Para verificar se existe um ponto C no gráfico de f, entre A e B, tal que a reta tangente ao gráfico em C seja paralela ao segmento AB, podemos utilizar o Teorema do Valor Médio para Derivadas. Primeiramente, precisamos encontrar a derivada da função f. Como f(x) é definida por partes, precisamos calcular a derivada em cada intervalo. Temos: - Para x < 2: f'(x) = 2x - Para x > 2: f'(x) = 2x Note que a derivada é contínua em x = 2, pois os limites laterais são iguais a 4. Portanto, f é diferenciável em todo o seu domínio. Agora, podemos aplicar o Teorema do Valor Médio para Derivadas. Este teorema afirma que, se f é diferenciável em um intervalo aberto (a, b), então existe um número c pertencente a (a, b) tal que: f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a) No nosso caso, queremos que a reta tangente ao gráfico em C seja paralela ao segmento AB. Isso significa que a inclinação da reta tangente deve ser igual à inclinação do segmento AB. A inclinação do segmento AB é: m = (f(3) - f(0))/(3 - 0) = (9 - 0)/3 = 3 Portanto, precisamos encontrar um ponto C no gráfico de f, entre A e B, tal que f'(C) = 3. Vamos calcular f'(x) em cada intervalo: - Para x < 2: f'(x) = 2x. Como 2 < 3, a reta tangente ao gráfico em qualquer ponto do intervalo (0, 2) terá inclinação menor que 3. Portanto, não existe ponto C neste intervalo que satisfaça a condição. - Para x > 2: f'(x) = 2x. Como 2 < 3, a reta tangente ao gráfico em qualquer ponto do intervalo (2, 3) terá inclinação maior que 3. Portanto, não existe ponto C neste intervalo que satisfaça a condição. Concluímos que não existe ponto C no gráfico de f, entre A e B, tal que a reta tangente ao gráfico em C seja paralela ao segmento AB.