2834-APOSTILA-RLM (2) pdf

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QB MENTORIA
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2
SUMÁRIO
CONJUNTOS NUMÉRICOS 6
7
7
7
8
8
9
NÚMEROS	NATURAIS	(IN)		
NÚMEROS	INTEIROS	(Z)		
NÚMEROS	RACIONAIS	(Q)		
NÚMEROS	IRRACIONAIS	(I)		
NÚMEROS	REAIS	(IR)	
DIAGRAMA DOS CONJUNTOS 
NÚMEROS	COMPLEXOS	(C)	 9
TEORIA DOS CONJUNTOS 15
16
16
17
18
18
DEFINIÇÃO 
RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA 
RELAÇÃO	DE	INCLUSÃO	
RELAÇÕES	ENTRE	CONJUNTOS	
UNIÃO,	INTERSECÇÃO	E	DIFERENÇA	ENTRE	CONJUNTOS	
CONJUNTO COMPLEMENTAR 24
OPERAÇÕES BÁSICAS 29
30
30
31
33
34
36
DEFINIÇÃO 
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 
MÚLTIPLOS E DIVISORES 
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 
POTÊNCIAS 
RADICAIS 
EXPRESSÕES	NUMÉRICAS	 37
FRAÇÕES 41
42
43
45
46
47
48
48
48
DEFINIÇÃO 
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES 
COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES 
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES 
COMPLEMENTAÇÃO	DE	FRAÇÕES		
MULTIPLICAÇÃO	DE	FRAÇÕES			
POTENCIAÇÃO	DE	FRAÇÕES	
RADICIAÇÃO	DE	FRAÇÕES		DIVISÃO DE FRAÇÕES 
MMC E MDC 52
53MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM 
MÁXIMO DIVISOR COMUM 55
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3
SISTEMA DE MEDIDAS 59
60
60
61
61
67
DEFINIÇÃO 
UTILIZAÇÃO	DAS	UNIDADES	DE	MEDIDA	
CONVERSÃO ENTRE UNIDADES DE MEDIDA 
EQUIVALÊNCIA	ENTRE	MEDIDAS	DE	VOLUME	E	CAPACIDADE	
SISTEMA	MONETÁRIO	BRASILEIRO	
COMO	A	BANCA	CESPE/CEBRASPE	JÁ	COBROU	ISSO?	 68
RAZÃO, PROPORÇÃO E REGRA DE TRÊS 70
DEFINIÇÃO	 71
COMO	A	BANCA	CESPE/CEBRASPE	JÁ	COBROU	ISSO?	 74
REGRA DE TRÊS SIMPLES 76
77GRANDEZAS	DIRETAMENTE	PROPORCIONAIS		
GRANDEZAS	INVERSAMENTE	PROPORCIONAIS	 78
COMO	A	BANCA	CESPE/CEBRASPE	JÁ	COBROU	ISSO?	 81
REGRA DE TRÊS COMPOSTA 84
85DEFINIÇÃO	
COMO	A	BANCA	CESPE/CEBRASPE	JÁ	COBROU	ISSO?	 88
91
92
98
DIVISÃO PROPORCIONAL 
DEFINIÇÃO 
COMO	A	BANCA	CESPE/CEBRASPE	JÁ	COBROU	ISSO?	
ESCALA 101
102DEFINIÇÃO 
COMO	A	BANCA	CESPE/CEBRASPE	JÁ	COBROU	ISSO?	 103
PORCENTAGEM 105
106DEFINIÇÃO
COMO	A	BANCA	CESPE/CEBRASPE	JÁ	COBROU	ISSO? 113
EQUAÇÕES E PROBLEMAS DE 1°GRAU 119
122DEFINIÇÃO 
COMO	A	BANCA	CESPE/CEBRASPE	JÁ	COBROU	ISSO?	 124
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DE 1°GRAU 128
129
129
130
MÉTODO	DA	ADIÇÃO	
MÉTODO	DA	SUBSTITUIÇÃO	
SISTEMA COM 3 OU MAIS VARIÁVEIS 
COMO	A	BANCA	CESPE/CEBRASPE	JÁ	COBROU	ISSO?	 132
EQUAÇÕES DE 2°GRAU 135
EQUAÇÕES	COMPLETAS	 136
EQUAÇÕES	INCOMPLETAS	 137
SOMA	E	PRODUTO	DAS	RAÍZES	 137
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4
FUNÇÕES 139
PARIDADE DE FUNÇÕES 141
FUNÇÃO DE 1° GRAU 143
EXEMPLO DE AULA 143
COEFICIENTE ANGULAR 143
COEFICIENTE LINEAR 144
COMO	A	BANCA		CESPE/CEBRASPE	JÁ	COBROU	ISSO?	 147
FUNÇÕES DE 2º GRAU 149
SOMA	E	PRODUTO	DAS	RAÍZES	 152
VÉRTICE	DA	PARÁBOLA	 152
COMO	A	BANCA	CESPE/CEBRASPE	JÁ	COBROU	ISSO?	 156
EQUAÇÃO EXPONENCIAL 159
 DEFINIÇÃO 160
FUNÇÃO EXPONENCIAL 160
COMO	A	BANCA	CESPE/CEBRASPE	JÁ	COBROU	ISSO?	 164
ESTATÍSTICA 166
REPRESENTAÇÃO	GRÁFICA	 168
GRÁFICO DE COLUNAS 169
GRÁFICO DE BARRAS 169
GRÁFICO	DE	SETORES	 170
HISTOGRAMA		 171
MEDIDAS	DE	TENDÊNCIA	CENTRAL	OU	MEDIDAS	DE	POSIÇÃO	 172
MÉDIA	ARITMÉTICA	 173
MÉDIA	PARA	DADOS	AGRUPADOS	POR	VALOR	 175
MÉDIA	PARA	DADOS	AGRUPADOS	POR	CLASSE	 176
MODA	-	MODA	PARA	DADOS	NÃO-AGRUPADOS	 177
DESVIO	ABSOLUTO	MÉDIO	 180
VARIÂNCIA	E	DESVIO	PADRÃO	 181
COMO	A	BANCA	CESPE/CEBRASPE	JÁ	COBROU	ISSO?	 181
SÉRIES NUMÉRICAS 185
PROGRESSÃO	ARITMÉTICA	 186
PROGRESSÃO	GEOMÉTRICA	 189
TERMO	GERAL	OU	MÉDIO	 190
SOMA DOS INFINITOS TERMOS 191
COMO	A	BANCA	CESPE/CEBRASPE	JÁ	COBROU	ISSO?	 191
ANÁLISE COMBINATÓRIA 194
 FATORIAL 195
COMO	A	BANCA	CESPE/CEBRASPE	JÁ	COBROU	ISSO?	 201
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5
PROBABILIDADE 204
COMO	A	BANCA	CESPE/CEBRASPE	JÁ	COBROU	ISSO?	 208
GEOMETRIA 212
 TRIÂNGULOS 213
ÁREA DE TRIÂNGULOS 215
TRIANGULO RETÂNGULO 215
EXERCÍCIOS DE AULA 215
QUADRILÁTEROS	 216
FIGURAS	CIRCULARES	 218
CÍRCULO	/	CIRCUNFERÊNCIA	 219
 ÁREA 219
TRIÂNGULO RETÂNGULO 220
TRIÂNGULO	EQUILÁTERO	 220
QUADRADO	 221
 RETÂNGULO 221
 LOSANGO 222
 PARALELOGRAMO 222
TRAPÉZIO	 223
 CIRCUNFERÊNCIA 223
 VOLUME 224
COMO	A	BANCA	CESPE/CEBRASPE	JÁ	COBROU	ISSO?	 227
COMO FORAM AS ULTIMAS PROVAS DA PRF ? 228
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6
CONJUNTOS NUMÉRICOS
"Salve, salve, galera !
Essa é a parte básica da Matemática,..
Tudo começou por aqui, então não podemos passar batido!
Se você não sabe a base, não sabe nada.
Que comecem os jogos....
Abraços e bons estudos"
@ profdudan
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1.1	NÚMEROS	NATURAIS	(IN)
Esse conjunto foi criado pelo homem para suprir a necessidade de contar os 
elementos da natureza que estavam ao seu redor.
1.2	NÚMEROS	INTEIROS	(Z)
 Ao passo que o homem começou a comercializar, vender e distribuir sua 
produção de feijão, arroz, etc , ele percebeu a necessidade de ter um tipo de número 
que fosse capaz de representar essa “perda”, essa diminuição ou até um acréscimo. 
Por isso complementou-se o conjunto dos naturais com a inserção dos números 
negativos.
1.3	NÚMEROS	RACIONAIS	(Q)
Até aqui estava tudo perfeito, mas ainda faltava um certo tipo de número que 
permitisse que se representassem os valores “quebrados”, fragmentados, e para isso, 
surgiu o conjunto dos Racionais.
Definição: 
N = {0, 1, 2, 3, 4, ... }
Subconjuntos
N * = { 1, 2, 3, 4, ... } naturais não nulos.
Definição: 
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ... }
Subconjuntos
Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ... } inteiros não nulos
Z + = { 0, 1, 2, 3, 4, ... } inteiros não negativos (naturais)
Z*+ = { 1, 2, 3, 4, ... } inteiros positivos
Z- = {..., -4, -3, -2, -1, 0 } inteiros não positivos
Z*- = {..., -4, -3, -2, -1} inteiros negativos
Definição
É todo número que pode ser escrito na forma
 Q = { | p ϵZ e q ϵZ*}
Subconjuntos
Racionais não nulos
Racionais não negativos 
Racionais positivos
Racionais não positivos 
Racionais negativos
p
-
q
Q* 
Q+
Q*+ 
Q- 
Q*- 
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Frações e Decimais
Decimais exatos
Decimais periódicos
Transformação de dízima periódica em fração geratriz 
1- Escrever tudo na ordem, sem vírgula e sem repetir;
2- Subtrair o que não se repete, na ordem e sem vírgula;
3- No denominador:
Para cada item “periódico” colocar um algarismo 9;
Para cada “intruso”, se houver, colocar um algarismo 0.
Exemplos 
0,555... Seguindo os passos acima : 
 1,323232... Seguindo os passos acima: 132 -1 131
 99 = 993,151515... 
1,744444...	 
4,1252525...
1.4	NÚMEROS	IRRACIONAIS	(I)
É	a	“rapa	do	tacho”,	os	números	que	não	foram	até	agora	definidos,	como	raízes	
não exatas, constantes matemáticas, etc.
Definição
Todo número cuja representação decimal não é periódica.
Exemplos 
0,212112111...						1,203040...				√2		 3√9									π	
1.5	NÚMEROS	REAIS	(IR)
Definição
Conjunto formado pelos números racionais e irracionais.
R = Q U I , sendo Q ∩ I = Ø
Subconjuntos
R* = { x ∈ R | x ≠ 0 } reais não nulos
R += { x ∈ R | x ≥ 0 } reais não negativos
R*+= { x ∈ R | x > 0 } reais positivos
R- = { x ∈ R | x 0 } reais não positivos
 reais negativos
 = 0,45
2 _= 0 ,25 
4
1
R*- = { x ∈ R | x < 0 }
_ = 0,333...=0,3
3
1 _	=	0,777...=0,7
9
7								I I
05 - 0 5
 9 = 9
II
I I
| |
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9
DIAGRAMA DOS CONJUNTOS
1.6	NÚMEROS	COMPLEXOS	(C)
É	o	maior	dos	conjuntos	e	engloba	todos	os números com os quais convivemos 
e lidamos na Matemática.
Exercícios de Aula
1. Entre os conjuntos abaixo, o único formado apenas por números racionais é.
A) {π	,	√4	,	-3	}
B) {√1/4	,	-1,777…,	-	3/6	}
C){-2	,π	,	 -3	}
D) {√2	,	1	, 3	}
E) ){√4	,	√6		,	√9	}
2. Observe os seguintes números.
I	-	 	7,32333435...
II	-	 	π	/	5
III - 1,121212... 
IV - 1,323334 
V - √-4
Assinale	a	alternativa	que	identifica	os	números	irracionais.
A) I E II
B) I E IV
C) II E III
D) II E V
E) III E V
R
I
Q
Z
N
Percebemos, portanto, que o conjunto 
dos NATURAIS (N) está todo inserido 
no	 conjunto	 dos	 INTEIROS	 (Z)	 e	 esse,	
por sua vez, está totalmente dentro doconjunto	dos	RACIONAIS	(Q).	Frente	aos	
RACIONAIS estão os IRRACIONAIS (I); 
os quais juntos, formam o conjunto dos 
REAIS (R).
Definição
Todo número que pode ser escrito na forma a + bi, 
com a e b reais.
	3	+	2i		
Exemplos
-3i	 -2	+	7i 	 9		 1,3	 1,203040...
√2 3√9	 π	
3	
 3√
| |
|
| |
| |
|
|
|
√
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3. Entre os conjuntos abaixo, aquele formado por apenas números racionais é: 
B) {0,5;	1,4;	¾,	3+2i}
C) {5;	0,1238888...;	0;	1,2;	 √8}
D) {4/5;	2/7;	i/2;	5/3}
E) {√2;	2/5;	4}
4. Marque a alternativa correta:
A) Todo número complexo é um número real.
B) A diferença entre dois números naturais qualquer sempre é um número
natural. 
C) O quociente entre dois números irracionais é sempre um número irracional .
D) Todo número irracional pode ser escrito como a divisão de outros dois
números racionais. 
E) Nem todo número racional possui uma representação decimal exata.
5. Considere um conjunto C formado pela intersecção do conjunto de todos
os números racionais com o conjunto de todos os números irracionais. Sobre este 
conjunto	C,	é	CORRETO	afirmar:
A) Corresponde ao conjunto dos números reais.
B) É	um	conjunto	que	não	contém	nenhum	elemento.
C) Está contido no conjunto dos números inteiros.
D) Contém o conjunto dos números naturais.
E) É	um	conjunto	dos	números	complexos,	maior	que	o	conjunto	dos	números
reais.
6. Sendo x e y números naturais, o resultado da divisão de x por y, obtido com
auxílio de uma calculadora, foi a dízima periódica 3,333...
Dividindo-se y por x nessa calculadora, o resultado obtido será igual a
A) 0,111...
B) 0,3
C) 0,333...
D) 0,9
E) 1,111...
7. Qual	a	fração	que	dá	origem	à	dízima	2,54646...	em	representação	decimal?
A) 2.521	/	990
B) 2.546	/	999
C) 2.546	/	990
D) 2.546	/	900
E) 2.521	/	999
8. Indique	qual	o	número	racional	geratriz	da	dízima	periódica	7,233...	.
A) 723/99
B) 723/90
C) 716/99
D) 716/90
E) 651/90
3
A) {1; 0,3333333..., 29, }
|
|
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Intervalos Númericos
É a representação do conjunto dos números reais na reta numérica com um 
certo intervalo determinado.
Assim, se a e b são números reais com a < b, os subconjuntos de |R são os 
intervalos.
Intervalo aberto: (a,b)= {x ∈ |R / a < x < b}
Intervalo fechado: [a,b] = {x ∈ |R / a ≤ x ≤ b}
Intervalo ilimitado à direita :[a, + ∞) ou [a,+∞[
Conjunto = {x ∈ |R / x ≤ a}
Intervalo ilimitado à esquerda : ( - ∞ , b) ou ( - ∞ ,b [ 
Conjunto = {x ∈ |R / x <b }
Exemplo :
b
a
a b
a b
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12
Cuidado !
Temos que estar atentos ao “tipo de número“ envolvido no intervalo.
A	=	{	x	∈	N	|	4	<	x	<	8	}
A	=	{	x	∈	R	|	4	<	x	<	8	}
Represente na reta numérica os seguintes intervalos:
{	x	∈	R	|	-3<	x	<	5}
(-∞	;35[
{	x	∈	R	|		x	>-2	}
Exercícios de Aula 
9. Marque a alternativa que descreve o conjunto representado pela reta real
abaixo:
A) [-3;	5]
B) ]-3;	5[
C) ]∞-;	-3[U]5;	∞]
D) ]∞-;	-3]U[5;	∞]
E) ]-3;	0[U]0;	5[
10. Quantos	números	inteiros	existem	dentro	do	intervalo	-√10;	√15		?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) Nenhum
| |
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COMO A BANCA CESPE/CEBRASPE JÁ COBROU ISSO ?
1. Na secretaria de um órgão público, as páginas dos processos, para serem
digitalizadas,	são	separadas	e	distribuídas	entre	7	servidores	—	4	servidores	recém-
contratados e 3 servidores antigos. Julgue o item a s eguir, a respeito dessa situação.
Considere que, com a aquisição de novos equipamentos, o tempo para se digitalizar 
uma	 página,	 que	 era	 de	 22	 segundos,	 passou	 a	 ser	 de	 [22	 –	 22	 ×	 P]	 segundos,	 em	
que	P	correspondente	à	dízima	periódica	0,27272727....	Nessa	situação,	com	os	novos	
equipamentos, a digitalização de uma página passou a ser feita em 16 segundos
( ) Certo
( )Errado
Comentário: Questão	que	exige	a	transformação	da	dizima	periódica	em	fração	
geratriz para efetuar os cálculos.
2. Julgue o seguinte item, relativos a sistemas numéricos e sistema legal de
medidas.
Se	A	=	1,232323...	e	B	=	0,434343...,	então	A	+	B	=	165/99
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: Questão	que	exige	a	transformação	da	dizima	periódica	em	fração	
geratriz para efetuar os cálculos.
3. Sabendo	que	N	=	{0,	1,	2,	3,...}	é	o	conjunto	dos	números	naturais,	julgue	o	item
seguinte,	relativos	a	esse	conjunto,	a	seus	subconjuntos	e	às	operações	em	N.	
Se	C	=	{0,	2,	3,	6,	7,	9,	11,	15,	24,	68},	então	o	conjunto	D	=	{0,	2,	3,	7,	9,	11,	15}	é	formado	
por todos os elementos de C menores que 24.
( )Certo
( )Errado
Comentário: Questão	que	exige	a	identificação	dos	elementos	de	cada	conjunto.
4. Julgue o item a seguir, relativo a números naturais, números racionais e regra
de	três.	Se	uma	TV	digital	tiver	uma	resolução	de	1.080	pixels	de	largura	por	720	pixels	
de altura, então o quociente, em pixels, da altura pela largura corresponderá a um 
número decimal que poderá ser representado por uma dízima periódica.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: Questão	que	trata	do	conceito	de	dizima	periódica.
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14
5. Considerando	 as	 propriedades	 e	 as	 operações	 fundamentais	 dos	 números
inteiros, racionais, irracionais e reais, julgue o item a seguir.
O produto de dois números racionais é sempre um número racional. O mesmo é válido 
para números irracionais: o produto de dois números irracionais é sempre um número 
irracional.
( )Certo
( )Errado
Comentário: Questão	conceitual	sobre	conjuntos	numéricos.
Gabarito
Exercício s de Aula
1-B	 2-A	 3-C	 4-E	 5-B	 6-B	 7-A	 8-E	 9-B	 10-B
Questões da Banca CESPE
1-C 2-C 3-E 4-C 5-E
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TEORIA DOS CONJUNTOS 
"Salve salve, galera !
Isso não cai em prova, DESPENCA!!!!
Exigirá muita cautela e “cuca no lance”!
Tem que entender a lógica que envolve esse assunto e toda a sua 
teoria.
Seguimos juntos nessa caminhada.
Abraços e bons estudos"
@profdudan
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2.1 DEFINIÇÃO
Conjunto é um conceito primitivo,	 isto	é,	sem	definição,	que	 indica	agrupamento	de	
objetos, elementos, pessoas etc. Para nomear os conjuntos, usualmente são utilizadas 
letras maiúsculas do nosso alfabeto.
Representações
Os conjuntos podem ser representados de três formas distintas:
I – Por enumeração (ou extensão)
Nessa representação, o conjunto é apresentado pela citação de seus elementos entre 
chaves e separados por vírgula. Assim temos:
O	conjunto	“A”	das	vogais	->	A	=	{a,	e,	i,	o,	u}.
O	conjunto	“B”	dos	números	naturais	menores	que	5	->	B	=	{0,1,2,3,4}.
O	conjunto	“C”	dos	estados	da	região	Sul	do	Brasil	->	C	=	{RS,	SC,	PR}.
II – Por propriedade (ou compreensão)
Nessa representação, o conjunto é apresentado por uma lei de formação que 
caracteriza todos os seus elementos. Assim, o conjunto “A” das vogais é dado por:
A	=	{x	/	x	é	vogal	do	alfabeto}	->	(Lê-se:	A	é	o	conjunto	dos	elementos	x,	tal	que	x	
é uma vogal)
Outros exemplos:
B	=	{x/x	é	número	natural	menor	que	5}
C	=	{x/x	é	estado	da	região	Sul	do	Brasil}
III – Por Diagrama de Venn
Nessa representação, o conjunto é apresentado por meio de uma linha fechada 
de tal forma que todos os seus elementos estejam no seu interior. Assim, o conjunto 
“A” das vogais é dado por:
2.2 RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA
 É	uma	relação	estabelecemos	entre	elemento e conjunto, para ela fazemos uso 
dos	símbolos	∈		e	∈.
A	pergunta	que	pode	nos	orientar	é:	“O	elemento	está	dentro	do	conjunto?”
Exemplo:
Fazendo uso dos símbolos, estabeleça a relação entre elemento e o conjunto:
• 7		∈		N
• -9		∉		N
• 0,5	∉		I
• -12,323334	∈		Q
• 0,121212...	∈		Q
• √	3	∈	I
• √-16	∉		R
a.
e.
i.
o.
u.
|
|
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2.3 RELAÇÃO DE INCLUSÃO
	 É	 uma	 relação	 que	 estabelecemos	 entre	 dois	 conjuntos.	 Para	 essa	 relação	
fazemos	uso	dos	símbolos	:	⊂,⊄,⊃e⊅.
A	pergunta	que	pode	nos	orientar	é:	“O	conjunto	está	dentro	do	conjunto	?	”
Exemplo: 
Fazendo uso dos símbolos de inclusão , estabeleça a relação entre conjuntos:
• N		Z
• Z	⊂	Q
• Q	⊄	I
• I	⊄	N
Observações
Dizemos que um conjunto “B” é um subconjunto ou parte doconjunto “A” se, e 
somente	se,	B		⊂		A.	
Dois	conjuntos	“A”	e	“B”	são	iguais	se,	e	somente	se,	A		⊂	B	e	B		⊂		A.	
Dados	os	conjuntos	“A”,	“B”	e	“C”,	temos		que:		se		A	⊂		B		e		B		⊂		C		,	então	A	⊂	C.
O total de subconjuntos é dado por 2e, onde "e" é o número de elementos do 
conjunto. 
Exemplo:
O	conjunto	A	=	{1,2,3,4}	possui	16	subconjuntos,	pois	24 = 16. O conjunto Vazio 
(Ø ou	{	}	)		e	o	próprio	conjunto	são	sempre	subconjuntos.
EXERCÍCIOS DE AULA 
1.Indique	quantos	são	os	subconjuntos	do	conjunto	{1,2,3,4}.
a) 12
b) 13
c) 14
d) 15
e) 16
2.Certo	dia	o	professor	Dudan	disse	em	aula	que	poderia	criar	128	subconjuntos
com	os	objetos	que	havia	em	sua	mesa.	Sendo	assim	é	coreto	afirmar	que	o	número	
de objetos na mesa do professor é de.
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
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2.4 RELAÇÕES ENTRE CONJUNTOS
Agora veremos como os conjuntos podem se relacionar.
I. Se B é subconjunto de A, pode-se dizer que B é parte de A, ou que B está
contido em A.
Exemplo: A relação entre sua cidade natal e seu estado.
II. Se A e B são conjuntos disjuntos, eles não possuem elementos em comum,
ou seja, nenhum elemento de A também pertence a B, e vice-versa. 
Exemplo: A relação entre dois países que não fazem fronteira.
III.	Os	diagramas	de	A	e	B	estão	entrelaçados,	significa	que	esses	dois	conjuntos
possuem apenas alguns elementos em comum.
2.5 UNIÃO, INTERSECÇÃO E DIFERENÇA ENTRE CONJUNTOS 
A
 B
A
B
A
 B
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19
Como funciona com dois Conjuntos ?
 a b c
 d
 x y a: apenas X
c: apenas Y
b: X e Y
a+b: X
b+c: Y
d: nem X nem Y
a+c: apenas X ou apenas Y
a+d: não Y 
c+d: não X
Se liga, Geniozinho(a)!
DICA: Somando os dois conjuntos 
integrais
is e comparando com a união deles, 
o excedente é sempre culpa da
intersecção.
EXERCÍCIOS DE AULA 
3. A é o conjunto de todas as pessoas que gostam de aspargos e B é o conjunto
de todas as pessoas que gostam de brócolis , conforme representado no diagrama a 
seguir:
A B
I II III
IV
U
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Com	base	nessas	informações,	é	correto	afirmar	que:
a) a região I representa o conjunto de todas as pessoas que gostam de brócolis,
mas não gostam de aspargos.
b) a região II representa o conjunto de todas as pessoas que gostam dos dois
legumes.
c) a região III representa o conjunto de todas as pessoas que gostam de
aspargos, mas não gostam de brócolis.
d) a região IV representa o conjunto de todas as pessoas que gostam dos dois
legumes.
e) U representa o conjunto de todas as pessoas que não gostam de nenhum
desses dois legumes.
4. No	 diagrama	 a	 seguir,	 considere	 que	 há	 elementos	 em	 	 todas	 as	 seções	 e
interseções.
Nessa	situação,	é	verdade	afirmar	que.
a) todo	elemento	de	P,	que	não	é	elemento	de	R,	é	elemento	de	Q.
b) todo	elemento	de	Q,	que	não	é	elemento	de	R,	não	é	elemento	de	P.
c) todo	elemento	de	R,	que	é	elemento	de	Q,	não	é	elemento	de	P.
d) qualquer	elemento	de	P,	que	não	é	elemento	de	Q,	é	elemento	de	R.
e) todo	elemento	de	R,	que	não	é	elemento	de	Q,	é	elemento	de	P.
5. Na	turma	do	Quebrando	as	Bancas,	fez-se	uma	pesquisa	entre	os	alunos,	com
duas	perguntas	apenas:	Quer	ser	policial	?	Quer	ser	professor?	
Sabe-se	que	83	alunos	responderam	sim	à	primeira	e	76	responderam	sim	à	segunda.	
Se	35	responderam	sim	às	duas	e	22	responderam	não	a	ambas,	o	número	de	alunos	
dessa turma é:
a) 216
b) 181
c) 146
d) 123
e) 105
P										R															Q
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6. Na	 equipe	 do	 Quebrando	 as	 Bancas,	 dos	 65	 funcionários,	 21	 gostam	 de
sorvete	e	35,	de	tapioca	.	Além	disso,	sabe-se	que	17	funcionários	não	gostam	nem	
de sorvete e nem de tapioca. Assim, o número de funcionários que gostam tanto de 
sorvete como de tapioca é de:
a) 15
b)12
c) 10
d) 8
e) 3
7. No	 grupo	 de	 professores	 do	 Quebrando	 as	 Bancas,	 verificou-se	 que	 19
gostam de apenas um dos sabores de pizza : Margarita ou Calabresa;11 gostam de 
Margarita; 5 gostam dos dois sabores e 9 não gostam de Calabresa. Sendo assim, o 
número total de professores é igual a:
a) 27
b) 33
c) 38
d) 44
e) 51
8. Considere	as	seguintes	proposições	a	respeito	de	uma	pesquisa	feita	entre
200	alunos	do		Quebrando	as	Bancas	:
I.100 pessoas tomam o refrigerante da marca A.
II.70	pessoas	tomam	o	refrigerante	da	marca	B.
III. 67	pessoas	tomam	o	refrigerante	da	marca	C.
IV. 25 pessoas tomam os refrigerantes das marcas A e B.
V . 32 pessoas tomam os refrigerantes das marcas A e C.
VI. 20 pessoas tomam os refrigerantes das marcas B e C.
VII. 20 não tomam nenhuma das marcas citadas.
Disso,conclui-se que:
a )50 pessoas tomam apenas o refrigerante da marca B.
b) 60 pessoas tomam apenas o refrigerante da marca A.
c) 30 pessoas tomam apenas o refrigerante da marca C.
d) 30 pessoas tomam os três refrigerantes.
e) 20 pessoas tomam os três refrigerantes.
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9. A tabela abaixo apresenta os resultados de uma pesquisa que questionou
cem	alunos	do	curso		QB	,	a	respeito	de	estudo	de	RLM,	Português	e	Direito.
 a d b
g 
e f
c
		Z																																						h
 x y
a: apenas X
b: apenas Y
c: apenas Z
g: X,Y e Z
h: nem X, nem Y e Z
d+g: X e Y
f: somente X e Z
f+g: Y e Z
e: somente X e Z
e+g: X e Z
IMPORTANTE: quando somarmos os três 
conjuntos integrais teremos um excedente 
que é resultado de : d + e + f + 2g.
Como funciona com três Conjuntos?
IDIOMA QUANTIDADE
RLM 41
Português 29
Direito 26
RLM e Português 15
RLM e Direito 19
RLM/Port/Direito 5
Português e 
Direito 
8
Baseando-se nos resultados dessa tabela, é 
CORRETO	afirmar	que	o	total	de	participantes	
da pesquisa que não estuda nenhuma das três 
disciplinas é igual a:
a) 38
b) 41
c) 59
d) 73
e) 85
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9. Numa	pesquisa	foram	entrevistados	180	alunos	do		Quebrando	as	Bancas		a
respeito de suas preferências sobre três tipos de chocolate: amargo, meio amargo e ao 
leite. Foi constatado que:
"110 informaram que gostam de chocolate ao leite; 60 gostam de chocolate 
meio amargo; 25 gostam de chocolate amargo; 50 gostam de chocolate ao leite e meio 
amargo; 10 gostam de chocolate amargo e meio amargo; 13 gostam de chocolate ao 
leite e amargo; e, 5 gostam dos três tipos de chocolate."
Quantos	 alunos	 entrevistadas	 não	 gostam	 de	 nenhum	 dos	 três	 tipos	 de	
chocolate?
a) 10
b) 52
c) 53
d) 68
e) 88
Em	uma	pesquisa	realizada	com	200	alunos	do	Quebrando	as	Bancas,	constatou-
se que:
* 100 alunos gostam de RLM;
* 70	alunos	gostam	de	Informática;
* 43 alunos gostam de Direito Constitucional;
*8	alunos	gostam	de	Informática	e	Direito	Constitucional;
* 13 pessoas gostam de RLM e Direito Constitucional;
* 5 alunos gostam de RLM, Informática e Direito Constitucional
* 20 alunos não gostam de nenhuma das três disciplinas citadas anteriormente.
Através destes resultados, é possível concluir que o número alunos desta
pesquisa que gostam de Informática mas não gostam RLM e Direito é igual a: 
a) 50
b) 45
c) 30
d) 25
e) 20
12.Em	uma	turma	do	Quebrando	as	Bancas	com	20	alunos,	12	são	meninas.
Além	disso,	dos	20	alunos,	15	gostam	de	Matemática.		É	correto	concluir	que
a)nenhuma menina gosta de matemática.
b)todas as meninas gostam de matemática.
c)no	máximo	7	meninas	gostam	de	matemática.
d)no	mínimo	7	meninas	gostam	de	matemática.
e)exatamente	7	meninas	gostam	de	Matemática.
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24
2.5 CONJUNTO COMPLEMENTAR
Considere A um conjunto qualquer e U o conjunto universo. Todos os elementos 
que não estão em A estão no complementar de A. 
Veja o diagrama de Venn que representa o complementar de A, indicado por AC: 
Assim, o complementar de um subconjunto A, refere-se a elementos que não 
estão no conjunto A. 
 Normalmente, o complementar se trata de maneira relativa a um conjunto 
universo U, sendo o conjunto AC, o complementar de A formado pelos elementos de U 
que não pertencem a A.
Vamos	exemplificar	como	o	contexto	é	importante	paradeterminar	o	conjunto	
complementar.
Considere	o	conjunto	A={0,2,4,6,8,10,…}	
Veja	 como	 fica	 se	 o	 conjunto	 universo	 no	 nosso	 contexto	 for	 N	 (números	
naturais).
AC=N−A={1,3,5,7,9…}
B) Conjunto	universo	U=Z
Agora,	se	o	conjunto	universo	no	nosso	contexto	for	Z	(números	inteiros):
 AC	=Z−A={…,−3,−2,−1,1,3,5,7,9…}
Complemento Relativo
Se A e B são conjuntos, então o complemento relativo de A em relação a B , 
também	conhecido	como	diferença	de	B	e	A	(B	–	A)	é	o	conjunto	de	elementos	de	B	
que não estão em A.
A diferença de B para A é geralmente denotada por : 
B \ A ou também B-A .
Assim:				B	\	A	=	{	x	∈	B/	x	∉	A}
Exemplos
{1,2,3,4}\{2,3,4}={1}	 	 {1,2,3,4}\{1,2,3}={4}							
													A	=	{	0,2,4,6}		e	B=	{0,2) C	=	{	a,b,c}		e	D	=	{d,e)
A AC B
B U
A
 cA
U
 Importante: 
Devemos entender que o 
Complementar ou a diferença entre 
conjuntos depende inicialmente da 
ordem de citação do enunciado.
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25
Mais exemplos: 
A	=	{	0,2,4,6}		e	B=	{0,2)
C	=	{	a,b,c}		e	D	=	{d,e)
A	=	{	a,b,c	}		e	B=	{a,b}
COMO A BANCA CESPE/CEBRASPE JÁ COBROU ISSO?
Em	 uma	 blitz,	 de	 150	 veículos	 parados,	 60	 foram	 flagrados	 com	 extintor	 de	
incêndio com data de validade vencida. 
Além disso, em 45veículos, o motorista estava sem o documento de habilitação para 
dirigir.	O	total	de	veículos	em	pelo	menos	uma	dessas	duas	situações	foi	de	90.	
Acerca dessa situação, julgue os itens seguintes.
1. O	 número	 de	 veículos	 flagrados	 simultaneamente	 nas	 duas	 situações	 foi
inferior a 20.
( ) Certo
( ) Errado 
2. O número de veículos que não apresentaram as irregularidades mencionadas
foi superior a 50.
Certo
Errado 
Comentário:	Questão	que	usa	os	conceitos	e	recursos	de	teoria	dos	Conjuntos	
para sua resolução.
Uma população de 1.000 pessoas acima de 60 anos de idade foi dividida nos 
seguintes dois grupos:
A: aqueles que já sofreram infarto (totalizando 400 pessoas); e
B: aqueles que nunca sofreram infarto (totalizando 600 pessoas).
Cada uma das 400 pessoas do grupo A é ou diabética ou fumante ou ambos 
(diabética e fumante).
A população do grupo B é constituída por três conjuntos de indivíduos: 
fumantes, ex-fumantes e pessoas que nunca fumaram (não fumantes).Com base 
nessas	informações,	julgue	o	item	subsecutivo.
3. Se,	das	pessoas	do	grupo	A,	280	são	fumantes	e	195	são	diabéticas,	então
120 pessoas desse grupo são diabéticas e não são fumantes.
( ) Certo 
( ) Errado
Comentário:	Questão	que	usa	os	conceitos	e	recursos	de	teoria	dos	Conjuntos	
para sua resolução.
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26
Uma pesquisa revelou características da população de uma pequena comunidade 
composta	 apenas	 por	 casais	 e	 seus	 filhos.	 Todos	 os	 casais	 dessa	 comunidade	 são	
elementos	do	conjunto	A∪B∪C,	em	que
A	=	{casais	com	pelo	menos	um	filho	com	mais	de	20	anos	de	idade};
B	=	{casais	com	pelo	menos	um	filho	com	menos	de	10	anos	de	idade};
C	=	{casais	com	pelo	menos	4	filhos}.
Considerando que n(P) indique a quantidade de elementos de um conjunto P, 
suponha	 que	 n(A)	 =	 18;	 n(B)	 =	 20;	 n(C)	 =	 25;	 n(A∩B)	 =	 13;	 n(A∩C)	 =	 11;	 n(B∩C)	 =	 12	 e	
n(A∩B∩C)	=	8.	
O diagrama a seguir mostra essas quantidades de elementos. 
Com	base	nas	informações	e	no	diagrama	
precedentes, julgue os itens a seguir.
4. Pelo menos 30 casais dessa comunidade
têm	2	ou	mais	filhos.
( ) Certo
( ) Errado
5. A referida comunidade é formada por
menos	de	180	pessoas.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário:	Questão	que	usa	os	conceitos	e	recursos	de	teoria	dos	Conjuntos	
para sua resolução.
Determinado porto recebeu um grande carregamento de frango congelado, carne 
suína congelada e carne bovina congelada, para exportação. Esses produtos foram 
distribuídos	em	800	contêineres,	da	seguinte	forma:	nenhum	contêiner	foi	carregado	
com os três produtos; 300 contêineres foram carregados com carne bovina; 450, com 
carne suína; 100, com frango e carne bovina; 150, com carne suína e carne bovina; 100, 
com frango e carne suína.
Nessa situação hipotética, julgue os itens a seguir.
6. 250 contêineres foram carregados somente com carne suína.
( ) Certo
( ) Errado
7. Nessa	 situação	 hipotética,	 50	 contêineres	 foram	 carregados	 somente	 com
carne bovina.
( ) Certo
( ) Errado
8. Nessa	 situação	 hipotética,	 a	 carga	 de	 400	 contêineres	 continha	 frango
congelado.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário:	Questão	que	usa	os	conceitos	e	recursos	de	teoria	dos	Conjuntos	
para sua resolução.
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27
Em um aeroporto, 30 passageiros que desembarcaram de determinado voo e 
que estiveram nos países A, B ou C, nos quais ocorre uma epidemia infecciosa, foram 
selecionados para ser examinados. Constatou-se que exatamente 25 dos passageiros 
selecionados estiveram em A ou em B, nenhum desses 25 passageiros esteve em C e 6 
desses 25 passageiros estiveram em A e em B.
Com referência a essa situação hipotética, julgue o item que segue. 
