MODULO 3

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GEOMETRIA
PLANA
 
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14 
 
1. (Enem) O dono de um sítio pretende 
colocar uma haste de sustentação para melhor 
firmar dois postes de comprimentos iguais a 
6m e 4m. A figura representa a situação real 
na qual os postes são descritos pelos 
segmentos AC e BD e a haste é representada 
pelo EF, todos perpendiculares ao solo, que é 
indicado pelo segmento de reta AB. Os 
segmentos AD e BC representam cabos de 
aço que serão instalados. 
 
 
 
Qual deve ser o valor do comprimento da 
haste EF? 
a) 1m 
b) 2 m 
c) 2,4 m 
d) 3 m 
e) 2 6 m 
 
2. (Enem) No projeto de arborização de uma 
praça está prevista a construção de um 
canteiro circular. Esse canteiro será 
constituído de uma área central e de uma faixa 
circular ao seu redor, conforme ilustra a figura. 
 
 
 
Deseja-se que a área central seja igual à área 
da faixa circular sombreada. 
 
A relação entre os raios do canteiro (R) e da 
área central (r) deverá ser 
a) R 2r 
b) R r 2 
c) 
2r 2r
R
2

 
d) 2R r 2r  
e) 
3
R r
2
 
 
3. (Ufjf) Marcos comprou a quantidade mínima 
de piso para colocar em toda a sua sala que 
tem o formato abaixo e pagou R$ 48,00 o 
metro quadrado. 
 
 
 
Quanto ele gastou comprando o piso para 
essa sala? 
a) R$ 288,00 
b) R$ 672,00 
c) R$ 1.152,00 
d) R$ 1.440,00 
e) R$ 2.304,00 
 
4. (Udesc) Um filtro de ar automotivo é 
fabricado dobrando-se uma folha retangular de 
papel filtro em formato de sanfona (uma dobra 
para cima e outra para baixo repetidamente) e, 
posteriormente, unindo-se duas laterais 
opostas dessa folha, de modo a formar uma 
superfície, conforme a representada na figura 
abaixo. 
 
 
 
Considere como "raio interno" a distância do 
centro do cilindro até as pontas interiores das 
dobras e "raio externo" a distância do centro 
até as pontas externas. 
 
p 
15 
Um filtro específico é fabricado "sanfonando" o 
papel 6 vezes (6 dobras para dentro e 6 
dobras para fora), sem sobreposição das 
extremidades do papel que são unidas para 
formar a superfície da figura. Sabendo que 
esse filtro tem raio interno de 3 cm, raio 
externo de 6 cm, e altura de 10 cm, a área 
superficial desse filtro é de: 
a) 2360 5 2 3 cm 
b) 2360 5 3 cm 
c) 2720 3 cm 
d) 2720 2 cm 
e) 2360 13 2 3 cm 
 
5. (Insper) Duas cidades X e Y são 
interligadas pela rodovia R101, que é retilínea 
e apresenta 300 km de extensão. A 160 km de 
X, à beira da R101, fica a cidade Z, por onde 
passa a rodovia R102, também retilínea e 
perpendicular à R101. Está sendo construída 
uma nova rodovia retilínea, a R103, que ligará 
X à capital do estado. A nova rodovia 
interceptará a R102 no ponto P, distante 120 
km da cidade Z. 
 
 
 
O governo está planejando, após a conclusão 
da obra, construir uma estrada ligando a 
cidade Y até a R103. A menor extensão, em 
quilômetros, que esta ligação poderá ter é 
a) 250. 
b) 240. 
c) 225. 
d) 200. 
e) 180. 
 
6. (Enem) Uma família fez uma festa de 
aniversário e enfeitou o local da festa com 
bandeirinhas de papel. Essas bandeirinhas 
foram feitas da seguinte maneira: inicialmente, 
recortaram as folhas de papel em forma de 
quadrado, como mostra a Figura 1. Em 
seguida, dobraram as folhas quadradas ao 
meio sobrepondo os lados BC e AD, de 
modo que C e D coincidam, e o mesmo 
ocorra com A e B, conforme ilustrado na 
Figura 2. Marcaram os pontos médios O e N, 
dos lados FG e AF, respectivamente, e o 
ponto M do lado AD, de modo que AM seja 
igual a um quarto de AD. A seguir, fizeram 
cortes sobre as linhas pontilhadas ao longo da 
folha dobrada. 
 
 
 
Após os cortes, a folha e aberta e a 
bandeirinha esta pronta. 
 
A figura que representa a forma da 
bandeirinha pronta é 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
7. (Enem) Um senhor, pai de dois filhos, 
deseja comprar dois terrenos, com áreas de 
mesma medida, um para cada filho. Um dos 
terrenos visitados já está demarcado e, 
embora não tenha um formato convencional 
(como se observa na Figura B), agradou ao 
 
p 
16 
filho mais velho e, por isso, foi comprado. O 
filho mais novo possui um projeto arquitetônico 
de uma casa que quer construir, mas, para 
isso, precisa de um terreno na forma 
retangular (como mostrado na Figura A) cujo 
comprimento seja 7 m maior do que a largura. 
 
