Cópia de TEOREMA - 1000 QUESTÕES

Prévia do material em texto

www.salinhateorema.com.br
salinhateorema
9 8929 6502
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
 
 
 
1. Trigonometria no triângulo retângulo – 35 questões 
2. Lei dos cossenos – 30 questões 
3. Equações e funções trigonométricas – 25 questões 
4. Fundamentos – 30 questões 
5. Polígonos – 35 questões 
6. Segmentos proporcionais – 50 questões 
7. Relações métricas – 70 questões 
8. Quadriláteros notáveis – 20 questões 
9. Arcos na circunferência – 20 questões 
10. Círculos – 35 questões 
11. Áreas – 100 questões 
12. Cilindro – 30 questões 
13. Cone – 30 questões 
14. Pirâmide – 30 questões 
15. Prismas – 50 questões 
16. Esfera – 30 questões 
17. Fundamentos de geometria analítica – 25 questões 
18. Reta – 25 questões 
19. Circunferência – 20 questões 
20. Álgebra básica – 40 questões 
21. Aritmética – 20 questões 
22. Unidades de medida e sistema métrico – 40 questões 
23. Razão e proporção – 40 questões 
24. Porcentagem – 40 questões 
25. Conjuntos – 20 questões 
26. Gráficos de função – 20 questões 
27. Função 1º grau – 30 questões 
28. Função 2 º grau- 30 questões 
29. Exponenciais – 30 questões 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
A Matemática é um determinante em sua vida 
 
Todos nós nascemos como resultado 
De um sistema de equações. 
Acredite mesmo, 
Somos o par ordenado mais perfeito da natureza. 
Carregamos características de nossos pais y, e de nossas mães x. 
Eram milhões de espermatozóides pré-destinados ao óvulo. 
Um espaço amostral quase infinito... 
Mas você só está aqui hoje, porque era o melhor matemático de lá. 
Pois você venceu uma extraordinária probabilidade. 
Vivemos em função do tempo 
Que nos é dado. 
Existem vários tipos de pessoas, 
Aquelas que encontram um grande amor e a ele são fiéis 
Pela vida toda, são as "injetoras". 
Para cada pessoa, existe uma outra correspondente. 
Dizer que não se entende Matemática 
É um absurdo, porque você é um exemplo matemático. 
Não importa se não consegue resolver um logaritmo, 
Importa o quanto você é capaz 
De reconhecer conceitos matemáticos ao seu redor. 
MA terialize seus sonhos e 
TE nha coragem de expor sua 
MA neira de encarar a realidade. Ame a 
TI mesmo. 
CA minhe sem medo de cair. 
Aproveite porque o mundo é matemático. 
 
 
Elaine Rodrigues 
 
 
 
 
 
 
 
TRIGONOMETRIA 
 
01. À noite, um helicóptero da Força Aérea Brasileira 
sobrevoa uma região plana e avista um VANT (Veículo 
Aéreo Não Tripulado) de forma circular e altura 
desprezível, com raio de 3 m, estacionado 
paralelamente ao solo a 30 m de altura. O VANT está 
a uma distância y metros de um holofote que foi 
instalado no helicóptero. 
 
O feixe de luz do holofote que ultrapassa o VANT 
incide sobre a região plana e produz uma sombra 
circular de centro O e raio R. O raio R da 
circunferência da sombra forma um ângulo de 60 
com o feixe de luz, conforme se vê na figura seguinte. 
 
 
 
Nesse momento, uma pessoa que se encontra num 
ponto A da circunferência da sombra corre para o 
ponto O, pé da perpendicular traçada do holofote à 
região plana. 
 
A distância, em metros, que essa pessoa percorre de 
A até O é um número entre 
 
a) 18 e 19 
b) 19 e 20 
c) 20 e 21 
d) 22 e 23 
e) 26 e 30 
 
02. A acessibilidade urbana é um tema que merece 
atenção, especialmente quando as cidades crescem 
sem que haja planejamento de ações que garantam o 
bem-estar, a segurança e a autonomia no uso de 
equipamentos urbanos por pessoas com algum tipo 
de limitação, seja ela de mobilidade, idade ou 
percepção. Assim, para a construção de uma rampa 
de acesso, calculando-se sua inclinação, usa-se a 
seguinte expressão matemática: 
hx100
i ,
C
= em que: 
i é a inclinação da rampa em porcentagem; 
h é a altura do desnível; 
C é o comprimento da projeção horizontal. 
 
 
 
Qual é o ângulo formado em uma rampa que possui 
100% de inclinação? 
 
a) 180 
b) 90 
c) 60 
d) 45 
e) 65° 
 
03. Os quatro triângulos equiláteros congruentes, na 
figura a seguir, estão enfileirados de modo que os 
pontos A, B, C, D e E são colineares. Sabendo que o 
lado do triângulo equilátero mede 1cm, o valor da 
tangente do ângulo IÂE é: 
 
 
 
a) 
3
.
13
 b) 
3
.
7
 c) 
3
.
2
 d) 
1
.
2
 e) 
39
.
26
 
 
04. Os alunos pré-egressos do campus Jaboatão dos 
Guararapes resolveram ir até a Lagoa Azul para 
celebrar a conclusão dos cursos. Raissa, uma das 
participantes do evento, ficou curiosa pra descobrir a 
altura do paredão rochoso que envolve a lagoa. Então 
pegou em sua mochila um transferidor e estimou o 
ângulo no ponto A, na margem onde estava, e, após 
nadar, aproximadamente, 70 metros em linha reta 
em direção ao paredão, estimou o ângulo no ponto 
B, conforme mostra a figura a seguir: 
 
 
 
De acordo com os dados coletados por Raissa, qual a 
altura do paredão rochoso da Lagoa Azul? 
 
Dados: sen (17 ) 0,29, = tan (17 ) 0,30, = 
 
 
 
 
 
TRIGONOMETRIA 
 
cos (27 ) 0,89 = e tan (27 ) 0,51. = 
 
a) 50 metros 
b) 51 metros 
c) 89 metros 
d) 70 metros 
e) 29 metros 
 
05. Para decorar um cilindro circular reto será usada 
uma faixa retangular de papel transparente, na qual 
está desenhada em negrito uma diagonal que forma 
30 com a borda inferior. O raio da base do cilindro 
mede 
6
cm,
π
 e ao enrolar a faixa obtém-se uma linha 
em formato de hélice, como na figura. 
 
 
 
O valor da medida da altura do cilindro, em 
centímetro, é 
 
a) 36 3 
b) 24 3 
c) 4 3 
d) 36 
e) 72 
 
06. Um estudante do Curso de Edificações do IFAL 
utiliza um teodolito para determinar a altura de um 
prédio construído em um terreno plano. A uma 
determinada distância desse prédio, ele vê o topo do 
prédio sob um ângulo de 30 . Aproximando-se do 
prédio mais 60 m, passa a ver o topo do prédio sob 
um ângulo de 60 . 
 
Considerando que a base do prédio está no mesmo 
nível da luneta do teodolito, qual a altura deste 
prédio? 
 
a) 10 3 m. 
b) 28 m. 
c) 30 m. 
d) 20 3 m. 
e) 30 3 m. 
 
07. Um estudante do curso técnico de Edificações do 
IFPE Campus Recife, precisou medir a altura de um 
edifício de 6 andares. Para isso, afastou-se 45 
metros do edifício e, com um teodolito, mediu o 
ângulo de 28 , conforme a imagem abaixo. 
 
 
 
Usando as aproximações sen 28 0,41, = 
cos 28 0,88 = e tg 28 0,53, = esse estudante 
concluiu corretamente que a altura desse edifício é 
 
a) 21,15 m. 
b) 23,85 m. 
c) 39,6 m. 
d) 143,1m. 
e) 126,9 m. 
 
08. A torre de controle de tráfego marítimo de Algés, 
em Portugal, tem o formato de um prisma oblíquo, 
com base retangular de área 2247 m . A inclinação da 
torre é de aproximadamente 76,7 , com 
deslocamento horizontal de 9 m da base superior em 
relação à base inferior do prisma. 
 
 
 
Dados: 
α sen α cos α tg α 
13,3 0,23 0,97 0,24 
 
Nas condições descritas, o volume do prisma que 
 
 
 
 
 
TRIGONOMETRIA 
 
representa essa torre, aproximado na casa da 
centena, é igual a 
 
a) 39.300 m . 
b) 38.900 m . 
c) 38.300 m . 
d) 34.600 m . 
e) 34.200 m . 
 
09. Considere o quadrado ABCD como na Figura. 
 
 
 
Sabendo que E é o ponto médio do lado AB, assinale 
o valor de 𝑐𝑜𝑠 (𝐶𝐷�̂�). 
 
a) 
1
2
 
b) 
5
5
 
c) 
2
2
 
d) 
1 5
2
+
 
e) 
3
2
 
 
10. As rampas são uma boa forma de assegurar a 
acessibilidade para cadeirantes e indivíduos com 
mobilidade reduzida. A acessibilidade a edificações, 
mobiliário, espaços e equipamentos urbanos é 
assegurada em lei. A Associação Brasileira de Normas 
Técnicas (ABNT), de acordo com a Lei Brasileira de 
Inclusão da Pessoa com Deficiência (13.146/2015), 
regula a construção e define a inclinação das rampas, 
bem como os cálculos para a sua construção. As 
diretrizes de cálculo da ABNT, indicam um limite 
máximo de inclinação de 8,33% (proporção de 
1: 12). Isso significa que uma rampa, para vencer umdesnível de 1m, deve ter, no mínimo, 12 m de 
comprimento e isso define que o ângulo de inclinação 
da rampa, em relação ao plano horizontal, não pode 
ser maior que 7 . 
De acordo com as informações anteriores, para que 
uma rampa, com comprimento igual a 14 m e 
inclinação de 7 em relação ao plano, esteja dentro 
das normas da ABNT, ela deve servir para vencer um 
desnível com altura máxima de 
 
Use: sen7 0,12; cos7 0,99 =  = e tg7 0,12. = 
 
a) 1,2 m. 
b) 1,32 m. 
c) 1,4 m. 
d) 1,56 m. 
e) 1,68 m. 
 
11. A famosa Torre de Pisa, localizada na Itália, assim 
como muitos outros prédios, por motivos adversos, 
sofrem inclinações durante ou após suas construções. 
Um prédio, quando construído, dispunha-se 
verticalmente e tinha 60 metros de altura. Ele sofreu 
uma inclinação de um ângulo ,α e a projeção 
ortogonal de sua fachada lateral sobre o solo tem 
largura medindo 1,80 metro, conforme mostra a 
figura. 
 
 
 
O valor do ângulo de inclinação pode ser determinado 
fazendo-se o uso de uma tabela como a apresentada. 
 
Ângulo α 
(Grau) 
Seno 
0,0 0,0 
1,0 0,017 
1,5 0,026 
1,8 0,031 
2,0 0,034 
3,0 0,052 
 
Uma estimativa para o ângulo de inclinação ,α 
quando dado em grau, é tal que 
 
a) 0 1,0α  b) 1,0 1,5α  c) 1,5 1,8α  
d) 1,8 2,0α  e) 2,0 3,0α  
 
 
 
 
 
TRIGONOMETRIA 
 
12. Burj Khalifa, localizado em Dubai, é considerado o 
edifício mais alto do mundo, com cerca de 830 m. A 
figura ao lado da fotografia representa a extensão 
vertical desse edifício altíssimo, dividida em 8 níveis 
igualmente espaçados. 
 
 
 
Dado: adote 3 1,73= em suas contas finais. 
 
Utilizando os dados fornecidos, um feixe de laser 
emitido a partir do ponto indicado na figura por P 
atingiria a coluna central do Burj Khalifa, 
aproximadamente, na marca 
 
a) 5N . 
b) 6N . 
c) 7N . 
d) 4N . 
e) 3N . 
 
13. A Figura 1 apresenta a imagem de um poste que 
pode ser visto nas ruas de algumas cidades brasileiras. 
 
 
 
A seguir temos uma representação de um desses 
postes (Figura 2), que pode ser dividido em 3 partes: 
uma haste AB, vertical e fixada no chão plano 
(horizontal), medindo 3 metros; uma haste AE 
medindo 1 metro, tal que BÂE 120 ;=  e uma haste 
ED, paralela ao chão plano (horizontal). 
 
 
 
Uma lâmpada será instalada no ponto D. A altura, em 
relação ao chão plano, em que esta lâmpada será 
instalada, em metros, é 
 
a) 3,2. b) 3,5. c) 3,6. d) 4,0. e) 5,7 
 
14. A figura mostra o ângulo de visão que um mesmo 
observador tem de uma estrutura de caixa d’água em 
dois pontos diferentes. Sabe-se que a altura dos 
olhos, em relação ao piso plano sobre o qual a 
estrutura está apoiada perpendicularmente, é 
exatamente a metade da altura da estrutura da caixa 
d’água, e que a distância entre os dois pontos de 
observação é de 2 metros. 
 
 
 
A partir dessas informações, é possível determinar 
que a altura da estrutura da caixa d’água, em metros, 
é igual a 
 
a) 3 3 2.− 
b) 
3 2
.
3
+
 
c) 2 3 2.+ 
d) 3 2.+ 
e) 3 1.+ 
 
 
 
 
 
TRIGONOMETRIA 
 
15. Um determinado professor de uma das disciplinas 
do curso de Engenharia Civil da PUC solicitou como 
trabalho prático que um grupo de alunos deveria 
efetuar a medição da altura da fachada da Biblioteca 
Central da PUC usando um teodolito. Para executar o 
trabalho e determinar a altura, eles colocaram um 
teodolito a 6 metros da base da fachada e mediram o 
ângulo, obtendo 30 , conforme mostra figura abaixo. 
Se a luneta do teodolito está a 1,70 m do solo, qual é, 
aproximadamente, a altura da fachada da Biblioteca 
Central da PUC? 
 
Dados (sen 30 0,5, cos 30 0,87 e tg 30 0,58) =  =  = 
 
 
 
a) 5,18 m. 
b) 4,70 m. 
c) 5,22 m. 
d) 5,11m. 
e) 5,15 m. 
 
16. O comandante de um navio fez, pela primeira vez, 
uma rota retilínea AC orientado por um farol F, 
localizado numa ilha. Ele pretendia determinar as 
distâncias do farol F à rota AC e do ponto inicial A 
ao farol F. No início da viagem, o comandante obteve 
a medida FAC 30=  e, após percorrer 6 milhas 
marítimas, localizando-se em B, ele fez a medição do 
ângulo FBC, obtendo 60 . Observe a figura a seguir 
que ilustra esta situação. 
 
 
 
De acordo com as informações, as distâncias, em 
milhas, do farol F à rota AC e do ponto inicial A ao 
farol F, obtidas pelo comandante foram, 
respectivamente, 
 
a) 2 3 e 
3
3.
2
 
b) 2 3 e 4 3. 
c) 3 3 e 6 3. 
d) 3 3 e 3. 
e) 3 e 6√3 
 
17. Um edifício comercial tem 48 salas, distribuídas 
em 8 andares, conforme indica a figura. O edifício foi 
feito em um terreno cuja inclinação em relação à 
horizontal mede α graus. A altura de cada sala é 3m, 
a extensão 10m, e a altura da pilastra de sustentação, 
que mantém o edifício na horizontal, é 6m. 
 
α senα cosα tgα 
4 0,0698 0,9976 0,0699 
5 0,0872 0,9962 0,0875 
6 0,1045 0,9945 0,1051 
7 0,1219 0,9925 0,1228 
8 0,1392 0,9903 0,1405 
 
 
 
 
Usando os dados da tabela, a melhor aproximação 
inteira para α é 
 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
e) 8 
 
18. Uma raposa avista um cacho de uvas em uma 
parreira sob um ângulo de 30 formado com a 
horizontal. Então, preguiçosamente ela se levanta, 
anda 3 m em direção à base da parreira e olha para 
as uvas sob um ângulo de 60 , como mostra a figura 
 
 
 
 
 
TRIGONOMETRIA 
 
abaixo. 
 
 
 
Nessas condições, a altura h do cacho de uvas, em 
metros, é 
 
a) 1,0 
b) 1,5 
c) 1,7 
d) 3,4 
e) 4,9 
 
19. A inclinação das vias públicas é um problema para 
o transporte. 
 
 
 
Na cidade de Dunedin, na Nova Zelândia, está 
localizada a rua Baldwin que, em seu trecho inferior, 
tem uma rampa de inclinação moderada e, em seu 
trecho superior, tem uma rampa extremamente 
íngreme. O trecho com maior inclinação apresenta 
uma taxa de 1: 2,86, o que significa que, para cada 
2,86 metros percorridos horizontalmente, é 
necessário vencer 1 metro na vertical. 
 
Considere que: 
 
- o ângulo de inclinação de uma rampa é medido 
entre a horizontal e a rampa; 
- a inclinação de uma rampa é expressa pela tangente 
do seu ângulo de inclinação; e 
- o triângulo retângulo, da figura, representa parte do 
trecho com maior inclinação da rua Baldwin. 
 
 
 
Adote: 
 
Ângulo Tangente 
12 0,213 
15 0,268 
19 0,344 
21 0,384 
24 0,445 
 
Nessas condições, o ângulo de inclinação desse trecho 
da rua Baldwin é mais próximo de 
 
a) 12 
b) 15 
c) 19 
d) 21 
e) 24 
 
20. Em uma aula prática, um professor do curso 
técnico de edificações do campus Florianópolis do 
IFSC, pede para que seus alunos determinem a altura 
de um poste que fica nas instalações da instituição, 
porém há uma impossibilidade para se chegar tanto 
ao topo do poste, bem como sua base. Para realizar 
tal medida, são disponibilizados para os alunos uma 
trena (fita métrica) e um teodolito. É realizado o 
seguinte procedimento: primeiro crava-se uma estaca 
no ponto A a x metros da base do poste e mede-se 
o ângulo formado entre o topo do poste e o solo, que 
é de 60 (sessenta graus); em seguida, afastando-se 
10m (dez metros) em linha reta do ponto A e 
cravando uma nova estaca no ponto B, mede-se 
novamente o ângulo entre o topo do poste e o solo, 
que é de 30 (trinta graus). 
 
A partir do procedimento descrito e da figura abaixo, 
é correto afirmar que a altura do poste é de 
aproximadamente: 
 
 
 
 
 
TRIGONOMETRIA 
 
 
 
 
Dados: sen30 0,5; = cos30 0,86; = tg30 0,58 = 
 sen60 0,86; = cos60 0,5; = tg60 1,73 = 
 
a) 8,65m 
b) 5 m 
c) 6,65m 
d) 7,65m 
e) 4 m 
 
21. A tirolesa é uma técnica utilizada para o 
transporte de carga de um ponto a outro. Nessa 
técnica, a carga é presa a uma roldana que desliza por 
um cabo, cujas extremidadesgeralmente estão em 
alturas diferentes. A tirolesa também é utilizada como 
prática esportiva, sendo considerado um esporte 
radical. Em certo ecoparque, aproveitando a geografia 
do local, a estrutura para a prática da tirolesa foi 
montada de maneira que as alturas das extremidades 
do cabo por onde os participantes deslizam estão a 
cerca de 52m e 8m, cada uma, em relação ao nível do 
solo, e o ângulo de descida formado com a vertical é 
de 80°. 
 
Nessas condições, considerando-se o cabo esticado e 
que tg 10° = 0,176, pode-se afirmar que a distância 
horizontal percorrida, em metros, ao final do 
percurso, é aproximadamente igual a 
 
a) 250 
b) 252 
c) 254 
d) 256 
e) 258 
 
 
 
 
 
 
 
 
22. Uma forma pouco conhecida de arte é a de 
preenchimento de calçadas com pedras, como vemos 
na calçada encontrada em Brazlândia – DF, conforme 
a figura. 
 
 
 
Em relação ao desenho da calçada, considere o 
seguinte: 
 
- todos os triângulos são retângulos; 
- cada triângulo possui um ângulo de 30°; e 
- a hipotenusa de cada triângulo mede 100 cm. 
 
Com base nas informações acima, os catetos de cada 
triângulo medem, em cm, 
 
a) 25 e 25 3. 
b) 25 e 25 2. 
c) 25 e 50 3. 
d) 50 e 50 3. 
e) 50 e 50 2. 
 
23. O passeio em teleférico é uma opção turística em 
várias cidades do mundo. O teleférico mais alto e o 
segundo mais longo do mundo fica na cidade de 
Mérida, Venezuela, unindo a cidade ao Pico Espejo, 
cujo topo está a uma altura de 4 765 metros acima do 
nível do mar. 
 
 
 
O teleférico sai da estação de Barinitas, a 1 577 
 
 
 
 
 
TRIGONOMETRIA 
 
metros acima do nível do mar, na cidade de Mérida e, 
depois de se deslocar 12,5 km, atinge o topo do Pico 
Espejo. 
 
Considere que o cabo do teleférico seja 
completamente esticado e que θ seja o ângulo, com 
vértice na estação de Barinitas, formado pelo cabo do 
teleférico e a horizontal, conforme a figura. 
 
 
 
Nessas condições, o valor aproximado do ângulo θ é 
 
Utilize: 
 
medida 
do ângulo 
seno cosseno tangente 
11º 0,191 0,982 0,194 
15º 0,259 0,966 0,268 
18º 0,309 0,951 0,325 
22º 0,375 0,927 0,404 
25° 0,423 0,906 0,467 
 
a) 11° 
b) 15° 
c) 18° 
d) 22° 
e) 25° 
 
24. Um tenente do Exército está fazendo um 
levantamento topográfico da região onde será 
realizado um exercício de campo. Ele quer determinar 
a largura do rio que corta a região e por isso adotou 
os seguintes procedimentos: marcou dois pontos, A 
(uma árvore que ele observou na outra margem) e B 
(uma estaca que ele fincou no chão na margem onde 
ele se encontra); marcou um ponto C distante 9 
metros de B, fixou um aparelho de medir ângulo 
(teodolito) de tal modo que o ângulo no ponto B seja 
reto e obteve uma medida de 
3
π
 rad para o ângulo 
ˆACB. 
 
Qual foi a largura do rio que ele encontrou? 
 
a) 9 3 metros 
b) 3 3 metros 
c) 
9 3
metros
2
 
d) 3 metros 
e) 4,5 metros 
 
25. Uma formiga sai do ponto A e segue por uma 
trilha, representada pela linha contínua, até chegar ao 
ponto B, como mostra a figura. 
 
 
 
A distância, em metros, percorrida pela formiga é 
 
a) 1 2 3.+ b) 3 3 3.+ c) 5 2 3.+ 
d) 7 3 3.+ e) 8 + 3√3 
 
26. Uma pessoa está a 80 3 m de um prédio e vê o 
topo do prédio sob um ângulo de 30 , como mostra a 
figura abaixo. 
 
 
 
Se o aparelho que mede o ângulo está a 1,6 m de 
distância do solo, então podemos afirmar que a altura 
 
 
 
 
 
TRIGONOMETRIA 
 
do prédio em metros é: 
 
a) 80,2 
b) 81,6 
c) 82,0 
d) 82,5 
e) 83,2 
 
27. Analise a figura a seguir. 
 
 
 
A questão da acessibilidade nas cidades é um desafio 
para o poder público. A fim de implementar as 
políticas inclusivas, a Associação Brasileira de Normas 
Técnicas (ABNT) criou normas para acessibilidade 
arquitetônica e urbanística. Entre elas estão as de 
construção de rampas de acesso, cuja inclinação com 
o plano horizontal deve variar de 5% a 8,33%. Uma 
inclinação de 5% significa que, para cada metro 
percorrido na horizontal, a rampa sobe 0,05 m. 
Recorrentemente, os acessos por rampas não 
respeitam essas normas, gerando percursos longos 
em inclinações exageradas. Conforme a figura, 
observou-se uma rampa de acesso, com altura de 1 
metro e comprimento da rampa igual a 2 metros. 
 
Se essa rampa fosse construída seguindo as normas 
da ABNT, com inclinação de 5%, assinale a alternativa 
que apresenta, corretamente, a diferença de 
comprimento dessas rampas, em metros. 
 
a) 5 
b) 20 
c) 
1
2
20
+ 
d) 401 2− 
e) 
1
4,01
20
+ 
 
28. As torres Puerta de Europa são duas torres 
inclinadas uma contra a outra, construídas numa 
avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres 
é de 15 com a vertical e elas têm, cada uma, uma 
altura de 114 m (a altura é indicada na figura como o 
segmento AB). Estas torres são um bom exemplo de 
um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas 
pode ser observada na imagem. 
 
 
 
Utilizando 0,26 como valor aproximado para 
tangente de 15 e duas casas decimais nas operações, 
descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na 
avenida um espaço 
 
a) menor que 2100 m . 
b) entre 2100 m e 2300 m . 
c) entre 2300 m e 2500 m . 
d) entre 2500 m e 2700 m . 
e) maior que 2700 m . 
 
29. O teodolito é um instrumento de medida de 
ângulos bastante útil na topografia. Com ele, é 
possível determinar distâncias que não poderiam ser 
medidas diretamente. Para calcular a altura de um 
morro em relação a uma região plana no seu entorno, 
o topógrafo pode utilizar esse instrumento adotando 
o seguinte procedimento: situa o teodolito no ponto A 
e, mirando o ponto T no topo do morro, mede o 
ângulo de 30° com a horizontal; desloca o teodolito 
160 metros em direção ao morro, colocando-o agora 
no ponto B, do qual, novamente mirando o ponto T, 
mede o ângulo de 60° com a horizontal. 
 
 
 
 
 
 
 
TRIGONOMETRIA 
 
Se a altura do teodolito é de 1,5 metros, é correto 
afirmar que a altura do morro com relação à região 
plana à qual pertencem A e B é, em metros: 
 
a) 80 3 1,5+ 
b) 80 3 1,5− 
c) 
160 3
1,5
3
+ 
d) 
160 3
1,5
3
− 
e) 160 
 
30. Uma coruja está pousada em R, ponto mais alto 
de um poste, a uma altura h do ponto P, no chão. 
Ela é vista por um rato no ponto A, no solo, sob um 
ângulo de 30°, conforme mostra figura abaixo. 
 
 
 
O rato se desloca em linha reta até o ponto B, de onde 
vê a coruja, agora sob um ângulo de 45° com o chão e 
a uma distância BR de medida 6 2 metros. 
 
Com base nessas informações, estando os pontos A, B 
e P alinhados e desprezando-se a espessura do poste, 
pode-se afirmar então que a medida do deslocamento 
AB do rato, em metros, é um número entre 
 
a) 3 e 4 
b) 4 e 5 
c) 5 e 6 
d) 6 e 7 
e) 9 e 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31. Numa escola, o acesso entre dois pisos 
desnivelados é feito por uma escada que tem quatro 
degraus, cada um medindo 24 cm de comprimento 
por 12 cm de altura. Para atender à política de 
acessibilidade do Governo Federal, foi construída uma 
rampa, ao lado da escada, com mesma inclinação, 
conforme mostra a foto a seguir. 
 
 
 
Com o objetivo de verificar se a inclinação está de 
acordo com as normas recomendadas, um fiscal da 
Prefeitura fez a medição do ângulo que a rampa faz 
com o solo. O valor encontrado pelo fiscal 
 
a) estava entre 30 e 45 . 
b) era menor que 30 . 
c) foi exatamente 45 . 
d) era maior que 45 . 
e) era maior que 60° 
 
32. As ruas e avenidas de uma cidade são um bom 
exemplo de aplicação de Geometria. Um desses 
exemplos encontra-se na cidade de Mirassol, onde se 
localiza a Etec Prof. Mateus Leite de Abreu. 
 
A imagem apresenta algumas ruas e avenidas de 
Mirassol, onde percebemos que a Av. Vitório Baccan, 
a Rua Romeu Zerati e a Av. Lions Clube/Rua Bálsamo 
formam uma figura geométrica que se aproxima 
muito de um triângulo retângulo, comorepresentado 
no mapa. 
 
 
 
 
 
 
 
TRIGONOMETRIA 
 
Considere que 
 
– a Rua Bálsamo é continuação da Av. Lions Clube; 
– o ponto A é a intersecção da Av. Vitório Baccan com 
a Av. Lions Clube; 
– o ponto B é a intersecção da Rua Romeu Zerati com 
a Rua Bálsamo; 
– o ponto C é a intersecção da Av. Vitório Baccan com 
a Rua Romeu Zerati; 
– o ponto D é a intersecção da Rua Bálsamo com a 
Rua Vitório Genari; 
– o ponto E é a intersecção da Rua Romeu Zerati com 
a Rua Vitório Genari; 
– a medida do segmento AC é 220 m; 
– a medida do segmento BC é 400 m e 
– o triângulo ABC é retângulo em C. 
 
 
Para resolver a questão, utilize a tabela abaixo. 
 
 26° 29° 41° 48° 62° 
sen 0,44 0,48 0,66 0,74 0,88 
cos 0,90 0,87 0,75 0,67 0,47 
tg 0,49 0,55 0,87 1,11 1,88 
 
No triângulo ABC, o valor do seno do ângulo ˆABC é, 
aproximadamente, 
 
a) 0,44 b) 0,48 c) 0,66 d) 0,74 e) 0,88 
 
33. Uma baixa histórica no nível das águas no rio 
Amazonas em sua parte peruana deixou o Estado do 
Amazonas em situação de alerta e a Região Norte na 
expectativa da pior seca desde 2005. [...] Em alguns 
trechos, o Rio Amazonas já não tem profundidade 
para que balsas com mercadorias e combustível para 
energia elétrica cheguem até as cidades. A Defesa 
Civil já declarou situação de atenção em 16 municípios 
e situação de alerta – etapa imediatamente anterior à 
situação de emergência – em outros nove. Porém, 
alguns trechos do rio Amazonas ainda permitem 
plenas condições de navegabilidade. 
 
 
Considerando que um barco parte de A para 
atravessar o rio Amazonas; que a direção de seu 
deslocamento forma um ângulo de 120º com a 
margem do rio; que a largura do rio, teoricamente 
constante, de 60 metros, então, podemos afirmar que 
a distância AB em metros percorrida pela embarcação 
foi de... 
 
a) 60 3 metros 
b) 40 3 metros 
c) 120 metros 
d) 20 3 metros 
e) 40 metros 
 
34. Para determinar a distância de um barco até a 
praia, um navegante utilizou o seguinte 
procedimento: a partir de um ponto A, mediu o 
ângulo visual a fazendo mira em um ponto fixo P da 
praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele 
seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver 
o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo 
visual 2 . A figura ilustra essa situação: 
 
 
 
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo 
30º = e, ao chegar ao ponto B, verificou que o 
barco havia percorrido a distância AB 2000 m= . Com 
base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a 
menor distância do barco até o ponto fixo P será 
 
a) 1000 m 
b) 1000 3 m 
c) 
3
2000 m
3
 
d) 2000 m 
e) 2000 3 m 
 
35. Ter condições de acessibilidade a espaços e 
equipamentos urbanos é um direito de todo cidadão. 
A construção de rampas, nas entradas de edifícios que 
apresentam escadas, garante a acessibilidade 
principalmente às pessoas com deficiência física ou 
com mobilidade reduzida. Pensando nisso, na entrada 
de uma ETEC onde há uma escada de dois degraus 
iguais, cada um com 15 cm de altura, pretende-se 
construir uma rampa para garantir a acessibilidade do 
prédio a todos. 
 
 
 
 
 
TRIGONOMETRIA 
 
Essa rampa formará com o solo um ângulo de 30, 
conforme a figura. 
 
 
 
Sendo assim, conclui-se que o comprimento da rampa 
será, em metros, 
 
a) 6 
b) 5 
c) 4 
d) 3 
e) 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1 -C 6 -E 11 -C 16 -C 21 -A 26 -B 31 -B 
2 -D 7 -B 12 -A 17 -C 22 -D 27 -D 32 -B 
3 -B 8 -A 13 -B 18 -B 23 -B 28 -E 33 -B 
4 -B 9 -B 14 -C 19 -C 24 -A 29 -A 34 -B 
5 -B 10 -E 15 -A 20 -A 25 -D 30 -B 35 -A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SENOS E COSSENOS 
 
01. Considere que o quadrado ABCD, representado 
na figura abaixo, tem lados de comprimento de 1cm, 
e que C é o ponto médio do segmento AE. 
Consequentemente, a distância entre os pontos D e 
E será igual a 
 
 
 
a) 3 cm. 
b) 2 cm. 
c) 5 cm. 
d) 6 cm. 
e) 3 cm 
 
02. Se as medidas de dois dos lados de um triângulo 
são respectivamente 7 m e 5 2 m e se a medida do 
ângulo entre esses lados é 135 graus, então, a 
medida, em metros, do terceiro lado é 
 
a) 12. 
b) 15. 
c) 13. 
d) 14. 
e) 21 
 
03. As medidas, em metro, dos comprimentos dos 
lados de um triângulo formam uma progressão 
aritmética cuja razão é igual a 1. Se a medida de um 
dos ângulos internos deste triângulo é 120 , então, 
seu perímetro é 
 
a) 5,5. 
b) 6,5. 
c) 7,5. 
d) 8,5. 
e) 9,2 
 
 
 
 
 
 
04. O paralelepípedo reto-retângulo ABCDEFGH, 
representado na figura, tem medida dos lados 
AB 4, BC 2= = e BF 2.= 
 
 
 
O seno do ângulo 𝐻�̂�𝐹 é igual a 
 
a) 
1
2 5
 
b) 
1
5
 
c) 
2
10
 
d) 
2
5
 
e) 
3
10
 
 
05. Uma desenhista projetista deverá desenhar uma 
tampa de panela em forma circular. Para realizar esse 
desenho, ela dispõe, no momento, de apenas um 
compasso, cujo comprimento das hastes é de 10 cm, 
um transferidor e uma folha de papel com um plano 
cartesiano. Para esboçar o desenho dessa tampa, ela 
afastou as hastes do compasso de forma que o ângulo 
formado por elas fosse de 120 . A ponta seca está 
representada pelo ponto C, a ponta do grafite está 
representada pelo ponto B e a cabeça do compasso 
está representada pelo ponto A conforme a figura. 
 
 
 
Após concluir o desenho, ela o encaminha para o 
setor de produção. Ao receber o desenho com a 
 
 
 
 
 
SENOS E COSSENOS 
 
indicação do raio da tampa, verificará em qual 
intervalo este se encontra e decidirá o tipo de 
material a ser utilizado na sua fabricação, de acordo 
com os dados. 
 
Tipo de material Intervalo de valores de raio (cm) 
I 0 R 5  
II 5 R 10  
III 10 R 15  
IV 15 R 21  
V 21 R 40  
 
Considere 1,7 como aproximação para 3. 
 
O tipo de material a ser utilizado pelo setor de 
produção será 
 
a) I b) II c) III d) IV e) V 
 
06. onsidere o triângulo retângulo ABD exibido na 
figura abaixo, em que AB 2 cm,= BC 1cm= e 
CD 5 cm.= Então, o ângulo θ é igual a 
 
 
 
a) 15 . 
b) 30 . 
c) 45 . 
d) 60 . 
e) 72° 
 
07. Seja um triângulo inscrito em uma circunferência 
de raio R. Se esse triângulo tem um ângulo medindo 
30 , seu lado oposto a esse ângulo mede 
 
a) 
R
2
 
b) R 
c) 2R 
d) 
2R
3
 
e) 3R 
08. João está procurando cercar um terreno triangular 
que ele comprou no campo. Ele sabe que dois lados 
desse terreno medem, respectivamente, 10 m e 6 m 
e formam entre si um ângulo de 120 . O terreno será 
cercado com três voltas de arame farpado. Se o preço 
do metro do arame custa R$ 5,00, qual será o valor 
gasto por João com a compra do arame? 
 
a) R$ 300,00 
b) R$ 420,00 
c) R$ 450,00 
d) R$ 500,00 
e) R$ 520,00 
 
09. No pentágono ABCDE da figura, o lado AB 
mede 3 cm; o lado AE mede 8 cm; o lado CD mede 
4 cm e os ângulos ˆ ˆBEC, A e D̂ medem 30 , 60  e 
90 respectivamente. 
 
 
 
Sendo a área do triângulo BCE igual a 210,5 cm , a 
medida, em cm, do lado DE é 
 
a) 18 
b) 20 
c) 22 
d) 24 
e) √21 
 
10. Um triângulo possui lados iguais a 6, 9 e 11. O 
cosseno do maior ângulo interno desse triângulo é: 
 
a) 
11
.
15
 b) 
1
.
27
− c) 
26
.
33
 d) 
2
.
27
− e) 1.− 
 
 
 
 
 
 
 
 
SENOS E COSSENOS 
 
11. Partindo de um ponto A, um avião deslocava-se, 
em linha reta, com velocidade v km / h. Após duas 
horas, quando se encontrava no ponto B, o avião 
desviou α graus de sua rota original, conforme indica 
a figura, devido às condições climáticas. Mantendo 
uma trajetória reta, o avião voou mais uma hora com 
a mesma velocidade v km / h, até atingir o ponto C. 
 
 
 
A distância entre os pontos A e C, em quilômetros, é 
igual a 
 
a) 2v 
b) v 5 
c) v 6 
d) v 7 
e) 2v 2 
 
12. A medida do cosseno do maiordos ângulos 
internos do triângulo cujas medidas dos lados são 
respectivamente 8 m, 10 m e 15 m é igual a 
 
a) 0,38125.− 
b) 0,42112.− 
c) 0,43713.− 
d) 0,46812.− 
e) – 0,52314 
 
13. Certo fabricante vende biscoitos em forma de 
canudinhos recheados, de diversos sabores. A caixa 
em que esses biscoitos são vendidos tem a forma de 
um prisma hexagonal. A parte de cima dessa caixa 
tem a forma de um hexágono, com as medidas 
indicadas na figura: 
 
 
 
Considerando a aproximação racional 1,7 para o valor 
de 3, a área da parte de cima dessa caixa, em 
centímetros quadrados, mede 
 
a) 49,6. 
b) 63,2. 
c) 74,8. 
d) 87,4. 
e) 92,3 
 
14. Os drones 1 e 2 (veículos aéreos não tripulados) 
saem em missão de um mesmo ponto geográfico P às 
20 h. Conforme a figura abaixo, o drone 1 tem sua 
rota dada na direção 60 nordeste, enquanto o drone 
2 tem sua rota dada na direção 15 sudeste. Após 1 
minuto, o drone 1 percorreu 1,8 km e o drone 2 
percorreu 1km, ambos em linha reta. 
 
 
 
A distância aproximada, considerando 2 e 3 
aproximadamente 1,4 e 1,7, respectivamente, em 
quilômetros, entre os dois drones, após 1 minuto, é 
igual a: 
 
a) 1,8 km. 
b) 2,2 km. 
c) 2,6 km. 
d) 3,4 km. 
e) 4,7 km. 
 
15. A figura a seguir exibe um pentágono com todos 
os lados de mesmo comprimento. 
 
 
 
A medida do ângulo θ é igual a 
 
a) 105 . b) 120 . c) 135 . d) 150 . e) 160° 
 
 
 
 
 
SENOS E COSSENOS 
 
16. Em certa cidade, a igreja está localiza no ponto A, 
a prefeitura no ponto B, e a livraria no ponto C, 
como mostra os pontos a seguir. Sabendo-se que a 
distância da igreja à prefeitura é de 10 metros, a 
distância da prefeitura à livraria corresponde a 15 
metros, e que o ângulo formado por essas duas 
direções é 60 , a distância da livraria à igreja é 
 
 
 
a) 17 5 m 
b) 5 7 m 
c) 25 7 m 
d) 7 5 m 
e) 7 m 
 
17. A base de um triângulo isósceles mede 3 3cm e 
o ângulo oposto à base mede 120°. A medida dos 
lados congruentes desse triângulo, em centímetros, é 
 
a) 3 
b) 2 
c) 3. 
d) 1 3.+ 
e) 2 3.− 
 
18. Dois navios deixam um porto ao mesmo tempo. O 
primeiro viaja a uma velocidade de 16 km/h em um 
curso de 45° em relação ao norte, no sentido horário. 
O segundo viaja a uma velocidade 6 km/h em um 
curso de 105° em relação ao norte, também no 
sentido horário. Após uma hora de viagem, a que 
distância se encontrarão separados os navios, 
supondo que eles tenham mantido o mesmo curso e 
velocidade desde que deixaram o porto? 
 
a) 10 km 
b) 14 km 
c) 15 km 
d) 17 km 
e) 22 km 
 
19. Um professor de geografia forneceu a seus alunos 
um mapa do estado de São Paulo, que informava que 
as distâncias aproximadas em linha reta entre os 
pontos que representam as cidades de São Paulo e 
Campinas e entre os pontos que representam as 
cidades de São Paulo e Guaratinguetá eram, 
respectivamente, 80km e 160km. Um dos alunos 
observou, então, que as distâncias em linha reta entre 
os pontos que representam as cidades de São Paulo, 
Campinas e Sorocaba formavam um triângulo 
equilátero. Já um outro aluno notou que as distâncias 
em linha reta entre os pontos que representam as 
cidades de São Paulo, Guaratinguetá e Campinas 
formavam um triângulo retângulo, conforme mostra o 
mapa. 
 
 
 
Com essas informações, os alunos determinaram que 
a distância em linha reta entre os pontos que 
representam as cidades de Guaratinguetá e Sorocaba, 
em km, é próxima de 
 
a) 80 2 5 3 +  
b) 80 5 2 3 +  
c) 80 6 
d) 80 5 3 2 +  
e) 80 7 3  
 
20. A caminhada é uma das atividades físicas que, 
quando realizada com frequência, torna-se eficaz na 
prevenção de doenças crônicas e na melhora da 
qualidade de vida. Para a prática de uma caminhada, 
uma pessoa sai do ponto A, passa pelos pontos B e C e 
retorna ao ponto A, conforme trajeto indicado na 
figura. 
 
 
 
Quantos quilômetros ela terá caminhado, se percorrer 
todo o trajeto? 
 
a) 2,29 b) 2,33 c) 3,16 d) 3,50 e) 4,80 
 
 
 
 
 
SENOS E COSSENOS 
 
21. Uma praça circular de raio R foi construída a partir 
da planta a seguir: 
 
 
 
Os segmentos AB, BC e CA simbolizam ciclovias 
construídas no interior da praça, sendo que 
AB 80 m.= De acordo com a planta e as informações 
dadas, é correto afirmar que a medida de R é igual a: 
 
a) 
160 3
m
3
 b) 
80 3
m
3
 c) 
16 3
m
3
 
d) 
8 3
m
3
 e) 
3
m
3
 
 
22. Observe a figura a seguir, em que estão indicadas 
as medidas dos lados do triângulo maior e alguns dos 
ângulos. 
 
 
 
O seno do ângulo indicado por α na figura vale: 
 
a) 
4 3 3
10
−
 
b) 
4 3
10
−
 
c) 
4 3 3
10
−
 
d) 
4 3 3
10
+
 
e) 
4 3 3
10
+
 
 
 
 
23. Na figura estão posicionadas as cidades vizinhas A, 
B e C, que são ligadas por estradas em linha reta. 
Sabe-se que, seguindo por essas estradas, a distância 
entre A e C é de 24 km, e entre A e B é de 36 km. 
 
 
 
Nesse caso, pode-se concluir que a distância, em km, 
entre B e C é igual a 
 
a) 8 17. 
b) 12 19. 
c) 12 23. 
d) 20 15. 
e) 20 13. 
 
24. No dia 11 de março de 2011, o Japão foi sacudido 
por terremoto com intensidade de 8,9 na Escala 
Richter, com o epicentro no Oceano Pacífico, a 360 
km de Tóquio, seguido de tsunami. A cidade de 
Sendai, a 320 km a nordeste de Tóquio, foi atingida 
pela primeira onda do tsunami após 13 minutos. 
 
 
 
Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo que 
cos 0,934  , onde  é o ângulo Epicentro-Tóquio-
Sendai, e que 8 22 3 93,4 215 100   , a velocidade 
média, em km/h, com que a 1ª onda do tsunami 
atingiu até a cidade de Sendai foi de: 
 
a) 10 b) 50 c) 100 d) 250 e) 600 
 
 
 
 
 
 
 
SENOS E COSSENOS 
 
25. A figura a seguir apresenta o delta do rio Jacuí, 
situado na região metropolitana de Porto Alegre. Nele 
se encontra o parque estadual Delta do Jacuí, 
importante parque de preservação ambiental. Sua 
proximidade com a região metropolitana torna-o 
suscetível aos impactos ambientais causados pela 
atividade humana. 
 
 
 
A distância do ponto B ao ponto C é de 8 km, o ângulo 
µA mede 45° e o ânguloµCmede 75°. Uma maneira de 
estimar quanto do Delta do Jacuí está sob influência 
do meio urbano é dada pela distância do ponto A ao 
ponto C. Essa distância, em km, é 
 
a) 
8 6
3
 
b) 4 6 
c) 8 2 3+ 
d) 8( 2 3)+ 
e) 
2 6
3
 
 
26. Um grupo de escoteiros pretende escalar uma 
montanha ate o topo, representado na figura abaixo 
pelo ponto D, visto sob ângulos de 40° do 
acampamento B e de 60° do acampamento A. 
 
Dado: sen 20º 0,342= 
 
 
 
Considerando que o percurso de 160 m entre A e B e 
realizado segundo um angulo de 30° em relação a 
base da montanha, então, a distância entre B e D, em 
m, e de, aproximadamente, 
 
a) 190 
b) 234 
c) 260 
d) 320 
e) 376 
 
27. Uma pessoa se encontra no ponto A de uma 
planície, às margens de um rio e vê, do outro lado do 
rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto B. Com 
o objetivo de determinar a altura h do mastro, ela 
anda, em linha reta, 50 m para a direita do ponto em 
que se encontrava e marca o ponto C. Sendo D o pé 
do mastro, avalia que os ângulos ˆBAC e ˆBCD valem 
30 , e o ˆACB vale 105 , como mostra a figura: 
 
 
 
A altura h do mastro da bandeira, em metros, é 
 
a) 12,5. 
b) 12,5 2. 
c) 25,0. 
d) 25,0 2. 
e) 35,0. 
 
28. Para explorar o potencial turístico de uma cidade, 
conhecida por suas belas paisagens montanhosas, o 
governo pretende construir um teleférico, ligando o 
terminal de transportes coletivos ao pico de um 
morro, conforme a figura a seguir. 
 
 
 
Para a construção do teleférico, há duas 
 
 
 
 
 
SENOS E COSSENOS 
 
possibilidades: 
 
• o ponto de partida ficar localizado no terminal de 
transportes coletivos (pontoA), com uma parada 
intermediária (ponto B), e o ponto de chegada 
localizado no pico do morro (ponto C); 
• o ponto de partida ficar localizado no ponto A e o de 
chegada localizado no ponto C, sem parada 
intermediária. 
 
Supondo que AB 300 3 m, BC 200 m, = = BÂP = 
20º e ˆCBN 50=  , é correto afirmar que a distância 
entre os pontos A e C é de: 
 
a) 700 m 
b) 702 m 
c) 704 m 
d) 706 m 
e) 708 m 
 
29. A prefeitura de certa cidade vai construir, sobre 
um rio que corta essa cidade, uma ponte que deve ser 
reta e ligar dois pontos, A e B, localizados nas margens 
opostas do rio. Para medir a distância entre esses 
pontos, um topógrafo localizou um terceiro ponto, C, 
distante 200m do ponto A e na mesma margem do rio 
onde se encontra o ponto A. Usando um teodolito 
(instrumento de precisão para medir ângulos 
horizontais e ângulos verticais, muito empregado em 
trabalhos topográficos), o topógrafo observou que os 
ângulos B Ĉ A e C Â B mediam, respectivamente, 30º e 
105º, conforme ilustrado na figura a seguir. 
 
 
 
Com base nessas informações, é correto afirmar que a 
distância, em metros, do ponto A ao ponto 
B é de: 
 
a) 200 2 b) 180 2 c) 150 2 
d) 100 2 e) 50 2 
30. Leia com atenção o problema proposto a Calvin na 
tira seguinte. 
 
 
 
Supondo que os pontos A, B e C sejam vértices de um 
triângulo cujo ângulo do vértice A mede 60°, então a 
resposta correta que Calvin deveria encontrar para o 
problema é, em centímetros, 
 
a) 
(5 3)
3
 
b) 
(8 3)
3
 
c) 
(10 3)
3
 
d) 5 3 
e) 10 3 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1 -C 6 -C 11 -E 16 -B 21 -B 26 -B 
2 -C 7 -B 12 -A 17 -A 22 -A 27 -B 
3 -C 8 -C 13 -C 18 -B 23 -B 28 -A 
4 -E 9 -B 14 -A 19 -B 24 -E 29 -D 
5 -D 10 -B 15 -B 20 -D 25 -B 30 -C 
 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
01. O círculo a seguir tem o centro na origem do plano 
cartesiano xy e raio igual a 1. Nele, AP determina 
um arco de 120 . 
 
 
 
As coordenadas de P são: 
 
a) 
1 3
,
2 2
 
−  
 
 
b) 
1 2
,
2 2
 
−  
 
 
c) 
3 1
,
2 2
 
−  
 
 
d) 
2 1
,
2 2
 
−  
 
 
e) ( - 0,2 , 07 ) 
 
02. Um grupo de engenheiros está projetando um 
motor cujo esquema de deslocamento vertical do 
pistão dentro da câmara de combustão está 
representado na figura. 
 
 
 
A função 
t
h(t) 4 4sen
2 2
β π 
= + − 
 
 definida para t 0 
descreve como varia a altura h, medida em 
centímetro, da parte superior do pistão dentro da 
câmara de combustão, em função do tempo t, 
medido em segundo. Nas figuras estão indicadas as 
alturas do pistão em dois instantes distintos. O valor 
do parâmetro ,β que é dado por um número inteiro 
positivo, está relacionado com a velocidade de 
deslocamento do pistão. Para que o motor tenha uma 
boa potência, é necessário e suficiente que, em 
menos de 4 segundos após o início do funcionamento 
(instante t 0),= a altura da base do pistão alcance por 
três vezes o valor de 6 cm. Para os cálculos, utilize 3 
como aproximação para .π 
 
O menor valor inteiro a ser atribuído ao parâmetro ,β 
de forma que o motor a ser construído tenha boa 
potência, é 
 
a) 1. 
b) 2. 
c) 4. 
d) 5. 
e) 8. 
 
03. Um ponto A, que se movimenta sobre uma 
circunferência, tem sua posição p(t), considerada na 
vertical, no instante t, descrita pela relação 
p(t) 100 20 sen (t),= − para t 0. Nesse caso, a 
medida do diâmetro dessa circunferência é 
 
a) 30. 
b) 40. 
c) 50. 
d) 80. 
e) 120. 
 
04. Em 2014 foi inaugurada a maior roda-gigante do 
mundo, a High Roller, situada em Las Vegas. A figura 
representa um esboço dessa roda-gigante, no qual o 
ponto A representa uma de suas cadeiras: 
 
 
 
A partir da posição indicada, em que o segmento OA 
se encontra paralelo ao plano do solo, rotaciona-se a 
 
 
 
 
 
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
High Roller no sentido anti-horário, em torno do 
ponto O. Sejam t o ângulo determinado pelo 
segmento OA em relação à sua posição inicial, e f a 
função que descreve a altura do ponto A, em relação 
ao solo, em função de t. 
 
Após duas voltas completas, f tem o seguinte gráfico: 
 
 
 
A expressão da função altura é dada por 
 
a) f(t) 80 sen(t) 88= + 
b) f(t) 80 cos(t) 88= + 
c) f(t) 88 cos(t) 168= + 
d) f(t) 168 sen(t) 88 cos(t)= + 
e) f(t) 88 sen(t) 168 cos(t)= + 
 
05. Em estudo divulgado recentemente na The Optical 
Society of America, pesquisadores da Tong University 
revelaram uma forma de transmitir dados de 
comunicação de forma segura utilizando as águas dos 
mares como meio de transporte das informações. No 
artigo, os cientistas apresentam o seguinte gráfico 
como parte dos resultados. 
 
 
 
Uma função trigonométrica que modela 
razoavelmente bem a curva indicada por A no gráfico 
do artigo, com x em graus e y em “coincidências em 
1s", é 
a) y 22.000 cos (x).= + 
b) y 22.000 10.000 cos (2x).= + 
c) y 22.000 sen (4x).= + 
d) y 11.000 sen (2x).= + 
e) y 11.000 10.000 sen (4x).= + 
 
06. Observe os gráficos das funções reais f e g, 
definidas por senxf(x) 2= e cosxg(x) 4 .= 
 
 
 
Considere p pP(x , y ) um ponto comum aos gráficos 
das funções f e g tal que px , em radianos, é um 
ângulo do primeiro quadrante. Nessas condições, 
pcosx é igual a 
 
a) 
3
4
 
b) 
2
3
 
c) 
6
4
 
d) 
5
5
 
e) 
5
4
 
 
07. A função y a bcos x,= + com a e b reais, 
representada graficamente a seguir, intersecta o eixo 
y no ponto de coordenadas (0, 1)− e tem valor 
máximo y 5.= Qual é o valor da soma 5a 2b?+ 
 
 
 
a) 4 b) 1− c) 3 d) 2− e) 6 
 
 
 
 
 
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
08. A atração gravitacional que existe entre a Terra e a 
Lua provoca, entre outros fenômenos, o da chamada 
maré astronômica, que se caracteriza pelo periódico 
aumento e diminuição do nível do mar. Medindo e 
tabulando essas variações, os estudiosos do assunto 
podem descrever matematicamente o 
comportamento do nível do mar em determinado 
local por meio de uma função. A fórmula a seguir 
corresponde a medições feitas na cidade de Boston, 
no dia 10 de fevereiro de 1990. 
 
h(t) 1,5 1,4 cos t
6
π 
= +   
 
 
 
Nessa função, h(t) (em metros) corresponde à altura 
do nível do mar, e t, ao tempo transcorrido desde a 
meia-noite (em horas). Com base nessas informações, 
quantas horas se passaram desde o início da medição 
até que o nível do mar tenha atingido 2,2 metros pela 
primeira vez? 
 
a) 2 horas 
b) 3 horas 
c) 4 horas 
d) 5 horas 
e) 6 horas 
 
09. Um cientista, em seus estudos para modelar a 
pressão arterial de uma pessoa, utiliza uma função do 
tipo P(t) A Bcos(kt)= + em que A, B e k são 
constantes reais positivas e t representa a variável 
tempo, medida em segundo. Considere que um 
batimento cardíaco representa o intervalo de tempo 
entre duas sucessivas pressões máximas. Ao analisar 
um caso específico, o cientista obteve os dados: 
 
Pressão mínima 78 
Pressão máxima 120 
Número de batimentos cardíacos por minuto 90 
 
A função P(t) obtida, por este cientista, ao analisar o 
caso específico foi 
 
a) P(t) 99 21cos(3 t)π= + 
b) P(t) 78 42cos(3 t)π= + 
c) P(t) 99 21cos(2 t)π= + 
d) P(t) 99 21cos(t)= + 
e) P(t) 78 42cos(t)= + 
 
10. Uma quantidade fixa de um gás ideal é mantida a 
temperatura constante, e seu volume varia com o 
tempo de acordo com a seguinte fórmula: 
 
2V(t) log (5 2 sen( t)), 0 t 2,π= +   
 
em que t é medido em horas e V(t) é medido em 
3m . A pressão máxima do gás no intervalo de tempo 
[0, 2] ocorre no instante 
 
a) t 0,4= 
b) t 0,5= 
c) t 1= 
d) t 1,5= 
e) t 2= 
 
11. Seja x um número real, 0 x 2,π  tal que a 
sequência (tan x, sec x, 2) é uma progressão 
aritmética (PA). Então, a razão dessa PA é igual a 
 
a) 1.b) 5 4. 
c) 4 3. 
d) 1 3. 
e) 2 
 
12. A pressão arterial é a pressão que o sangue exerce 
sobre as paredes das artérias. Ela atinge o valor 
máximo (pressão sistólica) quando os ventrículos se 
contraem, e o valor mínimo (pressão diastólica) 
quando eles estão em repouso. Suponhamos que a 
variação da pressão arterial (em mmHg) de um 
cidadão portoalegrense em função do tempo (em 
segundos) é dada por 
8
P(t) 100 20 cos t .
3
π 
= −   
 
 
Diante disso, os valores da pressão diastólica e 
sistólica, em mmHg, são iguais, respectivamente, a 
 
a) 60 e 100 
b) 60 e 120 
c) 80 e 120 
d) 80 e 130 
e) 90 e 120 
 
13. Em física, a posição de uma partícula pontual em 
um oscilador harmônico é dada pela função 
trigonométrica abaixo: x A cos φ=  , onde: x é a 
posição da partícula, A é amplitude de oscilação e φ 
é a fase. 
 
Considerando que a amplitude de oscilação é de 4 cm 
 
 
 
 
 
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
qual a posição da partícula quando a fase é 
2
3
π
 
radianos? 
 
a) 4 cm.− 
b) 2 cm.− 
c) 0. 
d) 2 cm. 
e) 4 cm. 
 
14. Há milhares de anos, os homens sabem que a Lua 
tem alguma relação com as marés. Antes do ano 100 
a.C., o naturalista romano Plínio escreveu sobre a 
influência da Lua nas marés. Mas as leis físicas desse 
fenômeno não foram estudadas até que o cientista 
inglês Isaac Newton descobriu a lei da gravitação no 
século XVII. As marés são movimentos de fluxo e 
refluxo das águas dos mares provocados pela atração 
que a Lua e secundariamente o Sol exercem sobre os 
oceanos. Qualquer massa de água, grande ou 
pequena, está sujeita às forças causadoras de maré 
provindas do Sol e da Lua. Porém é somente no ponto 
em que se encontram os oceanos e os continentes 
que as marés têm grandeza suficiente para serem 
percebidas. As águas dos rios e lagos apresentam 
subida e descida tão insignificante que a diferença é 
inteiramente disfarçada por mudanças de nível 
devidas ao vento e ao estado do tempo. 
 