9. Se 11 passageiros estiveram em B, então mais de 15 estiveram em A.
( ) Certo 
( ) Errado
Comentário:	Questão	que	usa	os	conceitos	e	recursos	de	teoria	dos	Conjuntos	
para sua resolução.
O resultado de uma pesquisa acerca da satisfação de 200 papiloscopistas, no que 
diz	respeito	às	tarefas	por	eles	executadas	de	identificação	de	vítimas	e	de	descobertas	
de	crimes	de	falsificação,	foi	o	seguinte:
• 30 papiloscopistas sentem-se igualmente satisfeitos ao executar qualquer uma
dessas tarefas;
• 180	 papiloscopistas	 sentem-se	 satisfeitos	 ao	 executar	 pelo	 menos	 uma	 dessas
tarefas.
Considerando	que	todos	os	200	papiloscopistas	responderam	à	pesquisa,	julgue	
os itens seguintes.
10. Nessa	 situação,	 as	 informações	 dadas	 permitem	 inferir	 que	 exatamente
75	 papiloscopistas	 sentem-se	 satisfeitos	 ao	 executarem	 a	 tarefa	 de	 identificação	 de	
vítimas.
( ) Certo 
( ) Errado
11. A quantidade de papiloscopistas que se sentem satisfeitos ao executar
exatamente uma das referidas tarefas é superior a 100.
Certo 
 Errado
12. Menos de 30 papiloscopistas não se sentem satisfeitos ao executar alguma
das duas tarefas mencionadas.
( ) Certo 
( ) Errado
Comentário:	Questão	que	usa	os	conceitos	e	recursos	de	teoria	dos	Conjuntos	
para sua resolução.
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28
Um	banco	comercial	realizou	um	evento	de	negócios	na	cidade	de	Fortaleza	–	
CE. 
Após	 as	 reuniões,	 os	 participantes	 do	 evento	 visitaram	 pontos	 turísticos	 da	
cidade:	95	dos	participantes	visitaram	o	Mercado	Central,	80	visitaram	o	Espigão	de	
Iracema e 90 visitaram o Centro Cultural Dragão do Mar. Do total de participantes, 30 
visitaram somente o Mercado Central, 50 visitaram o Espigão de Iracema e o Centro 
Cultural Dragão do Mar, 35 visitaram o Mercado Central e o Espigão de Iracema, e 20 
visitaram esses três pontos turísticos. 
Considerando que todos os participantes tenham visitado, pelo menos, um 
desses três pontos turísticos, julgue os itens subsequentes.
13. Menos	de	180	pessoas	participaram	do	evento.
Certo
Errado
14. Mais de 50 dos participantes do evento não visitaram o Centro Cultural
Dragão do Mar.
 Certo
 Errado
15. Mais de 15 dos participantes do evento visitaram somente o Centro Cultural
Dragão do Mar.
 Certo
 Errado
16. Menos de 12 dos participantes do evento visitaram somente o Espigão de
Iracema e o Mercado Central.
 Certo
 Errado
Comentário: Questão	que	usa	os	conceitos	e	recursos	de	teoria	dos	Conjuntos	
para sua resolução.
GABARITO:
Exercícios de Aula
1-E					2-D		3-B					4-E				5-C				6-D				7-A					8-B					9-C				10-E
Gabarito Exercícios da banca CESPE
1-C					 2-C	 3-C	 4-C	 5-E	 6-E	 7-C	 8-C	 9-C	 10-E				11-C	 12-C	 13-C
14-C 15-E 16-C
QB MENTORIA
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29
OPERAÇÕES BÁSICAS
"Salve salve, galera !
Meus queridos alunos,
Esse modulo foi preparado com carinho para 
“desenferrujar” todos vocês.
As habilidades nas operações básicas são fundamentais 
para todos os assuntos referentes à Matemática( Básica ou 
Financeira) e também RLM ( Raciocínio Lógico Matemático).
Dediquem-se ao máximo e lembrem-se que calculadoras 
são proibidas no dia da prova e, consequentemente, 
durante nossas aulas.
Abraços e bons estudos"
@profdudan
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3.1 DEFINIÇÃO
Observe que cada operação tem elementos especiais:
Adição:	3	+	4	=	7,	em	que	os	números	3	e	4	são	as	parcelas	e	o	número	7	é	a	
soma ou total.
Subtração: 8	–	5	=	3,	em	que	o	número	8	é	o	minuendo,	o	número	5	é	o	subtraendo	
e o número 3 é a diferença.
Multiplicação: 6	×	5	=	30,	em	que	os	números	6	e	5	são	os	fatores	e	o	número	
30 é o produto.
Divisão: 10 ÷ 5 = 2, em que 10 é o dividendo, 5 é o divisor e 2 é o quociente, 
neste	caso	o	resto	da	divisão	é	ZERO.
3.2 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
Regra de sinais
Começaremos lembrando que quando, antes dos parênteses, vier um sinal de 
+ , ele derruba os parênteses e mantém o sinal de quem está dentro. Caso venha um
sinal	de	–	,	ele	derruba	os	parênteses	e	troca	o	sinal	de	quem	está	dentro.
Somado a isso usaremos a ideia de que na adição e subtração, um número de 
sinal positivo representa “o que eu tenho de dinheiro” e um número de sinal negativo, 
“o que eu devo a alguém”, assim, basta imaginar que você está acertando as contas.
Exemplo:
A soma de dois números positivos é um número positivo. 
(+	3)	+	(+	4)	=	+	7,	na	prática	eliminamos	os	parênteses.	+	3	+	4	=	+	7
A soma de dois números negativos é um número negativo.
(–	3)	+	(–	4)	=	–	7,	na	prática	eliminamos	os	parênteses.	–	3	–	4	=	–	7
EXERCÍCIOS DE AULA
1. Calcule:
a) –	5	+	3	= b) +	73	–	41	=
c) –	24	–	13	= d) –	5	+	(–12)	=
e) +	51	–	4	= f) +	17	+	(–14)	=
g) –	9	–	(–	25)	= h) +	72	–	(–12)	=
i) +	19	–	25	= j) –	80	+	41+	57	=
k) –	2	–	22	–	21	= l) –	6	–	(+	31)	+	50	=
2. Calcule
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3.3 MÚLTIPLOS E DIVISORES 
Os múltiplos e divisores de um número estão relacionados entre si da seguinte 
forma: 
Se 15 é divisível por 3, então 3 é divisor de 15, assim, 15 é múltiplo de 3. 
Se	8	é	divisível	por	2,	então	2	é	divisor	de	8,	assim,	8	é	múltiplo	de	2.	
Se 20 é divisível por 5, então 5 é divisor de 20, assim, 20 é múltiplo de 5. 
 Múltiplos de um número natural 
Denominamos múltiplo de um número o produto desse número por um número 
natural qualquer. Um bom exemplo de números múltiplos é encontrado na tradicional 
tabuada. 
Múltiplos de 2 (tabuada da multiplicação do número 2) 
2 x 0 = 0 
2 x 1 = 2 
2 x 2 = 4 
2 x 3 = 6 
2	x	4	=	8	
2 x 5 = 10 
2 x 6 = 12 
2	x	7	=	14	
2	x	8	=	16	
2	x	9	=	18	
2 x 10 = 20 ... E assim sucessivamente.
Divisores de um número natural 
Um número é divisor de outro quando o resto da divisão for igual a 0. Portanto, 
12 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6 e 12. 
36	é	divisível	por	1,	2,	3,	4,	6,	9,	12,	18	e	36.	
48	é	divisível	por	1,	2,	3,	4,	6,	8,	12,	16,	24	e	48.	
Importante: 
O menor divisor natural de um número é sempre o número 1. 
O maior divisor de um número é o próprio número. 
O zero não é divisor de nenhum número. 
Os	divisores	de	um	número	formam	um	conjunto	finito.	
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Principais Critérios de Divisibilidade
 Dentre as propriedades operatórias existentes na Matemática, podemos 
ressaltar a divisão, que consiste em representar o número em partes menores e iguais. 
Para que o processo da divisão ocorra normalmente, sem que o resultado seja 
um	número	não	inteiro,	precisamos	estabelecer	situações	envolvendo	algumas	regras	
de divisibilidade. 
Lembrando que um número é considerado divisível por outro quando o resto da 
divisão entre eles é igual a zero.
Divisibilidade por 1
Todo número é divisível por 1.
Divisibilidade por 2
Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 
8,	ou	seja,	quando	ele	é	par.	
Exemplos: 5040 é divisível por 2, pois termina em 0. 
237	não	é	divisível	por	2,	pois	não	é	um	número	par.	
Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus 
algarismos for divisível por 3. 
Exemplo: 234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, 
e como 9 é divisível por 3, então 234 é divisível por 3. 
Divisibilidade por 4 
Todo número é divisível por 4 quando for dividido por 2 e resultar em quociente 
par, o que permitirá outra divisão por 2.
Exemplo:	156	é	divisível	por	4	pois,	se	dividido	por	2,	resulta	em	78	que	pode	
novamente ser dividido por 2.
Divisibilidade por 5
Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5. 
Exemplos: 55 é divisível por 5, pois termina em 5. 
 90 é divisível por 5, pois termina em 0. 
87	não	é	divisível	por	5,	pois	não	termina	em	0	nem	em	5.
Divisibilidade por 6
Um número natural é divisível por 6 quando é divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo.
Exemplos: 54 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3 também. 
90 é divisível por 6, pelo mesmos motivos... 
	87	não	é	divisível	por	6,	pois	não	é	divisível	por	2.
Divisibilidade por 9
Será divisível por 9 todo número em que a soma de seus algarismos constitui 
um número múltiplo de 9. 
Exemplos: 81	:	9	=	9,	pois	8	+	1	=	9
1107	:	9	=	123,	pois	1	+	1	+	0	+	7	=	9
4788	:	9	=	532,	pois	4	+	7	+	8	+	8	=	27
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Divisibilidade por 10
Um número é divisível por 10 se termina com o algarismo 0 (zero).
Exemplos: 5420 é divisível por 10 pois termina em 0 (zero).
6352 é divisível por 10 pois não termina em 0 (zero).
3.4 MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO
Regra dos sinais
Ao multiplicarmos ou dividirmos dois números de sinais positivos, o resultado é 
um número positivo.
Exemplos: a)	(+	3)	×	(+	8)	=	+	24		
b) (+12) ÷ (+ 2) = + 6
Ao multiplicarmos ou dividirmos dois números de sinais negativos, o resultado 
é um número positivo.
Exemplos: 	 a)	(–	6)	×	(–	5)	=	+	30	
b) (–	9)	÷	(–	3)	=	+	3
Ao multiplicarmos ou dividirmos dois números de sinais diferentes, o resultado 
é um número negativo.
Exemplos: 	 a)	(–	4)	×	(+	3)	=	–	12	
b) (+	16)	÷	(–	8)	=	–	2
Resumindo :
Sinais iguais resulta em “positivo” {++=+ --=+ 
Sinais diferentes resulta em “negativo” {+-=- -+=-
EXERCÍCIOS DE AULA
3. Calcule os produtos e os quocientes:
a) (–	5)	×	(–	4)	= b) 24	÷	(–	2)	=
c) –	5	×	8	= d) (–	14)	÷	(–14)	=
e) 32	÷	(–	16)	= f) –	14	×	(–	4)	=
g) (+	17)	×	(+	2)	= h) (–	64)	÷	(–	8)	=
i) –	3	x	(–	14)	÷	7	= j) 24	÷	(–	3)	÷	(+	4)	÷	(–	2)	=
4. Efetue os cálculos a seguir:
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34
Regras da divisão
 Depois de iniciada a divisão, sempre deve cair um algarismo original (que 
pertence ao Dividendo) por vez e quando ele cair devemos efetuar a divisão. Caso não 
seja possível dividir, colocaremos “0” no quociente e somente assim, cairá o próximo 
algarismo original.
Após a colocação da vírgula no quociente, mediante empréstimo do “0” para 
seguir dividindo, a cada nova rodada de divisão teremos direito a um “0” gratuito. Caso 
ele	não	seja	suficiente,	na	mesma	rodada,	um	outro	“0”	será	solicitado	devendo	para	
isso colocar “0” no quociente.
EXERCÍCIOS DE AULA
4. Efetue os cálculos a seguir:
3.5 POTÊNCIAS
No	 exemplo	 7²	 =	 49	 temos	 que:	 7	 é	 a	 base,	 2	 é	 o	 expoente	 e	 49	 é	 a	
potência. 
A	potência	é	uma	multiplicação	de	fatores	iguais:	7²	=	7	x	7	=	49
Todo número inteiro elevado a 1 é igual a ele mesmo: 
Exemplo: a)	(–	4)¹	=	-4	 	 b)	(+	5)¹		=	5
Todo número inteiro elevado a zero é igual a 1. 
Exemplo:	a)	(–	8)⁰	=	1	 	 b)	(+	2)	⁰		=	1
Regra dos sinais
Expoente par com parênteses: a potência é sempre positiva.
a) (–	2)²	=	+4,	porque	(–	2)	×	(–	2)=	+	4
b) (+	2)²	=	4,	porque	(+	2)	×	(+	2)	=	+	4
Expoente ímpar com parênteses: a potência terá o mesmo sinal da base.
a) (–	2)³	=	–	8,	porque	(–	2)	×	(–	2)	×	(–	2)	=	–	8
b) (+	2)⁵	=	+	32,	porque	(+	2)	×	(+	2)	×	(+	2)	×	(+	2)	×	(+	2)	=	+	32
Quando	não	tiver	parênteses,	conservamos	o	sinal	da	base	 independente	do
expoente.
a) –	2²	=	–	4 b) –	2³	=	–	8
c) +	3²	=	9 d) +	5³		=	+	125
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35
Resumindo:
Potência par com parênteses :{+par=+ -par=+ 
Potência ímpar com parênteses :{+ímpar=+ -ímpar=- 
Sem parênteses{+par ou +ímpar =+ -par ou -ímpar =-
EXERCÍCIOS DE AULA
5. Calcule as potências:
Propriedades da Potenciação
Produto de potência de mesma base: conserva-se a base e somam-se os 
expoentes. 
a) a³	x	a⁴	x	a²	=		a³⁺⁴⁺²	=		a⁹
b) (–	5)²		x	(–	5)¹	=	(–	5)²⁺¹	=	(–	5)³	=	–	125
c) 3⁻²	x	3¹	x	3⁵	=	3⁻²⁺¹⁺⁵	=	3⁴	=		81
Resumindo: (A)p. (A)q=(A)p+q
Divisão de potências de mesma base: conserva-se a base e subtraem-se os 
expoentes. 
a) b	⁵	÷	b²		=	b	⁵⁻²	=	b³
b) (–	2)⁶	÷	(–	2)⁴	=	(–	2)⁶⁻⁴	=	(–	2)²	=	+	4
c) (–	19)¹⁵	÷	(–	19)⁵		=	(–	19)¹⁵⁻⁵	=	(–	19)¹⁰
Resumindo: (A)p(A)q =(A)p-q
Potência de potência: conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes.
a) (a²)³		=	a².³	=	a⁶
b) [(–	2)⁵]²	=	(–	2)⁵.²	=	(–	2)¹⁰	=	1024
Resumindo: (Ap)q=(A)pq
Potência de um produto ou de um quociente: multiplica-se o expoente de cada 
um dos elementos da operação da multiplicação ou divisão pela potência indicada.
a) [(–	5)²	x	(+	3)⁴]³=	(–	5)².³	x	(+	3)⁴.³	=	(–	5)⁶	x	(+		3)¹²
b) [(–	2)¹	÷	(–	3)⁴]²	=	(–	2)¹.²÷	(–	3)⁴.²		=	(–	2)²	÷	(–		3)⁸
Resumindo: (Ap.Br)q= Apq.Brq
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36
3.6 RADICAIS 
Já	sabemos	que	6²	=	36.	
Veremos agora a operação que nos permite determinar qual o número que 
elevado ao quadrado equivale a 36.
 236= 6 , pois 6 elevado ao quadrado é 36. 
Essa operação é a inversa da potenciação e denomina-se radiciação.
Regra do SOL e da SOMBRA
A	regra	é	clara:	quem	está	no	Sol,	vai	para	a	sombra.	Quem	está	na	sombra	,	vai	
para o Sol.
Produto de radicais de mesmo índice: conserva-se a raiz nesse índice e 
multiplicam-se os radicandos. 
Resumindo:	ⁿ√A		.ⁿ√B=	ⁿ√A.B
Divisão de radicais de mesmo índice: conserva-se a raiz nesse índice e dividem-
se os radicandos. 
Resumindo: ⁿ√A	=	ⁿ			A
ⁿ√B										B
 índice
ⁿ√a	=	b									raiz
 radicalizando
√81	(lê-se	"raiz	quadrada	de	81")
3√64	(lê-se	"raiz	cúbica	de	64")
4√16	(lê-se	"raiz	quarta	de	16")
√
Exemplos: 
Propriedades da Radiciação
||
|
| | |
|
|
|
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3.7	EXPRESSÕES	NUMÉRICAS
Para	resolver	expressões	numéricas	é	preciso	obedecer	à	seguinte	ordem:	
1º	resolvemos	as	potenciações	e	radiciações	na	ordem	em	que	aparecem.
2º	resolvemos	as	multiplicações	e	divisões	na	ordem	em	que	aparecem.
3º	resolvemos	as	adições	e	subtrações	na	ordem	em	que	aparecem.
Caso contenha sinais de associação:
1º resolvemos os parênteses ( ) 
2º	resolvemos	os	colchetes	[	]	
3º	resolvemos	as	chaves	{	}
EXERCÍCIOS DE AULA 
6. Calcule	o	valor	das	expressões	numéricas:
a) 6²	32+102÷50
b) 20	+	2³	x	10	–	4²	÷2
c)3 + 4√16	-	15+ 2√49
d) 3³÷27	x	20
e) 100 + 1000 + 10000
f) 5²	-	5	x	15+	50	x	5³
g)14	–	{(-1)³	x	(-2)²	+	(-35)÷(+5)}
h) -	2	+	{-	5	–	[-	2	–	(-2)³	-	3	–	(3-2)9]	+	5	}
i) √64		-	2²	-	2	-	20
7. Aplique	 seus	 conhecimentos	 e	 calcule	 o	 valor	 das	 expressões	 numéricas.
Observe	as	operações	indicadas,	a	existência	de	sinais	de	associação	e	tenha	cuidado	
com as potências.
a) (-1-2-3-4-5)÷(+15)
b) (8+10÷2	–	12	)÷(-4+3)
c) 10³	-	(-10)²	-	100
d) (-1)8+ 60	-	[	15	+	(-40)÷(-2)3]
e) -3	–	{	-2	-	[(-35)÷25	+	2²	]}
f) 4	–	{(-2)²	x	(-3)	–	[	-11	+	(-3)x(-4)]	–	(-1)}
g) 14	-	[(-1)³	x	(-2)²	+	(-35)÷(+5)]
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COMO A BANCA CESPE/CEBRASPE JÁ COBROU ISSO?
1. O	 número	 resultante	 da	 operação	 matemática	 123	 +	 2x357	 é	 sucessor	 do
resultante da operação 122 + 2x356.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário:	Questão	resolvida	pelo	uso	das	operações	básicas.
Sabendo	que	N	=	{0,	1,	2,	3,...}	é	o	conjunto	dos	números	naturais,	julgue	o	item	
seguinte,	relativos	a	esse	conjunto,	a	seus	subconjuntos	e	às	operações	em	N.
2. O	número	resultante	da	operação	matemática	3.457	-	2.351	é	sucessor	do
número	resultante	da	operação	3.457	-	2.352.
( ) Certo
( ) Errado 
3. Sabendo	que	N	=	{0,	1,	2,	3,...}	é	o	conjunto	dos	números	naturais,	julgue	o	item
seguinte,	relativos	a	esse	conjunto,	a	seus	subconjuntos	e	às	operações	em	N.
Considerando-se	 os	 números	 naturais	 13	 e	 39,	 é	 correto	 afirmar	 que	 as	
igualdades	13	+	39	=	39	+	13,	13	×	39	=	39	×	13	e	13	÷	39	=	39	÷	13	não	são	todas	
verdadeiras.
( ) Certo
( ) Errado 
Comentário:	 Questão	 resolvida	 pelo	 uso	 das	 operações	 básicas	 e	 suas	
propriedades.
Considere	que	em	uma	escola	com	turmas	de	primeira	à	quinta	séries	haja	a	
seguinte distribuição de alunos por turma.
• 4 turmas de primeira série, cada uma delas com 35 alunos;
• 3 turmas de segunda série, cada uma delas com 30 alunos;
• 2	turmas	de	terceira	série,	cada	uma	delas	com	37	alunos;
• 2 turmas de quarta série, cada uma delas com 30 alunos;
• 1 turma de quinta série, com 36 alunos.
Com relação a essa distribuição, julgue os próximos item.
4. Nessa escola há mais de 150 alunos na primeira série.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário:	Questão	resolvida	pelo	uso	das	operações	básicas.
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39
5. A quantidade de alunos na segunda e na quinta séries é maior que a quantidade 
de alunos na terceira e na quarta séries.
( ) Certo
( ) Errado
6. Supondo-se que a escola possua 500 pratos e que a merendeira, na hora
do lanche, distribua um prato para cada aluno da primeira e da segunda séries, então 
ainda	sobrarão	270	pratos
( ) Certo
( ) Errado 
Comentário:	Questão	resolvida	pelo	uso	das	operações	básicas.
7. Os	servidores	de	uma	unidade	de	atendimento	do	DETRAN	participaram	de
um	treinamento	que	foi	realizado	em	duas	salas,	A	e	B.	Quando	da	entrada	nas	salas,	
57	servidores	entraram	na	sala	A	e	apenas	31,	na	B.
 Considerando essa situação hipotética, julgue o item a seguir.
 O número de servidores que deveriam passar da sala A para a sala B para que a mesma 
quantidade de servidores assistisse ao treinamento nas duas salas é igual a 13.
Certo
Errado
Comentário:	Questão	resolvida	pelo	uso	das	operações	básicas.
8. Considere	que,	para	os	170	alunos	de	uma	escola,	a	merendeira	prepare	45
litros de suco para o lanche e que ela saiba que cada litro de suco corresponde a 10 
copos. Nesse caso, se cada aluno beber 2 copos de suco, ainda sobrarão 11 litros de 
suco.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: Questão	resolvida	pelo	uso	das	operações	básicas.
9. Para se preparar o Arroz em Camadas da Tia Camélia, para 100 alunos, os
ingredientes	são:	5	quilos	de	arroz,	8	ovos	cozidos,	1	 lata	de	830	gramas	de	atum	e	
1 quilo de ervilha. Considerando que a merendeira compre esses produtos em um 
supermercado, julgue o item que s segue.
Considere	que	a	merendeira	compre	um	pacote	de	5	quilos	de	arroz	por	R$	8,70,	
uma	dúzia	de	ovos	por	R$	1,90	e	um	quilo	de	ervilha	por	R$	7,50.	Nessa	situação,	se	
pagar	com	uma	nota	de	R$	20,00,	a	merendeira	receberá	R$	1,80	de	troco.
( ) Certo 
( ) Errado 
Comentário: Questão	resolvida	pelo	uso	das	operações	básicas.
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40
10. O motorista de uma empresa transportadora de produtos hospitalares
deve viajar de São Paulo a Brasília para uma entrega de mercadorias. Sabendo que irá 
percorrer aproximadamente 1.100 km, ele estimou, para controlar as despesas com 
a	viagem,	o	consumo	de	gasolina	do	seu	veículo	em	10	km/L.	Para	efeito	de	cálculos,	
considerou que esse consumo é constante.
Considerando	essas	informações,	julgue	o	item	que	segue.
A	distância	a	ser	percorrida	nessa	viagem	será	de	11	×	105 m.
( ) Certo
( ) Errado 
Comentário:	Questão	resolvida	pelo	uso	das	operações	básicas	e	potências.
11. Segundo o IBGE, a massa da renda média mensal real domiciliar per capita
em	2016	foi	de	aproximadamente	R$	264	bilhões;	a	população	brasileira	nesse	ano	era	
de	aproximadamente	190	milhões	de	pessoas.
A	partir	dessas	informações,	julgue	o	item	a	seguir.
A renda média mensal dos brasileiros em 2016 foi superior a R$ 1.300
( ) Certo
( ) Errado
Comentário:	Questão	resolvida	pelo	uso	das	operações	básicas.
12. Julgue o item a seguir, relativo a sequências numéricas.
A quantidade de números inteiros múltiplos de 19 que estão entre 1.234 e 4.321
é inferior a 160.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: Questão	que	usa	o	conceito	de	múltiplos	e	a	divisãoGabarito Exercícios da banca CESPE
1- E	 2-C	 3-C	 4-E	 5-E	 6-C	 7-C	 8-C	 9-E	 10-C	 11-C						12-E
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FRAÇÕES
"Agora a brincadeira ficou séria!
Frações é assunto pra mais de metro. 
Tem tanto detalhe, tanto macete bom...
Apertem os cintos que vamos entrar no mundo das 
Frações."
@profdudan
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4.1 DEFINIÇÃO
Fração é um modo de expressar uma quantidade a partir de uma razão de dois 
números inteiros.
	 A	 palavra	 vem	 do	 latim	 fractus	 e	 significa	 "partido",	 dividido	 ou	 "quebrado	 (do	
verbo frangere: "quebrar").
Também é considerada parte de um inteiro, que foi dividido em partes exatamente 
iguais.	As	frações	são	escritas	na	forma	de	números	e	na	forma	de	desenhos.
Na fração, a parte de cima é chamada de numerador e indica quantas partes do 
inteiro foram utilizadas.
A parte de baixo é chamada de denominador, que indica a quantidade máxima de 
partes em que fora dividido o inteiro e nunca pode ser zero.
Observe alguns exemplos:
O inteiro foi dividido em 9 
partes, onde 6 foram, pintadas.
O inteiro foi dividido em 4 
partes, onde 1 fora pintada.
O inteiro foi dividido em 
6 partes, onde 1 delas foi 
pintada.
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43
Frações decimais e os números decimais
 Para transformar uma fração decimal em número decimal, escrevemos o 
numerador da fração e o separamos com uma vírgula, deixando tantas casas decimais 
quanto forem os zeros do denominador.
 Exemplos:
EXERCÍCIOS DE AULA
1. É	 possível	 representar	 as	 frações	 na	 forma	 de	 números	 ou	 na	 forma	 de
desenhos.	Considerando	a	fração	11/2,	ela	pode	ser	representada	por	qual	número	
decimal?
a)4,5
b)5,0
c)5,5
d)6,5
e)7,0.
2. Em uma sala de aula há 20 meninas e 25 meninos. A fração que representa a
relação entre o número de meninas e o total de alunos na sala é:
a)20/45
b)25/20
c)20/25
d)25/45
e) 25/40
4.2 SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES 
Simplificar	 uma	 fração,	 como	 o	 próprio	 termo	 diz,	 é	 torná-la	 mais	 simples,	
facilitando	o	uso	das	operações	básicas.
Para	simplificar	uma	fração,	divide-se	o	numerador	e	o	denominador	da	fração	
por um mesmo número.
Exemplos:
 32
	6	->	dividindo	ambos	por	2	teremos	16/3;
27
12	->	dividindo	ambos	por	3	teremos	9/4;
 35
15	->	dividindo	ambos	por	5	teremos	7/3
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44
Quando	 o	 numerador	 é	 divisível	 pelo	 denominador,	 efetua-se	 a	 divisão	 e	 se	
obtém um número inteiro.
Isso representa uma DIVISÃO EXATA.
Exemplos:
100
-25= -4
 50
 5 = 10
Da mesma forma que podemos dividir numerador e denominador pelo mesmo 
número	para	simplificar	a	fração,		também	podemos	multiplicá-los	,	mantendo	sempre	
a proporção entre numerador e denominador.
Exemplos:
5 3 15 12 2 24
50 x 2 1007 x 3 = 21
EXERCÍCIOS DE AULA
3. Um torneio de jogo de xadrez está disputado por 64 pessoas, sendo 24
mulheres.	Essas	mulheres	correspondem	a	que	fração	do	total	de	participantes?
a)1/2
b)1/3
c)4/9
d)3/8
e)3/5
4. Caio derrubou seu celular na mesma semana em que o comprou. Mandou para 
a	assistência	técnica	e	ficou	em	R$	180,00	para	consertar.	Se	ele	pagou	R$	900,00	na	
compra do celular, o conserto custou
a)1	/	3	do	valor	da	compra.
b)1	/	4	do	valor	da	compra.
c)1	/	5	do	valor	da	compra.
d)1	/	6	do	valor	da	compra.
e)1	/	8	do	valor	da	compra.
5. Diz-se	 que	 as	 frações,	 quando	 representam	 a	 mesma	 parte	 do	 todo,	 são
equivalentes.	Assinale	a	alternativa	que	contenha	uma	fração	equivalente	a	3/6	:
a)2/5
b)3/7
c)5/8
d)1/2
e)6/9
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4.3 COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES
Na	comparação	de	frações	temos	3	cenários	possíveis:
1. Se	 duas	 frações	 possuem	 denominadores	 iguais,	 a	 maior	 fração	 é	 a	 que
possui maior numerador.
Como	comparar	as	frações	3/5	e	4/5	?
Para	estabelecer	comparação	entre	frações	de	forma	rápida,	é	preciso	que	elas	
tenham o mesm,o denominador. Isso é obtido por meio do menor múltiplo comum.
Nesse	caso	como	ambas	já	estão	escritas	com	o	mesmo	denominador,	fica	fácil	
perceber	 que	 a	 fração	 4/5	 é	 maior	 que	 3/5	 pois	 foram	 divididas	 em	 5	 partes,	 o	 que	
torna a comparação simples.
2. Se	 as	 duas	 frações	 possuem	 mesmo	 numerador	 mas	 denominadores
diferentes, basta entender a lógica envolvida nesse caso.
Como	comparar	as	frações	2/5	e	2/3	?
Acredite		2/5	<	2/3	pois	2/5	significa	dividir	a	pizza	em	5	fatias	e	tomar	2;	já	2/3	
representa a divisão em 3 fatias, das quais tomamos duas também, mas como no 
segundo caso, a divisão foi em menos partes, as fatias são maiores.
3. Se	as	frações	nao	têm	nem	o	numerador	nem	o	denominador	iguais,	é	preciso
”reescrevê-las" no mesmo denominador. Isso é obtido por meio do menor múltiplo 
comum.
Como	comparar	as	frações	2/5	e	3/7	?
	 Usaremos	frações	equivalentes	(proporcionais)	escritas	no	mesmo	denominador	
para,	assim,	compará-las.	O	MMC	entre	5	e	7	é	35,	logo:
2/5=2.7/5.7=14/35	e	3/7=3.5/7.5=15/35	
Logo pela, comparacao dos numeradores, temos que:
2/5	<	3/7
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46
4.4 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES 
Para	 efetuar	 as	 operações	 de	 soma	 ou	 subtração	 com	 frações	 temos	 dois	
cenários:
1) Frações	com	mesmo	denominador;
2) Frações	com	denominadores	distintos.
Vamos	ver	essas	duas	opções?
1) Sendo os denominadores iguais, basta somar ou subtrair os numeradores e
manter o denominador.
21 4 9 21- 4 + 9
 6	 -		6	+	6		=						6							
1+ 3 =1+3 = 4=1 
4 4 4 4
2.Para	efetuar	as	operações	de	soma	ou	subtração	com	frações	temos	
duas opções:
Podemos usar o clássico M.M.C. 
Assim,	para	efetuar		2/5+	3/7	,	precisaremos		ajustar	as	frações	dadas	para	que	
sejam escritas no mesmo denominador comum, logo:
	2/5=	¹⁴/35			e		3/7=	¹⁵/35	
Assim divide-se o m.m.c pelo denominador original de cada fração e multiplica-
se o resultado pelo numerador, obtendo, assim, uma fração equivalente.
Com isso:			2/5+	3/7=	¹⁴/35+	¹⁵/35=	¹⁴/35+¹⁵/35=	²⁹/35
2. Outro método muito prático é o “Método da Borboleta”
	Esse	método	é	muito	eficaz	e	não	exige	calculo	de	m.m.c	,	porém	só	pode	ser	aplicado	
em	duas	frações	por	vez	e	em	alguns	casos	exige	uma	simplificação	ao	final.
Basta executar os seguintes movimentos :
Multiplicar os dois denominadores, gerando o denominador da fração resposta.
Multiplicar o numerador da primeira fração (com o sinal dessa fração) pelo 
denominador da segunda fração (sem sinal algum).
Multiplicar o numerador da segunda fração (com o sinal dessa fração) pelo 
denominador da primeira fração (sem sinal algum).
Somar	 esses	 dois	 últimos	 resultados	 obtidos	 para	 definir	 o	 numerador	 da	
fração resposta.
___ ___ ___________ = 26 13
 6 = 3
_____ _____
____ _____ ______
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47
EXERCÍCIOS DE AULA
8. Se	a	soma	das	frações	1/4	+	2/5	é	igual	a	n/100,	o	valor	de	n	é
a)55.
b)65.
c)75.
d)85.
e)95.
9. Ao	resolver	a	expressão	1/3	+	2/5	+	1/2	o	resultado	será	igual	a.
a)30/37.
b)21/30.
c)37/30.
d)30/21.
e)10/5.
10. O resultado da subtração 2 - 5/2, tem como resultado:
a)a metade negativa de 3.
b)o	inteiro	–	2.
c)o	número	racional	-1/2	.
d)a quarta parte de 5.
e)uma fração entre 0 e 1.
11. João comprou dois tabletes de chocolate de mesmo tamanho. Comeu
um	 inteiro	 e	 2/5	 do	 outro.	 A	 fração	 imprópria	 que	 representa	 o	 total	 de	 tabletes	 de	
chocolate que ele comeu é:
a)8/5
b)7/5
c)6/5
d)4/5
e)3/5
4.5 COMPLEMENTAÇÃO DE FRAÇÕES 
A ideia de complementar uma fração é consequência do que a própria fração 
representa grande parte das vezes: a parte de um todo.
Assim,	se	você	comprou	uma	barra	de	chocolate	e	comeu	3/5	dela,	você		dividiu	
a barra em 5 pedaços e comeu 3 delas. 
Observe	que	também	devemos	nos	atentar	à	quantidade	que	restou,	o	chamado	
complemento. 
O	complemento	de	3/5	é	2/5	porque	você	comeu	3	das	5	partes,	sobrando	2	outros	
pedaços dessa divisão. 
 Vale ressaltar que é muito importante o aluno entender a ideia dessa 
complementação	das	frações,	pois	a	cobrança	é	frequente.	
Resumindo:
Se	gastei5/8	do	meu	plano	de	3G,	então	restam	os	outros	3/8	do	meu	plano	de	3G.	
Se,	 após	 pagar	 as	 contas	 de	 casa,	 gastei	 3/7	 do	 meu	 salário,	 então	 restam	 os	
outros	4/7	do	meu	salário.	E	assim	por	diante.
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48
EXERCÍCIOS DE AULA
12. Jorge	já	leu	a	terça	parte	do	número	de	páginas	de	um	livro	de	270	páginas.
O	número	de	páginas	que	ele	ainda	deve	ler	para	chegar	à	metade	desse	livro	é
a)45.
b)90.
c)135.
d)225.
e)320.
4.8	MULTIPLICAÇÃO	DE	FRAÇÕES		
Para	 multiplicar	 frações,	 basta	 multiplicar	 os	 numeradores	 entre	 si	 e	 fazer	 o	
mesmo entre os denominadores, independentemente de serem iguais ou não.
Exemplo:
2 . 3 = 2.3 = 6 = 3 
5 5 3.4 20 10
4.9 POTENCIAÇÃO DE FRAÇÕES
Para elevarmos uma fração a determinada potência, basta aplicarmos a 
potência no numerador e também no denominador, respeitando as regras dos sinais 
da potenciação. Exemplos:
4.10 RADICIAÇÃO DE FRAÇÕES 
Caso seja necessário aplicar um radical numa fração, basta entender que: “a raiz 
da fração é a fração das raízes.”
Exemplos:
Resumindo :
:
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49
4.11 DIVISÃO DE FRAÇÕES
Para	dividir	frações,	basta	multiplicar	a	primeira	fração	pelo	inverso	da	segunda	
fração. 
Exemplo: 
2 ÷ 3 = 2 . 4 = 2 . 4 = 8
5 4 5 3 5.3 15 
Dividir por um número é multiplicar pelo seu inverso.
EXERCÍCIOS DE AULA
13. A	família	de	Flávio	pediu	uma	pizza,	que	veio	dividida	em	8	fatias	iguais.	Flávio
comeu uma fatia inteira e dividiu uma outra fatia igualmente com sua irmã. Da pizza 
inteira Flávio comeu:
a)1/4.
b)1/3.
c)3/8.
d)1/6.
e)3/16.
14. Um motorista percorreu a distância de 420 km, em três etapas. Na primeira
etapa	ele	percorreu	2/5	dessa	distância.	Na	segunda	etapa,	ele	percorreu	150	km,	e	o	
restante da distância, percorreu na terceira etapa. A distância percorrida na terceira 
etapa foi:
a)98	km.
b)102 km.
c)105 km.
d)108	km.
e)111 km.
15. Um motorista percorreu uma distância, em três etapas. Na primeira etapa ele
percorreu	2/5	dessa	distância.	Na	segunda	etapa,	ele	percorreu	1/3	dessa	distância,	e	
na terceira etapa percorreu 100 km. A distância total percorrida foi:
a)250 km.
b)275	km.
c)305 km.
d)375	km.
e)411 km.
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COMO A BANCA CESPE/CEBRASPE JÁ COBROU ISSO?
Julgue os seguintes itens, relativos a sistemas numéricos e sistema legal de 
medidas.
1) A	soma	1+	1/2	+	1/4	+	1/8	+	1/16	+	1/32	é	inferior	a	2.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário:	Questão	resolvida	pela	soma	de	frações.
Em	uma	escola	do	município	X,	há,	no	7.º	ano,	40	estudantes	matriculados	no	
turno	 matutino,	 35,	 no	 vespertino	 e	 30,	 no	 noturno.	 Com	 base	 nessas	 informações,	
julgue o item seguinte.
2) Menos	 de	 1/3	 dos	 estudantes	 do	 7.º	 ano	 dessa	 escola	 estudam	 no	 turno
noturno.
