Matemática e Raciocínio Lógico

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Contelldo comum a todos os cargos de nível médio 
MATEMÁTICA 
1. Conjuntos Numéricos; 1 
1.2. Números naturais e números inteiros: operações, relação de ordem. divisibilídade, máximo divisor 
comum e mínimo múltiplo comum; 
1.3. Números fracionários e decimais: operações, relação de ordem, propriedades e valor absoluto. 
/-" 
2. Razão e Proporção; 15 
2.1. Grandezas diretamente e inversamente proporcionais; 
2.2. Regra de três simples e composta; 
2.3. Porcentagem; 
.~ 2.4. Juros simples e compostos. 
..­
3. Funções; 40 
r­
3.1. Conceito e representação gráfica de funções afim, quadrática e modular. 
r-­ 4. Sistemas de equações lineares com duas incógnitas; 
. 4.1. Resolução, discussão e representação geométrica.~ 
5. Geometria; 47 
r· 5.1. Figuras geométricas planas: ângulos, retas. polígonos, circunferências e círculos. 
5.2. Relações métricas nos polígonos; 
5.3. Perímetro de polígoniJ e comprimento de circunferência. 
5.4. Área de polígono e c..J círculo. 
r 6. Noções de Estatística; 63 
6.1 Apresentação de dados estatísticos: tabelas e gráficos. 
6.2. Medidas de central idade: média aritmética, média ponderada. mediana e moda. 
,~. 
.~ 
/" 
!. ~. 
r ­
/"­
,~-
,~ 
r-- ' 
r' 
ii 
MATEMÁTICA 
~CONJUNTOS NUMÉRICOS 
Conjuntos numéricos podem ser representados de diversas 
formas. A forma mais simples é dar um nome ao conjunto e 
expor todos os seus elementos, um ao lado do outro, entre 
os sinais de chaves, Veja o exemplo abaixo: 
A={51. 27, -3} 
Esse conjunto se chama "A" e possui três termos, que 
estão listados entre chaves. 
Os nomes dos conjuntos são sempre letras maiúsculas. 
Quando criamos um conjunto, podemos utilizar qualquer 
letra. 
Vamos começar nos primórdios da matemática. 
- Se eu pedisse para você cOl1tar até 10, o que você me 
diria? 
- Um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove e dez. 
Pois é, estes números que saem de sua boca 
quandO solicitado, são chamado~ números NATURAIS, 
o qual é representado pela letra (J!!). 
Foi o primeiro conjunto inventado pelos homens, e tinha 
como intenção mostrar quantidades, 
·Obs.: Originalmente, o zero não estava incluido neste 
conjunto, mas pela necessidade de representar uma quan­
tia nula, definiu-se este número como sendo pertencente 
ao conjunto dos Naturais, Portanto: 
N={O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} 
Obs.2: Como o zero originou-se depois dos outros núme­
ros e possui algumas propriedades próprias, algumas ve­
zes teremos a necessidade de representar o conjunto dos 
números naturais sem incluir o zero. Para isso foi definido 
que o simbolo ~) empregado ao lado do símbolo 
do conjunto, iria representar él ausência do zero. Veja o 
exemplo abaixo: 
N* ={1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} 
Estes números foram suficientes para a sociedade durante 
algum tempo. Com o passar dos anos, e o aumento das 
"trocas" de mercadorias entre os homens, foi necessário 
criar uma representação numérica para as dívidas, 
Com isso inventou-se os chamados "números negativos", e 
junto com estes números, um novo conjunto: o conjunto 
dos números inteiros, representado pela letra $. 
O conjunto dos números inteiros é formado por todos os 
números NATURAIS mais todos os seus representantes 
negativos. 
Note que este conjunto não possui inicio nem fim (ao con­
trário dos naturais, que possui um inicio e não possui fim). 
Assim como no conjunto dos naturais, podemos represen­
tar todos os inteiros sem o ZERO com a mesma notação 
usada para os NATURAIS. 
Apostilas 
z1)= {..., -2, -1, 1,2, ... } 
Em algumas situações, teremos a necessidade de repre­
sentar o conjunto dos números inteiros que NÃO SÃO 
NEGATIVOS. ' 
Para isso emprega-se o sinal "+" ao lado do símbolo do 
conjunto (vale a pena lembrar que esta simbologia repre­
senta os números NÃO NEGATIVOS, e não os números 
POSITIVOS, como muita gente diz). Veja o exemplo abai­
xo: 
z. ={0,1, 2, 3,4, 5, ...} 
Obs.1: Note que agora sim este conjunto possui um início. 
E você pode estar pensando "mas o zero não é positivo". O 
zero não é positivo nem negativo, zero é NULO, 
Ele está contido neste conjunto, pois a simbologia do sinal­
zinho positivo representa lodos os números NÃO NEGATI­
VOS, e o zero se enquadra nisto. 
Se quisermos representar somente os positivos (ou seja, 
os não negativos sem o zero), escrevemos: 
Z*+ ={1. 2,3,4,5, ...} 
Pois assim teremos apenas os positivos, já que o zero não 
é positivo, 
Ou também podemos representar somente os inteiros NÃO 
POSITIVOS com: 
Z _={...,- 4, - 3, - 2, -1 , O} 
Obs.: Este conjunto possui final, mas não possui inicio, 
E também os inteiros negativos (ou seja. os não positivos 
sem o zero): 
Z*_ ={...,- 4, - 3, - 2, -1} 
Fonte: 
http://www.tutorbrasil.com,brfestudo_matematica_online/co 
njuntosfconjuntos.php 
Assim: 
ç-oojI:iÍltqJq~;N:úq'l~rg~~alu~~s::; .. ·• 
São todos os riÓmeros"íílteiros'pôsltivós, incluindo o zero, É 
representado pela letra maiúscula N. 
Caso queira representar o conjunto dos números naturais 
não-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar um * ao lado 
do N: 
N= {O, 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...} 
N* ={1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10,11, ...} 
~~~?iEl.9$;;~~~~~An~~~!'": .•.. 
São todos os números que pértencem ao conjunto dos 
Naturais mais os seus respectivos opostos (negativos), 
São representados pela letra Z: 
Z = { ... -4, -3, -2, -1, 0,1,2,3,4, ...} 
O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos. eles 
são: 
- Inteiros não negativos 
São todos os números inteiros que não são negativos. Logo 
percebemos que este conjunto é igual ao conjunto dos nú-
Matemática 
http:http://www.tutorbrasil.com
Apostilas -
meros naturais. 
É representado por 2..: 
z. = {O,1,2,3,4.5,6, ..•} 
- Inteiros não positivos 
São todos os números inteiros que não são positivos. É 
representado por z.: 
z. ={..., -5, -4, -3, -2, -1, O} 
- Inteiros não negativos e não-nulos 
É o conjunto Z. excluindo o zero. Representa-se esse sub­
conjunto por Z·.: 
Z*. ={1, 2, 3, 4.5,6,7, ... } 
Z*. = N* 
- Inteiros não positivos e não nulos 
São todos os números do conjunto Z. excluindo o zero. 
Representa-se por Z*.. 
Z". = { ... -4, -3, -2, -1} 
~J1ljaat~_mé~r.'ii~d§,i}J. 
Os números racionais é um conjunto que engloba os núme­
ros inteiros (Z). números decimais finitos (por exemplo. 
743,8432) e os números decimais infinitos periódicos (que 
repete uma seqüência de algarismos da parte decimal infini­
tamente), como "12.050505...". são também conhecidas 
como dízimas periódicas. 
Os racionais são representados pela letra Q. 
formado pefônümeros decimaísinfinitos não-periódicos. 
Um bom exemplo de número irracionai é o número Pi (resui­
tado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu 
diâmetro). que vale 3.14159265 .... Atualmente, supercom­
putadores já conseguiram calcular bilhões de casas deci­
mais para o PI. 
Também são irracionais todas as raízes não exatas. como a 
raiz quadrada de 2 (1,414213E ...) 
formado por todos os conjuntos citados anteriormente 
(união do conjunto dos racionais com os irracionais). 
Representado pela letra R. 
Representação geométrica de IR 
A cada ponto de uma reta podemos associar um único nú­
mero real, e a cada número real podemos associar um 
único ponto na reta. 
Dizemos que o conjunto IR é denso. pois entre dois núme­
ros reais existem infinitos números reais (ou seja. na reta, 
entre dois pontos associados a dois números reais. existem 
infinitos pontos). 
Veja a representação na reta de IR : 
Matemática 2 
:1. 
0.5 2 ,f5 'JT 
i I I I I to 
-4 ·3 -2 ·1 O :2 ,3 -4 
Fonte: http://www.infoescola.com/matematicafconjuntos­
numericosf 
CONJUNTOS DOS 
NÚMEROS NATURAIS 
IN ={O, 1.2,3. 4....} e 
1N* = { 1. 2, 3. 4 .... } =Conjunto dos números naturais 
não nulos. 
Obs.: Dados dois números naturais. a e b, temos que. 
a ::: b ou ab. se a ;J; b. temos que a b. 
Operações em IN 
Dados: a. b, c e n E IN, temos: 
a + b =C =!> Adição 
a - b ::: C =!> Subtraçãocom a > b 
a. b = c =!> Multiplicação 
a: b =c =!> Divisãotaxa previamente combinada. 
1.2 Cálculo dos juros simples 
O juro é simples quandó é produzido unicamente ../ 
pelo capital inicial. 
Se, por exemplo. colocarmos o capital equivalente a 
500 u.m. a juros durante 4 meses, à taxa de 1% ao mês, 
teremos em cada mês Su.m. de juros. 
Os juros são todos iguais, pois são calculados sobre 
o mesmo valor (SOO). que é o capital inicial. Podem ser 
retirados no fim de cada mês ou no fim de 4 meses; o total 
será o mesmo, ou seja. 20. 
No exemplo acima, os juros (20) são obtidos fazen­
do: S' x 4. onde 5 é 1% de 500 e 4 é o número de meses 
em que o capital esteve aplicado. Portanto: juro = 500 x 
0,01 x 4. 
o fator 0,01 constitui a taxa unitária e COíí6sponde 
aos juros de uma unidade de capital. 
Denominando: 
j= juro, 
C =capital (500). 
i =taxa unitária (0.01 corresponde a 1%), 
n=número de períodos (4 meses). 
temos: 
J=Ci n 
Nesta fórmula, a taxa e o número de períodos de­
vem referir-se à mesma unidade de tempo; isto é, se a taxa 
for anual. o tempo deverá ser expresso em numero de 
anos; se a taxa for mensal. o tempo deverá ser expresso 
em número de meses etc. 
à taxa empregada em todas as fórrnulas da mate­
mática financeira é a unitária, que corresponde à taxa cen­
tesimal dividida por 100. Dessa forma, a taxa de 6% é 
centesimal e a taxa unitária correspondente é de 0,06; isto 
quer dizer que, se um capital de 100 produz 6 de juros, o 
capital de 1 produz 0,06 de juros. 
~~ 
Matemática 24 
http:R$150.00
http:2.000.00
http:R$12.000.00
http:23.600.00
http:3.600.00
,"-', 
/ ­
.~ 
J­
:>. 
Apostilas
í· 
EXEMPLOS 
1. Determinar os juros de um capital 800 u.m., a 
12% ao ano, durante 7 meses. 
Neste exemplo. temos a taxa anual de 12% e o 
tempo em meses (7). Para aplicarmos a fórmula. devemos 
tomar a taxa e o número de períodos na mesma unidade 
de tempo. Assim, 12% a.a. corresponde a 0,12 (taxa unitá­
ria anual) e 7 meses são 7 do ano. 
12 
j= Cin 
j =800 x 0,12 x 2­
12 
j=56 
Podemos, entretanto, empregar a taxa mensal pro­
porcionai a 12% ao ano. ou seja, 1% ao mês, que corres­
ponde à taxa unitária 0,01 e colocar. o número de períodos 
em meses, 7. Portanto: 
j = C i n 
j =800 x 0,01 x 7 
j =56 
2. O capital 400 foi colocado a 20% ai. durante 9 
meses. Determinar os juros. Neste problema, a taxa e o 
número de períodos podem ser expressos com relação ao 
trimestre. A taxa de juros trimestral proporcional a 20% a.a. 
é5% (0,05), e 9 meses são 3 trimestres. Portanto: 
j= C i n 
j =400 x 0,05 x 3 
j=60 
1.3 Montante 
Chama-se montante o capital acrescido de seus ju­
ros. A notação para montante ~ Cn (capital com juros acu­
mulados em n periodos) 
Cn =C + j 
comoj= C in 
Cn=C+Cin 
Colocando o fator comull) C em evidência, temos 
r--cn.==ç (1 + in) 
EXEMPLOS 
1. 	 Qual o montante de um capital 600, a 18% a.a, 
durante 8 meses? 
Cn = C(1 +in) 
i = 0,015 (1,5% ao mês) 
n =8 (meses) 
Cn =60Q(1+0,015x8) 
Cn =600x 1,12 
Cn =672 
!!!!! 
Matemática 
~ 
~ 
25 
2. 	 Qual o capital que produz o montante de 285, a 
28% ai., durante 6 meses? Da fórmula do mon­
tante, Cn= C(1 +i n) deduzimos a fórmula para 
o cálculo do capital 
C=~ 
1+ín 
onde: 
Cn = Cz= 285 
i =0,07 (7% ao trimestre) 
n =2 (trimestres) 
C= 285 
1+0,07x2 
C= 285 
1.14 
C= 250 
1.4 Divisor fixo 
Quando o tempo de aplicação de um capital for ex­
presso em dias, às vezes há dificuldade para converter a 
taxa e o número de per iodos na mesma unidade de tem­
po. Para contornar essa dificuldade pode-se usar o método 
do divisor fixo para o cálculo dos juros. 
Chama-se divisor fixo A (delta) a relação 36.000 
onde r é a taxa centesimal anual dos juros. 
Para obter a fórmula dos juros com o emprego do 
divisor fixo, tomamos 
j = C i n 
onde i =_r_. Como ré taxa anual, devemos trans­
. 100 
formá-Ia em taxa diária, pois o 
100 
número de períodos será representado por número 
de dias. Sendo o ano comercial r 
considerado de 360 dias, dividindo _r_ 
100 
por 360 
temos a taxa diária. 
. r 
Portanto: I = - ­
36.000 
Substituincjo a fórmula dos juros;, 
. C rJ= ·--·n 
36.000 
A expressão __r_o representa o inverso do divi­
36.000 
sor fixo. Assim, 
. C 1J= ·_·n 
Ll 
Apostilas 
,-
. Cn 
J=-:1 
EXEMPLOS 
1. 	 Determinar os juros do capital 300, a 24% a.a, 
durante 2 meses e 28 dias. 
· CnJ=­
6 
C=300 
n =88 (dias) 
36.000 _ 36.000 =1.500 
il= -- - 24 
r 
300x88 
1.500 
j =17,60 
2. 	 Qual o montante do capital 80 no fim de 3 me­
ses e 17 dias, a 18% a.a? 
· CnJ=­
il 
C =80 
n = 107(dias) 
36.000 =2.000 
il = 18 
80x 107 
j = 2.000 
] = 4,28 
C107 =80+4.28 
C107 = 84.28 
Para a solução deste problema, pode-se deduzir 
uma fórmula para calcular diretamente o montante com 
emprego do divisor fixo. 
Cn = C +j 
· Cn
J=­
il 
Cn =C+ Cn 
il 
C =ilC+Cn 
n il 
C = C(il+n} 
n 
il 
Resolvendo o problema com esta fórmula, temos: 
C107 =80(2.000 + 107) 
2.000 
C107 = 84,28 
~J 
-' 
JUROS COMPOSTOS 
--. 
I 
...J 
M=C+J 
Assim, M = C ( 1 + i ) t 
No montante composto em função dos juros serem 
capitalizados ("juro sobre juro" ), o juro incide sobre o capi­
tal já corrigido, assim o valor do juro é crescente. enquanto 
que no juro simples o valor do juro é constante. 
CONVENÇÃO LINEAR E EXPONENCIAL 
As convenções são utilizadas quando é pedido no 
problema a resolução através de uma das convenções e é 
dado o tempo fracionado, por exemplo: 2 meses e 5 dias 
ou 258 anos e 2 meses.... 
LlNEAR-> Para resolvermos esse tipo de problema 
usa-se a fórmula M = C ( 1 + i ) I' X ( 1 + i t"), onde t' é a 
parte inteira e t" é a fração. 
Obs: O termo linear refere-se ao fator ( 1 + in que 
nada mais é do que uma função linear ou de 1° grau. 
Vamos exemplificar: 
Se o tempo dado é 5 anos e 6 meses, a taxa de ju­
ros é 10% a.a. e o capital é R$35,600,00 • então: 
M= 35.600 [1 + (10 -;. 100)J 5 x [1 + (10 -;. 100) x (6-;. 
12)J 
M =35.600 ( 1,6105) x ( 1,05) =R$60.200,49. 
Matemática 26 
Apostilas 
EXPONENCIAL: A diferença da linear é que se uti­
liza a seguinte fórmula: 
M=C(1 +i)l'+r' 
"L Obs: Otermo exponencial refere-se ao fator 
(1+i)r+r 
que é uma função exponencial. 
*Considerando os mesrnos dados do problema an­
terior teremos: 
M = 35.600 [1 + (10 + 100) J5+(6-12) 
?­ M =35.600 (1,6891) =R$60.131 ,96 
DESCONTO COMPOSTO RACIONAL 
Lembrete: C (capital) é também conhecido como 
Valor Atual e M (montante) como Valor Nominal. 
Dc =M - C =C ( 1 +i ) t - C => 
Dc=C[(1+i)t- 1] 
EQUIVALÊNCIA E PROPORCIONALI DADE 
No juro composto ser equivalente é diferente de ser 
proporcional. Da mesma forma a taxa nominal é diferente 
da taxa efetiva. 
DICA DE PROVA-> quando não há referência clara 
na questão, utiliza-se a proporcionalidade. 
PROPORCIONALIDADE 
Ex. 12% a.a. é proporcional a 1% a.m., ok ? Nesse 
caso 12% é taxa nominal. 
EQUIVALÊNCIA 
/' 
Ex. 12% a.a. é equival"lnte a 0,9488% a.m.. Vou 
explicar: 
Na equivalência considera-se o "juro sobre juro" ou 
seja (Hfj}j I. 
U 
Então: ( 1 + 0,009488) 12 = ( 1 + i ) 1; com essa i­
gualdade eu estou perguntando à equação qual o fator que 
elevado a 12 (meses) é igual a outro fator elévado a 1 
(ano). 
Assim, se (1,009488) 12 = 1,12, então 1,12 =1 +i, 
indica que i =1,12 -1 ou i = 0,12, logo i = 12% a.a. 
Nesse caso 12% é taxa efetiva. 
Ex. 15% a.1.(ao trimestre) é equivalente a que taxa 
mensal? 
(1+0,15)1 =(1+i)3 => 1,15 = (1+i)3 => achando-se a 
raiz cúbica dos dois termos encontramos 1,047689 = 1+i, 
assim a taxa mensal equivalente a 15% a.1. é 4,76% a.m .. 
Fonte: 
hltp:ffwww.matematicalinanceira.hpg.ig.com.br~illroscompos!os. 
hlrnl 
TESTES I 
1) Em qual das alternativas está indicado o ponto do eixo 
das abcissas onde o gráfico da equação do 1° grau y 
=3.x ­ 12 intercepta esse eixo? 
a) 4 
b) 3 
c) 36 
d) -3 "",.--' 
2) Uma refinaria tinha, em 2004, capacidade para pro­
cessar 224 mil barris de petróleo por dia. Com a am­
pliação das instalações, essa capacidade aumentou 
em3/8 no ano seguinte.Assim, pode-se concluir que, 
em 2005, a capacidade de processamento dessa refi­
naria, em milhares de barris diários, passou a ser de: 
a) 252 
b) 308 
c) 318 
d) 352 
3) Obtenha o mínimo múltiplo comum entre 6,10 e 15.. 
a) 30 
b) 60 
c) 90 
d) 120 
4) Para construir dez paredes é preciso 4 sacos de ci­
mento. Utilizando 28 sacos de cimento, qual é o total 
de paredes que poderei construir? 
a) 70 
b) 28 
c) 10 
d) 7 
Matemática 27 
Apostilas 
./ 
-' 
~: 
, '. 
i·:,í
.1 
Apostilas 
{ 
.­
~. 
/ 
.~ 
~ 
~ 
a) 300 pessoas. 
b) 400 pessoas. 
c) 500 pessoas 
d) 600 pessoas. 
20) 	 Uma refinaria tinha, em 2004, capacidade para pro­
cessar 224 mil barris de petróleo por dia. Com a am­
pliação das instalações, essa capacidade aumentou 
em3/8 no ano seguinte. Assim, pode-se concluir que, 
em 2005, a capacidade de processamento dessa refi­
naria, em milhares de barris diários, passou a ser de: 
a) 252 
b) 308 
c) 318 
d) 352 
21) 	 Em uma receita para preparar 30 brigadeiros, são 
necessários uma lata de leite condensado, 200 g de 
chocolate em pó e meio tablete de margarina. Utili­
zando essa receita, e dispondo de 20 latas de leite 
condensado, 2600 g de chocolate em pó e 7 tabletes 
de margarina, o número máximo de brigadeiros que 
poderemos fazer é: 
a) 600 
b) 420 
c) 400 
d) 390 
22) 	 De cada R$100,00 do lucro de certa empresa, 
R$20,00 vinham das vendas no mercado interno e 
R$80,00, de exportações. Se o valor referente às ex­
portações fosse reduzido em 10%, o lucro total dessa 
empresa se manteria inalterado se as vendas no mer­
cado interno aumentasseP1 em: 
a) 8% 
b) 10% 
c) 20% 
d) 40% 
23) 	 Em uma escola, 60% dos estudantes são do sexo 
masculino e, destes, 30% usam óculos. Qual a por­
centagem de estudantes dessa escola que são do se­
xo masculino e usam óculos? 
a) 10% 
b) 18% 
c) 25% 
d) 30% 
24) 	 Um capital no valor de R$ 80.000,00 é aplicado a uma 
taxa de juros simples, durante 8 meses, resultando 
em um montante igual a R$ 96.000,00 no final do pe­
ríodo. Aplicando outro capital no valor de R$ 
100.000,00, durante um certo período de tempo t, com 
a mesma taxa de juros simples anterior, o montante 
apresentado no final do período seria igual a R$ 
115.000,00. Então, t é igual a: 
a) 4 meses. 
b) 5 meses. 
c) 6 meses. 
d) 7,5 meses. 
25) 	 Cinco trabalhadores de produtividade padrão e traba­
lhando individualmente beneficiam ao todo 40 kg de 
castanha por dia de trabalho de 8 horas. Consideran­
do que existe uma encomenda de 1,5 toneladas de 
castanha para ser entregue em 15 dias úteis, quantos 
trabalhadores de produtividade padrão devem ser u­
tilizados para se atingir a meta pretendida, trabalhan­
do dez horas por dia? 
a) 5 
b) 10 
c) 15 
d) 20 
26) 	 Carla aplicou 3/5 de um certo capital C a uma taxa de 
10% ao ano e aplicou o restante a uma taxa de 15% 
ao ano. Ao final de um ano Carla recebeu R$ 2.400,00 
de juros. O valor de C é: 
a) R$ 6.400,00 
b) R$ 20.000,00 
c) R$ 14.400,00 
d) R$ 16.000,00 
27) 	 De um recipiente cheio de água, tiram-se 2 1 3 do 
conteúdo. Recolocando-se 30 litros de água, o conte­
údo passa a ser a metade do volume inicial. A capaci­
dade do recipiente é: 
a) 45 litros 
b) 75 litros 
c) 180 litros 
d) 150 litros 
28) 	 O máximo divisor comum dos números 16 e 120 é 2n 
. 
O valor de n é um número: 
a) primo. 
b) múltiplo de 5. 
c) múltiplo de 7. 
d) divisor de 8. 
29) 	 Foi prevista a execução da reforma de um quartel em 
um tempo t, empregando certo número de funcioná­
rios que trabalhariam 8 horas diárias. A escassez de 
verbas obriga a executar a reforma com a metade dos 
funcionários previstos, trabalhando 6 horas por dia. 
Nessas condições, espera-se que o tempo de execu­
ção da reforma seja: 
a) 2t 
b) 3/2t 
c) 8/3t 
d) t 
30) 	 Uma empresa aérea que presta serviços de helicópte­
ro transporta 2 passageiros por viagem. Sabe-se que 
essa empresa aérea realiza sete viagens por dia de 
segunda a sexta-feira e oito viagens por dia aos sá­
bados e domingos. Considere o mês de janeiro que i­
nicia em uma segunda feira e calcule o total de pas­
sageiros transportados até a última viagem do dia 31. 
Considere também que cada passageiro fez uso da 
companhia aérea somente uma vez. 
a) 420 
b) 176 
c) 584 
d) 450 
RESPOSTAS 
Matemática 29 
-/ 
Apostilas 
01.A 11.A 21.0 
02.8 12.0 22.D 
03.A 13.8 23.8 
04.A 14.C 24.C 
05.C 15.D 25.8 
06.D 16.0 26.8 
07.C 17.D 27.C 
08.C 18.A 28.A 
09.A 19.D 29.C 
10.8 20.8 30.D 
TESTES \I 
01) Um produto que custava R$ 200,00 teve um acrésci­
mo no preço de R$ 16,00. A taxa percentual de aumento 
foi de: 
a) 16% 
b) 20% 
c) 8% 
d) 1,6% 
02) Um mesmo conjunto de farda é vendido em duas 
lojas A e 8, sendo R$ 40,00 mais caro na loja 8. Se a loja 
8 oferecer 10% de desconto no preço do produto, este 
ainda assim será 5 % mais caro do que custa na loja A. O 
preço do conjunto na loja A é: 
a) R$ 300,00 
b) R$ 280,00 
c) R$ 260,00 
d) R$ 240,00 
03) Em abril de 2007 foram arrecadados em impostos 
federais cerca de R$ 56,1 bilhões. Esse montante repre­
sentou 10% a mais do que foi arrecadado no mesmo mês 
em 2006. A arrecadação de impostos federais no mês de 
abril de 2006, em bilhões de reais, foi: 
a) 50,1; 
b) 50,49; 
c} 51,0: 
d) 54,9; 
04) Um funcionário teve um aumento de 12% em seu 
saiário, que passou a ser de R$ 593,60. 
Então, o valor do salário anterior era de: 
a) R$ 463,00. 
. b) R$ 528,00. 
c) R$ 530,00. 
d) R$ 712,30. 
05) Um município brasileiro promoveu um concurso para 
preencher as 28 vagas de merendeira. Inscreveram-se 
2.492 candidatos. O número de merendeiras que concor­
reu a cada vaga foi: 
a) 90 
b) 91 
c) 92 
d) 89 
Matemática ­ 30 
06) Jorge trabalha na copa da Secretaria de Educação. 
Sua tarefa é fazer café e servi-lo a todos os funcionários e 
visitantes. Diariamente Jorge serve 250 cafezinhos e gasta 
100 gramas de pó de café para 25 xicaras. O gasto de pó 
de café diário na Secretaria é de 1 Kg: 
a) 0,50 Kg: 
b) 0.75 Kg: 
c) 1 Kg; 
d) 2,50 Kg; 
07) Calcular os juros comerciais ou ordinários, prodUZIdOS 
pelo capital de R$ 9.000,00, aplicado durante 2 anos 7 
meses e 6 dias, ã taxa de 9% ao ano. 
a) R$ 2.206,00 
b) R$ 2.106,00 
c) R$ 2.006,00 
d) R$ 2.056,00 
08) Um capital no valor de R$ 80.000,00 é aplicado a uma 
taxa de juros simples. durante 8 meses, resultando em um 
montante igual a R$ 96.000,00 no final do periodo. Apli­
cando outro capital no valor de R$ 100.000,00. durante um 
certo período de tempo t. com a mesma taxa de juros sim­
ples anterior, o montante apresentado no final do periodo 
seria igual a R$ 115.000,00. Então. t é igual a: 
a) 4 meses. 
b) 5 meses. 
c) 6 meses. 
d) 7,5 meses. 
09) O vendedor informou-lhe que ela poderia comprar o 
mesmo aparelho de som em 5 vezes, mas com 10% de 
juros. Nesse caso, por quanto sairia o aparelho? 
a) R$ 380,80 
b) R$ 381.80 
c) R$ 382,80 
d) R$ 382,00 
10) A quantia de R$ 35.000,00, emprestada a juros simples 
de 2,2% ao mês, rende em 5 meses: 
a) R$ 3.250,00 
b) R$ 3.500,00 
c} R$ 3.850,00 
d) R$ 4.250,00 
11} A éllimentação de um cavalo com nível leve de ativi­
dade deve conter 70% de fibra e 30% de ração. Segundo 
essa recomendação, se o cavalo consumir em um dia 2,7 
kg de ração, deverá consumir de fibra neste mesmo dia: 
a) 3,0 kg; 
b) 3,2 kg; 
c) 6,3 kg; 
d) 7,0 kg; 
12) Trabalhando ininterruptamente, dois técnicos judiciá­
rios arquivaram um lote de processos em 4 horas. Se, 
sozinho, um deles realizasse essa tarefa em 9 horas de 
trabalho ininterrupto, o espe!nildo é que o outro fosse capaz 
de realiza-Ia sozinho se trabalhasse ininterruptamente por 
um período de: 
a) 6 horas. 
b) 6 horas e 10 minutos. 
c) 6 horas e 54 minutos. 
d) 7 horas e 12 minutos. 
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Apostilas 
13) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. 
por 4 meses e 15 dias. 
a"i234 
bl 187 
c) 210 
d) 243 
14) Calcular os jurossimples produzidos por R$40.000,00, 
aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias. 
a) 5.000,00 
b) 5.200,00 
c) 4.980,00 
d) 4.760,00 
15) Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% 
a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias? 
a) R$116.666,67 
b) R$131 ,546,00 
c) R$132,129,08 
d) R$114.564,66 
16) Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quan­
tos meses serão necessários para dobrar um capital apli­
cado através de capitalizaç30 simples? 
a) 9 meses 
b) 8 meses 
c) 10 meses 
d) 11 meses 
17. Se uma vela de 36 em de altura, diminui 1,8 
mm por minuto, quanto tempo levará para se consumir? 
a) 2 horas 'b) 3 horas c) 2h 36 min 
d) 3h 20 min e) 3h 18min 
18. ,,', 30 operários deveriam fazer um serviço em 
40 dias. 13 dias após o início das obras, 15 operários 
deixaram o serviço. Em quantos dias ficará pronto o 
restante da obra? 
a) 53 b) 54 
c) 56 d) 58 
19. Doze operários, em 90 dias, trabalhando 8 
horas por dia, fazem 36m de certo tecido. Podemos afirmar 
que, para fazer 12m do mesmo tecido, com o dobro da 
largura, 15 operários, trabalhando 6 horas por dia levarão: 
a) 90 dias b) 80 dias c) 12 dias 
d) 36 dias e) 64 dias 
20. i , , ';,' : Vinte operários constróem um muro em 
45 dias, trabalhando 6 horas por dia. Quantos operários 
serão necessários para construir a terça parte desse muro 
em15 dias, trabalhando 8 horas por dia? 
a)10b)20c)15 
c) 30 e) 6 
21. Um trem com a velocidade de 45kmÍh, 
percorre certa distância em três horas e meia, Nas 
mesmas condições e com a velocidade de 601 	 x= => x =36 
2 
Substituindo x =36 em x + y =40, 
temos: 	 36+y==40 
Y== 40-36 
y=4 
36+4=40 
3.a fase: 	 De fato: {36 _4 = 32 
Resposta: Os números são 36 e 4. 
A diferença entre dois números é 18; o maior é igual ao 
dobro do menor menos 16 unidades. Determine-os. 
1.a fase: O número maior: x 
O número menor: y 
x- y=18 
temos: { x = 2y _16 
2.a fase: 
Substituindo x =2y - 16 em x- y =18, temos: 
2y _ 16 - Y =18 
Y 	 =18+16 
Y =34 
Então: 	x =2 . 34 -16 
x =52 
3.a fase: 
52 -34 = 18 
De fato: { 52 =2 .34 -16 
Resposta: O maior número é 52 e o menor é 34. 
A soma das Idades de dois irmãos é. hoje, 29 a­
nos. Há 7 anos passados, a idade do mais velho era o 
dobro da idade do mais moço. Quais as idades? 
1." fase: 
-.../'
Hoje: a idade do mais velho é x. 
e a idade do mais moço é y. 
Portanto: 	 x+ y = 29 (I) 
Há 7 anos: a idade do mais velho era x - 7 e a idade 
do mais moço era y - 7. 
Portanto: x -7 =2( Y - 7) 
ou: x - 7 = 2y - 14 
ou ainda: x- 2y= - 7 (11) 
( I ) e (11) formam o seguinte sistema: 
X+ Y =29 
{
x -2y 	=-7 
2.a fase: 
x+ y =29 J x+ Y=29 
(-1). {x-2y=-7 => l-x +2y =7 
3y;:::: 36 ou y=12 
Substituindo y = 12 na equação x + y =29. temos: 
j( + 12 =29 
x =29-12 
x= 17 
3.a fase: 
Soma das idades: 
17 + 12 = 29 anos 
Há 7 anos: o idade do mais velho era 17 - 7 =10 a­
nos e a idade do mais moço era 12 - 7 = 5 anos. 
Temos, ainda, que 10 =2.5. 
Resposta: A idade do mais velho é 17 anos e a idade 
do mais moço é 12 anos. 
A soma de dois números é 40. O quociente do maior 
pelo menor é 4. Determine o menor número. 
1.a fase: O número maior: x 
O número menor: y 
X+Y= 40 
temos: ~ 4
{ 
Matemática 32 
·.Y'l 
Usando a letra x para representar um número qualquer, 
podemos escrever em linguagem simbólica os seguintes 
fatos relativos a esse número, como por exemplo: 
a) o dobro do número; 2x 
b) o triplo do número; 3x 
c) o quádruplo do número; 4x 
d) o quintuplo do número; 5x 
e) a metade do número; ~ 
2 
f) a terça parte do número; ~ 
3 
g) a quarta parte do número; Xi 	 4 
h) a quinta parte do número; ~ 
5 
') d' . t d' 2xI OIS qUIn os o numero; ­
5 
') tr" d' 3xJ es quartos o numero; ­
4 
I) a soma do número com dez; x + 10 
m) a diferença entre o número e cinco; x - 5 
n) O número aumentado de oito; x + 8 
o) o dobro do número, menos cinco; 2x i'5 
Apostilas
I 
( 
I 
~. 
2.a fase: 
rx+y == 40 
1
X + y =40 
{~ 	=4 
~ 
x-4y=O(-I)
Y 
X + y=40 
-x +4y =0 ~ y == 8' 
{ 
5y=40 
Substituindo y =8 na equação 
x + Y =40, temos: 
x+8=40 
x = 32 
3.a fase: 
32+8= 40 
De fato: 32 ' 
-=4j
8 
Resposta: O menor número é 8. 
~ 
p) a metade do número, mais três; ~ + 3 
2 
q) a soma do número com o seu triplo; x + 3x 
• 	 x
r) a soma do numero com a sua terça parte; x + 
3 
s) a diferença entre o dobro e a metade do número; 
x
2x ­
2 
t) dois terços do número, aumentados de um; 2x +1 
3 
u) adicionando-se sete ao triplo do número; 7 + 3x 
v) subtraindo-se cinco ao quádruplo do número; 5 
-4x 
x) o dobro do número mais os três quartos do número; 
3x
2x+ ­
4 
z) a diferença entre a metade e a décima parte do 
. x x 
numero: 
2 	 10 
Exercícios: 
Resolva os seguintes problemas, empregando sistemas 
do 1.° grau com duas variáveis: 
01) Determine dois números cuja soma é 11 e a diferença 
entre eles é 3. 
02) A soma de dois números é 36. Determine-os, sabendo 
que um é o dobro do outro. 
03) A soma de dois números é igual a 28, sendo o triplo de 
um deles a metade do outro. Determine as números. 
04) Uma fração é equivalente a 2 e a soma de seus ter­
7 
mos é 27. Determine-a. 
05) A soma de dois números é 23. Sabendo que um dos 
números é maior que o outro 3 unidades determine-os. 
06) A diferença entre 2 números é 30. Determine-os, sa­
bendo que o quociente do primeiro por 10 é igual à me­
tade do segundo menos 5 unidades, 
07) Calcule dois númerõs. ~bendo que da divisão do mai­
or pelo menor obtém-se 4 para quociente e que a dife­
rença entre os números é 75. 
08) 	Divida o número 46 em duas partes, tais que estejam 
entre si assim como 8 : 15. . 
Matemática 	 .'\", 
-'-' 
Apostilas 
09) A soma das idades de um pai e um filho é, hoje, 70 
anos. Há 8 anos passados, a idade do pai era o quín­
tuplo da do filho. Determine essas idades. 
10) 175 cabeças e 500 pés. Quantas são as galinhas e 
quantos são os coelhos? 
11) Determine uma fração. sab'7ndo que se adicionarmos 4 
unidades aos seus dois termos ela ficará equivalente a 
~ . Se subtrairmos 2 unidades de ambos os termos, 
4 
ela ficará equivalente a ~. 
2 
12) A soma das idades de dois irmãos é 25anos. Um é 
mais novo que o outro 5 anos. Determine suas idades. 
13) Um número é formado por dois algarismos, cuja soma 
é igual a 10. Determine esse número, sabendo que o 
algarismo das dezenas supera o outro em 4 unidades. 
14) Uma fração é equivalente a ~. So~ando 2 unidades 
ao numerador e tirando 2 unidades do denominador, 
obtém-se uma fração equivalente a i .Determine-a. 
5 
15) A soma de duas idades é 58 anos. Determine-as. sa­
bendo que o quociente da menor por 2 excede de 5 u­
nidades o quociente da maior por 10. 
16) Determine dois números, sabendo que a quinta parte 
de um deles é igual a metade do outro, e que a soma 
dos dois é 28. 
17) Divida o número 108 em duas partes, tais que o quoci­
ente entre a maior parte e a diferença que existe. entre 
as partes seja 5. 
18) A soma de dois números é 48. Determine-os, sabendo 
que o quociente entre eles é 3 e o resto da divisão é 4. 
19) Reparta R$ 1.080,00 entre duas pessoas, de modo que 
a terça parte da primeira exceda em R$ 62,50 a quarta 
parte da segunda. 
20) A idade de um pai é o sêi.:uplo da idade de seu filho. 
Determine as idades, sabendo que daqui a 5 anos a i­
dade do pai excederá em 5 anos o triplo da idade do fi­
lho. 
1 
21) A idade de um filho é - da idade de seu pai. Entretan­
4 
to, há 5 anos passados, a idade do filho era ~ da ida­
7 
de do pai. Quais são as idades? 
22) Um número tem dois algarismos, sendo o das dezenas 
igual a 9. Invertendo-se a ordem dos algarismos, o nú­
mero diminui 18 unidades. Determine-o.. 
Matemática 34 
23) Um livreiro vende, num dia. 3 exemplares de Língua 
Portuguesa e 7 de Matemática. recebendo R$3.240.00. 
No dia seguinte, vende 2 exemplares de Língua Portu­
guesa e 5 de Matemática e então recebe R$2.260,00. 
Qual é o preço de cada exemplar? 
24) Tenho 100 moedas, algumas de R$10,00 e outras de 
R$5,00, num total de R$600.00. Quantas e são as mo­
edas de cada espécie? 
15) Numa loja há 36 cortes de pano, uns de 2 m e outros 
de 3 m. A soma total é de 96 m. Quantos cortes há de 
cada um? 
26) A soma das medidas de dois ângulos é 110°. A medida 
do maior é o triplo da do menor. Calcule a medido de 
cada ângulo. 
27} O perimetro de um retângulo é de 40 em. A medida da 
largura é igual a um terço da medida do comprimento. 
Calcule as dimensões do retângulo. 
Respostas: 
1) 7 e 4 
2) 24 e 12 
3) 24 e 4 
4) ~ 
21 
5) 13 e 10 
6) 50 e 20 
7) 100 e 25 
8)16e30 
9) 17 e 53 anos 
10) 75 coelhos e 100 galinhas 
11) ~ 
8 
12) 10 e 15 anos 
13) 73 
18
14) ­
27 
15) 40 e 18 
16) 20 e 8 
17) 60 e 48 
18) 37 e 11 
19) R$ 570,00 e R$ 510,00 
20) 30 anos e 5 anos 
21) 40 anos e 10 anos 
22) 97 
23) L. Porto R$ 380,00 e 
Mat. R$300,00 
24) 20 moedas de 10,00 
80 moedas de 5,00 
~. 
25) 24 cortes de 3 m 
12 cortes de 2 m 
26) 82°30' e 27°30' 
27)15cme5cm 
http:R$600.00
http:R$3.240.00
Apostilas 
ií 
L PROVA SIMULADA DE MATEMÁTICA 
13.
01. 	 Se der R$12,00 a cada garoto, ficarei ainda com R$ 
60,00. Para dar R$15,00 a cada um precisarei de mais 
R$ 6,00. Quantos são os garotos? (12X + 60 =15X­
6) 
02. Distribui certo número de selos entre os alunos de 14. 
uma das minhas turmas. cabendo 5 para cada um. Se 
eu fosse distribuir para a outra turma. que tem 31 
alunos a mais. eu teria de dar 2 selos a cada aluno e 
me sobrará 1. Quantos selos eu distribui? 
03. Duas cidades, A e B, distam 360 km uma da outra. Às 
15.8 horas, um carro sai de A em direção a B e outro de 
B em direção a A, sendo que os dois se cruzam às12 
horas num ponto a 120 km de A. Qual a velocidade do 
carro que partiu de A? 
04. A diferença entre dois números é 15. Multiplicando-se 
o maior pôr 11, a diferença passa a ser 535. Calcular 
os dois números. 16. 
05. 	 O produto de um número a pelo número 263 é p. 
Acrescentando-se 4 unidades ao fator a e 
conservando o fator 263, qual será o novo produto? 
17. 
06. 	 A soma de dois números é 90. Calcule o menor 
desses números, sabendo que o produto deles 
dividido por sua diferença dá o maior. 
18. 
07. 	 Seja o produto 456 x 34. Aumenta-se o multiplicador 
de 1. De quanto devemos aumentar o multiplicando 
19.para que o produto exceda a antigo de 526? 
08. 	 Entre os números inteiros inferiores a 200. quais são 
aqueles que podem servir de dividendo, em uma 
divisão de números inteiros, cujo quociente é 4 e o 
resto 35? 20. 
09. São dados dois números dos quais o maior é 400.r 
Tirando-se 210 de um deles e 148 do outro, a soma 
dos restos é 200. Qual o menor número? 
10. Um aluno ao multiplicar um número por 60, esqueceu­ 21. 
se de colocar o zero á direita e obteve inferior 291.006 
do que deveria ter encontrado. Calcular o número. 
11. 	 Dois alunos têm, cada um, certo número de canetas. 
Se o 1° desse uma ao 2°, teriam igual número; se 02° 
desse uma ao 1°, este terá então duas vezes mais do 22. 
que o 2.°. Quem tem o maior número de canetas, 
possui: 
a) 5 b) 7 c) 9 d)11 e)13 
23. 
12. 	 Você e eu temos juntos R$ 615,00. Se você me desse 
R$ 140,00, ficaria com R$ 65,00 mais do que eu. Se 
eu lhe desse R$ 20,00 você ficaria com: 
24. 
a) R$ 225,00 b) R$ 285.00 c) R$ 300,00 d) R$ 400,00 
e) R$ 500,00 
3 
Calcular de um número ou de uma quantia é 
5 
3 
multiplicar - por esse número ou essa quantia?
5 
1 ,
Quando se diz que 	- de um número é 12, a fração
4 
. . 4 ? que corresponde ao numero e - . 
4 
2 3 1 d"Se eu gasto - ou 	 - ou - de meu Inhelro, esse 
579 
5 7 9 
dinheiro é representado pela fração ou ou - , 
5 7 9 
respectivamente?. 
3 	 1
Se - de meu ordenado são R$300,00. de meu 
5 5 
ordenado corresponderá a R$ 300,00 : 3 ? 
1 
Quanto é - do número de minutos de uma hora? 
4 
3 
Quanto vale de R$100,00?
5 
Um 	 aluno de ginásio é obrigado a freqüentar, no 
3 
mínimo, - das aulas dadas durante o ano letivo. Se o 
4 
seu ginásio der 720 aulas. quantas no mínimo terá de 
freqüentar? 
Cada aula do antigo Curso de Artigo 99, da Rádio 
5 
Ministério da Educação, tinha a duração de - da 
12 
hora. Quantos minutos de duração tinha cada aula? 
Comprei um apartamento por R$420.000,00. Paguei 
2 de entrada e o resto em 10 meses. Quanto dei de 
3 
entrada? 
1 
Um comerciário gastou de seu ordenado,
3 
comprando um pequeno rádio por R$ 250,00. Qual o 
seu ordenado? 
Dois terços de uma peça de fazenda medem 90 
metros. Quantos metros tem a peça? 
Se 3 de meu ordenado é R$ 660,00, qual é o meu· 
4 
ordenado? 
Matemática 35 
i I 
Apostilas 
2
25. 	 Qual a área aproximada do Brasil se - dessa área 
5 
do 340.000 km2 ? 
.26. Gastei R$ 720.00 e fiquei ainda com 2 de meu 
5 
ordenado. Qual o meu ordenado? 
27. 	 Uma torneira enche um tanque em 3 horas. Em 
. 3 
quantos minutos enche 	- do tanque?
4 
2 	 1
28. Gasto -	 do meu ordenado com aluguel de casa e ­
5· 2 
dele em outras despesas. Fico aind.a com R$ 200,00. 
Qual é o meu ordenado? 
1 
29. 	 Pedro gastou - da quantia que possuía e, depois,
3 
2 
- dessa quantia. Ficou c.;nda com R$ 40,00. Quanto 
9 
Pedro possuia ? 
30. 	 Num time de futebol carioca. metade dos jogadores
1 . 
contratados são cariocas, - são dos outros Estados 
. 3 
e os 4 restantes são estrangeiros. Quantos jogadores 
contratados tem o dube ? 
31. 	 Uma torneira enche um tanque em 20 horas e outra 
em 30 horas. Em quanto tempo as duas juntas 
encherão o tanque? 
32. 	 Uma empresa construtora pode fazer uma obra em 40 
meses e outra em 60 meses. Em quanto tempo as 
duas, juntas, podem fazer essa obra? 
33. 	 Que horas são se o que ainda resta para termina~ o 
2
dia é - do que já passou?
3 
3 
34. 	 Paulo gastou - do que possuia e, a seguir, a metade 
4 
do resto. Ficou ainda com R$ 7,00. Quanto Paulo 
possuía? 
~5. 	 Dei ~ do meu dinheiro a meu irmão e metade do 
5 
resto a minha irmã. Fiquei ainda com os R$ 8,00. 
Quanto eu possuia? 
36. 	 O lucro de uma sociedade em 1965, foi igual a 
R$1.400.000,OO. Esse lucro foi dividido entre os três 
2 ../ 
sócios de modo que o primeiro recebeu 	 - da parte
3 
4 
dosegundo e este - da parte do terceiro. Qual a . 	 5 
parte de cada um ? 
37. 	 A soma, de dois números é 595 e um deles é igual a 
12 d Q' . . ?- o outro. 	 uals são esses numeros . 
5 
4
38. 	 A metade de minha idade aumentada de seus - é 
5 
igual a 52 anos. Qual é a minha idade? 
2
39. A soma de dois ângulos é 90 graus. Um deles é - do 
3 
outro. Quais as medidas desses ângulos? 
40. 	 Diminuindo-se 8 anos da idade de meu filho obtém-se 
3 
os - de sua idade. Qual a idade de meu filho? 
5 
41. 	 Duas pessoas têm juntas 76 anos. Quantos anos tem 
cada uma se ~ da idade da maior é igual a ~ 
5 9 
da idade da menor? 
