Encontre a derivada de f(x) = x^3 ln(x). A) 3x^2 ln(x) + x^2 B) 3x^2 ln(x) - x^2 C) 2x^2 ln(x) + 3x D) 3x^2 ln(x) + 3x^2

Para encontrar a derivada da função \( f(x) = x^3 \ln(x) \), vamos usar a regra do produto, que afirma que a derivada de um produto de duas funções \( u(x) \) e \( v(x) \) é dada por: \[ f'(x) = u'v + uv' \] Neste caso, temos: - \( u = x^3 \) e \( u' = 3x^2 \) - \( v = \ln(x) \) e \( v' = \frac{1}{x} \) Agora, aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = (3x^2)(\ln(x)) + (x^3)\left(\frac{1}{x}\right) \] Simplificando a segunda parte: \[ f'(x) = 3x^2 \ln(x) + x^2 \] Portanto, a derivada de \( f(x) = x^3 \ln(x) \) é: \[ f'(x) = 3x^2 \ln(x) + x^2 \] Assim, a alternativa correta é a) 3x^2 ln(x) + x^2.