Grátis: 4. Clacule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares a) ∫∫ D x2dA, onde D é a metade superior do disco com centro na origem e raio 5 b) ...

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4. Clacule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares

a) ∫∫ D x2dA, onde D é a metade superior do disco com centro na origem e raio 5
b) ∫∫ R (2x− y)dA, onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x2+ y2 = 4 e as retas x = 0 e y = x
c) ∫∫ R sen (x2 + y2)dA, onde R é a região do primeiro quadrante entre os círculos com centro na origem e raios 1 e 3
d) ∫∫ R y2 x2 + y2 dA, onde R é a região que fica entre os círculos x2 + y2 = a2 e x2 + y2 = b2 com 0 < a < b
e) ∫∫ D e−x2−y2 dA, onde D é a região limitada pelo semicírculo x = √ 4− y2 e o eixo y

Praticando Para o Saber

há 2 anos

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C2 Lista de Monitoria 9 - 2022_4

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a) Para calcular a integral em coordenadas polares, precisamos encontrar os limites de integração em r e θ. Como D é a metade superior do disco com centro na origem e raio 5, temos que 0 ≤ r ≤ 5 e 0 ≤ θ ≤ π. Então, temos: ∫∫ D x^2 dA = ∫₀^π ∫₀^5 (r^2 cos^2 θ) r dr dθ Resolvendo a integral, temos: ∫∫ D x^2 dA = (1/3) π (5^5) Portanto, a alternativa correta é a letra A.

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2. Determine o volume do sólido dado.
a) Abaixo do plano x− 2y + z = 1 e acima da região limitada por x+ y = 1 e x2 + y = 1
b) Abaixo da superfície z = 2x+ y2 e acima da região limitada por x = y2 e x = y3
c) Abaixo da superfície z = xy e acima do triângulo e vértices (1, 1), (4, 1) e (1, 2)
d) Limitado pelo paraboloide z = x2 + 3y2 e pelos planos x = 0, y = 1, y = x, z = 0
e) Limitado pelos planos coordenados e pelo plano 3x+ 2y + z = 6
f) Limitado pelos planos z = x, y = x, x+ y = 2 e z = 0
g) Limitado pelos cilindros z = x2, y = x2 e pelos planos z = 0, y = 4

3. Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
a) ∫ 1 0 ∫ y 0 f(x, y))dydx.
b) ∫ 2 0 ∫ 4 x2 f(x, y))dydx.
c) ∫ 2 −2 ∫ √ 4−2 0 f(x, y))dxdy.
d) ∫ 2 1 ∫ lnx 0 f(x, y))dydx.

4. Clacule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares
a) ∫∫ D x2dA, onde D é a metade superior do disco com centro na origem e raio 5
b) ∫∫ R (2x− y)dA, onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x2+ y2 = 4 e as retas x = 0 e y = x
c) ∫∫ R sen (x2 + y2)dA, onde R é a região do primeiro quadrante entre os círculos com centro na origem e raios 1 e 3
d) ∫∫ R y2 x2 + y2 dA, onde R é a região que fica entre os círculos x2 + y2 = a2 e x2 + y2 = b2 com 0 < a < b
e) ∫∫ D e−x2−y2 dA, onde D é a região limitada pelo semicírculo x = √ 4− y2 e o eixo y

7. Calcule as integrais triplas sobre os paralelepípedos.
a) ∫∫∫ B (x2 + y + 3z)dV , onde B = {(x, y, z) ∈ R3; 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2, −1 ≤ z ≤ 1}
b) ∫∫∫ B sen(x+2y+3z)dV , onde B = {(x, y, z) ∈ R3; 1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 3, −1 ≤ z ≤ 2}
c) ∫∫∫ B (x+ cos(y) + ez)dV , onde B = {(x, y, z) ∈ R3; 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ π, 1 ≤ z ≤ 2}
d) ∫∫∫ B x y + z dV , onde B = {(x, y, z) ∈ R3; 1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 3, 2 ≤ z ≤ 3}

8. Calcule as integrais triplas.
a) ∫∫∫ B 2xdV , onde B = {(x, y, z) ∈ R3; 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤ √ 4− y2, 0 ≤ z ≤ y}
b) ∫∫∫ B ez/ydV , onde B = {(x, y, z) ∈ R3; 0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 1, 0 ≤ z ≤ xy}
c) ∫∫∫ B z x2 + z2 dV , onde B = {(x, y, z) ∈ R3; 1 ≤ y ≤ 4, y ≤ z ≤ 4, 0 ≤ x ≤ z}
d) ∫∫∫ B x2 sen(y)dV , onde B = {(x, y, z) ∈ R3; 0 ≤ x ≤ √ π, 0 ≤ z ≤ x, 0 ≤ y ≤ xz}

5. Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais:

a) ∫∫ B (x+y)2dA, onde R é a região anelar localizada entre os círculos x2+y2 = 1 e x2+y2 = 8
b) calcule o volume do sólido sob o gráfico da função z = √ 9− x2 − y2 e sobre a região x2 + y2 ≤ 7
c) calcule o volume do sólido acima do parabolóide z = x2+y2 e abaixo da esfera x2+y2+z2 = 2.

6. Calcule o volume do sólido constituído pelos pontos (x, y, z) que estão

a) Abaixo do parablóide z = x2 + y2 e acima do disco x2 + y2 ≤ 9
b) Acima do cone z = √ x2 + y2 e abaixo da esfera x2 + y2 + z2 = 4.

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3. Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.a) ∫ 1 0 ∫ y 0 f(x, y))dydx.b) ∫ 2 0 ∫ 4 x2 f(x, y))dydx.c) ∫ 2 −2 ∫ √ 4−2 0 f(x, y))dxdy.d) ∫ 2 1 ∫ lnx 0 f(x, y))dydx.

6. Calcule o volume do sólido constituído pelos pontos (x, y, z) que estãoa) Abaixo do parablóide z = x2 + y2 e acima do disco x2 + y2 ≤ 9b) Acima do cone z = √ x2 + y2 e abaixo da esfera x2 + y2 + z2 = 4.

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3. Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
a) ∫ 1 0 ∫ y 0 f(x, y))dydx.
b) ∫ 2 0 ∫ 4 x2 f(x, y))dydx.
c) ∫ 2 −2 ∫ √ 4−2 0 f(x, y))dxdy.
d) ∫ 2 1 ∫ lnx 0 f(x, y))dydx.

6. Calcule o volume do sólido constituído pelos pontos (x, y, z) que estão

a) Abaixo do parablóide z = x2 + y2 e acima do disco x2 + y2 ≤ 9
b) Acima do cone z = √ x2 + y2 e abaixo da esfera x2 + y2 + z2 = 4.