. 	 324
42. 	 Quando devo subtrair do numerador da fração - ­
349 
para torná-Ia nove vezes maior? 
43. 	 A soma da metade com a terça parte da quantia que 
certa pessoa tem é igual a R$15.00. Quanto 
possui esta pessoa? 
44. 	 Uma pessoa despendeu certa quantia na compra de 
um 	terreno e o vendeu por R$ 35.000,00; nesta 
3 
venda ganhou - do que despendera. Por quanto
4 
comprou o terreno? 
7
45. Determinar a fração-equivalente a - cuja soma dos 
15 
termos é 198. 
46. 	 Achar as frações propnas irredutíveis tais que o 
produto de seus termos seja 84. 
47. 	 Qual a fração que, acrescida de seu quadrado, dá 
como soma outra fração que representa a fração 
82
inicial multiplicada por -? 
27 
Matemática 36 
7 
Apostilas 
48. 	 Um excursionista fez uma vi;gem de 360 km. Os ~ 
4 56. 
do percurso foram feitos de trem, .! a cavalo e o 
8 
resto de automóvel. Quantos km andou de 
automóvel e que fração representa da viagem 
total? 
5 
49. Para ladrilhar - de um pátio empregaram-se 46.360 
7 57. 
ladrilhos: Quantos ladrilhos iguais serão 
necessários para ladrilhar ~ do mesmo pátio?
8 
50. 	 Dois lotes têm a mesma área. Os 3 da área do 
4 
2 
primeiro excedem de 140 m 2 os da área do 58.
5 
segundo. A área de cada lote é de ..................... . 
2 m . -. 
51. Pedro e Paulo encarregados de uma obra, fariam todo 59. 
o trabalho em 12 dias. No fim do quarto dia de 
trabalho, Pedro adoeceu e Paulo concluiu o 
serviço em 10 dias. Que fração da obra cada um 
executou? 60. 
52. 	 Cláudia e Vera possuiam juntas R$100,00. Ao 
comprarem um presente de R$ 23,00 para 
oferecer a uma amiga comum, cada qual deu uma 
quantia diferente, na medida de suas 
61. 
possibilidades. Cláudia entrou com - do dinheiro 
/-	 4 
1 
1 
/-	 de que dispunha e Vera com - do seu. Calcule 
5 
62.com quanto Cláudia contribuiu? 
r­
2 
53. 	 Numa cesta havia laranjas. Deu-se - a uma pessoa,
5 63. 
a terça parte do resto a outra e ainda restam 10 
laranjas. Quantas laranjas havia na cesta? 
64.54. Paulo e Antônio têm juntos R$123,00. Paulo gastou 
2 3 
- e Antônio - do que possuiam, ficando com 
5 7 
quantias iguais. Quanto possuia cada um ? 
65. 
55. 	 Dividir um número por 0,0625 equivale a multiplicá-lo 
por: 
a) 6,25 b) 1,6 c) 16
1 	
d) 16 66. 
.~-
625 
e) 100 
34 
A fração equivalente a - , cujos termos têm para
51 
menor múltiplo comum 150, é: 
10 
a) -
15 
b) 
2 
-
3 
c) 
30 
-
50 
50 20 
d) -
75 
e)­
30 
Duas torneiras são abertas juntas, a 1.a enchendo um 
tanque em 5h, a 2.a enchendo outro tanque de i­
gual capacidade em 4h. No fiín de quanto tempo o 
1
volume que falta para encher o 2.° será - do vo­
4 
lume que falta para encher o 1.° tanque? 
Um negociante ao falir só pode pagar ~ do que
36 
deve. Se possuisse mais R$ 23.600,00 poderia 
pagar 80% da divida. Quanto deve ele? 
O som percorre no ar 340 metros por segundo. Que 
distância (em quilômetros) percorrerá em um mi­
nuto? 
Medi o comprimento de um corredor e encontrei 8,40 
m. Verifiquei, depois, que o metro utilizado era de 
fabricação defeituosa, pois seu comprimento tinha 
menos 2 centímetros do que o verdadeiro_ Qual a 
medida exata do corredor? 
Medi o comprimento de um terreno e achei 18 passos 
e 2 pés. Verifiquei, depois, que o comprimento de 
meu passo vale 56 cm e o de meu pé 25 cm. Qual 
o comprimento do. terreno em metros? 
Com 22 livros de 3 cm e 7cm de espessura forma-se 
uma pilha de 1,06 m de altura. Quantos livros fo­
ram usados com a espessura de 3 cm? 
A área de uma sala é de 45 m 2. Quantos tacos de 
madeira de 150 cm 2 serão necessários para ta­
quear essa sala? 
A soma das áreas de dois terrenos é de 50 hectares. 
O primeiro terreno tem mais1.400 decâmetros 
quadrados que o segundo. A área do segundo é 
de ............... quilômetros quadrados. 
Dividiu-se um terreno de 200 hectares de área em 
duas partes. A quarta parte da primeira é igual a 
sexta parte da segunda. A primeira parte tem .... 
.............. decâmetros quadrados. 
Um terreno retangular com 8,40 m de frente e 22 m de 
fundo foi vendido por R$ 27.720,00. Por quanto foi 
vendido o metro quadrado? 
Matemática 37 
.!'\$.a:.,. 
Apostilas 
67. Um campo de forma retangular mede 3 dam de frente 
1 	 2 
e - hm de fundo. Sabendo que - da superfície
4 	 3 
estão cultivados, pede-se em ha, a área da parte 
não cultivada. 78. 
68. 	 Em certa cidade um ha de terreno custa R$ 80.000,00. 
Calcule o lado de um terreno quadrado adquirido 
por R$7.200,OO. 
69. 	 A área de um trapézio é de quatro decâmetros qua­ 79. 
drados dois metros quadrados e vinte e quatro e 
24 decímetros quadrados: sabendo-se que as ba­
ses medem respectivamente 5 metros e 3 metros, 
calcular a altura desse trapézio. dando a resposta 
em milímetros. 
70. 	 As dimensões de um retângulo são 2,25 m e 0,64 m. 
O lado do quadrado equivalenf.j3 a esse retângulo 
tem por medida: 
80. 
a) 1,2 m b) 3,6 m c)0,18m d) 12 
m e) 0,72 m 
5 
71. 	 Se eu diminuir a área de um terreno os seus , a 
8 81. 
área passará a ter 112,50 dam2
, mas se eu 
acrescentar. . . . . . . . . . . . . . ... cenHares ele 
ficará com 5 hectares e 4 ares. 
72. 	 Um muro de 18,25m de comprimento deverá levar 
duas faixas de ladrilhos paralelos entre si em toda 
a sua extensão. A primeira faixa mede 1,25 m de 
82.largura e a segundo 0,75 m. Cada ladrilho, que é 
quadrado, mede 0,25 m de lado e custa R$ 3,00. 
Quanto custarão os ladrilhos para esta obra? 
83. 
73. 	 Dois terços de uma caixa cujo volume é 2.760 m 3 
estão cheios de um certo óleo. Quantos dai d'água 
devem ser colocados' na caixa para acabar de 
enchê-Ia? 
84. 
74. 	 Um reservatório de água tem as dimensões: 2,4 m; 5 
m e 1 m. Quantos dai de água podemos depositar 
no referido reservatório? 
85.75. 	 Uma caixa d'água tem as seguintes dimensões: 1,20 
m de comprimento; 8 dm de largura e 50 cm de 
altura. Calcular quantos litros d'água há nesta 
86.caixa, sabendo-se que faltam 5 cm para ficar 
cheia. 
76. 	 Uma sala de 0,007 Km de comprimento, 80 dm de 
largura e 400 cm de altura, tem uma porta de 2,4 
87.m2 de área e uma janela de 2m2 de área. Quantos 
litros de tinta serão precisos para pintar a sala 
toda, com o teto, sabendo-se que com 1 L de tinta 
pinta-se 0,04 dam2 ? 
77. 	 Um terreno retangular de 27 ares de área, tem 3.000 
88.cm de largura. Esse terreno deve ser cercado com 
um muro de dois metros de altura. Sabendo-se 
iiiiiiíii 
que cada metro ~adrado de muro construido 
consome 300 dm de concreto, pergunta-se 
quantos metros cúbicos de concreto serão 
consumidos no muro todo? 
Dois vasos contêm em conjunto 3,5 hl. Tirando-se 75 
L do primeiro e 10,5 dai do segundo, ficam 
quantidades iguais. A capacidade do primeiro 
vaso é de ................. e a do segundo .. . 
Um reservatório estava cheio de água. Esvaziou-se 
1 
esse reservatório de -- da sua capacidade e 
3 
retirou-se depois 4 hl d'água. Quantos litros 
3
ficaram se o volume restante corresponde a - da 
5 
capacidade total do reservatório? 
Calcule, em hl, a capacidade de um reservatório, com 
a forma de um paralelepipedo retângulo cujo 
comprimento é o triplo da largura e esta o dobro 
da altura, sendo que a soma das três dimensões é 
igual a 18 m. 
A soma das capacidades de dois reservatórios é de 20 
3 
hl. 	 O primeiro contém água até os - de sua 
4 
capacidade e o segundoaté a metade. Se 
colocarmos a água do primeiro no segundo. este 
ficará cheio. Qual o volume do segundo em m2 ? 
Quantas toneladas pesam 40.000 m 3 ' de certa 
substância, sabendo-se que um litro pesa 2,5 kg? 
Um tanque de 1,5 m de comprimento, 12 dm de 
largura e 80 cm de altura está cheio de óleo do 
qual cada hl pesa 80kg. Qual o peso, em 
toneladas, do óleo contido no reservatório? 
Um 	metro de fio pesa 487,5 g. Esse fio é para fazer 
pregos de 0,09 m de comprimento. Quantos 
pregos poderão ser feitos com um rolo de 35,1 kg 
desse mesmo fio? 
Se 	 um litro de óleo pesa 960 g, qual o volume 
ocupado por 2,4 t desse óleo? 
Um 	vaso cheio de um certo liquido pesa mais 1kg do 
que se estivesse cheio de água. Um dai desse 
liquido pesa 12 kg. A capacidade do vaso é de . 
... . .... . ... . .litros. 
Um tanque está cheio de água. Esvaziando-se um 
terço de sua capacidade restam 21,35 hl mais do 
que a sua quarta parte. O peso da água contida 
no tanque, quando cheio é ..................... . 
toneladas 
Dois vasos cheios de água pesam 2,08kg. Um contém 
14 cl mais do que o outro. Determinar, em litros, a 
Matemática 38 
http:equivalenf.j3
Apostilas 
I 
f 
?" 
, ­
,~ 
/' 
/' 
capacidade de cada um, sabendo-se que os 
vasos vazios pesam juntos 12 hg. 
89. 	 Analizando certa amostra de leite, verificou-se que a 
ele havia sido adicionado água. Um litro de leite 
adulterado pesava 1.015g. Calcule quantos ml de 
água adicionada contém 1 litro dessa amostra, 
sabendo-se que o leite puro pesa 1.025 g por litro 
e a aguá 1.000 9 por litro? 
90. 	 Um avião consome 2,3 daI de gasolina por minuto de 
vôo Sabendó-se: 
1 0) sua velocidade de cruzeiro é de 450km/h: 
2.°) a gasolina pesa 0,7 kg por litro; 
3.°) o avião deve transportar 60% a mais do que a 
gasolina necéoisária: 
determinar quantas toneladas de gasolina deve 
transportar esse avião pasa fazer uma viagem de 
1.125 km. 
2 3 
91. Qual é o número, cujos - mais os -- mais 54 é igual 
, 5 7 
ao próprio número, mais 72? 
92. Que horas são, se o que ainda resta para terminar o 
2 
dia é - do que já passou? 
~ 
93. 	 As idades de João e Pedro somam 45 anos e há 5 
anos a idade de João era quatro vezes a de Pe­
dro. Que idades têm agora João e Pedro? 
94. 	 Roberto tem 24 anos e Paulo 10. No fim de quantos 
anos a idade de RobE::rlo será o triplo da de Pau­
lo? . 
95. Dois individuos têm: o primeiro 45 anos e o segundo 
15. Depois de quantos anos a idade do segundo 
será um quarto da idade do primeiro? 
96. 	 A soma das idades de A e B é 35. Daqui a 5 anos a 
idade de A será o dobro da de B. Calcular as ida­
des de A e B. 
97. 	 Um pai tem 32 anos e o seu Tilho 14. Quando aconte­
ceu ou acontecerá que a idade de um seja o triplo 
da do outro? . 
2 
98. 	 Um pai diz a seu filho: hoje, a sua idade é - da mi­
7 
1 
nha e há 5 anos era . Qual a idade do pai e 
6 
qual a do filho? 
99. Resolva o problema: Há 18 anos a idade de uma pes­
soa era o duplo da de outra; em 9 anos a idade da 
5 
primeira passou a ser da segunda. Que idade 
4 
têm as duas atualmente? 
100. Uma pessoa possui 2 cavalos e uma sela que vale 
R$15,00. Colocando a sela no primeiro cavalo. va­
Ie este o dobro do segundo. Colocando-a no se­
gundo, vale este R$ 30,00 menos que o primeiro. 
Quanto vale cada cavalo? 
RESPOSTAS 
01) 22 
02) 105 
03) 30km/h 
04) 52 e 37 
05) p +1.052 
06) 30 
07) 2 
08) 179,183,187, 191, 195e199 
09) 158 
10) 5.389 
11) b 
12) . e 
13) Sim 
14) Sim 
15) Sim 
16) Sim 
17) 15 min 
18) R$ 60,00 
19) 540 
20) 25 mim 
21) R$ 280.000,00 
22) R$ 750,00 
23) 135 
24) R$ 880,00 
25) 850,000 km2 
26) R$ 1.200,00 
27) 135min 
28) R$ 2.000,00 
29) R$ 90,00 
30) 24 
31) 12h 
32) 24 meses 
33) 14h 24 min 
34) R$ 56,00 
35) R$ 40,00 
36) R$ 320.000,00 R$ 480.000,00 R$ 600.000,00 
37) 175 e 420 
38) 40 anos 
39) 54° e 36° 
40) 20 anos 
41) 40 e 36 
42) 288 
43) R$ 18,00 
44) R$ 20.000,00 
45) 63/135 
46) 1/84. 3/28,4/21, e 7/12 
47) 55/TI 
48) 45 km e 1/8 
49) 24',339 
50) 400 
51) 1/6 e 5/6 
52) R$ 60,00 
53) 25 
54) R$ 60,00 e R$63,00 
55) d 
,Matemática 39 
.~ 
Apostilas 
56) d 
57) 3h 45 min 
58) R$ 72.000,00 
59) 20,4 km 
60) 8.232 m 
61) 10.58 m 
62) 12 
63) 3.000 
64) 0,18 
65) 8.000 
66) R$ 150,00 
67) 0,025 há 
68) 30 m 
69) 100.560 m 
70) a 
71) 200400 
72) R$1.752,00 
73) 92 dai 
74) 1.200 dai 
75) 432 L 
76) 56,9 L 
77) 144 
78) 190 Le 160 L 
79) 3.600 L 
80) 960 hl 
81) 1,200 m 3 
82) 100.000t 
83) 1,152t 
84) 800 
85) 2.500 dm3 
86) 5 
87) 5,124 
88) 0,32 L e 0,46 L 
89) 400 ml 
90) 3,864 t 
91) -105 
92) 14h 24 mio 
93). 33,e 12 
94) Há 3 anos 
95) Há 5 anos 
96) 25 e 10 
97) Há 5 anos 
98) 35 e 10 anos 
99) 24 e 21 
100) R$ 60,00 e R$ 105.00 
~ 
FUNÇOES 
Introdução 
O estudo de funções é um dos mais importantes da ma­
temática, onde se preocupa estabelecer uma relação entre 
duas grandezas variáveis. sendo aplicado também a diver­
sas ciências. 
Par ordenado 
Dado dois elementos x e y de um conjunto e estabele­
cido entre eles uma determinada disp.osição (ou ordem), 
isto é, x sendo o primeiro e y o .segundo elemento, forma­
mos o par ordenado {x,y}. 
Matemática 40 
íiiiiiiii 
A igualdade entre. dois pares ordenados será 
atendida se os primeiros termos estíverem iguais 
entre si e os segundos termos também iguais entre 
si: (a,b) = (c,d) (a = c e b =d). 
Todo par ordenado de números reais é representado no 
plano cartesiano por um ponto, tal plano é caracterizado 
por dois eixos perpendiculares entre si; o eixo das abscis­
sas (eixo x) e o eixo das ordenadas (eixo V). tendo a ori­
gem do sistema o ponto O (0.0). 
Dados dois conjuntos, podemos formar pares ordena­
dos através de uma relação entre eles, o conjunto formado 
por estes pares ordenados é denominado produto carte. 
siano definido por: A x B ={(x,y) I x E A e Y E B}.Quando 
A ou 8 vazios, temos que A x 8 vazio. 
1 - Definição 
Dados dois conjuntos A e 8 não vazios, chama-se fun­
ção (ou aplicação) de A em 8, representada por 
f : A ~ B ; Y=f(x) , 
a qualquer relação binária que associa a cadÊ elemen­
to de A . um único elemento de B . 
Portanto, para que uma relação de A em B seja uma 
função . exige-se que a cada x E A esteja associado um 
único y E 8 , podendo entretanto existir y E 8 que não 
esteja associado a nenhum elemento pertencente ao con­
junto A. 
(71
~. 
~ 
~ \, '\ )
~/ 
,=f(x) 
~ B 
A =dvmi11lo da função f 
B = contradomílllo da função f 
Obs : na notação y =f(x) , entendemos que y é ima­
gem de x pela função f, ou seja: 
y está associado a x através da função f. 
Exemplo: 
f(x) = 4x+3 ; então f(2) ::: 4.2 + 3 = 11 e portanto. 11 é 
imagem de 2 pela função f ; 
f(5) ::: 4.5 + 3 = 23 , portanto 23 é imagem de 5 pela 
função f , f(O) =4.0 + 3 =3, etc. 
.../ 
J 
Apostilas 
é-
Para definir uma função. necessitamos de dois conjun­
tos (Domínio e Contradomínio) e de uma fórmula ou uma 
lei que relacione cada elemento do domínio a um e somen­
te um elemento do contradomínio, 
r 
C:::1FJ.nto 
i /11l'agem 
.. .r-t-.. fi 
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! ) 
! 1*- .~.-! 
I 
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• 
j . . ,.\ '-:i I 
" -/'-.,. 
DQmtfliü Conl!J:.J;xllH'IQ 
00- O conjunto A é o domínio da função. 
. O conjunto B é o contradomínio da função. 
- O elemento y de B, associado ao elemento x de A, é 
denominado imagem de· x, 
- O subconjunto de B formado pelos elementos que são 
imagens dos elementos de A é denominado conjunto 
imagem ou apenas imagem da função. 
" 
. Quando D(f) c R e CD(f) c R , sendo R o conjunto 
dos números reais, dizemos que a função f é uma função 
real de variável real, Na prática. costumamos considerar 
uma função real de variável real como sendo apenas a lei y 
::: f(x) que a define, sendo o conjunto dos valores possíveis 
para x , chamado de domínio e o conjunto dos valores 
possiveis para y , chamado de conjunto imagem da fun­
ção , Assim . por exemplo , para a função definida por y = 
1/x , temos que o seu dominio é O(f) = R' , ou seja ocon­
junto dos reais diferentes de zero (lembre-se que não exis­
te divisãopor zero) , e o seu conjunto imagem é também 
R' , já qlJe se y = 1/x , então x=1/y e portanto y também 
não pode ser zero. 
Dada uma função f: A ~ B definida por y = f(x) , po­
demos representar os pares ordenados (x , y) E f onde x E 
A e y E B ,num sistema de coordenadas cartesianas, 
Ográfico obtido será o gráfico da função f , 
Assim, por exemplo. sendo dado o gráfico cartesiano 
de uma função f. podemos dizer que: 
a) 	 a projeção da curva sobre o eixo dos x . nos dá o 
domínio da função. 
b) 	 a projeção da curva sobre o eixo dos y • nos dá o 
conjunto imagem da função, 
c) 	 toda reta vertical que passa por um ponto do domí­
nio da função . intercepta o gráfico da função em 
no máximo um ponto, 
Veja a figura abaixo: 
Y I 
J 
dt- - - - - - - - - - - - oi - - - -" y=f(x)
I J 
I I 
I : 
c~-
a b xOI 
Domínio = la,b) 
Conjunto Imagem = [c,dl 
2 -Tipos de funções 
2.1 - Função sobrejetora 
É aquela cujo conjunto imagem é igual ao contradomí­
nio. 
Exemplo: 
//----.... 
I •----­
( • 
\~-------// '---..--"'" 
A 	 B 
2.2 • Função injetora 
Uma função y = f(x) é injetora quando elementos distin­
tos do seu domínio, possuem imagens distintas, isto é: 
X1 :f. X2, :=) f(x1) :f. f(x2,) , 
Exemplo: 
Matemática 41 
Apostilas 
iii 
---"\ 
~ í· \~ ~
"\\: C: .:1 
f 
. ~ 
"­
A B 
2.3 • Função bijetora 
Uma função é dita bijetora . quando é ao mesmo tempo 
, injetora e sobrejetora . 
Exemplo: 
(?): 
. I 
\ · 
",'" 
)\.. 
"~ 
A 
Exercícios resolvidos: 
t=)
\-. /
"'~ 
B 
1 • Considere três funções I, g e h, tais que: 
A função f atribui a cada pessoa do mundo, a sua ida­
. • 
de. 
A função 9 atribui a cada país. a sua capital 
A função h atribui a cada número natural, o seu dobro. 
Podemos afirmar que, das funções dadas, são injeto­
ras: 
a) f, 9 e h 
b).f e h 
c) g e h 
d) apenas h 
e) nenhuma delas 
Solução: 
Sabemos que numa função injetora, elementos dístintos do 
domínio. possuem imagens distintas, ou seja: 
x, ct. X2 ~ f(x,) ct. f(x2) . . 
Matemática 
meros reêlis - tal que 
f(x - 5) =4x. Nestas condições. pede-se determinar f(x .,. 5) 
Solução: 
Vamos fazer uma mudança de variável em f(x - 5) =4x. 
da seguinte forma: 
x - 5 =u :. x=u ;: 5 
Substituindo agora (x - 5) pela nova variável u e x por 
(u + 5), vem: 
f(u) =4(u + 5) :. f(u) ::: 4u + 20. 
Ora, se f(u) =4u + 20. teremos: 
f(x + 5) = 4(x+5) + 20 :'. f(x+5) =4x + 40 
Agora resolva este: 
A função f em R é lal que f(2x) = 3x + 1. Determine 
2.f(3x + 1). 
Resp: 9x + 5 
3 - Paridade das funções 
3.1 - Função par 
A função y =f(x} é par, quando V x E D(f) . f(- x ) =f(x) 
, ou seja, para todo elemento do seu' domínio, 
f( x ) = f ( - x ). Portanto, numa função par. elementos 
simétricos possuem a mesma imagem. Uma conseqüência 
desse fato é que os gráficos cartesiano das funções pares, 
são curvas simétricas em relação ao eixo dos you eixo das 
ordenadas. 
42 
Logo, podemos concluir que. 
f não é injetora, pois duas pessoas distintas podem ter 
a mesma idade. 
g é injetora. pois não existem dois países distintos com 
a mesma capital. 
h é injetora. pois dois números naturais distintos. pos­
-./ 
suem os seus dobros também distintos. 
Assim é que concluimos que a alternativa correta é a 
 --' 
de letra C. 
2 - Sejé\ f uma função definida em R - conjunto dos nú­
Apostilas 
Exemplo: 
y = X4 + 1 é uma função par, pOis f(x) = te-x), para todo 
x. Por exemplo. 
f(2) =24 + 1= 17 e f(-2) = (_2)4 + {= 17 
o gráfico abaixo, é de uma função par. 
y 
\---d~~--d--- y·f(,} 
" I 
1"'- I 
I I 
I 
I 
,b x-b 
f(b) = f(-bJ 
4.2 - Função ímpar 
A função y = f(x) é impar , quando 'ri x E D(Q f( • x ) =I 
• f (x) , ou seja, para todo ele'"1ento do seu dominio, f( - x) 
= - f( x ). Portanto, numa função ímpar, elementos simétri­
cos possuem imagens simétricas. Uma conseqüência des­
se fato é que os gráficos cartesianos das funções impares, 
são curvas simétricas em relação ao ponto (0,0), origem do 
sistema de eixos cartesianos. 
Exemplo: 
y =i é uma função ímpar pois para todo x, teremos f(- x) = 
- f(x), 
Por exemplo. f( - 2) =(- 2)3 = 8 e - f( x) =-( i )=-8. 
o gráfico abaixo é de uma função ímpar: ' 
V 
~--!f(bl 
I 
Vi 
I 
f{b) 
-bl b x 
I 
I 
f(- b) = - f(b) 
Nota: se uma função y =f(x) não é par nem ímpar, di­
zemos que ela não possui paridade. 
Veja abaixo o comportamento de uma função par 
quando xvaria no intervalo [-1 1]. 
2000 
1000 
-1 -O 8 ·06 ..(J 4 -O 2. 1"'0.02 0.4 ~ 0.6 0,8 1· 
""0", 
'''...
-1000 '" '" 
''"''. 
"'''''0,
,2000 
Exemplo 
O gráfico abaixo, representa' uma função que não possui 
paridade, pois a curva não é simétrica em relação ao eixo 
dos x e, não é sim~trica em relação à origem. . 
I 
( 
I 
MatemlÍtica .1",j... 1 
-/ 
Apostilas 
'J 
x"\ 
1-FUNÇÃOINVERSA 
Dada uma função f : A ~ B , se f é bijetora , então defi­
ne-se a função inversa f-l como sendo a função de B em A 
, tal que fl (y) =X . • 
Veja a representação a seguir: 
:J 
f(x) = y 
f-1(y)=x 
t: óbvio então que: 
a) para obter a função inversa, basta permutar as vari­
áveis x e y. 
b) o domínio de f-l é igual ao conjunto imagem de f. 
c).o conjunto imagem de f-l é igual ao domínio de f . 
d) os gráficos de f e de f -1 são curvas simétricas em rela­
ção à reta y=x ou seja, à bissetriz do primeiro quadrante. 
Exemplo: 
Determine a INVERSA da função definida por y =2x + 
3. 
Permutando as variáveis x e y, fica: x =2y + 3 
Explicitando yem função de x, vem; 
2y = x - 3 :. y =(x - 3) /2, que define a função inversa 
da função dada. 
o gráfico abaixo, representa uma função e a sua inver­
sa. 
Observe que as curvas representativas de f e de fl, são 
simétricas em relação à reta y =x, bissetriz do primeiro e 
terceiro quadrantes. 
Yr" . /f ,,' Y= x 
f -i, " I / / /'j , / /
' / / /'1 !,-,/ / /
// I------- •
x 
////1 
/ I 
I 
Exercício resolvido: 
A função f; R -7 R , definida por f(x) = l : 
a) é inversível e sua inversa é f -1 (x) =~ x 
b) é inversível e sua inversa é f .1(X) =-"j x 
c) não é inversivel 
d) é injetora 
e) é bijetora 
SOLUÇÃO: 
Já sabemos que somente as funções bijetoras são inversí­
veis, ou seja, admitem função inversa. Ora, a função f(x} = 
x2
, definida em R - conjunto dos números reais - não é 
injetora, pois elementos distintos possuem a mesma ima­
gem. Por exemplo, f(3) =f(-3) =9. Somente por este moti­
vo, a função não é bijetora e, em conseqüência, não é 
inversível. 
Observe também que a função dada não é sobrejetora, 
. pois o conjunto imagem da função f{x) = .; é o conjunto R + 
dos números reais não negativos, o qual não coincide com 
o contradomínio dado que é igual a R. A alternativa correta 
é a letra C. 
2 - FUNÇÃO COMPOSTA 
Chama-se função composta ( ou função de função) à 
função obtida substituindo-se a variável independente x , 
por uma função. 
Simbologia: fog (x) = f{g(x)) ou gof (x) = g(f(x)) . 
Veja o esquema a seguir: 
Matemática 44 
. Apostilas 
.~. 
A /...-~ B~. C"'------.,
I \f 1\ g( \ 
I ~ i' I • i , I ~.. I
\ : Oou voltada "para baixo" 
se a O) concavidade p/ cima 
f ( x ) =- x2 + 6x - 8 (a = -1tenhamos f ( x) =Ix I onde o símbolQ 
Ix Ique se lê módulo de x, significa: 
·i = I, x, se x_ >0 
I 'IX ' . i- x, se x I 	 , . 
SI 	 61 
....'I~Y""~'-'-'-""-'l 
I . 
I 
f•• 
Respostas: 
1) D (f) =]-3, 3 ] e Im ( f) =]-1, 2 ] 
2) D ( f) = [-4, 3 [ e Im ( f) = [ -2, 3 [ 
3) D (f) = ]-3, 3 [ e Im (f) =] 1,3 [ 
4) D ( f) = [-5, 5 [ e Im ( f) =[ -3, 4 [ 
5) D ( f) = [-4, 5] e Im ( f) =[-2, 3 ] 
6) D (f) =[O, 6 [ e Im ( f) = [O, 4[ 
03) 	Observar os gráficos abaixo, e dizer se as fun­
ções são crescentes ou decrescentes e escre­
ver os intervalos correspondentes: 
11 	 21 r 
IY , Er..-.--..._._.... 
M
1- J-;7 : ....-: . 	
t; 
[ 
I __... _ .. 
_J '1 l J 5, 8--:--8. 
I 
'~.~. 	
~: 
~ Ir ~ 
,,1',3 - 1: -, 
,-J11
J8171 
t 
! 
i 
i"·, 
r 
f, 
RESPOSTAS 
li Y 21 
Matemática 46 .,1J 
Apostilas 
.. 
.>07 f ( x) f ( x) > O 
x 8 ] O, 2 [ => f ( x) f ( x) > O 
Geometria 
1. 	POSTULADOS 
a) A reta é ilímitada; não 	 tem origem nem 
extremidades. 
b} Na reta existem infinitos pontos. 
c} Dois pontos distintos determinam uma única reta 
(AB) . 
2. 	SEMI-RETA 
Um ponto O sobre uma reta divide-a em dois 
subconjuntos, denominando-se cada um deles semi-reta. 
origem 
semi-reta r semi-reta 
o
\ o 	 f 
Representação: 
A S 
o• -+
AS 
3. SEGMENTO 
t 
I 
t 
l. 
( 
I 
[ 
( 
1 
l 
! 
! 
r 
I 
l 
j 
\ 
\ 
( 
I 
\ 
I 
J 
1) crescente: [ -3. 2J decrescente: [ 2, 5 ] 
crescente: [ 5, 8 ] 
2) crescente: [ O, 3] decrescente: [ 3, 5 ] crescente: 
[5, 8] 
3) decrescente 
4) crescente 
5) decrescente:]- 00, 1] crescente: [ 1, + 00 [ 
6) crescente:]- 00, 1) decrescente: [ 1, + 00 [ 
7) 
8) 
crescente 
decrescente 
04) Determine a função inversa das 
. 
seguintes 
funções: 
a) y = 3x b) y::: X - 2 
c)y= i d) Y= x - 5 
3 
RESPOSTAS 
a) y= -
x 
b) y::: X+ 2 
3 
c)y= ~ d) y::: 3x + 5 
05) Analise a função f ( x )::: i - 2x 
2x - 3 cujo gráfico é dado por: 
- _.* ___ of y. 
• >0.>0 . f ( x) > O 
x 8 J3, + 00 [ => f (x) > O 
x 8 [ - 1, 3 r=> f ( x)ou 160· + IS :;: 180' => b:;: 20· 
Resp.: Os ângulos obtusos medem 160· e os agudos 
20·. 
5) Na figura. determine x. 
Resoluç{io: Pelos ângulos alternos internos: 
x+300=500 => x =200 
16. 	TRIÂNGULOS 
16.1 - Ângulos 
óABC=ABuBCuCA 
A13: BC: ( 'A são os lados 
A; k; t são ângulos internos 
l,,~ ;~ ex ; t e~ são angulos externos 
B 	 c 
Lei angular de Thales: 
~ + B+(:=180° 
A 
8 I 	 " C 
Conseqüências: 
.!1 +Áex = 1800 
} ) )) I 
) 	 )) ~ A = B+C 
A+B +C= 1800 ,'.f 
Analogamente: 
I 1 } 
li"" = A + C 
l' e' = é + Á 
 I 
I 
Soma dos ângulos extemos: 
I Áex + Bex + Cex =360C 	 I 
'1 
16.2 - Classificação I 
Matemática 50 f~l,
.•lfj';, 
I 
'I 
} 	 Apostilas 
f 
equilátero e equiângulo
t 
I 
I 	 isósceles e isoângulo 
/~ 
! 
i 
i 
escaleno 
t 
retângulo 
90· 
Obs. ; Se o triângulo possui os 3 ângulos menores que 
90·, é acutângulo; e se possui um dos seus ângulos maior 
do que 90·, é obtusângulo. 
.~ 
16.3 Congruência de triângulos 
Dizemos que dois triângulós são congruentes quando 
os seis elementos de um forem congruentes com os seis 
. elementos correspondentes do outro. 
/ ­
A 	 A' 
I 
I 
I 
I 8 	 C B' C' 
[ 
I 
I 
I 
[ 
[ 
~- I 
À == À, 
é == é· e 
6 == 6, 
AB A'S' 
BC == S'C' 
AC == A'C' 
Ç::;> .6•..1 BC == L1A' BI C' 
16.4 ~ Critérios de congruência 
LAL: Dois triângulos serão congruentes se possuírem 
dois lados e o ângulo entre eles congruentes. 
LLL: Dois triângulos serão congruentes se possuírem 
os três lados respectivamente congruentes. 
ALA: Dois triângulos serão congruentes se possuírem 
dois ângulos e o lado entre eles congruentes. 
LAAo : Dois triângulos serão congruentes se possuírem 
dois ângulos e o lado oposto a um deles 
congruentes. 
16.5 - Pontos notáveis do triângulo 
a) 	 O segmento que une o vértice ao ponto médio do 
lado oposto é denominado MEDIANA. 
O encontro das medianas é denominado 
BARICENTRO. 
A 
Bi( • '»C 
M 
G é o baricentro 
Propriedade: OG =2GM 
BG 	=2GN 
CG 	=2GP 
b) 	 A perpendicular baixada do vértice ao lado oposto é 
denominada ALTURA. 
O encontro das alturas é denominado 
ORTOCENTRO. 
Matemática.~;;j;l 	 51 
APOSti/lIS 
c} 	 INCENTRO é o encontro das bissetrizes internas 
do triângulo. (E centro da circunferência inscrita.) 
d} 	 CIRCUNCENTRO é o encontro das mediatrizes 
dos lados do triângulo. IÉ centro da circunferência 
circunscrita. ) 
16.6 Desigualdades 
Teorema: Em todo triângulo ao maior lado se opõe o 
maior ângulo e vice-Versa. 
Em qualquer triângulo cada lado é menor do que a 
soma dos outros dois. 
16.7 	- EXERCíCIOS RESOLVIDOS 
1) 	 Sendo 8cm e 6cm as medidas de dois lados de um 
triângulo, determine o maior número inteiro pos­
sível para ser medida do terceiro lado em em. 
Relução: 
x 	 x x>-2 => 2 x > 2 
Assim, o maior numero inteiro possível para medir o 
terceiro lado é 13. 
2) 	 O perimetro de um triângulo é 13 em. Um dos 
lados é o dobro do outro e a soma destes dois 
lados é 9 em. Calcule as medidas dos lados. 
Resolução: 
a + 	b + c ::: 13} 
a ::: 2b 3b::: 9 
a + 	b = 9 
I b 	=3 I e 
Portanto: [ C = 4 
As medidas sâo : 3 em; 4 em; 6 em 
3) 	 Num triângulo isósceles um dos ângulos ,ja base 
mede 47"32' Calcule o ângulo do vértice 
Resolução: 
x + 47" 32' + 47" 32' =- 1800 
Ç::;> 
x + 940 64' = 180· Ç::;> 
x + 95° 04' ::: 1800 
Ç::;> x 1800 95". 04' Ç::;> 
x::: 56'840 
rascunho: 
179" 60' 
84" 56' 
ResfJ : O ângulo do vértice é 840 56'. 
4) Determine x nas figuras: 
a) 
b) 
Resolução: 
a) 800 + x ::: 120· => x::: 40· 
b) x + 1500 + 1300 = 360" => x ::: 80 0 
5) 	 Determine x no triângulo: 
r 
Matemática J 
I 
./'-	 -:;'~.~' 
11""'''1'''' 
f 
! 
I 
i 
/-~ 
,~ 
r 
r-
Apostilas 
Resolução: 
)( 
B C 
Sendo h.AB(' isósceles, vem: e portanto:b .:::: C 
'1 J) J
B == L' =50° ,pois A + H + C IHO°. 
Assim, x =80° + 50° ::::} x = 130" 
17. 	 POLlGONOS 
o triângulo é um polígono com o menor número de 
lados possível (n =3), 
De um modo geral dizemos; polígono de n lados. 
17.1 - Número de diagonais 
11 (11 - 3)
d = I (n = número de lados) 
2 
De 1 vértice saem (n - 3) di('lgonais, 
De n vértices saem n . (n - 3) diagonais; mas, cada uma 
é considerada duas vezes, ' 
11 (11 - 3) 
Logo, d 
""") 
17.2 - Soma dos ângulos internos 
17.3 - Soma dos ângulos externos 
17.4 - Quadriláteros 
a) 	 Trapézio: 
"Dois lados paralelos". 
AB i! De 
A 	 8 
o 	 c 
b) Paralelogramo: 
"Lados opostos paralelos dois a dois". 
AB /1 De e AD // BC 
A 	 B 
'\ ,/'.-/
'\ ,/'.-/
X-.-/ 
.-/.-/ \. 
,/' 
,/',/' \ 
D 	 c 
Propriedades 
1) Lados opostos congruentes, 
2) Ângulos apostos congruentes. 
3) Diagonais se encontram no ponto médio 
c) Retângulo: 
"Paralelogramo com um ângulo reto" 
A 	 R 
.................... .-/ 
""---.. '--.. .,/' 
,/"'- =- :,x=6
MN MC 4 6 
. ~ 
I 4, RELAÇÕES MÊTRICAS NO TRIÂNGULO 
RETÃNGULOI 
Na figura: 
A 
1 
B { ! 1'1 	 n! " C 
H 
.. a 	 .. 
li =m +n 
Aé vértice do ângulo reto (Â == 90° ) 
B+ C= 90° 
m == projeção do cateto c sobre a hipotenusa a 
n == projeção do cateto b sobre a hipotenusa a 
r 
H é o pé da altura AH = h. 
4.1 	 - Relações 
AB HB 
AAHB - !1CAB 	 R R 
a) 	 CB AB 
qAB~ =CB·HB 
2 c =a. mou 	 (I) 
AC HC
MHC-ABACq-==-q
b) BC AC 
AC 2R == BC·HC 
r ou b
2 =a . n I (!f) 
AH HB
MHB-!1CHAq-=-q
c) CH HA 
q AH 2 ==CH ·HB 
,~ h2uu == 111. n (lll) 
A altura é média proporcional 
Matemática 55 
~ 
('ol1seqüências: 
(I) + (11) vem: 
c ~ + b2 == (Im +an q 
2 +h 2 
q c == a\ni+:f)q 
u 
2
Rc
2 +b 1 
==a 
4.1 - Teorema de Pitágoras 
a2 + b2 =c2 
oquadrado da hipotenusa é 
igual à soma dos quadrados dos 
Exemplo: 
Na figura, M é ponto médio de BC, A=90° 
A 
e M = 90°. Sendo AB =5 e AC =2, calcule AI. 
Á 
8 ./ 1-' 	 \ C 
Resolução: 
a) Teorema de Pitágoras: 
BC l == AB! +AC2 ::::> BC l == 52 +22 ::::> 
::::> BC = 129 == 5,3 8 
e [ MB= § I2 . 
b) MBe - !1MBI q 	 AB BC ou 
MB B1 
_5__ 129 	 29
129 -ill q BI =10=2,9 
2 
Logo, sendo AI =AB - BI, teremos: 
Apostilas 
AI =5 - 2.9 => IA/=2,1 
5. RELAÇÕES MÉTRICAS NO CíRCULO 
A 
N 
____ T 
~p 
Nas figuras valem as seguintes relações: 
81 =PA. PB=PM. PN 
~ J J 
p 
~ 
o número 81 é denominado Potência do ponto 
P em relação à circunferência. 
82 =Jd2 -R21 
6. 	 POLlGONOS REGULARES 
a) Quadrado: 
A 
I( VI • 'J B 
A8 =lado do quadrado ( À4 ) 
OM = apótema do quadrada (a4)OA =08 =R = raio do circulo 
Relações: 
J• AB~ =R +1À~ = Rfi 
AB
• OM :::: 
'"l ~ ~ 
• Área do quadraI h=À~f3 i 
2 
(altura em função do lado) 
• 	 AO =2 OH => I R =2a 
(o raio é o dobro do apótema) 
• I À,,:::: Rf3 :ado em função do raio) 
• 	 Área: s:::: À;f3 
4 I 
(área do triângulo equilátero em função do 
lado) 
 I 
Matemática 56 j 
-;'F"{ 
r 
,-; 1 
( 
( 
f 
[ 
( 
{ 
f 
I 
\ 
( 
l 
I 
\ 
( 
l 
í 
[ 
j 
--- I 
I 
\ 
I 
I 
I 
I 
r-"' 
I 
I 
I 
r 
[ 
c) Hexágono regular: 
A8 ="" (lado do hexágono) 
OA =08 = R (raio do circulo) 
OM = a (apótema) 
Relações 
• L1 OAB é equilátero ~ •.. f.."t, =R I 
• 
• 
OM é altura Ó. OAB ~ 
Área: 
S =6· S-'AliC ~ 
~ ?.J3 
0::::;­
'1 
"'/)' .
S::::;~1 
'1 
7. ÁREAS DE FIGURAS PLANAS 
a) Retângulo: 
,fi 
\,.. 
J 
b 
b) Paralelogramo. I S = b . h 
L 21
b 
c) triângulo: 
I S~b~h I 
Apostilas 
~ 
1:1 
d) losango: 
I S=~2d I 
e) trapézio: + b)l~B 
s= 
1 
b 
LJ:h 
I . 
I 
 ~ 
B 
8. EXERCiclOS RESOLVIDOS 
1) Num triângulo retângulo os catetos medem 9 
. cme 12 em. Calcule as suas projeções sobre 
a hipotenusa 
Resolução: 
a) 
b) 
c " 9 em e b - , 2 em 
Pitágoras: a 2 =b2 + c2 :::> 
~ a2 =12' + 92 :::> I a =15 
e =a . m ~ 92 =15. m ~ I m =5,4 
c) b2 
:: a . n => 1i = 15 . n => I n =9,6 
MalemâlÍca 57j 
Apostilas 
2) 	 As diagonais de um losango medem 6m e 
8m. Calcule o seu perímetro: 
Resolução: 
,\2 42 .,2 ~ 
I\, = =.J ~~ 
O perímetro é: I P = 4 X 5 m= 20 
3) Calcule x na figura: 
N 
Resolução: 
PA. P8 = PM . PN ~ 2. (2 + x) =4 X 10 
{:::} 
4 +2 x=40 {:::} 2 x=36 {:::} 
{:::} 	 Ix=18 
4) 	 Calcule a altura de um triângulo equilátero 
2cuja área é 913 m : 
Resolução: 
s~ À'; =>9)3 ~ À';:j À~6 m I 
. À13 h 613. I h -., h Ih=-2-~ :=2" -.J"\jJ m 
Geometria no Espaço 
RISMAS 
-' 
~j 
São 	 sólidos que possuem duas faces 1.c­
apostas paralelas e' congruentes denominadas 
bases. 
~. 
ai, = arestas laterais 
h = altura (distância entre as bases) 
h 
D~ '. { 
Cálculos: 
Ab = área do polígono da base. 
A';. = soma das áreas laterais. 
 2. 	 ( 
AT 	= Ai. +1Ab I(área total). 
c. 
[
j V =Ab. h (volume) 
1.1 	- Cubo 
O cubo é um prisma onde todas as faces são 
quadradas, 
AT = 6 . a 2 (área total) 
[ V = a3 
(volume) 
a =arestél 
/I 
Para o cálculo das diagonais teremos: 
(diagonal de uma face)
d=afi 
2.1 	 ­
(diagonal do cubo)O=a13 
I =--J 
.3·
(atemática 58 ",:1
:n:':.:.. 
~,:;'y. 
'''''í''' 
I 
I Apostilas 
1,2 - Paralelepípedo reto retângulo 
b~b 
c 
com a múltiplo de b. 
rifá ::: b =!> radiciação com a E IN 
Quadrado perfeito (se n =2), cubo perfeito (se n 
=3), etc. . 
e se rifá =b Ç::> bn =a 
na =a.a.a.... a. particularmente se a2 =a . a (lê-se a 
ao quadrado) 
a3 = a. a. a (lê-se a ao cubo) 
Propriedades Operatórias 
a) (a + b) + c =a + (b + c), associativa da adição. 
b) (a. b) . c = a. (b . c), associativa da multiplicação. 
c) a + b =b + a, comutativa da adição. 
d) a. b ::: b . a. comutativa da multiplicação. 
e) a + O=a, elemento neutro da adição. 
f) a. 1 =a. elemento neutro da multiplicação. 
g) a .(b + c) =a. b + a. c, distribuição da multiplicação 
em relação à adição. 
h) aO =1 com a =O 
• 
~. 
~1 
1. 
cre: 
,~~ 
Se! 
!"''Õ 
L.-lor de X é 7. , 
..e 
Matemática 3 
O do meio terá 14, pois é o valor de X que é 7, vezes 2, ou 
ainda o dobro de 7. 
E o mais velho terá 24, que seria o triplo de X mais 3. 
Pronto! A resolução desse problema foi feita e deu para 
perceber como o uso da letra facilitou sua resolução. 
Outros exemplos: . 
A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Des­
cubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André 
é 4 anos mais novo do que Carlos. 
.,;;-­
Solução: 
Primeiro passaremos o problema para a linguagem ma­
temática. Vamos tomar a letra c para a idade de Carlos e a 
letra a para a idade de André, logá a=c-4. Assim: 
c + a =22 
c + (c -4) =22 
2c - 4 =22 
2c - 4 +4 =22 + 4 
2c =26 
c =13 
Resposta: Carlos tem 13 anos e André tem 13-4=9 
anos. 
A população de uma cidade A é o triplo da população 
da cidade B. Se as duas cidades juntas têm uma popula-. 
çãO de 100.000 habitantes. quantos habitantes tem a cida­
de B? . 
Solução: Identificaremos a população da cidade A com 
a letra a e a população da cidade com a letra b. Assumire­
mos que a=3b. Dessa forma, poderemos'escrever: 
a + b = 100.000 
3-b + b = 100.000 
4b = 100.000 
b = 25.000 
Resposta: Como a = 3b, então a população de A 
corresponde a: a=3x25.000=75.000 habitantes. 
Uma casa com 260m2 de área construída possui 3 
quartos d.e mesmo tamanho. Qual é a área de cada 
quarto, se as outras dependências da casa ocupam 
140m2? 
Solução: Tomaremos a área de cada dormitório com le­
tra x. 
