Algebra Elementar

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Apresentação 
Este curso foi pensado para alunos com dificuldades em matemática em todos 
os níveis. Estudantes pensam em matemática como algo de outro planeta dessa 
forma o aprendizado fica comprometido, todas dificuldades podem ser sanadas 
com uma boa base aliás, as construções mais fortes começam através de uma 
boa base sólida. 
Alunos, lembrem-se que o máximo aproveitamento deste curso depende de 
você! Aprendam a teoria e demonstrações, observem os exercícios resolvidos e 
só assim resolvam as listas da apostila. Esta apostila contém poucos exercícios, 
eles foram pensados na maior absorção em função do tempo. 
No fim deixarei autores que podem ser usados para maior aprofundamento nas 
matérias. Gostaria também de pedir que você resolva outros exercícios e vá além 
deste livro, façam exercícios dos seus livros didáticos ou dos livros dos quais 
listarei aqui. 
Gostaria de dedicar este material ao meu nobre amigo Saulo de Queiroz Porto, 
a quem eu devo tudo o meu embasamento. Também aos meus avós, pais, tios(a) 
e amigos que sempre contribuíram com minha jornada, também gostaria de 
agradecer a todos os pais e alunos que confiaram e confiam no meu trabalho 
como professor. 
“Lembrem-se a única limitação existente está dentro de cada um de nós.” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sumário 
 Conjuntos...................................................................4 
 Potênciação...............................................................13 
 Radiciação.................................................................18 
 Produtos Notáveis e Fatoração..................................22 
 Equações do 1º Grau.................................................26 
 Sistemas de Equações..............................................29 
 Equações do 2º Grau.................................................32 
 Equações Biquadradas..............................................35 
 Equações Irracionais..................................................37 
 Grandezas, Razão e Proporção.................................39 
 Porcentagem..............................................................41 
 Regra de Três Simples e Composta..........................43 
 Juros Simples.............................................................47 
 Respostas dos Exercícios..........................................52 
 Dicas..........................................................................52 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
Álgebra Elementar 
CONJUNTOS 
Em síntese conjunto se resume em grupo, coleção ou classe. Os objetos 
que pertencem a um conjunto são chamados de Elementos. Se um 
elemento é constituinte de um conjunto significa que ele pertence ao 
conjunto, indicamos pelo símbolo ∈ pertence e ∉ não pertence. 
Representação 
Podemos representar conjuntos por: 
1. Enumeração. 
Exemplo: 
Conjunto A= {2, 9, 8, 7, 65} 
2. Propriedade: Quando os elementos satisfazem uma propriedade. 
Exemplo: 
Conjunto A= {𝑥|𝑥 é 𝑝𝑎𝑟 𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜} 
3. Diagrama: Para visualização geométrica, utilizamos o Diagrama de 
Venn. 
Exemplo: 
 
Dessas representações a melhor para resolução de problemas com 
conjuntos é o Diagrama de Venn, justamente por ser uma representação 
visual. 
Observação: As outras representações são muito utilizadas 
principalmente em funções entre outras matérias. 
Conjunto Vazio 
 
 
5 
 
 Este conjunto não possui nenhum elemento e é representado por: { } ou 
∅. 
Igualdade de Conjuntos 
 Dois conjuntos são iguais somente quando possuem os mesmos 
elementos independente da ordem deles. 
Observação: Caso exista um único elemento os conjuntos não são iguais. 
Subconjunto 
 Quando todo elemento do conjunto A é elemento de B, dizemos que A é 
subconjunto de B, ou A é parte de B ou A está contido em B 
𝐵 ⊃ 𝐴 𝑙ê: 𝐵 𝑐𝑜𝑛𝑡é𝑚 𝐴 𝑜𝑢 𝐴 ⊂ 𝐵 𝑙ê: 𝐴 𝑒𝑠𝑡á 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑚 𝐵 
 
Observação: Se existir pelo menos um elemento de A que não pertence 
a B, então A, não é subconjunto de B 𝐴 ⊅ 𝐵. 
Operação com Conjuntos 
Intersecção 
 Sejam dois conjuntos quaisquer A e B, a intersecção é o conjunto dos 
elementos que pertencem a A e B simultaneamente. 
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 |𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∈ 𝐵} 
 
Observação: 𝐴⋂𝐵 = ∅ não possuem elementos em comum são 
conjuntos disjuntos. 
 
 
6 
 
Propriedades: 
𝐴 ∩ 𝐴 = 𝐴 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴 𝐴 ∩ ∅ = ∅ 
União 
 Sejam A e B dois conjuntos quaisquer, sua união é o conjunto dos 
elementos que pertencem a A ou B simultaneamente. 
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥|𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 𝑜𝑢 𝑥 ∈ 𝐵} 
 
Propriedades 
𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴 
Diferença 
 A – B é o conjunto dos elementos que pertencem a A e não pertencem a 
B. 
𝐴 − 𝐵 = {𝑥|𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∉ 𝐵} 
 
Observação: Quando 𝐵 ⊂ 𝐴 a diferença de A – B chama-se conjunto 
complementar de B em relação a A. Indica-se o complementar de B em 
relação a A ∁𝐴
𝐵 
∁𝐴
𝐵= 𝐴 − 𝐵, 𝑐𝑜𝑚 𝐵 ⊂ 𝐴 
 
 
7 
 
 
Exercícios Resolvidos 
1) Num grupo de 100 pessoas constata-se que 12 têm sangue tipo A, 84 
não têm sangue tipo B e 93 não têm sangue tipo AB. Quantas pessoas 
têm sangue tipo O. 
Resolução: 
Dados: Sangue tipo A 12 pessoas 
 93 não tem sangue tipo AB 
 84 não tem sangue tipo B 
Construindo o diagrama de Venn, sabemos que apenas 12 pessoas tem 
o tipo A logo: 
 
Como 93 pessoas não tem AB fazendo a subtração do total de pessoas 
saberemos a quantidade de pessoas tipo AB: 
𝑇𝑖𝑝𝑜 𝐴𝐵 = 100 − 94 = 7 
 
 
8 
 
 
Para achar quantas pessoas tem o tipo B, vamos pegar a terceira 
afirmação e subtrair do total de pessoas logo: 
𝑇𝑖𝑝𝑜 𝐵 = 100 − 84 = 16 
 
Para achar quantas pessoas tem o tipo O, basta somar o total de pessoas 
tipo A, tipo B e tipo AB e subtrair do total de pessoas: 
𝑇𝑖𝑝𝑜 𝑂 = 12 + 7 + 16 − 100 = 35 − 100 = 65 
 
Logo temos 65 pessoas tipo O. 
 
