Livro de Estudante - matematica

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MATEMÁTICAAULA 1 PROCEDIMENTOS DE CONTAGEM Resumo Princípio aditivo: é quando podemos escolher um ou outro evento, de modo que ambos não podem ser escolhidos ao mesmo tempo. Por exemplo, você pode escolher se hoje irá comer entre 3 tipos de massas para jantar ou entre 4 tipos de carnes. Então, o total de maneiras diferentes de escolha é: Princípio multiplicativo: se um evento ocorre em duas etapas sucessivas e inde- pendentes, A e B, A pode ocorrer de m maneiras e de n maneiras. número total de possibilidades que ocorre 0 evento é m X n. princípio multiplicativo também é conhecido como princípio fundamental da contagem. Por exemplo: para ir ao shopping, você deve escolher entre 4 camisetas e 3 calças. Quantas são as combinações possíveis para montar seu look de shopping? Nesse caso, usamos princípio multiplicativo: 4 3 = 12 maneiras de escolher sua roupa. Exercícios resolvidos 1 Suponha que você foi a uma cafeteria e no cardápio há 3 tipos de café, 4 tipos de acompanhamentos salgados (croissant, pão de queijo, empadão, e bruschetta italiana) e mais 2 tipos de acompanhamento doce (bolo de cenoura e donuts). Você tem dinheiro para comprar apenas uma dessas opções do cardápio. Quantas são as maneiras que você pode escolher para comer? 152AULA 1 Como você só tem dinheiro para comer um item do cardápio, então ou você toma café, que são 3 opções, ou você come algo salgado, 4 opções, ou doce, 2 opções. Portanto, ao todo, você possui 3+4+2=9 opções para escolher. 2 Um simulado de Matemática que será aplicado na escola é composto de 7 itens do tipo "verdadeiro ou falso". De quantas maneiras distintas um estudante pode res- ponder a essa atividade aleatoriamente, ou seja, "chutando" as respostas? Para determinar o número de maneiras distintas que um estudante pode responder a um simulado composto de 7 itens do tipo "verdadeiro ou falso", precisamos consi- derar cada item como uma escolha binária (ou seja, existem duas opções para cada item: verdadeiro ou falso). Como cada item tem 2 opções e há 7 itens no total, número total de combinações possíveis pode ser calculado como 2⁷. Vamos calcular Portanto, um estudante pode responder a esse simulado de 128 maneiras distintas. Na prática Atividade 1 Um restaurante possui 2 tipos de entradas, 3 tipos de pratos principais e 2 tipos de sobremesas. Quantos menus poderiam ser montados para uma refeição com uma en- trada, um prato principal e uma sobremesa? a) 8 b) 5 7 d) 12 total de combinações possíveis é dado pelo produto do número de opções de cada categoria: Total de menus Portanto, número total de menus possíveis é: 12. 153Atividade 2 Uma senha possui 4 dígitos, podendo ser formada pelos algarismos 0, 2, 4, 6, 8. Responda: 1 Quantas senhas de 4 dígitos podem ser formadas, considerando que os algarismos podem se repetir? Quando os algarismos podem se repetir, cada posição da senha e pode ser ocupada por qualquer um dos 5 dígitos disponíveis 2, 4, 6, 8). Portanto, número total de senhas possíveis é dado pelo produto do número de opções para cada posição: Então, podem ser formadas 625 senhas de 4 dígitos quando os algarismos podem se repetir. 2 Quantas senhas de 4 dígitos podem ser formadas, considerando que os algarismos não podem se repetir? Quando os algarismos não podem se repetir, temos uma redução no número de opções disponíveis conforme escolhemos os dígitos. Para a primeira posição, temos 5 opções; para a segunda, temos 4 opções (pois um dígito já foi usado); para a terceira, temos 3 opções; e para a quarta, temos 2 opções restantes. Logo, número total de senhas possíveis é dado pelo produto das opções dispo- níveis para cada posição: Portanto, podem ser formadas 120 senhas de 4 dígitos quando os algarismos não podem se repetir. Atividade Você faz parte do grêmio estudantil da escola e precisa organizar um evento cultu- ral. Para a noite de abertura, você deve escolher uma atração principal. Existem duas categorias de atrações disponíveis: bandas musicais ou grupos de teatro. Há 4 bandas musicais diferentes e 3 grupos de teatro diferentes disponíveis. Qual é número total de maneiras que você pode escolher uma atração principal? Para escolher uma atração principal, você pode optar por uma banda musical ou um grupo de teatro. Portanto, número total de maneiras de escolher uma atração principal é a soma das opções em cada categoria: Total de maneiras = de bandas musicais) + de grupos de teatro) Total de maneiras = 4+3 Total de maneiras = 7 Logo, há 7 maneiras diferentes de escolher uma atração principal para evento cultural. 154AULA 1 Aprofundando 1 (UNIVAG-MT 2020) Para uma atividade, serão confeccionados alguns cartões. Cada cartão deverá conter um número e a figura de um animal, nessa ordem. Os números podem ser de 1 a 9 e os animais podem ser elefante, cachorro, gato, pássaro ou zebra. Não serão confeccionados cartões com números ímpares cuja imagem de animal seja uma zebra. Não serão confeccionados cartões com os números 4 ou 5 cuja imagem de animal seja um gato ou um pássaro. Nessas con- dições, número de cartões distintos que podem ser criados é: Para as combinações de animais sem restrições, teremos: 2 9 = 18 combinações. Ou seja, 2 animais (elefante e a) 35 cachorro) e 9 algarismos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Para as combinações de animais com restrições, teremos: b) 36 Zebra não pode ser confeccionado com números ímpares. Ou seja, 1 animal e 4 algarismos (2, 4, 6, 8). Portanto, 1 4 = 4 combinações. 37 Gato ou pássaro não podem ser confeccionados com os números 4 ou 5. Portanto, teremos, 2 animais e 7 alga- rismos (1, 2, 3, 6, 7, 8, 9). d) 34 Portanto, 2 7 = 14 combinações. Logo, somando todas as combinações: e) 38 Teremos 36 combinações totais. 2 (CESGRANRIO Adaptada) As placas dos veículos há uns anos eram formadas por três letras seguidas por quatro algarismos, como por exemplo GYK0447. número de placas diferentes que podem ser construídas é, em milhões de placas, aproxi- madamente igual a: a) 1 Cada letra pode ser qualquer uma das 26 letras do alfabeto (considerando que não há restrições para repetir letras). Portanto, para as três letras, temos: b) 75 26 26 26 combinações. Cada algarismo pode ser qualquer um dos 10 dígitos a 9). Portanto, para os 4 algarismos, temos: 175 10 10 10 10 combinações. Multiplicando o número de combinações possíveis, temos: d) 25 26 26 26 10 10 10 10 = 576 = e) 100 Portanto, número de placas diferentes que podem ser construídas é aproximadamente 175 milhões. 155AULA 2 FATORIAL Resumo Fatorial de um número natural n é o produto dos números naturais consecutivos de n até 1. fatorial de n é denotado por n!. para n ≥2 Atenção: 1! = 1 e = 1 Exemplos: fatorial de 3, ou seja, 3!, é 6, pois: fatorial de Exercícios resolvidos 1 Calcule os fatoriais: a) = 156AULA 2 b) 5! 7! (5 4 (2x 120 Temos que: Logo, 2x 3 5 8 2 2 Um grupo com 5 amigos, estudantes do curso de Ciências Econômicas, frequenta a aula de Matemática para Ciências Sociais e Aplicadas. No início do período, eles decidiram que a cada dia todos se sentariam juntos, lado a lado, na mesma fileira, que tem 5 lugares, porém sempre em posições distintas. Durante quantos dias eles podem manter essa organização? Para determinar durante quantos dias os 5 amigos podem se sentar juntos em posi- ções distintas, precisamos calcular número de permutações possíveis deles. número de permutações de elementos é dado por n! (fatorial de n). Para 5 amigos, Portanto, existem 120 maneiras diferentes de organizar os 5 amigos em 5 lugares distintos. Assim, eles podem realizar essa brincadeira durante 120 dias, cada dia com uma configuração diferente. 157Na prática Atividade 1 Simplifique os fatoriais. 10! 10.9.8.7 5040 1 = = = 210 = 6!4! 4.3.2.1 24 2 101! 101! = = = 101 100! 100! 