Função par ordenado

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Notas de aula: 16_Função Par ordenado_Composta_Inversa 
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Aula n. 16 – FUNÇÕES_PAR ORDENADO_FUNÇÃO 
COMPOSTA_FUNÇÃO INVERSA 
 
 
FUNÇÕES 
 
função = relação = aplicação = transformação 
 
Uma função é uma regra que associa a cada elemento de um 
conjunto um único elemento de outro. 
 Cada objeto tem uma e somente uma imagem 
 Um objeto tem sempre uma imagem 
 Não existe imagem, sem existir objeto 
 
 
Fonte: https://alfamathema.files.wordpress.com/2013/10/2-1-2-conceito-de-
func3a7c3a3o.pdf 
 
https://alfamathema.files.wordpress.com/2013/10/2-1-2-conceito-de-func3a7c3a3o.pdf
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 Domínio: 𝑀 = {𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷} / conjunto de saída 
 Conjunto de chegada: 𝑁 = {1,2,3, 4, 5} 
 
 Contradomínio: 𝐿 = {1,2,3,4,5} 
 Imagem: 𝑳 = {𝟏, 𝟐, 𝟑} 
 O conjunto das imagens está contido no contradomínio. 
 
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 O primeiro conjunto é denominado domínio; 
 O segundo é o contradomínio da função. 
 
Função como ideia de máquina 
 
Fonte: Adaptado de Stewart et al. (2013, p. 37) 
 
 
Domínio da função é o conjunto de todos os valores dados para 
a variável independente. 
 
Imagem da função é o conjunto de todos os valores 
correspondentes da variável dependente. 
 
Uma função f com domínio A e imagens em B será denotada por: 
f: A  B 
 x ↦ y = f(x) 
 
 O conjunto A é denominado domínio da função (D). 
 
 O conjunto B é o contradomínio da função (CD). 
 
 É no contradomínio que estão os elementos que podem 
corresponder aos elementos do domínio, ou seja, a cada 
elemento x do domínio há um correspondente y no 
contradomínio, a esse valor de y damos o nome de imagem de 
x pela função f. 
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Conceito matemático de função 
 
Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma relação de A em B. 
Essa relação f é uma função de A em B quando a cada elemento x 
do conjunto A está associado um e apenas um elemento y do 
conjunto B. 
 
Logo: 
 todo elemento de A deve estar associado a algum elemento de 
B. 
 a um dado elemento de A, deve estar associado um único 
elemento de B. 
 
 
 
Exemplos: 
 
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Para ser função: cada elemento do domínio tem que ter um único 
elemento na imagem. 
A seguir é possível identificar exemplos de relações que não são 
funções: 
 Não é função porque 4 está no Domínio, mas ele não está sendo 
associado a nenhum valor em Y. Tal fato contradiz o item 1. do 
conceito de função. 
Não é função, pois o elemento 1 tem duas imagens (D e C), o que 
contradiz o item 2 . 
 
 
Logo, não é função: 
 
 
Para saber se uma representação gráfica é função, basta traçar retas 
paralelas ao eixo “y” para ser função, qualquer reta vertical só a 
intercepta o gráfico em um único ponto. 
 
 
Fonte: Adapatado de: 
https://slideplayer.com.br/slide/374779/2/images/9/Como+sei+que+um+gr%C3%A1fico+%C3%A9+de+fun%C
3%A7%C3%A3o.jpg 
https://slideplayer.com.br/slide/374779/2/images/9/Como+sei+que+um+gr%C3%A1fico+%C3%A9+de+fun%C3%A7%C3%A3o.jpg
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 Função Injetora é aquela na qual elementos 
diferentes no domínio correspondem sempre 
a elementos diferentes no contradomínio. 
 
 
 
 função sobrejetora é aquela na qual o 
contradomínio é igual à imagem, ou seja, 
cada elemento do contradomínio é 
correspondido por ao menos um do domínio. 
 
 
 Função bijetora é aquela na qual para cada 
elemento no domínio corresponde a um único 
elemento no contradomínio, e cada elemento 
no contradomínio corresponde a um único do 
domínio. 
 
 Bijetora ↔ é injetora e é sobrejetora 
 
 
Estudo do domínio de uma função 
 
 
 Quando a função vem expressa pela sentença: 
 
http://pt.wikibooks.org/wiki/Ficheiro:Injection.png
http://pt.wikibooks.org/wiki/Ficheiro:Surjection.png
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Bijection.svg
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f: ℝ → ℝ , dada por f(x) = 3 x2 – 1, já é possível identificar o 
domínio, pois a função vai dos Reais nos Reais. 
 