2) O conjunto A tem 20 elementos; o 𝐴 ∩ 𝐵 Tem 12 elementos; o 𝐴 ∪ 𝐵 
tem 60 elementos. O número de elementos do conjunto B é: 
 
 
9 
 
Resolução: 
Dados: A = 20 elementos 
 𝐴 ∩ 𝐵 = 12 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 
 𝐴 ∪ 𝐵 = 60 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 
Preenchendo o diagrama de Venn com os dados temos que: 
 
Sabemos que A possui 20 elementos, entretanto temos que subtrair da 
intersecção do contrário os elementos serão repetidos resultando no 
erro do cálculo. 
𝐴 = 20 − 12 = 8 
 
Para encontrar os elementos que pertencem a B vamos fazer a diferença 
de 𝐴 ∪ 𝐵 − (𝐴 + 𝐴 ∩ 𝐵) então: 
𝐵 = 60 − (8 + 12) = 60 − 20 = 40 
 
 
10 
 
 
O número de elementos do conjunto B é a soma dos elementos que 
pertencem somente a B e os elementos 𝐴 ∩ 𝐵 logo: 
𝐵 = 12 + 40 = 52 
3) Numa sala de aula com 60 alunos, 11 jogam xadrez, 31 são homens 
ou jogam xadrez e 3 mulheres jogam xadrez. Conclui-se, portanto que: 
a) 24 homens não jogam xadrez 
b) 29 mulheres não jogam xadrez 
c) 29 alunos são mulheres 
d) 26 mulheres não jogam xadrez 
Resolução: 
Observem que 31 são homens ou jogam xadrez. E temos apenas 11 
jogadores de xadrez logo não 31 jogadores, 31 não podem ser homens e 
sim mulheres. 
O conectivo OU condiciona duas afirmações das quais apenas uma pode 
ser verdadeira. 
Portanto, como temos 31 mulheres e apenas 3 jogam xadrez então 29 
mulheres não jogam xadrez. Logo letra B 
Exercícios 
1) Sombreie o conjunto pedido no diagrama (𝐴 ∩ 𝐶) ∪ (𝐵 ∩ 𝐶). 
 
 
11 
 
 
2) Represente num diagrama de Venn três conjuntos A, B e C tais que𝐴 ∩
𝐵 ≠ ∅, 𝐵 ∩ 𝐶 ≠ ∅ 𝑒 𝐴 ∩ 𝐶 ≠ ∅. 
3) Dados 𝐴 = {𝑎, 𝑟, 𝑡, 𝑒}, 𝐵 = {𝑝, 𝑖, 𝑛, 𝑡, 𝑎, 𝑟} 𝑒 𝐶 = {𝑎, 𝑡, 𝑜, 𝑟} determine 
a) A – B. b) C – A. 
4) Se A e B são dois conjuntos tais que 𝐴 ⊂ 𝐵 𝑒 𝐴 ≠ ∅, então: 
a) sempre existe 𝑥 ∈ 𝐴 tal que 𝑥 ∉ 𝐵 
b) sempre existe 𝑥 ∈ 𝐵 tal que 𝑥 ∉ 𝐴 
c) se 𝑥 ∈ 𝐵 então 𝑥 ∈ 𝐴 
d) se 𝑥 ∉ 𝐵 então 𝑥 ∉ 𝐴 
5) Se A e B são dois conjuntos não vazios tais que: 𝐴 ∪ 𝐵 =
{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, 𝐴 −𝐵 = {1; 3; 6; 7} e 𝐵 − 𝐴 = {4; 8} então 𝐴 ∩ 𝐵 é 
o conjunto: 
6) Dados os conjuntos 
 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ|−1 < 𝑥 ≤ 4} e 𝐵 = {𝑥 ∈ ℤ|0 ≤ 𝑥 < 2}, o conjunto 𝐴 ∩ 𝐵 é 
igual a: 
7) a intersecção do conjunto de todos os inteiros múltiplos de 6 com o 
conjunto de todos os inteiros múltiplos de 15 é o conjunto de todos os 
inteiros múltiplos de: 
8) Sendo 𝐴 = {1, 2, 3, 5, 7, 8} e 𝐵 = {2, 3, 7}, então o complementar de B 
em A é: 
9) Dados os conjuntos 
𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 6} 𝑒 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 < 3} 
Qual a sentença correta. 
a) 𝐴 ⊂ 𝐵 
 
 
12 
 
b) 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ 
c) 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥|3 < 𝑥 < 6} 
d) 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥|𝑥 > 3} 
e) 𝐴 ∪ 𝐵 = ℝ
Desafio 
Depois de n dias de férias, um estudante observa que: 
(1) Choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde; 
(2) Quando chove de manhã não chove a tarde; 
(3) Houve 5 tardes sem chuvas; 
(4) Houve 6 manhãs sem chuva. 
Então n é igual a 
a) 7 b) 9 c) 10 d) 11 e) n.d.a 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
Potenciação 
Potenciação são multiplicações sucessivas de um número por ele 
mesmo n fatores de acordo com o expoente. 
𝐴𝑁 = 𝐴 × 𝐴 × 𝐴 × 𝐴…× 𝐴⏟ 
𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝐴 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑖 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑎 𝑁 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠
 
Exemplo: 
 43 = 4 × 4 × 4 = 64 
Sendo A à base e N o expoente. 
Propriedades 
𝐴1 = 𝐴 𝐴0 = 1 𝐴−𝑁 =
1
𝐴𝑁
 
Exemplo: 
 21 = 2 
 20 = 1 
 2−1 =
1
21
 
Propriedades Operatórias 
Produto de potência de mesma base 
𝐴𝑁 × 𝐴𝑀 = 𝐴𝑁+𝑀 
Exemplo: 
 34. 32 = 34+2 = 36 
Divisão de potência de mesma base 
𝐴𝑁
𝐴𝑀
= 𝐴𝑁−𝑀 
Exemplo: 
:
56
52
= 56−2 = 54 
Potência de potência 
(𝐴𝑁)𝑀 = 𝐴𝑁×𝑀 
Exemplo: 
 
 
14 
 
(35)2 = 35×2 = 310 
 
Observação: (𝐴𝑁)𝑀 ≠ 𝐴𝑁
𝑀
 𝐴𝑁
𝑀
= 𝐴𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑀 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠
⏞ 
𝑁×𝑁×𝑁×𝑁…×𝑁
 
 no segundo 
caso temos um expoente elevado a outro expoente. 
Exemplo: 
24
2
= 24×4 = 216 
Potência de um produto 
(𝐴 × 𝐵)𝑁 = 𝐴𝑁 × 𝐵𝑁 
Exemplo: 
(3 × 2)2 = 62 = 36 ↔ 32 × 22 = 9 × 4 = 36 
Potência de um quociente 
(
𝐴
𝐵
)
𝑁
= 
𝐴𝑁
𝐵𝑁
 
Exemplo: 
(
5
10
)
2
=
52
102
 
Potência de base fracionária e expoente negativo 
(
𝐴
𝐵
)
−𝑁
= (
𝐵
𝐴
)
𝑁
 
Exemplo: 
(
3
4
)
−2
= (
4
3
)
2
 
Exercícios Resolvidos 
1) Se 𝑥 =
1
5
×
20
8
 e 𝑦 = (
−2
3
)
2
 a razão entre x e y é: 
a) maior que 1 
b) Igual a 
2
3
 
c) um número inteiro 
 
 
15 
 
d) um número negativo 
e) um número entre 0 e 
1
2
 
Resolução: 
A razão de x e y pode ser escrita como 
𝑥
𝑦
 substituindo os valores 
1
5
×
20
8
(
−2
3
)
2 = 
20
40
4
9
= 
2
4
×
9
4
= 
1
2
×
9
4
=
9
8
 
Sabendo que 
9
8
 é um número maior do que 1 a resposta é letra a 
2) Simplifique a expressão: [
29
(2²×2)3
]
3
 
Resolução: 
Começamos a resolver de dentro dos parênteses aplicando as 
propriedades da potenciação 
[
29
(22 × 2)3
]
3
= [
29
(22+1)3
]
3
= 
[
29
(23)3
]
3
= [
29
29
]
3
= 
13 = 1 
3) (2−1 + 2
−1
2 )
−2
têm valor igual a: 
Resolução: 
Aplicando as propriedades operatórias da potenciação e radiciação 
temos: 
 
 
16 
 
(
1
21
+ √
1
21
)
−2
= (
1
2
+
1
√2
×
√2
√2
)
−2
= 
(
1
2
+
√2
2
)
−2
= (
1 + √2
2
)
−2
= 
 (
2
1 + √2
)
2
= (
4
12 + 2√2 + √22
) = 
(
4
1 + 2√2 + 2
) = (
4
3 + 2√2
) ×
3 − 2√2
3 − 2√2
= 
4(3 − 2√2)
32 − (2√2)
2 =
4(3 − 2√2)
9 − 8
= 
4(3 − 2√2)
1
= 4(3 − 2√2) 
 
