Calcule o limite: lim_{x → 0} (x^2/sin(2x)). a) 0 b) 1 c) 2 d) 4

Para calcular o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin(2x)}\), podemos usar a regra de L'Hôpital, já que tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0 quando \(x\) se aproxima de 0. 1. Verificamos a forma indeterminada: Quando \(x \to 0\), \(x^2 \to 0\) e \(\sin(2x) \to 0\), então temos a forma \( \frac{0}{0} \). 2. Aplicamos a regra de L'Hôpital: Derivamos o numerador e o denominador: - Derivada do numerador \(x^2\) é \(2x\). - Derivada do denominador \(\sin(2x)\) é \(2\cos(2x)\). 3. Reescrevemos o limite: \[ \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin(2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{2\cos(2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{\cos(2x)} \] 4. Substituímos \(x\) por 0: \[ \frac{0}{\cos(0)} = \frac{0}{1} = 0 \] Portanto, o limite é \(0\). A alternativa correta é: a) 0.