 
 
Para satisfazer o filho mais novo, esse senhor 
precisa encontrar um terreno retangular cujas 
medidas, em metro, do comprimento e da 
largura sejam iguais, respectivamente, a 
a) 7,5 e 14,5. 
b) 9,0 e 16,0. 
c) 9,3 e 16,3. 
d) 10,0 e 17,0. 
e) 13,5 e 20,5. 
 
8. (Enem) Em canteiros de obras de 
construção civil é comum perceber 
trabalhadores realizando medidas de 
comprimento e de ângulos e fazendo 
demarcações por onde a obra deve começar 
ou se erguer. Em um desses canteiros foram 
feitas algumas marcas no chão plano. Foi 
possível perceber que, das seis estacas 
colocadas, três eram vértices de um triângulo 
retângulo e as outras três eram os pontos 
médios dos lados desse triângulo, conforme 
pode ser visto na figura, em que as estacas 
foram indicadas por letras. 
 
 
 
A região demarcada pelas estacas A, B, M e N 
deveria ser calçada com concreto. 
Nessas condições, a área a ser calcada 
corresponde 
a) a mesma בrea do triגngulo AMC. 
b) a mesma área do triângulo BNC. 
c) a metade da área formada pelo triângulo 
ABC. 
d) ao dobro da área do triângulo MNC. 
e) ao triplo da área do triângulo MNC. 
 
9. (Ufu) Dois irmãos herdaram um terreno 
que, conforme consta no registro de imóvel, 
pode ser representado pelo triângulo retângulo 
ABC da figura a seguir. 
 
 
 
Os irmãos pretendem murar esse terreno e, ao 
mesmo tempo, dividi-lo por um muro, 
representado pelo segmento AD, em dois 
terrenos triangulares de mesma área. O preço 
de construção do metro quadrado de muro foi 
orçado em R$ 90,00, e em toda extensão o 
muro terá 3 m de altura. 
 
A parte inteira do custo da construção do 
muro, em milhares de reais, é 
a) 25. 
b) 23. 
c) 24. 
d) 26. 
 
10. (Enem) Uma criança deseja criar 
triângulos utilizando palitos de fósforo de 
mesmo comprimento. Cada triângulo será 
construído com exatamente 17 palitos e pelo 
menos um dos lados do triângulo deve ter o 
comprimento de exatamente 6 palitos. A 
figura ilustra um triângulo construído com 
essas características. 
 
 
 
A quantidade máxima de triângulos não 
congruentes dois a dois que podem ser 
construídos é 
a) 3. 
b) 5. 
c) 6. 
d) 8. 
e) 10. 
 
p 
17 
11. (Enem) Em sua vez de jogar, um jogador 
precisa dar uma tacada na bola branca, de 
forma a acertar a bola 9 e fazê-la cair em uma 
das caçapas de uma mesa de bilhar. Como a 
bola 8 encontra-se entre a bola branca e a 
bola 9, esse jogador adota a estratégia de dar 
uma tacada na bola branca em direção a uma 
das laterais da mesa, de forma que, ao 
rebater, ela saia em uma trajetória retilínea, 
formando um ângulo de 90 com a trajetória 
da tacada, conforme ilustrado na figura. 
 
 
 
Com essa estratégia, o jogador conseguiu 
encaçapar a bola 9. Considere um sistema 
cartesiano de eixos sobre o plano da mesa, no 
qual o ponto de contato da bola com a mesa 
define sua posição nesse sistema. As 
coordenadas do ponto que representa a bola 
9 são (3; 3), o centro da caçapa de destino 
tem coordenadas (6; 0) e a abscissa da bola 
branca é 0,5, como representados na figura. 
 
Se a estratégia deu certo, a ordenada da 
posição original da bola branca era 
a) 1,3. 
b) 1,5. 
c) 2,1. 
d) 2,2. 
e) 2,5. 
 
12. (epcar) Considere os círculos abaixo, de 
centro O e raio 4R, cujos diâmetros são 
divididos em oito partes iguais. Sabe-se que 
todos os arcos traçados nas quatro figuras são 
arcos de circunferência cujos diâmetros estão 
contidos no segmento AB. 
 
 
 
 
 
Sobre as áreas I II IIIS , S ,S e IVS hachuradas 
nas figuras (I),(II), (III) e (IV), respectivamente, 
pode-se afirmar que 
a) I II III IVS S S S   
b) III IS S 
c) IV II
1
S S
2
 
d) II IIIS S 
 
13. (Enem) Para uma alimentação saudável, 
recomenda-se ingerir, em relação ao total de 
calorias diárias, 60% de carboidratos, 10% 
de proteínas e 30% de gorduras. Uma 
nutricionista, para melhorar a visualização 
dessas porcentagens, quer dispor esses 
dados em um polígono. Ela pode fazer isso em 
um triângulo equilátero, um losango, um 
pentágono regular, um hexágono regular ou 
um octógono regular, desde que o polígono 
seja dividido em regiões cujas áreas sejam 
proporcionais às porcentagens mencionadas. 
Ela desenhou as seguintes figuras: 
 
 
 
Entre esses polígonos, o único que satisfaz as 
condições necessárias para representar a 
 
p 
18 
ingestão correta de diferentes tipos de 
alimentos é o 
a) triângulo. 
b) losango. 
c) pentágono. 
d) hexágono. 
e) octógono. 
 