Exercícios 
1) Efetue a operação: 22. 23. 24. 2−7 
 
2) O valor de (0,2)3 + (0,16)2 é: 
 
3) O valor de (5−5)5é: 
 
4) O valor da expressão 𝑎3 − 3𝑎²𝑥²𝑦² para 𝑎 = 10, 𝑥 = 2 𝑒 𝑦 = 1 é: 
 
5) A metade de 2100é: 
 
6) Em matemática, potências são valores que representam uma 
multiplicação sucessiva de um número. Usando as propriedades de 
potenciação, qual dos números a seguir é o maior? 
 a) 345 b) 921 c) 2438 d) 8112 
 
 
17 
 
7) O valor da expressão 
32
3
− 54
44+203
 é: 
Desafio 
Se 416 × 525 = 𝛼 × 10𝑛, com 1 ≤ 𝛼 ≤ 10, então n é igual a: 
a) 24 
b) 25 
c) 26 
d) 27 
e) 28 
 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
Radiciação 
A radiciação é a operação inversa da Potenciação. 
√𝑎
𝑛
 𝑑𝑖𝑧𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑟𝑎í𝑧 𝑒𝑛é𝑠𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑎 
𝑛 é 𝑜 í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒, 𝑎 é 𝑜 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒 √→ 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑙 
𝑎 ∈ 𝑅, 𝑛 ∈ 𝑁 
Para o índice par temos: 
𝑎 ∈ 𝑅+, 𝑛 ∈ 𝑁, √𝑎
𝑛
= 𝑏 ≥ 0 ↔ 𝑏𝑛 = 𝑎 
Em outras palavras quando o índice é par não existe raiz de radicando 
negativo pela regra dos sinais. “Olhar em Dicas”; 
Logo, não existe raiz real. 
Para o índice ímpar temos: 
𝑎 ∈ 𝑅, 𝑛 ∈ 𝑁, √𝑎
𝑛
= 𝑏 ↔ 𝑏𝑛 = 𝑎 
Observação: √9 = 3 𝑒 𝑛ã𝑜 ± 3 uma vez que procuramos o real cujo o 
quadrado é 9 e não todos os números cujo o quadrado resulta 9. 
Propriedades Operatórias 
√𝑎𝑚
𝑛
= √𝑎𝑚.𝑝
𝑛.𝑝
 𝑜𝑢 √𝑎𝑚:𝑝
𝑛:𝑝
 
Exemplo: 
√23
6
= √23:3
6:3
= √21
2
 
√23
6
= √23×3
2×3
= √29
6
 
 
√𝑎
𝑛 √𝑏
𝑛
= √𝑎. 𝑏
𝑛
 
Exemplo: 
√3
2
× √4
2
= √3 × 4
2
= √12
2
 
√𝑎
𝑛
√𝑏
𝑛 = √
𝑎
𝑏
𝑛
 
Exemplo: 
 
 
19 
 
√4
√2
= √
4
2
 
 
 
( √𝑎
𝑛
)
𝑚
= √𝑎𝑚
𝑛
 
Exemplo: 
(√2
3
)
4
= √24
3
 
√ √𝑎
𝑚𝑛
= √𝑎
𝑛.𝑚 
Exemplo: 
√√2 = √2
2×2
= √2
4
 
𝑎
𝑚
𝑛 = √𝑎𝑚
𝑛
 
Exemplo: 
2
1
3 = √2
3
 
Preste atenção nos índices da raiz. Operar bem raízes é um dos pilares 
para a Matemática mais avançada. 
Exercícios Resolvidos 
1) Efetua a operação: 
10√6
5√2
 
10√6
5√2
→ 
2√6
√2
= 2 × √
6
2
= 2√3 
2) Simplifique: √2352 
Primeiro passo é fatorar o número 2352: 
 
 
20 
 
2352 ÷ 2
1176 ÷ 2
588 ÷ 2
294 ÷ 2
147 ÷ 3
49 ÷ 7
7 ÷ 7
1 24 × 31 × 7²
 
Reescrevendo o número 2352 na forma fatorada temos: 
√24 × 31 × 72 = √24 × √3 × √72 = 
22 × 7 × √3 = 4 × 7 × √3 = 
28√3 
Logo a solução é: 
28√3 
 
3) A diferença 80,666 − 90,5 
Transformando os decimais em frações temos lembrando que 0,666. É 
uma dízima periódica logo: 
0,666. .→
6
9
=
2
3
 
0,5 →
5
10
=
1
2
 
Reescrevendo temos: 
8
2
3 − 9
1
2 → √82
3
− √9 = 
 √64
3
− √9 = 4 − 3 = 
1 
A solução é 1. 
Exercícios
1) Efetue a operação: √16
3
− 3√54
3
+ 7√250
3
 
 
 
 
21 
 
2) Efetue a operação: 
6 √30
4
3 √5
4 
3) (2−1 + 2
−1
2 )
−2
tem valor igual a: 
4) Ache o valor de x: √28
16
= √24
𝑥
 
5) Se 𝐴 = √√6 − 2 × √2 + √6, então o valor de A² é
 
Desafio 
Sendo 𝑥 = √2 o valor da expressão: 
(2𝑥)𝑥
𝑥
 
 
 
 
 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
Produtos Notáveis e Fatoração 
Este conteúdo extremamente útil para solucionar questões diversas, 
uma vez que o objetivo é transformar soma em produto e binômios em 
expressões algébricas e vice e versa, facilitando a solução de problemas 
complexos. 
Produtos Notáveis 
Quadrado da Soma 
(𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏² 
Exemplo: 
(2 + 𝑥)2 → (2 + 𝑥)(2 + 𝑥) = 22 + 4𝑥 + 𝑥2 = 4 + 4𝑥 + 𝑥² 
Quadrado da Diferença 
(𝑎 − 𝑏)2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏² 
Exemplo: 
(2 − 3𝑥)2 → (2 − 3𝑥)(2 − 3𝑥) = 22 − 12𝑥 + (3𝑥)2 = 4 − 12𝑥 + 9𝑥² 
Produto da Soma pela Diferença 
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏² 
Exemplo: 
(3𝑥 + 2)(3𝑥 − 2) = (3𝑥)2 − 22 = 9𝑥2 − 4 
Fatoração 
Fator Comum em Evidência 
Quando a expressão algébrica é formada de parcelas sendo que um 
mesmo fator aparece em todas elas, colocamos este fator em evidência 
fora do parênteses, e dentro do parênteses a soma do quociente da 
divisão de cada parcela pelo fator comum. 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 = 𝑥(𝑎 + 𝑏) 
Neste caso o fator comum a ambas as parcelas é o x, logo: 
1) – colocar o fator comum em evidência fora dos parênteses; 
 
 
23 
 
2) – Dentro dos parênteses a soma ou subtração de cada parcela 
dividida pelo fator comum. 
Exemplo: 
4𝑥 + 32𝑦𝑥
2𝑥
= 
𝑂 4 é 𝑚.𝑚. 𝑐 𝑑𝑒 4 𝑒 32 𝑒 𝑜 𝑥 𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑐𝑒 𝑛𝑎𝑠 𝑑𝑢𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑙𝑜𝑔𝑜, 𝑜 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑐𝑜𝑚𝑢𝑚 é 4𝑥. 
Fatorando temos: 
4𝑥(1 + 8𝑦)
2𝑥
= 
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎çã𝑜 𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠ã𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 
Simplificar a fração. 
Logo: 
2𝑥(1 + 8𝑦) 
 
