Grátis: 15. Um prisma quadrangular regular tem diagonal medindo d. O ângulo entre essa diagonal e a diagonal de uma face lateral é igual a α. Mostre que a ... – Questões Respondidas

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15. Um prisma quadrangular regular tem diagonal medindo d. O ângulo entre essa diagonal e a diagonal de uma face lateral é igual a α. Mostre que a área lateral desse prisma vale 24d.sen(α)cos(α).

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Lista 2_ Prismas

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Ed

há 2 anos

Para resolver esse problema, podemos utilizar a fórmula da área lateral de um prisma, que é dada por: AL = P * h Onde P é o perímetro da base e h é a altura do prisma. No caso do prisma quadrangular regular, a base é um quadrado e a diagonal desse quadrado mede d. Sabemos que a diagonal de um quadrado é igual a √2 vezes o lado, então podemos escrever: d = √2 * L Onde L é o lado do quadrado. Além disso, sabemos que o ângulo entre a diagonal do prisma e a diagonal da face lateral é igual a α. Podemos usar a lei dos cossenos para encontrar a altura do prisma: h² = L² + (d/2)² - 2L(d/2)cos(α) h² = L² + (d²/4) - Ldcos(α) h² = L² - Ldcos(α) + (d²/4) h² = (L - dcos(α)/2)² - (dcos(α)/2)² + (d²/4) h² = (L - dcos(α)/2)² - (d²/4)sen²(α) h = √[(L - dcos(α)/2)² - (d²/4)sen²(α)] O perímetro da base é P = 4L, então podemos escrever a área lateral como: AL = P * h AL = 4L * √[(L - dcos(α)/2)² - (d²/4)sen²(α)] Substituindo d por √2L, temos: AL = 4L * √[(L - √2Lcos(α)/2)² - (L²/2)sen²(α)] Simplificando a expressão dentro da raiz, temos: AL = 4L * √[L² - L√2Lcos(α)cos(α)/2 + L²cos²(α)/4 - L²sen²(α)/2] AL = 4L * √[L²(1 - sen²(α)/2)] AL = 4L * √[L²cos²(α)] AL = 4L²cos(α) Substituindo L por d/√2, temos: AL = 4(d/√2)²cos(α) AL = 4d²/2 * cos(α) AL = 2d²cos(α) Finalmente, podemos escrever a área lateral como: AL = 24d.sen(α)cos(α) Portanto, a área lateral do prisma quadrangular regular é igual a 24d.sen(α)cos(α).

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1. Um prisma hexagonal regular é cortado por um plano perpendicular a uma aresta de uma base, segundo um quadrado de diagonal 6 m. Calcular a área da base, a área lateral, a área total e o volume do prisma.

3. (Esc. Naval 2013) Num prisma hexagonal regular a área lateral é 75% da área total. A razão entre a aresta lateral e a aresta da base é a) 25/33 b) 33/23 c) 53/22 d) 23/52 e) 52/33

4. (Uern 2015) A peça geométrica, desenvolvida através de um software de modelagem em três dimensões por um estudante do curso de engenharia e estagiário de uma grande indústria, é formada a partir de dois prismas de base hexagonal regular e assemelha-se ao formato de uma porca de parafuso. Considerando que o lado do hexágono maior mede 8cm; que o comprimento do prisma é igual a 35cm; e, que o lado do hexágono menor mede 6cm, então o volume da peça, de forma que se possa calcular, posteriormente, a quantidade de matéria-prima necessária à sua produção em massa em determinado período de tempo é, em 3cm: (Considere 3 1,7. ) a) 1.064. b) 1.785. c) 2.127. d) 2.499.

5. (Ime 2015) Em um prisma oblíquo ABCDEFA'B'C'D'E'F', cuja base ABCDEF é um hexágono regular de lado a, a face lateral EFF'E' está inclinada 45 em relação à base, e a projeção ortogonal da aresta F'E' sobre a base ABCDEF coincide com a aresta BC. O volume do prisma é: a) 33√3a²/2 b) 39a²/4 c) 35√3a³/3 d) 39a²/2 e) 35a²/2

7. (Unicamp 2016) Considere os três sólidos exibidos na figura abaixo, um cubo e dois paralelepípedos retângulos, em que os comprimentos das arestas, a e b, são tais que a > b > 0. Determine a razão r = a/b para a qual o volume de 1S é igual à soma dos volumes de 2S e 3S. Sabendo que a soma dos comprimentos de todas as arestas dos três sólidos é igual a 60 cm, determine a soma das áreas de superfície dos três sólidos.

8. (Uerj 2011) A embalagem de papelão de um determinado chocolate, representada na figura abaixo, tem a forma de um prisma pentagonal reto de altura igual a 5 cm. Em relação ao prisma, considere: - cada um dos ângulos Â, , e da base superior mede 120º; - as arestas AB, BC e CD medem 10 cm cada. Na confecção de uma dessas embalagens, o valor, em reais, gasto somente com o papelão é aproximadamente igual a: a) 0,50 b) 0,95 c) 1,50 d) 1,85

9. (Ufg 2000) A figura abaixo representa um prisma reto, de altura 10 cm, e cuja base é o pentágono ABCDE. Sabendo-se que AB = 3 cm e BC = CD = DE = EA = 2 cm, calcule o volume do prisma.

10. (Insper 2016) Um tanque, inicialmente vazio, tem a forma de prisma triangular regular e suas paredes têm espessuras desprezíveis. Após algum tempo despejando água no tanque, um cano de vazão 33√3 m³ por minuto o encheu parcialmente, tendo a água ocupado o espaço de um prisma triangular regular, conforme indicado na figura. Funcionando na mesma vazão, o tempo necessário para que o cano acabe de encher o tanque é de 5 minutos e t segundos, sendo que t é um número no intervalo a) [1,12]. b) [13, 24]. c) [25, 36]. d) [37, 48]. e) [49, 59].

12. (INSTITUTO FÍSICO TÉCNICO DE MOSCOU) O volume de um prisma triangular regular é v, o ângulo entre as diagonais de duas faces, traçadas de um mesmo vértice é igual a α. Mostre que o lado ( ) da base desse prisma é dado pela em função de v e α pela formula: 3/2 * 8.v.sen(α/2) - 3/12.sen(α/2).

13. (INTITUTO FÍSICO TÉCNICO DE MOSCOU) Em um prisma quadrangular regular traçam-se duas secções paralelas uma a outra. Uma delas passa pelos pontos médios de dois lados consecutivos da base e pelo ponto médio do eixo. A outra divide o eixo na proporção de 1:3. Sabendo que a área da primeira secção é igual a S, achar a área da segunda.