14. (Puccamp) Os lados de uma folha 
retangular ABCD de papel medem 10 cm e 
6 cm, como indica a Figura 1. Essa folha, que 
é branca de um dos lados e cinza do outro, 
será dobrada perfeitamente de tal forma que o 
vértice A irá coincidir com o vértice C, como 
mostra a Figura 2. 
 
 
 
A área do trapézio cinza indicado na Figura 2, 
em 2cm , é igual a 
a) 23. 
b) 30. 
c) 25. 
d) 40. 
e) 45. 
 
15. (Enem) A fotografia mostra uma turista 
aparentemente beijando a esfinge de Gizé, no 
Egito. A figura a seguir mostra como, na 
verdade, foram posicionadas a câmera 
fotográfica, a turista e a esfinge. 
 
 
 
 
Medindo-se com uma régua diretamente na 
fotografia, verifica-se que a medida do queixo 
até o alto da cabeça da turista é igual a 
2
3
 da 
medida do queixo da esfinge até o alto da sua 
cabeça. Considere que essas medidas na 
realidade são representadas por d e d', 
respectivamente, que a distância da esfinge à 
lente da câmera fotográfica, localizada no 
plano horizontal do queixo da turista e da 
esfinge, é representada por b, e que a 
distância da turista à mesma lente, por a. 
A razão entre b e a será dada por 
a) 
b d'
a c
 
b) 
b 2d
a 3c
 
c) 
b 3d'
a 2c
 
d) 
b 2d'
a 3c
 
e) 
b 2d'
a c
 
 
16. (Puccamp) A figura abaixo é a reprodução 
de uma obra de Mondrian. 
 
 
 
Junto a alguns lados dos retângulos estão 
marcadas referências às medidas de seus 
lados. A soma das áreas dos retângulos I e II 
corresponde, da área do retângulo III, 
aproximadamente, a 
 
p 
19 
a) 78%. 
b) 86%. 
c) 81%. 
d) 92%. 
e) 74%. 
 
17. (cps) Os condutos forçados em uma usina 
hidrelétrica são, na maioria dos casos, 
tubulações cilíndricas, que escoam o líquido 
sob uma pressão diferente da atmosfera. 
Na imagem, temos a representação da secção 
transversal de um conduto forçado cilíndrico, 
na qual as circunferências são concêntricas 
(centro no ponto C) e a região ocupada entre a 
circunferência maior e a circunferência menor 
é chamada de coroa circular. 
 
 
 
Sabendo que, o raio da circunferência maior 
mede 15 metros e o raio da circunferência 
menor mede 10 metros, podemos afirmar que 
a área da coroa circular é, em 2m , 
 
Lembre-se de que: 
- Área do círculo 2rπ 
- Adote 3π  
a) 75. 
b) 125. 
c) 225. 
d) 375. 
e) 675. 
 
18. (Ucs) Uma escada está apoiada em uma 
parede a uma altura de 16 m do solo plano. A 
distância do pé da escada até a parede é igual 
a 12 m. O centro de gravidade da escada está 
a um terço do comprimento dela, medido a 
partir do seu apoio no chão. Nessa situação, o 
comprimento da escada e a altura aproximada 
do seu centro de gravidade até o chão são, 
respectivamente, iguais a 
a) 20 m e 5,3 m. 
b) 20 m e 6,6 m. 
c) 28 m e 9,3 m. 
d) 56 m e 5,3 m. 
e) 56 m e 2,6 m. 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Considere o texto e o esquema para 
responder a(s) questão(ões). 
 
Para se transpor um curso de água ou uma 
depressão de terreno pode-se construir uma 
ponte. 
Na imagem, vemos uma ponte estaiada, um 
tipo de ponte suspensa por cabos (estais) 
fixados em mastros. 
 
 
 
O esquema apresenta parte da estrutura de 
uma ponte estaiada do tipo denominado 
harpa, pois os estais são paralelos entre si. 
Cada estai tem uma extremidade fixada no 
mastro e a outra extremidade no tabuleiro da 
ponte (onde estão as vias de circulação). 
 
 
 
No esquema, considere que: 
- as retas AB e BC são perpendiculares entre 
si; 
- os segmentos AC e DE são paralelos entre 
si e representam estais subsequentes; 
- AB 75 m, BC 100 m e AD 6 m; e, 
- no mastro dessa ponte, a partir do ponto A 
em sentido ao ponto B, as extremidades dos 
estais estão fixadas e distribuídas a iguais 
distâncias entre si. 
 
19. (cps) De acordo com as informações 
relativas ao esquema, o número máximo de 
estais que estão fixados do ponto A ao ponto 
B e que têm a outra extremidade na semirreta 
BC é 
 
p 
20 
a) 7. 
b) 9. 
c) 11. 
d) 13. 
e) 15. 
 