Agrupamento 
Este método se aplica quando: 
1. Não existe um fator comum para todas as parcelas; 
2. Partes da expressão possuem fator comum; 
𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 + 𝑥𝑏 + 𝑎𝑥 = 
Aplicar fator comum nas parcelas de dois em dois 
𝑦(𝑎 + 𝑏) + 𝑥(𝑎 + 𝑏) = 
Aplicar fator comum em evidência novamente 
(𝑎 + 𝑏)(𝑦 + 𝑥) 
Observem que agrupamento são aplicações sucessivas do fator comum 
em evidência 
Diferença e som de Cubos 
Soma 
𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2) 
 
 
24 
 
Diferença 
𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) 
Exemplos: 
27 − 𝑥³ → (3 − 𝑥)(32 + 3𝑥 + 𝑥2) = (3 − 𝑥)(9 + 3𝑥 + 𝑥2) 
8𝑥3 + 125 → (2𝑥 + 5)((2𝑥)2 − 10𝑥 + 52) = 
(2𝑥 + 5)(4𝑥2 − 10𝑥 + 25) 
Racionalização de Denominadores 
Sabemos que todo número racional é do tipo 
𝑝
𝑞
 𝑝 ≠ 0 logo é indesejável 
números irracionais no denominador, assim utilizamos recursos para 
retirar a raiz do denominador. 
Frações com Raízes Simples 
1
√𝑎
 
1
√𝑎
→
1
√𝑎
 ×
√𝑎
√𝑎
= 
√𝑎
𝑎
 
Frações com Radicando Elevado a uma Potência n 
1
√𝑎𝑛
𝑟 
Fazendo 𝑟 = 𝑛 +𝑚 temos que 𝑚 = 𝑟 − 𝑛 𝑙𝑜𝑔𝑜: 
1
√𝑎𝑛
𝑟
→
1
√𝑎𝑛
𝑟
×
√𝑎𝑚
𝑟
√𝑎𝑚
𝑟
=
√𝑎𝑚
𝑟
𝑎
 
Frações com Soma ou Diferença de duas raízes 
1
√2+√3
 ou 
1
√2−√3
 
Basta multiplicarmos pelo conjugado das raízes. 
𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 √2 + √3 → √2 − √3 
𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 √2 − √3 → √2 + √3 
Exemplo: 
1
√2 + √3
→
1
√2 + √3
×
√2 − √3
√2 − √3
=
√2 − √3
√22 − √32
=
√2 − √3
2 − 3
=
√2 − √3
−1
= 
−√2 + √3 
Exercícios 
1) Fatore: 2𝑎3(𝑏 − 1)3 + 4𝑎4(𝑏 − 1)² 
2) Fatore: 𝑥3 +
1
𝑥³
 
3) Fatore: 𝑥6 − 1 
4) Efetuar: 8𝑥2 − (1 − 3𝑥2) + (5𝑥2 + 9) 
5) A expressão (2𝑥 + 1)2 + (𝑥2 − 2)2 é equivalente a: 
6) Racionalize: 
2
√5−√3
7) Racionalize: 
√2
√7+√6
 
8) A expressão 𝐸 =
2√2+√3+√2−√3
√3
tem como valor: 
9) Usando produtos notáveis calcule: [(𝑥 − 𝑦) − 𝑎] × [(𝑥 − 𝑦) + 𝑎]
Desafio 
A diferença entre o cubo da soma de dois números inteiros e a soma de 
seus cubos pode ser: 
 
 
 
 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
Resolução de Equações 
Equações do 1º Grau 
Toda equação do primeiro grau em 𝑅 é do tipo 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 ou redutível 
a esse tipo. Sendo 𝑎 ≠ 0 a e b constantes e a incógnita x. 
O valor da incógnita x, se existir chama-se raiz ou solução da equação. 
Onde se substituir x pela raiz a equação será transformada numa 
igualdade. 
Para achar a raiz da equação basta igualar a 0 e isolar o x. 
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 → 𝑎𝑥 = −𝑏 
𝑥 =
−𝑏
𝑎
 
Logo: 
A raiz ou solução da equação será: 
𝑥 =
−𝑏
𝑎
 
Exemplo: 
Ache a raiz de 3x-9 
𝐹𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜: 
3𝑥 − 9 = 0 → 3𝑥 = 9 = 
𝑥 =
9
3
= 
 𝑥 = 3 
Exercícios Resolvidos 
1) De um recipiente cheio de água tiram-se 
 2
3
 de seu conteúdo. 
Recolocando-se 30 ℓ de água, o conteúdo passa a ocupar a metade do 
volume inicial. A capacidade do recipiente é: 
Resolução: 
Devemos começar equacionando o enunciado para que possamos 
resolver. 
 
 
27 
 
Fazendo o recipiente cheio igual a x obtemos então: 
𝑥 −
2𝑥
3
+ 30 =
𝑥
2
 
Resolvendo a equação: 
Multiplicando ambos os lados por 6, obtemos: 
6 (𝑥 −
2𝑥
3
+ 30) = 6 (
𝑥
2
) = 
6𝑥 − 4𝑥 + 180 = 3𝑥 
Realizando as operações temos: 
2𝑥 + 180 = 3𝑥 
Isolando os termos que contém x, temos: 
2𝑥 + 180 = 3𝑥 → 180 = 3𝑥 − 2𝑥 
180 = 𝑥 
Logo a resposta é 180 ℓ 
2) O valor de x, solução da equação 
𝑥−1
3
+
1
𝑥
=
𝑥
3
 
Resolução: 
Devemos realizar a soma do lado esquerdo então: 
𝑥 − 1
3
+
1
𝑥
=
𝑥(𝑥 − 1) + 3
3𝑥
 
Temos: 
𝑥(𝑥 − 1) + 3
3𝑥
=
𝑥
3
 
Realizando a multiplicação 
𝑥(𝑥 − 1) + 3
3𝑥
=
𝑥
3
→
𝑥2− 𝑥+ 3
3𝑥
=
𝑥
3
 
Simplificando os denominadores: 
𝑥2 − 𝑥 + 3
3𝑥
=
𝑥
3
→
𝑥2 − 𝑥 + 3
𝑥
= 𝑥 
O x, que está dividindo, vamos passar ele multiplicando: 
 
 
28 
 
𝑥2 − 𝑥 + 3
𝑥
= 𝑥 → 𝑥2 − 𝑥 + 3 = 𝑥² 
Como temos x² em ambos os lados da igualdade, podemos simplificar: 
𝑥2 − 𝑥 + 3 = 𝑥2 → −𝑥 + 3 = 0 
Isolando a incógnita temos a solução da equação. 
3 = 𝑥 
Exercícios 
1) Resolva: 9𝑥 − 8 = 11𝑥 − 10 
2) Resolva: 
2(𝑥−2)
3
+ 4 = 0 
3) Se 𝑚 ∈ ℝ é tal que 
3
√2
−
√2
𝑚
= 1, então o valor de m é: 
4) O dobro de um número mais a sua terça parte, mais a sua quarta parte 
somam 31. Determine o número. 
5) Resolva: 
𝑥
4
+ 8 =
𝑥
3
+ 7 
6) “O dobro de um número mais um terço de sua metade resulta no 
triplo do número” que pode ser equacionado por: 
 
Desafio 
O número que somado aos seus 
2
3
 resulta 30 é: 
a) ímpar 
b) Múltiplo de 9 
c) Divisor de 30 
d) Primo 
e) Quadrado Perfeito 
 
Anotações 
 
 
 