100! n! 3 = Atividade 2 Calcule n sabendo que: n! = 30 (n-2)! Conforme fatorial de um número natural: Substituindo na equação: Resolvendo a equação do grau, encontramos dois valores para n: Sabemos que o fatorial deve ser um número natural; logo, 158AULA 2 Atividade Resolva as equações com fatorial: 1 Observando que 7!=5 040, temos: = 2n 2n 5 Portanto, a solução 2 Agora, você deve criar uma equação utilizando conceito de fatorial. Em seguida, troque essa equação com um colega para que ele a resolva. Por fim, verifiquem juntos se a resposta está correta. Resposta pessoal. 1. Para a primeira coluna, temos 4 possibilidades para colocar as 4 peças (4 4). Para a segunda coluna, temos 3 possibilidades para colocar 3 peças (3 3). Para a terceira, temos 2 possibilidades para colocar 2 peças (2 2) e, depois, temos apenas mais uma possibilidade para a última coluna. No total, temos Aprofundando Simplificando, podemos utilizar conceito de fatorial. Logo: (4 3 2 1) (4 3 2 4! possibilidades. 1 (EsPCEx 2006 Adaptada) Um tabuleiro especial de xadrez possui 16 casas, dispos- tas em 4 linhas e 4 colunas. Um jogador deseja colocar 4 peças distintas no tabu- leiro, de tal forma que, em cada linha e cada coluna, seja colocada apenas uma peça. De quantas maneiras as peças poderão ser colocadas? a) 4! b) 4 4! 16! d) 2 (UFF 2001 Adaptada) Um garçom anotou os pedidos de três fregueses. Cada freguês pediu um prato principal, um acompanhamento e uma bebida. Posteriormente, o gar- çom não sabia identificar o autor de cada pedido. Lembrava-se, porém, de que não havia qualquer coincidência entre os pedidos: os pratos principais eram diferentes entre si, mesmo ocorrendo com os acompanhamentos e as bebidas. número de maneiras diferentes que garçom poderia distribuir os pedidos entre os três fregueses é: a) (3!)³ b) d) e) (3!)3! 2. Temos que: freguês: 3 pratos, 3 acompanhamentos, 3 bebidas possibilidades. freguês: Como freguês já tem uma escolha, resta para freguês: 2 pratos, 2 acompanhamentos, 2 bebidas 2 2 - 2 possibilidades. 159 3° freguês: Resta para freguês apenas: 1 prato, 1 acompanhamento, 1 bebida Podemos ainda combinar as possibilidades de todos os fregueses, veja: (3³ = (3 2 1)³ = (3!)³ combinações.AULA 3 PERMUTAÇÃO SIMPLES Resumo Permutar significa trocar a ordem dos elementos que formam um todo com obje- tivo de obter uma nova configuração. Nos problemas de contagem, a permutação pode ser associada à ideia de embaralhar, ou seja, rearranjar objetos em diferentes posições. Em um conjunto de elementos, chamamos de permutação simples um agrupamento ordenado dos elementos. Logo, número de permutações simples de n elementos pode ser dado por: A permutação com repetição é quando existem elementos que se repetem. número de permutações de n elementos, em que o número de ocorrências de cada elemento repetido, é dado por: Exemplo número total de anagramas das letras da palavra OSSOS é dado por: 5! 5.4.3! 20 = = = 10 5 2!3! 2.1.3! 2 160AULA 3 Exercícios resolvidos 1 Considerando a palavra MATEMÁTICA: a) obtenha número total de anagramas que podem ser formados com todas as letras dessa palavra. Para organizar as letras da palavra "MATEMÁTICA", devemos considerar as repeti- ções das letras 'M', 'A' e 'T'. (considere a palavra sem acento) Total de letras (n): 10 M 2 vezes; A 3 vezes e T 2 vezes Portanto, 10! P = = = 151200 2!3!2! 2.6.2 24 Há formas diferentes de organizar as letras da palavra "MATEMÁTICA". b) quantos desses anagramas apresentam as letras 'EIC' juntas? Como os anagramas devem apresentar as letras EIC juntas, podemos conside- rá-las como formando um só bloco, isto é (novamente desconsiderando acento da palavra): Assim, teremos que fazer a permutação das "oito" letras, sendo que as letras EIC devem ficar juntas não necessariamente nesta ordem (deveremos permutar essas 3 letras). Além disso, há repetição de letras: T - aparece 2 vezes M aparece 2 vezes A aparece 3 vezes Cálculo do número total de anagramas: = 8! 40320 = 4 Portanto, há 10 080 anagramas da palavra "MATEMÁTICA" que apresentam as letras "EIC" juntas. 1612 Uma empresa de marketing está criando um logotipo composto por 9 quadrados coloridos e de mesmo tamanho dispostos em uma linha. Eles têm 3 quadrados ver- melhos, 3 quadrados azuis e 3 quadrados verdes. De quantas maneiras diferentes esses 9 quadrados podem ser posicionados lado a lado em sequência? Esse é um problema de permutação com repetição, em que alguns dos itens são indistinguíveis entre si. Temos que: (total de quadrados) = 3 (quadrados vermelhos) = 3 (quadrados azuis) (quadrados verdes) Portanto, número de maneiras de arranjar os quadrados pode ser calculado por: 9! 60 480 = = = 1680 3!3!3! 3.2.1.3.2.1 36 Portanto, há 1680 maneiras diferentes de arranjar os 9 quadrados coloridos lado a lado. Na prática Atividade 1 Em uma estante, há livros de três gêneros, sendo 4 de romance, 3 de drama e 5 de suspense, todos eles diferentes entre si. 1 Quantas são as possibilidades de arrumá-los lado a lado se não houver restrições? Para encontrarmos quantas são as possibilidades de organizar os livros sem restrições, será neces- sário inicialmente encontrarmos total destes, que é igual a: Como não há restrições para organizar os livros, podemos seguir princípio multiplicativo; assim, teremos: Logo, há possibilidades de arrumar os livros na estante. 162AULA 3 2 Quantas são as possibilidades dos livros de um mesmo gênero permanecerem juntos? Existem maneiras de permutar os três blocos. Para bloco de romances, existem 4! maneiras de permutá-los. Para bloco de dramas, existem maneiras de permutá-los. Para bloco de suspenses (5 livros), existem 5! maneiras de permutá-los. Logo, número total de maneiras de organizar os livros com os gêneros juntos será: 4! 5! 6 24 6 120 Atividade 2 Imagine que você é responsável por organizar uma fila de alunos em uma atividade extracurricular. grupo consiste em 13 pessoas de diferentes idades. 1 De quantas maneiras você pode organizar essa fila? Para calcular de quantas maneiras diferentes os alunos podem se organizar na fila, sem conside- rar nenhuma restrição, podemos usar conceito de permutação simples. Como há 13 pessoas, a resposta é 13!. Portanto: = Logo, há 6 227 020 800 maneiras diferentes de organizar a fila. 2 Agora considere que entre essas pessoas, 5 são idosos e os outros são jovens. Se os idosos têm prioridade na fila, de quantas maneiras os alunos podem se organi- zar mantendo os idosos sempre à frente? Agora, se os idosos têm prioridade na fila, precisamos garantir que eles estejam sempre à frente. Vamos considerar primeiro quantos idosos estão presentes no grupo e depois organizar os alunos restantes. Se são 5 idosos, teremos 8 jovens. Seguindo a ordem, teremos a permutação entre os 5 idosos e depois entre os 8 jovens. Logo, Portanto, há maneiras diferentes de organizar a fila mantendo os idosos sempre à frente. 163Atividade Anagrama de uma palavra é qualquer reorganização de todas as letras dessa palavra. Responda: 1 Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra VESTIBULAR? Considerando que a palavra possui 10 letras, e não há restrições para formar os anagramas, será necessário calcular ou seja, 10!. Assim, 9 8 7 6 5 4 3 2 3 Logo, podemos formar anagramas. 2 Desses, quantos começam com a letra "V" e terminam com "R"? Se fixarmos a letra "V" na primeira posição e a letra "R" na última posição, restarão 8 letras no meio para serem arranjadas. As letras restantes são: S, I, U, L, A. número de permutações dessas 8 letras é dado por 8!: Portanto, há 40320 anagramas de "vestibular" que começam com V e terminam com R. 3 Quantos começam com uma vogal? As vogais em "vestibular" são: I, U, A (4 vogais). Para cada vogal escolhida como primeira letra, temos 9 letras restantes para formar um anagrama. Portanto, para cada escolha da vogal inicial, temos 9! anagramas possíveis. Como há 4 vogais, total de anagramas começados por uma vogal é: 4 9! 