3x + 140 =260 
3x =260 -140 
3x =120 
x =40 
Resposta: Cada quarto tem 40m2
, 
Como achar o valor de x (termo desconhecido) nas 
quatro operações básicas 
01. Determine um número natural que, multiplicado por 
17, resulte 238. 
u:H-­
X . 17 =238 (jJt )J, 
0~ 
, ­
~/ 
Apostilas 
x= 238: 17 
X =14 
Prova: 14.17 = 238 
02. 	 Determine um número natural que, dividido por 62, 
resulte 49. 
x: 62 =49 
x =49.62 
x = 3038 
03 	 Determine um número natural que, adicionado a 15, 
dê como resultado 32 
x + 15 =32 
x =32 -15 
x =17 
04. 	 Quanto devemos adicionar a 112, a fim de obtermos 
186? 
x -112 = 186 
x =186 -112 
x =74 
05. 	 Quanto devemos subtrair de 134 para obtermos 81? 
134 -x= 81 
- x = 81 -134 
- x = - 53 (multiplicando por -1) 
x =53 
Prova: 134 - 53 =81 
06. 	 Ricardo pensou em um número natural, adicionou-lhe 
35, subtraiu 18 e obteve 40 no resultado. Qual o nú­
mero pensado? 
x + 35 -18 =40 
x =40 - 35 + 18 
x= 23 
Prova: 23 + 35 -18 = 40 
07. 	 Adicionando 1 ao dobro de certo número obtemos 7. 
Qual é esse numero? 
2. x +1 =7 
2x=7-1 
2 x =6 
x =6: 2 
x =3 
o número procurado é 3. Prova: 2. 3 +1 = 7 
08. 	 Subtraindo 12 do triplo de certo número obtemos 18. 
Determinar esse número. 
3.x-12=18 
3x =18+12 
3 x =30 
x = 30: 3 
x = 10 
09. 	 Dividindo 1736 por um número natural, encontramos 
56: Qual o valor deste numero natural? 
1736: x = 56 
1736 = 56. x 
56. x = 1736 
x. 56 = 1736 
~~~~~~~~-~=~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
Matemática 4 
x = 1736: 56 
x = 31 
10. 	 O dobro de um número é igual a 30. Qual é o núme­
ro? 
2.x=30 
2x=30 
x=30: 2 
x =15 
11. 	 O dobro de um número mais 4 é igual a 20. Qual é o 
número? 
2. x + 4 = 20 
2 x =20 - 4 
2 x =16 
x =16: 2 
x=8 
12. 	 Paulo e José têm juntos 12 lápis. Paulo tem o dobro 
dos lápis de José. Quantos lápis tem cada menino? 
José: x 
Paulo: 2x 
Paulo e José: x + x + x = 12 
3x =12 
x=12: 3 
x=4 
José: 4 - Paulo: 8 
13. 	 A soma de dois números é 28. Um é o triplo do outro. 
Quais são esses números? 
um número: x 
o outro número: 3x 
x + x + x + x = 28 (os dois números) 
4 x =28 
x = 28: 4 
x = 7 (um número) 
3x = 3 . 7 = 21 (o outro número). 
Resposta: 7 e 21 
14. 	 Pedro e Marcelo possuem juntos 30 bolinhas. Marcelo 
tem 6 bolinhas a mais que Pedro. Quantas bolinhas 
tem cada um? 
Pedro: x 
Marcelo: x + 6 
x + x + 6 = 30 ( Marcelo e Pedro) 
2 x + 6 = 30 
2 x =30 - 6 
2x=24 
x =24: 2 
x:: 12 (Pedro) 
Marcelo: x + 6 =12 + 6 =18 
Problemas 
1 - Em uma adição uma das parcelas é 27. Sabe-se que 
a soma é 115. Calcule a outra parcela. ~1Co 
",,' 
"f 
~L 
~/ 
--' 
--
Apostilas 
r ­
,--. 
r-
r 
F 
r 
.r 
?­
íii 
2 -	 A diferença entre dois números é 45.0 subtraendo é 
27. Qual é o número? ;(1) t.\ ç 
3 -	 Em uma divisão exata o~n'do é 495 : of~en-
te é 11. Qual é o divisor. ~~ ",C\S 
Respostas: 1) 88 2) 72 3) 45 ~~ 
CONJUNTO DOS NÚMEROS 
INTEIROS RELATIVOS 
Sobre a origem dos sinais 
A idéia sobre os sinais vem dos comerciantes da épo­
ca. Os matemáticos encontraram a melhor notação para 
expressar esse novo tipo de número. Veja como faziam 
tais comerciantes: 
Suponha que um deles tivesse em seu armazém duas 
sacas de feijão com 10 kg cada. Se esse comerciante 
vendesse num dia 8 Kg de feijão, ele escrevia o número 8 
com um traço (semelhante ao atual sinál de menos) na. 
frente para não se esquecer ca que no' saco faltava 8 Kg 
de feijão. 
Mas se ele resolvesse despejar no outro saco os 2 Kg 
que restaram, escrevia o número 2 com dois traços cruza­
dos (semelhante ao atual sinal de mais) na frente, para se 
lembrar de que no saco havia 2 Kg de feijão a mais que a 
quantidade inicial. 
Com essa nova notação,os matemáticos poderiam, não 
somente indicar as quantidades, mas também representar 
o ganho ou a perda dessas quantidades, através de núme­
ros, com sinal positivo ou negativo. 
O conjunto Z dos Números Inteiros 
Definimos o conjunto dos números inteiros como a reu­
nião do conjunto dos números naturais, o conjunto doscm e) 25 cm 
8) 	 A base e a altura de um retângulo estão na razão 
I~ 	 . Se a diagonal mede 26cm. a base medida 
J 
será: 
a) 12 em b) 24 cmc) 16 cm 
d) 8 em e) 5 cm 
9) 	 A altura relativa á hipotenusa de um triângulo mede 
14,4 dm e a projeção de um dos catetos sobre a 
mesma 10,8 dm. O perímetro do triângulo é: 
a) 15 dm b) 32 dm c) 60 dm 
d) 72 dm e) 81 dm 
10) 	A altura relativa á hipotenusa de um triângulo 
retângulo de catetos 5 cm e 12 cm. mede: 
a)4,61cm b) 3,12 cm c)8,1cm 
d) 13,2 em e) 4 em 
11) Duas cordas se cruzam num círculo. Os 
segmentos de uma delas medem 3 cm e 6 cm; um 
dos segmentos da outra mede 2 cm. Então o outro 
segmento medirá: 
a) 7 cm b) 9 cm c) 10 cm 
d) 11 cm e) 5 cm 
RESPOSTAS AOS EXERCICIOS PROPOSTOS 
1) c 5) e 9) d 
2) b 6) c 10) a 
3) d 7) a 11) b 
4) e 8) b 
EXERCíCIOS PROPOSTOS 3 
1) 	 Um prisma pentagonal regular tem 1.8 m de altura e 
aresta da base 0,6 m. Calcule a área lateral do prisma. 
2) 	 Calcule a área total de um prisma hexagonal regular 
de 2m de altura e 1 ,5m de aresta na base. 
3) 	 A altura de um prisma reto tem 9,6 cm e as bases são 
quadrados cuja diagonal mede 2.25 em. Calcule a 
área lateral. 
4) 	 Calcule a diagonal de um cubo cujo volume é 
47013,360 cm 3. 
5) 	 Em um prisma reto. a altura tem 7 m, a base é um 
triângulo isóscele~ cujo perimetro é 5 m e um dos 
lados tem 3, cm. Calcule o volume. 
Matemática 	 62 
8) 	 Calcule a superfície total de uma pirãmide triangular 
regular que tem 25cm de aresta lateral e 8cm de 
aresta da base. 
9) 	 calcule a área lateral de um cilindro reto de 12,5 cm de 
altura e cuja base está inscrita num losango de dia­
gonais 8 cm e 6 em. 
10) 	 Um retângulo de 4 cm de lado e 5 cm de base gira em 
torno do lado maior determinando um sólido no 
espaço. calcule a área lateral do sólido assim gerado. 
11) 	calcule a área de uma superticie gerada pela rotação 
de um triângulo equilátero de lado 6 cm, em torno de 
seu lado. 
12) Um cone circular reto de altura h é seccionado por um 
plano á distância h/4 do vértice; sendo 256 cm2 a área 
,lateral do cone, calcule a área lateral do cone parcial 
assim formado. 
13) 	Com um setor circular de 15 cm de raio e 2160 de 
ângulo central, constrói-se um cone circular reto. 
calcule a área lateral do cone. 
14) 	Calcule o volume de uma esfera inscrita num cone reto 
de 4m de altura e 3m de raio da base. 
RESPOSTAS AOS EXERCíCIOS PROPOSTOS 
1)5,4mL 	
211) 36.[jJr cm
2) 29,68 m 2 	
22 12) 16 em3) 61.084 cm 
2 13) 135Jr cm2 
4) 6.6 cm 314) 415 Jr cm5) 21cm3 
6) 3,93 cm 
7) 144,333 dm3 
8) 323,832 
9) 60 Jr cm 2 
10) 40 Jr cm 2 
BIBLIOGRAFIA 
Enciclopédia A BARSA 
Matemática - Nelson Baccaro Hélio Cyrino - Editora 
Ática - SP 
Matemática GUIA INTENSIVO DE ENSINO 
.	GLOBALlZADO - 10 E 20 GRAU E VESTIBUl:.ARES ­
JOSÉ LUIZ DA COSTA - EDELBRA -INDÚSTRIA 
GRÁFICA E EDITORA LTOA - ERECHIM - RS 
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:",,~.~. J.c~ 
I[ ESTATíSTICA [I 
Estatística Descritiva 
Estatística Descritiva é o nome dado ao conjunto de técni­
cas analíticas utilizado para resumir o conjunto de todos os 
dados coletados numa dada investigação a relativamente 
poucos números e gráficos. Ela envolve basicamente: 
• Distribuição de Freqüência: É o conjunto das freqüên­
cias relativas observadas para um dado fenômeno estu­
dado, sendo a sua representação gráfica o Histograma 
(diagrama onde o eixo horizontal representa faixas de 
valores da variável aleatória e o eixo vertical representa a 
freqüência relativa). Por uma conseqüência da Lei dos 
Grandes Números, quanto maior o tamanho da amostra, 
mais a distribuição de freqüência tende para a distribuição 
de probabilidade. 
procedimentos para a identifica­
ção de uma distribuição de probabilidade a partir de um 
conjunto de freqüências usando a Lei dos Grandes Núme­
ros. Essencialmente, calcula-se a chance da diferença 
entre uma distribuição de freqüência observada e aquela 
que seria de se esperar a partir de uma determinada distri­
buição de probabilidade (geralmente a Curva Normal). 
Uma distribuição de freqüência pode ser tida como perten­
cente a um dado tipo de distribuição se o teste de aderên­
cia mostrar uma probabilidade de mais de 5% da diferença 
entre as duas ser devida ao acaso 
Medidas da Tendência Central: São indicadores que permi­
tem que se tenha uma primeira idéia, um resl,t[llo, de como 
se distribuem os dados de urr, experimentd,.;toformando ° 
valor (ou faixa de valores) da variável aleáf§ría que ocorre 
mais típicamente. Ao todo, são os seguintes três parâme­
tros: 
A idéia básica é a de se estabelecer uma descrição dos 
dados relativos a cada uma das variáveis, dados esses' 
levantados através de uma amostra. 
• Média: É a' soma de todos os resultados dividida pelo 
número total de casos, podendo ser considerada como um 
resumo da distribuição como um todo. 
• Moda: É o evento ou categoria de eventos que ocorreu 
com maior freqüência, indicando o valor ou categoria mais 
provável. 
• Mediana: É o valor da variável aleatória a partir do 
qual metade dos casos se encontra acima dele e metade 
se encontra abaixo 
Medidas de Dispersão: São medidas da variação de um 
conjunto de dados em tomo da média, ou seja, da maior ou 
menor variabilidade dos resultados obtidos. Elas permitem 
se identificar até que ponto os resultados se concentram ou 
não ao redor da tendência central de um conjunto de ob­
servações. Incluem a amplitude, o desvio médio, a variãn-
Matemática 	 63 
cia, o desvio padrão, o erro padrão e o coeficiente de vari­
ação, cada um expressando diferentes formas de se quan­
tificar a tendência que os resultados de um experimento 
aleatório tem de se concentrarem ou não em determinados 
valores (quanto maior a dispersa0, menor a concentração e 
vice-versa). 
A idéia básica é a de se estabelecer uma descrição dos 
dados relativos a cada uma das variáveis, dados esses 
levantados através de uma amostra. 
Fonte: hllp://www.vadcmccunu.:ol11.hr!iatrnsiestdiscriti\.a.htm 
DISTRIBUiÇÃO DE FREQÜÊNCIA 
A primeira tarefa do estatistíco é a coleta de dados. 
Torna-se então necessário um pequeno planejamento, no 
qual se irá decidir: 
Quais são os dados a coletar? 
A coleta de dados será feita utilizando toda a popu­
lação ou recorrendo a amostragem? 
• 	 Onde serão coletados os dados? Que tipo de fonte 
será utilizada? 
• 	 Como organizar os dados? 
Vejamos como essas questões são resolvidas numa si­
tuação prática: 
Exemplo 1: Um. repórter do jornal A Voz da Terra foi 
destacado para acompanhar a apuração de votos da elei­
ção da diretoria do clube da cidade, à qual concorrem os 
candidatos A, B, C e D. O objetivo da pesquisa é a publica­
ção da porcentagem de votos obtidos pelos candidatos. 
O repórter já tem explícitas na proposta de trabalho que 
recebeu algumas respostas para seu planejamento: 
• 	 os dados a coletar são os votos apurados; 
• 	 a população envolvida é o conjunto de todos os e­
leitores (não será utilizada amostragem, pois os e­
leitores serão consultados, através da votação); 
a coleta será direta, no local da apuração. 
Falta resolver o último item do planejamento: como or­
ganizar os dados? 
Os dados obtidos constituem os dados brutos O repór­
ter poderá recorrer a uma organização numérica simples, 
registrada através de sim bolos de fácil visualização: 
Candidatos Votos 
A 
B 
C 
D 
II1 !1111111111 
;1111111111 
i III! 1111 I I 11111 
I;: 11 !111 
121121D 
!SI tSl I 
IZI 0 IZI I 
IZID 
Apostilas 
Agora, ele poderá fazer o rol desses dados, organizan­
do-os em ordem crescente (ou decrescente): 
Candidatos· Votos 
D 9 
B 11 
A 14 
C '16 
Deste modo, ele terá iniciado o trabalho de tabulação 
dosdaâos, 
Apesar de as anotações do repórter trazerem todas as 
informações sobre os cinqüenta votos, provavelmente o 
jornal não irá publicá-los dessa forma. E: mais provávelque 
seja publicada uma tabela, com o número de vo.tos de cada 
candidato e a respectiva porcentagem de votos: 
Candidatos Numero % de votos 
de Votos i 
D 
S 
A 
C 
9 
11 
14 
16 I 
18 
22 
28 
32 
Total __ 50---.L 100 
Este é um exemplo de distribuição por freqüência. 
VARIÁVEIS E FREQÜÊNCIAS 
No caso que estamos estudando, cada voto apurado 
pode ser do candidato A, do S, do C ou do D. Como são 
cinqüenta os votantes, o número de votos de cada um 
eode assu~ir valores de 1 a ~O. O número de votos varia. 
Euma vanavel. 
O valor que representa um elemento qualquer de um 
conjunto chama-se variável. . 
No caso dos votos, a variável assume valores resultan­
tes de uma contagem de O a 50. Quando se tomam, nesse 
conjunto de valores, dois números consecutivos quaisquer, 
não é possivel encontrar entre um e outro nenhum valor 
que a variável possa assumir. Por exemplo, entre 20 e 21 
não existe nenhum valor possivel para a variável. Estamos, 
portanto, diante de uma variável discreta, 
Uma tabela associa a cada observação do fenômeno 
estudado o número de vezes que ele ocorre. Este número 
chama-se freqüência. 
Na tabela do exemplo dado, a freqüência de votos do 
candidato A é 9, a do candidato B é 11, a do. C é 14 e a do 
D é 16. Estas freqüências, representadas na segunda 
. coluna, são as freqüências absolutas (F). Sua soma é igual 
a 50 que é o número total de ')bservações. Na coluna "% 
de votos", obtida a partír do cálculo de porcentagem de 
votos de cada candidato, estão representadas as freqüên­
cias relativas (Fr). 
9
Candidato A 50 =0,18=18% 
11
Candidato S 50 =0,22 =22% 
Candidato C 2i =0,28 =28% 
50 
16
Candidato D 50 = 0,32 = 32% 
A freqüência relativa (Fr) ou freqüência porcentual (F%) 
é a relação entre a freqüência absoluta e o número total de 
observações. Sua soma é 1 ou 100%: 
0.18 + 0,22 + 0,28 + 0,32 = 1,00 
18% + 22% + 28% + 32% =100% 
Exemplo 2: Dada a tabela abaixo, observe qual a variá­
vel e qual a freqüência absoluta e calcule as freqüências 
relativas. 
rorSTRIBUIÇÃO DE RENDA NO BRASIL -I 
i1971 ' 
I Faixa de renda 1Hab' 
Até 1 salário mínimo 224740 
De 1 a 3 salários mínimos 363860 
De 4 a 8 salários mínimos 155700 
Mais de 8 salários mínimos 47500 
I Total 791 800 
Fonte: Brasil em dados Apud: COUTINHO, M. 1. C e CUNHA, 
S. E. Iniciação à Estatística. Belo Horizonte, Lê, 1979, p. 
40. 
Solução: A variável é a renda, em salários míni­
mos por habitação. As freqüências absolutas são os 
dados da tabela: 
em 224 740 moradias a renda é de até 1 salário 
mínimo; 
em 363860 é de 1 a 3 salários; 
em 155 700 está entre 4 e 8 salários; 
em 47800 é maior que 8 salários mínimos. 
Para obtér as freqüências relativas, devemos cal­
cular as porcentagens de cada faixa salarial, em 
relação ao total de dados: 
. 1 I" ,. 224740 028 280ate sa ano mlnlmo =, = Vo 
791800 
363860 = 0,46 = 46%de 1 a 3 salários 
791800 
155700 =0,20 =20%de 4 a 8 salários I791800 
I 
Matemática 64 ,.,,1.:~~t 
Apostilas-
47500 =0,06 =6%mais de 8 salários 
791800 
Organizando os dad,Os numa tabela: 
I 
Faixa de renda F Fr(F%) 
Até 1 salário mínimo 224 740 28 
De 1 a 3 salários mínimos 363860 46 
De 4 a 8 salários mínimos 155700 20 
Mais de 8 salários mínimos 47500 6 
Total 791 800 100 
DISTRIBUiÇÃO DE REf\lDANO BRASIL-1971 
I 
, 
r 
I. 
I 
Observe que, nesse exemplo, a variável é uma 
r medida: quantos salários mínimos por habitação. 
Podemos encontrar salários correspondentes a qual­
I quer fração do salário mínimo. Entre dois valores 
quaisquer sempre poderá existir um outro valor da 
variável. Por exemplo, entre 1 e 2 salários poderá 
existir a renda de 1 salário e meio (1,5 salário); entre 
1,5 e 2 poderá existir 1,7 salário etc. Trata-se então 
de uma variável contínua: Para representá-Ia na ta­
bela houve necessidade de organizar as faixas de 
renda em classes. 
Portanto, uma variável que pode teoricamente as­
sumir qualquer valor entre dois valores quaisquer é 
uma variável contfnua. Caso contrário ela é discreta, 
como no exemplo 1. Em geral, medições dão origem 
a variável contínua, e contagens a variável discreta. 
AGRUPAMENTO EM CLASSES 
Como vimos no exemplo 2, para representar a va­
riável contínua "renda" foi necessário organizar os 
dados em classes. 
O agrupamento em classes acarreta uma perda 
de informações, uma vez que não é possível a volta 
aos dados originais, a partir da tabela. Quando isso 
se torna necessário, uma maneira de obter resul­
tados aproximados 'é usar os pontos médios das 
classes. 
Ponto médio de uma classe é a diferença entre o 
maior e o menor valor que a variável pode assumir 
nessa classe. Esses valores cbamarn-se, respecti­
vamente, limite superior e)imite ínferiorda classe, 
No exemplo que acabamos de estudar, na classe 
de 4 a 8 salários temos: 
limite inferior: 4 salários - Li = 4• 
limite superior: 8 salários - Ls = 8• 
• ponto médio: 8+6 =6 
2 
O ponto médio'da classe entre 4 e 8 salários é 6 
salários mínimos. 
A diferença entre os limites superior e inferior 
chama-se amplitude da classe: 
Nem sempre a amplitude é um número constante 
para todas as classes. Há casos em que a desigual­
dade das amplitudes de classe não prejudica, mas 
favorece a disposição do quadro de freqüência. Eo 
que ocorre no exemplo 2, em que os salários acima 
de 8 mínimos foram agrupados em uma única classe, 
impedindo o aparecimento de freqüências muito bai­
xas. 
Exemplo 3: A partir das idades dos alunos de uma 
escola, fazer uma distribuição por fi'eqüência, agru­
pando os dados em classes. 
Idades (dados brutos): 
8 8 7 6 9 9 7 8 10 10 12 15 13 12 
11 11 978 6 5 10 6 9 8 6 7 11 9 
Organizando o rol, temos: 
5 6 6 6 677 7 7 8 8 8 8 8 9 9 9 
9910101011-111112121315 
São 29 observações. As idades variam de 5 a 15 
anos; logo, o limite inferior da primeira classe é 5 e o 
limite superior da última classe é 15. 
A diferença entre o Ls da última classe o li da 
primeira classe chama-se amplitude total da distribui­
ção. 
A amplitude total é: 15 - 5 =10 
ndade 
Organizando os dados, t'v, "..,'1 .... ,.......,~ 
II 
5 I 1 
'! I !U· 
9 5iLL
Matemática 65 
Apostilas 
10 
11 
12 
13 
14 
15 
3 
3 
2 
1 
-
1 
. 
Total 2.9 
Estando os dados organi~ados nessa disposição, 
é fácil agrupá-los em classes. 
Como a amplitude total é 10 e o número de ob­
servações é pequeno, nossa melhor opção é am­
plitude h = 2, que nos dará cinco classes com ampli­
tudes iguais a 2. 
h=2 Classes F 
I 
5 I- 7 
7 I- 9 
9 I- 1I 
11 I ­ 13 
13 I- 15 
5 
9 
8 
5 
2 
Total 29 I 
A representação 5 l- 7 significa que 5 pertence 
à classe e 7 não pertence; 7 está Incluído na classe 
seguinte. 
Poderíamos também pensar em dez classes com 
amplitude h = 1 ou em duas classes com h =5. Mas 
com li =1 os dados não seriam agrupados, e a tabela 
continuaria a mesma, e com h-= 5 teríamos apenas 
duas classes, perdendo muitas informações. 
h=5 Classes F 
5 I- 10 19 
10 I- 15 10 
Total 29 I 
Para amplitudes 3, 4, 6 ou 7 não conseguiríamos 
classes com amplitudes iguais. Observemos como 
ficariam os quadros: 
Classes F 
51-8 9 
81-9 13 
11 I- 14 6 
1 I14 I- 15 
I 
Total 29 I 
Com h = 3 temos quatro classes, mas a última 
tem amplitude (h = 1) diferente das demais. 
Classes F 
5 ~- 9 14
i 9 I- 13 
 14i 
I 13 I- 15 1 
I 
t Total 29 
Com h =4 ficamos com três classes. sendo a úl­
tima com amplitude (h = 2) diferente das demais. 
; Classes F 
I 5 I- 11 
11 I- 15 
22 
7 
Total - 29 
Temos agora duas classes com amplitudes 6 e 4. 
Classes F 
5 I- 12 25 
12 I- 15 4 
\ 
t--
~-- ~. 
Ficamos, neste caso, com duas classes com am­
plitudes 7 e 3. 
Podemos notar que, quanto maior a amplitude, 
menor é o número de classes. 
É regra geral considerarmos amplitudes iguais pa­
ra todas as classes, mas há casos em que a desi­
gualdade, em vez de prejudicar, favorece a disposi­
ção dos dados no quadro. 
Quando, por exemplo, estamos estudando deter­
minado assunto, muitas vezes surgem dados desne­
cessários; podemos desprezá-los ou então reduzira 
tabela. agrupando-os numa classe. 
Exemplo 4: Levantamento, segundo faixas etá­
nas, do número de casamentos realizados na cidade 
X, durante determinado ano. 
26 1-- 31 
I Classes 
~e 1 a 15 anos 
(3 classes) 
i 15 I- 20 
r- 20 1--_26 
F J 
-I 
1~ 
--1 
530, 
325\ 
31 I- 36 j 120 
Matemática 66 J 
I 
J 
! .Apostilas 
~ 36 f- 41 1151 
( 41 f- 46 131 
I 
46 f- 51 121 
51 f- 56 6· 
56 f- 61 
61 f- 100 161
I 	
3 1 
! De 1 a 15 anos foram agrupadas três classes, e 
ainda assim a freqüência é zero. De 61 a 100 anos 
os casamentos não costumam ser freqüentes: foramf 
r 	 agrupadas oito classes, sendo registrada a freqüên­
I cia de 16 casamentos. 
\ 
Estabelecimento do número de classes e da 
r ( 
amplitude 
f Devemos escolher o número de classes, e conse­
quentemente a amplitude, de modo que. possamos 
t 	 verificar as características da distribuição. E lógico 
que, se temos um número reduzido de observações, 
não podemos utilizar grandes amplitudes; e também 
que, se o número de observações é muito grande, as 
amplitudes não devem ser pequenas. 
Para o estabelecimento do número de classes, o 
matemático Sturges desenvolveu a seguinte fórmula: 
n =1 + 3,3 logN 
N é o número de observações, derivado do de­
senvolvimento do Binômio de Newton. Waugh resu­
miu as indicações na seguinte tabela: 
I ·~~mero de elas-
I Casos observados I ses a usar 
.. _92 682-185 36ª~1____._1-ª-__ 
I 185364-370727 19 i 
370726-741455 20 
741 456-1 482910 21 
Nem sempre. porém. temos à mão essa tabela. 
Devemos, então, procurar a amplitude total da distri­
buição. Com este dividendo fixado, consideraremos 
como divisor um número de classes razoável, e o 
qU9ciente nos indicará qual amplitude escolher. 
Exemplo 5: Suponhamos uma distribuição onde o 
menor valor da variável é 3 e o maior é 80. Temos: 
Li (primeira classe) =3 
Ls (última classe) 80 
H (amplitude total) =80 - 3 =77 
Dois números razoáveis de classes seriam 7 ou 
11 (divisores de 77). 
Se desejarmos 11 classes, a amplitude de cada 
uma será: 
80-3
h=77: 11 ou h= --::::;. h=7 
11 
Onde: h =amplitude de classe 
Ls - Li =amplitude total 
n = número de classes 
Exemplo ô: Em uma escola, tomou-se a medida 
da altura de cada um de quarenta estudantes, obten­
do-se os seguintes dados (em centímetros): 
160·152 155 154161 162 162 161 150 160 
163 156 162 161 161 171 160 170 156 164 
155 151 158 166 169 170 158 160 168 164 
163 167 157 152 178 165 156 155 153 155 
Fazer a distribUição por freqüência. 
Solução: Podemos organizar o rol de medidas a 
partir dos dados brutos, dispondo-os em ordem cres­
cente (ou decrescente). 
150 153 155 156 160 161 162 163 166 170 
151 154 155 157 160 161 162 164 167 170 
152 155 156 158 160 161 162 164 168 171 
152155 156 158 160 161 163 165 169 178 
A menor estatura é 150 em e a maior 178 em. A 
amplitude total é 28 em. Poderíamos pensar em 4 ou 
7 classes O primeiro é um número pequeno para 
quarenta observações. Com 7 classes, as duas últi­
mas teriam freqüência 1. Para agrupá-Ias, podemos 
reduzir o número de classes para 6, e, para facilitar o 
/'"' 
I 
I 
\ 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
.. 
. 1 
2 
3-5 
6-11 
12-22 
23-45 
46-90 
91-181 
182-362 
363-724 
725-1448 . 
1 449-2896 
2897-5792 
5793-11 585 
11586-23171 
23172-46341 
46342-92681 
. (De acordo com a 
I regra de Sturges) 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
-9 
10 
11 
12 
13 
14 
15 
16 JI 
17 
I 
! 
Matemática 	 67 
,;.,!.. 
I 
Apostilas 
cálculo, arredondar 178 em para 180 em. Assim, a 
amplitude total a considerar será: 
180 -150 =30 
Logo: 
h = 30: 6 = 5 
Organizando os dados em 6 classes de amplitude 
5, teremos: 
Classes 
150 I- 155 
155 I- 160 
160 I- 165 
165 I- 170 
170 I- 175 . 
175 I- 180 
Alturas (em) 
150151152153154 
1~1~1~1~1001001001~1~1~ 
160160160160161161161161 162162162 
163163164 164 
165166167168169 
170170171 
178 
Representando as classes por interyalos fechados 
à esquerda, não teremos dúvidas quanto a seus limi­
tes inferiores e superiores. 
Podemos agora fazer a tabulação dos dados, re­
gistrando na tabela as classes e seus pontos médios, 
e as freqüências. 
Além da freqüência absoluta (F) e da relàtiva (Fr), 
podemos representar a freqüência acumulada (Fa). 
Acumular freqüências; na distribuição, significa adi­
cionar a cada freqüência as que lhe são anteriores. 
ALTURAS (CM) DE ESTUDANTES DA ESCOLA 
x 
Classes· Pm FaF Fr 
150 I- 155 152,5 6 156 
155 I- 160 16 25 
160 I- 165 31 38 
165 I- 170 5 12167.5 36 
170 I- 175 172,5 3 839 
175 I- 180 177,5 21i 40 
157,5 -10 
162,5 15 
Total i 100401 
Observando a tabela podemos responder a ques­
tões como: 
a) 	 Quantos são os estudantes com estatura in­
ferior a 160 em? 
b) 	 Que porcentagem de estudantes tem estatu­
ra igualou superior a 175 em? 
c) 	 Quantos são os estudantes com estatura· 
maior ou igual a 160 em e menor que 175 
em? 
iii 
d} 	 Qual a porcentagem de estudantes com esta­
tura abaixo de 170 em? 
Respostas: a)16 b)2% c)23 d)90% 
Finalizando, uma observação: o agrupamento em 
-...-/classes muito grandes poderá levar a uma perda de 
pormenores; podemos, então, optar pelo agrupamen­
to em classes menores e, conseqüentemente. por 
um maior número delas, desde que isso não prejudi­
que o estudo. Com a possibilidade do uso de compu­
tadores, esta alternativa torna-se bastante viável. 
PRINCIPAIS TIPOS DE GRÁFICOS: 
1. GRÁFICOS LINEARES OU DE CURVAS 
São gráficos em duas dimensões, baseados na re­
presentação cartesiana dos pontos no plano. Servem para 
representar séries cronológicas ou de localização (os da­
dos são observados segundo a localidade de ocorrência), 
sendo que o tempo é colocado no eixo das abSCIssas (x) e 
os valores observados no eixo das ordenadas (y). 
Vendas da Companhia Delta 
1971 a 1977 
.. ,",'-,-•• ~____ ~ • __A ____ ._ .... ~.__~~~_ ~•• 
Ano Vendas (Cr$ 1.000,00) 
1971 230 
1972 260 
1973 380 
1974 300 
1975 350 
1976 400 
.. _.t97Z.____._ 
Fonte: Departamento de Marketing da Companhia 
Vendas da Companhia Delta 
Õ 500 
50 
UI â 400 
~ g 300 
; ~ 200 
> Y! 100 
!:2. o 
1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 
Anos 
2. GRÁFICO EM COLUNAS OU BARRAS 
São representados por retângulos de base comum e 
altura proporcional à magnitude dos dados. Quando dis­
postos em posição vertical. dizemos colunas; quando colo­
cados ná posição horizontal. são denominados barras. 
Embora possam representar qualquer série e§tatística, 
geralmente são empregados para representar as séries 
específicas (os dados são agrupados segundo a modali­
dade de ocorrência). 
! 
I 
Matemática. 	 68 .1....d 
'~Y'f 
! 
Apostilas 
A) Gráfico em Colunas 
População Brasileira (1940 -1970) 
Ano .___ POp'~~ç~~_ .._.. _ 
1940 41.236.315 
1950 51.944.398 
1960 . 70.119.071 
."- ­ 93.139.0371970 
Fonte: Anuário Estatístico· 1974 
População do Brasil 
100000000 
o 	 80000000 
,m 
g-	 60000000 
~ 	40000000 
o 
a. 	 20000000 
O' 	 '''1lI 
1940 1950 1960 1970 
ANOS 
B) Gráfico em Barras 
Produção de Alho Brasil (1988) 
ESTADOS 
I Santa Catarina 
Minas Gerais 
Rio Grande do Sul\ 
Goiás
I São Paulo 
I 
 Fonte: IBGE 
... _g.!-:l~NTI!?"~.QESJtL ... 
13.973 
13.389 
6.892 
6.130 
4.179 
PRODUÇÃO DE ALHO - BRÁSIL-1988 
SáoPaulo ~ 
~ Rio Grande do Sul ~ 
,. ­ ~ ~I======;==== 
Santa Catarina ~L= ...===::1...=:.._=.= 
O 5.000 '10.00 15.00 
tonelad~s O 
3. GRÁFiCO EM COLUNAS OU BARRAS MÚLTlPLAS 
Este tipo de gráfíco é geralmente empregado quan­
do queremos representar, simultânea mente, dois ou 
mais fenômenos estudados com o propósito de com­
paração. 
BALANÇA COMERCIAL 
BRASIL -1984 - 1988 
BALANÇA COMERCIAL 
BRASIL -1984-88 
40.000 
O 30.000 
lFr 'o total. 
O tolal é representado pelo círculo, que fica dividido em 
tantos setores quantas são as partes. Para construi-lo, . 
divide-se o circulo em setores, cujas áreas serão propor­
cionais aos valores da série. Essa divisão poderá ser obti­
da por meio de uma regra de três simples e direta. 
Total 3600 
Parte x o 
REBANHOS BRASILEIROS 
198.8;...._--::--:-:--:-:-=--:-::-::::---~ 
ESPÉCIE-1 QUANTIDADE 
........_____ ..__t___i~ilhõt:s de cabeças)_._ 
Bovinos I 140 
Suinos 32 
Ovinos 20 
Caprinos 11 
Total 203 
-'*"""'''' 
Fonte: IBGE 
Temos: 
Para Bovinos: 
203 -------------360° 
140 ------------- x 
MafemátÍc([
,.,1 	 69 
Apostilas 
~ x=2482° x=248°, ~ 
Para Suínos: 
203 ------------360° 
32 ----------- y 
~ y =56,70 c=:::> Y= 570 
Para Ovinos: 
203 -----------3600 
20 ---------- z 
c::::::=> z =35,4o ~ z = 35° 
Para Caprinos: 
203 ----------360° 
11 ---------- w 
c=:::) w = 19,50 c::::::> w =20° 
REBANHOS BRASILEIROS - 1988 
5% 
oBovinos 
IlIISuinos 
OOvinos 
DCaprinos 
5. GRÁFICO POLAR 
É a representação de uma série por meio de um polígo~ 
no. É o gráfico ideal para representar séries temporais 
cíclicas, isto é,o séries temporais que apresentam em seu 
desenvolvimento determinada periodicidade, como, por 
exemplo, a variação da pre:::ipitação pluviométrica ao 
longo do ano ou da temperatura ao longo do dia, a arreca­
dação da Zona Azul durante a semana, o consumo de 
energia elétrica durante o mês ou o ano, o número de 
passageiros de uma linha de ônibus ao longo da semana, 
etc. 
o gráfico polar faz uso do sistema de coordena­
das polares. 
PRECIPITAÇÃO PLUVIOMÉTRICA 
MUNiCíPIO DE RECIFE -1989 
.. J~.t.:?_~.~.....! PREÇIPITAÇÃO (mJ!!L ....._. 
Janeiro! 
F · !
everelro I 
174,8 
36.9 
Março I 83,9 
Abril 
Maio 
Junho 
I 
iI 
462,7 
418,1 
418,4 
Julho 538,7 
Agosto 323,8 
Setembro 39.7 
Outubro 66,1 
Novembro 83.3 
Dezembro 201.2 
Fonte: IBGE 
PRECIPITAÇÃO PLUVIOMÉTRICA 
MUNiCíPIO DE RECIFE -1989 
Janeiro 
Dezembro 600 Fevereiro 
400 MarçoNovembro 
Outubro . Abri29, '1 
Setembro MaiO 
Agosto Junho 
Julho 
i. traçamos uma circunferência de raio arbitrário (em parti­
cular, damos preferência ao raio de comprimento propor­
cionai á média dos valores. da série; neste caso, 
X = 124,5); 
2. construimos uma semi-reta ( de preferência na horizon­
tal) partindo de O (pólo) e com uma escala (eixo polar); 
3. dividimos a circunferência em tantos arcos quantas 
forem as unidades temporais; 
4. traçamos. a partir do centro O (pólo). semi-retas pas­
sando pelos pontos de divisão; 
5. marcamos os valores correspondentes da variável, inici­
ando pela semi-reta horizontal (eixo polar); 
6. lígamos os pontos encontrados com segmentos de reta; 
7. se pretendemos fechar a poligonal obtida, empregamos 
uma linha interrompida. 
6. CARTOGRAMA 
O cartograma é a representação sobre uma carta geo­
gráfica. 
Este gráfico é empregado quando o objetivo é o de figu­
rar os dados estatísticos diretamente relacionados com 
áreas geográficas ou políticas. 
Distinguimos duas aplicações: 
_/ 
, 
l 
1 
I 
~. 
I 
I 
\ 
.Matemática 70 I 
rf 
f
" i 
i 
f' 
~ 
Apostilas 
a) Representar dados absolutos (população) - neste 
I 
caso. lançamos mão, em geral, dos pontos, em 
número proporcional aos dados. 
b) Representar dados relativos (densidade) - neste 
caso, lançamos mão, em geral, de Hachuras. 
1 POPULAÇÃO PROJETADA DA
I REGIÃO SUL DO BRASIL -1990 
J 
ANO 
1972 
1973 
1974 
1975 
Matemática 
PRODUÇAO 
9.974 
19.814 
22.117 
24.786 
71 
ANOS 
C5!1mi SO_ rSiDii" lDt,.1975 
1974 :tIi??1... ~,... 1f?ó ca".. ~ 
liifiiii'...... q;Fpjlb rW? Um 1F?1i'ili!1973 ..... ...,1972 
PRODUCÃO 
=5.000 unidades 
GRÁFICOS ANAlíTICOS 
Os gráficos analíticos são usados tipicamente na 
representação de distribuições de freqüências simples e 
acumuladas. 
1. HISTOGRAMA 
É a representação gráfica de uma distribuição de fre­
qüências por meio de retângulos justapostos. onde no eixo 
das abscissas temos os limites das classes e no eixo das 
ordenadas os valores das freqüências absolutas (fi) 
2. POLíGONO DE FREQÜÊNCIAS 
É um gráfico de linhas que se obtém unindo-se os pon­
tos médios dos patamares dos retângulos do HISTOGRA­
MA. 
Classes PM f i f, f% f. f,. f%. 
301--­ 40 35 4 0,08 8 4 0.08 8 
40 1--­ 50 45 6 0.12 12 10 0,20 20 
501-­ 60 55 8 0.16 16 18 0,36 36 
601--­ 70 65 13 0,26 26 31 0,62 62 
701--­ 80 75 9 0.18 18 40 0,80 80 
801--­ 90 85 6 0,12 12 46 0.92 92 
901- 100 95 4 0,08 8 50 1.00 100 
r 50 1.00 100 
f 
,r 
/"'. 
POPULA_çÃC·;hab:Yr.~REII~1 DEN?~~~_~. 
9 137 700 199.324 45.8Paraná 
Santa Catarina 4.461.400 95318 46.8I I 
9.163.200 280.674 32.6Rio Grande do Sul 
Fonte: IBGE 
POPUlAÇÃO PROJETADA DA REGIÃO SUl. I DENSIOADE POPULACIONAL PROJETADA 
BRASIL .... 1990 DA REG;AO SUl. 00 BRASil·· 1990 
. ' .. '" ." 
,': .' ','--l­"'\. ••••~.r 
,-~}
./;-.......::. .. 
/". lo ~ •• ,/:_G:.·-t7
/ " • "oi. 4/
U"'v' 01'-:::,( :r?,f 
~'".i 
V 
 o menos de 33.0 habtkm' 
O Uli)'trtlS de J6.CI h.aDi.ltmi 
~ mtW.::i ~ 4}'.O Mb.!'kmL 
, 4;)0 Olt! hat:I:J:nlt.~ 
7. GRÁFICOS PICTÓRICOS 
São gráficos através de figuras que simbolizam 
fatos estatísticos, ao mesmo tempo que indicam as 
proporcionalidades. 
Por serem representados por figuras, tornam-se atraen­
tes e sugestivos, por isso, são largamente utilizados em 
publicidades. 
Regras fundamentais para a sua construção: 
a) Os símbolos devem explicar-se por si próprios; 
.b) As quantidades ma'lores são indicadas por meio 
de um número de símbolos, mas não 
por um símbolo maior; 
c) Os símbolos comparam quantidades aproxima­
das, mas detalhes minunciosos; 
d) Os gráficos pictóricos só devem ser usados para . 
comparações. nunca para afirma-
e) ções isoladas. 
PRODUÇÃO BRASilEIRA DE VEíCULOS 
1972 :-1975 (dados fictícios) 
;.,. Apostilas. 
...--._.,--,.. _--~-,.. __._", 
. fruquêncías 
iimples (f)15 U'C:TI'\"''''' M" 
9 
3 
1 • 
Classes 
PM 35 45 55 65 75 85 95 
OBSERVACÕES: 
a) O HISTOGRAMA e o POlÍGONO DE FREQÜÊNCIAS, 
em termos de fi , fr e f% têm exatamente o mesmo aspecto, 
mudando apenas a escala vertical; . 
b) Observe que, como o primeiro valor da tabela é bem 
maior que zero, adotamos aproxima-lo do zero através da 
convenção: 
L,---.-.­
30 
3. POLlGONO DE FREQÜÊNCIAS ACUMULADAS OU 
OGIVA DE GALTON 
É a representação gráfica que tem no eixo das abscis­
sas os limites das classes e no eixo das ordenadas aS 
freqüências acumuladas (fa ou f%a ) 
.~;". 
NOTA: Para obtermos o valor da mediana de uma série 
de valores em dados agrupados usamos uma fórmula, 
porém, através do gráfico de freqüências acumuladas (O­
GIVA DE GALTON) podemos obter esse valor. 
EXEMPLO:_. S . distrib . 
Ctasses fi fa i 
021---- 04 3 3 
04 J---- 06 5 8 
061---- 08 10 18 
081---- 10 6 24 
101----12 2 , ,. 26. 
Construir a OGIVA DE GALTON e, a partir dos dados, 
determine o valor da mediana da série. 
Matemática 72 
r', 
l 
rIl
li 
I'li
!; 
f%. fa 
.OGIVA DE GALTON . 
100 -26 
24 ~. 
.-:".. /18 
L
50 13 
;1 
8 ...... o 
V ~ . 
3 I "'.' 
/. I 
O 2' e4 6. 8 10 12 (Classesí 
Md=7 
Para obtermos a mediana, a partir da OGIVA DE GALTON, 
tomamos em fa =26 a freqüência percentual que irá cor­
responder à 100% ou seja, f%a = 100. 
Como a mediana corresponde ao termo central, localiza­
mos o valor' da fa que corresponde à 50% da f%a. que nes­
te caso, é fa = 13. A mediana será o valor da variável 
associada a esse valor no eixo das abscissas ou seja, Md 
=7 
CÁLCULO DA MODA PELA FÓRMULA DE PEARSON 
M. o == 3 . Md - 2. X 
Segundo PEARSON. a moda é aproximadamente igual 
à diferença entre o triplo da mediana e o dobro da média. 
Esta fórmula dá uma boa aproximação quando a distribui­
ção apresenta razoável simetria em relação à média. 
Exemplo: Seja a distribuição: 
Classes 
021---- 04 
041---- 06 
061---- 08 
08 1----10 
10 1----12 
L. 
PM 
3 
5 
7 
9 
11 
Classe Modal e Classe Mediana 
061···· 08 
fi 
3 
5 
10 
6 
2 
26 
Determine a Moda pela fórmula de CZUBER e pela fórmu­
lade PEARSON. 
I) Cálculo da média: 
PM .fifa 
9 
8 
3 
25 
18 70 
24 (54 
26 22 
180 
r F) 
/'" I 
f'! 
~ 
I 
r ~ { 
( 
f 
.~ ,I 
r" .', 
~ ! 
( 
,~ 
/ ­
,~ 
/ ­
~ 
,.....~-
,r ­
n , 
4-... 	 .- .:~ 
11) Cálculo da mediana: 
'a) posição da mediana: P =n/2 =26/2 
P =13! posição obtida na coluna fa que corres­
ponde à 3! classe; 
b) 	 Li =6, 'fa =8 
fi =1 O h =8 - 6 =2 
c) ).h = 6+ (13-8).2 = 6+1 
10 
c:::::::> IMd=71 
111) Cálculo da moda pela fórmula de CZUBER: 
a) Classe modal =Classe de freqüência máxima =3! 
classe (61--- 8) 
b) Li =6 , dj = 10 - 5 = 5 
':\2 = 10 6 = 4 , h =8 - 6 = 2 
L' + ~1 .h = 
c) 	 Mo= I ~1+~2 
5 
6 + -.2 = 6+1,11 ...
5+4 ' 
I Mo == 7,11. I 
::::7,11 
IV) Cálculo da moda pela fórmula de PEARSON: 
M o 	 3.Md - 2. X c:::::> 
M o =3.7-2.6,92 = 21-13,84=7,16 
Mo == 7,16 I 
MEDIDAS DE UMA DISTRIBUiÇÃO 
Há certas medrdas que são típicas numa distribui­
ção: as de tendência central (médias), as separatri­
zes e as de dispersão. 
MÉDIAS 
Consideremos, em ordem crescente, um rol de 
notas obtidas por alunos de duas turmas (A e B): 
Matemática 
Apóstitas 
-	 IPM. fi = 180 == 6,92 IX= Ix= 26 	 6,92 
73 
Turma A: 2 3 4 4 5 6 7 7 7 7 8 
Turma B: 2 3444 5 6 77 8 9 . 
Observemos para cada turma: 
• 	 valor que ocupa a posição central: 
Turma A: ,2 3 4 7' 7 7 8!4 ::S, W,7 
I 
cinco notas 
abaixode6 
Turma B: ,2 3 4 4 7 7 8 9!SI m,6 
I 
cinco notas abaixo de 5 cinco notas acima de 5 
• ovalor que aparece com maior freqüência: 
Turma A: [1J aparece com n:;ior freqüência. 
') 
Turma A: aparece com mai.or freqüência. 
• O quociente da somatór~a (I, ) dos dados 
, Ix 
(x) pela quantidade de dados(n}: 
n 
Turma 
2+3+4 +4 +5+6+7+7+7+7+8 = 60 =545 
11 	 11 ,. 
Turma B: 
2+3+4 +4+4 +5+6 + 7+ 7+8+9 = 59 =536 
11 11 ' 
Colocando estes três valores lado a lado, temos: 
Turma f Posição Maior freqüên- LX
central cia 
n 
A 6 ! 7 5,45 
, B 5 I 4 5,36 
Observando os resultados, podemos afirmar que 
a. turma A teve melhor desempenho que a turma B. 
Esses três valores caracterizam as distribuições. São 
chamados valores típicos. Eles tendem a se localizar 
em um ponto central de um conjunto de dados orde­
nados segundo suas grandezas, o que justifica a 
denominação medidas de tendência central ou mé­
dias. 
O valor que ocupa a posição central chama-se 
mediana (Md): . 
Apostilas 
iiii 
Para a turma A. a mediana é 6: Md =6. 15 i 3I • 
Para a turma B. a mediana é 5: Md =5 
i 
214 
\.13 5 
o valor que aparece com maior freqüência cha-· 12 I 3 
ma-se moda (Mo): 11 ! 2 
Para a turma A. a moda é 7: Mc =7. Total 20 
Para a turma B. a moda é 4: Mc = 4. 
o quociente da soma dos valores pela quantidade 
chama-se médía arítmétíca (Ma): Veja que o número de observações é igual ao da 
Para a turma A. a média aritmética é Ma soma das freqüências: n =F =20. 