20. (Ufrgs) Considere um quadrado de lado 
1. Foram construídos dois círculos de raio R 
com centros em dois vértices opostos do 
quadrado e tangentes entre si; dois outros 
círculos de raio r com centros nos outros dois 
vértices do quadrado e tangentes aos círculos 
de raio R, como ilustra a figura abaixo. 
 
 
 
A área da região sombreada é 
a) 
2
1 .
2
π
 
  
 
 
b) ( 2 1) .π 
c) 
1
1 2 .
2
π
   
 
 
d) 1 ( 2 1) .π  
e) 
2
1 1 .
2
π
 
   
 
 
 
21. (cps) Os parques eólicos marítimos 
apresentam vantagens em relação aos 
parques eólicos terrestres, pois neles não há 
problema com o impacto sonoro e o desgaste 
das turbinas é menor, devido a menor 
turbulência do vento. 
 
Na instalação dos parques eólicos marítimos, 
é preciso calcular sua distância até o 
continente, a fim de instalar os cabos 
condutores de eletricidade. 
 
 
 
Observe o esquema que representa um 
parque eólico (A), uma estação elétrica (B) 
no continente e pontos auxiliares C, D e E 
para o cálculo da distância do parque eólico 
até a estação elétrica no continente. 
 
 
 
No esquema temos: 
- Ponto A : parque eólico marítimo; 
- Ponto B : estação elétrica no continente; 
- Ponto C : ponto auxiliar (C AB); 
- Ponto D : ponto auxiliar (D AE); 
- Ponto E : ponto auxiliar; 
- A medida do segmento CD é 150 metros; 
- A medida do segmento BC é 100 metros; 
- A medida do segmento BE é 200 metros; 
- Os segmentos CD e BE são paralelos entre 
si. 
 
Assim sendo, é correto afirmar que a distância 
do parque eólico marítimo até a estação 
elétrica no continente é, em metros, 
a) 75. 
b) 100. 
c) 300. 
d) 400. 
e) 425. 
 
22. (Enem) A figura é uma representação 
simplificada do carrossel de um parque de 
diversões, visto de cima. Nessa 
representação, os cavalos estão identificados 
pelos pontos escuros, e ocupam 
circunferências de raios 3 m e 4 m, 
respectivamente, ambas centradas no ponto 
O. Em cada sessão de funcionamento, o 
carrossel efetua 10 voltas. 
 
p 
21 
 
 
Quantos metros uma criança sentada no 
cavalo 1C percorrerá a mais do que uma 
criança no cavalo 2C , em uma sessão? Use 
3,0 como aproximação para .π 
a) 55,5 
b) 60,0 
c) 175,5 
d) 235,5 
e) 240,0 
 
23. (Ufrgs) Na figura abaixo, três discos P, Q 
e R, de mesmo raio, são construídos de 
maneira que P e R são tangentes entre si e o 
centro de Q é ponto de tangência entre P e 
R. O quadrilátero sombreado ABCD têm 
vértices nos centros dos discos P e R e em 
dois pontos de interseção de Q com P e R. 
 
 
 
Se o raio do disco P é 5, a área do 
quadrilátero ABCD é 
a) 5 3. 
b) 25. 
c) 50. 
d) 25 3. 
e) 75. 
 
24. (Enem) Tradicionalmente uma pizza 
média de formato circular tem diâmetro de 
30 cm e é dividida em 8 fatias iguais (mesma 
área). Uma família, ao sereunir para o jantar, 
fará uma pizza de formato circular e pretende 
dividi-la em 10 fatias também iguais. 
Entretanto, eles desejam que cada fatia dessa 
pizza tenha o mesmo tamanho (mesma área) 
de cada fatia da pizza média quando dividida 
em 8 fatias iguais. 
 
Qual o valor mais próximo do raio com que 
deve ser feita a pizza, em centímetro, para que 
eles consigam dividi-Ia da forma pretendida? 
Use 2,2 como aproximação para 5. 
a) 15,00 
b) 16,50 
c) 18,75 
d) 33,00 
e) 37,50 
 
25. (Famerp) Em uma circunferência 
trigonométrica de centro C e origem dos 
arcos em O, foram marcados os pontos P e 
Q, sendo que as medidas dos arcos OP e 
OQ são iguais, respectivamente, a α e 2 ,α 
conforme indica a figura. 
 
 
 
Sabendo-se que Q' é a projeção ortogonal de 
Q sobre o eixo y, que λ é uma 
semicircunferência de diâmetro CQ' e que 
1
sen ,
3
α  a área da região colorida na figura 
é 
a) 
7
36
π
 
b) 
31
162
π
 
c) 
5
27
π
 
d) 
65
324
π
 
e) 
16
81
π
 
 
 
p 
22 
26. (Enem) Uma família resolveu comprar um 
imóvel num bairro cujas ruas estão 
representadas na figura. As ruas com nomes 
de letras são paralelas entre si e 
perpendiculares às ruas identificadas com 
números. Todos os quarteirões são 
quadrados, com as mesmas medidas, e todas 
as ruas têm a mesma largura, permitindo 
caminhar somente nas direções vertical e 
horizontal. Desconsidere a largura das ruas. 
 