29 
 
Sistemas de Equações do 1º Grau 
Sistema de equações do 1º grau é um conjunto de duas equações com 
duas incógnitas 𝑥 ∈ ℝ 𝑒 𝑦 ∈ ℝ do tipo 
{
3𝑥 + 𝑦 = 9
𝑥 + 8𝑦 = 3
 
Resolver um sistema é obter um par ordenado (𝑥, 𝑦) que satisfaça 
ambas as equações. 
São dois métodos de resolução o método da adição e o da substituição. 
Adição 
Consiste em eliminar uma das incógnitas somando ambas as equações 
membro a membro. 
Exemplo: 
Resolva: {
3𝑥 − 𝑦 = 8 ❶
𝑥 + 𝑦 = 4 ❷
 
Resolução: 
Temos que somar as equações de modo que eliminamos uma das 
variáveis neste caso vamos escolher a variável y, para eliminar. 
3𝑥−𝑦=8
+𝑥+𝑦=4
4𝑥 + 0 = 12
 
Recaímos numa equação em x, resolvendo temos: 
4𝑥 = 12 → 𝑥 =
12
4
 
𝑥 = 3 
Basta apenas substituir a variável x, em qualquer uma das equações 1 
ou 2 para obter o valor de y. 
Substituindo na equação 2 temos: 
𝑥 + 𝑦 = 4 → 3 + 𝑦 = 4 
𝑦 = 4 − 3 
 
 
30 
 
𝑦 = 1 
Logo o par solução do sistema é: (3; 1) 
Observação: Alguns casos será necessário multiplicar uma equação por 
um coeficiente, para que ambas as incógnitas fiquem com o mesmo 
valor porém com o sinal contrário. 
Exemplo: 
{
3𝑥 − 𝑦 = 8 ❶
𝑥 + 𝑦 = 4 ❷
 
 
Escolhendo eliminar o x, temos que multiplicar a equação 2 por -3 para 
que o x fique com mesmo valor porém com sinal contrário: 
3𝑥 − 𝑦 = 8
𝑥 + 𝑦 = 4 × (−3)
 
Temos: 
3𝑥 − 𝑦 = 8
−3𝑥 − 3𝑦 = −12
0 − 4𝑦 = −4
 
−4𝑦 = −4 → 𝑦 =
−4
−4
 
𝑦 = 1 
Substituindo y, em qualquer uma das equações para 
encontrar o x. Vamos substituir na segunda: 
𝑥 + 1 = 4 → 𝑥 = 4 − 1 
𝑥 = 3 
Substituição 
Consiste em isolar uma variável de qualquer uma das duas equações e 
substituir na outra equação 
Exemplo: 
 
 
31 
 
Resolva: {
3𝑥 − 𝑦 = 8 ❶
𝑥 + 𝑦 = 4 ❷
 
Pode escolher qualquer uma das equações, vamos escolher isolar o y 
da ❷ e substituir na ❶: 
𝑦 = 4 − 𝑥 ❷ 
Substituindo em ❶ temos: 
3𝑥 − (4 − 𝑥) = 8 → 3𝑥 − 4 + 𝑥 = 8 
4𝑥 = 8 + 4 → 4𝑥 = 12 
𝑥 =
12
4
→ 𝑥 = 3 
Agora substituir x, em qualquer uma das equações para obtermos y. 
Vamos substituir na ❷: 
3 − 𝑦 = 4 → 𝑦 = 4 − 3 
𝑦 = 1 
Aqui mostrei os dois processos para resolver os problemas envolvendo 
sistemas de equação. Cabe a você escolher o método que se encaixa 
melhor no seu problema e utilizar, eu o recomendo aprender ambos 
pois alguns problemas são mais fáceis utilizando o de substituição e 
outros mais fáceis utilizando o processo de adição. 
Exercícios 
1) Resolva: {
𝑥 + 𝑦 = 19
𝑥 − 𝑦 = 11
 
2) Resolva: {
5𝑥 + 2𝑦 = 79
3𝑥 − 4𝑦 = −15
 
3) Na compra de duas canetas e um caderno, Joana gastou R$ 13,00. 
Carlos comprou quatro canetas e três cadernos e gastou R$ 32,00. 
Determine o valor de uma caneta e um caderno. 
Anotações 
 
 
32 
 
Equação do 2º Grau 
Equação do segundo grau em R é do tipo 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 sendo 𝑎 ≠ 0 , 
a, b e c constantes e a incógnita x. 
Observação para uma equação do segundo grau ser completa ela precisa 
ter as constantes 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 ≠ 0 no caso de b ou c = 0 a equação é 
incompleta. 
Para resolver a equação do segundo grua há duas maneiras. 
Pelométodo de Bháskara sendo: 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
Observação caso: 
1) ∆= 0 a equação possui duas raízes reais e iguais 𝑥1 = 𝑥2; 
2) ∆> 0 a equação possui duas raízes reais e diferentes 𝑥1 ≠ 𝑥2; 
3) ∆< 0 a equação possui raízes imaginárias; 
Exemplo: 
Encontre a raiz da equação. 𝑥2 + 3𝑥 − 9 
Temos que 𝑎 = 1; 𝑏 = 3 𝑒 𝑐 = −9 
Aplicando a Fórmula de Bháskara temos: 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
𝑥 =
−3 ± √32 − 4.1. (−9)
2.1
= 𝑥 =
−3 ± √9 + 36
2
= 
𝑥 =
−3 ± √45
2
= 𝑥 =
−3 ± 3√5
2
 
Logo as raízes são 𝑥1 =
−3+3√5
2
; 𝑥2 =
−3−3√5
2
 
Resolução por relações de Girard 
As relações de Girard consiste em fazer a soma e produto das raízes sem 
efetivamente resolver a equação pelo método de Bháskara. 
 
 
33 
 
Soma 
𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎
 
Produto 
𝑥1. 𝑥2 =
𝑐
𝑎
 
Exemplo 
Usando soma e produto encontre as raízes. 𝑥2 − 7𝑥 + 10 = 0 
Resolução: 
Aplicando a Soma das raízes temos que: 
𝑥1 + 𝑥2 =
−(7)
1
→ 𝑥1 + 𝑥2 = 7 
Logo a soma das raízes é 7 
Aplicando o produto temos: 
𝑥1. 𝑥2 =
10
1
→ 𝑥1. 𝑥2 = 10 
Agora basta achar dois números que somados resultem em 7 e que 
multiplicados resultem em 10. 
Observação: Este método é um pouco trabalhoso e basicamente é feito 
por tentativa e erro. Entretanto, ele é útil em algumas situações 
específicas. 
Os números procurados são 2 e 5. 
Para tirar a conclusão basta aplicar a fórmula de Bháskara ou Substituir 
as raízes na equação. 
 