=5.45 
Para a turma B. a média aritmética é Ma I x =18 + 17 + 17 + 16 + 16 + 15 + 15 + 15 + 
=5.36. +14+14+ 13+13+13+13+13+12+ 
=12+ 12+ 11 + 11 
Portanto, mediana, moda e média aritmética são 
medidas de tendência central ou médias da distribui­ I x=1 .18 + 2.17 + 2.16 + 3.15 + 2.14 + 
ção. +5.13 + 3.12 + 2.11 
Existem outros tipos de média, como a média ge­
ométrica e a harmônica, que não constarão deste 
capítulo por não serem muito utilizadas neste nível 
Os fatores que multiplicam os dados são as fre­
qüências que aparecem na tabela da distribuição. 
Logo: 
j 
de ensino. 
'" X '" FxMa =-"-'- = -"-'­
.-/ 
Média aritmética n L.F 
A média aritmética (Ma) é a medida de tendência 
central mais conhecida. Já sabemos que ela é o 
As relações se eqüivalem: 
quociente da soma dos valores O:: x) pela quantidade Ma = L.X e Ma = L.Fx 
deles (n). n L.F 
Exemplo 1: Consideremos os dados abaixo: 
18 17 17 16 16 15 15 15 14 14 
13 13·13 13 13 12 12 12 11 11 
Na prática, quando temos a distribuição por fre­
qüência, acrescentamos à tabela uma coluna com os 
prodLltos Fx de cada valor pela sua freqüência: 
A quantidade de dados é: X F Fx 
-. 
1 
18 1 18 
n = 20 17 2 34 
16 2 32 
A soma dos dados é: 15 3 45 
14 2 28 
L x= 18 + 17 + 17 + 16 + 1ft + 15 + 15 + 15 + 14 + 13 . 5 65 
+ 14 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 12 + 12 +12 + 12 3 36 
+ 11 + 11 = 280 11 2 22 
Total 20 280 ../ 
A média aritmética é: 
L.X 280
Ma = -­ = -::::} Ma = 14 
n 20 
280
Ma= -::::} Ma= 14 
20 
Exemplo 2: Consideremos os mesmos dados do 
exemplo 1 dispostos em 
qüência: 
uma distribuição por fre­ Muitas vezes, são associados aos dados certos 
fatores de ponderação (pesos), que dependem do 
significado ou da importância que se atribui ao valor. 
x 
18 
17 
F 
1 
2 
No exemplo acima, a cada dado está associada sua 
freqüência. E comum nas escolas obter-se a média 
do aluno pela ponderação das notas das provas. 
16 2 I 
Matemática 74 
. ./1 ~. 
" T~y 
( 
Apostilas 
\ 
{ 
I 
I 
I 
~ ..J;Jh 
Exemplo 3.' Numa determinada escola, no primei­
ro semestre, o prol' '-sor de Matemática aplicou a 
seus alunos três provas: a primeira de álgebra, a 
segunda de geometria e a terceira exigindo toda a 
matéria. Considerou peso 2 para a última prova e 
peso 1 para as duas primeiras. 
Um aluno obteve as seguintes notas: 
primeira prova 8,0 
segunda prova __ 5,0 
terceira prova __ 7,0 
Qual é a média do aluno? 
SoluçãO: 
'd' '. ,-,_. 'I' ,_,_o '/ ' \' '-'~I 27 675me Jae. :::-::: , 
1+1+2 4 
Temos então um exemplo de média aritmética 
ponderada (Mp). 
No exemplo 2, os fatores de ponderação são as 
freqüências dos dados. No exemplo 3, são os pesos 
atribuídos às provas. 
A média ponderada é usada quando já temos os 
dados dispostos em tabelas de freqüência ou quando 
a ponderação dos dados já é determinada. 
Cálculo da média aritmética para dados agru­
pados em classes 
Quando, numa distribuição por freqüência, os da­
dos estão agrupados cm classes, são considerados 
coincidentes com os pontos médios das classes às 
quais pertencem. Para o cálculo da Ma, usaremos os 
produtos dos pontos médios pelas freqüências de 
cada classe (Pm . F). Acresce~tamos, então, à tabela 
dada a coluna Pm . F. 
Exemplo 4: Seja a tabela que nos dá a altura (x) 
dos estudantes de uma classe de primeiro grau: 
h=5 x (cm) . Pm 
150 I-- 155 152,5 _-ª-
F 
155 I-- 160 157,5 9 
160 I-- 165 16 
165 I-- 170 
162,5 
5 
170 I-- 175 
167,5 
172,5 3 
175 I-- 180 177,5 1 
Total 40 
Queremos, a partir da tabela, calcular a média a­
ritmética. 
Matemática 
SOlução: Completando a tabela, com a coluna 
Pm . F. temos: 
1501--155i152,51 61 915,0: 
155 I-- 160 i 157,5 i 9 14172J 
i, 160 I-- 1651162,5 i 161 2600,01 
[ 165 I-- 170 167,5' 5' 837.5 ! 
170 I-- 175 172,5 3 517,5 ' 
175 I-- 180 177,5 1 177,5 
Total YF=40 IPm.F=6465,O 
Ma LPm.F 
LF 
Ma =6465 
40 
Ma 161,625 cm 
Este é o cálculo da média aritmética pelo chama­
do processo longo. 
Podemos, no entanto, calcular a Ma, sem cálculos 
demorados, utilizando o processo breve. Para isso, 
devemos compreender o conceito de desvio (d), que 
é a diferença entre cada dado e a Ma. O desvio tam­
bém pode ser chamado de afastamento. 
No exemplo que acabamos de ver, os dados es­
tão agrupados em classes; são, portanto, considerá­
dos coincidentes com os pontos médios das classes 
às quais pertencem. Os desvios são: 
d = lI.. F, onde ex = Pm - Ma. 
Neste exemplo: 
(a) (a.F) . 
152,5 -161,625::: -9,125 -54,75 
157,5 -161,625 = -4,125 -37,125 
162,5 161,625 ::: 0,875 14,0 
167,5 - 161,625 ::: 5,875 29,375 
172,5 161,625 = 10,875 32,625 
177,5 161,625 = 15,875 15,875 
A soma algébrica dos desvios é: 
Io:F::: -91,875 + 91,875=0 
Esta propriedade pode ser usada para o cálculo 
da Ma pelo processo breve: A soma algébrica dos 
desvios dos valores de uma série em relação à Ma é 
nula. 
75 
-./ 
Apostilas 
Podemos. então. calcular a média aritmética sem 
recorrer a cálculos demorados. Primeiro. indicamos o 
ponto médio de uma das classes como uma suposta 
média aritmética (Ms). Em geral. escolhemos o da 
classe que apresenta a maior freqüência, para que o 
desvio (Ma - Ms, sejao menor possível. Calcula­
mos, a seguir, esse fator de correção (C = Ma -
Ms). 
Se C ::. O=? Ma = Ms. Caso contrário. estaremos 
dependendo de um fator de correção para mais ou 
para menos. 
Se os intervalos de classe têm a mesma amplitu­
de h. todos os desvios Pm.- Ms podem ser expres­
sos por c .h, onde h é a amplitude e c pode ser um 
número inteiro negativo (se o Pm considerado está 
abaixo da Ms) ou um inteiro positivo (se o Pm está 
acima da Ms). 
Consideremos a tabela do exemplo 4. e calcule­
mos a Ma pelo processo breve. Vamos escolher o 
pm da classe de maior freqüência como a suposta 
média: 
Ms = 162.5 
Os desvios em relação à Ms são: 
152,5-162.5= -10 = -2.5 = -2. h ==:> c = -2 
157,5-162,5= -5 = -1.5 = -1.h=?c=-1 
í62 1 5-1ô2,5= 0= ü.5= O.h=?c=O 
167.5-162.5= 5=· 1.5= 1.h=?c=1 
172,5-162,5= 10= 2.5= 2.h=?c=2 
177,5-162,5= 15= 3.5= 3.h=?(;::.3 
Os valores obtidos para c são: - 2, - 1, O, 1. 2. 3. 
Esses números seriam iguais a a se Ms fosse a mé­
dia aritmética. 
Acrescentando à tabela os valores de c e de c . F: 
x Pm F c c.F 
150 I- 155 152,5 6 -2 -12 
155 I- 160 157,5 9 -1 -9 
160 I- 165 162.5 16 O O 
165 I- 170 167,5 'S 1 5 
170 I- 175 172,5 ., 3 2 6 
175 I- 180 177.5 1 3 3 
Total IF=40 I IcF=-7 
Considerando-se os quarenta dados. o erro verifi­
cado é -7. A soma algébrica dos desvios deveria 
s.er nula se Ms = Ma. Logo, o fator de correção é C = 
-7 . 
- ou seja C = -O 175.40 ' , 
Se: 
Ma - Ms = O=? Ma -162,5 = -0,175 ou 
Ma=162.5+(-0,175) :. Ma=161,625 
Vamos 'construir o histograma da distribuição e 
traçar uma perpendicular ao eixo das abscissas pas­
sando pelo ponto correspondente à Ma. 
.. ' ,-~ .'''''~~r- - r---, - -'r-r'""T'",-,..-,...,.,.-.,-.,-..,r-r-,....""-"-"-­
ert:ia 
I , ·1 
b-b 
1~ 1-1­
~.' 
1-1­
\ 50' IISs I 1(0 I 1~5 I lta I 1~5.1 .1~O I I(tiur~ «"I 
A Unha obtida equilibra o histograma, dividindo-o 
em duas partes de áreas iguais. 
Todos os histogramas de distribuições normais 
são mais ou menos simétricos em relação à Ma. Os 
dados de maior freqüência se aproximam da Ma. 
Você deve ter notado que a média aritmética é um 
valor que engloba todos os dados. Se houver dados 
discrepantes, eles influirão no valor da Ma. 
Exemplo 5: A média aritmética de : 2, 2, 3, 3, 3, 4, 
15 é: 
2 + 2 + 3 +3+ 3+4 +15 = 32 = 457 
. 7 7' 
Podemos notar aqui que a discrepância entre os 
dados, levou a uma media aritmética maior do que os 
seis .primeiros· valores; maior, portanto, do que a 
maioria deles. 
Mediana 
Mediana é o valor que divide a distribuição ao 
meio de ,tal modo que 50% dos dados estejam acima 
desse valor e os outros 50% abaixo dele. 
Mátemática 76 
I 
I 
;~t ;
'i2···.'.'··":",,\tf
'I 
\ 
I 
1 
I 
L 
"if·'·, 
Exemplo 6: Sejam as nove observações: 
1 2 3 4 OJ 6 7 8 9 
é , 
Media'na é o número que tem 'antese depois de'si 
a mesma quantidade de valores, Quando a quanti­
dade de observações é um número par, a mediana é 
a média aritmética dos valores centrais, 
Exemplo 7: Sejam as seis observações: 
10 11 15 17 18 20 
Nesse caso, a mediana e: 
15 + 17 =16 => Md =16 
2 
Você já sabe encontrar a mediana pelo processo 
gráfico, pela construção da ogiva porcentuaL Agora 
veremos outro modo de obtê-Ia, A mediana é o valor 
central; sua pO$ição é definida por: 
p = n+1 
2 
Nessa expressão n é o número de observações, 
No exemplo 6, n = 9; portanto, a posição da me-
d' . P 9 +1lanae =­
2 
ou P =5: a mediana é o quinto termo. 
'6+1
No exemplo 7, n =6 => P = =3,5, A media­
na está, assim, entre o terceiro e o quarto termos, 
Em geral, a média aritmética de uma distribuição 
não coincide com a mediana. A mediana é um valor 
que não sofre influência dos valores extremos e a 
média aritmética envolve todos os dados. 
Cálculo da mediana de uma distribuição por 
freqüência 
Exemplo 8: Consideremos a seguinte distribuição: 
Diária (Cz$) I Número de ope- I Fa 
rários 
200,00 5 
250,00 8 
300,00 4 
Matemática 
5 
13 
17 
77 
·f 
Apostilas' ,.'",­
350,00 
',' 
1 18 
Determinar a mediana dessa distribuição, em' qUEf 
temos as diárias dos operários de uma fábrica. 
Solução: Procuremos a posição da mediana pel~r 
fórmula: 
P =n+1 
2 
São 18 operários: n =5 + 8 + 4+ 1; logo: 
P= 18+1 =>P=95 
2 ' 
A mediana está entre o nono e o décimo dado (o­
perários). Observemos que a Fa imediatamente su­
perior a 9,5 é 13, e corresponde à diária de 
R$250,OO. A mediana está entre os oito operários 
que recebem essa diária. A diária mediana é: 
Md = R$250,OO 
De fato, se colocássemos os operários em fila, 
por ordem de diária, teríamos: 
5 operários com diárias de R$200,00 
8, com diárias de R$250,OO 
1.· 2.. 3.· 4.~ 5.· 6.. 7.· 8.' 9.· 10~ 11: 12: 13: 
mediana entre o 9,' e ti 10,' , 
Exemplo 9: Consideremos a distribuição: 
Ih = 5 Classe Fi Fa 
10 I- 15 2 2 
15 I- 20 4 6 
20 I- 25 10 49 
25 I- 30 6 22 
30 I- 35 3 25 
Total 25 
, 25+1
Calculando a mediana, P =-- => P =13, ve­
2 
rificamos que ela é o 13.0 termo. Está, portanto, na 
terceira classe. 
A freqüência acumulada imediatamente superior a 
13 é 16, que corresponde à terceira classe, em que a 
freqüência é 10. O 13.0 termo está entre os 10 da 
terceira classe. Logo, a mediana está entre 20 e 25. 
Os 10 elementos estão na amplitude 5 (h = 25 - ~O), 
Apostilas 
A diferença (a) entre P e a Fa da classe imediata­
mente anterior à terceira é 
13-6=7=>a=7. 
Veja o esquema: 
6 elementos 10 elementos 
~ r--"----. 
Classes 'P ! ~ 2.0 Md 2,5 3.0 ~5 
Fa -= 6 13· S el.mento. 
P = 13 to medio..o é o 13: ..,mo) 
À distência entre 20 e a mediana chamaremos x. 
Na distência x, temos 7 elementos. Na amplitude 5. 
temos 10 elementos. PoderT'os armar a proporção: 
x 5""1 == 10 => x =3,5 
Logo: 
Md =20 + 3,5 
Md =23,5 
Se os dados estão agrupados em classes. pode­
mos verificar a que classe pertence a mediana calcu­
1
lando o valor P = n; . A mediana pertence à classe 
cuja Fa eimediatamente superior a P. 
Se Fa =P, a mediana é o limitesuperior da classe 
com essa freqüência acumulada. 
Se P ;é Fa, calculamos d P - Fa (Fa imediata­
mente superior à P). 
Armamos então a proporção: 
x h 
-=­
d F 
F é a freqüência da classe à qual pertence a me­
diana; 
h é a amplitude da classe; 
x é o número que somado ao limite inferior da 
classe em questão nos dará a mediana. 
d·h
x=T 
Md =Li+ d·h 
F 
Essa é a fórmula usada para o cálculo da media­
na de uma distribuição por freqüência com dados 
acumulados em classes. 
Exemplo 10: Consideremos a tabela do exemplo 
4, deste capítulo, e calculemos a mediana. 
n+1 41
Solução: P = - => P = - => P =20 5
22' 
A mediana está entre o 20.0 e o 21.0 termos. A 
freqüência acumulada imediatamente superior a 20,5 
é a da terceira classe. A Md é um valor entre 160 e 
165 em. 
A Md está entre os 16 dados: 
A Fa está entre 15 e 31: d =20,5 -15 => d == 5,5 
A amplitude da classe é h =5 
Md =160+ d·h 
F 
Md == 160+ 5,5·5 
16 
Md = 160+1,71 
Md = 161,71 em 
Vamos construir o histograma da distribuição, lo­
calizando a Ma e a Md: 
Ma ~ 161,S25cmtFreqli"""Í" 
Hi 
Md 161.,71 COl 
~ 
! 
I 
n i 
; 
t 
,--'i 
I 
í 
j 
N·····~t 
AIIut. (em) i . . i 
Moda 
A moda de um 'conjunto de números é o valor que 
ocorre com maior freqüência. A moda pode não exis­
tir, e se existir pode não ser única. 
Exemplo 11: O conjunto de números 2,2,5,7,9, 
9,9,10,11,12,18 tem moda 9. 
Exemplo 12: No conjunto 3,5. 7,9, 10, li, todos os 
dados têm a mesma freqüência. Não existe nenhum 
Matemática, 78 
~$.r 
Apostilas 
I 
f 
( 
I 
r 
f 
I 
! 
~ [ 
\ 
\ 
I 
I 
/"' 
\ 
I 
I 
I 
I 
! 
I 
valor que apresente maior freqüência do que os ou­
tros. Eum caso em que a moda não existe. 
Exemplo 13: Seja o rol de dados: 3, 3, 4, 4, 4, 5, 
6, 7, 7, 7, 8, 9. Os números 4 e 7 apresentam fre­
qüência 3, maior que a dos demais. Nessa distribui­
ção há, portanto, duas modas: 4 e 7, 
Uma distribuição com duas modas é denominada 
bimoda/. 
A rigor, a moda não é uma medida empregaGla 
para um pequeno número de observações.Existem 
fórmulas para o cálculo da moda, mas, na prática, ela 
é determinada pelo valor C'J pela classe que apre­
senta maior freqüência. Neste último caso, ela é 
chamada classe mOdal, e seu ponto médio é a moda 
bruta, que representa uma aproximação da moda. 
Pode-se obter a moda de uma distribuição a partir 
de seu histograma. 
Exemplo 14. Considerando os dados do exemplo 
4, vamos encontrar a moda: 
. Solução: 
B 
15 
f 
i 
! 
.A.J: 
!> 
5 
-'1 
I 
Altl.tr~15ú I 16-5 111.1 rIs i~,So '5' '1i:iJ 
,.~ 
Considera-se a abscissa do ponto de intersecção 
dos segmentos CA e BD. 
Numa distribuição com dados agrupados, para a 
qual se construiu uma curva de freqüência, a moda é 
o valor (ou os valores) que corresponde ao ponto de 
ordenada máxima (ponto mais alto da curva). 
t ' 
Ij'T\ I Ji\}'!\
! i : i 
1 ''''- - 1_ '"I, -+ 
.,I 
Ma Duas modas 
Exemplo 15: Seja a distribuição do exemplo 4, 
deste capítulo, que nos dá a altura dos estudantes de 
uma classe de primeiro grau. Calculamos Ma 
161,625 em (no exemplo 4), Md =161,71 em (no 
exemplo 10) e encontramos a Mo pelo processo grá­
fico (exemplo 14). Representemos os três valores no 
mesmo gráfico: 
tFreqO&neln 
Ih1 ri 
! 
I 
"i ,f 
, 
I 
! 
I 
, .._-i 
.'':.j' ..~ 
t 
" 
. : ~ 
'!Sri 
=;-:;;t ..
.rJ~liLlIl; 116!: I t::1 I1S 
UUJ Altura (em) 
! 
/ 
)II~~Mt;lf 
I "'" '" "', 
/ ~'" "-. lascai" ."",".dal 
I I ! !fl~t t~I.f;25: Hil,S8 162 
·1~1.!I 
As medidas que acabamos de estudar (Ma, Md e 
Mo) têm a tendência de se localizar no centro da 
distribuição. Em distribuições em que as curvas são 
simétricas, as três são coincidentes (distribuição 
normal). Para curvas assimétricas, o matemático 
Pearson verificou que a distância .entre a Ma e a Mo 
é três vezes maior que a distância entre a Ma e a 
Md: 
[Ma - Mo =3 (Ma - Md) I 
Isolando Mo: 
I Mo =3 Md - 2 Ma 
Essa é a fórmula empírica de Pearson. 
Exemplo 16.' Na distribuição do exemplo anterior, 
Ma = 161,625 e Md =161,71. Calcular o valor da Mo. 
Mo =3 Md -2 Ma 
Mo =3.161,71 - 2.161,625 =161,88 => Mo = 
161,88 
DESVIO PADRÃO 
O desvio padrão é a medida mais usada na com­
paração de diferenças entre grupos, por ser a mais 
precisa. Ele determina a dispersão dos valores em 
relação à média. . 
Exemplo 7: Consideremos os pesos de 20 crian­
ças recém-nascidas, numa cidade X: 10 meninos e 
10 meninas. 
Matemática 79 
r ­
Apostilas. 
 , 
Para as meninas: 
22500.4+2500.4+10000 =110000:::011000 
10 ". 10 
A raiz quadrada da variância é o desvio padrão. 
C"alculemos os desvios padrões de cada uma das 
distribuições: . 
para os meninos __ S1 = ~50400 =224,5 9 
para as meninas __ S2 = ~11 000 = 104,99 
Comparando os dois valores, notamos que a vari­
abilidade no peso dos meninos é maior que no das 
meninas (S1 > sú. 
o desvio padrão é a medida de dispersão mais u­
tilizada em casos de distribuições simétricas. Lem­
bramos que, graficamente, distribuições desse tipo 
se aproximam de uma curva conhecida como curva 
nórmal ou curva de Gauss: 
o desvio padrão tomado com os sinais - e + ( - s 
e +s) define em torno da média aritmética uma ampli­
tude (2s) chamada zona de normalidade. Processos 
matemáticos indicam que 6,8,26% dos casos se situ­
am nessa amplitude. 
Exemplo 8: Considerando os resultados do exem­
plo 7 a respeito do peso das meninas: Ma = 3 150 9 
e s =104,99, calcu!ar a zona de normalidade. 
Solução: Devemos encontrar um intervalo de am­
plitude 2s, em torno da Ma: 
Ma + S = 3150 +'104,9 = 3254,99 
Ma - s =3150 - 104,9 = 30(35,19 
Serão consideradas dentro da normalidade todas 
as meninas com pesos entre 3 005,1 9 e 3 254,9 g. 
Exemplo 9: Consideremos a seguinte tabela: 
NOTAS DE MATEMATICA DE UMA CLASSE X 
Notas {I Pm ! F I 
o I­ 2,0 I' 
2,0 I­ 4,0. 
4,0 I­ 6,0 
6,0 I­ 8,0 
8,0 I- 10,0 
1,0 
_,3,0 
5,0 
7,0 
9,0 
3 
·9 
16 
8 
4 
IF =40 
Calcular: 
Meninos Peso (g) Meninas Peso (g) 
1 3750 1 3000 
2 3750 2 3300 
3 3350 3 3200 
4 3250 4 3250 
5 3250 5 3100 
6 3100 6 3100 
7 3150 7 3300 
8 3100 8 3000 
9 3350 9 3100 
10 3350 10 3150 
As médias aritméticas dos pesos são: 
meninas: 3150g meninos: 3340g 
Podemos observar que o peso dos meninos é em 
média maior que o das meninas. 
Calculemos os desvios e seus quadrados: 
Meninos Peso d ér 
1 3750 410 168100 
2 3750 410 168100 
3 3350 10 100 
4 3250 -90 8100 
5 3250 -90 8100 
6 3100 -240 57600 
7 3150 -190 36100 
8 3100 -240 " 57600 
9 3350 10 100 
10 3350 10 100 
dLPeso d 
1 
Meninas 
-150 22500 
2 
3000 
150 22500 
3 
3300 
50 2500 
4 
3200 
100 10000 
5 
3250 
-50 2500 
6 
3100 
-50 2500 
7 
3100 
225001503300 
-150 22500 
9 
30008 
2500 
10 
-503100 
O3150 O 
A média aritmética dqs quadrados dos desvios 
chama-se variância. Calculemos as variâncias das 
duas distribuições. 
Para os"meninos: 
168100.2+100.3+8100.2+57600.2+36100 =50400 
10 
Matemática 80 J, 
I 
1 
I 
~ -.~·f'·~·
~ 
Apostilas.( 
. .[ 
. (
. I a) a média aritmética; 
t b) o desvio padrão;
[ c) a zona de normalidade (e representá-Ia em 
um polígono de freqüência). 
r Solução. 
~ 
I 
a) Para o cálculo da Ma. vamos construir uma 
tabela que nos auxilie: 
\ 
I 
.~-
I 
\ 
° 
l 
~ 
h = 2 Notas Pm F a a.F 
O I- 2.0 1,0 I 3 ·2 -6 
2.0 I- ~.O 3,0 9 -1. -9 
4,0 I- 6.U 
6,0 I- 8,0 
5,0 OI 
7,0 1 81~ I 
8,0 I- 10,0 9,0 4 2 8 
1 IF=40 I 1 IaF=1 
Ma =pm + h I a· F 
r 
 ·v 
Ma =5,0 + 2 _1 
40 
!I 
. " 
Ma = 5,0 + 0,050 
Ma = 5,05 
b) 	 Para o cálculo do desvio padrão, vamos cal­
cular os desvios (d = Pm - Ma) e acrescen­
tar à tabela dada as colunas d, d2
, d2F: 
Ma = 5.05h =2 notas Pm F d Id2 1d"F 
01 I- 2,0 
r­
1.0 13 4,05 •16,40 .49,20 
2,01 I- 4,0 3,0 ,9 • ·2,05 .4,20 37,80.; I -0,05 •0,0025 I0,044.01 I- 6.0 5,0 116 
1,95 '3,80 30,407,0 	 8l6,01 I- 8,0 
9.0 	 4 3,95 	 115,60 62,40/'" 8,0 I- 10,0I I 	 :EF=40 :Ed2F= 179,84 
~ 
/' Ir- s=P* 
r-
s= 	/179,84
I 	 V 40 
~. \ 
s = )4,50
I 
I s =2,12 
., 
c) 	 Cálculo da zona de normalidade: 
I 
Ma-s=5,05-2,12 ~ Ma-s=),93
I 
~. l-
Ma + s =5,05 + 2,12 ~ Ma + s = 7,17 
A zona' de normalidade inclui, portanto, notas de 
2.93 a 7,17. 
BIBLIOGRAFIA 
Estatística Fácil -Editora Ática 
Introdução à Estatística - Editora Saraiva 
Introdução à Estatística - Editora Ática 
Matemática 
r .:~"1 	 81 
F"· 
J 
.,--. 1 
I 
J 
1 :! 
J 
~. ) 
/ J 
I 
) 
I 
I 
f 
/""' 
~~; plv"~i~~;~1fi~~ITV -~ 
'~~i1oL(ClnEqERAt;\;~ (SUMÁRIO 
~ 
'it .illJ~«/ "ri01 '" ~;:~~mf~;' ;.:j1ll ~ 
"'" 
~ Compreensão de estruturas lógicas ................................................................. 3 
 '" 
~ 111
Lógica de argumentação: 
a (I> 
analogias, inferências, deduções e conclusões ....................................... 10
 11> 
\) Diagramas lógicos ........................................................................................... 8 111 
Qual é o seu nome? 
Preste atenção ao sinal. 
Caramba! 
Proposição Simples 
Uma proposição é dita proposição simples ou pro­
posição atômica quando não contém qualquer outra 
proposição como sua componente. 
Isso significa que não é possível encontrar como parte 
de uma proposição simples alguma outra proposição di­
ferente dela. Não se pode subdividi-la em partes menores 
tais que alguma delas seja uma nova proposição. 
Exemplo: 
A sentença "Cínthia é irmã de Mauricio" é uma pro­
posição simples, pois não é possível identificar como 
parte dela qualquer outra proposição diferente. Se 
tentarmos separá-la em duas ou mais partes menores, 
nenhuma delas será uma proposição nova. 
Proposição Composta 
Uma proposição que contenha qualquer outra como 
sua parte componente é dita proposição composta ou 
proposição molecular. Isso quer dizer que uma proposição 
é composta quando se pode extrair como parte dela uma 
nova proposição. 
Exemplo: 
A sentença "Cínthia é irmii de Maurício e de Júlio" 
é uma proposição composta, pois é possível retirar-se 
"~ 
dela duas outras proposições: "Cínthia é irmã de 
Maurício" e "Cínthia é irmã de Júlio ". 
) 
CONECTIVOS LÓGICOS (OU ESTRUTURAS LÓGICAS) 
Existem alguns termos e expressões que estão fre­
qüentemente presentes nas proposições compostas, tais 
como: "não", "e", "ou", "se ••• então" e "se e somente 
se", aos quais denominamos conectivos lógicos ou es­
trnturas lógicas. 
Exemplo: 
A sentença "Se x não é maior que y, então x é igual 
a y ou x é menor que y" é uma proposição composta 
na qual se pode observar alguns conectivos lógicos 
("não", "se ... então" e "ou") que estão agindo sobre 
as proposições simples "x é maior que y", "x é igual 
a y" e "x é menor que y". 
Os conectivos lógicos agem sobre as proposições a 
que estão ligados de tal modo que o valor lógico (ver­
dadeiro ou falso) de uma proposição composta depende 
somente: 
• 	 do valor lógico de cada uma de suas proposição 
componentes; 
• 	 da forma como essas proposições componentes são 
ligadas pelos conectivos lógicos utilizados. 
Exemplo: 
Compare as seguintes proposições e seus respectivos 
valores lógicos: 
Proposições Valores 
Lógicos 
O número 10 é inteiro. 
O número 1Oé imvar. 
O número 10 é inteiro e é ímpar. 
O número 10 é inteiro ou é ímpar. 
V 
F 
F 
-
V 
V = verdadeiro; F = falso 
Algumas proposições compostas recebem denomina­
ções especiais de acordo com a estrutura usada para ligar 
as proposições componentes. 
O reconhecimento de tais estruturas é muito importan­
te para a análise e a resolução dos problemas de raciocínio 
lógico que estudaremos mais adiante. 
A tabela seguinte mostra as seis principais estruturas 
lógicas e suas denominações. A partir deste ponto pas­
saremos a nos referir a estas estruturas como estruturas 
fundamentais: 
Estruturas Fundamentais Denominações 
Não-A. 
AouB. 
OuAouB. 
AeB. 
I Se A, então B. 
I A se e somente se B. 
Negação 
Disjunção 
Disjunção Exclusiva 
Conjunção 
Condicional 
Bicondicíonal 
B 
li 
I 
'9 
.....,
Vestcon4 
g 
~ 
º t 
~ 
Negação: Não-A 
Dada uma proposição qualquer A denominamos ne­
gação de A à proposição composta que se obtém a partir 
da proposição A acrescida do conectivo lógico "não" ou 
de outro equivalente. 
A negação "não-A" pode ser representada simboli­
camente como: 
-A 
ou ainda 
..,A 
Podem-se empregar também, como equivalentes de 
"não-A" as seguintes expressões: 
Não é verdade que A: 
É/a/so queA. 
Uma proposição A e sua negação "não-A" terão 
sempre valores lógicos opostos. 
Tabela-Verdade da Negação (-A) 
Na tabela apresentada a seguir, denominada tabela­
verdade, podemos observar os resultados possíveis da 
negação "-A" para cada um dos valores lógicos que A 
pode assumir. 
A não-A 
V F 
F V 
Como se pode observar na tabela-verdade, uma pro­
posição qualquer e sua negação nunca poderão ser simul­
taneamente verdadeiras ou simultaneamente falsas. 
Conjunção: A e B 
Denominamos conjunção à proposição composta 
formada por duas proposições quaisquer que estejam 
ligadas pelo conectivo "e". 
A conjunção "A e B" pode ser representada simbo­
licamente como: 
AAB 
Exemplo: 
Dadas as proposições simples: 
A: Elisabeth é mãe de Cínthia. 
B: Elisabeth é mãe de Maurício. 
A conjunção A e B pode ser escrita como: 
A A B: Elisabeth é mãe de Cinthia e de Mauricio. 
Uma conjunção é verdadeira somente quando as duas 
proposições que a compõem forem verdadeiras. Ou seja, 
a conjunção "A A B" é verdadeira somente quando A é 
verdadeira e B é verdadeira também. 
Tabela-Verdade da Conjunção (AA B) 
Na tabela apresentada a seguir (tabela-verdade) 
podemos observar todos os resultados possíveis da con­
junção "A e B" para cada um dos valores lógicos que A 
e B podem assumir. 
A B AAB 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
Disjunção: A ou B 
Denominamos disjunção à proposição composta for­
mada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas 
pelo conectivo "ou". 
A disjunção A ou B pode ser representada simboli­
camente como: 
AvB 
Exemplo: 
Dadas as proposições simples: 
A: Alberto fala espanhol. 
B: Alberto é universitário. 
A disjunção "A ou B" pode ser escrita como: 
A v B: Alberto fala espanhol ou é universitário. 
Para que a disjunção "A ou B" seja verdadeira, basta 
que pelo menos uma de suas proposições componentes 
seja verdadeira. 
Em outras palavras, se A for verdadeira ou se B for 
verdadeira ou mesmo se ambas, A e B, forem verdadeiras, 
então a disjunção "A ou B" será verdadeira. 
Ou seja, a disjunção "A ou B" é falsa somente quando 
A éfa/sa e B éfa/sa também. 
Tabela-Verdade da Disjunção (A v B) 
Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos 
observar os resultados da disjunção "A ou B" para cada 
um dos valores que A e B podem assumir. 
A B AvB 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
Disjunção Exclusiva: ou A ou B 
Denominamos disjunção exclusiva à proposição com­
posta formada por duas proposições quaisquer onde cada 
uma delas esteja precedida pelo conectivo "ou". 
A disjunção exclusiva ou A ou B pode ser represen­
tada simbolicamente como: 
AyB 
(observe o sublinhado no símbolo v) 
Exemplo: 
Dadas as proposições simples: 
A: O número 19 é par. 
B: O número 19 é ímpar. 
A disjunção exclusiva "ou A ou B" pode ser escrita 
como: 
A y B: Ou o número 19 é par ou o 
número 19 é ímpar. 
..,. 
Vestcon 5 
Uma disjunção exclusiva é verdadeira somente 
quando apenas uma das proposições que a compõem for 
verdadeira. 
Ou seja, a disjunção exclusiva "ou A ou B" é verda­
deira somente quando A e B têm valores lógicos contrá­
rios (A é verdadeira e B é falsa ou vice-versa). 
Se A e B tiverem o mesmo valor lógico (ambas ver­
dadeiras ou ambas falsas), então a disjunção exclusiva 
será falsa. 
Tabela-Verdade da Disjunção Exclusiva (A~ B) 
Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos ob­
servar os resultados da disjunção exclusiva "ou A ou B" 
para cada um dos valores que A e B podem assumir. 
A A~B 
v F 
v F V 
F V v 
F F F 
Condicional: Se A então B 
Denominamos condicional a proposição composta 
formada por duas proposições quaisquer que estejam 
ligadas pelo conectivo "Se ... então" ou por uma de suas 
formas equivalentes. 
A proposição condicional "Se A, então B" pode ser 
representada simbolicamente como: 
A-+B 
Exemplo: 
Dadas as proposições simples: 
A: José é alagoano. 
B: José é brasileiro. 
A condicional "Se A, então B" pode ser escrita 
como: 
A-+ B: Se José é alagoano, então José 
é brasileiro. 
Na proposição condicional "Se A, então B" a propo­
sição A, que é anunciada pelo uso da conjunção "se", é 
denominada condição ou antecedente enquanto a propo­
sição B, apontada pelo advérbio "então", é denominada 
conclusão ou conseqüente. 
As seguintes expressões podem ser empregadas como 
equivalentes de "Se A, então B": 
Se A, B; 
B, seA; 
Todo A éB; 
A implicaB; 
A somente se B; 
A é suficiente para B; 
B é necessário para A. 
Uma condicional "Se A então B" é falsa somente 
quando a condição (A) é verdadeira e aconclusão (B) 
é falsa, sendo verdadeira em todos os outros casos. 
Isso significa que numa proposição condicional, a 
única situação inaceitável é termos uma condição verda­
deira e uma conclusão falsa. 
Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos 
observar os resultados da proposição condicional "Se 
A então B" para cada um dos valores que A e B podem 
assumir. 
A B A-+B 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
Alguns dos resultados da tabela acima podem parecer 
absurdos à primeira vista. 
Afim de esclarecer o significado de cada um dos re­
sultados possíveis numa sentença condicional, considere 
a seguinte situação: 
Numa tarde de domingo, um casal está sentado no 
sofá da sala de seu apartamento assistindo a um filme 
quando a campa ínha toca. A mulher, que se diz sensitiva, 
diz: "Se for uma mulher, então ela estará trazendo um 
pacote nas mãos ". O marido, que não costuma dar muita 
importância às previsões da mulher, resmunga" Vamos ver 
se você está mesmo certa!" e vai abrir a porta. 
Em que conjunto de situações poderemos dizer que 
a previsão da mulher estava errada? 
Há quatro situações a serem analisadas: 
I" Quem tocou a campainha era realmente uma mulher 
que estava mesmo trazendo um pacote nas mãos. Nesse 
caso, teremos que reconhecer que a previsão da mulher 
era correta. (Esse caso corresponde ao que está descrito 
na primeira linha da tabela-verdade apresentada para a 
condicional). 
2' Quem tocou a campainha era realmente uma mu­
lher, mas ela não estava trazendo um pacote nas mãos. 
Nesse caso, podemos dizer que a previsão da mulher 
mostrou-se errada. (Esse caso corresponde ao que está 
descrito na segunda linha da tabela-verdade apresentada 
para a condicional). 
3' Quem tocou a campainha não era uma mulher, 
embora estivesse mesmo trazendo um pacote nas mãos. 
Nesse caso, não podemos dizer que a previsão da mulher 
estava errada, pois ela não disse que somente uma mulher 
poderia estar trazendo um pacote nas mãos. Acontece que 
toda proposição deve ser ou verdadeira ou falsa e essa 
não é falsa. Então é verdadeira! (Esse caso corresponde 
ao que está descrito na terceira linha da tabela-verdade 
apresentada para a condicional). 
48 Quem tocou a campainha não era uma mulher e 
nem mesmo estava trazendo um pacote nas mãos. Nesse 
caso, também não podemos dizer que a previsão da mu­
lher estava errada, pois a previsão de que a pessoa traria 
um pacote nas mãos estava condicionada ao fato de que 
a pessoa fosse uma mulher. Não sendo uma mulher, não 
teria necessariamente que trazer um pacote nas mãos. 
Novamente, a proposição não é falsa. Logo, é verdadeira 
(esse caso corresponde ao que está descrito na quarta linha 
da tabela-verdade apresentada para a condicional). 
Cuidado: Usualmente, quando empregarmos uma 
sentença do tipo "se A então B ", esperamos que exista 
alguma forma de relacionamento entre A e B ou que guar­
dem entre si alguma relação de causa e efeito. 
Nesse sentido, aceitaríamos com facilidade, por exem­
plo, a proposição "Se um número inteiro termina com o 
algarismo 8, então esse número é par". 
i 
o 
oi 
I 
6 ~, 
Vestcon 
i5 
o 
'9 
g 
t 
No mesmo sentido, tenderíamos a recusar proposi­
ções como: 
"se um triângulo tem tr2s lados então o número 
sete é primo" 
Ou, ainda: 
"se um quadrado tem sete lados então fala-se o 
Portugu2s no Brasil" 
Provavelmente recusaríamos a primeira dizendo algo 
como: 
"O que é que tem a ver um triângulo ter três lados 
com o fato de o número sete serprimo?" 
Quanto à segunda, é quase certo que alguém a re­
cusasse alegando algo como: 
"Para começar, um quadrado não tem sete lados, mas 
quatro. E mesmo que tivesse, isso não tem nada a ver com 
falar-se ou não o Português no Brasil ". 
Esse tipo de recusa parece razoável, pois nessas 
afirmações falta algo que relacione a primeira parte da 
proposição (condição) com a segunda (conclusão). 
No entanto, segundo as regras da Lógica, essas duas 
proposições são verdadeiras! 
Para verificarmos isso, basta analisarmos cada uma 
delas seguindo as regras estudadas: 
Vejamos: 
Proposição: Se um triângulo tem três lados então o 
número sete é primo. 
Essa é uma proposição do tipo "Se A então B". 
A condição da proposição é: 
A: Um triângulo tem três lados. 
(verdade) 
A conclusão é: 
B: O número sete é primo. 
(verdade) 
Como sabemos, uma proposição condicional onde a 
condição e a conclusão sejam, ambas, verdadeiras será 
ela mesma, também, verdadeira. 
Confira na tabela-verdade: 
A B A--?B I 
V V V"'" 
V F F 
F V V 
, F F V 
Proposição: Se um quadrado tem sete lados então 
fala-se o Português no Brasil" 
A proposição é do tipo "Se A então B". 
Condição da sentença: 
A: Um quadrado tem sete lados. 
(falso) 
Conclusão da sentença é: 
B: Fala-se o Português no Brasil. 
(verdade) 
Como sabemos, TODA proposição condicional com 
condição FALSA é, sempre, VERDADEIRA (independen­
temente de a conclusão ser verdadeira ou falsa). 
Confira na tabela-verdade: 
A 
V 
V 
B 
V 
F 
A--?B 
V 
F 
F V V"'" 
CF L­ F V"'" 
Assim, percebemos que, para a Lógica, o valor lógico 
de uma proposição composta independe da existência de 
qualquer relação entre as proposições dadas. 
Bicondicional: A se e somente se B 
Denominamos bicondicional à proposição composta 
formada por duas proposições quaisquer que estejam 
ligadas pelo conectivo "se e somente se". 
A proposição bicondicional "A se e somente se B" 
pode ser representada simbolicamente como: 
ABB 
Exemplo: 
Dadas as proposições simples: 
A: Adalberto é meu tio. 
B: Adalberto é irmão de um de meus pais. 
A proposição bicondicional "A se e somente se B" 
pode ser escrita como: 
A B B: Adalberto é meu tio se e somente 
se Adalberto é irmão de um de meus pais. 
Como o próprio nome e símbolo sugerem, uma pro­
posição bicondicional "A se e somente se B" equivale à 
proposição composta "se A então B e se B então A". 
Podem-se empregar também como equivalentes de 
"A se e somente se B" as seguintes expressões: 
A se esóseB; 
Todo A é B e todo B éA; 
Todo A é B e reciprocamente; 
Se A então B e reciprocamente; 
A é necessário e suficiente para B; 
A é suficientepara B e B é suficiente para A; 
A é necessário para B e B é necessário para A. 
A proposição bicondicional "A se e somente se B" é 
verdadeira somente quando A e B têm o mesmo valor 
lógico (ambas são verdadeiras ou ambas são falsas), sendo 
falsa quando A e B têm valores lógicos contrários. 
Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos 
observar os resultados da proposição bicondicional "A 
se e somente se B" para cada um dos valores que A e B 
podem assumir. 
A B ABB 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
I 
~ 
....,
Vestcon 7 
SENTENÇAS ABERTAS COM UMA VARIÁVEL 
Dizemos uma expressão P(x) é uma sentença aberta 
na variável x se, e somente se, P(x) se tornar uma propo­
sição sempre que substituirmos a variável x por um qual­
quer elemento pertencente a certo conjunto denominado 
universo de discurso. 
Note que, ao substituirmos a variável da sentença 
aberta por um elemento dado do seu universo de discurso, 
a proposição resultante não tem que ser Verdadeira. 
Exemplo: 
A expressão 2x + 5 = 25 éuma sentença aberta na va­
riávelx. Quando substituímos a variável pelo número 
5 obtemos uma proposição Falsa: 2x(5) + 5 = 25. 
TAUTOLOGIA 
Uma proposição composta é uma tautologia se e so­
mente se ela for sempre verdadeira, independentemente 
dos valores lógicos das proposições que a compõem. 
Desse modo, quando uma proposição composta for 
uma tautologia, a última coluna de sua tabela-verdade será 
o valor lógico V (verdadeiro) em todas as suas linhas. 
Exemplo: 
A proposição "Se (A e B) então (A ou B)" é wna 
tautologia, pois é sempre verdadeira, independente­
mente dos valores lógicos de A e de B, como se pode 
observar na tabela-verdade abaixo: 
A B AeB AouB (A e B) ~ (A ou B) 
V V V V 
V F F V 
F V F i V 
i F F F I F 
CONTRADiÇÃO 
V 
V 
V 
V 
Uma proposição composta formada por duas ou mais 
proposições é umacontradição se e somente se ela for 
semprefalsa, independentemente dos valores lógicos das 
proposições que a compõem. 
Portanto, quando uma proposição composta for uma 
contradição, a última coluna de sua tabela-verdade será o 
valor lógico F (falso) em todas as suas linhas. 
Exemplo: 
A proposição "A se e somente se não A" é uma con­
tradição, pois é sempre falsa, independentemente 
dos valores lógicos de A e de não A, como se pode 
observar na tabela-verdade abaixo: 
A -A AB-A 
V F F 
F V F 
o exemplo acima mostra que uma proposição qual­
quer A e sua negação, -A, nunca serão ambas verdadeiras 
nem ambas falsas. 
Relação entre Tautologia e Contradição 
Sabemos que uma tautologia é sempre verdadeira 
enquanto uma contradição, sempre falsa, daí pode-se 
concluir que: 
• A negação de uma tautologia é sempre uma con­
tradição. 
• A negação de uma contradição é sempre uma 
tautologia. 
CONTINGÊNCIA 
Uma proposição composta formada por duas ou 
mais proposições é uma contingência se e somente se 
for possível que ela seja verdadeira tanto quanto que ela 
também seja falsa, dependendo dos valores lógicos das 
proposições que a compõem. 
Assim, quando uma proposição composta for uma 
contingência, a última coluna de sua tabela-verdade de­
verá apresentar o valor lógico V (verdadeiro) pelo menos 
uma vez e, também, o valor lógico F (falso) pelo menos 
uma vez. 
Exemplo: 
A proposição "Se A então B" é uma contingência, pois 
será Falsa quando A for Verdadeira e B Falsa, sendo 
Verdadeira em todos os outros casos. 
AS TRÊS lEIS FUNDAMENTAIS DO PENSAMENTO 
lÓGICO 
Alguns autores citam três princípios como sendo 
fundamentais para o pensamento lógico. 
Princípio da Identidade 
Se uma proposição qualquer é verdadeira, então ela 
é verdadeira. 
Em símbolos: 
p~p 
Princípio da Não-Contradição 
Nenhuma proposição pode ser verdadeira e também 
ser falsa. 
Em símbolos: 
-(P 1\ -P) 
Princípio do Terceiro Excluído 
Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa. 
Em símbolos: 
ou Pou-P 
PROPOSiÇÕES lOGICAMENTE EQUIVALENTES 
Dizemos que duas proposições são logicamente eq ui­
valentes ou simplesmente equivalentes quando satisfazem 
às duas condições seguintes: 
1· - são compostas pelas mesmas proposições simples; 
2" - têm tabelas-verdade idênticas. 
Uma conseqüência prática da equivalência lógica é 
que, ao trocar uma dada proposição por qualquer outra 
que lhe seja equivalente, estamos apenas mudando a 
maneira de dizê-la. 
A equivalência lógica entre duas proposições, A e B, 
pode ser representada simbolicamente como: 
AB 
Regras de Equivalência 
Da definição de equivalência lógica podem-se de­
monstrar as seguintes equivalências: 
l 
aiº 
8 
cc 
cc 
~' 
8 ~ 
e 
~ 
!º 
g 
Leis de comutatividade: 
1. AI\B BI\A 
2. A v B B v A 
3. A y B B y A 
4. A~BB~A 
Leis de associatividade: 
5. (A 1\ B) 1\ C A 1\ (B 1\ C) 
6. (A v B) v C A v (B v C) 
Leis de distributividade: 
7. AI\(BvC)(AI\B)v(AI\C) 
8. A v (B 1\ C) (A v B) 1\ (A v C) 
Lei da dupla negação: 
9. -(-A) A 
Equivalências da Condicional 
10. A~ B -A v B 
11. A ~ B -B ~ -A 
Equivalências da Bicondicional 
12. A ~ B (A ~ B) 1\ (B ~ A) 
13. A~ B (A 1\ B) v (-B 1\ -A) 
14. A~ B -{Ay B) 
NEGAÇÃO DE PROPOSiÇÕES COMPOSTAS 
Um problema de grande importância para a lógica é 
o da identificação de proposições equivalentes à negação 
de uma proposição dada. Negar uma proposição simples é 
uma tarefa que não oferece grandes obstáculos. Entretanto, 
podem surgir algumas dificuldades quando procuramos 
identificar a negação de uma proposição composta. 