 
 
A família pretende que esse imóvel tenha a 
mesma distância de percurso até o local de 
trabalho da mãe, localizado na rua 6 com a rua 
E, o consultório do pai, na rua 2 com a rua E, e 
a escola das crianças, na rua 4 com a rua A. 
 
Com base nesses dados, o imóvel que atende 
as pretensões da família deverá ser localizado 
no encontro das ruas 
a) 3 e C. 
b) 4 e C. 
c) 4 e D. 
d) 4 e E. 
e) 5 e C. 
 
27. (Pucrs) Em muitas igrejas e casas antigas 
de Porto Alegre, podemos observar janelas de 
forma retangular encimadas por um 
semicírculo, como na figura. 
 
 
 
Considerando que a parte retangular da figura 
possui x cm na base e altura correspondente 
a uma vez e meia essa medida, a função em 
que A f(x) e que determina a área total da 
janela, em 2cm , é 
a) 2 21,5x rπ 
b) 2(1,5 )xπ 
c) 21,5x
8
π
 
d) 21,5 x
8
π  
 
 
e) 21,5 x
8
π
 
 
28. (epcar) Um terreno com formato de um 
triângulo retângulo será dividido em dois lotes 
por uma cerca feita na mediatriz da 
hipotenusa, conforme mostra figura. 
 
 
 
Sabe-se que os lados AB e BC desse 
terreno medem, respectivamente, 80 m e 
100 m. Assim, a razão entre o perímetro do 
lote I e o perímetro do lote II, nessa ordem, é 
a) 
5
3
 
b) 
10
11
 
c) 
3
5
 
d) 
11
10
 
 
29. (Enem) Um marceneiro está construindo 
um material didático que corresponde ao 
encaixe de peças de madeira com 10 cm de 
altura e formas geométricas variadas, num 
bloco de madeira em que cada peça se 
posicione na perfuração com seu formato 
correspondente, conforme ilustra a figura. O 
bloco de madeira já possui três perfurações 
prontas de bases distintas: uma quadrada 
(Q), de lado 4 cm, uma retangular (R), com 
 
p 
23 
base 3 cm e altura 4 cm, e uma em forma de 
um triângulo equilátero (T), de lado 6,8 cm. 
Falta realizar uma perfuração de base circular 
(C). 
O marceneiro não quer que as outras peças 
caibam na perfuração circular e nem que a 
peça de base circular caiba nas demais 
perfurações e, para isso, escolherá o diâmetro 
do círculo que atenda a tais condições. 
Procurou em suas ferramentas uma serra 
copo (broca com formato circular) para 
perfurar a base em madeira, encontrando 
cinco exemplares, com diferentes medidas de 
diâmetros, como segue: (l) 3,8 cm; (II) 
4,7 cm; (III) 5,6 cm; (IV) 7,2 cm e (V) 9,4 cm. 
 
 
 
Considere 1,4 e 1,7 como aproximações para 
2 e 3, respectivamente. 
 
Para que seja atingido o seu objetivo, qual dos 
exemplares de serra copo o marceneiro 
deverá escolher? 
a) I 
b) II 
c) III 
d) IV 
e) V 
 
30. (Uemg) A figura abaixo representa o 
projeto de uma placa de sinalização no 
formato de um triângulo equilátero, de altura 
AH igual a 0,4 metros. 
 
 
 
Uma empresa de transportes necessita de 
placas para sinalização, com o modelo acima, 
feitas de aço inoxidado. Para diminuir o custo 
de fabricação das placas, a própria empresa 
resolveu comprar o aço direto dos 
fornecedores. O aço é vendido em chapas 
retangulares de dimensões 900 mm de 
largura por 1500 mm de comprimento. 
 
Com uma chapa de aço, sem utilização das 
sobras geradas pelos cortes das placas, é 
possível recortar, no máximo 
a) 3 placas. 
b) 4 placas. 
c) 5 placas. 
d) 6 placas. 
 
31. (Enem) Um ciclista A usou uma bicicleta 
com rodas com diâmetros medindo 60 cm e 
percorreu, com ela, 10 km. Um ciclista B usou 
outra bicicleta com rodas cujos diâmetros 
mediam 40 cm e percorreu, com ela, 5 km. 
Considere 3,14 como aproximação para .π 
A relação entre o número de voltas efetuadas 
pelas rodas da bicicleta do ciclista A e o 
número de voltas efetuadas pelas rodas da 
bicicleta do ciclista B é dada por 
a) 
1
2
 
b) 
2
3
 
c) 
3
4
 
d) 
4
3
 
e) 
3
2
 
 
32. (cp2) Uma sequência numérica muito 
famosa é a sequência de Fíbonacci 
(1,1, 2, 3, 5, 8, ). Essa sequência possui uma 
lei de formação simples: cada elemento, a 
partir do terceiro, é obtido somando-se os dois 
anteriores. Observe: 1 1 2,  2 1 3,  
3 2 5  e assim sucessivamente. 
 