( )Certo 
( )Errado
Comentário:	Questão	resolvida	pelo	uso	das	operações	básicas	e	frações
Em	seu	testamento,	um	industrial	doou	3/16	de	sua	fortuna	para	uma	instituição	
que	se	dedica	à	alfabetização	de	jovens	e	adultos;	1/10,	para	uma	entidade	que	pesquisa	
medicamentos	para	combater	a	doença	de	Chagas;	5/16,	para	sua	companheira;	e	o	
restante	para	seu	único	filho.	
A	partir	dessas	informações,	julgue	os	itens	que	se	seguem.
3) A	companheira	do	industrial	recebeu	mais	que	o	filho.
( )Certo 
( )Errado
Comentário: Questão	resolvida	com	a	soma	das	frações	e	o	uso	do	conceito	de
complementação	de	frações.
Em	seu	testamento,	um	industrial	doou	3/16	de	sua	fortuna	para	uma	instituição	
que	se	dedica	à	alfabetização	de	jovens	e	adultos;	1/10,	para	uma	entidade	que	pesquisa	
medicamentos	para	combater	a	doença	de	Chagas;	5/16,	para	sua	companheira;	e	o	
restante	para	seu	único	filho.	
A	partir	dessas	informações,	julgue	os	itens	que	se	seguem.
4) A	instituição	que	se	dedica	à	alfabetização	de	jovens	e	adultos	e	a	entidade
que pesquisa medicamentos para combater a doença de Chagas receberam, juntas, 
menos de 25% da fortuna do industrial.
( )Certo 
( )Errado
Comentário: Questão	resolvida	com	a	soma	das	frações	e	o	uso	do	conceito	de	
complementação	de	frações.
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Ainda	com	relação	às	operações	no	conjunto	dos	números	naturais	N,	julgue	o	
próximo item. 
5.	Sabe-se	que,	em	uma	sala	de	aula,	há	22	alunos	e	18	alunas.	Se,	em	determinado
dia,	 metade	 dos	 alunos	 e	 um	 terço	 das	 alunas	 faltarem	 à	 aula,	 então,	 nesse	 dia,	 a	
quantidade	de	alunos	e	alunas	presentes	à	aula	será	maior	que	20.
( )Certo
( )Errado 
Comentário:	 Questão	 resolvida	 com	 apoio	 das	 operações	 básicas	 e	 das 
frações.
inteiros, racionais, irracionais e reais, julgue o item a seguir.
( )Certo
( )Errado
Comentário: Questão	resolvida	com	apoio	das	operações	básicas	e	das	
frações	
7. Um	cliente	contratou	os	serviços	de	cartão	pré-pago	de	uma financeira e,
em	seguida,	viajou.	Esse	cliente	gastou	metade	do limite	do	cartão	com	hospedagem,		
1/3	com	combustível	e	1/9	com	alimentação.	Nesse	caso, o cliente gastou todo o limite 
do cartão contratado com hospedagem, combustível e alimentação.
( )Certo
( )Errado 
Comentário:	Questão	resolvida	com	a	soma	das	frações	e	o	uso	do	conceito	de	
complementação	de	frações.
Gabaritos
Exercícios de Aula
1-C	 2-A	 3-D	 4-C	 5-D	 6-B	 7-C	 8-B	 9-C	 10-C	 11-B	 12-A	 13-E
14-A 15-B 
Gabaritos
Exercícios da Banca CESPE
1-C			2-C			3-E			4-E			5-C			6-C			7-E
6. Considerando as propriedades e as operações fundamentais dos números
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MMC E MDC
"Salve salve, galera !
Esse conteúdo nem sempre vem no edital e 
pode ser o elemento surpresa da sua prova.
Então se liga e foca nos conceitos que estão 
por trás de M.M.C e M.D.C 
Boa aula e bons estudos"
@profdudan
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5.1 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
 O mínimo múltiplo comum entre dois números é representado pelo menor valor 
comum (excetuando-se o “0”) pertencente aos múltiplos dos números. 
Observe o MMC entre os números 25 e 30:
M(25)	=	0,	25,	50,	75,100,	125,150	....		
M(30)	=	0,	30,	60,	90,	120,	150,	180,	... Logo, o 
MMC entre 25 e 30 é equivalente a 150.
Método Prático
Um método rápido e fácil para se determinar o MMC de um conjunto de 
números naturais é a FATORAÇÃO.
Nela iremos decompor todos os valores, de forma que ao menos um deles 
possa ser dividido pelo fator primo apresentado, até que não sobrem valores maiores 
que 1.
O produto dos fatores primos utilizados nesse processo é o Mínimo Múltiplo 
Comum.
Qual	é	o	MMC(15,	25,	40)?
Fatorando os três números temos:
 Assim, o MMC (15, 25, 40) = 2. 2 . 2 . 3 . 5 . 5 = 600
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Propriedade
Todo múltiplo comum de dois ou mais números inteiros é múltiplo do m.m.c. 
desses números.
Exemplo: 
Os múltiplos comuns positivos de 2 , 5 e 6 são exatamente os múltiplos positivos 
de 30 (m.m.c. (2 ,5 , 6) = 30), ou seja, são 30 , 60, 90,... 
Temos que entender o M.M.C como um “ciclo” que se repete , portanto a cada 
45 , os múltiplos de 3,5 e 9 se encontram.
Como identificar questões de M.M.C ?
Apesar do nome Mínimo Múltiplo Comum, é equivocado pensar que o “mínimo” 
indica um número pequeno, talvez menor que os valores apresentados. Na verdade ele 
é o menor dos múltiplos e quase sempre maior que todos esses valores de quem se 
busca o cálculo do M.M.C.
EXERCÍCIOS DE AULA
1. O Mínimo Múltiplo Comum (MMC) é o menor número que seja múltiplo dos
números que estejam sendo comparados. Levando em consideração essa informação, 
assinale a alternativa que indica o MMC de 12 e 16.
a) 192.
b) 96.
c) 48.
d) 16.
e) 12.
2. Para	somarmos	as	frações	1/2	+	2/3	+	3/4	+	1/6	,	é	necessário	primeiramente
obter o mínimo múltiplo comum entre os denominadores 2, 3, 4 e 6. O resultado do 
cálculo do mínimo múltiplo comum, entre esses números, é
a) 6.
b) 8.
c) 10.
d) 12.
e) 15.
3. Denise e Carmem trabalham na mesma sala e programaram seus celulares
para alertá-las sobre o horário dos remédios que estão tomando. O celularde Denise 
emite alerta a cada 90 minutos, e o de Carmem a cada 120 minutos. 
Se	os	dois	celulares	emitiram	alerta	ao	mesmo	tempo	às	8	horas	da	manhã,	o	
próximo	horário	em	que	isso	ocorrerá	novamente	será	às
A)10 horas.
B)12 horas.
C)14 horas.
D)16 horas.
E)18	horas.
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4. Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feita na máquina A a cada
3 dias; na máquina B; a cada 4 dias, e na máquina C, a cada 6 dias. 
Se no dia 2 de dezembro foi feita a manutenção nas três máquinas, em que outra data 
as	máquinas	receberão	manutenção	no	mesmo	dia?
A)12 de dezembro
B)14 de dezembro
C)16 de dezembro
D)20 de dezembro
E)24 de dezembro
5. Os professores João, Paulo e Pedro participaram de uma maratona que
consistia em correr ao redor de uma pista circular em um parque da cidade. Partindo 
do	ponto	inicial,	João	deu	uma	volta	no	parque	em	8	minutos;	Paulo	fez	o	mesmo	em	12	
minutos e Pedro, em 15 minutos. Considerando que eles partiram do ponto inicial juntos 
e	no	mesmo	instante,	podemos	afirmar	que	eles	voltaram	a	passar	juntos	pelo	ponto	
inicial depois de iniciada a corrida após .
A) 45 minutos.
B)60 minutos.
C) 80	minutos.
D) 120 minutos.
E) 150 minutos.
5.2 MÁXIMO DIVISOR COMUM
O máximo divisor comum entre dois números é representado pelo maior valor 
comum pertencente aos divisores dos números. 
Observe o MDC entre os números 20 e 30:
D(20) = 1, 2, 4, 5, 10, 20. e D(30) = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
O maior divisor comum dos números 20 e 30 é 10.
Método Prático
Um método rápido e fácil para se determinar o MDC de um conjunto de 
números naturais é a FATORAÇÃO.
Nela iremos decompor simultaneamente os valores, de forma que todos 
eles devem ser divididos, ao mesmo tempo, pelo fator primo apresentado, até 
que se esgotem as possibilidades dessa divisão conjunta. 
O produto dos fatores primos utilizados nesse processo é o Máximo 
Divisor Comum.
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Note que temos que dividir todos os valores apresentados, ao mesmo 
tempo, pelo fator primo. Caso não seja possível seguir dividindo todos , ao mesmo 
tempo, dá-se por encerrado o cálculo do M.D.C.
Qual	é	o	MDC	(15,	25,	40)?
Fatorando os três números temos:
Assim o MDC(15, 25, 40) = 5
Qual	é	o	MDC(15,	75,	105)?	
MDC(15,	75,	105)	=	3	.	5	=	15
Como identificar questões que exigem o cálculo do M.D.C?
Para	não	ficar	em	dúvida	quanto	à	solicitação	da	questão,	M.M.C	ou	M.D.C,	basta	
entender que o M.D.C por ser um “divisor comum”, é um número sempre será menor ou 
igual ao menor dos valores apresentados , logo sempre um valor aquém dos valores 
dados, dando ideia de corte, fração.
Apesar do nome MÁXIMO Divisor Comum, é equivocado pensar que esse 
“máximo” indica um número grande. 
Na verdade ele é o maior dos divisores apresentados mas por ser divisor é 
quase sempre menor que todos os valores de quem se busca o cálculo do M.D.C. 
Já o M.M.C por ser um “múltiplo comum”, é um número sempre será maior ou 
igual ao maior dos valores apresentados , logo sempre um valor além dos valores 
dados, criando uma ideia de “futuro”.
 PROPRIEDADE
Existe uma relação entre o m.m.c e o m.d.c de dois números naturais a e b. Assim 
m.m.c.(a,b) . m.d.c. (a,b) = a . b
Ou seja, o produto entre o m.m.c e m.d.c de dois números é igual ao produto 
entre os dois números.
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EXERCÍCIOS DE AULA
6. Se x é um numero natural em que m.m.c. (14, x) = 154 e m.d.c. (14, x) = 2,
podemos dizer que x vale.
A)22
B)24
C) 26
D) 28
E) 30
7. Os	 números	 naturais,	 ao	 corresponderem-se	 através	 da	 divisão,	 possuem
divisores	comuns.	Um	divisor	importante	nas	relações	numéricas	é	o	Máximo	Divisor	
Comum.	Assinale	a	alternativa	que	contém	o	Máximo	Divisor	Comum	de	12	e	18.
A)9.
B)6.
C)4.
D)3.
E)2.
8. Um	 escritório	 comprou	 os	 seguintes	 itens:	 120	 marcadores	 de	 texto,	 210
corretivos e 150 blocos de rascunho e dividiu esse material em pacotinhos, cada 
um deles contendo todos os tipos de material, e na menor quantidade possível de 
pacotinhos. Sabendo-se que todos os itens foram utilizados, então o número total de 
pacotinhos feitos foi:
A)16
B)20
C)25
D)30
E)35
9. Em uma empresa, há 2 caixas; uma delas com 135 lápis pretos, e a outra com
160 canetas azuis. Todo esse material será dividido em pacotinhos, cada um deles 
com o mesmo número de objetos e na maior quantidade possível, de modo que cada 
pacotinho não contenha lápis e canetas juntos. 
O número de pacotinhos formados com lápis pretos é .
A)35.
B)32.
C)30.
D)27.
E)25.
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10. Uma indústria de tecidos fabrica retalhos de mesmo comprimento. Após
realizar	 os	 cortes	 necessários,	 verificou-se	 que	 duas	 peças	 restantes	 tinham	 as	
seguintes medidas: 156 centímetros e 234 centímetros. O gerente de produção ao 
ser informado das medidas, deu a ordem para que o funcionário cortasse o pano em 
partes iguais e fazendo o menor número de cortes possível. Sendo assim, a quantidade 
de novos retalhos de tecido e a medida de cada um deles, valem, respectivamente:
A) 3	e	78
B) 5	e	78
C) 6 e 65
D) 65 e 6
E) 78	e	5
COMO A BANCA CESPE/CEBRASPE JÁ COBROU ISSO?
1.Uma	 companhia	 aérea	 fixou	 rodízio	 entre	 duas	 cidades	 para	 seus	
comissários	 de bordo de determinado voo diário. A escala estabelece que o 
comissário A trabalhe nesse	voo	a	cada	8	dias;	o	comissário	B,	a	cada	10	dias;	e	o	
comissário	C,	a	cada	12	dias. Nesse caso, se os três tiverem trabalhado juntos no 
voo do dia de hoje, então a próxima vez em que eles trabalharão novamente juntos 
nesse voo ocorrerá daqui a 120 dias
( )Certo
( )Errado
Comentário: 	Questão	resolvida	pelo	cálculo	do	M.M.C
2. Uma	 empresa	 possui	 658	 servidores:	 308	 do	 sexo	 masculino	 e	 350	 do
sexo	 feminino. Em uma reunião com a presença de todos os servidores, seriam 
formados vários grupos: todos os grupos teriam a mesma quantidade de pessoas, e 
cada grupo seria formado apenas com pessoas do mesmo sexo. Nesse caso, para 
que se tenha a	 menor	 quantidade	 de	 grupos	 e	 se	 mantenha	 as	 mesmas	 condições	
anteriores,	os	servidores serão divididos em mais de 50 grupos.
( )Certo
( )Errado
Comentário: Questão	resolvida	pelo	cálculo	do	M.D.C
Gabaritos
Exercícios de Aula
1-C					2-D					3-C					4-B					5-D	1				6-A				7-B				8-D				9-D			10-B
Exercícios da Banca CESPE
1-C 2- E
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SISTEMA DE MEDIDAS
"Salve salve, galera !
Outro conteúdo que vem camuflado em editais e que 
surpreende muito candidato na hora da prova:
Saber trabalhar com as unidades tradicionais de 
comprimento, volume, capacidade, tempo, etc é 
fundamental, afinal, estão todos presentes no nosso dia a 
dia e aparecerão na hora da sua prova também.
Quer motivo melhor para mergulhar de cabeça nesse 
conteúdo ?
Boa aula e bons estudos"
@profdudan
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6.1 DEFINIÇÃO
	 O	 SISTEMA	 MÉTRICO	 DECIMAL	 é	 parte	 integrante	 do	 Sistema	 de	 Medidas.	 É	
adotado no Brasil e tem como unidade fundamental de medida o metro. O Sistema de 
Medidas é um conjunto de medidas usado em quase todo o mundo, visando padronizar 
as formas de medição.
Unidades de medida ou sistemas de medida é um tema bastante presente em 
concursos públicos e, por isso, é mais um dos assuntos tratados aqui. Para podermos 
comparar	um	valor	com	outro,	utilizamos	uma	grandeza	predefinida	como	referência,	
grandeza essa chamada de unidade padrão.
 As unidades de medida padrão que nós brasileiros utilizamos com maior 
frequencia são o grama, o litro e o metro, assim como o metro quadrado e o metro cúbico.
Além dessas também fazemos uso de outras unidades de medida para realizarmos, por 
exemplo, a medição de tempo, de temperatura ou de ângulo. Dependendo da unidade 
de medida que estamos utilizando, a unidade em si ou é muito grande ou muito pequena. 
 Nesse caso, então, utilizamos os seus múltiplos ou submúltiplos. O grama 
geralmente é uma unidade muito pequena para o uso cotidiano, por isso, em geral, 
utilizamoso quilograma, assim como utilizamos o mililitro ao invés da própria unidade 
litro, quando o assunto é bebidas por exemplo.
6.2.		UTILIZAÇÃO	DAS	UNIDADES	DE	MEDIDA
Quando	estamos	interessados	em	saber	a	quantidade	de	líquido que cabe em 
um recipiente, na verdade estamos interessados em saber a sua capacidade. O volume 
interno de um recipiente é chamado de capacidade. A unidade de medida utilizada na 
medição de capacidades é o litro.
Se estivéssemos interessados em saber o volume do recipiente em si, a unidade de 
medida utilizada nessa medição seria o metro cúbico.
 Para ladrilharmos um cômodo de uma casa, é necessário que saibamos a 
área deste cômodo. Áreas são medidas em metros quadrados. Para sabermos o 
comprimento de uma corda, é necessário que a meçamos. Nessa medição, a unidade 
de medida utilizada será o metro ou metro linear. Se você for fazer uma saborosa 
torta de chocolate, precisará comprar cacau e o mesmo será pesado para medirmos 
a massa desejada. A unidade de medida de massa é o grama. Veja a tabela a seguir na 
qual agrupamos as principais unidades de medida, seus múltiplos e submúltiplos do 
Sistema Métrico Decimal, segundo o Sistema Internacional de Unidades - SI:
Medida de Grandeza Fator Múltiplos Unidades
Capacidade Litro 10 kl hl dal l
Volume Métro Cúbico 1000 km3 hm3 dam3 m3
Área M e t r o 
Quadrado
100 km2 hm2 dam2 m2
Comprimento Metro 10 km hm dam m
Massa Grama 10 kg hg dag g
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6.3 CONVERSÃO ENTRE UNIDADES DE MEDIDA
Converta 2,5 metros em centímetros
 Km hm dam m dm cm mm
Isto equivale a passar a vírgula duas casas para a direita.
Portanto: 2,5 m é igual a 250 cm.
Passe 5.200 gramas para quilogramas
 Kg hg dag g dg cg mg
Isto equivale a passar a vírgula três casas para a esquerda.
Portanto:5.200 g é igual a 5,2 kg
Quantos	centilitros	equivalem	a	15	hl?
 Kl hl dal l dl cl ml
Isto equivale a passar a vírgula quatro casas para a direita.
Portanto:150.000 cl equivalem a 15 hl.
Quantos metros quadrados equivalem a 1478532 mm²?
Km²	 hm²	 dam²	 m²	 dm²	 cm²	 mm²
Isto equivale a passar a vírgula três casas para a esquerda , em pulos duplos. 
Portanto:1478532	mm²	equivalem	a	1,478532	m²
Quantos quilômetros cúbicos equivalem a 14 m3?
Km³	 hm³	 	 dam³	 	 m³	 	 dm³	 cm³	 mm³
6.4	EQUIVALÊNCIA	ENTRE	MEDIDAS	DE	VOLUME	E	CAPACIDADE
Para estabelecermos uma “ponte” entre medidas de Volume e Capacidade , 
usaremos	as	seguintes	conversões:		
1	m³	--------	1000	litros
1	dm³	-------	1	litro
1	cm³	-------	1	ml
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 Exemplos de Conversão entre Medidas de Volume e Medidas de 
Capacidade
→ Quantos	decalitros	equivalem	a	1	m³?
Sabemos	que	1	m³	equivale	a	1.000	l,	portanto,	para	convertermos	de	litros	a
decalitros,	passaremos	um	nível	à	esquerda.	Dividiremos	então	1.000	por	10	apenas	
uma vez:
1000l : 10 = 100 dal
Isso equivale a passar a vírgula uma casa para a esquerda. 
Poderíamos também raciocinar da seguinte forma:
Como	1	m³	equivale	a	1	kl,	basta	fazermos	a	conversão	de	1	kl	para	decalitros,	
quando	então	passaremos	dois	níveis	à	direita.	Multiplicaremos	então	1	por	10	duas	
vezes:
1 kl. 10 . 10 = 100 dal
Portanto:	100	dal	equivalem	a	1	m³.
→ Vamos	converter	348	mm³	equivalem	a	quantos	decilitros?
Como	1	cm³	equivale	a	1	ml,	é	melhor	dividirmos	348	mm³	por	mil,	para	obtermos
o seu	equivalente	em	centímetros	cúbicos:	0,348	cm³.	Logo	348	mm³	equivale	a	0,348
ml,	já	que	cm³	e	ml	se	equivalem.
Nesse ponto, já convertemos de uma unidade de medida de volume, para uma 
unidade de medida de capacidade.
Falta-nos passarmos de mililitros para decilitros, quando então passaremos 
dois	níveis	à	esquerda.
Dividiremos então por 10 duas vezes:
0,348	ml	:	10	:	10	=	0,00348	dl
Logo:	348	mm³	equivale	a	0,00348	dl
Dúvidas frequentes
• Um metro cúbico equivale a quantos metros quadrados?
• Converter medidas em decilitros para gramas.
• Quantos	litros	cabem	em	um	metro	quadrado?
• Como	passar	litros	para	milímetros?
• Quantos	centímetros	lineares	há	em	um	metro	quadrado?
• Conversão de litros para gramas.
• Um	centímetro	corresponde	a	quantos	litros?
• Como	passar	de	centímetros	quadrados	para	mililitros?
• Quantos	mililitros	tem	um	centímetro?
• Transformar m3 em metro linear.
• Quanto	vale	um	centímetro	cúbico	em	gramas?
Você consegue notar algum problema nessas perguntas?
O problema é que elas buscam a conversão entre unidades de medidas
incompatíveis, como por exemplo, a conversão de metro cúbico para metro quadrado. 
A primeira é uma unidade de medida de volume e a segunda é uma unidade de medida 
de área, por isso são incompatíveis e não existe conversão de uma unidade para a 
outra.
Então	todas	as	conversões	acima	não	são	possíveis	de	se	realizar,	a	não	ser	que	
se	tenha	outras	informações,	como	a	densidade	do	material	na	última	questão,	mas	
isso já uma outra disciplina.
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Acredito que a razão dessas dúvidas é o fato de o estudante não conseguir 
discernir claramente o que são comprimento, área, volume e capacidade; portanto 
procurarei esclarecer, tais conceitos com maiores detalhes.
EXERCÍCIOS DE AULA
1. O	resultado	de	15.000	mm²	+	15	cm²	é	igual	a:
A) 0,1515	dm².
B) 1,5015	dm².
C) 1,65	dm².
D) 15,15	dm².
E) 151,5	dm².
2. Os	3/50	de	um	hectometro	corresponde	a:
A)60 mm
B)60 cm
C)60 dm
D)60 m
E)60 dam
3. A atleta brasileira Fabiana Murer alcançou a marca de 4,60 m no salto com vara, 
nos	Jogos	Pan-	americanos	realizados	no	Rio	de	Janeiro	em	2007.	Sua	melhor	marca	
é	de	4,80	m,	recorde	sul-	americano	na	categoria.	Qual	é	a	diferença,	em	centímetros,	
entre	essas	duas	marcas?
A)0,2
B)2
C)20
D)200
E)2000
4. Se	 13,73	 dam	 foram	 convertidos	 para	 várias	 unidades	 diferentes.	 Das
conversões	abaixo,	assinale	a	única	que	está	errada
A)13730	cm
B)137,3	m
C)1,373	hm
D)0,01373	km
E)1.373	dm
5. Uma tartaruga percorreu, num dia, 6,05 hm. No dia seguinte, percorreu mais
0,72	km	e,	no	terceiro	dia,	mais	12.500	cm.	Qual	a	distância	que	a	tartaruga	percorreu	
nos	três	dias?
A)1,45m
B)14,5m
C)145m
D)1450m
E)14500m
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6.5 SISTEMA DE MEDIDA DE TEMPO
É	comum	em	nosso	dia	a	dia	perguntas	do	tipo:
• Qual	é	a	duração	dessa	partida	de	futebol?
• Qual	é	o	tempo	dessa	viagem?
• Qual	é	a	duração	desse	curso?
• Qual	é	o	melhor	tempo	obtido	por	esse	corredor?
Todas essas perguntas serão respondidas tomando por base uma unidade
padrão de medida de tempo.
A unidade de tempo escolhida como padrão no Sistema Internacional (SI) é o 
segundo.
Um dia é um intervalo de tempo relativamente longo. Nesse período você pode 
dormir, se alimentar, estudar, se preparar para concursos e muitas outras coisas. Muitas 
pessoas	se	divertem	assistindo	a	um	bom	filme,	porém,	se	os	filmes	tivessem	a	duração	
de um dia, eles não seriam uma diversão, mas sim uma tortura.
Se dividirmos em 24 partes iguais o intervalo de tempo relativo a um dia, cada uma 
dessas	frações	de	tempo	corresponderá	a	exatamente	uma	hora,	portanto	concluímos	
que	um	dia	equivale	a	24	horas	e	que	1	/	24	do	dia	equivale	a	uma	hora.	 Uma	 ou	 duas	
horas	é	um	bom	tempo	para	se	assistir	um	filme,	mas	para	se	tomar	um	banho	é	um	
tempo demasiadamente grande.
Portanto, dependendo da tarefa, precisamos fracionar o tempo, nesse caso, a 
hora. Se dividirmos em 60 partes iguais o intervalo de tempo correspondente a uma 
hora, cada uma dessas 60 partes terá a duração exata de um minuto, o que nos leva a 
concluir	que	uma	hora	equivale	a	60	minutos,	assim	como	1	/	60	da	hora	equivale	a	um	
minuto.
Dez	ou	quinze	minutos	é	um	tempo	mais	do	que	suficiente	para	tomarmos	um	
bom banho ouvindo uma boa música, mas, para atravessarmos a rua, esse tempo é um 
verdadeiro convite a um atropelamento.
Se dividirmos em 60 partes iguais o intervalo de tempo relativo a um minuto, cada 
uma dessas partes terá a duração exata de um segundo. Com isso concluímos que um 
minuto	equivale	a	60	segundos	e	que	1	/	60	do	minuto	equivale	a	um	segundo.
Das	explicações	acima	podemos	chegar	ao	seguinteresumo:
• 1 dia = 24 horas
• 1 hora = 60 minutos
• 1 minuto = 60 segundos
Assim, também podemos concluir que :
• 1	hora	=	1/24	dia
• 1	minuto	=	1/60	hora
• 1	segundo	=	1/60	minuto.
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Múltiplos E Submúltiplos Do Segundo
Quadro	de	unidades
Múltiplos
Minutos Horas Dia
min h d
60s 60 min = 3.600s 24h=1.440min	=	86.400s
São submúltiplos do segundo:
• décimo de segundo
• centésimo de segundo
• milésimo de segundo
Cuidado: Nunca escreva 2,40h como forma de representar 2h40min.
O sistema de medidas de tempo não é decimal.
Observe:
2,40	=	2h+⁴⁰/100h	=	2h	e	24	minutos
	⁴⁰/100	.	60	minutos	=	24	minutos
 Tabela para Conversão entre Unidades de Medidas de Tempo
Além das unidades vistas anteriormente, podemos também relacionar algumas 
outras:
sendo para converter para multiplique por
1h=1/24	d horas dias 1/24
1min	=	1/60h minutos horas 1/60
1s=1/60min segundos minutos 1/60
1min=60s minutos segundos 60
1h=60min horas minutos 60
1d=24h dias horas 24
Unidade Equivale
Semana 7	dias
Quinzena 15 dias
Mês 30 dias*
Bimestre 2 meses
Trimestre 3 meses
Quadrimestre 4 meses
Semestre 6 meses
Ano 12 meses
Década 10 anos
Século 100 anos
Milênio 1000 anos
O mês comercial utilizado 
em	 cálculos	 financeiros	
possui, por convenção, 30 
dias.
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Exemplos Resolvidos
• Converter 25 minutos em segundos:
A unidade de tempo minuto é maior que a unidade segundo, já que 1 minuto
contém 60 segundos. Portanto, de acordo com o explicado acima, devemos realizar 
uma	multiplicação,	mas	devemos	multiplicar	por	quanto?
Devemos multiplicar por 60, pois cada minuto equivale a 60 segundos: Visto 
que:
A min = 60 seg
 Então:
Assim, 25 min é igual a 1500 s.
• Converter 2220 segundos em minutos:
Este exemplo solicita um procedimento oposto ao do exemplo anterior. A
unidade	de	tempo	segundo	é	menor	que	a	unidade	minuto	já	que:	1s	=1	/	60	min
Logo, devemos dividir por 60, pois cada segundo equivale a 60 do minuto: 
2.200	÷	60	=	37
Note que alternativamente, conforme a tabela de conversão acima, poderíamos 
ter	multiplicado	por	1	/	60	ao	invés	de	termos	dividido	por	60,	já	que	são	operações	
equivalentes:
2.200	x	1	/	60	=	37
Assim,	2.220	s	é	igual	a	37	min.
• Quantos	segundos	há	em	um	dia?
Nos exemplos anteriores nos referimos a unidades vizinhas, convertemos de
minutos para segundos e vice-versa.
Como a unidade de tempo dia é maior que a unidade segundo, iremos solucionar 
o problema	recorrendo	a	uma	série	de	multiplicações.
Pela tabela de conversão acima, para convertermos de dias para horas devemos 
multiplicar por 24, para convertermos de horas para minutos devemos multiplicar por 
60	 e	 finalmente	 para	 convertermos	 de	 minutos	 para	 segundos	 também	 devemos	
multiplicar por 60. 
Temos então o seguinte cálculo:
1	x	24	x	60	x	60	=	864.000
• 10.080	minutos	são	quantos	dias?
Semelhante ao exemplo anterior, só que, nesse caso, precisamos converter
de uma unidade menor para uma unidade maior. Como as unidades não são vizinhas, 
vamos	então	precisar	de	uma	série	de	divisões.
De minutos para horas precisamos dividir por 60 e de horas para dias temos que 
dividir por 24. 
O cálculo será então:
10.080	÷	60	÷	24	=	7
Assim,	10.080	minutos	correspondem	7	dias.
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67
EXERCÍCIOS DE AULA
6. Quanto	vale		3/50	de	um	dia:
A)1 hora
B)1 hora e 26 minutos
C)1 hora, 26 minutos e 2 segundos
D) 1 hora, 26 minutos e 24 segundos
E) 2 horas.
7. Estudando	para	a	prova	de	um	concurso,	Guilherme	resolveu	cronometrar	o
tempo	que	levaria	para	resolver	um	simulado	dessa	prova.	Quando	terminou	o	simulado,	
o cronometro estava marcando 9030 segundos. Em quanto tempo Guilherme fez esse
simulado?
A)2 horas, 40 minutos e 20 segundos.
B)2 horas, 30 minutos e 30 segundos.
C)1 hora, 45 minutos e 40 segundos.
D)1 hora, 55 minutos e 50 segundos.
E) 1 hora e 30 minutos.
8. Um	aluno	estuda	8,8	h	por	dia,	de	segunda	a	sexta.
Considerando que o dia de estudo é dividido em dois turnos, sendo que o
primeiro	turno	tem	duração	de	1/3	da	carga	diária,	o	segundo	turno	tem	duração	de	
quantos	minutos?
A)176.
B)264.
C)352.
D)528.
E)704.
6.6 SISTEMA MONETÁRIO BRASILEIRO
Mesmo não constando em edital, é comum a cobrança do uso correto da Unidade 
Monetária	Brasileira	que	é	o	REAL	(R$).	Normalmente	essas	questões	abordam	o	uso	
correto	dessa	unidade	como	também	o	uso	das	operações	básicas	.
Na	 verdade	 as	 operações	 básicas	 não	 mudam	 no	 uso	 da	 unidade	 monetária,		
seja ela o Real, Dólar, euro , etc. Basta então o aluno estar bem treinado quanto ao uso 
das	operações	e	interpretar	corretamente	as	questões.
Vale	ressaltar	que	as	operações	básicas	vão	trabalhar	nos	valores	monetários	
da mesma forma que nos números tradicionais, lembrando que na unidade de tempo é 
“uma cilada, Bino”.
Sendo assim basta aplicar todos os conceitos já adquiridos para somar, subtrair, 
multiplicar	ou	dividir	valores	monetários	afinal	 “quem	nunca	dividiu	a	conta	do	bar	 “	
com	os	amigos?
Vamos ver então como se aplicam essas ideias.
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68
EXERCÍCIO DE AULA
9. Em um mercado são vendidas latas de suco, onde o consumidor pode optar
em comprar a lata de suco por unidade ou comprar por caixa - cada caixa contém 06 
latas de suco. Sabe-se que o preço por unidade da lata de suco é R$ 2,50 e a caixa de 
latas de suco referida anteriormente custa R$ 13,00.
Então,	é	correto	afirmar	que	uma	pessoa	que	deseja	comprar	neste	mercado	35	latas	
de suco gastará, no mínimo, a quantia de:
a) R$ 42,50.
b) R$ 65,00.
c) R$	77,50.
d) R$	78,00.
e) R$	87,50
10. 	O	preço	do	litro	de	combustível	em	um	posto	é	de	R$	4,58.	Rita	abasteceu	seu
carro,	pagando	um	total	de	R$	128,24.	Quantos	litros	de	combustível	foram	colocados	
em	seu	carro?
a)32.
b)29.
c)28.
d)26.
e)25.
COMO	A	BANCA	CESPE/CEBRASPE	JÁ	COBROU	ISSO?
Julgue os seguintes itens, relativos a sistemas numéricos e sistema legal de 
medidas.
1.Considere que, para garantir o abastecimento de água durante determinado
período de seca, tenha sido construído, em uma propriedade, um reservatório com 
capacidade	 para	 armazenar	 10.000	 dm³	 de	 água.	 Nesse	 caso,	 o	 reservatório	 não	
transbordará se nele forem depositados 20.000 L de água.
( ) Certo
( )Errado
Comentário: questão	resolvida	pelo	conversão	de	litros	em	dm³.
Lúcio, Breno, Cláudia e Denise abriram a loja virtual Lik, para a qual, no ato de 
abertura, Lúcio contribuiu com R$ 10.000,00; Breno, com R$ 15.000,00; Cláudia, com 
R$ 12.000,00; e Denise, com R$ 13.000,00. Os lucros obtidos por essa loja serão 
distribuídos	de	forma	diretamente	proporcional	à	participação	financeira	de	cada	um	
dos	sócios	no	ato	de	abertura	da	loja.	A	partir	dessas	informações,	julgue	os	itens	a	
seguir.
2. Caso o volume de cada unidade de determinado produto vendido pela loja Lik
seja	de	1.800	cm3	,	então,	se	200	unidades	desse	produto	forem	acondicionadas	em	
uma única embalagem, o volume dessa embalagem será inferior a 0,3 m3 .
( )Certo
( )Errado
Comentário: questão resolvida pela conversão de medidas de volume
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3. O motorista de uma empresa transportadora de produtos hospitalares deve
viajar de São Paulo a Brasília para uma entrega de mercadorias. Sabendo que irá 
percorrer aproximadamente 1.100 km, ele estimou, para controlar as despesas com 
a	viagem,	o	consumo	de	gasolina	do	seu	veículo	em	10	km/L.	Para	efeito	de	cálculos,	
considerou que esse consumo é constante.
Considerando	essas	informações,	julgue	os	itens	que	seguem.
Nessa viagem, o veículo consumirá 110.000 dm3 de gasolina.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário:		questão	resolvida	pelo	conversão	de	litros	em	dm³.
Gabaritos
Exercícios de Aula
1-C					2-C						3-C						4-D					5-D					6-D						7-B							8-C				9-C					10-C
Gabarito Exercícios da banca CESPE
1-E 2-E 3-E
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RAZÃO, PROPORÇÃO E REGRA
DE TRÊS
"Salve salve, galera !
Chegamos a um dos assuntos mais abordados em prova 
e que irá exigirde vocês muito raciocínio lógico, afinal de 
contas, decorar fórmulas é para os fracos.
Razão, proporção e todos os seus desdobramentos são 
fundamentais para a sua caminhada rumo à aprovação.
Além disso, o conhecimento amplo de razão e proporção 
trará mais facilidade e agilidade ao lidar com assuntos 
mais complexos como porcentagem.
Então vem comigo conhecer um pouco mais desse 
assunto.
Boa aula e bons estudos"
@profdudan
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7.1	DEFINIÇÃO
Razão
A	palavra	razão	vem	do	latim	ratio	e	significa	a	divisão	ou	o	quociente	entre	dois	
números,	A	e	B,	denotada	por	A	/	B.
Exemplo:	A	razão	entre	12	e	3	é	4,	pois	12	/	3	=	4.
Proporção
Já a palavra proporção vem do latim proportione	e	significa	uma	relação	entre	
as	partes	de	uma	grandeza,	ou	seja,	é	uma	igualdade	entre	duas	razões.
Exemplo: 6	/	3	=	10	/	5	,	a	proporção	entre	6	e	3	é	idêntica	a	entre		10	e	5	.
Se numa proporção temos AB = DC, então os números A e D são denominados 
extremos
Enquanto os números B e C são os meios e vale a propriedade: o produto dos 
meios é igual ao produto dos extremos, isto é:
A×D=C×B
Exemplo: Dada a proporção x 12
					3	=	9	,	qual	é	o	valor	de	x?
Basta	entender	que	numa	proporção	(igualdade	entre	duas	frações)	basta	fazer	
o cruz-credo e multiplicar em cruz os elementos.
Assim	:	9.x	=	3.12	→	9x	=	36	e	portanto	x	=	4
Exemplo: Se A, B e C são proporcionais a 2, 3 e 5,
devemos respeitar a ordem da citação e montar a proporção, logo:
A = B = C
2 3 5 
 Observe a ordem com que os valores são enunciados para interpretar 
corretamente a questão.
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EXERCÍCIOS DE AULA
1. Calcule	o	valor	de	“x”	na	seguinte	operação	matemática:	27=	12x
a)A) x = 24.
B) x = 30.
C) x = 36.
D) x = 42.
E) x	=	48.
A	proporção	é	a	 igualdade	entre	duas	frações	e	pode	 ,	na	maioria	das	vezes,	
sendo	 resolvido	 pelo	 cruzamento	 clássico	 	 (“cruz-credo”)	 ,	 porem	 em	 questões	
que envolvem as únicas duas partes de um todo (homens e mulheres, aprovados e 
reprovados, etc ) podemos usar uma lógica simples. 
Exemplo	:	Razão	entre	homens	e	mulheres	é	3/4	,	logo	a	cada	7	pessoas	serão	3	
homens	e	4	mulheres	formando	vários	grupos	com	mesma	configuração.