Sendo a maré representada por uma função 
periódica, e supondo que a função que descreve 
melhor o movimento da maré em Salvador - BA é 
dada pela expressão: A(t) 1,8 1,2 sen(0,5 t 0,8 ),π π= + + 
t é o tempo em horas 0 t 24.  
 
Sendo assim, as alturas máxima e mínima da maré 
descrita pela função A(t) são, respectivamente: 
 
a) 3,0 m e 0,6 m 
b) 3,0 m e 0,8 m 
c) 2,5 m e 0,6 m 
d) 2,5 m e 0,8 m 
e) 2,8 m e 0,6 m 
 
15. Raios de luz solar estão atingindo a superfície de 
um lago formando um ângulo x com a sua superfície, 
conforme indica a figura. Em determinadas condições, 
pode-se supor que a intensidade luminosa desses 
raios, na superfície do lago, seja dada 
aproximadamente por I(x) k sen(x)=  sendo k uma 
constante, e supondo-se que x está entre 0 e 90 . 
 
 
Quando x 30 ,=  a intensidade luminosa se reduz a 
qual percentual de seu valor máximo? 
 
a) 33% 
b) 50% 
c) 57% 
d) 70% 
e) 86% 
 
16. Suponha que uma revista publicou um artigo no 
qual era estimado que, no ano de 2015 x,+ com 
x {0,1, 2, , 9, 10}, K o valor arrecadado dos impostos 
incidentes sobre as exportações de certo país, em 
milhões de dólares, poderia ser obtido pela função 
f(x) 250 12cos x .
3
π 
= +  
 
 Caso essa previsão se 
confirme, então, relativamente ao total arrecadado a 
cada ano considerado, é correto afirmar que: 
 
a) o valor máximo ocorrerá apenas em 2021. 
b) atingirá o valor mínimo somente em duas ocasiões. 
c) poderá superar 300 milhões de dólares. 
d) nunca será inferior a 250 milhões de dólares. 
e) sempre será superior a 250 milhões de dólares. 
 
17. O número de quartos ocupados em um hotel varia 
de acordo com a época do ano. Estima-se que o 
número de quartos ocupados em cada mês de 
determinado ano seja dado por 
Q(x) 150 30cos x
6
π 
= +  
 
 em que x é estabelecido da 
seguinte forma: x 1= representa o mês de janeiro, 
x 2= representa o mês de fevereiro, x 3= 
representa o mês de março, e assim por diante. 
Em junho, em relação a março, há uma variação 
porcentual dos quartos ocupados em 
 
a) 20%− 
b) 15%− 
c) 30%− 
d) 25%− 
e) 50%− 
 
 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
18. Na cidade de Recife, mesmo que muito 
discretamente, devido à pequena latitude em que nos 
encontramos, percebemos que, no verão, o dia se 
estende um pouco mais em relação à noite e, no 
inverno, esse fenômeno se inverte. Já em outros 
lugares do nosso planeta, devido a grandes latitudes, 
essa variação se dá de forma muito mais acentuada. É 
o caso de Ancara, na Turquia, onde a duração de luz 
solar L, em horas, no dia d do ano, após 21 de 
março, é dada pela função: 
 
2
L(d) 12 2,8 sen (d 80)
365
π 
= +  − 
 
 
 
Determine, em horas, respectivamente, a máxima e a 
mínima duração de luz solar durante um dia em 
Ancara. 
 
a) 12,8 e 12 
b) 14,8 e 9,2 
c) 12,8 e 9,2 
d) 12 e 12 
e) 14,8 e 12 
 
19. Um professor de Matemática, ao acompanhar o 
desfile da Oktoberfest, percebeu que havia um ponto 
marcado na roda de uma carroça, representado 
abaixo como ponto A. Ele percebeu, ainda, que a 
carroça se deslocava a uma velocidade constante e 
que a roda, com 1m de diâmetro, levava 3 segundos 
para completar uma volta. 
 
Considere que o ponto A toca o solo e atinge a maior 
altura possível. Sobre a função que descreve a altura 
em que o ponto A está em relação ao solo (em 
metros), em função do tempo (em segundos), é 
correto afirmar que: 
 
 
 
a) A função é afim, e seu coeficiente angular é 3. 
b) A função é periódica, sua imagem é o conjunto 
[0, 1] e seu período é 3 segundos. 
c) A função pode ser representada pela equação 
y 3x 1,= + em que x corresponde ao tempo 
decorrido em segundos e, y, à altura do ponto A. 
d) A função pode ser representada pela equação 
y x 3,= + em que x corresponde ao tempo 
decorrido em segundos e, y, à altura do ponto A. 
e) A função pode ser representada pela equação 
y 3x² 1,= + em que x corresponde ao tempo 
decorrido em segundos e, y, à altura do ponto A. 
 
20. O calçadão de Copacabana é um dos lugares mais 
visitados no Rio de Janeiro. Seu traçado é baseado na 
praça do Rocio, em Lisboa, e simboliza as ondas do 
mar. 
 
 
 
Quando vemos seus desenhos, fica evidente que 
podemos pensar na representação gráfica de uma 
função 
 
a) logarítmica 
b) exponencial 
c) seno ou cosseno 
d) polinomial de grau 1. 
e) polinomial de grau 2. 
 
21. A pressão arterial P (em mmHg) de uma pessoa 
varia, com o tempo t (em segundos), de acordo com a 
função definida por P(t) 100 20cos(6t ),π= + + em 
que cada ciclo completo (período) equivale a um 
batimento cardíaco. 
 
Considerando que 19 60,π  quais são, de acordo 
com a função, respectivamente, a pressão mínima, a 
pressão máxima e a frequência de batimentos 
cardíacos por minuto dessa pessoa? 
 
a) 80, 120 e 57 
b) 80, 120 e 60 
c) 80, 100 e 19 
d) 100, 120 e 19 
e) 100, 120 e 60 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
22. Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e 
Estatística (IBGE), produtos sazonais são aqueles que 
apresentam ciclos bem definidos de produção, 
consumo e preço. Resumidamente, existem épocas do 
ano em que a sua disponibilidade nos mercados 
varejistas ora é escassa, com preços elevados, ora é 
abundante, com preços mais baixos, o que ocorre no 
mês de produção máxima da safra. A partir de uma 
série histórica, observou-se que o preço P, em reais, 
do quilograma de um certo produto sazonal pode ser 
descrito pela função 
x
P(x) 8 5cos ,
6
π π− 
= +  
 
 onde x 
representa o mês do ano, sendo x 1= associado ao 
mês de janeiro, x 2= ao mês de fevereiro, e assim 
sucessivamente, até x 12= associado ao mês de 
dezembro. 
 
Na safra, o mês de produção máxima desse produto é 
 
a) janeirob) abril 
c) junho 
d) julho 
e) outubro 
 
23. Uma pessoa usa um programa de computador que 
descreve o desenho da onda sonora correspondente a 
um som escolhido. A equação da onda é dada, num 
sistema de coordenadas cartesianas, por 
y a sen[b(x c)],=  + em que os parâmetros a, b, c são 
positivos. O programa permite ao usuário provocar 
mudanças no som, ao fazer alterações nos valores 
desses parâmetros. A pessoa deseja tornar o som 
mais agudo e, para isso, deve diminuir o período da 
onda. 
 
O(s) único(s) parâmetro(s) que necessita(m) ser 
alterado(s) é(são) 
 
a) a. 
b) b. 
c) c. 
d) a e b. 
e) b e c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24. Suponha que, em determinado lugar, a 
temperatura média diária T, em °C, possa ser 
expressa, em função do tempo t , em dias decorridos 
desde o início do ano, por 
 
2 (t 105)
T(t) 14 12sen .
364
π − 
= +  
 
 
 
Segundo esse modelo matemático, a temperatura 
média máxima nesse lugar, ocorre, no mês de 
 
a) julho 
b) setembro 
c) junho 
d) dezembro 
e) março 
 
25. Com o objetivo de auxiliar os maricultores a 
aumentar a produção de ostras e mexilhões, um 
engenheiro de aquicultura fez um estudo sobre a 
temperatura da água na região do sul da ilha, em 
Florianópolis. Para isso, efetuou medições durante 
três dias consecutivos, em intervalos de 1 hora. As 
medições iniciaram às 5 horas da manhã do primeiro 
dia (t 0)= e os dados foram representados pela 
função periódica 
t
T(t) 24 3cos ,
6 3
π π 
= + + 
 
 em que t 
indica o tempo (em horas) decorrido após o início da 
medição e T(t), a temperatura (em C) no instante t. 
O período da função, o valor da temperatura máxima 
e o horário em que ocorreu essa temperatura no 
primeiro dia de observação valem, respectivamente: 
 
a) 6 h, 25,5 C e 10 h. 
b) 12 h, 27 C e 10 h. 
c) 12 h, 27 C e 15 h. 
d) 6 h, 25,5 C e 15 h. 
e) 7 h, 26,9 °C e 11 h 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1 -A 6 -D 11 -D 16 -B 21 -A 
2 -D 7 -A 12 -C 17 -A 22 -D 
3 -B 8 -A 13 -B 18 -B 23 -B 
4 -A 9 -A 14 -A 19 -B 24 -A 
5 -E 10 -D 15 -B 20 -C 25 -C 
 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS 
 
01. Numa gincana, a equipe "Já Ganhou" recebeu o 
seguinte desafio: fotografar a construção localizada na 
rua Marechal Hermes no número igual à nove vezes o 
valor do ângulo  da figura a seguir: 
 
 
 
Se a Equipe resolver corretamente o problema irá 
fotografar a construção localizada no número: 
 
a) 990 
b) 261 
c) 999 
d) 1026 
e) 1260 
 
02. Rotas aéreas são como pontes que ligam cidades, 
estados ou países. O mapa a seguir mostra os estados 
brasileiros e a localização de algumas capitais 
identificadas pelos números. Considere que a direção 
seguida por um avião AI que partiu de Brasília – DF, 
sem escalas, para Belém, no Pará, seja um segmento 
de reta com extremidades em DF e em 4. 
 
 
 
Suponha que um passageiro de nome Carlos pegou 
um avião AII, que seguiu a direção que forma um 
ângulo de 135o graus no sentido horário com a rota 
Brasília – Belém e pousou em alguma das capitais 
brasileiras. Ao desembarcar, Carlos fez uma conexão e 
embarcou em um avião AIII, que seguiu a direção que 
forma um ângulo reto, no sentido anti-horário, com a 
direção seguida pelo avião AII ao partir de Brasília-DF. 
Considerando que a direção seguida por um avião é 
sempre dada pela semirreta com origem na cidade de 
partida e que passa pela cidade destino do avião, pela 
descrição dada, o passageiro Carlos fez uma conexão 
em 
 
a) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para 
Curitiba. 
b) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para 
Salvador. 
c) Boa Vista, e em seguida embarcou para Porto 
Velho. 
d) Goiânia, e em seguida embarcou para o Rio de 
Janeiro. 
e) Goiânia, e em seguida embarcou para Manaus. 
 
03. Na figura abaixo, OP é bissetriz do ângulo ˆAOB. 
Determine o valor de x e y. 
 
 
 
a) x 13= e y 49= 
b) x 15= e y 35= 
c) x 12= e y 48= 
d) x 17= e y 42= 
e) x 10= e y 50= 
 
04. Júlia começou a estudar Geometria na sua escola. 
Com dúvida em um exercício passado pelo professor 
de matemática, ela pediu ajuda ao seu tio. O 
enunciado era: “As retas r e s são paralelas; as retas u 
e t, duas transversais. Encontre o valor do ângulo x na 
figura abaixo”. Portanto, o valor de x é: 
 
 
 
a) 120º b) 125º c) 130º d) 135º e) 140º 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS 
 
05. As retas t e s são paralelas. A medida do ângulo x, 
em graus, é 
 
a) 30 
b) 40 
c) 50 
d) 60 
e) 70 
 
06. O símbolo internacional de acesso, mostrado na 
figura, anuncia local acessível para o portador de 
necessidades especiais. Na concepção desse símbolo, 
foram empregados elementos gráficos geométricos 
elementares. 
 
 
 
Os elementos geométricos que constituem os 
contornos das partes claras da figura são 
 
a) retas e círculos. 
b) retas e circunferências. 
c) arcos de circunferências e retas. 
d) coroas circulares e segmentos de retas. 
e) arcos de circunferências e segmentos de retas. 
 
07. Um triângulo isósceles tem dois lados congruentes 
(de medidas iguais) e o outro lado é chamado de base. 
Se em um triângulo isósceles o ângulo externo 
relativo ao vértice oposto da base mede 130°, então 
os ângulos internos deste triângulo medem: 
 
a) 10°, 40° e 130° 
b) 25°, 25° e 130° 
c) 50°, 60° e 70° 
d) 60°, 60° e 60° 
e) 50°, 65° e 65° 
08. Um programa de edição de imagens possibilita 
transformar figuras em outras mais complexas. 
Deseja-se construir uma nova figura a partir da 
original. A nova figura deve apresentar simetria em 
relação ao ponto O. 
 
 
 
A imagem que representa a nova figura é: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS 
 
09. No triângulo OYZ, os lados OY e OZ têm medidas 
iguais. Se W é um ponto do lado OZ tal que os 
segmentos YW, WO e YZ têm a mesma medida, então, 
a medida do ângulo YÔZ é 
 
a) 46° 
b) 42° 
c) 36° 
d) 30° 
11) 36° 
 
10. Na figura abaixo, a e b são retas paralelas. 
 
 
 
A afirmação correta a respeito do número que 
expressa, em graus, a medida do ângulo é 
 
a) um número primo maior que 23. 
b) um número ímpar. 
c) um múltiplo de 4. 
d) um divisor de 60. 
e) um múltiplo comum entre 5 e 7. 
 
11. A medida de y na figura, em graus, é: 
 
 
 
a) 42° 
b) 32° 
c) 142° 
d) 148° 
e) 24° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. Uma criança deseja criar triângulos utilizando 
palitos de fósforo de mesmo comprimento. Cada 
triângulo será construído com exatamente 17 palitos 
e pelo menos um dos lados do triângulo deve ter o 
comprimento de exatamente 6 palitos. A figura 
ilustra um triângulo construído com essas 
características. 
 
 
 
A quantidade máxima de triângulos não congruentes 
dois a dois que podem ser construídos é 
 
a) 3. 
b) 5. 
c) 6. 
d) 8. 
e) 10. 
 
13. Uma família fez uma festa de aniversário e 
enfeitou o local da festa com bandeirinhas de papel. 
Essas bandeirinhas foram feitas da seguinte maneira: 
inicialmente, recortaram as folhas de papel em forma 
de quadrado, como mostra a Figura 1. Em seguida, 
dobraram as folhas quadradas ao meio sobrepondo os 
lados BC e AD, de modo que C e D coincidam, e o 
mesmo ocorra com A e B, conforme ilustrado na 
Figura 2. Marcaram os pontos médios O e N, dos 
lados FG e AF, respectivamente, e o ponto M do 
lado AD, de modo que AM seja igual a um quarto de 
AD. A seguir, fizeram cortes sobre as linhas 
pontilhadas ao longo da folha dobrada. 
 
 
 
Após os cortes, a folha e aberta e a bandeirinha esta 
pronta. 
α
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS 
 
A figura que representa a forma da bandeirinha 
pronta é 
 
a) b) c) 
 
d) e) 
 
 
14. Calcule o valor de x, em graus, na figura: 
 
 
 
a) 16. 
b) 10. 
c) 20. 
d) 58. 
e) 32. 
 
15. Observe as imagens para responder à questão 
proposta. Ao se recortara figura 1, obteve-se a figura 
2. 
 
 
 
Assinale a alternativa que apresenta o complemento 
correto da figura 2 para se refazer a figura 1. 
 
a) b) 
c) d) 
 
 
e) 
 
16. A figura representa um triângulo ABC, com E e 
D sendo pontos sobre AC. Sabe-se ainda que 
AB AD,= CB CE= e que ˆEBD mede 39 . 
 
 
 
Nas condições dadas, a medida de 𝐴�̂�𝐶 é 
 
a) 102 b) 108 c) 111 d) 115 e) 117 
 
17. Uma família resolveu comprar um imóvel num 
bairro cujas ruas estão representadas na figura. As 
ruas com nomes de letras são paralelas entre si e 
perpendiculares às ruas identificadas com números. 
Todos os quarteirões são quadrados, com as mesmas 
medidas, e todas as ruas têm a mesma largura, 
permitindo caminhar somente nas direções vertical e 
horizontal. Desconsidere a largura das ruas. 
 
 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS 
 
A família pretende que esse imóvel tenha a mesma 
distância de percurso até o local de trabalho da mãe, 
localizado na rua 6 com a rua E, o consultório do pai, 
na rua 2 com a rua E, e a escola das crianças, na rua 4 
com a rua A. 
 
Com base nesses dados, o imóvel que atende as 
pretensões da família deverá ser localizado no 
encontro das ruas 
 
a) 3 e C. 
b) 4 e C. 
c) 4 e D. 
d) 4 e E. 
e) 5 e C. 
 
18. Em um círculo recortado em papel cartão foi feito 
o desenho de um homem estilizado. Esse círculo foi 
utilizado para montar uma roleta, conforme a figura 1, 
fixada em uma parede. Quando a roleta é acionada, o 
círculo gira livremente em torno do seu centro, e o 
triângulo indicador permanece fixo na parede. 
 
 
 
Considerando, inicialmente, a imagem do homem na 
posição da figura 1, obtém-se, após a roleta realizar 
uma rotação de três quartos de volta, no sentido 
horário, a figura representada em 
 
a) b) c) 
 
d) e) 
 
 
 
 
 
 
 
19. Neste triângulo, tem-se AB AM,= ˆMAN 70 ,=  
ˆAMN 30=  e ˆANM 80 .=  
 
 
 
O valor de α θ− é 
 
a) 50 . 
b) 60 . 
c) 70 . 
d) 80 . 
e) 32° 
 
20. Em um triângulo ABC, BÂC é o maior ângulo e 
ˆACB é o menor ângulo. A medida do ângulo BÂC é 
70 maior que a medida de ˆACB. A medida de BÂC 
é o dobro da medida de ˆABC. 
 
Portanto, as medidas dos ângulos são 
 
a) 20 , 70  e 90 . 
b) 20 , 60  e 100 . 
c) 10 , 70  e 100 . 
d) 30 , 50  e 100 . 
e) 30 , 60  e 90 . 
 
21. Observe. 
 
 
 
No quadrilátero ABCD, o valor de y x− é igual a 
 
a) 2x b) 2y c) 
x
2
 d) 
y
2
 e) 
y
3
 
 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS 
 
22. Sejam dois ângulos x e y tais que (2x) e (y 10 )+  
são ângulos complementares e (5 x) e (3 y 40 )−  são 
suplementares. 
 
O ângulo x mede 
 
a) 5 . 
b) 10 . 
c) 15 . 
d) 20 . 
e) 34° 
 
23. Analisando o manual de instruções do refrigerador 
RDE30, observamos um destaque para o momento de 
transportá-lo. Observe abaixo o trecho desse manual 
sobre transporte do refrigerador. 
 
 
 
Transporte 
 
Caso necessite transportar seu Refrigerador em 
pequenos deslocamentos, incline-o para trás ou para 
um dos lados com ângulo máximo de 30 . Caso 
necessite transportar seu Refrigerador em longos 
deslocamentos (ex.: mudança), movimente-o em pé. 
 
Sabendo que o ângulo máximo de inclinação do 
refrigerador é 30 , a metade do suplemento desse 
ângulo é de 
 
a) 60 . 
b) 75 . 
c) 45 . 
d) 30 . 
e) 15 . 
 
 
 
24. Observe. 
 
 
 
Se ABC é um triângulo, o valor de α é 
 
a) 10 
b) 15 
c) 20 
d) 25 
e) 32° 
 
25. O remo de assento deslizante é um esporte que 
faz uso de um barco e dois remos do mesmo 
tamanho. 
A figura mostra uma das posições de uma técnica 
chamada afastamento. 
 
 
 
Nessa posição, os dois remos se encontram no ponto 
A e suas outras extremidades estão indicadas pelos 
pontos B e C. Esses três pontos formam um triângulo 
ABC cujo ângulo ˆBAC tem medida de 170 . 
 
O tipo de triângulo com vértices nos pontos A, B e C, 
no momento em que o remador está nessa posição, é 
 
a) retângulo escaleno 
b) acutângulo escaleno 
c) acutângulo isósceles 
d) obtusângulo escaleno 
e) obtusângulo isósceles 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS 
 
26. Um fazendeiro resolveu cercar um terreno de 
formato retangular, cujas dimensões eram 60 metros 
de largura e 80 metros de comprimento, gastando 
R$ 20,00 para cada metro linear da cerca. Qual o 
valor total do gasto para cercar todo o terreno? 
 
a) R$ 2.800,00. 
b) R$ 4.800,00. 
c) R$ 5.600,00. 
d) R$ 6.800,00. 
e) R$ 9.600,00. 
 
27. Observe. 
 
 
 
O triângulo PMN acima é isósceles de base MN. Se 
p, m e n são os ângulos internos do triângulo, como 
representados na figura, então podemos afirmar que 
suas medidas valem, respectivamente, 
 
a) 50 , 65 , 65   b) 65 , 65 , 50   c) 65 , 50 , 65   
d) 50 , 50 , 80   e) 80 , 80 , 40   
 
28. Isometria é uma transformação geométrica que, 
aplicada a uma figura, mantém as distâncias entre 
pontos. Duas das transformações isométricas são a 
reflexão e a rotação. A reflexão ocorre por meio de 
uma reta chamada eixo. Esse eixo funciona como um 
espelho, a imagem refletida é o resultado da 
transformação. A rotação é o “giro” de uma figura ao 
redor de um ponto chamado centro de rotação. A 
figura sofreu cinco transformações isométricas, nessa 
ordem: 
 
 
1ª) Reflexão no eixo x; 
2ª) Rotação de 90 graus no sentido anti-horário, com 
centro de rotação no ponto A; 
3ª) Reflexão no eixo y; 
4ª) Rotação de 45 graus no sentido horário, com 
centro de rotação no ponto A; 
5ª) Reflexão no eixo x. 
 
Qual a posição final da figura? 
 
a) b) c) 
d) e) 
 
 
29. Eva é aluna do curso de Construção Naval do 
campus Ipojuca e tem mania de construir barquinhos 
de papel. Durante a aula de desenho técnico, resolveu 
medir os ângulos do último barquinho que fez, 
representado na imagem a seguir. Sabendo que as 
retas suportes, r e s, são paralelas, qual a medida do 
ângulo α destacado? 
 
 
 
a) 52 . 
b) 60 . 
c) 61 . 
d) 67 . 
e) 59 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS 
 
30. As medidas apresentadas na figura abaixo seguem 
o padrão exigido pela FIFA − Federação Internacional 
de Futebol. 
 
 
 
Ederson, goleiro do Manchester City (Inglaterra) e 
goleiro reserva do Brasil na Copa do Mundo da Rússia, 
é o atual recordista mundial de “tiro de meta mais 
longo”. Seu nome foi registrado no livro Guiness Book 
– o livro dos recordes – por ele ter conseguido, com 
um chute, fazer com que a bola atingisse o solo a uma 
distância de 75,35 metros do ponto de partida. Se 
Ederson der um chute em uma bola parada, na marca 
do pênalti (ponto P), em direção ao ponto E, tão forte 
quanto o do seu recorde, então ela voltará a tocar o 
campo, pela primeira vez, entre os pontos 
 
a) P e A 
b) A e B 
c) B e C 
d) C e D 
e) D e E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1 -C 6 -E 11 -B 16 -A 21 -C 26 -C 
2 -B 7 -E 12 -A 17 -C 22 -D 27 -A 
3 -E 8 -E 13 -E 18 -E 23 -B 28 -C 
4 -E 9 -C 14 -A 19 -C 24 -B 29 -E 
5 -E 10 -D 15 -D 20 -D 25 -E 30 -B 
 
 
 
 
 
 
 
POLÍGONOS 
 
01. Os quatro hexágonos da imagem a seguir são 
regulares e cada um tem área de 248 cm . Os vértices 
do quadrilátero ABCD coincidem com vértices dos 
hexágonos. Os pontos E, D, B e F são colineares. 
 
 
 
A área do quadrilátero ABCD, em 2cm , é 
 
a) 8. 
b) 10. 
c) 16 
d) 24. 
e) 36. 
 
02. Física para poetas 
 
O ensino da física sempre foi um grande desafio. Nos 
últimos anos, muitos esforços foram feitos com o 
objetivo de ensiná-la desde as séries iniciais do ensino 
fundamental, no contexto do ensino de ciências. 
Porém, como disciplina regular, a física aparece no 
ensino médio, quando se torna “um terror” para 
muitos estudantes. Várias pesquisas vêm tentandoidentificar quais são as principais dificuldades do 
ensino de física e das ciências em geral. Em particular, 
a queixa que sempre se detecta é que 2os estudantes 
não conseguem compreender a linguagem 
matemática na qual, muitas vezes, os conceitos físicos 
são expressos. Outro ponto importante é que as 
questões que envolvem a física são apresentadas fora 
de uma contextualização do cotidiano das pessoas, o 
que dificulta seu aprendizado. Por fim, existe uma 
enorme carência de professores formados em física 
para ministrar as aulas da disciplina. As pessoas que 
vão para o ensino superior e que não são da área de 
ciências exatas praticamente nunca mais têm contato 
com a física, da mesma maneira que os estudantes de 
física, engenharia e química poucas vezes voltam a ter 
contato com a literatura, a história e a sociologia. É 
triste notar que 3a especialização na formação dos 
indivíduos costuma deixá-los distantes de partes 
importantes da nossa cultura, da qual as ciências 
físicas e as humanidades fazem parte. 
 
Mas vamos pensar em soluções. Há alguns anos, 
ofereço um curso chamado “Física para poetas”. A 
ideia não é original – ao contrário, é muito utilizada 
em diversos países e aqui mesmo no Brasil. Seu 
objetivo é apresentar a física sem o uso da linguagem 
matemática e tentar mostrá-la próxima ao cotidiano 
das pessoas. Procuro destacar a beleza dessa ciência, 
associando-a, por exemplo, à poesia e à música. 
 
Alguns dos temas que trabalho em “Física para 
poetas” são inspirados nos artigos que publico. Por 
exemplo, 5“A busca pela compreensão cósmica” é 
uma das aulas, na qual apresento a evolução dos 
modelos que temos do universo. Começando pelas 
visões místicas e mitológicas e chegando até as 
modernas teorias cosmológicas, falo sobre a busca 
por responder a questões sobre a origem do universo 
e, consequentemente, a nossa origem, para 
compreendermos o nosso lugar no mundo e na 
história. 
 
Na aula “Memórias de um carbono”, faço uma 
narrativa de um átomo de carbono contando sua 
história, em primeira pessoa, desde seu nascimento, 
em uma distante estrela que morreu há bilhões de 
anos, até o momento em que sai pelo nariz de uma 
pessoa respirando. Temas como astronomia, biologia, 
evolução e química surgem ao longo dessa aula, bem 
como as músicas “Átimo de pó” e “Estrela”, de 
Gilberto Gil, além da poesia “Psicologia de um 
vencido”, de Augusto dos Anjos. 
 
Em “O tempo em nossas vidas”, apresento esse 
fascinante conceito que, na verdade, vai muito além 
da física: está presente em áreas como a filosofia, a 
biologia e a psicologia. Algumas músicas de Chico 
Buarque e Caetano Veloso, além de poesias de 
Vinicius de Moraes e Carlos Drummond de Andrade, 
ajudaram nessa abordagem. Não faltou também 
“Tempo Rei”, de Gil. 
 
A arte é uma forma importante do conhecimento 
humano. Se músicas e poesias inspiram as mentes e 
os corações, podemos mostrar que a ciência, em 
particular a física, também é algo inspirador e belo, 
capaz de criar certa poesia e encantar não somente 
aos físicos, mas a todos os poetas da natureza. 
 
 
Física 
 
Colho esta luz solar à minha volta, 
No meu prisma a disperso e recomponho: 
Rumor de sete cores, silêncio branco. 
 
 
 
 
 
POLÍGONOS 
 
JOSÉ SARAMAGO 
 
Na imagem a seguir, o triângulo ABC representa uma 
seção plana paralela à base de um prisma reto. As 
retas n e n' são perpendiculares aos lados AC e AB, 
respectivamente, e BÂC 80 .=  
 
 
 
A medida do ângulo θ entre n e n' é: 
 
a) 90 b) 100 c) 110 d) 120 e) 145° 
 
03. No trator da figura, o raio PS da maior 
circunferência determinada pelo pneu traseiro é 
80 cm, o raio QR da maior circunferência 
determinada pelo pneu dianteiro é 56 cm e as 
distâncias entre os centros P e Q dessas 
circunferências é de 240 cm. 
 
 
 
Considerando 3,π = a distância entre os pontos S e 
R, em que os pneus tocam o solo plano é 
 
a) igual ao comprimento da circunferência de raio PS. 
b) maior que o comprimento da circunferência de raio 
PS. 
c) um valor entre as medidas dos comprimentos das 
circunferências de raios PS e QR. 
d) maior que o módulo da diferença entre os 
comprimentos das circunferências de raios PS e 
QR. 
e) PS = PQ 
 
04. As formas geométricas aparecem em vários 
objetos do nosso cotidiano. Observe, na imagem 
abaixo, um relógio octogonal, objeto que fascina 
qualquer admirador de relógios. 
 
 
 
A soma das medidas dos ângulos internos de um 
octógono como o da imagem acima é 
 
a) 1.080 . 
b) 900 . 
c) 1.440 . 
d) 360 . 
e) 180 . 
 
05. Alguns polígonos regulares, quando postos juntos, 
preenchem o plano, isto é, não deixam folga, espaço 
entre si. Por outro lado, outras combinações de 
polígonos não preenchem o plano. 
A seguir, exemplos desse fato: a Figura 1, formada por 
hexágonos regulares, preenche o plano; a Figura 2, 
formada por pentágonos e hexágonos regulares, não 
preenche o plano. 
 
 
 
Na Figura 2, a medida do ângulo é igual a x 
 
a) 14 . 
b) 12 . 
c) 10 . 
d) 8 . 
e) 23° 
 
 
 
 
 
POLÍGONOS 
 
06. O mosaico a seguir é formado por pentágonos 
regulares e losangos. 
 
 
 
A soma das medidas dos ângulos x, y e z é igual a 
 
a) 252 . 
b) 288 . 
c) 324 . 
d) 360 . 
e) 272° 
 
07. Um porta-retratos tem a forma de um octógono 
regular conforme imagem a seguir. 
 
 
 
A medida de cada ângulo interno desse octógono é 
 
a) 45 . 
b) 60 . 
c) 90 . 
d) 135 . 
e) 30 . 
 
08. Um objeto de decoração tem a forma de um 
pentágono regular, apresentando todas as suas 
diagonais. Sabe-se que cada diagonal foi pintada de 
uma cor diferente das demais. Então, qual é o número 
de cores diferentes que foram utilizadas na pintura de 
tais diagonais? 
 
a) 5 
b) 6 
c) 8 
d) 9 
e) 11 
 
09. A manchete demonstra que o transporte de 
grandes cargas representa cada vez mais preocupação 
quando feito em vias urbanas. 
 
Caminhão entala em viaduto no Centro 
 
Um caminhão de grande porte entalou embaixo do 
viaduto no cruzamento das avenidas Borges de 
Medeiros e Loureiro da Silva no sentido Centro-Bairro, 
próximo à Ponte de Pedra, na capital. Esse veículo 
vinha de São Paulo para Porto Alegre e transportava 
três grandes tubos, conforme ilustrado na foto. 
 
 
 
Considere que o raio externo de cada cano da imagem 
seja 0,60 m e que eles estejam em cima de uma 
carroceria cuja parte superior está a 1,30 m do solo. O 
desenho representa a vista traseira do empilhamento 
dos canos. 
 
 
 
A margem de segurança recomendada para que um 
veículo passe sob um viaduto é que a altura total do 
veículo com a carga seja, no mínimo, 0,50 m menor 
do que a altura do vão do viaduto. 
 
Considere 1,7 como aproximação para 3. 
 
 
 
 
 
POLÍGONOS 
 
Qual deveria ser a altura mínima do viaduto, em 
metro, para que esse caminhão pudesse passar com 
segurança sob seu vão? 
 
a) 2,82 
b) 3,52 
c) 3,70 
d) 4,02 
e) 4,20 
 
10. O Tangram é um quebra-cabeça chinês. Há uma 
lenda sobre esse quebra-cabeça que afirma que um 
jovem chinês, ao despedir-se de seu mestre, para uma 
longa viagem pelo mundo, recebeu uma tábua 
quadrada cortada em 7 peças (um quadrado, um 
paralelogramo e cinco triângulos). 
 
Assim o discípulo poderia reorganizá-las para registrar 
todas as belezas da viagem. Lendas e histórias como 
essa sempre cercam a origem de objetos ou fatos, a 
respeito da qual temos pouco ou nenhum 
conhecimento, como é o caso do Tangram. Se é ou 
não uma história verdadeira, pouco importa: o que 
vale é a magia, própria dos mitos e lendas. 
 
 
 
 
 
A partir das informações do texto, as peças do 
Tangram são 
 
a) sete polígonos côncavos. 
b) apenas triângulos isósceles. 
c) apenas quadriláteros regulares. 
d) dois trapézios e cinco triângulos. 
e) dois quadriláteros e cinco triângulos. 
 
 
 
 
 
11. A figura a seguir mostra umpolígono regular de 
14 lados e todas as suas diagonais: 
 
 
 
O número de diagonais traçadas é de 
 
a) 77. 
b) 79. 
c) 80. 
d) 98. 
e) 102 
 
12. Na figura a seguir, calcule o ângulo .α 
 
 
 
Dica: Use o resultado do ângulo externo de um 
triângulo. 
 
a) 30 . 
b) 33 . 
c) 37 . 
d) 38 . 
e) 42 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
POLÍGONOS 
 
13. O valor de x no pentágono abaixo é igual a: 
 
 
 
a) 25 . 
b) 40 . 
c) 250 . 
d) 540 . 
e) 1.000 . 
 
14. O Tangram é um quebra-cabeça chinês formado 
por 7 peças com as quais podemos formar várias 
figuras, utilizando todas as peças e sem sobrepô-las. 
 
 
 
Legenda: 
 
Fig. 1 – Triângulo médio 
Fig. 2 – Paralelogramo 
Fig. 3 e 5 – Triângulos pequenos 
Fig. 4 – Quadrado 
Fig. 6 e 7 – Triângulos grandes 
 
O retângulo a seguir foi formado com seis dessas sete 
peças. 
 
 
 
A peça que não foi utilizada é idêntica à de número 
 
a) 1. b) 3. c) 5. d) 7. e) 9 
15. Um marceneiro está construindo um material 
didático que corresponde ao encaixe de peças de 
madeira com 10 cm de altura e formas geométricas 
variadas, num bloco de madeira em que cada peça se 
posicione na perfuração com seu formato 
correspondente, conforme ilustra a figura. O bloco de 
madeira já possui três perfurações prontas de bases 
distintas: uma quadrada (Q), de lado 4 cm, uma 
retangular (R), com base 3 cm e altura 4 cm, e uma 
em forma de um triângulo equilátero (T), de lado 
6,8 cm. Falta realizar uma perfuração de base circular 
(C). O marceneiro não quer que as outras peças 
caibam na perfuração circular e nem que a peça de 
base circular caiba nas demais perfurações e, para 
isso, escolherá o diâmetro do círculo que atenda a tais 
condições. Procurou em suas ferramentas uma serra 
copo (broca com formato circular) para perfurar a 
base em madeira, encontrando cinco exemplares, 
com diferentes medidas de diâmetros, como segue: (l) 
3,8 cm; (II) 4,7 cm; (III) 5,6 cm; (IV) 7,2 cm e (V) 
9,4 cm. 
 
 
 
Considere 1,4 e 1,7 como aproximações para 2 e 
3, respectivamente. 
 
Para que seja atingido o seu objetivo, qual dos 
exemplares de serra copo o marceneiro deverá 
escolher? 
 
a) I 
b) II 
c) III 
d) IV 
e) V 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
POLÍGONOS 
 
16. Ana estava participando de uma gincana na escola 
em que estuda e uma das questões que ela tinha de 
responder era “quanto vale a soma das medidas dos 
ângulos internos do polígono regular da figura?” 
 
 
 
Para responder a essa pergunta, ela lembrou que seu 
professor ensinou que a soma das medidas dos 
ângulos internos de um triângulo é igual a 180º, e que 
todo polígono pode ser decomposto em um número 
mínimo de triângulos. Sendo assim, Ana respondeu 
corretamente à pergunta dizendo: 
 
a) 720 
b) 900 
c) 540 
d) 1.080 
e) 630 
 
17. Um pai possui um terreno no formato de um 
hexágono regular com lado 12 m. Ele pretende 
construir um muro dividindo o terreno em dois 
trapézios de mesma área, um com frente para uma 
rua e outro para a outra, que serão dados para seus 
dois filhos. Qual o comprimento do muro? 
 
a) 12 m. b) 18 m. c) 24 m. d) 30 m. e) 36 m. 
 
18. Um gesseiro que trabalhava na reforma de uma 
casa lidava com placas de gesso com formato de 
pentágono regular quando percebeu que uma peça 
estava quebrada, faltando uma parte triangular, 
conforme mostra a figura. 
 
 
 
Para recompor a peça, ele precisou refazer a parte 
triangular que faltava e, para isso, anotou as medidas 
dos ângulos ˆ ˆx EAD, y EDA= = e ˆz AED= do 
triângulo ADE. 
 
As medidas x, y e z, em graus, desses ângulos são, 
respectivamente, 
 
a) 18, 18 e 108. 
b) 24, 48 e 108. 
c) 36, 36 e 108. 
d) 54, 54 e 72. 
e) 60, 60 e 60. 
 
19. A palavra polígono tem origem no grego e significa 
ter muitos lados ou ângulos. Eles foram estudados 
pelo grande Geômetra Euclides de Alexandria em sua 
obra Os elementos. 
 
Quantos lados têm um polígono cuja soma dos 
ângulos internos e externos é 1980 ? 
 
a) 8 b) 11 c) 13 d) 17 e) 20 
 
20. Quantos lados têm um polígono cujo número total 
de diagonais é igual ao quádruplo do seu número de 
vértices? 
 
a) 10 
b) 11 
c) 13 
d) 9 
e) 17 
 
21. A arte e a arquitetura islâmica apresentam os mais 
variados e complexos padrões geométricos. Na 
Mesquita de Córdoba, na Espanha, podemos 
encontrar um dos mais belos exemplos dessa arte. O 
esquema geométrico da figura 1 é um dos muitos 
detalhes dessa magnífica obra. 
 
 
 
Assinale a alternativa que apresenta o padrão 
geométrico cuja repetição compõe a figura 1. 
 
 
 
 
 
POLÍGONOS 
 
a) b) 
c) d) 
e) 
 
22. Os ângulos externos de um polígono regular 
medem 15 . O número de diagonais desse polígono 
é: 
 
a) 56. 
b) 24. 
c) 252. 
d) 128. 
e) 168. 
 
23. Observe as duas figuras abaixo: 
 
 
 
Dado que a figura 1 possui 3 triângulos, quantos 
triângulos possui a figura 2? 
 
a) 6 
b) 7 
c) 8 
d) 10 
e) 12 
 
 
 
 
 
 
 
24. Na figura abaixo, ABCE é um retângulo e CDE é um 
triângulo equilátero. 
 
 
 
Sabendo que o perímetro do polígono ABCDE é 456 
cm e CD mede 68 cm, qual é a medida do lado BC? 
 
a) 118 cm 
b) 126 cm 
c) 130 cm 
d) 142 cm 
e) 152 cm 
 
25. Observe as figuras a seguir. 
 
 
 
 
a) b) c) 
d) e) 
 
 
26. Uma pessoa possui um espaço retangular de lados 
11,5m e 14m no quintal de sua casa e pretende fazer 
um pomar doméstico de maçãs. Ao pesquisar sobre o 
plantio dessa fruta, descobriu que as mudas de maçã 
devem ser plantadas em covas com uma única muda e 
com espaçamento mínimo de 3 metros entre elas e 
as laterais do terreno. Ela sabe que conseguirá plantar 
um número maior de mudas em seu pomar se 
 
 
 
 
 
POLÍGONOS 
 
dispuser as covas em filas alinhadas paralelamente ao 
lado de maior extensão. 
 
O número máximo de mudas que essa pessoa poderá 
plantar no espaço disponível é 
 
a) 4. 
b) 8. 
c) 9. 
d) 12. 
e) 20. 
 
27. Um robô, caminhando em linha reta, parte de um 
ponto A em direção a um ponto B, que distam entre si 
cinco metros. Ao chegar ao ponto B, gira novamente 
60° à esquerda e caminha mais cinco metros, 
repetindo o movimento e o giro até retornar ao ponto 
de origem. O percurso do robô formará um polígono 
regular de 
 
a) 10 lados 
b) 9 lados 
c) 8 lados 
d) 7 lados 
e) 6 lados 
 
28. Uma pessoa pegou um mapa rasgado em que 
constava um terreno delimitado por quatro ruas. Na 
parte visível do mapa, vê-se que o ângulo formado 
pela rua Saturno e pela rua Júpiter é 90°; o ângulo 
formado pela rua Júpiter e pela rua Netuno é 110° e o 
ângulo formado pela rua Netuno e pela rua Marte é 
100°. Nessas condições, a medida de um ângulo 
formado pelas ruas Marte e Saturno, na parte rasgada 
do mapa, é de 
 
 
 
 
a) 50° b) 60° c) 70° d) 80° e) 90° 
 
29. Em um sistema de dutos, três canos iguais, de raio 
externo 30 cm, são soldados entre si e colocados 
dentro de um cano de raio maior, de medida R. Para 
posteriormente ter fácil manutenção, é necessário 
haver uma distância de 10cm entre os canos soldados 
e o cano de raio maior. Essa distância é garantida por 
um espaçador de metal, conforme a figura: 
 
 
 
Utilize 1,7 como aproximação para 3. 
 
O valor de R, em centímetros, é igual a 
 
a) 64,0 
b) 65,5 
c) 74,0 
d) 81,0 
e) 91,0 
 
30. O uniforme da escola circense “Só alegria” tem o 
logotipo abaixo bordado no seu agasalho. 
 
 
 
Desse desenho, borda-se o contorno de cada um dos 
seis triângulos equiláteros da figura. Com 1m de linha 
são bordados 10 cm do contorno e, para cada 
agasalho bordado, cobram-se R$0,05 por 10 cm de 
linha gasta acrescidos do valor de R$2,50. Sabendo 
disso, em uma encomenda de 50 agasalhos, serão 
gastos 
 
a) R$125,00 
b) R$131,75c) R$161,25 
d) R$192,50 
 
 
 
 
 
POLÍGONOS 
 
e) R$ 214,00 
 31. Em exposições de artes plásticas, é usual que 
estátuas sejam expostas sobre plataformas giratórias. 
Uma medida de segurança é que a base da escultura 
esteja integralmente apoiada sobre a plataforma. Para 
que se providencie o equipamento adequado, no caso 
de uma base quadrada que será fixada sobre uma 
plataforma circular, o auxiliar técnico do evento deve 
estimar a medida R do raio adequado para a 
plataforma em termos da medida L do lado da base da 
estatua. 
 
Qual relação entre R e L o auxiliar técnico deverá 
apresentar de modo que a exigência de segurança 
seja cumprida? 
 
a) R L/ 2 
b) R 2L/π 
c) R L/ π 
d) R L/2 
e) ( )R L/ 2 2 
 
32. No estudo da distribuição de torres em uma rede 
de telefonia celular, é comum se encontrar um 
modelo no qual as torres de transmissão estão 
localizadas nos centros de hexágonos regulares, 
congruentes, justapostos e inscritos em círculos, como 
na figura a seguir. 
 
 
 
Supondo que, nessa figura, o raio de cada círculo seja 
igual a 1km, é correto afirmar que a distância 3,8d 
(entre as torres 3 e 8 ), a distância 3,5d (entre as 
torres 3 e 5 ) e a distância 5,8d (entre as torres 5 e 
8 ) são, respectivamente, em km, iguais à 
 
a) 3,8 3,5 5,8d 2 3, d 3, d 3 2 3.= = = + 
b) 3,8 3,5 5,8d 4, d 3, d 5.= = = 
c) 3,8 3,5 5,8
3 3 3 3
d 4, d , d 4 .
2 2
= = = + 
d) 3,8 3,5 5,8d 2 3, d 3, d 21.= = = 
e) 3,8 3,5 5,8
3 3 9
d 4, d , d .
2 2
= = = 
 
33. Arquimedes,candidato a um dos cursos da 
Faculdade de Engenharia, visitou a PUCRS para colher 
informações. Uma das constatações que fez foi a de 
que existe grande proximidade entre Engenharia e 
Matemática. 
 
Para uma engrenagem mecânica, deseja-se fazer uma 
peça de formato hexagonal regular. A distância entre 
os lados paralelos é de 1cm, conforme a figura abaixo. 
 
 
 
O lado desse hexágono mede ______ cm. 
 
a) 
1
2
 
b) 
3
3
 
c) 3 
d) 
5
5
 
e) 1 
 
34. No loteamento Recanto Verde, um professor 
comprou uma chácara, cujo terreno tem forma 
retangular e dimensões 40m 90m . Ele pretende 
cercar essa área com estacas de cimento distanciadas 
de 2,5muma da outra. O número de estacas 
necessário para cercar todo esse terreno é 
 
a) 102 
b) 103 
c) 104 
d) 108 
e) 106 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
POLÍGONOS 
 
 
35. Na figura abaixo, O é o centro de uma 
circunferência que tangencia a semirreta BA no ponto 
A e tangencia o segmento BE no ponto C. Sabendo 
ainda que BA é paralela à reta OF, que o segmento EF 
é perpendicular a OF e que o menor arco da 
circunferência com extremidades em A e C mede º 60, 
podemos afirmar que o ângulo DÊF mede: 
 
 
 
a) 20º 
b) 30º 
c) 50º 
d) 60º 
e) 72° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1 -C 6 -B 11 -A 16 -B 21 -E 26 -C 31 -A 
2 -B 7 -D 12 -B 17 -C 22 -C 27 - E 32 -D 
3 -D 8 -A 13 -B 18 -C 23 -C 28 -B 33 -B 
4 -A 9 -D 14 -D 19 -B 24 -B 29 -C 34 -C 
5 -B 10 -E 15 -B 20 -B 25 -B 30 -D 35 -B 
 
 
 
 
 
 
SEGMENTOS PROPORCIONAIS 
 
01. Os triângulos 1 1 1A B C , 2 2 2A B C , 3 3 3A B C , 
ilustrados abaixo, possuem perímetros 1 2 3p , p , p , 
respectivamente. Os vértices desses triângulos, a 
partir do segundo, são os pontos médios dos lados do 
triângulo anterior. 
 
 
 
Admita que 1 1 1 1A B B C 7= = e 1 1A C 4.= 
 
Assim, 1 2 3(p , p , p ) define a seguinte progressão: 
 
a) aritmética de razão 8= − 
b) aritmética de razão 6= − 
c) geométrica de razão 
1
2
= 
d) geométrica de razão 
1
4
= 
e) aritmética de razão = 
7
8
 
 
02. Com a urbanização, as cidades devem melhorar 
sua infraestrutura, como, por exemplo, fazendo mais 
vias asfaltadas. Sendo assim, a figura abaixo mostra a 
rua B, que precisa ser asfaltada do ponto P até o 
ponto Q. Na rua A, já asfaltada, há três terrenos com 
frente para a rua B e para rua A. As divisas dos lotes 
são perpendiculares à rua A. As frentes dos lotes 1, 2 
e 3, para a rua A, medem, respectivamente, 
10 m, 25 m e 30 m. A frente do lote 2 para a rua B 
mede 32 m. 
 
 
Quantos metros de asfalto serão necessários? 
 
a) 65 m b) 72 m c) 38,4 m d) 83,2 m e) 89, 5 m 
03. Três ruas paralelas são cortadas por duas avenidas 
transversais nos pontos A, B e C da Avenida 1 e nos 
pontos D, E e F da Avenida 2, de tal forma que 
AB 90 m,= BC 100 m,= DE x= e EF 80 m.= 
 
Nessas condições, o valor de x é 
 
a) 62 m 
b) 60 m 
c) 72 m 
d) 74 m 
e) 68 m 
 
04. Com o objetivo de promover a integração social 
entre os moradores de dois bairros próximos, a 
prefeitura de uma cidade pretende construir dois 
parques perto do cruzamento entre as ruas 
“Aritmética” e “Geometria”. Eles terão formato de 
trapézios isósceles e serão semelhantes, por isso os 
ângulos internos do trapézio menor (ABCD) serão 
congruentes aos ângulos internos correspondentes no 
trapézio maior (PQRS). Considerando-se que 
AB 30 m,= CD 60 m= e que BC AD 25 m= = e 
sabendo-se que o construtor possui 560 m de 
alambrado para cercar os dois parques, quanto deve 
medir o maior lado do maior trapézio (PQRS)? 
 
 
 
a) 180 m 
b) 150 m 
c) 120 m 
d) 100 m 
e) 130 m 
 
 
 
 
 
SEGMENTOS PROPORCIONAIS 
 
05. O triângulo ABC é retângulo em A e tem catetos 
medindo 12 cm e 24 cm. Os pontos D, E e F são 
tomados em AB, BC e AC, respectivamente, de tal 
forma que ADEF é um quadrado. A área desse 
quadrado, em 2cm , vale 
 
a) 25. 
b) 49. 
c) 36. 
d) 64. 
e) 81. 
 
06. A figura abaixo mostra o esboço dos terrenos 
1 2S , S e 3S , em que o quadrilátero BDEF é um 
retângulo e os segmentos CD e BD medem, 
respectivamente, 30 cm e 60 cm. 
 
 
 
Assim sendo, é correto afirmar que a área do terreno 
 
a) 3S é igual à área do terreno 2S . 
b) 1S é a metade da área do terreno 3S . 
c) 1S é igual a 
1
3
 da área do terreno 3S . 
d) 2S é a igual à soma das áreas dos terrenos 1S e 
3S . 
e) S3 é igual a S1 + S2 
 
07. Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em 
C. 
 
 
 
Sendo med(AD) 4 cm, med(BD) 8 cm= = e
med(EF) 0,2 cm,= a medida de EG, em cm, é 
 
a) 0,2 3. 
b) 0,3 3. 
c) 0,4 3. 
d) 0,5 3. 
e) 2,3 
 
08. O Tangram é um quebra-cabeça chinês que 
contém sete peças: um quadrado, um paralelogramo 
e cinco triângulos retângulos isósceles. Na figura, o 
quadrado ABCD é formado com as peças de um 
Tangram. 
 
 
 
Observe os seguintes componentes da figura: 
 
- NP− lado do quadrado; 
- AM− lado do paralelogramo; 
- CDR e ADR− triângulos congruentes, bem como 
CNP e RST. 
 
A razão entre a área do trapézio AMNP e a área do 
quadrado ABCD equivale a: 
 
a) 
3
32
 b) 
5
32
 c) 
3
16
 d) 
5
16
 e) 2 
 
09. Abaixo estão duas retas paralelas cortadas por 
duas transversais e um triângulo retângulo. Então, o 
valor da área de um quadrado de lado " y " u.c., em 
unidades de área, é? 
 
 
 
 
 
 
 
SEGMENTOS PROPORCIONAIS 
 
 
 
a) 48 
b) 58 
c) 32 
d) 16 
e) 28 
 
10. Uma área delimitada pelas Ruas 1 e 2 e pelas 
Avenidas A e B tem a forma de um trapézio ADD'A', 
com AD 90 m= e A'D' 135 m,= como mostra o 
esquema da figura abaixo. 
 
 
 
Tal área foi dividida em terrenos ABB'A ', BCC'B' e 
CDD'C', todos na forma trapezoidal, com bases 
paralelas às avenidas tais que AB 40 m, BC 30 m= = e 
CD 20 m.= 
 
De acordo com essas informações, a diferença, em 
metros, A 'B' C'D'− é igual a 
 
a) 20. 
b) 30. 
c) 15. 
d) 45. 
e) 52 
 
11. O retângulo PQRS é a representação de uma 
mesa de sinuca. O objetivo é alcançar a bola verde, 
representada pelo ponto V, com a bola branca, 
representada pelo ponto B. Sabe-se que o ângulo de 
incidência é igual ao ângulo de reflexão, como 
destacado na figura abaixo.Qual o valor da tangente do ângulo ?β 
 
a) 32 37 
b) 33 37 
c) 36 37 
d) 32 35 
e) 33 35 
 
12. Em um dia ensolarado, às 10h da manhã, um 
edifício de 40 metros de altura produz uma sombra 
de 18 metros. Nesse mesmo instante, uma pessoa de 
1,70 metros de altura, situada ao lado desse edifício, 
produz uma sombra de 
 
a) 1,20 metro 
b) 3,77 metros 
c) 26,47 centímetros 
d) 76,5 centímetros 
e) 94 centímetros 
 
13. Os pontos D, E e F pertencem aos lados de um 
triângulo retângulo ABC, determinando o retângulo 
BFDE, com BF 6 cm,= conforme mostra a figura. 
 
 
 
Dadas as medidas AB 8 cm= e BC 10 cm,= o 
comprimento do segmento BE é 
 
a) 2,4 cm. b) 2,7 cm. c) 3 cm. d) 3,2 cm. e) 3,5 cm. 
 
 
 
 
 
SEGMENTOS PROPORCIONAIS 
 
14. “Thales de Mileto (625 a 545 ac) terá sido o 
primeiro a colocar a questão básica: ‘de que é feito o 
mundo e como funciona? ‘. A resposta não a 
procurava nos deuses, mas na observação da 
natureza. Thales, que era comerciante, deslocava-se 
várias vezes ao Egipto. Numa dessas viagens foi 
desafiado a medir a altura da pirâmide de Quéops. ” 
 
 
 
Para descobrir a altura da pirâmide, Thales valeu-se 
de uma estaca e das medidas das sombras e da base 
da pirâmide. 
 
A pirâmide de Quéops tem uma base quadrada de 
lado medindo 230 m e o comprimento de sua sombra 
mede 250 m. Sabendo que a estaca utilizada tem 
2 m de comprimento e sua sombra 5 m, qual a altura 
encontrada por Thales? 
 
a) 46 m 
b) 100 m 
c) 126 m 
d) 146 m 
e) 150 m 
 
15. Três lotes residenciais têm frente para a rua dos 
Álamos e para a rua das Hortênsias, conforme a figura 
a seguir. 
 
 
 
As fronteiras entre os lotes são perpendiculares à rua 
das Hortênsias. Qual é a medida, em metros, da 
frente do lote A para a rua dos Álamos, sabendo-se 
que as frentes dos três lotes somadas medem 135 
metros ? 
 
a) 55 b) 65 c) 75 d) 85 e) 95 
 
16. A figura a seguir é um esquema representativo de 
um eclipse lunar em que a Lua, a Terra e o Sol estão 
representados pelas circunferências de centros 1C , 
2C e 3C , respectivamente, que se encontram 
alinhados. Considera-se que a distância entre os 
centros da Terra e do Sol é 400 vezes maior que a 
distância entre os centros da Terra e da Lua e que a 
distância do ponto T na superfície da Terra ao ponto 
S na superfície do Sol, como representados na figura, 
é de 150 milhões de quilômetros. 
 
 
 
Sabendo-se que os segmentos de reta 1C L, 2C T e 
3C S são paralelos, a distância do ponto L, 
representado na superfície da Lua, ao ponto T, na 
superfície da Terra, é igual a 
 
a) 375.000 km. 
b) 400.000 km. 
c) 37.500.000 km. 
d) 40.000.000 km. 
e) 52.000 km 
 
17. O quadrado PQRS está inscrito em um círculo de 
centro C. A corda intersecta a diagonal do quadrado 
em A, sendo que QA 6 cm= e AB 4 cm.= 
 
 
 
Nas condições descritas, a medida do lado do 
 
 
 
 
 
SEGMENTOS PROPORCIONAIS 
 
quadrado PQRS, em cm, é igual a 
 
a) 2 10. 
b) 5 2. 
c) 2 15. 
d) 6 2. 
e) 7 2. 
 
18. A erosão é o processo de desgaste, transporte e 
sedimentação das rochas e, principalmente, dos solos. 
Ela pode ocorrer por ação de fenômenos da natureza 
ou do ser humano. 
A imagem mostra uma fenda no solo, proveniente de 
erosão. 
 
 
 
Para determinar a distância entre os pontos A e B da 
fenda, pode-se utilizar o modelo matemático da 
figura. 
 
 
 
Na figura, tem-se: 
 
- os triângulos AFC e EFD; 
- o ponto E pertencente ao segmento AF; 
- o ponto D pertencente ao segmento CF; 
- os pontos C, D e F pertencentes ao terreno plano 
que margeia a borda da fenda; e 
- as retas AC
suur
 e ED
suur
 que são paralelas entre si. 
 
Sabendo-se que BC 5 m,= CD 3 m,= DF 2 m= e 
ED 4,5 m,= então, a distância entre os pontos A e B 
e, em metros, 
a) 6,25. 
b) 6,50. 
c) 6,75. 
d) 7,25. 
e) 7,75. 
 