4 Portanto, há anagramas de "vestibular" que começam por uma vogal. Aprofundando 1 (UNIFESP 2006) As permutações das letras da palavra PROVA foram listadas em ordem alfabética, como se fossem palavras de cinco letras em um dicionário. A palavra nessa lista é: Primeiramente, temos que determinar os anagramas iniciados pela letra A, ou seja: a) PROVA Depois, os anagramas iniciados com a letra O: b) VAPOR agora, os anagramas iniciados pela letra P: Assim, encontramos um total de: 24+24+24=72 palavras listadas em ordem alfabética. 164 A próxima letra a iniciar essa sequência será a letra R, seguida da letra A. Logo, a primeira pala- vra com R será a ou seja: RAOPV.AULA 3 c) RAPOV d) ROVAP e) RAOPV 2 (ENEM 2014) Um cliente de uma videolocadora tem hábito de alugar dois filmes por vez. Quando os devolve, sempre pega outros dois filmes e assim sucessiva- mente. Ele soube que a videolocadora recebeu alguns lançamentos, sendo 8 fil- mes de ação, 5 de comédia e 3 de drama e, por isso, estabeleceu uma estratégia para ver todos esses 16 lançamentos. Inicialmente alugará, em cada vez, um filme de ação e um de comédia. Quando se esgotarem as possibilidades de comédia, cliente alugará um filme de ação e um de drama, até que todos os lançamentos sejam vistos e sem que nenhum filme seja repetido. De quantas formas distintas a estratégia desse cliente poderá ser posta em prática? a) Para alugar todos os 16 lançamentos de filmes, serão necessárias 8 locações, pois só é pos- sível escolher dois filmes por vez. b) 8!x5!x3! Considerando as 8 locações possíveis, temos um total de possibilidades dado por: 8!x5!x3! número de formas diferentes para alugar os 5 filmes de comédia, nas 5 primeiras locações, é de: 2⁸ 8!x5!x3! Para alugar os 3 filmes de drama, nas últimas 3 locações, encontramos um total de: d) 2² Logo, número de formas distintas é de: 16! e) 8! 5! 2⁸ 165AULA 4 REVISÃO Resumo Princípio multiplicativo da contagem Se sabemos que um evento ocorre em etapas independentes e sucessivas, denomi- nadas como e e sabemos também que ocorre de m maneiras e de n maneiras, podemos determinar que esse acontecimento ocorrerá de m n maneiras. Exemplo Considere que em um restaurante são oferecidos, em dias frios, caldo e sopa. Em to- dos os casos é oferecida uma porção de proteína, que pode ser escolhida entre frango, carne bovina ou carne suína, e uma opção de bebida, que pode ser refresco ou água mineral. Observe as combinações possíveis. Refresco Frango Água mineiral Carne Refresco Caldo bovina Água mineiral Carne suína Refresco Água mineiral Refresco Frango Água mineiral Carne Refresco Sopa bovina Água mineiral Carne suína Refresco Água mineiral 166REVISÃO Assim, pelo princípio multiplicativo, temos que existe um total de: 2 3 2 = 12 possibilidades Pois existem 2 opções de prato principal (sopa ou caldo), 3 opções de proteína (frango, carne bovina ou carne suína) e duas opções de bebidas (refresco ou água mineral). 1. De acordo com as opções apresentadas no enunciado, há 7 modelos de carros, 2 tipos de motores, 8 opcionais (pois podemos escolher 1, 2, 3 ou nenhum) e X cores. Dessa forma, pelo princípio multi- Exercícios plicativo da contagem, temos que: 1000 Portanto, a quantidade mínima 1000 de cores que a montadora deverá 112 disponibilizar é 9 cores. 1 (ENEM 2022 Adaptada) Uma montadora de automóveis divulgou que oferta a seus clientes mais de configurações diferentes de carro, variando modelo, a motorização, os opcionais e a cor do veículo. Atualmente, ela oferece 7 modelos de carros com 2 tipos de motores: 1.0 e 1.6. Já em relação aos opcionais, existem 3 es- colhas possíveis: central multimídia, rodas de liga leve e bancos de couro, podendo cliente optar por incluir um, dois, três ou nenhum dos opcionais disponíveis. Para ser fiel à divulgação feita, a quantidade mínima de cores que a montadora deverá disponibilizar a seus clientes é: a) 8 c) 11 e) 24 b) 9 d) 18 2. Utilizando princípio multiplicativo da contagem, temos que, para cada uma das 4 camisas, existem 3 2 Para a realização de uma viagem de curta duração, uma pessoa colocou em sua mala 3 calças, 4 camisas e 2 pares de sapatos. Quantas são as combinações possí- veis considerando a escolha por uma calça, uma camisa e um par de sapatos? opções de calça e 2 opções de sapato. Dessa forma: 4 3 2 = 24. Logo, há 24 possibilidades de combinar essa quantidade de calças, camisas e sapatos. 3 (AVANÇASP 2023) Em uma repartição pública trabalham 12 homens e 8 mulheres. número máximo de duplas distintas que se pode formar contendo apenas um homem e uma mulher dessa repartição é igual a: a) 84 3. Considerando 12 72 princípio multiplicativo e) 96 máximo de duplas homens e 8 mulheres da contagem, podemos distintas é de: b) 50 e, ainda, com auxílio do d) 68 determinar que número 12 8 96 4 Para uma semana de promoções, uma sorveteria disponibilizou 15 sabores diferentes de sorvete, que podem ser combinados com 3 tipos de caldas (morango chocolate caramelo) e ainda com 2 tipos de granulados (nozes e castanhas de caju). De quantas maneiras é possível combinar uma bola de sorvete, uma calda e um granulado? 4. Do enunciado, temos que existem 15 sabores de sorvetes, 3 tipos de caldas e 2 tipos de granula- dos; logo, pelo princípio multiplicativo da contagem, temos que: 15.3.2=90 Durante a semana de promoções, a sorveteria contará com 90 maneiras diferentes de combinar os 167 sabores dos sorvetes, caldas e granulados.AULA 5 ARRANJOS SIMPLES Resumo No contexto da análise combinatória, os arranjos simples se referem a um agrupa- mento de elementos de um conjunto de n elementos, onde a ordem dos elementos selecionados é importante e não há repetição de elementos. Definição: Seja um conjunto com n elementos, um arranjo simples desses n elementos, de a p, é qualquer agrupamento ordenado de p elementos distintos escolhidos entre os n possíveis. Generalizando, temos: = n! com n N*, ≤ A partir da definição de arranjo simples, podemos considerar que: Exercícios resolvidos 1 Considerando uma equipe de 7 atletas, precisa-se escolher 3 deles para formar um trio de revezamento. De quantas maneiras diferentes esse trio pode ser escolhido, considerando que a ordem dos atletas no trio importa? 168AULA 5 Para formar um trio de revezamento de 3 atletas a partir de 7 atletas, onde a ordem importa, utilizaremos conceito de arranjo simples: n! (n-p)! Sendo, n = 7 e = 3, teremos: 7! 7! (7-3)! 4! 4! Portanto, há 210 maneiras diferentes de formar trio de revezamento. 2 Uma startup tem 30 membros. A diretoria é formada por um presidente, um vi- ce-presidente, um secretário e um tesoureiro. Se uma pessoa pode ocupar apenas um desses cargos, de quantas maneiras diferentes é possível formar uma diretoria? Essa atividade será resolvida de 2 maneiras, usando princípio fundamental da contagem e usando a fórmula para cálculo de arranjos, depois serão comparadas as resoluções. (A) Usando princípio fundamental da contagem: Para formar a diretoria, temos quatro cargos a serem preenchidos: presidente, vi- ce-presidente, secretário e tesoureiro. Cada membro do clube pode ocupar apenas um cargo. 1. Escolha do presidente: temos 30 opções para escolher presidente. 2. Escolha do vice-presidente: após escolher presidente, restam 29 membros para escolher vice-presidente. 3. Escolha do secretário: após escolher presidente e vice-presidente, restam 28 membros para escolher secretário. 4. Escolha do tesoureiro: após escolher presidente, vice-presidente e secretário, restam 27 membros para escolher tesoureiro. Pelo princípio fundamental da contagem, multiplicamos número de opções para cada cargo: 30 29 28 27 720 Portanto, há 657 720 maneiras diferentes de formar a diretoria usando princípio fundamental da contagem. 169(B) Utilizando Arranjo Simples: Temos que: n = 30 (membros da startup) e (cargos a serem preenchidos). Assim, 30! 30! = = = 30 26! 26! Ambas as abordagens levam ao mesmo resultado. Na prática Atividade 1 Um grupo de 3 amigos, Bernardo, Arthur e Miguel, combinou de assistir a um filme na casa de Arthur. Na residência, havia um sofá de 5 lugares. De quantas maneiras eles podem sentar-se nesse sofá? Estamos interessados na ordem em que os amigos Bernardo, Arthur e Miguel podem ocupar os lu- gares disponíveis em um sofá de 5 lugares. Para tanto, utilizamos arranjo simples, nesse caso, n =5 5! 