EXERCÍCIOS DE AULA
2.Em uma turma, há 12 meninos e o restante são meninas. Sabe-se que a razão
entre a quantidade de meninas e o total de alunos da turma é de dois terços. Com base 
nessa	informação,	pode-se	afirmar	que	a	razão	entre	a	quantidade	de	meninos	e	de	
meninas é de:
a)3/4.
b)1/3.
c)1/4.
d)2/3.
e)1/2.
3. A	razão	entre	o	número	de	homens	e	mulheres	numa	turma	do	QUEBRANDO
AS	BANCAS	é	2/3.	Se	há	42	homens	,	o	número	de	mulheres	é	.
a)54
b)60
c)63
d)68
e)76
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73
4.A	razão	entre	o	número	de	homens	e	mulheres	numa	turma	do	QUEBRANDO
AS	BANCAS	é	2/3.	Se	o	total	de	pessoas	nesse	setor	é	125,	o	número	de	mulheres	é	.
a)50
b)60
c)65
d)70
e)75
5.A	razão	entre	o	número	de	homens	e	mulheres	numa	turma	do	QUEBRANDO
AS	BANCAS	é	2/3.	Se	há	7	homens	a	menos	que	mulheres	,	então	o	total	de	pessoas	
nesse setor é de.
a)15
b)20
c)25
d)30
e)35
6.Num	certo	dia	de	trabalho	no	QUEBRANDO	AS	BANCAS	numa	mesa	havia	120
pastas com documentos. Após a reorganização desses documentos, algumas pastas 
ficaram	vazias.	Sabendo	que,	após	a	reorganização,	a	razão	entre	o	número	de	pastas	
com	documentos	e	o	número	de	pastas	vazias	é	7	/	3	,	então,	o	número	de	pastas	vazias	
é
a)12.
b)18.
c)24.
d)30.
e) 36
7. Carros	e	motos	estão	estacionados	no	pátio	do	QUEBRANDO	AS	BANCAS.	O
número de carros está para o de motos, em uma razão de 5 para 2, respectivamente. Se 
20 outras motos forem estacionadas nesse pátio, a razão entre o número de carros e 
motos	passa	a	ser	de	5	para	6,	respectivamente.	Quantos	carros	estão	no	pátio?
a)25.
b)21.
c)16.
d)11.
e)7.
8. Os	alunos	do	QUEBRANDO	AS	BANCAS	fizeram	uma	campanha	para	arrecadar
fundos	para	um	churrasco.	De	cada	R$	5,00	arrecadados,	R$	3,00	vieram	de	doações,	
e R$ 2,00, da venda de doces em festas organizadas por eles. Foram arrecadados R$ 
3.690,00	com	a	venda	de	doces.	Qual	foi,	em	reais,	o	valor	das	doações?
a)2.460,00
b)4.035,00
c)4.535,00
d)5.535,00
e)8.610,00
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9. A	final	da	Copa	do	mundo	de	2014	foi	disputada	entre	Alemanha	e	Argentina
no	Maracanã,	que	tem	capacidade	para	80	mil	espectadores.
Supondo-se que o estádio estivesse lotado, que exatamente 26 mil espectadores não 
fossem	argentinos	nem	alemães,	e	que,	para	cada	5	alemães	houvesse	7	argentinos,	
qual	o	total	de	argentinos	presentes	no	estádio?
a)22.500
b)24.000
c)26.000
d)30.000
e)31.500
10. Numa pesquisa sobre concursos públicos, três em cada quatro homens e
duas	em	cada	três	mulheres	responderam	que	já	fizeram	concursos.	A	razão	entre	o	
número de mulheres e de homens participantes dessa pesquisa é, nessa ordem, igual 
a	1/2	Que	fração	do	total	de	entrevistados	corresponde	àqueles	que	responderam	que	
já	fizeram	concursos?
a) 5/7
b) 8/11
c) 13/18
d) 17/24
e) 25/36
COMO	A	BANCA	CESPE/CEBRASPE	JÁ	COBROU	ISSO?
Acerca de números inteiros, divisibilidade, números racionais e reais, julgue o 
item subsequente.
1. Considere	 que	 a	 densidade	 demográfica	 —	 quantidade	 de	 habitantes	 por
km²	—	de	uma	região	A	seja	igual	a	4/5	,	Nesse	caso,	se	em	uma	região	B	houver	12	
habitantes	 em	 cada	 15	 km²,	 então	 as	 regiões	 A	 e	 B	 possuem	 a	 mesma	 densidade	
demográfica.
( )Certo 
( )Errado 
Comentário: 	Questão	resolvida	pelo	uso	básico	do	conceito	de	razão.
2. Em um departamento, todo grupo formado com 13 servidores,
necessariamente incluirá pelo menos uma mulher, e todo grupo formado com 21 
servidores, necessariamente incluirá pelo menos um homem. Se a quantidade de 
servidores, homens e mulheres, nesse departamento for a maior possível nessas 
condições,	então,	nesse	departamento,	a	proporção	entre	o	número	de	homens	e	de	
mulheres, respectivamente, será de 3:5 .
( )Certo
( )Errado
Comentário:	 Questão	 resolvida	 pelo	 uso	 do	 conceito	 de	 razão	 e	 toda	 lógica	
envolvida .
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3. Na cidade de São Paulo, se for constatada reforma irregular em imóvel avaliado
em	P	reais,	o	proprietário	será	multado	em	valor	igual	a	k%	de	P	×	t,	expresso	em	reais,	
em que t é o tempo, em meses, decorrido desde a constatação da irregularidade até a 
reparação dessa irregularidade. A constante k é válida para todas as reformas irregulares 
de imóveis da capital paulista e é determinada por autoridade competente.
Se,	de	acordo	com	as	informações	do	texto	V,	for	aplicada	multa	de	R$	900,00	
em razão de reforma irregular em imóvel localizado na capital paulista e avaliado em R$ 
150.000,00, cuja irregularidade foi reparada em um mês, então a multa a ser aplicada 
em razão de reforma irregular em imóvel localizado na capital paulista e avaliado em 
R$	180.000,00,	cuja	irregularidade	também	foi	reparada	em	um	mês,	será	superior	a	R$	
1.110,00 .
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: 	 Questão	 resolvida	 pelo	 uso	 do	 conceito	 de	 razão	 e	 toda	 lógica	
envolvida .
4. Em cada um do item a seguir, é apresentada uma situação hipotética seguida
de uma assertiva a ser julgada, a respeito de juros, divisão proporcional e regra de três.
Um	 terreno	 retangular	 medindo	 100	 m	 ×	 200	 m	 foi	 colocado	 à	 venda	 por	 R$	
250.000,00.		 O	terreno	poderá	ser	vendido	inteiro	ou	em	frações	e,	nesse	caso,	o	preço	
do m2 da fração de terreno é igual ao do m2 do terreno inteiro. Nessa situação, se um 
indivíduo	desejar	comprar	uma	fração	medindo	50	m	×	100	m,	ele	pagará	R$	125.000,00	
por essa fração de terreno.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: 	Questão	resolvida	pelo	uso	do	conceito	de	razão	e	proporção.
Gabaritos
Exercícios de Aula
1-D	 2-E	 3-C	 4-E	 5-E	 6-E 7-A																8-D											9-E								10-E
Questões da Banca CESPE/CEBRASPE
1-C 2- C 3-C 4-E 5-E
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REGRA DE TRÊS SIMPLES
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	8.1	GRANDEZASDIRETAMENTE	PROPORCIONAIS	
A	definição	de	grandeza	está	associada	a	tudo	aquilo	que	pode	ser	medido	ou	
contado. Como exemplo, citamos: comprimento, tempo, temperatura, massa, preço, 
idade, etc.
As	grandezas	diretamente	proporcionais	estão	ligadas,	de	modo	que,	à	medida	
que uma grandeza aumenta ou diminui, a outra altera de forma proporcional.
Grandezas diretamente proporcionais, explicando de uma forma mais informal, 
são grandezas que crescem juntas e diminuem juntas. Podemos dizer também que nas 
grandezas diretamente proporcionais uma delas varia na mesma razão da outra. Isto é, 
duas grandezas são diretamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a outra 
também dobra; triplicando uma delas, a outra também triplica... E assim por diante.
Exemplo Resolvido
Um	aluno	está	estudando	para	o	concurso	no		Quebrando	as	Bancas	.	A	cada	3	
dias	ele	resolve	11	questões	de	RLM.	Se	ele	mantiver	esse	ritmo	de	estudos	ao	final	de	
18	dias	terá	resolvido	quantas	questões?
Resolução:
O	primeiro	ponto	é	observar	e	definir	se	as	grandezas	envolvidas	são	direta	ou	
inversamente proporcionais.
Como	a	quantidade	de	questões	resolvidas	tende	a	crescer	conforme	os	dias	
de estudo aumentam, temos grandezas DIRETAMENTE proporcionais, sendo assim 
basta	montar	e	usar	o	método	CRUZ-CREDO:
 Assim: 
Resolvendo, temos: 
3x = 11.18 → x = (11.18) / 3 = 11.6 = 66
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8.3	GRANDEZAS	INVERSAMENTE	PROPORCIONAIS
Entendemos	por	grandezas	 inversamente	proporcionais	as	situações	em	que	
ocorrem	operações	inversas,	isto	é,	se	dobramos	uma	grandeza,	a	outra	é	reduzida	à	
metade.
 São grandezas que quando uma aumenta a outra diminui e vice-versa. 
Percebemos que, variando uma delas, a outra varia na razão inversa da primeira. Isto é, 
duas grandezas são inversamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a outra 
se reduz pela metade; triplicando uma delas, a outra se reduz para a terça parte... E 
assim por diante.
Exemplo Resolvido
No dia da prova do MP-RS, um aluno demorou 3 horas para chegar ao local de 
prova,	se	deslocando	numa	velocidade	constante	de	60km/h.
Caso	 ele	 tivesse	 percorrido	 esse	 mesmo	 trajeto	 com	 velocidade	 de	 90	 km/h	 teria	
levado	quanto	tempo?
 Resolução:
Primeiro temos que observar que enquanto a velocidade aumenta, o tempo 
necessário para o aluno se deslocar diminui.
 Sendo assim, temos grandezas INVERSAMENTE proporcionais e o método 
muda, é o LA-LA (lado a lado)
Grandezas Inversamente Proporcionais
Logo	90x	=	60	.	3	→	x	=	60.3	=	2h
 90
Velocidade	(km/h) t(horas)
60 3
90 x
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EXERCÍCIOS DE AULA
1. Um	 aluno	 percebeu	 que	 a	 cada	 2	 aulas	 assistidas	 de	 RLM	 ele	 acertava	 7
questões.	Sendo	assim,	após	12	aulas	de	RLM	o	número	total	de	acertos	dele	será	de:
a) 42
b)56
c) 63
d)70
e)77
2. Enquanto	 estudava	 para	 o	 concurso	 na	 Quebrando	 as	 Bancas	 ,	 um	 aluno
percebeu que gastava 20 minutos para ler a apostila, num ritmo de 60 palavras por 
minuto. Caso esse ritmo passasse para 40 palavras por minuto, o tempo que esse 
aluno levaria para ler o mesmo material é de:
a)13
b)25
c)30
d)35
e)40
3. Um aluno teve que fazer uma viagem para poder fazer uma prova de concurso.
Se	a	viagem	foi	feita	em	12	horas	percorrendo-se	70	km	por	hora.	Quantas	horas	seriam	
necessárias	para	fazer	a	mesma	viagem,	percorrendo-se	120	km	por	hora?	
a)5
b)6
c)7
d)8
e)9
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80
4. Um	 funcionário	 da	 Quebrando	 as	 Bancas	 	 consegue	 cadastrar	 um	 aluno	 a
cada 10 segundos.
 Assinale a alternativa que indica a quantidade de alunos que esse técnico consegue 
cadastrar em 15 minutos.
a)150.
b)90.
c)60.
d)45.
e)15
5. Considerando-se que são necessários 30min para encher um recipiente com
duas mangueiras, que possuem a mesma vazão de água, ao todo, quantas mangueiras 
iguais	às	anteriores	são	necessárias	para	que	se	encha	esse	recipiente	em	10min?
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
6. Em	uma	turma	do	QUEBRANDO	AS	BANCAS	com	800	alunos	há	brindes	para
serem	distribuídos	igualmente	o	longo	de	40	dias	de	aula.	Quanto	tempo	durariam	os	
brindes	para	distribuir	aos	800	alunos	de	houvesse	metade	dos	brindes	?
a)20 dias.
b)25 dias.
c)30 dias.
d) 35 dias.
e)40 dias.
7. Certo	dia	o	professor	Dudan	resolveu	cozinhar	e	fez	comida	suficiente	para
alimentar	8	amigos	por	5	dias.	O	tempo	que	ele	poderia	alimentar	os	mesmos		amigos	
com o triplo de comida é de .
a) 12
b) 13
c) 14
d) 15
e) 16
8. Certo	dia	o	professor	Dudan	resolveu	cozinhar	e	fez	comida	suficiente	para
alimentar	 8	 amigos	 por	 5	 dias.	 No	 terceiro	 dia	 ,	 antes	 das	 refeições	 mais	 4	 amigos	
do professor chegaram e assim o tempo que ele poderia alimentar todos os amigos 
reduziu em.
a) 1 dia.
b) 2 dias.
c) 3 dias.
d) 4 dias.
e) 5 dias.
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9. A COVID-19 é uma doença infecciosa, causada por um vírus .
 Uma medida importante para controle da COVID-19 é a vacinação além de todos os 
outros cuidados já recomendados: uso de máscara, isolamento social e uso frequente 
de álcool gel.
O	 QUEBRANDO	 AS	 BANCAS	 preocupado	 com	 a	 saúde	 de	 seus	 funcionários,	
fez	um	levantamento	para	saber	quantos	já	tinham	sido	vacinados	e	foi	verificado	que	
dos 400 funcionários apenas 100 já haviam tomado a vacina.Se forem selecionados 
ao acaso 20 funcionários dessa empresa, o número esperado de pessoas que não 
tomaram a vacina é de
a)7
b)10
c)12
d)15
e)18
10. Na tabela abaixo, a sequência de números da coluna A é inversamente
proporcional	à	sequência	de	números	da	coluna	B.A	letra	X	representa	o	número:
a) 90.
b) 80.
c) 96.
d) 84.
e) 72.
COMO	A	BANCA	CESPE/CEBRASPE	JÁ	COBROU	ISSO?
1. Para se preparar o Arroz em Camadas da Tia Camélia, para 100 alunos, os
ingredientes	são:	5	quilos	de	arroz,	8	ovos	cozidos,	1	 lata	de	830	gramas	de	atum	e	
1 quilo de ervilha. Considerando que a merendeira compre esses produtos em um 
supermercado, julgue o item que s segue.
Se	a	merendeira	comprar	2	quilos	de	atum,	então	ela	terá	atum	suficiente	para	preparar	
esse arroz em camadas para 200 alunos. 
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão resolvida pelo uso da regra de três simples envolvendo 
as grandezas citadas.
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82
2. Para se preparar o Arroz em Camadas da Tia Camélia, para 100 alunos, os
ingredientes	são:	5	quilos	de	arroz,	8	ovos	cozidos,	1	 lata	de	830	gramas	de	atum	e	
1 quilo de ervilha. Considerando que a merendeira compre esses produtos em um 
supermercado, julgue o item que os segue.
Supondo-se que a merendeira compre 12 dúzias de ovos, então ela terá ovos 
suficientes	para	preparar	esse	arroz	para	até	1.600	alunos.
( )Certo
( )Errado
Comentário: 	Questão	resolvida	pelo	uso	da	regra	de	três	simples	envolvendo	
as grandezas citadas.
 Diariamente, o tempo médio gasto pelos servidores de determinado 
departamento	para	executar	suas	tarefas	é	diretamente	proporcional	à	quantidade	de	
tarefas	executadas	e	inversamente	proporcional	à	sua	produtividade	individual	diária	P.
Com	base	nessas	informações,	julgue	o	item	a	seguir.
3. Se, na segunda-feira, um servidor gastou 6 horas para executar todas as 15
tarefas	a	seu	encargo	e,	na	sexta-feira,	ele	gastou	7	horas	para	executar	as	suas	18	
tarefas, então, nessa situação, o servidor manteve a mesma produtividade nesses dois 
dias.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão resolvida pelo uso da regra de três simples envolvendo 
as grandezas citadas.
4. Considerando que uma equipe de 30 operários, igualmente produtivos,
construa uma estrada de 10 km de extensão em 30 dias, julgue o item que segue
Se, ao iniciar a obra, a equipe designada para a empreitada receber reforço de 
uma segunda equipe, com 90 operários igualmente produtivos e desempenho igual ao 
dos	operários	da	equipe	inicial,	então	a	estrada	será	concluída	em	menos	de	1/5	do	
tempo inicialmente previsto.
( ) Certo 
( ) Errado
Comentário: questão resolvida pelo uso da regra de três simples envolvendo 
as grandezas citadas.Os operadores dos guindastes do Porto de Itaqui são todos igualmente 
eficientes.	 Em	 um	 único	 dia,	 seis	 desses	 operadores,	 cada	 um	 deles	 trabalhando	
durante	8	horas,	carregam	12	navios.
Com referência a esses operadores, julgue o item seguinte.
5. Para	carregar	18	navios	em	um	único	dia,	seis	desses	operadores	deverão
trabalhar durante mais de 13 horas.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão resolvida pelo uso da regra de três simples envolvendo 
as grandezas citadas.
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6.Três	 caminhões	 de	 lixo	 que	 trabalham	 durante	 doze	 horas	 com	 a	 mesma	
produtividade recolhem o lixo de determinada cidade. Nesse caso, cinco desses 
caminhões,	 todos	 com	 a	 mesma	 produtividade,	 recolherão	 o	 lixo	 dessa	 cidade	
trabalhando	durante	mais	de	8	horas.
( )Certo
( )Errado
Comentário: questão resolvida pelo uso da regra de três simples envolvendo as 
grandezas citadas.
7. No	 item	 a	 seguir	 é	 apresentada	 uma	 situação	 hipotética,	 seguida	 de	 uma
assertiva a ser julgada, a respeito de proporcionalidade, divisão proporcional, média e 
porcentagem.
Um	 digitador	 digita,	 em	 média,	 sem	 interrupção,	 80	 palavras	 por	 minuto	 e	 gasta	 25	
minutos para concluir um trabalho. Nessa situação, para que o digitador conclua o 
mesmo trabalho em 20 minutos, sem interrupção, ele terá que digitar, em média, 90 
palavras por minuto.
( )Certo
( )Errado
Comentário: questão resolvida pelo uso da regra de três simples envolvendo as 
grandezas citadas.
No item seguinte apresenta uma situação hipotética, seguida de uma assertiva a 
ser julgada, a respeito de proporcionalidade, porcentagens e descontos.
8. No	 primeiro	 dia	 de	 abril,	 o	 casal	 Marcos	 e	 Paula	 comprou	 alimentos	 em
quantidades	suficientes	para	que	eles	e	seus	dois	filhos	consumissem	durante	os	30	
dias	do	mês.	No	dia	7	desse	mês,	um	casal	de	amigos	chegou	de	surpresa	para	passar	
o restante do mês com a família. Nessa situação, se cada uma dessas seis pessoas
consumir diariamente a mesma quantidade de alimentos, os alimentos comprados pelo
casal acabarão antes do dia 20 do mesmo mês.
( )Certo
( )Errado
Comentário: questão resolvida pelo uso da regra de três simples envolvendo as 
grandezas citadas.
Gabaritos
Exercícios de Aula
	1-A	 2-C	 3-C	 4-B	 5-A		 6-A	 						7-D	 8-A									9-D								10-B
Questões	da	Banca	CESPE/CEBRASPE
1-C												2-C								3-E											4-E												5-E 6-E							7-E					8-E
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REGRA DE TRÊS COMPOSTA
"Salve salve, galera !
Luz na passarela que lá vem ela , a regra de Três 
Composta.
E ela vem com tudo, nesse novo método de resolução 
que é eficaz, infalível e sensacional.
Não o conhece? 
então não perde tempo, mergulha e vamos juntos.
Boa aula e bons estudos"
@profdudan
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85
9.1 DEFINIÇÃO
 A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, 
direta ou inversamente proporcionais. Para não vacilar, temos que montar um esquema 
com	base	na	análise	das	colunas	completas	em	relação	à	coluna	do	“x”.
Usaremos um método simples e direto que, ao contrário dos métodos tradicionais, 
não analisa se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
9.2 Método dos Sinais
Nesse método a nossa única preocupação será descobrir o efeito da variação 
das grandezas completes (aquelas em que temos os valores nos dois momentos) na 
variável analizada (normalmente o famoso “x”).
E a Regra é clara:
O	sinal	indica	quem	fica	no	NUMERADOR	da	fração,	ou	seja,	se	aparecer	o	
sinal	de	 +	 fica	 o	 MAIOR	 valor	 da	 coluna,	 se	 aparecer	 o	 sinal	 de	 –	 fica	 o	 MENOR	
valor	 da	coluna.
Exemplo: 
Em	8	horas,	20	caminhões	descarregam	160	m³	de	areia.	Em	5	horas,	
quantos	caminhões	serão	necessários	para	descarregar	125	m³?
Temos	que	identificar	as	relações	das	variáveis	completas	em	relação	ao		X:
Para isso faremos as seguintes perguntas: 
Se	 em	 8	 horas,	 20	 caminhões	 carregam	 a	 areia,	 em	 5	 horas,	 para	 carregar	
o mesmo	volume	de	areia,	precisaremos	de	MAIS	ou	MENOS	caminhões?
RESPOSTA: MAIS	 caminhões.	 Colocaremos	 o	 sinal	 de	 +	 na	 coluna	 HORAS.
Se,	 160	 m³	 são	 transportados	 por	 20	 caminhões,	 125	 m³	 serão	
transportados	por MAIS ou MENOS caminhões?
RESPOSTA: 	MENOS,	portanto	colocaremos	o	sinal	de	–	na	coluna	VOLUME.
Em	8	horas,	20	caminhões	descarregam	160	m³	de	areia.	Em	5	horas,	quantos	
caminhões	serão	necessários	para	descarregar	125	m³?
QUEM	É	O	PERSONAGEM	PRINCIPAL	(AÇÃO)?		Carregar	AREIA
Areia	 t(h)	 Caminhões
160	 8	 20
 125 5 x
Daí: 
160.5.x		=	125.8.20
Isola o x e corre pro abraço.
9.3 Método do Protagonista (ou do Produto, ou dos Times)
Estudando alguns outros métodos de resolução da Regra de Três Composta, 
encontrei esse método eficaz, rápido e seguro.
Para utilizá-lo, basta descobrir qual(is) grandeza(s) envolvidas são o 
PERSONAGEM PRINCIPAL da questão, ou seja, ao redor de quem a questão gira.
Essa descoberta é a parte mais importante e difícil da questão mas garanto que 
depois de um bom treino você vai tirar de letra.
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Exemplo Resolvido
Numa	fábrica	de	brinquedos,	8	homens	montam	20	carrinhos	em	5	dias.	Quantos	
carrinhos	serão	montados	por	4	homens	em	16	dias?
QUEM	É	O	PERSONAGEM	PRINCIPAL	(AÇÃO)?		Montar	CARRINHOS
 Carrinhos t(dias) Homens
	 20	 5	 8
 x 16 4
 Daí: 
x.5.8	=	20.16.4
Isolando	o	x:			x	=	20.16.45.8=	32
EXERCÍCIOS DE AULA
1.	Trabalhando	oito	horas	por	dia,	durante	16	dias,	um	funcionário	do		Quebrando
as Bancas recebeu R$ 2.000,00. Se trabalhar 6 horas por dia, durante quantos dias ele 
deverá	trabalhar	para	receber	R$	3000,00?
a)30 dias
b)31 dias
c)32 dias
d)33 dias
e)34 dias
2. Em	18	horas,	2	 funcionários	do	 	Quebrando	as	Bancas	 	analisam	15	aulas.
Trabalhando no mesmo ritmo, o número de funcionários necessários para analisar 10 
aulas em 6 horas é igual a 
a) 4.
b) 6.
c) 5.
d) 3.
e) 7.
3. Um	segurança	trabalhando	8	horas	por	dia	revista	100	visitantes	em	10	dias.
Nas	 mesmas	 condições,	 quantos	 visitantes	 ele	 revistará	 em	 6	 dias	 trabalhando	 10	
horas	por	dia?
a) 60
b) 75
c) 80
d) 90
e) 100
4. Se, em uma indústria, 10 máquinas produzem 4.250 peças trabalhando 6 horas 
por	 dia	 durante	 7	 dias,	 o	 número	 de	 máquinas	 necessárias	 para	 que	 essa	 indústria	
produza a mesma quantidade de peças em 15 dias, trabalhando 4 horas por dia, será 
de:
a) 5.
b)7.
c) 8.
d)12.
e)14.
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5.	Em	um	setor	do		Quebrando	as	Bancas	,	dois	funcionários	organizam	4	gavetas
em 10 minutos. Supondo que o ritmo de trabalho dos funcionários seja constante e 
que	as	gavetas	são	iguais	é	correto	afirmar	que	o	tempo	necessário	para	que	cinco	
funcionários organizem 15 destas gavetas é igual a:
a)10 minutos.
b)15 minutos.
c)20 minutos.
d)25 minutos.
e)30 minutos.
6. Em	 5	 dias,	 3	 operários,	 trabalhando	 8	 horas	 por	 dia,	 constroem	 60	 m2	 de
um certo tipo de muro. Considerando que se dobre o número de operários e que o 
rendimento destes seja sempre o mesmo, quantos m2 desse mesmo tipo de muro 
seria construído em 10 dias, nos quais a jornada de trabalho fosse de 10 horas por 
dia?
a)150
b)160
c)200
d)250
e)300
7. Ao	longo	da	preparação	para	concurso,	um	aluno	do		Quebrando	as	Bancas
percebeu	que	acertava	5	questões	,	ao	longo	de	25	minutos	de	estudo	.
Caso ele dobre a velocidade de estudo e mantenha a taxa de acertos, o número de 
questões	que	acertará	ao	longo	de	1	hora	de	estudo	é	de:
a)12
b)18
c)24
d)30
e)36
9. Se um único robô constrói uma casa de 100 m2 em dois dias, então 4 robôs
serão	capazes	de	construir	10	casas	de	80	m2	em	quanto	tempo?
a)1
b)2
c)3
d)4
e)5
10. Um texto em língua portuguesa, digitado com certo número de linhas por
página e 40 caracteres por linha ocupa 12 páginas. Sem mudar a fonte e o tamanho 
da fonte, o mesmo texto pode ser digitado com o dobro de linhas por página e 60 
caracteres por linha. Nesse caso, o número de páginas ocupado pelotexto será
a) 9.
b) 8.
c) 6.
d) 4.
e) 3.
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COMO	A	BANCA	CESPE/CEBRASPE	JÁ	COBROU	ISSO?
1.	Se	4	servidores,	igualmente	eficientes,	limpam	30	salas	de	aula	em	exatamente
5	 horas,	 então,	 8	 servidores,	 trabalhando	 com	 a	 mesma	 eficiência	 dos	 primeiros,	
limparão 36 salas em menos de 3 horas.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão resolvida pelo uso da regra de três composta envolvendo 
as grandezas citadas.
 Os operadores dos guindastes do Porto de Itaqui são todos igualmente 
eficientes.	 Em	 um	 único	 dia,	 seis	 desses	 operadores,	 cada	 um	 deles	 trabalhando	
durante	8	horas,	carregam	12	navios.
Com referência a esses operadores, julgue o item seguinte. 
2. Em	 um	 mesmo	 dia,	 8	 desses	 operadores,	 trabalhando	 durante	 7	 horas,
carregam mais de 15 navios.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão resolvida pelo uso da regra de três composta envolvendo 
as grandezas citadas.
No item a seguir é apresentada uma situação hipotética, seguida de uma 
assertiva a ser julgada, a respeito de proporcionalidade, divisão proporcional, média e 
porcentagem.
3. Todos	os	caixas	de	uma	agência	bancária	trabalham	com	a	mesma	eficiência:
3 desses caixas atendem 12 clientes em 10 minutos. Nessa situação, 5 desses caixas 
atenderão 20 clientes em menos de 10 minutos.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão resolvida pelo uso da regra de três composta envolvendo 
as grandezas citadas.
Em	uma	fábrica	de	doces,	10	empregados	 igualmente	eficientes,	operando	3	
máquinas	igualmente	produtivas,	produzem,	em	8	horas	por	dia,	200	ovos	de	Páscoa.		
A demanda da fábrica aumentou para 425 ovos por dia. Em razão dessa demanda, 
a	fábrica	adquiriu	mais	uma	máquina,	igual	às	antigas,	e	contratou	mais	5	empregados,	
tão	eficientes	quanto	os	outros	10.
4. Nessa	situação,	para	atender	à	nova	demanda,	os	15	empregados,	operando
as 4 máquinas, deverão trabalhar durante menos de 9 horas.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão resolvida pelo uso da regra de três composta envolvendo 
as grandezas citadas.
5. Determinado	 equipamento	 é	 capaz	 de	 digitalizar	 1.800	 páginas	 em	 4	 dias,
funcionando	5	horas	diárias	para	esse	fim.	Nessa	situação,	a	quantidade	de	páginas	
que esse mesmo equipamento é capaz de digitalizar em 3 dias, operando 4 horas e 30 
minutos	diários	para	esse	fim,	é	maior	que	1200.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão resolvida pelo uso da regra de três composta envolvendo 
as grandezas citadas.
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6. Por	10	torneiras,	todas	de	um	mesmo	tipo	e	com	igual	vazão,	fluem	600	L	de
água em 40 minutos. Assim, por 12 dessas torneiras, todas do mesmo tipo e com a 
mesma	vazão,	em	50	minutos	fluirão	mais	de	1000	litros	de	água.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão resolvida pelo uso da regra de três composta envolvendo 
as grandezas citadas.
A equipe de atendentes de um serviço de telemarketing é constituída por 30 
empregados, divididos em 3 grupos, que trabalham de acordo com a seguinte escala.
Grupo	I:	7	homens	e	3	mulheres,	que	trabalham	das	6	h	às	12	h.
Grupo	II:	4	homens	e	6	mulheres,	que	trabalham	das	9	h	às	15	h.
Grupo	III:	1	homem	e	9	mulheres,	que	trabalham	das	12	h	às	18	h.
A respeito dessa equipe, julgue o item que se segue.
7. Considere	 que	 os	 30	 atendentes	 desse	 serviço	 de	 telemarketing	 sejam
igualmente	eficientes	e	atendam	a	1.800	ligações	trabalhando,	cada	um	deles,	6	horas	
por dia. Considere, ainda, que a empresa deseje contratar novos atendentes, tão 
eficientes	 quanto	 os	 que	 lá	 estão,	 para	 diminuir	 a	 jornada	 de	 trabalho	 para	 5	 horas,	
mas	que	a	nova	equipe	—	os	30	atendentes	antigos	e	os	novos	contratados	—	passe	a	
atender	a	2.000	ligações	diariamente.	Nesse	caso,	a	nova	equipe	deverá	ser	composta	
por menos de 42 atendentes.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão resolvida pelo uso da regra de três composta envolvendo 
as grandezas citadas.
Recentemente, a empresa Fast Brick Robotics mostrou ao mundo um robô, 
conhecido como Hadrian 105, capaz de construir casas em tempo recorde. Ele 
consegue trabalhar algo em torno de 20 vezes mais rápido que um ser humano, sendo 
capaz	de	construir	até	150	casas	por	ano,	segundo	 informações	da	empresa	que	o	
fabrica.
Internet:<www.fastbrickrobotics.net>	(com	adaptações)
8. Tendo	como	referência	as	informações	acima,	julgue	o	item	a	seguir.
Se um único robô constrói uma casa de 100 m2 em dois dias, então 4 robôs serão 
capazes	de	construir	6	casas	de	75	m2	em	menos	de	dois	dias.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão resolvida pelo uso da regra de três composta envolvendo 
as grandezas citadas.
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Julgue o item a seguir, relativo a números naturais, números racionais e regra de 
três.
9. Situação hipotética: Em uma empresa de TV a cabo, 12 técnicos que trabalham 
no mesmo ritmo, 6 horas por dia, atendem toda a demanda de reparo e instalação 
solicitada pelos clientes diariamente. Entretanto, devido a uma promoção, a demanda 
dobrou	 e	 a	 empresa	 passou	 a	 estipular	 que	 todos	 os	 técnicos	 trabalhassem	 por	 8	
horas	 diárias.	 Assertiva:	 Nessa	 situação,	 para	 atender	 totalmente	 à	 nova	 demanda,	
serão	necessários,	pelo	menos,	8	novos	técnicos	que	trabalhem	no	mesmo	ritmo	que	
os demais.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão resolvida pelo uso da regra de três composta envolvendo 
as grandezas citadas.
10. Em cada um do item a seguir, é apresentada uma situação hipotética seguida
de uma assertiva a ser julgada, a respeito de juros, divisão proporcional e regra de três.
Em	uma	fábrica,	10	empregados	igualmente	eficientes	trabalham	8	horas	em	um	dia	
e produzem 500 unidades de um produto. Nessa situação, para que sejam produzidas 
4.000 unidades desse produto em 4 horas de trabalho em um dia, seriam necessários 
mais	150	funcionários	com	a	mesma	eficiência	dos	demais.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão resolvida pelo uso da regra de três composta envolvendo 
as grandezas citadas.
Gabaritos
Exercícios de Aula 
1-C	 2-A	 3-B	 4-B	 5-B	 6-E	 7-C	 8-C 9-D										10-D
Questões da Banca CESPE/CEBRASPE
1-E	 2-E	 3-E	 4-C	 5-C	 6-E	 7-C	 8-E 9-E 10-C
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DIVISÃO PROPORCIONAL
Salve salve, galera !
Veremos agora uma parte adicional de Razão e 
Proporção: 
A Divisão Proporcional.
Ela será estudada cuidadosamente de uma forma 
universal que resolverá todos os tipos de questões de 
prova.
Você está preparado para dar mais esse passo ?
Vamos juntos...
Boa aula e bons estudos
@profdudan
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10.1 DEFINIÇÃO
	 Podemos	definir	uma	DIVISÃO	PROPORCIONAL	como	uma	forma	de	divisão	na	
qual se determinam valores que, divididos por quocientes previamente determinados, 
mantêm-se uma razão constante (que não tem variação).
Estudaremos	as	diversas	facetas	desse	tópico	de	uma	forma	eficaz	e	direta.
Apresentarei as diversas possibilidades de Divisão Proporcional e o caminho de 
todas até um “lugar comum" e universal de resolução.
Caso 1: Dividir em partes diretamente proporcionais a valores inteiros.
Exemplo: Vamos dividir 120 alunos em 3 salas de aula em partes diretamente 
proporcionais a 3, 4 e 5.
Num total de 120 alunos, k representa a quantidade de alunos por sala
A	–	k	k	k		3k
B	–	kk	k	k	=	4k
C	–	k	k	k	k	k	=	5k
Interpretando e equacionando, temos :
Se A +B +C = 120 então 3k + 4k + 5k = 120
3k + 4k + 5k = 120 logo 12k = 120 e assim k = 10
Entendam esse k como um “grupo” de alunos, contendo 10 alunos cada.
A terá 3.10 = 30
B terá 4.10 = 40
C terá 5.10 = 50
Outro exemplo:
Dividir	o	número	180	em	partes	diretamente	proporcionais	a	2,3	e	4.
Caso 2: Dividir em partes diretamente proporcionais com algum valor 
fracionário.
Exemplo:	Dividir		760	alunos	em	partes	diretamente	proporcionais	a	2/3	,	1/2	e	
2. 
Primeiro acharemos o “pseudo" M.M.C de 3, 2 e 1, que é 6.
Assim	2/3	,	1/2	e	2	=				4			3			12
 6 
 Descartamoso “pseudo" MMC e usamos os numeradores como novas 
proporções,		assim:
 A: 4 B: 3 C: 12
Esse é o momento em que entra a constante k de proporcionalidade:
 A: 4k B: 3k C: 12k 
Daí interpretando e equacionando, temos:
4k	+3k	+12k	=	760	 	 19k	=	760	 	 K	=	760	/	19
K = 40
Daí basta distribuir esse k .
A: 4k -> 4.40 = 160 
B: 3k -> 3.40 = 120 
C:	12k		->	12.40	=	480
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93
Outro exemplo:
Dividir	o	número	405	em	partes	diretamente	proporcionais	a	2/3	,	3/4	,	5/6.
Caso 3.1: Dividir em partes inversamente proporcionais.
Exemplo: Dividir	76	alunos	em	partes	inversamente	proporcionais	a	2,	4	e	5.	
	Numa	divisão	em	partes	inversamente	proporcionais	temos	que	inverter	as	proporções,	
tornando-as diretas, logo
Inv dir
A		:				 2		->			1/2
B	:					 4		->			1	/4
C	:					 5		->			1/5
Como a Divisão direta apresentou alguma fração, precisamos tirar o “pseudo” m.m.c que 
é	20	(como	no	caso	2),	descartar	o	denominador	e	ficar	apenas	com	os	numeradores. 
Assim	1/2	,	1/4	e	1/5	viram	:	10			5			4
 20
Inv dir dir 
A : 2 -> ½ -> 10
B	:					 4		->			1	/4	->	5
C	:					 5		->			1/5	->		4
Ficamos só com a Direta ajustada com valores inteiros (caso 10 e é nesse 
momento que o ‘k’ entra na jogada:
dir 
A : 10k
B : 5k
C : 4k
Daí interpretando e equacionando, temos:
10k	+	5k	+	4k	=	76					19k	=	76				k	=	76/19					k	=	4
Para	finalizar	basta	distribuir	esse	k	.
A : 10k-> 10.4 = 40
B : 5 k -> 5.4 = 20 
C: 4k -> 4.4 = 16
Outro exemplo
Dividir	o	número	48	em	partes	inversamente	proporcionais	a	1/3	,	1/5	,	1/8.
Caso 3.2: Dividir em duas partes inversamente proporcionais.
Exemplo: Dividir	105	alunos	em	partes	inversamente	proporcionais	a	8	e	7.	