19. Pretende-se construir um mosaico com o formato 
de um triângulo retângulo, dispondo-se de três peças, 
sendo duas delas triângulos congruentes e a terceira 
um triângulo isósceles. A figura apresenta cinco 
mosaicos formados por três peças. 
 
 
 
 
 
Na figura, o mosaico que tem as características 
daquele que se pretende construir é o 
 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
20. Os parques eólicos marítimos apresentam 
vantagens em relação aos parques eólicos terrestres, 
pois neles não há problema com o impacto sonoro e o 
desgaste das turbinas é menor, devido a menor 
turbulência do vento. Na instalação dos parques 
eólicos marítimos, é preciso calcular sua distância até 
o continente, a fim de instalar os cabos condutores de 
eletricidade. 
 
 
 
 
 
 
 
SEGMENTOS PROPORCIONAIS 
 
Observe o esquema que representa um parque eólico 
(A), uma estação elétrica (B) no continente e pontos 
auxiliares C, D e E para o cálculo da distância do 
parque eólico até a estação elétrica no continente. 
 
 
 
No esquema temos: 
 
- Ponto A : parque eólico marítimo; 
- Ponto B : estação elétrica no continente; 
- Ponto C : ponto auxiliar (C AB); 
- Ponto D: ponto auxiliar (D AE); 
- Ponto E : ponto auxiliar; 
- A medida do segmento CD é 150 metros; 
- A medida do segmento BC é 100 metros; 
- A medida do segmento BE é 200 metros; 
- Os segmentos CD e BE são paralelos entre si. 
 
Assim sendo, é correto afirmar que a distância do 
parque eólico marítimo até a estação elétrica no 
continente é, em metros, 
 
a) 75. b) 100. c) 300. d) 400. e) 425. 
 
21. Na figura a seguir, o segmento AC representa 
uma parede cuja altura é 2,9 m. A medida do 
segmento AB é 1,3 m o segmento CD representa o 
beiral da casa. Os raios de sol 1r e 2r passam ao 
mesmo tempo pela casa e pelo prédio, 
respectivamente. 
 
 
Se 1r é paralelo com 2r , então, o comprimento do 
beiral, em metros, é 
 
a) 0,60. 
b) 0,65. 
c) 0,70. 
d) 0,75. 
e) 0,85 
 
22. Observe a imagem (Figura 1) produzida pelo 
Observatório Astronômico de Lisboa (OAL) do eclipse 
total ocorrido no mês de setembro de 2015. Nela 
percebe-se a existência de um cone de sombra. 
 
 
 
A partir desta imagem, foi construído o esquema 
matemático apresentado na Figura 2: 
 
 
 
Com base no esquema da Figura 2, e sabendo que os 
raios da Terra (RT) e do Sol (RS) medem, 
aproximadamente, 6.000 km e 690.000 km, 
respectivamente, e que a distância entre Terra e Sol 
(DTS) é de 150.000.000 km, então o comprimento 
aproximado da altura x desse cone de sombra é de 
 
a) 570.000 km. 
b) 800.000 km. 
c) 1.300.000 km. 
d) 1.500.000 km. 
e) 2.500.200 km 
 
 
 
 
 
 
SEGMENTOS PROPORCIONAIS 
 
23. Num mapa, uma estrada retilínea passa su-
cessivamente pelas cidades A, B e C e uma cidade 
D, distante 120 km de A, está localizada de tal forma 
que o ângulo µDAB mede 36 . Um viajante fez o 
trajeto AB, BD e DC, percorrendo em cada trecho a 
mesma distância. Se ele tivesse ido diretamente de A 
até C, teria percorrido uma distância de: 
 
a) 120 km 
b) 60 3 km 
c) (120 cos 36 ) km  
d) 
120
km
cos 36
 
e) 140 km 
 
24. Dentre as alternativas abaixo, qual figura 
representa melhor o triângulo A'B'C', obtido por 
uma reflexão do triângulo ABC em relação ao eixo e 
(destaque nesse “e” eixo) seguida de uma rotação de 
90 no sentido anti-horário em torno do ponto B? 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
e) 
 
25. Na figura a seguir, as retas r, s, t e w são 
paralelas e, a, b e c representam medidas dos 
segmentos tais que a b c 100.+ + = 
 
 
 
Conforme esses dados, os valores de a, b e c são, 
respectivamente, iguais a 
 
a) 24, 32 e 44 
b) 24, 36 e 40 
c) 26, 30 e 44 
d) 26, 34 e 40 
e) 28, 38 e 48 
 
26. A ilustração a seguir representa uma mesa de 
sinuca retangular, delargura e comprimento iguais a 
1,5 e 2,0m, respectivamente. Um jogador deve 
lançar a bola branca do ponto B e acertar a preta no 
ponto P, sem acertar em nenhuma outra, antes. 
Como a amarela está no ponto A, esse jogador 
lançará a bola branca até o ponto L, de modo que a 
mesma possa rebater e colidir com a preta. 
 
 
 
Se o ângulo da trajetória de incidência da bola na 
lateral da mesa e o ângulo de rebatimento são iguais, 
 
 
 
 
 
SEGMENTOS PROPORCIONAIS 
 
como mostra a figura, então a distância de P a Q, em 
cm, é aproximadamente 
 
a) 67 
b) 70 
c) 74 
d) 81 
e) 92 
 
27. Uma escada está apoiada em uma parede a uma 
altura de 16 m do solo plano. A distância do pé da 
escada até a parede é igual a 12 m. O centro de 
gravidade da escada está a um terço do comprimento 
dela, medido a partir do seu apoio no chão. Nessa 
situação, o comprimento da escada e a altura 
aproximada do seu centro de gravidade até o chão 
são, respectivamente, iguais a 
 
a) 20 m e 5,3 m. 
b) 20 m e 6,6 m. 
c) 28 m e 9,3 m. 
d) 56 m e 5,3 m. 
e) 56 m e 2,6 m. 
 
28. Para se transpor um curso de água ou uma 
depressão de terreno pode-se construir uma ponte. 
Na imagem, vemos uma ponte estaiada, um tipo de 
ponte suspensa por cabos (estais) fixados em mastros. 
 
 
 
O esquema apresenta parte da estrutura de uma 
ponte estaiada do tipo denominado harpa, pois os 
estais são paralelos entre si. Cada estai tem uma 
extremidade fixada no mastro e a outra extremidade 
no tabuleiro da ponte (onde estão as vias de 
circulação). 
 
 
No esquema, considere que: 
 
- as retas AB
suur
 e BC
suur
 são perpendiculares entre si; 
- os segmentos AC e DE são paralelos entre si e 
representam estais subsequentes; 
- AB 75 m,= BC 100 m= e AD 6 m;= e, 
- no mastro dessa ponte, a partir do ponto A em 
sentido ao ponto B, as extremidades dos estais 
estão fixadas e distribuídas a iguais distâncias entre 
si. 
 
A distância entre os pontos E e C é, em metros, 
 
a) 6. 
b) 8. 
c) 10. 
d) 12. 
e) 14. 
 
29. A figura abaixo tem as seguintes características: 
 
- o ângulo Ê é reto; 
- o segmento de reta AE é paralelo ao segmento BD; 
- os segmentos AE, BD e DE, medem, 
respectivamente, 5, 4 e 3. 
 
 
 
O segmento AC, em unidades de comprimento, 
mede 
 
a) 8 
b) 12 
c) 13 
d) 61. 
e) 5 10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SEGMENTOS PROPORCIONAIS 
 
30. A figura a seguir apresenta um quadrado DEFG e 
um triângulo ABC cujo lado BC mede 40 cm e a altura 
AH, 24 cm. 
 
 
 
A medida do lado desse quadrado é um número 
 
a) par 
b) primo 
c) divisível por 4 
d) múltiplo de 5 
e) divisor de π 
 
31. Observe. 
 
 
 
O valor do lado de um quadrado inscrito em um 
triângulo retângulo, conforme o esboço mostrado na 
figura, é 
 
a) 10 
b) 8 
c) 6 
d) 4 
e) 2 
 
32. Uma circunferência de raio 3 cm está inscrita no 
triângulo isósceles ABC, no qual AB AC.= A altura 
relativa ao lado BC mede 8 cm. O comprimento de 
BC é, portanto, igual a 
 
a) 24 cm 
b) 13 cm 
c) 12 cm 
d) 9 cm 
e) 7 cm 
 
33. Numa festa junina, além da tradicional brincadeira 
de roubar bandeira no alto do pau de sebo, quem 
descobrisse a sua altura ganharia um prêmio. O 
ganhador do desafio fincou, paralelamente a esse 
mastro, um bastão de 1m. Medindo-se as sombras 
projetadas no chão pelo bastão e pelo pau, ele 
encontrou, respectivamente, 25 dm e 125 dm. 
Portanto, a altura do “pau de sebo”, em metros, é 
 
a) 5,0 
b) 5,5 
c) 6,0 
d) 6,5 
e) 8,0 
 
34. Potencialmente, os portos da região Norte podem 
ser os canais de escoamento para toda a produção de 
grãos que ocorre acima do paralelo 16 Sul, onde estão 
situados gigantes do agronegócio. Investimentos em 
logística e a construção de novos terminais portuários 
privados irão aumentar consideravelmente o número 
de toneladas de grãos embarcados anualmente. 
Suponha que dois navios tenham partido ao mesmo 
tempo de um mesmo porto A, em direções 
perpendiculares e a velocidades constantes. Sabe-se 
que a velocidade do navio B é de 18 km / h e que, com 
30 minutos de viagem, a distância que o separa do 
navio C é de 15 km, conforme mostra a figura: 
 
 
 
Desse modo, pode-se afirmar que, com uma hora de 
viagem, a distância, em km, entre os dois navios e a 
velocidade desenvolvida pelo navio C, em km/h, 
serão, respectivamente, 
 
a) 30 e 25 
b) 25 e 22 
c) 30 e 24 
d) 25 e 20 
e) 25 e 24 
 
 
 
 
 
 
 
SEGMENTOS PROPORCIONAIS 
 
35. O dono de um sítio pretende colocar uma haste de 
sustentação para melhor firmar dois postes de 
comprimentos iguais a 6m e 4m. A figura representa a 
situação real na qual os postes são descritos pelos 
segmentos AC e BD e a haste é representada pelo EF, 
todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo 
segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC 
representam cabos de aço que serão instalados. 
 
 
 
Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF? 
 
a) 1m 
b) 2 m 
c) 2,4 m 
d) 3 m 
e) 2 6 m 
 
36. Para melhorar a qualidade do solo, aumentando a 
produtividade do milho e da soja, em uma fazenda é 
feito o rodízio entre essas culturas e a área destinada 
ao pasto. Com essa finalidade, a área produtiva da 
fazenda foi dividida em três partes conforme a figura. 
 
 
 
Considere que 
 
– os pontos A, B, C e D estão alinhados; 
– os pontos H, G, F e E estão alinhados; 
– os segmentos AH, BG, CF e DE são, dois a dois, 
paralelos entre si; 
– AB 500 m,= BC 600 m,= CD 700 m= e 
HE 1980 m.= 
 
Nessas condições, a medida do segmento GF é, em 
metros, 
 
a) 665 b) 660 c) 655 d) 650 e) 645 
37. Observe os discos de raios 2 e 4, tangentes entre 
si e às semirretas s e t, representados na figura 
abaixo. 
 
 
 
A distância entre os pontos P e Q é 
 
a) 9 
b) 10 
c) 11 
d) 12 
e) 13 
 
38. Duas cidades X e Y são interligadas pela rodovia 
R101, que é retilínea e apresenta 300 km de extensão. 
A 160 km de X, à beira da R101, fica a cidade Z, por 
onde passa a rodovia R102, também retilínea e 
perpendicular à R101. Está sendo construída uma 
nova rodovia retilínea, a R103, que ligará X à capital 
do estado. A nova rodovia interceptará a R102 no 
ponto P, distante 120 km da cidade Z. 
 
 
 
O governo está planejando, após a conclusão da obra, 
construir uma estrada ligando a cidade Y até a R103. A 
menor extensão, em quilômetros, que esta ligação 
poderá ter é 
 
a) 250 
b) 240 
c) 225 
d) 200 
e) 180 
 
 
 
 
 
 
SEGMENTOS PROPORCIONAIS 
 
39. Quando olhamos para um ambiente qualquer, a 
percepção de profundidade é possível devido a nossa 
visão binocular. Por estarem separados em média 
65 mm em adultos, cada um dos nossos olhos registra 
uma imagem de um ângulo ligeiramente diferente. Ao 
interpretar essas imagens ao mesmo tempo, o 
cérebro forma um "mapa" dessas diferenças, 
tornando possível estimar a distância dos objetos em 
relação a nós. A estereoscopia (popularmente 
conhecida como "imagem 3D") é uma técnica que 
consiste em exibir imagens distintas para cada olho do 
observador, representando o que se observaria em 
uma situação real. Assim, o cérebro pode ser 
"enganado" a interpretar os objetos representados 
como se estivessem flutuando diante da tela ou atrás 
dela. Diversas tecnologias existem atualmente para 
conseguir isso. A mais comum delas, usada nas salas 
de cinema 3D, funciona com o uso de óculos 
polarizadores que filtram a imagem projetada na tela, 
permitindo que cada olho receba somente a imagem 
correspondente. 
 
Um observador está em uma sala de cinema 3D 
usando óculos polarizadores e sobre a tela são 
projetados dois pontos A e B a uma distância de 
30 cm um do outro, com A à esquerda de B. Os filtros 
polarizadores dos óculos fazem com que o ponto A 
seja visto apenas por seu olho direito e o ponto B 
apenas por seu olho esquerdo, de forma que as linhasde visão de cada um dos olhos se interseccionem em 
um ponto X, conforme a figura. O observador verá 
apenas um único ponto, resultado da junção em seu 
cérebro dos pontos A e B, localizado em X. Sabendo 
que a reta imaginária que passa por seus olhos é 
paralela àquela que passa pelos pontos A e B e estas 
distam 20 m entre si, e que sua distância interocular é 
de 60 mm, a distância da tela em que ele verá a 
imagem virtual, formada no ponto X, é 
aproximadamente: 
 
 
 
a) 6,6 m b) 3,3 m c) 4 m d) 16,7 m e) 16 m 
40. As ruas e avenidas de uma cidade são um bom 
exemplo de aplicação de Geometria. Um desses 
exemplos encontra-se na cidade de Mirassol, onde se 
localiza a Etec Prof. Mateus Leite de Abreu. A imagem 
apresenta algumas ruas e avenidas de Mirassol, onde 
percebemos que a Av. Vitório Baccan, a Rua Romeu 
Zerati e a Av. Lions Clube/Rua Bálsamo formam uma 
figura geométrica que se aproxima muito de um 
triângulo retângulo, como representado no mapa. 
 
 
 
Considere que 
 
– a Rua Bálsamo é continuação da Av. Lions Clube; 
– o ponto A é a intersecção da Av. Vitório Baccan com 
a Av. Lions Clube; 
– o ponto B é a intersecção da Rua Romeu Zerati com 
a Rua Bálsamo; 
– o ponto C é a intersecção da Av. Vitório Baccan com 
a Rua Romeu Zerati; 
– o ponto D é a intersecção da Rua Bálsamo com a 
Rua Vitório Genari; 
– o ponto E é a intersecção da Rua Romeu Zerati com 
a Rua Vitório Genari; 
– a medida do segmento AC é 220 m; 
– a medida do segmento BC é 400 m e 
– o triângulo ABC é retângulo em C. 
 
Considere que o trecho DE da rua Vitório Genari é 
paralelo ao trecho AC da Av. Vitório Baccan. Sabendo 
que a medida do segmento DE é 120 m, então a 
medida do trecho CE da Rua Romeu Zerati é, em 
metros, mais próxima de 
 
a) 182 
b) 198 
c) 200 
d) 204 
e) 216 
 
 
 
 
 
SEGMENTOS PROPORCIONAIS 
 
41. Um telhado inclinado reto foi construído sobre 
três suportes verticais de aço, colocados nos pontos A, 
B e C, como mostra a figura ao lado. Os suportes nas 
extremidades A e C medem, respectivamente, 4 
metros e 6 metros de altura. 
 
 
 
A altura do suporte em B é, então, de: 
 
a) 4,2 metros 
b) 4,5 metros 
c) 5 metros 
d) 5,2 metros 
e) 5,5 metros 
 
42. Para que alguém, com o olho normal, possa 
distinguir um ponto separado de outro, é necessário 
que as imagens desses pontos, que são projetadas em 
sua retina, estejam separadas uma da outra a uma 
distância de 0,005 mm. 
 
 
Adotando-se um modelo muito simplificado do olho 
humano no qual ele possa ser considerado uma esfera 
cujo diâmetro médio é igual a 15 mm, a maior 
distância x, em metros, que dois pontos luminosos, 
distantes 1mm um do outro, podem estar do 
observador, para que este os perceba separados, é 
 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
e) 5. 
 
43. Em canteiros de obras de construção civil é 
comum perceber trabalhadores realizando medidas 
de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações 
por onde a obra deve começar ou se erguer. Em um 
desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão 
plano. Foi possível perceber que, das seis estacas 
colocadas, três eram vértices de um triângulo 
retângulo e as outras três eram os pontos médios dos 
lados desse triângulo, conforme pode ser visto na 
figura, em que as estacas foram indicadas por letras. 
 
 
 
A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria 
ser calçada com concreto. Nessas condições, a área a 
ser calcada corresponde 
 
a) a mesma área do triângulo AMC 
b) a mesma área do triângulo BNC 
c) a metade da área formada pelo triângulo ABC 
d) ao dobro da área do triângulo MNC 
e) ao triplo da área do triângulo MNC 
 
44. Marcelo mora em um edifício que tem a forma de 
um bloco retangular e, no topo desse edifício, está 
instalada uma antena de 20 metros. Após uma aula de 
Matemática, cujo tema era Semelhança de Triângulos, 
Marcelo resolveu aplicar o que aprendeu para calcular 
a altura do prédio onde mora. Para isso, tomou 
algumas medidas e construiu o seguinte esquema: 
 
 
 
• O segmento AC é perpendicular aos segmentos BF 
e CE ; 
• o segmento AB representa a antena; 
• o segmento BC representa a altura do prédio; 
• ponto D pertence ao segmento CE ; 
• o ponto F pertence ao segmento AE ; 
• o ponto B pertence ao segmento AC ; 
• os segmentos BC e FD são congruentes; 
 
 
 
 
 
SEGMENTOS PROPORCIONAIS 
 
• a medida do segmento BF é 12 m; 
• a medida do segmento DE é 36 m. 
 
Assim, Marcelo determinou que a altura do prédio é, 
em metros, 
 
a) 45 
b) 50 
c) 60 
d) 65 
e) 70 
 
45. Uma folha de papel quadrada, ABCD, que mede 12 
cm de lado, é dobrada na reta r, como mostrado nesta 
figura: 
 
 
 
Feita essa dobra, o ponto D sobrepõe-se ao ponto N, e 
o ponto A, ao ponto médio M, do lado BC. 
 
É correto afirmar que, nessas condições, o segmento 
CE mede: 
 
a) 7,2 cm 
b) 7,5 cm 
c) 8,0 cm 
d) 9,0 cm 
e) 11,2 cm 
 
46. A rampa de um hospital tem na sua parte mais 
elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao 
caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 
metros e alcançou uma altura de 0,8 metro. 
 
A distância em metros que o paciente ainda deve 
caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é 
 
a) 1,16 metros 
b) 3,0 metros 
c) 5,4 metros 
d) 5,6 metros 
e) 7,04 metros 
 
47. A fotografia mostra uma turista aparentemente 
beijando a esfinge de Gizé, no Egito. A figura a seguir 
mostra como, na verdade, foram posicionadas a 
câmera fotográfica, a turista e a esfinge. 
 
 
 
 
 
Medindo-se com uma régua diretamente na 
fotografia, verifica-se que a medida do queixo até o 
alto da cabeça da turista é igual a 
2
3
 da medida do 
queixo da esfinge até o alto da sua cabeça. Considere 
que essas medidas na realidade são representadas 
por d e d', respectivamente, que a distância da 
esfinge à lente da câmera fotográfica, localizada no 
plano horizontal do queixo da turista e da esfinge, é 
representada por b, e que a distância da turista à 
mesma lente, por a. 
 
A razão entre b e a será dada por 
 
a) 
b d'
a c
= 
b) 
b 2d
a 3c
= 
c) 
b 3d'
a 2c
= 
d) 
b 2d'
a 3c
= 
e) 
b 2d'
a c
= 
 
 
 
 
 
SEGMENTOS PROPORCIONAIS 
 
48. Tales, o grande matemático do século VI a.C., foi 
também um próspero comerciante. Certa vez, visitou 
o Egito em viagem de negócios. Nessa ocasião, ele 
assombrou o faraó e toda a corte egípcia, medindo a 
sombra da pirâmide de Quéops, cuja base é um 
quadrado de 230 metros de lado. Para calcular a 
altura da pirâmide, Tales fincou verticalmente no solo 
uma estaca que ficou com altura de 1 metro acima do 
solo. As medidas dos comprimentos da sombra da 
pirâmide e da sombra da estaca são, respectivamente, 
255 metros e 2,5 metros. 
 
 
 
 
 
Com base nas informações do texto e das figuras, é 
válido afirmar que a altura da pirâmide, em metros, é 
 
a) 14,80 
b) 92,50 
c) 148 
d) 925 
e) 1480 
 
49. O jardineiro do Sr. Artur fez um canteiro triangular 
composto por folhagens e flores onde as divisões são 
todas paralelas à base AB do triângulo ABC, conforme 
figura. 
 
Sendo assim, as medidas x e y dos canteiros de flores 
são, respectivamente: 
 
a) 30 cm e 50 cm 
b) 28 cm e 56 cm 
c) 50 cm e 30 cm 
d) 56 cm e 28 cm 
e) 40 cm e 20 cm 
 
50. Uma fonte luminosa a 25 cm do centro de uma 
esfera projeta sobre uma parede uma sombra circular 
de 28 cm de diâmetro, conforme figura a seguir. 
 
Se o raio da esfera mede 7 cm, a distância (d) do 
centro da esfera até a parede, em cm, é 
 
a) 23 
b) 25 
c) 28 
d) 32 
e) 35 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1 -C 8 -D 15 -C 22 -C 29 -E 36 -B 43 -E 50 -A 
2 -D 9 -A 16 -A 23 -A 30 -D 37 -D 44 -C 
3 -C 10 -B 17 -C 24 -B 31 -D 38 -E 45 -C 
4 -A 11 -B 18 -A 25 -A 32 -A 39 -D 46 -D 
5 -D 12 -D 19 -B 26 -A 33 -C 40 -A 47 -D 
6 -A 13 -D 20 -D 27 -A 34 -C 41 -D 48 -C 
7 -A 14 -D 21 -A 28 -B35 -C 42 -C 49 -B 
 
 
 
 
 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS 
 
01. Convenciona-se que o tamanho dos televisores, de 
tela plana e retangular, é medido pelo comprimento 
da diagonal da tela, expresso em polegadas. Define-se 
a proporção dessa tela como sendo o quociente do 
lado menor pelo lado maior, também em polegadas. 
Essas informações estão dispostas na figura a seguir. 
 
 
 
Suponha que Eurico e Hermengarda tenham 
televisores como dado na figura e de proporção 3 4. 
Sabendo que o tamanho do televisor de Hermengarda 
é 5 polegadas maior que o de Eurico, assinale a 
alternativa que apresenta, corretamente, quantas 
polegadas o lado maior da tela do televisor de 
Hermengarda excede o lado correspondente do 
televisor de Eurico. 
 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
 
02. A figura abaixo apresenta 100 quadrados de lado 
medindo 1cm. Uma formiga saiu do ponto A, passou 
pelo ponto B e foi até o ponto C. Se ela tivesse 
seguido o caminho em linha reta de A até C, teria 
percorrido 
 
 
 
a) 13 cm b) 2 13 cm c) 8 cm d) 10 cm e) 52 cm 
03. Um engenheiro deseja projetar uma ponte 
estaiada para ligar duas cidades vizinhas. Ele precisa 
instalar 8 cabos de sustentação que ligam uma torre 
(vertical) à parte horizontal da ponte, e dispõe de 
1.400 metros de cabo para isso. Os cabos devem ser 
fixados à mesma distância um do outro, tanto na torre 
quanto na parte horizontal. Assim, a distância da base 
da torre ao primeiro ponto de fixação vertical deve ser 
igual à distância entre dois pontos de fixação vertical 
consecutivos. Essa mesma distância deve ser utilizada 
da base da torre ao primeiro ponto de fixação 
horizontal e entre os pontos de fixação horizontal 
consecutivos, conforme mostra a figura a seguir: 
 
Utilize 2 1,41 
 
 
 
A distância, em metros, entre dois pontos 
consecutivos de fixação desses cabos deve ser 
aproximadamente de 
 
a) 49,5. 
b) 70,0. 
c) 98,5. 
d) 100,0. 
e) 111,8 
 
04. O mapa abaixo mostra o posicionamento de três 
cidades – nomeadas de A, B e C – e as rodovias que 
as ligam e se cruzam perpendicularmente na cidade 
A. Em uma rodovia, a 60 km de distância de A, 
encontra-se a cidade B; na outra, a 80 km de A, 
encontra-se a cidade C. Um posto policial deve ser 
construído na rodovia que liga a cidade B até a C, 
conforme o desenho. 
 
 
 
 
 
 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS 
 
Qual deve ser a distância do posto policial até a 
cidade B? 
 
a) 20 km 
b) 36 km 
c) 40 km 
d) 47 km 
e) 56 km 
 
05. Uma praça tem a forma de um quadrado de 
200 m de lado. Partindo juntas de um mesmo canto 
P, duas amigas percorrem o perímetro da praça 
caminhando em sentidos opostos, com velocidades 
constantes. O primeiro encontro delas se dá em um 
ponto A e o segundo, em um ponto B. Se a medida 
do segmento PA é 250 m, então, o segmento PB 
mede: 
 
a) 50 m 
b) 100 m 
c) 150 m 
d) 200 m 
e) 250 m 
 
06. Construir figuras de diversos tipos, apenas 
dobrando e cortando papel, sem cola e sem tesoura, é 
a arte do origami (ori = dobrar; kami = papel), que 
tem um significado altamente simbólico no Japão. A 
base do origami é o conhecimento do mundo por 
base do tato. Uma jovem resolveu construir um cisne 
usando técnica do origami, utilizando uma folha de 
papel de 18 cm por 12 cm. Assim, começou por 
dobrar a folha conforme a figura. 
 
 
 
Após essa primeira dobradura, a medida do segmento 
AE é 
 
a) 2 22 cm. 
b) 6 3 cm. 
c) 12 cm. 
d) 6 5 cm. 
e) 12 2 cm. 
07. Considere o quadrado ABCD, cujo lado mede 
5 cm, e M um ponto sobre o círculo circunscrito a 
este quadrado, não coincidente com os vértices 
A, B, C e D, conforme ilustra a figura a seguir. 
 
 
 
Qual o valor da soma 2 2 2 2(MA) (MB) (MC) (MD) ?+ + + 
 
a) 10 b) 10 2 c) 50 d) 50 2 e) 100 
 
08. Foram construídos círculos concêntricos de raios 
5 cm e 13 cm. Em seguida, foi construído um 
segmento de reta com maior comprimento possível, 
contido internamente na região interna ao círculo 
maior e externa ao menor. 
 
O valor do segmento é 
 
a) 8,5 cm 
b) 11,75 cm 
c) 19,25 cm 
d) 24 cm 
e) 27 cm 
 
09. Um portão de elevação com 4,52 metros de 
altura é articulado em seu centro C, possui sua 
extremidade superior A fixa e a extremidade B só 
pode se mover verticalmente, conforme a figura. O 
portão, que inicialmente está fechado, é levantado de 
maneira que a extremidade B sobe 4 cm. Isso produz 
um deslocamento da articulação C. Qual a abertura 
horizontal x, em centímetros, percorrida pela 
articulação C? 
 
 
 
 
 
 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS 
 
Assinale a alternativa correta. 
 
a) 24 cm 
b) 30 cm 
c) 17 cm 
d) 10 cm 
e) 4 cm 
 
10. Se ABC é um triângulo retângulo em A, o valor 
de n é 
 
 
 
a) 
22
3
 
b) 
16
3
 
c) 22 
d) 16 
e) 21 
 
11. No trator da figura, o raio PS da maior 
circunferência determinada pelo pneu traseiro é 
80 cm, o raio QR da maior circunferência 
determinada pelo pneu dianteiro é 56 cm e as 
distâncias entre os centros P e Q dessas 
circunferências é de 240 cm. 
 
 
 
Considerando 3,π = a distância entre os pontos S e 
R, em que os pneus tocam o solo plano é 
 
a) igual ao comprimento da circunferência de raio PS. 
b) maior que o comprimento da circunferência de raio 
PS. 
c) um valor entre as medidas dos comprimentos das 
circunferências de raios PS e QR. 
d) maior que o módulo da diferença entre os 
comprimentos das circunferências de raios PS e 
QR. 
e) maior que a diferença entre os comprimentos das 
circunferências de raios OS e QR 
 
12. Para concluir o projeto de pavimentação das ruas 
de um bairro, a secretaria de obras de uma prefeitura 
usou o trecho de mapa a seguir: 
 
 
 
Sabe-se que o segmento BC (pontilhado) representa 
a única parte que ainda não está pavimentada. Além 
disso, os pontos A, B e C estão alinhados. 
 
As medidas dos trechos mostrados no mapa, em 
decâmetros, são os seguintes: 
 
 𝐴𝐵 = 10 
𝐵𝐶 = 𝑥 
𝐶𝐷 = 𝑥 + 2 
𝐴𝐷 = 𝑥 + 9 
 
Dessa forma, o trecho BC, ainda não pavimentado, 
mede 
 
a) 3 dam. b) 4 dam. c) 5 dam. d) 6 dam. e) 7 dam 
 
13. A figura a seguir ilustra uma haste AC articulada 
em B com as respectivas medidas horizontais e 
verticais referentes a uma das suas possíveis 
configurações. 
 
 
 
 
 
 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS 
 
A maior distância possível entre as extremidades A e 
C, em decímetros, vale 
 
a) 20 2. 
b) 20 3. 
c) 24. 
d) 30. 
e) 32. 
 
14. Um famoso rei, de um reino bem, bem distante, 
decide colocar um tampo circular para servir de mesa 
no salão de reunião. A porta de entrada do salão tem 
1 metro de largura por 2,4 metros de altura. 
 
Qual o maior diâmetro que pode ter o tampo circular 
da mesa para passar pela porta do salão? 
 
a) 2,5 m. 
b) 2,8 m. 
c) 3,0 m. 
d) 2,6 m. 
e) 2,4 m. 
 
15. O Tangram é um dos mais famosos quebra-
cabeças do mundo. Ele foi inventado na China há 
muito tempo. Observe a figura a seguir. 
 
 
 
Com ele, é possível construir uma infinidade de 
figuras, com diversas delas semelhantes a animais, 
pessoas, objetos etc. Por exemplo, a Figura 2 a seguir 
lembra uma casa. 
 
 
 
Suponha que o Tangram da Figura 1 seja um quadrado 
de lado unitário e que a Figura 2 foi obtida 
reposicionando os mesmos polígonos da Figura 1. 
 
Sendo assim, a medida da altura H, da Figura 2, é 
 
a) 
2 2 1
.
2
+
 
b) 
3 2 2
.
4
−
 
c) 
3 2 2
.
4
+
 
d) 
3 2 1
.
2
+
 
e) 2√2 + 23 
 
16. A figura abaixo mostra uma rampa de acesso que 
foi construída adjacente a uma escada existente em 
uma das entradas de um prédio em uma escola. A 
rampa foi construída dentro das normas que regulam 
a inclinação de rampas para pessoas com 
necessidades especiais (cadeirantes e pessoas com 
mobilidadelimitada). 
 
 
 
Para que a rampa fique dentro das normas são 
necessários mais alguns ajustes, como por exemplo a 
sinalização com piso tátil para deficientes visuais, em 
toda a sua extensão até a frente da porta. O custo do 
piso tátil instalado, de 1,20 m de largura, é 150 reais 
por metro. 
 
Para sinalizar a rampa, a escola gastará 
aproximadamente 
 
a) 1.780 reais 
b) 1.785 reais 
c) 1.790 reais 
d) 1.795 reais 
e) 1.805 reais 
 
 
 
 
 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS 
 
17. Segundo historiadores da matemática, a análise 
de padrões como os ilustrados a seguir possibilitou a 
descoberta das triplas pitagóricas. 
 
 
 
Observe que os números inteiros 2 23 , 4 e 25 , 
representados respectivamente pelas 2ª, 3ª e 4ª 
figuras, satisfazem ao Teorema de Pitágoras. Dessa 
forma (3, 4, 5) é uma tripla pitagórica. 
 
Os quadrados representados pelas 4ª, 11ª e nª figuras 
determinam outra tripla pitagórica, sendo o valor de 
n igual a: 
 
a) 10 
b) 12 
c) 14 
d) 16 
e) 20 
 
18. Na figura, o raio da circunferência de centro O é 
25
cm
2
 e a corda MP mede 10 cm. 
 
 
 
A medida, em centímetros, do segmento PQ é 
 
a) 
25
2
 
b) 10 
c) 5 21 
d) 21 
e) 2 21 
 
 
 
 
19. Na figura, A é o centro da circunferência, CD é o 
diâmetro e GF é a altura do triângulo CDG. 
 
 
 
Sendo CG 3 cm= e DG 4 cm,= o segmento AF 
mede, em centímetros, 
 
a) 0,3. 
b) 0,5. 
c) 0,7. 
d) 0,9. 
e) 0,4 
 
20. Considere uma lajota hexagonal regular inscrita 
em um cubo, de modo que os seus vértices sejam 
pontos médios das arestas desse cubo, cujo volume é 
de 512 u.v. 
 
Sabendo-se que o perímetro da lajota é m 2 u.c., 
pode-se concluir que o valor de m é 
 
a) 12 
b) 24 
c) 36 
d) 42 
e) 48 
 
21. Um canteiro com formato retangular tem área 
igual a 240 m e sua diagonal mede 89 m. O 
perímetro desse retângulo é: 
 
a) 20 m 
b) 22 m 
c) 24 m 
d) 26 m 
e) 28 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS 
 
22. Pedrinho está brincando com duas moedas 
circulares com tamanhos diferentes e uma régua não 
graduada. Sabe-se que as moedas possuem raios 
iguais a 8 e 18 milímetros, respectivamente. Em 
certo momento ele posicionou as duas moedas 
tangentes à régua em dois pontos (A e B), e 
tangentes entre si, simultaneamente, conforme a 
figura a seguir: 
 
 
 
Nessas condições, o comprimento de AB seria igual a 
 
a) 26 mm. 
b) 24 mm. 
c) 22 mm. 
d) 20 mm. 
e) 28 mm 
 
23. “Diferente dos balões comuns, os balões 
meteorológicos são produzidos com borracha natural 
usando um processo de rotomoldagem. Isso quer 
dizer que toda a superfície do balão apresenta a 
mesma espessura, evitando estouros prematuros.” 
Dois jovens pesquisadores, João e Diogo, decidiram 
lançar um único balão meteorológico para fazer um 
estudo. Após o lançamento, em um dado momento, 
João estava a 8 km do balão e Diogo a 15 km. Sabe-
se que o balão subiu verticalmente durante todo o 
percurso e que a distância entre os pesquisadores 
naquele momento era de 17 km. 
 
Observe a figura abaixo, representativa da situação: 
 
 
 
Desconsiderando a curvatura da Terra, pode-se 
afirmar que a altura aproximada desse balão era de 
 
a) 6 km. b) 6,5 km. c) 7 km. d) 7,5 km. e) 8,2 km 
24. A turma de eletrônica está se formando e resolveu 
construir um projetor para utilizar na aula da saudade. 
Sofia conseguiu um lençol branco, cuja largura é 
equivalente a 8 15 do comprimento, para servir de 
tela, semelhante a uma televisão de 85 polegadas 
(medida da diagonal da tela). 
 
Sobre as dimensões deste lençol, é correto afirmar 
que 
 
a) o comprimento é 36 polegadas maior que a 
largura. 
b) o comprimento é 30 polegadas maior que a 
largura. 
c) a largura é 45 polegadas menor que o 
comprimento. 
d) a largura é 32 polegadas maior que o 
comprimento. 
e) o comprimento é 35 polegadas maior que a 
largura. 
 
25. Calcule o valor de m na figura: 
 
 
 
Onde C é o centro do círculo de raio 10. 
 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
e) 5. 
 
26. Duas crianças, cada uma em um prédio diferente, 
brincam com canetas lasers nas janelas de seus 
apartamentos, apontando para um ponto na quadra 
situada entre os prédios. A criança do prédio A está a 
uma altura de 10 m, e a do prédio B, a uma altura de 
20 m do chão. A distância entre os prédios é de 
50 m. 
 
Em um determinado momento, os lasers das crianças 
atingem, simultaneamente, um ponto P do pátio 
 
 
 
 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS 
 
equidistante das crianças, tal como na ilustração 
abaixo: 
 
 
 
A distância x, em metros, deste ponto até o prédio B 
é 
 
a) 22. 
b) 23. 
c) 25. 
d) 28. 
e) 31 
 
27. Diante da atual crise de mobilidade pela qual 
passam os moradores de sua cidade, Carlos decidiu ir 
trabalhar sempre a pé, fazendo a trajetória descrita na 
figura a seguir. 
 
 
 
Ao constatar que caminhava uma distância longa até 
o trabalho, certo dia pensou: 
– Se eu fizesse esse caminho em linha reta, quantos 
metros a menos caminharia? 
 
Assinale a alternativa que responde à pergunta de 
Carlos 
 
a) 230 m 
b) 150 m 
c) 160 m 
d) 250 m 
e) 325 m 
28. Observe o esquema a seguir, que representa certo 
trecho do Oceano Atlântico na costa brasileira. Um 
navio de pesquisas, situado inicialmente no ponto B, 
deve seguir rumo ao ponto C, em linha reta. Sabe-se 
que a distância BC é igual a 10 km. No ponto A 
encontra-se uma ilha e o navio deve parar, na sua 
trajetória, em um ponto o mais próximo possível 
dessa ilha, para que uma equipe de biólogos siga em 
um barco auxiliar a fim de coletar algumas espécies de 
plantas nativas para análise. 
 
Considere que a região limitada por AB, AC e BC 
seja plana e que o ângulo BAC meça 90 . 
 
 
 
Se a distância do navio à ilha, ao iniciar sua trajetória 
em B, era de 8 km, podemos afirmar que, nesse 
percurso, a menor distância do navio à ilha será igual 
a 
 
a) 5,2 km. b) 5,0 km. c) 4,8 km. d) 3,6 km. e) 4,2 km 
 
29. Pretende-se estender um fio de cobre de uma 
CENTRAL DE GÁS até o PONTO DE INSTALAÇÃO DE 
GÁS de uma residência. O fio de cobre deve ser 
instalado seguindo o percurso ABCDEFG, conforme 
mostra a figura abaixo. Sabendo-se que cada metro de 
cobre custa R$ 2,50 e que os triângulos ABC, CDE e 
EFG são triângulos retângulos, calcule a metragem 
de cobre que será necessária para ligar a CENTRAL DE 
GÁS até o PONTO DE INSTALAÇÃO DE GÁS e qual valor 
será gasto na compra desse material. 
 
 
 
 
 
 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS 
 
Assinale a alternativa correta. 
 
a) A metragem de cobre será 52,5 m e o valor gasto 
será igual a R$ 21,00. 
b) A metragem de cobre será 52,5 m e o valor gasto 
será igual a R$ 42,00. 
c) A metragem de cobre será 21m e o valor gasto 
será igual a R$ 42,00. 
d) A metragem de cobre será 21m e o valor gasto 
será igual a R$ 52,50. 
e) A metragem de cobre será 52,5 m e o valor gasto 
será igual a R$ 131,25. 
 
30. Para decorar uma mesa de festa infantil, um chefe 
de cozinha usará um melão esférico com diâmetro 
medindo 10 cm, o qual servirá de suporte para 
espetar diversos doces. Ele irá retirar uma calota 
esférica do melão, conforme ilustra a figura, e, para 
garantir a estabilidade deste suporte, dificultando que 
o melão role sobre a mesa, o chefe fará o corte de 
modo que o raio r da seção circular de corte seja de 
pelo menos 3 cm. Por outro lado, o chefe desejará 
dispor da maior área possível da região em que serão 
afixados os doces. 
 
 
 
Para atingir todos os seus objetivos, o chefe deverá 
cortar a calota do melão numa altura h, em 
centímetro, igual a 
 
a) 
91
5
2
− 
b) 10 91− 
c) 1 
d) 4 
e) 5 
 
31. Um retângulo cujo comprimento excede a largura 
em 2 m está inscrito em um círculo de 5 m de raio.A 
área desse retângulo, em metros quadrados, vale 
 
a) 56. b) 35. c) 48. d) 50. e) 64. 
32. Uma pipa, cuja figura é mostrada a seguir, foi 
construída no formato do quadrilátero ABCD, sendo 
AB BC e AD CD. A vareta BD da pipa intercepta 
a vareta AC em seu ponto médio E, formando um 
ângulo reto. Na construção dessa pipa, as medidas de 
BC e BE usadas são, respectivamente, 25 cm e 
20 cm, e a medida de AC equivale a 
2
5
 da medida de 
BD. 
 
 
 
Nessas condições, a medida de DE, em cm, é igual a 
 
a) 25. 
b) 40. 
c) 55. 
d) 70. 
e) 85 
 
33. Na figura abaixo, a circunferência de raio 3 cm 
tangencia três lados do retângulo ABCD. Sabendo 
que a área deste retângulo é igual a 272 cm , a 
medida do segmento EF, em cm, é igual a: 
 
 
 
a) 3 5 b) 
6 5
5
 c) 6 5 d) 
12 5
5
 e) 12 5 
 
 
 
 
 
 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS 
 
34. A base da agência de espionagem C.O.N.T.R.O.L.E. 
localiza-se em um terreno plano, na origem de um 
sistema de coordenadas cartesianas medidas em 
quilometros. Nos pontos A(6;0), B(0;6), C( 6;0)− e 
D(0; 6)− foram instalados radares com o intuito de 
alertar os agentes da base sobre possíveis ataques 
terrestres. Cada radar patrulha uma região circular de 
R km de raio. Para que a proteção seja efetiva, a 
região patrulhada por um radar deve interceptar as 
regiões patrulhadas por outros dois radares em pelo 
menos um ponto, como indicado na figura ao lado. 
 
 
 
Nessas condições, para que a proteção seja efetiva, R 
deve valer, no mínimo, 
 
a) 4 3 
b) 4 2 
c) 3 3 
d) 3 2 
e) 4 
 
35. Um grupo de corredores de aventura se depara 
com o ponto A no topo de um despenhadeiro vertical 
(o ângulo C é reto), ponto este que já está 
previamente ligado ao ponto B por uma corda 
retilínea de 60 m, conforme a figura a seguir: 
 
 
 
Se a altura (AC 30 m)= do despenhadeiro fosse a 
metade do que é, o comprimento da corda deveria ser 
igual a: 
 
a) 15 m. b) 30 m. c) 3 15 m. d) 13 15 m. e)15 13 m. 
36. Francisco decidiu fazer uma brincadeira com seus 
filhos. Montou um mapa do tesouro com algumas 
instruções e disse-lhes que, ao chegar ao ponto final, 
encontrariam um belo prêmio. As instruções foram: 
 
1. ande 200 metros na direção NORTE; 
2. ande 120 metros na direção LESTE; 
3. ande 50 metros na direção SUL; 
4. ande 40 metros na direção OESTE. 
 
 
 
Luiz, um de seus filhos, decidiu colocar em prática o 
que acabara de aprender na escola. Em alguns 
minutos, ele descobriu qual seria a menor distância 
entre o ponto de partida e o ponto de chegada 
mostrado no mapa. Assim sendo, a distância calculada 
por Luiz foi de 
 
a) 170 metros 
b) 150 metros 
c) 180 metros 
d) 200 metros 
e) 210 metros 
 
37. O quintal da casa de Manoel é formado por cinco 
quadrados ABKL, BCDE, BEHK, HIJK e EFGH, de igual 
área e tem a forma da figura abaixo. Se BG 20 m,= 
então a área do quintal é: 
 
 
 
a) 220 m b) 230 m c) 240 m d) 250 m e) 32 m² 
 
 
 
 
 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS 
 
38. Um triângulo retângulo tem catetos medindo 1 e 
2. Se um quadrado for construído tendo como lado a 
hipotenusa desse triângulo, a diagonal do quadrado 
medirá 
 
a) 5. 
b) 2 5. 
c) 5 2. 
d) 10. 
e) 2. 
 
39. As barragens são elementos fundamentais para as 
usinas hidrelétricas. 
 
 
 
O trapézio ABCD da imagem é um modelo 
matemático que representa um corte vertical de uma 
barragem. Na imagem, a crista mede 10 metros, a 
altura mede 12 metros, o talude de montante mede 
13 metros e o talude de jusante mede 15 metros. 
Para calcular a medida da base, podemos dividir a 
figura em outros polígonos, como triângulos. 
 
Assim, considere um primeiro triângulo retângulo que 
tem como hipotenusa o talude de montante e como 
catetos a altura e uma parte da base, com medida x . 
Aplicando o Teorema de Pitágoras nesse triângulo, 
temos: 
 
2 2 2 2 2 2x 12 13 x 144 169 x 169 144 x 25+ =  + =  = −  =
 
 
Como procuramos uma medida, o valor será positivo, 
então x 5.= Considere também, um segundo 
triângulo retângulo que tem como hipotenusa o 
talude de jusante e como catetos a altura e outra 
parte da base, com medida y . 
 
Após aplicar o Teorema de Pitágoras no segundo 
triângulo descrito, podemos concluir que a medida da 
base do trapézio é, em metros, 
 
a) 5. b) 9. c) 14. d) 24. e) 50. 
40. A soma entre as medidas da altura e da base de 
um retângulo é de 14 cm. Se a diagonal mede 10 cm, 
então as medidas da altura e da base do retângulo 
são, respectivamente, 
 
a) 2 cm e 12 cm 
b) 9 cm e 5 cm 
c) 10 cm e 4 cm 
d) 8 cm e 6 cm 
e) 11cm e 3 cm 
 
41. Em 09 de agosto de 1945, uma bomba atômica foi 
detonada sobre a cidade japonesa de Nagasaki. A 
bomba explodiu a 500 m de altura acima do ponto 
que ficaria conhecido como “marco zero”. 
 
 
 
No filme Wolverine Imortal, há uma sequência de 
imagens na qual o herói, acompanhado do militar 
japonês Yashida, se encontrava a 1km do marco zero 
e a 50 m de um poço. No momento da explosão, os 
dois correm e se refugiam no poço, chegando nesse 
local no momento exato em que uma nuvem de 
poeira e material radioativo, provocada pela explosão, 
passa por eles. A figura a seguir mostra as posições 
do “marco zero”, da explosão da bomba, do poço e 
dos personagens do filme no momento da explosão 
da bomba. 
 
 
 
Se os ventos provocados pela explosão foram de 
800 km h e adotando a aproximação 5 2,24, os 
personagens correram até o poço, em linha reta, com 
uma velocidade média, em km h, de 
aproximadamente 
 
a) 28. b) 24. c) 40. d) 36. e) 32. 
 
 
 
 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS 
 
42. Para acessar o topo de uma plataforma de saltos a 
400 cm de altura, um atleta deve subir uma escadaria 
que possui 8 degraus no primeiro lance e 6 degraus 
no segundo lance de escada, conforme mostra a 
figura abaixo. 
 
 
 
Sabendo que cada degrau possui 30 cm de 
profundidade, é correto afirmar que o comprimento, 
em cm, da haste metálica AB utilizada para dar 
sustentação à plataforma é: 
 
a) 300 
b) 400 
c) 500 
d) 200 
e) 100 
 
43. Os lados a, b e c da figura a seguir estão em 
progressão aritmética de razão 1. 
 
 
 
Verifica-se que o valor de " a " é igual a 
 
a) 5 
b) 1 i+ 
c) 1 
d) 2 
e) 2 
 
44. Um mineroduto é uma extensa tubulação para 
levar minério de ferro extraído de uma mina até o 
terminal de minério para beneficiamento. Suponha 
que se pretenda instalar um mineroduto em uma 
mina que está à margem de um rio com 200 metros 
de largura até um porto situado do outro lado do rio, 
3.000 metros abaixo. O custo para instalar a 
tubulação no rio é R$10,00 o metro e o custo para 
instalar a tubulação em terra é R$6,00 o metro. 
Estudos mostram que, neste caso, o custo será 
minimizado se parte do duto for instalada por terra e 
parte pelo rio. Determine o custo de instalação do 
duto em função de x, em que x é a distância da mina 
até o ponto P, como mostra a figura. 
 
 
 
a) ( )( )C(x) 6x 10 200 3000 x= + + − 
b) ( )
22C(x) 6 200 3000 x 10x= + − + 
c) ( )
22C(x) 4 200 3000 x= + − 
d) ( )
22C(x) 6x 10 200 3000 x= + + − 
e) ( )
22C(x) 10 200 3000 x= + − 
 
45. Em 2014, a Companhia de Engenharia de Tráfego 
(CET) implantou duas faixas para pedestres na 
diagonal de um cruzamento de ruas perpendiculares 
do centro de São Paulo. Juntas, as faixas formam um 
' X ', como indicado na imagem. Segundo a CET, o 
objetivo das faixas foi o de encurtar o tempo e a 
distância da travessia. 
 
 
 
Antes da implantação das novas faixas, o tempo 
necessário para o pedestre ir do ponto A até o ponto 
 
 
 
 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS 
 
C era de 90 segundos e distribuía-se do seguinte 
modo: 40 segundos para atravessar AB, com 
velocidade média v; 20 segundos esperando o sinal 
verde depedestres para iniciar a travessia BC; e 30 
segundos para atravessar BC, também com 
velocidade média v. Na nova configuração das faixas, 
com a mesma velocidade média v, a economia de 
tempo para ir de A até C, por meio da faixa AC, em 
segundos, será igual a 
 
a) 20. 
b) 30. 
c) 50. 
d) 10. 
e) 40. 
 
46. Uma escada está apoiada em uma parede a uma 
altura de 16 m do solo plano. A distância do pé da 
escada até a parede é igual a 12 m. O centro de 
gravidade da escada está a um terço do comprimento 
dela, medido a partir do seu apoio no chão. Nessa 
situação, o comprimento da escada e a altura 
aproximada do seu centro de gravidade até o chão 
são, respectivamente, iguais a 
 
a) 20 m e 5,3 m. 
b) 20 m e 6,6 m. 
c) 28 m e 9,3 m. 
d) 56 m e 5,3 m. 
e) 56 m e 2,6 m. 
 
47. Considere a figura e o texto abaixo. 
 
 
 
As medidas de comprimento e largura da tela de uma 
televisão, em geral, obedecem à proporção 16 : 9, 
sendo que o número de polegadas (1pol 2,5 cm)= 
desse aparelho indica a medida da diagonal de sua 
tela. Considerando essas informações, as medidas do 
comprimento e da largura, em centímetros, de uma 
TV de 32 polegadas, como mostra a figura acima, 
podem ser obtidas com a resolução do seguinte 
sistema: 
 
a) 
2 2
x 9
y 16
x y 32

=


+ =
 
b) 
2 2
x 16
y 9
x y 32

=


+ =
 
c) 
2 2
x 16
y 9
x y 1024

=


+ =
 
d) 
2 2
x 9
y 16
x y 6400

=


+ =
 
e) 
2 2
x 16
y 9
x y 6400

=


+ =
 
 
48. Todos os anos, no mês de Setembro, comemora-
se a Independência do Brasil. Durante uma semana, 
muitas Instituições exibem a Bandeira do Brasil como 
forma de homenagear a Pátria. 
 
 
 
A maioria dos brasileiros desconhece que a fabricação 
da Bandeira Nacional obedece a rígidos critérios em 
relação às dimensões das figuras geométricas 
(retângulo, losango e círculo), das letras e das 
estrelas. Considere que as diagonais maior e menor 
do losango amarelo da Bandeira do Brasil medem 
16 dm e 12 dm, respectivamente. 
 
Então é correto afirmar que a linha que delimita a 
parte amarela mede: 
 
a) 40 dm 
b) 28 dm 
c) 20 dm 
d) 48 dm 
e) 96 dm 
 
 
 
 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS 
 
49. Nessa figura, ABCD é um retângulo cujos lados 
medem b e 2b. O ponto R pertence aos segmentos AC 
e BD e, ARDS é um quadrilátero em que M é ponto 
médio do segmento RS. 
 
 
 
O segmento MP, expresso em função de b, é 
 
a) 
b 5
.
5
 
b) 
b 5
.
3
 
c) 
2b 5
.
3
 
d) 
3b 5
.
5
 
e) 2b - 1 
 
50. Um grande círculo azul escuro no meio do mar 
turquesa do Caribe atrai mergulhadores e turistas do 
mundo todo para Belize, na América Central. 
 
 
 
O Great Blue Hole (Grande Buraco Azul) é uma 
caverna submersa com estalactites cercadas de 
animais marinhos de várias espécies, como arraias, 
peixes-papagaios e peixes-borboletas. Localizado no 
Atol de Recifes Lighthouse, a cerca de 50 milhas a 
leste de Belize, o buraco é um círculo quase perfeito 
de cerca de 300 metros de diâmetro e 125 metros de 
profundidade, podendo ser visto inclusive do espaço. 
A circunferência da figura abaixo é uma representação 
esquemática do Grande Buraco 
 
Azul em que: 
 
 
 
- o ponto O é o centro da circunferência; 
- o segmento AB é um diâmetro da circunferência; 
- os pontos C e D pertencem à circunferência; 
- as retas 𝐴𝐵 ⃡ e 𝐶𝐷 ⃡ são paralelas; 
- o ponto E pertence à corda CD; e 
- as retas 𝐴𝐵 ⃡ e 𝑂𝐸 ⃡ e são perpendiculares. 
 
Nessas condições, admitindo-se que a medida da 
corda seja 240 m, então a medida do segmento 𝑂𝐸 
será, em metros, 
 
a) 93 
b) 90 
c) 87 
d) 84 
e) 81 
 
51. Cada pneu traseiro de um trator tem raio 0,8 m e 
cada pneu dianteiro tem raio 0,3 m. Sabendo-se que 
a distância entre os pontos A e B, onde esses pneus 
tocam o solo plano, é de 2,5 m, a distância x entre os 
centros dos pneus é de: 
 
a) 6,2 m 
b) 6,3 m 
c) 6,4 m 
d) 6,5 m 
e) 6,6 m 
 
52. O município de Mossoró, no estado do Rio Grande 
do Norte é o maior produtor de sal marinho do Brasil. 
Esse sal é transportado, por meio terrestre, até a 
capital do estado, Natal, que fica a, 
aproximadamente, 200 km a leste e 150 km ao sul da 
cidade de Mossoró, de acordo com mapa abaixo: 
 
 
 
 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS 
 
 
 
Com base em seus conhecimentos de geometria, é 
correto afirmar que a distância em linha reta entre as 
cidades de Mossoró e de Natal, em km, é de: 
 
a) 70 
b) 500 
c) 450 
d) 350 
e) 250 
 
53. Depois da festa de aniversário de seu irmão, 
Joãozinho resolve empilhar 15 latinhas de 
refrigerante vazias, conforme a figura abaixo: 
 
 
 
Sabendo que cada latinha fica centralizada em cima 
de exatamente duas latinhas da fileira de baixo e que 
cada latinha possui 8 cm de diâmetro e 12 cm de 
altura, assinale a alternativa que indica a distância 
correta entre os pontos A e B marcados na figura. 
 
a) 4 241 cm 
b) 16 41 cm 
c) 6 241 cm 
d) 16 21 cm 
e) 76 cm 
 
54. Uma formiguinha encontra-se no ponto A de um 
cubo com 10 cm de aresta, conforme a figura abaixo. 
Ela tem a capacidade de se deslocar em qualquer 
região da superfície externa do cubo e deseja chegar 
ao ponto B. Para isso ela deverá percorrer a diagonal 
da face superior desse cubo, atingir o ponto C e, por 
fim, caminhar sobre a aresta até chegar em B. 
 
 
 
Qual a distância a ser percorrida por ela, em 
centímetros, nesse trajeto de A até B? 
 
a) 20 
b) 10 10 2+ 
c) 30 
d) 10 2 10+ 
e) 10 2 2 10+ 
 
55. Um instrumento musical é formado por 6 cordas 
paralelas de comprimentos diferentes as quais estão 
fixadas em duas hastes retas, sendo que uma delas 
está perpendicular às cordas. 
 