5! 60 2! 2.1 Portanto, há 60 maneiras diferentes em que Bernardo, Arthur e Miguel podem se sentar no sofá de 5 lugares na casa de Arthur. 170AULA 5 Atividade 2 Considere que os números de 1 a foram utilizados para criptografia e segurança de um sistema. 1 Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados utilizando os dígitos 2, 3, 4, 5, 6 e 7? Para calcular quantos números de três algarismos distintos podem ser formados com os dígitos 2, 3, 4, 5, 6 e 7, devemos usar arranjos, pois a ordem dos dígitos importa neste caso. Podemos utilizar arranjo simples, então total de números de três algarismos distintos que podemos formar é: Portanto, 120 números, sem repetições, podem ser formados. 2 É possível descobrir quantos números distintos e sem repetições entre eles são formados ao utilizar os algarismos 2, 3, 4, 5, 6 e 7? Agora, para calcular número total de números distintos que podem ser formados entre 1 e 1000 com esses dígitos, precisamos considerar todas as combinações possíveis de 1 a 3 dígitos: 1 algarismo: Podemos escolher 6 dígitos diferentes (2, 3, 4, 5, 6, 7), ou seja, temos 6 números de um algarismo. 2 algarismos: Escolhemos 2 dígitos diferentes dentre os 6 disponíveis. A ordem importa, então é um arranjo simples de 6 elementos tomados 2 a 2: 3 algarismos: Já calculamos que há 120 números de três algarismos distintos. Adicionando todas essas possibilidades, temos o total de números distintos e sem repetições entre 100 e Portanto, é possível formar 156 números distintos e sem repetições entre 100 e 1711. A quantidade total de jogos do campeonato é dada pelo arranjo de 20 times tomados 2 a 2. Assim, temos: 20! 18! Atividade Como existem 6 times paulistas, número de maneiras de escolher 2 times paulistas para um jogo é dado por um arranjo simples Suponha que queremos criar uma senha usando exatamente 4 letras do alfabeto inglês (26 letras). A senha deve ser única, ou seja, cada arranjo de letras deve ser conside- rado diferente dependendo da ordem das letras. Quantas senhas diferentes podemos criar usando exatamente 4 letras do alfabeto inglês? Nesse caso a ordem importa para determinarmos as senhas distintas. Logo, podemos utilizar ar- ranjo simples, pois estamos interessados na disposição ordenada de 4 elementos (letras) dentre os 26 disponíveis. 26! 26! 22! 22! Portanto, há senhas diferentes que podem ser criadas usando exatamente 4 letras do alfa- beto inglês, onde a ordem das letras na senha é relevante. 6! Portanto, há 15 jogos nos quais ambos os times adversários são paulistas. Aprofundando A porcentagem de jogos do campeonato nos quais os dois times são paulistas é dada por: 30 0,079 ou 7,9% 380 1 (FUVEST 2013) Vinte times de futebol disputam a Série A do Campeonato Brasileiro, sendo seis deles paulistas. Cada time joga duas vezes contra cada um dos seus ad- versários. A porcentagem de jogos nos quais os dois oponentes são paulistas é: a) menor que 7%. d) maior que 13%, mas menor que 16%. b maior que 7%, mas menor que 10%. e) maior que 16%. maior que 10%, mas menor que 13%. 2 (ENEM 2020) Um determinado campeonato de futebol, composto por 20 times, é disputado no sistema de pontos corridos. Nesse sistema, cada time joga contra to- dos os demais times em dois turnos, isto é, cada time joga duas partidas com cada um dos outros times, sendo que cada jogo pode terminar empatado ou haver um vencedor. Sabendo-se que, nesse campeonato, ocorreram 126 empates, número de jogos em que houve ganhador é igual a: a) 64 b) 74 c 254 d) 274 e) 634 2. Para calcular o número total de jogos, consideramos que Sabendo que ocorreram 126 empates, subtraímos o número de cada par de times joga duas partidas: empates do número total de jogos para encontrar o número de jogos em que houve um ganhador. 20! 380 = 18! Portanto, número de jogos em que houve um ganhador no 172 Inicialmente, há 380 jogos no campeonato. campeonato é 254.AULA 6 COMBINAÇÃO SIMPLES Resumo Para identificar que uma situação-problema deve ser resolvida com combinação, é importante compreender contexto do problema e os elementos envolvidos. Em particu- lar, deve-se observar se a ordem dos elementos não importa na formação dos conjuntos. Definição: Considere um conjunto de n elementos. Chamamos de combinação simples dos n elementos distintos tomados p a p, um subconjunto de elementos esco- entre n possíveis. n! Ou seja, n é o número total de elementos do conjunto; p é número de elementos a serem escolhidos. Problemas de combinação envolvem formação de subconjuntos a partir dos elemen- tos de um conjunto dado. 173Exercícios resolvidos 1 Uma empresa possui 15 projetos em andamento e precisa escolher 6 desses pro- jetos para serem apresentados em uma reunião de diretoria. De quantas maneiras diferentes a empresa pode escolher esses 6 projetos? Como a ordem dos 6 projetos a serem escolhidos não importa, temos um problema de combinação. Assim, número total de maneiras é: 15! 15! 3603600 = 5005 6!(15-6)! 6!9! 6!9! 720 Há 5 005 maneiras diferentes de escolher 6 projetos dentre 15. 2 Durante uma festa de aniversário, há 15 tipos diferentes de balões coloridos. anfitrião deseja escolher 2 tipos de balões para decorar a entrada principal, 3 tipos de balões para decorar a mesa do bolo, e 4 tipos de balões para decorar a pista de dança. Quantas combinações diferentes de balões podem ser escolhidas para decorar todas essas áreas da festa? Devemos calcular número de maneiras possíveis de escolher 2 tipos de balões dentre os 15 disponíveis para a entrada principal, 3 tipos entre os 15 para a mesa do bolo e 4 tipos entre os 15 para a pista de dança. Entrada Principal: Como a ordem em que os balões são escolhidos não importa (isto é, a combinação "tipo 1 e tipo 2" é a mesma que "tipo 2 e tipo 1"), usamos com- binação simples. Sendo n = 15 e temos: 15! 210 = = = 105 2!13! 2 Mesa do Bolo: anfitrião precisa escolher 3 tipos de balões de um total de 15. 15! 15! 2730 = 455 3!(15 3!12! 6 174AULA 6 Pista de Dança: anfitrião precisa escolher 4 tipos de balões de um total de 15. 15! 15! = = = 1365 4!11! 24 Como cada escolha de balões para cada área é independente das outras, número total de combinações diferentes é produto das combinações para cada área: Substituindo os valores calculados, temos: anfitrião pode escolher de 875 maneiras diferentes os balões para decorar a entrada principal, a mesa do bolo e a pista de dança durante a festa. Na prática Atividade 1 Imagine que você está organizando uma competição de equipes em um evento esportivo. Cada equipe deve ser formada por um número específico de jogadores escolhidos de um grupo maior de participantes. Vamos explorar diferentes cenários usando combinações. 1 Você precisa formar equipes de 4 jogadores a partir de um total de 30 participan- tes. De quantas maneiras essas equipes podem ser formadas? representa número de maneiras diferentes de escolher 4 jogadores de um grupo de 30. Vamos calcular isso: = 4!(30-4)! 30! = Portanto, existem 27 405 maneiras diferentes de formar uma equipe de 4 jogadores a partir de 30 participantes. 2 Imagine que você precisa selecionar dois representantes para cada uma das duas equipes finalistas do torneio. A primeira equipe finalista é composta por 20 jogado- res e a segunda, por 10 jogadores. De quantas maneiras esses 4 jogadores podem ser escolhidos? Podemos multiplicar as duas combinações para tanto temos: ZU! IV! Portanto, há 8 550 maneiras diferentes de selecionar dois representantes para cada uma das duas equipes finalistas. 