Numa divisão em duas partes inversamente proporcionais basta “inverter” as 
proporções	transformando-a,	em	direta.	Logo:
Inv dir
A		:			 8			 	7
B	:					 7				 	8
Dai recaímos no caso 1, momento em que entra em cena a constante “k”.
dir
A		:			 	7k
B	:					 	8k
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Interpretando e equacionando, temos:
7k	+	8k	=	105	 	 15k	=	105	 K	=	105	/	15	 K	=	7
Dai basta distribuir esse k .
A		:			7	k		->	7.	7	=	49
B	:				8	k			->	8.7	=	56	
Outro exemplo
Dividir	o	número	70	em	partes	inversamente	proporcionais	a	2	e	5.
Caso 4: Dividir em partes simultaneamente proporcionais.
Exemplo:		Dividir	o	número	213	em	partes	diretamente	proporcionais	a	2,	6	e	8	
e	inversamente	proporcionais	a	1/2,	2/3	e	3/4.	
Nesse	 caso	 temos	 que	 ajustar	 ambas	 as	 “proporções”	 para	 que	 possam	 agir	
conjuntamente.
As inversas devem ser invertidas e as diretas, se possível, podemos dividir 
todos os valores por um divisor comum, aliviando as contas.
Dir -> Dir Inv -> Dir 
A		:				 2				->			1					 1/2	->	2/1
B	:					 6				->			3			 2/3	->3/2
C	:					 8				->			4				 3/4	->	4/3
Daí	multiplicaremos	os	valores	das	duas	proporções	diretas	resultantes.
Dividir todos os valores por um divisor comum, aliviará as contas.
Dir Dir -> Dir
A		:				 		1						 x	 2/1	 2
B	:					 		3				 x	 3/2	 9/2
C	:					 		4					 x	 4/3	 16/3
Perceba que caímos novamente (Graças a DEUS !) no caso 2.
Daí basta tirar o pseudo M.M.C e seguir adiante como manda a regra.
2,	9/2	e	16/3		->	12			27			32		
6
Dir 
A : 12 
B	:				 		27		
C : 32
Entrando em cena o nosso “k”, temos : 
 Dir 
A : 12k 
B	:				 		27k		
C : 32k
Agora basta interpretar, equacionar e resolver:
12k	+	27k	+	32	k	=	213.
71k	=	213		->	k	=	213
																							71	->	k	=	3
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Caso Especial
Há o caso clássico de prova em que temos algum “trabalho" sendo 
executado de forma individual e conjunta.
Assim precisamos entender que o cálculo não é feito por “média 
aritmética" mas sim por uma linha de raciocínio bem simples e direta.
São	 exemplos	 clássicos	 questões	 envolvendo	 funcionários	
arquivando	pastas, guardando arquivos, limpando salas, ou até torneiras enchendo 
tanques ou reservatórios.
 Apresentarei 3 maneiras distintas de resolução, opte pela qual te 
trouxer eficiência	e	segurança.
Exemplo: Se Daniel, sozinho, faz um resumo em 10 dias. Paulo, sozinho, faz 
o mesmo	resumo	em	15	dias.	Em	quanto	tempo	fariam	juntos	esse	resumo?
Modo 1 (por lógica)
Primeiramente, temos que padronizar o trabalho de cada um , ou seja, descobrir 
o tempo que cada um gasta para executar o mesmo serviço, seja ele completo, ou só
a metade.
Nesse caso já esta padronizado, pois ele fala no resumo completo para Daniel e 
Paulo.
Agora	pensa	comigo:	Se	Daniel	faz	o	resumo	em	10	dias,	isso	significa	que	ele	
faz	1/10	do	resumo	por	dia.
Na	mesma	lógica,	Paulo	faz		1/15	do	resumo	por	dia.
Juntos	o	rendimento	diário	é	de		1/10	+1/15	=	3/30	+	2/30	=	5/30	=	1/6
Se	em	um	dia	eles	fazem	1/6	do	resumo,	em	6	dias	os	dois	juntos	completam	o	
resumo. 
Essa é a resposta: 6 dias.
Modo 2 (por fórmula)
Sempre que as capacidades forem diferentes, mas o serviço a ser feito for o 
mesmo, seguimos a seguinte regra: 
Assim, se Daniel sozinho, faz um resumo em 10 dias. Paulo, sozinho, faz o 
mesmo resumo	em	15	dias.	Em	quanto	tempo	fariam	juntos	esse	resumo?	
Pela	fórmula	basta	fazer		:		¹/10+	¹/15=								1
 tirando	o	m.m.c	das	duas	frações	teremos:
Portanto TJuntos = 6 dias
Distribuindo o valor encontrado para k, enconramos a quantidade a ser recebida 
por cada parte:
 Dir 
A : 12k -> 12.3 = 36 
B	:					 		27k			 			->		 	27	.	3	=	81 
C : 32k -> 32. 3 = 96
Outro exemplo
Dividir	 	 o	 	 número	 	 148	 	 em	 	 partes		diretamente		proporcionais		a		2,		6		
e		8		e	 	 	 	 inversamente	 proporcionais	 a	 	 1/4	 ,	2/3	e	0,4.
T juntos ,
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Modo 3 : (Macete ninja)
O macete que há nesse caso é dividir o PRODUTO dos tempos pela SOMA dos 
tempos necessários para executar a mesma tarefa. Porém esse atalho só serve para 
dois “tempos” mesmo que de sinais trocados.
Assim: TEMPO JUNTOS = PRODUTO DOS TEMPOS
 SOMA DOS TEMPOS
Assim, se Daniel, sozinho, faz um resumo em 10 dias. Paulo, sozinho, faz o mesmo 
resumo	em	15	dias.	Em	quanto	tempo	fariam	juntos	esse	resumo?	
Pelo atalho basta fazer : PRODUTO = 10 .15 = 150 = 6 
 SOMA 10 +15 25
O “porém” desse macete é que ele só funciona com 2 elementos, o que limita o 
seu uso em prova. 
Outro exemplo: Uma torneira enche um tanque em 3h, sozinha. Um ralo esvazia todo 
o tanque sozinho em 4h. Estando o tanque vazio, a torneira aberta e o ralo aberto, em
quanto	tempo	o	tanque	encherá?
E	se	houvessem	duas	torneiras?		Uma	torneira	enche	um	tanque	em	3h,	sozinha.	
Outra torneira enche o mesmo tanque em 4h, sozinha. Um ralo esvazia todo o tanque 
sozinho em 2h. Estando o tanque vazio, as 2 torneiras abertas e o ralo aberto, em 
quanto	tempo	o	tanque	encherá?
EXERCÍCIOS DE AULA
1. Ao	se	dividir	o	número	400	em	valores	diretamente	proporcionais	a	1,	2/3	e
5/3,	obtém-se,	respectivamente:
a) 120,	80	e	200
b) 360, 240 e 600
c) 60, 40 e 100
d) 40,	80/3	e	200/3
e) 100, 40 e 60
2. A quantia de 900 mil reais deve ser dividida em partes proporcionais aos
números 4, 5 e 6. A menor dessas partes corresponde a:
a)210 mil reais;
b)240 mil reais;
c)270	mil	reais;
d)300 mil reais;
e)360 mil reais.
3. Uma	 turma	 da	 Quebrando	 as	 Bancas	 	 terá	 120	 alunos,	 que	 deverão	 ser
divididos	em	3	 (três)	 turmas,	segundo	o	tamanho	em	m²	de	cada	sala.	A	sala	A	tem	
40m²,	a	sala	B	tem	80m²	e	a	sala	C	tem	120m².	Indique	abaixo	a	opção	correta.
a) A = 15, B = 45 e C = 60.
b) A = 15, B = 40 e C = 65.
c) A = 20, B = 45 e C = 55.
d) A = 15, B = 50 e C = 55.
e) A = 20, B = 40 e C = 60.
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4.	A	direção	da		Quebrando	as	Bancas		irá	dividir	um	bônus	de	R$	7.500,00	entre	os
vendedores Mariana e Pedro, por serem os que mais vendas realizaram durante o último 
ano. Esse bônus será dividido de forma diretamente proporcional ao número de anos 
que	esses	vendedores	trabalham	na	Quebrando	as	Bancas	.	Sabendo	que	o	número	de	
anos	queMariana	e	Pedro	trabalham	no		Quebrando	as	Bancas		são,	respectivamente,	2	
e 3, então, a diferença entre os valores recebidos por eles foi
a)R$ 2.300,00.
b)R$ 2.000,00.
c)R$	1.800,00.
d)R$ 1.500,00.
e)R$ 1.200,00.
5. O lucro da empresa de Ana, Beto e Carina é dividido em partes diretamente
proporcionais aos capitais que eles empregaram. Sabendo-se que o lucro de um 
determinado mês foi de 60 mil reais e que os capitais empregados por Ana, Beto e 
Carina foram, respectivamente, 40 mil reais, 50 mil reais e 30 mil reais, calcule a parte do 
lucro que coube a Beto. 
a) 20 mil reais
b) 15 mil reais
c) 23 mil reais
d) 25 mil reais
e) 18	mil	reais
6. O	 setor	 de	 Pós	 venda	 da	 Quebrando	 as	 Bancas	 	 possui	 três	 funcionários
que	recebem	um	bônus	no	fim	do	mês	que	é	diretamente	proporcional	à	quantidade	
de	camisas	do		Quebrando	as	Bancas		que	cada	um	vendeu	aos	alunos.	No	fim	de	um	
determinado mês, o bônus total pago pelo patrão foi de R$ 2.025,00. Sendo assim, qual 
foi o bônus do funcionário que mais vendeu camisas, sabendo que um deles vendeu 30, 
outro	45	e	o	outro	60?
a)R$ 450,00.
b)R$ 500,00.
c)R$	675,00.
d)R$	850,00.
e)R$ 900,00.
7. Matheus	pretende	dividir	R$420,00		entre	seus	filhos	Carlos,		de	6	anos	e	Jonas
de	9	anos,	na	proporção	inversa	de	suas	idades.	Jonas	pretende	usar	3/5	da	parte	que	
lhe couber para comprar um brinquedo. O brinquedo que Jonas pretende comprar 
custa:
a)R$	100,80.
b) R$108,00
c) R$ 115,20.
d) R$151,20
e) R$	168,00
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8. Uma	herança	de	R$	760.000,00	será	dividida,	entre	três	herdeiros,	de	forma
inversamente	proporcional	às	suas	idades.	As	idades	são	6,	12	e	15	anos.
Com	 base	 nessa	 situação	 hipotética,	 é	 correto	 afirmar	 que	 o	 herdeiro	 mais	 velho	
recebeu
a) R$	80.000,00.
b) R$ 160.000,00.
c) R$ 200.000,00.
d) R$ 240.000,00.
e) R$ 400.000,00.
9. Em um tanque há 3 torneiras. A primeira enche o tanque em 5 horas, a segunda, 
em	8	horas,	 já	a	terceira	o	esvazia	em	4	horas.	Abrindo-se	as	3	torneiras	ao	mesmo	
tempo	e	estando	o	tanque	vazio,	em	quanto	tempo	o	tanque	ficará	cheio?
a) 10 horas e 40 minutos
b) 13 horas e 20 minutos
c) 14 horas e 30 minutos
d) 11 horas e 50 minutos
e) 12 horas e 10 minutos
10.	O	professor	Dudan	gastou	6h	para	digitar	sozinho	uma	apostila	do		Quebrando
as Bancas . O professor Mateus gastaria para digitar metade dessa mesma apostila, 2 
horas. Sendo assim , se digitassem juntos , o tempo que eles terminariam essa apostila 
seria de .
a) 2h
b) 2,5h
c) 2h 20 min
d) 2h 24 min
e) 2h 40min
COMO	A	BANCA	CESPE/CEBRASPE	JÁ	COBROU	ISSO?
1. Na reforma de uma escola, que foi feita em 12 semanas, a quantidade de
pintores, carpinteiros e eletricistas mudou a cada semana. Os operários trabalharam 
de segunda-feira a sexta-feira, oito horas por dia.
Com	base	nas	informações	acima,	julgue	o	item	a	seguir,	considerando	que	os	
operários que desempenham a mesma função possuem a mesma produtividade e 
eficiência.	
Considere que os eletricistas Joel, André e Felipe tenham refeito toda a rede 
elétrica	da	escola	e	que,	ao	final	do	serviço,	os	três	tenham	recebido	uma	quantia	única	
previamente	acordada	de	R$	8.000,00.	Nessa	situação,	se	o	valor	 tiver	sido	dividido	
entre	 os	 três	 de	 forma	 diretamente	 proporcional	 à	 quantidade	 de	 horas	 trabalhadas	
por cada um e se Joel e André tiverem trabalhado 50 horas cada um e Felipe, 60 horas, 
então Felipe deverá receber R$ 600,00 a mais que André.
( ) Certo 
( ) Errado
Comentário: Questão	 resolvida	 pelo	 uso	 dos	 conceitos	 e	 regras	 da	 divisão	
proporcional.
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2. Lúcio, Breno, Cláudia e Denise abriram a loja virtual Lik, para a qual, no ato
de abertura, Lúcio contribuiu com R$ 10.000,00; Breno, com R$ 15.000,00; Cláudia, 
com R$ 12.000,00; e Denise, com R$ 13.000,00. Os lucros obtidos por essa loja serão 
distribuídos	de	forma	diretamente	proporcional	à	participação	financeira	de	cada	um	
dos	sócios	no	ato	de	abertura	da	 loja.	A	partir	dessas	 informações,	 julgue	os	 itens	a	
seguir.
Se	o	lucro	obtido	ao	final	de	determinado	mês	for	 igual	a	R$	7.000,00,	então	a	
parcela	de	Cláudia	no	lucro	será	superior	a	R$	1.700,00	nesse	mês.
( ) Certo 
( ) Errado
Comentário: 	 Questão	 resolvida	 pelo	 uso	 dos	 conceitos	 e	 regras	 da	 divisão	
proporcional.
 No item a seguir é apresentada uma situação hipotética, seguida de uma 
assertiva a ser julgada, a respeito de proporcionalidade, divisão proporcional, média e 
porcentagem.
3. Vilma, Marta e Cláudia trabalham em uma mesma agência bancária. Vilma
está	nesse	emprego	há	5	anos,	Marta,	há	7	anos	e	Cláudia,	há	12	anos.	Para	premiar	a	
eficiência	dessas	funcionárias,	a	direção	do	banco	concedeu-lhes	uma	bonificação	de	
R$ 12.000, que deverão ser divididos entre as três, de forma diretamente proporcional 
aos respectivos tempos de serviço. Nesse caso, Vilma receberá mais de R$ 3.000 de 
bonificação.
( ) Certo
( )Errado
Comentário:	 	 Questão	 resolvida	 pelo	 uso	 dos	 conceitos	 e	 regras	 da	 divisão	
proporcional.
A	respeito	de	proporções	e	regra	de	três,	julgue	os	próximos	itens.
4. Caso toda a produção de uma fábrica seja destinada aos públicos infantil,
jovem e adulto, de modo que as porcentagens da produção destinadas a cada um 
desses públicos sejam inversamente proporcionais, respectivamente, aos números 2, 
3 e 6, então mais de 30% da produção dessa fábrica destinar-se-á ao público jovem.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: Questão	 resolvida	 pelo	 uso	 dos	 conceitos	 e	 regras	 da	 divisão	
proporcional.
5. Em cada um do item a seguir, é apresentada uma situação hipotética seguida
de uma assertiva a ser julgada, a respeito de juros, divisão proporcional e regra de três.
Um empresário dividiu, entre três de seus empregados, a quantia de R$ 6.600,00 em 
partes	 inversamente	 proporcionais	 a	 2,	 5	 e	 8.	 Nesse	 caso,	 todos	 os	 valores	 nessa	
partilha são maiores que R$ 1.100,00.
( ) Certo 
( ) Errado
Comentário: 	 Questão	 resolvida	 pelo	 uso	 dos	 conceitos	 e	 regras	 da	 divisão	
proporcional.
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100
6. Os	irmãos	Jonas,	Pierre	e	Saulo,	que	têm,	respectivamente,	30,	20	e	18	anos
de	idade,	herdaram	de	seu	pai	a	quantia	de	R$	5	milhões.	O	testamento	prevê	que	essa	
quantia	deverá	ser	dividida	entre	os	irmãos	em	partes	inversamente	proporcionais	às	
suas idades.
Nessa situação hipotética, um dos irmãos receberá metade da herança.
( ) Certo 
( ) Errado
Comentário:	 Questão	 resolvida	 pelo	 uso	 dos	 conceitos	 e	 regras	 da	 divisão	
proporcional.
7. Os	irmãos	Jonas,	Pierre	e	Saulo,	que	têm,	respectivamente,	30,	20	e	18	anos
de	idade,	herdaram	de	seu	pai	a	quantia	de	R$	5	milhões.	O	testamento	prevê	que	essa	
quantia	deverá	ser	dividida	entre	os	irmãos	em	partes	inversamente	proporcionais	às	
suas idades.
Nessa situação hipotética, Jonas receberá 50% a mais que Saulo.
( ) Certo 
( ) Errado
Comentário: Questão	 resolvida	 pelo	 uso	 dos	 conceitos	 e	 regras	 da	 divisão	
proporcional.
8. A	respeito	de	razões,	proporções	e	inequações,	julgue	o	item	seguinte.
Situação	 hipotética:	 Vanda,	 Sandra	 e	 Maura	 receberam	 R$	 7.900	 do	 gerente
do departamento onde trabalham, para ser divido entre elas, de forma inversamente 
proporcional	 a	 1/6,	 2/9	 e	 3/8,	 respectivamente.	 Assertiva:	 Nessa	 situação,	 Sandra	
deverá receber menos de R$ 2.500.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário:	 Questão	 resolvida	 pelo	 uso	 dos	 conceitos	 e	 regras	 da	 divisão	
proporcional.
Gabarito :
1-A					2-B						3-E					4-D					5-D							6-E						7-A						8-B							9-B						10-A
Questões da Banca CESPE:
1-E								2-E							3-E						4-C						5-E								6-E									7-E								8-E
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101
ESCALA
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102
11.1 DEFINIÇÃO
 As distâncias expressas nos mapas, plantas e maquetes são consideradas 
representativas, isto é, indicam uma constante de proporcionalidade usada na 
transformação para a distânciareal. 
Os	dados	expressos	nos	mapas	são	diretamente	proporcionais	às	distâncias	na	
realidade.
A	 escala	 é	 a	 razão	 entre	 as	 dimensões	 no	 desenho	 (planta	 ou	 mapa)	 e	 as	
correspondentes	dimensões	na	realidade.	
Assim, podemos dizer o seguinte:
Escala = distância no mapa (cm)
 distância real (cm)
Usamos	escala	quando	queremos	representar	um	esboço	gráfico	de	objetos,	
da planta de uma casa ou de uma cidade, mapas, maquetes, etc.
Se num mapa a escala indicada é de 1 : 1000, isso quer dizer que cada medida 
no desenho do mapa é 1000 vezes menor que a realidade, sendo assim: 
Cada 1 cm medido no mapa representará no real 1000 cm = 10 m
Se num projeto arquitetônico cada cm desenhado equivale a 120 cm ( 1,2 m ) de 
dimensão	real,	afirmamos	que	esse	modelo	está	na	escala	de	1	:	120,	ou	seja,	tudo	na	
realidade é 120 vezes maior que no projeto arquitetônico.
Resumindo:
• Se a razão for maior que 1 representa uma ampliação.
• Se a razão for menor que 1 representa uma redução.
Para calcular escalas, é usada a proporcionalidade direta.
Assim,	tanto	pode	utilizar	a	propriedade	fundamental	das	proporções,	como	a	
regra de três simples.
ATENÇÃO
Na escala 1: 100 000 -> cada “1 cm” representa a distância no mapa enquanto que o 
“100 000 cm” representa a distância real. 
Isto	significa	que	1	cm	no	mapa	corresponde	a	100	000	cm	na	realidade,	ou	seja	1	km.
Exemplo Resolvido
Sabendo, que no mapa, duas cidades estão separadas por um segmento de 
reta de 6 cm e que a escala do mapa é de 1: 3000000, calcula a distância real.
 Solução
DM	=	6	cm	DR	=	?
Escala = 1 : 3 000 000
Assim	a	distância	real	é	de	180	km.
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103
EXERCÍCIOS DE AULA
1.A distância real entre duas cidades é de 23 km. No mapa a distância, em linha
reta,	entre	estas	duas	cidades,	é	de	5	cm.	Qual	é	a	escala?
a) 1 : 460
b) 1 : 4600
c) 1 : 46000
d) 1 : 460000
e) 1 : 4600000
2.Um	protótipo	foi	desenhado	na	escala	1:100.	Qual	será	o	comprimento	desse
protótipo	se	o	modelo	em	tamanho	real	tem	um	comprimento	igual	a	4,00	m?
a)0,4 cm
b)4 cm
c)40 cm
d)4 dm
e)40 dm
3.Qual	 o	 comprimento	 que	 devemos	 representar	 uma	 avenida	 de	 42	 hm	 de
comprimento,	ao	desenhar	a	planta	de	um	bairro,	na	escala	de	1	:	20.000?
a)0,21 cm
b)21 cm
c)210 cm
d)21 dm
e)210 dm
4. Qual	é	escala	da	planta	de	um	terreno	no	qual	um	comprimento	de	48	metros
foi	representado	no	papel	por	um	segmento	de	2,4	dm?
a)1:2
b)1:20
c)1:200
d)1:2000
e)1:20000
5.Uma	bandeira	brasileira	oficial	tem	o	comprimento	de	10	metros	e	a	largura	de
7	metros.	Sabendo	que	ela	foi	desenhada	num	mural	,	na	escala	1	:	100,	então	a	área	da	
bandeira no mural é. 
a) 70	m²
b) 0,7	m²
c) 70	cm²
d) 0,7	cm²
e)100	cm	²
COMO	A	BANCA	CESPE/CEBRASPE	JÁ	COBROU	ISSO?
1. Considerando que determinada planta do centro da cidade de Rio Branco
tenha sido desenhada com base na escala 1:2.500, julgue o próximo item.
A	escala	mencionada	acima	equivale	à	seguinte	representação.
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104
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: Questão	resolvida	pelo	uso	dos	conceitos	de	escala	e	regra	de	
três simples. 
2. Considerando que determinada planta do centro da cidade de Rio Branco
tenha sido desenhada com base na escala 1:2.500, julgue o próximo item.
Caso a distância entre dois prédios do centro de Rio Branco seja igual a 500 m, a 
distância,	nessa	planta,	será	igual	a	18	cm.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: Questão	resolvida	pelo	uso	dos	conceitos	de	escala	e	regra	de	
três simples. 
3. Em um processo de pedido de patentes de um novo equipamento consta um
desenho esquemático, desse mesmo equipamento, na escala 1:200. Com base nessa 
informação, julgue os itens a seguir.
Se o raio do parafuso no referido desenho for 0,05 cm, então o raio do parafuso real 
será 1 cm.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: 	Questão	resolvida	pelo	uso	dos	conceitos	de	escala	e	regra	de	
três simples. 
4. Em um processo de pedido de patentes de um novo equipamento consta um
desenho esquemático, desse mesmo equipamento, na escala 1:200. Com base nessa 
informação, julgue os itens a seguir.
Um parafuso de forma hexagonal que tenha 0,1 mm de lado, terá perímetro real 
de 1,2 cm no desenho esquemático.
( ) Certo
( ) Errado 
Comentário:	 	Questão	resolvida	pelo	uso	dos	conceitos	de	escala	e	 regra	de	
três simples. 
5. Considerando que determinada planta do centro da cidade de Rio Branco
tenha sido desenhada com base na escala 1:2.500, julgue o próximo item.
Considerando-se que, nessa planta, exista uma região retangular com área igual 
a	4	cm²,	conclui-se	que	a	área	real	dessa	região	do	centro	da	cidade	é	igual	a	2.500	m².
 Certo
 Errado
Comentário: questão resolvida pelo uso dos conceitos de escala e regra de 
três simples. 
Exercícios de Aula
 1-D 2-B 3-B 4-C 5-C
Questões Banca CESPE/CEBRASPE
1-E 2-E 3-E 4-E 5-C
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105
PORCENTAGEM
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106
12.1 DEFINIÇÃO
	 A	percentagem	ou	porcentagem	(do	latim	per	centum,	significando	“por	cento”,	
“a	cada	centena”)	é	uma	medida	de	razão	com	base	100	(cem).	É	um	modo	de	expressar	
uma proporção ou uma relação entre 2 (dois) valores (um é a parte e o outro é o inteiro) 
a partir de uma fração cujo denominador é 100 (cem), ou seja, é dividir um número por 
100 (cem).
Sendo assim:
X	 %	 =	 X/100	 e	 vice-versa,	 ou	 seja,	 toda	 porcentagem	 é	 uma	 fração	 de	
denominador 100 e toda fração de denominador 100 representa uma porcentagem.
12 . 2 Taxa Unitária
Quando	pegamos	uma	taxa	de	juros	e	dividimos	o	seu	valor	por	100,	encontramos	
a taxa unitária. Ela é importante para nos auxiliar a desenvolver todos os cálculos que 
envolvam porcentagem.
Temos que entender que o símbolo “%” é usado para representar a porcentagem 
na linguagem do dia a dia, no português. Para o uso no matematiquês será fundamental 
transformarmos essa porcentagem em decimal ou fração.
Pense na expressão 20% (vinte por cento), ou seja, essa taxa pode ser representada 
por uma fração cujo numerador é igual a 20 e o denominador é igual a 100.
Como Fazer
10% = 10
100 = 0,10
20% = 20
100 = 0,20
5% = 5
 100 = 0,05
38%	=	38
100	=	0,38
1,5% = 1,5
100= 0, 015
230% = 230
 100 = 2,3
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107
Cálculos Rápidos
É	muito	importante	sabermos	calcular	os	valores	básicos	de	1%	e	10%.
• 1%: basta movimentar a vírgula duas casas para a esquerda.
Ex:	1%	de	170	=	1,7  1%	de	354	=	3,54  1%	de	456,7	=	4,567
• 10%: basta movimentar a vírgula uma casa para a esquerda.
Ex:	10%	de	170	=	17,0  10%	de	354	=	35,4  10%	de	456,7	=	45,67
Ainda temos outros recursos para agilizar o cálculo:
E	como	calcular	5%?	
Daí	basta	definir	10%	e	dividir	por	2,	ou	seja,	basta	lembrar	quer	5%	é	a	metade	
de 10%.
Ex:	5%	de	170	=	(17)	/2	=	8,5		 5%	de	354	=	(35,4)	/	2	=	17,7	
5%	de	456,7	=	(45,67)	/	2	=	22,835
E	para	calcular	25%?
Basta	dividir	por	4	o	valor	dado	pois	25%	=	1/4.
Ex:	25%	de	170	=	170/	4	=	42,5	
25%	de	354	=	354	/	4	=	88,5	 	
25%	de	456,7	=	4567	/	4	=	114,175
 Exemplos: 
 Calcule:
a) 10%	de	750
b) 20%	de	670
c) 30% de 240
d) 25% de 200
EXERCÍCIOS DE AULA
1. Um	aluno	do	QUEBRANDO	AS	BANCAS	passou	num	concurso	e	após	3	anos
desde	a	sua	posse	no	cargo,	o	salário	que	era	de	R$	7.200,00	sofreu	um	aumento	e	
passou	para		R$	8.640,00.
Assim	podemos	afirmar	que	aumento	percentual	do	salário	foi	de:
a) 30%
b) 50%
c) 10%
d) 20%
e) 15%
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108
2. Uma caixa de bombons que custava R$32,50 sofreu um aumento, passando
a custar R$41,34. O percentual de aumento da mercadoria foi de:
a) 1,0%
b) 10,0%
c) 27,2%
d) 38,0%
e) 40,84%
3. No concurso público da PRF, 20% dos candidatos eram formados em
Direito. Dentre esses candidatos, 15% optaram pelo concurso de Agente. Do total 
dos candidatos, qual a porcentagem dos que optaram concorrer ao cargo de Agente 
sendo	formados	em	Direito?
a) 3 %
b) 20%
c) 10%
d) 6%
e) 5%
4. Em um concurso, de cada 100 candidatos, 60 % eram mulheres. Considerando 
que a porcentagemde aprovação entre os candidatos mulheres foi de 20% e entre os 
homens foi de 15%, calcule a porcentagem de aprovação em geral entre os candidatos, 
independentemente do sexo.
a) 15%
b) 17%
c) 18%
d) 19%
e) 20%
5.Viajando para poder fazer a prova de um concurso em Porto Alegre, um aluno
percorreu	de	carro		85%	do	percurso.	Sabendo-se	que	faltam	180	km	para	chegar	ao	
destino	final	,	é	correto	afirmar	que	o	percurso	total	é	de	:
a)2100 km
b)1020 km
c)1120 km
d)1210 km
e)1200 km
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109
6. No	 gráfico	 a	 seguir,	 são	 apresentadas	 informações	 sobre	 a	 	 distribuição	 do
número de candidatos que realizaram um concurso para os cargos A e B.Com base 
nas	 informações	 	apresentadas,	assinale	a	alternativa	que	apresenta	uma	 	afirmação	
necessariamente verdadeira.
a)O número de candidatos aprovados ao cargo B foi 10% maior que o número de
candidatos aprovados ao cargo A.
b)O	número	de	candidatos	reprovados	ao	cargo	A	foi	7/6	do	número	de	candidatos
reprovados ao cargo B.
c)Para o cargo B, o número de candidatos reprovados foi 50% maior que o número 
de candidatos aprovados.
d)Para	o	cargo	A,	o	número	de	candidatos	aprovados	correspondeu	a	3/10	do
número de candidatos reprovados.
e)O	número	total	de	candidatos	que	fizeram	o	concurso	para	o	cargo	A	foi	igual
ao	número	total	de	candidatos	que	fizeram	o	concurso	para	o	cargo	B.
7.Em	uma	determinada	cidade,	25%	dos	automóveis	são	da	marca	A	e	50%	dos
automóveis são da marca B. Ademais, 30% dos automóveis da marca A são pretos e 
20% dos automóveis da marca B também são pretos. Dado que só existem automóveis 
pretos da marca A e da marca B, qual a percentagem de carros nesta cidade que são 
pretos?
a) 17,5%
b) 23,33%
c) 7,5%
d) 22,75%
e) 50%
8. Em	uma	urna	estão	6	bolas	verdes,	10	bolas	amarelas	e	14	bolas	azuis.	Quantas
bolas verdes devem ser inseridas nesta urna, de modo que o número de bolas verdes 
corresponda	a	52%	do	número	de	bolas	na	urna?
a)10 bolas verdes.
b)12 bolas verdes.
c)15 bolas verdes.
d)16 bolas verdes.
e)20 bolas verdes.
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110
9. O preço de um bem de consumo é R$ 100,00. Um comerciante tem um lucro
de 32% sobre o preço de custo desse bem. O valor do preço de custo, em reais, é de 
aproximadamente:
a) 25,00
b) 70,50
c) 76,00
d) 80,00
e) 125,00
10. O	 professor	 Dudan	 recebeu	 um	 aumento	 de	 18%	 e	 com	 isso	 seu	 salário
chegou	a	R$1416,00.	O	salário	dele	antes	do	aumento	era	igual	a?
a) R$	1.188,00
b) R$ 1.200,00
c) R$ 1.220,00
d) R$ 1.310,00
e) R$ 1.452,00
12.3 Fator de Capitalização
Vamos imaginar que certo produto sofreu um aumento de 20% sobre o seu 
valor	inicial.	Qual	novo	valor	deste	produto?
Claro	que,	se	não	sabemos	o	valor	inicial	deste	produto,	fica	complicado	para	
calcularmos,	mas	podemos	fazer	a	afirmação	abaixo:
O produto valia 100% e sofreu um aumento de 20%. 
Logo, está valendo 120% do seu valor inicial.Como vimos no tópico anterior 
(taxas unitárias), podemos calcular qual o fator que podemos utilizar para calcular o 
novo preço deste produto após o acréscimo.
O Fator de capitalização é um número pelo qual devo multiplicar o preço do meu 
produto	para	obter	como	resultado	final	o	seu	novo	preço,	acrescido	do	percentual	de	
aumento que desejo utilizar.
Fator	de	Capitalização	=	120/100	=	1,2
CALCULANDO O FATOR DE CAPITALIZAÇÃO
Basta	somar	1	com	a	taxa	unitária.	Lembre-se	que	1	=	100/100	=	100%
COMO CALCULAR:
Acréscimo	de	45%	=	100%	+	45%	=	145%	=	145/	100	=	1,45
Acréscimo	de	20%	=	100%	+	20%	=	120%	=	120/	100	=	1,2
ENTENDENDO O RESULTADO: 
Para aumentar o preço do meu produto em 20%, deve-se multiplicar o preço 
por 1,2.
Exemplo: um produto que custa R$ 1.500,00 ao sofrer um acréscimo de 20% 
passará	a	custar	1.500	x	1,2	(fator	de	capitalização	para	20%)	=	R$	1.800,00
Exemplos:
Acréscimo	de	30%	=	100%	+	30%	=	130%	=	130/100	=	1,3
Acréscimo	de	15%	=	100%	+	15%	=	115%	=	115/100	=	1,15
Acréscimo	de	3%	=	100%	+	3%	=	103%	=	103/100	=	1,03
Acréscimo	de	200%	=	100%	+	200%	=	300%	=	300/100	=	3
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12.4 Fator de Descapitalização
 Agora vamos imaginar que certo produto sofreu um desconto de 20% sobre o 
seu	valor	inicial.	Qual	novo	valor	deste	produto?
Claro	 que,	 se	 não	 sabemos	 o	 valor	 inicial	 deste	 produto,	 fica	 complicado	 para	
calcularmos, mas podemos pensar que o produto valia 100% e sofreu um desconto de 
20%.	Logo,	está	valendo	80%	do	seu	valor	inicial.
O Fator de descapitalização é o número pelo qual devo multiplicar o preço do meu 
produto	para	obter	como	resultado	final	o	seu	novo	preço,	considerando	o	percentual	
de desconto que desejo utilizar.
O Fator de capitalização é um número pelo qual devo multiplicar o preço do meu 
produto	para		obter	como	resultado	final	o	seu	novo	preço,	acrescido	do	percentual	de	
aumento que desejo utilizar.
Fator	de	Descapitalização	=	80/100	=	0,8
CALCULANDO O FATOR DE DESCAPITALIZAÇÃO 
Basta subtrair o valor do desconto expresso em taxa unitária de 1, lembre-se que 
1	=	100/100	=	100%
COMO CALCULAR:
Desconto	de	45%	=	100%	-	45%	=	55%	=	55/	100	=	0,55
Desconto	de	20%	=	100%	-	20%	=	80%	=	80/	100	=	0,8
ENTENDENDO O RESULTADO: 
Para calcularmos um desconto no preço do meu produto de 20%, devemos 
multiplicar	o	valor	desse	produto	por	0,80.
Exemplo: Um produto que custa R$ 1.500,00 ao sofrer um desconto de 20% 
passará	a	custar	1.500	x	0,80	(fator	de	descapitalização	para	20%)	=	R$	1.200,00
Exemplos :
Desconto	de	30%	=	100%	-	30%	=	70%	=	70/100	=	0,7	
Desconto	de	15%	=	100%	-	15%	=	85%	=	85/100	=	0,85 
Desconto	de	3%	=	100%	-	3%	=	97%	=	97/100	=	0,97 
Desconto	de	50%	=	100%	-	50%	=	50%	=	50/100	=	0,5	
12.5 Aumentos e Descontos Sucessivos.
Um tema muito comum abordado nos concursos é os acréscimos e os descontos 
sucessivos. Isso acontece pela facilidade que os candidatos tem em se confundir ao 
resolver uma questão desse tipo. 
O erro cometido nesse tipo de questão é básico: o de somar ou subtrair os 
percentuais, sendo que na verdade o candidato deveria multiplicar os fatores de 
capitalização e descapitalização.
E isso acontece porque num “efeito bola de neve” assim q ocorre um aumento ou 
desconto, o valor do “principal’ muda e o próximo desconto ou aumento será aplicado 
numvalor diferente do inicial. 
CUIDADO: Dois aumentos sucessivos de 20% não implicam num aumento 
final de 40%.
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112
Exemplo : Um	curso	do	QUEBRANDO	AS	BANCAS	sofre	um	aumento	de	30%	e	
em	seguida	outro	aumento	de	20%.Podemos	afirmar	que	esse	aumento	total	é	de	qual	
valor	percentual	?
COMO RESOLVER QUESTÃO ACIMA DE UMA FORMA MAIS DIRETA:
Basta multiplicar os fatores de capitalização, como aprendemos .
Fator de Capitalização para acréscimo de 30% = 1,3
Fator de Capitalização para acréscimo de 20% = 1,2
Daí basta multiplicá-los: 1,3 x 1,2 = 1,56
logo,	o	curso	sofreu	um	aumento	total	de:	1,56	–	1	=	0,56	=	56%
EXERCÍCIOS DE AULA
11. Os	 bancos	 vêm	 aumentando	 significativamente	 as	 suas	 tarifas	 de
manutenção de contas. Estudos mostraram um aumento médio de 30% nas tarifas 
bancárias no 1º semestre de 2009 e de 20% no 2° semestre de 2009. Assim, podemos 
concluir que as tarifas bancárias tiveram em média suas tarifas aumentadas em:
a)50%
b)30%
c)150%
d)56%
e)20%
12. Considerando	uma	taxa	mensal	constante	de	10%	de	inflação,	o	aumento
de preços em 2 meses será de
a) 2%.
b) 4%.
c) 20%.
d) 21%.
e) 121%.
13. O	PIB	de	um	país	que	entrou	em	recessão	no	fim	de	2008	tinha	crescido
10%	no	primeiro	trimestre	de	2008,	5%	no	segundo	trimestre,	tinha	ficado	estável	no	
terceiro trimestre e tinha caído 10% no último trimestre daquele ano. Calcule a taxa de 
crescimento	do	PIB	desse	País,	em	2008.
a) 1,25%.
b) 5%
c) 4,58%.
d) 3,95%.
e) -5%.
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14.	O	Quebrando	as	Bancas	decidiu	fazer	uma	grande	promoção	de	curta	duração.