Como vimos anteriormente, a negação de uma propo­
sição deve ter sempre valor lógico oposto ao da proposição 
dada. Desse modo, sempre que uma proposição A for 
verdadeira, a sua negação não-A deve ser falsa e sempre 
que A for falsa, não-A deve ser verdadeira. 
Em outras palavras, a negação de uma proposição 
deve ser contraditória com a proposição dada. 
A tabela abaixo mostra as equivalências mais comuns 
para as negações de algumas proposições compostas: 
Proposição Negação direta Equivalente da Negação 
AeB Não(Ae B) Não A ou não B 
AouB Não (A ou B) NãoAe não B 
SeAentão B Não (se A então B) A e não B 
Asee 
somente se B 
Não (A se esomente se B) OuAouB 
TodoAé B Não (todo A é B) Algum A não ê B 
AlgumAéB 
-
Não (algum Aé B) NenhumAéB 
DIAGRAMAS lÓGICOS 
Um diagrama lógico é um esquema que busca repre­
sentar as relações existentes entre as diversas partes que 
compõem uma proposição. 
O modelo mais comum para diagramas lógicos é o 
dos diagramas de Venn-Euler, às vezes denominados, 
impropriamente, como diagramas de Venn. 
Esses diagramas já foram mostrados anteriormente 
na apresentação das estruturas lógicas. 
Neste capítulo, aprofundaremos nossos estudos sobre 
os digramas lógicos, estudando uma variação do modelo 
de Venn-Euler, qúe nos permitirá uma representação mais 
precisa do que aquela vista anteriormente. 
Universo de discurso (U) 
Denomina-se universo de discurso ao conjunto de 
tudo o que se admite como possível num dado contexto. 
Desse modo, qualquer proposição possível será um 
subconjunto do universo de discurso. 
O universo de discurso será sempre indicado pela 
região interna de um retângulo. 
Cada proposição é indicada por uma região delimitada 
dentro do universo de discurso. 
U = universo de discurso 
A proposição 
Uma proposição é verdadeira em qualquer ponto 
dentro de sua região, sendo falsa em todos os demais 
pontos do universo de discurso. 
.2 
Na região 1, a proposição A é verdadeira 
Na região 2, a proposição A é falsa. 
.1 
Na região 1, A e B são falsas. 
Na região 2, A é verdadeira e B é falsa. 
Na região 3, A e B são verdadeiras. 
Na região 4, A é falsa e B é verdadeira. 
Diagrama Lógico da Negação 
Num diagrama de conjuntos, se a proposição A for 
representada pelo conjunto A, então a negação ··não-A" 
corresponderá ao conjunto complementar de A. 
c 
9 ...,
Vestcon 
Diagrama Lógico da Conjunção 
Se as proposições A e B forem representadas como 
conjuntos através de um diagrama, a conjunção "A Â B" 
corresponderá à interseção do conjunto A com o conjunto 
B,A IlB. 
Diagrama Lógico da Disjunção 
Se as proposições A e B forem representadas como 
conjuntos através de um diagrama, a disjunção "A v B" 
corresponderá à união do conjunto A com o conjunto B. 
Diagrama Lógico da Disjunção Exclusiva 
Se as proposições A e B forem representadas como 
conjuntos por meio de um diagrama, a disjunção exclusiva 
"A ~ B" corresponderá à união da parte do conjunto A 
que não está em B (A-B) com a parte do conjunto B que 
não está em A (B-A). 
(A-B) v (B-A) 
Observe que isso equivale à diferença entre a união 
e a interseção dos conjuntos A e B. 
(A v B) - (A 11 B) 
Diagramas Lógicos da Condicional"A ~ B" 
Se as proposições A e B forem representadas como 
conjuntos através de um diagrama, a proposição condicio­
nai "Se A então B" poderá ser indicada como a inclusão 
do conjunto A no conjunto B (A está contido em B). 
Diagramas Lógicos da Bicondicional 
Se as proposições A e B forem representadas como 
conjuntos através de um diagrama, a proposição bicon­
dicional "Ase e somente se B" corresponderá à igualdade 
dos conjuntos A e B. 
8 
~ 
2 
~ 
I 
,~ 
10 
PROPOSiÇÕES CATEGÓRICAS 
Na lógica clássica (também chamada lógica aristo­
télica), o estudo da dedução era desenvolvido usando-se 
apenas quatro tipos especiais de proposições denominadas 
proposições categóricas. 
As proposições categóricas podem ser universais ou 
particulares, cada uma destas subdividindo-se em afir­
mativa ou negativa. Temos, portanto, quatro proposições 
categóricas possíveis. 
As quatro proposições categóricas possíveis, em suas 
formas típicas, são dadas no quadro seguinte: 
Prop. Negativas 
,j. 
(E) Nenhum A é B.
I 	Prop. Universais -t 
(O) Algum A não é B.I 	
Prop. Afirmativas 
,j. 
(A) Todo A é B. 
(I) Algum A é B.Prop. Particulares -t .­- . 
Quantificaçãoopostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é 
denotado pela letra Z (Zahlen==número em alemão). Este 
conjunto pode ser escrito por: 
Z::: { ... , -4, -3. -2, -1. O, 1.2.3. 4, ... } 
Exemplos de subconjuntos do conjunto Z 
Conjunto dos números inteiros exceto o número zero: 
Z· == {..., -4, -3, -2, -1, 1,2, 3, 4,... } 
Conjunto dos números inteiros não negativos: 
Z. ::: {O, 1, 2, 3, 4, ...} 
Conjunto dos números inteiros não positivos: 
Z.::: {... , -4, -3, -2, -1, O} 
Observação: Não existe padronização para estas nota­
ções. 
Reta Numerada 
Uma forma de representar geometricamente o conjunto 
Z é construir uma reta numerada, considerar o número O 
como a origem e o numero 1 em algum lugar, tomar a 
unidade de medida como a distãncia entre O e 1 e por os 
números inteiros da seguinte maneira: 
z • 
-3 .2. -1 O 1 :2 3 O -1 b > O 
todo n E IN ,se a O. 
Propriedade da potenciação 
Sejam a e bEl, e nem E IN, temos que: 
n n ma) a • am =a + b)an:am=an •m 
nc) (a. bt =a .bn d)ao=1 com a ;t:{) 
e) On =O f)1 n =1,.­
r Radiciação 
Sejam a e bEl e nE IN 
/ ­
temos Vã =b. Se a ,Podemos observar no quadro acima que cada uma 
das proposições categóricas na forma típica começa por 
"todo" ou "nenhum" (que são chamados quantificadores 
universais) ou por "algum" (que é chamado quantificador 
particular). 
Sujeito e Predicado de uma Proposição Categórica 
Dada uma proposição categórica em sua forma típica 
chamamos: 
- sujeito ao elemento da sentença relacionado ao 
quantificador da proposição; 
- predicado ao elemento que se segue ao verbo. 
Exemplos: 
Proposições Categóricas Sujeito Predicado 
Todo atleta nato é um vencedor. atleta nato um vencedor 
Nenhum ser vivo é imortal. ser vivo imortal 
Algum quadro é obra de arte. quadro obra de arte 
Algum político não é honesto. político honesto 
Oposição Entre as Proposições Categóricas 
Duas proposições categóricas distintas que tenham o 
mesmo sujeito e o mesmo predicado ou não poderão ser 
ambas verdadeiras ou não poderão ser ambas falsas, ou 
as duas coisas. 
Dizemos que estarão sempre em oposição. 
São quatro os tipos de oposição: 
Proposições Contraditórias - cada uma delas é a 
negação lógica da outra (A-O e E-I). 
Duas contraditórias terão sempre valores lógicos 
contrários, ou seja, não podem ser ambas verdadeiras 
nem ambas falsas. 
Proposições Contrárias - uma afirmativa universal 
e sua negativa (A-E). 
Duas sentenças contrárias nunca são ambas verda­
o deiras, mas podem ser ambas falsas. Desse modo, se 
i5 soubermos que uma delas é verdadeira poderemos garantir 
'9 que a outra é falsa. Mas; se soubermos que uma delas é 
~ falsa não poderemos garantir se a outra é falsa também. 
g Proposições Subcontrárias - uma afirmativa parti­
= cular e sua negativa (l-O). 
Duas sentenças sub-contrárias nunca são ambas 
falsas, mas podem ser ambas verdadeiras. Assim sendo, 
se soubermos que uma delas é falsa, poderemos garantir 
~, 
Vestcon 
que a outra é verdadeira. Mas se soubermos que uma 
delas é verdadeira, não poderemos garantir se a outra é 
verdadeira também. 
Proposições Subalternas - duas afirmativas (univer­
sal e sua particular correspondente, A-I) ou duas negativas 
(universal e sua particular correspondente E-O). 
Sempre que a universal for verdadeira, sua cor­
respondente particular será verdadeira também, mas a 
falsidade da sentença universal não obriga que a corres­
pondente sentença particular seja falsa também. 
Sempre que aparticular forfalsa sua correspondente 
universal, seráfalsa também, mas a verdade da sentença 
particular não obriga que a correspondente sentença uni­
versal seja verdadeira também. 
contrárias
TodoAéB. ~ NenhumAeB. 
II 
"o .i......~c, 
~~ ,&.~o, 
0::'"%,.'IS-~ 
c;o"" "mas de mesmo modo. 
Para caracterizarmos completamente um silogismo 
categórico, devemos identificar, conjlmtamente, tanto seu 
modo quanto sua figura. 
Ao definirmos tanto o modo quanto a figura de um 
silogismo, estamos identificando a suaforma. 
Exemplo: 
Considere o seguinte silogismo categórico: 
"Todo elemento perigoso é potencialmente nocivo 
à sociedade. 
Todo motorista desatento é um elemento perigoso. 
Logo, todo motorista desatento é potencialmente 
nocivo à sociedade" 
é um silogismo da forma AAA-l (modo AAA - pri­
meira figura) 
Número de Formas Possíveis de Silogismos 
Cada um dos 64 modos possíveis de um silogismo 
pode ocorrer em qualquer uma das 4 figuras. 
Desse modo, temos: 
64 x 4 = 256 
Esse é o total de formas diferentes possíveis para os 
silogismos. 
De todos os 256 silogismos categóricos possíveis, 
somente uma pequena parte constitui argumentos válidos, 
conceito este que passaremos a estudar a seguir. 
Argumento Válido 
Dizemos que um argumento é válido ou, ainda, que 
ele é legítimo ou bem construído quando a sua conclu­
são é uma conseqüência obrigatória do seu conjunto de 
premissas. 
Posto de outra forma: quando um argumento é váli­
do, a verdade das premissas deve garantir a verdade da 
conclusão do argumento. 
Isso significa que, num argumento válido, jamais 
poderemos ter uma conclusão falsa quando as premissas 
forem verdadeiras. 
É importante observar o estudo dos argumentos não 
leva em conta a verdade ou a falsidade das proposições 
que compõem os argumentos, mas tão-somente a validade 
destes. 
Desse modo, ao se discutir a validade de um argumen­
to, o valor de verdade de cada uma de suas premissas 
é irrelevante. 
Exemplo: 
Considere o silogismo: 
"Todos os pardais adoram jogar xadrez. 
Nenhum enxadrista gosta de óperas. 
Portanto, nenhum pardal gosta de óperas." 
Esse silogismo está perfeitamente bem construído 
(veja o diagrama a seguir), sendo, portanto, um argu­
mento válido, muito embora a verdade das premissas 
seja questionável. 
°0 x 
Op = Conjunto dos que gostam de Óperas. 
X = Conjunto dos que adoram jogar xadrez. 
P = Conjunto dos pardais. 
Pelo diagrama, pode-se perceber que nenhum elemen­
to do conjunto P (pardais) pode pertencer ao conjunto Op 
(os que gostam de Óperas). 
Argumento Inválido 
Dizemos que um argumento é inválido, também de­
nominado ilegítimo, mal construído oufalacioso, quando 
a verdade das premissas não é suficiente para garantir a 
verdade da conclusão. 
Exemplo: 
O silogismo: 
"Todos os alunos do curso, passaram. 
j'vfaria não é aluna do curso. 
Portanto, Maria não passou." 
é um argumento inválido,falacioso, mal construído, 
pois as premissas não garantem (não obrigam) a verdade 
da conclusão (veja o diagrama abaixo). 
~ Aqui, Maria não é do curso, mas G m----l Aqu;, M.n..., 
P = Conjunto das pessoas que passaram. 
C = Conjunto dos alunos do curso. 
m=Maria. 
Pelo diagrama, vê-se que Maria pode ter passado mes­
mo sem ser aluna do curso. (A primeira premissa não afir­
mou que somente os alunos do curso haviam passado). 
Na tabela abaixo, podemos ver um resumo das situa­
ções possíveis para um argumento: 
Se um argumento é e as premissas ... então a conclusão será: 
Válido são todas verdadeiras necessariamente 
(bem construído) 
não são todas verdadeiras 
Verdadeira. 
ou Verdadeira ou Falsa. 
Inválido 
(mal construído) 
são todas verdadei ras 
não são todas verdadeiras 
ou Verdadeira ou Falsa. 
~ Verdadeira ou Falsa. 
NOÇÕES SOBRE CÁLCULO DE PREDICADOS DE 1" 
ORDEM 
Não existe um meio efetivo de testar a validade de 
todos os argumentos possíveis. Daí surge o interesse no 
desenvolvimento de um método que permita a dedução da 
conclusão de um argumento qualquer, ou seja, o cálculo 
axiomático de predicados. 
Este assunto é vasto e uma abordagem completa 
exigiria, primeiramente, que se fundamentasse axiomati­
camente o cálculo proposicional. 
.....,. 
Vestcon 13 
Faremos a seguir um breve resumo do assunto. 
Regras de Inferência 
I. modus ponens 
A, A~B :. B 
I. generalização universal 
A :. 'ti xA 
Teoremas 
Nos teoremas abaixo: 
- as premissas estão sempre à direita do sinal :. (lê-se 
portanto); 
- uma vírgula separa duas premissas; 
- Rec. significa teorema recíproco do apresentado 
na linha anterior. 
TI- A:. A 
TI- - (-A) :. A 
Rec- A:. - (-A) 
D- A, B :. A 1\ B 
T4- A :. AvB 
T5- A 1\ B :. A 
T6- A v B ,-A :. B 
T7- A~B, B~C :. A~C 
T8- A ,(A~B) :. B 
T9- (AvB), B~C :. (Av C) 
TIO- A~B :. -B~-A 
Rec- -B~-A :. A~B 
TII- A~B., (-A~B) :. B 
TI2- (A 1\ B) ~ C :. A ~ (B~C) 
Rec- A ~ (B~C) :. (A 1\ B) ~ C 
TI3- (A 1\ -B) ~ (C 1\ -C) :. A~B ( princ. da 
não-contradição) 
TI4- A~ (B v C) , -B :. A~C 
Proposições Dependentes 
Sejam PI e P2 duas proposições quaisquer. Dizemos 
que P 2 é dependente de Pise, e somente se, o valor lógico 
de P 2 depende do valor lógico dado a P I' 
OU seja, pelo menos uma das seguintes situações 
deve ocorrer: 
P I Verdadeira obriga P2 Verdadeira 
ou 
Verdadeira obriga P FalsaPI 	 2 
ou 
Falsa obriga P VerdadeiraPI 2 
ou 
P
I 
Falsa obriga P
2 
Falsa 
Dependência entre Proposições 
Quanto à dependência entre duas proposições dadas, 
P I e P 2' podem ocorrer somente duas situações distintas: 
I" nenhuma das duas proposições tem seu o valor 
lógico dependente do valor lógico da outra. Nesse caso, 
dizemos que não existe dependência ou, ainda, que as 
proposições consideradas são independentes. 
2a cada uma das proposições tem seu o valor lógico 
dependente do valor lógico da outra. Nesse caso, dizemos 
que existe dependência ou, ainda, que as proposições 
consideradas são dependentes. 
Exemplos: 
Considere as seguintes proposições: 
A: Ana é alta. 
B: Beto é baixo. 
C: Ana não é alta. 
D: Se Ana é Alta então Beto é baixo. 
As proposições A e B são independentes, pois, em 
princípio, pode-se ter qualquer uma delas verdadeira ou 
falsa independentemente do valor lógico que seja atribuído 
à outra. 
As proposições A e C são dependentes. De fato, uma 
vez que se tenha atribuído algum valor lógico a uma delas, 
a outra, necessariamente, ficará obrigada ao valor lógico 
oposto, dado que C é a negação de A. 
As proposições A e D também são dependentes. 
Isso pode ser constatado observando que, ao colocarmos 
qualquer uma das duas com Falsa, a outra, obriga­
toriamente, será Verdadeira. 
Número de Linhas de urna Tabela-Verdade 
Se uma tabela-verdade tem como componentes as 
proposições P I' P2' ... , Pn' duas a duas independentes, então 
o número de linhas desta tabela-verdade será igual a: 
Ln =2n 
Exemplo: 
Sejam PI' P2 e P3' três proposições indepen-dentes entre 
si, então a tabela verdade da proposição composta "(PJ eP.) 
ou não-P/' terá 23 =8 linhas, como se pode ver abaixo: 
I 
2 
3 
4 
5 
6 
P 
V 
V 
V 
V 
F 
F 
P, 
V 
V 
F 
F 
V 
V 
P, 
V 
F 
V 
F 
V 
F 
(P eP) 
V 
V 
F 
F 
F 
F 
níio-P 
F 
V 
F 
V 
F 
V 
(P e P) ou níio-P 
V 
V 
F 
V 
F 
V 
7 
8 
F 
F 
F 
F 
V 
F 
F 
F 
F 
V 
F 
V 
EXERcíCIOS RESOLVIDOS 
1. Todos os bons estudantes são pessoas tenazes. Assim 
sendo: 
a) Alguma pessoa tenaz não é um bom estudante. 
b) O conjunto dos bons estudantes contém o conjunto 
das pessoas tenazes. 
c) Toda pessoa tenaz é um bom estudante. 
d) Nenhuma pessoa tenaz é um bom estudante. 
e) O conjunto das pessoas tenazes contém o conjunto 
dos bons estudantes. 
Solução: 
(Opção E) Dizer que "todos os bons estudantes 
são pessoas tenazes" equivale a dizer que dentro 
do conjunto que reúne todas as pessoas tenazes 
acharemos todos os bons estudantes. Assim sendo, 
podemos dizer que o conjunto das pessoas tenazes 
contém o conjunto dos bons estudantes. 
2. 	Todo baiano gosta de axé musico Sendo assim: 
a) Todo aquele que gosta de axé music é baiano. 
b) Todo aquele que não é baiano não gosta de axé 
musico 
c) Todo aquele que não gosta de axé music não é 
baiano. 
d) Algum baiano não gosta de axé musico 
e) Alguém que não goste de axé music é baiano. 
'9ª" 
.3:º 
§ 
cc 
14 	 ~Vestcon 
~ 
'9 
.3llº 
u..,º 
Solução: 
(Opção C) Assumindo que "todo baiano gosta de axé 
music" podemos dizer que o conjunto dos baianos 
(conjunto B) encontra-se comple-tamente dentro 
do conjunto dos que gostam de axé music (conjunto 
A). Qualquer um que esteja fora do conjunto A não 
poderá estar no conjunto B pois B está dentro de 
A. Mas todos os que não gostam de axé music estão 
fora do conjunto A. Logo, todos os que não gostam 
de axé music estão fora do conjunto B. Ou seja: todo 
aquele que não gosta de axé music não é baiano. 
3. 	SeAnaé altruísta então Bruna é benevolente. Se Bruna 
é benevolente então Cláudia é conservadora. Sabe-se 
que Cláudia não é conservadora. Nestas condições, 
pode-se concluir que: 
a) Ana não é benevolente. 
b) Bruna não é altruísta. 
c) Ana não é conservadora. 
d) Cláudia não é altruísta. 
e) Ana não é altruísta. 
Solução: 
(Opção E) Esta questão faz uso de uma estrutura 
bem conhecida na Lógica: a cadeia de proposições 
condicionais - A implica B que implica C ... 
Por outro lado, toda vez que uma proposição 
condicional como "Se A então B" for verdadeira, será 
verdadeira também "Se não-B então não-A"(repare a 
ordem!), onde não-B e não-A são as negações das 
proposições B e A, respectivamente. Deste modo, 
quando sabemos que "Se A então B" e sabemos 
que B não ocorre, podemos concluir que A também 
não ocorre. Neste problema podemos representar 
a cadeia de proposições condicionais dada como 
A implica B que implica C que implica D. Como 
temos a negação de D, teremos também não-C, 
não-B e não-A, consecutivamente. Ou seja: 
Cláudia não é conservadora, Bruna não é benevo­
lente e Ana não é altruísta. As demais opções não 
podem ser aceitas como conclusões pois não há 
dados suficientes no enunciado para decidir se são 
verdadeiras ou se são falsas. 
4. 	Todo atleta é bondoso. Nenhum celta é bondoso. Daí 
pode-se concluir que: 
a) algum atleta é celta; 
b) nenhum atleta é celta; 
c) nenhum atleta é bondoso; 
d) alguém que seja bondoso é celta; 
e) ninguém que seja bondoso é atleta. 
Solução: 
(Opção B) Sejam A = o conjunto dos atletas, B o 
conjunto das pessoas bondosas e C o conjunto dos 
celtas. De acordo com o enunciado, o conjunto A 
está totalmente dentro de B, pois "todo atleta é 
bondoso ". O conjunto C está comple-tamente fora 
de B, pois "nenhum celta é bondoso". Sendo assim, 
os conjunto A e C não podem ter qualquer elemento 
em comum, pois o primeiro está dentro de B e O 
segundo, fora. Ou seja: Nenhum atleta é celta. 
5. 	Se chove então faz frio. Assim sendo: 
a) Chover é condição necessária parafazer frio. 
b) Fazer frio é condição suficiente para chover. 
c) Chover écondição necessáriaeSl!ficienteparafazerfrio. 
d) Chover é condição suficiente para fazer frio. 
e) Fazer frio é condição necessária e suficiente para 
chover. 
Solução: 
(Opção D) Esta questão faz referência aos conceitos 
de necessidade e de suficiência e às relações 
destes conceitos com as proposições condicionais. 
Como já vimos, numa proposição condicional 
"Se A então B" a ocorrência de A implica (obriga) 
a ocorrência de B. Então dizemos que A é uma 
condição suficiente para a ocorrência de B, ou, 
simplesmente, que Aé suficiente para B. Por outro 
lado, sabemos que a não ocorrência de B implica 
a não ocorrência de A, ou seja: sem a ocorrência 
de B, certamente A também não ocorreria. Por este 
motivo, dizemos que B é uma condição necessária 
para a ocorrência de A, ou, simplesmente, que B é 
necessária para A. No contexto da questão isto nos 
dará que "Chuva é condição suficiente parafrio" e 
que "Frio é condição necessária para chuva". 
EXERcíCIOS PROPOSTOS 
1. Represente com diagramas de conjuntos: 
a) algumAé B. 
b} algum A não é B. 
c)todoAéB. 
d) se A, então B. 
e) nenhumAé B. 
2. Considere as proposições abaixo: 
I 3+ I =4e2+3=5 
II 6>2e7 2 
I1I- 3=50u83 
IH 6quem era cada 
pessoa. As cores dos vestidos de Ana, Maria e Cláudia 
eram, respectivamente, 
a) preto, branco, azul 
b) preto, azul, branco 
c) azul, preto, branco 
d) azul, branco, preto 
e) branco, azul, preto 
14. (AFCIl996) Se Carlos é mais velho do que Pedro, 
então Maria e JúJia têm a mesma idade. Se Maria e 
Júlia têm a mesma idade, então João é mais moço do 
que Pedro. Se João é mais moço do que Pedro, então 
Carlos é mais velho do que Maria. Ora, Carlos não é 
mais velho do que Maria. Então, 
a) Carlos não é mais velho do que Júlia, e João é mais 
moço do que Pedro. 
b) Carlos é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia 
têm a mesma idade. 
c) Carlos e João são mais moços do que Pedro. 
d) Carlos é mais velho do que Pedro, e João é mais 
moço do que Pedro. 
e) Carlos não é mais velho do que Pedro, e Maria e 
Júlia não têm a mesma idade. 
15. (AFTN/1996) José quer ir ao cinema assistir ao filme 
"Fogo contra Fogo", mas não tem certeza se o mesmo 
está sendo exibido. Seus amigos, Maria, Luis e Júlio 
têm opiniões discordantes sobre se o filme está ou 
i 
o 
.j 
~ c 
i 
.35º 
(S 
g 
cc 
16 
não em cartaz. Se Maria estiver certa, então Júlio está 
enganado. Se Júlio estiver enganado, então Luís está 
enganado. Se Luís estiver enganado, então o filme 
não está sendo exibido. Ora, ou o filme "Fogo contra 
Fogo" está sendo exibido, ou José não irá ao cinema. 
Verificou-se que Maria está certa. Logo, 
a) o filme "Fogo contra Fogo" está sendo exibido. 
b) Luís e Júlio não estão enganados. 
c) Júlio está enganado, mas não Luís. 
d) Luís está enganado, mas não Júlio. 
e) José não irá ao cinema. 
16. 	(AFrN/1996) Sabe-se que, na equipe do X Futebol 
Clube (XFC), há um atacante que sempre mente, um 
zagueiro que sempre fala a verdade e um meio-campista 
que às vezes fala a verdade e às vezes mente. Na saída 
do estádio, dirigindo-se a um torcedor que não sabia 
o resultado do jogo que terminara, um deles declarou 
"Foi empate" o segundo disse "Não foi empate" e o 
terceiro falou "Nós perdemos". O torcedor reconheceu 
somente o meio-campista, mas pode deduzir o resultado 
do jogo com certeza. A declaração do meio-campista e 
o resultado do jogo foram, respectivamente. 
a) "Foi empate" I o XFC venceu. 
b) "Não foi empate" I empate. 
c) "Nós perdemos" I o XFC perdeu. 
d) "Não foi empate' I o XFC perdeu. 
e) "Foi empate" / empate. 
17. 	Ou Celso compra um carro, ou Ana vai à África, 
ou Rui vai a Roma. Se Ana vai à África, então Luís 
compra um livro. Se Luís compra um livro, então Rui 
vai a Roma. Ora, Rui não vai a Roma, logo: 
a) Celso compra um carro e Ana não vai à África. 
b) Celso não compra um carro e Luís não compra o 
livro. 
c) Ana não vai à África e Luís compra um livro. 
d) Ana vai à África ou Luís compra um livro. 
e) Ana vai à África e Rui não vai a Roma. 
18. Dizer que é verdade que "para todo x, se x é uma rã 
e se x é verde, então x está saltando" é logicamente 
equivalente a dizer que não é verdade que: 
a) algumas rãs que não são verdes estão saltando. 
b) algumas rãs verdes estão saltando. 
c) nenhuma rã verde não está saltando. 
d) existe uma rã verde que não está saltando. 
e) algo que não seja uma rã verde está saltando. 
19. 	Se é verdade que "Alguns A são R" e que "Nenhum 
G é R", então é necessariamente verdadeiro que: 
a) algumA não é G. 
b) algumA é G. 
c) nenhum A é G. 
d) algum G é A. 
e) nenhum G é A. 
20. Assinale a alternativa que apresenta uma contradição. 
a) Todo espião não é vegetariano e algum vegetariano 
é espião. 
b) Todo espião é vegetariano e algum vegetariano não 
é espião. 
v%: 
c) Nenhum espião é vegetariano e algum espião não 
é vegetariano. 
d) Algum espião é vegetariano e algum espião não é 
vegetariano. 
e) Todo vegetariano é espião e algum espião não é 
vegetariano. 
21. Todos os que conhecem João e Maria admiram Maria. 
Alguns que conhecem Maria não a admiram. Logo: 
a) todos os que conhecem Maria a admiram. 
b) ninguém admira Maria. 
c) alguns que conhecem Maria não conhecem João. 
d) quem conhece João admira Maria. 
e) só quem conhece João e Maria conhece Maria. 
22. Valter tem inveja de quem é mais rico do que ele. 
Geraldo não é mais rico do que quem o inveja. Logo: 
a) quem não é mais rico do que Valter é mais pobre 
do que Valter. 
b) Geraldo é mais rico do que Valter. 
c) Valter não tem inveja de quem não é mais rico do 
que ele. 
d) Valter inveja só quem é mais rico do que ele. 
e) Geraldo não é mais rico do que Valter. 
23. Todas as plantas verdes têm clorofila. Algumas plantas 
que têm clorofila são comestíveis. Logo: 
a) algumas plantas verdes são comestíveis. 
b) algumas plantas verdes não são comestíveis. 
c) algumas plantas comestíveis têm clorofila. 
d) todas as plantas que têm clorofila são comestíveis. 
e) todas as plantas verdes são comestíveis. 
24. A proposição "é necessário que todo acontecimento 
tenha causa" é equivalente a: 
a) é possível que algum acontecimento não tenha 
causa. 
b) não é possível que algum acontecimento não tenha 
causa. 
c) é necessário que algum acontecimento não tenha 
causa. 
d) não é necessário que todo acontecimento tenha 
causa. 
e) é impossível que algum acontecimento tenha 
causa. 
25. Todo A é B, e todo C não é B, portanto: 
a) algum A é C. d) algum B é C. 
b) nenhum A é C. e) nenhum B é A. 
c) nenhum A é B. 
26. As rosas são mais baratas do que os lírios. Não tenho 
dinheiro suficiente para comprar duas dúzias de rosas. 
Logo: 
a) tenho dinheiro suficiente para comprar uma dúzia 
de rosas. 
b) não tenho dinheiro suficiente para comprar uma 
dúzia de rosas. 
c) não tenho dinheiro suficiente para comprar meia 
dúzia de lírios. 
d) não tenho dinheiro suficiente para comprar duas 
dúzias de lírios. 
e) tenho dinheiro suficiente para comprar uma dúzia 
de lírios. 
~ 
Vestton 17 
27. Se você se esforçar, então irá vencer. Assim sendo: 
a) seu esforço é condição suficiente para vencer. 
b) seu esforço é condição necessária para vencer. 
c) se você não se esforçar, então não irá vencer. 
d) você vencerá só se se esforçar. 
e) mesmo que se esforce, você não vencerá. 
28. Se os tios de músicos sempre são músicos, então: 
a) os sobrinhos de não-músicos nunca são músicos. 
b) os sobrinhos de não-músicos sempre são músicos. 
c) os sobrinhos de músicos sempre são músicos. 
d) os sobrinhos de músicos nunca são músicos. 
e) os sobrinhos de músicos quase sempre são 
músicos. 
29. 	O paciente não pode estar bem e ainda ter febre. 
O paciente esta bem. Logo, o paciente: 
a) tem febre e não está bem. 
b) tem febre ou não está bem. 
c) tem febre. 
d) não tem febre. 
e) não está bem. 
30. 	Assinale a alternativa em que se chega a uma 
conclusão por um processo de dedução. 
a) Vejo um cisne branco, outro cisne branco, outro cisne 
branco ... então, todos os cisnes são brancos. 
b) Vi um cisne, então, ele é branco. 
c) Vi dois cisnes brancos, então, outros cisnes devem 
ser brancos. 
d) Todos os cisnes são brancos, então, este cisne é 
branco. 
e) Todos os cisnes são brancos, então, este cisne pode 
ser branco. 
31. Todo cavalo é um animal. Logo: 
a) toda cabeça de animal é cabeça de cavalo. 
b) toda cabeça de cavalo é cabeça de animal. 
c) todo animal é cavalo. 
d) nem todo cavalo é animal. 
e) nenhum animal é cavalo. 
32. Utilizando-se de um conjunto de hipóteses, um 
cientista deduz uma predição sobre a ocorrência de 
um certo eclipse solar. Todavia, sua predição mostra-se 
falsa. O cientista deve, logicamente concluir que: 
a) todas as hipóteses desse conjunto são falsas. 
b) a maioria das hipóteses desse conjunto é falsa. 
c) pelo menos uma hipótese desse conjunto é falsa. 
d) pelo menos uma hipótese desse conjunto é 
verdadeira. 
e) a maioria das hipóteses dessse conjunto é ver­
dadeira. 
33. Se Francisco desviou dinheiro da campanha assisten­
cial, então ele cometeu um grave delito. Mas Fran­
cisco não desviou dinheiro da campanha assistencial. 
Logo: 
a) Francisco desviou dinheiro da campanha assisten­
cial. 
b) Francisco não cometeuum grave delito. 
c) Francisco cometeu um grave delito. 
d) alguém desviou dinheiro da campanha assistencial. 
e) alguém não desviou dinheiro da campanha 
assistencial. 
34. 	Se Rodrigo mentiu, então ele é culpado. Logo: 
a) se Rodrigo não é culpado, então ele não mentiu. 
b) Rodrigo é culpado. 
c) se Rodrigo não mentiu, então ele não é culpado. 
d) Rodrigo mentiu. 
e) se Rodrigo é culpado, então ele mentiu. 
35. Assinale a alternativa em que ocorre uma conclusão 
verdadeira (que corresponde à realidade) e o argumento 
inválido (do ponto de vista lógico). 
a) Sócrates é homem, e todo homem é mortal, portanto 
Sócrates é mortal. 
b) Toda pedra é um homem, pois alguma pedra é um 
ser, e todo ser é homem. 
c) Todo cachorro mia, e nenhum gato mia, portanto 
cachorros não são gatos. 
d) Todo pensamento é um raciocínio, portanto, todo 
pensamento é um movimento. visto que todos os 
raciocínios são movimentos. 
e) Toda cadeira é um objeto, e todo objeto tem cinco 
pés, portanto algumas cadeiras têm quatro pés. 
PADRÕES ESEQÜÊNCIAS 
Denominaremos genericamente como seqüência a 
toda fila ordenada de termos (números, letras, figuras, 
palavras, etc) que obedeçam a um padrão de formação. 
Exemplos: 
1. Na seqüência (13, 18,23,28,33,38), cada termo, 
a partir do segundo, é igual ao anterior adicionado 
de 5 unidades. 
2. Na seqüência (A, D, G, J), as letras foram tomadas 
de três em três, em ordem alfabética, a partir do "A", 
ou seja: A, b, c, D, e, f, G, h, i, J. 
3.Na seqüência (triângulo - O, quadrado -2, pentágono - 5, 
hexágono -9), tem-se os nomes de figuras planas a partir 
de três lados, acompanhados do número de diagonais 
em cada um deles, isto é: triângulo - nenhuma diagonal; 
quadrado - duas diagonais; pentágono - cinco diagonais 
e hexágono - nove diagonais. 
Determinação de um Termo por Indução 
São comuns as questões de concurso onde se deve 
encontrar o valor de um termo de uma dada seqüência 
sem que seja declarado o padrão de formação de seus 
termos. Em tais questões, é necessário descobrir o padrão 
de formação, e isso exige um tipo de raciocínio, conhecido 
como raciocínio indutivo ou indução, no qual nossas 
conclusões justificam-se apenas por sua coerência em 
relação aos casos anteriores. Algo como: "Se todos os 
casos anteriores obedeceram a este padrão, então o 
próximo deverá obedecê-lo também", 
É importante salientar que não há nenhum tipo de 
garantia lógica ou matemática de que as conclusões 
obtidas por indução estejam certas. Existem, aliás, na 
matemática, alguns exemplos célebres de conclusões 
g 
-g " 
o 
~ 
g 
cc 
Vestcon18 ~, 
s 
~ 
o 
~ 
a:a: 
incorretas obtidas a partir de raciocínios indutivos. 
Entretanto, o que se pretende verificar com as questões 
que envolvem a percepção de padrões é a capacidade do 
candidato de formular e testar hipóteses. 
Exemplos: 
1. Determinar na seqüência abaixo o valor do termo 
indicado por x: 
(2,8,32, i28, x) 
Solução: 
Cada termo, a partir do segundo, é igual ao quádruplo 
do anterior. 
Desse modo, seguindo o mesmo padrão, o valor do 
termo x sern 
128x4= 512 
2. Determinar na seqüência abaixo o valor do termo 
indicado porx: 
(2,3.5,8.12, x) 
Solução: 
Cada termo, a partir do segundo, foi obtido do termo 
anterior somando-se 1,2,3, e 4, respectivamente. 
Assim, seguindo o mesmo padrão, o valor do termo 
x será 
12+5=17 
3. Determinar na seqüência abaixo o valor do termo 
indicado por x: 
(l, i, 2, 3, 5. 8,13. x) 
Solução: 
Cada termo, a partir do terceiro, foi obtido somando-se 
os dois anteriores. 
Veja: 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13. 
Então, seguindo o mesmo padrão teremos: 
x= 8+13 21 
4. Determinar na seqüência abaixo a letra que deve 
ocupar o lugar do x: 
(B, F. J, O, x) 
Obs.: As letras K. We Ynão devem ser consideradas. 
Solução: 
As letras foram tomadas de quatro em quatro, a partir 
de "B". 
Continuando a seqüência temos: 
B, c, d,e, F, g, h, i, J, I, m, n, 0, p, q, r, S. 
Desse modo, a letra que deve ocupar o lugar de x 
deve ser o "S". 
Determinação de um Termo dada uma Fórmula 
Geral 
Nas seqüências numéricas, é bastante comum 
encontrarmos uma fórmula ou expressão matemática 
que permita determinarmos o valor de um dado termo 
conhecendo-se somente a posição ocupada por ele. 
Exemplos: 
1. Considere a seqüência numérica (aI' a]' a
3
, .....). 
em que cada termo a. é dado pela expressão: 
ali =3n+4 
Onde n indica a posição ocupada peio termo na 
seqüência. Nessas condições, qual será o valor do 
vigésimo termo da seqüência? 
Solução: 
Usando a fórmula geral dada, o valor do vigésimo 
termo será: 
azo 3x20+4 
azo=60+4 64 
2. Considere a seqüência numérica (a I' a]' a3' •••• .) em 
que cada termo a. é dado pela expressão: 
a 2n2 -3• 
Onde n indica a posição ocupada pelo termo na 
seqüência. Nessas condições, qual será o valor 
encontrado na décima posição desta seqüência? 
Solução: 
Usando a fórmula geral dada, o valor do décimo 
termo será: 
al/)=2xI02 -3 
alll 2>(1.568,1586, 1658,x,y) 
a) x = 1.856 e y = 1.685 
b) x = 1.685 e y = 1.856 
c) x = 1.658 e y =1.865 
d) x = 1.865 e y = 1.658 
e) x = 1.568 e y = 1.568 
9. 	(37,26, 17, 10,5, x) 
a) 5 
b) 4 
c) 3 
d) 2 
e) 1 
10. 	(3,6,10,15, 21,x) 
a) 28 
b) 27 
c) 26 
d) 25 
e) 24 
11. 	(2,6, 12,20,30, x) 
a) 32 
b) 38 
c) 42 
d) 48 
e) 52 
 i 
I 
o12. 	(3, 10, 13,23,36, x) 
a) 56 
b) 57 
!li:
c) 58 
d) 59 
e) 60 
alinhados verticalmente: 
todos os onze apresentam a mesma soma, pois são 
valores eqüidistantes dos extremos na P.A. original: 
2 5 8 32 
+32 +29 +26 +2 
34 34 34 
 34 
Assim, podemos concluir que: 
2xS 11 x34 
S= llx34+ 2 
S=187 
Pode-se mostrar, por raciocínio análogo, que: 
A soma de n valores em P.A. é sempre igual a n vezes 
a média aritmética de dois valores eqUidistantes dos 
extremos da seqüência. 
i 
.".,.. 
Vestcon 23 
EXERdclOS PROPOSTOS 
1. 	 Determine a razão de cada uma das seguintes pro­
gressões aritméticas: 
a) (34,41,48,55,62) d) (-30, -27, -24, -2 I) 
b) (78, 83, 88,93,98) e) (4/3, 5/3,2,7/3) 
c) (19,17,15,13,11) 
2. 	 Determine o 10° termo de cada uma das progressões 
aritméticas do exercício anterior. 
3. 	 Determine o termo indicado em cada uma das seguin­
tes progressões aritméticas: 
a) a6 =2, r =2, a
20 
=? 
b) aIO =15, r 3, a,o =? 
c)ag = 100,r=5,alg =? 
d) a20 = 40, r =-10, aloo ? 
e) a40 =18, r= 20, ~o ? 
t)a =56,r 12,a =?
31 49 
4. 	 Determine o primeiro termo das progressões aritmé­
ticas em cada caso: 
a) alO = 190 e r = 8 e) aloo = 750 e r -2 
b) ais "'- 580 e r 10 t) a
46 
= 280 e r = -2 
c)a
20 
120er=5 g) aio -30 e r=-3 
d) as = 70 e r=;7 h) as =O e r =-5 
5. 	 Determine a razão de cada P.A. seguinte: 
a) ai 5 e ali 85 e) as = 50 e ais = 150 
b)al =lOea26 =135 t)alo=105ea.s 135 
c) ai = 100 e al6 = 40 g) a.o 200 e aloo = 240 
d) ai 50 e alJ = -10 h) a45 = 300 e aloo 190 
6. 	 Determine o número de termos de cada uma das 
progressões aritméticas seguintes: 
a) (1, 7,13, ... , 121) d) (108,117, ... 999) 
b) (74, 95, ... , 200) e) (1, 3, 5, ... ,99) 
c) (-3, O, ...,39) t) (2, 4, 6, ... , 100) 
7. 	 Determine o quarto termo de cada seqüência resultante 
nas seguintes interpolações aritméticas: 
a) Interpolar 3 meios aritméticos entre 12 e 28. 
b) Inserir 5 meios aritméticos entre 10 e 40. 
c) Interpolar 6 meios aritméticos entre 20 e 90. 
d) Inserir 10 meios aritméticos entre 10 e 109. 
e) Interpolar 5 meios aritméticos entre 40 e 10. 
8. 	 Sabendo que os três primeiros termos de uma P.A. 
são, respectivamente, x-I, x + 5 e 4x 4, encontre 
o valor numérico do quarto termo. 
9. 	 Determine a razão da P.A. (5 - x, x + I, 3x - 3) em 
função de x. 
10. Determine o valor da soma dos 100 primeiros números 
inteiros positivos. 
11. Determine o valor da soma dos 30 primeiros números 
ímpares positivos. 
12. Determine o valor da soma dos 20 primeiros termos 
da sucessão (10, 13, 16, 19, ... ). 
13. Determine o valor da soma de todos os múltiplos de 
7 compreendidos entre 10 e 100. 
14. 	Determine o valor da soma de todos os múltiplos de 
11 compreendidos entre 30 e 200. 
15. 	Numa uma há 1000 bolinhas. Retirando 3 bolinhas 
na primeira vez, 6 bolinhas na segunda, 9 na terceira, 
e assim por diante, quantas bolinhas restarão na uma 
após a vigésima retirada? 
16. 	 Determine o valor de x na soma 
x + 2x + 3x + ... + 39x + 40x = 4100. 
17. 	A soma de três números é 21 e o produto, 280. Achar 
esses números, sabendo-se que estão em P.A. 
18. 	A soma de quatro números positivos em P.A. é 36 e 
o produto, 3.465. Achar esses números. 
19. Calcular x de modo que 3x-l, x +3 e x +9 sejam ter­
mos consecutivos de uma P.A. na ordem enunciada. 
20. Determinar x de modo que os quadrados dos binômios 
x I, x + 3 e x + 5 estejam em P.A. 
21. 	Numa P.A. de um número ímpar de termos, n, a soma 
dos termos de ordem ímpar é 63 e a de ordem par é 
54. Calcular n. 
SEQÜ@NCIAS GEOMÉTRICRS 
Denominamos seqüência geométrica ou progressão 
geométrica (P. G.) a toda seqüência numérica na qual cada 
um dos termos, a partir do segundo, seja igual ao termo 
anterior multiplicado por uma constante não nula a qual 
chamamos razão. 
Exemplos: 
I" 	Se o primeiro termo de uma progressão geométrica 
é 3 e a razão é 2, então temos a seguinte seqüência 
geométrica: (3, 6,12,24,48, .u) onde cada termo, 
a partir do segundo, é igual ao anterior multipli­
cado pela constante 2 que é a razão. 
Dizemos que esta é uma seqüência crescente pois 
os seus valores são cada vez maiores. 
2° 	 Se o primeiro termo de uma progressão geométrica 
é 80 e a razão é Y:!, então os primeiros termos da 
seqüência geométrica correspondente serão: (80, 
40,20, 10, ... ) onde cada termo, a partir do segun­
do, é igual ao anterior multiplicado pela constante 
Y:! que é a razão. 
Dizemos que esta é uma seqüência decrescente 
pois os seus valores são cada vez menores. 
Algumas Propriedades das Seqüências Geométricas 
1" Propriedade - Se k é o número de passos neces­
sários para nos levar de um termo 
qualquer a até um termo a +k numa n n 
I 
o 
9 .ao 
~ 
ti 
= 
24 	 ~ 
Vestcon 
seqüência geométrica de razão q, 
então o quociente entre os valores 
destes dois termos será: 
a.+k + a. =qk 
Exemplo de Aplicação: 
Na seqüência geométrica (3, 6, J2, ... ) qual será o 
valor do décimo termo? 
Solução: 
A razão da seqüência geométrica é 2, como é fácil 
percebermos. Poderíamos, então, continuar a seqüên­
cia até o 10" termo, simplesmente fazendo sucessivas 
multiplicações por 2. Entretanto, será mais rápido, 
neste caso, raciocinarmos assim: 
O número de passos do 30 termo (a3 = 12) até o 10" 
termo é 10 - 3 = 7 passos. Então, usando a ]4 pro­
priedade, teremos: 
alO+a =q7
J 
aio = a
J 
x q7 
aio = aJ x 27 
aio = 12 x 128 
aio = 1536 
2" Propriedade - Numa seqüência geométrica, qual­
quer termo, a partir do segundo, tem 
seu valor absoluto igual à média 
geométrica dos dois termos imedia­
tamente vizinhos a ele. 
la.1 = Fn-l '. n+ 1 
Exemplo de Aplicação: 
Na seqüência (8, x, J8, ... ) os valores são todos 
positivos. Determine o valor de x de modo que esta 
seqüência seja uma P.G. 
Solução: 
O valor absoluto (módulo) do segundo termo será a 
média geométrica do 10 e do 3° termos (termos vizi­
nhos): 
la21 Jalxa3 
Ixl =~ =,)144 =12 
Ixl = 12 ~ x =± 12 
i 
Como os valores da seqüência devem ser todos positivos, 
serve-nos apenas x = +12. 
9 
,l; Atenção:
§ x =-12 também nos daria uma P.G. cuja razão seria 
c -3/2 (verifique) e teríamos, então, uma P.G. alternante 
que é aquela onde encontramos termos positivos e 
negativos alternadamente. 
EXERdClOS PROPOSTOS 
1. 	 Identifique a razão de cada uma das seguintes pro­
gressões geométricas: 
a) (3, 6,12,24) e) (128, -64,32, -16) 
b) (24, 12,6,3) f) (6, 6..[i , 12, 12.fi) 
c) (1/2, -I, 2, -4,8) g) (3,3:ifi, 3}j4, 6,@) 
d) (4, -8,16, -32,64) h) (-I, .fi, -2, 2.fi ,-4) 
2. 	 Determine o sétimo termo de cada uma das seguintes 
progressões geométricas: 
a) (4,8,16,32, ... ) d) (10.000,1.000, 100, ... ) 
b) (lO, 30, 90 ....) e) (128, 64, 32, ... ) 
c) (5, 20, 80, 320, ... ) f) (I, -2, 4, -8, ... ) 
3. 	 Determine o termo pedido de cada P.G., conhecendo 
a razão e um de seus termos: 
a) a
3 
:= 10, q = 2, a
8 
? 
b)!\ 8, q '" Jj, aio =? 
c) a 12.500, q = -5, ai =?
6 
5 1 
d) al2 :="8 ' q "2' ai := ? 