Exercícios 
1) Resolva: 𝑥2 − 8𝑥 + 1 = 0 
2) Resolva: 3𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0 
3) Resolva: 4𝑥2 − 1 = 0 
 
 
34 
 
4) A razão entre a soma e o produto das raízes da equação 
 2𝑥2 − 14𝑥 + 9 = 0 é: 
5) A soma e o produto das raízes da equação 𝑝𝑥2 + 2(𝑞 − 1)𝑥 + 6 = 0 
são, respectivamente, -3 e 3. O valor de q é: 
 
Desafio 
Um valor de K para o qual uma das raízes da equação 
𝑥2 − 3𝑘𝑥 + 5𝑘 = 0 é o dobro da outra, é: 
 
 
 
 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
Equações Biquadradas 
Equação biquadrada em R, na incógnita x, é toda igualdade do tipo 
𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥2 + 𝑐 = 0 
Onde a, b e c são constantes reais e a não é nulo. 
Para solução deste tipo de equação vamos utilizar um artifício 
reduzindo-a para uma equação do segundo grau: 
𝑡 = 𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑥4 = (𝑥2)2 
Então: 
𝑎𝑡2 + 𝑏𝑡 + 𝑐 = 0 
Bastando aplicar a fórmula de Bháskara para resolver. 
Exemplo: 
Resolva 2𝑥4 − 5𝑥2 + 3 = 0 
Fazendo 𝑥2 = 𝑡 𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑥4 = (𝑥2)2 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑒𝑠𝑐𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟 𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜: 
2𝑡2 − 5𝑡 + 3 = 0 
Como: 𝑎 = 2, 𝑏 = −5 𝑒 𝑐 = 3 Aplicando Bháskara temos: 
𝑡 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
→ 𝑡 =
−(−5) ± √(−5)2 − 4.2.3
2.2
= 
t =
5 ± √25 − 24
4
= 𝑡 =
5 ± √1
4
= 
𝑡1 =
5 + 1
4
=
6
4
 
𝑡2 =
5 − 1
4
= 1 
Como 𝑥2 = 𝑡, logo: 
𝑥2 =
6
4
→ 𝑥 =
√6
√4
= ±
√6
2
 
ou 
𝑥2 = 1 → 𝑥 = ±√1 = ±1 
O conjunto solução da equação é: +
√6
2
, −
√6
2
, 1 𝑒 − 1 
 
 
36 
 
Exercícios 
1) Resolva a equação em R 𝑥4 − 10𝑥2 + 9 = 0 
2) Resolva a equação em R 4𝑥4 − 5𝑥2 + 1 = 0 
3) Resolva a equação em R 2𝑦4 + 6𝑦2 = 0
Anotações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
Equações irracionais 
São equações com a incógnita aparece elevada a expoente fracionário ou 
sob um radical. 
√𝑥 + 45 = 0 
Para solucionar deve-se retirar a incógnita do radical e isolar a 
incógnita. 
Exemplo: 
Resolver a equação: √𝑥 + √𝑥 + 12 = 6 
Resolução: 
Aqui vamos utilizar uma técnica da qual vamos elevar ambos os 
membros ao quadrado para sumir com as raízes. 
(√𝑥 + √𝑥 + 12)
2
= 62 = 
√𝑥2 + 2√𝑥.√𝑥 + 12 + √(𝑥 + 12)² = 36 = 
𝑥 + 2√𝑥(𝑥 + 12 + 𝑥 + 12 = 36 = 
2𝑥 − 24 + 2√𝑥2 + 12𝑥 = 0 
Aqui agora vamos isolar a raiz no outro membro, pois será necessário 
elevar ao quadrado novamente, para que possamos extrair com a raiz. 
(2𝑥 − 24)2 = (−2√𝑥2 + 12𝑥)
2
= 
4𝑥2 − 96𝑥 + 576 = 4(𝑥2 + 12𝑥) = 
Efetuando as operações temos: 
−96𝑥 + 576 = 48𝑥 
Isolando a incógnita temos: 
576 = 96𝑥 + 48𝑥 = 
576 = 144𝑥 = 
𝑥 =
576
144
= 
 
 
38 
 
𝑥 = 4 
 
Exercícios 
1) Resolver a equação em R: √−1 + 2𝑥 = 𝑥 
2) Resolver a equação em R: √3𝑥2 + 3𝑥 = 𝑥 + 1 
3) Resolver a equação em R: √21 − 4√3𝑥 − 6 = 3 
4) Resolver a equação em R: 1 + √3𝑥 − 5 = 𝑥 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
Grandezas, Razão e Proporção 
Grandezas 
Tudo aquilo que podemos contar ou medir. 
Grandezas Diretamente Proporcionais 
O aumento de uma grandeza, implica o aumento da outra grandeza na 
mesma proporção. 
Grandezas Inversamente Proporcionais 
O aumento de uma implica a redução da outra grandeza na mesma 
proporção. 
Razão 
Comparação entre duas grandezas, sendo coeficiente entre dois 
números. 
Exemplo: A razão de x e y é: 
𝑥
𝑦
 
Proporção 
Igualdade entre duas razões, ou ainda quando duas razões possuem o 
mesmo resultado. 
𝑥
35
=
40
𝑦
=
8
7
 
Propriedades 
1 – Multiplicação Cruzada 
Basta multiplicar a proporção cruzada 
Exemplo: 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
→ 𝑎. 𝑑 = 𝑐. 𝑏 
2 – Soma ou Subtração 
Somando 1 a ambos os lados da igualdade obtemos: 
 
 
40 
 
𝑎
𝑏
± 1 =
𝑐
𝑑
± 1 →
𝑎 ± 𝑏
𝑏
=
𝑐 ± 𝑑
𝑑
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
Porcentagem 
Razão entre um número N qualquer e 100, sendo representado por %, 
Por ser tratar de uma ração escrevemos da seguinte forma: 
𝑁% =
𝑁
100
 
Ou podemos escrever na forma decimal também efetuando a divisão de 
N por 100. 
Exemplo: 
3% =
3
100
= 0,03 
Para se resolver problemas envolvendo porcentagem basta aplicar 
regra de 3 simples. 
 
Exercícios Resolvidos 
1) João, comprou um computador à vista com 30% de desconto, ele 
pagou o valor de R$ 1500,00 qual é o valor do computador sem o 
desconto. 
Resposta: Sabendo que 70% é R$ 1500,00 basta montar uma regra de 
três simples para saber o valor cheio do computador então: 
100%
70%
=
𝑥
1500,00
= 𝑥 × 7 = 1.500 × 10 = 
7𝑥 = 15.000,00 = 𝑥 =
15.000
7
= 
𝑥 = 𝑅$ 2.142,85 
O valor do computador sem o desconto é de R$ 2.142,85 reais. 
Exercícios 
1) 25 representa quantos por cento de 200? 
2) 30 representa 15% de qual número? 
 
 
42 
 
3) Em uma sala de aula há 30 alunos, dos quais 40% são meninas. 
Quantas meninas têm na sala? 
4) Convertendo a fração 
2
5
 em uma fração centesimal, qual o resultado 
em porcentagem? 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
Regra de Três Simples e Composta 
Regra de Três 
Processo matemático para solução de problemas que envolvem duas ou 
mais grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. 
Regra de Três Simples 
Para aplicação é necessário ter três valores conhecidos para obter o 
quarto valor conhecido. 
Exemplo: 
3
5
=
𝑥
10
 
Multiplicando cruzado obtemos: 
5 × 𝑥 = 3 × 10 = 
5𝑥 = 30 = 
𝑥 =
30
5
= 
𝑥 = 6 
Regra de Três Composta 
Permite descobrir um valor a partir de três ou mais valores conhecidos. 
Exemplo: 
Em uma oficina de artesanato, 4 artesãs produzem 20 bonecas de pano 
em 4 dias. Se 8 artesãs trabalharem por 6 dias, quantas bonecas serão 
produzidas? 
Artesãs Bonecas Dias 
4 20 4 
8 x 6 
 
Comparando as grandezas temos: 
Quanto mais artesãs, mais bonecas são produzidas logo as grandezas 
são diretamente proporcionais. 
Mais dias trabalhados significa que a produção também vai aumentar. 
 