 
 
O comprimento da maior corda é de 50 cm, e o da 
menor é de 30 cm. Sabendo que a haste não 
perpendicular às cordas possui 25 cm de 
comprimento da primeira à última corda, se todas as 
cordas são equidistantes, a distância entre duas 
cordas seguidas, em centímetros, é 
 
a) 1 
b) 1,5 
c) 2 
d) 2,5 
e) 3 
 
 
 
 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS 
 
56. Um modelo de macaco, ferramenta utilizada para 
levantar carros, consiste em uma estrutura composta 
por dois triângulos isósceles congruentes, AMN e 
BMN, e por um parafuso acionado por uma manivela, 
de modo que o comprimento da base MN possa ser 
alterado pelo acionamento desse parafuso. Observe a 
figura: 
 
 
 
Considere as seguintes medidas: 
AM AN BM BN 4 dm;= = = = MN x dm;= AB y dm.= 
O valor, em decímetros, de y em função de x 
corresponde a: 
 
a) 216 – 4x 
b) 264 – x 
c) 
216 – 4x
2
 
d) 
264 – 2x
2
 
e) 3x 
 
57. Sejam as retas r, s e t paralelas entre si. 
 
 
 
Com relação aos segmentos determinados pelos 
pontos de interseção dessas retas, é incorreto afirmar 
que 
 
a) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
AB BC AD DE EC+ = + + 
b) 
AD DE AB BC
AD AB
+ +
= 
c) ( ) ( ) ( )
2 2 2
AB AD DB= + 
d) AB EC AC DB =  
e) AB = 2 . EC 
 
58. A escadaria a seguir tem oito batentes no primeiro 
lance e seis, no segundo lance de escada. 
 
 
 
Sabendo que cada batente tem 20 cm de altura e 30 
cm de comprimento (profundidade), a tangente do 
ângulo ˆCAD mede: 
 
a) 
9
10
 
b) 
14
15
 
c) 
29
30
 
d) 1 
e) 1,6 
 
59. A figura abaixo representa um paralelepípedo 
reto-retângulo de medidas AF = 4, FC = 3 e CE = 2 3, 
sendo B o ponto médio de DE. O perímetro do 
triângulo ABC é igual a: 
 
 
 
a) 12 b) 14 c) 13 d) 15 e) 11 
 
 
 
 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS 
 
60. A figura mostra parte de um campo de futebol, em 
que estão representados um dos gols e a marca do 
pênalti (ponto P). 
 
 
 
Considere que a marca do pênalti equidista das duas 
traves do gol, que são perpendiculares ao plano do 
campo, além das medidas a seguir, que foram 
aproximadas para facilitaras contas. 
 
• Distância da marca do pênalti até a linha do gol: 11 
metros. 
• Largura do gol: 8 metros. 
• Altura do gol: 2,5 metros. 
 
Um atacante chuta a bola da marca do pênalti e ela, 
seguindo uma trajetória reta, choca-se contra a 
junção da trave esquerda com o travessão (ponto T). 
Nessa situação, a bola terá percorrido, do momento 
do chute até o choque, uma distância, em metros, 
aproximadamente igual a 
 
a) 12 
b) 14 
c) 16 
d) 18 
e) 20 
 
61. Uma circunferência de raio R é tangente 
externamente a duas circunferências de raio r, com r 
< R. As três circunferências são tangentes a uma 
mesma reta, como ilustrado a seguir. Qual a distância 
entre os centros das circunferências de raio r? 
 
 
 
 
a) 4 Rr b) 3 Rr c) 2 Rr d) Rr e) Rr /2 
62. A figura mostra um quadrado, dois círculos claros 
de raios R e dois círculos escuros de raios r, tangentes 
entre si e aos lados do quadrado. 
 
 
 
A razão entre R e r é igual a: 
 
a) 2 
b) 3 
c) 
3
2
 
d) 2 
e) 
5
2
 
 
63. Um carpinteiro foi contratado para construir uma 
cerca formada por ripas de madeira. As figuras abaixo 
apresentam uma vista parcial da cerca, bem como os 
detalhes das ligações entre as ripas, nos quais os 
parafusos são representados por círculos brancos. 
Note que cada ripa está presa à cerca por dois 
parafusos em cada extremidade. 
 
 
 
Para construir uma cerca com 300 m de comprimento, 
são necessários 
 
a) 1201,5 m de ripas 
b) 1425,0 m de ripas 
c) 2403,0 m de ripas 
d) 712,5 m de ripas 
e) 817,6 m de ripas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS 
 
64. Duas vilas da zona rural de um município 
localizam-se na mesma margem de um trecho 
retilíneo de um rio. Devido a problemas de 
abastecimento de água, os moradores fizeram várias 
reivindicações à prefeitura, solicitando a construção 
de uma estação de bombeamento de água para sanar 
esses problemas. Um desenho do projeto, proposto 
pela prefeitura para a construção da estação, está 
mostrado na figura a seguir. No projeto, estão 
destacados: 
 
• Os pontos R1 e R2, representando os reservatórios 
de água de cada vila, e as distâncias desses 
reservatórios ao rio. 
• Os pontos A e B, localizados na margem do rio, 
respectivamente, mais próximos dos reservatórios R1 
e R2. 
• O ponto S, localizado na margem do rio, entre os 
pontos A e B, onde deverá ser construída a estação 
de bombeamento. 
 
 
 
Com base nesses dados, para que a estação de 
bombeamento fique a uma mesma distância dos dois 
reservatórios de água das vilas, a distância entre os 
pontos A e S deverá ser de: 
 
a) 3.775 m 
b) 3.825 m 
c) 3.875 m 
d) 3.925 m 
e) 3.975 m 
 
65. Duas cidades, A e B, estão interligadas por uma 
rodovia reta que mede 24 km. O lixo recolhido dessas 
cidades é depositado em um aterro sanitário distante, 
em linha reta, 13 km de ambas as cidades. O acesso a 
esse aterro, a partir da rodovia que liga as duas 
cidades, é feito por uma estrada, também reta, que 
cruza essa rodovia perpendicularmente. 
 
Com base nessas informações, é correto afirmar que 
para ir de uma dessas cidades até o aterro, fazendo 
todo o percurso pela rodovia e pela estrada de acesso, 
é necessário percorrer no mínimo: 
 
a) 17 km 
b) 16 km 
c) 15 km 
d) 14 km 
e) 13 km 
 
66. Ao meio dia, a formiga A está 3 km a oeste da 
formiga B. A formiga A está se movendo para o oeste 
a 3 km/h e a formiga B está se movendo para o norte 
com a mesma velocidade. 
 
Qual a distância entre as duas formigas às 14h? 
 
a) 17 km 
b) 17 km 
c) 51 km 
d) 117 km 
e) 117 km 
 
67. A pipa, também conhecida como papagaio ou 
quadrado, foi introduzida no Brasil pelos 
colonizadores portugueses no século XVI. Para montar 
a pipa, representada na figura, foram utilizados uma 
vareta de 40cm de comprimento, duas varetas de 
32cm de comprimento, tesoura, papel de seda, cola 
e linha. As varetas são fixadas conforme a figura, 
formando a estrutura da pipa. A linha é passada em 
todas as pontas da estrutura, e o papel é colado de 
modo que a extremidade menor da estrutura da pipa 
fique de fora. 
 
 
 
O comprimento da linha que passa pelos pontos A, B 
e C do contorno da estrutura da pipa, em 
centímetros, é: 
 
a) 4 (4 17). + b) 2 (8 19). + c) 16 17.+ 
d) 18 19. e) 20 17. 
 
 
 
 
 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS 
 
68. Dois navios navegavam pelo Oceano Atlântico, 
supostamente plano: X, à velocidade constante de 16 
milhas por hora, e Y à velocidade constante de 12 
milhas por hora. Sabe-se que às 15 horas de certo dia 
Y estava exatamente 72 milhas ao sul de X e que, a 
partir de então, Y navegou em linha reta para o leste, 
enquanto que X navegou em linha reta para o sul, 
cada qual mantendo suas respectivas velocidades. 
Nessas condições, às 17 horas e 15 minutos do 
mesmo dia, a distância entre X e Y, em milhas, era 
 
a) 45 
b) 48 
c) 50 
d) 55 
e) 58 
 
69. Observe. 
 
 
 
Na figura acima, que representa o projeto de uma 
escada com 5 degraus de mesma altura, o 
comprimento total do corrimão é igual a 
 
a) 1,8 m. 
b) 1,9 m. 
c) 2,0 m. 
d) 2,1m. 
e) 2,2 m. 
 
70. A figura mostra o polígono ABCDEF, no qual dois 
lados consecutivos quaisquer são perpendiculares. O 
ponto G está sobre o lado CD e a reta r. As medidas 
dos lados AB, BC, EF e FA são, respectivamente, 16 
cm, 12 cm, 6 cm e 8 cm. 
 
 
 
O perímetro do polígono ABCG, em cm, é 
 
a) 46 
b) 48 
c) 50 
d) 52 
e) 56 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1 -C 8 -D 15 -C 22 -B 29 -D 36 -A 43 -C 50 -B 57 -A 64 -C 
2 -B 9 -B 16 -E 23 -C 30 -C 37 -A 44 -D 51 -D 58 -B 65 -A 
3 -A 10 -B 17 -B 24 -E 31 -C 38 -D 45 -E 52 -E 59 -B 66 -D 
4 -B 11 -D 18 -E 25 -B 32 -C 39 -D 46 -A 53 -A 60 -A 67 -A 
5 -B 12 -A 19 -C 26 -A 33 -D 40 -D 47 -E 54 -B 61 -A 68 -A 
6 -D 13 -D 20 -B 27 -C 34 -D 41 -D 48 -A 55 -E 62 -C 69 -D 
7 -E 14 -D 21 -D 28 -C 35 -E 42 -C 49 -A 56 -B 63 -A 70 -C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUADRILÁTEROS 
 
01. José somou as medidas de três dos lados de um 
retângulo e obteve 40 cm. João somou as medidas de 
três dos lados do mesmo retângulo e obteve 44 cm. 
Com essas informações, pode-se afirmar 
corretamente que a medida, em cm, do perímetro do 
retângulo é 
 
a) 48. 
b) 52. 
c) 46. 
d) 56. 
e) 62 
 
02. Admitindo um retângulo cujos lados medem a e 
b, sendo a b, é possível formar uma sequência 
ilimitada de retângulos da seguinte forma: a partir do 
primeiro, cada novo retângulo é construído 
acrescentando-se um quadrado cujo lado é igual ao 
maior lado do retângulo anterior, conforme ilustrado 
a seguir. 
 
 
 
A figura IV destaca a linha poligonal 1 2 3 4 5 6P P P P P P , 
formada pelos lados dos retângulos, que são os 
elementos da sequência (a, b, a b, a 2b, 2a 3b).+ + + 
 
Mantendo o mesmo padrão de construção, o 
comprimento da linha poligonal 1 2 3 4 5 6 7P P P P P P P , de 
1P até o vértice 7P , é igual a: 
 
a) 5a 7b+ 
b) 8a 12b+ 
c) 13a 20b+ 
d) 21a 33b+ 
e) 32a + 6b 
 
03. Em um plano, duas circunferências têm seus 
centros nos pontos P e Q e as medidas de seus raios 
são ambas iguais a 3 m. Se essas circunferências 
cortam-se nos pontos R e S e se a distância entre P 
e Q é igual à distância entre R e S, então, a medida 
da área do quadrilátero convexo cujos vértices são os 
pontos P, Q, R e S, em 2m , é 
 
a) 18. b) 9 2. c) 9 3. d) 9. e) 11 
04. Um terreno com perímetro de 176 m é 
subdividido em 5 retângulos congruentes, como 
mostrado na figura a seguir. 
 
 
 
O perímetro de qualquer um dos 5 retângulos 
congruentes vale, em m, 
 
a) 80. 
b) 76. 
c) 35,2. 
d) 84. 
e) 86. 
 
05. Sejam A, B, C e D os vértices de um trapézio 
isósceles. Os ângulos µA e $B ambos agudos são os 
ângulos da base desse trapézio, enquanto queos 
ângulos µC e µD são ambos obtusos e medem cada 
um, o dobro da medida de cada ângulo agudo desse 
trapézio. Sabe-se ainda que a diagonal AC é 
perpendicular ao lado BC. Sendo a medida do lado 
AB igual a 10 cm, o valor da medida do perímetro do 
trapézio ABCD, em centímetros, é: 
 
a) 21 
b) 22 
c) 23 
d) 24 
e) 25 
 
06. Um terreno retangular de lados cujas medidas, em 
metro, são x e y será cercado para a construção de 
um parque de diversões. Um dos lados do terreno 
encontra-se às margens de um rio. Observe a figura. 
 
 
 
 
 
 
 
QUADRILÁTEROS 
 
Para cercar todo o terreno, o proprietário gastará 
R$ 7.500,00. O material da cerca custa R$ 4,00 por 
metro para os lados do terreno paralelos ao rio, e 
R$ 2,00 por metro para os demais lados. 
 
Nessas condições, as dimensões do terreno e o custo 
total do material podem ser relacionados pela 
equação 
 
a) 4(2x y) 7.500+ = 
b) 4(x 2y) 7.500+ = 
c) 2(x y) 7.500+ = 
d) 2(4x y) 7.500+ = 
e) 2(2x y) 7.500+ = 
 
07. A figura representa um trapézio isósceles ABCD, 
com AD BC 4cm.= = M é o ponto médio de AD, e o 
ângulo ˆBMC é reto. 
 
 
 
O perímetro do trapézio ABCD, em cm, é igual a 
 
a) 8. 
b) 10. 
c) 12. 
d) 14. 
e) 15. 
 
08. A figura abaixo exibe um retângulo ABCD 
decomposto em quatro quadrados. 
 
 
 
O valor da razão 
AB
BC
 é igual a 
 
a) 
5
.
3
 b) 
5
.
2
 c) 
4
.
3
 d) 
3
.
2
 e) 1 
09. A figura abaixo é plana e composta por dois 
trapézios isósceles e um losango. 
 
 
 
O comprimento da base maior do trapézio ABCD é 
igual ao da base menor do trapézio EFGH, que vale 
2x e, a base maior de cada trapézio é o dobro da 
base menor, e o lado EF do losango vale y. O 
perímetro da figura dada, expresso em função de x e 
y, é 
 
a) 6x 4y+ 
b) 9x 4y+ 
c) 12x 2y+ 
d) 15x 2y+ 
e) 6x + 3y 
 
10. Como um relógio cuco funciona - Escrito por 
Brenton Shields | Traduzido por Cezar Rosa 
 
 
 
O pêndulo 
 
Toda vez que o pêndulo vai para frente e para 
trás, a mão dos segundos se move para frente uma 
vez, no relógio. Segundo a Antiques Merritt, o 
comprimento do eixo é o fator decisivo no tempo que 
o pêndulo leva para oscilar. Fabricantes de relógio 
calibram os eixos dos relógios para que um balanço 
seja igual a um segundo de tempo. 
 
Engrenagens 
 
Uma série de pesos e engrenagens dentro do 
relógio regula o movimento de suas mãos. Os pesos 
 
 
 
 
 
QUADRILÁTEROS 
 
são amarrados em torno das engrenagens com 
correntes e descem como polias com o balanço do 
pêndulo. Em resumo, os pesos controlam o 
funcionamento interno do relógio. Um peso controla o 
movimento das mãos, outro controla o carrilhão ou 
sinal sonoro e um terceiro controla o pássaro cuco. 
 
A figura abaixo representa o esquema de uma casinha 
(vista de uma lateral e vista frontal) a ser construída 
em madeira para abrigar um relógio do tipo cuco. 
 
 
 
Sobre as peças que formarão o telhado da casinha 
que abrigará o relógio Cuco é correto afirmar que: 
 
a) São dois paralelogramos de lados medindo 25 cm e 
40cm. 
b) São dois retângulos de lados medindo 25 cm por 
10 cm. 
c) São dois quadrados de lado 25cm. 
d) São dois retângulos de lados medindo 40 cm por 
20cm. 
e) Com base nas informações dadas na figura, não é 
possível determinar o formato das peças que 
comporão o telhado. 
 
11. Na figura abaixo, ABCD é um paralelogramo, as 
retas r e s são paralelas, D e E são pontos de s, F e G 
são pontos de r, F é um ponto de AD, ˆABC 30=  e 
ˆCDE 120 .=  Quanto mede, em graus, o ângulo 
ˆDFG? 
 
 
 
a) 120° b) 130° c) 140° d) 150° e) 160° 
12. Diariamente, uma residência consome 20.160Wh. 
Essa residência possui 100 células solares 
retangulares (dispositivos capazes de converter a luz 
solar em energia elétrica) de dimensões 6cm 8cm. 
Cada uma das tais células produz, ao longo do dia, 
24Wh por centímetro de diagonal. O proprietário 
dessa residência quer produzir, por dia, exatamente a 
mesma quantidade de energia que sua casa consome. 
 
Qual deve ser a ação desse proprietário para que ele 
atinja o seu objetivo? 
 
a) Retirar 16 células 
b) Retirar 40 células 
c) Acrescentar 5 células 
d) Acrescentar 20 células 
e) Acrescentar 40 células 
 
13. A figura a seguir mostra uma das peças do jogo 
“Pentaminós”. 
 
 
 
Cada peça é formada por cinco quadradinhos, e o lado 
de cada quadradinho mede 5cm. 
Com 120 dessas peças, Jorge montou uma faixa, 
encaixando perfeitamente as peças como mostra a 
figura a seguir: 
 
 
 
Quanto mede o perímetro dessa faixa? 
 
a) 1 200 cm 
b) 1 500 cm 
c) 3 000 cm 
d) 3 020 cm 
e) 6 000 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUADRILÁTEROS 
 
14. Uma indústria compra placas de alumínio em 
formato retangular e as corta em quatro partes, das 
quais duas têm a forma de triângulos retângulos 
isósceles (Fig. 1). Depois, reordena as quatro partes 
para construir novas placas no formato apresentado 
na Fig. 2. 
 
 
 
Se a medida do lado menor da placa retangular é 30 
cm, a medida do lado maior é 
 
a) 70 cm 
b) 40 cm 
c) 50 cm 
d) 60 cm 
e) 70 cm 
 
15. Numa praça de alimentação retangular, com 
dimensões 12 m por 16 m, as mesas estão dispostas 
em fileiras paralelas às laterais do ambiente, 
conforme o esquema da figura, sendo as linhas 
pontilhadas os corredores entre as mesas. 
 
 
 
Pela disposição das mesas, existem várias maneiras de 
se chegar do ponto A ao ponto C, movendo-se apenas 
pelos corredores. Seguindo-se o caminho destacado e 
desprezando-se a largura dos corredores, a distância 
percorrida é: 
 
a) 12 m b) 20 m c) 24 m d) 28 m e) 16 m 
16. Em uma das paredes de um depósito existem 
compartimentos de mesmo tamanho para 
armazenamento de caixas de dimensões frontais a e 
b. A terceira dimensão da caixa coincide com a 
profundidade de cada um dos compartimentos. 
Inicialmente as caixas são arrumadas, em cada um 
deles, como representado na Figura 1. A fim de 
aproveitar melhor o espaço, uma nova proposta de 
disposição das caixas foi idealizada e está indicada na 
Figura 2. Essa nova proposta possibilitaria o aumento 
do número de caixas armazenadas de 10 para 12 e a 
eliminação de folgas. 
 
 
 
É possível ocorrer a troca de arrumação segundo a 
nova proposta? 
 
a) Não, porque a segunda proposta deixa uma folga 
de 4 cm na altura do compartimento, que é de 12 
cm, o que permitiria colocar um número maior de 
caixas. 
b) Não, porque, para aceitar a segunda proposta, seria 
necessário praticamente dobrar a altura e reduzir à 
metade a largura do compartimento. 
c) Sim, porque a nova disposição das caixas ficaria 
acomodada perfeitamente no compartimento de 
20 cm de altura por 27 cm de largura. 
d) Sim, pois efetivamente aumentaria o número de 
caixas e reduziria o número de folgas para apenas 
uma de 2 cm na largura do compartimento. 
e) Sim, porque a nova disposição de caixas ficaria 
acomodada perfeitamente no compartimento de 
32 cm de altura por 45 cm de largura. 
 
 
 
 
 
 
QUADRILÁTEROS 
 
17. Uma parede retangular cujo comprimento mede o 
dobro da altura, foi revestida com azulejos quadrados, 
inteiros e de mesmo tamanho, sendo que, em todo o 
contorno externo, foi feita uma faixa decorativa com 
68 peças mais escuras, como na figura exemplo 
abaixo. 
 
 
 
O número de azulejos mais claros usados no interior 
da parede foi de: 
 
a) 260 
b) 246 
c) 268 
d) 312 
e) 220 
 
18. Observando-se o campo de futebol da imagem 1, 
identificam-se vários elementos geométricos: ângulos, 
segmentos de retas, pontos, circunferências, raio, 
diâmetro, diagonais e arcos, entre outros. Além disso, 
há simetrias nas figuras geométricas. 
 
 
 
Também se observam figuras geométricas nos 
diferentes esquemas táticos adotados pelos times. 
O esquema tático 4-3-3 (4 zagueiros, 3 jogadores demeio de campo e 3 atacantes) é um esquema muito 
ofensivo que os treinadores usam quando estão em 
desvantagem no placar ou precisam reverter algum 
resultado desfavorável. Esse esquema foi muito 
utilizado no passado, quando a prioridade era jogar 
um futebol bonito chamado futebol-arte. 
 
No esquema tático 4-3-3, podem ser observadas 
figuras geométricas como: triângulos equiláteros, 
triângulos isósceles, trapézios, hexágonos e 
retângulos, conforme imagem 2. 
 
 
 
A imagem 3 apresenta o diagrama de um esquema 4-
3-3, onde os pontos A, B, C, ... e J representam 
jogadores. 
 
 
 
Na imagem 3, temos que: 
 
• o triângulo ABC é equilátero, e o vértice C pertence 
à circunferência; 
• o ponto O é o centro da circunferência; 
• o segmento AB tangencia a circunferência; 
• os pontos D, E e F pertencem ao lado do retângulo 
que representa a grande área; 
• o ponto E é o ponto médio do segmento DF ; 
• o segmento AB é paralelo ao segmento DF ; 
• o segmento AB é perpendicular à reta CE . 
 
a) 185,0 
b) 113,6 
c) 56,8 
d) 47,6 
e) 23,8 
 
19. No paralelogramo ABCD, conforme mostra a 
figura, o segmento CE é a bissetriz do ângulo DCB. 
 
 
 
Sabendo que AE 2= e AD 5,= então o valor do 
 
 
 
 
 
QUADRILÁTEROS 
 
perímetro do paralelogramo ABCD é: 
 
a) 26 
b) 16 
c) 20 
d) 22 
e) 24 
 
20. Uma certa propriedade rural tem o formato de um 
trapézio como na figura. As bases WZ e XY do 
trapézio medem 9,4 km e 5,7 km, respectivamente, e 
o lado YZ margeia um rio. 
 
 
 
Se o ângulo XYZ é o dobro do ângulo XWZ, a 
medida, em km, do lado YZ que fica à margem do 
rio é: 
 
a) 7,5. 
b) 5,7. 
c) 4,7. 
d) 4,3. 
e) 3,7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1 -D 6 -A 11 -D 16 -E 
2 -B 7 -C 12 -A 17 -E 
3 -D 8 -A 13 -D 18 -B 
4 -A 9 -B 14 -D 19 -E 
5 -E 10 -C 15 -D 20 -E 
 
 
 
 
 
 
ARCOS 
 
01. Em uma olimpíada de robótica, o robô BESOURO 
caminha de fora do círculo de manobras e, após se 
apresentar, retorna ao ponto inicial conforme a figura 
a seguir. 
 
 
 
Considerando que o caminho percorrido pelo robô 
está indicado pelas setas, qual o ângulo x formado 
entre o caminho de saída e o caminho de retorno do 
robô ao ponto inicial? 
 
a) 28 
b) 22 
c) 21 
d) 49 
e) 56 
 
02. O símbolo internacional da paz do movimento 
hippie pode ser representado como na figura abaixo, 
por uma circunferência de centro O onde estão os 
pontos A, B, C e D e os ângulos centrais 
ˆ ˆAOC AOD= e ˆ ˆBOC BOD.= 
 
 
 
Se a medida do ângulo central ˆAOD 150=  e a 
medida do comprimento do menor arco »BD é igual a 
m,
2
π
 então a área da circunferência representada é 
igual a 
 
a) 9 .π 
b) 12 .π 
c) 15 .π 
d) 18 .π 
e) 27π 
03. O triângulo ABV está inscrito em uma 
circunferência de centro C e o segmento VD 
tangencia a circunferência em V, como representado 
na figura acima. 
 
 
 
 
Sabendo que a 𝑚𝑒𝑑(𝐴𝑉𝐷) = 30° e que a medida do 
raio da circunferência é igual a 5 cm, o 
comprimento do arco 𝑉𝐸𝐹⏜, em cm, é 
 
a) 5.
3
π
 
b) 
2
5.
3
π
 
c) 5.
6
π
 
d) 2 .π 
e) 4π 
 
04. A rosa dos ventos é uma figura que representa 
oito sentidos, que dividem o círculo em partes iguais. 
 
 
 
Uma câmera de vigilância está fixada no teto de um 
shopping e sua lente pode ser direcionada 
remotamente, através de um controlador, para 
qualquer sentido. A lente da câmera está apontada 
inicialmente no sentido Oeste e o seu controlador 
efetua três mudanças consecutivas, a saber: 
 
 
 
 
 
ARCOS 
 
- 1ª mudança: 135 no sentido anti-horário; 
- 2ª mudança: 60 no sentido horário; 
- 3ª mudança: 45 no sentido anti-horário. 
 
Após a 3ª mudança, ele é orientado a reposicionar a 
câmera, com a menor amplitude possível, no sentido 
Noroeste (NO) devido a um movimento suspeito de 
um cliente. 
 
Qual mudança de sentido o controlador deve efetuar 
para reposicionar a câmera? 
 
a) 75 no sentido horário. 
b) 105 no sentido anti-horário. 
c) 120 no sentido anti-horário. 
d) 135 no sentido anti-horário. 
e) 165 no sentido horário. 
 
05. Para encontrar quais os assentos em um teatro 
possibilitam que um espectador veja todo o palco sob 
um ângulo de visão determinado, utilizamos o 
conceito de “arco capaz”. A esse respeito, analise a 
figura abaixo: 
 
 
 
O “arco capaz do ângulo ( 90 )θ θ   sobre o segmento 
AB" corresponde ao arco maior da circunferência 
representada na figura acima, que possui centro em 
O, e tem AB como corda. Como os ângulos ·APB e 
·AMB são ângulos inscritos nessa circunferência e 
determinam o mesmo arco, eles têm a mesma 
medida. Esses ângulos são conhecidos como 
“inscritos”. Considere o arco capaz de 60 sobre o 
segmento AB representado abaixo. 
 
 
Qual é o valor do ângulo 𝛼 = 𝑂𝐴�̂�, sabendo que O é 
o centro da circunferência? 
 
a) 30 . 
b) 36 . 
c) 20 . 
d) 60 . 
e) 45 . 
 
06. A figura a seguir mostra uma circunferência, em 
que os arcos ADC e AEB são congruentes e medem 
160 cada um. 
 
 
 
A medida, em graus, do ângulo x, é 
 
a) 10 . 
b) 20 . 
c) 30 . 
d) 40 . 
e) 50° 
 
07. A imagem apresentada na figura é uma cópia em 
preto e branco da tela quadrada intitulada O peixe, de 
Marcos Pinto, que foi colocada em uma parede para 
exposição e fixada nos pontos A e B. Por um 
problema na fixação de um dos pontos, a tela se 
desprendeu, girando rente à parede. Após o giro, ela 
ficou posicionada como ilustrado na figura, formando 
um ângulo de 45 com a linha do horizonte. 
 
 
 
 
 
 
 
ARCOS 
 
 
 
 
Para recolocar a tela na sua posição original, deve-se 
girá-la, rente à parede, no menor ângulo possível 
inferior a 360 . 
 
A forma de recolocar a tela na posição original, 
obedecendo ao que foi estabelecido, é girando-a em 
um ângulo de 
 
a) 90 no sentido horário 
b) 135 no sentido horário 
c) 180 no sentido anti-horário 
d) 270 no sentido anti-horário 
e) 315 no sentido horário 
 
08. As cordas AB e CD de uma circunferência de 
centro O são, respectivamente, lados de polígonos 
regulares de 6 e 10 lados inscritos nessa 
circunferência. Na mesma circunferência, as cordas 
AD e BC se intersectam no ponto P, conforme indica 
a figura a seguir. 
 
 
 
A medida do ângulo 𝐵�̂�𝐷, indicado na figura por , é 
igual a 
 
a) 120 . 
b) 124 . 
c) 128 . 
d) 130 . 
e) 132 . 
 
09. Duas cordas se cruzam num ponto distinto do 
centro da circunferência, conforme esboço. 
 
 
 
A partir do conceito de ângulo excêntrico interior, a 
medida do arco x é 
 
a) 40 b) 70 c) 110 d) 120 e) 135° 
 
10. Num semicírculo S, inscreve-se um triângulo 
retângulo ABC. A maior circunferência possível que se 
pode construir externamente ao triângulo ABC e 
internamente ao S, mas tangente a um dos catetos de 
ABC e ao S, tem raio 2. Sabe-se ainda que o menor 
cateto de ABC mede 2. Qual a área do semicírculo? 
 
a) 10π 
b) 12,5π 
c) 15π 
d) 17,5π 
e) 20π 
 
11. Mariana gosta muito de desenhar, mas sempre 
usando formas geométricas. Ao iniciar um novo 
desenho, Mariana traçou um par de eixos 
perpendiculares e construiu quatro círculos idênticos 
com raio medindo 2 cm. Cada círculo é tangente a 
apenas um eixo e a intersecção dos quatro círculos 
coincide com a intersecção dos eixos. 
 
 
 
 
 
 
 
ARCOS 
 
A seguir, Mariana desenhou um quadrado cujos 
vértices estão sobre os eixos. 
 
 
 
Ela decidiu apagar parte da figura ficando apenas com 
a “flor” formada pelos arcos das circunferências. 
 
 
 
É correto afirmar que o perímetro da “flor” do 
desenho de Mariana, em cm, mede 
 
a) 2 .π b) 4 .π c) 8 .π d) 16 .π e) 20π 
 
12. Caminhando 100 metros pelo contorno de uma 
praça circular, uma pessoa descreve um arco de 144°. 
Desse modo, é correto afirmar que a medida, emmetros, do raio da circunferência da praça é 
 
a) 125π b) 
175
π
 c) 
125
π
 d) 
250
π
 e) 250π 
 
13. Um estudante ao chegar ao prédio do campus 
Florianópolis do IFSC percebeu que no seu relógio os 
ponteiros estavam marcando exatamente duas horas. 
Considerando o ângulo agudo formado pelos 
ponteiros das horas e dos minutos, é correto afirmar 
que esse ângulo agudo é de: 
 
 
 
a) 20 
b) 120 
c) 60 
d) 300 
e) 30 
14. Ao projetar um teatro, um arquiteto recebeu o 
seguinte pedido da equipe que seria responsável pela 
filmagem dos eventos que lá aconteceriam: “É 
necessário que seja construído um trilho no teto ao 
qual acoplaremos uma câmera de controle remoto. 
Para que a câmera não precise ficar mudando a 
calibragem do foco a cada movimentação, o ângulo de 
abertura com que a câmera captura as imagens do 
palco deve ser sempre o mesmo, conforme ilustração 
abaixo. Por exemplo, dos pontos P1 e P2 a câmera 
deve ter o mesmo ângulo de abertura α para o 
palco.” 
 
 
 
Das propostas de trilho a seguir, aquela que atende a 
essa necessidade é 
 
a) b) 
 
c) d) 
 
e) 
 
 
 
 
 
ARCOS 
 
15. Na figura, AB e AE são tangentes à 
circunferência nos pontos B e E, respectivamente, e 
ˆBAE 60 .=  
 
 
 
Se os arcos 𝐵𝑃𝐶 ⌢ 𝐶𝑄𝐷⏜
⏜ 
 e ¼DRE têm medidas iguais, 
a medida do ângulo ˆBEC, indicada na figura por ,α é 
igual a 
 
a) 20° 
b) 40° 
c) 45° 
d) 60° 
e) 80° 
 
16. Considere três circunferências de raio unitário e 
de centros A, B e C, conforme a figura. 
 
 
 
Dessa forma, o perímetro da região sombreada, em 
unidades de comprimento, é 
 
a) .
3
π
 
b) .
2
π
 
c) .π 
d) 2 .π 
e) 8π 
 
 
 
 
 
17. Durante seu treinamento, um atleta percorre 
metade de uma pista circular de raio R, conforme 
figura a seguir. A sua largada foi dada na posição 
representada pela letra L, a chegada está 
representada pela letra C e a letra A representa o 
atleta. O segmento LC é um diâmetro da 
circunferência e o centro da circunferência está 
representado pela letra F. 
Sabemos que, em qualquer posição que o atleta 
esteja na pista, os segmentos LA e AC são 
perpendiculares. Seja θ o ângulo que o segmento AF 
faz com segmento FC. 
 
 
 
Quantos graus mede o ângulo θ quando o segmento 
AC medir R durante a corrida? 
 
a) 15 graus 
b) 30 graus 
c) 60 graus 
d) 90 graus 
e) 120 graus 
 
18. Na figura, se a circunferência tem centro O e 
BC = OA, então a razão entre as medidas dos ângulos 
AÔD e CÔB é 
 
 
 
a) 
5
2
 
b) 
3
2
 
c) 2 
d) 
4
3
 
e) 3 
 
 
 
 
 
 
 
ARCOS 
 
19. Na figura, a reta t é tangente, no ponto P, ao 
círculo de centro O. A medida do arco é 100º e a 
do arco é 194º. O valor de x, em graus, é 
 
 
 
a) 53 
b) 57 
c) 61 
d) 64 
e) 66 
 
20. Na figura, os segmentos PB e PD são secantes à 
circunferência, as cordas AD e BC são perpendiculares 
e AP = AD. A medida x do ângulo BPD é 
 
 
 
a) 30° 
b) 40° 
c) 50° 
d) 60° 
e) 72° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1 -C 6 -B 11 -C 16 -C 
2 -A 7 -B 12 -C 17 -C 
3 -B 8 -E 13 -C 18 -E 
4 -E 9 -B 14 -E 19 -D 
5 -A 10 -B 15 -B 20 -A 
 
 
 
 
 
 
 
CÍRCULOS 
 
01. A figura abaixo mostra um círculo que representa 
uma região cuja área mede 2600 m . No círculo está 
destacado um setor circular, definido por um ângulo 
central que mede 24 . 
 
 
 
Quantos metros quadrados mede a área da região 
representada pelo setor circular? 
 
a) 25 
b) 40 
c) 24 
d) 48 
e) 20 
 
02. A figura abaixo representa quatro circunferências 
de mesmo raio e centros A, B, C e D. Essas 
circunferências tangenciam-se em um único ponto P, 
comum às quatro circunferências, e o quadrilátero 
ABCD é um quadrado cujo lado mede 2 2 cm. 
 
 
 
A área da região sombreada na figura, em 2cm , é 
 
a) 2 4.π − 
b) 8 4.π − 
c) 8 16.π − 
d) 16 16.π − 
e) 22 π - 6 
 
 
03. Na figura a seguir, há 4 circunferências 
concêntricas cujos raios medem 1,0 cm; 0,9 cm; 
0,8 cm; 0,7 cm. 
 
 
A área da região sombreada, em 2cm , é 
 
(use 3 como aproximação para )π 
 
a) 1,02. b) 1,59. c) 1,92. d) 2,25. e) 3,56 
 
04. Com um fio de arame, deseja-se cercar dois 
jardins: um circular, de raio 3 m, e o outro triangular, 
cujo perímetro é igual ao comprimento da 
circunferência do primeiro. Considerando 3,14,π = 
para cercar totalmente esses jardins, arredondando 
para inteiros, serão necessários ____ metros de 
arame. 
 
a) 29 
b) 30 
c) 35 
d) 38 
e) 42 
 
05. Qual é a área de uma circunferência inscrita em 
um triângulo equilátero, sabendo-se que esse 
triângulo está inscrito em uma circunferência de 
comprimento igual a 10 cm?π 
 
a) 
75
4
π
 
b) 
25
4
π
 
c) 
5
2
π
 
d) 
25
16
π
 
e) 
5
4
π
 
 
 
 
 
 
 
 
CÍRCULOS 
 
06. Se o perímetro de uma circunferência aumenta 
em uma unidade de comprimento, assinale a 
alternativa que apresenta, em unidades de 
comprimento, o aumento no comprimento do raio. 
 
a) 
1
.
π
 b) 
1
.
3π
 c) .
2
π
 d) .
3
π
 e) 
1
.
2π
 
 
07. A moeda de 1 real é formada de uma parte 
prateada (círculo interior onde aparece o valor da 
moeda e o ano de fabricação) e uma parte dourada 
(coroa circular). 
 
 
 
Sabendo que a moeda tem 27 mm de diâmetro e que 
a parte prateada tem 24 mm de diâmetro (usando a 
aproximação 3,1).π = podemos afirmar que a área, 
em milímetros quadrados, da parte dourada, é 
 
a) 79,05. 
b) 6,975. 
c) 14,415. 
d) 367,5825. 
e) 118,575. 
 
08. Num sistema de engrenagens, cada uma tem seu 
raio, de forma que a engrenagem "A" tem raio com 
medida R; a "B" tem raio com medida igual à metade 
do raio da engrenagem "A", e a "C" tem raio com 
medida igual a um quarto do raio da engrenagem 
"A". Sendo a medida do raio de "A" igual a 4 cm, 
quantas voltas "A" dará, quando "C" percorrer o 
equivalente a 3.600 cm? 
 
 
 
 
a) 2.400 b) 1.200 c) 600 d) 300 e) 150 
09. A razão entre a área do quadrado inscrito em um 
semicírculo de raio R e a área do quadrado inscrito 
em um círculo de raio R é: 
 
a) 
1
2
 
b) 
1
3
 
c) 
3
4
 
d) 
2
5
 
e) 
1
4
 
 
10. Um estudante do Curso de Mecânica do IFAL 
dispõe de uma placa metálica quadrada de lado igual 
a 60 cm. Qual será a área de um círculo inscrito nessa 
placa em centímetros quadrados? Use 3,14.π = 
 
a) 1.413. 
b) 1.884. 
c) 2.826. 
d) 5.652. 
e) 11.304. 
 
11. Celso decidiu montar uma pequena horta no 
quintal de sua casa no formato de um retângulo, 
medindo 1 metro de largura por 4 metros de 
comprimento. Para fazer a irrigação, decidiu utilizar 4 
aspersores, que molham regiões circulares com raio 
igual a 50 cm. As regiões molhadas, representadas 
em cinza, tangenciam-se entre si e também 
tangenciam as bordas da região retangular destinada 
à horta, como mostra a figura a seguir. 
 
 
 
Algum tempo depois, Celso percebeu que algumas 
plantas não recebiam água suficiente para o seu 
desenvolvimento por estarem próximas à borda da 
horta. Assim, ele verificou que a área não molhada da 
horta corresponde a 
(utilize 3)π = 
 
a) 33,3% da área destinada à horta 
b) 16% da área destinada à horta 
c) 20% da área destinada à horta 
d) 10% da área destinada à horta 
e) 25% da área destinada à horta 
 
 
 
 
 
CÍRCULOS 
 
12. Foi inaugurada uma praça municipal, de formato 
circular, com 30 m de raio, toda permeada por 21 
refletores à sua volta. Foi projetada para que a 
distância entre dois refletores vizinhos fossem iguais. 
Adotando o valor de 3,15;π = então a distância, em 
metros, entre cada dois dos refletores vizinhos foi de: 
 
a) 7 m 
b) 8 m 
c) 9 m 
d) 10 m 
e) 11m 
 
13. Com a finalidade de se calcular a quantidadede 
pessoas presentes em manifestações sociais em 
determinado trecho urbano, são utilizadas diferentes 
metodologias, sendo que uma delas consiste em 
quatro etapas: 
 
1. estabelece-se a área A (em 2m ) da região 
delimitada pelo trecho da manifestação; 
2. posicionam-se alguns fiscais que ficam 
responsáveis, cada um, por uma sub-região fixa e 
exclusiva do trecho urbano, a fim de coletar, de 
maneira simultânea e periódica, quantas pessoas se 
encontram em sua sub-região no momento de cada 
medição; 
3. calcula-se a média M de todas as medições 
realizadas por todos os fiscais; 
4. ao final, declara-se que há A M pessoas presentes 
na manifestação. 
 
Suponha que uma manifestação ocorreu na região 
hachurada dada pelo setor de uma coroa circular de 
centro O (conforme figura) e que foi observada por 
3 medições com 2 fiscais cada, cujas tabelas dos 
dados coletados encontram-se a seguir. 
 
 Medição 1 Medição 2 Medição 3 
Fiscal 1 3 3 4 
Fiscal 2 2 4 5 
 
 
Considerando essa metodologia e a aproximação 
22
,
7
π  assinale a alternativa que apresenta, 
corretamente, a quantidade de pessoas que estiveram 
presentes na manifestação, naquele trecho. 
 
a) 11 mil b) 22 mil c) 27 mil d) 31 mil e) 33 mil 
 
14. Na figura abaixo temos uma circunferência com 
centro em O. Os pontos P, Q e R são pontos sobre 
a circunferência, sendo PQ um lado de um hexágono 
regular inscrito nessa circunferência. Uma formiga 
estava sobre o ponto P e se deslocou sobre a 
circunferência no sentido horário, até o ponto Q, 
passando pelo ponto R uma única vez. Calcule a 
distância percorrida pela formiga, sabendo que 
PQ 3 cm.= 
 
Observação: A relação entre o comprimento da 
circunferência "C" com seu raio "r " é dado por: 
C 2 r.π= 
 
 
 
a) 6 cmπ 
b) 5 cmπ 
c) 3 cmπ 
d) 2 cmπ 
e) 4πcm 
 
15. Um ciclista A usou uma bicicleta com rodas com 
diâmetros medindo 60 cm e percorreu, com ela, 10 
km. Um ciclista B usou outra bicicleta com rodas 
cujos diâmetros mediam 40 cm e percorreu, com ela, 
5 km. Considere 3,14 como aproximação para .π 
 
A relação entre o número de voltas efetuadas pelas 
rodas da bicicleta do ciclista A e o número de voltas 
efetuadas pelas rodas da bicicleta do ciclista B é dada 
por 
 
a) 
1
2
 b) 
2
3
 c) 
3
4
 d) 
4
3
 e) 
3
2
 
 
 
 
 
 
 
CÍRCULOS 
 
16. Tradicionalmente uma pizza média de formato 
circular tem diâmetro de 30 cm e é dividida em 8 
fatias iguais (mesma área). Uma família, ao se reunir 
para o jantar, fará uma pizza de formato circular e 
pretende dividi-la em 10 fatias também iguais. 
Entretanto, eles desejam que cada fatia dessa pizza 
tenha o mesmo tamanho (mesma área) de cada fatia 
da pizza média quando dividida em 8 fatias iguais. 
 
Qual o valor mais próximo do raio com que deve ser 
feita a pizza, em centímetro, para que eles consigam 
dividi-Ia da forma pretendida? 
 
Use 2,2 como aproximação para 5. 
 
a) 15,00 
b) 16,50 
c) 18,75 
d) 33,00 
e) 37,50 
 
17. Num experimento de física realizado em sala, foi 
solta do topo de uma rampa de 0,30 m de altura uma 
esfera que percorreu certa distância, fazendo um 
looping no final. Partindo do princípio de que o 
triângulo representado é retângulo, qual a distância 
total aproximada que essa bola irá percorrer do topo 
da rampa até dar uma volta completa no aro da 
circunferência cujo raio é de 0,10 m? 
 
Adote 3,14π = 
 
 
 
a) 1,13 m 
b) 1,28 m 
c) 1,57 m 
d) 2,00 m 
e) 2,07 m 
 
 
 
18. Nas competições olímpicas de Tiro com Arco, o 
alvo possui 1,22 m de diâmetro. Ele é formado por 
dez circunferências concêntricas pintadas sobre um 
mesmo plano e a uma distância constante de 6,1cm 
entre si, como vemos no esquema. 
 
 
 
Podemos afirmar corretamente que a razão entre a 
área da região cinza e a área total do alvo, nessa 
ordem, é igual a 
 
a) 
3
.
10
 b) 
2
.
15
 c) 
1
.
25
 d) 
10
.
61
 e) 
5
.
21
 
 
 
19. A linha curva indicada na figura tem extremidades 
em A e B e é formada apenas por semicircunferências. 
 
 
 
Se o comprimento de AB é igual a x, então o 
comprimento da linha curva será igual a 
 
a) 
8x
π
 
b) 
16
x
π
 
c) 
x
2
π
 
d) 
x
4
π
 
e) 
4x
π
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÍRCULOS 
 
20. Considere o setor circular de raio 6 e ângulo 
central 60 da figura abaixo. 
 
 
 
Se P e Q são pontos médios, respectivamente, de 
OS e OR, então o perímetro da região sombreada é 
 
a) 6.π + 
b) 2 6.π + 
c) 3 6.π + 
d) 12.π + 
e) 3 12.π + 
 
21. No projeto de arborização de uma praça está 
prevista a construção de um canteiro circular. Esse 
canteiro será constituído de uma área central e de 
uma faixa circular ao seu redor, conforme ilustra a 
figura. 
 
 
 
Deseja-se que a área central seja igual à área da faixa 
circular sombreada. 
 
A relação entre os raios do canteiro (R) e da área 
central (r) deverá ser 
 
a) R 2r= 
b) R r 2= 
c) 
2r 2r
R
2
+
= 
d) 2R r 2r= + 
e) 
3
R r
2
= 
22. A superfície acima, conhecida como faixa de 
Möebius, foi descoberta pelo matemático e 
astrônomo alemão August Ferdinand Möebius (1790- 
1868). 
 
 
 
A faixa de Möebius pode ser obtida a partir de uma 
faixa retangular ABCD, dando-se meio giro numa de 
suas extremidade e juntando-se os pontos A com D e 
B com C, conforme as figuras abaixo. 
 
 
 
Caminhando na faixa de Möebius (imagem acima à 
direita), uma baratinha, sempre sobre a linha escura, 
saiu do ponto P e a ele retornou percorrendo uma 
distância de 7,2 m. Qual é a medida do raio da base 
da superfície cilíndrica obtida com a faixa retangular 
(imagem acima à esquerda) que gerou a faixa de 
Möebius? Adote 3π = 
 
a) 0,54 m 
b) 0,58 m 
c) 0,60 m 
d) 0,63 m 
e) 0,70 m 
 
23. Mariana gosta muito de desenhar, mas sempre 
usando formas geométricas. Ao iniciar um novo 
desenho, Mariana traçou um par de eixos 
perpendiculares e construiu quatro círculos idênticos 
com raio medindo 2 cm. Cada círculo é tangente a 
apenas um eixo e a intersecção dos quatro círculos 
coincide com a intersecção dos eixos. 
 
 
 
 
 
 
 
CÍRCULOS 
 
A seguir, Mariana desenhou um quadrado cujos 
vértices estão sobre os eixos. 
 
 
 
Ela decidiu apagar parte da figura ficando apenas com 
a “flor” formada pelos arcos das circunferências. 
 
 
 
É correto afirmar que o perímetro da “flor” do 
desenho de Mariana, em cm, mede 
 
a) 2 .π b) 4 .π c) 8 .π d) 16 .π e) 22π 
 
24. A figura é uma representação simplificada do 
carrossel de um parque de diversões, visto de cima. 
Nessa representação, os cavalos estão identificados 
pelos pontos escuros, e ocupam circunferências de 
raios 3 m e 4 m, respectivamente, ambas centradas 
no ponto O. Em cada sessão de funcionamento, o 
carrossel efetua 10 voltas. 
 
 
 
Quantos metros uma criança sentada no cavalo 1C 
percorrerá a mais do que uma criança no cavalo 2C , 
em uma sessão? Use 3,0 como aproximação para .π 
 
a) 55,5 
b) 60,0 
c) 175,5 
d) 235,5 
e) 240,0 
25. Um designer gráfico criou uma logomarca para 
uma empresa com a forma que lembra uma vírgula, 
tomando como referência um círculo de diâmetro AB 
e dois semicírculos de diâmetros colineares AC e CB 
(observe a figura). Sabe-se que AB 12 cm= e que 
CB 2.AC.= Determine a área, em 2cm , da região 
destacada em forma de vírgula. 
 
 
 
a) 12π 
b) 14π 
c) 16π 
d) 18π 
e) 24π 
 
26. Um homem, determinado a melhorar sua saúde, 
resolveu andar diariamente numa praça circular que 
há em frente à sua casa. Todos os dias ele dá 
exatamente 15 voltas em torno da praça, que tem 
50 m de raio. Use 3 como aproximação para .π 
 
Qual é a distância percorrida por esse homem em sua 
caminhada diária? 
 
a) 0,30 km 
b) 0,75 km 
c) 1,50 km 
d) 2,25 km 
e) 4,50km 
 
27. Sistema de irrigação por Pivô Central 
 
 
 
A divisão da área em piquetes tem sido realizada de 
 
 
 
 
 
CÍRCULOS 
 
formas diferentes. Algumas favorecem o manejo da 
pastagem e dos animais e outras favorecem o manejo 
da irrigação e da fertirrigação. É realmente difícil 
encontrar uma maneira que favoreça as duas 
situações. O que devemos fazer é analisarmos a 
situação e optarmos pela forma de dividir a área 
irrigada. A mais utilizada é a forma de pizza, como 
segue na ilustração ao lado, pois dentre outras coisas, 
favorece em muito o processo de fertirrigação. A área 
de lazer pode ser feita no centro ou na periferia do 
Pivô. Considerando que o manejo de gado da 
ilustração contenha um total de 30 piquetes e que é 
utilizado apenas um único piquete por vez, cujo raio é 
igual a 500 m, para deixar o gado à vontade, e que 
dessa maneira é capaz de criar 10 cabeças por 
hectare, então é correto afirmar sobre a capacidade 
máxima deste manejo: 
 
Dado: 3.π = 
 
a) Será maior que 50 cabeças 
b) Será de 25 cabeças 
c) Será menor que 20 cabeças 
d) Será de 22 cabeças 
e) Será de 46 cabeças 
 
28. Um grupo de amigos resolveu “abraçar” uma 
árvore centenária com 4 metros de diâmetro. 
Considere que cada um deles consegue abraçar 0,4π 
metros da árvore. Nessas condições, quantos amigos 
foram necessários para conseguir fechar o abraço na 
árvore? 
 
a) 16 amigos b) 10 amigos c) 6 amigos 
d) 4 amigos e) 3 amigos 
 
29. O atletismo é um dos esportes que mais se 
identificam com o espírito olímpico. A figura ilustra 
uma pista de atletismo. A pista é composta por oito 
raias e tem largura de 9,76 m. As raias são numeradas 
do centro da pista para a extremidade e são 
construídas de segmentos de retas paralelas e arcos 
de circunferência. Os dois semicírculos da pista são 
iguais. 
 
 
Se os atletas partissem do mesmo ponto, dando uma 
volta completa, em qual das raias o corredor estaria 
sendo beneficiado? 
 
a) 1 
b) 4 
c) 5 
d) 7 
e) 8 
 
30. A ideia de usar rolos circulares para deslocar 
objetos pesados provavelmente surgiu com os antigos 
egípcios ao construírem as pirâmides. 
 
 
 
Representando por R o raio da base dos rolos 
cilíndricos, em metros, a expressão do deslocamento 
horizontal y do bloco de pedra em função de R, após 
o rolo ter dado uma volta completa sem deslizar, é 
 
a) y R.= 
b) y 2R.= 
c) y R.π= 
d) y 2 R.π= 
e) y 4 R.π= 
 
31. A figura a seguir é uma janela com formato de um 
semicírculo sobre um retângulo. Sabemos que a altura 
da parte retangular da janela é 1 m e a altura total da 
janela é 1,5 m. 
 
A largura da parte retangular, expressa em metros, 
deve ser: 
 
a) 0,5 b) 1 c) 2 d) π e) 2 π 
 
 
 
 
 
 
CÍRCULOS 
 
32. O papelão utilizado na fabricação de caixas 
reforçadas é composto de três folhas de papel, 
coladas uma nas outras, sendo que as duas folhas das 
faces são “lisas” e a folha que se intercala entre elas é 
“sanfonada”, conforme mostrado na figura. 
 
 
 
O fabricante desse papelão compra o papel em 
bobinas, de comprimento variável. Supondo que a 
folha “sanfonada” descreva uma curva composta por 
uma sequência de semicircunferências, com 
concavidades alternadas e de raio externo (RExt) de 1,5 
mm, determine qual deve ser a quantidade de papel 
da bobina que gerará a folha “sanfonada”, com 
precisão de centímetros, para que, no processo de 
fabricação do papelão, esta se esgote no mesmo 
instante das outras duas bobinas de 102 m de 
comprimento de papel, que produzirão as faces 
“lisas”. 
 
Dado: ð ≈ 3,14 
 
a) 160 m e 07 cm 
b) 160 m e 14 cm 
c) 160 m e 21 cm 
d) 160 m e 28 cm 
e) 160 m e 35 cm 
 
33. Arquimedes (212 a.C.), em uma de suas obras, 
descreve que um arbelos é uma região plana, 
delimitada por três semicírculos. Na figura a seguir, a 
região destacada é um arbelos, delimitado por três 
semicircunferências cujos diâmetros são AB, AC e 
BC. 
 
 
 
Se med(AB) 6 cm,= med(AC) 4 cm= e AB CD,⊥ a 
razão entre a área desse arbelos e a área do círculo de 
diâmetro CD é 
 
a) 
1
.
2
 b) 1. c) 
3
.
2
 d) 2. e) 3 
34. Considere o alvo mostrado na figura a seguir, 
construído com três circunferências tangentes duas a 
duas, com DA AC 10= = e os pontos D, A e C 
colineares. 
 
 
 
Um dardo é lançado e atinge o alvo. A probabilidade 
de o dardo atingir a região sombreada é de 
 
a) 
1
.
5
 b) 
1
.
4
 c) 
1
.
3
 d) 
1
.
2
 e) 
2
.
3
 
 
35. Suponha que fosse possível dar uma volta 
completa em torno da linha do Equador caminhando 
e que essa linha fosse uma circunferência perfeita na 
esfera terrestre. Nesse caso, se uma pessoa de 2 m 
de altura desse uma volta completa na Terra pela 
linha do Equador, o topo de sua cabeça, ao completar 
a viagem, teria percorrido uma distância maior que a 
sola dos seus pés em, aproximadamente, 
 
a) 63 cm. 
b) 12,6 m. 
c) 6,3 km. 
d) 12,6 km. 
e) 63 km. 
 
 
GABARITO 
 
1 -B 6 -E 11 -E 16 -B 21 -B 26 -E 31 -B 
2 -C 7 -E 12 -C 17 -A 22 -C 27 -B 32 -B 
3 -A 8 -E 13 -A 18 -C 23 -C 28 -B 33 -B 
4 -D 9 -D 14 -B 19 -C 24 -B 29 -A 34 -D 
5 -B 10 -C 15 -D 20 -C 25 -A 30 - E 35 -B 
 
 
 
 
 
 
 
ÁREAS 
 
01. Frente ao crescente volume de construções nas 
cidades, muitas vezes de forma desordenada, um 
projeto paisagístico tem a importante missão de 
devolver a harmonia do ser humano com o meio 
ambiente, possibilitando-lhe uma melhor convivência 
com a natureza. O projeto de um museu prevê que se 
construa um jardim, formando com o prédio do 
museu uma área retangular, de acordo com a figura 
abaixo. Nela, a região cinza representa o lugar em que 
o jardim será construído. 
 
 
 
Sabendo que o jardim ocupa 2184 m , calcule a 
medida x, em metros. 
 
a) 7 
b) 6 
c) 5 
d) 4 
e) 10 
 
02. Na figura a seguir há três quadrados, sendo 
2258 cm a soma de suas áreas. Qual o perímetro do 
maior quadrado, em cm, sendo que o menor 
quadrado tem lado medindo 5 cm? 
 
 
 
Assinale a alternativa correta. 
 
a) 36 cm 
b) 32 cm 
c) 60 cm 
d) 52 cm 
e) 40 cm 
 
03. Na figura a seguir, temos um triângulo equilátero 
ABC e duas circunferências concêntricas de centro 
D, uma inscrita e outra circunscrita ao triângulo ABC. 
Dado que o perímetro do triângulo é 6 cm, a medida 
da área sombreada da figura, em 2cm , é: 
 
 
 
a) 
3
.
2
 b) 
3
.
4
 c) 
3
.
2
π
 d) 
3
.
4
π
 e) .π 
 
04. A figura a seguir é composta por duas retas AB
uuur
 e 
AC
uuur
 e três quadrados com um dos seus lados sobre a 
reta AC
uuur
 e um de seus vértices sobre a reta AB.
uuur
 
 
 
 
Se as áreas dos quadrados menor e maior são iguais, 
respectivamente, a 236 cm e 264 cm , então a área 
do quadrado intermediário é igual a 
 
a) 245 cm 
b) 245,5 cm 
c) 248 cm 
d) 248,5 cm 
e) 249 cm 
 
05. Uma administração municipal encomendou a 
pintura de dez placas de sinalização para colocar em 
seu pátio de estacionamento. O profissional 
contratado para o serviço inicial pintará o fundo de 
dez placas e cobrará um valor de acordo com a área 
total dessas placas. O formato de cada placa é um 
círculo de diâmetro d 40 cm,= que tangencia lados de 
um retângulo, sendo que o comprimento total da 
placa é h 60 cm,= conforme lustrado na figura. Use 
 
 
 
 
 
ÁREAS 
 
3,14 como aproximação para .π 
 
 
 
Qual é a soma das medidas das áreas, em centímetros 
quadrados, das dez placas? 
 
a) 16.628 
b) 22.280 
c) 28.560 
d) 41.120 
e) 66.240 
 
06. Se as medidas dos comprimentos dos lados de um 
triângulo são respectivamente 4 m, 6 m e 8 m, então, 
a medida da área desse triângulo, em 2m , é 
 
a) 5 6. 
b) 3 15. 
c) 6 5. 
d) 4 15. 
e) 7 
 
07. Um arquiteto precisa fazer um projeto conforme a 
figura abaixo, emque a construção será a parte 
pintada, e o restante deverá ser o jardim. Sabendo 
que E é ponto médio de DC e F é ponto médio de 
BC, qual seria a área em metro quadrado de 
construção? 
 