O retângulo exposto a seguir representa, 
geometricamente, a parte inicial dessa 
sequência. Ele está dividido em seis 
quadrados, cujas medidas dos lados são 
diretamente proporcionais aos termos iniciais 
dessa sequência. 
 
 
 
p 
24 
Se a área do menor quadrado é igual a 
24 cm , a razão entre a área do retângulo 
maior e a área do menor quadrado é 
a) 40. 
b) 64. 
c) 104. 
d) 240. 
 
33. (Enem) Pretende-se construir um mosaico 
com o formato de um triângulo retângulo, 
dispondo-se de três peças, sendo duas delas 
triângulos congruentes e a terceira um 
triângulo isósceles. A figura apresenta cinco 
mosaicos formados por três peças. 
 
 
 
 
 
 
 
Na figura, o mosaico que tem as 
características daquele que se pretende 
construir é o 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
e) 5. 
 
34. (Udesc) Os pontos A, B, C, D, E e F 
dividem uma circunferência em seis partes 
iguais, de tal modo que AD é um diâmetro 
dessa circunferência com medida de 12 cm, 
conforme mostra a figura. 
 
 
 
Com base na figura, a área da região 
sombreada, em 2cm , é de: 
a) 40 3 
b) 72 3 
c) 36 3 
d) 54 3 
e) 48 3 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Um painel fotovoltaico converte energia solar 
em energia elétrica de forma sustentável. 
 
Suponha que, em uma região plana, será 
instalado um sistema de painéis fotovoltaicos 
para suprir uma comunidade com energia 
elétrica. 
 
Segue a descrição de alguns itens do projeto: 
- instalação de 5 filas paralelas entre si; cada 
fila contendo 10 painéis; 
 
p 
25 
- cada painel foi montado com 4 módulos 
fotovoltaicos congruentes entre si, conforme 
figura; 
- em cada módulo fotovoltaico, a superfície de 
captação da energia solar é de forma 
retangular, com dimensões de 65 cm por 
150 cm; 
- os painéis deverão estar separados, de modo 
que um não faça sombra sobre o outro e, 
também, não sejam encobertos pela sombra 
de qualquer outro objeto; 
- os painéis são idênticos entre si e estão 
apoiados sobre o solo. 
 
 
 
 
35. (cps) No projeto descrito, a área total da 
superfície de captação de energia solar é, em 
metros quadrados, 
a) 195. 
b) 185. 
c) 175. 
d) 165. 
e) 155. 
 
 
1. [C] 
 
É fácil ver que os triângulos AEC e BED são semelhantes. Logo, 
 
AF AC AF 4
6BF BD BF
AF BF 2 3
2AF
AF 2
.
5AF BF  
 
 
 

 
 
Além disso, como os triângulos AEF e ABD também são semelhantes, vem 
 
AF EF AF EF
6AB BD AF BF
EF 2
6 5
EF 2,4 m.
  

 
 
 
 
2. [B] 
 
Calculando: 
2
central
2 2
canteiro
2 2 2 2 2 2 2
central canteiro
S r
S R r
S S r R r 2 r R 2r R R r 2
π
π π
π π π π π

 
         
 
 
3. [D] 
 
Calculando: 
2
sala AFEB BEDC sala
4 2
S S S 4 6 2 S 30 m
2
Custo 30 48 1440 reais

       
  
 
 
4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. [E] 
 
 
 
Determinando o valor de k no triângulo XZP: 
 
K2 = 1202 + 1602 
K = 200 km. 
 
XZP XDYΔ Δ 
200 120
2d 360 d 180km
300 d
     
 
6. [E] 
 
Seja FG o eixo de simetria da bandeirinha. Logo, a bandeirinha pronta está representada na figura 
da alternativa [E]. 
 
7. 
 
 
 
8. [E] 
 
2
MNC
ABC
S 1
S 2
   
 
SABC = 4.SMNC 
 
SABMN= SABC – SMNC = 
 
SABMN = 4.SMNC - SMNC 
 
SABMN =
 3. SCMN (TRIPLO) 
 
 
 
9. [A] 
 
Para que as áreas dos terrenos sejam iguais, devemos considerar que  BD DC 10m. 
No triângulo ABD, temos: 
2 2 2AD 21 10 AD 23m    
 
Então, o comprimento total do muro será dado por, aproximadamente: 
   21 29 20 23 93m 
 
Portanto, a área total de muro construída será de, aproximadamente,   293 3 279m . 
E o valor total da construção será de, aproximadamente,  279 90 25.110,00, ou seja, 
aproximadamente 25 milhares de reais. 
 
10. [A] 
 
Sejam a e b as quantidades de palitos em cada um dos outros dois lados do triângulo. Tem-se que 
{a, b} {{1, 10}, {2,9}, {3, 8}, {4, 7}, {5, 6}}. Mas, pela condição de existência de um triângulo, só pode 
ser {a, b} {{3, 8}, {4, 7}, {5, 6}} e, portanto, a resposta é 3. 
 
11. 
 