4. 	 Determine a razão de cada P.G. conhecendo dois de 
seus termos: 
a) a, := 6 e a := 192
6 
b) ai := 10 e a8 =-1.280 
2
c) a 8 e a 5.000 f) a := - e a = 54
3 7 s 93 
d) a, = 25 e ~ = 1.600 
e) a
3 
:= -125 e a
7 
= -2.000 
5. 	 Determine o segundo termo de cada seqüência resul­
tante das interpolaçÕes geométricas indicadas: 
a) Inserir 4 meios geométricos entre 4 e 1/8. 
b) Interpolar 4 meios geométricos entre 3 e -96. 
c) Inserir 2 meios geométricos entre 2 e 10. 
d) Inserir 3 meios geom~tricos entre 2 e 32, de modo 
a obter uma P.G. aIternante. 
e) Interpolar 3 meios geométricos entre 4 e 36, de 
modo a obter uma P.G. crescente. 
6. 	 Determine o número de termos de cada P.G. indicada: 
a) (2/3, 2, 6, ... ,486) 
b) (1/9, 1/3, ... , 729) 
c) (100, 20, ... , 0,0064) 
d) (2, 8, 32, ... , 2.048) 
e) (I, 5, ... , 3.125) 
f) (0,125, 0,5, ... , 128) 
7. 	 Determine o valor da expressão: 23 + 24 + 2s + 26 + 
'" + 210 
8. 	 Determinar a expressão da soma dos n termos da P.G. 
cujo termo geral é dado pela expressão an '" 3 • 22
". 
9. 	 Calcular a razão de uma P.G. cujos 3 únicos termos 
são oslados de um triângulo retângulo. 
..".,
Vestcon 25 
10. Achar o limite da soma dos termos da progressão 
geométrica: 
( 2 + 3., I + ~, 3., ~, ...)l 3 3 3 3 
11. Unem-se os meios dos lados de um triângulo equilá­
tero cuja área é 9./3 cm2 e obtém-se outro triângulo 
equilátero; unem-se os meios dos lados desse outro 
e obtém-se um novo triângulo equilátero, e assim 
sucessivamente. Achar o limite da soma das áreas 
desses n triângulos. 
ARRANJOS, COMBINAÇÕES EPERMUTAÇÕES 
(PROBLEMAS DE CONTAGEM) 
Princípio Multiplicativo (P.M.) 
Se um acontecimento A pode ocorrer de m maneiras 
diferentes e se, para cada uma das m maneiras possíveis 
de ocorrência de A, um segundo acontecimento B pode 
ocorrer de n maneiras diferentes, então o número de 
maneiras de ocorrer o acontecimento A seguido do acon­
tecimento B é m x n . 
EXERcíCIOS RESOLVIDOS 
1. De quantas maneiras diferentes se pode formar um 
casal, composto por um rapaz e uma moça, escolhidos 
aleatoriamente entre os 5 rapazes e as 4 moças que 
compõem um grupo? 
Solução: 
ACONTECIMENTOS N° DE 
OCORRÊNCIAS 
A : Escolha de um rapaz 5 
B : Escolha de uma moça 4 
Logo, pelo P.M., teremos: 
5 . 4 20 maneiras. 
2. 	Quantos números de dois algarismos distintos podem 
ser formados no sistema de numeração decimal? 
Solução: 
ACONTECIMENTOS 
A : Escolha do algarismo 
das dezenas 
B: Escolha do algarismo 
das unidades 
Logo, pelo P.M., teremos: 
N° DE 
OCORRÊNCIAS 
9, pois o zero não 
pode ocorrer 
nas dezenas 
9, pois o algarismo 
das unidades 
deve ser diferente 
do das dezenas 
9·9= 81 números. 
3. Quantos números impares e de dois algarismos dis­
tintos podem ser formados no sistema de numeração 
decimal? 
Solução: 
ACONTECIMENTOS 
A : Escolha do algarismo 
das unidades 
B : Escolha do algarismo 
das dezenas 
Logo, pelo P.M., teremos: 
N° DE 
OCORRÊNCIAS 
5, pois servem 
somente I, 3, 5, 7 ou 9 
8, pois o algarismo 
das dezenas não 
pode ser zero, 
nem repetido 
das unidades 
5 . 8 = 40 números. 
4. Quantos números pares e 	com dois algarismos dis­
tintos podem ser formados no sistema de numeração 
decimal? 
Solução: 
Se o número terminar em zero, então existirão 9 
maneiras de escolher o algarismo das dezenas: 
1,2,3,4,5,6,7,80u9 
Mas se o número não terminar em zero, então so­
brarão apenas 8 maneiras de escolher o algarismo 
das dezenas, pois um dos algarismos pares da lista 
apresentada acima já terá sido usado na casa das 
unidades. 
Temos, portanto, dois casos a considerar: 
Caso A: Números pares terminados em zero: 
ACONTECIMENTOS 
O
N° DE 
CORRÊNCIAS 
A : O algarismo das 
unidades é zero. 
1 
B: Escolha do algarismo 
das dezenas 
9 
Logo, pelo P.M., teremos: 
1 . 9 = 9 números pares terminados em zero. 
Caso B: Números pares não terminados em zero: 
ACONTECIMENTOS 
A : Escolha do algarismo 
das unidades 
B : Escolha do algarismo 
das dezenas 
N° DE 
OCORRÊNCIAS 
4, pois será 
2,4,60u8 
8, pois o algarismo 
das dezenas não 
pode ser zero, 
nem repetido 
das unidades 
s 
~ 
t 
~ 
2 
26 	 ~ 
Logo, pelo P.M., teremos: 
4 x 8 =32 números pares não terminados em zero. 
Juntando os dois resultados encontrados, podemos 
concluir que o total de números pares formados por 
dois algarismos distintos é: 
9 + 32 =41 números. 
5. Três pessoas devem acomodar-se numa fila de 5 cadei­
ras. Considerando-se que todas as posições possíveis 
são distintas entre si, de quantas maneiras podem as 
três pessoas acomodar-se? 
Solução: 
ACONTECIMENTOS N° DE 
OCORRÊNCIAS 
A : A primeira pessoa 	 5, pois todas as cadeiras 
escolhe uma ainda estão vagas. 
cadeira vaga. 
B : A segunda pessoa 4, pois uma das 5 
escolhe uma cadeiras já está 
cadeira vaga. ocupada, restando 
4 vagas. 
C: 	 A terceira pessoa 3, pois duas das 5 
escolhe uma cadeiras já estão 
cadeira vaga. ocupadas, restando 
3 vagas. 
Logo, pelo P.M., teremos: 
5 . 4 . 3 = 60 maneiras. 
COMBINAÇÕES 
Considere um conjunto qualquer com n elementos 
distintos (n;::: 1). 
Chamamos de combinação a cada um dos subconjun­
tos possíveis com p elementos, O ~p ~ n escolhidos entre 
os n elementos que pertencem ao conjunto considerado. 
É importante notar que uma combinação é sempre 
um subconjunto. Portanto, ao trocarmos a ordem dos seus 
elementos, ela permanecerá inalterada. 
EXERcíCIOS RESOI.VIDOS 
1. 	Quantos subconjuntos distintos e com 3 elementos 
podem serformados com os elementos do conjunto 
C = {a, b, c, d, e}? 
Solução: 
Usando o princípio multiplicativo, sabemos que o núme­
ro de maneiras de escolhermos uma seqüência de três 
elementos quaisquer dentre os 5 considerados, é: 
õ 
'9 5 x 4 x 3 60 maneiras 
Q 
~ Entretanto, como a ordem dos elementos nos subcon­g 
juntos não os altera, acabamos contando, no cálculo 
acima,3 x 2 x 1 = 6 vezes cada um dos subconjuntos 
procurados, pois as seqüências obc , acb, cab, cba, 
boc e bca dão o mesmo subconjunto {a,b,c}. 
11; 
Sendo assim, o número de subconjuntos com 3 ele­
mentos será: 
60 + 6 = lO subconjuntos. 
2. 	De quantos modos é possível formar uma comissão 
de 4 alunos escolhidos dentre os lOque se encontram 
numa sala ? 
Solução: 
Como a ordem. em que os alunos são escolhidos não 
altera a comissão formada por eles, o problema é de 
combinações. 
1) Seqüências de 4 alunos escolhidos entre os 10 
possíveis: 
(lO x 9 x 8 x 7) seqüências 
2) Nas seqüências acima, cada comissão de 4 alunos 
foi contada: 
(4 x 3 x 2 x I) vezes 
3) Então, é possível formar a comissão de 4 alunos 
de: 
(lO x 9 x 8 x 7) + (4 x 3 x 2 x I) = 210 maneiras 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
Princípio Aditivo: 
1. 	 Maurício quer trocar o vale-presente que ganhou 
num amigo secreto e a loja informou que ele deve 
escolher, entre os CDs e os livros de que a loja dis­
põe, aquele que lhe agradar. Entre as opções estão 5 
CDs e 6 livros pelos quais Maurício interessou-se, 
mas ele deverá escolher somente um destes. De 
quantas maneiras distintas poderá resultar a escolha 
de Maurício? 
a) II b) 15 c) 18 d) 20 e)30 
Princípio Multiplicativo: 
2. 	 Luciana pretende comprar uma saia e uma blusa. Se 
entre as opções que a loja lhe oferece estão 5 saias 
e 6 blusas que lhe agradam, de quantas maneiras 
poderá resultar a compra pretendida? 
a) 11 b) 15 c) 18 d) 20 e) 30 
3. 	 Para se viajar da cidade A para a cidade B existem 3 
caminhos possíveis. Para se viajar da cidade B para a 
cidade C existem 4 caminhos possíveis. De quantas 
maneiras diferentes alguém poderia viajar da cidade 
A para a cidade C passando por B e depois retomar 
à cidade A passando novamente por B se ela decidir 
usar caminhos diferentes tanto na ida quanto na volta, 
nos dois trechos? 
a) 144 b) 72 c) 36 d) 24 e) 12 
4. 	 Miriam e Flávia vão fazer um lanche e cada uma delas 
deve escolher um sanduíche, uma bebida e uma sobre­
mesa. A lanchonete oferece 6 tipos de sanduíches, 5 
tipos de bebidas e 3 tipos de sobremesas. De quantas 
maneiras diferentes poderá resultar o pedido para o 
9 
~ 
Vestcon 27 
lanche de Míriam e Flávia, juntas, se elas decidirem 
que pedirão tudo diferente uma da outra? 
a) 8.100 
b)3.600 
c) 180 
d) 130 
e)25 
5. 	 Quantos anagramas distintos podem ser formados 
com as letras da palavra PROVA? 
a) 15 b) 20 c) 24 d) 60 e) 120 
6. 	 Quantos anagramas da palavra PROVA começam 
com uma consoante e terminam com uma vogal? 
a)36 b)24 c)12 d)8 e)6 
7. 	 Uma placa de licenciamento é formada por três letras 
seguidas de quatro dígitos. Tanto as letras quanto os 
dígitos podem ser repetidos numa placa. Todas as 26 
letras podem ser usadas em qualquer uma das três 
posições de letras, mas nas posições dos dígitos não 
é permitido que uma placa tenha os quatro dígitos 
iguais a zero. Assim, por exemplo, são permitidas 
placas como AAA 9009 e PAR 2468, entre tantas 
outras, mas não são permitidas placas como CAR 
0000 e HEL 0000. Nessas condições, o total de placas 
diferentes que podem ser feitas pode ser calculado 
corretamente como: 
a) 263x94 
b) 263x(104 -1) 
c) (26x25x24x23)x(lOx9x8x7)d) 263x(IOx9x8x7) 
e) (26x25x24x23)x 94 
8. 	 Observe o esquema abaixo para responder o que se 
pede: 
.6 
A •• ----~----~----~ 
Considere que somente seja permitido mover-se 
para cima nas as linhas verticais ou para a direita 
nas linhas horizontais. Então o total de maneiras 
possíveis de se ir do ponto A até o ponto B é: 
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 
9. 	 De um grupo de 4 finalistas, 3 serão sorteados 
recebendo prêmios diferentes. Quantos resultados 
distintos existem para o resultado desse sorteio? 
a) 3 b) 4 c) 12 d) 24 e) 64 
10. 	 De um grupo de 4 finalistas, 3 serão sorteados 
r-	
recebendo prêmios idênticos. Quantos resultados 
distintos existem para o resultado desse sorteio? 
a)3 b)4 c)12 d)24 e) 64 
11. 	 Quantos são, ao todo, os anagramas da palavra 
ARARA? 
a) 10 b) 12 c) 20 d) 60 e) 120 
12. 	 Sejam A, B, C, ... , H, oito pontos distintos marcados 
sobre uma mesma circunferência. Nessas condições, 
o número que representa o total de diferentes triân­
gulos possíveis com vértices escolhidos entre esses 
pontos será: 
a) 8 b) 21 c) 56 d) 168 e) 336 
13. 	 De quantas maneiras é possível formar uma equipe 
composta por dois homens e duas mulheres esco­
lhidos dentre os integrantes de um grupo onde se 
encontram 5 homens e 6 mulheres? 
a) 25 b) 60 c) 120 d) 150 e) 600 
14. 	 Sejam P, Q, R e S quatro pontos distintos sobre uma 
reta r e sejam T, U e V, X e Z cinco pontos distintos 
sobre uma reta s, paralela a r e distinta desta. Nes­
sas condições, o total de triângulos possíveis com 
vértices em três desses nove pontos é: 
a)30 b) 35 c) 70 d) 84 e) 504 
15. 	 Cinco pessoas encontram-se sentadas em volta de 
uma mesa redonda. De quantas maneiras diferentes 
elas podem trocar de lugar entre si de modo que pelo 
menos uma delas termine com pelo menos um de 
seus vizinhos sentado em outra posição? 
a) 20 b)21 c) 22 d)23 e) 24 
QUESTÕES SELECIONADAS DE 
CONCURSOS ANTERIORES 
16. 	 (AFCErrCU/1999) A senha para um programa de 
computador consiste em uma seqüência LLNNN, 
onde "L" representa uma letra qualquer do alfabeto 
normal de 26 letras e "N" é um algarismo de O a 
9. Tanto letras como algarismos podem ou não ser 
repetidos, mas é essencial que as letras sejam intro­
duzidas em primeiro lugar, antes dos algarismos. 
Sabendo que o programa não faz distinção entre 
letras maiúsculas e minúsculas, o número total de 
diferentes senhas possíveis é dado por: 
a) 226 310 
b) 262 103 
c) 226 2 10 
d) 26! lO! 
e) C26.2 CIO,) 
17. 	 (Fisc.TrabI1998) Três rapazes e duas moças vão ao 
cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na 
mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles 
podem distribuir-se nos' assentos de modo que as duas 
moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual a 
a)2 b)4 c) 24 d)48 e) 120 
18. 	 (MPOG/Gestor/2000) O número de maneiras di­
ferentes que 3 rapazes e 2 moças podem sentar-se 
em uma mesma fila de modo que somente as moças 
fiquem todas juntas é igual a: 
a) 6 b) 12 c) 24 d)36 e) 48 
19. 	 (AFC/SFC/2000) Se o conjunto X tem 45 subcon­
juntos de 2 elementos, então o número de elementos 
de X é igual a: 
a) 10 b)20 c)35 d) 45 e) 90 
g 
-g " 
㺠
CS 
g
a: 
..."... 
Vestcon·28 
S 
i5 
'9 
o 
j; 
Õ 
tia: 
20. 	 (AFC/2002) Na Mega-Sena são sorteadas seis dezenas 
de um conjunto de 60 possíveis (as dezenas sorteáveis 
são 01,02, ... , 60). Uma aposta simples (ou aposta mí­
nima), na Mega-Sena, consiste em escolher 6 dezenas. 
Pedro sonhou que as seis dezenas que serão sorteadas 
no próximo concurso da Mega-Sena estarão entre as 
seguintes: 01,02,05, 10, 18,32,35,45. O número 
mínimo de apostas simples para o próximo concurso 
da Mega-Sena que Pedro deve fazer para ter certeza 
matemática de que será um dos ganhadores caso o 
seu sonho esteja correto é: 
a)8 b)28 c) 40 d)60 e) 84 
21. 	 (MPU/AnalistaAdministrativo/2004) Quatro casais 
compram ingressos para oito lugares contíguos em 
urna fila no teatro. O número de diferentes maneiras 
em que podem sentar-se de modo que A) homens e 
mulheres sentem-se em lugares alternados; e que 
B) todos os homens sentem-se juntos e todas as 
mulheres sentem-se juntas, são, respectivamente, 
a) 1.112 e 1.152 
b) 1.152 e 1.100 
c) 1.152 e 1.152 
d) 384 e 1.112 
e) 112 e 384 
22. 	 (MRFJOfic.Chanc.l2002) Chico, Caio e Caco vão ao 
teatro com suas amigas Biba e Beti, e desejam sentar-se, 
os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de 
maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos 
assentos de modo que Chico e Beti fiquem sempre 
juntos, um ao lado do outro, é igual a: 
a) 16 b)24 c) 32 d)46 e) 48 
23. 	 (AFfN/1998) Uma empresa possui 20 funcionários, 
dos quais 10 são homens e 10 são mulheres. Desse 
modo, o número de comissões de 5 pessoas que se 
pode formar com 3 homens e 2 mulheres é: 
a) 5.400 
b) 165 
c) 1.650 
d) 5.830 
e) 5.600 
24. 	 (TFC/1997) Uma empresa do setor têxtil possui 10 
funcionários que têm curso superior emAdministração 
de Empresas. O diretor de recursos humanos recebeu a 
incumbência de escolher, entre esses 10 funcionários, 
um gerente financeiro, um gerente de produção e um 
analista de mercado. Como todos os 10 funcionários 
são pessoas capazes para desempenhar essas funções, 
então as diferentes maneiras que o diretor de recursos 
humanos pode escolhê-los é igual a: 
a) 720 b)740 c) 820 d) 920 e) 1040 
25. 	 (Mare/1998) Para entrar na sala da diretoria de uma 
empresa é preciso abrir dois cadeados. Cada cade­
ado é aberto por meio de uma senha. Cada senha 
é constituída por 3 algarismos distintos. Nessas 
condições, o número máximo de tentativas para 
abrir os cadeados é 
a) 518.400 
b) 1.440 
c) 720 
d) 120 
e) 54 
Noç6ES DE PROBRBIUDRDES 
Definições 
1) 	 Fenômenos aleatórios ou experimentos alea­
tórios são acontecimentos que, mesmo repetidos 
diversas vezes sob as mesmas condições, podem 
apresentar resultados diferentes de forma impre­
visível. 
2) 	Espaço amostrai ou conjunto universo é o 
conjunto de todos os resultados possíveis de um 
fenômeno aleatório. 
3) Evento é qualquer subconjunto do espaço amostrai. 
4) 	Evento certo é o evento que compreende todos 
os elementos do espaço amostraI, ou seja, é um 
subconjunto do espaço amostraI. 
5) Evento impossível é o subconjunto vazio. 
6) Evento elementar é qualquer subconjunto unitário 
do espaço amostraI. 
7) Eventos mutuamente exclusivos são eventos que 
têm intersecção vazia dois a dois. 
8) 	Eventos complementares ou contrários são dois 
eventos mutuamente exclusivos tais que a sua 
união seja igual ao espaço amostraI. 
Probabilidade de um evento 
A probabilídade de um evento é um número com as 
seguintes propriedades: 
• Está sempre compreendida no intervalo de Oa 1. 
O::: P(A) ::: I 
• A probabilidade do evento certo é sempre 1. 
P(U) = 1 
• A probabilidade do evento impossivel é sempre zero. 
P(0)= O 
Probabilidade de um evento num espaço amostrai 
equiprovável 
Dizemos que um espaço amostrai é equiprovável 
quando a probabilidade de ocorrência de cada um dos 
seus eventos elementares for igual a: 
1 
n(U) 
Considere que o número de elementos de um espaço 
amostraI equiprovável seja n(U) e que o número de ele­
mentos de um evento A seja n(A). 
A probabilidade de ocorrer o evento A será: 
P(A)= n(A) 
n(U) 
Regra do "ou" - Dados dois eventos, A e B, a pro­
babilidade de que ocorram A ou B é igual a: 
P(AuB)= P(A) + P(B)-P(A(lB) 
c 
vJ:: 	 29 
Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos, então 
teremos: 
P(AuB) =P(A) + P(B) 
Regra do "e" Dados dois eventos, A e B, a proba­
bilidade de que ocorram A e B é igual a: 
p(An B) = P(A) . P(B/A) 
onde P(BIA) significa a probabilidade de ocorrer B 
sabendo que A já tenha ocorrido. 
Eventos independentes - Dois eventos, A e B, são 
independentes quando a ocorrência de um deles não 
afeta a probabilidade de ocorrência do outro: 
P(B/A) = P(B) e P(AIB) = P(A) 
Quando A e B são eventos independentes, a probabi­
lidade de que ocorram A e B fica igual a: 
r-
P(A n B) = P(A) . P(B) 
Distribuição Binomial 
Considere queA e B sejam dois eventos complemen­
tares: 
AnB=0 
e 
Au B = U (sendo U o espaço amostrai) 
Valerão as seguintes propriedades: 
• 	 P(A UB) = P(A) + P(B) = I 
• 	 p(AnB) O 
Se as probabilidades dos eventos A e B forem, 
respectivamente, P(A) = a e P(B) b, então a 
probabilidade de ocorrer o evento A exatamente 
k vezes em n tentativas será dada por: 
Pk(A)=C~ x a k X bn- k 
onde C~ significa a combinação de n elementos, 
tomados k a k. 
Exemplo: 
Um casal saudável planeja ter quatro filhos. Qual é 
a probabilidade de que este casal tenha exatamente 
dois meninos? 
Solução: 
A = nascer um menino ---t P(A) = 1/2 
B nascer uma menina ---t P(B) = 1/2 
n = 4 (4 nascimentos) 
k = 2 (2 meninos) 
,~ 
P2(A)=C~ . Gr(~)4-2 
P (A)= 4 ·3 .!. I 3 
2 2·] 	. 4 '"4=8 
Então, a probabilidade de que o casal tenha 
exatamente dois meninos é de 3/8. 
Obs.: podemos também dizer que a probabilidade encon­
trada acima é de 37,5% pois: 
3
-=0,375 =37,5%
8 
EXERcíCIOS PROPOSTOS 
1. 	Uma urna contém 20 bolas numeradas de I a 20. 
Sorteando-se uma delas, qual é a probabilidade de 
que ela tenha um número múltiplo de 5? 
2. 	Um dado é lançado e sua face superior é observada. 
Qual é a probabilidade de que ocorra um número 
maior que 4? 
3. 	Uma urna contém 10 bolas numeradas de I alO. Sor­
teando-se uma delas, qual é a probabilidade de que ela 
tenha um número que seja múltiplo de 2 ou de 3? 
4. 	Uma urna contém 30 bolas numeradas de I a 30. 
Sorteando-se urna delas, qual é a probabilidade de que 
ela tenha um número que seja mútliplo de 2 e de 3? 
5. 	Qual é a probabilidade de que a equação ax = b te­
nha raiz inteira se os coeficientes a e b pertencem ao 
conjunto {I, 2, 3, 4, 5, 6}, podendo, eventualmente, 
ser iguais? 
6. 	Uma urna contém 5 bolas verdes, 4 bolas brancas e 
3 bolas azuis. Sorteia-se uma bola. Qual é a probabi­
lidade de que ela seja branca ou azul? 
7. 	Uma urna contém 5 bolas verdes, 4 bolas brancas e 
3 bolas azuis. Sorteia-se uma bola. Qual é a probabi­
lidade de que ela não seja branca nem azul? 
8. 	Em um grupo de 500 estudantes, 80 estudam Mate­
mática, 150 estudam Direito e 10 estudam as duas 
disciplinas. Um aluno é escolhido ao acaso. Qual é 
a probabilidade de que ele estude Direito mas não 
estude Matemática? 
9. 	Em um grupo de 500 estudantes, 80 estudam Mate­
mática, 150 estudam Direito e 10 estudam as duas 
disciplinas. Um aluno é escolhido ao acaso. Qual éa 
probabilidade de que ele estude Direito, sabendo-se 
que ele estuda Matemática? 
10. 	Com os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5 são formados todos os 
números possíveis de 4 algarismos. Sorteia-se um 
deles. Qual é a probabilidade de que ele seja ímpar? 
11. 	Uma urna contém 5 bolas verdes e 3 bolas azuis. Duas 
bolas são retiradas ao acaso e sem reposição. Qual é 
a probabilidade de que as duas bolas sejam azuis? 
12. Seis pessoas, entre elas Maria e José, são dispostas 
em fila ao acaso. Qual a probabilidade de Maria e José 
ficarem um ao lado do outro? 
13. 	 Uma moeda é lançada 6 vezes. Qual é a probabilidade 
de que ocorram exatamente 3 caras? 
~ 
o 
~ 
S 
OI: 
r­
30 	 ~ 
14. 	 Um dado é lançado 3 vezes. Qual é a probabilidade 
de que ocorra o número 5 exatamente duas vezes? 
15. 	 (TFC/I997) A probabilidade de Agenor ser aprova­
do no vestibular para o curso de Medicina é igual 
a 30%. A probabilidade de Bento ser aprovado no 
vestibular para o curso de Engenharia é igual a 10%. 
Sabendo-se que os resultados dos respectivos exames 
são independentes, então a probabilidade de apenas 
Agenor ser aprovado no vestibular para o curso de 
Medicina é: 
a) 0,10 b) 0,27 c) 0,30 d) 0,45 e) 0,50 
16. 	 (AFTN/1998) Em uma cidade, 10% das pessoas 
possuem carro importado. Dez pessoas dessa ci­
dade são selecionadas, ao acaso e com reposição. 
A probabilidade de que exatamente 7 das pessoas 
selecionadas possuam carro importado é: 
a) (0,1)' (0,9)3 
b) (0,1)3 (0,9)7 
c) 120 (0,1)' (0,9)3 
d) 120 (O, I) (0,9)' 
e) 120 (0,1)7 (0,9) 
17. 	 (MPUlTécnico Administrativo/2004) Carlos sabe que 
Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as 
informações que dispõe, ele estima corretamente que 
a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é 3n, que 
a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e 
que a probabilidade de ambas, Ana e Beatriz, estarem 
hoje em Paris é In. Carlos, então, recebe um telefo­
nema de Ana informando que ela está hoje em Paris. 
Com a informação recebida pelo telefonema de Ana, 
Carlos agora estima corretamente que a probabilidade 
de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a 
a) In. b) 1/3. c) 2/3. d) 517. e) 417. 
18. 	 (MPUIT éc-Controle/2004) Os registros mostram que 
a probabilidade de um vendedor fazer uma venda em 
uma visita a um cliente potencial é 0,4. Supondo que 
as decisões de compra dos clientes são eventos inde­
pendentes, então a probabílidade de que o vendedor 
faça no mínimo uma venda em três visitas é igual a 
a) 0,624. c) 0,216. e) 0,784. 
b) 0,064. d) 0,568. 
i 
19. (MPUlTéc-Controle/2004) André está realizando 
um teste de múltipla escolha, em que cada questão 
apresenta 5 alternativas, sendo uma e apenas uma 
correta. Se André sabe resolver a questão, ele marca 
a resposta certa. Se ele não sabe, ele marca alea­
toriamente uma das alternativas. André sabe 60% 
das questões do teste. Então, a probabilidade de ele 
acertar uma questão qualquer do teste (isto é, de uma 
questão escolhida ao acaso) é igual a: 
a) 0,62. b) 0,60. c) 0,68. d) 0,80. e) 0,56. e 
.!!: 
20. 	 (MPUlTéc-Controle/2004) Quando Lígia pára em 8a: um posto de gasolina, a probabilidade de ela pedir 
para verificar o nível de óleo é 0,28; a probabilidade 
de ela pedir para verificar a pressão dos pneus é O, II 
e a probabilidade de ela pedir para verificar ambos, 
cc 
óleo e pneus, é 0,04. Portanto, a probabilidade de 
Lígia parar em um posto de gasolina e não pedir nem 
para verificar o nlvel de óleo e nem para verificar a 
pressão dos pneus é igual a 
a) 0,25. b) 0,35. c) 0,45. d) 0,15. e) 0,65. 
21. 	 (MRE/Ofic.Chanc.l2002) Em um grupo de cinco 
crianças, duas delas não podem comer doces. Duas 
caixas de doces serão sorteadas para duas diferentes 
crianças desse grupo (uma caixa para cada uma das 
duas crianças). A probabilidade de que as duas cai­
xas de doces sejam sorteadas exatamente para duas 
crianças que podem comer doces é: 
a) 0,10 b) 0,20 c) 0,25 d) 0,30 e) 0,60 
22. 	 (MPOG/Espec. Pol. Públ. e Gest. Gov./2002) Um 
juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é 
todo amarelo, o outro é todo vermelho e o terceiro 
é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num 
determinado jogo, o juiz retira, ao acaso, um cartão 
do bolso e mostra, também ao acaso, uma face do 
cartão a um jogador. Assim, a probabilidade de a 
face que o juiz vê ser vermelha e de a outra face, 
mostrada ao jogador, ser amarela é igual a: 
a) 1/6 b) 1/3 c) 2/3 d) 4/5 e) 5/6 
-" 
23. 	 (ESAFlFisc.Trab./1998) De um grupo de 200 estu­
dantes, 80 estão matriculados em Francês, 110 em 
Inglês e 40 não estão matriculados nem em Inglês 
nem em Francês. Seleciona-se, ao acaso, um dos 
200 estudantes. A probabilidade de que o estudante 
selecionado esteja matriculado em pelo menos uma 
dessas disciplinas (isto é, em Inglês ou em Francês) 
é igual a 
a) 30/200 c) 1501200 e) 190/200 
b) 130/200 d) 160/200 
EQUAÇÕES DO 10 GRAU 
São todas as equações redutíveis à forma: 
ax+b=O (coma~O) 
Raiz 
É qualquer valor para x que satisfaça a equação. 
Toda equação do I G grau na forma dada acima tem 
uma única raiz real dada por 
- b/a 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
1. Resolva a equação 3x + 7 = 2x - 15 
Solução: 
Subtraindo 7 de cada membro da equação teremos: 
5x+7 	 2x- 14 
~ 
5x 	 2x- 21 
-------- -
...,. 
Vestcon 31 
Subtraindo 2x de cada membro da equação vem: 
5x 2x- 21 
::2.! ::2;[ 
3x - 21 
Dividindo por 3 cada membro da equação obtemos: 
:=:3x - 21 
±.l +3 
x -7 
Então a raiz da equação dada é x = -7. 
EXERdclOS PROPOSTOS 
1. Julgue os itens em certos (C) ou errados (E). 
A raiz da equação 5xnatureza ímpar. nem da 
ímpar com a par. Isto tem uma única exceção. que é o 
princípio do par. o número 2, que não admite é3 divisão 
em partes desiguais, porque ele é formado por duas u­
nidades e, se isto pode ser dito, do primeiro número 
par, 2. 
Para exemplificar o texto acima. considere o número 
10, que é par, pode ser dividido como a soma de 5 e 5, 
mas também como a soma de 7 e 3 (que são ambos impa­
res) ou como a soma de 6 e 4 (ambos são pares); mas 
nunca como a soma de um número par e outro impar Já o 
número 11, que é ímpar pode ser escrito como soma de 8 
e 3, um par e um ímpar. Atualmente, definimos números 
pares como sendo o número que ao ser dividido por dois 
têm resto zero e números ímpares aqueles que ao serem 
dívididos por dois têm resto diferente de zero. Por exemplo. 
12 dividido por 2 têm resto zero, portanto 12 é par. Já o 
número 13 ao ser dividido por 2 deixa resto 1, portanto 13 
é impar. 
REGRAS DE DIVISIBILlDADE 
DIVISIBILlDADE POR 2 
Um número é divisível por 2 quando é par. 
Números pares são os que terminam em O, ou 2, ou 4, 
ou 6, ou 8. 
Ex: 42 -100 -1.445.086·8 - 354 - 570 
DIVISIBILlDADE POR 3 
Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus 
algarismos é divisível por 3. 
Ex : 123 (S= 1 + 2 + 3 =6) - 36 (S=9) - 1.478.391 ( 
S=33) - 570 (S=12) 
DIVISIBILlDADE POR 4 
Um número é divisível por 4 quando os dois últimos ai· 
garismos formam um número divisível por 4. 
Ex: 956 - 844 - 1.336 - 120 - 8.357.916 - 752 - 200 
DIVISIBILlDADE POR 5 
Um número é divisível por 5 quando termina em Oou 5 
Ex : 475 - 800 - 1.267.335 - 10 - 65 
DIVISIBILlDADE POR 6 
Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e3. 
ao mesmo tempo. 
Ex: 36 - 24 - 126 - 1476 
DIVISIBILlDADE POR 7 
Tomar o último algarismo e calcular seu dobro. Subtrair 
esse resultado do número formado pelos algarismos res­
tantes. Se. o resultado for divisível por 7 então. o número 
original também será divisível por 7. 
Ex1. 
23ª-: 8 x2 =16 
23 - 16 = 7 : como 7 é divisível por 7 , 238 também é 
divisível. 
http:Sejama.hE
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/index.html
Apostilas 
69~: 3 x 2 =6 
69 - 6 = 63 
6~: 3 x2 =6 
6 - 6 = O: como Oé divisivel por 7,693 também é divi­
síveL 
Ex2 : 
23§: 5 x 2 =10 
23 -10 =13 : como 13 não é divisível por 7,235 tam­
bém não é divisível. 
DIVISIBILlDADE POR 8 
Um número é divisível por 8 quando os três últimos ai· 
garismos formam um número divisível por 8. 
Ex : 876.400 - 152 - 245.328.168 
DIVISIBILlDADE POR 9 
Um número é divisível por 9 quando a soma dos seus 
algarismos é divisível por 9. 
Ex: 36· 162 - 5463 - 5.461.047 
DIVISIBILlDADE POR 10 
Um número é divisível por 10 quando termina em O. 
Ex: 100 - 120 -1.252.780 -1.389.731.630 
DIVISIBILlDADE POR 11 
Quando a diferença entre as somas dos algarismos de 
ordem ímpar e de ordem par, a partir da direita for múltipla 
de 11. 
Ex: 7.973.207 
S (ordem impar) =7 + 2 + 7 + 7 = 23 
S (ordem par) =O+ 3 + 9 :: 12 
diferença =11 
MíN1MO MÚLTIPLO COMUM E 
MÁXIMO DIVISOR COMUM 
NÚMEROS PRIMOS 
Número Primo - Éaquele que só tem dois divisores: 1 e 
ele próprio. 
São Números Primos: 2, 3, 5, 7,11,13,17,19, '" etc. 
1 não é primo, tem apenas um divisor. 
2 é o único número par que é primo. 
NÚMEROS COMPOSTOS 
São números que possuem mais de dois divisores. 
Ex. : 4, 6, 8, 9,12,14,15, ... etc. 
Obs.: 
a) O número 1 não é composto e nem primo. 
. ..;1. 
b) Zero também. não é composto e nem primo (pos­
~'sui infinitos divisores)' 
Decomposição de um número em fatores primos, 
~' 
-Divide - se o número dado pelo seu menor divisor pri­
mo. 
-Procede-se da mesma maneira com cada quociente 
obtido, até que se tenha o quociente 1. 
Ex.: 
72 
36 
18 
9 
3 
1 
Exercícios 
2 
322 72 = 23 
2 
3 
3 
e 2 e 3 são primos. 
Decompor em fatores primos. 
1) 36 2) 42 3) 896 
Respostas: 1) 22.32 2) 2.3,7 3) 27
. 7 
_/ 
'\ 
MíNIMO MIJLTIPLO COMUM (M.M.C.) 
m.m,c. entre dois números é o menor dos múltiplos co­
muns entre os números, excluido o zero. 
Ex.: "l, 
múltiplos de 10 = O,20, 30,40, ... . ,/ 
múltiplos de 15 = O,15. 30, 45, 60,... 
Vemos que 30 é múltiplo de 10 e que 30 também é múl­
tiplo de 15, então 30 é m.m.c. entre 10 e 15 escreve-se 
m.m.c. (10,15) = 30 
Regra Prática - Decompõem-se os dois números em fa­
tores primos. simultaneamente. 
Ex.: 
10, 15 2 
5,15 3 
5, 5 5 
, 1 2.3.5 = 30 (m.m.c.) 
Exercícios 
Calcule o m.m.c. entre: 
1) 18 e 24 2) 60 e 240 3)18,42 e 64 
Respostas: 1) 72 2)240 3)4032 
MÃXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.) 
Sejám os divisores de 12 =O (12) e os divisores de 18 
=O (18): 
0(12)= (1,2,3.4.6, 12} e 
Matemática 8 1 
Apostilasr-­ -
0(18) = (1,2,3,6,9, 18} 
note que 6 é o maior divisor comum entre 12 e 18.r 
Regra Pratica (Divisões Sucessivas) 
2 
18 12 6 
6 I O 
-to-rn.d.c. 
/-~-
t 
F~ESTO ZERO 
Exercicios: 
r-­
Determine o m.d.c. entre:r­
1) 36 e 24 2) 48 e 72 
3) 384 e 120 4) 72,48 e 240 
Respostas: 1) 12 2) 24 3) 24 4) 24 
~ 
Problemas: 
1) No Brasil o presidente permanece 5 anos no 
cargo, os senadores permanecem 8 anos e os de­
putados federais permanecem 4 anos. Havendo elei­
ções para os três cargos em 1994, em que ano as elei­
r- ­ ções para estes cargos ocorrerão simultaneamente. 
2) Três navios fazem viagem entre dois portos. O 
primeiro cada 4 dias, o segundo cada 6 dias e o tercei­
ro cada 9 dias. Tendo estes navios partido juntos, de­
pois de quanto dias voltarão a sair juntos novamente? 
3) Duas rodas de uma engrenagem têm 14 e 21 
dentes respectivamente. Cada roda tem um dente es­
tragado. Se num dado instante estiverem em contato 
os dois dentes estragados, depois de quantas voltas se 
repetira esse encontro? 
Respostas: 
1) em 2034 2) 36 dias 3) 42 voltas 
RADICIAÇÃO 
Sejam a e b E Zen E IN 
temos i8 = b. Se a Oexiste Fu. Se a O, então";;; . .J;; -= a 
A terceira e a quarta propriedades vão nos ajudar a o­
perar com as raízes quadradas: 
,--- r- ~ 
111- Se a e b são positivos. então, -.J uh = -.J a ...../h 
IV - Se a e b são positivos (e b Se a e b são positivos. 
r;; j;; 
então '- =­
Vh .Jh 
Observe agora o exemplo seguinte, no qual aplicare­
mos essas propriedades na solução de uma equação: 
EXEMPLO 
3i = 7 
Solução: 
A primeira coisa a fazer é dividir por 3 para isolar a in­
cógnita. 
3x ~ 7 
, , 
-) -) 
Agora vamos extrair a raiz quadrada. Neste caso, não 
precisaremos colocar o sinal + do lado direito porque o 
enunciado só nos pede para determinar a solução positiva. 
Temos então: . 
r.:;
x=~3 
Observe agora como usamos as propriedades para dar 
a resposta de outra forma. Pela propriedade IV, podemos 
escrever 
-./7
x-­
o ­ -J3 
É sempre incômodo ter uma raiz no denominador de 
uma fração. Para resolver isso, multiplicamos o numerador 
e o denominador da fração pelo próprio denominador. 
Chamamos isto de racionalizar o denominador. 
-./7x-J3
x-----=. - -J3x-J3 
.-­
Matemática 9 
r­
I 
Apostilas 
Pelas propriedades 11 e 111 temos que: 
.fix.fi =3 e ainda, fixJ3 =-./?x3 =.fil. 
Então, 
J2i 
x=­
3 
NÚMEROS RACIONAIS (FRAÇÕES) 
("\
U 1 
2 
Um circulo foi dividido em duas partes iguais, Dizemos 
que uma unidade dividida em duas partes iguais e indica­
mos 1/2, 
onde: 1 =numerador e 2 =denominador 
2 
3 
Um círculo dividido em 3 partes iguais indicamos (das 
três partes hachuramos 2), 
Quando o numerador é menor que o denominador te­
mos,uma fração própria.+ 3 = 3x + 19 é: 
I) um quadrado perfeito. 
2) um número primo. 
3) um cubo perfeito. 
4) a raiz cúbica de 2. 
5) um número par. 
2. Julgue os itens em certos (C) ou errados (E). 
Dada a equação do primeiro grau Ax + B:= 0, pode-se r-
afirmar, quanto à sua raiz, que: 
I) será positiva sempre que A e B tenham o mesmo 
sinal. 
2) será negativa sempre que A e B tenham sinais 
opostos. 
3) será inteira sempre que A for igual a I. 
4) será inteira somente se A for igual a 1. 
5) será igual a zero somente se B for igual a zero. 
3. Resolvendo a equação 
x+3 x+2 -I 
-2---3-=2 
obteremos: 
1)x=-8 4)x=+5 
,~ 2)x=+8 5) x -5/8 
3)x=-5 
4. Resolvendo a equação 
I+x _ 2-x -1.=0 
632 
obteremos: 
a)x I d)x=4 
b)x=2 e)x=5 
c)x= 3 
5. Resolvendo a equação 
x-I3+x -(1+x)=T
2 
obteremos: 
a)x=-l d)x=5 
b)x= I e)x=7 
c)x=3 
6. Resolvendo a equação 
3x-1 4)(+2 2)(-4 )(-5 
2 4 3 6 
obteremos: 
a)x= -1/3 
b)x= 3/4 
c)x=7/2 . 
d)x= 2/7 
e)x= 4/3 
7. Resolvendo a equação 
2(x-I) 3(1+ x) 1 x-I--+--=--­
3 2 2 3 
obteremos: 
a)x -1,75 
b)x=3/4 
c)x= 2,8 
d)x=O 
e)x= 0,3333 .... 
SISTEMAS LINEARES 
É todo sistema de m equações a n incógnitas do tipo: 
allx. + al2x Z + alnxn ::::: b. 
az.x. + a 2Z x2 + a 2n x. b2 
al1x. + an x2 + alnx n = b3 
I 
S= 
am1x I + a m2x2 ••••• + am.x. bm 
onde: 
XI ' ' ... , X n - são as incógnitas
x2 
a.. - são os coeficientes das incógnitas 
I) 
b1 ' b2 ' ... , b. - são os termos independentes. 
Exemplos: 
10 - O sistema SI' abaixo, é um sistema linear com 
3 equações e 3 variáveis. 
3x + 2y z = 2 
SI -2x + 3y + 4z = 7 
[ x + Y + 5z::::: 9 
2° - O sistema S 2 ' abaixo, é um sistema linear com 
4 equações e 3 variáveis. 
3x + 2y + 2y - z = 2 
S = -2x + 3y + 3y + 4z = 7 
2 X + Y + Y + 5z = 9[ 
4x + Y + Y - 3z = 11 
g 
o 
'9 
3i 
CS 
ti 
~ 
9 
~32 	 Vestcon 
30- O sistema S) , abaixo, é um sistema linear homo­
gêneo com 3 equações e 3 variáveis. 
2x + 3y z = O 
S) = -2x + 4y + 2z = O 
[ 
x + Y + 3z O 
Este sistema é dito homogêneo pois todos os termos 
independentes são nulos. 
Soluções de um Sistema Linear 
Dizemos que um sistema de equações lineares com n 
incógnitas, xl' x2' x)' ... , x ' admite como solução a seqüên­
cia ordenada (ri' r2 , r) , ... 
n 
r ) se, e somente se, substituindo 
XI ri' x2 = r2 ' x) r) ..... x 
n
= r em todas as equações do 
sistema, elas se tornarem todas ~erdadeiras. 
Exemplo: 
O sistema 
X +y =10 
[ X -y =4 
tem uma solução igual a (7 , 3) pois substituindo x =7 ey = 3 
em cada uma das duas equações do sistema teremos: 
(7 ) + ( 3) =10 (verdadeiro) 
[ ( 7) - ( 3) =4 ( verdadeiro) 
Um sistema linear pode ter mais de uma solução e 
pode até não ter solução alguma. 
Se um sistema linear qualquer: 
tem uma única solução é chamado determinado; 
tem várias soluções - é chamado indeterminado; 
não tem solução - é chamado impossível. 
Propriedades 
I -Um sistema linear homogêneo tem, sempre, pelo me­
nos uma solução pois XI =O , x2 =O , xJ =O , ••• x n =Osempre 
tomará todas as equações do sistema homogêneo verdadeiras.­
A solução (O, O, O, •.., O) é chamada solução trivial. 
2 - Um sistema com n equações e n variáveis terá 
uma única solução (sistema determinado) se e somente 
se o determinante formado pelos coeficientes do sistema 
for diferente de zero. 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 
10 GRAU COM DUAS VARIÁVEIS 
Um sistema de equações com duas variáveis, x e y, 
é um conjunto de equações do tipo 
9 
\; 
ax + by =c (a, b, c E R)'9 
o 
ou de equações redutíveis a esta forma. ~ 
i c Exemplo: 
2X -3y 1 
{3x+3y= 9 
Resolver um sistema significa encontrar todos os pa­
res ordenados (x; y) onde os valores dex e de y satisfazem 
a todas as equações do sistema ao mesmo tempo. 
Exemplo: 
No sistema indicado no exemplo anterior, o único 
par ordenado capaz de satisfazer às duas equações 
simultaneamente é 
(x; y) =(2; 1) 
Ou seja, x =2 e y = 1 
Resolução algébrica 
Dentre os vários métodos de resolução algébrica 
aplicáveis aos sistemas do 10 grau, destacamos dois: 
• método da adição 
• método da substituição 
Para exemplificá-los, resolveremos o sistema seguinte 
pelos dois métodos: 
2X+ y =7 (I) 
{3x+ 2y = 12 (11) 
A) Método da Adição 
1° passo: 	 Multiplicamos as equações por números 
escolhidos de forma a obtermos coeficientes 
opostos em uma das variáveis. 
No caso, poderemos multiplicar a equação 
(I) por-2: 
x(-2)
2x+y=7 )--4x-2y=-14 
:::::) {--4X-2Y=-14 (I) 
3x + 2y =12 (11) 
Observe que a variável ytem, agora, coeficien­
tes opostos. 
2° passo: 	 Somamos membro a membro as equações 
encontradas: 
--4x-2y -14 
+ 3x + 2y-12 
-lx+0=-2 
A variável y foi cancelada restando apenas 
a variável x na última equação. 
3° passo: 	 Resolvemos a equação resultante que tem 
somente uma variável: 
-Ix =-2 
x=2 
4° passo: 	 O valor da variável encontrada é substituído 
numa das equações iniciais que contenha 
também a outra variável e, então, resolvemos 
a equação resultante: 
2x+y=7 
2(2)+y=7 
4+y 7 
y=7-4 
Y 3 
...,.. 
Vestcon 33 
5" passo: Escrevemos o conjunto-solução: 
S = {(2; 3)} 
B) Método da Substituição 
10 passo: 
2" passo: 
3° passo: 
4" passo: 
Isolamos uma das variáveis em uma das equa­
2X +y=7 -,;y =7-2x
ções dadas: 
{3x+2y=12 
a variável isolada é substituída na outra equa­
ção e, então, resolvemos a equação resultante 
que tem somente uma variável: 
3x+2y= 12 
3x + 2(7 - 2x) = 12 
3x+ 14-4x= 12 
3x 4x 12 -14 
-lx=-2 
x=2 
Levamos o valor encontrado para a equação 
que tem a variável isolada e calculamos o 
valor desta: 
y=7-2x 
y 7 -2 (2) 
y=7 4 
y 3 
Escrevemos o conjunto-solução: 
S {(2; 3)} 
Sistema indeterminado 
Se, ao tentarmos encontrar o valor de uma das variá­
veis, chegarmos a uma expressão do tipo 
0=0 
ou 
3=3 
ou qualquer outra que expresse uma sentença sempre 
verdadeira, o sistema terá infinitas soluções e diremos 
que ele é possível mas indeterminado. 
