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Notas de aula: 14_Conjuntos Numéricos_Desigualdades 
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Profa. Angelita Minetto Araújo 
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Aula n. 14 – CONJUNTOS NUMÉRICOS_ DESIGUALDADES 
Introdução a Lógica Matemática: 
https://portaldaobmep.impa.br/index.php/modulo/ver?modulo=153 
 
CONJUNTOS: CONCEITOS INICIAIS 
 Um conjunto (coleção, classe, família) é constituído de 
elementos. 
 Os conjuntos são designados por letras maiúsculas do nosso 
alfabeto: A, B, C, ..., X e os seus elementos por letras 
minúsculas: a, b, d, ... z. 
 Comumente usam-se figuras para representar conjuntos, 
chamadas de Diagramas de Euler – Venn. 
 
 Há três maneiras de designar os elementos e os conjuntos 
simbolicamente: 
1. Método da enumeração/extenso: “Conjunto de todos os 
números pares positivos, menores do que 6” à B = {2, 4} 
2. Diagramas de Euler – Venn 
 
Fonte: https://legaldesignpatterns.org/documentacao/contexto-redacao-de-documentos/diagrama-de-venn-
euler/ 
 
https://portaldaobmep.impa.br/index.php/modulo/ver?modulo=153
https://legaldesignpatterns.org/documentacao/contexto-redacao-de-documentos/diagrama-de-venn-euler/
https://legaldesignpatterns.org/documentacao/contexto-redacao-de-documentos/diagrama-de-venn-euler/
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3. Descrição: P = { x / x é par} 
 
Diferença entre os símbolos ∈ (𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑐𝑒) 𝑒 ⊂ (𝑒𝑠𝑡á 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜): 
 O símbolo ∈ é usado para relacionar elemento e conjunto 
 O símbolo ⊂ é usado para relacionar dois conjuntos 
Exemplo: o correto é 1 ∈ { 1, 2} e não 1 ⊂ { 1, 2} 
 O elemento 1 pertence ao conjunto formado pelos 
elementos 1 e 2 
 o correto é {1} ⊂ { 1, 2} e não {1} ∈ { 1, 2} 
 O conjunto formado pelo elemento 1 está contido no 
conjunto formado pelos elementos 1 e 2. 
 
 A negação de ⊂ é ⊄ 
 A negação de ∈ é ∉ 
 
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 
Para efetuar operações com conjuntos, dois conectivos, “ou” e 
“e” são de fundamental importância: 
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 O conectivo “ou” pode ser inclusivo ou exclusivo: 
 
a. Inclusivo: “Vou encontrar Paulo ou Pedro.” 
Poderei encontrar Paulo ou Pedro ou ambos. 
 
b. Exclusivo: “Após as provas passarei de ano ou reprovarei.” 
Não é possível acontecer as duas coisas simultaneamente, 
apenas uma delas. 
 
 O conectivo “e” serve para ligar duas afirmações que são 
válidas simultaneamente. 
“Vou ao cinema e ao restaurante.” 
O que significa que irei ao cinema e também ao restaurante. 
 
INTERSECÇÃO 
Definição: Chama-se intersecção de dois conjuntos P e Q ao 
conjunto I dos elementos que pertencem a P e a Q. 
Indica-se I = P ∩ Q. 
 
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Escrevendo na notação de conjunto: 
 𝑃 ∩ 𝑄 = { 𝑥 ∈ 𝐼 | 𝑥 ∈ 𝑃 e 𝑥 ∈ 𝑄 }. 
 
UNIÃO 
 
Definição: Chama-se união de dois conjuntos P e Q ao conjunto 
S dos elementos que pertencem a P ou a Q. 
Indica-se S = P ∪ Q. 
Escrevendo na notação de conjunto: 
𝑃 ∪ 𝑄 = { 𝑥 ∈ 𝑆 | 𝑥 ∈ 𝑃 ou 𝑥 ∈ 𝑄 }. 
 
Esse “ou” é inclusivo. 
 
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Diferença entre conjuntos 
Dados A = {0, 1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5}, a diferença entre A e 
B é o conjunto formado pelos elementos exclusivos de A, isto é, 
retira-se de A, o que for comum com B. 
Representação: A – B = {0, 1} 
 
 
Conjunto das partes e produto cartesiano 
Seja dado um conjunto 𝐴 = {1, 2}, podemos considerar aqueles 
conjuntos que são subconjuntos de 𝐴: { 1}, { 2}, {1, 2} 𝑒 { } 𝑜𝑢  
Esses conjuntos são elementos de um novo conjunto, o 
conjunto ou a classe dos subconjuntos de 𝐴, que será indicado 
por ℙ (𝐴). 
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Logo, ℙ (𝐴) = { { 1}, { 2}, {1, 2} ,} 
O  (𝑣𝑎𝑧𝑖𝑜) é 𝑠𝑢𝑏𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜. 
Definição: Dado o conjunto 𝐴 podemos considerar o conjunto 
ℙ (𝐴), chamado conjunto das partes de 𝐴, tal que ℙ (𝐴) =
{ 𝑥 | 𝑥 ⊂ 𝐴}. 
Exemplo: Se 𝐴 = {1, 2, 3} então ℙ (𝐴) = ? 
ℙ (𝐴) = { {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3 }, {1, 2, 3 }, } 
Obs: Para calcular a quantidade elementos que terá esse 
subconjunto basta fazer 2n, onde “n” é a quantidade de 
elementos que tem o conjunto dado. Nesse caso: 
2n = 23 = 8 elementos 
 
