Encontre a integral ∫_0^1 (x^3 + 2x^2 + 1) dx. A) 5/4 B) 7/4 C) 1 D) 2

Para resolver a integral \(\int_0^1 (x^3 + 2x^2 + 1) \, dx\), vamos calcular a integral de cada termo separadamente. 1. Integral de \(x^3\): \[ \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} \] 2. Integral de \(2x^2\): \[ \int 2x^2 \, dx = \frac{2x^3}{3} \] 3. Integral de \(1\): \[ \int 1 \, dx = x \] Agora, somamos as integrais: \[ \int (x^3 + 2x^2 + 1) \, dx = \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + x \] Agora, precisamos avaliar essa expressão de \(0\) a \(1\): \[ \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + x \right]_0^1 \] Substituindo \(x = 1\): \[ \frac{1^4}{4} + \frac{2 \cdot 1^3}{3} + 1 = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} + 1 \] Para somar, precisamos de um denominador comum, que é \(12\): \[ \frac{1}{4} = \frac{3}{12}, \quad \frac{2}{3} = \frac{8}{12}, \quad 1 = \frac{12}{12} \] Agora somando: \[ \frac{3}{12} + \frac{8}{12} + \frac{12}{12} = \frac{3 + 8 + 12}{12} = \frac{23}{12} \] Agora, substituindo \(x = 0\): \[ \frac{0^4}{4} + \frac{2 \cdot 0^3}{3} + 0 = 0 \] Portanto, a integral de \(0\) a \(1\) é: \[ \frac{23}{12} - 0 = \frac{23}{12} \] Como essa resposta não está entre as opções, vamos verificar se houve algum erro. Na verdade, ao revisar as opções, parece que a integral foi mal interpretada. Vamos reavaliar a soma dos termos: \[ \frac{1}{4} + \frac{2}{3} + 1 = \frac{3}{12} + \frac{8}{12} + \frac{12}{12} = \frac{23}{12} \] Parece que a resposta correta não está entre as opções dadas. Por favor, verifique se a integral ou as opções estão corretas.