Sistema impossível 
r-
Se, ao tentarmos encontrar o valor de uma das variá­
veis, chegarmos a uma expressão do tipo 
0=3 
ou 
2 5 
.. ~ ou qualquer outra que expresse uma sentença sempre 
falsa, o sistema não terá qualquer solução e diremos 
que ele é impossível. 
o conjunto-solução de um sistema impossível é 
vazio. 
Resolução gráfica 
Vamos considerar um sistema do 1" grau com duas 
variáveis e duas equações: 
aX+bY=C (r) 
{ mx+ny p (s) 
Cada equação do sistema representa uma reta. 
Cada ponto comum às retas do sistema corresponde 
a uma solução. Então, as pergunta-chaves são: 
As retas do sistema têm algum ponto em comum? 
Quantos? 
Graficamente, existirão três situações possíveis: 
I") Retas Concorrentes 
Se as retas forem concorrentes o sistema terá uma única 
solução. Será um sistema possível e determinado. 
y, 
s 
,r! 'x Somente um ponto coincidente. 
2") Retas Paralelas Coincidentes 
Se as retas forem coincidentes o sistema terá infi­
nitas soluções. Será um sistema possível mas inde­
terminado. 
y, 
r=s 
x Infinitos pontos coincidentes. 
3°) Retas Paralelas Distintas 
Se as retas forem paralelas e distintas o sistema não terá 
qualquer solução. Será um sistema impossível. 
Nenhum ponto coincidente. 
EXERcíCIOS PROPOSTOS 
1. Resolva os seguintes sistemas: 
a) {X+ y =5 
x-y=l 
b) {X+2Y=7 
x-2y=3 
c} {X+2Y=11 
x y=5 
d) {2X+ Y=11 
2x-3y=-1 
X+2Y=1 
e) {2x-y= 7 
f) {X+3Y=-4 
2x-y 6 
g) {3X - 7y = I3 
4x+5y=3 
2X+5Y= 17 
h) {3x-2y=16 
g 
~ 
9 
ai 
~ º
cc 
...,. 
Vestcon34 
~ 
'9 
o 
.i 
I 
Considere o sistema abaixo, nas incógnitas x e y, para 
responder as questões 2 a 4. 
2X + y 5 
[ 6x + py = q 
2. 	 O sistema será indeterminado se e somente se 
a) p = 3 e q = 15 d) P :;{; 3 e q:;(; 15 
b)p=3 e q:;{;15 e)p:;{;3 e qualquer que seja o 
c)p:;{;3 e q=15 valor de q. 
3. O sistema será impossível se e somente se 
a) p=3 e q= 15 c)p:;{;3 e q= 15 
b)p=3eq:;{;15 d)p:;{;3eq:;{;15 
e)p:;{;3 	 equalquerquesejao 
valor de q. 
4. O sistema será determinado se e somente se 
a) p=3 e q= 15 c)p:;{;3 e q 15 
b) p = 3 e q:;(;15 d) p:;{; 3 e q:;(; 15 
e)p:;{;3 	 equalq1.lerquesejao 
valor de q. 
5. Resolvendo o sistema abaixo 
x+ y =27 
x +z =35
[ y 	+z =38 
encon traremos 
a) x = 15 c)z=15 
b) y = 12 d) x = 12 
6. Resolvendo o sistema abaixo 
encontraremos 
a) x=3 
b) y I 
[~ 
+y +z 6 
-y +z "8 
+y +2z =7 
c) z=2 
d) x= I 
e)y =23 
e) y=3 
7. Dois números são tais que multiplicando-se o maior 
por 5 e o menor por 6 os produtos serão iguais. 
O menor, aumentado de 1 unidade, fica igual ao maior 
diminuído de 2 unidades. Então, 
a) o produto deles é igual a 300. 
b) cada um deles é maior que 20. 
c) os dois números são ímpares. 
d) os dois números são pares. 
e) a soma deles é igual a 33. 
8. Numa gincana cultural cada resposta correta vale 
5 pontos, mas perdem-se 3 pontos a cada resposta 
errada. Em 20 perguntas uma equipe conseguiu uma 
pontuação final de 44 pontos. Quantas perguntas esta 
equipe acertou? 
a)7 b)9 c) 11 d) 13 e) I 
9. 	Um colégio tem 525 alunos, entre moças e rapazes. 
Asoma dos quocientes do número de rapazes por 25 
e do número de moças por 30 é igual a 20. Quantas 
são as moças do colégio? 
a) 150 c) 250 e)375 
b) 225 d) 325 
10. 	Somando-se 8 ao numerador, uma fração ficaria 
equivalendo a 1. Se, em vez disso, somássemos 7 ao 
denominador da mesma fração, ela ficaria equivalendo 
a 1/2. A soma do numerador e do denominador desta 
fração é igual a 
a) 36 c) 40 e) 44 
b) 38 d) 42 
11. 	Num quintal encontram-se galinhas e coelhos, num 
total de 30 animais. Contando os pés seriam, ao todo, 
94. Quantos coelhos e quantas galinhas estão no 
quintal? 
12. 	A soma dos valores absolutos dos dois algarismos 
de um número é 9. Somado com 27, totaliza outro 
número, representado pelos mesmos algarismos dele, 
mas na ordem inversa. Qual é este número? 
13. O 	mago Paulo Coelho tem em seu "laboratório" 
algumas cobras, sapos e morcegos. Ao todo são 14 
cabeças, 26 patas e 6 asas. Quantos animais de cada 
tipo estão no laboratório? 
14. 	Calcular três números tais que a soma do 10 com o 2° 
é 40, a soma do 2° com o 3° é 70 e a soma do 10 com 
o 3° é 60. 
15. José Antônio tem o dobro da idade que Antônio José 
tinha quando José Antônio tinha a idade que Antônio 
José tem. Quando Antônio José tiver a idade que José 
Antônio tem, a soma das idades deles será 63 anos. 
Quantos anos tem cada um deles? 
16. Uma ração para canários é composta por dois tipos de 
sementes, A e B. Cada 1.una delas contém três nutrien­
tes importantes, x, y e z, em quantidades diferentes, 
conforme mostrado na tabela abaixo. 
A 
B I 	! I ! I ~ : 
Se a ração for preparada com 2 partes da semente A e 
3 partes da semente B, qual a quantidade que encon­
traremos para cada um dos três nutrientes? 
Enunciado para as questões 17 e 18. 
Ao se compararem 3 projetos diferentes para residên­
cias, constatou-se que as quantidades utilizadas para 4 
materiais de acabamento variavam de um projeto para 
outro de acordo com a tabela abaixo que mostra as 
quantidades utilizadas para cada um deles. 
..,. 	 35
Vestcon 
tintas cerâmicas louças vidros 
Projeto A 6 9 4 6 
Projeto B 8 4 3 5 
Projeto C 5 10 2 4 
Sabe-se que os custos unitários de cada material são: 
tinta =$ 12, cerâmica = $ 15, louça =$ 8 e vidro $ 9. 
Pergunta-se: 
17. 	Qual dos três projetos terá o menor custo de acaba­
mento e de quanto será este custo? 
18. 	Se uma cooperativa construir uma vila com 3, 5 e 2 
casas de projetos A, B e C respectivamente, qual será 
o custo total do material de acabamento? 
~ 19. Uma fábrica produz três tipos de fertilizantes para o 
solo, A, B e C, cada um deles contendo determinada 
quantidade de nitrogênio (N), de fósforo (P) e de 
potássio (K). A tabela abaixo mostra, em glkg, as con­
centrações de N, P e K em cada tipo de fertilizante. 
N P K 
A I 3 4 
B 2 3 5 
C 3 O 3 
Para corrigir o solo de um determinado terreno, um 
agricultor necessita de Ilg de N, 9g de P e 20g de K. 
Se o fertilizante A é vendido a $ 6,00 o kg enquanto B e 
C são vendidos a $ 1 ,00 o kg, detennine as quantidades 
necessárias de A, B e C que fomecem as medidas dese­
jadas pelo agricultor e que tenha um preço de $ 10,00 . 
.~ 
20. (CESPEl1993) Uma loja especializada em equipa­
mentos de computação fabrica três tipos de microcom­
putadores: A, B e C, empregando, em cada um, 
componentes X, Y, Z e W, nas quantidades indicadas 
na tabela abaixo. 
X Y Z W 
A 5 20 16 7 
B 7 18 12 9 
C 6 25 8 5 
Sabe-se que os preços, por unidade, dos compo­
nentes X, Y, Z e W são, respectivamente, $ 15.000, 
$ 8.000, $ 5.000 e $ 1.000. Os preços unitários de cada 
tipo de micro, A, B e C, serão, respectivamente: 
a) $ 335.000, $ 318.000 e $ 322.000 
b) $ 335.000, $ 322.000 e $ 318.000 
c) $ 322.000, $ 318.000 e $ 335.000 
d) $ 318.000, $ 322.000 e $ 335.000 
e) $ 322.000, $ 335.000 e $ 318.000 
21. 	(CESPElI993) Para uma construção foram pesquisados 
três tipos de concreto, de três diferentes fábricas, A, B 
e C. Para cada quilo de concreto, determinou-se que: 
I - O concreto da fábrica A tem I unidade de brita, 3 
de areia e 4 de cimento. 
11 - O concreto da fábrica B tem 2, 3 e 5 unidades, 
respectivamente, de brita, areia e cimento. 
III - o concreto da fábrica C tem 3 unidades de brita, 
2 de areia e 3 de cimento. 
O concreto ideal deverá conter 23 unidades de brita. 
25 de areia e 38 de cimento. Usando-se concreto das 
três fábricas, as quantidades, em kg, de cada uma 
delas, necessárias para se obter o concreto ideal serão, 
respectivamente, para A, B e C: 
a)5,3e2 c)3,4e5 e)I,5e3 
b )4. 4 e 2 d) 2, 3 e 5 
22. As idades de quatro pessoas são tais que: 
a soma das três primeiras é 73 anos; 
a soma das três últimas é 60; 
a primeira somada com as duas últimas é 63; 
a última somada com as duas primeiras é 68. 
A idade da mais velha é: 
a) 32 b) 28 c) 25 d) 20 e) 15 
EQUAÇÕES DO 2° GRAU 
São todas as equações redutíveis à forma: 
ax'+ bx + c =0 (com a:;{: O) 
As equações do segundo grau na forma acima podem 
ter duas raízes reais diferentes, uma só ou mesmo não ter 
qualquer raiz real. 
Estudo das raízes da Equação do 2° Grau 
Dada a equação ax' + bx + c :: O. 
Seja: t. = b, - 4ac 
t. > O~ a equação tem duas raízes reais diferentes. 
t. =O~ a equação tem uma só raiz real'. 
t. O então a equação não terá raízes 
reais. 
(3) Se b·-4ac = O então a equação tem uma única 
raiz cujo valor é -b/2a. 
(4) Se b·-4ac > O então a equação tem duas raízes 
reais distintas. 
(5) Se b·-4acafirmar corretamente que: 
(I) O valor da soma fi + n é igual a -b/a. 
(2) O valor do produto fi . rz é igual a c/a. 
(3) Se fi e rz são números reais e c/a O e rz O. 
(4) Se fi e rz são números reais e -b/a > O então as 
duas raízes são positivas, ou seja: fi > O e rz > O. 
(5) Se -b/a e c/a são dois números inteiros então fi 
e rz são também dois números inteiros. 
13. Julgue as afirmativas abaixo: 
(I) A equação - 3x·+48 = O tem duas raízes distintas 
que são -4 e +4. 
(2) A equação 2x+98 = O tem duas raízes distintas 
que são -7 e +7. 
(3) A equação 4x+3x = O tem duas raízes distintas 
que são zero e -0,75. 
(4) A equação -4x·-8x+60 = O tem duas raízes 
distintas que são -3 e 5. 
(5) A equação x'+x-420 = O não tem raízes inteiras. 
FUNÇAo DO 10 GRAU 
Denominamos função do primeiro grau a qualquer 
função f: R ~ R, tal que: 
f{x) = ax+ b (com a # O) 
O gráfico de uma função do 10 grau é sempre uma reta 
inclinada que encontra o eixo vertical quando y = b. 
O valor constante b da expressão ax + b é chamado 
coeficiente linear. 
O coeficiente a da expressão ax + b é chamado coe­
ficiente angular e está associado ao grau de inclinação 
que a reta do gráfico terá (na verdade o valor de a é igual 
à tangente de um certo ângulo que a reta do gráfico forma 
com o eixo horizontal). 
Se a> O a função será crescente, ou seja, quanto maior 
for o valor de x, maior será também o valor correspondente 
de y e o gráfico vai ficando mais alto para a direita. 
y :f{x) =ax+b 
a>O 
x 
Se a ~ k:>-~ 
a) 3 c) 3 e) 3 
k 20, então: 
a) P= 8M d) P 8(M -20) 
b)P 8M-20 e) P 8(M + 20) 
c)P=20 8M 
fUNÇAo DO 2° GRAU 
Denominamos função do segundo grau a qualquer 
função f: R ~ R, tal que: 
f(x) = ax2 + bx + c (com a * O) 
Os gráficos das funções do 2° grau são sempre pa­
rábolas. 
O que é exatamente uma parábola? As parábolas são 
curvas especiais construídas de uma tal maneira que cada 
um dos infinitos pontos que formam a parábola ficam à 
mesma distância de uma certa reta (reta diretriz da pa­
rábola) e de um certo ponto (foco da parábola) que está 
fora da reta diretriz. 
b1Na função f(x) = ar +bx+c, o valor á = - 4ac é 
chamado discriminante da expressão quadrática. 
Dependendo do sinal do discriminante (á) e também 
do sinal de a, teremos uma das seis situações descritas 
abaixo, que mostram a posição da parábola em relação 
ao eixo horizontal: 
t 8 
- Se á> Ohá duas raízes reais e a parábola encon­
trará o eixo horizontal (x) em dois pontos distintos (que 
são as raízes de ax2 + bx + c O). 
\ / ~ ·x 	 ·x\J /-\ 
a>O 	 a0 7\ 
38 
- Se á 0 Í\" 
Vértice. da Parábola 
O vértice de uma parábola é um ponto da parábola 
com várias características interessantes. Ele será o ponto 
mais alto (ponto de máximo) ou o ponto mais baixo (ponto 
de mínimo) da parábola. Além disto, o vértice da parábola 
divide a parábola em duas partes, sendo uma crescente e 
outra decrescente. 
eixo de simetria 
região 
crescente 
Coordenadas do Vértice 
As coordenadas do vértice podem ser obtidas com as 
seguintes expressões: 
-b 
Xv = 2a 
-tJ. 
YV=4a 
Uma forma alternativa de se conseguir estas coorde­
nadas é fazendo: 
1" - Conhecidas as raízes da função, o x do vértice 
pode ser calculado como a média aritmética das raizes 
da função. 
fj + r2 
Xv = 2 
I 
o 
I 
....,.. 
Vestcon38 
i 
9 
.E 
§ 
OI: 
2° - Conhecido o valor de Xv, pode-se calcular o y do 
vértice como o valor que a função assume para X =Xy: 
y. a(XV)2 + b(xv) + c 
o vértice da parábola será: 
- ponto de mínimo sempre que a > O; 
ponto de máximo sempre que a O. 
d) b>O. 
e) bvariável da parte literal. 
Exemplo: 
O grau de -5x3y,f é 6, pois: 
- o expoente da variável x é 3 
o expoente da variável y é I 
- o expoente da variável zé 2 
somando os expoentes: 3 + I + 2 =6 
Grau de um polinômio é dado pelo seu termo de 
maior grau. 
Exemplos: 
O grau de -5x3y +8x2yl +9xy2 é 5, pois: 
- o grau de -5x3y é 4 
- o grau de 8x2yl é 5 +- maior grau 
o grau de 9xy é 3 
....,.. 
Vestcon 39 
Polinômio Nulo ou identicamente nulo, é aquele 
onde todos os tennos têm coeficientes iguais a zero. 
Exemplo: 
()xly + Ox2yl + 0xy2 é um polinômio nulo. 
o valor numérico de um polinômio nulo é sempre 
igual a zero, para qualquer valor que se atribua às suas 
variáveis. 
Polinômios Idênticos - dois polinômios são idênticos 
se, e somente se, cada um dos tennos do primeiro ocorrer 
também no segundo com igual coeficiente e cada um 
dos tennos do segundo ocorrer também no primeiro com 
igual coeficiente. 
Exemplo: 
O polinômio -3x2y +7X2y 3 +4xy2 é idêntico ao 
polinômio 4xT +7ryl-3x2y. 
Adição de monômios 
Quando os monômios são todos semelhantes 
conservamos a parte literal e adicionamos algebricamente 
os coeficientes. 
Exemplos: 
6x+3x-2x=:= (6 +3 -2)x= 7x 
-4ax2 +5ax2 +8ax2 = (-4 +5 +8)ax2 = 9tix2 
Quando os monômios não são todos semelhantes a 
adição é feita somente entre os tennos semelhantes. 
Exemplo: 
3ry +4xy +8x2y = (3 +8)x2y +4xy 
llry+4xy 
Multiplicação de monômios 
1" - multiplicamos os coeficientes 
2° - multiplicamos as partes literais 
Exemplos: 
(-3r)· (4r) = (-3·4). (r·r)=-I2xs 
(3ry) . (5xT) (3· 5) . (ry . xT) 15~yl 
Divisão de monômios 
1" - dividimos os coeficientes 
2° - dividimos as partes literais 
Exemplos: 
(-sr) + (4r) = (-8 + 4)· (r +r) =-2x 
(l5rJf) + (5xT) = (15 + 5HrJf + xT) 
= 3 . r-lr 2 = 3ry 
Potenciação de monôm;os 
1° - eleva-se o coeficiente ao expoente dado 
2° - eleva-se a parte literal ao expoente dado 
Exemplos: 
(-3r)2 = (_3)2 . (r)2 = 9.:0 
(2ry)S = (2)S . (ry)S = 32xlSf 
Adição de polinômios 
É feita adicionando-se os termos semelhantes, de 
modo análogo à adição de monômios. 
Exemplo: 
(6x2 +3x-2) + (2r -2x) 
= (6x2 + 2r) + (3x-2x) + (-2) 
= 8x2+x-2 
Subtração de polinômios 
Éfeita adicionando-se o primeiro Polinômio ao oposto 
do segundo. 
Exemplo: 
(6x2 +3x -2) - (2r -2x) 
=(6x2+3x-2) + (-2r +2x) 
=(6r -2r) + (3x +2x) + (-2) 
= 4r+5x-2 
Multiplicação de polinômios 
10 caso - monômÍo por polinômio 
Multiplicamos cada tenno do polinômio pelo monô­
mio e somamos os resultados. 
Exemplo: 
(2r). (4r +x-3) 
=(2r) . (4r) + (2r) . (x) + (2r). (-3) 
= (Sx5) +(~) + (-~) 
Sx5+~-~ 
ZO caso - polinômio por polinômio 
Multiplicamos cada tenno de um deles por todos os 
tennos do outro, somando algebricamente os produtos 
obtidos. 
Exemplo: 
(2x-2)· (6x2+3x-4) 
= (2x)·(6x2+3x-4) + (-2)·(6x2+3x-4) 
= (l2r +6x2 -&x) + (-I2r -6x+8) 
= 12r +(6x2-12r) +(-&x-6x) +8 
= 12r-6r-14x+8 
Produtos Notáveis 
10 - Quadrado da soma de dois termos 
(A + B)2 =A2 + 2AB + B2 
20 
- Quadrado da diferença de dois termos 
(A-B)2=A2-2AB + B2 
3° - Produto da soma pela diferença 
(A+BHA-:-B)=A2 B2 
40 
- Cubo da soma de dois termos 
(A+ B)l =Al +3A2B + 3AB2+ B3 
j 
9 
t 
li c 
40 Vestcon " 
5" - Cubo da diferença de dois termos 
(A- B)3 =Al-3NB + 3AB2 - B3 
Divisão de polinômios 
Interessa-nos somente a divisão de polinômios com 
uma única variável. 
Admitindo que esta única variável seja x, passamos a 
indicar os polinômios por A(x), P(x), R(x), etc. 
Divisibilidade 
Dizemos que um polinômio A(x) é divisível por um 
outro polinômio D(x), este último não podendo ser nulo, 
se, e somente se, existir um polinômio Q(x) tal que: 
A(x) = D(x)xQ(x) 
Propriedade: 
Se A(x) é divisível por D(x) com quociente igual a 
Q(x), então o grau de A(x) é igual à soma dos graus de 
D(x) e Q(x). 
A(x) =D(x)xQ(x) => gr(A) =gr(D) + gr(Q) 
com D(x) não nulo 
Divisibilidadepor (x-a) 
o resto da divisão de um polinômio P(x) por um 
binômio do tipo (x-a) é igual a P(a). 
Como conseqüências desta propriedade, pode-se 
também afirmar que: 
O resto da divisão de um polinômio P(x) por um 
binômio do tipo (x+a) é igual a PC-a). 
O resto da divisão de um polinômio P(x) por um 
binômio do tipo (ax+b) é igual a P(-b/a). 
Se um polinômio P(x) é divisível pelos binômios 
(x-a) e (x-b), então P(x) é também divisível por 
(x-a) . (x-b) e reciprocamente. 
Teorema de D 'alembert 
Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio (x-a) 
se, e somente se, P(a) = O 
Exemplo: 
Verificar, pelo teorema de D'alembert, que o polinô­
mio P(x) = 3x3-6r+4x-8 é divisível por (x-2). 
Solução: 
A raiz dex-2 éx = 2. Logo, se P(2) é mesmo divisível 
por (x-2), então P(2) deverá ser igual a zero:· 
P(2) = 3(2)3_6(2)2+4(2}-8 
P(2) = 3(8)-6(4)+4(2)-8 
S I P(2) = 24-24+8-8 
~ 
o I P(2) = O 
oi
8I MMC eMDC de Polinômios 
a: 
a: 
O procedimento para determinarmos o MMC e o 
MDC de polinômios dados é análogo ao utilizado para 
calcularmos o MMC e o MDC entre números dados: 
I" - Fatorar os polinômios dados; 
2" - O MMC dos polinômios dados é o produto de 
todos os fatores, comuns e não comuns encontrados nas 
fatorações dos polinômios, sendo cada um dos fatores 
elevado ao maior expoente com o qual tenha ocorrido; 
3" - O MDC dos polinômios dados é o produtos dos 
fatores comuns a todos os polinômios dados, sendo cada 
um dos fatores elevado ao menor expoente com o qual 
tenha ocorrido. 
Exemplos: 
Determinar o MMC e o MDC dos polinômios dados 
em cada caso: 
a) 30x2y, 15x1z, e 20x"yz 
Solução: 
30x2y = 2·3·5· x2.y 
15x3z = 3·5· x1·z 
20x"yz = 22·5· x"·y·z 
Logo: 
MMC = 22.3.5. x"·y·z 
MDC=5·x2 
b) x2-4, 3x+6 e x 2+4x+4 
Solução: 
x2-4 = (x-2)·(X+2) 
3x+6 = 3·(X+2) 
r+4x+4 = (X+2)2 
Logo: 
MMC = 3·(x-2)·(X+2)2 
MDC = (X+2) 
EXERcíCIOS 
1. Calcule o valor de x2 + 2xy + Y para x = 2 e y = 3. 
2. Calcule o valor de m2 + 3mp +pl para m = -3 ep = 2. 
I 3. Determine o grau do monômio 72x1Y. 
4. Determine o grau do polinômio 
- 3xy" + 2x2y +x1y 
5. Efetue o produto indicado: 
(3x2_2x2y -7xy)-(-3x2y) 
6. Efetue o produto indicado: 
(3x2 -2)-(-3x + 2) 
7. Efetue o produto indicado: 
(3x2 + y)·(2 x2y -3) 
8. Efetue o produto indicado: 
(3x + 2)2 
~ 
Vestcon 41 
9. Efetue o produto indicado: 
(2x-3y)2 
10. Efetue o produto indicado: 
(2x- 3y)-(2x + 3y) 
11. Efetue o produto indicado: 
(xl + 2y)3 
12. Efetue o produto indicado: 
(2x2 _y)3 
13. Calcule o MDC dos polinômios: 
xly - -9'2 e xl - y2 
14. Calcule o MMC dos polinômios: 
xly -.0/ e xl - y2 
15. Calcule o MDC dos polinômios: 
2x2-2x-12 e xl-4 
] 6. Calcule o MMC dos polinômios: 
~-2x-12 e xl 4 
GABARITO 
NOÇÕES DE LÓGICA 
1. Item a: 
Item b: 
Para os itens c e d: 
Para o item e: 
o 
2.d 3. b 4. e 
S.e 6. e 
7. 	 a) O tempo não será frio ou não será chuvoso. 
b) Ela não estudou muito e não teve sorte na prova. 
c) Maria é morena e Regina não é baixa. 
d) O tempo está chuvoso e não está frio. 
e) Algum corvo não é negro. 
f) Algum triângulo é retângulo. 
g) Nenhum sapo é bonito. 
h) Todas as vidas são importantes. 
S.c 9. a 10. d 11. e 
12. a 
Se Beto brigasse com Glória, Glória iria ao cinema, Carla 
ficaria em casa e Raul brigaria com Carla. 
Raul não brigou com Carla. Logo, Beto não briga com Glória, 
Glória não vai ao cinema e Carla não fica em Casa. 
A única alternativa concordante com estas conclusões 
é a letra A: "Carla não fica em casa e Beto não briga 
com Glória". 
13. b 
Sabe-se que Ana sempre diz a verdade, que Maria, às 
vezes, diz a verdade e que Cláudia nunca diz a verdade. 
Resumindo as três afirmações no quadro abaixo, temos: 
VESTIDO AZUL 
VESTIDO 
VESTIDO PRETO
BRANCO 
"Ana está de branco" "Eu sou Maria" "Cláudia está de branco" 
l°) Ana diz sempre a verdade. Logo, não pode estar 
vestindo azul nem branco pois, se estivesse, 
contradiria a si mesma. 
Portanto, Ana está vestindo preto. 
2°) Como Ana, que está de preto, diz a verdade, então, é 
certo que Cláudia está de branco.3°) Resta o vestido azul para Maria (que, aliás, mentiu!). 
Portanto, as cores dos vestidos de Ana, Maria e Cláudia 
eram, respectivamente: preto, azul e branco. 
]4. e 
Se Carlos fosse mais velho que Pedro, Maria e Júlia 
teriam a mesma idade, João seria mais moço que Pedro 
e Carlos seria mais velho que Maria. 
Carlos não é mais velho que Maria. Portanto, Carlos não 
é mais velho que Pedro, Maria e Júlia não têm a mesma 
idade e João não é mais moço que Pedro. s 
I 
~A única alternativa coerente com estas conclusões é a 
letra E: 
"Carlos não é mais velho que Pedro e Maria e Júlia 
não têm a mesma idade." 
 c 
15. e 
Se Maria está certa, então Júlio está errado; 
------
..,
Vestcon42 
Se Júlio está errado, então Luís está errado; 
Se Luís está errado, então não haverá filme. 
Ou o filme está sendo exibido ou José não irá ao 
cinema. 
O filme não está sendo exibido, logo José não irá ao 
cinema. 
16. a 
Não nos deteremos, inicialmente, na resposta do meio­
campista, pois não sabemos se ele mentiu ou se disse 
a verdade. Assim, analisaremos apenas as possíveis 
respostas do atacante (que mente) e do zagueiro (que 
diz a verdade). 
1°) Se qualquer um deles dissesse "FOI EMPATE" e 
o outro "NÃO FOI EMPATE" o torcedor não teria 
como reconhecer qual era a resposta verdadeira e qual 
era a falsa, pois uma é a negação da outra tendo sempre 
valores lógicos opostos. 
Portanto, um deles disse: "NÓS PERDEMOS". 
2°) Se um deles dissesse "FOI EMPATE" enquanto o outro 
disse "NÓS PERDEMOS", o torcedor continuaria não 
tendo como reconhecer a resposta verdadeira, pois, 
novamente, cada uma delas nega a outra. 
Portanto, um deles disse "NÃO FOI EMPATE". 
Até aqui sabemos que enquanto um deles (o atacante ou 
o zagueiro) disse "NÓS PERDEMOS" o outro disse 
"NÃO FOI EMPATE." 
3°) O atacante (mentir~so) n~o poderia ter dito "N~O 
FOI EMPATE", pOIS estana concordando com "NOS 
PERDEMOS". 
Portanto, o atacante (mentiroso) disse "NÓS 
PERDEMOS" enquanto o zagueiro (que diz a 
verdade) disse "NÃO FOI EMPATE." 
4°) Finalmente, quem disse "FOI EMPATE" foi o meio­
campista (que aliás mentiu!). 
Assim, o XFC venceu e a resposta do meio-campista é 
"FOI EMPATE." 
17. a 22. e 27. a 32.c 
18. d 23. c 28.a 33. e 
19.a 24.b 29.d 34. a 
20. a 25.b 30.d 35. e 
21.c 26.d 31. b 
PADRÕES ESEQÜÊNCIAS 
I.d 	 18. c 
2.c 	 19. e 
3.b 	 20.d 
4.a 	 21. c 
5. e 	 22.b 
6.c 	 23. a 
7.e 	 24. c 
8.b 	 25. e 
9.d 	 26. c e 
10. a 	 27. a ~ 11.c 	 28. a 
12.d 	 29. c .!5º 
~ 
13. b 	 30.b8a: 14. a 	 31. a a: 
15.e 	 32.e 
16.b 	 33. d 
17. d 
SEQÜÊNCIAS ARITMÉnCAS 
1. a) 7 2. a) 97 3. a) 30 4.a) 118 
b) 5 b) 123 b) 75 b)440 
c) -2 c) 1 c) 150 c) 25 
d) 3 d) -3 d)-760 d) 21 
e) 1/3 e) 13/3 e) 818 e) 948 
f) 200 	 f) 370 
g) -3 
h) 35 
5. 	a) r = 8 6. a)n=21 7. a) 24 
b) r= 5 b) n=7 b) 25 
c) r=-4 c) n = 15 c) 50 
d) r=-5 d) n= 100 d) 37 
e) r = 10 e) n= 50 e) 25 
f)r=2 f) n = 50 
g) r= 1/2 
h) r =-2 
8.22 9.2x-4(paratodox) 10.5.050 
11. 900 12.770 13.728 
14. 1.848 15.370 16. x = 5 
17.4, 7e 10 18.3,7, 11 e 15 19.x=-1 
20. x=2 21.n=13 
SEQÜÊNCIAS GEOMÉTRICAS 
1. a) 2 	 2. a) 256 3. a) 320 
b) 1/2 b) 7.290 b) 216./3 
c) -2 c) 20.480 c) -4 
d)-2 d) 0,01 d) 1.280 
e) -1/2 e) 2 
f)..fi f) 64 
g)ifi 
h)-.fi 
4. a) 2 5. a) 2 6. a) 7 
b)-2 b)-6 b) 9 
c) ±5 c) 2if5 c) 7 
d)±2 d) -4 d) 6 
e)±2 e) 4./3 e) 6 
f) ±3 f)6 
7.2.040 8.S.=4(4·-1) 9· Q =l+; 
10. I: 11. 12./3cm2 
ARRANJOS, COMBINAÇÕES EPERMUTAÇÕES 
(PROBLEMAS DE CONTAGEM) 
La 	 8.d 
2. e 	 9.d 
3.b 	 10.b 
4.b 	 11. a 
5.e 	 12. c 
6. a 	 13. d 
7.b 	 14. c 
..."..
Vestcon 43 
15.d 21. c 
16. b 22. e 
17.d 23. a 
18.c 24.a 
19. a 25. a 
20.b 
NOÇÕES DE PROBABIUDADES 
I I1.!.. 2. - 3.~ 4. _ 
5 
 3 10 6 
5 7 I6.~ 7._ 8.- 9. ­
12 12 25 8 
11.~ 12. !.. 13.2- 14.2. 
28 3 16 72 
16. c 17.b 18. e 19. c 
21. d 22. a 23.d 
EQUAÇÕES DO 1" GRAU 
1. E, E, C, E, C 
2.E,E,E,E,C 
3. I 
4. b 
5.b 
6.c 
7.d 
SISTEMAS UNEARES 
l.a)(3; 2) b)(5; I) c)(7; 2) d)(4; 3) 
e)(3; -I) f) (2; -2) g)(2; -I) h)(6; 1) 
2.a 
3.b 
4. e 
5. d 
6. a 
7. c 
8.d 
9.a 
 + 6~Y+ 12.,X3Y2 + 8J"3 
12. ~_12X4y+ 6.xzY2-J"3 
13.X- Y 
14.,X3Y-XJ"3 
15.X+2 
16. 2.,X3 - 6.xz - 8X + 24 
o 
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§ 
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'I5_ZT 2::: ur l I 
'2-~7 ~ 
~-------=:-O--""'>=z=-r:::;cq;;;;U-/-T X5 ~Q i{j5MPU Admn~ativa ESAF) RicariJo," R3-gerlo e Renito sãõirmãos. Um deles 
é médico, outro é professor, e o outro é 
músico. Sabe-se que:.., 
1) ou\ Ricard'O é médico" 'Ou Renato é 
?-
médico,--" -_., 
2) 'Ou\rucardoj~profes~J, ou Rogério é
~:;L' music'O; 
3) ou ~t'O é músico, ou R~ério é 
músic'O, 
4) ou Rogério é profess'Or, ou Renato é 
professor. Portanto, as pr'Ofissões de 
" 
~ 
). 
Ricard'O, Rogéri'O e Renato 
V 
são,~ 
},. respectivamente; 
a) ~f~r. inédico, m~~co. ~~n 
.~ b) méd.!,S9, pro~es;>0r, m~~co. 'fi'ft'JI,,, i f i t: 
c) professor, mUSICO, médico. ,- i! " I 
~ d) músico, médico, professor. MIA4 FíVI F 
@médiço, músico, professor ~--" .E 
04. (TTN-ESAF) Se é verdade que 
"Alguns A são R" e que "Nenhum G é 
~ R", então é.necessariamente, verdadeiro 
"" ~ue: . 	 ti' 
1 algum A ~ão é G; (Ij'G>\0 ~..fri)' ti 
. ) algum A e G. " '; ~ , 
-: c) nenhum A é G; (;: -~~"'i ~é g1!~. 
"'d) algumG é A; ;', f 
1 e) nenhum G é A ~ •. " - I 1"_ 
': ~ fi ~ rvctD .t. u 
05. (Fiscal Trab~ho - ESAF) Sabe-se 
que e~_pd_o.JDenos um_A que é B. 
Sabe-se, também, que todo IJ é ç. 
Segue-se. portanto, necessariamenill 
que: ~.. 
a) todo C é B f 
b)todoCéAf ,t:",. '(, 
, I' , \ ";;i; ; 
.() _ i ~ I ~// 
r(lú,';;~ 
_~ - 'I. ,,_::~ .~rc ç,­
t'élalgum A é C v 
"d) nada que não seja C é A r 
e) algum Anão é C V 
l' 
06. (SERPRO - ESAF) Todos os alunos . ~ 
de matemática são, também, alunos de f\:,. 
inglês, mas nenhum alun'O de inglês é\~ 
aluno de história. Todos 'Os aluDos de 
português são também alunos de 
informática, e alguus alunos de 
informática são também alunos de 
história. C'Omo nenhum aluno de 
informática é aluno de inglês, e como 
nenhum aluno de português é aluno de 
história, então: 
. a) pelo menos um aluno de português é 
aluno de inglês. ç ,_ 
b) pelo menos um aluno de matemática é 's 
aluno de história ç ~, 
~ nenbum aluno de português é aluno de ~ 
matemática V i) 
d) todos os alunos de informática são ~ 
alunos de matemática f 
e) todos os alunos de informática são 
alunos de português. F 
~t-- -/. ­
.07. (AFCE TCU - ESAF) Em uma 
comunidade, todo trabalhad'Or é 
responsáveL Todo artis~ se nã'O for 
filósofo, ou é trabalhador ou é poeta. "­
Ora, nli'O há filósofo e não há poeta que 
. nlio seja responsável. Portanto, tem-se 
que,tnecessariament~ . 
a) todo responsável é artista f 
b) todo responsável é filósofo ou poeta F N 
c) todo artista é responsável V " 
d) algum filósofo é poeta ç. -;:-, 
e) algum trabalhador é filósofo ç ~ 
-08. (AFCE TCU - ESAF) Se é verdade 
que tfAlguns escritores são P'Oetas" e 
que "Nenhum músico é P'Oeta", eutão, 
também é necessariamente verdade 
que: 
a) nenhum músico é escritor F 
b) algum escritor é músico ç; 
c) algum músico é escritor ç:- ... 
d) algum escritor. não é milsico V 
e) nenhum escritor emúsiéó F 
09. (AFC-STN - ESAF) Uma escola de 
arte 'Oferece aulas de c~Il~' -.d~nça, 
t~~ro, \~!~~ e pial!.~' (t~dos).!ls 
professores de canto são,~bém, 
" '" li] paralo~passear. @ um silogismo. AI ' 
fi v. O. ~úmet;9, de valorações possíveis .J b) Marcos estudar é condição suficiente • uma tautolos!Ía. 
~ 
~ para (QJ 1\ 181~é inferior a 9. ~ para João passear . (C) uma equivaiência A \I' "'~ y i 
. J 1) " .2 J -= 1L.L.. ~ ~ c) M~~os não estudar é condição (D) uma contingência V Jt:; l v 1 
14. (Analista Ambiental _ Ministério do ~ necessarla para João não passear. (E) uma contradição. f ,,:;;;~ ~ 
Meio Ambiente-CESPE) Julgue o item \'S d) ~não estudar é condição '!') --._-----.:::---;:. 
. (:) .. . ~ ~fiC1ente para João passear. ! 25. ANEEL - ESAF) Surfo ou estudo. ..~. 
egUlDte: vP -+ -Q) e .IOg.lcame~te. ~ e)!Marcos estudar é condição necessária LL Fumo ou não surro. Velejo ou não ... v· "E 
. ~.."Y quivalente à (Q -+ _P). ~~ vai.( n6dos 50 anos da logicamente eqUIValente a dl-4er que e 
! PETROBRAS: verdade que; /'"\ 
! &.ã\ Pedro não é pobreé)AI 
---~~ 
r'~, v~:"F5.· :; V[~ \~o. f~,~5 ;::.V~ '- \~' -':> 'vÇ)J I
~" ~.; 
.. "f;2 TE.:::: v F,,';';. V 
,j. '" " J. '\ ~""f») y,kt'" V V~r~ J 
j ,{ \I"J V-='i . J~) r
\., ~ r-J '( 
~f\1>J' 
então a proposição (P A R)->{-'Q) ,$~ ~govern~brasileiro tivesse instituído, 
verdadeira. . ,. em 1962, o monopólio da exploração de 
Considere as sentenças abaixo~'l I petróleo e derivados no território 
a. Fumar deve ser proibido, ~ muitos ~ nacional, \a PETROBRAS teria atingido, 
europeus fumam. P" T \ ness~ n:es\Uo ano, a produção de 100 mil 
b. Fumar não deve, ser proibido e fumar barnS/dla. '-b ~ 
faz bem à saúde. -, fi ~ 7 RJ Julgue se cada um dos itens a seguir 
c. Se fumar não faz bem à saúde, deve ser apresenta uma proposição logicamente 
proibido. fZ, ~ p equivalente à ass'ertiva'acima. 
d. Se fumar não faz bem à saúde e não é \J L Se a PETROBRAS não atingiu a 
verdade que muitos europeus fumam, produç~o. de 100 mil barris/dia em 1962, o 
então fumar deve (R,,, lT) P mo?opoho da exploração de petróleo e 
ser proibido. \: 4> denvados não foi instituído pelo governo 
e. Tanto é falso que fumar não faz bem à . brasileiro nesse mesmo ano. 
saú? julgue os itens seguintes. 
arquiteto".
~:nr A sentença !! pode ser COrretamente • ~be:';"se-q-u-e-a-a....,ti"'lr-m-a-çã-;::-o-;P~ê"'f"'a""'!s9
.( resentada por P 1\ (~n 
\ 'J V, A sentença k. pode ser corretamente ~ I~. ~~Ios não é dentista; Enio não é
~F.ntada por -, P A -, R . economista; luca não é arquiteto. 
~ A sentença ~ pode ser corretamente ~ Carlos não é dentista; Enio' é 
rq>r P ou Q :s; R.! 
Se Z>P, então S::;T. Se S:S; T, então S~ 
~ R. Ora, Q :> R, logo: ,'~ # r;t';:; 
>. 'S:>TeZ:S;P v" .i}'l~~J.-:-, {: 
b)S~Tez:>p r.:.n Y e Zé uma .; 't!~ 
proposição necessariamente yei4adeira. ':':'. ~ ~ 
~ :A.s~;.v";,o..~........,(",,, J;J...., :':' ~ ~..----­ " ~ ~ 
36. (AFRE MG - ESAF) Se André é 
culpado, então. Bruno é inocente. Se 
André é inocente, então Bruno é 
culpado.. Se André é colpado, Leo é . 
inocente. Se André é inocente, então 
i 
Leo é CUIPad?~ ...Se Bruno é inocent.~, 
então Leo é"culpado. Logo, Andre; 
Bruni) e Le'6são, respectivamente: , ..c. 
!lCulpado, culpado, culpado. 
aulo é paulista, então Pedro é
(jVera e Vanderléia não viajaram. ~ Daniela não abraça Paulo. i;> pedreiro . 
------------__ c) João está feliz, e Maria sorri, e Daniela 
 ~ c) se Pedro' não é pedreiro, então Paulo é 
29. (ACExt TCU - ESAF) O rei ir à 1 ~ abraça Paulo. 	 . g paulista 
caça.é ~dição-'Decêssári~ para' ~o ~oão não está feliz, e Maria não sorri.. e 
 d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é 
duque saIr (to--astetcr,-e--é condição Daniela não abraça Paulo. paulísta 
.~ suficiente para a duquesa ir ao jardim. e) João não está feliz, e Maria sorri, e e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo 
Por outro lado, o conde encontrar a Daniela abraça Paulo. não é paulista 
princesa é condição necessana e 
sufléiente para o barão sorrir e é 33. (TFC-SFC - ESAF) Ou Anaís será 
condição necessária para a duquesa ir professo.ra, o.u Anelise será cantora, ou 38. Se o jardim não é florido, então o 
ao jardim. O barão não sorriu. Logo: Anamélia será pianista. Se Ana for gato mia. Se o jardim é florido, então o 
a) A duquesa foi ao jardim ou o conde atleta;então Anamélia será pianista. Se passarinho não canta. Ora, o 
encontrou a princesa. •. Anelise for cantora, então Ana será passarinho canta. Logo: 
b) Se o duque não saiu do castelo, então o l atleta. Ora, Anamélia não será pianista. 
 a) O jardim é florido e o gato mia; 
conde encontrou a princesa. Então: ~O jardim é florido e o gato não mia; 
€) O rei não foi à caça e o conde não i.... "~íS será professora e Anelise não tJP jardim não é florido e o gato mia; 
encontrou a princesa. ,c:, Yra cantora d) O jardim nãó- é floridó--e-o gato não 
/d) O rei foi à caça e a duquesa não foi ao ";;;:. b) Anais não será professora e Ana não mia; 
jardim. ~ será atleta 
 e) Se o passannho canta, então o gato não 
e) O duque saiu do castelo e o rei não foi ~ c) Anelise não será cantora e Ana será mia 
à caça. V atleta 
... d) Anelise será cantora ou Ana será atleta 39. (Fiscal do Trabalho - ESAF) 
.30. (AFC - ESAF) Se Iara não fala e) Anelise será cantora e Anamélia não Investigando uma fraude bancária, um 
italiano, então Ana fala alemão. Se Iara será pianista famoso detetive colheu evidências que o 
3 
http:professo.ra
l , , 
r 
convenceram da verdade das seguintes 
afirmações: 
1) Se Homero é cu'r"pado, então JOã~ é 
culpado. (' ~ 
2) Se Homero é inocente, então João ou 
Adolfo do culpados. f .r 
3) Se Adolfo é inocente, então Joao é 
inocente. '\1 ' 
4) Se Adolfo é 'culpatlo, então Homeio 'é 
culpado. 
As evidências colhidas pelo famoso 
detetive indicam, portanto, que: 
a) Homero, João e Adolfo são inocentes. 
(b})Homero, João e Adolfo são culpados: 
Zf Hómero é culpado, mas João e Adolfo 
são inocentes. 
d) Homero e João são inocentes, mas 
Adolfo é culpado. 
e) Homero e Adolfo são 'culpados, mas 
João é inocente. 
os 
de 
grau40. A negação de"O gato mia' e o rat0.::a. 
chia" é: pA Q, '" 
.::;; 
~ 
~ 
a} "O gato não mia e o rato não chia"; ~p" 
"O gato mia ou o rato chia"; ~ ~O gato.não mia!Qu o rato não chia"; 
d) "O gato e o rato não chiam nem' 
miam"; 
e) "O gato chia e o rato mia". ' 
41. 	 A negação de "todos os gatos· são 
pardos" é:
3J a) "nenhum gato é pardo";
"3 ~. "existe gato pardo"; , 
c 	"existe gato não pardo"; 
) "existe um e um só gato pardo"; 
e) ~nenhum gato é pardo". 
~"".~.. 
~ 42. Eu tenho três bolas: A, B e"C:Piotei 
,2 uma de vermelho, uma de branco e 
~ outra de azul, não necessariamente 
nesta ordem. \somente; umã] das 
seguintes afirmações e ver rd h 
I. A é vermelha. p . 
lI. B não é vermelha.F '1'~",{,"~.l..iUY 
~ 	
h 
~ . IIl. C não é azul. V 
.~al é a cor de cada bola? 
-"~ 43. (AFC/STN - ESAF) Se Pedro não! 
bebe, ele visita Ana. Se Pedro bebe, ele 
i 
~ 
! 
I 	 lê poesias. Se Pedro não visita Ana, ele 
nio lê poesias. Se Pedro lê poesias. ele 
não visita Ana. Segue-se, portanto que, 
Pedro: 
~ 
bebe, visita Ana, não lê poesias. 
:não be~e, visita Ana, não lê poesias. 
bebe, não visita Ana, lê poesias. 
c 
d) não bebe, não visita Ana, não lê 
poesias. 
e) não bebe, não visita Ana, lê poesias. 
44. (Fiscal Trabalho - ESAF) Se Pedro 
é inocente, então Lauro é inoce~ 
Roberto é inoce~então Sônia é 
~e. Ora, Pedro é culpado ou 
\ Sônia é culpada. Segue-se logicamente, 
,.h portanto, que: oi ~ 
"::s a) Lauro é cUlPa e Sônia é culpada r; 
.s b) Sônia é culpa e Roberto é 'nocente 
jéj)pedro é culpa- o ou Robert~ culpado 
~ \.'a) Se Roberto ~ ,culpadO, então Lauro é 
~ t 
e) Roberto é inocente se e somente se ../lI. 	 As proposições (P V Q~-+S_ e 
Lauro é inocente 
(P.....S) V (Q-+S) possuem tabelas de 
Héleio, todos os que foram à solenidade 
45. (MPOG - ESAF) Na formatura de 
valorações iguais. 
de colação de grau estiveram, antes, no 
 49. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Se 
casamento de Hélio. Como nem todos Frederico é francês., então Alberto não 
amigos de Hélcio estiveram no é alemão. Ou Alberto e alemão, ou 
casamento de Hélio, conclui-se que, dos Egídio é espanhol. Se Pedro não é 
amigos de Hélcio: português. então Frederico é francês. .../ 
a) todos foram à solenidade de colação de Ora, nem Egidio é espanhol nem Isaura 
grau de Hélcio e alguns não foram ao é italiana. Logo: 
casamento de Hélio. 
 a) Pedro é português e Frederico é francês 
b) pelo menos um não foi à solenidade de b) Pedro é português e Alberto é alemão 
colação de grau de Hélcio. c) Pedro não é português e Alberto é 
c) alguns foram à solenidade de colação alemão 
de grau de Hélcio, mas não foram ao 
 d) Egídio é espanhol ou Frederico é 
caSámento de Hélio. francês 
d) alguns foram à solenidade de colação 
 e) Se Alberto é alemão, Frederico é 
grau de Hélcio e nenhum foi ao francês 
casamento de Hélio. 
e) todos foram à solenidade de colação de 
 50. (AFTN - ESAF) José quer ir ao 
de Hélcio e nenhum foi ao cinema assistir JlO filme "Fogo contra 
casamento de Hélio. Fogo" • mas não tem certeza se o 
mesmo está sendo exibido. Seus amigos, 
, 46. (AFC - ESAF) Se Carina é amiga de Maria, Luís e Júlio têm opiniões 
Carol, então Carmem é c.unhada de discor:dantes sobre se o filme está ou 
Carol Carmem Dio é cunhada de não em cartaz.. Se Maria estiver certa, 
Carol. Se Carina Dão é cunhada de entã9 Júlio está enganado. Se Júlio 
Carol, então Carina' é amiga de Carol. estiver engaDado. então Luís está 
Logo, . enganado. Se Luís estiver enganado, 
, a) Carina é cunhada de Carmem e é amiga 
 então n' filme não estásendo exibido. 