Definição: Dados dois conjuntos 𝐴 𝑒 𝐵 chama-se produto 
cartesiano de 𝐴 𝑝𝑜𝑟 𝐵, ao conjunto dos pares ordenados cujos 
primeiros elementos pertencem a 𝐴, e os segundos elementos 
pertencem a 𝐵, indica-se o produto cartesiano por 𝐴 × 𝐵 . 
Notação: 𝐴 × 𝐵 = { (𝑥, 𝑦) | 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑦 ∈ 𝐵} 
Note que: 𝑨 × 𝑩 ≠ 𝑩 × 𝑨 
 
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Exemplo: Seja 𝐴 = { 1, 2, 3} 𝑒 𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} , escreva todos os 
elementos de 𝐴 × 𝐵. 
São 3 elementos de A e 4 elementos de B, logo, 3 x 4 = 12 
𝐴 × 𝐵 = { (1, 𝑎), (1, 𝑏), (1, 𝑐), (1, 𝑑), (2, 𝑎), (2, 𝑏), (2, 𝑐), (2, 𝑑), (3, 𝑎), (3, 𝑏), (3, 𝑐), (3, 𝑑)} 
 
Conjuntos numéricos 
Números Naturais ℕ 
  ℕ = { 0, 1, 2, 3, 4, … , } e ℕ∗ = { 1, 2, 3, 4, … , } 
Números inteiros ℤ 
  ℤ = { … , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … } 
Números racionais ℚ 
  ℚ = 
𝑝
𝑞
 | 𝑝 𝑒 𝑞 𝑠ã𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠, 𝑞 ≠ 0}. 
 Os naturais e inteiros são subconjunto dos racionais. 
 
 Todo racional pode ser representado na forma decimal. 
a. Decimal finita: 
3
4
 = 0, 75 
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b. Decimal infinita periódica: 
1
3
 = 0, 3333 … (dízimas 
periódicas) 
Números irracionais 𝕀 
 𝕀 = todo número irracional tem representação decimal 
infinita não periódica. 
 √2 = 1,4142136 … 
 𝜋 = 3, 14159 … 
 ℯ = 2, 71828 … 
 Números Reais ℝ 
 ℝ = ℚ ∪ 𝕀(racionais união com irracionais) 
 
Números Complexos 
 Da impossibilidade de resolver equações da forma 𝑥2 + 1 = 0 
no campo dos reais surgiram os números complexos. 
Seja “i” o fator imaginário tal que: 𝑖2 + 1 = 0, ou seja, 
 i é a solução da equação 𝑥2 + 1 = 0 
Logo, 𝑖2 = −1 
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Portanto, chama-se número complexo a toda expressão da 
forma 𝑎 + 𝑏 𝑖 onde 𝑎 𝑒 𝑏 são reais e 𝑖 é o fator imaginário, 
definido por 𝑖2 = −1 
Os reais ℝ são subconjunto dos complexos. 
 
RESUMO 
ℝ - Reais {Inteiros, Naturais, Racionais, Irracionais} 
ℕ - Naturais ℕ = { 0, 1, 2, 3, 4, … , } e ℕ∗ = { 1, 2, 3, 4, … , } 
ℤ - Inteiros ℤ = { … , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … } 
ℚ - Racionais { ℚ = 
𝑝
𝑞
 | 𝑝, 𝑞 ∈ ℤ 𝑒 𝑞 ≠ 0}. 
a. Decimal finita: 
3
4
 = 0, 75 
b. Decimal infinita periódica: 
 
1
3
 = 0, 3333 … (dízimas periódicas) 
{Naturais, Inteiros} 
𝕀 - Irracionais  𝕀 = todo número irracional tem representação decimal infinita não 
periódica. 
 √2 = 1,4142136 … 
 𝜋 = 3, 14159 … 
 ℯ = 2, 71828 … 
 
ℂ - Complexos ℂ = { 𝑎 + 𝑏 𝑖 | 𝑎 ∈ ℝ, 𝑏 ∈ ℝ} ; 𝑖 = √−1 
( 𝑖 𝑠ã𝑜 𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛á𝑟𝑖𝑜𝑠) 
 
 
 
 
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Diagrama dos conjuntos numéricos 
 
Fonte: https://www.matematicadidatica.com.br/ConjuntoNumerosComplexos.aspx 
Intervalos 
Pode-se representar o conjunto dos números reais associando 
cada número x ∈ R a um ponto de uma reta r. 
Assim: 
 convencionando a origem O 
 associando a ela o zero 
 adotando uma unidade e um 
sentido positivo para esta reta, 
teremos a reta orientada 
 
 
Sejam a e b números reais com a Acesso em: 09 abr. 2014. 
Figura 2. Disponível em: Acesso 
em: 09 abr. 2014. 
SAFIER, Fred. Pré-Calculo. Grupo A, 2011. E-book. ISBN 9788577809271. Disponível em: 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788577809271/. Acesso em: 16 fev. 
2023. 
MEDEIROS, Valéria Z.; CALDEIRA, André M.; SILVA, Luiza Maria Oliveira da; et al. Pré-Cálculo. 
Cengage Learning Brasil, 2013. E-book. ISBN 9788522116515. Disponível em: 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522116515/. Acesso em: 05 mar. 
2023. 
STEWART, James; CLEGG, Daniel; WATSON, Salim. Cálculo Volume I -Tradução da 9ª edição 
norte-americana. Cengage Learning Brasil, 2021. E-book. ISBN 9786555584097. Disponível em: 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso em: 05 mar. 
2023.