Nesta promoção, o preço de um curso preparatório que custa R$ 320,00 passou a 
custar	apenas	a	metade	deste	valor.	Ao	final	desta	promoção,	o	preço	do	curso	deveria	
retornarao preço inicial. Para que o preço deste curso na promoção retorne ao preço 
inicial, este valor deveria sofrer um aumento equivalente a:
a) 25%
b) 50%
c) 100%
d) 150%
e) 200%
15. No	site	do	QUEBRANDO	AS	BANCAS,	o	preço	original	de	um	pacote	de	aulas
sofreu	 um	 aumento	 de	 30%	 sobre	 o	 seu	 valor,	 seguido	 de	 um	 desconto	 de	 30%.	 É	
correto	afirmar	que,	após	estas	duas	operações,	o	preço	original	do	pacote	de	aulas.
a)sofreu um aumento de 3%.
b)sofreu um desconto de 3%.
c)permaneceu inalterado.
d)sofreu um aumento de 9%.
e)sofreu um desconto de 9%.
COMO	A	BANCA	CESPE/CEBRASPE	JÁ	COBROU	ISSO?
1. Se a agência dos Correios de uma pequena cidade presta, diariamente, 40
atendimentos em média, e se, em razão de festas na cidade, a média de atendimentos 
diários passar a 52, então, nesse caso, haverá um aumento percentual de atendimentos 
inferior a 40%. 
( )Certo
( )Errado
Comentário:	 Questão	 resolvida	 pelo	 uso	 dos	 conceitos	 de	 porcentagem	 e	
cálculos de percentuais.
Em	uma	escola	do	município	X,	há,	no	7.º	ano,	40	estudantes	matriculados	no	
turno	 matutino,	 35,	 no	 vespertino	 e	 30,	 no	 noturno.	 Com	 base	 nessas	 informações,	
julgue o item seguinte. 
2. Se	a	quantidade	de	estudantes	do	7.º	ano	corresponder	a	15%	das	matrículas
da	escola,	então,	nessa	escola,	haverá	mais	de	800	estudantes	matriculados.
( )Certo
( )Errado
Comentário: questão resolvida pelo uso dos conceitos de porcentagem e 
cálculos de percentuais.
3. A represa X, que abastece de água determinada cidade, tem capacidade para
480	milhões	de	metros	cúbicos	de	água.
Se, em determinado dia, a água contida na represa X representava 35% de sua 
capacidade	máxima,	então,	nesse	dia,	havia	na	represa	mais	de	170	bilhões	de	litros	de	
água.
( )Certo
( )Errado
Comentário: questão resolvida pelo uso dos conceitos de porcentagem e 
cálculos de percentuais.
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114
4. A represa X, que abastece de água determinada cidade, tem capacidade para
480	milhões	de	metros	cúbicos	de	água.
Considere que trinta anos após o início de operação da represa X, a quantidade 
de usuários dos recursos hídricos dessa represa tenha quadruplicado, enquanto a 
quantidade de água retirada diariamente tenha triplicado. Nessa situação, sabendo-
se	 que,	 em	 determinado	 dia,	 o	 quociente	 [quantidade	 de	 água	 retirada	 da	 represa]/	
[quantidade	de	usuários]	dá	o	consumo	médio	de	água	de	cada	usuário	nesse	dia,	é	
correto	afirmar	que,	trinta	anos	depois	do	início	de	operação	da	represa,	o	consumo	
médio diário caiu mais de 30%.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão resolvida pelo uso dos conceitos de porcentagem e 
cálculos de percentuais.
5. Considere que, em uma empresa, 50% dos empregados possuam nível médio
de	escolaridade	e	5%,	nível	superior.	Guardadas	essas	proporções,	se	80	empregados	
dessa empresa possuem nível médio de escolaridade, então a quantidade de 
empregados	com	nível	superior	é	maior	que	7.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão resolvida pelo uso dos conceitos de porcentagem e 
cálculos de percentuais.
6. Considerando que o custo de produção de um refrigerante em lata seja R$
0,50 por unidade produzida e que essa mesma latinha seja vendida a R$ 2,50, julgue os 
itens seguintes. 
O preço de custo do refrigerante em lata representa 20% do valor de sua venda. 
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão resolvida pelo uso dos conceitos de porcentagem e 
cálculos de percentuais.
7. Considerando	que	o	custo	de	produção	de	um	refrigerante	em	lata	seja	R$
0,50 por unidade produzida e que essa mesma latinha seja vendida a R$ 2,50, julgue os 
itens seguintes. 
Se o custo de produção de cada refrigerante for reduzido em 40%, mantendo-
se o mesmo valor de venda do produto, então o lucro por latinha aumentará 20%.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão resolvida pelo uso dos conceitos de porcentagem e 
cálculos de percentuais.
8. Considere	que	85%	das	residências	de	determinado	município	estão	ligadas
à	rede	de	abastecimento	de	água	tratada	e	que	60%	dessas	residências	estão	ligadas	
à	rede	de	esgotamento	sanitário.	Nessa	situação,	a	percentagem	de	residências	do	
município	que	são	servidas	de	água	tratada	e	estão	 ligadas	à	rede	de	esgotamento	
sanitário é superior a 50%.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão resolvida pelo uso dos conceitos de porcentagem e 
cálculos de percentuais.
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115
9. Considerando	que	um	tipo	de	iPod	—	aparelho	portátil	cuja	principal	função	é
armazenar	e	reproduzir	músicas	—	tenha	preço	de	venda	ao	consumidor	de	R$	800,00,	e	
que, desse valor, R$ 392,00 sejam de impostos, então a porcentagem total de impostos 
que incide sobre o preço inicial do aparelho é superior a 90%.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão resolvida pelo uso dos conceitos de porcentagem e 
cálculos de percentuais.
10. A	respeito	do	controle	e	manutenção	dos	48	veículos	de	um	órgão	público,
julgue o item seguinte.
Considere que, a cada ano, o valor venal dos veículos desse órgão decresça 5% 
em relação ao preço de compra. Nesse caso, se o valor venal de um veículo desse órgão, 
8	anos	depois	da	a	compra,	for	de	R$	24.000,00,	então	esse	veículo	foi	comprado	por	
mais de R$ 50.000,00.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão resolvida pelo uso dos conceitos de porcentagem e 
cálculos de percentuais.
11. A	respeito	de	proporções,	regra	de	três	e	porcentagens,	julgue	os
itens seguintes.
Considere	que	uma	loja	venda	seus	produtos	nas	seguintes	condições:	à	vista,	
com 20% de desconto sobre o preço de tabela; no cartão de crédito, com 5% de 
acréscimo sobre o preço de tabela. Nessa situação, um produto que é vendido por R$ 
800,00	à	vista	terá,	no	cartão,	preço	superior	a	R$	1.000,00.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão resolvida pelo uso dos conceitos de porcentagem e 
cálculos de percentuais.
12. Em uma concessionária de veículos o preço de determinado modelo é R$
32.000,00. Com a queda nas vendas, o proprietário a concessionária criou vários planos 
de venda para atrair novos clientes e tentar vendê-lo. A partir dessa situação, julgue os 
itens a seguir.
Considere que um comercial de TV anunciava a venda daquele modelo com 20% 
de	desconto	se	o	pagamento	fosse	à	vista,	mas	que	o	proprietário	havia	aumentado	seu	
preço de forma que, mesmo vendendo com o desconto anunciado, ele ainda obteria os 
R$ 32.000,00. Nesse caso, o proprietário aumentou o preço do modelo em 20%.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão resolvida pelo uso dos conceitos de porcentagem e 
cálculos de percentuais.
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116
13.	Em	determinada	loja,	uma	bicicleta	é	vendida	por	R$	1.720	a	vista	ou	em	duas
vezes, com uma entrada de R$ 920 e uma parcela de R$ 920 com vencimento para o 
mês seguinte. Caso queira antecipar o crédito correspondente ao valor da parcela, o 
lojista	paga	para	a	financeira	uma	taxa	de	antecipação	correspondente	a	5%	do	valor	
da parcela.
Com	base	nessas	informações,	julgue	o	item	a	seguir.
No caso de uma venda a prazo em que o lojista optasse pela antecipação do 
crédito	correspondente	à	parcela	que	só	seria	paga	no	mês	seguinte,	o	valor	total	que	
ele	receberia	(entrada	mais	antecipação)	seria	superior	a	R$	1.790.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão resolvida pelo uso dos conceitos de porcentagem e 
cálculos de percentuais.
14. Em	 seu	 testamento,	 um	 industrial	 doou	 3/16	 de	 sua	 fortuna	 para	 uma
instituição	que	se	dedica	à	alfabetização	de	jovens	e	adultos;	1/10,	para	uma	entidade	
que	 pesquisa	 medicamentos	 para	 combater	 a	 doença	 de	 Chagas;	 5/16,	 para	 sua	
companheira;	e	o	restante	para	seu	único	filho.	
A	partir	dessas	informações,	julgue	os	itens	que	se	seguem.
A	 instituição	 que	 se	 dedica	 à	 alfabetização	 de	 jovens	 e	 adultos	 e	 a	 entidade	
que pesquisa medicamentos para combater a doença de Chagas receberam, juntas, 
menos de 25% da fortuna do industrial.
( ) Certo( ) Errado
Comentário: questão resolvida pelo uso dos conceitos de porcentagem e 
cálculos de percentuais.
15. Em	 seu	 testamento,	 um	 industrial	 doou	 3/16	 de	 sua	 fortuna	 para	 uma
instituição	que	se	dedica	à	alfabetização	de	jovens	e	adultos;	1/10,	para	uma	entidade	
que	 pesquisa	 medicamentos	 para	 combater	 a	 doença	 de	 Chagas;	 5/16,	 para	 sua	
companheira;	e	o	restante	para	seu	único	filho.	
A	partir	dessas	informações,	julgue	os	itens	que	se	seguem.
O	filho	do	industrial	recebeu	40%	da	fortuna	do	pai.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão resolvida pelo uso dos conceitos de porcentagem e 
cálculos de percentuais.
16. Para se produzir uma tonelada de determinada liga metálica utilizam-se pelo
menos	180	kg	de	um	produto	A	e	pelo	menos	720	kg	de	um	produto	B.	O	restante	é	
um	terceiro	material,	cuja	quantidade,	somada	à	proporção	entre	as	quantidades	dos	
produtos	A	e	B,	fornece	as	propriedades	específicas	para	a	liga	metálica.	Dessa	forma,	
é	correto	afirmar	que	uma	tonelada	dessa	liga	metálica	é	constituída	de	mais	de	10%	
do terceiro material.
( ) Certo 
( ) Errado
Comentário: questão resolvida pelo uso dos conceitos de porcentagem e 
cálculos de percentuais.
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117
17. Com	relação	a	matemática	financeira,	cada	um	do	 item	a	seguir	apresenta
uma situação hipotética seguida de uma assertiva a ser julgada.
Para liquidar o estoque de determinado produto, o lojista ofereceu um desconto de 
10% no preço de venda. Passados alguns dias, para o estoque remanescente, o lojista 
concedeu novo desconto, agora de 20% sobre o preço já com primeiro desconto. Nessa 
situação, o valor do desconto que é equivalente a um único desconto aplicado sobre o 
preço	do	produto	é	igual	a	28%.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão resolvida pelo uso dos conceitos de porcentagem e 
cálculos de percentuais.
18. Iniciado	 em	 2007,	 o	 processo	 gradativo	 de	 substituição	 do	 sinal	 de	 TV
analógico pelo digital no Brasil começou a concretizar-se em 2016. Nesse período, 
intensificou-se	o	uso	da	TV	por	assinatura,	segundo	dados	do	IBGE.	A	tabela	a	seguir	
mostra o percentual aproximado de domicílios brasileiros que dispunham de diferentes 
modalidades	de	acesso	à	TV	em	2014.
Considerando	essas	informações	e	o	fato	de	que,	em	2014,	86%	dos	
domicílios brasileiros situavam-se na zona urbana, julgue o item. 
 Em 2014, havia acesso ao sinal digital de TV aberta em mais de 50% dos 
domicílios brasileiros.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão resolvida pelo uso dos conceitos de porcentagem e 
cálculos de percentuais.
19. Ao passar com seu veículo por um radar eletrônico de medição de velocidade, 
o condutor	percebeu	que	o	velocímetro	do	seu	carro	indicava	a	velocidade	de	99	km/h.
Sabe-se que a velocidade mostrada no velocímetro do veículo é 10% maior que a
velocidade	real,	que	o	radar	mede	a	velocidade	real	do	veículo,	mas	o	órgão	fiscalizador
de	trânsito	considera,	para	efeito	de	infração,	valores	de	velocidade	10%	inferiores	à
velocidade real.
Nessa situação, considerando que a velocidade máxima permitida para a via 
onde	se	localiza	o	referido	radar	é	de	80	km/h,o	condutor	não	cometeu	infração,	pois,	
descontando-se 20% da velocidade mostrada no velocímetro de seu veículo, o valor de 
velocidade	considerada	pelo	órgão	fiscalizador	será	de	79	km/h.
 Certo 
 Errado
Comentário: questão resolvida pelo uso dos conceitos de porcentagem e 
cálculos de percentuais.
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118
20. Na reforma de uma escola, que foi feita em 12 semanas, a quantidade de
pintores, carpinteiros e eletricistas mudou a cada semana. Os operários trabalharam 
de segunda-feira a sexta-feira, oito horas por dia. 
Com	base	nas	informações	acima,	julgue	o	item	a	seguir,	considerando	que	os	
operários que desempenham a mesma função possuem a mesma produtividade e 
eficiência.	
Considere que, na 5. semana, 55 operários trabalharam na reforma: pelo menos 
80%	desses	eram	do	sexo	masculino	e,	desses,	no	mínimo	75%	tinham	mais	de	50	
anos	de	idade.	Nesse	caso,	é	correto	afirmar	que	a	soma	das	idades	dos	operários	do	
sexo masculino que trabalharam na 5. a semana era no mínimo igual a 1.650 anos.
( ) Certo 
( ) Errado
Comentário: questão resolvida pelo uso dos conceitos de porcentagem e 
cálculos de percentuais.
Gabarito :
Exercícios de Aula
1-D	 2-C	 3-A	 4-C	 5-E	 6-C	 7-A	 8-E	 9-C	 10-B
11-D 12-D 13-D 14-C 15-E
Questões da Banca CESPE:
1-C	 2-E	 3-E	 4-E	 5-C	 6-C	 7-E	 8-C	 9-C	 10-E
11-C	 12-E	 13-C	 14-E	 15-C	 16-E	 17-C	 18-E	 19-E	 20-C
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EQUAÇÕES E PROBLEMAS DE
1°GRAU
"Salve salve, galera !
Agora chegou a hora da verdade!
Hora de aplicar tudo o que foi visto anteriormente: 
frações, razão, proporção, porcentagem e todas as 
ferramentas empregadas.
Misturados a isso, teremos um ingrediente adicional 
que é a equação de 1° e a eterna busca pelo “x’ .
Boa aula e bons estudos"
@profdudan
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120
13.1 DEFINIÇÃO
 A equação de 1° grau é a equação na forma ax + b = 0, onde a e b são números 
reais e x é a variável (incógnita). 
O valor da incógnita x é dado isolando -se essa variável, logo ;
ax + b = 0 -> ax = -b -> x = - b
 a
Para acharmos o valor de x que torna essa igualdade uma verdade, precisamos 
isolá-lo dos demais elementos e para isso é necessário desmascararmos uma regra 
falha ensinada no 1º Grau :
“Quem	muda	de	lado,	muda	de		SINAL!”
Pode	isso,	Arnaldo	?
Não, não pode .
A regra é clara: 
Quem	tem	letra	de	um	lado,	quem	não	tem,	do	outro	lado.
E quem muda de lado, muda de OPERAÇÃO.
Sendo assim, quem de um lado soma, quando mudar de lado na equação, irá 
subtrair. 
O mesmo ocorrerá entre multiplicação e divisão.
 Exemplos:
 Calcule: 
a) 3x + 16 = 35
b)5x	–	12	=	-	2x	+	23
c) x+3	-	x	-3	=7
 2 3 
d) 2x +3=x
5
Agora é chegado o momento de encararmos 
algumas	variações	de	questões,	com	pitadas	de	
tudo o que foi visto até então. 
Você está preparado?
EXERCÍCIOS DE AULA 
1. O	valor	de	x	na	equação:		x		-		x	-7	1+	2(x	-5)
 4 6 = 3 
a) 4.
b) 6.
c) 8.
d) 10.
e) 12.
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121
2. O	professor	Dudan	passou	no	quadro	as	seguintes	equações:
I) 2x	−19	=6−3x
II) 6(y+3)	−2(y−5)=20
III) 3k+10=4k+9
Quais	 os	 valores	 x,	 y	 e	 k	 devem	 assumir	 respectivamente	 para	 satisfazer	 as
equações?
a)-5, -2, 1.
b)4, -2, -1.
c)5, -2, 1.
d)3, 2, -1.
e)Nenhuma das alternativas anteriores.
3. O	 valor	 de	 x	 que	 satisfaz	 a	 equação	 abaixo	 corresponde	 à	 quantidade	 de
alunos cadastrados no site do Matemática Sem Trauma em certo dia. Sendo assim, ao 
todo,	quantos	alunos	foram	cadastrados	nesse	dia?
5x + 26 = 111
a)17
b)18
c)19
d)20
e)21
4. Resolvendo a equação o resultado será:
16(x	–	8)	+	66	=	74	–	4(x	–	6).
a)8.
b)12.
c)9.
d)7.
e) Nenhuma das alternativas.
5. O valor de “x” que resolve a proporção 12 -x3=3x9 é :
a)x = 5.
b)x = 6.
c)x	=	7.
d)x	=	8.
e)x = 9.
13. 2 PROBLEMAS DE 1° GRAU
São	 questões	 sempre	 presentes	 em	 prova	 e	 que	 cobram	 dos	 alunos	 um	
conhecimento	amplo	sobre	diversos	assuntos	básicos	como	frações,	porcentagem	e	a	
resolução	de	uma	situação–problema,	muitas	vezes	com	a	resolução	de	uma	equação	
de 1° grau.
É	 uma	 verdadeira	 salada	 de	 frutas	 na	 qual	 o	 aluno	 vai	 ter	 que	 usar	 toda	 sua	
habilidade matemática e resolver a situação proposta.
A aritmética (da palavra grega arithmós,"número") é o ramo da matemática que 
lida	com	números	e	com	as	operações	possíveis	entre	eles.	
É	o	ramo	mais	antigo	e	mais	elementar	da	matemática,	usado	por	quase	todos,	seja	
em	tarefas	do	cotidiano,	em	cálculos	científicos	ou	de	negócios	e	sempre	cobrada	em	
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concursos públicos.
Já	a	álgebra	é	o	ramo	que	estuda	a	manipulação	formal	de	equações,	operações	
matemáticas, polinômios e estruturas algébricas. 
A álgebra é um dos principais ramos da matemática pura, juntamente coma geometria, 
topologia, análise combinatória, e Teoria dos Números.
O termo álgebra, na verdade, compreende um espectro de diferentes ramos da 
matemática,	cada	um	com	suas	especificidades.
A	 grande	 dificuldade	 encontrada	 pelos	 alunos	 nas	 questões	 envolvendo	
problemas é na sua interpretação. 
O	aluno	tem	que	ler	o	texto	e	“decodificar”	suas	informações	para	o	matematiquês.
Em	algumas	questões	iremos	abordar	alguns	pontos	importantes	nessa	interpretação.
6. Dois alunos farão conjuntamente uma lista de exercícios. Se um deles resolver
2/5	dos	exercícios	e	o	outro,	os	81	restantes,	o	total	de	exercícios	é	de:
a) 125.
b) 135.
c) 142.
d) 145.
e) 160.
7. Do	número	de	questões	de	uma	lista	exercícios,	um	aluno	resolve	7/8	e	guarda
o restante,	122	para	um	outro	dia	de	atividades.	Assim	o	total	de	questões	que	tem
nessa lista é de:
a) 868
b) 976
c) 1204
d) 1412
e) 1500
8. A	idade	do	professor	Dudan	daqui	a	12	anos	será	o	dobro	da	idade	que	ele
tinha	há	8	anos.	Sendo	assim	a	idade	atual	do	professor	é	de.	
a) 20 anos
b) 26 anos
c) 28	anos
d) 30 anos
e) 35 anos
9. Preparando	 o	 material	 para	 o	 Quebrando	 as	 Bancas,	 o	 professor	 Dudan
digitalizou	1/3	dos	exercícios	que	lhe	cabiam	pela	parte	da	manhã;	no	início	da	tarde	
ele	digitalizou	metade	do	restante	e	no	fim	da	tarde	1/4	do	que	havia	sobrado	após	os	
2 períodos iniciais.
Se	no	fim	do	expediente	ele	decidiu	contar	todos	os	exercícios	que	não	haviam	
sido digitalizados e encontrou 30 exercícios, o número total de exercícios que ele devia 
ter digitalizado nesse dia era de.
a) 81.
b) 90.
c) 100.
d) 111.
e) 120.
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123
10.Do	 salário	 que	 recebe	 mensalmente,	 um	 professor	 gasta	 5/8	 e	 guarda	 o
restante, R$1650,00, em caderneta de poupança. O salário mensal desse professor, em 
reais, é:
a) R$ 4400,00
b) R$	1976,00
c) R$	3804,00
d) R$ 2640,00
e) R$	2800,00
11. Um	aluno	aprovado	no	concurso	da	PRF	quando	foi	nomeado	,	gastou		1/3	do
seu	primeiro	salário	e	depois	gastou		25%	do	restante	ficando	com	R$	1200,00	apenas.	
Esse salário é de: 
a) R$	4800,00
b) R$ 4200,00
c) R$ 3600,00
d) R$ 2400,00
e) R$ 2000,00
12. Maria comprou vários CDs pela internet, todos de mesmo valor. A loja virtual
onde	a	compra	foi	feita	cobrava	o	valor	fixo	de	R$	9,90	pelo	frete	na	compra	de	até	5	
Cds. Nas compras acima de 5 Cds, a loja cobrava um acréscimo de R$ 0,90 no frete por 
CD	excedente.	Sabendo	que	Maria	comprou	8	CDs	nessa	loja	e	pagou	o	valor	total	de	
R$ 91,00, incluindo o frete, então, o valor de um CD era
a)R$ 9,20.
b)R$ 9,50.
c)R$	9,80.
d)R$ 10,30.
e)R$ 10,60.
13.Em uma prova de natação, um dos participantes desiste de competir ao
completar	apenas	1/5	do	percurso	total	da	prova.	No	entanto,	se	tivesse	percorrido	mais	
300	metros,	teria	percorrido	80%	do	percurso	total	da	prova.	Com	essas	informações,	o	
percurso total da prova, em quilômetros, era igual a:
a) 0,75
b) 0,25
c) 0,15
d) 0,5
e) 1
14.O jantar de comemoração de um casamento será realizado em um salão que
possui mesas redondas iguais e que comportam até 6 pessoas cada uma. Colocando 
5 convidados em cada mesa, todas as mesas seriam ocupadas e dois convidados 
ficariam	 sem	 lugar.	 Colocando	 6	 convidados	 em	 cada	 mesa,	 todos	 os	 convidados	
ficariam	sentados	e	3	mesas	ficariam	vazias.	O	número	de	convidados	é:
a)96;
b)102;
c)108;
d)112;
e)114.
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15. Em	 um	 determinado	 curso	 de	 pós-graduação,	 1/4	 dos	 participantes	 são
graduados	 em	 matemática,	 2/5	 dos	 participantes	 são	 graduados	 em	 geologia,	 1/3	
dos	participantes	são	graduados	em	economia,	1/4	dos	participantes	são	graduados	
em	biologia	e	1/3	dos	participantes	são	graduados	em	química.	Sabe-se	que	não	há	
participantes	do	curso	com	outras	graduações	além	dessas,	e	que	não	há	participantes	
com	três	ou	mais	graduações.	Assim,	qual	é	o	número	mais	próximo	da	porcentagem	
de	participantes	com	duas	graduações?
a) 40%
b) 33%
c) 57%
d) 50%
e) 25%
COMO	A	BANCA	CESPE/CEBRASPE	JÁ	COBROU	ISSO?
1. Sabe-se que o salário mensal de André é igual a R$ 500,00. Se o salário de
Pedro é o dobro do salário de André e se o salário de José é o triplo do salário de 
Pedro, então os 3 juntos ganham menos de R$ 4.000,00.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão resolvida com interpretação, montagem e resolução de 
equação	de	1	grau	usando	conceitos	básicos	como	frações.
Paulo, Maria e João, servidores lotados em uma biblioteca pública, trabalham na 
catalogação dos livros recém-adquiridos. Independentemente da quantidade de livros 
a	serem	catalogados	em	cada	dia,	Paulo	cataloga	1/4,	Maria	cataloga	1/3	e	João,	5/12.
A respeito da catalogação de livros por esses servidores, julgue os itens a seguir.
2. Se, em determinado dia Maria, catalogar 20 livros a mais que Paulo, então,
nesse dia, João catalogará mais de 90 livros.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão resolvida com interpretação, montagem e resolução de 
equação	de	1	grau	usando	conceitos	básicos	como	frações.
3. Sempre que trabalharem de segunda-feira a sexta-feira, os três servidores
catalogarão uma quantidade de livros que será um número múltiplo de 12.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão resolvida com interpretação, montagem e resolução de 
equação	de	1	grau	usando	conceitos	básicos	como	frações.
4. Em	cada	dia,	Maria	e	João	catalogam	75%	dos	 livros	a	serem	catalogados
nesse dia.
( ) Certo
( ) Errado 
Comentário: questão resolvida com interpretação, montagem e resolução de 
equação	de	1	grau	usando	conceitos	básicos	como	frações.
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125
5. No item seguinte apresenta uma situação hipotética, seguida de uma assertiva
a ser julgada, a respeito de proporcionalidade, porcentagens e descontos.
O casal Rafael e Joana investe R$ 2.000 todos os meses. Joana investe 50% a 
mais que Rafael e o valor investido por cada um corresponde a 25% dos seus respectivos 
salários líquidos. Nessa situação, o salário líquido de Rafael é de R$ 3.200.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão resolvida com interpretação, montagem e resolução de 
equação	de	1	grau	usando	conceitos	básicos	como	frações	e	porcentagem.
6. Maria fez compras em três lojas. Em cada uma das lojas em que ela entrou, a
compra feita foi paga, sem haver troco, com a quarta parte da quantia que ela tinha na 
bolsa	ao	entrar	na	loja.	Ao	sair	da	terceira	loja,	Maria	tinha	R$	270	na	bolsa.
Nesse	caso,	é	correto	afirmar	que,	ao	entrar	na	primeira	loja,	Maria	tinha	na	bolsa	MAIS	
DE R$ 600.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão resolvida com interpretação, montagem e resolução de 
equação	de	1	grau	usando	conceitos	básicos	como	frações.
7. Um	grupo	de	256	auditores	fiscais,	entre	eles	Antônio,	saiu	de	determinado
órgão	para	realizar	trabalhos	individuais	em	campo.	Após	cumprirem	suas	obrigações,	
todos	os	auditores	fiscais	retornaram	ao	órgão,	em	momentos	distintos.	A	quantidade	
de auditores que chegaram antes de Antônio foi igual a um quarto da quantidade de 
auditores que chegaram depois dele.
Nessa situação hipotética, Antônio estava na posição 52.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão resolvida com interpretação, montagem e resolução de 
equação	de	1	grau	usando	conceitos	básicos	como	frações.
8. Dois	marceneiros	e	dois	aprendizes,	cada	um	trabalhando	durante	quatro	dias,
seis horas por dia, constroem três cadeiras e uma mesa. Os marceneiros trabalham 
com	a	mesma	eficiência,	mas	a	eficiência	dos	aprendizes	é	 igual	a	75%	da	eficiência	
dos marceneiros. Para construir uma mesa, gasta-se 50% a mais de tempo que para 
construir uma cadeira.
 Nesse caso, para construírem doze cadeiras e duas mesas em oito dias, 
dois	 marceneiros	 e	 quatro	 aprendizes	 com	 eficiências	 iguais	 às	 daqueles	 citados	
anteriormente	devem	trabalhar	mais	de	8	horas	por	dia.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão resolvida com interpretação, montagem e resolução de 
equação	de	1	grau	usando	conceitos	básicos	como	frações	e	porcentagem.QB MENTORIA
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126
9. Determinada	 empresa	 tem	 70	 atendentes,	 divididos	 em	 3	 equipes	 de
atendimento	ao	público	que	trabalham	em	3	turnos:	de	7	h	às	13	h,	de	11	h	às	17	h	e	
de	14	h	às	20	h,	de	modo	que,	nos	horários	de	maior	movimento,	existam	duas	equipes	
em atendimento.
Se	 a	 quantidade	 de	 atendentes	 trabalhando	 às	 12	 h	 for	 igual	 a	 42	 e	 se	 a	
quantidade	de	atendentes	trabalhando	às	15	h	for	igual	a	40,	então	a	quantidade	de	
atendentes	que	começam	a	trabalhar	às	7	h	será	maior	que	40.
( ) Certo
( )Errado
Comentário: questão resolvida com interpretação e conceito de teoria dos 
conjuntos
10. A	 quantia	 de	 R$	 360.000	 deverá	 ser	 repassada	 às	 escolas	 A,	 B	 e	 C	 para
complemento da merenda escolar. A distribuição será em partes diretamente 
proporcionais	às	quantidades	de	alunos	de	cada	escola.	Sabe-se	que	a	escola	A	tem	
20% a mais de alunos que a escola B e que a escola C tem 20% a menos de alunos que 
a escola B. Nesse caso, a escola A deverá receber mais de R$150.000,00
( ) Certo
( )Errado
Comentário:questão resolvida com interpretação, montagem e resolução de 
equação	de	1	grau	usando	conceitos	básicos	como	frações	e	porcentagem.
Gabarito :
Exercícios de Aula
1-B	 2-C	 3-A	 4-A	 5-B	 6-B	 7-B	 8-C	 9-E	 10-A	 11-D	 12-C	 13-D
14-B 15-C
Questões da Banca CESPE:
1-E	 2-C	 3-C	 4-C	 5-C	 6-C	 7-C	 8-E	 9-E	 10-E
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SISTEMAS DE EQUAÇÕES
DE 1°GRAU
"Salve salve, galera !
Mais um assunto das entrelinhas dos editais. Assunto 
que também exige muita interpretação, a montagem de 
equações e sua consequente resolução.
Sistemas de Equações ou Sistemas Lineares exigirão de 
você muita percepção, agilidade e também tranquilidade.
É um cenário lindo e repleto de detalhes .
Aprecie sem moderação.
Boa aula e bons estudos"
@profdudan
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128
14.1 DEFINIÇÃO
 O	sistema	 linear	consiste	na	relação	mútua	entre	duas	ou	mais	equações,	ou	
seja,	equações	que	compartilham	da	mesma	solução	ou	do	mesmo	conjunto	solução.
Discussão do sistema
Todo	 sistema	 linear	 é	 classificado	 de	 acordo	 com	 o	 número	 de	 soluções	
apresentadas por ele. Discutir um sistema linear consiste em analisá-lo de forma a 
determinar	os	valores	dos	coeficientes	das	equações	que	fazem	com	que	o	sistema	
possa ser Possível e Determinado (SPD), Possível e Indeterminado (SPI) e Impossível 
(SI).
Sistema Possível e Determinado:		n°	de	equações	distintas	(não	proporcionais	
e	não	conflitantes)	é		maior	ou	igual	ao	n°	de	variáveis.	Apresenta,	portanto,	uma	única	
solução.
Sistema Possível e Indeterminado:		n°	de	equações	distintas	(não	proporcionais	
e	não	conflitantes)	é		menor	que	o	n°	de	variáveis.	Possui	infinitas	soluções.
Sistema Impossível: há	equações	conflitantes,	ou	seja,	equações	com	a	mesma	
estrutura	nas	variáveis	mas	com	“respostas”	distintas.	Não	possui	soluções.
Devemos	estar	atentos	a	equações	proporcionais,	elas	irão	“contar”	uma	única	
vez para a discussão do sistema. 
Além	 disso	 caso	 tenhamos	 equações	 com	 o	 corpo	 de	 letras	 seguindo	 uma	
proporção clara, porém sua resposta numérica não atenda a essa proporção, teremos 
equações	conflitantes,	as	quais	caracterizam	o	sistema	impossível.
Exemplo : {x+2y=7 3x+6y=18 
Observe que triplicamos o corpo literal da 1° equação: x virou 3x, 2y virou 6y 
mas	o	mesmo	não	ocorreu	com	a	resposta	pois	7	quando	triplicado,	vira	21	e	não	18.
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14.2	MÉTODO	DA	ADIÇÃO
Consiste	em	somar	as	equações,	que	podem	ser	previamente	multiplicadas	por	
uma constante, com objetivo de eliminar uma das variáveis apresentadas.
Esse	método	busca	multiplicar	as	equações	de	maneira	que	se	criem	valores	
“opostos“	da	mesma	variável	que	será	eliminada	quando	somarmos	as	equações.
 Vale ressaltar que nem sempre é necessária tal multiplicação .
Exemplo Resolvido
Resolver { x+2y=16 3x-y=13 
Assim multiplicaremos a segunda equação por 2: { x+2y=16 6x-2y=26 
Agora	somaremos	as	2	equações:	+	{	x+2y=16	6x-2y=26	
7x+0y=42
Logo	x	=	42/7	=	6	e	para	achar	o	valor	de	y	basta	trocar	o	valor	de	x	obtido	em	
qualquer	uma	das	equações	dadas:
Assim	se	x	+	2y	=	16	,	então	6	+	2y	=	16		->	2y	=	10	e		y	=	10/2	->	y	=	5
Portanto,	 a	 solução	 x	 =	 6	 e	 y	 =	 5	 atende	 às	 duas	 equações,	 é	 uma	 solução	
“compartilhada”.
Exemplo:
Resolva usando o método da adição. 
a) { 3x+y=9 2x+3y=13
14.3	MÉTODO	DA	SUBSTITUIÇÃO
Esse método consiste em isolar uma das variáveis numa equação e substituí-la 
na outra.
 Vale ressaltar que, preferencialmente deve-se isolar a variável que possuir 
“coeficiente”	1,		para	assim,	evitamos	um	trabalho	com	o	M.M.C.
Exemplo Resolvido
Resolver { x+2y=16 3x-y=13 
Assim	isolaremos	o	x	na	primeira	equação,	logo	:		x	=	16	–	2y
E substituindo na segunda equação, teremos:
3(16	–	2y)	-	y	=	13
48	–	6y	–	y	=	13
-7y	=	13	–	48
-7y	=	-	35,	logo:
y	=	-35-7	=	+	5
Daí basta trocar o valor de x obtido na equação isolada:
Se	x	=	16	–	2y,		logo	x	=	16	–	2.(5)	->x	=	16-10	->x	=	6
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130
Portanto,	 a	 solução	 x	 =	 6	 e	 y	 =	 5	 atende	 às	 duas	 equações,	 é	 uma	 solução	
“compartilhada”.
Exemplo:
Resolva usando o método da substituição. 
a) { 3x+y=9 2x+3y=13
14.4 Caso Especial
Sempre	que	nos	depararmos	com	um	sistema	de	duas	equações	no	qual	uma	
delas	seja	uma	“proporção”,	podemos	resolvê-la	de	maneira	eficaz	e	segura,	aplicando	
os conceitos de Divisão Proporcional.
Exemplo:
Os	salários	de	dois	amigos	são	proporcionais	às	suas	idades	que	são	40	e	25	
anos. Se os salários somados totalizam R$9100,00, qual a diferença de salário desses 
funcionários?
Exemplo : {xy= 32 3x-y=21 
14.5 SISTEMA COM 3 OU MAIS VARIÁVEIS
No	caso	de	termos	um	sistema	com	3	equações	distintas,	não	proporcionais	e	
não	conflitantes,	temos	algumas	saídas	interessantes.
Uma	 delas	 consiste	 em	 isolar	 uma	 das	 variáveis	 (a	 que	 tiver	 coeficiente	 1)	
numa equação e substituir nas outras. Assim iremos reduzir nosso sistema para 
a	configuração	2	equações	e	2	variáveis,	 já	que	essa	substituição	elimina	a	variável	
isolada.
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131
EXERCÍCIOS DE AULA
1. Na	garagem	do	prédio	da	Quebrando	as	bancas,	em	Porto	Alegre	há	carros	e
motos num total de 13 veículos e 34 pneus. O número de motos nesse estacionamento 
é:
a) 5.
b) 6.
c) 7.
d) 8.
e) 9.
2. Um	aluno	da	Quebrando	as	Bancas,	ganha	5	pontos	no	plano	de	Fidelidade
por	cada	aula	assistida	e	perde	3	pontos	por	cada	aula	perdida.	Ao	final	de	50	aulas,	ele	
tinha 10 pontos. O número de aulas que ele perdeu foi de.
a) 15
b) 20
c) 25
d) 30
e) 35
3. Certo dia um casal de namorados estava discutindo a relação e decidiram
fazer uma lista dos pagamentos das contas da casa onde moravam juntos. Um deles 
argumentava que havia pago exatamente R$ 1.000,00 em contas de internet e gás e 
isso o deixava insatisfeito.
Todas as contas de gás todas tiveram o mesmo valor entre si, assim como as da 
internet e o total de contas pagas de internet ou de gás foi de 40 e que o valor mensal 
dessas	contas	era	de	R$	30,00	e	R$	20,00,	respectivamente,	podemos	afirmar	que	o	
valor total das contas de gás pagas pelo “insatisfeito” foi de:
a) R$ 200,00
b) R$ 300,00
c) R$ 400,00
d) R$ 500,00
e) R$ 600,00
4. O professor Mateus comprou para uso pessoal 2 resmas de papel e 3 caixas
de	canetas	e	pagou	o	total	de	R$80,00.	Sabe-se	que	uma	resma	de	papel	custa	R$5,00	
a mais do que uma caixa de canetas.
Uma resma de papel e uma caixa de canetas custam, juntas:
a)R$31,00;
b)R$32,00;
c)R$33,00;
d)R$34,00;
e)R$35,00.
