Determine o valor da integral fs 2et dx dy, com S = {(x, y) € R2 0 ≤ x ≤ y ≤ 1e0 ≤y≤x}

Para determinar o valor da integral dupla \( \iint_S 2e^t \, dx \, dy \) sobre a região \( S = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid 0 \leq x \leq y \leq 1, 0 \leq y \leq x\} \), primeiro precisamos entender a região de integração. A região \( S \) é definida por \( 0 \leq x \leq y \leq 1 \) e \( 0 \leq y \leq x \). No entanto, essa descrição parece contraditória, pois não é possível que \( x \) seja simultaneamente menor ou igual a \( y \) e maior ou igual a \( y \). Se a região for realmente \( 0 \leq x \leq y \leq 1 \), a integral deve ser reavaliada. Assumindo que a região correta é \( 0 \leq x \leq 1 \) e \( x \leq y \leq 1 \), a integral se torna: \[ \int_0^1 \int_x^1 2e^{x+y} \, dy \, dx \] Agora, resolvemos a integral: 1. **Integral interna** (em relação a \( y \)): \[ \int_x^1 2e^{x+y} \, dy = 2e^x \left[ e^y \right]_x^1 = 2e^x (e^1 - e^x) = 2e^x (e - e^x) \] 2. **Integral externa** (em relação a \( x \)): \[ \int_0^1 2e^x (e - e^x) \, dx = 2e \int_0^1 e^x \, dx - 2 \int_0^1 e^{2x} \, dx \] Calculando as integrais: - \( \int_0^1 e^x \, dx = [e^x]_0^1 = e - 1 \) - \( \int_0^1 e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} [e^{2x}]_0^1 = \frac{1}{2} (e^2 - 1) \) 3. **Substituindo**: \[ 2e \cdot (e - 1) - 2 \cdot \frac{1}{2} (e^2 - 1) = 2e^2 - 2e - (e^2 - 1) = e^2 - 2e + 1 \] Portanto, o valor da integral é: \[ e^2 - 2e + 1 \] Se precisar de mais detalhes ou de outra parte do cálculo, é só avisar!