1753 Precisamos escolher todos os jogadores de uma equipe de n participantes. representa número de maneiras de escolher todos os jogadores de um grupo de n par- ticipantes. Isso é simplesmente 1, porque há apenas uma maneira de escolher todos os jogadores disponíveis: Sendo = 1, podemos continuar, assim: n!1! Atividade 2 Um torneio de xadrez está sendo organizado com 8 participantes. Se forem seleciona- dos 3 participantes para um jogo em equipe, de quantas maneiras diferentes os parti- cipantes podem ser escolhidos para formar uma equipe? Para determinar de quantas maneiras diferentes os 3 participantes podem ser escolhidos para for- mar uma equipe, usamos a fórmula de combinação: 3.2.1 Portanto, há 56 maneiras diferentes de escolher uma equipe de 3 participantes a partir dos 8 parti- cipantes disponíveis para torneio de xadrez. Atividade 3 Elabore um problema envolvendo conceito de combinação simples, de modo que possua um conjunto de 30 elementos, tomados 4 a 4. Resposta pessoal. Sugestão de solução: Uma professora está organizando uma gincana de matemática para alunos do Ensino Médio. Deverão ser formadas equipes de quatro alunos para competir na gincana. Se há um total de 30 alunos interessados em participar das atividades, quantas diferentes equipes podem ser formadas? Para isso, calcule: 405 176A ordem das escolhas não importa. Devemos escolher 3 brasileiros dentre os 8 existentes e 2 estrangeiros dentre os 6 existentes, logo: AULA 6 Aprofundando Portanto, são 840 comissões que podem ser formadas. 1 (ENEM 2022) Numa embaixada trabalham 8 brasileiros e 6 estrangeiros. Quantas comissões de 5 funcionários podem ser formadas, devendo cada comissão ser constituída de 3 brasileiros e 2 estrangeiros? a) 780 840 b) 800 e) 600 750 2 (ENEM 2018) Salão do Automóvel de São Paulo é um evento no qual vários fabricantes expõem seus modelos mais recentes de veículos, mostrando, princi- palmente, suas inovações em design e tecnologia. Uma montadora pretende parti- cipar desse evento com dois estandes, um na entrada e outro na região central do salão, expondo, em cada um deles, um carro compacto e uma caminhonete. Para compor os estandes, foram disponibilizados pela montadora quatro carros com- pactos, de modelos distintos, e seis caminhonetes de diferentes cores para serem escolhidos aqueles que serão expostos. A posição dos carros dentro de cada es- tande é irrelevante. Uma expressão que fornece a quantidade de maneiras diferen- tes que os estandes podem ser compostos é: Para determinar a quantidade de maneiras diferentes que os estan- a) des podem ser compostos, é necessário considerar todas as combi- nações possíveis de carros compactos e caminhonetes para ambos b) os estandes. Carros compactos: Para os carros compactos, temos 4 mode- los distintos e precisamos escolher 2 para compor os estandes. A quantidade de maneiras de escolher 2 carros entre 4 é dada d) X 2 2 por: 4! e) X C6,2 Caminhonetes: Para as caminhonetes, temos 6 modelos distin- tos e precisamos escolher 2 para compor os estandes. A quan- tidade de maneiras de escolher 2 caminhonetes entre 6 é dada 6! 6.5 por: = 15 2.1 Para cada par de carros compactos escolhidos, temos 2 estandes onde podemos colocá-los, ou seja, 2 maneiras de distribuir os 2 car- ros compactos entre os 2 estandes. Portanto, para cada combinação de carros compactos, há maneiras de distribuir esses carros nos estandes. A quantidade total de maneiras é produto das combinações e das distribuições: 2 2 360. 177AULA 7 CONCEITO DE PROBABILIDADE Resumo Em relação ao número que indica a probabilidade, é importante observar que: A probabilidade da ocorrência de um evento é um valor que varia entre 0 e 1, em que: Probabilidade igual a 0 indica evento impossível; Probabilidade igual a 1 indica evento Dado um evento A, sua probabilidade será a razão entre número de casos favorá- veis e número de casos possíveis, ou seja: Números de casos favoráveis Probabilidade de um evento A = Número total casos possíveis A probabilidade pode ser representada na forma fracionária, decimal ou porcentagem. Exemplo No lançamento de uma moeda há dois resultados possíveis cara ou coroa -, sendo ambos igualmente possíveis de acontecer. Assim, a probabilidade de resultar cara, por exemplo, é de 1 0,5 = 50%. 2 178AULA Exercícios resolvidos 1 A roleta a seguir possui 8 partes iguais, cada parte está dividida com valores de R$ 100,00, 200,00, R$ 300,00, R$ 400,00, 500,00, $ 700,00, R$ 800,00, R$1000 a) Qual é a probabilidade de obter R$ ao girar R$400 a roleta. R$800 Como a roleta possui 8 partes iguais, ou seja, 8 valores, a probabilidade de resultar ao girar é de 1 em 8, ou seja, 1 0,125 = 12,5%. KATEMANGOSTAR/FREEPIK 8 b) Todos os valores possuem a mesma probabilidade de serem sorteados? Sim. Como todos os setores circulares são do mesmo tamanho, ao girar a roleta to- dos têm a mesma probabilidade de serem sorteados, ou seja, de 12,5%. 2 Em um recipiente foram colocadas 20 balas iguais que se diferenciam apenas pelo sabor: 3 de morango, 3 de cereja, 3 de menta, 5 de uva e 6 de limão. a) Quais são os possíveis sabores de balas que podem ser sorteadas desse recipiente? Morango, cereja, menta, uva e limão. b) Qual é sabor de bala em maior quantidade nesse recipiente? Esse sabor tem a maior probabilidade de ser sorteado? sabor de limão. Sim, pois temos 6 situações favoráveis em 20 possíveis, ou 6 0,3 30% 20 179Todos os sabores de balas têm a mesma probabilidade de serem sorteados? Não, apenas morango, cereja e menta têm as mesmas probabilidades de serem sorteados. Veja: 3 3 6 Morango: -=0,15=15% Menta: =0,15=15% Limão: 20 20 20 3 5 Cereja: -=0,15=15% Uva: 0,25 25% 20 20 Na prática Atividade 1 Vamos supor que você tem duas opções de aposta para a Mega-Sena. Na primeira opção, você aposta nas dezenas 13, 16, 17, 34, 41 e 47. Na segunda opção, você aposta nas dezenas 4, 17, 35, 41, 46 e 55. Você sabe que as primeiras dezenas fo- ram sorteadas no concurso de 2024, enquanto as segundas dezenas ainda não foram sorteadas em nenhum concurso. Qual das duas opções você acha que tem mais probabilidade de ser sorteada num novo concurso? As duas sequências possuem a mesma probabilidade, pois se trata de um evento aleatório, e as chances são as mesmas. Cada número em um sorteio da Mega-Sena tem a mesma probabilidade teórica de ser sorteado, independentemente de ter sido ou não sorteado anteriormente. Atividade 2 departamento de controle de qualidade de uma fábrica de roupas realizou uma ins- peção em um lote de camisetas produzidas em um determinado dia. Durante a inspeção, foram encontradas 24 camisetas com defeitos. Além disso, foram categoriza- dos os tipos de defeitos encontrados da seguinte forma: 10 camisetas com costura irregular; 8 camisetas com manchas de tinta; 6 camisetas com etiquetas faltando. 180AULA 1 Se for selecionada uma camiseta ao acaso nesse lote, qual é a probabilidade de ser uma camiseta com defeito? 24 Se for selecionada uma camiseta ao acaso nesse lote, a probabilidade é de 0,024 2,4%. 2 Qual é a probabilidade de que uma camiseta com defeito selecionada ao acaso tenha um defeito de costura irregular? A probabilidade de que uma camiseta com defeito selecionada ao acaso tenha um defeito de cos- tura irregular é de: 10 0,4166... = 41,66%. 24 Atividade Um grupo de estudantes está realizando um experimento em sua aula de Matemática para estudar a probabilidade de diferentes resultados ao lançar moedas. Eles usam 3 moedas idênticas e realizam uma série de lançamentos simultâneos. Os resultados possíveis para cada lançamento são: cara (C) ou coroa (K). Qual é a probabilidade de obter exatamente 2 caras e 1 coroa em um único lançamento das 3 moedas? Para lançamento das três moedas são resultados possíveis: {CCC, CCK, CKK, KKC, CKC, KCK, KKK}. Os resultados favoráveis com exatamente 2 caras e 1 coroa são: CKC, KCC}. A probabilidade será dada pela razão entre os resultados favoráveis e os resultados possíveis, logo: 3 8 181Aprofundando 1 (SARESP 2011) Para uma atividade da aula de Matemática, a professora trouxe uma caixa com fitas métricas de quatro cores diferentes: 2 amarelas, 20 azuis, 2 verdes e 15 rosa. Cada aluno vai receber uma fita métrica selecionada ao acaso pela pro- fessora, ou seja, a professora vai pegar uma fita dentro da caixa sem olhar a cor e entregar ao aluno. Luiza será a primeira a receber a fita. A cor mais provável da fita que Luiza vai receber é: Considerando que ao todo temos 39 cores, obtemos por meio da a) Amarela. frequência de ocorrências: b) Verde. 