5. A razão entre alunos que vão de carro e os que vão de ônibus numa escola é
de	7/4.	Sabe-se	que	há	90	alunos	que	vão	de	carro	a	mais	do	que	os	que	vão	de	ônibus,	
logo o número de alunos que vão de carro é de:
a)120
b)150
c)180
d)210
e)240
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132
6. Os números m e n são racionais e tais que m + 3n = 5 e 4m + 10n = 16.
Qual	o	valor	de	m	+	n?
a)0
b)1
c)2
d)3
e)4
7.	Três	funcionários	do		Quebrandoas	Bancas		durante	os	exames	de	contratação
foram	pesados	duas	a	duas	em	uma	balança	que	mostrou	medidas	de	113	kg,	117	kg	
e 130 kg.
A medida, em kg, que essa balança mostrará se os três funcionários forem pesados 
juntos será
a)160
b)168
c)171
d)180
e)195
8. Considere	o	sistema	linear:	{x+2y+3z=160	2x+3y+z=140	3x+y+2z=156
O valor de x é
a)20.
b)22.
c)24.
d)26.
e)28.
COMO	A	BANCA	CESPE/CEBRASPE	JÁ	COBROU	ISSO?
1. Na reforma de uma escola, que foi feita em 12 semanas, a quantidade de
pintores, carpinteiros e eletricistas mudou a cada semana. Os operários trabalharam 
de segunda-feira a sexta-feira, oito horas por dia.
Com	base	nas	informações	acima,	julgue	o	item	a	seguir,	considerando	que	os	operários	
que	desempenham	a	mesma	função	possuem	a	mesma	produtividade	e	eficiência.
Considere	 que	 48	 operários	 tenham	 trabalhado	 na	 12.	 a	 semana	 da	 reforma	 e	 que	
a quantidade destes com menos de 40 anos de idade seja o dobro da quantidade 
daqueles com idade maior ou igual a 40 anos. Nessa situação, menos de 30 operários 
que trabalharam na obra nessa semana tinham menos de 40 anos de idade.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário:		questão	de	sistemas	de	Equações	de	1º	Grau.	
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133
2. Um órgão público realizará concurso para provimento de 30 vagas em cargos
de	nível	médio	e	superior.	O	salário	mensal	de	cada	profissional	de	nível	médio	será	
de	R$	1.900,00,e	o	de	cada	profissional	de	nível	superior,	de	R$	2.500,00.	Os	gastos	
mensais	desse	órgão	com	os	salários	desses	30	profissionais	serão	de	R$	67.800,00.
Com relação a essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem. 
O órgão público deverá gastar, mensalmente, menos de R$ 42.000,00 com os 
salários	dos	novos	profissionais	de	nível	superior,	caso	eles	sejam	contratados.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão	de	sistemas	de	Equações	de	1º	Grau.	
3. Um órgão público realizará concurso para provimento de 30 vagas em cargos
de	nível	médio	e	superior.	O	salário	mensal	de	cada	profissional	de	nível	médio	será	
de	R$	1.900,00,e	o	de	cada	profissional	de	nível	superior,	de	R$	2.500,00.	Os	gastos	
mensais	desse	órgão	com	os	salários	desses	30	profissionais	serão	de	R$	67.800,00.
Com relação a essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem. 
O	número	de	vagas	para	profissionais	de	nível	médio	no	referido	concurso	será	superior	
a 10.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário:		questão	de	sistemas	de	Equações	de	1º	Grau.	
4. Com	relação	aos	sistemas	de	equações	lineares	e	às	funções	de	1.º	e	de	2.°
graus, julgue os itens que se seguem.
Se Aldo, Pedro e Júlia confeccionarem, conjuntamente, 50 camisetas em uma 
semana; se a soma das quantidades confeccionadas por Aldo e Júlia for 2 unidades 
a mais que o dobro da quantidade confeccionada por Pedro; e se a quantidade 
confeccionada por Pedro for 3 unidades a menos que a quantidade confeccionada 
por Júlia, então Pedro confeccionará, nessa semana, mais de 15 camisetas.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: 	questão	de	sistemas	de	Equações	de	1º	Grau.	
5. Maria	comprou	300	balões,	nas	cores	vermelha,	azul	e	amarela,	para	decorar
o salão	de	festas	onde	ocorreria	a	festa	de	aniversário	de	seu	filho.	Metade	dos	balões
vermelhos	comprados,	1/5	dos	azuis	e	2/5	dos	amarelos,	totalizando	106	balões,	foram
usados para decorar as colunas do salão. O restante foi utilizado em outros lugares
do	salão.	Antes	de	começar	a	festa,	metade	dos	balões	amarelos,	2/5	dos	vermelhos
e	1/5	dos	azuis	estouraram,	sobrando	186	balões	cheios.	Uma	convidada	para	festa
queria	saber	quantos	balões	de	cada	cor	Maria	havia	comprado.	Para	tentar	responder
à	convidada,	Maria	chamou	de	x	a	quantidade	de	balões	vermelhos	comprados,	de	y,	a
de amarelos e de z, a de azuis, montou o seguinte sistema:
Com	 base	 no	 texto	 e	 no	 sistema	 de	 equações	
apresentado acima, julgue os seguintes itens.
Ao montar o sistema, Maria cometeu algum erro, 
daí	não	será	possível	dar	a		resposta	correta	à	pergunta	
da convidada.
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134
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: 	questão	de	sistemas	de	Equações	de	1º	Grau.	
Com	base	no	texto	e	no	sistema	de	equações	apresentado	acima,
 julgue o seguinte item. O sistema montado por Maria é possível e indeterminado. 
( ) Certo
( ) Errado
Comentário:		questão	conceitual	de	Sistemas	de	Equações	de	1º	Grau.	
Gabarito:
Exercícios de Aula
1-E	 2-D	 3-C	 4-C	 5-D	 6-B	 7-D	 8-C
Questões da Banca CESPE:
1-E 2-E 3-C 4-C 5-C 6-E
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EQUAÇÕES
DE 2°GRAUQB MENTORIAqbmentoria@gmail.com
136
A	equação	de	2°	grau	é	a	equação	na	forma	ax²	+	bx	+	c	=	0,	onde	a,	b	e	c	são	
números reais e x é a variável (incógnita). 
O valor da incógnita x é determinado pela fórmula de Bháskara. 
Nas	equações	escritas	na	forma	ax²	+	bx	+	c	=	0	(forma	normal	ou	forma	reduzida	
de	uma	equação	do	2º	grau	na		incógnita	x)	chamamos	a,	b	e	c	de	coeficientes.
“a”		é	sempre	o	coeficiente	de		x²;
“b”				é	sempre	o	coeficiente	de	x,
“c”	é	o	coeficiente	ou	termo	independente.
 Assim:
x²	-	5x	+	6	=	0	é	um	equação	do	2º	grau	com	a	=	1,	b	=	-5	e	c	=	6.
6x²	-	x	-	1	=	0		é	um	equação	do	2º	grau	com	a	=	6,	b	=	-1	e	c	=-1
7x²	-	x	=	0			é	um	equação	do	2º	grau	com	a	=	7,	b	=	-1	e	c	=	0.
x²	-	36	=	0					é	um	equação	do	2º	grau	com	a	=	1,	b	=	0	e	c	=	-36.
Defina	os	valores	de	a	,	b	e	c	nas	equações	abaixo:
6x²	-	3x	+	1=	0
-3x²	-	5/2+4x	=	0
2x²	-	8	=0
6x²	-	3x	=0
15.2 EQUAÇÕES	COMPLETAS
Para	solucionar	equações	do	2º	grau	utilizaremos	a	fórmula	de	Bháskara. 
Primeiramente	iremos	encontrar	o	“delta”	:	Δ	=	b²	-	4ac
Depois iremos calcular as raízes da equação por 
x	=	-	b	±	∆
2a
Onde	a,	b	e	c	são	os	coeficientes	(números)	encontrados	na	equação.
Exercícios de Aula
1.Vamos	encontrar	as	raízes	de	7x²	+	13x	-2	=	0.
Vale	 ressaltar	 que	 de	 acordo	 com	 o	 discriminante	 "∆",	 temos	 três	 casos	 a	
considerar:
1º Caso:	O	discriminante	é	positivo	,	∆	>	0,	então	a	equação	tem	duas	raízes	reais	
diferentes.
2º Caso: O	discriminante	é	nulo	,	∆=0,	então	a	equação	tem	duas	raízes	reais	e	
iguais.
3º Caso:	O	discriminante	é	negativo	,	∆<0	,	então	não	há	raízes	reais.
 Atenção!
A raiz (ou zero da função) é(são) o(s) valor(es) da incógnita x que zeram a equação.
 Exemplos
I) As	raízes	de		x²	-	6x	+	8	=	0	são	x1	=	2	e	x2	=	4	pois
(2)²	-	6(2)	+8	=0		e	(4)²	-	6(4)	+8	=0
15.1 DEFINIÇÃO
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137
II) As	raízes	de	x²	+	6x	+	9	=	0	são	x1	=	x2	=	-3	pois
(-3)²	+6(-3)	+9	=0
15.3 EQUAÇÕES	INCOMPLETAS
Na resolução das incompletas não é necessário resolver por Bháskara.
Devemos	usar	os	métodos	específicos	que	variam	de	acordo	com	o	tipo	de	incompleta:
 incompleta sem o termo com “x” ou 
a incompleta sem o termo independente.
EXERCÍCIOS DE AULA
2. Encontre	as	raízes	das	equações	abaixo:
a) x²	-	4x	=	0
b) -3x²	+9x	=	0
c) x²	-	36	=	0
d) 3x²	=	27
15.4 SOMA	E	PRODUTO	DAS	RAÍZES
A soma e o produto das raízes da função quadrática são dados pelas fórmulas:
EXERCÍCIOS DE AULA
3. Determine	a	soma	e	o	produto	das	raízes	das	equações:
a) x²	–	7x	–	9	=	0 b) -4x²	+	6x	=	0 c) 3x²	-	10	=	0
4. O	número	-3	é	a	raíz	da	equação	x²	-	7x	-	2c	=	0.	Nessas	condições,	o	valor	do
coeficiente	c	é.
a) 11
b) 12
c) 13
d) 14
e) 15
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138
5. Considere	as	seguintes	equações:
I. x²	+	4	=	0
II. x²	-	2	=	0
III. 0,3x = 0,1
Sobre	as	soluções	dessas	equações	é	verdade	que	em
a) II são números irracionais.
b) III é número irracional.
c) I e II são números reais.
d) I e III são números não reais.
e) II e III são números racionais.
Exercícios de Aula
1-* 2-* 3-* 4-E 5-A 
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139
FUNÇÕESQB MENTORIAqbmentoria@gmail.com
140
16.1DEFINIÇÃO
A importância do estudo de função não é restrita apenas aos interesses da 
matemática, mas colocado em prática em outras ciências, como a física e a química. 
Na matemática, o estudo de função é dividido basicamente em:
Características, tipos e elementos de uma função.
Tipos	de	funções.
Nem	sempre	percebemos,mas	estamos	em	contato	com	as	funções	no	nosso	
dia a dia, por exemplo:
Quando	assistimos	ou	lemos	um	jornal,	muitas	vezes	nos	deparamos	com	um	
gráfico,	 que	 nada	 mais	 é	 que	 uma	 relação,	 comparação	 de	 duas	 grandezas	 ou	 até	
mesmo	uma	função,	mas	representada	graficamente.
Para	que	esse	gráfico	tome	forma	é	necessário	que	essa	relação,	comparação,	
seja representada em uma função na forma algébrica.
Para	dar	início	ao	estudo	de	função	é	necessário	o	conhecimento	de	equações,	pois	
todo	o	desenvolvimento	algébrico	de	uma	função	é	resolvido	através	de	equações.	
Mas afinal, o que é uma função? 
No dicionário do gauchês :
Função : algo difícil de conseguir, impossível, que da trabalho.
Exemplo	:	Estudar	para	concurso	é	uma	função. 
Mas	e	na	Matemática	?
Qual	a	definição	de	Função? 
É	uma	relação	entre	dois	conjuntos,	onde	há	uma	relação	entre	cada	um	de	seus	
elementos. 
Também pode ser uma lei que para cada valor x é correspondido por apenas um 
e único elemento y, denotado por ƒ(x). 
Uma	 maneira	 bem	 simples	 de	 lembrar	 e	 identificar	 uma	 função	 é	 fazer	 uma	
analogia com pessoas e suas respectivas idades.
Paulo
Dudan
55 
40
35
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141
55 
40
35
Assinale	abaixo	se	o	gráfico	representa	ou	não	uma	função.
Vale ressaltar que todo valor de “x” que pode ser escolhido e utilizado na função 
compõe	o	que	chamamos	de	DOMÍNIO		e	todo	“y”	obtido	como	resposta	é	a	famosa	
IMAGEM da função.
Resumindo: Domínio são os valores de “x” que podemos usar e Imagem são os 
valores de “Y” que obtemos como resposta.
Domínio: Paulo e Dudan Contra	Domínio:	{35,40	e	55} Imagem:	{	40	e	55}
16.2 PARIDADE DE FUNÇÕES
Função Par
Será uma função par a relação onde elementos simétricos do conjunto do domínio 
tiverem a mesma imagem no conjunto de chegada. Ou seja, uma função será par se f(x) 
= f(-x). 
Resumindo : se valores opostos de x apresentarem a mesma “resposta” y , 
teremos uma função PAR.
Exemplo: 
A	função	A→B,	com	A	=	{-2,-1,0,1,2}	e	B	=	{1,2,5}	definida	pela	fórmula	f(x)	=	x²	+	1,	
obedece o seguinte diagrama: 
Veja nesse diagrama que os elementos 
simétricos do domínio, como o 2 e -2, 
possuem a mesma imagem, o mesmo 
acontecendo com 1 e -1.
Por isso, essa função é uma função par. 
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Exemplo: 
Será uma função ímpar a relação onde elementos simétricos do conjunto do domínio 
terão imagens simétricas no conjunto de chegada. Ou seja, uma função será ímpar se :
f(-x) = -f(x). 
Resumindo : se valores opostos de x apresentarem “respostas” y opostas, 
teremos uma função ÍMPAR.
Exemplo:
A	função	A→B,	com	A	=	{-2,-1,0,1,2}	e	B	=	{-10,-5,0,5,10}	definida	pela	fórmula	
f(x) = 5x, obedece o seguinte diagrama: 
Exemplo: 
Analisaremos a função f(x) = 2x
Nessa função, temos que: 
f(–2)	=	2	.	(–2)	=	–	4	
f(2) = 2 . 2 = 4
 Assim:
f(–2)	=	–	4	e	f(2)	=	4	,	logo	f(-2)	=	-f(2)	
Analise	a	função:	f(x)	=	x²	-1	
Note que na função, temos: 
f(–1)	=	(–1)²	–	1	=	1	–	1	=	0	
f(1)	=	1²	–	1	=	1	–	1	=	0	
f(–2)	=	(–2)²	–1	=	4	–	1	=	3	
f(2)	=	2²	–	1	=	4	–	1	=	3	
e com isso:
f(1)	=	f(–1)	=	0		e	também
	f(2)	=	f(–2)	=	3.	
Função Ímpar
 Veja que os elementos simétricos do 
conjunto A como -2 e 2 possuem imagens 
simétricas, o mesmo ocorrendo com -1 e +1.
 Por isso, essa função é uma função ímpar. 
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16.3 FUNÇÃO DE 1° GRAU
Chama-se	função	polinomial	do	1º	grau,	ou	função	afim,	a	qualquer	função	f	de	
IR em IR dada por uma lei da forma : f(x) = ax + b onde a e b são números reais dados e 
a	≠	0.
Seu	gráfico	é	sempre	uma	reta.	
a	→	 Coeficiente	angular,	Parâmetro	angular,	Inclinação	ou	Declividade.
b	→	 Coeficiente	linear,	Parâmetro	linear	ou	Termo	Independente.
 ATENÇÃO
O	coeficiente	linear	b	é	o	ponto	de	intersecção	do	eixo	y.	
O	coeficiente	angular	a	não	é	o	ponto	de	intersecção	do	eixo	x.
Veja	alguns	exemplos	de	funções	polinomiais	do	1º	grau:
f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = -3
f(x)	=	-2x	-	7,		onde		 a	=	-2		e		b	=	-7
f(x) = -x, onde a = -1 e b = 0
EXEMPLO DE AULA
Sendo f(x) = - 4x + 10, determine:
a) f(3)
b) f(0)
c) f(x) = 2
d) f(x)	=	0
16.4 COEFICIENTE ANGULAR
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16.5 COEFICIENTE LINEAR
Exercícios de Aula 
1. Assinale a lei de formação da função abaixo:
2. Assinale a lei de formação da função abaixo:
a) f(x)	=	-3/2	x
b) f(x)	=	-3/2	x	+2
c) f(x) = -3x +2
d) f(x) = -2x + 3
e) f(x)	=	-2/3x
a) f(x) = -3x +2
b) f(x) = 2x -3
c) f(x) = 2x -1
d) f(x)	=		x	–	2
e) f(x) = 2x -2
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3. Se	uma	função	polinomial	f	do	1°	grau	é	tal	que	f(3)	=	7	e	f(7)	=	13.	Portanto,	o
valor de f(15) é: 
a) 21
b) 22
c) 23
d) 24
e) 25
4. O	 coeficiente	 angular	 do	 gráfico	 e	 a	 raiz	 da	 função	 ƒ(x)	 =	 2x	 +	 8	 são,
respectivamente:
a) 4 e 2
b) -4	e	8
c) 4 e -4
d) 8	e	-4
e) 2 e -4
5. A	função	f,	do	1º	grau,	é	definida	por	 f(x)	=	3x	+	k.	O	valor	de	k	para	que	o
gráfico	de	f	corte	o	eixo	das	ordenadas	no	ponto	de	ordenada	5	é
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
6. Considere	a	tabela	a	seguir,	que	apresenta	dados	sobre	as	funções	g,	h,	k,	m,
f. Qual	das	funções	abaixo	teria	gráfico	representado	por	uma	reta?
7. A	tabela	a	seguir,	obtida	a	partir	de	dados	do	Ministério	do	Meio	Ambiente,
mostra o crescimento do número de espécies da fauna brasileira ameaçadas de 
extinção.
Se mantida, nos anos subseqüentes, a tendência linear de crescimento mostrada na 
tabela, o número de espécies ameaçadas de extinção em 2011 será igual a: 
a) 461
b) 498
c) 535
d) 572
e) n.d.a.
a) g
b) h
c) k
d) m
e) f
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8. Em	fevereiro,	o	governo	da	Cidade	do	México,	metrópole	com	uma	das	maiores
frotas	de	automóveis	do	mundo,	passou	a	oferecer	à	população	bicicletas	como	opção	
de transporte. Por uma anuidade de 24 dólares, os usuários têm direito a 30 minutos de 
uso livre por dia. O ciclista pode retirar em uma estação e devolver em qualquer outra e, 
se quiser estender a pedalada, paga 3 dólares por hora.
A expressão que relaciona o valor f pago pela utilização da bicicleta por um ano, quando 
se utilizam x horas extras nesse período é a) f(x) = 3x
b) f(x) = 24
c) f(x)	=	27
d) f(x) = 3x + 24
e) f(x) = 24x + 3
9. O	 número	 de	 telefones	 fixos	 no	 Brasil	 continua	 em	 crescimento.	 De	 acordo
com dados que a Anatel divulgará nos próximos dias, de 2010 para 2011, esse total 
passou	de	42,1	milhões	para	43	milhões	de	linhas.
Supondo que o aumento observado de 2010 para 2011 seja linear e que assim se 
mantenha	nos	próximos	anos,	quantos	milhões	de	telefones	fixos	haverá,	no	Brasil,	em	
2013?
a)43,9
b)44,1
c)44,8
d)45,2
e)46,0
10. A	 reta	 representada	 no	 gráfico	 mostra	 o	 crescimento	 da	 densidade
demográfica	do	Estado	do	Rio	de	Janeiro	durante	o	período	de	2000	a	2010,	segundo	
dados	do	IBGE	(Instituto	Brasileiro	de	Geografia	e	Estatística).
Pelas	 informações	 apresentadas	
nesse	 gráfico,	 a	 densidade	
demográfica,	 em	 habitantes	 por	
quilômetro	 quadrado,	 em	 2008,	
era de:
a)364,87
b)357,79
c)346,63
d)335,47
e)329,34
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COMO	A	BANCA		CESPE/CEBRASPE	JÁ	COBROU	ISSO?
1. Considerando que, em determinado dia, a quantidade de homens e mulheres,
em	um	shopping	center,	entre	10	h	e	20	h,	seja	dada,	respectivamente,	pelas	expressões	
y = 5t + 200 e x = 3t + 234, em que t seja a hora correspondente, julgue os itens que se 
seguem.
A	quantidade	de	homens	no	shopping	torna-se	igual	à	quantidade	de	mulheres	
antes	das	18	h.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão de Função de 1º Grau. 
2. Considerando que, em determinado dia, a quantidade de homens e mulheres,
em	um	shopping	center,	entre	10	h	e	20	h,	seja	dada,	respectivamente,	pelas	expressões	
y = 5t + 200 e x = 3t + 234, em que t seja a hora correspondente, julgue os itens que se 
seguem.
Ao longo do dia em questão, a quantidade de homens dentro do shopping 
aumentou, enquanto que a quantidade de mulheres no shopping diminuiu.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão de Função de 1º Grau. 
3. Considerandoque, em determinado dia, a quantidade de homens e mulheres,
em	um	shopping	center,	entre	10	h	e	20	h,	seja	dada,	respectivamente,	pelas	expressões	
y = 5t + 200 e x = 3t + 234, em que t seja a hora correspondente, julgue os itens que se 
seguem.
A	quantidade	de	pessoas	no	shopping	center,	às	20	h,	é	superior	à	quantidade	
de	pessoas	às	10	h.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão de Função de 1º Grau. 
4. Considerando que, em determinado dia, a quantidade de homens e mulheres,
em	um	shopping	center,	entre	10	h	e	20	h,	seja	dada,	respectivamente,	pelas	expressões	
y = 5t + 200 e x = 3t + 234, em que t seja a hora correspondente, julgue os itens que se 
seguem.
A cada hora, a quantidade de homens aumenta 20 unidades a mais do que a 
quantidade de mulheres.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão de Função de 1º Grau. 
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5. O	 efetivo	 de	 uma	 agência	 de	 inteligência	 é	 formado	 por	 30	 oficiais	 de
inteligência,	 70	 agentes	 de	 inteligência	 e	 40	 analistas.	 Para	 redigir	 um	 relatório	
operacional	são	necessários	3	oficiais	de	 inteligência,	8	agentes	de	 inteligência	e	1	
analista;	para	o	acompanhamento	de	investigado,	são	necessários	2	oficiais,	2	agentes	
e 4 analistas. Cada relatório operacional gera, para a agência, R$ 5.000 de resultado 
financeiro,	e	cada	acompanhamento	de	investigado,	R$	3.000.
A partir dessa situação hipotética, julgue o item seguinte.
 A função objetivo associada ao problema de otimização do resultado 
financeiro	é	expressa,	em	milhares	de	reais,	por	ƒ(x,	y)	=	3x	+	5y,	em	que	x	e	y	indicam,	
respectivamente,	as	quantidades	de	relatórios	operacionais	redigidos	e	de	operações	
de acompanhamento de investigado realizadas. 
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão de Função de 1º Grau. 
 Gabaritos 
Exercícios de Aula
1-A	 2-D	 3-E	 4-E	 5-E	 6-C	 7-B	 8-D	 9-C	 10-B
Exercícios		Banca	CESPE/CEBRASPE
1-C 2-E 3-C 4-E 5-E
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FUNÇÕES 
DE 2º GRAU
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Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função 
f	de	IR	em	IR	dada	por	uma	lei	da	forma	f(x)	=	ax²	+	bx	+	c,	onde	a,	b	e	c	são	números	
reais	e	a	≠	0.
f(x)	=	ax²	+	bx	+	c
O	gráfico	de	uma	função	polinomial	do	2º	grau	é	uma	curva	chamada	parábola.
Exemplos de função quadráticas:
f(x)	=	3x²	-	4x		+	1,	 onde	 a	=	3,	b	=	-4	e	c	=	1	
f(x)	=	x²	-1,		 onde	 a	=	1,	b	=	0	e	c	=	-1
f(x)	=	-	x²	+	8x,	onde	a	=	1,	b	=	8	e	c	=	0	
f(x)	=	-4x²,		 onde		 a	=	-4,	b	=	0	e	c	=	0
17. 2 Representação gráfica 
Ao	construir	o	gráfico	de	uma	função	quadrática	y	=	ax²	+	bx	+	c,	notaremos	
sempre que:
Outra relação importante na função do 2º grau é o ponto onde a parábola 
corta	o	eixo	y.	Verifica-se	que	o	valor	do	coeficiente	“c”	na	lei	de	formação	da	função	
corresponde ao valor do eixo y onde a parábola o corta.
17.1 DEFINIÇÃO 
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151
A	 análise	 do	 coeficiente	 "b"	 pode	 ser	 orientada	 pela	 análise	 de	 uma	 reta	
“imaginária” que passa pelo “c” e pelo vértice. Assim: 
Nos exemplos acima se a reta “imaginária” for crescente, b > 0 caso contrário 
b < 0 e no caso em que o vértice e o “c” coincidem, teremos b = 0 e uma simetria em 
relação ao eixo Y.
Atenção!
A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido 
para o radicando , chamado discriminante:
Complete as lacunas:
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152
17.3 Zero ou Raiz da Função
Chama-se	zeros	ou	raízes	da	função	polinomial	do	2º	grau	f(x)	=	ax²	+	bx	+	c,	com	
a	≠	0,	os	números	reais	x	tais	que	f(x)	=	0.
Para determinar as raízes, aplica-se a chamada fórmula de Bhaskara.
17.4 SOMA	E	PRODUTO	DAS	RAÍZES
A soma e o produto das raízes da função quadrática são dados pelas fórmulas:
17.5 VÉRTICE	DA	PARÁBOLA
O	vértice	da	parábola	constitui	um	ponto	 importante	do	gráfico,	pois	 indica	o	
ponto de valor máximo e o ponto de valor mínimo. 
De	acordo	com	o	valor	do	coeficiente	a,	os	pontos	serão	definidos,	observe:
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153
Para determinar o ponto de máximo (quando a < 0) ou ponto de mínimo (quando 
a > 0).
COORDENADAS	DO	VÉRTICE
Vamos	analisar	o	comportamento	da	função	f(x)	=	2x²	-	7x	+	5.
EXERCÍCIOS DE AULA
1. Baseado	no	gráfico	da	função	f(x)	=	ax²	+	bx	+	c,	com	a,	b,	e	c	,	pode-se	afirmar
que:
2. A	expressão	que	define	a	função	quadrática	f(x),	cujo	gráfico	está	esboçado
é::
a)f(x)	=	–2x²	–	2x	+	4.
b)f(x)	=	x²	+	2x	–	4.
c)f(x)	=	x²	+	x	–	2.
d)f(x)	=	2x²	+	2x	–	4.
e)f(x)	=	2x²	+	2x	–	2
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3. Os	possíveis	valores	de	K	para	que	a	função	f(x)	=	x²	-	kx	+	9	tenha	raízes	reais
e iguais é. 
a) 0 e 6.
b) 0 e -6.
c) 0.
d) 6 e -6 .
e) apenas 6.
4. Na	parábola	y	=	2x²	-	(m	-	3)x	+	5,	o	vértice	tem	abscissa	1.
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
5. O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela
equação	:	y	=		–	40x²	+		200x.	
Onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos após o 
lançamento. A altura máxima atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar 
corresponde, respectivamente a : 
a) 6,25 m, 5s
b) 250 m, 0s
c) 250 m, 5s
d) 250 m, 200s
e) 10.000 m , 5s
6. Considere	a	função	quadrática	f:	R→R,	cujo	gráfico	é	mostrado	a	seguir.
Para se obterem os zeros 
da função acima, basta 
resolver-se a equação do 
segundo grau
a) x²		-	2x	+	6	=	0
b)-x²/4+	x	+	3	=	0
c) –	x²	+	3/2 x	+	3	=	0
d)-x²	+	2x	-	6	=	0
e)-2x²	+	3x	+	6	=	0
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7. Na	função	real	f(x)	=	ax²	+	bx	+	c,	esboçada	no	gráfico	abaixo,	o	valor	de	f(6)	+
f(−2)	é	igual	a:
8. O	gráfico	de	uma	função	quadrática,	mostrado	na	Figura	a	seguir,	intersecta	o
eixo y no ponto (0,9), e o eixo x, nos pontos (-2, 0) e (13, 0).
9. O	gráfico	de	uma	função	f:	ℝ→ℝ	é	uma	parábola	cujo	x	do	vértice	é	igual	a	5.
Se	x		ℝ	é	tal	que	f(x)	=	f(x-4),	então	x	é	igual	a
a)7
b)8
c)9
d)10
e)11
10. A	 função	 	 f:	 [-2;4]	ϵ R,	 definida	 por	 f(x)	 =	 -x²	 +	 2x	 +3	 	 ,	 possui	 seu	 gráfico
apresentado a seguir. 
A)30
B)38
C)97
D)102
E)110
Se o ponto P(11,k) é um ponto da parábola, o 
valor de k será
a)5,5
b)6,5
c)7
d)7,5
e)9
O valor máximo assumido pela função f é:
a)6
b)5
c)4
d)3
e)1
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COMO	A	BANCA	CESPE/CEBRASPE	JÁ	COBROU	ISSO?
1. Em	um	pequeno	município,	às	x	horas	de	determinado	dia,0	≤	x≤	24,	f(x)=	100	×
(x²	+	24x+	1)	representa	a	quantidade	de	clientes	de	uma	operadora	de	telefone	celular	
que estavam usando o telefone.
Com	base	nessas	informações,	julgue	o	item	a	seguir.
O	 valor	 de	 f(8,3)	 representa	 a	 quantidade	 de	 clientes	 que	 estavam	 usando	 o	
celular	às	8	horas	e	30	minutos.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão de Função de 2º Grau. 
Tendo	como	referência	as	funções	f(x)	=	x²	–	5x	+	4	e	g(x)	=	x²	–	3,	em	que	–∞	<	x	<	+∞,	
julgue o item que se segue.
No	sistema	de	coordenadas	cartesianas	ortogonais	xOy,	os	gráficos	das	funções	y	=	
f(x)	e	y	=	g(x)	se	interceptam	no	ponto	de	coordenadas	(7/5,	–26/25).
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão de Função de 2º Grau. 
2. Em	um	pequeno	município,	às	x	horas	de	determinado	dia,0	≤	x≤	24,	f(x)=	100
×	(-x²	+	24x+	1)	representa	a	quantidade	de	clientes	de	uma	operadora	
de telefone celular que estavam usando o telefone.
Com	base	nessas	informações,	julgue	o	item	a	seguir.
Em	um	sistema	de	coordenadas	cartesianas	ortogonais,	o	gráfico	da	função	f(x)
é uma parábola com a concavidade voltada para cima.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão de Função de 2º Grau. 
3. Em	determinado	dia,	a	quantidade	Q	de	serviços	administrativos	demandados
por	usuários	de	determinado	departamento	da	UnB,	às	t	horas,	pôde	ser	modelada	pela	
função	quadrática	Q(t)	=	at²	+	bt	+	c,	em	que	a,	b	e	c	são	constantes	reais	e	a	≠	0.	Nesse	
departamento,	 o	 expediente	 inicia-se	 às	 8	 horas	 da	 manhã	 e,	 nesse	 dia,	 a	 demanda	
máxima	 ocorreu	 às	 11	 horas	 da	 manhã,	 com	 o	 atendimento	 de	 Qmáx	 =	 54	 usuários.	
Com referência a esse modelo, julgueo próximo item.
Na	situação	apresentada,	o	coeficiente	a	é,	necessariamente,	negativo.	
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão de Função de 2º Grau. 
4. Julgue	o	item	subsequente,	relativo	a	função	e	matemática	financeira.
O	valor	de	máximo	para	a	função	f(x)	=	–2x²	+	96x	+	440	ocorre	em	x	=	28.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão de Função de 2º Grau. 
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157
5. A	respeito	de	números	reais	e	de	funções	de	variáveis	reais,	julgue	o	item	que
se segue.
O	menor	valor	de	f(x)	=	-3x²	+	9x	-6	ocorre	em	x	=	3/2.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão de Função de 2º Grau. 
6. O custo para a produção mensal de x milhares de unidades de certo produto
é	de	x²	+	2x	reais.	O	preço	de	venda	de	x	milhares	desse	produto	é	de	4x	+	24	reais.	
Nessas	condições,	julgue	os	itens	a	seguir.
O lucro máximo da empresa será obtido com a produção e venda de 1.000 
unidades do produto.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão de Função de 2º Grau. 
7. O	custo	para	a	produção	mensal	de	x	milhares	de	unidades	de	certo	produto
é	de	x²	+	2x	reais.	O	preço	de	venda	de	x	milhares	desse	produto	é	de	4x	+	24	reais.	
Nessas	condições,	julgue	os	itens	a	seguir.
A empresa terá prejuízo se produzir mais que 6.000 unidades do produto por mês.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão de Função de 2º Grau. 
8. Tendo	como	referência	as	funções	f(x)	=	x²	–	5x	+	4	e	g(x)	=	x²	–	3,	em	que	–∞	<
x	<	+∞,	julgue	o	item	que	se	segue.
A	função	f(x)	é	decrescente	no	intervalo	(–∞,	5/2]	e	crescente	no	intervalo	[5/2,	+∞).
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão de Função de 2º Grau. 
9.	Em	determinado	dia,	a	quantidade	Q	de	serviços	administrativos	demandados
por	 usuários	 de	 determinado	 departamento	 da	 UnB,	 às	 t	 horas,	 pôde	 ser	 modelada	
pela	função	quadrática	Q(t)	=	at²	+	bt	+	c,	em	que	a,	b	e	c	são	constantes	reais	e	a	≠	
0. Nesse	 departamento,	 o	 expediente	 inicia-se	 às	 8	 horas	 da	 manhã	 e,	 nesse	 dia,	 a
demanda	máxima	ocorreu	às	11	horas	da	manhã,	com	o	atendimento	de	Qmáx	=	54
usuários. Com referência a esse modelo, julgue o próximo item.
De acordo com o modelo, se, nesse dia, no início do expediente não havia 
nenhuma demanda de usuários por serviços administrativos nesse departamento, 
então	às	13	horas	também	não	havia	nenhum	serviço	administrativo	sendo	demandado.	
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão de Função de 2º Grau. 
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158
10. Em	 um	 pequeno	 município,	 às	 x	 horas	 de	 determinado	 dia,0	 ≤	 x≤	 24,	 f(x)=
100	×	(x²	+	24x+	1)	representa	a	quantidade	de	clientes	de	uma	operadora	de	telefone	
celular que estavam usando o telefone.
Com	base	nessas	informações,	julgue	o	item	a	seguir.
Em	cada	hora,	das	7h	às	17h	desse	dia,	a	quantidade	de	usuários	dessa	operadora	
que estavam usando o celular é maior ou igual a 12.000.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão de Função de 2º Grau. 
11.	Em	determinado	dia,	a	quantidade	Q	de	serviços	administrativos	demandados
por	usuários	de	determinado	departamento	da	UnB,	às	t	horas,	pôde	ser	modelada	pela	
função	quadrática	Q(t)	=	at²	+	bt	+	c,	em	que	a,	b	e	c	são	constantes	reais	e	a	≠	0.	Nesse	
departamento,	 o	 expediente	 inicia-se	 às	 8	 horas	 da	 manhã	 e,	 nesse	 dia,	 a	 demanda	
máxima	ocorreu	às	11	horas	da	manhã,	com	o	atendimento	de	Qmáx	=	54	usuários.	
Com referência a esse modelo, julgue o próximo item.
Segundo o modelo apresentado, se, nesse dia, no início do expediente, havia a demanda 
de	usuários	por	quatro	serviços	administrativos,	então	Q(t)	=	50/9	(t	−11)²	+	54
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão de Função de 2º Grau. 
12. Tendo	como	referência	as	funções	f(x)	=	x²	–	5x	+	4	e	g(x)	=	x²	–	3,	em	que	–∞
<	x	<	+∞,	julgue	o	item	que	se	segue.	A	função	g(x)	é	ímpar.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão de Função de 2º Grau. 
12. Uma creperia vende, em média, 500 crepes por semana, a R$ 20,00 a unidade.
O proprietário estima que, para cada real de aumento no preço unitário de venda dos 
crepes, haverá redução de dez unidades na média semanal de vendas. Com base nessas 
informações,	julgue	os	itens	seguintes.
Caso o proprietário aumente em x reais o preço unitário de venda dos crepes, 
então	o	faturamento	médio	semanal	será	de	10.000	+	500x	–	10x²	reais.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão de Função de 2º Grau. 
Gabaritos 
Exercícios de Aula
1-C	 2-D	 3-D	 4-E	 5-C	 6-B	 7-B	 8-E	 9-A	 10-C
Exercícios da Banca CESPE/CEBRASPE
1-E	 2-C	 3-E	 4-C	 5-E	 6-E	 7-C	 8-C	 9-C	 10-E	 11-C	 12-E
13-E 14-E
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159
EQUAÇÃO EXPONENCIAL
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160
18.1DEFINIÇÃO
Equações	 são	 expressões	 algébricas	 matemáticas	 que	 possuem	 um	 sinal	 de	
igualdade entre duas partes. A intenção de resolver uma equação é determinar o valor 
da incógnita (valor desconhecido), aplicando técnicas resolutivas. 
Equações	exponenciais	são	aquelas	em	que	a	incógnita	se	encontra	no	expoente	
de pelo menos uma potência. 
A	 forma	 de	 resolução	 de	 uma	 equação	 exponencial	 permite	 que	 as	 funções	
exponenciais sejam também resolvidas de forma prática.
18.2 Exponenciais Do 1º Tipo
	 São	 equações	 resolvidas	 eliminando	 as	 bases	 comuns	 nos	 dois	 lados	 da	
igualdade.