\ deCaroL' ' 
 Ora, ou o filme "Fogo contra Fogo"
Id? (b) Carina não é amig'a de Carol ou não é está sendo exibido, ou José não irá ao 
.,J~nhada de Carmem. 
\ 
cinema. Verificou-se que ftlaria está 
c) Carina é amig{ de Carol ou n~ certa. Logo: 
cunhada de Carol. 
 a) o filme "Fogo contra Fogo" está sendo 
d) Carina é amig;r de Carmem e é amiga exibido 
b) Luís e Júlio não estão engai'!i:'.dvs de Caro!. f 
e) Carina é amiga de CaroI e não é c) Júlio está enganado, mas não Luís 
cunhada de Carmem. d) Luís está enganado, mas não Júlio 
..,,/
e) José não irá ao cinema 
47. (SERPRO - CESPE) Julgue o item \I 
seguinte: f _ F 51. (Fiscal do Trabalho - ESAF) Se não 
®A tabela de verdade de P ..... Q é igual à V"'.' V durmo, bebo. Se estou furioso, durmo. 
,,\ , "f'- ". Se durm.o. nã~ estou furioso. Se não 
tabela de verdade de (P ..... -'Q) .... -.P. " .,. ç t:".!.4_ ç; i" estou funoso, nao bebo. Logo 
1/ ... ." / -4 ,: 	 ' 
~;. ~ • ,'ariáveis, podem ser obtidas novas 
proposições, 	 tais como: a proposição 52. (MPU Administrativa - ESAF) Se 
Fulano é culpado, então Beltrano écondicional, denotada por P ..... Q, que será 
culpado. Se Fulano é inocente, então ou
F quando P for V e Q for F, ou V, nos 
Beltrano é culpado, ou Sicrano é 
outros casos; a disjunção de P e Q, 
culpado, ou ambos, Beltrano e Sicrano, 
denotada por P v Q, que será F somente 	
~. 
são 	culpados. Se Sicrano é inocente,
quando P e Q forem F, ou V nas outras então Beltrano é inocente. Se Sicrano é
situações; a conjunção de P e Q, denotada 
culpado, então Fulano é culpado. Logo, 
por P 1\ Q, que será V somente quando P a) Fulano é inocente, e Beltrano é 
e Q forem V, e, em outros casos, será F; e 
inocente, e SicraTlo é inocente. 
a negação de P, denotada por -'P, que será b) Fulano é culpado, e Beltrano é culpado,
F se P for V e será V se P for F. Uma e Sicrano é inocente.
tabela de valorações para uma dada 
c) 	 Fulano é culpado, e Beltrano é
proposi'ção é um conjunto d,e inocente, e Sícrãno é inocente.
possibilidades V ou F associadas a essa . d) 	 Fulano é inocente, e Beltrano é
proposição, culpado, e Sicrano é culpado. 
A partir das informações do texto acima, 
e) Fulano é culpado, e Belt,rano é culpado,
julgue os itens subseqüentes. e Sicrano é culpado. 
I. As tabelas de valorações das 
~ culpado '{, 
t 
J proposições p .....Q e Q ... -.p são iguais. 	 53. (AFClCGU -ESAF) Homero não é 
honesto, ou Júlio é justo. Homero é 
4 
I 
J 
,'l-. ' 
hOj'lesto, ou Júlio é justo, ou Beto é 
, 	 btmdoso. Beto é bondoso, ou Júlio não é 
justo. 
Beto não é bondoso, ou Homero é 
honesto. Logo, 
a) Beto é bondoso, Homero é honesto, 
Júlio não éjusto. 
b) Beto não é bondoso, Homero é 
honesto, Júlio não é justo. 
c) Beto é bondoso, Homero é honesto, 
Júlio é justo. 
d) Beto não é bondoso, Homero não é 
honesto, Júlio não é justo. 
e) Beto não é bondoso, Homero é honesto, 
Júlio é justo. ­
53. (Fiscal Trabalho - ESAF) Se Luís 
-~ 	
estuda História, então Pedro estuda 
Matemática. Se Helena estuda 
Filosofia, então Jorge estuda Medicina. 
Ora, Luís estuda História ou Helena 
estuda Filosofia. Logo, segue-se 
. 	 necessariamente que: . 
~ 
a) Pedro estuda Matemática ou Jorge 
estuda Medicina 
b) Pedro estuda Matemática e Jorge 
estuda Medicina _. 
c) Se Luís não estuda História, então 
Jorge não estuda Medicina 
d) Heleriã estuda Filosofia e Pedro estuda 
Matemática 
e) Pedro estuda Matemática ou Helena 
não estuda Filosofia 
54. (ANEEL - ESAF) Se não leio, não 
compreendo. Se jogo, não leio. Se não 
desisto, compreendo. Se é feriado, não 
desisto. Então, 
a) se jogo, não é feriado. 
b) se não jogo, é feriado. 
c) se é feriado, não leio. 
d) se.não é feriado, leio., 
e) se é feriado~jogo. ---­
55. Julgue os itens a seguir: 
L3+2=7e5+5=IO 
11.1>0"2+2=4 
III.Paris é a capital de Portugal ou 
Recife é a capital do Ceará. . 
IV. 3 + 4= 7 se e somente se 32 =9. 
V. Se 3 + 2 =6 então 4+4'79. 
VL Não é verdade que 18 é um número 
ímpar. 
VII. 2 = 3 se, e somente se, 5 > 4. 
VIIL 2S3 
56.(AFTN ESAF) Considere as 
afirmações: 
A) se Patrícia é uma boa amiga, Vítor 
diz a verdade; 
B) se Vitor diz a verdade, Helena não é 
uma boa amiga; 
C) se Helena não é uma boa amiga, 
Patrícia é uma boa amiga.
,-
A análise do encadeamento lógico 
dessas três afirmações permite concluir 
que elas: 
a) são equivalentes a dizer que Patrícia é 
uma boa amiga 
b) implicam necessariamente que Patrícia 
é uma boa amiga 
>'-- '..>....~~ ...:: o;. 
c) implicam necessariamente que Vítor 
diz a verdade e que Helena não é uma boa 
amiga 
d) são consistentes entre si, quer Patrícia 
seja uma boa amiga, quer Patrícia não seja 
uma boa amiga 
e) são inconsistentes entre si. 
57. Indique a conclusão correta, 
admitindo como verdadeiras as 
premissas de que: 
I) O professor não erra; 
11) João é distraído;
Im Quem é distraído erra. 
a) Algum professor é distraído. 
b) João é professor. 
c) Nenhum professor é distraído. 
d) Às vezes um professor é João; 
e) N.D.A. 
~6.1 " \~~:t .~~~~í~G.!-:.~S-...~ 
-0;,,,( ! ~ I!~~;g 	 vlLO 
t;, 	 //~0E' \ 
, (\ 0
!~ I ~~j
tJ% 
6.""'\Ir~;,..\ 
...&,V - j~ : b1:,.J jtI'-Q 
j~ 
.- -,- q 
.i '> ~ •• 
~ ; ~ 
r~ ~1 ~ 
.ç. ::' 
Raciocínio Lógico - Seqüências LÓgiCas 04. Na questão, observe que há uma relação 
entre o primeiro e o segundo grupos de letras. A 
01.Qual das palavras não pertence ao grupo mesma relação deverá existir entre o terceiro 
em cada uma das seguintes questões? grupo e um dos cinco grupos que aparecem nas 
alternativas, ou seja, aquele que substitui 
a. a) cabana b) chalé c) bangalô @fazendGY" corretamente o ponto de interrogação. Considere 
que a ordem alfabética adotada é a ofICiaI e exclui 
~ ,/
b. a}platina 't;:)'...arfim c)ouro d)prata as letras K, W e Y. 
CASA: LATA':: LOBO:?~ , /
c.'eI papel b) rato c) arvore, d) homem a)SOCO ~OCO c)TOMO d)VOLO 
d. a) avião ® eSquilo c) nuvem d) águia/' OS. Testes deQI:. -.:: 
Aponte o Intruso entre as Figuras 
e. Q carbono b) ferro c) alumínio d) cobre / /,.~"&JI (b) (c) (d) ~ (1, ~ 
f. a} andar b) correr esentar d) patinar/' [@l··~·~ @)~ g. a) lago b) piscina e água d) lagoa'/ 
h. a)cadeira ®mad~ira. c)mesà d)armário / . liJi~ 
(b) (G) (d) ;'I'~
i. a·~.lábio @peito c) narjz d)'orelha/ ~ ~Arnaldo e Oouglas; ~ (j,,,,,,,o!d-0 ~ - 06. J;. (c) (d)g Carlos e Flávio r ~ ~ (a) ® ~' 
~Oouglas e Geraldo; C/ ~ 
~ 03. Uma escola de música oferece apenas os -V t ~/J..cursos de Teclado, Violão e Canto e tem 345.. I 
alunos. Sabe~se que nenhum aluno estuda apenas L-Q \~ 
Canto; nenhum aluno estudaTedacroeVtórão; 07. n ~ 'r' 
----------~--~~~--~ ---.._ ..-- (a) (b) '~I' (d) rf'225 alunos estudam Teclado; 90 munos estudam 
Teclado e Canto; ~_e~tud.am...a...Qenas 
Violão. 
~,uantos alunos estudam Canto e Violão? ~ 
 ~~ u' vt',"e-.-.''''-­
~ 70 b) 120 c) 140 d) 150 rJ. rJ 
o ~"o ~--"'~ lr,p\lJ· c c~ ~' 
1J-:;::-?f)--'yYfJCI/~ ,/I !.L-t"C}::::? ' 
ct. 1"" ti to tT O! '" ~.,2 5 J.-I:tJ..:::' gv1 I L...--.-.{) ,_,.....:....J 1U (j V,1 Ó J q -3Lt'c, =-0 
ct,-t- O~ f 1- o'" ;2,,2 S , ~qQ C\.'\-b-t-G-tcl--t~-tu+O-' ­
c;{-tt cO t3S" -I- 5th a -I- o ..,. J- + 90;-0" jl.15""C\+t-:.>J:25 
0-+] fj 
ç- .t'; 345" _ j1rq + qo -::;1.256.­\h :'~
-./ ; .(.,:: +Oo., ::; JJ) -Q. O J 
.....--...-.'-----­
,- A ')(-} 
fiJ
08. 
(a) \\ ~'(b) (c)
DME lf 
06. Indiquea·palavra mais adequada 
logicamente às seqüências dadas: 
1. Edifício, cidade, t?~ , país 
( )Continente 
( ;()Estado c/ 
( )Planeta 
( )Apartamento 
2. Foguete, avião, ~ , bicicleta V 
( ) cart 
( X) trem 
( ) tricicfo 
( ) navé espacial 
3. Terra, Júpiter, Yb~ , Plutão 
( )Marte 
( )( )Urano U 
( )Merciírio 
( )Vênus 
4. Ponto7 segmento, 'hQ4.v. '., reta 
( )espiral 
( )arcú 
(~)raio . 
( )risco', 
 /0 
~ 
5.ovO, .ú1\JrO... , pupa, borboleta 
( )ova 
( t> 7? = + 
( ) 
( )= ()+ + + & 
( )x x x 
20. o o o o + o o o. - o o + + + ? - - - ­
( ) ­
( )+ex )0 
e )Nenhum destes. 
.. .. 
1. a) cabana b) chalé 
2. a)platrna b)marfim c)ouro 
3.a) papel b) rato c) árvore 
4.a) avião b) esquilo c) nuvE;rií d) águia 
5. a) carbono b) ferro d) cobre 
6.a) andar b) correr d) patinar 
7.a) lago 
8-.a) cadeira c) mesa d) armário 
~ I 9. a) lábio c) nariz d) orelha 
í ,- i cera b) caneta c) papel d) lápis 
.e b) iogurte c) manteiga d) Queijo 
\ b) riacho c) córrego d) rio 
13.0) rança b) escuào c) flecha d) punhal 
, 
08. Qual o próximo número em cada seqüência 
abaixo? 
213, 426, 631 , 852, 1065, 1278 
144, 121, 100, __, 64, 49 
987, 878, __, 660, 551, 442 
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, __ 
1, 3, 6, 10, 15, __ 
500, 475, 425, 350, 250, 
200, 196, 180, 116, 
8, 27, 64, 216, 343 
4, 8, 16, 32, 64,1Jg 
15, 12, 24, 20,33, 28,42, 
1, 3,6, 10, 15,21, 28, 
2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 
1/4, O, 1, -3, 13, -51, 205, 
O, 1r 1r 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, __ 
6, 24, 60, 120, 336, 504, 720 
. ­
" 1, 2, 6, 24, 
" 
120;"_"_ 
O, 1, 2, 7, 20, 61, 182, 
1, 3, 7 ~ 15, 31, 63, 127, __ 
09.DESAFIO: "Quatro ãmigos eVincent,.Violet, 
Scanet e Kurt) estavam fazendo trilha e acabaram 
perdenâõ o fl'jxârío. Na vólta, sé depafárám com 
uma ponte estreita~ comprida com capacidade 
máxima para "2 pessoas atravessarem 
simultaneamente" A uz está sumindo rapidamente . 
e os 4 amigos só tem 1 lanterna para utilizar na . 
travessia. Como Vincent havia se machucado, 'seu 
tempo para atravessar a' ponte é de 10 minutos. 
Violet conseoue atrãvessá-Ia em 1 mTnuto, Scanet 
"em 5 minutos e Kurt em 2 minutos. Ap6s pensar 
um pouco, Kúrt chegou a condusão que é-possível 
que todos'f:'assem para o outro lado em apenas 17 
minutos. Qual foi a solução'"Que Kurt encontrou?" 
--\:.t :"~l~ ~ 4Q~ 
K.w..r
.;t""l/>)K\ 4: 
~~I'~ -- fi> li rr;/rv 
3 
http:1"1-'hV..rf
1 (p i( 
'l (fé) ~~ 
~ ao;? Ibt 'rgb '-l:..I '9{;-'?;,t YJI; ~ (rr 
X ("O 
" 
-"-"-~-----------'----. 
,{ \Í\J. 1­
7;,;}" T ./.1Jt" q',~'C' riAq, f,tq IpI-Observe: 
Observe: 
5 
4" 
Quando o numerador é m'àior que o denominador te­
mos yma fração imprópria. 
Frações Equivalentes 
Duas ou mais frações são equivalentes, quando repre­
sentam a m~sma quantidade. 
Matem'ática 
j ; 
2 
T 
1 2 _ ~ 
Dizemos que: 2 = 4" - 6 
• 	 Para obter frações equivalentes. devemos multiplicar 
ou dividir o numerador por mesmo número diferente 
de zero. 
2 3 3
Ex:!,2 ou 
2 2 4 2 3 6 
• 	 Para simplificar frações devemos dividir o numerador e 
o denominador, por um mesmo número diferente de ze­
ro, 
• 	 Quando não for mais possível efetuar as divisões 
dizemos que a fração é irredutível. 
Exemplo: 
18,2 9 
- - ~ => Fração Irredutível ou Simplifi­
12' 	2 6 6 
cada 
1 3
Exemplo: - e ­
3 4 
Calcular o mmc (3.4): 
3.4U2x 	 12
3,2 então mmc (3,4) = 
3,1 3 
1,1 1 
3 
e 	 - = 
3 4 
(12:3)·1 (12: 4).3e -'----'-- temos: 
12 12 
4 9 
-6 
12 12 
-	 1. . I t 4
Afraçao e eqUlva en e a -. 
3 12 
A fração ~ equivalente ~. 
4 12 
10 
~ii 
-'E 
-
ÇÕ"éS 
" 
-'I 
.--( 
-' ç 
- ou -- ou denominadores iguais (ordem decrescente)
3 3 
~ > ~ numeradores iguais (ordem crescente)
5 3 
Simplificação de frações 
Para simplificar frações devemos dividir o numerador e 
o denominador por um número diferente de zero. 
Quando não for mais possível efetuar as divisões. di­
zemos q"ue a fração é irredutível. Exemplo: 
18: 2 9: 3 3 
-: 
12: 2 6: 3 2 
Fração irredutível ou simplificada. 
9 2) 36.Exercicios: Simplificar 1) 12 45 
-. !!oi 
Matemática 
3
Respostas: 1) - 2) i 
4 5 
Redução de frações ao menor denominador comum 
3
Ex.: e 
3 4 
Calcular o mmc (3,4): 
3.4 2 
3.2 2 x então mmc (3, 4) =12 
3,1 3 
1.1 12 
3 _ (12:3)·1 (12:4)·3
e-- e-­
3 4 12 12 
temos: 
4 9 e ­
12 12 
- 1, . I 4 .Afraçao - e eqUlva ente a -. 
3 12 
- 3 . I 9Afraçao eqUlva ente - .
4 12 
Exemplo: 
2 ? 4 => numeradores diferentes e denominado­3 . 5 
res diferentes m.m.c.(3, 5) = 15 
(15:3).2 ? (15.5).4 
= 
15 . 15 
10 12 
-/I 111 IV 
As letras P, Q -e R representam p~-o-17,2 E Q 
Os números inteiros podem ser escritos com forma de 
fração 
Ex.: 7 E Q, pois 7 = .!i 
2 
-9 
- 3 E Q, pois 3" =-3 'U 
Os números decimais infinitos e não periódicos não po­
dem ser escritos em forma de frações. 
Ex.: 1,4142135.. , eQ, 1,7320508... e Q, 3,14159." eQ 
Concluímos que Z c Q, 
Exercícios 
Completar com: 
1) 2/3 G Q 
2)-6 G Q 
3)0,3~Q'e-
4) -1,77777... Q 4 
5) 2,31097521078 ... --t- Q 
Respostas: 1) E 2) E 3) E 4) E 5) e 
ObS.:Para realizarmos operações com frações negati­
vas, usamos o mesmo procedimento como nas frações 
positivas, já estudadas, obedecendo às regras decimais do 
conjunto Z, 
Exercícios. Efetuar: 
0_' 
1 .2---,'~,INVERSA 
Grandezas como tempo de trabalho e número de ope­
rários para a mesma tarefa são, em geral, inversamente 
proporcíonais. Veja: Para uma tarefa que 10 operários 
executam em 20 dias, devemos esperar que 5 operários a 
realizem em 40 dias. 
Podemos destacar outros exemplos de grandezas 
inversamente proporcionais: 
1. 	 Velocidade média e tempo de viagem, pois, 
se você dobrar a velocidade com que anda, mantendo 
fixa a distância a ser percorrida, reduzirá o tempo do 
percurso pela metade. 
2. 	 Número de tomeiras de mesma vazão e tem­
po para encher um tanque. pois, quanto mais tornei-
Apostilas 
Duas grandezas são inversamente proporcionais 
quando, aumentando (ou diminuindo) uma delas numa 
determinada razão, a outra diminui (ou aumenta) na 
a razão. 
ras estiverem abertas, menor o tempo para completar 
o tanque. 
Podemos concluir que: 
Vamos analisar outro exemplo. com o objetivo de 
reconhecer a natureza da proporção, e destacar a razão. 
Con~idere a situação de um grupo de pessoas que. em 
férias, se instale num acampamento que cobra $100,00 a 
diária individual. 
Observe na tabela a relação entre o número de 
pessoas e a despesa diária: 
I 
Número de 
pessoas 
1 2 4 5 10 
Despesa 
diária ( $) 
100 200 400 500 1.000 
Você pode perceber na tabela que a razão de aumento 
do número de pessoas é a mesma para o aumento da 
despesa. Assim, se dobrarmos o número de pessoas, 
dobraremos ao mesmo tempo a despesa. Esta é portanto, 
uma proporção direta, ou melhor, as grandezas número de 
pessoas e despesa diária são diretamente proporcionais. 
Suponha também que, nesse mesmo exemplo, a 
quantia a ser gasta pelo grupo seja sempre de $2.000,00. 
Perceba, então, que o tempo de permanência do grupo 
dependerá do número de pessoas. 
Analise agora a tabela abaixo: 
Número de 1 2 4 5 10 
pessoas 
Tempo de 
I
permanência 20 10 5 4 2 
I(dias) 
Note que, se dobrarmos o número de pessoas, o tempo 
de permanência se reduzirá á metade. Esta é, portanto, 
uma proporção inversa. ou melhor, as grandezas número 
de pessoas e número de dias são inversamente proporcio­
nais. 
4. DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS 
4. 1 Diretamente proporcional 
Duas pessoas, A e B, trabalharam na fabricação de um 
mesmo objeto. sendo que A ° fez durante 6 horas e B 
Matemática 17 
Apostilas 
durante 5 horas. Como. agora, elas deverão dividir com 
justiça os $ 660.00 apurados com sua venda? Na verdade, 
o que cada um tem a receber deve ser diretamente propor­
cionai ao tempo gasto na confecção do objeto. 
Dividir um número em partes diretamente proporcionais a 
outros números dados é encontrar partes desse número 
que sejam diretamente proporcionais aos números dados 
e cuja soma reproduza o própri0 número. 
No nosso problema, temos de dividir 660 em partes 
diretamente proporCionais a 6 e 5. que são as horas que A 
e B trabalharam. 
Vamos formalizar a divisão. chamando de x o que A 
tem a receber, e de y o que B tem a receber. 
Teremos então: 
X+Y=660 
x Y 
6 5 
Esse sistema pode ser resolvido, usando as 
propriedades de proporção. Assim: 
X+Y . --=Substituindo X + Y por 660, vem: 
6+5 
660 =~ => X = 6 . 660 =360 
11 6 11 
Como X + Y =660, então Y =300 
COr)cluindo, A deve receber $ 360,00 enquanto B, $ 
300,00. 
4.2 Inversamente proporcional 
E se nosso problema não fosse efetuar divisão em par­
tes diretamente proporcionais, mas sim inversamente? Por 
exemplo: suponha que as duas pessoas, A e B, trabalhá­
ram durante um mesmo período para fabricar e vender por 
$ 160,00 um certo artigo. Se A chegou atrasado ao traba­
lho 3 dias e B, 5 dias, como efetuar com justiça a divisão? 
O problema agora é dividir $160,00 em partes inversamen­
te proporcionais a 3 e a 5, poi'" deve ser levado em consi­
deração que aquele que se atrasa mais deve receber me­
nos. 
Dividir um número em partes inversamente proporcionais 
a outros números dados é encontrar partes desse núme­
ro que sejam diretamente proporcionais aos inversos dos 
números dados e cuja soma reproduza o próprio número. 
No nosso problema, temos de dividir 160 em partes in­
versamente proporcionais a 3 e a 5, que são os números 
de atraso de A e B. Vamos formalizar a divisão, chamando 
de x oque A tem a receber e de y o que B tem a receber. 
Matemática 18 
Teremos: 
x + Y=160 
x _ y
1-1 
3 5 
Resolvendo o sistema, temos: 
x+y _ x x+ _ x 
-1-1 - 1 => 8 -"1 
- + - .. ... 
3 5 3 15 3 
Mas, como x + y = 160, então 
160 x 160 1 
-~ =>x= . => 
8 8 3 
15 3 15 
15 1 
~ x=160 . - . - ~ x=100 
8 3 
Como x + y =160, então y = 60. Concluindo, A deve 
receber $ 100,00 e B, $ 60,00. 
4.3 Divisão proporcional composta 
Vamos analisar a seguinte situação: Uma empreiteira 
foi contratada para pavimentar uma rua. Ela dividiu o traba­
lho em duas turmas, prometendo pagá-Ias proporcional­
mente. A tarefa foi realizada da seguinte maneira: na pri­
meira turma, 10 homens trabalharam durante 5 dias; na 
segunda turma, 12 homens trabalharam durante 4 dias. 
Estamos considerando que os homens tinham a mesma 
capacidade de trabalho. A empreiteira tinha $ 29.400,00 
para dividir com justiça entre as duas turmas de trabalho. 
Como fazê-lo? 
Essa divisão não é de mesma natureza das anteriores. 
Trata-se·aqui de uma divisão composta em partes propor­
cionais, já que os números obtidos deverão ser proporcio­
nais a dois números e também a dois outros. 
Na primeira turma, 10 homens trabalharam 5 dias, pro­
duzindo o mesmo resultado de 50 homens, trabalhando por 
um dia. Do mesmo modo, na segunda turma, 12 homens 
trabalharam 4 dias, o que seria equivalente a 48 homens 
trabalhando um dia. 
Para a empreiteira, o problema passaria a ser, portanto, 
de divisão diretamente proporcional a 50 (que é 10 . 5), e 
48 (que é 12 .4). 
Para dividir um número em partes de tal forma que uma I 
delas seja proporcional a m e n e a outra a p e q, basta I 
divida esse número em partes proporcionais a m . n e p . I 
q. J 
Convém lembrar que efetuar uma divisão em partes 
inversamente proporcionais a certos números é o 
mesmo que fazer a divisão em partes diretamente pro­
porcionais ao inverso dos números dados. 
.::," 
.. 
Ã~ 
-' 
--" 
,j 
â, 
"Cc 
1')( 
yfl 
'l 
-€ 
'lI 
'ni 
,4' 
~! 
]O 
"l' 
-6 
li 
--
--- -
Apostilas 
Resolvendo nosso problema, temos: 
Chamamos de x: a quantia que deve receber a primeira 
turma; y: a quantia que deve receber a segunda turma. 
Assim: 
X = ou x =.:L 
10·5 12·4 50 48 
x+y x 
~--=--
50 + 48 50 
,~ 
Como x + y =29400, então 29400 = x 
98 50 
~ x=29400· 50 ~ 15.000 
98 
Portanto y = 14400. 
Concluindo, a primeira turma deve receber $15.000,00 
da empreiteira, e a segunda, $ 14.400,00. 
Observação : Firmas de projetos. costumam cobrar 
cada trabalho usando como un!dade o homem-hora. O 
nosso problema é um exemplo em que esse critério 
poderia ser usado, ou seja, a unidade nesse caso seria ho­
mem-dia. Seria obtido o valor de $ 300,00 que é o 
resultado de 15 000 : 50, ou de 14400 : 48. 
REGRA DE SOCIEDADE 
1. INTRODUÇÃO 
Os problemas que este capitulo se propõe a discutir e 
resolver, como você logo perceberá, não são nada mais do 
que aplicações dos casos de divisões em partes proporcio­
nais. 
Por sociedade entendemos, aqui, um grupo de duas ou 
mais pessoas que se juntam. cada uma com um determi­
nado capital, o qual deverá ser aplicado por um certo tem­
po, numa atividade qualquer, com o objetivo de conseguir 
lucros. 
Suponha, por exemplo, que' 'tres amigos ganhem
r-. 
$9.000,00 na loteria, como resultado da premiação de um 
jogo, cujo valor total era $ 4,50. 
Considere que os sócios cc,llribuíram com as seguintes 
quantias: 
Capital ($)Sócios 
A 1,00 
B 1,50 
C 2,00 
Quanto cada sócio deverá receber? Naturalmente, este 
é um caso de divisão em partes diretamente proporcionais 
às quantias investidas. Assim, temos: 
~ 
!!!!!! 
.­ Matemática 19 
, ­
A B C 
I,00 1,50 2,00 
A+ B +C == 9.000,0 
Resolvendo o sistema: 
A+B+C A B c 
--=::--=-­
1,00 + 1,50 + 2,00 1,00 1,50 2,009.000,00 A 
~ = ~ 
4,50 1,00 
~A= 9.000,00.1,00 
4,50 
Então A =2.000,00 
Usando o mesmo processo, encontraremos: 
B =3.000,00 e C = 4.000,00 
Portanto, A receberá $ 2.000,00; B receberá $ 3.000,00 
e C receberá $ 4.000,00. 
Nos casos de sociedades mais complexas, é 
importante também o período de tempo durante o qual 
cada sócio deixa seu dinheiro investido. 
O que define uma sociedade comó simples ou compos­
ta é o fato de os capitais aplicados e de os períodos de 
tempo da aplicação serem iguais ou diferentes para cada 
sócio. 
2. REGRA DE SOCIEDADE SIMPLES 
Primeiro caso: Os· capitais são diferentes, mas 
aplicados durante períodos de tempo iguais. Nesse caso 
podemos afirmar que: 
Os lucros ou preJUlzos serão divididos em partes" 
diretamente proporcionais aos capitais investidos. 
Exemplo: 
Gigi e Helena montaram uma casa de chocolates 
caseiros. Os capitais investidos foram: 
I 
Sócios Capital Investido 
Gigi 2.500,00 
r Helena 2.000,00. 
Ao final de um ano, o balanço apurou um lucro de 
$13.500.00. Quanto cada uma deverá receber? 
Chamando de x e y o que Gigi e Helena devem 
respectivamente receber. teremos: 
2500 2000 e x + y = 13500 
http:13.500.00
- -
------------
Apostilas 
Aplicando as propriedades das proporções já vistas, 
temos: 
x y x+y 13500" 
--::;:--::;: ::;:--::;:J 
2500 2000 2500 + 2000 4500 
x 
2500 ::;:3=:>x::;:7500 
y
2000 ::;: 3 =:> y ::;: 6000 
Portanto, Gigi receberá $ 7.500,00 e Helena $ 6.000,00. 
Segundo caso: O~ capitais são iguais, mas aplicados 
durante periodos de tempo diferentes. Nesse caso 
podemos afirmar que: . 
Os lucros ou prejuizos serão divididos em partes 
diretamente proporcionais aos periodos de tempo em 
ue os capitais ficaram investidos. 
Exemplo: 
Três amigos, A, B e C, juntaram-se numa sociedade 
com idêntica participação no capital inicial. A deixou seu 
capital no negócio durante 4 meses, B por 6 meses e C 
durante 3 meses e meio. Dividir com justiça, o lucro 
auferido de $ 162.000,00. 
Neste problema há a necessidade de, inicialmente, 
transformarmos os periodos de tempo para uma mesma 
unidade: ou meses, ou dias. Vamos usar a unidade dias, 
considerando o mês comercial com 30 dias. 
A B C 
r ._- 1-­ ,~-
FB+:~1~::OO 
Aplicando as propriedades, temos: 
A B c A+B+C 
--::;:--::;:--= = 
120 180 105 120+180+105 
162000 400 
405 .' 
A 
-- ::;: 400 =:> A ::;: 48000 
120 
B 
-- ::;: 400 =:> B ::;: 72000 
180 
C 
-- ::;: 400 =:> C ::;: 42000 
105 
Desta maneira, os lucros auferidos por A, B e C serão, 
respectivamente, $ 48.000,00, $ 72.000,00 e $40.000,00. 
3. REGRA DE SOCIEDADE COMPOSTA 
-
Nas sociedades compostas, tanto os capitais quanto os 
periodos de investimento são diferentes para cada sócio. 
Trata-se, portanto de dividir os lucros ou os prejuizos em 
 "c 
~'partes diretamente proporcionais, tanto ao capital quanto 
ao periodo de investimento. 
I Quando os capitais ou periodos de tempo forem diferen-I 
tes, os lucros ou os prejuizos serão divididos em partes i '( 
diretamente proporcionais ao produto dos capitais pelos: 
eriodos de tempo respectivos. ___i 
~I 
--d,Exemplo: 
Uma sociedade lucrou $ 117.000,00. O primeiro sócio 
entrou com $ 1.500,00 durante 5 meses, e o outro, com $ 
 r 
2.000,00 durante 6 meses. Qual foi o lucro de cada um? 
T 
Trata-se de um caso de regra de sociedade composta. é 
r 
Chamando de x o que o primeiro sócio deve receber e de y 
(o que o segundo recebe, temos: 
'-:[ 
X l' 
1500.5 ::;: 20ÓO. 6 e x +y -= 117000 
'.
Aplicando as propriedades, vem: J 
x _ y _ x +y _ 1 I 7000 _ 6 
7500 12000 19500 19500 
-; 
~r: 
x 
7500 ::;: 6 => x::;: 45000 e 
r 
12000::;: 6 =:> y::;: 72000 
j 
Portanto, o primeiro sócio receberá $ 45 000,00 e o 
,i 
r 
-( 
segundo $ 72 000,00. , 
f.[REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA] '1 
~ 
.f. r 
k1. INTRODUÇÃO "t::
.'~ 
Nos capitulos anteriores, quando analisamos grande­
zas proporcionais, procuramos apenas reconhecer a natu­
reza da dependência entre elas. Neste capitulo, vamos 
ampliar nossa análise, incluindo os valores numéricos 
envolvidos nessa dependência e determinando os que são 
desconhecidos. 
Um problema tipico, por exemplo, é determinar a dis­
tância que um automóvel percorrerá em 8 horas, sabendo 
que, se a mesma velocidade for mantida durante 6 horas, o 
carro percorrerá 900 km. 
Para a resolução deste problema, duas questões são 
colocadas: a primeira é quanto à natureza da proporção 
entre as grandezas envolvidas; a segunda refere-se à 
montagem da proporção. 
Matemática 20 
L 
Apostilas 
Ao conjunto das respostas a essas duas questões 
propostas e à determinação do valor desconhecido dá-se o 
nome de regra de três. 
2. REGRA DE TRÊS SIMPLES 
Retomando o problema do automóvel, vamos resolvê-lo 
com o uso da regra de três de maneira prática. 
Devemos dispor as grandezas, bem como os valores 
envolvidos, de modo que possamos reconhecer a natureza 
da proporção e escrevê-Ia. Assim: 
Grandeza 1: tempo Grandeza 2: distância 
(horas) percorrida 
(km) 
9001 : 1x 
Observe que colocamos 'na mesma linha valores que se 
correspondem: 6 horas e 900 km; 8 horas e o valor 
desconhecido. 
Vamos usar setas indicativas, como fizemos antes, pa­
ra indicar a natureza da proporção. Se elas estiverem no 
mesmo sentido, as grandezas são diretamente proporcio­
nais; se em sentidos contrários, são inversamente propor­
cionais. 
Nesse problema, para estabelecer se as setas têm o 
mesmo sentido, foi necessário responder à pergunta: 
"Considerando a mesma velocidade, Sé aumentarmos o 
tempo, aumentará a distância percorrida?" Como a respos­
ta a essa questão é afirmativa, as grandezas são direta­
mente proporcionais. 
Já que a proporção é direta, podemos escrever: 
6 900 
8 x 
- 7200 IEntao: 6. x = 8.900 => x =--= 200 
6 
Concluindo, o automóvel percorrerá 1 200 km em 8 
horas. 
-ê 
Vamos analisar outra situação em que usamos a regra 
de três. 
Um automóvel, com velocidade média de 90 kmlh, 
percorre um certo espaço durante. 8 horas. Qual será o 
tempo necessário para percorrer o mesmo espaço com 
uma velocidade de 60 km/h? 
(km/h) --,I 
~1 90 
! 
! 
! 
60 
-
A resposta à pergunta "Mantendo o mesmo espaço 
percorrido, se aumentarmos a velocidade, o tempo aumen­
tará?" é negativa. Vemos, então, que as grandezas envol­
vidas são inversamente proporcionais. 
Como a proporção é inversa, será necessário inverter­
mos a ordem dos termos de uma das colunas. tornando a 
proporção direta. Assim: 
t 60
r : I 90 
Escrevendo a proporção, temos: 
! =60 ~ x =8·90 = 12 
x 90 60 
Concluindo, o automóvel percorrerá a mesma distância 
em 12 horas. 
Regra de três simples é um processo prático utilizado 
para resolver problemas que envolvam pares de 
grandezas direta ou inversamente proporcionais. Essas 
: grandezas formam uma proporção em que se conhece 
três termos e o Quarto termo é procurado. 
3. REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
Vamos agora utilizar a regra de três para resolver pro­
blemas em que estão envolvidas mais de duas grandezas 
proporcionais. Como exemplo, vamos analisar o seguinte 
problema. 
Numa fábrica, 10 máquinas trabalhando 20 dias produ­
zem 2 000 peças. Quantas máquinas serão necessárias 
para se produzir 1 680 peças em 6 dias? 
Como nos problemas anteriores, você deve verificar a 
natureza da proporção entre as grandezas e escrever essa 
proporção. Vamos usar o mesmo modo de dispor as gran­
dezas e os valores envolvidos. 
Grandeza 1: 
número de 
máquinas 
Grandeza 2: 
dias 
Grandeza 3: 
número de peças 
1 : r2: 1
2000 
1680 
Grandeza 1: tempo Grandeza 2: 
(horas) velocidade 
Matemática 21 
Apostilas 
Natureza da proporção: para estabelecer o sentido das 
setas é necessário fixar uma das grandezas e relacioná-Ia 
com as outras. 
Supondo fixo o número de dias, responda á questão: 
"Aumentando o número de máquinas, aumentará o número 
de peças fabricadas?" A resposta a essa questão é afirma­
tiva. Logo, as grandezas 1 e 3 são diretamente proporcio­
nais. 
Agora, supondofixo o número de peças, responda á 
questão: "Aumentando o número de máquinas, aumentará 
o número de dias necessários para o trabalho?" Nesse 
caso, a resposta é negativa. Logo, as grandezas 1 e 2 são 
inversamente proporcionais. 
Para se escrever corretamente a proporção, devemos 
fazer com que as setas fiquem no mesmo sentido, inver­
tendo os termos das colunas convenientes. Naturalmente, 
no nosso exemplo, fica mais fácil Lnverter a coluna da 
grandeza 2. 
r: 1 
2000 
16801 : 
Agora, vamos escrever a proporção: 
10 6 2000-=_._-­
x 20 1680 
(Lembre-se de que uma grandeza proporcional a duas 
outras é proporcional ao produto delas.) 
10 = 12000 =:>x 10·33600 =28 
x 33600 12000 
Concluindo, serão necessárias 28 máquinas. 
Regra de três cOmposta é um processo prático utilizado 
para resolver problemas que envolvem mais de duas 
Iarandezas proporcionais. 
PORCENTAGEM 
RAZÃO CENTESIMAL (OU PORCENTUAl) 
Denomina-se razão centesimal ou porcentual toda ra­
zão cujo conseqüente é igual a 100. 
Exemplos 
~ , 'que pode ser representada pelo simbolo 3% (lê-
se: três por cento). 
iii 
25 . 
-, que pode ser representada pelo slmbolo 25%
100 
(lê-se: vinte e cinco por cento). 
52 
-, que pode ser representada pelo simbolo 52%
100 
(lê-se: cinqüenta e dois por cento). 
300 ' 
, que pode ser representada pelo símbolo 300% 
100 
(lê-se: trezentos por cento). 
Uma razão comum, como por exemplo ~ pode ser 
4 
transformada em razão porcentual. procedendo-se da 
seguinte maneira: 
3 75 
75%4=t 100 
foi obtido dividindo-se 3 por 4 
SIGNIFICADO DA EXPRESSÃO % 
Quando ouvímos ou lemos: 
"Grande loja está liquidando seus produtos, com 
descontos de 30%", significa que sobre cada R$ 100,00 
do preço de uma mercadoria há um desconto de R$ 
30,00. 
"Das pessoas entrevistadas, 50% votariam no can­
didato X para prefeito·, significa que sobre cada 100 
pessoas entrevistadas. 50 votariam no candidato X pa­
ra prefeito. 
MÉTODO PRATICO PARA CALCULAR A PORCEN­
TAGEM 
Vamos recordar que: 
3 3 
- de 20 pode ser representado por: - x 20 
4 4 
7 7 
de 500 pode ser representado por: X 500 
100 100 
Aplicando este conhecimento, estudaremos um proces­
so prático para calcular a porcentagem. 
1.° exemplo: 
Calcular 12% de R$ 500,00 
12
12%= - =012
100 ' 
'-,,' 
-' 
.> 
~( 
~( 
Matemática' 22 
100 -l 
I 
I 
\;.:'·~·~l·· 
Apostilas-~ 
.F 
f, 
/-- ­
,,­
~ 
I 
J 
t 
~.I 
..·1 
." 
~r 
.~ 
,- ­
12% de R$ 500,00 = 
0,12 x R$ 500,00 = R$ 60,00 
2.° exemplo: 
o preço de uma televisão é R$ 650,00. Para pagamen­
to a vista, há um desconto de 15%. Calcular: 
a) a quantia referente ao desconto; 
b) preço da televisão para pagamento a vista. 
15 
15%= - =015 
100 ' 
15% de R$ 650,00 = 0,15 x R$ 650,00 = R$ 97,50 
(desconto) 
R$ 650,00 - R$ 97,50 = R$ 552,50 (preço para paga­
mento a vista) 
Resposta: 
a) O desconto foi de R$ 97,50. 
b) O preço, para pagamento a vista, é R$ 552,50. 
3' exemplo: 
O salário de uma pessoa é R$ 1600,00 e sofreu um 
reajuste de 32,5%. Qual é o novo salário dessa pessoa? 
32 5% = 32,5 = O325 
, 100 ' 
32,5% de R$ 1600,00 = 
0,325 X R$ 1600,00 = R$ 520,00 (reajuste) 
R$1 600,00 + R$ 520,00 =R$ 2120,00 (novo salário) 
Resposta: O novo salário dessa pessoa é R$ 2120,00. 
Exercicios: 
01- Um aluno não pode faltar a mais de J.. das aulas 
4 
dadas durante o ano. Isto é o mesmo que dizer que 
não pode faltar a mais de 25% das aulas dadas? N'W1 
02- 10% de uma quantia é o mesmo que J.. dessa quan­
10 
tia? ;).IN'I 
03- Uma comissão de venda de R$ 3,00 em cada R$ 25,00 
a quantos por cento corresponde? \~, ­
3 
04- Exprimir as razões seguintes sob a forma de %: ; 2 
4 
11 
: 5, 9 : 9; 200 . \" ~ ~».~ ~.i, 
~ f'l'\l.... ' 
.... ~ 
Matemática 23 
C'\ 1 
~. 05- ) Exprimir sob a forma de fração irredutivel: 5%: 2 - %; 
'\",j 2 
1,5%; 125%. 
06- É certo que para calcular í % de uma quantia basta í\ 
multiplicar por í essa quantia e dividir o produto obtido l 1, ) 
por 100? ,~'-'" 
07­
08- Quando um negociante faz a você um abatimento de 
15% sobre R$ 42,00, ele calcula o que você tem de 
pagar multiplicando 42.00 por 0,85. Está certo? !}i,fVV'" 
09- As editoras dão 30% de comissão aos vendedores e 
7% aos autores sobre o preço de venda. Quanto ga­
nham, rESpectivamente, o vendedor e o auto( por um 
livro que é vendido por R$ 30,00? "1> 9,00 ~~ \0 
10- Um negociante concede um abatimento de 5% sobre 
o preço marcado numa mercadoria e o desconto~'de 
R$ 21,00. Qual o preço marcado? ~\J." . 
11- Se um negociante lhe vende uma camisa d R$ 
120.00 por R$ 102.00. quantos por cento lhe conce-. / 
deu de desconto? 1ç f. 
12- Uma pessoa compra um terreno de R$ 20.000,00 e 
vende-o com lucro de R$ 4.000.00. Qual a porcenta­
gem de lucro? 
13- Uma pessoa revende um automóvel por R$ 15.000,00, 
lucrando 25% sobre o preço de compra. Por quanto 
havia comprado o automóvel? 
14- Uma pessoa compra uma geladeira e a revende por 
R$ 1.440,00, com um prejuízo de 28% sobre o preço 
de compra. Por quanto havia comprado a geladeira? 
15- Uma pessoa compra uma propriedade por 11 mil 
cruzeiros. Paga de taxas, comissões e escrituras R$ 
1.200,00. Por quanto deve revendê-Ia para lucrar 
20%, sobre o custo? 
16- Por quanto devo revender um objeto que comprei por 
R$ 40,00 de modo que tenha um lucro de 20% sobre 
o preço de venda? 
17- Um atirador faz 320 disparos contra um alvo. tendo 
acertado 288 vezes. Qual foi a porcentagem de tiros 
certos e qual a de tiros errados? 
18- Medindo-se um ângulo de 25°. por imperfeição. acha­
se 22° 56'48". Qual a porcentagem de erro? 
19- Qual o preço de custo de uma mercadoria vendida por 
R$125,00, com prejuízo de 20% sobre o preço de 
venda? 
http:4.000.00
j 
Apostilas 
20- Na venda de um certo objeto houve lucro de R$ 12,00 
correspondente a 16% do preço de custo. Qual o pre­
ço do custo do objeto? 
21- Certa mercadoria foi vendida por R$ 252,00, dando 
um lucro de 20% sobre o custo ao vendedor. Quanto 
lhe custou a mercadoria? 
22- Por R$ 750,00 vendi minha máquina fotográfica com 
25% de prejuizo sobre o seu custo. Por quanto com­
prei a maquina? 
23- Comprou-se certa mercadoria. Sobre o custo, pagou­
se 5% de imposto e 3% de frete. Sendo a mercadoria 
vendida por R$ 27,00 dá um lucro de 25%. Por quanto 
foi comprada? 
24· 	 Patricia comprou uma rádio com abatimento de 10% 
sobre o preço· marcado e pagou, então, R$ 360,00. O 
preço marcado era: 
a) R$ 396,00 
b) R$ 324.00 
c) R$ 400,00 
d) R$ 36.00 
e) R$ 3.600.00 
25-	 Um negociante ao falir só pôde pagar ~ do que
36 
devia. Se possuísse mais R$ 23.600.00. poderia pa­
gar 80% da divida. Quanto ele devia? 
Respostas 
"1) Sim
" .\.~)Slm 
'3) 12% 
'\. 4) 75%; 40%;100%; 
1
(\5-%
'" 2 
'\ 1 1 3 5
''5) . . . 
". 	 20 ' 40 ' 200 '"4 
''6) Sim 
7) R$ 3.60 
'8) Sim 
-'9) R$ 9.00 R$ 2.10 
-.::::10) R$ 420,00 
 .' 
'11) 15% 
···•.j2) 20% 
13) R$12.000.00 
14) R$ 2.000.00 
15) R$ 14.640,00 
16) R$ 50,00 
17) 90% e 10% 
18) 8~% 
75 
19) R$150.00 
20) R$ 7S,OO 
21) R$ 210,00 
22) R$ 1.000,00 
23) R$ 20,00 
24) C 
25) R$ 72.000,00 
Juros Simples 
1 JUROS SIMPLES 
1.1 Conceito 
A fim de produzir os bens de,qúe necessita. o ho­
mem combina os fatores proautivos - recursos naturais, 
trabalho e capital. Organizando a produção, o homem gera 
iii 
as mercadorias e os serviços destinados ao seu consumo 
A venda desses bens gera·a renda. que é distribuída entre 
os proprietários dos fatores produtivos. Assim. os proprietá­
rios dos recursos naturais recebem remuneração na forma 
de aluguéis; os proprietários da força de trabalho recebem 
salários; os organizadores da produção recebem lucros e 
os proprietários do capital recebem remuneração na forma 
de juros. 
Desta forma, os juros constituem uma parte da ren­
da. que é distribuída aos proprietários do capital (máqui. 
nas, equipamentos, ferramentas etc.). 
No cálculo financeiro. juro é uma compensação. em 
dinheiro pelo uso de um capital financeiro. por determinado 
tempo. a uma