2 Amarela: Verde: 2 39 39 Azul. 20 15 Azul: Rosa: d) Rosa. 39 39 Comparando as frações, temos que a cor azul é a mais provável. e) Nenhuma das alternativas. 2 (ENEM 2010) Em uma reserva florestal existem 263 espécies de peixes, 122 es- pécies de mamíferos, 93 espécies de répteis, espécies de borboletas e 656 espécies de aves. Se uma espécie animal for capturada ao acaso, qual a probabili- dade de ser uma borboleta? a) 63,31% Considerando total de espécies de 2 266 animais, a probabilidade b) 60,18% de sair uma borboleta será a divisão do total de borboletas pelo total das espécies. Logo, teremos: 56,52% 1132 = 0,499558.. 49,96% d) 49,96% e) 43,27% A probabilidade de ser capturada uma borboleta é de 49,96%. 182AULA PROBABILIDADE: 8 ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTOS PARTE1 Resumo A palavra probabilidade é derivada do latim probare, que significa "provar" ou "tes- tar". No contexto matemático, probabilidade é um conceito fundamental que quantifica a incerteza. A probabilidade nos permite expressar numericamente a chance de diferentes eventos acontecerem, auxiliando na tomada de decisões em situações de incerteza. Para compreender melhor a probabilidade, é essencial entender alguns conceitos. São eles: Espaço amostral é o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. É representado pela letra grega Ω (lê-se ômega) ou S. Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral (S) de um experimento aleatório. Por ser um subconjunto, é possível a existência de diversos eventos relacionados a um mesmo espaço amostral. Exemplo Se no lançamento de um dado queremos o resultado par, temos: Espaço amostral: {1,2,3,4,5,6} Evento: {2, 4, 6} 183Exercícios resolvidos 1 Considerando lançamento de dois dados e respectivamente, tem-se es- paço amostral, como mostra quadro a seguir: B 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) A 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,5) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Descreva cada um dos seguintes eventos: a) a soma dos resultados é 8. resultado numa face é triplo do resultado da outra. Considerando que uma face é triplo Para que a soma das faces seja da outra, mas que não há uma ordem igual a 8 teremos que considerar específica entre os dados, teremos seguinte evento: seguinte subconjunto: {(2, 6),(3, 5),(4, 4),(5, 3),(6, 2)} {(1, 3),(2, 6),(3, 1),(6, 2)} b) ocorrer resultado menor que 3 nos d) a soma dos resultados é maior dois dados. que 12. A soma máxima ao lançar dois da- Para ocorrer face menor que três em dos de seis faces é 12, então não há ambos os dados, devemos considerar: pares (i,j) cuja soma seja maior que 12. Logo, esse evento é impossível. Representamos por {}. 184AULA 8 2 Um número é escolhido ao acaso, entre os 35 inteiros de 1 a 35. Responda: a) Qual espaço amostral? espaço amostral é formado por todos elementos do conjunto; nesse caso, todos os números inteiros de 1 a 35: S = {1,2,3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35}. b) Descreva evento A: número escolhido ser primo. evento A (número escolhido ser primo) é: = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31}. Descreva evento B: número escolhido ser quadrado perfeito. evento B (número escolhido ser quadrado perfeito) é: Na prática Atividade 1 lançamento de um dado não viciado 2 Evento B: "o número é primo". é um experimento aleatório com espaço amostral Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A partir deste, determine: evento número é primo" compreende os elementos 2, 3 e 5, isto é: B = {2, 3, 5}. 1 Evento A: número é múltiplo de 2". 3 Evento C: "o número é par". Considerando espaço amostral Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} temos que: evento A número é múltiplo de 2" é composto pelos elementos 2, 4 e 6, isto é: evento C"o número é par" é formado pelos A = {2, 4, 6}. elementos 2, 4 e 6, isto é: = {2, 4, 6}. 185Atividade 2 Uma urna contém 9 bolas, das quais cinco são brancas (numeradas de 1 a 5) e quatro são pretas (numeradas de 6 a 9). Nesse contexto, determine: 1 espaço amostral S; Nomeando as bolas brancas de e as bolas pretas de P6' e temos que: espaço amostral compreende todos os possíveis resultados desse experimento aleatório; logo, é dado pelo conjunto S = P6' 2 evento A "bola branca"; evento A "bola branca" é subconjunto formado apenas pelas bolas brancas. Logo, A = 3 o evento B "bola preta numerada em algarismo ímpar"; evento B "bola preta numerada em algarismo ímpar" se restringe a apenas os elementos e logo, é subconjunto B = 4 evento c "bola com número menor que seis". evento "bola com número menor que seis, isto é: 186AULA 8 Atividade Uma moeda é lançada três vezes sucessivamente. Observa-se a sequência das faces encontradas para cara (C) e para coroa (K). Determine: 1 espaço amostral; lançamento de uma moeda pode resultar em dois resultados: a face voltada para cima ter símbolo de cara (C) ou de coroa (K). lançamento lançamento lançamento lançamento Cara Cara C, C) Cara Coroa Coroa C, K) Cara K, C) Coroa K, K) Coroa Cara Cara (K, C) Coroa Coroa (K, C, K) Cara (K, K, C) Coroa (K, K, K) Logo, espaço amostral é S = {(C, C),(C, C, K, C),(C, K, K),(K, C, C),(K, K),(K, K, C),(K, K, K)}. 2 o evento A "ocorrer no mínimo uma coroa"; evento A "ocorrer no mínimo uma coroa" é dado por: A = {(C, K),(C, K, C),(C, K, K),(K, C, C),(K, C, K),(K, K, C),(K, K, K)}. 3 evento B "ocorrer no máximo uma cara". evento B "ocorrer no máximo uma cara" é dado por: = {(C, K, K),(K, K),(K, K, C)}. 187Atividade 4 Um baralho comum é composto por 52 cartas. Estas são divididas em quatro naipes: paus, espada, copas e ouro, respectivamente, conforme imagem a seguir: 10 10 : ? : 10 9 10 REPRODUÇÃO/RAWPIXEL.COM Escolhe-se uma carta aleatoriamente do naipe de copas. Descreva esse evento. Retirar uma carta do naipe de copas consiste no evento composto apenas por essa representação, ou seja, A = Atividade 5 Em um experimento aleatório, dois dados são lançados ao mesmo tempo para obser- var os números obtidos nas faces. 188AULA 8 Nesse contexto, determine: 1 espaço amostral; Sabemos que cada dado tem seis faces. Representando todos eles, temos: S 1),(1, 2),(1, 3),(1, 4),(1, 5),(1, 6),(2, 1),(2, 2),(2, 3),(2, 4),(2, 5),(2, 6),(3, 1),(3, 2),(3, 3),(3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1),(4, 2),(4, 3),(4, 4),(4, 5), (4, 6),(5, 1),(5, 2),(5, 3),(5, 4),(5, 5),(5, 6), (6, 1),(6, 2),(6, 3),(6, 4), (6, 5),(6, 6)} 2 evento "obter soma dos números igual a 7"; evento A consiste em obter uma soma igual a 7 ao lançar os dois dados. Dessa forma, é formado por todas as combinações possíveis que resultam em uma soma de 7, isto é: A {(1, 6),(2, 5),(3, 4),(4, 3),(5, 2),(6, 1)} Portanto, evento A tem 6 elementos. 3 o evento B "ocorrer soma dos números maior que 12". Note que a soma máxima é 12 (combinando 6 e 6), então não existem combinações possíveis que resultem em uma soma maior que 12. Portanto, evento B é um conjunto vazio, ou seja: B={}. 1.0 espaço amostral Sé conjunto de todas as vagas numeradas de 1 a 99: S Portanto, o espaço amostral contém 99 elementos. Os números pares entre 1 e 99 formam uma progressão aritmética com 0 primeiro termo 2, último termo 98 e razão 2. Podemos encontrar número de termos n Aprofundando dessa progressão usando a fórmula do enésimo termo da progressão aritmética: Substituindo os valores: Resolvendo para n: 98 2 -> 98 2n 49 Portanto, há 49 vagas pares. 