 Entretanto, em muitos casos o domínio não vem explicitado, 
logo, devemos considerar o domínio como o conjunto dos 
números reais que podem ser colocados no lugar de x, na 
fórmula da função, obtendo, após os cálculos, um número real. 
O contradomínio será o conjunto ℝ . 
 
 
 
Exercícios: 
 
1. Determine o domínio das funções f dadas por: 
 
a. 𝑓 (𝑥) =
2𝑥−1
𝑥2−9
 
b. 𝑓 (𝑥) = √𝑥 − 4 +
1
√𝑥−2
 
c. 𝑓 (𝑥) = 5𝑥2 − 3 𝑥 + 1 
d. 𝑓 (𝑥) =
2
𝑥 +3
− 
𝑥
2𝑥 +1
 
 
2. Seja a relação S de N* em N*, tal que: 
𝑆 = { (𝑥, 𝑦) ∈ ℕ∗ × ℕ∗ / 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 25 } 
Determine o domínio, contradomínio e a imagem de S. 
Obs.: ℕ∗ = {1,2,3, … } sem o zero 
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Resoluções: 
1. Determine o domínio das funções f dadas por: 
a. 𝑓 (𝑥) =
2𝑥−1
𝑥2−9
 
 
O valor numérico de 
2𝑥−1
𝑥2−9
 só existe nos ℝ , se 𝑥2 − 9 ≠ 0 
Pois, 
𝑎
0
 é uma indeterminação matemática para qualquer valor 
de 𝑎 . 
 𝑥2 − 9 ≠ 0 → 𝑥2 ≠ 9 → 𝑥 ≠ 3 e 𝑥 ≠ −3 
 
Ou seja, 𝑥 = 3 e 𝑥 = −3 não podem estar no domínio da função. 
R: D (f) = { 𝑥 ∈ ℝ| 𝑥 ≠ 3 e 𝑥 ≠ −3} ou D = ℝ – {3, –3} 
 
 
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b. 𝑓 (𝑥) = √𝑥 − 4 +
1
√𝑥−2
 
Note que em ℝ , não existe solução para √𝑎 para 𝑎 0 → 𝑥 > 2 
 
se x =2 teríamos 
1
0
 que é uma indeterminação matemática 
R: D (f) = {𝑥 ∈ ℝ| 𝑥 ≥ 4} 
 
 
c. 𝑓 (𝑥) = 5𝑥2 − 3 𝑥 + 1 
 
O valor numérico de 5𝑥2 − 3 𝑥 + 1 existe nos ℝ , 
Para todo 𝑥 𝜖 ℝ logo, D (f) = ℝ . 
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d. 𝑓 (𝑥) =
2
𝑥 +3
− 
𝑥
2𝑥 +1
 
O valor numérico de 
2
𝑥 +3
− 
𝑥
2𝑥 +1
 só existe nos ℝ , se: 
 
 𝑥 + 3 ≠ 0 → 𝑥 ≠ −3 
 2𝑥 + 1 ≠ 0 → 2𝑥 + 1 = 0 ∴ 𝑥 = −
1
2
 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎 , 𝑥 ≠ −
1
2
 
D (f) = ℝ − {−3, −
1
2
 } 𝑜𝑢 {𝑥  ∈  ℝ;  𝑥 ≠ −3 𝑒 𝑥 ≠ −
1
2
} 
 
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3. Seja a relação S de N* em N*, tal que: 
𝑆 = { (𝑥, 𝑦) ∈ ℕ∗ × ℕ∗ / 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 25 } 
Determine o domínio, contradomínio e a imagem de S. 
 
Como ℕ∗ = {1, 2, 3, 4, … } ou seja, o conjunto dos Naturais sem o zero. 
 
Que números desse conjunto satisfazem a condição ≤ 25 ? 
 
 Domínio: D (f)= {1, 2, 3, 4} 
 
Obs. Aqui não podem ser todos os N*, pois nem todos terão 
correspondentes uma vez que a função é definida como 
 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 25 
Obs.: para ser função, qualquer reta vertical só a intercepta o gráfico em um único ponto. 
 
