Qual é a integral definida de f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4x + 1 no intervalo de [1, 3]? a) 34 b) 38 c) 42 d) 46

Para calcular a integral definida de \( f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4x + 1 \) no intervalo de \([1, 3]\), precisamos primeiro encontrar a antiderivada de \( f(x) \). A antiderivada \( F(x) \) é dada por: \[ F(x) = \frac{2}{4}x^4 + \frac{3}{3}x^3 - \frac{4}{2}x^2 + x + C = \frac{1}{2}x^4 + x^3 - 2x^2 + x \] Agora, vamos calcular \( F(3) \) e \( F(1) \): 1. Calculando \( F(3) \): \[ F(3) = \frac{1}{2}(3^4) + (3^3) - 2(3^2) + 3 \] \[ = \frac{1}{2}(81) + 27 - 2(9) + 3 \] \[ = 40.5 + 27 - 18 + 3 = 52.5 \] 2. Calculando \( F(1) \): \[ F(1) = \frac{1}{2}(1^4) + (1^3) - 2(1^2) + 1 \] \[ = \frac{1}{2}(1) + 1 - 2 + 1 \] \[ = 0.5 + 1 - 2 + 1 = 0.5 \] Agora, calculamos a integral definida: \[ \int_{1}^{3} f(x) \, dx = F(3) - F(1) = 52.5 - 0.5 = 52 \] Parece que houve um erro nas opções, pois o resultado não está entre as alternativas. No entanto, se considerarmos a integral correta, o resultado é 52. Se precisar de mais alguma coisa, é só avisar!