 
 
a) 2400 m 
b) 2250 m 
c) 2150 m 
d) 2500 m 
e) 652 m² 
 
08. Uma escola pretende colocar lajotas para 
construir um pátio com o formato abaixo. A parte 
pintada vai ser onde deverá ser colocado as lajotas. 
Sabe-se que não será preciso cobrir dois quadrados de 
lado b, onde se plantarão algumas flores. A área total 
a ser coberta é de 273 m e o comprimento do lado a 
menos 1m é igual ao triplo do comprimento do lado 
b. Dessa forma, podemos afirmar que a área que será 
destinada ao plantio das flores é: 
 
 
 
Assinale a alternativa correta. 
 
a) 24 m 
b) 28 m 
c) 249 m 
d) 281m 
e) 298 m 
 
09. Uma artesã borda, com lã, tapetes com desenhos 
baseados em figuras geométricas. Ela desenvolve um 
padrão retangular de 20 cm por 40 cm. No padrão, 
serão bordados dois triângulos pretos e quatro 
triângulos na cor cinza e o restante será bordado com 
lã branca, conforme a figura. 
 
 
 
Cada triângulo preto é retângulo e isósceles com 
 
 
 
 
 
ÁREAS 
 
hipotenusa 12 2 cm. Cada triângulo cinza é 
semelhante a um triângulo preto e possui dois lados 
de medida 10 cm. 
 
Assim posto, a área no padrão bordada em branco é, 
em 2cm , 
 
a) 344. 
b) 456. 
c) 582. 
d) 628. 
e) 780. 
 
10. Nas salas de aula do Colégio Pedro II serão 
colocados pisos conforme a figura a seguir: 
 
 
 
Cada piso é formado por quatro retângulos iguais de 
lados 10 cm e (x 10) cm,+ respectivamente, e um 
quadrado de lado igual a x cm. 
 
Sabendo-se que a área de cada piso equivale a 
2900 cm , o valor de x, em centímetros, é 
 
a) 10. b) 23. c) 24. d) 50. e) 32 
 
11. Observe a planta a seguir que representa parte do 
loteamento de um condomínio residencial. 
 
 
Uma empresa está vendendo os quatro lotes 
restantes, completamente arborizados. A política de 
loteamento da região determina que 10% da área de 
cada lote deve ser preservada com a mata nativa. 
Uma pessoa que deseja comprar o lote com a menor 
área de reserva deverá escolher o de número 
 
a) I. 
b) II. 
c) III. 
d) IV. 
e) nenhum 
 
12. Uma moeda foi cunhada na Polônia, em 
comemoração às Olimpíadas de Pequim, em 2008. A 
seguir, a Figura 1 mostra as duas faces da moeda e a 
Figura 2 mostra um modelo matemático de sua face, 
que é circular com um furo quadrado no centro. 
 
 
 
Suponha que a face da moeda tenha 3 cm de 
diâmetro e que o quadrado no centro tenha 0,4cm de 
lado. 
 
Então, usando a aproximação 3,π = a área da face da 
moeda é igual a 
 
a) 26,59 cm . 
b) 28,6 cm . 
c) 226,2 cm . 
d) 226,84 cm . 
e) 27, 56 cm² 
 
13. As medidas de bandeiras no Brasil foram 
normatizadas por um tamanho padrão chamado 
“pano” que é igual a 0,64 m de largura por 0,45 m de 
altura. Os demais tamanhos são múltiplos ou 
submúltiplos deste padrão. Assim uma bandeira de 
1,5 panos tem largura de 1,00 m de largura por 
0,70 m de altura. 
 
Considere a bandeira do Estado do Paraná de 1,5 
 
 
 
 
 
ÁREAS 
 
panos, figura abaixo. 
 
 
 
A soma das áreas em formato triangular, em 2m , é 
igual a: 
 
a) 0,1137. 
b) 0,2275. 
c) 0,3343. 
d) 0,6331. 
e) 0,7371. 
 
14. Observe. 
 
 
 
Na figura, os vértices de um triângulo equilátero de 
lado 4 cm são centros de três círculos que se 
tangenciam mutuamente, determinando a região 
hachurada de preto no interior do triângulo. Qual é a 
medida da área dessa região? 
 
Considere 3,0π  e 3 1,7. 
 
a) 0,6 
b) 0,3 
c) 0,5 
d) 0,8 
e) 0,4 
 
 
 
 
 
15. A figura mostra uma praça circular que contém 
um chafariz em seu centro e, em seu entorno, um 
passeio. Os círculos que definem a praça e o chafariz 
são concêntricos. 
 
 
 
O passeio terá seu piso revestido com ladrilhos. Sem 
condições de calcular os raios, pois o chafariz está 
cheio, um engenheiro fez a seguinte medição: esticou 
uma trena tangente ao chafariz, medindo a distância 
entre dois pontos A e B, conforme a figura. Com 
isso, obteve a medida do segmento de reta AB :16 m. 
 
 
 
Dispondo apenas dessa medida, o engenheiro 
calculou corretamente a medida da área do passeio, 
em metro quadrado. 
 
A medida encontrada pelo engenheiro foi 
 
a) 4π 
b) 8π 
c) 48π 
d) 64π 
e) 192π 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁREAS 
 
16. A imagem abaixo reproduz a bandeira de uma das 
nações mais desenvolvidas em todo o mundo, o 
Japão. 
 
 
 
Sabendo que a bandeira tem formato retangular de 
dimensõُes 8 cm e 12 cm, e círculo central de 2 cm 
de raio, usando 3,π = podemos afirmar que a área da 
bandeira pintada de branco, em centímetros 
quadrados, é 
 
a) 96. 
b) 84. 
c) 12. 
d) 72. 
e) 90. 
 
17. No retângulo ABCD a seguir, estão marcados os 
pontos E, F e G de forma que o lado AB está 
dividido em 4 partes iguais e P é um ponto qualquer 
sobre o lado DC. 
 
 
 
A razão entre a área do triângulo PFG e a área do 
retângulo ABCD é 
 
a) 
1
8
 
b) 
1
6
 
c) 
1
4
 
d) 
1
2
 
e) 1 
 
18. Em um lote retangular, murado, pretende-se 
construir um jardim que ocupe uma porção retangular 
com área igual a 260 m , conforme a figura 1. A área 
do jardim, não delimitada pelo muro, foi cercada, 
usando o modelo representado na figura 2, com 
estacas de 35 cm de largura, distantes 15 cm uma da 
outra. 
 
 
 
O número de estacas necessárias para cercar a área 
do jardim é 
 
a) 23. 
b) 24. 
c) 33. 
d) 34. 
e) 47 
 
19. Uma empresa produz tampas circulares de 
alumínio para tanques cilíndricos a partir de chapas 
quadradas, conforme as figuras a seguir. Com o 
mesmo tamanho de chapa, pode produzir 1 tampa 
grande, 4 tampas médias ou 16 tampas pequenas. 
 
 
 
A cada dia, é cortado, nessa empresa, o mesmo 
número de chapas para cada tamanho de tampas. As 
sobras de material da produção diária das tampas 
grandes, médias e pequenas são doadas, 
respectivamente, a três entidades: A, B e C, que 
efetuam reciclagem do material. A partir dessas 
informações, é possível concluir que 
 
a) a entidade A recebe mais material do que a 
entidade B. 
b) a entidade B recebe o dobro de material do que a 
entidade C. 
c) a entidade C recebe a metade de material do que 
a entidade A. 
 
 
 
 
 
ÁREAS 
 
d) as três entidades recebem iguais quantidades de 
material. 
e) as entidades A e C, juntas, recebem menos 
material do que a entidade B. 
 
20. Um cliente deseja revestir o piso de sua sala 
retangular de dimensões 6 m por 4 m, com uma 
cerâmica de sua escolha, no formato quadrado com 
lado 45 cm, cada pedra da cerâmica. Sabendo que 
cada caixa da cerâmica em questão possui 10 pedras, 
o profissional que irá realizar o serviço deve solicitar 
ao seu cliente a compra de, no mínimo, quantas 
caixas? 
 
a) 2. b) 6. c) 11. d) 12. e) 65. 
 
21. Considere a semicircunferência y, que possui raio 
de 5 5 cm e contém os quadrados ABCD e BEFG, 
conforme indica a imagem. 
 
 
 
Os vértices C, D e F pertencem à y, e os vértices 
A, B e E estão sobre seu diâmetro. A área do 
quadrado BEFG, em 2cm , é igual a: 
 
a) 25 
b) 35 
c) 45 
d) 55 
e) 20 
 
22. A figura a seguir é um hexágono regular, com 
centro O, dividido em polígonos. Todos os polígonos 
são formados por segmentos paralelos aos lados do 
hexágono. Os segmentos que partem dos lados do 
hexágono partem dos respectivos pontos médios 
desses lados. 
 
 
A fração do hexágono ocupada pelo trapézio 
sombreado é 
 
a) 
1
.
8
 b) 
1
.
6
 c) 
3
.
16
 d) 
2
.
9
 e) 
4
13
 
 
23. As tomografias computadorizadas envolvem 
sobreposição de imagens e, em algumas situações, é 
necessário conhecer a áreada região de intersecção 
das imagens sobrepostas. Na figura, um triângulo 
equilátero ABC se sobrepõe a um círculo de centro 
N e raio NB NC NM,= = com M e N sendo pontos 
médios, respectivamente, de AB e BC. 
 
 
 
Sendo a área de triângulo equilátero de lado l igual a 
2 3
4
l
 e a área de círculo de raio r igual a 2r ,π se o 
lado do triângulo ABC medir 4 cm, então, a área de 
intersecção entre o triângulo e o círculo, em 2cm , 
será igual a 
 
a) 3 3π + b) 
3 3
2
π +
 c) 3π + 
d) 
2 6 3
3
π +
 e) 2 3π + 
 
24. Na figura abaixo, M, N e P são os pontos de 
tangência do triângulo retângulo ABC com sua 
circunferência inscrita. Se AB 3= e AC 4,= a área do 
triângulo BMN é igual a: 
 
 
 
a) 1,2 b) 2,0 c) 1,8 d) 2,4 e) 1,6 
 
 
 
 
 
ÁREAS 
 
25. Uma empresa de construção comprou um terreno 
de formato retangular por R$ 700.000,00. O terreno 
tem 90 m de comprimento e 240 m de largura. O 
engenheiro da empresa elaborou três projetos 
diferentes para serem avaliados pela direção da 
construtora, da seguinte maneira: 
 
Projeto 1: dividir o terreno em lotes iguais de 
45 m 10 m, sem ruas entre os lotes, e vender cada 
lote por R$ 23.000,00; 
 
Projeto 2: dividir o terreno em lotes iguais de 
20 m 30 m, deixando entre lotes ruas de 10 m de 
largura e 240 m de comprimento, e vender cada lote 
por 35.000,00. 
 
Projeto 3: dividir o terreno em lotes iguais de 
35 m 20 m, deixando entre lotes ruas de 20 m de 
largura e 240 m de comprimento, e vender cada lote 
por 45.000,00. 
 
A direção da empresa decidiu dividir o terreno e 
utilizar o projeto que permitirá o maior lucro, sendo 
que este será igual ao valor obtido pela venda dos 
lotes, menos o valor da compra do terreno. 
 
Nesse caso, o lucro da construtora, em real, será de 
 
a) 380.000,00. 
b) 404.000,00. 
c) 1.104.000,00. 
d) 1.120.000,00. 
e) 1.460.000,00. 
 
26. Quais são, respectivamente, as medidas do lado, 
da diagonal e da área do quadrado ACEF, sabendo 
que o lado AB do quadrado ABCD mede 2 cm? 
 
 
 
a) 22 2 cm, 4 cm, 8 cm 
b) 22 2 cm, 4 cm,10 cm 
c) 24 2 cm, 8 cm,10 cm 
d) 28 cm, 8 cm,16 cm 
e) 22 cm, 8 cm,10 cm 
 
27. Deseja-se cobrir o piso de um quarto retangular 
de 3 metros de largura por 5 metros de 
comprimento com cerâmicas quadradas de 40 cm de 
lado. Sem levar em conta a largura do rejunte, e 
comprando uma quantidade que forneça uma área 
pelo menos 10% maior (para as quinas e possíveis 
quebras), quantas caixas dessa cerâmica temos que 
comprar, sabendo que em cada caixa temos 8 
cerâmicas? 
 
a) 13. 
b) 12. 
c) 10. 
d) 15. 
e) 11. 
 
28. Um brinquedo chamado pula-pula, quando visto 
de cima, consiste de uma cama elástica com contorno 
em formato de um hexágono regular. 
 
 
 
Se a área do círculo inscrito no hexágono é 3π metros 
quadrados, então a área do hexágono, em metro 
quadrado, é 
 
a) 9 
b) 6 3 
c) 9 2 
d) 12 
e) 12 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁREAS 
 
29. Considere na imagem a seguir: 
 
- os quadrados ACFG e ABHI, cujas áreas medem, 
respectivamente, 1S e 2S ; 
- o triângulo retângulo ABC; 
- o trapézio retângulo BCDE, construído sobre a 
hipotenusa BC, que contém o ponto X. 
 
 
 
Sabendo que CD CX= e BE BX,= a área do trapézio 
BCDE é igual a: 
 
a) 1 2
S S
2
+
 
b) 1 2
S S
3
+
 
c) 1 2S S 
d) 2 21 2(S ) (S )+ 
e) S1 + S2 
 
30. Os alunos do curso de Agricultura do campus 
Vitória de Santo Antão dispõem de um terreno em 
forma de trapézio para construir uma horta de 
orgânicos. As bases do trapézio medem 10 m e 35 m. 
Já os lados não paralelos medem 15 m e 20 m. Qual a 
área total do terreno desta horta? 
 
a) 2120 m . 
b) 2150 m . 
c) 2210 m . 
d) 2270 m . 
e) 2540 m . 
 
 
 
 
 
31. O terreno mostrado na figura abaixo, cujas 
medidas estão expressas em metros, foi dividido em 
dois lotes de mesma área. 
 
 
 
A medida x, em metros, é igual a: 
 
a) 11 
b) 12 
c) 13 
d) 14 
e) 15 
 
32. Um terreno de 2120 m contém um jardim central 
de 8 m 10 m. Em volta do jardim, existe uma calçada 
de largura X, conforme a figura abaixo: 
 
 
 
Qual é o valor de X, em metros? 
 
a) 1 
b) 3 
c) 5 
d) 10 
e) 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁREAS 
 
33. Dados os quadrados abaixo, com lados x para o 
maior e y para o menor, conforme a figura: 
 
 
 
Qual das expressões abaixo representa a diferença 
entre as áreas dos quadrados? 
 
a) (x y)(x y).+ − 
b) 2(x y) .− 
c) 2(x y) .+ 
d) 2 2(x y)(x xy y ).− + + 
e) 2 2(x y)(x xy y ).+ − + 
 
34. Na malha quadriculada abaixo vemos um 
retângulo (Figura 1) que foi recortado em 4 partes 
(Figura 2) e remontado com três das suas 4 partes 
(Figura 3). O quadrado, que corresponde a uma 
unidade de área dessa malha quadriculada, foi 
descartado. 
 
 
 
Se repartirmos o novo retângulo (Figura 3) e 
repetirmos o processo, obteremos um novo retângulo 
e assim sucessivamente. Quantas vezes devemos 
repetir o processo descrito, para que tenhamos um 
retângulo de área igual a 
1
3
 da área do retângulo da 
Figura 1? 
 
a) 36 vezes b) 30 vezes c) 24 vezes 
d) 18 vezes e) 12 vezes 
 
35. As medidas do comprimento e da altura (em 
metros) do outdoor retangular, representado na 
figura abaixo, são exatamente as soluções da equação 
2x 10x 21 0.− + = 
 
 
 
Dessa forma, é correto afirmar que a área desse 
outdoor é 
 
a) 210 m . b) 220 m . c) 221m . d) 224 m . e) 30 m² 
 
36. Marcos, apaixonado por matemática, resolveu 
pedir sua namorada em casamento de uma forma 
original. Comprou um Tangram (quebra-cabeça) no 
formato de coração, constituído por nove peças: cinco 
setores circulares de mesmo raio, um quadrado, um 
trapézio retângulo, um paralelogramo e um triângulo 
retângulo, como mostra a figura: 
 
 
 
Três dos setores têm abertura de 90 , e os outros 
dois, de 45 . Antes de presenteá-la, no entanto, 
retirou um dos setores circulares de abertura 90 , 
como mostra a figura. 
 
 
 
 
 
 
 
ÁREAS 
 
Sabe-se que esse setor seria recolocado na hora do 
pedido. 
 
Usando 3,π = podemos afirmar que a razão entre a 
área do setor retirado e a área do quebra-cabeça 
completo é igual a 
 
a) 
1
.
28
 b) 
3
.
28
 c) 
3
.
7
 d) 
3
.
4
 e) 3 
 
37. O ano de 2016 ficará marcado na história do Brasil 
pelo fato de o Rio de Janeiro ter sediado o maior 
evento esportivo do mundo: as Olimpíadas. 
Aproveitando o tema, um grupo de estudantes 
construiu os 5 anéis olímpicos, conforme figura, 
reaproveitando mangueiras usadas. Cada aro 
construído mede 80 cm de diâmetro. 
 
 
 
Considerando os dados acima, a medida, em metros, 
do total de mangueiras utilizadas nesse trabalho, é 
 
a) 2 .π 
b) 4 .π 
c) 8 .π 
d) 16 .π 
e) 12π 
 
38. Observe a figura abaixo. 
 
 
 
A figura representa a divisão de um terreno; o 
proprietário pretende vender somente a área B. 
Sabe-se que o valor de venda do 2m é de 
R$ 2.000,00. Após a venda e retirada da área B da 
figura, assinale a alternativa que apresenta, 
respectivamente, o valor da venda da área B e 
quanto sobrou da área do terreno para o proprietário. 
 
a) 2R$ 30.000,00 / 58,5 m . 
b) 2R$ 60.000,00 / 73,5 m . 
c) 2R$ 15.000,00 / 42,0 m . 
d) 2R$ 18.000,00 / 46,5 m . 
e) 2R$ 45.000,00 / 61,5 m . 
 
39. Supondo que, na praça representada pela figura a 
seguir, houve uma manifestação e que, para calcular o 
número de pessoas presentes, foi utilizado o número 
de quatro pessoas por metro quadrado ocupado, 
determine o número de pessoas presentes no ato, 
considerando que no lago não havia ninguém, mas o 
restante da praça estava ocupado. 
 
 
 
a) 640 pessoas. b) 1.240 pessoas. 
c) 4.200 pessoas. d) 4.800 pessoas. 
e) 6.000pessoas. 
 
40. A figura traz o esboço da planta baixa de uma 
residência. Algumas medidas internas dos cômodos 
estão indicadas. A espessura de cada parede externa 
da casa é 0,20 m e das paredes internas, 0,10 m. 
 
 
 
 
 
 
 
ÁREAS 
 
Sabe-se que, na localidade onde se encontra esse 
imóvel, o Imposto Predial Territorial Urbano (IPTU) é 
calculado conforme a área construída da residência. 
Nesse cálculo, são cobrados R$ 4,00 por cada metro 
quadrado de área construída. 
 
O valor do IPTU desse imóvel, em real, é 
 
a) 250,00. 
b) 250,80. 
c) 258,64. 
d) 276,48. 
e) 286,00. 
 
41. O proprietário de alguns imóveis deseja vender 
um de seus terrenos para comprar um apartamento. 
Para que a imobiliária possa publicar o anúncio de 
venda em seu site, solicita ao proprietário que ele 
informe quais as dimensões do terreno. O dono, 
então, informa que se trata de um terreno retangular 
com 74 m de perímetro e que o comprimento do 
imóvel tem 5 m a mais do que sua largura. 
 
Com base nesses dados, o corretor de imóveis 
concluiu, de maneira correta, que as dimensões do 
terreno e sua área são, respectivamente, 
 
a) 18 m, 23 m e 2414 m . b) 17 m, 22 m e 2374 m . 
c) 16 m, 21m e 2336 m . d) 15 m, 20 m e 2300 m . 
e) 14 m, 19 m e 2266 m . 
 
42. Uma sequência numérica muito famosa é a 
sequência de Fíbonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, ).K Essa 
sequência possui uma lei de formação simples: cada 
elemento, a partir do terceiro, é obtido somando-se 
os dois anteriores. Observe: 1 1 2,+ = 2 1 3,+ = 
3 2 5+ = e assim sucessivamente. 
O retângulo exposto a seguir representa, 
geometricamente, a parte inicial dessa sequência. Ele 
está dividido em seis quadrados, cujas medidas dos 
lados são diretamente proporcionais aos termos 
iniciais dessa sequência. 
 
 
Se a área do menor quadrado é igual a 24 cm , a razão 
entre a área do retângulo maior e a área do menor 
quadrado é 
 
a) 40. 
b) 64. 
c) 104. 
d) 240. 
e) 312 
 
43. CÂMARA FRIA PARA AÇOUGUE 
 
Para ter uma boa qualidade de carne, mantendo 
sempre sua temperatura e sua estocagem na medida 
certa, os açougues usam de uma estrutura muito boa 
e simples, a câmara fria. Primeiramente, o material 
que compõe esse equipamento precisa ter uma alta 
qualidade, porque será submetido a baixas 
temperaturas a todo momento. O material principal 
da câmara fria para açougue é o aço galvanizado, que 
é utilizado para que não haja a corrosão da câmara. 
 
 
 
Sabendo que uma porta da câmara fria acima tem 
forma quadrada com 289 decímetros quadrados de 
área, determine o perímetro dessa porta. 
 
a) 17 dm 
b) 34 dm 
c) 68 dm 
d) 51 dm 
e) 578 dm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁREAS 
 
44. Os alunos do curso de Zootecnia do Campus 
Vitória adotaram um cachorro que sempre passeava 
próximo ao Campus. A figura abaixo representa a vista 
frontal da casa que estão construindo para o cachorro 
Tobby. 
 
 
 
Sabendo que a casa vai ser toda construída de 
madeira, qual é a superfície de madeira na parede 
frontal da casa, de acordo com a figura acima? 
 
 (Use 3,14).π = 
 
a) 24.744 cm 
b) 25.372 cm 
c) 26.000 cm 
d) 27.600 cm 
e) 26.972 cm 
 
45. Seja A um quadrado de lado a cuja área é nove 
vezes maior do que a área de um outro quadrado B, 
de lado b. A fração irredutível que representa a razão 
entre a diagonal do quadrado B e a diagonal do 
quadrado A possui como denominador um número 
 
a) par. 
b) primo. 
c) múltiplo de 5. 
d) múltiplo de 9. 
e) divisor de π 
 
46. A garagem de um prédio chamado Lucas tem o 
formato da letra L, cujas medidas estão indicadas na 
figura a seguir. Dentre as reformas que o dono do 
prédio planeja fazer na estrutura física do imóvel, está 
a colocação de piso cerâmico na garagem, utilizando 
peças quadradas medindo 50 cm 50 cm. Com base 
nessas informações, calcule o número mínimo 
necessário de peças cerâmicas que deverá ser 
utilizado para revestir essa área. 
 
 
 
Assinale a alternativa correta. 
 
a) 3.200 peças cerâmicas. 
b) 2.560 peças cerâmicas. 
c) 2.816 peças cerâmicas. 
d) 1.040 peças cerâmicas. 
e) 1.280 peças cerâmicas. 
 
47. Para colocar o piso em um salão de formato 
retangular, cujas dimensões são 6 metros de largura 
e 8 metros de comprimento, gasta-se R$ 18,00 por 
cada metro quadrado. Qual o valor total do gasto para 
colocar o piso em todo o salão? 
 
a) R$ 486,00. b) R$ 648,00. c) R$ 684,00. 
d) R$ 846,00. e) R$ 864,00. 
 
48. Rafael decidiu colocar cerâmicas com a forma de 
hexágonos regulares no piso da sala de seu escritório. 
Sabendo que a área do piso do escritório mede 
225,5 m , que a cerâmica mede 10 cm de lado, 
desconsiderando a área ocupada pelos rejuntes, 
quantas pedras de cerâmica serão necessárias para 
cobrir todo o piso dessa sala? 
 
 
 
Considere 3 1,7.= 
 
a) 225 b) 425 c) 765 d) 1.000 e) 1.250 
 
 
 
 
 
ÁREAS 
 
49. Os alunos da turma de Gestão Ambiental do 
campus Recife construíram um projeto de telhado 
verde para a quadra de futebol de salão. Para aplicá-
lo, vão cobrir todo o telhado com placas retangulares 
de grama com 50 cm de largura e 80 cm de 
comprimento. Se o telhado tem 2800 m de área, 
quantas placas serão necessárias? 
 
a) 2.000 
b) 1.600 
c) 800 
d) 4.000 
e) 400 
 
50. Marcos comprou a quantidade mínima de piso 
para colocar em toda a sua sala que tem o formato 
abaixo e pagou R$ 48,00 o metro quadrado. 
 
 
 
Quanto ele gastou comprando o piso para essa sala? 
 
a) R$ 288,00 
b) R$ 672,00 
c) R$ 1.152,00 
d) R$ 1.440,00 
e) R$ 2.304,00 
 
51. Na figura, 1T e 2T representam duas torres de 
transmissão de sinal de conectividade de internet. 
Cada torre transmite sinal até o raio de 6 km. Os 
pontos P e Q estão localizados no limite do raio de 
transmissão das duas torres, e distam 6 km um do 
outro. 
 
 
Sabendo-se que 1T , 2T , P e Q são pontos 
coplanares, a área desse plano atendida pelo sinal das 
duas torres, em 2km , é igual a 
 
a) 9 12 3.π − 
b) 12 18 3.π − 
c) 12 8 3.π − 
d) 18 12 3.π − 
e) 24 12 3.π − 
 
52. Em uma plataforma de exploração de petróleo, 
localizada no mar, ocorreu um vazamento. A equipe 
técnica de operação dessa plataforma percebeu que a 
mancha de óleo espalhado na superfície do mar tinha 
formato circular e estimou, visualmente, que a área 
atingida era de aproximadamente 2100 km . Utilize 3 
como aproximação para .π 
 
O valor inteiro mais próximo do raio da mancha de 
óleo formada, em km, é 
 
a) 4. 
b) 6. 
c) 10. 
d) 17. 
e) 33. 
 
53. Observe a figura a seguir. 
 
 
 
A figura acima exibe um total de n peças idênticas de 
um quebra-cabeça que, resolvido, revela uma coroa 
circular. Sabe-se que 6 cm é a menor distância entre 
as circunferências concêntricas pontilhadas da figura e 
que o raio da menor dessas circunferências é igual a 
9 cm. 
 
Se a área de cada peça é 2(12 ) cm ,π é correto afirmar 
que n é igual a 
 
a) 6 b) 8 c) 9 d) 12 e) 15 
 
 
 
 
 
ÁREAS 
 
54. Em muitas igrejas e casas antigas de Porto Alegre, 
podemos observar janelas de forma retangular 
encimadas por um semicírculo, como na figura. 
 
 
 
Considerando que a parte retangular da figura possui 
x cm na base e altura correspondente a uma vez e 
meia essa medida, a função em que A f(x)= e que 
determina a área total da janela, em 2cm , é 
 
a) 2 21,5x rπ+ 
b) 2(1,5 )xπ+ 
c) 21,5x
8
π
+ 
d) 21,5 x
8
π 
+ 
 
 
e) 21,5 x
8
π
+ 
 
55. Observe a figura abaixo. 
 
 
 
Ela representa um painel de propaganda que tem a 
forma de um trapézio. Sua área é de 222,32 m e as 
medidas das bases são 8,00 m e 6,40 m. Assinale a 
alternativa que apresenta a altura (h) desse painel. 
 
a) 2,80 m.b) 2,90 m. c) 3,00 m. d) 3,10 m. e) 3,20 m. 
56. Um fabricante recomenda que, para cada 2m do 
ambiente a ser climatizado, são necessários 
800 BTUh, desde que haja até duas pessoas no 
ambiente. A esse número devem ser acrescentados 
600 BTUh para cada pessoa a mais, e também para 
casa aparelho eletrônico emissor de calor no 
ambiente. A seguir encontram-se as cinco opções de 
aparelhos desse fabricante e suas respectivas 
capacidades térmicas: 
 
Tipo I: 10.500 BTUh 
Tipo II: 11.000 BTUh 
Tipo III: 11.500 BTUh 
Tipo IV: 12.000 BTUh 
Tipo V: 12.500 BTUh 
 
O supervisor de um laboratório precisa comprar um 
aparelho para climatizar o ambiente. Nele ficarão 
duas pessoas mais uma centrífuga que emite calor. O 
laboratório tem forma de trapézio retângulo, com as 
medidas apresentadas na figura: 
 
 
 
Para economizar energia, o supervisor deverá 
escolher o aparelho de menor capacidade térmica que 
atenda às necessidades do laboratório e às 
recomendações do fabricante. 
 
A escolha do supervisor recairá sobre o aparelho do 
tipo 
 
a) I 
b) II 
c) III 
d) IV 
e) V 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁREAS 
 
57. Considere a circunferência com centro no ponto 
O e cuja medida do raio é 2 m. Se AB é um diâmetro 
desta circunferência e C é um ponto sobre a 
circunferência tal que a medida do ângulo CÔB é 
60 , então, a medida da área da região interior à 
circunferência, limitada pela corda AC e pelo menor 
arco determinado por A e C, é 
 
a) 
4
3
6
π
− 
b) 
4
3
6
π
+ 
c) 
4
3
3
π
− 
d) 
4
3
3
π
+ 
e) 4π 
 
58. Um triângulo isósceles ABC tem base 
BC 16 cm= e lados congruentes AB AC 17 cm.= = O 
raio do círculo inscrito ao triângulo ABC em cm é 
igual a: 
 
a) 
32
15
 b) 
24
5
 c) 
35
8
 d) 
28
5
 e) 
17
4
 
 
59. Um heliponto é um local destinado 
exclusivamente às operações de aterragem e 
decolagem de helicópteros. Diferentemente dos 
heliportos, os helipontos não dispõe de instalações e 
facilidades complementares, tais como área de 
taxiamento, reabastecimento, pátios e hangares para 
estacionamento e manutenção dos helicópteros. 
Oscar, arquiteto, foi incumbido de fazer o projeto de 
um heliponto para a cobertura de um edifício 
comercial no centro da cidade. Decidiu fazer a pista de 
pouco no formato de hexágono regular com 12 
metros de lado, sendo a chamada “área de toque” um 
triângulo equilátero inscrito no mesmo. 
 
 
 
Dessa forma, por segurança, o helicóptero deveria 
pousar, sempre, na parte interna do triângulo 
equilátero. E, para facilitar a visualização da “área de 
toque”, a região interna ao hexágono e externa ao 
triângulo equilátero seria pintada com tinta amarela 
fluorescente. 
 
Sendo assim, a área a ser pintada com essa tinta 
amarela teria medida igual a 
 
a) 2216 3 m . 
b) 2216 m . 
c) 2108 3 m . 
d) 2108 m . 
e) 201 m² 
 
60. Um garçom precisa escolher uma bandeja de base 
retangular para servir quatro taças de espumante que 
precisam ser dispostas em uma única fileira, paralela 
ao lado maior da bandeja, e com suas bases 
totalmente apoiadas na bandeja. A base e a borda 
superior das taças são círculos de raio 4 cm e 5 cm, 
respectivamente. 
 
 
 
A bandeja a ser escolhida deverá ter uma área 
mínima, em centímetro quadrado, igual a 
 
a) 192. 
b) 300. 
c) 304. 
d) 320. 
e) 400. 
 
61. Observe o quadro a seguir, que representa um 
barco à vela e, ao fundo, a lua cheia. A vela desse 
barco tem forma de triângulo equilátero com 2 dm 
de lado e a lua é um círculo cujo centro coincide com 
um dos vértices desse triângulo. A área da parte da 
lua escondida atrás da vela é exatamente metade da 
área da vela. 
 
 
 
 
 
ÁREAS 
 
 
 
Se não houvesse o barco, a lua cheia estaria 
completamente visível. Nesse caso, a área da lua seria 
 
a) 22 3 dm . 
b) 23 3 dm . 
c) 22 2 dm . 
d) 23 2 dm . 
e) 8 dm² 
 
62. Os alunos do curso de Alimentos do campus 
Barreiros solicitaram ao diretor geral um terreno para 
produzir uma horta. O diretor autorizou o uso parcial 
de um terreno quadrangular à disposição no campus. 
 
Para utilizar a maior área em sua horta, quais das 
opções abaixo é a melhor escolha? 
 
a) b) 
 
c) d) 
 
e) 
 
63. Na figura a seguir ATD é uma semicircunferência 
inscrita no trapézio ABCD e A, T, e D são pontos de 
tangência. 
 
 
 
Se os lados paralelos desse trapézio medem 4 cm e 
9 cm, então sua área, em 2cm , é igual a 
 
a) 22. 
b) 45. 
c) 78. 
d) 90. 
e) 103 
 
64. Em uma escola, o professor de matemática levou 
seus alunos para o pátio e solicitou que cada um 
observasse em sua volta e posteriormente elaborasse 
um exercício envolvendo o conteúdo de geometria 
com o que haviam avistado. Um dos exercícios 
construído foi o cálculo da área de uma nuvem 
formada por três semicírculos idênticos conforme a 
figura abaixo. 
 
 
 
Para desenvolver o cálculo, foi utilizado 3,14.π = 
Com isso, afirma-se que a área da nuvem é 
aproximadamente 
 
a) 290,88 cm 
b) 284,44 cm 
c) 264,88 cm 
d) 261,44 cm 
e) 67,42 cm² 
 
 
 
 
 
ÁREAS 
 
65. Uma empresa de manutenção de jardins foi 
contratada para plantar grama em um campo de 
futebol retangular cujas dimensões são 70 m 100 m. 
A grama que será utilizada é vendida em tapetes 
retangulares de dimensões 40 cm 125 cm. 
 
Quantos tapetes de grama, no mínimo, serão 
necessários para cobrir todo o campo de futebol? 
 
a) 103 
b) 140 
c) 7.000 
d) 10.303 
e) 14.000 
 
66. Analise a figura a seguir. 
 
 
 
Pelo centro O do quadrado de lado 6 cm acima, 
traçou-se a circunferência que corta o lado BC nos 
pontos P e Q. O triângulo OPQ tem área 2
3
cm .
2
 
 
Sendo assim, é correto afirmar que o raio dessa 
circunferência, em cm, é igual a 
 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 
2 2
3
 
e) 
3
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
67. Em uma pousada, foi reformada toda a área da 
piscina como mostra a figura abaixo. 
 
 
 
Assinale a alternativa que apresenta a medida da área 
da piscina em decímetros quadrados. 
 
a) 60 decímetros quadrados. 
b) 68 decímetros quadrados. 
c) 680 decímetros quadrados. 
d) 6.800 decímetros quadrados. 
e) 68.000 decímetros quadrados. 
 
68. Uma família possui um terreno retangular com 18 
metros de largura e 24 metros de comprimento. Foi 
necessário demarcar nesse terreno dois outros iguais, 
na forma de triângulos isósceles, sendo que um deles 
será para o filho e o outro para os pais. Além disso, foi 
demarcada uma área de passeio entre os dois novos 
terrenos para o livre acesso das pessoas. Os terrenos 
e a área de passeio são representados na figura. 
 
 
 
A área de passeio calculada pela família, em metro 
quadrado, é de 
 
a) 108. 
b) 216. 
c) 270. 
d) 288. 
e) 324. 
 
 
 
 
 
 
 
ÁREAS 
 
69. Em uma aula de geometria, o professor passou a 
seguinte instrução: 
 
Desenhe um retângulo de lados 8 cm por 14 cm. 
Nomeie os vértices desse retângulo de A, B, C e D, 
sendo que AB deve ser um dos menores lados. 
Determine o ponto médio do lado AB e nomeie esse 
ponto pela letra M. A partir do ponto M trace um 
segmento paralelo aos lados maiores e que tenha 
3 cm de comprimento. Nomeie esse segmento de 
MN. Determine a área do triângulo NCD. 
 
Natália e Mariana seguiram as instruções dadas, 
porém chegaram a resultados diferentes. Se o 
professor considerou corretas as duas resoluções, a 
diferença, em 2cm , entre as áreas obtidas por Natália 
a Mariana foi 
 
a) 16 
b) 20 
c) 24 
d) 28 
e) 32 
 
70. Considere um losango ABCD de lado igual a 
5 cm, diagonais AC e BD, e ângulo interno 
BÂD 120 .=  Sabe-se que um ponto M sobre o lado 
AB está a 2 cm de A enquanto um ponto N sobre o 
lado BC está a 3 cm de C. 
 
Sendo assim, a razão entre a área do losango ABCD 
e a área do triângulo de vérticesMBN é igual a 
 
a) 
15
2
 b) 
21
4
 c) 
25
3
 d) 
32
5
 e) 
49
4
 
 
71. Os Estados Unidos se preparam para uma invasão 
de insetos após 17 anos 
 
 Elas vivem a pelo menos 20 centímetros sob 
o solo há 17 anos. E neste segundo trimestre, bilhões 
de cigarras (Magicicada septendecim) emergirão para 
invadir partes da Costa Leste, enchendo os céus e as 
árvores, e fazendo muito barulho. 
 Há mais de 170 espécies de cigarras na 
América do Norte, e mais de 2 mil espécies ao redor 
do mundo. A maioria aparece todos os anos, mas 
alguns tipos surgem a cada 13 ou 17 anos. Os 
visitantes deste ano, conhecidos como Brood II 
(Ninhada II, em tradução livre) foram vistos pela 
última vez em 1996. Os moradores da Carolina do 
Norte e de Connecticut talvez tenham de usar rastelos 
e pás para retirá-las do caminho, já que as estimativas 
do número de insetos são de 30 bilhões a 1 trilhão. 
 Um estudo brasileiro descobriu que intervalos 
baseados em números primos ofereciam a melhor 
estratégia de sobrevivência para as cigarras. 
 
O texto afirma que os habitantes das áreas próximas 
às da população de cigarras da Ninhada II talvez 
tenham que retirá-las do caminho. Imagine que 30 
bilhões dessas cigarras ocupem totalmente uma 
estrada em formato retangular, com 10 metros de 
largura. Nesse cenário hipotético, as cigarras estariam 
posicionadas lado a lado, sem sobreposição de 
indivíduos. Considerando que a área ocupada por uma 
cigarra dessa espécie é igual a 47 10− metros 
quadrados, então N quilômetros dessa estrada 
ficarão ocupados por essa população. 
 
O menor valor de N será igual a 
 
a) 2,1 
b) 21 
c) 210 
d) 2.100 
e) 21.000 
 
72. Um painel fotovoltaico converte energia solar em 
energia elétrica de forma sustentável. Suponha que, 
em uma região plana, será instalado um sistema de 
painéis fotovoltaicos para suprir uma comunidade 
com energia elétrica. 
 
Segue a descrição de alguns itens do projeto: 
 
- instalação de 5 filas paralelas entre si; cada fila 
contendo 10 painéis; 
 
- cada painel foi montado com 4 módulos 
fotovoltaicos congruentes entre si, conforme figura; 
- em cada módulo fotovoltaico, a superfície de 
captação da energia solar é de forma retangular, 
com dimensões de 65 cm por 150 cm; 
 
- os painéis deverão estar separados, de modo que 
um não faça sombra sobre o outro e, também, não 
sejam encobertos pela sombra de qualquer outro 
objeto; 
 
- os painéis são idênticos entre si e estão apoiados 
 
 
 
 
 
ÁREAS 
 
sobre o solo. 
 
 
 
No projeto descrito, a área total da superfície de 
captação de energia solar é, em metros quadrados, 
 
a) 195. 
b) 185. 
c) 175. 
d) 165. 
e) 155. 
 
73. A figura a seguir representa um cubo de lado 
medindo 6 cm e um triângulo ABC. 
 
 
 
A área desse triângulo mede 
 
a) 236 2 cm . 
b) 218 2 cm . 
c) 224 2 cm . 
d) 212 2 cm . 
e) 26 2 cm . 
 
74. Uma padaria produz e monta pizzas redondas 
cada uma com 40 cm de diâmetro e vende-as por 
R$ 30,00 o quilo. Por experiências anteriores, sabe-
se que a cada 2cm da área da superfície de cada pizza 
tem-se, em média, um peso de 1,5 gramas. 
Utilizando-se essa relação, o valor pago por cada pizza 
é, em média, aproximadamente, 
 
Observação: Considerar 3.π  
 
a) R$ 25,00. 
b) R$ 30,00. 
c) R$ 46,00. 
d) R$ 54,00. 
e) R$ 59,00 
 
75. Com uma régua, foi traçado um segmento de reta 
contendo um ponto A. Utilizando um compasso, foi 
traçada uma circunferência de centro A, 
determinando os pontos B e C na interseção da 
circunferência com o segmento de reta. Com centro 
em C e raio com a mesma medida do segmento de 
reta AC, foi traçada outra circunferência, 
determinando os pontos M e N na interseção das 
duas circunferências. Considerando-se | BC | e | MN | 
as medidas dos segmentos de reta BC e MN, 
respectivamente, a área do polígono formado pelos 
vértices B, M e N é igual a: 
 
a) BC MN 
b) 0,25 BC MN  
c) (BC MN) 0,375+  
d) (BC MN) 0,25+  
e) 0,375 BC MN  
 
76. Uma plantação de café que está situada em um 
terreno retangular com dimensões de 157 metros 
por 50 metros foi irrigada por um esguicho que tem a 
capacidade de molhar uma área circular de raio igual 
a 15 metros. 
 
 
 
Supondo que esse esguicho foi fixado em seis pontos 
distintos, objetivando molhar a maior região possível, 
sendo que a mesma parte de café não foi molhada 
 
 
 
 
 
ÁREAS 
 
duas vezes e que os limites desse terreno não foram 
ultrapassados, a área do terreno que ainda necessita 
ser irrigada corresponde aproximadamente a 
 
a) 27.850 m 
b) 24.239 m 
c) 23.611m 
d) 2706,5 m 
e) 605,1 m² 
 
77. Um casal e seus dois filhos saíram, com um 
corretor de imóveis, com a intenção de comprar um 
lote onde futuramente construiriam sua residência. 
No projeto da casa, que esta família tem em mente, 
irão necessitar de uma área de pelo menos 2400 m . 
Após algumas avaliações, ficaram de decidir entre os 
lotes 1 e 2 da figura, em forma de paralelogramos, 
cujos preços são R$ 100.000,00 e R$ 150.000,00, 
respectivamente. 
 
 
 
Use 
3 1
,
2 2
 e 1,7 como aproximações 
respectivamente, para sen(60 ), cos(60 )  e 3. 
 
Para colaborarem na decisão, os envolvidos fizeram as 
seguintes argumentações: 
 
Pai: Devemos comprar o Lote 1, pois como uma de 
suas diagonais é maior do que as diagonais do Lote 2, 
o Lote 1 também terá maior área; 
Mãe: Se desconsiderarmos os preços, poderemos 
comprar qualquer lote para executar nosso projeto, 
pois tendo ambos o mesmo perímetro, terão também 
a mesma área; 
Filho 1: Devemos comprar o Lote 2, pois é o único que 
tem área suficiente para a execução do projeto; 
Filho 2: Devemos comprar o Lote 1, pois como os dois 
lotes possuem lados de mesma medida, terão 
também a mesma área, porém o Lote 1 é mais barato; 
Corretor: Vocês devem comprar o Lote 2, pois é o que 
tem menor custo por metro quadrado. 
 
A pessoa que argumentou corretamente para a 
compra do terreno foi o(a) 
 
a) pai. 
b) mãe. 
c) filho 1. 
d) filho 2. 
e) corretor. 
 
78. Renata pretende decorar parte de uma parede 
quadrada ABCD com dois tipos de papel de parede, 
um com linhas diagonais e outro com riscos 
horizontais. O projeto prevê que a parede seja 
dividida em um quadrado central, de lado x, e quatro 
retângulos laterais, conforme mostra a figura. 
 
 
 
Se o total da área decorada com cada um dos dois 
tipos de papel é a mesma, então x, em metros, é 
igual a 
 
a) 1 2 3+ b) 2 2 3+ c) 2 3+ 
d) 1 3+ e) 4 3+ 
 
79. A região representada pela figura abaixo é 
formada pelos seguintes polígonos: um triângulo 
equilátero de lados 18 m, um retângulo de lados 
10 m de largura por 20 m de comprimento e um 
triângulo retângulo de catetos 15 m e 20 m. 
 
 
 
 
 
 
 
ÁREAS 
 
Com base nessas informações e considerando 
3 1,7,= é correto afirmar que a área e o perímetro 
dessa região são, respectivamente, 
 
a) 2437,7 m e 148 m. 
b) 2457,7 m e 118 m. 
c) 2437,7 m e 156 m. 
d) 2487,7 m e 118 m. 
e) 2487,7 m e 138 m. 
 
80. Alexandre Graham Bell foi o grande inventor da 
pipa tetraédrica, que pode ser construída com 
estruturas triangulares em diversos tamanhos, desde 
que mantidas suas propriedades. Para que a pipa 
possa subir ela não pode ser coberta em toda a sua 
estrutura, em cada uma delas cobre-se apenas dois 
lados. A Figura 1 mostra o início da construção de uma 
delas com quatro estruturas. A Figura 2 mostra a pipa 
já completa. Supondo-se que o triângulo já coberto 
que compõe cada lado da estrutura possui base igual 
a 3 cm e altura 2 cm, a área coberta de uma dessas 
pipas com 16 estruturas é 
 
 
 
a) 296 cm b) 248 cm c) 240 cm d) 232 cm e) 224 cm 
 
81. Os pontos A, B, C, D, E e F dividem uma 
circunferência em seis partes iguais,de tal modo que 
AD é um diâmetro dessa circunferência com medida 
de 12 cm, conforme mostra a figura. 
 
 
 
Com base na figura, a área da região sombreada, em
2cm , é de: 
 
a) 40 3 
b) 72 3 
c) 36 3 
d) 54 3 
e) 48 3 
 
82. A Pizzaria Italiana vende pizzas inteiras ou em 
porções (fatias). A tabela abaixo apresenta o número 
de fatias e o diâmetro de acordo com o tipo da pizza. 
 
Tipo da Pizza Número de Fatias Diâmetro (cm) 
Broto 6 30 
Grande 8 35 
Gigante 10 40 
 
Se uma pizza Broto inteira custa R$ 27,00, qual deve 
ser o preço de cada fatia da pizza Gigante? 
 
a) R$ 6,50 
b) R$ 4,80 
c) R$ 4,50 
d) R$ 3,90 
e) R$ 3,50 
 
83. Observe a figura a seguir. 
 
 
 
ABCD é um paralelogramo. E e F estão sobre os 
lados desse paralelogramo de tal forma que 
AE CF x AD.= =  Sendo assim, baseado na figura 
acima, assinale a opção correta. 
 
a) Qualquer reta que intersecte dois lados de um 
paralelogramo o divide em dois polígonos de 
mesma área. 
b) Qualquer reta que intersecte dois lados de um 
paralelogramo o divide em dois polígonos de 
mesmo perímetro. 
 
 
 
 
 
ÁREAS 
 
c) A área de um trapézio é o produto de sua base 
média pela sua altura. 
d) O dobro da soma dos quadrados das medidas dos 
lados paralelos de um trapézio é igual à soma dos 
quadrados das medidas de suas diagonais. 
e) Para todo x, o segmento de reta EF é metade do 
segmento de reta AB. 
 
84. A figura a seguir representa um esboço de parte 
do trajeto do desfile realizado durante a Oktoberfest, 
pela Rua XV de Novembro. A área em cinza foi 
ocupada pelo público que assistia ao desfile. Segundo 
a polícia militar, em média, havia 2 espectadores para 
cada metro quadrado ocupado. 
 
 
 
Dessa maneira, é correto afirmar que, neste local do 
desfile, o público estimado era de 
 
a) mais de 231 pessoas. 
b) 67 pessoas. 
c) 340 pessoas. 
d) 231 pessoas. 
e) menos de 67 pessoas. 
 
85. Na figura abaixo, três discos P, Q e R, de mesmo 
raio, são construídos de maneira que P e R são 
tangentes entre si e o centro de Q é ponto de 
tangência entre P e R. O quadrilátero sombreado 
ABCD têm vértices nos centros dos discos P e R e 
em dois pontos de interseção de Q com P e R. 
 
 
 
Se o raio do disco P é 5, a área do quadrilátero 
ABCD é 
 
a) 5 3. 
b) 25. 
c) 50. 
d) 25 3. 
e) 75. 
 
86. Seja ABC um triângulo retângulo de hipotenusa 26 
e perímetro 60. A razão entre a área do círculo 
inscrito e do círculo circunscrito nesse triângulo é, 
aproximadamente: 
 
a) 0,035 
b) 0,055 
c) 0,075 
d) 0,095 
e) 0,105 
 
87. Com o objetivo de prevenir assaltos, o dono de 
uma loja irá instalar uma câmera de segurança. A 
figura a seguir representa uma planta baixa da loja, 
sendo que a câmera será instalada no ponto C e as 
áreas hachuradas representam os locais não cobertos 
por essa câmera. 
 
 
 
De acordo com essas informações, a área a ser 
coberta pela câmera representa, aproximadamente, 
 
a) 90,90% da área total da loja. 
b) 91,54% da área total da loja. 
c) 95,45% da área total da loja. 
d) 96,14% da área total da loja. 
e) 97,22% da área total da loja. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁREAS 
 
88. A figura a seguir representa um hexágono regular 
de lado medindo 2 cm e um círculo cujo centro 
coincide com o centro do hexágono, e cujo diâmetro 
tem medida igual à medida do lado do hexágono. 
 
 
 
Considere: 3π  e 3 1,7 
 
Nessas condições, quanto mede a área da superfície 
pintada? 
 
a) 2,0 cm2 
b) 3,0 cm2 
c) 7,2 cm2 
d) 8,0 cm2 
e) 10,2 cm2 
 
89. Considere uma placa retangular ABCD de 
acrílico, cuja diagonal AC mede 40cm. Um 
estudante, para construir um par de esquadros, fez 
dois cortes retos nessa placa nas direções AE e AC, 
de modo que ˆDAE 45°= e ˆBAC 30°,= conforme 
ilustrado a seguir: 
 
 
 
Após isso, o estudante descartou a parte triangular 
CAE, restando os dois esquadros. Admitindo que a 
espessura do acrílico seja desprezível e que 3 1,7,= 
a área, em 2cm , do triângulo CAE equivale a: 
 
a) 80 
b) 100 
c) 140 
d) 180 
e) 220 
90. Para a construção de uma caixa sem tampa, foi 
utilizado um pedaço retangular de papelão com 
dimensões de 35 cm de comprimento por 20 cm de 
largura. De cada um dos quatro cantos desse 
retângulo, foram retirados quadrados idênticos, de 
lados iguais a 5 cm de comprimento. Em seguida, as 
abas resultantes foram dobradas e coladas. Para 
revestir apenas a parte externa da caixa construída, 
foram necessários 
 
a) 600 cm2 de revestimento. 
b) 615 cm2 de revestimento. 
c) 625 cm2 de revestimento. 
d) 610 cm2 de revestimento. 
e) 680 cm2 de revestimento. 
 
91. Para confeccionar uma bandeirinha de festa 
junina, utilizou-se um pedaço de papel com 10 cm de 
largura e 15 cm de comprimento, obedecendo-se às 
instruções abaixo. 
 
1. Dobrar o papel ao meio, para marcar o segmento 
MN, e abri-lo novamente: 
 
 
 
2. Dobrar a ponta do vértice B no segmento AB’, de 
modo que B coincida com o ponto P do segmento 
MN: 
 
 
 
3. Desfazer a dobra e recortar o triângulo ABP. 
 
 
 
 
 
 
 
ÁREAS 
 
A área construída da bandeirinha APBCD, em cm2, é 
igual a: 
 
a) ( )−25 4 3 
b) ( )−25 6 3 
c) ( )−50 2 3 
d) ( )−50 3 3 
e) 26 ( 4 - √3 ) 
 
92. A cerâmica constitui-se em um artefato bastante 
presente na história da humanidade. Uma de suas 
várias propriedades é a retração (contração), que 
consiste na evaporação da água existente em um 
conjunto ou bloco cerâmico quando submetido a uma 
determinada temperatura elevada. Essa elevação de 
temperatura, que ocorre durante o processo de 
cozimento, causa uma redução de até 20% nas 
dimensões lineares de uma peça. Suponha que uma 
peça, quando moldada em argila, possuía uma base 
retangular cujos lados mediam 30 cm e 15 cm. Após o 
cozimento, esses lados foram reduzidos em 20%. 
 
Em relação à área original, a área da base dessa peça, 
após o cozimento, ficou reduzida em 
 
a) 4%. 
b) 20%. 
c) 36%. 
d) 64%. 
e) 96%. 
 
93. Um recurso visual muito utilizado para apresentar 
as quantidades relativas dos diferentes grupos de 
alimentos na composição de uma dieta equilibrada é a 
chamada “pirâmide alimentar”, que usualmente é 
representada por um triângulo dividido em regiões, 
como na figura a seguir. 
 
 
Considere que as regiões da figura dividem a altura do 
triângulo em partes iguais. No que se refere às áreas 
das regiões ocupadas por cada grupo de alimentos, o 
grupo com predominância de carboidratos ocupa 
 
a) sete terços da área do grupo com predominância 
de proteínas. 
b) cinco sétimos da área do grupo com predominância 
de fibras. 
c) um sétimo da área do grupo com predominância de 
lipídios. 
d) o dobro da área do grupo com predominância de 
proteínas. 
e) cinco sétimos da área do grupo com predominância 
de vitaminas e sais minerais. 
 
94. Um triângulo equilátero ABC de lado 1 cm está 
dividido em quatro partes de bases paralelas e com a 
mesma altura, como representado na figura abaixo. 
 
 
 
A parte I tem a forma de um trapézio isósceles, cuja 
área, em cm2, é 
 
a) 
3
.
16
 b) 
5 3
.
32
 c) 
7 3
.
64
 d) 
9 3
.
128
 e) 4 
 
95. Na figura abaixo, os triângulos retângulos são 
congruentes e possuem catetos com medidas a e b. 
 
 
 
 
 
 
 
ÁREAS 
 
A área da região sombreada é 
 
a) 2ab. 
b) 2 2a b .+ 
c) 2 2a 2ab b .+ + 
d) 2 2a 2ab b .− + 
e) 2 2a b .− 
 
96. Seja α a circunferência que passa pelo ponto B 
com centro no ponto C e β a circunferência que passa 
pelo ponto A com centro no ponto C, como mostra a 
figura dada. A medida do segmento AB é igual à 
medida do segmento BC e o comprimento da 
circunferência α mede 12 cm.π Então a área do anel 
delimitado pelas circunferências α e β (região 
escura) é, em cm2, igual a:a) 108 .π 
b) 144 .π 
c) 72 .π 
d) 36 .π 
e) 24 .π 
 
97. Dois retângulos foram superpostos, e a 
intersecção formou um paralelogramo, como mostra 
a figura abaixo: 
 
 
 
Sabendo-se que um dos lados do paralelogramo mede 
4,5 cm, quanto mede a área desse paralelogramo? 
 
a) 12 cm2 
b) 16 cm2 
c) 24 cm2 
d) 32 cm2 
e) 36 cm2 
 
98. Observe a simetria do corpo humano na figura 
acima e considere um quadrado inscrito em um 
círculo de raio R, conforme a figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
A área da região sombreada é dada por: 
 
a) 2A R ( 2)π= − 
b) 
2R ( 2)
A
2
π −
= 
c) 
2 2R ( 4)
A
2
π −
= 
d) 
2R ( 2)
A
4
π −
= 
e) 
2 2R ( 2)
A
4
π −
= 
 
 
 
 
 
 
 
ÁREAS 
 
99. Cada um dos 7 círculos menores da figura a seguir 
tem raio 1cm. Um círculo pequeno é concêntrico 
com o círculo grande, e tangencia os outros 6 círculos 
pequenos. Cada um desses 6 outros círculos pequenos 
tangencia o círculo grande e 3 círculos pequenos. 
 
 
 
Na situação descrita, a área da região sombreada na 
figura, em 2cm , é igual a 
 
a) π 
b) 
3
2
π
 
c) 2π 
d) 
5
2
π
 
e) 3π 
 
100. O tangram é um conhecido quebra-cabeça de 
sete peças que tem formas geométricas bem 
conhecidas, originadas da decomposição de um 
quadrado (figura 1). 
 
 
 
Hoje já se tem conhecimento do surgimento de vários 
tipos de quebra-cabeças geométricos planos, muitas 
vezes também chamados de tangram, e que também 
têm origem em recortes de alguma figura plana. 
Abaixo se encontra o tangram coração, cujas peças 
são obtidas recortando-se um coração plano de 
acordo com o esquema da figura 2, composta de: 3 
setores de 90° de um círculo, 2 setores de 45° de um 
círculo, 1 triângulo retângulo, 1 quadrado, 1 
paralelogramo e 1 trapézio retângulo. Utilizando-se 
todas as nove peças, é possível representar uma 
grande diversidade de formas, como as 
exemplificadas nas figuras 3 e 4. 
 