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 Contradomínio: foi dado pelo próprio enunciado. 
Logo, CD (f) = { N*} 
 
 Imagem: Im (f) = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 
3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3)} 
 
x y x y x y x y 
 1 1 2 1 3 1 4 1 
1 2 2 2 3 2 4 2 
1 3 2 3 3 3 4 3 
1 4 2 4 3 4 
 
 
 
Obs.: para ser função, qualquer reta vertical só a intercepta o gráfico em um único ponto. 
 
 
 
 
 
 
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FUNÇÃO COMPOSTA 
 
 
 Relações 
 Definição, exemplos e par ordenado 
 Imagem e imagem inversa 
 
FUNÇÃO COMPOSTA 
 
Uma função composta, é uma função de função, por exemplo: 
 
Dada uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵, tal que 𝑥 ∈ 𝐴 e uma função 𝑔: 𝐵 →
𝐶, tal que 𝑦 ∈ 𝐵: 
 a função composta de 𝑔 com 𝑓 é representada por 𝑔 ∘ 𝑓 
 a função composta de 𝑓 com 𝑔 é representada por 𝑓 ∘ 𝑔 
 A função composta é lida como: 
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔 (𝑓(𝑥)) → "𝑔 bola 𝑓" 
 
 o domínio da função 𝑓 é 𝐴 e o contradomínio é 𝐵 
 o domínio da função 𝑔 é 𝐵 e o contradomínio é 𝐶 
 
 
 
Numa função composta escrevemos diretamente o 
domínio A ao contradomínio C. 
 
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 Exemplo: Determine as funções compostas 𝑔 ∘ 𝑓(𝑥) e 𝑓 ∘
𝑔(𝑥) das funções: 
 
𝑓(𝑥) = 7𝑥 − 3 
𝑔(𝑥) = 𝑥2 
 
 𝑔 ∘ 𝑓(𝑥) 
 
𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(7𝑥 − 3) = (7𝑥 − 3)2 = 49𝑥2 − 42𝑥 + 9 
 
 
 
 
 
 
 𝑓 ∘ 𝑔(𝑥) 
 
𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑥2) = 7(𝑥2) − 3 = 7𝑥2 − 3 
 
 
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Seja a função 
 
𝑓: 𝐴 → 𝐵, tal que 𝑥 ∈ 𝐴 está associado um único elemento 𝑦 ∈
𝐵, tal que 𝑦 = 2 𝑥 e 
 
𝑔: 𝐵 → 𝐶, tal que 𝑦 ∈ 𝐵 está associado um único elemento 𝑧 ∈
𝐶, tal que 𝑧 = 𝑦2 
 
Dessa forma, podemos considerar uma terceira função, ℎ: 𝐴 → 𝐶, 
que faz a composição entre as funções 𝑓 e 𝑔. 
 
 
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ℎ: 𝐴 → 𝐶, a cada 𝑥 ∈ 𝐴, associa-se um único 𝑧 ∈ 𝐶, tal que 
𝑧 = 𝑦2 = (2𝑥)2 = 4𝑥2 
 
Logo, ℎ(𝑥) = 4𝑥2 é denominada função composta de g e f. 
𝑧 = 𝑔 (𝑥) = 𝑔 (𝑓(𝑥)) 
 
 
 
Exercício: 
 
1. Sejam dadas as funções 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2 𝑥 e 𝑔 (𝑥) = 1 − 3 𝑥, 
determine: 
a. 𝑓 (𝑔(𝑥)) ou (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) 
b. 𝑔 (𝑓(𝑥)) ou (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) 
c. 𝑓 (𝑓(𝑥)) ou (𝑓 ∘ 𝑓)(𝑥) 
d. 𝑔 (𝑔(𝑥)) ou (𝑔 ∘ 𝑔)(𝑥) 
 
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2. Se 𝑓(𝑥) = 5 𝑥 + 1 e 𝑔(𝑥) = 1 + 4 𝑥, calcule 𝑓 (𝑔(2)) +
𝑔 (𝑓(2)). 
 
