do círculo D. Logo, pelo Princípio Multiplicativo, existem 
3 2 1 1 6    possibilidades. 
Por outro lado, se A e C possuem a mesma cor, então existem 3 modos de escolher a cor comum, 
2 maneiras de escolher a cor do círculo B e 2 modos de escolher a cor do círculo D. Daí, pelo 
Princípio Multiplicativo, tem-se 3 2 2 12   possibilidades. 
Em consequência, pelo Princípio Aditivo, a resposta é 6 12 18.  
 
24. 
 
 
 
25. [A] 
 
A probabilidade de ele acertar ao menos uma questão da prova é igual a probabilidade total (100%) 
menos a probabilidade de ele errar todas as questões. Cada questão tem a probabilidade de acerto 
de 25% (ou 1 4) e de erro de 75% (ou 3 4). Assim, a probabilidade de errar todas as questões 
seria: 
7
3 2187
0,133 13%
4 16384
     
 
 
 
E a probabilidade de que ele acerte ao menos uma questão da prova é de, aproximadamente: 
100% 13% 87% 