 
Se a base AB do vidro de perfume mostrado na figura 
3 mede 3 cm, então a área da figura 4, que representa 
um “patinho” mede: 
 
a) 24 cmπ + 
b) 22( 4) cmπ + 
c) 22 4 cmπ + 
d) 22 2 cmπ + 
e) 6π + 3 cm² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁREAS 
 
 
GABARITO 
 
 
1 -D 8 -B 15 -D 22 -A 29 -A 36 -B 43 -C 50 -D 57 -C 64 -
D 
71 
-D 
78 
-B 
85 
-D 
92 
-C 
99 -
C 
2 -D 9 -B 16 -B 23 -D 30 -D 37 -B 44 -B 51 -B 58 -B 65 -
E 
72 
-A 
79 
-E 
86 
-D 
93 
-A 
100 
-A 
3 -E 10 -A 17 -A 24 -E 31 -E 38 -A 45 -B 52 -B 59 -C 66 -
B 
73 
-B 
80 
-A 
87 
-C 
94 
-C 
4 -C 11 -A 18 -D 25 -B 32 -A 39 -C 46 -B 53 -D 60 -C 67 -
D 
74 
-D 
81 
-E 
88 
-C 
95 
-D 
5 -B 12 -A 19 -D 26 -A 33 -A 40 -E 47 -E 54 -D 61 -B 68 -
A 
75 
-E 
82 
-B 
89 
-C 
96 
-A 
6 -B 13 -B 20 - D 27 -A 34 -A 41 -C 48 -D 55 -D 62 -E 69 -
C 
76 
-C 
83 
-C 
90 
-A 
97 
-E 
7 -B 14 -D 21 -A 28 -B 35 -C 42 -C 49 -A 56- C 63 -C 70 -
C 
77 
-C 
84 
-D 
91 
-B 
98 
-B 
 
 
 
 
 
 
 
 
CILINDRO 
 
01. De modo a minimizar custos, um produtor de 
azeite verificou que é mais rentável armazenar seu 
estoque em cilindros circulares cuja altura e o 
diâmetro da base têm as mesmas medidas. 
Atendendo a essa especificação, ele encomendou 
reservatórios com 1,5 m de raio na base. 
Considerando 3,14,π = a capacidade total de 
armazenamento de cada reservatório encomendado, 
em litros, é 
 
a) 21,195. 
b) 14130. 
c) 211,95. 
d) 21195. 
e) 14,13. 
 
02. Uma garrafa térmica tem formato de um cilindro 
circular reto, fundo plano e diâmetro da base 
medindo 8,0 cm. Ela está em pé sobre uma mesa e 
parte do suco em seu interior já foi consumido, sendo 
que o nível do suco está a 13 cm da base da garrafa, 
como mostra a figura. O suco é despejado num copo 
vazio, também de formato cilíndrico e base plana, 
cujo diâmetro da base é 4 cm e com altura de 7 cm. 
O copo fica totalmente cheio de suco, sem 
desperdício. 
 
 
 
Adote 3.π  Despreze a espessura do material da 
garrafa e do copo. 
 
Nessas condições, o volume de suco restante na 
garrafa é, em 3cm , aproximadamente, 
 
a) 250. 
b) 380. 
c) 540. 
d) 620. 
e) 800. 
 
 
 
 
03. Uma construtora pretende conectar um 
reservatório central C(R ) em formato de um cilindro, 
com raio interno igual a 2 m e altura interna igual a 
3,30 m, a quatro reservatórios cilíndricos auxiliares 
1 2 3(R , R , R e 4R ), os quais possuem raios internos e 
alturas internas medindo 1,5 m. 
 
 
 
As ligações entre o reservatório central e os auxiliares 
são feitas por canos cilíndricos com 0,10 m. de 
diâmetro interno e 20 m de comprimento, 
conectados próximos às bases de cada reservatório. 
Na conexão de cada um desses canos com o 
reservatório central há registros que liberam ou 
interrompem o fluxo de água. No momento em que o 
reservatório central está cheio e os auxiliares estão 
vazios, abrem-se os quatro registros e, após algum 
tempo, as alturas das colunas de água nos 
reservatórios se igualam, assim que cessa o fluxo de 
água entre eles, pelo princípio dos vasos 
comunicantes. 
 
A medida, em metro, das alturas das colunas de água 
nos reservatórios auxiliares, após cessar o fluxo de 
água entre eles, é 
 
a) 1,44. b) 1,16. c) 1,10. d) 1,00. e) 0,95. 
 
04. A figura mostra um retângulo ABCD cujos lados 
medem 7 cm e 3 cm. Um cilindro será formado 
girando-se o retângulo ABCD em torno da reta 
definida pelo seu lado AB. 
 
 
 
 
 
 
 
CILINDRO 
 
A medida do volume desse cilindro, em centímetros 
cúbicos, é mais próxima de 
 
a) 750 b) 441 c) 63 d) 126 e) 190 
 
05. Os menores lados de uma folha de papel 
retangular de 20 cm por 27 cm foram unidos com 
uma fita adesiva retangular de 20 cm por 5 cm, 
formando um cilindro circular reto vazado. Na união, 
as partes da fita adesiva em contato com a folha 
correspondem a dois retângulos de 20 cm por 
0,5 cm, conforme indica a figura. 
 
 
 
Desprezando-se as espessuras da folha e da fita e 
adotando = 3,1,π o volume desse cilindro é igual a 
 
a) 31.550 cm . b) 32.540 cm . c) 31.652 cm . 
d) 34.805 cm . e) 31.922 cm . 
 
06. Milena é aluna do curso de Saneamento no 
campus Afogados da Ingazeira e convenceu seu pai a 
construir um tanque de tratamento da água do esgoto 
no quintal de sua casa. Como o espaço disponível não 
é tão grande, o tanque tem por base um setor circular 
de um quarto de volta com 1 metro de raio e 2,5 
metros de profundidade. Se o tratamento utilizado 
por Milena consegue reaproveitar 80% da água, 
estando o tanque completamente cheio, quantos 
litros de água poderão ser reaproveitados? 3,14).π = 
 
a) 6.280 litros b) 7.850 litros c) 2.000 litros 
d) 2.512 litros e) 1.570 litros 
 
07. Um telhado retangular ABCD ABCD tem área 
igual a 2120 m e está conectado a uma calha de 
escoamento de água da chuva. A calha tem a forma 
de um semicilindro reto, de diâmetro 
AF DE 0,4 m= = e capacidade igual a 720 litros. 
 
 
 
Considerando DG 5 m= e adotando 3,π = a medida 
do ângulo agudo ˆCDG, indicada na figura por ,α é 
igual a 
 
a) 75 . b) 60 . c) 45 . d) 30 . e) 15 . 
 
08. Um artesão possui potes cilíndricos de tinta cujas 
medidas externas são 4 cm de diâmetro e 6 cm de 
altura. Ele pretende adquirir caixas organizadoras 
para armazenar seus potes de tinta, empilhados 
verticalmente com tampas voltadas para cima, de 
forma que as caixas possam ser fechadas. No 
mercado, existem cinco opções de caixas 
organizadoras, com tampa, em formato de 
paralelepípedo reto retângulo, vendidas pelo mesmo 
preço, possuindo as seguintes dimensões internas: 
 
Modelo 
Comprimento 
(cm) 
Largura 
(cm) 
Altura 
(cm) 
I 8 8 40 
II 8 20 14 
III 18 5 35 
IV 20 12 12 
V 24 8 14 
 
Qual desses modelos o artesão deve adquirir para 
conseguir armazenar o maiornúmero de potes por 
caixa? 
 
a) I b) II c) III d) IV e) V 
 
 
 
 
 
CILINDRO 
 
09. Um tanque no formato de um cilindro circular 
reto, cujo raio da base mede 2 m, tem o nível da água 
aumentado em 25 cm após uma forte chuva. Essa 
quantidade de água corresponde a 5% do volume 
total de água que cabe no tanque. 
 
Assinale a alternativa que melhor aproxima o volume 
total de água que cabe no tanque, em 3m . 
 
a) 57 
b) 60 
c) 63 
d) 66 
e) 69 
 
10. Um cilindro circular reto, branco, possui 20 cm de 
diâmetro da base e 80 cm de altura. Sobre a lateral 
desse cilindro, foi pintada uma faixa marrom de 
largura uniforme igual a 3,14 cm. A faixa completou 
duas revoluções ao redor do cilindro, como mostra a 
figura. 
 
 
 
Nas condições descritas, a faixa marrom ocupou, da 
área lateral do cilindro, aproximadamente, 
 
a) 5%. b) 25%. c) 0,5%. d) 2,5%. e) 10%. 
 
11. A figura mostra uma anticlepsidra, que é um 
sólido geométrico obtido ao se retirar dois cones 
opostos pelos vértices de um cilindro equilátero, cujas 
bases coincidam com as bases desse cilindro. A 
anticlepsidra pode ser considerada, também, como o 
sólido resultante da rotação de uma figura plana em 
torno de um eixo. 
 
 
A figura plana cuja rotação em torno do eixo indicado 
gera uma anticlepsidra como a da figura acima é 
 
a) b) c) 
d) e) 
 
12. Em trabalhos de laboratório, é comum 
acompanhar o comportamento de líquidos em 
aquecimento. Os líquidos, da mesma forma que os 
sólidos, passam por uma dilatação quando são 
aquecidos. Por não possuírem forma específica, os 
líquidos assumem o formato do recipiente em que 
foram alojados. Ao analisar o comportamento térmico 
de um líquido, percebe-se que sua dilatação ocorre ao 
mesmo tempo em que ocorre a dilatação do 
recipiente, ou seja, quando aquecido, o complexo 
(líquido + recipiente) se dilata. Na prática, quando 
somente se considera que a capacidade do frasco 
aumentou, a dilatação observada para o líquido será 
uma dilatação aparente. A dilatação real sofrida pelo 
líquido é superior à dilatação aparente e é idêntica à 
soma da dilatação aparente com a dilatação do 
recipiente. 
 
 
 
Durante um experimento prático de aquecimento de 
 
 
 
 
 
CILINDRO 
 
determinado líquido, foi utilizado um tubo de ensaio 
graduado que indicava, inicialmente, a marcação de 
um volume de 330 cm . Após 4 minutos de 
aquecimento, o volume no tubo de ensaio indicava 
332 cm e também uma elevação de, 
aproximadamente, 3 mm na altura do líquido 
armazenado no tubo de ensaio. 
 
Considerando-se as informações dadas, pode-se 
concluir que o diâmetro do tubo de ensaio, após o 
aquecimento, era de, aproximadamente: 
 
a) 4 cm 
b) 3 cm 
c) 2 cm 
d) 1,5 cm 
e) 2,4 cm 
 
13. Um recipiente, no formato de um cilindro circular 
reto de raio de base r cm, possui um líquido solvente 
em seu interior. A altura h desse solvente presente 
no recipiente é igual a 
16
cm,
3
 conforme ilustra a 
Figura 1. 
 
 
 
Quando uma peça maciça, no formato de uma esfera 
de raio igual a 3 cm, é mergulhada nesse recipiente 
até encostar no fundo, observa-se que o solvente 
cobre exatamente a esfera, conforme ilustra a Figura 
2. 
 
Segundo as condições apresentadas, o raio r, em cm, 
é igual a 
 
a) 4 3. 
b) 2 7. 
c) 5 2. 
d) 3 6. 
e) 3 
 
 
 
14. Para divulgar sua marca, uma empresa produziu 
um porta-canetas de brinde, na forma do sólido 
composto por um cilindro e um tronco de cone, como 
na figura. 
 
 
 
Para recobrir toda a superfície lateral do brinde, essa 
empresa encomendará um adesivo na forma 
planificada dessa superfície. 
 
Que formato terá esse adesivo? 
 
a) b) c) 
 
d) e) 
 
 
15. Um tonel está com 30% da sua capacidade 
preenchida por um certo combustível. Sabendo que 
esse tonel tem diâmetro de 60 cm e altura de 
600
cm,
π
 a quantidade de combustível contida nesse 
tonel, em litros, é 
 
 
 
a) 1,62 b) 16,2 c) 162 d) 180 e) 162.000 
 
 
 
 
 
CILINDRO 
 
16. Um medicamento que dilata os vasos e artérias do 
corpo humano é ministrado e aumenta o diâmetro em 
20% de determinada artéria. Considerando que a 
artéria se assemelha a um cilindro circular reto, o 
fluxo sanguíneo nessa artéria aumenta em 
 
a) 10% 
b) 20% 
c) 21% 
d) 40% 
e) 44% 
 
17. Um cilindro circular reto A, com raio da base igual 
a 6 cm e altura H, possui a mesma área lateral que 
um cilindro circular reto B, com raio da base r e 
altura h, conforme mostram as figuras. 
 
 
 
Sabendo que 
h
1,2
H
= e que o volume do cilindro B é 
3240 cm ,π é correto afirmar que a diferença entre os 
volumes dos cilindros é 
 
a) 350 cm .π 
b) 342 cm .π 
c) 345 cm .π 
d) 348 cm .π 
e) 337 cm .π 
 
18. O setor de criação de uma fábrica de tintas está 
desenvolvendo um novo recipiente em formato de 
cilindro reto com 10 cm de raio da base e 25 cm de 
altura. Qual o volume de tinta (em mililitros) que 
comporta um desses recipientes? (Use 3,14).π = 
 
a) 2.500 
b) 785 
c) 7,85 
d) 7.850 
e) 2,5 
19. Uma Metalúrgica fabrica tanques em formato de 
cilindros retos para armazenar combustíveis. Um 
desses reservatórios tem área lateral de 5π metros 
quadrados e o seu volume possui a capacidade de 
10π metros cúbicos. 
 
Nessas condições, é correto afirmar que a medida do 
raio da base desse reservatório é: 
 
a) 16 m. 
b) 80 cm. 
c) 8 m. 
d) 40 dm. 
e) 4 m.π 
 
20. Na reforma e estilização de um instrumento de 
percussão, em formato cilíndrico (bumbo), será colada 
uma faixa decorativa retangular, como a indicada na 
Figura 1, suficiente para cobrir integralmente, e sem 
sobra, toda a superfície lateral do instrumento. 
 
 
 
Como ficará o instrumento após a colagem? 
 
a) b) c) 
 
 
d) e) 
 
21. Um cilindro de 18 cm de altura e raio da base 
igual a 5 cm contém água até a metade de sua altura. 
Por algum motivo, houve necessidade de despejar 
essa água em outro cilindro com 40 cm de altura, 
cujo raio da base mede 4 cm. 
 
 
 
 
 
CILINDRO 
 
 
 
Considerando 3,π = o valor que mais se aproxima da 
altura atingida pela água no segundo cilindro é 
 
a) 14 cm 
b) 16 cm 
c) 20 cm 
d) 24 cm 
e) 30 cm 
 
22. Dentre todos os retângulos de perímetro 
P 40 cm,= iremos rotacionar o de área máxima em 
torno de um de seus lados, gerando um cilindro. O 
volume deste cilindro, em 3cm , é 
 
a) 500 .π 
b) 25 .π 
c) 50 .π 
d) 100 .π 
e) 1.000 .π 
 
23. A figura abaixo representa um tanque de 
combustível de certa marca de caminhão a diesel. 
Sabendo que esse veículo faz, em média, 3 km L, e, 
observando o marcador de combustível no início e no 
final de uma viagem, quantos quilômetros esse 
caminhão percorreu? 
Considere 3.π  
 
 
 
a) 243 km 
b) 425 km 
c) 648 km 
d) 729 km 
e) 813 km 
 
 
24. Uma determinada empresa fabrica latas de óleo, 
em formato cilíndrico, com capacidade total de 1 litro 
e recebe uma encomenda para fabricar latas de 
mesmo formato, com capacidade total de 1
2
 litro, 
mas que estas sejam da mesma altura das latas de 1 
litro. Qual é a razão entre os diâmetros da lata de 1 
litro e da nova lata de 1
2
 litro? 
 
a) 2. 
b) 1 22 . 
c) .π 
d) 1 2.π 
e) 1 23 . 
 
25. Um tanque cilíndrico de 0,8 m de raio, com eixo 
na vertical em relação ao solo, está com combustível 
que é consumido em um veículo à razão média de 
4 km por litro. Se o veículo se mover a 50 km h, a 
velocidade da coluna de combustível em cm h é de 
 
a) 8,2. 
b) 4,3. 
c) 2,1. 
d) 1,8. 
e) 0,6. 
 
26. Observe a charge a seguir. 
 
 
 
Considerando-se que as toras de madeira no 
caminhão são cilindros circulares retos e idênticos, 
com 10 m decomprimento e que a altura da carga é 
de 2,7 m acima do nível da carroceria do caminhão, 
então a carga do caminhão corresponde a um volume 
 
 
 
 
 
CILINDRO 
 
de madeira, em metros cúbicos de, 
aproximadamente, 
 
Dados: 3 1,7 e 3,1π  
 
a) 17,2 
b) 27,3 
c) 37,4 
d) 46,5 
e) 54,6 
 
27. Uma prefeitura possui modelos de lixeira de forma 
cilíndrica, sem tampa, com raio medindo 10 cm e 
altura de 50 cm. Para fazer uma compra adicional, 
solicita à empresa fabricante um orçamento de novas 
lixeiras, com a mesma forma e outras dimensões. A 
prefeitura só irá adquirir as novas lixeiras se a 
capacidade de cada uma for no mínimo dez vezes 
maior que o modelo atual e seu custo unitário não 
ultrapassar R$ 20,00. O custo de cada lixeira é 
proporcional à sua área total e o preço do material 
utilizado na sua fabricação é de R$ 0,20 para cada 100 
cm2. A empresa apresenta um orçamento 
discriminando o custo unitário e as dimensões, com o 
raio sendo o triplo do anterior e a altura aumentada 
em 10 cm. (Aproxime π para 3.) 
 
O orçamento dessa empresa é rejeitado pela 
prefeitura, pois 
 
a) o custo de cada lixeira ficou em R$ 21,60. 
b) o custo de cada lixeira ficou em R$ 27,00. 
c) o custo de cada lixeira ficou em R$ 32,40. 
d) a capacidade de cada lixeira ficou 3 vezes maior. 
e) capacidade de cada lixeira ficou 9 vezes maior. 
 
28. A Gestão Ambiental visa ao uso de práticas que 
garantem a conservação e a preservação da 
biodiversidade, a reciclagem das matérias-primas e a 
redução do impacto ambiental das atividades 
humanas sobre os recursos naturais. Consciente da 
importância de reaproveitar sobras de madeira, uma 
serraria que trabalha apenas com madeira de 
reflorestamento resolveu calcular a sobra de madeira 
na confecção de peças cilíndricas. Para confeccionar 
uma peça cilíndrica, a serraria faz os cortes adequados 
em um prisma quadrangular de arestas da base 5 cm 
e altura 0,8 m e obtém um cilindro de 5 cm de 
diâmetro e 0,8 m de altura. A sobra de madeira na 
fabricação de mil destas peças é, em cm3 
 
(utilize π = 3,14), a seguinte: 
 
a) 4,3 x 10-5 
b) 430 
c) 4,3 x 105 
d) 1570 
e) 2000 
 
29. Um posto de combustíveis abastece mensalmente 
seu reservatório cilíndrico subterrâneo, cujas medidas 
estão indicadas no esquema a seguir. 
 
 
 
Considerando que o reservatório esteja vazio e que 
será abastecido com 80% de sua capacidade por um 
caminhão tanque, a uma vazão de 10 L por segundo, 
em aproximadamente quantos minutos o reservatório 
será abastecido? 
 
a) 59 min 
b) 51 min 
c) 47 min 
d) 48 min 
e) 20 min 
 
30. Uma lata de querosene tem a forma de um 
cilindro circular reto cuja base tem raio R. Colocam-se 
três moedas sobre a base superior da lata, de modo 
que estas são tangentes entre si e tangentes à borda 
da base, não existindo folga. Se as moedas têm raio a 
e encontram-se presas, então o valor de R em função 
de a, vale 
 
a) 
(1 2 3)a
3
+
 
b) 
(3 2 3)a
3
+
 
c) 
(3 3)a
3
+
 
d) (1 2 3)a+ 
e) (3 2 3)a+ 
 
 
 
 
 
 
CILINDRO 
 
 
GABARITO 
 
1 - D 6 - E 11 - B 16 - E 21 - A 26 - D 
2 - C 7 - B 12 - B 17 - D 22 - E 27 - B 
3 - D 8 - D 13 - D 18 - D 23 - D 28 - C 
4 - E 9 - C 14 - B 19 - D 24 - B 29 - C 
5 - A 10 - A 15 - C 20 - A 25 - E 30 - B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONE 
 
01. O valor da altura de um cilindro reto de raio R, 
cujo volume é a soma dos volumes dos sólidos 1 e 2 
é 
 
 
 
a) 
13
a.
12
 
b) 
7
a.
6
 
c) 
5
a.
4
 
d) 
4
a.
3
 
e) 
17
a.
12
 
 
02. A medida da aresta da base quadrada de um 
prisma reto é igual à medida do diâmetro da base de 
um cone reto. A altura do prisma é 5,5 cm maior que 
a altura do cone e o volume do cone é 
1
6
 do volume 
do prisma. Considerando 3,1,π  é correto afirmar 
que a altura do prisma é 
 
a) 13,5 cm. 
b) 18,0 cm. 
c) 8,5 cm. 
d) 10,0 cm. 
e) 15,5 cm. 
 
03. Certo tanque de combustível tem o formato de 
um cone invertido com profundidade de 5 metros e 
com raio máximo de 4 metros. Quantos litros de 
combustível cabem, aproximadamente, nesse 
tanque? Considere 3,14.π = 
 
a) 20.000 .l 
b) 50.240 .l 
c) 83.733,33 .l 
d) 104.666,67 .l 
e) 150.000 .l 
04. Um recipiente cilíndrico possui raio da base 
medindo 4 cm e altura medindo 20 cm. Um segundo 
recipiente tem a forma de um cone, e as medidas do 
raio de sua base e de sua altura são iguais às 
respectivas medidas do recipiente cilíndrico. 
 
Qual é a razão entre o volume do recipiente cilíndrico 
e o volume do recipiente cônico? 
 
a) 
1
2
 
b) 
1
5
 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
05. Um cone reto está inscrito num cubo de aresta 
8 cm. Se a altura do cone e o diâmetro de sua base 
têm medidas iguais, qual é a diferença entre as 
medidas dos seus volumes? Considere 3,0.π = 
 
a) 3128 cm 
b) 3256 cm 
c) 3384 cm 
d) 3424 cm 
e) 3512 cm 
 
06. Um recipiente cônico utilizado em experiências de 
química deve ter duas marcas horizontais circulares, 
uma situada a 1 centímetro do vértice do cone, 
marcando um certo volume v, e outra marcando o 
dobro deste volume, situada a H centímetros do 
vértice, conforme figura. 
 
 
 
Nestas condições, a distância H, em centímetros, é 
igual a: 
 
a) 3 2 
b) 3 
c) 4 3 
d) 3 2 
e) 2 
 
 
 
 
 
CONE 
 
07. Em regiões agrícolas, é comum a presença de silos 
para armazenamento e secagem da produção de 
grãos, no formato de um cilindro reto, sobreposta por 
um cone, e dimensões indicadas na figura. O silo fica 
cheio e o transporte dos grãos é feito em caminhões 
de carga cuja capacidade é de 320 m . Uma região 
possui um silo cheio e apenas um caminhão para 
transportar os grãos para a usina de beneficiamento. 
 
 
 
Utilize 3 como aproximação para .π 
 
O número mínimo de viagens que o caminhão 
precisará fazer para transportar todo o volume de 
grãos armazenados no silo é 
 
a) 6. 
b) 16. 
c) 17. 
d) 18. 
e) 21. 
 
08. Um cone está inscrito em um paralelepípedo, 
como na figura. A altura do paralelepípedo é o dobro 
do lado da base quadrada, de área 2400 cm . Então, a 
razão entre o volume do cone e o do paralelepípedo é 
 
 
 
a) 16000 b) 
4000
3π
 c) 
12
π
 d) 
12
π
 e) 
36
π
 
09. Em um triângulo retângulo, a medida do menor 
cateto é 6 cm. Rotacionando esse triângulo ao redor 
desse cateto, obtém-se um sólido de revolução, cujo 
volume é 3128 cm .π Nessas condições, a área total da 
superfície do sólido obtido na revolução, em 2cm , é 
 
a) 144π 
b) 120π 
c) 80π 
d) 72π 
e) 64π 
 
10. Uma ampulheta tem a forma de dois cones 
circulares retos idênticos (mesmo raio e mesma 
altura) no interior de um cilindro circular reto, 
conforme mostra a figura. 
 
 
 
O volume da parte do cilindro sem os dois cones é 
igual __________ soma dos volumes desses cones. 
Assinale a alternativa que preenche corretamente a 
lacuna acima. 
 
a) à 
b) ao dobro da 
c) à metade da 
d) a um terço da 
e) a dois terços da 
 
11. Ao se perfurar um poço no chão, na forma de um 
cilindro circular reto, toda a terra retirada é 
amontoada na forma de um cone circular reto, cujo 
raio da base é o triplo do raio do poço e a altura é 2,4 
metros. Sabe-se que o volume desse cone de terra é 
20% maior do que o volume do poço cilíndrico, pois a 
terra fica mais fofa após ser escavada. 
 
Qual é a profundidade, em metros, desse poço? 
 
a) 1,44 b) 6,00 c) 7,20 d) 8,64 e) 36,00 
 
 
 
 
 
CONE 
 
12. Um reservatório de água, de formato cônico, com 
raio da tampa circular igual a 8 metros e altura igual a 
9 metros, será substituído por outro de forma cúbica, 
de aresta igual a 10 metros. Estando o reservatório 
cônicocompletamente cheio, ao se transferir a água 
para o reservatório cúbico, a altura do nível atingida 
pela água será de 
 
(considere 3π  ) 
 
a) 5,76 m. 
b) 4,43 m. 
c) 6,38 m. 
d) 8,74 m. 
e) 11, 23 m 
 
13. Determine o raio da base do cone maior, formada 
pela seção transversal de um cone menor reto, com 
raio da base medindo 6 cm e altura 8 cm, sabendo 
que o seu volume é a metade do cone menor. 
 
 
 
a) 3 108 cm. 
b) 36 2 cm. 
c) 12 cm. 
d) 51 cm. 
e) 38 6 cm. 
 
14. Uma taça em forma de cone circular reto contém 
um certo volume de um líquido cuja superfície dista h 
do vértice do cone. Adicionando-se um volume 
idêntico de líquido na taça, a superfície do líquido, em 
relação à original, subirá de 
 
a) 3 2 h.− 
b) 3 2 1.− 
c) 3( 2 1)h.− 
d) h. 
e) 
h
.
2
 
15. Um funil, com a forma de cone circular reto, é 
utilizado na passagem de óleo para um recipiente com 
a forma de cilindro circular reto. O funil e o recipiente 
possuem a mesma capacidade. De acordo com o 
esquema, os eixos dos recipientes estão contidos no 
segmento TQ, perpendicular ao plano horizontal .β 
 
 
 
Admita que o funil esteja completamente cheio do 
óleo a ser escoado para o recipiente cilíndrico vazio. 
Durante o escoamento, quando o nível do óleo estiver 
exatamente na metade da altura do funil 
H
, ,
2
 o nível 
do óleo no recipiente cilíndrico corresponderá ao 
ponto K na geratriz AB. 
 
A posição de K, nessa geratriz, é melhor representada 
por: 
 
a) b) c) d) e) 
 
16. Um torneiro mecânico construiu uma peça 
retirando, de um cilindro metálico maciço, uma forma 
cônica, de acordo com a figura 01 a seguir: 
 
Considere 3π  
 
 
 
Qual é o volume aproximado da peça em milímetros 
cúbicos? 
 
a) 52,16 10 b) 47,2 10 c) 52,8 10 
d) 48,32 10 e) 53,14 10 
 
 
 
 
 
CONE 
 
17. Um silo para armazenamento de cereais é 
formado pela junção de um cilindro e um cone com o 
mesmo raio da base e dimensões internas indicadas 
na figura a seguir. Determine quantos metros cúbicos 
de cereais podem ser armazenados neste silo. (Adote 
3,14)π = 
 
 
 
a) 3.140 
b) 3.346 
c) 3.454 
d) 3.512 
e) 3.816 
 
18. Uma empresa deseja fabricar uma peça maciça 
cujo formato é um sólido de revolução obtido pela 
rotação de um trapézio isósceles em torno da base 
menor, como mostra a figura a seguir. As dimensões 
do trapézio são: base maior igual a 15 cm, base menor 
igual a 7 cm e altura do trapézio igual a 3 cm. 
 
 
 
Considerando-se 3,π = o volume, em litros, da peça 
fabricada corresponde a 
 
a) 0,212 
b) 0,333 
c) 0,478 
d) 0,536 
e) 0,812 
 
 
19. Um sinalizador de trânsito tem o formato de um 
cone circular reto. O sinalizador precisa ser revestido 
externamente com adesivo fluorescente, desde sua 
base (base do cone) até a metade de sua altura, para 
sinalização noturna. O responsável pela colocação do 
adesivo precisa fazer o corte do material de maneira 
que a forma do adesivo corresponda exatamente à 
parte da superfície lateral a ser revestida. 
 
Qual deverá ser a forma do adesivo? 
 
a) b) 
c) d) 
e) 
 
20. Prato da culinária japonesa, o temaki é um tipo de 
sushi na forma de cone, enrolado externamente com 
nori, uma espécie de folha feita a partir de algas 
marinhas, e recheado com arroz, peixe cru, ovas de 
peixe, vegetais e uma pasta de maionese e cebolinha. 
 
 
 
Um temaki típico pode ser representado 
matematicamente por um cone circular reto em que o 
diâmetro da base mede 8 cm e a altura 10 cm. 
Sabendo-se que, em um temaki típico de salmão, o 
peixe corresponde a 90% da massa do seu recheio, 
que a densidade do salmão é de 0,35 g/cm3, e 
tomando 3,π = a quantidade aproximada de salmão, 
em gramas, nesse temaki, é de 
 
a) 46 
b) 58 
c) 54 
d) 50 
e) 62 
 
 
 
 
 
CONE 
 
21. Um depósito cheio de combustível tem a forma de 
um cone circular reto. O combustível deve ser 
transportado por um único caminhão no qual o 
tanque transportador tem a forma de um cilindro 
circular reto, cujo raio da base mede metade do raio 
da base do depósito e altura 
1
3
 da altura do depósito. 
Quantas viagens o caminhão deverá fazer para 
esvaziar completamente o depósito, se para cada 
viagem a capacidade do tanque é preenchida? 
 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
 
22. Um cone reto com raio da base medindo 10 cm e 
altura de 12 cm será seccionado por um plano 
paralelo à base, de forma que os sólidos resultantes 
da secção tenham o mesmo volume. A altura do cone 
resultante da secção deve, em cm, ser 
 
a) 6. 
b) 8. 
c) 6 2. 
d) 36 2. 
e) 36 4 . 
 
23. Um cone circular reto de madeira, homogêneo, 
com 20 cm de altura e 20 cm de diâmetro da base, 
flutua livremente na água parada em um recipiente, 
de maneira que o eixo do cone fica vertical e o vértice 
aponta para baixo, como representado na figura a 
seguir. 
 
 
 
Denotando-se por h a profundidade do vértice do 
cone, relativa à superfície da água, por r o raio do 
círculo formado pelo contato da superfície da água 
com o cone e sabendo-se que as densidades da água e 
da madeira são 1,0 g/cm3 e 0,6 g/cm3, 
respectivamente, os valores de r e h, em centímetros, 
são, aproximadamente: 
 
Dados: 3 3 1,44, 3 5 1,71. 
 
a) 5,8 e 11,6 
b) 8,2 e 18,0 
c) 8,4 e 16,8 
d) 8,9 e 15,0 
e) 9,0 e 18,0 
 
24. A figura seguinte mostra um modelo de 
sombrinha muito usado em países orientais. 
 
 
 
Esta figura é uma representação de uma superfície de 
revolução chamada de 
 
a) pirâmide 
b) semiesfera 
c) cilindro 
d) tronco de cone 
e) cone 
 
25. Um aluno gira um retângulo em torno do eixo que 
contém um de seus lados e calcula o volume V do 
sólido obtido. Depois, ele traça a diagonal do 
retângulo e o separa em dois triângulos,como mostra 
a figura. 
 
 
 
Ao girar cada um dos triângulos, em torno do mesmo 
eixo de rotação, os volumes dos sólidos obtidos são 
 
a) 
1 2
V e V
3 3
 
b) 
1 3
V e V
4 4
 
 
 
 
 
 
CONE 
 
c) 
1 4
V e V
5 5
 
d) 
1 5
V e V
6 6
 
e) 2V e V 
 
26. Um arquiteto está fazendo um projeto de 
iluminação de ambiente e necessita saber a altura que 
deverá instalar a luminária ilustrada na figura 
 
 
 
Sabendo-se que a luminária deverá iluminar uma área 
circular de 228,26m , considerando 3,14π  , a 
altura h será igual a 
 
a) 3 m b) 4 m c) 5 m d) 9 m e) 16 m 
 
27. Um vasilhame na forma de um cilindro circular 
reto de raio da base de 5 cm e altura de 30 cm está 
parcialmente ocupado por 625  cm3 de álcool. 
Suponha que sobre o vasilhame seja fixado um funil 
na forma de um cone circular reto de raio da base de 
5 cm e altura de 6 cm, conforme ilustra a figura 1. O 
conjunto, como mostra a figura 2, é virado para baixo, 
sendo H a distância da superfície do álcool até o fundo 
do vasilhame. 
 
 
 
Considerando-se essas informações, qual é o valor da 
distância H? 
 
a) 5 cm b) 7 cm c) 8 cm d) 12 cm e) 18 cm 
28. Um paciente recebe por via intravenosa um 
medicamento à taxa constante de 1,5 ml/min. O 
frasco do medicamento é formado por uma parte 
cilíndrica e uma parte cônica, cujas medidas são dadas 
na figura, e estava cheio quando se iniciou a 
medicação. 
 
Após 4h de administração contínua, a medicação foi 
interrompida. Dado que 1 cm3 = 1 ml, e usando a 
aproximação 3 = , o volume, em ml, do 
medicamento restante no frasco após a interrupção 
da medicação é, aproximadamente, 
 
a) 120 b) 150 c) 160 d) 240 e) 360 
 
29. Sônia reuniu a família e mostrou uns slides que iria 
passar para os seus alunos sobre a "seca no 
nordeste". Após a exibição, Rubert sugeriu que 
aumentasse a área de projeção em 25%. Para realizar 
o pedido de Rubert, Sônia recuou o projetor, 
afastando-o ainda mais 2 metros em relação à parede 
de projeção.A distância total do projetor até a parede 
de projeção passou a ser, então, 
 
a) 5 m. 
b) 2 5 m. 
c) 2,5 m. 
d) 3 2 m. 
e) 4( 5 + 2) m. 
 
30. Um cone reto tem altura 12
3
2 cm e está cheio 
de sorvete. Dois amigos vão dividir o sorvete em duas 
partes de mesmo volume, usando um plano paralelo à 
base do cone. Qual deverá ser a altura do cone menor 
assim obtido? 
 
a) 12 cm 
b) 12 2 cm 
c) 12 3 cm 
d) 10 2 cm 
e) 10 3 cm 
 
 
 
 
 
CONE 
 
 
GABARITO 
 
 
1 - E 6 - A 11 - B 16 - A 21 - C 26 - B 
2 - E 7 - D 12 - A 17 - C 22 - E 27 - B 
3 - C 8 - D 13 - B 18 - B 23 - C 28 - A 
4 - C 9 - A 14 - C 19 - E 24 - E 29 - E 
5 - C 10 - B 15 - A 20 - D 25 - A 30 - A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PIRÂMIDES 
 
01. Observe na imagem uma pirâmide de base 
quadrada, seccionada por dois planos paralelos à 
base, um contendo o ponto A e o outro o ponto B. 
Esses planos dividem cada aresta lateral em três 
partes iguais. 
 
Considere as seguintes medidas da pirâmide: 
 
- altura 9 cm;= 
- aresta da base 6 cm;= 
- volume total 3108 cm .= 
 
 
 
O volume da região compreendida entre os planos 
paralelos, em 3cm , é: 
 
a) 26 
b) 24 
c) 28 
d) 30 
e) 38 
 
02. Em um curso de dobraduras, a instrutora orientou 
que fosse construída uma pirâmide de base quadrada, 
de lado igual a 3 cm e altura igual a 10 cm. O volume 
dessa pirâmide é igual a 
 
a) 325 cm 
b) 330 cm 
c) 315 cm 
d) 39 cm 
e) 312 cm 
 
03. As luminárias para um laboratório de matemática 
serão fabricadas em forma de sólidos geométricos. 
Uma delas terá a forma de um tetraedro truncado. 
Esse sólido é gerado a partir de secções paralelas a 
cada uma das faces de um tetraedro regular. Para 
essa luminária, as secções serão feitas de maneira 
que, em cada corte, um terço das arestas seccionadas 
serão removidas. Uma dessas secções está indicada 
na figura. 
 
 
 
Essa luminária terá por faces 
 
a) 4 hexágonos regulares e 4 triângulos equiláteros. 
b) 2 hexágonos regulares e 4 triângulos equiláteros. 
c) 4 quadriláteros e 4 triângulos isósceles. 
d) 3 quadriláteros e 4 triângulos isósceles. 
e) 3 hexágonos regulares e 4 triângulos equiláteros. 
 
04. Considere o paralelepípedo de vértices 
A, B, C, D, E, F, G, H e a pirâmide de vértices B, F, G, H, 
inscrita no paralelepípedo, representados na figura a 
seguir. 
 
 
 
A razão entre o volume da pirâmide e o volume do 
paralelepípedo é 
 
a) 
1
.
6
 
b) 
1
.
5
 
c) 
1
.
4
 
d) 
1
.
3
 
e) 
1
.
2
 
 
 
 
 
 
PIRÂMIDES 
 
05. A figura indica um prisma reto triangular e uma 
pirâmide regular de base quadrada. A altura desses 
sólidos, em relação ao plano em que ambos estão 
apoiados, é igual a 4 cm, como indicam as figuras. 
 
 
 
Se os sólidos possuírem o mesmo volume, a aresta da 
base da pirâmide, em centímetros, será igual a 
 
a) 
4 3
3
 
b) 
3 3
2
 
c) 3 
d) 3 3 
e) 
6 3
5
 
 
06. Com a intenção de padronizar as barracas dos 
vendedores ambulantes, a prefeitura da cidade de 
Eulerópolis solicitou a uma empresa especializada no 
ramo que fizesse um orçamento do material a ser 
empregado e do custo para finalização das barracas. 
Segue um esboço do que foi apresentado pela 
empresa: 
 
 
 
O ponto O é a projeção ortogonal do ponto V sobre a 
base hexagonal regular da barraca. 
 
Considere: 7 2,6= e 2 1,4.= 
 
No modelo apresentado, a parte hachurada indica 
onde existe tecido, ou seja, no telhado e na parte de 
baixo da lateral, ao custo de R$ 2,00 o metro 
quadrado. Além disso, em cada aresta está uma barra 
de alumínio ao custo de R$ 4,00 o metro linear. 
 
Se a empresa cobra uma taxa de mão de obra 
equivalente a 30% do custo de todo o material gasto, 
então é correto afirmar que o custo total de uma 
barraca padrão, em reais, é um número 
compreendido entre 
 
a) 390 e 400 
b) 401 e 410 
c) 411 e 420 
d) 421 e 430 
e) 435 e 440 
 
07. A medida de cada aresta do cubo da figura 1 é 
2 cm, e os pontos A, B e C são pontos médios de 
três arestas. Seccionando o cubo por um plano que 
passe por ABC, podemos retirar o sólido que se 
forma em seu vértice. Se repetirmos esse 
procedimento em todos os vértices do cubo, obtemos 
um cubo truncado, como mostra a figura 2. 
 
 
 
O volume do cubo truncado, em 3cm , é 
 
a) 
10
9
 
b) 
16
3
 
c) 
1
6
 
d) 
47
6
 
e) 
20
3
 
 
 
 
 
 
PIRÂMIDES 
 
08. A imagem a seguir ilustra um prisma triangular 
regular. Sua aresta da base mede b e sua aresta 
lateral mede h. 
 
 
 
Esse prisma é seccionado por um plano BCP, de 
modo que o volume da pirâmide ABCP seja 
exatamente 
1
9
 do volume total do prisma. 
 
Logo, a medida de AP é igual a: 
 
a) 
h
9
 b) 
h
3
 c) 
2h
3
 d) 
5h
6
 e) 2h 
 
09. Considere a planificação de um tetraedro, 
conforme a figura abaixo. 
 
 
 
Os triângulos ABC e ABD são isósceles 
respectivamente em B e D. As medidas dos 
segmentos AC, BC, BD e DF estão indicadas na 
figura. 
 
A soma das medidas de todas as arestas do tetraedro 
é 
 
a) 33. 
b) 34. 
c) 43. 
d) 47. 
e) 48. 
 
 
 
 
10. Para a feira cultural da escola, um grupo de alunos 
irá construir uma pirâmide reta de base quadrada. A 
pirâmide terá 3 m de altura e cada aresta da base 
medirá 2 m. A lateral da pirâmide será coberta com 
folhas quadradas de papel, que poderão ser cortadas 
para um melhor acabamento. Se a medida do lado de 
cada folha é igual a 20 cm, o número mínimo dessas 
folhas necessárias à execução do trabalho será 
 
Utilize 10 3,2 
 
a) 285 
b) 301 
c) 320 
d) 333 
e) 342 
 
11. Uma pirâmide com exatamente seis arestas 
congruentes é denominada tetraedro regular. Admita 
que a aresta do tetraedro regular ilustrado a seguir, 
de vértices ABCD, mede 6 cm e que o ponto médio 
da aresta BC é M. 
 
 
 
O cosseno do ângulo ˆAMD equivale a: 
 
a) 
1
2
 b) 
1
3
 c) 
2
3
 d) 
2
5
 e) 0,265 
 
12. Determine o volume (em 3cm ) de uma pirâmide 
retangular de altura "a" e lados da base "b" e "c" 
(a, b e c em centímetros), sabendo que 
a b c 36+ + = e "a", "b" e "c" são, respectivamente, 
números diretamente proporcionais a 6, 4 e 2. 
 
a) 16 
b) 36 
c) 108 
d) 432 
e) 648 
 
 
 
 
 
 
PIRÂMIDES 
 
13. Temos, abaixo, a planificação de uma pirâmide de 
base quadrada, cujas faces laterais são triângulos 
equiláteros. Qual é o volume dessa pirâmide? 
 
 
 
a) 3
16
3 cm .
3
 
b) 316 3 cm . 
c) 332 cm . 
d) 3
32
2 cm .
3
 
e) 3
64
cm .
3
 
 
14. A figura mostra a pirâmide de Quéops, também 
conhecida como a Grande Pirâmide. Esse é o 
monumento mais pesado que já foi construído pelo 
homem da Antiguidade. Possui aproximadamente 2,3 
milhões de blocos de rocha, cada um pesando em 
média 2,5 toneladas. Considere que a pirâmide de 
Quéops seja regular, sua base seja um quadrado com 
lados medindo 214 m, as faces laterais sejam 
triângulos isósceles congruentes e suas arestas 
laterais meçam 204 m. 
 
 
 
O valor mais aproximado para a altura da pirâmide de 
Quéops, em metro, é 
 
a) 97,0. 
b) 136,8. 
c) 173,7. 
d) 189,3. 
e) 240,0. 
15. Uma peça de madeira tem a forma de uma 
pirâmide hexagonal regular com 21cm de altura. Essa 
peça é seccionada por um plano paralelo à base, de 
forma que o volume da pirâmide obtida seja 8 27 do 
volume da pirâmide original. 
 
A distância (em cm) da base da pirâmide até essa 
secção é um número: 
 
a) fracionário. 
b) primo. 
c) múltiplo de 3. 
d) quadrado perfeito. 
e) cubo de 7 
 
16. Em uma folha de papel, desenha-se um hexágono 
regular ABCDEF de lado 3 cm e inscrito em uma 
circunferência decentro O. O hexágono é recortado, 
e, em seguida, faz-se um recorte no raio OB. A partir 
do recorte no raio, o pedaço de papel será usado para 
formar uma pirâmide de base quadrangular e centro 
O. Tal pirâmide será feita com a sobreposição e a 
colagem dos triângulos OAB e OCD, e dos triângulos 
OAF e OBC. 
 
 
 
O volume da pirâmide formada após as sobreposições 
e colagens, em 3cm , é igual a 
 
a) 3 2 
b) 3 3 
c) 4 2 
d) 
9 2
2
 
e) 
9 3
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PIRÂMIDES 
 
17. Considere ABCDEFGH um paralelepípedo reto-
retângulo conforme representado na figura abaixo. 
 
 
 
Se as arestas do paralelepípedo medem 3, 6 e 10, o 
volume do sólido ACDH é 
 
a) 10. b) 20. c) 30. d) 60. e) 90. 
 
18. É comum os artistas plásticos se apropriarem de 
entes matemáticos para produzirem, por exemplo, 
formas e imagens por meio de manipulações. Um 
artista plástico, em uma de suas obras, pretende 
retratar os diversos polígonos obtidos pelas 
intersecções de um plano com uma pirâmide regular 
de base quadrada. 
 
Segundo a classificação dos polígonos, quais deles são 
possíveis de serem obtidos pelo artista plástico? 
 
a) Quadrados, apenas. 
b) Triângulos e quadrados, apenas. 
c) Triângulos, quadrados e trapézios, apenas. 
d) Triângulos, quadrados, trapézios e quadriláteros 
irregulares, apenas. 
e) Triângulos, quadrados, trapézios, quadriláteros 
irregulares e pentágonos, apenas. 
 
19. A cobertura de uma tenda de lona tem formato de 
uma pirâmide de base quadrada e é formada usando 
quatro triângulos isósceles de base y. A sustentação 
da cobertura é feita por uma haste de medida x. Para 
saber quanto de lona deve ser comprado, deve-se 
calcular a área da superfície da cobertura da tenda. 
 
 
 
A área da superfície da cobertura da tenda, em função 
de y e x, é dada pela expressão 
a) 
2
2 y2y x
4
+ 
b) 
2
2 y2y x
2
+ 
c) 2 24y x y+ 
d) 
2
2 y4 x
4
+ 
e) 
2
2 y4 x
2
+ 
 
20. O sólido da figura é formado pela pirâmide 
SABCD sobre o paralelepípedo reto ABCDEFGH. 
Sabe-se que S pertence à reta determinada por A e 
E e que AE 2cm,= AD 4cm= e AB 5cm.= 
 
 
 
A medida do segmento SA que faz com que o volume 
do sólido seja igual a 
4
3
 do volume da pirâmide 
SEFGH é 
 
a) 2 cm 
b) 4 cm 
c) 6 cm 
d) 8 cm 
e) 10 cm 
 
21. Desde a descoberta do primeiro plástico sintético 
da história, esse material vem sendo aperfeiçoado e 
aplicado na indústria. Isso se deve ao fato de o 
plástico ser leve, ter alta resistência e flexibilidade. 
Uma peça plástica usada na fabricação de um 
brinquedo tem a forma de uma pirâmide regular 
quadrangular em que o apótema mede 10mm e a 
aresta da base mede 12mm. A peça possui para 
encaixe, em seu interior, uma parte oca de volume 
igual a 378mm . 
 
O volume, em 3mm , dessa peça é igual a 
 
a) 1152. b) 1074. c) 402. d) 384. e) 306. 
 
 
 
 
 
PIRÂMIDES 
 
22. Aumentando-se a medida "a" da aresta da base 
de uma pirâmide quadrangular regular em 30% e 
diminuindo- se sua altura "h" em 30%, qual será a 
variação aproximada no volume da pirâmide? 
 
a) Aumentará 18%. 
b) Aumentará 30%. 
c) Diminuirá 18%. 
d) Diminuirá 30%. 
e) Não haverá variação. 
 
23. Na molécula do Metano 4(CH ), o átomo de 
carbono ocupa o centro de um tetraedro regular em 
cujos vértices estão os átomos de hidrogênio. 
 
 
 
Considerando que as arestas l do tetraedro regular 
medem 6 cm e que a altura mede 
1
h 6,
3
= l assinale 
a alternativa que apresenta, corretamente, o volume 
desse tetraedro. 
 
a) 33 3 cm 
b) 318 2 cm 
c) 318 3 cm 
d) 336 2 cm 
e) 354 2 cm 
 
24. A arte é uma forma de expressão da racionalidade 
humana. O origami é uma técnica japonesa baseada 
em juntar módulos individuais de papel dobrando 
para criar prismas e cubos, conforme ilustra a figura 
abaixo. 
 
 
Todas as pirâmides ilustradas na composição artística 
acima são tetraedros regulares de base triangular de 
aresta L 1dm= ligados uns aos outros, por meio de 
suas arestas e mantendo suas bases sobre um mesmo 
plano. Nestas condições, a área total, em 2dm , de um 
desses tetraedros regulares é: 
 
a) 
2
2
 
b) 
3
2
 
c) 3 
d) 2 2 
e) 2 3 
 
25. Uma artista plástica está criando uma nova obra, 
que será um quadro com alto relevo de formas 
geométricas. Para iniciar o projeto, ela desenhou o 
quadrado base da obra, mostrada abaixo. 
 
 
 
Esse quadrado tem 40 cm de lado e o ponto P foi 
posicionado 8 cm para a direita e 8 cm para baixo do 
ponto A. Traçando a diagonal do quadrado e 
tomando o ponto P como vértice, ela construiu o 
triângulo em preto e, usando a simetria em relação à 
diagonal, ela construiu o triângulo em branco, com 
vértice no ponto Q. Em seguida, reproduzindo esse 
quadrado base 16 vezes, ela construiu o quadro em 
relevo mostrado abaixo, elevando 2 tetraedros sobre 
cada quadrado base, cada um com altura de 6 cm em 
relação ao plano do quadrado base, conforme ilustra 
a figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
PIRÂMIDES 
 
Para garantir o efeito visual que desejava, a artista 
plástica fez as faces dos tetraedros de material 
transparente e encheu com um líquido contendo 
material reflexivo. O volume de líquido necessário 
para encher todo o quadro é de, aproximadamente, 
 
a) 45 litros. 
b) 47 litros. 
c) 49 litros. 
d) 51 litros. 
e) 53 litros. 
 
26. Existem variados tipos de blocos de concreto para 
o uso de contenção às ondas marinhas, em especial o 
Tetrápode – bloco criado na década de 1950 e 
utilizado no molhe leste da Barra Cassino (Rio Grande 
– RS). Constituído em concreto maciço, o bloco é 
disposto de um eixo central, no qual são tangentes 
quatro cones alongados (patas) e arredondados, 
distribuídos igualmente a 120 no espaço. Essas 
“patas” facilitam a conexão entre os blocos, tornando 
a estrutura mais estável. O centro de gravidade do 
Tetrápode encontra-se na união das quatro “patas”, o 
que dificulta o balanço e o rolamento da carcaça. 
 
 
 
Imagens e Fragmento extraído de “Tipos de blocos de 
concreto para estrutura hidráulica de proteção às 
ondas marinhas e análise visual dos Tetrápodes da 
Barra de Rio Grande” 
 
Unindo-se as pontas dos eixos das 4 “patas”, forma-se 
um sólido geométrico chamado 
 
a) Pirâmide Quadrangular Regular. 
b) Cilindro Equilátero. 
c) Tetraedro Regular. 
d) Tronco de Pirâmide. 
e) Clepsidra 
 
27. Um sólido maciço foi obtido quando a base de 
uma pirâmide hexagonal regular de altura 6 cm foi 
colada à base de uma pirâmide reta de base 
retangular e altura 3 cm, de forma que 4 dos 6 
vértices da base da primeira coincidam com os 
vértices da base da segunda, conforme figura. 
Desprezando-se o volume da cola, se a aresta da base 
da pirâmide hexagonal mede 5 cm, então, o volume 
do sólido obtido, em 3cm , é igual a 
 
 
 
a) 15 3 
b) 20 3 
c) 25 3 
d) 30 3 
e) 35 
 
28. O Museu do Louvre, localizado em Paris, na 
França, é um dos museus mais visitados do mundo. 
Uma de suas atrações é a Pirâmide de Vidro, 
construída no final da década de 1980. A seguir tem-
se, na Figura 1, uma foto da Pirâmide de Vidro do 
Louvre e, na Figura 2, uma pirâmide reta de base 
quadrada que a ilustra. 
 
 
 
Considere os pontos A, B, C, D como na Figura 2. 
Suponha que alguns reparos devem ser efetuados na 
pirâmide. Para isso, uma pessoa fará o seguinte 
deslocamento: 1) partir do ponto A e ir até o ponto B. 
deslocando-se pela aresta AB; 2) ir de B até C, 
deslocando- se pela aresta que contém esses dois 
pontos; 3) ir de C até D, pelo caminho de menor 
comprimento; 4) deslocar se de D até B pela aresta 
que contém esses dois pontos. 
 
A projeção do trajeto da pessoa no plano da base da 
 
 
 
 
 
PIRÂMIDES 
 
pirâmide é melhor representada por 
 
a) b) 
 
c) d)e) 
 
29. Maria quer inovar em sua loja de embalagens e 
decidiu vender caixas com diferentes formatos. Nas 
imagens apresentadas estão as planificações dessas 
caixas. 
 
 
 
Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá 
a partir dessas planificações? 
 
a) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide. 
b) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide. 
c) Cone, tronco de pirâmide e prisma. 
d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma. 
e) Cilindro, prisma e tronco de cone. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30. Uma indústria fabrica brindes promocionais em 
forma de pirâmide. A pirâmide é obtida a partir de 
quatro cortes em um sólido que tem a forma de um 
cubo, No esquema, estão indicados o sólido original 
(cubo) e a pirâmide obtida a partir dele. 
 
 
 
Os pontos A. B, C, D e O do cubo e da pirâmide são os 
mesmos. O ponto O é central na face superior do 
cubo. Os quatro cortes saem de O em direção às 
arestas AD , BC , AB e CD , nessa ordem. Após os 
cortes, são descartados quatro sólidos. Os formatos 
dos sólidos descartados são 
 
a) todos iguais. 
b) todos diferentes. 
c) três iguais e um diferente. 
d) apenas dois iguais. 
e) iguais dois a dois. 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1 - C 6 - B 11 - B 16 - D 21 - E 26 - C 
2 - B 7 - E 12 - D 17 - C 22 - A 27 - B 
3 - A 8 - B 13 - D 18 - E 23 - B 28 - C 
4 - A 9 - A 14 - B 19 - A 24 - C 29 - A 
5 - D 10 - C 15 - B 20 - E 25 - D 30 - E 
 
 
 
 
 
 
 
PRISMA 
 
01. Na figura a seguir, está representado um cubo 
cuja aresta tem 2 cm de medida. O ponto P está 
localizado no centro da face EFGH. 
 
 
 
A medida do segmento AP é 
 
a) 2. b) 2. c) 6. d) 2 3. e) 3. 
 
02. Na figura abaixo, está representado um cubo. 
 
 
 
A seção produzida no cubo pelo plano CDE tem a 
forma de 
 
a) triângulo. 
b) trapézio. 
c) retângulo. 
d) pentágono. 
e) hexágono. 
 
03. Um pedaço de queijo, em forma de prisma 
triangular regular, tem 6 cm de altura e possui como 
base um triângulo de 10 cm de lado. O volume desse 
pedaço de queijo é ____ 33 cm . 
 
a) 150 
b) 165 
c) 185 
d) 200 
e) 284 
04. A figura mostra uma escada maciça de quatro 
degraus, todos eles com formato de um 
paralelepípedo reto‐retângulo. A base de cada degrau 
é um retângulo de dimensões 20 cm por 50 cm, e a 
diferença de altura entre o piso e o primeiro degrau e 
entre os degraus consecutivos é de 10 cm. 
 
 
 
Se essa escada for prolongada para ter 20 degraus, 
mantendo o mesmo padrão, seu volume será igual a 
 
a) 32,1m 
b) 32,3 m 
c) 33,0 m 
d) 34,2 m 
e) 36,0 m 
 
05. Edison gerencia um clube que possui uma piscina 
com 6 metros de largura, 15 metros de 
comprimento e profundidade de 2 metros. Para que 
a água dentro da piscina fique com uma altura ideal 
aos visitantes, ele necessita enchê-la com 70% do 
volume máximo de água que a piscina suporta. Dessa 
forma, o volume de água que Edison necessita para 
encher a piscina conforme desejado é de: 
 
Assinale a alternativa correta. 
 
a) 126.000 L 
b) 126 L 
c) 54000 L 
d) 12600 L 
e) 54 L 
 
06. Um baú em forma de paralelepípedo reto 
retângulo pesa 20 kg e tem como medidas externas 
50 cm de altura e 3 dm por 400 mm de base. O baú 
contém uma substância homogênea que pesa 1,5 kg 
por litro e que ocupa o espaço correspondente a 90% 
do volume de um paralelepípedo reto retângulo de 
espessura desprezível e que possui as dimensões 
externas do baú. 
 
 
 
 
 
PRISMA 
 
Se o peso total do baú e da substância, em kg, é igual 
a x, então, pode-se dizer que x é um número natural 
 
a) par menor que 100 
b) ímpar menor que 100 
c) primo. 
d) divisível por 7 e maior que 100 
e) divisor de π 
 
07. Uma empresa estuda cobrir um vão entre dois 
prédios (com formato de paralelepípedos 
reto‐retângulos) que têm paredes laterais paralelas, 
instalando uma lona na forma de um quadrilátero, 
com pontas presas nos pontos A, B, C e D, conforme 
indicação da figura. 
 