Resoluções 
 
1. Sejam dadas as funções 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2 𝑥 e 𝑔 (𝑥) = 1 − 3 𝑥, 
determine: 
a. 𝑓 (𝑔(𝑥)) 
𝑓(𝑔(𝑥)) = (1 − 3 𝑥)2 + 2 (1 − 3 𝑥) 
𝑓(𝑔(𝑥)) = 1 − 6 𝑥 + 9𝑥2 + 2 − 6 𝑥 
𝑓(𝑔(𝑥)) = 9𝑥2 − 12 𝑥 + 3 
 
 
 
      




x
y
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b. 𝑔 (𝑓(𝑥)) 
𝑔(𝑓(𝑥)) = 1 − 3 ( 𝑥2 + 2 𝑥 ) 
𝑔(𝑓(𝑥)) = 1 − 3𝑥2 − 6 𝑥 
𝑔(𝑓(𝑥)) = −3𝑥2 − 6 𝑥 + 1 
 
 
 
           







x
y
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c. 𝑓 (𝑓(𝑥)) 
𝑓(𝑓(𝑥)) = (𝑥2 + 2𝑥)2 + 2 (𝑥2 + 2𝑥) 
𝑓(𝑓(𝑥)) = (𝑥4 + 4𝑥3 + 4 𝑥2) + (2𝑥2 + 4𝑥) 
𝑓(𝑓(𝑥)) = 𝑥4 + 4𝑥3 + 6 𝑥2 + 4 𝑥 
 
 
 
           







x
y
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d. 𝑔 (𝑔(𝑥)) 
𝑔 (𝑔(𝑥)) = 1 − 3 (1 − 3 𝑥) = 1 − 3 + 9 𝑥 = 9𝑥 − 2 
 
 
              









x
y
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2. Se 𝑓(𝑥) = 5 𝑥 + 1 e ℎ(𝑥) = 1 + 4 𝑥, calcule 𝑓 (ℎ(2)) +
ℎ (𝑓(2)). 
 
 𝑓(ℎ(𝑥)) = 5(ℎ(𝑥)) + 1 = 5(1 + 4𝑥) + 1 
 𝑓(ℎ(2)) = 5(1 + 4 ⋅ 2) + 1 = 5 ⋅ 9 + 1 = 46 
 ℎ(𝑓(𝑥)) = 1 + 4(5𝑥 + 1) = 1 + 20𝑥 + 4 = 20𝑥 + 5 
 ℎ(𝑓(2)) = 20 ⋅ 2 + 5 = 45 
 
Logo, 𝑓 (ℎ(2)) + ℎ (𝑓(2)) = 46 + 45 = 91 
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3. Se 𝑓(𝑥) = 5 𝑥 − 2, 𝑔(𝑥) = −3𝑥 + 4 e ℎ(𝑥) = 𝑥2 calcule 
𝑓 (𝑔(ℎ(𝑥))) . 
 
 
 
FUNÇÃO INVERSA 
 
 
Para que uma função admita uma inversa, ela precisa ser 
bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. 
 
A função inversa 𝑓−1(𝑥) faz exatamente o inverso da função 
𝑓(𝑥). 
 
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Relembrando: 
 
 
 
 Uma função é inversível, ou seja, tem inversa, se, e somente se, 
for bijetora (é injetora – todo elemento da imagem tem um 
único correspondente no domínio; é sobrejetora – não há 
nenhum elemento do contradomínio sobrando). 
 
Seja a função 𝑓(𝑥): 𝐴 → 𝐵, em que A é domínio e B é 
contradomínio, a função inversa de 𝑓 será a função descrita por 
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𝑓−1(𝑥): 𝐵 → 𝐴, ou seja, o domínio e o contradomínio invertem-
se. 
 
Obs.: 
 Nas funções ou equações, a letra que representa números desconhecidos 
ganha nomes distintos. 
 Para as funções, essa letra é chamada de variável 
 Nas equações, recebe o nome de incógnita. 
 Nas equações, as incógnitas representam números fixos. 
 Nas funções, as variáveis podem assumir o valor de qualquer número, 
desde que ele esteja dentro do conjunto do domínio e/ou do 
contradomínio. Por isso, as letras são chamadas de variáveis: o valor 
numérico delas não é fixo nas funções. 
 
DETERMINANDO A LEI DE FORMAÇÃO DA FUNÇÃO 
INVERSA 
 
 Para encontrar a lei de formação da função inversa, 
precisamos inverter as incógnitas, ou seja, trocar 𝑥 por 𝑦 e 𝑦 
por 𝑥, e posteriormente isolar a incógnita 𝑦. Para isso, é 
importante que a função seja inversível, ou seja, bijetora. 
Regra Exemplo 
 Substituir 𝑓(𝑥) por 𝑦: 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 5 
𝑦 = 𝑥 + 5 
 Trocar 𝑥 por 𝑦 e 𝑦 por 𝑥: 𝑥 = 𝑦 + 5 
 Isolar a variável 𝑦: 𝑦 = 𝑥 − 5 
 Substituir 𝑦 por 𝑓−1(𝑥): 𝑓−1(𝑥) = 𝑥 − 5 
 
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 Obs.: é preciso apenas tomar cuidado com o domínio da nova 
função obtida. 
 