1 2022 Adaptada) As vagas de um estacionamento estão numeradas de 1 a 99. Todas as vagas com número ímpar estão ocupadas, e as demais estão vazias. Seleciona-se uma vaga par, qual tamanho desse evento? a) 48 d) 51 b) 49 e) 98 c) 50 1892 (OBMEP 2010 Adaptada) Carolina 3 2011 Adaptada) Três amigas tem três cartões brancos numerados possuem, cada uma, três blusas: uma de 1 a 3 e três cartões pretos, também amarela, uma branca e uma preta. Se numerados de 1 a 3. Ela escolheu, ao cada amiga escolher ao acaso uma de acaso, um cartão branco e um preto. suas blusas, qual é a razão entre to- Quantos elementos possui evento tal de elementos do espaço amostral "soma dos números dos cartões esco- e evento "cores das blusas escolhi- ser par"? das serem todas diferentes"? a) 4 1 b a) 5 9 6 2 b) 9 d) 7 9 e) 9 2 3 d) 27 27 e) 4 2. Quando Carolina escolhe um cartão branco e um cartão preto, cada combinação possível dos cartões branco e preto pode ser representada como (B,P), onde B = cartão branco e P = cartão preto. espaço amostral consiste em todas essas combinações, logo: = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}. A soma dos números dos cartões escolhidos deve ser um número par. Essa condição é atendida quando ambos os núme- ros são pares ou ambos são ímpares. Portanto, temos: A = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (3, 3)}. Resultando em um total de 5 elementos. 3. Cada amiga tem três opções de blusa: amarela (A), branca (B) e preta (P). Quando cada uma escolhe uma blusa, há então 3 3 3 = 27 combinações possíveis. Vamos representar as amigas como A, e Então, as combinações de blusas escolhidas podem ser representadas como um triplo são as cores das blusas escolhidas por A2 e respectivamente. Para que as cores das blusas escolhidas sejam todas diferentes, cada amiga deve escolher uma cor diferente. As possíveis ternas em que todas as cores são diferentes são: (A, P); (A, B); P); A); (P, B); (P, A). Existem, então, 6 ternas em que as cores das blusas são todas diferentes. Portanto, a razão procurada é: 27 9 62 190AULA PROBABILIDADE: 9 ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTOS PARTE2 Resumo conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é de- nominado espaço amostral, e seus subconjuntos são denominados eventos. Por vezes, espaço amostral e evento, não são formados ou descritos por meio de conjuntos discretos. Evento não discreto: os eventos são descritos por intervalos contínuos, que caracteriza espaço amostral como não discreto. Na prática Atividade 1 Suponha que você e seu melhor amigo estejam em uma fila para acessar uma montanha-russa em um parque de di- espaço amostral é formado por todas as possibilidades de posicionamento na fila. versões. Quando entram na fila, há 4 Assim, podemos utilizar a análise combina- pessoas na frente, e é de seu interesse tória, especificamente a permutação simples, continuar com sua dupla para que juntos para encontrar a quantidade total de possi- bilidades de posicionamento na fila, ou seja: usufruam do brinquedo. Determine: Logo, há 720 maneiras de organizar seis pessoas na fila. 1 número de maneiras possíveis de organizar as 6 pessoas na fila, sem que os amigos fiquem juntos. 1912 o número de elementos do evento Atividade A: "você e seu melhor amigo permanecerem juntos". Em um jogo, primeiro momento consiste em retirar quatro cartas de um baralho padrão composto por cinquenta e duas cartas. Sabe-se que a organização desse Para encontrarmos evento A "você e seu baralho é dada por quatro naipes distin- melhor amigo permanecerem juntos", deve- mos inicialmente considerar a posição dos tos (paus, ouros, copas e espadas). dois amigos como sendo apenas uma a per- Ao iniciar a partida, Mariana afirmou que mutar com os demais, assim: 5! Ainda temos a possibilidade de você e seu número de elementos do espaço amos- amigo mudarem de lugar entre si, que consiste tral desse experimento aleatório é dez em duas opções, isto vezes maior que evento "retirar quatro esse evento tem um total de elementos igual a: n(A) 240 cartas do naipe de copas". Sobre essa afirmação, podemos julgá-la como VERDADEIRA ou FALSA? Justifique. Atividade 2 Uma caixa contém cento e cinquenta bolas, Primeiro, vejamos quantas maneiras existem de escolher 4 cartas de um baralho composto das quais dez apresentam algum defeito. por 52 cartas: Um experimento aleatório consiste em 52! selecionar aleatoriamente oito bolas dessa caixa e verificar se são defeituosas ou não. Determine número de elementos do espaço amostral desse experimento. 24 A quantidade de maneiras de escolher 4 car- Nesse contexto, estamos escolhendo 8 bolas tas do naipe de copas é dada por dentre as 150, levando em conta que 10 são defeituosas. Por não existir uma ordem na po- 13! sição das bolas retiradas, utilizamos a combi- nação simples para determinar número de elementos desse espaço amostral. Logo: 4!.9! 150! 8!142! 150! 715 24 8!142! Assim, concluímos que a afirmação de Mariana é FALSA, pois n{S} não equivale a dez vezes n{E} 715. 8! Assim, n(S) 192AULA 9 Atividade 4 Atividade 5 Em um experimento aleatório, considera- A altura dos estudantes de uma turma do -se uma caixa com as 23 letras do alfa- primeiro ano do ensino médio compôs os beto dispostas em pequenos retângulos dados de um experimento aleatório. coloridos de madeira. Nesse caso, descreva: Admitindo a retirada de duas destas a) espaço amostral; peças por vez, qual tamanho do espaço b) evento A "altura menor que 170 cm"; amostral formado pelos anagramas? evento M "altura entre 160 cm e 180 cm"; Como explicitado, alfabeto utilizado possui d) evento T "altura maior que 180 cm". 23 letras. Devemos relembrar que anagra- mas são possíveis reorganizações das letras; assim, AB é diferente de Podemos concluir que: a) espaço amostral pode ser definido como Nesse sentido, a ordem faz diferença na a linha real positiva S > 0}, pois quantificação desse espaço amostral, por a altura não pode assumir valores negativos isso devemos calcular arranjo de 23 peças ou nulos. tomadas duas a duas, ou seja: b) evento A "altura menor que 170 cm" 23! 23.22.21! compreende intervalo indicado por: = 21! c) evento M "altura de entre 160 cm e 180 cm" é descrito pelo intervalo Assim, podemos concluir que esse espaço amostral é composto por 506 elementos. d) evento T "altura maior que 180 cm" é intervalo Observação: aqui temos exemplos de espaço amostral e eventos não discretos. Aprofundando 1 (UERJ Simulado 2018 Adaptada) Dez cartões com as letras da palavra "envelhe- cer" foram colocados sobre uma mesa com as letras viradas para cima, conforme indicado abaixo. E 1 > H E E c E N 193Em seguida, fizeram-se os seguintes procedimentos com os cartões: 1 foram virados para baixo, ocultando-se as letras; 2 foram embaralhados; 1. Considerando os dez cartões com as letras da palavra "envelhecer" e agrupamento de quatro 3 foram alinhados ao acaso; elementos, temos que o espaço amostral possui um total de 4 foram desvirados, formando um anagrama. 10! Observe um exemplo de anagrama: 4! VEEERCNHLE Organiza-se essas letras em grupos de quatro elementos; nesse sentido, o tamanho do espaço amostral, assim como a quantidade de elementos do evento "o anagrama formado por quatro vogais juntas (EEEE)", respectivamente, são iguais a: a) e n(E) d) n(S) e n(E) b) n(S) e n(E) 10 080 e) n(S) = e n(E) c) n(S) e n(E) 2 2015 Adaptada) Para a primeira fase de um torneio internacional de fu- tebol foram classificadas 3 equipes espanholas, 2 francesas, 1 alemã, 1 portuguesa e 1 italiana. Nessa fase, serão realizadas quatro partidas, com os confrontos defini- dos por sorteio. Em seguida, duas semifinais serão realizadas com as quatro equi- pes vencedoras da primeira fase, também com os confrontos definidos por sorteio. As duas equipes vencedoras jogarão a partida final. a) Considerando as duas equipes que se enfrentarão na final, quantos são os elemen- tos que compõem esse espaço amostral? b) Admitindo que em cada confronto do torneio as equipes têm, todas, iguais chan- ces de ganhar, qual o tamanho do evento E "final do torneio ser realizada por duas equipes de um mesmo país"? 2. a) Admitindo que em cada confronto do torneio as equipes têm, todas, iguais Já número de anagramas que chances de ganhar, temos que oito equipes irão se enfrentar, duas a duas. Logo, a compõe evento anagrama quantidade de elementos desse espaço amostral é encontrada calculando já formado por quatro vogais juntas que a ordem não faz diferença. (EEEE)" é dado por 8! 