 
 
Sabendo que a lateral de um prédio tem 80 m de 
altura e 28 m de largura, que a lateral do outro 
prédio tem 60 m de altura e 20 m de largura e que 
essas duas paredes laterais distam 15 m uma da 
outra, a área total dessa lona seria de 
 
a) 2300 m 
b) 2360 m 
c) 2600 m 
d) 2720 m 
e) 21.200 m 
 
08. Um prisma retangular reto possui três arestas que 
formam uma progressão geométrica de razão 2. Sua 
área total é de 228 cm . Calcule o valor da diagonal do 
referido prisma. 
 
a) 17 cm 
b) 19 cm 
c) 21 cm 
d) 2 7 cm 
e) 29 cm 
09. Qual é, aproximadamente, a medida da área do 
hexágono regular obtido ao seccionarmos um cubo de 
aresta 4 cm, por um plano que contém os pontos 
médios de seis arestas, opostas duas a duas, 
conforme apresentado na figura ao lado? Utilize 
3 1,7. 
 
 
 
a) 25 cm 
b) 210 cm 
c) 220 cm 
d) 225 cm 
e) 245 cm 
 
10. Uma partícula parte do ponto A e chega ao ponto 
H percorrendo a poligonal ABCDEFGH no cubo de 
aresta unitária, representado na figura abaixo. 
 
 
 
A distância percorrida pela partícula é 
 
a) 1. 
b) 2. 
c) 7. 
d) 5 2 2.+ 
e) 5 2 3.+ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRISMA 
 
11. Nas aulas de Desenho do Coronel Wellington, os 
alunos projetaram uma caixa decorada. A planificação 
da caixa foi desenhada em uma folha de papel cartão. 
A seguir, o contorno do desenho foi recortado e 
dobrado sobre as linhas pontilhadas para dar origem à 
caixa. Nas faces da caixa, os alunos desenharam as 
letras C, M, R e J. A Figura 1 mostra a planificação da 
caixa e a Figura 2 mostra a caixa depois de montada. 
 
 
 
A opção que mostra essa caixa em outra posição é 
 
 
a) b) c) 
 
d) e) 
 
 
12. Uma empresa especializada em embalagem de 
papelão recebeu uma encomenda para fabricar caixas 
para um determinado modelo de televisor, como o da 
figura. 
 
 
 
A embalagem deve deixar uma folga de 5 cm em cada 
uma das dimensões. Esta folga será utilizada para 
proteger a televisão com isopor. O papelão utilizado 
na confecção das caixas possui uma espessura de 
0,5 cm. A empresa possui 5 protótipos de caixa de 
papelão, na forma de um paralelepípedo reto-
retângulo, cujas medidas externas: comprimento, 
altura e largura, em centímetro, são respectivamente 
iguais a: 
 
Caixa 1: 68,0 50,0 18,5  
Caixa 2: 68,5 50,5 19,0  
Caixa 3: 72,5 54,5 23,0  
Caixa 4: 73,0 55,0 23,5  
Caixa 5: 73,5 55,5 24,0  
 
O modelo de caixa de papelão que atende 
exatamente as medidas das dimensões especificadas 
é a 
 
a) caixa 1. 
b) caixa 2. 
c) caixa 3. 
d) caixa 4. 
e) caixa 5. 
 
13. Uma caixa de chocolate, com a forma de um 
paralelepípedo, tem dimensões 4 cm 4 cm 16 cm.  
Quantos 2cm de papel são necessários para cobrir 
completamente essa caixa? 
 
a) 256 
b) 272 
c) 288 
d) 304 
e) 320 
 
14. Um cubo de isopor foi cortado em dois 
paralelepípedos reto-retângulos congruentes, cada 
um com área total igual a 2144 cm . A medida da 
aresta desse cubo é 
 
a) 6 cm. 
b) 8 cm. 
c) 12 cm. 
d) 18 cm. 
e) 24 cm. 
 
15. Uma caixa de leite de determinada marca possui 
22 cm de altura e perímetro da base medindo 28 cm. 
Sabendo-se que a base da caixa é formada por um 
quadrado, calcule a quantidade de papel necessária, 
em 2cm , para confeccionar a caixa, desprezando-se 
as dobras. 
 
 
 
 
 
PRISMA 
 
Assinale a alternativa correta. 
 
a) 600 
b) 665 
c) 714 
d) 564 
e) 832 
 
16. Um engenheiro construiu uma piscina em formato 
de bloco retangular a qual mede 7 m de 
comprimento, 4 m de largura e 1,5 m de 
profundidade. Após encher a piscina completamente, 
o engenheiro abriu um ralo que tem a capacidade de 
esvaziá-la à razão de 20 litros por minuto. Utilizando 
esse ralo, em quanto tempoo nível da água dessa 
piscina vai baixar em 10 centímetros? 
 
a) 40 minutos 
b) 1 hora e 40 minutos 
c) 1 hora e 58 minutos 
d) 2 horas e 20 minutos 
e) 2 horas e 46 minutos 
 
17. A Figura 1 representa um cubo de aresta 1cm. 
Empilhando, como representado na Figura 2, oito 
cubos como aquele da Figura 1, podemos formar um 
cubo de aresta 2 cm. Da mesma maneira, 
empilhando, conforme a Figura 3, 27 cubos de aresta 
1cm, podemos formar um cubo de aresta 3 cm. 
 
 
 
A Figura 4 mostra parte de um cubo de aresta 6 cm 
que ainda não foi formado por completo. 
 
 
 
O número de cubos de aresta 1cm que falta empilhar 
para completar o cubo de aresta 6 cm é 
a) 104. 
b) 107. 
c) 109. 
d) 111. 
e) 113. 
 
18. Uma fábrica comercializa chocolates em uma caixa 
de madeira, como na figura. 
 
 
 
A caixa de madeira tem a forma de um paralelepípedo 
reto-retângulo cujas dimensões externas, em 
centímetro, estão indicadas na figura. Sabe-se 
também que a espessura da madeira, em todas as 
suas faces, é de 0,5 cm. 
 
Qual é o volume de madeira utilizado, em centímetro 
cúbico, na construção de uma caixa de madeira como 
a descrita para embalar os chocolates? 
 
a) 654. 
b) 666. 
c) 673. 
d) 681. 
e) 693. 
 
19. Qual sólido geométrico representa a planificação 
abaixo? 
 
 
 
 
a) b) c) d) 
 
 
 
 
 
PRISMA 
 
20. Um design projetou um chaveiro no formato de 
um prisma triangular reto com 12 cm de altura. Sabe-
se que as arestas da base formam um triângulo 
retângulo com catetos de medidas 6 cm e 8 cm. Para 
cobrir todas as faces desse prisma, adquirindo a 
quantidade suficiente de papel adesivo, e, com isso, 
evitar o desperdício, será preciso saber a área total da 
superfície desse prisma. Fazendo os cálculos corretos, 
obtém-se que a área total desse prisma mede 
 
a) 2336 cm . 
b) 2324 cm . 
c) 2316 cm . 
d) 2312 cm . 
e) 231 cm² 
 
21. Minecraft é um jogo virtual que pode auxiliar no 
desenvolvimento de conhecimentos relacionados a 
espaço e forma. É possível criar casas, edifícios, 
monumentos e até naves espaciais, tudo em escala 
real, através do empilhamento de cubinhos. Um 
jogador deseja construir um cubo com dimensões 
4 4 4.  Ele já empilhou alguns dos cubinhos 
necessários, conforme a figura. 
 
 
 
Os cubinhos que ainda faltam empilhar para finalizar a 
construção do cubo, juntos, formam uma peça única, 
capaz de completar a tarefa. 
 
O formato da peça capaz de completar o cubo 
4 4 4  é 
 
a) b) 
c) d) 
 
e) 
 
22. Podemos calcular o volume de uma caixa 
retangular, como na figura abaixo, de dimensões a, b 
e c fazendo V a b c.=   
 
 
 
Sabendo que 31mL 1cm ,= calcule, em litros, o 
volume de água necessária para encher um tanque 
retangular de largura a 80 cm,= profundidade 
b 40 cm= e altura c 60 cm.= 
 
a) 1.920 L. 
b) 192 L. 
c) 19,2 L. 
d) 19.200 L. 
e) 192.000 L. 
 
23. Qual é a capacidade, em litros, de uma cisterna 
que tem a forma da figura abaixo? 
 
 
 
a) 43,2 10 
b) 35,2 10 
c) 36,4 10 
d) 49,6 10 
e) 410,5 10 
 
 
 
 
 
PRISMA 
 
24. A medida de cada aresta do cubo da figura 1 é 
2 cm, e os pontos A, B e C são pontos médios de 
três arestas. Seccionando o cubo por um plano que 
passe por ABC, podemos retirar o sólido que se 
forma em seu vértice. Se repetirmos esse 
procedimento em todos os vértices do cubo, obtemos 
um cubo truncado, como mostra a figura 2. 
 
 
 
O volume do cubo truncado, em 3cm , é 
 
a) 
10
9
 b) 
16
3
 c) 
1
6
 d) 
47
6
 e) 
20
3
 
 
25. Para a Olimpíada de 2012, a piscina principal do 
Centro Aquático de Londres, medindo 50 metros de 
comprimento, foi remodelada para ajudar os atletas a 
melhorar suas marcas. Observe duas das melhorias: 
 
 
 
A capacidade da piscina em destaque, em metro 
cúbico, é igual a 
 
a) 3.750. 
b) 1.500. 
c) 1.250. 
d) 375. 
e) 150. 
 
26. Uma rede hoteleira dispõe de cabanas simples na 
ilha de Gotland, na Suécia, conforme Figura 1. A 
estrutura de sustentação de cada uma dessas cabanas 
está representada na Figura 2. A ideia é permitir ao 
hóspede uma estada livre de tecnologia, mas 
conectada com a natureza. 
 
 
A forma geométrica da superfície cujas arestas estão 
representadas na Figura 2 é 
 
a) tetraedro. 
b) pirâmide retangular. 
c) tronco de pirâmide retangular. 
d) prisma quadrangular reto. 
e) prisma triangular reto. 
 
27. Um bloco maciço de madeira na forma de um 
prisma reto de base retangular medindo 18 cm por 
24 cm e com 30 cm de altura, foi totalmente dividido 
em cubinhos iguais e de maior aresta possível. 
Supondo que não tenha ocorrido perda alguma no 
corte do bloco, o volume de um cubinho é 
 
a) 364 cm . 
b) 3125 cm . 
c) 3216 cm . 
d) 3343 cm . 
e) 231 cm³ 
 
28. A piscina usada nas competições de natação das 
Olimpíadas Rio 2016 possui as medidas oficiais 
recomendadas: 50 metros de extensão, 25 metros 
de largura e 3 metros de profundidade. Supondo que 
essa piscina tenha o formato de um paralelepípedo 
retângulo, qual dos valores abaixo mais se aproxima 
da capacidade máxima de água que essa piscina pode 
conter? 
 
a) 37.500 litros. 
b) 375.000 litros. 
c) 3.750.000 litros. 
d) 37.500.000 litros. 
e) 375.000.000 litros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRISMA 
 
29. Um sólido foi construído removendo-se um cubo 
menor de um cubo maior, como mostra a figura a 
seguir. Se a diferença entre as medidas das arestas 
dos dois cubos é de 4 cm e a medida do volume do 
sólido é 3208 cm , qual a medida da área lateral da 
superfície do sólido? 
 
 
 
a) 2136 cm 
b) 2144 cm 
c) 2160 cm 
d) 2204 cm 
e) 2216 cm 
 
30. Um cubo de lado 2a possui uma esfera 
circunscrita nele. Qual é a probabilidade de, ao ser 
sorteado um ponto interno da esfera, esse ponto ser 
interno ao cubo? 
 
a) 
6
π
 
b) 
2 3
3π
 
c) 
3
6
π
 
d) 
2
6 3
π
 
e) 
1
2
 
 
31. Um prisma reto tem como base um hexágono 
regular, que pode ser inscrito em uma circunferência 
de raio 2 m. Se a altura desse prisma é igual ao dobro 
do lado do hexágono regular que forma a sua base, 
então, pode-se afirmar que seu volume, em 3m , é 
igual a: 
 
a) 4 3 
b) 6 3 
c) 24 3 
d) 30 3 
e) 48 3 
32. Uma empresa especializada em conservação de 
piscinas utiliza um produto para tratamento da água 
cujas especificações técnicas sugerem que seja 
adicionado 1,5 mL desse produto para cada 1.000 L 
de água da piscina. Essa empresa foi contratada para 
cuidar de uma piscina de base retangular, de 
profundidade constante igual a 1,7 m, com largura e 
comprimento iguais a 3 m e 5 m, respectivamente. O 
nível da lâmina d’água dessa piscina é mantido a 
50 cm da borda da piscina. 
 
A quantidade desse produto, em mililitro, que deve 
ser adicionada a essa piscina de modo a atender às 
suas especificações técnicas é 
 
a) 11,25. 
b) 27,00. 
c) 28,80. 
d) 32,25. 
e) 49,50. 
 
33. Dois cubos cujas arestas medem 2 cm são colados 
de modo a formar o paralelepípedo ’B’CABCDA ’D’. 
Esse paralelepípedo é seccionado pelos planos ADEF 
e BCEF, que passam pelos pontos médios F e E das 
arestas A’B’ e C’D’, respectivamente. A parte desse 
paralelepípedo compreendida entre esses planos 
define o sólido ABCDEF, conforme indica a figura a 
seguir. 
 
 
 
O volume do sólido ABCDEF, em 3cm , é igual a: 
 
a) 4 
b) 6 
c) 8 
d) 12 
e) 15 
 
 
 
 
 
PRISMA 
 
34. Um quebra-cabeça tem 8 peças, sendo: 
 
- 01 peça cúbica com 2 cm de lado 
- 01 peça cúbica com 3 cm de lado 
- 03 peças em forma de paralelepípedo retangular 
com medidas 2 cm 2 cm 3 cm  
- 03 peças em forma de paralelepípedo retangular 
com medidas 3 cm 3 cm 2 cm Além disso, o quebra-cabeça montado é um cubo 
5 5 5  conforme ilustração abaixo. 
 
 
 
Se pintarmos todas as faces do cubo montado, após 
desmontá-lo podemos afirmar que as peças: 
 
a) cúbicas totalizam 5 faces não pintadas. 
b) cúbicas totalizam 5 faces pintadas. 
c) 2 2 3  totalizam 216 cm de área de faces não 
pintadas. 
d) 3 3 2  totalizam 263 cm de área de faces não 
pintadas. 
e) não cúbicas totalizam 15 faces não pintadas. 
 
 
 
35. O líquido AZ não se mistura com a água. A menos 
que sofra alguma obstrução, espalha-se de forma 
homogênea sobre a superfície da água formando uma 
fina película circular com 0,2 cm de espessura. Uma 
caixa em forma de paralelepípedo retangular, com 
dimensões de 7 cm, 10 cm e 6 cm, está 
completamente cheia do líquido AZ. Seu conteúdo é, 
então, delicadamente derramado em um grande 
recipiente com água. 
 
O raio da película circular que o líquido AZ forma na 
superfície da água, em centímetros, é: 
 
a) 
1 21
10 π
 
b) 
210
π
 
c) 
21
10
π
 
d) 
21
10π
 
e) 
21
10π
 
 
36. Em volta do paralelepípedo reto-retângulo 
mostrado na figura abaixo será esticada uma corda do 
vértice A ao vértice E, passando pelos pontos B, C e 
D. 
 
 
 
De acordo com as medidas dadas, o menor 
comprimento que essa corda poderá ter é igual a: 
 
a) 15 
b) 13 
c) 16 
d) 14 
e) 17 
 
 
 
 
 
 
PRISMA 
 
37. Um casal realiza sua mudança de domicílio e 
necessita colocar numa caixa de papelão um objeto 
cúbico, de 80 cm de aresta, que não pode ser 
desmontado. Eles têm à disposição cinco caixas, com 
diferentes dimensões, conforme descrito: 
 
- Caixa 1: 86 cm 86 cm 86 cm  
- Caixa 2: 75 cm 82 cm 90 cm  
- Caixa 3: 85 cm 82 cm 90 cm  
- Caixa 4: 82 cm 95 cm 82 cm  
- Caixa 5: 80 cm 95 cm 85 cm  
 
O casal precisa escolher uma caixa na qual o objeto 
caiba, de modo que sobre o menor espaço livre em 
seu interior. 
 
A caixa escolhida pelo casal deve ser a de número 
 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
e) 5. 
 
38. A figura indica um bloco maciço com formato de 
paralelepípedo reto-retângulo. As áreas das faces 
indicadas por A, B e C são, respectivamente, 248 cm , 
232 cm e 224 cm . 
 
 
 
O número de blocos como esse que devem ser 
mergulhados em um tanque completamente cheio de 
água para que haja um transbordamento de 
exatamente 4,8 litros de líquido é igual a 
 
a) 28. 
b) 25. 
c) 24. 
d) 20. 
e) 18. 
 
39. As medidas das arestas de um paralelepípedo 
retângulo são diretamente proporcionais a 3, 4 e 5 e 
a soma dessas medidas é igual a 48 cm. Então a 
medida da sua área total, em 2cm , é 
 
a) 752 
b) 820 
c) 1.024 
d) 1.302 
e) 1.504 
 
40. Na residência de Laércio, há uma caixa d’água 
vazia com capacidade de 5 metros cúbicos. Ele vai 
encher a caixa trazendo água de um poço próximo, 
em uma lata cuja base é um quadrado de lado 40 cm 
e cuja altura é 50 cm. Qual é o número mínimo de 
vezes que Laércio precisará ir ao poço até encher 
integralmente a caixa d’água? 
 
a) 67 
b) 52 
c) 55 
d) 63 
e) 56 
 
41. Um paralelepípedo reto-retângulo foi dividido em 
dois prismas por um plano que contém as diagonais 
de duas faces opostas, como indica a figura. 
 
 
 
Comparando-se o total de tinta necessária para pintar 
as faces externas do paralelepípedo antes da divisão 
com o total necessário para pintar as faces externas 
dos dois prismas obtidos após a divisão, houve um 
aumento aproximado de 
 
a) 42%. 
b) 36%. 
c) 32%. 
d) 26%. 
e) 28%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRISMA 
 
42. Um tanque vazio, com formato de paralelepípedo 
reto retângulo, tem comprimento de 8 metros, 
largura de 3 metros e altura de 1,5 metros. Esse 
tanque é preenchido com óleo a uma vazão de 1.000 
litros a cada 15 minutos. 
 
Nesse sentido, após duas horas do início do 
preenchimento, a altura de óleo no interior do tanque 
atingirá, aproximadamente, 
 
a) 24 cm. 
b) 33 cm. 
c) 1,05 m. 
d) 1,15 m. 
e) 2,21 cm 
 
43. Uma folha retangular de papelão de 40 cm por 
30 cm será utilizada para confeccionar uma caixa, 
sem tampa, em forma de paralelepípedo, de base 
retangular. Para isso, deve-se, a partir desta folha de 
papelão, retirar 4 quadrados de lado 5 cm, de cada 
um dos vértices e, em seguida, dobrar os lados, 
conforme a figura abaixo: 
 
 
 
Determine, em litros, o volume dessa caixa. 
 
a) 3 litros 
b) 2 litros 
c) 1 litro 
d) 4 litros 
e) 5 litros 
 
 
 
 
 
 
 
 
44. O sólido representado a seguir foi obtido 
acoplando-se um prisma triangular reto de 4 cm 
altura a um paralelepípedo reto de dimensões 4 cm, 
4 cm e 2 cm, conforme a figura. 
 
 
 
Se M é ponto médio da aresta do paralelepípedo, qual 
é a área total da superfície do referido sólido? 
 
Adote 5 2,2. 
 
a) 299,6 cm 
b) 2103,6 cm 
c) 2105,6 cm 
d) 2107,6 cm 
e) 2109,6 cm 
 
45. O recinto das provas de natação olímpica utiliza a 
mais avançada tecnologia para proporcionar aos 
nadadores condições ideais. Isso passa por reduzir o 
impacto da ondulação e das correntes provocadas 
pelos nadadores no seu deslocamento. Para conseguir 
isso, a piscina de competição tem uma profundidade 
uniforme de 3 m, que ajuda a diminuir a “reflexão” da 
água (o movimento) contra uma superfície e o 
regresso no sentido contrário, atingindo os 
nadadores), além dos já tradicionais 50 m de 
comprimento e 25 m de largura. Um clube deseja 
reformar sua piscina de 50 m de comprimento, 20 m 
de largura e 2 m de profundidade de forma que passe 
a ter as mesmas dimensões das piscinas olímpicas. 
 
Após a reforma, a capacidade dessa piscina superará a 
capacidade da piscina original em um valor mais 
próximo de 
 
a) 20% b) 25% c) 47% d) 50% e) 88% 
 
 
 
 
 
 
PRISMA 
 
46. Deseja-se construir uma caixa d'água no formato 
de um paralelepípedo retângulo, que armazene 
18.000 litros de água, como mostra a figura. 
 
 
 
Sabe-se que o comprimento (c) é o dobro da largura 
( ),l que a altura (h) é 1 3 da medida da largura ( )l e 
que 31m equivale a 1.000 litros de água. 
 
Nessas condições, a largura dessa caixa d'água, em 
metros, é igual a 
 
a) 1,5. 
b) 1,8. 
c) 2,7. 
d) 3,0. 
e) 2,1 
 
47. Um fabricante produz embalagens de volume 
igual a 8 litros no formato de um prisma reto com 
base quadrada de aresta a e altura h. Visando à 
redução de custos, a área superficial da embalagem é 
a menor possível. Nesse caso, o valor de a 
corresponde, em decímetros, à raiz real da seguinte 
equação: 
2
32
4a 0
a
− = 
 
As medidas da embalagem, em decímetros, são: 
 
a) a 1; h 2= = 
b) a 1; h 4= = 
c) a 2; h 4= = 
d) a 2; h 2= = 
e) a = 4; h = 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48. Um cubo com aresta de medida igual a x 
centímetros foi seccionado, dando origem ao prisma 
indicado na figura 1. A figura 2 indica a vista superior 
desse prisma, sendo que AEB é um triângulo 
equilátero. 
 
 
 
Sabendo-se que o volume do prisma da figura 1 é 
igual a − 32(4 3)cm , x é igual a 
 
a) 2 
b) 
7
2
 
c) 3 
d) 
5
2
 
e) 
3
2
 
 
49. Um modelo de piscina é formado por três partes, 
determinando três níveis d’água, conforme mostra o 
esquema a seguir. 
 
 
 
A primeira tem a forma da metade de um cilindro 
circular de raio 1m e altura 0,3m; a segunda tem a 
forma de um paralelepípedo de 0,3m de 
comprimento, 2m de largura e 0,8m de altura, e a 
terceira também tem a forma de um paralelepípedo, 
com 3m de comprimento, 4m de largura e 2m de 
altura. 
Suponha que a água dessa piscina esteja no nível da 
base do primeiro paralelepípedo (aquele de 0,8m de 
altura). Quantos metros cúbicos de água são 
necessários para encher de água essa piscina? 
 
a) 0,15 14,88π + 
b) 0,15 10,08π + 
c) 0,30 10,08π+ 
 
 
 
 
 
PRISMA 
 
d) 0,30 14,88π + 
e) 0,47π 
 
50. Uma chapa retangular de alumínio, de espessura 
desprezível, possui 12 metros de largura e 
comprimento desconhecido (figura 1). Para a 
fabricação de uma canaleta vazada de altura x 
metros são feitas duas dobras, ao longo do 
comprimento da chapa (figura 2). 
 
 
 
Se a área da secção transversal (retângulo ABCD) da 
canaleta fabricada é igual a 218 m , então, a altura 
dessa canaleta, em metros, é igual a 
 
a) 3,25. 
b) 2,75. 
c) 3,50. 
d) 2,50. 
e) 3,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
 
1 - C 6 - C 11 - A 16 - D 21 - A 26 - E 
2 - B 7 - C 12 - E 17 - C 22 - B 27 - C 
3 - A 8 - C 13 - C 18 - C 23 - D 28 - C 
4 - A 9 - C 14 - A 19 - A 24 - E 29 - B 
5 - A 10 - D 15 - C 20 - A 25 - A 30 - B 
31 - C 36 - B 41 - D 46 - D 
32 - B 37 - C 42 - B 47 - D 
33 - C 38 - B 43 - A 48 - A 
34 - D 39 - E 44 - C 49 - B 
35 - C 40 - D 45 - E 50 - E 
 
 
 
 
 
 
 
ESFERA 
 
01. Deseja-se construir um reservatório cilíndrico 
circular reto com 8 metros de diâmetro e teto no 
formato de hemisfério. Sabendo-se que a empresa 
responsável por construir o teto cobra R$ 300,00 por 
2m , o valor para construir esse teto esférico será de 
 
Use 3,1π = 
 
a) R$ 22.150,00 
b) R$ 32.190,00 
c) R$ 38.600,00 
d) R$ 40.100,00 
e) R$ 29.760,00 
 
02. Foram colocadas esferas de raio 5,0 cm dentro de 
um aquário que tem o formato de um paralelepípedo 
de 1,25 m de largura, 2,0 m de comprimento e 1,0 m 
de altura, cheio de água, ocupando sua capacidade 
máxima. Aproximadamente, quantas esferas terão 
que ser colocadas nesse aquário para que 10% do 
volume contido no seu interior seja derramado? 
Adote 3,0π  
 
 
 
a) 250 
b) 300 
c) 325 
d) 450 
e) 500 
 
03. A angioplastia é um procedimento médico 
caracterizado pela inserção de um cateter em uma 
veia ou artéria com o enchimento de um pequeno 
balão esférico localizado na ponta desse cateter. 
Considerando que, num procedimento de 
angioplastia, o raio inicial do balão seja desprezível e 
aumente a uma taxa constante de 0,5 mm s até que 
o volume seja igual a 3500 mm , então o tempo, em 
segundos, que o balão leva para atingir esse volume é 
 
a) 10. 
b) 3
5
10 .
π
 
c) 3
2
10 .
π
 
d) 310 .π 
e) 3
3
10 .
π
 
 
04. Um escultor irá pintar completamente a superfície 
de uma esfera de 6 m de diâmetro, utilizando uma 
tinta que, para essa superfície, rende 23 m por litro. 
Para essa tarefa, o escultor gastará, no mínimo, _____ 
litros de tinta. (Considere 3)π 
 
a) 18 
b) 24 
c) 36 
d) 48 
e) 52 
 
5. Uma indústria de perfumes embala seus produtos, 
atualmente, em frascos esféricos de raio R. Observou-
se que haverá redução de custos se forem utilizados 
frascos cilíndricos com raio da base 
R
,
3
 cujo volume 
será dado por 
2
R
h,
3
π
 
 
 
 sendo h a altura da nova 
embalagem. 
 
Para que seja mantida a mesma capacidade do frasco 
esférico, a altura do frasco cilíndrico (em termos de 
R) deverá ser igual a 
 
a) 2R. b) 4R. c) 6R. d) 9R. e) 12R. 
 
06. Um recipiente cilíndrico, cujo raio da base tem 
medida R, contém água até uma certa altura. Uma 
esfera de aço é mergulhada nesse recipiente ficando 
totalmente submersa, sem haver transbordamento de 
água. Se a altura da água subiu 
9
R,
16
 então o raio da 
esfera mede 
 
a) 
2
R
3
 
b) 
3
R
4
 
c) 
4
R
9
 
d) 
1
R
3
 
e) 
9
R
16
 
 
 
 
 
 
ESFERA 
 
07. A bocha é um esporte jogado em canchas, que são 
terrenos planos e nivelados, limitados por tablados 
perimétricos de madeira. O objetivo desse esporte é 
lançar bochas, que são bolas feitas de um material 
sintético, de maneira a situá-las o mais perto possível 
do bolim, que é uma bola menor feita, 
preferencialmente, de aço, previamente lançada. A 
Figura 1 ilustra uma bocha e um bolim que foram 
jogados em uma cancha. Suponha que um jogador 
tenha lançado uma bocha, de raio 5 cm, que tenha 
ficado encostada no bolim, de raio 2 cm, conforme 
ilustra a Figura 2. 
 
 
 
Considere o ponto C como o centro da bocha, e o 
ponto O como o centro do bolim. Sabe-se que A e B 
são os pontos em que a bocha e o bolim, 
respectivamente, tocam o chão da cancha, e que a 
distância entre A e B é igual a d. 
 
Nessas condições, qual a razão entre d e o raio do 
bolim? 
 
a) 1 
b) 
2 10
5
 
c) 
10
2
 
d) 2 
e) 10 
 
08. Se um jarro com capacidade para 2 litros está 
completamente cheio de água, a menor medida 
inteira, em cm, que o raio de uma bacia com a forma 
semiesférica deve ter para comportar toda a água do 
jarro é 
 
a) 8. 
b) 10. 
c) 12. 
d) 14. 
e) 16. 
 
 
 
 
09. Uma laranja com formato esférico e com 6 cm de 
diâmetro foi descascada até a sua metade. 
Considerando-se esses dados, verifica-se que a área 
total da casca retirada da laranja é de 
aproximadamente (use 3,14)π  
 
a) 248 cm 
b) 257 cm 
c) 274 cm 
d) 295 cm 
e) 89 cm² 
 
10. Suponha que haja laranjas no formato de uma 
esfera com 6cm de diâmetro e que a quantidade de 
suco que se obtém ao espremer cada laranja é 2 / 3 
de seu volume, sendo o volume dado em litros. 
Nessas condições, se quiser obter 1 litro de suco de 
laranja, deve-se espremer no mínimo 
 
Use 3,14.π = 
 
a) 13 laranjas 
b) 14 laranjas 
c) 15 laranjas 
d) 16 laranjas 
e) 20 laranjas 
 
11. Uma bola esférica é composta por 24 faixas 
iguais, como indica a figura. 
 
 
 
Sabendo-se que o volume da bola é 32304 cm ,π então 
a área da superfície de cada faixa é de: 
 
a) 220 cmπ 
b) 224 cmπ 
c) 228 cmπ 
d) 227 cmπ 
e) 225 cmπ 
 
 
 
 
 
 
ESFERA 
 
12. É possível construir um dado redondo e honesto, 
isto é, com probabilidade 1 6 para cada um dos seis 
valores que ele pode sortear. As marcações do dado 
redondo são pintadas sobre a superfície de uma 
esfera, usando-se uma disposição análoga à do cubo 
convencional. Dentro da esfera, encontra-se uma 
cavidade na forma de um octaedro. Dentro da 
cavidade, coloca-se uma pequena esfera metálica 
pesada, que fica solta. Quando o dado redondo é 
lançado, toda a estrutura tende a se equilibrar com a 
pequena esfera, ocupando a posição de um dos seis 
vértices do octaedro e fazendo com que o topo da 
superfície esférica apresente uma das seis marcações. 
 
 
 
 
 
 
Se a esfera metálica que está dentro da cavidade em 
forma de octaedro do dado redondo tiver 6 mm de 
diâmetro e for feita de chumbo, que tem massa 
específica de 311,3 g cm , qual é a massa dessa 
esfera? 
 
a) 0,4068 gπ 
b) 4,068 gπ 
c) 12,204 g 
d) 0,8136 gπ 
e) 8,136 g 
 
 
13. Uma empresa farmacêutica produz medicamentos 
em pílulas, cada uma na forma de um cilindro com 
uma semiesfera com o mesmo raio do cilindro em 
cada uma de suas extremidades. Essas pílulas são 
moldadas por uma máquina programada para que os 
cilindros tenham sempre 10mm de comprimento, 
adequando o raio de acordo com o volume desejado. 
Um medicamento é produzido em pílulas com 5mm 
de raio. Para facilitar a deglutição, deseja-se produzir 
esse medicamento diminuindo o raio para 4mm, e, 
por consequência, seu volume. Isso exige a 
reprogramação da máquina que produz essas pílulas. 
Use 3 como valor aproximado para .π 
 
A redução do volume da pílula, em milímetros 
cúbicos, após a reprogramação da máquina, será igual 
a 
 
a) 168. b) 304. c) 306. d) 378. e) 514. 
 
14. Um tubo cilíndrico reto de volume 3128 cm ,π 
contém oito bolinhas de tênis de mesa congruentes 
entre si e tangentes externamente. Sabendo que o 
cilindro está circunscrito à reunião dessas bolinhas, o 
percentual do volume ocupado pelas bolinhas dentro 
do tubo é, aproximadamente, de: 
 
a) 75. 
b) 50. 
c) 33. 
d) 66. 
e) 81 
 
15.Para fazer um pião, brinquedo muito apreciado 
pelas crianças, um artesão utilizará o torno mecânico 
para trabalhar num pedaço de madeira em formato 
de cilindro reto, cujas medidas do diâmetro e da 
altura estão ilustradas na Figura 1. A parte de cima 
desse pião será uma semiesfera, e a parte de baixo, 
um cone com altura 4 cm, conforme Figura 2. O 
vértice do cone deverá coincidir com o centro da base 
do cilindro. 
 
 
 
 
 
 
 
ESFERA 
 
O artesão deseja fazer um pião com a maior altura 
que esse pedaço de madeira possa proporcionar e de 
modo a minimizar a quantidade de madeira a ser 
descartada. Por simplicidade, aproxime π para 3. 
 
A quantidade de madeira descartada, em centímetros 
cúbicos, é 
 
a) 45. 
b) 48. 
c) 72. 
d) 90. 
e) 99. 
 
16. Sua bexiga é um saco muscular elástico que pode 
segurar até 500ml de fluido. A incontinência urinária, 
no entanto, tende a ficar mais comum à medida que 
envelhecemos, apesar de poder afetar pessoas de 
qualquer idade; ela também é mais comum em 
mulheres que em homens (principalmente por causa 
do parto, mas também em virtude da anatomia do 
assoalho pélvico). 
 
Considerando-se que a bexiga, completamente cheia, 
fosse uma esfera e que 3,π = pode-se afirmar que o 
círculo máximo dessa esfera seria delimitado por uma 
circunferência de comprimento, em cm, igual a 
 
a) 20 
b) 25 
c) 30 
d) 35 
e) 40 
 
17. Resolver a questão com base na regra 2 da FIFA, 
segundo a qual a bola oficial de futebol deve ter sua 
maior circunferência medindo de 68cm a 70cm. 
Considerando a mesma circunferência de 70cm, o 
volume da bola referida na questão anterior é _____ 
cm3. 
 
a) 
24 70
3π

 
b) 
3
2
4 70
3π

 
c) 
2
3
4 35
3π

 
d) 
2
2
4 35
3π

 
e) 
3
2
4 35
3π

 
18. A figura é uma representação tridimensional da 
molécula do hexafluoreto de enxofre, que tem a 
forma bipiramidal quadrada, na qual o átomo central 
de enxofre está cercado por seis átomos de flúor, 
situados nos seis vértices de um octaedro. O ângulo 
entre qualquer par de ligações enxofre-flúor 
adjacentes mede 90 . 
 
 
 
A vista superior da molécula, como representada na 
figura, é: 
a) b) 
 
c) d) 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
ESFERA 
 
19. Uma fruta em formato esférico com um caroço 
também esférico no centro apresenta 7/8 de seu 
volume ocupado pela polpa. Desprezando-se a 
espessura da casca, considerando que o raio da esfera 
referente à fruta inteira é de 12 cm, então a superfície 
do caroço apresenta uma área de 
 
a) 2121 cm .π 
b) 2144 cm .π 
c) 2169 cm .π 
d) 2196 cm .π 
e) 192 cm² 
 
20. Na fotografia abaixo, observam-se duas bolhas de 
sabão unidas. 
 
 
 
Quando duas bolhas unidas possuem o mesmo 
tamanho, a parede de contato entre elas é plana, 
conforme ilustra o esquema: 
 
 
 
Considere duas bolhas de sabão esféricas, de mesmo 
raio R, unidas de tal modo que a distância entre seus 
centros A e B é igual ao raio R. A parede de contato 
dessas bolhas é um círculo cuja área tem a seguinte 
medida: 
 
a) 
Rπ 2
2
 b) 
23
2
Rπ
 c) 
23
4
Rπ
 d) 
24
3
Rπ
 e) 7R³ 
 
 
 
 
 
21. Um artesão produz peças ornamentais com um 
material que pode ser derretido quando elevado a 
certa temperatura. Uma dessas peças contém uma 
esfera sólida e o artesão observa que as peças com 
esferas maiores são mais procuradas e resolve 
desmanchar as esferas menores para construir esferas 
maiores, com o mesmo material. Para cada 8 esferas 
de 10 cm de raio desmanchada, ele constrói uma 
nova esfera. 
 
O raio da nova esfera construída mede 
 
a) 80,0 cm. 
b) 14,2 cm. 
c) 28,4 cm. 
d) 20,0 cm. 
e) 23, 7 cm 
 
22. O globo da morte é uma atração muito usada em 
circos. Ele consiste em uma espécie de jaula em forma 
de uma superfície esférica feita de aço, onde 
motoqueiros andam com suas motos por dentro. A 
seguir, tem-se, na Figura 1, uma foto de um globo da 
morte e, na Figura 2, uma esfera que ilustra um globo 
da morte. 
 
 
 
Na Figura 2, o ponto A está no plano do chão onde 
está colocado o globo da morte e o segmento AB 
passa pelo centro da esfera e é perpendicular ao 
plano do chão. Suponha que há um foco de luz 
direcionado para o chão colocado no ponto B e que 
um motoqueiro faça um trajeto dentro da esfera, 
percorrendo uma circunferência que passa pelos 
pontos A e B. A imagem do trajeto feito pelo 
motoqueiro no plano do chão é melhor representada 
por 
a) b) c) 
 
 
 
 
 
ESFERA 
 
d) e) 
 
23. A taça desenhada na figura tem a forma de 
semiesfera e contém líquido até uma altura de x cm. 
 
 
 
O volume de líquido contido na taça, em 3cm , 
depende da altura atingida por esse líquido, em cm. O 
gráfico a seguir mostra essa dependência, sendo que 
os pontos A e B correspondem à taça totalmente vazia 
e totalmente cheia, respectivamente. 
 
 
 
De acordo com os dados do gráfico, a taça tem a 
forma de uma semiesfera cujo raio mede 
 
a) 3 cm. 
b) 3,5 cm. 
c) 4 cm. 
d) 4,5 cm. 
e) 5 cm. 
 
24. Em um casamento, os donos da festa serviam 
champanhe aos seus convidados em taças com 
formato de um hemisfério (Figura 1), porém um 
acidente na cozinha culminou na quebra de grande 
parte desses recipientes. Para substituir as taças 
quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de 
cone (Figura 2). No entanto, os noivos solicitaram que 
o volume de champanhe nos dois tipos de taças fosse 
igual. 
 
 
 
Sabendo que a taça com o formato de hemisfério e 
servida completamente cheia, a altura do volume de 
champanhe que deve ser colocado na outra taça, em 
centímetros, é de 
 
a) 1,33. 
b) 6,00. 
c) 12,00. 
d) 56,52. 
e) 113,04. 
 
25. Um reservatório tem forma de um cilindro circular 
reto com duas semiesferas acopladas em suas 
extremidades, conforme representado na figura a 
seguir. 
 
 
 
O diâmetro da base e a altura do cilindro medem, 
cada um, 4 dm. 
 
Dentre as opções a seguir, o valor mais próximo da 
capacidade do reservatório, em litros, é 
 
a) 50. 
b) 60. 
c) 70. 
d) 80. 
e) 90. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESFERA 
 
26. Se pudéssemos reunir em esferas toda a água do 
planeta, os diâmetros delas seriam: 
 
 
 
A razão entre o volume da esfera que corresponde à 
água doce superficial e o volume da esfera que 
corresponde à água doce do planeta é 
 
a) 
1
343
 
b) 
1
49
 
c) 
1
7
 
d) 
29
136
 
e) 
136
203
 
 
27. Um artista plástico construiu, com certa 
quantidade de massa modeladora, um cilindro circular 
reto cujo diâmetro da base mede 24 cm e cuja altura 
mede 15 cm. Antes que a massa secasse, ele resolveu 
transformar aquele cilindro em uma esfera. 
 
Analisando as características das figuras geométricas 
envolvidas, conclui-se que o raio R da esfera assim 
construída é igual a 
 
a) 15 
b) 12 
c) 24 
d) 33 60 
e) 36 30 
 
28. Maria Carolina resolveu sair um pouco do seu 
regime e foi saborear uma deliciosa sobremesa 
composta por três bolas de sorvete e 27 uvas, 
conforme a imagem abaixo. Suponha que as bolas de 
sorvete e as uvas tenham formatos esféricos e que 
Maria Carolina comeu toda a sua sobremesa. 
 
 
 
Usando 3,π = sabendo que os raios de cada bola de 
sorvete têm 4 cm e, de cada uva, 1cm, podemos 
afirmar que ela consumiu, nessa sobremesa, em 
centímetros cúbicos, um total de 
 
a) 108. b) 768. c) 876. d) 260. e) 900. 
 
29. O volume de um cilindro de 8 cm de altura 
equivale a 75% do volume de uma esfera com 8 cm 
de diâmetro. A área lateral do cilindro, em 2cm , é 
 
a) 42 2π 
b) 36 3π 
c) 32 2π 
d) 24 3π 
e) 24 
 
30. Considere o caso abaixo e responda: quantas 
gotas dessa medicação, o médico deve administrar 
utilizando o segundo conta-gotas, para garantir a 
mesma quantidade de medicamento do primeiro 
conta-gotas? 
 
Certo paciente deve ingerir exatamente 7gotas de 
um medicamento a ser administrado através de um 
conta-gotas cilíndrico cujo diâmetro mede d cm. Em 
certa ocasião, o médico tinha disponível apenas um 
segundo conta-gotas, também cilíndrico, cuja medida 
do diâmetro é igual a metade do diâmetro do primeiro 
conta-gotas. Sabe-se que o volume de cada gota 
equivale ao volume de uma esfera com mesmo 
diâmetro do conta-gotas utilizado para formá-la. 
 
a) 14 gotas b) 3,5 gotas c) 7 gotas 
d) 56 gotas e) 42 gotas 
 
 
 
 
 
ESFERA 
 
 
GABARITO 
 
 
1 - E 6 - B 11 - B 16 - C 21 - D 26 -A 
2 - E 7 - E 12 - A 17 - E 22 - E 27 - D 
3 - E 8 - B 13 - E 18 - B 23 - D 28 - C 
4 - C 9 - B 14 - D 19 - B 24 - B 29 - C 
5 - E 10 - B 15 - E 20 - C 25 - D 30 - D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS 
 
01. Um aplicativo de relacionamentos funciona da 
seguinte forma: o usuário cria um perfil com foto e 
informações pessoais, indica as características dos 
usuários com quem deseja estabelecer contato e 
determina um raio de abrangência a partir da sua 
localização. O aplicativo identifica as pessoas que se 
encaixam no perfil desejado e que estão a uma 
distância do usuário menor ou igual ao raio de 
abrangência. Caso dois usuários tenham perfis 
compatíveis e estejam numa região de abrangência 
comum a ambos, o aplicativo promove o contato 
entre os usuários, o que é chamado de match. 
 
O usuário P define um raio de abrangência com 
medida de 3 km e busca ampliar a possibilidade de 
obter um match se deslocando para a região central 
da cidade, que concentra um maior número de 
usuários. O gráfico ilustra alguns bares que o usuário 
P costuma frequentar para ativar o aplicativo, 
indicados por I, II, III, IV e V. Sabe-se que os usuários 
Q, R e S, cujas posições estão descritas pelo gráfico, 
são compatíveis com o usuário P, e que estes 
definiram raios de abrangência respectivamente 
iguais a 3 km, 2 km e 5 km. 
 
 
 
Com base no gráfico e nas afirmações anteriores, em 
qual bar o usuário P teria a possibilidade de um 
match com os usuários Q, R e S, simultaneamente? 
 
a) I 
b) II 
c) III 
d) IV 
e) V 
 
02. No plano cartesiano abaixo estão representados o 
gráfico da função 2y x= e o triângulo equilátero 
OAB. 
 
 
 
A área desse triângulo mede: 
 
a) 2 3 
b) 3 
c) 3 
d) 2 
e) 3 3 
 
03. Os pontos M (0, y), com y 0 e N ( 3, 4) 
pertencem a uma circunferência de centro C (0, 2). 
Considere o ponto P, do gráfico de f(x) x 2,= + que 
possui ordenada y igual à do ponto M. 
 
 
 
A abscissa x do ponto P é igual a 
 
a) 7. 
b) 7 2.+ 
c) 7. 
d) 9. 
e) 12. 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS 
 
04. Foi utilizado o plano cartesiano para a 
representação de um pavimento de lojas. A loja A está 
localizada no ponto A(1; 2). No ponto médio entre a 
loja A e a loja B está o sanitário S, localizado no ponto 
S(5;10). 
 
Determine as coordenadas do ponto de localização da 
loja B. 
 
a) ( 3; 6)− − 
b) ( 6; 3)− − 
c) (3; 6) 
d) (9; 18) 
e) (18; 9) 
 
05. Na figura a seguir, o ponto A representa uma 
praça, e o ponto B, uma livraria. 
 
 
 
Considerando quilômetro (km) como unidade de 
medida, a menor distância entre a praça e a livraria é 
de aproximadamente 
 
a) 4 km. 
b) 5 km. 
c) 6 km. 
d) 7 km. 
e) 8 km. 
 
06. Observou-se que todas as formigas de um 
formigueiro trabalham de maneira ordeira e 
organizada. Foi feito um experimento com duas 
formigas e os resultados obtidos foram esboçados em 
um plano cartesiano no qual os eixos estão graduados 
em quilômetros. As duas formigas partiram juntas do 
ponto O, origem do plano cartesiana xOy. Uma delas 
caminhou horizontalmente para o lado direito, a uma 
velocidade de 4 km h. A outra caminhou 
verticalmente para cima, à velocidade de 3 km h. 
 
Após 2 horas de movimento, quais as coordenadas 
cartesianas das posições de cada formiga? 
 
a) (8; 0) e (0; 6). 
b) (4; 0) e (0; 6). 
c) (4; 0) e (0; 3). 
d) (0; 8) e (6; 0). 
e) (0; 4) e (3; 0). 
 
07. Considere os segmentos de retas AB e CD, onde 
A(0, 10), B(2, 12), C( 2, 3)− e D(4, 3). O segmento 
MN, determinado pelos pontos médios dos 
segmentos AB e CD é dado pelos pontos M e N, 
pertencentes respectivamente a AB e a CD. 
 
Assinale a alternativa que corresponde corretamente 
a esses pontos. 
 
a) 
1
M ,1
2
 
 
 
 e N( 1, 3)− 
b) M( 2, 10)− e N( 1, 3)− 
c) M(1, 2)− e N(1, 3) 
d) M(1, 11) e N(1, 3) 
 
08. O plano cartesiano representado abaixo mostra o 
deslocamento de uma pessoa por 4 pontos diferentes, 
no interior do pavilhão da Oktoberfest. Considere que 
essa pessoa partiu do ponto A e formou, com seu 
trajeto, segmentos de reta entre os pontos 
consecutivos A, B, C e D, nessa ordem. Em uma escala 
em metros, é correto afirmar que ela se deslocou 
 
 
 
a) 5(3 5 5) m.+ b) (3 5 5) m.+ c) 53 m. 
d) 2(3 2 7) m.+ e) 4(3 5 5) m.+ 
 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS 
 
09. Em uma cidade será construída uma galeria 
subterrânea que receberá uma rede de canos para o 
transporte de água de uma fonte (F) até o 
reservatório de um novo bairro (B). Após avaliações, 
foram apresentados dois projetos para o trajeto de 
construção da galeria: um segmento de reta que 
atravessaria outros bairros ou uma semicircunferência 
que contornaria esses bairros, conforme ilustrado no 
sistema de coordenadas xOy da figura, em que a 
unidade de medida nos eixos é o quilômetro. 
 
 
 
Estudos de viabilidade técnica mostraram que, pelas 
características do solo, a construção de 1m de galeria 
via segmento de reta demora 1,0 h, enquanto que 
1m de construção de galeria via semicircunferência 
demora 0,6 h. Há urgência em disponibilizar água 
para esse bairro. 
 
Use 3 como aproximação para π e 1,4 como 
aproximação para 2. 
 
O menor tempo possível, em hora, para conclusão da 
construção da galeria, para atender às necessidades 
de água do bairro, é de 
 
a) 1.260. 
b) 2.520. 
c) 2.800. 
d) 3.600. 
e) 4.000. 
 
10. Em relação a um sistema de coordenadas x0y (x 
e y em metros), o triângulo PQR tem ângulo reto no 
vértice R (3, 5),= base PQ paralela ao eixo x e está 
inscrito no círculo de centro C(1,1). A área desse 
triângulo, em metros quadrados, é igual a 
 
a) 40. b) 8 20. c) 4 20. d) 80. e) 20 
11. Devido ao aumento do fluxo de passageiros, uma 
empresa de transporte coletivo urbano está fazendo 
estudos para a implantação de um novo ponto de 
parada em uma determinada rota. A figura mostra o 
percurso, indicado pelas setas, realizado por um 
ônibus nessa rota e a localização de dois de seus 
atuais pontos de parada, representados por P e Q. 
 
 
 
Os estudos indicam que o novo ponto T deverá ser 
instalado, nesse percurso, entre as paradas já 
existentes P e Q, de modo que as distâncias 
percorridas pelo ônibus entre os pontos P e T e 
entre os pontos T e Q sejam iguais. 
 
De acordo com os dados, as coordenadas do novo 
ponto de parada são 
 
a) (290; 20). b) (410; 0). c) (410; 20). 
d) (440; 0). e) (440; 20). 
 
12. Considere que os quarteirões de um bairro 
tenham sido desenhados no sistema cartesiano, 
sendo a origem o cruzamento das duas ruas mais 
movimentadas desse bairro. Nesse desenho, as ruas 
têm suas larguras desconsideradas e todos os 
quarteirões são quadrados de mesma área e a medida 
de seu lado é a unidade do sistema. A seguir há uma 
representação dessa situação, em que os pontos A, B, 
C e D representam estabelecimentos comerciais desse 
bairro. 
 
 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS 
 
Suponha que uma rádio comunitária, de fraco sinal, 
garante área de cobertura para todo estabelecimento 
que se encontre num ponto cujas coordenadas 
satisfaçam à inequação: 2 2x y 2x 4y 310.+ − − −  
 
A fim de avaliar a qualidade do sinal, e proporcionar 
uma futura melhora, a assistência técnica da rádio 
realizou uma inspeção para saber quais 
estabelecimentos estavam dentro da área de 
cobertura, pois estes conseguem ouvir a rádio 
enquanto os outros não. 
 
Os estabelecimentos que conseguem ouvir a rádio são 
apenas 
 
a) A e C 
b) B e C 
c) B e D 
d) A, B e C 
e) B, C e D 
 
13. O gráfico abaixo é formado por 3 segmentos de 
retas consecutivos. 
 
 
 
Sabe-se que: 
 
I. A reta que contém o segmento AB tem coeficiente 
linear igual a 4 
II. O coeficiente angular do segmento BC vale 
metade do coeficiente angular do segmento AB 
III. A ordenada do ponto D é 
2
3 da ordenada do 
ponto C 
IV. O coeficiente angular do segmento CD é igual a 
1− 
 
Podemos concluir que a abscissa do ponto D vale: 
 
a) 17 
b) 19 
c) 15 
d) 18 
e) 16 
14. Quando representados no sistema de 
coordenadas xOy, o ponto B é o simétrico do ponto 
A( 3,2)− em relação à origem O; por sua vez, o ponto 
C é o simétrico de B em relação ao eixo x. Com 
base nessas informações, é correto afirmar que a 
medida da área do triângulo ABC é igual a: 
 
a) 8 
b) 9 
c) 10 
d) 12 
e) 16 
 
15. O Sr. Antônio resolveu construir um poço em seu 
sítio. Ele passou ao engenheiro o esquema abaixo, 
indicando a posição da piscina e do vestiário em 
relação à localização da casa. 
 
 
 
O Sr. Antônio disse ao engenheiro que queria o poço 
numa localização que estivesse à mesma distância da 
casa, da piscina e do vestiário. Para atendê-lo o 
engenheiro deve construir o poço na posição, em 
relação à casa, dada por, aproximadamente, 
 
a) 4,2 m para o leste e 13,8 m para o norte 
b) 3,8 m para o oeste e 13,1m para o norte 
c) 3,8 m para o leste e 13,1m para o norte 
d) 3,4 m para o oeste e 12,5 m para o norte 
e) 3,4 m para o leste e 12,5 m para o norte 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS 
 
16. Um construtor pretende murar um terreno e, para 
isso, precisa calcular o seu perímetro. O terreno está 
representado no plano cartesiano, conforme a figura, 
no qual foi usada a escala 1: 500. Use 2,8 como 
aproximação para 8. 
 
 
 
De acordo com essas informações, o perímetro do 
terreno, em metros, é 
 
a) 110. 
b) 120. 
c) 124. 
d) 130. 
e) 144. 
 
17. No plano cartesiano da figura, considere que as 
escalas nos dois eixos coordenados são iguais e que a 
unidade de medida linear é 1 cm. Nele, está 
representada parte de uma linha poligonal que 
começa no ponto P(0; 3) e, mantendo-se o mesmo 
padrão, termina em um ponto Q. 
 
 
 
Na figura, a linha poligonal é formada por segmentos 
de reta 
 
- que são paralelos aos eixos coordenados e 
- cujas extremidades têm coordenadas inteiras não 
negativas. 
 
Sabendo que o comprimento da linha poligonal, do 
ponto P até o ponto Q, é igual a 94 cm, as 
coordenadas do ponto Q são 
a) (25; 2) 
b) (28; 1) 
c) (32; 1) 
d) (33; 1) 
e) (34; 2) 
 
18. Considere os gráficos das funções f e g, definidas 
por ( ) 2f x x x 2= + − e ( )g x 6 x,= − representadas no 
mesmo sistema de coordenadas cartesianas, e os 
pontos A e B, interseção dos gráficos das funções f e 
g, como na figura abaixo. 
 
 
 
A distância entre os pontos A e B é 
 
a) 2 2. 
b) 3 2. 
c) 4 2. 
d) 5 2. 
e) 6 2. 
 
19. Um bairro de uma cidade foi planejado em uma 
região plana, com ruas paralelas e perpendiculares, 
delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano 
de coordenadas cartesianas seguinte, esse bairro 
localiza-se no segundo quadrante, e as distâncias nos 
eixos são dadas em quilômetros. 
 
 
 
A reta de equação y x 4= + representa o 
planejamento do percurso da linha do metrô 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS 
 
subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões 
da cidade. No ponto P ( 5,5)= − , localiza-se um 
hospital público. A comunidade solicitou ao comitê de 
planejamento que fosse prevista uma estação do 
metrô de modo que sua distância ao hospital, medida 
em linha reta, não fosse maior que 5 km. 
Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê 
argumentou corretamente que isso seja 
automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a 
construção de uma estação no ponto 
 
a) ( 5,0)− 
b) ( 3,1)− 
c) ( 2,1)− 
d) (0,4) 
e) (2,6) 
 
20. A figura a seguir apresenta parte do mapa de uma 
cidade, no qual estão identificadas a catedral, a 
prefeitura e a câmara de vereadores. Observe que o 
quadriculado não representa os quarteirões da 
cidade, servindo apenas para a localização dos pontos 
e retas no plano cartesiano. Nessa cidade, a Avenida 
Brasil é formada pelos pontos equidistantes da 
catedral e da prefeitura, enquanto a Avenida Juscelino 
Kubitschek (não mostrada no mapa) é formada pelos 
pontos equidistantes da prefeitura e da câmara de 
vereadores. 
 
 
 
Sabendo que a distância real entre a catedral e a 
prefeitura é de 500 m, podemos concluir que a 
distância real, em linha reta, entre a catedral e a 
câmara de vereadores é de 
 
a) 1500 m 
b) 500 5 m 
c) 1000 2 m 
d) 500 + 500 2 m 
e) 500 m 
21. A figura a seguir é a representação de uma região 
por meio de curvas de nível, que são curvas fechadas 
representando a altitude da região, com relação ao 
nível do mar. As coordenadas estão expressas em 
graus de acordo com a longitude, no eixo horizontal, e 
a latitude, no eixo vertical. A escala em tons de cinza 
desenhada à direita está associada à altitude da 
região. 
 
 
 
Um pequeno helicóptero usado para reconhecimento 
sobrevoa a região a partir do ponto X (20; 60).= O 
helicóptero segue o percurso: 
 
0,8 L 0,5 N 0,2 O 0,1 S 0,4 N 0,3 L →  →  →  →  →  
 
De acordo com as orientações, o helicóptero pousou 
em um local cuja altitude é 
 
a) menor ou igual a 200 m. 
b) maior que 200 m e menor ou igual a 400 m. 
c) maior que 400 m e menor ou igual a 600 m. 
d) maior que 600 m e menor ou igual a 800 m. 
e) maior que 800 m. 
 
22. A palavra “perímetro” vem da combinação de dois 
elementos gregos: o primeiro, perí, significa “em 
torno de”, e o segundo, metron, significa “medida”. 
 