 Exemplo: Se a função 𝑓(𝑥) faz com que os valores de 𝑥 
dobrem (pegamos o valor de 𝑥 e multiplicamos por 2), a 
função inversa 𝑓−1 faz o contrário (o valor será dividido por 
2). 
 
 Na representação gráfica, no plano cartesiano, de uma função 
e a sua inversa, os gráficos sempre são simétricos. 
 
 
Exemplo: 
1. Encontre a lei de formação da função inversa de 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 5. 
 
Como: 𝑓(𝑥) = 𝑦 
 𝑦 = 𝑥 + 5 
Agora fazemos a inversão de 𝑦 por 𝑥: 
 𝑥 = 𝑦 + 5 
Isolamos o "𝑦" 
 −𝑦 = − 𝑥 + 5 (−1) 
 𝑦 = 𝑥 − 5 
 
 Como esta era uma equação “simples” bastava ver que se 
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 5 adicionava “5” 𝑓−1 iria subtrair “5”. 
 
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26 
 
 
 
2. Seja a função 𝑓: ℝ+ → ℝ+, cuja lei de formação é 𝑓(𝑥) = 𝑥2, 
encontre a sua função inversa. 
Como: 𝑓(𝑥) = 𝑥2. 
 𝑦 = 𝑥2 
Agora fazemos a inversão de 𝑦 por 𝑥: 
 𝑥 = 𝑦2 
Isolamos o "𝑦" 
 
|𝑦| = √𝑥 
 𝑦 = ± √𝑥 
𝑦 = √𝑥, pois ℝ+, ou seja, 𝑦 ≥ 0 
 Obs.: 
 Obs.: 
 Já a função f: R+ → R+, tem o domínio nos números reais positivos e o zero, e o 
contradomínio também, nesse caso, quando restringimos a função a esse 
domínio e contradomínio, ela é inversível. 
https://www.preparaenem.com/matematica/numeros-reais.htm
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 A função f: R → R, não é inversível, já que não é bijetora, pois, por exemplo, dado 
o número 4, ele “volta” com dois valores: +2 e - 2, como consequência, não é 
inversível. 
 
 
Gráfico das funções sem restrição 
 
 
 
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DAMAT 
 
28 
 
3. Seja a função 𝑓: ℝ − {−4} → ℝ − {2} definida por 
 𝑓(𝑥) =
2𝑥−3
𝑥+4
, encontre a sua função inversa. 
 
Como: 𝑓(𝑥) = 
2𝑥−3
𝑥+4
 (para admitir inversa 𝑥 ≠ −4) 
 
 𝑦 = 
2𝑥−3
𝑥+4
 
Agora fazemos a inversão de 𝑦 por 𝑥: 
 𝑥 = 
2𝑦−3
𝑦+4
 
Isolamos o "𝑦" 
 𝑥(𝑦 + 4) = 2𝑦 − 3 
𝑥𝑦 + 4𝑥 = 2𝑦 − 3 
2𝑦 − 𝑥𝑦 = 3 + 4𝑥 
𝑦(2 − 𝑥) = (3 + 4𝑥) 
𝑦 =
3+4𝑥
2−𝑥
 (para admitir inversa 𝑥 ≠ 2) 
 
 
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DAMAT29 
 
 
Observe as funções determinadas por: 
𝑓(𝑥) = 3 𝑥 e 𝑔(𝑥) = 
𝑥
3
 
 Atribuindo valores para x determinamos a sua imagem pela 
função f: 𝑓(𝑥) = 3 𝑥 , formando os pares ordenados (x, f (x)): 
 
x f (x) (x, f (x)) 
- 5 - 15 (- 5, - 15) 
0 0 (0, 0) 
1 3 (1, 3) 
2 6 (2, 6) 
√2 3 √2 (√2, 3 √2) 
 
 Agora, tomando os valores obtidos como imagens pela função 
f vamos determinar suas imagens pela função g: 𝑔(𝑥) = 
𝑥
3
 
x g (x) (x, g (x)) 
- 15 - 5 (- 15, - 5) 
0 0 (0, 0) 
3 1 (3, 1 ) 
6 2 (6, 2 ) 
3√2 √2 (3 √2 , √2) 
 
 Observe que podemos obter os pares da função g(x) 
invertendo a ordem dos elementos nos pares obtidos pela 
função f(x). 
 Neste caso dizemos que g(x) é a função inversa de f(x) e 
representamos por 𝑔(𝑥) = 𝑓−1(𝑥). 
 
