Determine o valor de ∫_1^2 (x^3 + 2x^2 + 1) dx. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5

Para resolver a integral definida \(\int_1^2 (x^3 + 2x^2 + 1) \, dx\), vamos calcular a integral passo a passo. 1. Encontrar a antiderivada: - A antiderivada de \(x^3\) é \(\frac{x^4}{4}\). - A antiderivada de \(2x^2\) é \(\frac{2x^3}{3}\). - A antiderivada de \(1\) é \(x\). Portanto, a antiderivada de \(x^3 + 2x^2 + 1\) é: \[ F(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + x \] 2. Calcular \(F(2)\) e \(F(1)\): - \(F(2) = \frac{2^4}{4} + \frac{2 \cdot 2^3}{3} + 2 = \frac{16}{4} + \frac{16}{3} + 2 = 4 + \frac{16}{3} + 2 = 6 + \frac{16}{3} = \frac{18}{3} + \frac{16}{3} = \frac{34}{3}\) - \(F(1) = \frac{1^4}{4} + \frac{2 \cdot 1^3}{3} + 1 = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{4} + \frac{8}{12} + \frac{12}{12} = \frac{1}{4} + \frac{20}{12} = \frac{1}{4} + \frac{5}{3} = \frac{3}{12} + \frac{20}{12} = \frac{23}{12}\) 3. Calcular a integral definida: \[ \int_1^2 (x^3 + 2x^2 + 1) \, dx = F(2) - F(1) = \frac{34}{3} - \frac{23}{12} \] Para subtrair, precisamos de um denominador comum. O mínimo múltiplo comum de 3 e 12 é 12: \[ \frac{34}{3} = \frac{136}{12} \] Portanto: \[ \frac{136}{12} - \frac{23}{12} = \frac{113}{12} \] Agora, vamos verificar as alternativas: A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 Nenhuma das alternativas corresponde ao resultado \(\frac{113}{12}\), que é aproximadamente 9,42. Parece que houve um erro nas opções ou na formulação da pergunta. Você pode verificar se as opções estão corretas ou se a integral foi formulada corretamente.