4. Clacule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares
a) ∫∫ D x2dA, onde D é a metade superior do disco com centro na origem e raio 5
b) ∫∫ R (2x− y)dA, onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x2+ y2 = 4 e as retas x = 0 e y = x
c) ∫∫ R sen (x2 + y2)dA, onde R é a região do primeiro quadrante entre os círculos com centro na origem e raios 1 e 3
d) ∫∫ R y2 x2 + y2 dA, onde R é a região que fica entre os círculos x2 + y2 = a2 e x2 + y2 = b2 com 0 < a < b
e) ∫∫ D e−x2−y2 dA, onde D é a região limitada pelo semicírculo x = √ 4− y2 e o eixo y

Question

4. Clacule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares
a) ∫∫ D x2dA, onde D é a metade superior do disco com centro na origem e raio 5
b) ∫...

Ed · Answer

Para resolver a integral dada em coordenadas polares, vamos focar na alternativa (a) que é a que você mencionou.

A integral a ser calculada é:

$$
\int\int_D x^2 \, dA
$$

onde $D$ é a metade superior do disco com centro na origem e raio 5. Em coordenadas polares, temos:

- $x = r \cos(\theta)$
- $y = r \sin(\theta)$
- $dA = r \, dr \, d\theta$

A região $D$ em coordenadas polares será:

- $0 \leq r \leq 5$
- $0 \leq \theta \leq \pi$ (metade superior do disco)

Substituindo $x$ na integral, temos:

$$
x^2 = (r \cos(\theta))^2 = r^2 \cos^2(\theta)
$$

Portanto, a integral se torna:

$$
\int_0^\pi \int_0^5 r^2 \cos^2(\theta) \cdot r \, dr \, d\theta = \int_0^\pi \cos^2(\theta) \, d\theta \int_0^5 r^3 \, dr
$$

Calculando a integral em $r$:

$$
\int_0^5 r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^5 = \frac{5^4}{4} = \frac{625}{4}
$$

Agora, calculando a integral em $\theta$:

$$
\int_0^\pi \cos^2(\theta) \, d\theta = \frac{\pi}{2} \quad (\text{usando a identidade } \cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2})
$$

Finalmente, multiplicando os resultados:

$$
\int\int_D x^2 \, dA = \frac{625}{4} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{625\pi}{8}
$$

Portanto, a resposta para a alternativa (a) é:

$$
\frac{625\pi}{8}
$$

Ed · Answer

a) Para calcular a integral em coordenadas polares, precisamos encontrar os limites de integração em r e θ. Como D é a metade superior do disco com centro na origem e raio 5, temos que r varia de 0 a 5 e θ varia de 0 a π. Então, temos:

∫∫ D x^2 dA = ∫0^π ∫0^5 (r^2 cos^2 θ) r dr dθ
= ∫0^π cos^2 θ dθ ∫0^5 r^3 dr
= (5^4)/4 ∫0^π (cos^2 θ) dθ
= (5^4)/4 ∫0^π (1 + cos(2θ))/2 dθ
= (5^4)/4 [θ/2 + (sen(2θ))/4] de 0 a π
= (5^4)/8 (π + 1)

Portanto, a resposta é (5^4)/8 (π + 1).

b) Para calcular a integral em coordenadas polares, precisamos encontrar os limites de integração em r e θ. Como R é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x^2 + y^2 = 4 e as retas x = 0 e y = x, temos que r varia de 0 a 2 e θ varia de 0 a π/4. Então, temos:

∫∫ R (2x - y) dA = ∫0^(π/4) ∫0^2 [(2r cos θ - r sen θ) r] r dr dθ
= ∫0^(π/4) cos θ sen θ dθ ∫0^2 (2r^3 - r^2 sen θ) dr
= (2^4)/4 ∫0^(π/4) cos θ sen θ dθ - (2^4)/3 ∫0^(π/4) sen θ dθ
= 2 - (2^4)/3

Portanto, a resposta é 2 - (2^4)/3.

c) Para calcular a integral em coordenadas polares, precisamos encontrar os limites de integração em r e θ. Como R é a região do primeiro quadrante entre os círculos com centro na origem e raios 1 e 3, temos que r varia de 1 a 3 e θ varia de 0 a π/2. Então, temos:

∫∫ R sen (x^2 + y^2) dA = ∫0^(π/2) ∫1^3 (r sen r^2) r dr dθ
= ∫0^(π/2) sen θ dθ ∫1^3 r^2 dr
= (3^3 - 1^3)/3 ∫0^(π/2) sen θ dθ
= 2 (1 - cos(9))

Portanto, a resposta é 2 (1 - cos(9)).

d) Para calcular a integral em coordenadas polares, precisamos encontrar os limites de integração em r e θ. Como R é a região que fica entre os círculos x^2 + y^2 = a^2 e x^2 + y^2 = b^2 com 0

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3. Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
a) ∫ 1 0 ∫ y 0 f(x, y))dydx.
b) ∫ 2 0 ∫ 4 x2 f(x, y))dydx.
c) ∫ 2 −2 ∫ √ 4−2 0 f(x, y))dxdy.
d) ∫ 2 1 ∫ lnx 0 f(x, y))dydx.

6. Calcule o volume do sólido constituído pelos pontos (x, y, z) que estão

a) Abaixo do parablóide z = x2 + y2 e acima do disco x2 + y2 ≤ 9
b) Acima do cone z = √ x2 + y2 e abaixo da esfera x2 + y2 + z2 = 4.

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3. Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.a) ∫ 1 0 ∫ y 0 f(x, y))dydx.b) ∫ 2 0 ∫ 4 x2 f(x, y))dydx.c) ∫ 2 −2 ∫ √ 4−2 0 f(x, y))dxdy.d) ∫ 2 1 ∫ lnx 0 f(x, y))dydx.

6. Calcule o volume do sólido constituído pelos pontos (x, y, z) que estãoa) Abaixo do parablóide z = x2 + y2 e acima do disco x2 + y2 ≤ 9b) Acima do cone z = √ x2 + y2 e abaixo da esfera x2 + y2 + z2 = 4.

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3. Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
a) ∫ 1 0 ∫ y 0 f(x, y))dydx.
b) ∫ 2 0 ∫ 4 x2 f(x, y))dydx.
c) ∫ 2 −2 ∫ √ 4−2 0 f(x, y))dxdy.
d) ∫ 2 1 ∫ lnx 0 f(x, y))dydx.

6. Calcule o volume do sólido constituído pelos pontos (x, y, z) que estão

a) Abaixo do parablóide z = x2 + y2 e acima do disco x2 + y2 ≤ 9
b) Acima do cone z = √ x2 + y2 e abaixo da esfera x2 + y2 + z2 = 4.