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30 
 
Logo, se 𝑓(𝑥) = 3 𝑥 , então 𝑓−1(𝑥) = 
𝑥
3
. 
 
 
 
 
Exemplo: Seja 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2, logo, tomemos x = 3 e x = - 3 no 
domínio de f (x). 
 
x = 3  f (3) = 7  (3, 7) 
 
x = - 3  f (- 3) = 7  (- 3, 7) 
 
Como (3, 7) ≠ (- 3, 7), essa não é uma função bijetora, pois o 
elemento 7 do contradomínio de f(x) é imagem de dois 
elementos: 3 e – 3, o que é impossível, pois para ser função 
inversa, cada elemento do domínio tem que ter apenas uma 
única imagem. 
Portanto, 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2 não possui inversa. 
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Exercício: 
1. Obtenha a lei que define as funções inversas das funções 
dadas por: 
 
a. y = x + 2 
 
b. 𝑔(𝑥) = 
𝑥 + 5
2 𝑥 − 3 
, cujo domínio é D = ℝ – {
3
2
} 
 
Resoluções: 
 
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32 
 
1. 
a. y = x + 2 
f(x): y = x + 2 
 
Trocamos: x por y e y por x e isolamos o y: 
x = y + 2 
 
y = x – 2 essa é a lei que define a função inversa 
𝑓(𝑥)−1 ∶ 𝑦 = 𝑥 − 2 
 
 
 
b. 𝑔(𝑥) = 
𝑥 + 5
2 𝑥 − 3
, cujo domínio é D = ℝ - {
3
2
} 
 
𝑔(𝑥): 𝑦 =
𝑥 + 5
2 𝑥 − 3
 
 
Trocamos x por y e y por x e isolamos o y: 
 
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33 
 
𝑥 = 
𝑦 + 5
2 𝑦 − 3
 
 
𝑥(2 𝑦 − 3) = 𝑦 + 5 
 
2 x y – 3 x = y + 5 
– y + 2 x y = 5 + 3 x 
y (– 1+ 2 x) = 5 + 3 x 
𝑦 = 
5 + 3 𝑥
(−1 + 2 𝑥)
 
 
𝑔(𝑥)−1: 𝑦 = 
3 𝑥 + 5
2 𝑥 − 1
 
 
 Entretanto 2 𝑥 − 1 ≠ 0, 
 2 𝑥 − 1 ≠ 0 𝑠𝑒 2𝑥 ≠ 1 → 𝑥 ≠ 
1
2
 
 
D(𝑔−1) = ℝ −{
1
2
} 
 
Logo, 
 g(x): y = 
𝑥 + 5
2 𝑥 − 3
, e D (g) = ℝ - {
3
2
} e 
 
𝑔(𝑥)−1: 𝑦 = 
3 𝑥 + 5
2 𝑥 − 1
 e D (𝑔−1) = ℝ −{
1
2
} 
 
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34 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
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Fundamental: uma nova abordagem: ensino médio. Volume único. São Paulo: FTD, 2002. 
 
LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. 3ª ed. Vol. 1. São Paulo: Harbra, 1994. 
 
MELLO, José Luiz Pastore. Matemática: construção e significado. Volume único. 1ª ed. São 
Paulo: Moderna, 2005. 
 
MORETTIN, Pedro A.; BUSSAB, Wilton O.; HAZZAN Samuel. Cálculo: funções de uma variável. 3ª 
ed. São Paulo: Atual, 1987. 
 
SAFIER, Fred. Pré-Calculo. Grupo A, 2011. E-book. ISBN 9788577809271. Disponível em: 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788577809271/. Acesso em: 16 fev. 
2023. 
 
MEDEIROS, Valéria Z.; CALDEIRA, André M.; SILVA, Luiza Maria Oliveira da; et al. Pré-Cálculo. 
Cengage Learning Brasil, 2013. E-book. ISBN 9788522116515. Disponível em: 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522116515/. Acesso em: 05 mar. 
2023. 
 
STEWART, James; CLEGG, Daniel; WATSON, Salim. Cálculo Volume I -Tradução da 9ª edição 
norte-americana. Cengage Learning Brasil, 2021. E-book. ISBN 9786555584097. Disponível em: 
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2023.