 
12. [C] 
 
Calculando as áreas, temos: 
 
     
       
     
   
2 2 2
2
I
2 2 2 2
2
II
2 2 2
2
III
2 2
2
IV
4R 3R R
S 4 R
2 2 2
3R 2R 2R R
S 4 R
2 2 2 2
2R R R
S 2 4 R
2 2 2
2R 2 R
S 2 2 R
2 2
π π π
π
π π π π
π
π π π
π
π π
π
  
     
   
      
          
 
 
   
      
 
 
 
 
Portanto, IV II
1
S S .
2
 
 
 
 
 
 
 
 
13. [C] 
 
Excetuando-se o triângulo equilátero, cada polígono pode ser dividido em 2n triângulos retângulos 
congruentes, com n sendo o número de lados do polígono. Além disso, sejam c, p e g, 
respectivamente, as frações da área de cada polígono, correspondentes às quantidades de 
carboidratos, proteínas e gorduras. 
 
Desse modo, para o losango, o pentágono, o hexágono e o octógono, respectivamente, temos: 
1 1 3
(c, p, g) , , ;
2 8 8
   
 
 
6 1 3
(c, p, g) , , ;
10 10 10
   
 
 
7 1 1
(c, p, g) , ,
12 12 4
   
 
 e 
3 1 3
(c, p, g) , , .
4 16 16
   
 
 
 
Em particular, para o triângulo equilátero, considere a figura. 
 
 
 
É fácil ver que 
5 1 1
(c, p, g) , , .
9 9 3
   
 
 
 
Portanto, o único polígono que satisfaz é o pentágono. 
 
14. [B] 
 
Abrindo-se novamente a folha de papel, tem-se: 
 
 
 
Assim, pode-se escrever: 
 maior
menor
B 10 x
10 x x 6 60
b x S 30
2 2
h 6
  
     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15. [D] 
 
 
 
Na figura o ABC ~ ADE,Δ Δ logo: 
b d
a c
 
 
como 
2
d d'
3
  
 
Temos, 
'b 2d
a 3c
 
 
16. [B] 
 
Considerando que: 
IA  área do retângulo I 
IIA  área do retângulo II 
IIIA  área do retângulo III 
 
Podemos escrever: 
%86857,0
7
6
4
7
2
3
4
7
ba
1
2
1
ba
b
4
a7
ba
2
b
a
A
AA
III
III 






 





 
 
17 [D] 
 
A área A da coroa circular será dada por: 
2 2 2A (15 10 ) 3 125 375 mπ      
 
 
 
 
 
 
 
18. [A] 
 
Sendo x o comprimento da escada e y a altura aproximada do seu centro de gravidade, pode-se 
escrever, utilizando o Teorema de Pitágoras e semelhança de triângulos: 
2 2 2x 16 12 x 20 metros
20
y 3 y 5,33 metros
16 20
   
  
 
 
19. [D] 
 
75 6 12,5  
Portanto, o número de estais será dado por 12 1 13,  onde 1 indica o primeiro dos estais que parte 
do ponto A. 
 
20. [E] 
 
2R 1 2 (diagonal do quadrado)
2 2
R e r 1
2 2
 
  
 
 
A área medida é dada pela diferença entre a área do quadrado e as áreas dos quartos de círculos 
indicados por 1 2 3 4A , A , A ,A .
 
 
 
 
 
2
1 2 3 4
2 2
A 1 (A A ) (A A )
1 2 2 1 2
A 1
2 2 2 2
1 4 4 2 2 2
A 1
2 4 4
1
A 1 2 2
2
2
A 1 1 .
2
    
   
            
   
  
      
 
    
 
    
 
π π
π
π
π
 
 
 
21. [D] 
 
De acordo com o problema, temos a seguinte figura com x sendo a distância procurada. 
 
 
 
m 400x
4
3
x
100x
200
150
x
100x
ABE~ACD 



ΔΔ 
 
22. [B] 
 
A posição dos cavalos é irrelevante, pois ambos completarão as 10 voltas, iniciando e terminando o 
percurso no mesmo ponto. Assim, sobre a distância percorrida por cada cavalo do carrossel, pode-se 
escrever: 
C1 1 C1
C2 2 C2
D 10 2 R 10 2 3 4 D 240
D 10 2 R 10 2 3 3 D 180
π
π
         
         
 
 
Assim, a diferença das distâncias percorridas entre os dois cavalos será de 60 metros. 
 
