1. Um prisma hexagonal regular é cortado por um plano perpendicular a uma aresta de uma base, segundo um quadrado de diagonal 6 m. Calcular a área da base, a área lateral, a área total e o volume do prisma.

Question

1. Um prisma hexagonal regular é cortado por um plano perpendicular a uma aresta de uma base, segundo um quadrado de diagonal 6 m. Calcular a área ...

Ed · Answer

Para resolver essa questão sobre o prisma hexagonal regular, vamos passo a passo:

1. **Área da base**:
   - A base do prisma é um hexágono regular. A fórmula para a área $A$ de um hexágono regular é:
     $$
     A = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot a^2
     $$
     onde $a$ é o comprimento do lado do hexágono. Para encontrar $a$, precisamos relacionar a diagonal do quadrado cortado pelo plano.

- A diagonal do quadrado é $d = 6$ m. A relação entre a diagonal $d$ e o lado $a$ do hexágono é:
     $$
     d = a \cdot \sqrt{2}
     $$
     Portanto, $a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$ m.

- Agora, substituindo na fórmula da área:
     $$
     A = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (3\sqrt{2})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 18 = 27\sqrt{3} \text{ m}^2.
     $$

2. **Área lateral**:
   - A área lateral $A_L$ de um prisma é dada por:
     $$
     A_L = P \cdot h
     $$
     onde $P$ é o perímetro da base e $h$ é a altura do prisma. O perímetro $P$ do hexágono é:
     $$
     P = 6a = 6 \cdot 3\sqrt{2} = 18\sqrt{2} \text{ m}.
     $$
   - Para calcular a área lateral, precisamos da altura $h$. Se não for dada, não podemos prosseguir.

3. **Área total**:
   - A área total $A_T$ é a soma da área lateral e das áreas das duas bases:
     $$
     A_T = A_L + 2A.
     $$

4. **Volume**:
   - O volume $V$ do prisma é dado por:
     $$
     V = A \cdot h.
     $$

Para calcular a área lateral, a área total e o volume, precisamos da altura $h$ do prisma. Se você tiver essa informação, podemos continuar com os cálculos!

Ed · Answer

Para resolver esse problema, precisamos utilizar algumas fórmulas da geometria espacial.

A área da base de um prisma hexagonal regular é dada por:

A_base = 3 * l² * √3 / 2

Onde "l" é a medida do lado do hexágono.

Como o prisma foi cortado por um plano perpendicular a uma aresta de uma base, o hexágono foi dividido em dois triângulos retângulos congruentes. Sabemos que a diagonal do quadrado que foi formado tem medida 6 m, então podemos calcular a medida do lado do hexágono:

l = 6 / √2

l ≈ 4,24 m

Substituindo na fórmula da área da base, temos:

A_base = 3 * (4,24)² * √3 / 2

A_base ≈ 83,13 m²

A área lateral de um prisma é dada por:

A_lateral = P_base * h

Onde "P_base" é o perímetro da base e "h" é a altura do prisma.

Como o prisma é regular, o perímetro da base é dado por:

P_base = 6 * l

Substituindo os valores, temos:

P_base = 6 * 4,24

P_base ≈ 25,44 m

Para calcular a altura do prisma, precisamos usar o teorema de Pitágoras nos triângulos retângulos formados pelo corte do prisma. Como a diagonal do quadrado tem medida 6 m, temos:

h² = 6² - (4,24)²

h² ≈ 16

h ≈ 4 m

Substituindo na fórmula da área lateral, temos:

A_lateral = 25,44 * 4

A_lateral = 101,76 m²

A área total do prisma é dada por:

A_total = 2 * A_base + A_lateral

Substituindo os valores, temos:

A_total = 2 * 83,13 + 101,76

A_total ≈ 267,02 m²

O volume do prisma é dado por:

V = A_base * h

Substituindo os valores, temos:

V = 83,13 * 4

V ≈ 332,52 m³

Portanto, a área da base é de aproximadamente 83,13 m², a área lateral é de aproximadamente 101,76 m², a área total é de aproximadamente 267,02 m² e o volume é de aproximadamente 332,52 m³.

Matemática

Lista 2_ Prismas

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Lista 2_ Prismas

3. (Esc. Naval 2013) Num prisma hexagonal regular a área lateral é 75% da área total. A razão entre a aresta lateral e a aresta da base é a) 25/33 b) 33/23 c) 53/22 d) 23/52 e) 52/33

9. (Ufg 2000) A figura abaixo representa um prisma reto, de altura 10 cm, e cuja base é o pentágono ABCDE. Sabendo-se que AB = 3 cm e BC = CD = DE = EA = 2 cm, calcule o volume do prisma.

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