 
 
O perímetro do trapézio cujos vértices têm 
coordenadas (−1, 0), (9, 0), (8, 5) e (1, 5) é 
 
a) 10 + 29 26+ 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS 
 
b) 16 + 29 26+ 
c) 22 + 26 
d) 17 + 2 26 
e) 17 + 29 26+ 
 
23. As trajetórias A e B de duas partículas lançadas 
em um plano vertical xoy estão representadas a 
seguir. 
 
Suas equações são, respectivamente, y = 2
1
x
2
 
− 
 
+ 
3x e y = 2
1
x
2
 
− 
 
+ x, nas quais x e y estão em uma 
mesma unidade u. Essas partículas atingem, em um 
mesmo instante t, o ponto mais alto de suas 
trajetórias. 
A distância entre as partículas, nesse instante t, na 
mesma unidade u, equivale a: 
 
a) 6 
b) 8 
c) 10 
d) 20 
e) 20 
 
24. Para medir a área de uma fazenda de forma 
triangular, um agrimensor, utilizando um sistema de 
localização por satélite, encontrou como vértices 
desse triângulo os pontos A(2,1), B(3,5) e C(7,4) do 
plano cartesiano, com as medidas em km. A área 
dessa fazenda, em km2, é de 
 
a) 
17
2
 
b) 17 
c) 2 17 
d) 4 17 
e) 
17
2
 
25. A reta de equação y 4= intercepta a circun-
ferência de equação 2 2x y 18+ = nos pontos A e B. 
A equação da parábola que passa por A, B e pela 
origem do sistema de eixos cartesianos pode ser dada 
por: 
 
a) 2y x 2x= + 
b) 2y x 2= + 
c) 2y 2x= 
d) 2y 2x 2x= − 
e) 2y 2x 2x= + 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1 -A 6 -A 11 -E 16 -C 21 -A 
2 -E 7 -D 12 -D 17 -C 22 -E 
3 -C 8 -A 13 -A 18 -E 23 -D 
4 -D 9 -B 14 -D 19 -B 24 -A 
5 -C 10 -C 15 -C 20 -B 25 -C 
 
 
 
 
 
 
RETA 
 
01. Analise o gráfico a seguir, que representa a 
população mundial, em milhões,entre os anos de 
1800 e 2010. 
 
 
 
Denotando por p(t) a população mundial, em milhões, 
no ano t, é possível aproximar diferentes trechos do 
gráfico por funções afins. Com relação à dinâmica 
histórico-demográfica, representada no gráfico, 
observa-se, no período em que p(t) aproxima-se de 
 
a) 75t 144000,− um aumento da estabilidade política 
mundial, evidenciado pela inexistência de conflitos 
internacionais. 
b) 75t 144000,− uma redução das desigualdades 
socioeconômicas, com a coletivização dos meios de 
produção nos países socialistas. 
c) 
20t
11000,
3
− um aumento da expectativa de vida da 
população, com o desenvolvimento científico e 
tecnológico decorrente das corridas espacial e 
armamentista. 
d) 
20t
11000,
3
− uma redução da fome nos países 
africanos em decorrência do processo de 
descolonização, além da melhora das condições 
sanitárias e de saúde pública. 
e) 
20t
11000,
3
− uma redução das taxas de 
mortalidade nos países onde iniciou-se a Revolução 
Industrial, além da manutenção de elevadas taxas 
de natalidade. 
 
02. O gráfico mostra a evolução diária, em certo 
intervalo de tempo não especificado na abscissa, de 
dois índices econômicos, normalizados para que suas 
médias, no mesmo período, sejam ambas iguais a 1. 
O valor do índice 1 no dia i é ix e o valor do índice 2 
no dia i é iy . O gráfico ilustra como cada um dos 
índices ix e iy varia em função de i, mostrando os 
pontos i(i, x ) (pontos escuros) e i(i, y ) (pontos claros). 
 
 
 
Para entender melhor a relação entre os dois índices, 
um novo gráfico foi feito com os pares i i(x , y ), isto é, 
com o índice 1 na abscissa contra o índice 2 na 
ordenada. O resultado foi: 
 
a) b) 
c) d) 
e) 
 
 
03. Uma indústria automobilística está testando um 
novo modelo de carro. Cinquenta litros de 
combustível são colocados no tanque desse carro, que 
é dirigido em uma pista de testes até que todo o 
combustível tenha sido consumido. O segmento de 
reta no gráfico mostra o resultado desse teste, no 
qual a quantidade de combustível no tanque é 
indicada no eixo y (vertical), e a distância percorrida 
pelo automóvel é indicada no eixo x (horizontal). 
 
 
 
 
 
RETA 
 
 
 
A expressão algébrica que relaciona a quantidade de 
combustível no tanque e a distância percorrida pelo 
automóvel é 
 
a) y 10x 500= − + 
b) 
x
y 50
10
−
= + 
c) 
x
y 500
10
−
= + 
d) 
x
y 50
10
= + 
e) 
x
y 500
10
= + 
 
04. No mapa de uma cidade, duas ruas são dadas 
pelas equações das retas y x 1= + e y x 2,= − + que se 
interceptam no ponto B. Para organizar o cruzamento 
dessas ruas, planeja-se colocar uma rotatória em 
forma de um círculo C, com centro no ponto A(0,1) e 
raio igual à distância entre os pontos A e B. 
 
Nesse mapa, a área de C é 
 
a) 2π b) 4π c) π d) 5 2π e) 4π 
 
05. Um retângulo ABCD possui vértices A(17, 158),− 
B(2017, 242) e D(19, y). Na impossibilidade de 
esboçar os vértices desse retângulo por meio de um 
desenho em escala, Joana resolveu colocar os dados 
disponíveis em um programa de computador, que 
exibiu a seguinte imagem. 
 
 
 
Como a imagem não permitiu a visualização do ponto 
D, Joana usou seus conhecimentos de geometria 
analítica e calculou, corretamente, a ordenada de D, 
igual a 
 
a) 172.− 
b) 168.− 
c) 326.− 
d) 196.− 
e) 224.− 
 
06. Dois dos materiais mais utilizados para fazer pistas 
de rodagem de veículos são o concreto e o asfalto. 
Uma pista nova de concreto reflete mais os raios 
solares do que uma pista nova de asfalto; porém, com 
os anos de uso, ambas tendem a refletir a mesma 
porcentagem de raios solares, conforme mostram os 
segmentos de retas nos gráficos. 
 
 
 
Mantidas as relações lineares expressas nos gráficos 
ao longo dos anos de uso, duas pistas novas, uma de 
concreto e outra de asfalto, atingirão pela primeira 
vez a mesma porcentagem de reflexão dos raios 
solares após 
 
a) 8,225 anos b) 9,375 anos c) 10,025 anos 
d) 10,175 anos e) 9,625 anos 
 
07. A região colorida do gráfico representa a zona 
térmica de conforto, levando-se em consideração a 
temperatura (em C e F) e a umidade relativa do ar. 
Sabe-se que 0 C corresponde a 32 F e que 100 C 
correspondem a 212 F. 
 
 
 
 
 
 
 
RETA 
 
De acordo com os dados apresentados, a temperatura 
máxima de conforto quando a umidade relativa do ar 
for de 32% será, aproximadamente, igual a 
 
a) 24,2 C. 
b) 25,7 C. 
c) 23,6 C. 
d) 26,3 C. 
e) 20,6 C. 
 
08. O jornal Folha de S. Paulo publicou em 11 de 
outubro de 2016, a seguinte informação: 
 
 
 
De acordo com as informações apresentadas, 
suponha que para uma velocidade de 35 km h a 
probabilidade de lesão fatal seja de 5% e que para 
velocidades no intervalo [35; 55] o gráfico obedeça a 
uma função do 1º grau. Nessas condições, se um 
motorista dirigindo a 55 km h, quiser reduzir a 
probabilidade de lesão fatal por atropelamento à 
metade, ele terá que reduzir a sua velocidade em, 
aproximadamente, 
 
a) 20% 
b) 25% 
c) 30% 
d) 35% 
e) 42% 
 
09. Em um plano cartesiano, a parábola 
2y x 4x 5= − + + e a reta y x 5= + se intersectam nos 
pontos P e Q. A distância entre esses dois pontos é 
 
a) 2 3 
b) 2 
c) 3 
d) 3 2 
e) 4 
10. Um sítio foi adquirido por R$ 200.000,00. O 
proprietário verificou que a valorização do imóvel, 
após sua aquisição, cresceu em função do tempo 
conforme o gráfico, e que sua tendência de 
valorização se manteve nos anos seguintes. 
 
 
 
O valor desse sítio, no décimo ano após sua compra, 
em real, será de 
 
a) 190.000. 
b) 232.000. 
c) 272.000. 
d) 400.000. 
e) 500.000. 
 
11. Os pontos A, B, C, D, E e F determinam um 
hexágono regular ABCDEF de lado 1, tal que o 
ponto A tem coordenadas (1, 0) e o ponto D tem 
coordenadas ( 1, 0),− como na figura abaixo. 
 
 
 
A equação da reta que passa pelos pontos B e D é 
a) y 3x.= 
 
b) 
3 3
y x .
3 3
= + 
c) 
3 3
y x .
2 2
= + 
d) 
3 3
y x .
3 3
= − 
e) 
3 3
y x .
2 2
= − 
 
 
 
 
 
RETA 
 
12. Uma região de uma fábrica deve ser isolada, pois 
nela os empregados ficam expostos a riscos de 
acidentes. Essa região está representada pela porção 
de cor cinza (quadrilátero de área S) na figura. 
 
 
 
Para que os funcionários sejam orientados sobre a 
localização da área isolada, cartazes informativos 
serão afixados por toda a fábrica. Para confeccioná-
los, programador utilizará um software que permite 
desenhar essa região a partir de um conjunto de 
desigualdades algébricas. 
 
As desigualdades que devem ser utilizadas no referido 
software, para o desenho da região de isolamento, 
são 
 
a) 3y x 0; 2y x 0; y 8; x 9−  −    
b) 3y x 0; 2y x 0; y 9; x 8−  −    
c) 3y x 0; 2y x 0; y 9; x 8−  −    
d) 4y 9x 0; 8y 3x 0; y 8; x 9−  −    
e) 4y 9x 0; 8y 3x 0; y 9; x 8−  −    
 
13. A figura abaixo ilustra as localizações de um Posto 
de Saúde (P) e de um trecho retilíneo de uma 
rodovia (AB) em um plano cartesiano ortogonal, na 
escala 1: 200. 
 
 
 
Pretende-se construir uma estrada ligando o Posto à 
rodovia, de modo que a distância entre eles seja a 
menor possível. Se a unidade de medida real é o 
metro, a distância entre o Posto e a rodovia deverá 
ser igual a: 
 
a) 600 m 
b) 800 m 
c) 2 km 
d) 4 km 
e) 6 km 
 
14. Para uma feira de ciências, dois projéteis de 
foguetes, A e B, estão sendo construídos para serem 
lançados. O planejamento é que eles sejam lançados 
juntos, com o objetivo de o projétil B interceptar o A 
quando esse alcançar sua altura máxima. Para que 
isso aconteça, um dos projéteis descreverá uma 
trajetória parabólica, enquanto o outro irá descrever 
uma trajetória supostamente retilínea. O gráfico 
mostra as alturasalcançadas por esses projéteis em 
função do tempo, nas simulações realizadas. 
 
 
 
Com base nessas simulações, observou-se que a 
trajetória do projétil B deveria ser alterada para que 
o objetivo fosse alcançado. 
 
Para alcançar o objetivo, o coeficiente angular da reta 
que representa a trajetória de B deverá 
 
a) diminuir em 2 unidades 
b) diminuir em 4 unidades 
c) aumentar em 2 unidades 
d) aumentar em 4 unidades 
e) aumentar em 8 unidades 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RETA 
 
15. O polígono ABCD, na figura abaixo, indica o 
trajeto de uma maratona realizada em uma cidade, 
sendo que as coordenadas estão representadas no 
sistema de eixos cartesianos abaixo. A reta que passa 
pelos pontos A e C, vértices desse polígono, possui 
coeficiente linear igual a 
 
 
 
a) 0 
b) 
2
3
 
c) 
3
4
 
d) 
4
5
 
e) 1 
 
16. No final do ano de 2005, o número de casos de 
dengue registrados em certa cidade era de 400 e, no 
final de 2013, esse número passou para 560. 
Admitindo-se que o gráfico do número de casos 
registrados em função do tempo seja formado por 
pontos situados em uma mesma reta, é correto 
afirmar que, no final de 2015, o número de casos de 
dengue registrados será igual a: 
 
a) 580 
b) 590 
c) 600 
d) 610 
e) 680 
 
17. A figura mostra a localização no plano cartesiano 
de uma torre T de transmissão de energia. 
 
 
Duas outras torres devem ser instaladas em posições 
diferentes sobre a reta 
3
y x 5,
4
= − de modo que a 
distância entre cada uma dessas torres e a torre T 
seja igual a 200 metros. 
 
Os pontos de localização dessas torres são iguais a 
 
a) (20,10) e (160,315). 
b) (0, 5)− e (320,235). 
c) (0, 5)− e (160,315). 
d) ( 40,115)− e (320,235). 
e) ( 40,115)− e (160,315). 
 
18. Observe a figura abaixo onde estão representadas 
algumas ruas de Pelotas. 2. 
 
 
 
Considere que: 
 
1. As larguras das ruas sejam desprezíveis e o lado de 
cada quadra seja 01 (uma) unidade de medida; 
2. Todas as quadras sejam quadradas de dimensões 
iguais; 
3. A rua Gomes Carneiro seja o EIXO DAS ABSCISSAS; 
4. A rua XV de Novembro seja o EIXO DAS 
ORDENADAS; 
5. O cruzamento das ruas Tiradentes e Mal. Deodoro 
seja o PONTO A; 
6. O cruzamento das ruas Alm. Tamandaré e 
Gonçalves Chaves seja o PONTO B. 
 
A equação da reta que passa pelos pontos A e B é 
 
a) x y 1 0+ + = 
b) x y 1 0+ − = 
c) x y 1 0− − = 
d) x y 1 0− + = 
e) x – 2y + 2 = 0 
 
 
 
 
 
RETA 
 
19. A tabela seguinte mostra o número de ovos 
postos, por semana, pelas galinhas de um sítio 
 
Semana 
Número de galinhas 
(x) 
Número de ovos 
(y) 
1ª 2 11 
2ª 3 18 
3ª 4 25 
4ª 5 32 
 
Considerando-se esses dados, é correto afirmar que 
os pares ordenados (x, y) satisfazem a relação 
 
a) y = 4x + 3 
b) y = 6x – 1 
c) y = 7x – 3 
d) y = 5x + 7 
e) y = - 4x + 2 
 
20. No plano cartesiano da figura, feito fora de escala, 
o eixo x representa uma estrada já existente, os 
pontos A(8, 2) e B(3, 6) representam duas cidades e a 
reta r, de inclinação 45°, representa uma estrada que 
será construída. 
 
 
 
Para que as distâncias da cidade A e da cidade B até a 
nova estrada sejam iguais, o ponto C, onde a nova 
estrada intercepta a existente, deverá ter 
coordenadas 
 
a) 
1
, 0 .
2
 
 
 
 b) ( )1, 0 . c) 
3
, 0 .
2
 
 
 
 d) ( )2, 0 . e) 
5
, 0 .
2
 
 
 
 
 
21. Durante um ciclo hidrológico completo, considera-
se que o volume total de água que passa por uma 
determinada seção do rio no exutório de uma bacia 
hidrográfica é igual ao volume de água precipitado na 
bacia menos o volume de água que volta para a 
atmosfera por evapotranspiração. Em determinado 
ano, o volume total de água que passou por essa 
seção do rio foi de 20 milhões de metros cúbicos e a 
profundidade média anual nesse ponto do rio foi de 
30 metros. No ano seguinte, nesta mesma seção, o 
volume de água e a profundidade média foram Q e h, 
respectivamente, como indica o gráfico a seguir. 
 
 
 
Sabendo-se que tanto o volume de água precipitado 
quanto a perda por evapotranspiração aumentaram, 
de um ano para o outro, em 0,49% e que o gráfico 
utiliza a mesma escala para os dois eixos, o valor da 
profundidade h, em metros, foi de, 
aproximadamente: 
 
Dados: ( )sen 10 0,17,  ( )cos 10 0,98.  
 
a) 30,15 
b) 31,47 
c) 44,70 
d) 47,00 
e) 98,00 
 
22. O uso de fontes de energias limpas e renováveis, 
como a energia eólica, geotérmica e hidráulica, é uma 
das ações relacionadas com a sustentabilidade que 
visa a diminuir o consumo de combustíveis fósseis, 
além de preservar os recursos minerais e diminuir a 
poluição do ar. Em uma estação de energia eólica, os 
cata-ventos C1, C2 e C3 estão dispostos conforme o 
gráfico a seguir. 
 
 
 
Para que um cata-vento de coordenadas (x,y) esteja 
 
 
 
 
 
RETA 
 
alinhado com o cata-vento C1 e com o ponto médio do 
segmento 2 3C C , é necessário e suficiente que 
 
a) 2x 15y 850.+ = 
b) 5y x 50 0.− + = 
c) 55y 26x 2050 0.− + = 
d) 4x 5y 450.+ = 
e) 5y 6x 550 0.− + = 
 
23. Nos últimos anos, a televisão tem passado por 
uma verdadeira revolução, em termos de qualidade 
de imagem, som e interatividade com o 
telespectador. Essa transformação se deve à 
conversão do sinal analógico para o sinal digital. 
Entretanto, muitas cidades ainda não contam com 
essa nova tecnologia. Buscando levar esses benefícios 
a três cidades, uma emissora de televisão pretende 
construir uma nova torre de transmissão, que envie 
sinal às antenas A, B e C, já existentes nessas cidades. 
As localizações das antenas estão representadas no 
plano cartesiano: 
 
 
 
A torre deve estar situada em um local equidistante 
das três antenas. 
 
O local adequado para a construção dessa torre 
corresponde ao ponto de coordenadas 
 
a) (65 ; 35) b) (53 ; 30) c) (45 ; 35) 
d) (50 ; 20) e) (50 ; 30) 
 
24. Os procedimentos de decolagem e pouso de uma 
aeronave são os momentos mais críticos de operação, 
necessitando de concentração total da tripulação e da 
torre de controle dos aeroportos. Segundo 
levantamento da Boeing, realizado em 2009, grande 
parte dos acidentes aéreos com vítimas ocorre após 
iniciar-se a fase de descida da aeronave. Desta forma, 
é essencial para os procedimentos adequados de 
segurança monitorar-se o tempo de descida da 
aeronave. 
 
A tabela mostra a altitude y de uma aeronave, 
registrada pela torre de controle, t minutos após o 
início dos procedimentos de pouso. 
 
tempo t 
(em 
minutos) 
0 5 10 15 20 
altitude y 
(em 
metros) 
10000 8000 6000 4000 2000 
 
Considere que, durante todo o procedimento de 
pouso, a relação entre y e t é linear. De acordo com os 
dados apresentados, a relação entre y e t é dada por 
 
a) y = – 400t b) y = – 2000t c) y = 8000 – 400t 
d) y = 10000 – 400t e) y = 10000 – 2000t 
 
25. Na malha quadriculada 40 60 esquematizada na 
figura a seguir, estão marcados os pontos P, Q, R e S. 
 
 
 
A reta PQ ⃡ intercepta a reta RS ⃡ em um ponto que 
pertence ao interior de um dos quadrados 
sombreados. Esse quadrado está identificado pela 
letra 
 
a) A b) B c) C d) D e) E 
 
 
 
GABARITO 
 
1 -E 6 -B 11 -B 16 -C 21 -D 
2 -B 7 -D 12 -E 17 -B 22 -E 
3 -B 8 -A 13 -D 18 -B 23 -E 
4 -A 9 -D 14 -C 19 -C 24 -D 
5 -B 10 -D 15 -E 20 -C 25 -D 
 
 
 
 
 
 
CIRCUNFERÊNCIA 
 
01. Uma circunferência no primeiro quadrante 
tangencia os eixos coordenados. Sabendo-se que a 
distância entre o centro 0 0(x , y ) dessa circunferência 
e a origem do sistema é d 3 2,= então a equação da 
circunferência é 
 
a) 2 2x y 6x 6y 9 0+ − − + = 
b) 2 2x y 6x 6y 9 0+ + + − = 
c) 2 2x y 3x 3y 6 2 0+ + + − = 
d) 2 2x y 3x 3y 6 2 0+ − − + = 
e) 2 2x y 27 0+ − = 
 
02. Em um plano munido com o sistema de 
coordenadas cartesianas usual, fixada uma unidade de 
comprimento (u.c.),a equação 
2 2x y 2x 2y 1 0+ + − + = representa uma 
circunferência com centro no ponto P(p, q) cuja 
medida do raio é r u.c. Assim, é correto afirmar que 
o valor da soma p q r+ + é igual a 
 
a) 0. 
b) 3. 
c) 1. 
d) 2. 
e) 4 
 
03. A menor distância entre as circunferências de 
equação 2 2(x 1) (y 2) 1− + − = e 2 2(x 2) (y 1) 1+ + − = é 
 
a) 2. 
b) 5. 
c) 10. 
d) 10 2.+ 
e) 10 2.− 
 
04. Qual é a razão entre a medida da área e do 
comprimento da circunferência que, no plano 
cartesiano, passa pelos pontos A( 4,1), B( 1, 2)− − − e 
C(2, 1)? 
 
a) 0,5 
b) 1 
c) 1,5 
d) 2 
e) 2,5 
 
 
 
 
05. Para apagar os focos A e B de um incêndio, que 
estavam a uma distância de 30 m um do outro, os 
bombeiros de um quartel decidiram se posicionar de 
modo que a distância de um bombeiro ao foco A, de 
temperatura mais elevada, fosse sempre o dobro da 
distância desse bombeiro ao foco B, de temperatura 
menos elevada. 
 
Nestas condições, a maior distância, em metro, que 
dois bombeiros poderiam ter entre eles é 
 
a) 30. b) 40 c) 45. d) 60. e) 68. 
 
06. Os pontos P e Q(3, 3) pertencem a uma 
circunferência centrada na origem do plano 
cartesiano. P também é ponto de intersecção da 
circunferência com o eixo y . 
 
 
 
Considere o ponto R, do gráfico de y x,= que 
possui ordenada y igual à do ponto P. A abscissa x 
de R é igual a 
 
a) 9. b) 16. c) 15. d) 12. e) 18. 
 
07. Em um plano cartesiano, o ponto C (2, 3) é o 
centro de uma circunferência de raio 2. O ponto P, 
de ordenada 4, pertence à circunferência, e a reta r, 
que passa pelos pontos P e C, intersecta os eixos 
coordenados nos pontos R e S, conforme mostra a 
figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
CIRCUNFERÊNCIA 
 
Sabendo que o segmento RS está contido no 1º 
quadrante, a distância entre os pontos R e S é 
 
a) 2 2 
b) 3 2 
c) 4 5 
d) 5 2 
e) 5 5 
 
08. No plano, com o sistema de coordenadas 
cartesianas usual, a equação da reta que contém o 
ponto P(9, 8) e é tangente à curva representada pela 
equação 2 2x y 10x 10y 25 0+ − − + = é 
 
a) 3x 4y 59 0.+ − = 
b) 3x 4y 5 0.− + = 
c) 4x 3y 12 0.− − = 
d) 4x 3y 60 0.+ − = 
e) 5x + 2y = 0 
 
09. Um jogo pedagógico utiliza-se de uma interface 
algébrico-geométrica do seguinte modo: os alunos 
devem eliminar os pontos do plano cartesiano dando 
"tiros", seguindo trajetórias que devem passar pelos 
pontos escolhidos. Para dar os tiros, o aluno deve 
escrever em uma janela do programa a equação 
cartesiana de uma reta ou de uma circunferência que 
passa pelos pontos e pela origem do sistema de 
coordenadas. Se o tiro for dado por meio da equação 
da circunferência, cada ponto diferente da origem que 
for atingido vale 2 pontos. Se o tiro for dado por meio 
da equação de uma reta, cada ponto diferente da 
origem que for atingido vale 1 ponto. Em uma 
situação de jogo, ainda restam os seguintes pontos 
para serem eliminados: A(0; 4), B(4; 4), C(4; 0), D(2; 2) 
e E(0; 2). 
 
 
Passando pelo ponto A, qual a equação forneceria a 
maior pontuação? 
 
a) x 0= 
b) y 0= 
c) 2 2x y 16+ = 
d) 2 2x (y 2) 4+ − = 
e) 2 2(x 2) (y 2) 8− + − = 
 
10. Duas pessoas patinam sobre o gelo descrevendo 
trajetórias circulares. As circunferências descritas por 
elas são dadas pelas equações 2 2(x 3) (y 1) 10+ + + = 
e 2 2(x 3) y 13,+ + = respectivamente. A distância 
entre os dois pontos de interseção das circunferências 
é 
 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) 7 
 
11. Na figura tem-se a representação de ,λ 
circunferência de centro C e tangente aos eixos 
coordenados nos pontos A e B. 
 
 
 
Se a equação de λ é 2 2x y 8x 8y 16 0,+ − − + = então 
a área da região hachurada, em unidades de 
superfície, é 
 
a) 8 ( 2)π − 
b) 8 ( 4)π − 
c) 4 ( 2)π − 
d) 4 ( 4)π − 
e) 7 . (π – 3) 
 
 
 
 
 
 
 
CIRCUNFERÊNCIA 
 
12. Uma arruela, que é um disco fino com furo circular 
interno, tem suas dimensões projetadas sobre um 
sistema de coordenadas cartesianas. A equação da 
circunferência externa é obtida e tem a forma 
2 2x y 8x 8y 7 0.+ − − + = A distância da circunferência 
interna para a externa é de 2,5 cm. O furo interno, 
que está no meio da arruela, tem área igual a: 
 
 
 
a) 2
5
cm .
9
π
 
b) 2
9
cm .
4
π
 
c) 2
25
cm .
4
π
 
d) 2
27
cm .
4
π
 
e) 2
36
cm .
25
π
 
 
13. Considere que os quarteirões de um bairro 
tenham sido desenhados no sistema cartesiano, 
sendo a origem o cruzamento das duas ruas mais 
movimentadas desse bairro. Nesse desenho, as ruas 
têm suas larguras desconsideradas e todos os 
quarteirões são quadrados de mesma área e a medida 
de seu lado é a unidade do sistema. 
 
A seguir há uma representação dessa situação, em 
que os pontos A, B, C e D representam 
estabelecimentos comerciais desse bairro. 
 
 
Suponha que uma rádio comunitária, de fraco sinal, 
garante área de cobertura para todo estabelecimento 
que se encontre num ponto cujas coordenadas 
satisfaçam à inequação: 2 2x y 2x 4y 31 0.+ − − −  
A fim de avaliar a qualidade do sinal, e proporcionar 
uma futura melhora, a assistência técnica da rádio 
realizou uma inspeção para saber quais 
estabelecimentos estavam dentro da área de 
cobertura, pois estes conseguem ouvir a rádio 
enquanto os outros não. 
 
Os estabelecimentos que conseguem ouvir a rádio são 
apenas 
 
a) A e C 
b) B e C 
c) B e D 
d) A, B e C 
e) B, C e D 
 
14. Um fabricante de brinquedos utiliza material 
reciclado: garrafas, latinhas e outros. Um dos 
brinquedos despertou a atenção de um estudante de 
Geometria, por ser confeccionado da seguinte forma: 
amarra-se um barbante em um bico de garrafa pet 
cortada e, na extremidade, cola-se uma bola de 
plástico que, ao girar em torno do bico, forma uma 
circunferência. O estudante representou-a no sistema 
por coordenadas cartesianas, conforme a figura a 
seguir: 
 
 
Considerando o tamanho do barbante igual a 6 
unidades de comprimento (u.c.) e o bico centrado no 
ponto (3,4), a equação que representa a 
circunferência é igual a 
 
a) 2 2x y 6x 8y 11 0+ − − − = 
b) 2 2x y 6x 8y 11 0+ + + − = 
c) 2 2x y 6x 8y 11 0+ + + + = 
d) 2 2x y 6x 8y 11 0+ − − + = 
e) 2 2x y 8x 6y 11 0+ − − − = 
 
 
 
 
 
CIRCUNFERÊNCIA 
 
15. Um espelho no formato de circunferência foi 
pendurado em uma parede. Considerando o canto 
inferior esquerdo como a origem de um sistema 
cartesiano, o espelho pode ser representado pela 
equação da circunferência 
2 2x y 4x 4y 7,84 0.+ − − + = Dessa forma, constata-
se que o espelho está a uma altura do chão de 
 
a) 1,00 metros 
b) 1,55 metros 
c) 1,60 metros 
d) 1,74 metros 
e) 1,83 metros 
 
16. Uma antena de telefone celular rural cobre uma 
região circular de área igual a 2900 km .π Essa antena 
está localizada no centro da região circular e sua 
posição no sistema cartesiano, com medidas em 
quilômetros, é o ponto (0,10). 
 
Assim, a equação da circunferência que delimita a 
região circular é 
 
a) 2 2x y 20y 800 0.+ − − = 
b) 2 2x y 20y 70 0.+ − + = 
c) 2 2x y 20x 800 0.+ − − = 
d) 2 2x y 20y 70 0.+ − − = 
e) 2 2x y 900.+ = 
 
17. Observe a figura a seguir. 
 
 
 
Sabendo-se que a circunferência de maior raio passa 
pelo centro da circunferência de menor raio, a 
equação da circunferência de maior raio é 
 
a) 2 2x y 4x 4y 18 0+ + + + = 
b) 2 2x y 4x 4y 14 0+ − − − = 
c) 2 2x y 8x 8y 14 0+ − − + = 
d) 2 2x y 8x 8y 18 0+ + + + = 
e) x² + y² = 0 
 
18. A figura mostra uma criança brincando em um 
balanço no parque. A corda que prende o assento do 
balanço ao topo do suporte mede 2 metros. A criança 
toma cuidado para não sofrer um acidente, então se 
balança de modo que a corda não chegue a alcançar a 
posição horizontal. 
 
 
 
Na figura, considereo plano cartesiano que contém a 
trajetória do assento do balanço, no qual a origem 
está localizada no topo do suporte do balanço, o eixo 
X é paralelo ao chão do parque, e o eixo Y tem 
orientação positiva para cima. 
 
A curva determinada pela trajetória do assento do 
balanço é parte do gráfico da função 
 
a) 2f(x) 2 x= − − b) 2f(x) 2 x= − c) 2f(x) x 2= − 
d) 2f(x) 4 x= − − e) 2f(x) 4 x= − 
 
19. Resolver a questão com base na regra 2 da FIFA, 
segundo a qual a bola oficial de futebol deve ter sua 
maior circunferência medindo de 68cm a 70cm. 
 
Considerando essa maior circunferência com 70cm e 
usando um referencial cartesiano para representá-la, 
como no desenho abaixo, poderíamos apresentar sua 
equação como 
 
 
 
 
 
 
 
CIRCUNFERÊNCIA 
 
a) 2 2
35
x y
π
+ = 
b) 
2
2 2 35x y
π
 
+ =  
 
 
c) 2 2
70
x y
π
+ = 
d) 
2
2 2 70x y
π
 
+ =  
 
 
e) 2 2 2x y 70+ = 
 
20. Vitória-régia é uma planta aquática típica da 
região amazônica. Suas folhas são grandes e têm 
formato circular, com uma capacidade notável de 
flutuação, graças aos compartimentos de ar em sua 
face inferior. 
 
Em um belo dia, um sapo estava sobre uma folha de 
vitória-régia, cuja borda obedece à equação 
 apreciando a paisagem ao seu 
redor. Percebendo que a folha que flutuava à sua 
frente era maior e mais bonita, resolveu pular para 
essa folha, cuja borda é descrita pela equação 
 
 
A distância linear mínima que o sapo deve percorrer 
em um salto para não cair na água é 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1 -A 6 -E 11 -C 16 -A 
2 -C 7 -D 12 -C 17 -C 
3 -E 8 -D 13 -D 18 -D 
4 -C 9 -E 14 -A 19 -B 
5 -B 10 -D 15 -C 20 -A 
 
2 2x y 2x y 1 0,+ + + + =
2 2x y 2x 3y 1 0.+ − − + =
( )2 2 1−
2
2 2
2 2−
5
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA BÁSICA 
01. A gripe é uma infecção respiratória aguda de curta 
duração causada pelo vírus influenza. Ao entrar no 
nosso organismo pelo nariz, esse vírus multiplica-se, 
disseminando-se para a garganta e demais partes das 
vias respiratórias, incluindo os pulmões. 
O vírus influenza é uma partícula esférica que tem um 
diâmetro interno de 0,00011mm. 
 
Em notação científica, o diâmetro interno do vírus 
influenza, em mm, é 
 
a) 11,1 10− 
b) 21,1 10− 
c) 31,1 10− 
d) 41,1 10− 
e) 51,1 10− 
 
02. Um professor gosta de criar desafios para seus 
estudantes, com expressões envolvendo um só 
número. Em certa aula, apresentou o seguinte 
problema dos quatro “quatros”: 
4
4
4
x
4
= 
 
O valor de x é 
 
a) 16. 
b) 128. 
c) 128 2. 
d) 256 2. 
e) 256 
 
03. Sabendo-se que 
1
x
2
= e y 4,= − o valor da 
expressão 
y xx ( y)
x y
− −− −
+
 é igual a: 
a) 3x 
b) 2y− 
c) 2y 
d) 2x y 
e) 
x
y
 
 
04. Considere x o resultado da operação 
2 2525 523 .− 
 
Assinale a alternativa correta, que representa a soma 
dos algarismos de x. 
 
a) 18 b) 13 c) 02 d) 17 e) 04 
 
05. O valor da expressão ( 1,3 2) ( 3 2)− −  + é 
 
a) 
5 3 10
3
−
 
b) 
10 3 20
3
−
 
c) 
31 3 62
9
−
 
d) 
33 3 66
10
−
 
e) 33 
 
06. Usando a tecnologia de uma calculadora pode-se 
calcular a divisão de 2 por 3 4 e obter um resultado 
igual a 
 
a) 4. 
b) 3 3. 
c) 5. 
d) 3 2. 
e) 24 . 
 
07. Uma das principais provas de velocidade do 
atletismo é a prova dos 400 metros rasos. No 
Campeonato Mundial de Sevilha, em 1999, o atleta 
Michael Johnson venceu essa prova, com a marca de 
43,18 segundos. 
 
Esse tempo, em segundo, escrito em notação 
científica é 
 
a) 20,4318 10 
b) 14,318 10 
c) 043,18 10 
d) 1431,8 10− 
e) 24.318 10− 
 
08. “A perereca-macaco-de-cera, encontrada na 
América do Sul e Central, é capaz de aguentar mais 
tempo no sol forte do que outras espécies de anfíbios, 
devido à secreção de cera que reduz a perda de água 
por evaporação, protegendo sua pele.” 
 
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA BÁSICA 
A área territorial da América Central é de, 
aproximadamente, 2523.000 km . Assinale a 
alternativa que apresenta a área em potência de base 
10. 
 
a) 2523 10 . 
b) 452,3 10 . 
c) 25,23 10 . 
d) 4523 10 . 
e) 35,23 10 . 
 
09. Alex, Beatriz e Camila foram convidados a fazerem 
afirmações sobre o número 50 20N 2 4 .= + 
 
- Alex afirmou que N é múltiplo de 8; 
- Beatriz afirmou que metade de N é igual a 
25 102 4 ;+ 
- Camila afirmou que N é par. 
 
Quantas das afirmações feitas pelos participantes são 
verdadeiras? 
 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) todas 
 
10. Uma antiga lenda da Índia afirma que o jogo de 
xadrez foi criado a pedido de um rei e, como 
recompensa, o criador do jogo recebeu grãos de trigo 
de acordo com o número de casas do tabuleiro, 
seguindo o procedimento descrito. 
 
- O criador do jogo escolhe uma casa e recebe 2 grãos 
por ela. 
- Para a próxima casa escolhida, ele recebe o dobro da 
casa anterior. 
- O processo continua até que todas as casas do 
tabuleiro sejam escolhidas exatamente uma vez. 
 
Observando o processo podemos perceber que, para 
a décima casa do tabuleiro, o rei entrega 1.024 grãos. 
 
 
 
O tabuleiro de xadrez conta com 64 casas distribuídas 
em 8 colunas verticais e 8 fileiras horizontais, cada 
uma com 8 casas. As casas são alternadamente 
escuras e claras. 
 
É correto afirmar que, o número de grãos a ser 
entregue pela vigésima casa seria 
 
a) maior que 1.000 e menor que 10.000. 
b) maior que 10.000 e menor que 100.000. 
c) maior que 100.000 e menor que 1.000.000. 
d) maior que 1.000.000 e menor que 10.000.000. 
e) maior que 10.000.000 e menor que 100.000.000. 
 
11. Determine o valor do produto 2(3x 2y) ,+ sabendo 
que 2 29x 4y 25+ = e xy 2.= 
 
a) 27. 
b) 31. 
c) 38. 
d) 49. 
e) 54. 
 
12. Um fazendeiro possui dois terrenos quadrados de 
lados a e b, sendo a b. Represente na forma de um 
produto notável a diferença das áreas destes 
quadrados. 
 
a) (a b) (a b)+  + 
b) (a b) (a b)+  − 
c) (a b) (a b)−  − 
d) 2(a b)+ 
e) 2(a b)− 
 
13. Se x e y são dois números reais positivos, então 
a expressão 
2
y x
M x y
x y
 
= +  
 
 é equivalente a 
 
a) xy. 
b) 2xy. 
c) 4xy. 
d) 2 xy. 
e) 3xy 
 
14. A equação 
x x 5
x 1 4
+
=
−
 em que x é um número 
real apresenta: 
 
a) uma única raiz, que é maior que 10. 
b) uma única raiz, que é menor que 10. 
c) duas raízes cuja soma é 26. 
d) duas raízes, mas só uma é maior que 10. 
e) duas raízes, que são quadrados perfeitos. 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA BÁSICA 
15. Simplificando-se a expressão 
37
35 38 39
2
,
2 2 2+ +
 
obtém-se o número 
 
a) 
19
4
 
b) 
19
2
 
c) 0,4 
d) 0,16 
e) 
37
2
2
 
 
16. Quanto vale 
1
?
2 1−
 
 
a) 
1
1
2
− 
b) 2 1+ 
c) 
2
1
2
− 
d) 
5
2
 
e) 1 
 
17. Quanto vale 
3 3
3
3 9
?
3
+
 
 
a) 3 3 
b) 3 9 
c) 31 3+ 
d) 31 9+ 
e) 32 3 
 
18. Simplificando a expressão 
1
2
2
2 1
+
−
 obtemos: 
a) 
11 2
.
2
 
b) 
2
3.
2
+ 
c) 
7
2 2.
2
+ 
d) 
5 2
3 .
2
+ 
e) 
2 3 2
.
2
+
 
 
19. O número 3
3 5
2
2
2
 é igual a 
a) 0. 
b) 2. 
c) 1. 
d) 3. 
e) 1 2.+ 
 
20. De 1869 até hoje, ocorreram as seguintes 
mudanças de moeda no Brasil: (1) em 1942, foi criado 
o cruzeiro, cada cruzeiro valendo mil réis; (2) em 
1967, foi criado o cruzeiro novo, cada cruzeiro novo 
valendo mil cruzeiros; em 1970, o cruzeiro novo 
voltou a se chamar apenas cruzeiro; (3) em 1986, foi 
criado o cruzado, cada cruzado valendo mil cruzeiros; 
(4) em 1989, foi criado o cruzado novo, cada um 
valendo mil cruzados; em 1990, o cruzado novo 
passou a sechamar novamente cruzeiro; (5) em 1993, 
foi criado o cruzeiro real, cada um valendo mil 
cruzeiros; (6) em 1994, foi criado o real, cada um 
valendo 2.750 cruzeiros reais. Quando morreu, em 
1869, Brás Cubas possuía 300 contos. 
 
Se esse valor tivesse ficado até hoje em uma conta 
bancária, sem receber juros e sem pagar taxas, e se, a 
cada mudança de moeda, o depósito tivesse sido 
normalmente convertido para a nova moeda, o saldo 
hipotético dessa conta seria, aproximadamente, de 
um décimo de 
 
Dados: 
 
Um conto equivalia a um milhão de réis. 
Um bilhão é igual a 910 e um trilhão é igual a 1210 . 
 
a) real. 
b) milésimo de real. 
c) milionésimo de real. 
d) bilionésimo de real. 
e) trilionésimo de real. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA BÁSICA 
 
21. A tabela seguinte permite exprimir os valores de 
certas grandezas em relação a um valor determinado 
da mesma grandeza tomado como referência. Os 
múltiplos e submúltiplos decimais das unidades do 
Sistema Internacional de Unidades (SI) podem ser 
obtidos direta ou indiretamente dos valores 
apresentados e têm seus nomes formados pelo 
emprego dos prefixos indicados. 
 
NOME SÌMBOLO 
FATOR PELO QUAL A UNIDADE 
É MULTIPLICADA 
tera T 1210 1000 000 000 000= 
giga G 910 1000 000 000= 
mega M 610 1000 000= 
quilo K 310 1000= 
hecto h 210 100= 
deca da 10 10= 
deci d 110 0,1− = 
centi c 210 0,01− = 
mili m 310 0,001− = 
micro μ 610 0,000 001− = 
nano n 
910 0,000 000 001− = 
pico p 1210 0,000 000 000 001− = 
 
Por exemplo, se a unidade de referência fosse o 
ampère (A), teríamos: 
 
3
6
6
152 10
152 000 A 152 000 10 A A 0,152 A
10
μ −

=  = = 
 
Se o grama (g) for a unidade de referência e 
9(12 500 10 Gg) (0,0006 ng)
X ,
0,000 012 Tg
 
= então o valor de 
X, em gramas, é tal que: 
 
a) X 500 
b) 500 X 1000  
c) 1000 X 1500  
d) X 1500 
e) x = 2200 
 
22. Sejam x 1,333...,= y 0,25,= z 0,1,= t 0,1= − e 
1 2 1
3
(x y )z
h .
t
− −−
= 
 
O valor de h é 
 
a) 411 5 .−  
b) 53 2 .−  
c) 22 3 . 
d) 312 3 . 
e) 16 . 2³ 
 
23. Computadores utilizam, por padrão, dados em 
formato binário, em que cada dígito, denominado de 
bit, pode assumir dois valores (0 ou 1). Para 
representação de caracteres e outras informações, é 
necessário fazer uso de uma sequência de bits, o byte. 
No passado, um byte era composto de 6 bits em 
alguns computadores, mas atualmente tem-se a 
padronização que o byte é um octeto, ou seja, uma 
sequência de 8 bits. Esse padrão permite representar 
apenas 82 informações distintas. 
 
Se um novo padrão for proposto, de modo que um 
byte seja capaz de representar pelo menos 2.560 
informações distintas, o número de bits em um byte 
deve passar de 8 para 
 
a) 10. 
b) 12. 
c) 13. 
d) 18. 
e) 20. 
 
24. Se um ano-luz corresponde ą distância percorrida 
pela luz em um ano, qual é a ordem de grandeza, em 
metros, da distância percorrida pela luz em 2 anos, 
levando-se em consideração um ano tendo 365 dias e 
a velocidade da luz igual a 300.000 km s? 
 
a) 810 
b) 1010 
c) 1310 
d) 1510 
e) 1610 
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA BÁSICA 
25. Em matemática, potências são valores que 
representam uma multiplicação sucessiva de um 
número. Usando as propriedades de potenciação, 
qual dos números a seguir é o maior? 
 
a) 453 
b) 219 
c) 8243 
d) 1281 
e) 27³ 
 
26. Simplificando a expressão 
2
2 2
(x y) 4xy
,
x y
+ −
−
 com 
x y, obtém-se: 
 
a) 2 4 xy− 
b) 
x y
x y
−
+
 
c) 
2xy
x y+
 
d) 2xy− 
e) 
4xy
x y
−
−
 
 
27. Se 
2
2
2017 1
u ,
2016
−
= então é verdade que 
 
a) 1 u 2.  
b) u 1. 
c) 2 u 5.  
d) 5 u 10.  
e) u 10. 
 
28. Se x y 13+ = e x y 1, = então 2 2x y+ é 
 
a) 166. 
b) 167. 
c) 168. 
d) 169. 
e) 170. 
 
29. O valor da expressão 
2 2
31 1 27
5 5
−
   
+ + −   
   
 é 
a) 3 
b) 3− 
c) 
551
25
 
d) 
701
25
 
e) 18 
30. O valor de ( ) ( ) ( )
2 6 0 3 63 1 1,2 4− + − − − + é: 
 
a) 13 
b) 15 
c) 17 
d) 19 
e) 21 
 
31. Considere a expressão numérica 
2/3A = 0,001/1000+8 25.+ É correto afirmar que o 
valor de A é: 
 
a) 9 
b) 10 
c) 81,003 
d) 69 
e) 9,000001 
 
32. O valor da expressão 50 18 98− + é: 
 
a) 130. 
b) 5 2.− 
c) 9 2. 
d) 5 13. 
e) 15 2. 
 
33. Os planetas do sistema solar, do qual nosso 
planeta Terra faz parte, realizam órbitas em torno do 
sol, mantendo determinada distância, conforme 
mostra a figura a seguir. 
 
 
 
O valor, em metros, da distância da Terra ao Sol em 
potência é 
 
a) 1114,96 10− 
b) 101,496 10 
c) 1014,96 10− 
d) 111,496 10 
e) 1114,96 10 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA BÁSICA 
34. Sendo 
10 3 24 8 16
y ,
32
− − 
= a metade do valor de 
y vale 
 
a) 32− 
b) 42− 
c) 52− 
d) 62− 
e) 2³ 
 
35. A expressão 15(0,125) é equivalente a 
 
a) 455 . 
b) 455 .− 
c) 452 . 
d) 452 .− 
e) 45( 2) .− 
 
36. Por qual potência de 10 deve ser multiplicado o 
número 3 3 3 310 10 10 10− − − −   para que esse 
produto seja igual a 10 ? 
 
a) 910 . 
b) 1010 . 
c) 1110 . 
d) 1210 . 
e) 1310 . 
 
37. O valor da expressão numérica 
2 1
2 1
(1,25) 4 5
(0,999...) 2( 10)
− −
−
+ 
− −
 é igual a 
 
a) 
3
5
 
b) 
4
5
 
c) 
6
5
 
d) 
7
5
 
e) 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
38. Considere que: 
 
- a distância média da Terra à Lua é de cerca de 
400000 km; 
- distância média da Terra ao Sol é de cerca de 150 
milhões de quilômetros. 
 
Com base nessas informações, em relação à Terra, o 
Sol está N vezes mais longe do que a Lua. O valor de N 
é 
 
a) 450. 
b) 425. 
c) 400. 
d) 375. 
e) 350. 
 
39. O valor da expressão 
2 3
2
2 2
2
− −−
 é igual a 
 
a) 
5
4
1 2
.
2
−
 b) 32 .− c) 52 .−− d) 52 .− e) 
5
4
2 1
.
2
−
 
 
40. Sendo x e y dois números reais não nulos, a 
expressão 2 2 1(x y )− − −+ é equivalente a 
 
a) 
2 2
2 2
x y
.
x y+
 
b) 
2
xy
.
x y
 
 
+ 
 
c) 
2 2x y
.
2
+
 
d) ( )
2
x y .+ 
e) 2 2x y .+ 
 
GABARITO 
 
1 - D 6 - D 11 - D 16 - B 21 - B 26 - B 
2 - C 7 - B 12 - B 17 - C 22 - A 27 - A 
3 - A 8 - B 13 - C 18 - D 23 - B 28 - B 
4 - D 9 - C 14 - A 19 - C 24 - E 29 - C 
5 - B 10 - D 15 - C 20 - D 25 - D 30 - D 
31 - E 33 - D 35 - D 37 - C 39 - D 
32 - C 34 - A 36 - E 38 - D 40 - A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ARITMÉTICA 
01. Dona Lourdes trabalha em uma livraria, precisa 
guardar 200 livros em x caixas e vai utilizar todas 
elas. Se em 30 das x caixas ela guardar 4 livros em 
cada caixa e, nas demais, guardar 5 livros em cada 
caixa, então, sobrarão alguns livros para serem 
guardados. Entretanto, se em 20 das x caixas ela 
guardar 4 livros em cada caixa e 5 livros em cada 
uma das demais, então, não haverá livros suficientes 
para ocupar todas as caixas. 
 
Assim, a soma dos algarismos do número x é igual a 
 
a) 8 
b) 9 
c) 10 
d) 11 
e) 15 
 
02. Rodrigo, ex-aluno do CMRJ, cursa Psicologia na 
Universidade Federal do Rio de Janeiro. Em janeiro de 
2015, começou um estágio na sua área, recebendo a 
remuneração mensal de um salário mínimo. Pensando 
no futuro, resolveu fazer algumas economias e 
poupou um salário mínimo em 2015; dois salários 
mínimos em 2016; três salários mínimos em 2017 e 
um salário mínimo em 2018. 
 
TABELA DOS VALORES NOMINAIS DO SALÁRIO 
MÍNIMO 
VIGÊNCIA VALOR MENSAL 
De 01/01/2018 a 
31/12/2018 
R$ 954,00 
De 01/01/2017 a 
31/12/2017 
R$ 937,00 
De 01/01/2016 a 
31/12/2016 
R$ 880,00 
De 01/01/2015 a 
31/12/2015 
R$ 788,00 
 
Com base nos valores do salário mínimo de cada ano, 
apresentados na tabela acima, verifica-se que suas 
economias totalizarama) R$ 6.313,00 
b) R$ 6.297,00 
c) R$ 6.256,00 
d) R$ 6.221,00 
e) R$ 6.193,00 
 
 
 
 
03. Observe a tabela, a seguir, que mostra dados 
relativos aos estádios da Copa do Mundo de futebol 
da Rússia: 
 
Sedes Cidades 
Capacida
de 
Partida
s 
Arena de 
Ecaterimburgo 
Ecaterimburgo 33.061 4 
Arena Kazan Cazã 42.873 6 
Arena Rostov Rostov do Don 43.472 5 
Arena 
Volgogrado 
Volgogrado 43.713 4 
Estádio de 
Fisht 
Sóchi 44.287 6 
Estádio de 
Kaliningrado 
Caliningrado 33.973 4 
Estádio de 
Níjni 
Novgorod 
Níjni Novgorod 43.319 6 
Estádio de São 
Petersburgo 
São Petersburgo 64.468 6 
Estádio Lujniki Moscovo 78.011 6 
Estádio 
Spartak 
Moscovo 44.190 5 
Mordovia 
Arena 
Saransk 41.685 4 
Samara Arena Samara 41.970 6 
 
Na cidade de Moscovo (Moscou), os estádios 
apresentaram uma taxa de ocupação de 100% em 
todos os jogos, totalizando, em números absolutos, 
um público de 
 
a) 685.432 pessoas 
b) 687.146 pessoas 
c) 689.016 pessoas 
d) 691.426 pessoas 
e) 693.356 pessoas 
 
04. Maria adora séries de televisão e pretende assistir, 
durante um ano, a todos os episódios (de todas as 
temporadas e sem pular nenhum episódio) das suas 
três séries preferidas. Para isso, ela assistirá a três 
episódios por dia, sendo um de cada série. Sabe-se 
que cada temporada da série A tem 20 episódios, da 
série B tem 24 episódios e da série C tem 18 
episódios. Nenhuma das três séries tem mais que 365 
episódios ao todo. Ela decidiu que começará, hoje, a 
assistir ao 1º episódio da 1ª temporada de cada uma 
dessas três séries. Maria também sabe que haverá um 
certo dia X em que conseguirá, coincidentemente, 
assistir ao último episódio de alguma temporada das 
três séries. 
 
 
 
 
 
ARITMÉTICA 
Ao final do dia X, Maria já terá assistido, ao todo, 
 
a) 12 temporadas completas das três séries 
b) 15 temporadas completas da série A 
c) 18 temporadas completas da série B 
d) 20 temporadas completas da série C 
e) 22 temporadas completas da série B 
 
05. Após o Fórum Nacional Contra a Pirataria (FNCP) 
incluir a linha de autopeças em campanha veiculada 
contra a falsificação, as agências fiscalizadoras 
divulgaram que os cinco principais produtos de 
autopeças falsificados são: rolamento, pastilha de 
freio, caixa de direção, catalisador e amortecedor. 
Após uma grande apreensão, as peças falsas foram 
cadastradas utilizando-se a codificação: 
 
1: rolamento, 2: pastilha de freio, 3: caixa de 
direção, 4: catalisador e 5: amortecedor. 
 
Ao final obteve-se a sequência: 
5, 4, 3, 2,1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2,1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4,K
 que apresenta um padrão de formação que consiste 
na repetição de um bloco de números. Essa sequência 
descreve a ordem em que os produtos apreendidos 
foram cadastrados. 
 
O 2015º item cadastrado foi um(a) 
 
a) rolamento 
b) catalisador 
c) amortecedor 
d) pastilha de freio 
e) caixa de direção 
 
06. O transporte intermunicipal por ônibus é bastante 
comum na região de Limeira e há algumas empresas 
que disponibilizam o serviço para as mesmas rotas, 
mas em horários distintos. A empresa A possui 
ônibus de Limeira para Campinas a cada uma hora e 
vinte minutos (1h 20 min); já a empresa B faz esse 
mesmo itinerário de duas em duas horas (2 h). 
Sabendo-se que partem ônibus das duas empresas às 
6 h da manhã, quantas vezes, ao longo do dia, 
partirão, ao mesmo tempo, ônibus das empresas A e 
B juntos, considerando-se que as viagens se 
encerram às 23 horas? 
 
a) 5 vezes 
b) 4 vezes 
c) 7 vezes 
d) 6 vezes 
e) 8 vezes 
07. Maria e Paula são amigas de infância e, sempre 
que podem, saem para pedalar juntas em torno do 
Estádio do Maracanã. Um dia, empolgadas com a 
ideia de saberem mais sobre o desempenho da dupla, 
resolveram cronometrar o tempo que cada uma 
levava para dar uma volta completa em torno do 
estádio. Constataram que Maria dava uma volta 
completa em 6 minutos e 40 segundos, enquanto 
Paula demorava 8 minutos para fazer o mesmo 
percurso, ambas com velocidades constantes. 
 
 
 
Paula, então, questionou o seguinte: “Se sairmos 
juntas de um mesmo local, no mesmo momento, mas 
em sentidos contrários, em quanto tempo voltaremos 
a nos encontrar, pela primeira vez, no mesmo ponto 
de partida?” A resposta correta para a pergunta de 
Paula está presente na alternativa 
 
a) 48 minutos 
b) 40 minutos 
c) 32 minutos 
d) 26 minutos e 40 segundos 
e) 33 minutos e 20 segundos 
 
08. O Brasil e a Fome 
 
 
 
São mais de 3 milhões de brasileiros que convivem 
com a fome de alguma forma todos os dias. É por isso 
que existe tanta campanha de doação de alimentos, 
 
 
 
 
 
ARITMÉTICA 
para oferecer dignidade e um prato de comida para 
quem precisa. Para comemorar o sucesso da 
campanha de doação de alimentos, Maria resolve 
fazer bolinhos de coco para as amigas, revelando seu 
lado Master Chef. Em sua receita de 12 bolinhos, ela 
precisa de exatamente cem gramas de açúcar, 
cinquenta gramas de manteiga, meio litro de leite e 
quatrocentos gramas de farinha. 
 
Em seu armário de cozinha, há quinhentos gramas de 
açúcar, duzentos gramas de manteiga, quatro litros de 
leite e cinco quilogramas de farinha. Utilizando 
somente os ingredientes que ela possui, a maior 
quantidade desses bolinhos que pode ser feita é igual 
a 
 
a) 48 b) 60 c) 96 d) 120 e) 150 
 
09. Pedro, aluno do 3º ano do ensino médio do 
Colégio Militar de Fortaleza, perguntou à sua avó 
Norma qual era a idade dela. Vovó Norma respondeu: 
“Eu tenho três filhos e a diferença de idade entre cada 
um deles e o seguinte é de quatro anos. Tive minha 
primeira filha (sua mãe, Adriana) com 21 anos. Hoje 
meu filho mais novo (seu tio, Octávio) tem 42 anos.” 
 
A idade da avó de Pedro é 
 
a) 58 anos b) 62 anos c) 71 anos 
d) 73 anos e) 75 anos 
 
10. “Inúmeras são as vantagens do piso laminado: 
resistência, beleza, praticidade e ótima relação custo x 
benefício são algumas delas. Os pisos laminados são 
grandes aliados também para quem sofre de alergia a 
pó, uma vez que não acumulam sujeira e são 
hipoalergênicos. A peça, constituída de lâminas, pode 
ser encontrada com ou sem texturas e opções com e 
sem vinco. E não se preocupe na hora da instalação: 
sua aplicação é rápida e simples e, além disso, esse 
tipo de piso pode ser instalado sobre um já existente.” 
 
 
 
Um casal resolve reformar sua sala escolhe o piso 
laminado, devido às vantagens descritas no anúncio 
acima e ao fato de o modelo estar em promoção, 
conforme a imagem ao lado. Tal modelo vem em 
caixas que contêm 22,2 m de piso e a sala que 
desejam revestir possui 225 m . Qual será o gasto com 
a instalação do piso, sabendo que são vendidas 
apenas caixas fechadas e que a colocação custa 
R$ 300,00? 
 
a) R$ 1.622,50 
b) R$ 1.643,46 
c) R$ 1.662,55 
d) R$ 1.681,30 
e) R$ 1.696,56 
 
11. Na malha quadriculada abaixo vemos um 
retângulo (Figura 1) que foi recortado em 4 partes 
(Figura 2) e remontado com três das suas 4 partes 
(Figura 3). O quadrado, que corresponde a uma 
unidade de área dessa malha quadriculada, foi 
descartado. 
 
 
 
Se repartirmos o novo retângulo (Figura 3) e 
repetirmos o processo, obteremos um novo retângulo 
e assim sucessivamente. Quantas vezes devemos 
repetir o processo descrito, para que tenhamos um 
retângulo de área igual a 
1
3
 da área do retângulo da 
Figura 1? 
 
a) 36 vezes 
b) 30 vezes 
c) 24 vezes 
d) 18 vezes 
e) 12 vezes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ARITMÉTICA 
12. No atual sistema monetário brasileiro há moedas 
de seis valores diferentes, representadas na figura a 
seguir. 
 
 
 
No Colégio Militar do Rio de Janeiro, um aluno do 7º 
ano juntou 72 moedas para comprar pacotes de 
figurinhas. Um oitavo do total dessas moedas é de 
R$ 1,00 (um real); um sexto da quantidade