8.7 7!, pois deve-se manter fixa 2 a organização: (EEEE)VRCNHL Dessa forma, chegamos à conclu- b) evento "final do torneio ser realizada por duas equipes de um mesmo país" pode são de que: ocorrer caso as duas equipes francesas se encontrem (1 possibilidade). Outra opção envolve as 3 equipes espanholas, que, se combinadas duas a duas, geram um total de: n(S) e n(E) Assim, esse evento é composto por quatro elementos, isto é, n(E) 4. 194AULA 10 CÁLCULO DE PARTE1 Resumo A probabilidade de ocorrência de um evento E é obtida pelo quociente entre número de resultados favoráveis do evento e o número total de resultados possíveis do correspon- dente espaço amostral (S). P(E) = número número de de resultados resultados favoráveis possíveis ou P n(E) n(S) Dado um evento (E) de um espaço amostral equiprovável, em que as probabilidades dos eventos simples são todas iguais, para qualquer finito e não vazio, temos: Exercícios resolvidos 1 Sorteia-se ao acaso uma letra da palavra VESTIBULAR. Qual a probabilidade de se obter: a) vogal? b) consoante? Para resolver problema de probabilidade de sortear uma letra da palavra "VESTIBULAR", vamos primeiro identificar as letras que compõem essa palavra e classificá-las como vogais e consoantes. A palavra "VESTIBULAR" é composta pelas letras: espaço amostral é: S = ou seja, 10 letras. 195As vogais na palavra são: I, Portanto, conjunto de vogais é: A = {E, I, U}. Número de vogais = 4 P(vogal) 4 40% 10 As consoantes na palavra são: V,S,T,B,L,R. Portanto, conjunto de consoantes é: B = {V, S, T, L, R}. Número de consoantes = 6 P(consoante) 6 0,6 = 60% 10 2 (IME 2019) Em um jogo de RPG "Role-Playing Game" em que os jogadores lançam um par de dados para determinar a vitória ou a derrota quando se confrontam em duelos, os dados são icosaedros regulares com faces numeradas de 1 a 20. Vence quem soma mais pontos na rolagem dos dados e, em caso de empate, os dois perdem. Em um confronto, seu adversário somou 35 pontos na rolagem de dados. É sua vez de rolar os dados. Qual sua chance de vencer este duelo? Para determinar a sua chance de vencer duelo no RPG em uma situação em que você está prestes a rolar dois dados de 20 faces (icosaedros) e seu oponente já ob- teve 35 pontos, precisamos calcular a probabilidade de você obter uma soma maior que 35 pontos. Espaço amostral: os números que podem ser obtidos ao lançar dois dados de 20 faces variam de 2 (menor soma possível) até 40 (maior soma possível). Sendo que cada dado pode mostrar qualquer número de 1 a 20, há 20 20 = 400 combinações possíveis. Evento: obter uma soma maior que 35. Logo, todas as possíveis combinações nas quais a soma entre os dois dados seja maior que 35 são: (16, 20), (17, (17, 20), (18, 18), (18, 19), (18, 20), (19, 17), (19, 18), (19, 19), (19, 20), (20, 16), (20, 17), (20, 18), (20,19), (20,20). Ao realizar lançamento, se você tirar um número igual ou menor que 15, então jogo já está perdido. Contudo, Se tirar 16, no outro dado precisa sair 20 (1 caso). Se tirar 17, no outro precisa sair 20 ou 19 (2 casos). Se tirar 18, no outro precisa sair 18, 19 ou 20 (3 casos). Se tirar 19, no outro precisa sair 17, 18, 19 ou 20 (4 casos). 196AULA 10 Se tirar 20, no outro precisa sair 16, 17, 18, 19 ou 20 (5 casos). Ao todo, Portanto, a probabilidade é: P(obter uma soma maior que 35 pontos) = 15 = 3 = 0,0375 = 3,75% 400 80 Na prática Atividade 1 Partindo da definição de probabilidade: 1 Pedro ganhe prêmio. número de resultados favoráveis P(E) número de resultados possíveis Qual a probabilidade de lançarmos um dado com 8 faces (numerado de 1 a 8) e Dos 25 números vendidos, 5 são múltiplos de 5. Assim, a probabilidade de que Pedro ganhe é obtermos um número par? 5 1 20%. 25 5 4 1 50% 8 2 Dos 8 resultados possíveis, 4 são números pares (2, 4, 6, 8). Logo, a probabilidade de se obter um 2 João ganhe prêmio. número par é de 4 1 50%. 8 2 Atividade 2 Em uma pequena rifa online, foram vendidos números de 1 a 25. João comprou todos os Dos 25 números vendidos, 13 são ímpares. Assim, a números ímpares, enquanto Pedro comprou probabilidade de que João ganhe 52%. 25 100 todos os números múltiplos de 5. Sabendo que apenas um número será sorteado para decidir prêmio da rifa, determine a probabilidade de que 197Atividade (PIC OBMEP) Um casal decidiu que terão 4 filhos. que é mais provável: que tenham dois casais ou três filhos de um sexo e um de outro? É mais provável ter três filhos de um sexo (50%) e um de outro que dois casais (37,5%). Para cada filho, há duas possibilidades (menino ou menina). Assim, com 4 filhos, tem-se 2 2 2 2 = 16 casos possíveis. Ter exatamente 2 meninos e 2 meninas consiste em combinar total de filhos desejados dois a dois, logo, como = 2!(4-2)! 4! 6, a probabilidade de que esse evento ocorra é de 16 6 37,5%. No segundo caso, é possível que se tenha três meninos e uma menina, ou três meninas e um menino. Cada um desses cenários representa uma combinação de quatro tomados três a três. Assim, como 3!(4-3)! 4! 8, a probabilidade de que esse evento ocorra é de 16 8 50%. Atividade 4 Uma pesquisa sobre prática de atividades 2 ser escolhido um aluno da série? físicas será realizada por amostragem. Para isso, a escola disponibilizou a seguinte tabela, na qual está disposta a distribuição dos estudantes por ano do Ensino Médio. A probabilidade de escolher um aluno da Série série é de 162 = 81 488 244 Total de 180 162 146 estudantes Escolhendo-se ao acaso um estudante, 3 ser escolhido um aluno da série? qual a probabilidade de: 1 ser escolhido um aluno da série? Há, ao todo, 488 alunos no Ensino A probabilidade de escolher um aluno da Médio. Assim: 146 73 série é de = 488 244 A probabilidade de escolher um aluno da série é de 180 = 45 488 122 198AULA 10 Aprofundando 1 (ENEM 2011) Todo país passa pela primeira fase de campanha de vacinação contra a gripe suína (H1N1). Segundo um médico infectologista do Instituto Emílio Ribas, de São Paulo, a imunização "deve mudar", no país, a história da epidemia. Com a vacina, de acordo com ele, Brasil tem a chance de barrar uma tendência do crescimento da doença, que já matou 17 mil no mundo. A tabela apresenta da- dos específicos de um único posto de vacinação. Campanha de vacinação contra a gripe suína Quantidade de Datas da vacinação Público-alvo pessoas vacinadas Trabalhadores da saúde 8 a 19 de março 42 e indigenas 22 de março a 2 de abril Portadores de doenças crônicas 22 Adultos saudáveis entre 20 e 5 a 23 de abril 56 29 anos 24 de abril a 7 de maio População com mais de 60 anos 30 Adultos saudáveis entre 30 e 10 a 21 de maio 50 39 anos Escolhendo-se aleatoriamente uma pessoa atendida nesse posto de vacinação, a probabilidade de ela ser portadora de doença crônica é: a) 8% b) 9% 11% d) 12% e) 22% 1992 (ENEM 2017) A figura ilustra uma partida de Campo Minado, o jogo presente em praticamente todo computador pessoal. Quatro quadrados em um tabuleiro 16 X 16 foram abertos, e os números em suas faces indicam quantos dos seus 8 vizinhos contêm minas (a serem evitadas). o número 40 no canto inferior direito é número total de minas no tabuleiro, cujas posições foram escolhidas ao acaso, de forma uni- forme, antes de se abrir qualquer quadrado. Em sua próxima jogada, jogador deve escolher, dentre os quadrados marcados com as letras P, Q, R, S e T, um para abrir, sendo que deve escolher aquele com a menor probabilidade de conter uma mina. o jogador deverá abrir quadrado marcado com a letra: a) P b Q R d) S e) T 2 1 P Q R 3 T 4 S 109 40 3 (FAMERP 2024) A face correspondente ao número 1 de um dado comum de seis faces foi apagada. o mesmo ocorreu com a face correspondente ao número 4 de outro dado comum de seis faces. Lançando-se ao acaso esses dois dados juntos, a probabilidade de a soma dos números obtidos ser igual a 7 é de 1 1 a) d) 3 12 1 1 b) e) 4 9 1 6 200