 
44 
 
Como as grandezas são proporcionais, não precisamos inverter nada 
bastando apenas resolver. 
20
𝑥
=
4 × 4
8 × 6
→
20
𝑥
=
16
48
= 
16𝑥 = 20 × 48 → 16𝑥 = 960 
𝑥 =
960
16
= 
𝑥 = 60 
Observação: Quando alguma grandeza é inversamente proporcional ao 
x, temos que inverte-la. 
Exemplo: 
Em uma obra, 10 homens concluíram um dos trabalhos em 6 dias, 
fazendo 8 horas diárias. Se apenas 5 homens estiverem trabalhando, 
quantos dias levarãopara o mesmo trabalho ser concluído com 
execução de 6 horas por dia? 
Homens Dias Horas Trabalhadas 
10 6 8 
5 x 6 
 
Observamos que menos homens mais dias trabalhados, logo homens e 
dias são inversamente proporcionais, pois reduzindo o número de 
homens, temos que aumentar os dias trabalhados. Logo, invertemos 
homens. 
Invertido fica: 
Homens 
5 
10 
 
Dias e horas também são inversamente proporcionais, uma vez que ao 
diminuir as horas trabalhadas aumentamos os dias trabalhados, dessa 
forma também temos que inverter horas trabalhadas. 
 
 
45 
 
Invertido fica: 
Horas 
6 
8 
 
Montando a proporção fica o seguinte: 
6
𝑥
=
5 × 6
10 × 8
→
6
𝑥
=
30
80
= 
48 = 3𝑥 = 
𝑥 =
48
3
= 
𝑥 = 16 
São 16 dias trabalhados 
Exercícios 
1) Se 6 impressoras iguais produzem 1000 panfletos em 40 minutos, em 
quanto tempo 3 dessas impressoras produziriam 2000 desses 
panfletos? 
2) Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais 
congeladas suficientes para o almoço deles durante 25 dias. Se essa 
empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas 
adquiridas seria suficiente para quantos dias? 
3) Um texto ocupa 6 páginas de 45 linhas cada uma, com 80 letras (ou 
espaços) em cada linha. Para torná-lo mais legível, diminui-se para 30 o 
número de linhas por página e para 40 o número de letras (ou espaços) 
por linha. Considerando as novas condições, determine o número de 
páginas ocupadas. 
4) Se foram empregados 4 kg de fios para tecer 14 m de uma maquete 
de fazenda com 80 cm de largura, quantos quilogramas serão 
necessários para produzir 350 m de uma maquete de fazenda com 120 
cm largura? 
 
 
46 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
Juros Simples 
Toda remuneração devido a alguma aplicação de capital em 
determinado período. A taxa aplicada é em relação ao capital aplicado 
inicialmente. 
𝐽 = 𝐶. 𝑖. 𝑡 
Observação: A taxa e o tempo devem estar nas mesmas unidades. 
Exercícios Resolvidos 
1) Uma pessoa aplicou um capital a juros simples durante 1 ano e 
meio. Sendo corrigido a uma taxa de 5% ao mês, gerou no final do 
período um montante de R$ 35 530,00. Determine o capital 
aplicado nesta situação. 
Resolução: 
Dados: t = 1 ano e meio transformando em meses fica 18 meses 
 I = 5% = 0,05% 
 M = R$ 35530,00 
Temos que: 
𝐽 = 𝑐. 𝑖. 𝑡 ❶ 
E 
𝑀 = 𝑐 + 𝐽 → 𝑗 = 𝑀 − 𝑐 ❷ 
Substituindo ❷ em ❶ temos: 
𝑀 − 𝑐 = 𝑐. 𝑖. 𝑡 → 𝑀 = 𝑐(1 + 𝑖. 𝑡) = 
𝑐 =
𝑀
(1 + 𝑖. 𝑡)
 
Substituindo os valores 
𝑐 =
35530
1 + 0,05 × 18
=
35530
1,9
= 18.700 
O capital investido foi de R$ 18.700,00 reais. 
2) A conta de água de um condomínio deve ser paga até o quinto dia 
útil de cada mês. Para pagamentos após o vencimento, é cobrado juros 
 
 
48 
 
de 0,3% por dia de atraso. Se a conta de um morador for de R$580,00 e 
ele pagar essa conta com 15 dias de atraso, qual será o valor pago? 
Resolução: 
Dados: t = 15 dias 
 I = 0,3% = 0,003% 
 C = R$ 580,00 
Aplicando M= c(1+i.t) temos: 
𝑀 = 580(1 + 15 × 0,003) = 
𝑀 = 580(1 + 0,045) = 
𝑀 = 580(1,045) = 
𝑀 = 606,10 
O valor pago na conta de energia é de R$ 606,10. 
3) Uma dívida de R$13 000,00 foi paga 5 meses depois de contraída e 
os juros pagos foram de R$ 780,00. Sabendo que o cálculo foi feito 
usando juros simples, qual foi a taxa de juros? 
Resolução: 
Dados: c = R$ 13000,00 
 J = R$ 780,00 
 t = 5 meses 
Aplicando J = c.i.t temos: 
𝐽 = 𝑐. 𝑖. 𝑡 = 
780 = 13000 × 5 × 𝑖 = 
780 = 6500𝑖 = 
𝑖 =
780
6500
= 
𝑖 = 0,012% 
A taxa de juros aplicada foi de 0,012% ao mês. 
Exercícios 
1) Um investidor aplica R$ 1.000,00 a juros simples de 3% ao mês. Determine o valor 
do montante após um ano: 
 
2) Calcule o juro que renderá um capital de R$ 15.000,00 aplicado a uma taxa de 
juros simples de 12% ao ano, durante seis meses. 
 
3) Um capital foi aplicado a juro simples com taxa de 10% ao mês, durante cinco 
meses. Se no fim desse período o juro produzido foi de R$ 305. Qual foi o capital 
aplicado? 
a) 500,00 
b) 600,00 
c) 390,00 
d) 610,00 
 
4) Um capital é aplicado a juros simples a taxa de 4% ao mês por quarenta e cinco 
dias. Calcule os juros como porcentagem do capital aplicado. 
a) 4% 
b) 4,5% 
c) 5% 
d) 6% 
e) 6,12% 
 
5) Para que ao final de 25 meses da aplicação de um capital produza juros simples 
iguais a 4 / 5 de seu valor, ele deve ser investido a taxa mensal de: 
a) 2,6% 
b) 2,8% 
c) 3,2% 
d) 3,6% 
e) 3,8% 
6) m investidor aplica R$ 30.000,00 a juros simples. Após 5 meses, resgata 
totalmente o montante de R$ 36.000,00 referente a esta aplicação e o aplica em 
outro banco, durante 3 meses, a uma taxa correspondente ao dobro da primeira 
aplicação. O montante final do segundo período é igual a: 
 
 
50 
 
a) R$ 44.136,00 
b) R$ 44.640,00 
c) R$ 44.560,00 
d) R$ 44.860,00 
e) R$ 36.00,00 
 
7) Se, ao final de um prazo de 8 anos, um capital teve seu valor duplicado, então a 
taxa anual de juros simples da aplicação era de: 
a) 12% 
b) 12,5% 
c) 12,75% 
d) 13% 
e) 13,5% 
 
8) Um investidor aplicou 25.000,00 no sistema de juro simples durante 8 meses e 
recebeu, ao final da aplicação, um montante de 27.500,00. A taxa anual de juros 
simples dessa aplicação foi igual a: 
a) 22% 
b) 20% 
c) 18% 
d) 16% 
e) 15% 
 
9) Numa loja um objeto custa 1.200,00 a vista. Uma pessoa compra esse objeto em 
duas parcelas iguais de 840,00, pagando a primeira no ato da compra e a segunda 
30 dias depois. Os juros cobrados por essa loja foram a uma taxa de: 
a) 50% 
b) 40% 
c) 30% 
d) 20% 
e) 1
 
 
 