23. [D] 
 
 
 
DA BC 5  (raios) 
BD é diâmetro da circunferência A, logo ˆˆDAB DCB 90   e BC 5 5 10.   
Os triângulos DAB e BDC são congruentes pelo caso H.C. (hipotenusa e cateto). 
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo BDC, temos: 
2 2 210 5 CD CD 5 3    
 
Logo, a área do triângulo BDC será dada por: 
BDC
5 5 3 25 3
A
2 2
 
  
 
 
Portanto, a área do quadrilátero ABCD será dada por: 
25 3
A 2 25 3
2
    
 
24. [B] 
 
Calculando: 
2
pizza 30cm
fatia
10 fatias
2 2
área (15) 225
225
área 28,125
8
área 28,125 10 281,25
281,25 R R 281,25 R 16,50 cm
π π
π
π
π π
π π
 
 
  
    
 
 
 
25. [D] 
 
Lembrando que para todo x real vale 2 2sen x cos x 1,  temos 
2
2 1 2 2cos 1 cos .
3 3
α α
     
 
 
 
Daí, vem 
1 2 2 4 2
sen2 2sen cos 2 .
3 3 9
α α α     
 
Logo, sendo Q'' a projeção ortogonal de Q sobre o eixo das abscissas e CQ' 1u.c., encontramos 
QQ'' 4 2
sen2 QQ'' u.c.
9CQ'
α    
 
A resposta é 
2
2
4 2
1 1 491
4 2 2 4 81
65
u.a.
324
π π
π π
π
 
 
       
 

 
 
26. [C] 
 
Por simetria, o imóvel deverá estar sobre a mediatriz do segmento de reta que une o local de trabalho 
da mãe e o consultório do pai. Tal mediatriz corresponde à rua 4. Ademais, por inspeção, concluímos 
que a rua horizontal que cumpre a condição é a D. 
 
27. [D] 
 
Se a altura do retângulo é 1,5x, então a resposta é 
2
21 xA x 1,5x 1,5 x .
2 2 8
π
π
            
   
 
 
 
28. [D] 
 
Se que os lados AB e BC medem 80 e 100 metros, então o lado AC mede 60 metros (Teorema 
de Pitágoras). Sabe-se também que os segmentos CM e BM são iguais e medem 50 metros (pois 
MP é mediatriz da hipotenusa). Como o triângulo ABC é semelhante ao triângulo PMB, pode-se 
escrever: 
lote1 lote1
lote2 lote2
100 50 125
PB m
PB 80 2
125 35
AP 80 AP m
2 2
MP 50 75
MP m
60 80 2
75 35
P 60 50 P 165 m
2 2
75 125
P 50 P 150 m
2 2
  
   
  
     
    
 
 
Portanto, a razão entre os perímetros dos lotes I e II será: 
lote1
lote2
P 165 11
P 150 10
  
 
29. [B] 
 
Usando as aproximações fornecidas, concluímos que os diâmetros dos círculos inscrito e circunscrito 
a T medem, respectivamente, 4 cm e 8 cm. Em consequência, os exemplares I e V não satisfazem 
as condições, pois T cabe em V e I cabe em T. 
Por outro lado, pelo Teorema de Pitágoras concluímos facilmente que a diagonal de R mede 5 cm. 
Em que os diâmetros dos círculos inscrito e circunscrito a R medem, respectivamente, 3 cm e 5 cm. 
Portanto, os exemplares III e IV também não satisfazem as condições restando apenas o exemplar II. 
 
30. 
 
 
31. [D] 
 
Sendo R o raio das rodas da bicicleta, C o comprimento da circunferênciada roda e N o número de 
voltas dadas na distância percorrida, pode-se calcular: 
 
A
A A
A
B
B B
B
A
B
60
R 30 cm 0,3 m
2
C 2 R 2 3,14 0,3 C 1,884 m
10.000
N 5307,86 voltas
1,884
40
R 20 cm 0,2 m
2
C 2 R 2 3,14 0,2 C 1,256 m
5.000
N 3980,89 voltas
1,256
N 5307,86 4
1,33333
N 3980,89 3
π
π
  
       
 
  
       
 
  
 
 
32. [C] 
 
Como a área do quadrado menor é 4, seu lado será dois. Assim, a sequência de quadrados com os 
lados proporcionais à sequência de Fibonacci é: 
(2, 2, 4, 6, 10, 16) e a sequência das áreas será (4, 4, 16, 36, 100, 256). 
 
Portanto, a razão pedida será dada por: 
4 4 16 36 100 256 416
104
4 4
    
  
 
 
33. [B] 
 
O mosaico que possui as características daquele que se pretende construir é o 2. De fato, pois os 
triângulos 30 , 60 , 90   são congruentes e o triângulo 30 , 30 ,120   é isósceles. 
No mosaico 1, o triângulo 30 , 30 ,120   é isósceles, mas os triângulos 30 , 60 , 90   não são 
congruentes. 
No mosaico 3, os triângulos 22 , 68 , 90   são congruentes, mas o triângulo 44 , 46 , 90   não é 
isósceles. 
Nos mosaicos 4 e 5 não é possível formar um triângulo retângulo com as três peças. 
 
34. [E] 
 
Considere a figura, em que O é o centro da circunferência e G é o ponto de interseção de AE e DF. 
 
 
 
 
É imediato que AFD, DEA, DCA e ABD são triângulos retângulos congruentes. Assim, como GO é 
perpendicular a AD, podemos afirmar que a região sombreada é formada por oito triângulos 
retângulos congruentes de catetos 6cm e 2 3 cm. 
 
Portanto, a resposta é 
218 6 2 3 48 3 cm .
2
    
 
35. [A] 
 
O resultado é dado por 25 10 1,3 3 195 m .   