 
51 
 
Desafio 
Um capital aplicado a juros simples gerou um montante de 1,1x ao fim de 2 meses e 
15 dias. Qual a taxa de juros simples anual de aplicação deste capital: 
a) 48% b) 10% c) 4% d) 54% e) 60% 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
Respostas dos Exercícios Álgebra Elementar 
Conjuntos: 3)a) e b) o 4) d 5) (2;5) 6) (0;1) 7) 30 8) (1;5;8) 9) b 
Potência: 1) 2² 2) 0,0336 3) 1/5254) -200 5) 299 6) d 7) 3593/4128 
Radiciação: 1) 28√2
3
 2) 2√6
4
 3) 4(3 − 2√2 4) 8 5) 2 
Produtos Notáveis e Fatoração: 1) 2a³(b-1)²(b-1+2a) 2) (x+1/x)(x²-1+1/x²) 
3) (x-1)(x+1)(x²+x+1) 4) 16x²+8 5) 5𝑥4 + 16) √5 + √3 7) √14 − √12 8) √6 
9) x²-2xy+y²-a² 
Equações do 1º grau: 1) x = 1 2) x = -4 3) m = 
6+2√2
7
 4) x = 12 5) x = 12 
6) 2x+x/6=3x 
Sistemas de Equação do 1º grau: 1) (15;4) 2) (11;12) 3) (3,5;6) 
Equação do 2º grau: 1) 4 ± √15 2) (
1±√10
3
) 3) ±
1
2
 4) 
14
9
 5) 4 
Equação Biquadrada: 1) (3;-3;1;-1) 2) (1;-1;1/2;-1/2) 3) 0 
Equação Irracional: 1) 1; 2) (1/2; -1) 3) 5; 4) (2;3) 
Porcentagem: 1) 12,5% 2) 200 3) 12 meninas 4) 40% 
Regra de Três: 1) 160 min 2) 15 dias 3) 18 folhas 4) 150 Kg 
Juros Simples: 1) R$ 1360,00 2) R$ 900,00 3) d 4) d 5) c 6) b 7) b 8) e 9) b 
Dicas 
Sinais 
 
Multiplicação ou Divisão 
+ + + 
+ - - 
- + - 
- - + 
 
Sinais iguais positivo. 
Sinais diferentes negativo. 
Soma e Subtração 
Efetua a operação conservando o sinal do número de maior módulo. 
Exemplo: 
3 − 10 = −7 
 
 
53 
 
−7 + 10 = 3 
Neste último caso temos o número de maior módulo foi o 10, logo 
conservamos o seu sinal. 
Módulo 
Distância do número até a origem numa reta numérica é indicado 
pela presença das barras. 
|−5| = 5 
|5| = 5 
A distância do número -5 e 5 até a origem é a mesma. 
 
-5 0 5 
 
 Origem 
Conversão de Unidades 
No dia a dia, nos deparamos com situações das quais há uma 
necessidade de converter unidades, seja horas em minutos, metros 
em quilômetros entre várias outras. O objetivo aqui é facilitar alguns 
processos de conversão para que você ganhe tempo no seu cálculo. 
O “pulo do gato” é saberas principais unidades, e então montar 
proporções para fazer conversões. 
Medidas de Comprimento 
As unidades de medidas são: metro (m), quilômetro (km), hectômetro 
(hm), decâmetro (dam), decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro 
(mm). 
Múltiplos Base Submúltiplos 
km hm dam m dm cm mm 
1000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m 
 
Medidas de Tempo 
 
 
54 
 
Hora Minuto Segundo 
1hora = 60 min 1 min 1 min = 60 segundos 
 
Medidas de Massa 
As unidades do sistema métrico decimal de massa são: quilograma 
(kg), hectograma (hg), decagrama (dag), grama (g), decigrama (dg), 
centigrama (cg), miligrama (mg). 
kg hg dag g dg cg mg 
0,001 g 0,01 g 0,1 g 1 g 10 g 100 g 1000 g 
 
Há outras unidades de medidas como: 
Tonelada: indicada para grandes quantidades de massa 1 tonelada 
= 1.000 kg. 
Arroba: Utilizada para medir a massa de rebanhos e outros produtos 
1 arroba = 15 kg. 
Quilate unidade utilizada para medir a massa de pedras preciosas 1 
quilate = 0,2 g. 
Medidas de Volume 
Volume representa o espaço ocupado pelo um corpo, sendo o 
produto de 3 dimensões, altura multiplicada pelo comprimento e a 
largura. 
As unidades do sistema métrico decimal de volume são: quilômetro 
cúbico (km3), hectômetro cúbico (hm3), decâmetro cúbico (dam3), 
metro cúbico (m3), decímetro cúbico (dm3), centímetro cúbico (cm3) e 
milímetro cúbico (mm3). 
Múltiplos Base Submúltiplos 
km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³ 
𝟏𝟎−𝟗m³ 10−6m³ 10−3m³ 1 m³ 10³ m³ 106m³ 109m³ 
 
 
 
55 
 
Medidas de Capacidade 
As medidas de capacidade são utilizadas para definir o volume no 
interior do recipiente. 
1 L = 1 dm³ 
Sendo as principais unidades. 
O litro (L) é a unidade fundamental de capacidade. Entretanto, 
também é usado o quilolitro (kL), hectolitro (hL) e decalitro (daL) que 
são seus múltiplos e o decilitro (dL), centilitro (cL) e o mililitro (mL) 
que são os submúltiplos. 
Múltiplos Base Submúltiplos 
kL hL daL L dL cL mL 
0,001 L 0,01 L 0,1 L 1 L 10 L 100 L 1000 L 
 
Notação Científica 
Técnica de escrever números muito grandes ou muito pequenos por 
meio da potência de base 10. Esta técnica é muito utilizada em 
Física, Astronomia talvez é seja uma das ferramentas mais 
importantes desses conteúdos. 
𝛼 × 10𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 1 ≤ 𝛼 ≤ 10 
Onde α é a mantissa, 10 a base e n o expoente ou ordem de 
grandeza. 
Para transformar números em notação científica, basta movermos a 
vírgula para a direita ou esquerda, adicionando ou subtraindo o 
expoente. 
Exemplo: 
Transforme em notação científica: 0,0000000000454 
4,54 × 10−11 
Ou seja, se movemos a vírgula para a direita subtraímos -1 do 
expoente para cada casa. 
 
 
56 
 
Transforme em notação científica: 145600000000 
1,45 × 1011 
Ao mover a vírgula para a esquerda adicionamos o expoente em +1 
para cada casa. 
Para efetuar as operações com notação científica é muito simples. 
Multiplicação ou Divisão 
Basta multiplica/dividir as mantissas e somar/subtrair os expoentes. 
Exemplo: 
Multiplicação: 
1,54 × 104 ∗ 2 × 103 = 2 ∗ 1,54 × 104+3 = 3,08 × 107 
Divisão: 
4,5 × 108
9 × 10−2
=
4,5
9
× 108−(−2) = 0,5 × 1010 = 
5 × 1010−1 = 5 × 109 
Adição ou Subtração 
Adicionar ou subtrair a regra é simples adicionar ou subtrair apenas 
se os expoentes forem iguais. Logo: 
𝛼 × 10𝑛 ± 𝛽 × 10𝑚 𝑎𝑝𝑒𝑛𝑎𝑠 𝑠𝑒 𝑛 = 𝑚 
Exemplo: 
3,5 × 103 ± 4 × 104 
Como as potências são diferentes temos que igualar ambas 
movimentando a vírgula de qualquer uma das potências, vamos a 
primeira então: 
3,5 × 103 → 35 × 103+1 = 35 × 104 
Agora temos as potências equivalentes, basta realizar as operações 
e conservar os expoentes. 
35 ± 4 × 104