Para resolvermos uma equação exponencial precisamos igualar as bases, assim 
podemos considerar os expoentes são iguais. 
Exemplo :
3 	=	2187	(fatorando	o	número	2187	temos:	3 ) 
3 =	3
x	=	7		
O	valor	de	x	na	equação	é	7.
EXERCÍCIOS DE AULA
Determine	a	solução	das	equações	exponenciais.
a)2 x -1 = 32
b)3 	-x	=	1/27
 
Chamamos	de	função	exponencial	qualquer	função	de		R	em		R,	definida	por	f(x)	
=	bx	,	onde	:	b	∈	R+*	e	b		1
x
x
7
7
33
2
3 x+2c)( √5)x-3 = 0,04d)(3/5) = 9/25
18.3 FUNÇÃO EXPONENCIAL
|
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161
1. Esboce	o	gráfico	das	seguintes	funções	:
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162
2. Em uma cultura, o número de bactérias é dado por f (t) = 100.3 0,5t, onde t é o
tempo	em	horas.	Quando	o	número	de	bactérias	for	9000,	o	valor	de	t	será:
a) 1
b) 2
c) 4
d) 1000.34500
e) 30004500
3. Uma	institução	financeira	oferece	um	tipo	de	aplicação	tal	que	,	após	t	meses,
o montante relativo ao capital aplicado é dado por ,(t) = C.20,04t , onde C>0. O menor
tempo possível para quadriplicar uma certa quantia nesse tipo de aplicação é:
a) 5 meses
b) 2 anos e 2 meses
c) 4 anos e 2 meses
d) 6 anos e 4 meses
e) 8	anos	e	5	meses
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163
4. A	figura,	mostra	um	esboço	gráfico	da	função	y=	ax	+	b	=	∈	IR.	a>	0,	a	=	1.
Então o valor de a2 - b2 é:
5. A	função	representada	no	gráfico	é	definida	por	f(x) = a.bx . Então:
6. Um banco está planejando abrir uma nova agência em uma cidade do interior.
O departamento de Marketing estima que o número de clientes na agência (NC)em 
função do número de meses decorridos (t) desde a inauguração seguirá a seguinte 
função exponencial.
NC(t) = 100 x (2 )
Quantos	meses	completos	após	a	inauguração	o	número	estimado	de	clientes	
da	agência	será	superior	a	2.000?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
t
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164
COMO	A	BANCA	CESPE/CEBRASPE	JÁ	COBROU	ISSO?
1. Julgue	o	próximo	item,	relativo	a	funções	exponenciais.
As	 funções	 exponenciais	 f(x)	 =	 2 e	 g(x)	 =	 0,5xsão	 crescentes	 e	 as	 suas	
imagens	coincidem com o conjunto de todos os números reais positivos.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão conceitual de Função Exponencial. 
2. Tendo em vista que, em determinado mês de 31 dias, a precipitação pluvial
média diária em uma localidade é representada, em mm, pela função 
P(t)	=	25.e 	,	para	t	de	1	a	31,	julgue	o	item	subsequente.
Em nenhum dia do referido mês ocorreu precipitação pluvial média inferior a 10 mm.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão conceitual de Função Exponencial. 
3. Tendo em vista que, em determinado mês de 31 dias, a precipitação pluvial
média diária em uma localidade é representada, em mm,pela função P(t) = 25.
e ,	para	t	de	1	a	31,	julgue	o	item	subsequente.	A	precipitação	pluvial	média	no	dia	
1.º foi igual ao dobro da ocorrida no último dia desse mês.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão conceitual de Função Exponencial. 
4. Tendo em vista que, em determinado mês de 31 dias, a precipitação pluvial
média	diária	em	uma	localidade	é	representada,	em	mm,	pela	função	P(t)	=	25.e 	,	
para t de 1 a 31, julgue o item subsequente.
Nesse mês, a maior precipitação média ocorreu no dia 16.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão conceitual de Função Exponencial. 
5. Tendo em vista que, em determinado mês de 31 dias, a precipitação pluvial
média	diária	em	uma	localidade	é	representada,	em	mm,	pela	função	P(t)	=	25.e 	,	
para t de 1 a 31, julgue o item subsequente.
A precipitação pluvial média não excedeu 30 mm nesse mês.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão conceitual de Função Exponencial. 
x
-(t-16)²
-(t-16)²
-(t-16)²
-(t-16)²
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6. Um investimento em que os juros são capitalizados a cada momento é exemplo 
de	aplicação	da	função	exponencial	expressa	pela	equação	y	=	f(t)	=	C	×	bt	,	em	que	C	
> 0 é o capital inicial, t é o tempo e b > 1 é um número real. Assinale a opção em que o
gráfico	apresentado	pode	representar	a	função	y	=	f(t)	dada,	definida	para	todo	t	real.
Comentário: questão	 de	 identificação	
gráfica	de	Função	Exponencial.
Exercícios de Aula
1-* 2-C 3-C 4-E 5-A 6-E 
Questões Banca CESPE/CEBRASPE 
1-E 2-E 3-E 4-C 5-C 6-C
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ESTATÍSTICA
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167
A ciência encarregada de coletar, organizar e interpretar dados é chamada de 
ESTATÍSTICA. Seu objetivo é obter compreensão sobre os dados coletados. A coleta, 
organização e a descrição dos dados estão a cargo da Estatística Descritiva. A análise 
e	a	interpretação	dos	dados	ficam	a	cargo	da	Estatística	Inferencial.
Quando	 registramos	 o	 número	 de	 habitantes,	 de	 nascimentos,	 de	 óbitos,	
estamos	fazendo	uso	dos	elementos	da	Estatística.	Quando	conseguimos	coletar	os	
dados de toda a população estamos realizando um censo e normalmente, é melhor 
trabalhamos	 com	 amostras	 para	 obter	 informações	 sobre	 toda	 a	 população	 por	
questão	de	eficiência	afinal	quanto	tempo	seria	necessário	para	efetuar	uma	pesquisa	
de	intenção	de	voto	numa	população	de	200	milhões	de	habitantes	como	o	Brasil?		
Assim, utilizamos amostras porque é possível obter resultados muito precisos 
de uma forma mais barata e rápida.
Nomenclatura
• População: quantidade total de indivíduos com mesmas características
submetidos a uma determinada coleta de dados.
•Amostra: como	em	geral	as	populações	são	muito	grandes,	se	faz	necessário
o uso de amostras para representá-las.
Estas são formadas por uma fração da população em estudo.
•Frequência Absoluta: quantidade de vezes que determinado evento ocorreu.
•Frequência Relativa: é a razão entre a frequência absoluta e a quantidade de
elementos da população estatística. (Normalmente em %).
•Frequência Acumulada: é o total acumulado (soma) de todas as classes
anteriores até a classe atual.
Exemplo
Uma pesquisa foi realizada com os 200 policiais, no intuito de analisarem as 
preferências	por	esportes.	Dentre	as	opções	esportivas	foram	fornecidas	as	seguintes	
opções:	futebol,	vôlei,	basquete,	natação,	tênis	e	ciclismo.	Observe	os	resultados:	
Futebol:	70
Vôlei: 50 
Basquete: 40
Natação: 20
Tênis: 15
Ciclismo: 5 
19.1 DEFINIÇÃO
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168
Exemplo
Às pessoas presentes em um evento automobilístico foi feita a seguinte pergunta: 
Qual	a	sua	marca	de	carro	preferida?
Foi então construída uma tabela para melhor dispor os dados:
Exemplo
Em um setor de uma delegacia, os salários dos 60 funcionários foram divididos 
de acordo com a seguinte informação:
R$ Frequência Absoluta
600 a 690 6
690	a	780 15
780	a	870 30
870	a	960 6
960 a 1050 3
19.2 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
O	uso	do	gráfico	nas	representações	de	situações	estatísticas	é	de	grande	valia,	
pois	auxilia	na	visualização	dos	dados.	É	prudente,	porém,	observar	o	tipo	de	gráfico	
escolhido	para	a	representação,	pois	um	gráfico	inadequado	pode	omitir	dados.
Os	tipos	de	gráficos	mais	comuns	são:	o	gráfico	de	colunas,	de	barras,	o	histograma,	o	
gráfico	de	setores,	também	chamado	de	“torta”	ou	“pizza”	e	o	gráfico	de	linha	poligonal.
Frequência absoluta: quantas 
vezes cada marca de automóvel foi 
citada.
Frequência relativa é dada em 
porcentagem. 
A marca Ford tem frequência 
relativa	4	em	24	ou	4/24	ou	aprox.	
0,166 ou 16,66%.
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169
GRÁFICO DE COLUNAS
Distribuição das notas de Matemática de cinco alunos da 2ª série, ao longo do 
ano	de	2008.
 1 2 3 4 5
GRÁFICO DE BARRAS
Salário	 mensal	 dos	 funcionários	 de	 alunos	 do	 QUEBRANDO	 AS	 BANCAS	
aprovados na Polícia:
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170
GRÁFICO DE SETORES
Durante	o	primeiro	semestre	de	2009	a	fatura	telefônica	de	uma	delegacia	ficou	
distribuída.
Do	ano	2002	a	2008	o	mercado	financeiro	registrou	uma	grande	oscilação	no	
valor	das	ações	X	e	Y,	conforme	representado	no	gráfico	a	seguir:
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171
HISTOGRAMA 
É	uma	representação	gráfica	(um	gráfico	de	barras	verticais	ou	barras	horizontais)	
da distribuição de frequências de um conjunto de dados quantitativos contínuos. 
O	histograma	pode	ser	um	gráfico	por	valores	absolutos	ou	frequência	relativa	.
Assim,	ao	construir	o	histograma,	cada	retângulo	deverá	ter	área	proporcional	à
frequência	relativa	(ou	à	frequência	absoluta)	correspondente.
No caso em que os intervalos são de tamanhos (amplitudes) iguais, as alturas dos 
retângulos	serão	 iguais	às	frequências	relativas	 (ou	 iguais	às	frequências	absolutas)	
dos intervalos correspondentes.
Estatura	dos	alunos	do	curso	para	Policia	Rodoviária	Federal	do		QUEBRANDO	
AS BANCAS.
Distribuição de frequência pontual: dados quantitativos discretos
A construção de uma tabela de distribuição de frequência pontual é a construção 
de uma tabela simples com diferentes valores observados da variável com suas 
frequências absolutas, denotadas por (ƒi) (o índice i corresponde ao número de linhas 
da Tabela).
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172
Frequência Acumulada
É	 o	 total	 das	 frequências	 de	 todos	 os	 valores	 inferiores	 ao	 limite	 superior	 do	
intervalo de uma dada classe.
Resumindo, repete-se a frequência absoluta da primeira classe e para calcular a 
próxima frequência acumulada, somamos a frequência acumulada anterior com a 
frequência absoluta da classe correspondente.
Densidade de Frequência
Densidade de frequência de uma classe é a razão (quociente) entre a frequência 
da classe (absoluta ou relativa) e a amplitude da classe.
19.3 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL OU MEDIDAS DE POSIÇÃO
O	que	são	medidas	de	POSIÇÃO?
São	dados	que	nos	orientam	quanto	à	posição	da	distribuição	em	relação	ao	eixo	
horizontal	do	gráfico	da	curva	de	frequência.	
Muitas vezes será mais prático usar um número para representar um conjunto de dados.
Em geral, esse número assume perfeitamente as características de todo o 
conjunto, ou pelo menos da grande maioria desses números. 
Ele é um representante desse conjunto. 
As	 medidas	 de	 posições	 mais	 importantes	 são	 média	 aritmética,	 mediana	 e	
moda
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173
19.4 MÉDIA	ARITMÉTICA
A média aritmética é uma das formas de obter um valor intermediário entre 
vários valores. Ela é considerada uma medida de tendência central e é muito utilizada 
no cotidiano. Ela é na verdade, um valor de “equilibrio” .
Para isso aqueles que estão acima da média doam para os que estão abaixo 
da	média.	É	um	perde-ganha	exato:	Tudo	que	se	doa	é	exatamente	igual	a	tudo	que	se	
perde. 
Já podemos aproveitar e chamar esses valores cedidos ou recebidos por 
DESVIO. Para calculá-la basta somar todos os elementos e dividí-los pelo total de 
elementos.Exemplo Resolvido
Calcule a média anual de Carlos na disciplina de Matemática com base nas 
seguintes notas bimestrais: 
1ºBimestre = 6,0 
2ºBimestre = 9,0 
3ºBimestre	=	7,0	4ºBimestre	=	5,0	
Propriedades
Vamos estudar algumas propriedades importantes da média aritmética.
a) A média aritmética sempre existe e é única.
Dada uma lista qualquer de números, é sempre possível calcular a média
aritmética e ela é sempre única.
b) A média aritmética x de uma lista de números sempre oscila entre o maior
e o menor dos valores. 
Não tem como você calcular a média aritmética e ela resultar em um valor menor 
do que o menor dos números ou maior do que o maior dos números.
c) Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante K de todos os valores de uma
lista de números, a média aumentará (ou diminuída) exatamente esta constante. 
Exemplo
Num	 grupo	 de	 6	 alunos	 do	 QUEBRANDO	 AS	 BANCAS	 as	 idades	 são	
24,26,28,31,32,e	33	anos.
Se	a	média	de	idade	atual	do	grupo	é	de		29	anos,	podemos	afirmar	que	daqui	há	12	
anos essa média será de 41 anos.
( ) Certo
( ) Errado
d)Multiplicando-se (ou dividindo-se) uma constante K de todos os valores de
uma	lista	de	números,	a	média	da	lista	fica	multiplicada	(ou	dividida)	por	esta	constante.	
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174
Exemplo
Num	 grupo	 de	 6	 alunos	 do	 QUEBRANDO	 AS	 BANCAS	 as	 idades	 são	
24,26,28,31,32,e	33	anos.	Se	a	média	de	idade	atual	do	grupo	é	de		29	anos,	podemos	
afirmar	que	se	dobrarmos	as	idades	dos	6	alunos,	a	média	também	será	dobrada.	
( ) Certo
( ) Errado
e) A	soma	algébrica	dos	desvios	tomados	em	relação	à	média	é	nula.
Exemplo
Num	 grupo	 de	 6	 alunos	 do	 QUEBRANDO	 AS	 BANCAS	 as	 idades	 são	
24,26,28,31,32,e	33	anos.	A	diferença	entre	cada	idade	e	a	média	de	idade	entre	eles	é	
nula.
( ) Certo
( ) Errado
E	se	sair	ou	entrar	alguém	no	grupo???	
Exemplo
Num	 grupo	 de	 6	 alunos	 do	 QUEBRANDO	 AS	 BANCAS	 as	 idades	 são	
24,26,28,31,32,e	33	anos.	A	média	após	a	saída	do	aluno	mais	jovem	será	de	28	anos.
( ) Certo
(				)	Errado 
Média Ponderada 
Ponderar é sinônimo de pesar. No cálculo da média ponderada, multiplicamos 
cada valor do conjunto por seu "peso", isto é, sua importância relativa.
Exemplo Resolvido
Paulo	teve	as	seguintes	notas	nas	provas	de	Matemática	no	ano	de	2019:	8,5;	7,0;	
9,5 e 9,0, nas quais os pesos das provas foram 1, 2, 3 e 4, respectivamente. 
Para obter uma nota que representará seu aproveitamento no bimestre, 
calculamos a média aritmética ponderada.
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175
MÉDIA	PARA	DADOS	AGRUPADOS	POR	VALOR
Se os dados forem agrupados por valor, a ideia é praticamente a mesma da média 
ponderada	:	aplicar	pesos	. 
Exemplo
Foi feita uma pesquisa sobre as idades dos alunos de uma turma do CESIC e com 
os dados foi montada a tabela a seguir.
Interpretando a tabela, temos : 
21	alunos	com	25	anos;	47	alunos	com	30	anos;	54	alunos	com	34	anos;
41	alunos	com	38	anos	e	37	alunos	com	41	anos.
Assim a frequência funcionará como o peso na média ponderada. 
Para calcular a média, vamos multiplicar cada valor pela sua respectiva frequência, 
somar os resultados e dividir pela soma das frequências, que é o total de pessoas 
entrevistadas.
Sendo assim a média será dada por :
6846	/	200	=	34,23
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176
MÉDIA	PARA	DADOS	AGRUPADOS	POR	CLASSE
Há casos em que os dados podem vir apresentados em classes, como no caso 
do Histograma.
Lembre-se que quando os dados são agrupados em classes, não temos como 
definir	o	valor	exato	de	cada	dado	,	mas	sim	seu	valor	máximo	e	mínimo.
 Nesse caso iremos buscar o valor médio de cada classe e assumir que ele 
representa a média da sua respectiva classe.
Denominamos limites de classe os extremos de cada classe. 
O menor número é o limite inferior da classe (linf) e o maior número, o limite 
superior da classe (lsup). 
Amplitude de um intervalo de classe ou, simplesmente, intervalo de classe é a 
medida	do	intervalo	que	define	a	classe.	
É	 obtida	 pela	 diferença	 entre	 os	 limites	 superior	 e	 inferior	 dessa	 classe	 e	
designamos	por	ℎ.
Assim:			 ℎ	=	lsuo− linf
Amplitude total da distribuição (AT) é a diferença entre o limite superior da última 
classe (limite superior máximo) e o limite inferior da primeira classe (limite inferior 
mínimo). AT = lSMax	–	lIMin
Exemplo
Uma	pesquisa	sobre	estaturas	foi	realizada	com	40	alunos	do	QUEBRANDO	AS	
BANCAS e os dados colocados na tabela a seguir.
 
 A quarta classe, por exemplo, 
indica	 que	 há	 8	 alunos	 com	 estatura	
entre		172		e	176	cm.	Na	terceira	classe	
temos linf	=	168	e	
lsup=	172.	
AT	=	184	−	160	=	24	cm
O símbolo |- será muito utilizado 
e	 significa	 que	 incluímos	 o	 limite	
inferior do intervalo e excluímos o 
limite superior do intervalo.
 Para calcular a média para 
dados em classes, vamos utilizar o 
ponto médio de cada classe .
 Esse ponto médio é o ponto 
que divide o intervalo de classe em 
duas partes iguais, calculado pela 
média aritmética dos limites de cada 
classe. Vamos agora multiplicar cada ponto médio pela sua respectiva frequência, somar 
os resultados e dividir pelo total de alunos 
consultados.
 Para calcular a média iremos dividir o 
valor	acumulado	xi.fi		pela	soma	das	frequencias	
(fi).
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177
19.5 MODA	-	MODA	PARA	DADOS	NÃO-AGRUPADOS
A moda de um conjunto de números não-agrupados é o valor que ocorre com 
maior frequência. 
A moda pode não existir e também não ser única.
Exemplos
1)O	conjunto	de	números:	2,	2,	3,	4,	5,	5,	5,	6,	6,	6,	6,	6,	7,	9	tem	moda	6.
2)O	conjunto	de	números:	7,	6,	6,	8,	8,	9	tem	modas	6	e	8.	É,	portanto,	dito	bimodal.
3)Seja	o	rol	de	dados:	1,	3,	7,	9,	10.	Como	todos	os	dadostêm	a	mesma	frequência,
dizemos que não existe moda.
Moda para Dados Agrupados Sem Intervalos de Classe
 Se os dados forem apresentados numa tabela com frequências, mas não 
agrupados em classes, a localização da moda é tranqüila.
Precisaremos		verificar		qual	o	valor	apresenta		maior	frequência.
Assim	basta	verificar	que	a	maior	
frequencia	é	20	e	ela	se	refere	à	altura	de	
171	cm.
Estatura(cm) Frequência
160 5
162 10
164 11
171 20
175 10
182 8
185 5
188 3
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178
Propriedades da Moda
A moda possui duas propriedades:
a) Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante k de todos os valores de uma
variável,	a	moda	do	conjunto	fica	aumentada	(ou	diminuída)	dessa	constante	k.
Exemplo 
Na	lista	de	valores	(2,2,3,3,4,4,4,4,5,5,6,8,9,)	a	moda	é	4	.	Caso	se	some	2	unidades	
a	todos	os	valores	da	lista,	teremos	os	novos	valores	(4,4,5,5,6,6,6,6,7,7,8,10,11)	cuja	
moda	será	6,	portanto	,	a	moda	anterior	4	somada	às	mesmas	2	unidades.
b) Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma
constante	k,	a	moda	do	conjunto	fica	multiplicada	(ou	dividida)	por	essa	constante	k.
Exemplo
Na	lista	de	valores	(2,2,3,3,4,4,4,4,5,5,6,8,9,)	a	moda	é	4	.	Caso	se	multiplique	por		
2	 todos	 os	 valores	 da	 lista,	 teremos	 os	 novos	 valores	 (4,4,6,6,8,8,8,8,10,10,12,16,18	
cuja	moda	será	8,	portanto	,	a	moda	anterior	4	multiplicada	por	2	.
19.6 MEDIANA (Md)
A mediana (ou valor mediano) é outra medida de posição que se encontra no 
centro de uma série de números, estando estes dispostos em ordem crescente ou 
decrecente. 
Sendo assim, a mediana separa o conjunto em dois subconjuntos de mesmo 
número de elementos.
Se o número de dadas do rol for par, temos que a mediana é a média aritmética 
dos dois valores centrais.
Exemplos:
1) A	mediana	dos	dados	1,	2,	3,	4,	5,	9,	12,	16,	17	é	5
2) A	mediana	em	15,	12,	10,	2	vale		(12	+	10)	/2	=	11.
Como	definir	a	posição	da	Mediana
População com N° de Elementos Ímpar:
Para	a	seguinte	população:			{1,	3,	5,	7,	9}	a	mediana	será		o	3º	elemento	que	é	5	
Caso	a	lista	seja	grande,	para	descobrir	a	posição	do	termo	central	basta	fazer	(n+1)	/	2	
Por exemplo, numa lista de 99 termos o termo central ocupará a posição 50, pois 
99+1/	2	=	100/2	=	50.
Essa será a posição do termo central,logo precisaremos buscar seu valor de 
forma	rápida	e	eficaz.
Como	definir	a	posição	da	Mediana
População com N° de Elementos Par:
Na	seguinte	população:	{1,	2,	4,	8,	9,	10}
Não há um valor central, portanto a mediana é calculada tirando-se a média dos 
dois valores centrais (no caso, o 3° e 4° elementos).
Logo,	o	valor	da	mediana	é	=	(4+8)/2	=	6	
Caso a lista seja grande, para descobrir a posição do termo central usaremos 
n/2	.
Por exemplo, numa lista de 100 termos, o termo central ocupará a posição 50,pois 
100/2	=	50.	Dai	fazemos	a	média	do	termo	de	posiçao	50	e	o	de	posição	51.
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179
Exemplo
Imagine que foram coletadas as idades dos alunos de uma turma preparatória 
para o concurso da polícia federal e os dados dispostos na seguinte tabela com as 
notas de seus alunos.
Como o número de termos é ímpar, então a mediana será o termo de posição : 
(n	+	1)	/	2	=	(39	+	1)/2	=	40/2	=	20
Portanto,		d	=	T20	=	28	anos
Propriedades da Mediana
A mediana possui duas propriedades:
a) Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante k de todos os valores de uma
variável,	a	mediana	do	conjunto	fica	aumentada	(ou	diminuída)	dessa	constante	k.
Exemplo 
A	mediana	da	sequência	(4,	5	,	7,	8,	29)	é	o	termo	central	7.
Se		somarmos	2	unidades	a	cada	um	dos	valores	teremos	uma	nova	lista	(6	,	7	,	
9 , 10 , 31 ) cuja mediana sera 9.
Observe que como acrescentamos 2 unidades a cada um valores, a mediana 
também	aumentou	2	unidades	(de	7	foi	para	9).
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180
b) Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma
constante	k,	a	mediana	do	conjunto	fica	multiplicada	(ou	dividida)	por	essa	constante	
k.
Exemplo 
A	mediana	da	sequência	(4,	5	,	7,	8,	29)	é	o	termo	central	7.	Multiplicando	todos	
os valores da lista por 4, a mediana também será multiplicada por 4.
Isso	porque	a	nova	lista	sera	(16,	20	,28	,32	,	116)	
Como	era	de	se	esperar,	a	nova	mediana	é	igual	a	4	×	7	=	28.
EXERCÍCIOS DE AULA
1. Em um grupo de pessoas encontramos as seguintes idades: 20, 30, 50, 39,
20,	25,	41,	47,	36,	45,41,	52,	18,	41.	A	mediana	é	
a) 36.
b) 40.
c) 41.
d) 42.
e) 39.
2. Depois de jogar um dado em forma de cubo e de faces numeradas de 1 a 6,
por 10 vezes consecutivas,e anotar o número obtido em cada jogada, construí-se a 
seguinte tabela de distribuição de frequências.
A média, mediana e moda dessa distribuição de frequências são respectivamente: 
a) 3, 2 e 1
b) 3, 3 e 1
c) 3, 4 e 2
d) 5, 4 e 2
e) 6, 2 e 4
19.7 DESVIO	ABSOLUTO	MÉDIO
Se estamos interessados em medir a dispersão dos dados, os desvios em 
relação	à	média	são	bons		para	medir	a	dispersão	pois	definem	o	quão	afastados	da	
média estão os dados analisados.
O desvio absoluto médio também é chamado de desvio médio.
 Imagine que temos 2000 números em um conjunto, portanto temos 2000 
desvios	para	serem	definidos	e	isso	seria	trabalhoso.
Seria melhor termos um “representante” desse grupo que representasse todos os 
2000 desvios. Assim calculamos a média dos valores apresentados e, na sequencia os 
desvios.
Como	 são	 2000	 números,	 serão	 2000	 desvios	 em	 relação	 à	 média.	 Alguns	
desvios negativos, outros serão nulos e outros positivos. Se calcularmos o módulo de 
todos esses desvios, teremos apenas resultados positivos ou nulos.
Essa média dos módulos dos desvios é chamado de desvio médio.
Para	encontrá-lo		calculamos	os	desvios	em	relação	à	média,	calculamos	seus		
valores absolutos, somamos todos e dividimos por n.
Caso os dados sejam apresentados na forma 
agrupada, basta calcular a média ponderada dos 
desvios, usando as freqüências como os “pesos”.
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181
E num outro caso, se os dados estiverem agrupados em classe, vamos usar 
a mesma ideia utilizada no cálculo da média: vamos presumir que todos os valores 
coincidem com os pontos médios das suas respectivas classes.
19.8 VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO
A	variância	é,	por	definição,		a	média	aritmética	dos	quadrados	dos	desvios.
Devemos elevar cada um dos desvios ao quadrado, somar todos “respostas”, e dividir 
por n (quantidade de elementos). 
O	símbolo	da	variância	é	σ²	.	
A unidade da variância é o quadrado da unidade original utilizada. 
E lembre-se que : O desvio padrão é a raiz quadrada da variância e a variância é o 
quadrado do desvio padrão.
Exemplo
Vamos calcular a variância populacional dos seguintes valores de uma população: 
2,	5,7,	10,	13.	
A	média	dos	valores	apontados	é:	(2	+	5	+	7	+	10	+	13)		=	37	/	5
Se iniciarmos o calculo dos desvios, perderemos muito tempo e faremos muitos 
cálculos.
COMO	A	BANCA	CESPE/CEBRASPE	JÁ	COBROU	ISSO?
1. Considere	 que,	 a	 fim	 de	 avaliar	 despesas	 com	 salários	 do	 pessoal	 lotado
em órgãos do Poder Executivo, determinada secretaria de fazenda decidiu fazer um 
levantamento em quatro órgãos em relação ao mês de agosto de 2009. Os dados 
observados estão apresentados na tabela acima. 
Com	base	nessas	informações,	julgue	os	próximos	itens.
 Em agosto de 2009, os salários médios do pessoal nesses órgãos foram 
superiores a R$ 4.500,00. 
( ) Certo
( ) Errado 
Comentário: questão de média
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182
2. Com base nos dados da tabela anterior, extraídos do Relatório das Notas
Estatísticas	do	Censo	Escolar	de	2017,	do	INEP,	julgue	os	itens	a	seguir.
A média do quantitativo de docentes do Ensino médio entre os anos de 2013 
e	2017	foi	superior	à	média	do	quantitativo	de	docentes	da	educação	infantil	para	o	
mesmo período.
( ) Certo
( ) Errado 
Comentário: questão de média
A	 tabela	 acima	 mostra	 os	 números	 mensais	 de	 reclamações	 (N)	 feitas	 por	
usuários	de	telefonia	fixa,	registradas	em	uma	central	de	atendimento,	entre	os	meses	
de fevereiro a novembro de 2003. 
Considerando esses dados, julgue os itens que se seguem.
3. O	maior	desvio	absoluto	dos	números	mensais	de	reclamações	registradas	é
superior a 45.
( ) Certo
( ) Errado 
Comentário: questão de cálculo do desvio absoluto.
4. O desvio médio absoluto da sequência formada pelos números mensais de
reclamações	é	um	valor	entre	25	e	35.
( ) Certo
( ) Errado 
Comentário: questão de cálculo do desvio médio absoluto .
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183
Tendo em vista que, diariamente, a Polícia Federal apreende uma quantidade 
X, em kg, de drogas em determinado aeroporto do Brasil, e considerando os dados 
hipotéticos da tabela precedente, que apresenta os valores observados da variável X 
em	uma	amostra	aleatória	de	5	dias	de	apreensões	no	citado	aeroporto,	julgue	os	Itens:	
5. O	desvio	padrão	amostral	da	variável	X	foi	inferior	a	7	kg.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão de cálculo do desvio padrão .
6. A moda da distribuição dos valores X registrados na amostra foi igual a 22 kg.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão de cálculo da moda .
7. Acerca	de	probabilidade	e	estatística,	julgue	o	próximo	item.
Situação hipotética: Na revisão de um livro, o editor contou 20 páginas que
tiveram	0,	1,	2,	3	ou	4	erros;	36	páginas	que	tiveram	5,	6,	7,	8	ou	9	erros.	Prosseguindo,	
ele obteve os valores mostrados na tabela a seguir. 
Assertiva: Nesse caso, a frequência relativa para os dados da classe modal da 
tabela é de 40%.
( ) Certo
( ) Errado 
Comentário: questão de cálculo da frequencia relativa.
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184
Acerca de probabilidade e estatística, julgue o próximo item. 
Considere todos os números X tais que:
(1) X	não	pertence	ao	conjunto	{2,	4,	7,	9,	12,	14};
(2) o	conjunto	{X,	2,	4,	7,	9,	12,	14}	tem	média	aritmética	e	mediana	iguais.
Nesse caso, o produto de todos esses números X é inferior a 100.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão de cálculo da média e mediana com uso de raciocínio
logico e 
Gabaritos 
Exercícios de Aula
1-C 2-B
Exercícios da Banca CESPE/CEBRASPE
1-C	 2-E	 3-E	 4-E	 5-C	 6-C	 7-C	 8-E
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SÉRIES NUMÉRICAS
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Uma série numérica éuma sequencia de números que respeita uma “regra” , uma 
lei de formação.
Sendo	assim	todos	foram	produzidos	à	partir	de	uma	mesma	ideia.
Exemplos:
2,10,12,16,17,18,19,	?
2,4,6,8,10,	?
2,4,8,16,32,	?
Algumas	séries	são	criadas	por	regras	bem	especificas: 
Exemplo : Construa a serie ai	=	2.i-1	,	para	i	=	{1,2,3,4...}	 
20.2 PROGRESSÃO	ARITMÉTICA
Uma progressão aritmética (abreviadamente, P. A.) é uma sequência numérica 
em	que	cada	termo,	a	partir	do	segundo,	é	 igual	à	soma	do	termo	anterior	com	uma	
constante r.
O número r é chamado de razão da progressão aritmética. Alguns exemplos de 
progressões	aritméticas:
1,	 4,	 7,	 10,	 13,	 ...,	 é	 uma	 P.A	 em	 que	 a	 razão	 (a	 diferença	 entre	 os	 números	
consecutivos) é igual a 3.
-2,	-4,	-6,	-8,	-10,	...,	é	uma	P.A.	em	que	r	=	-2.
6, 6, 6, 6, 6, ..., é uma P.A. com r = 0.
Exemplo
Na	série	(5,	9,	13,	17,	21,	25,	29,	33,	37,	41,	45,	49,	...)	
r	=	a2	–	a1	=		9	–	5	=	4				ou		
r	=	a3	–	a2	=	13	–	9	=	4		ou			
r	=	a4	–	a3	=	17	–	13	=	4	e	assim	por	diante.
DICA: Observe que a razão é constante e pode ser calculada subtraindo um 
termo qualquer pelo seu antecessor.
Uma	 P.A.	 pode	 ser	 classificada	 em	 crescente,	 decrescente	 ou	 constante	
dependendo de como é a sua razão (R).
Exemplos:
I	 –	(5,	8,	11,	14,	17,	20,	23,	26,	...)		 CRESCENTE	pois	r	=	+	3
II	 –	(26,	18,	10,	2,	–	6,	–	14,	–	22,	...)		 DECRESCENTE	pois	r	=	–	8
III	 –	(7,	7,	7,	7,	7,	...)		 ESTACIONÁRIA	OU	CONSTANTE	pois	r	=	0	
TERMO GERAL ou enésimo termo ou último termo
Numa P.A. de n termos, chamamos de termo geral ou enésimo termo o ultimo 
termo ou o termo genérico dessa sequência. 
20.1 DEFINIÇÃO
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 Atenção!
a20	=	a1	+	19r			ou			a20	=	a7	+	13r		ou			a20	=	a14	+	6r
 Exemplo 
Sabendo que o 1º termo de uma PA é igual a 2 e que a razão equivale a 5, 
determine	o	valor	do	18º	termo	dessa	sequência	numérica.
 Exemplo
Dada	a	progressão	aritmética	(8,	11,	14,	17,	...),	determine:
a) razão	 b)	décimo	termo	 c)	a14
EXERCÍCIOS DE AULA
1. A	razão	de	uma	PA	de	10	termos,	onde	o	primeiro	termo	é	42	e	o	último	é	–12
vale: 
a) -5
b) -9
c) -6
d) -7
e) 0
2. Calcule a razão da P.A. em que o terceiro termo vale 16 e o décimo
primeiro termo vale 40.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
TERMO GERAL ou MÉDIO
Numa progressão aritmética, a partir do segundo termo, o termo central é a 
média aritmética do termo antecessor e do sucessor, isto é, 
 Exemplo:
Na	P.A	(2,	4,	6,	8,	10,...)	veremos	que:
DICA: Sempre a cada três termos consecutivos de uma P.A, o termo central é 
a média dos seus dois vizinhos, ou seja, a soma dos extremos é o dobro do termo 
central.
Além disso a soma dos termos equidistantes dos extremos é constante.
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EXERCÍCIOS DE AULA
3. Determine a razão da P.A. (x+2, 2x, 13).
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
4. As	idades	das	três	filhas	de	Carlos	estão	em	progressão	aritmética.	Colocando
em	ordem	crescente	tem-se	(1	+	3x,	4x	+	2,	7x	+	1).	Calcule	a	idade	da	filha	mais	nova.	
a) 1 ano
b) 2 anos.
c) 3 anos.
d) 4 anos.
e) 5	anos.
SOMA DOS “n” TERMOS
Sendo n o número de termos que se deseja somar, temos:
DICA: Essa fórmula pode ser lembrada como a soma do primeiro e do último 
termos	,	multiplicada	pelo	número	de	casais	(n/2).
Exemplo 
Na	sequência	numérica	(–1,	3,	7,	11,	15,...),	determine	a	soma	dos	20	primeiros	
termos. 
EXERCÍCIOS DE AULA
5. Devido	 à	 epidemia	 de	 gripe	 do	 último	 inverno,	 foram	 suspensos	 alguns
concertos em lugares fechados. Uma alternativa foi realizar espetáculos em lugares 
abertos, como parques ou praças. Para uma apresentação, precisou-se compor uma 
plateia	com	oito	filas,	de	tal	forma	que	na	primeira	fila	houvesse	10	cadeiras;	na	segunda,	
14	cadeiras;	na	terceira,	18	cadeiras;	e	assim	por	diante.	O	total	de	cadeiras	foi:	
a) 384
b)192
c)168
d)92
e)80
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20.3 PROGRESSÃO	GEOMÉTRICA
Uma progressão geométrica (abreviadamente, P. G.) é uma sequência numérica 
em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma 
constante q. 
O número q é chamado de razão da progressão geométrica.
Alguns	exemplos	de	progressões	geométricas
1,	2,	4,	8,	16,	...,	é	uma	P.G	em	que	a	razão	é	igual	a	2.
-1,	-3,	-9,	-27,	-81,	...,	é	uma	P.G.	em	que	q	=	3.
6, 6, 6, 6, 6, ..., é uma P.G. com q = 1.
(90,	30,	10,	10/3,	...)	→	é	uma	P.G	Decrescentede	razão	q=	1/3
Exemplo
Na	série(1,	2,	4,	8,	16,	32,	64,	128,	...)
q	=	a2	/	a1	=		2/1	=	2				ou			q	=	a3	/a2	=	4/2	=	2		ou		
q	=	a4	/a3	=	8/4=	2
e assim por diante.
DICA: Observe que a razão é constante e pode ser calculada dividindo um 
termo qualquer pelo seu antecessor.
Uma	 P.G.	 pode	 ser	 classificada	 em	 crescente,	 decrescente,	 constante	 ou	
oscilante, dependendo de como é a sua razão (q).
I	–	(1,	2,	4,	8,	16,	32,	64,	128,	...)			CRESCENTE	pois		a2	>	a1	,	a3	>	a2		e	assim	por	
diante; 
II	–	(	–	1,	–	3,	–	9,	–	27,	–	81,	...)	DECRESCENTE	pois	a2	<	a1	,	a3	<	a2	e	assim	por	
diante; 
III	–	(7,	7,	7,	7,	7,	...)	CONSTANTE	pois	q	=1	e	a2=a1	e	assim	por	diante;
IV	–	(3,	–	6,	12,	–	24,	48,	–	96,	...)	OSCILANTE		pois	há	alternância	dos	sinais.
TERMO GERAL ou enésimo termo ou último termo
Numa P.G. de n termos, chamamos de termo geral ou enésimo termo o ultimo 
termo ou o termo genérico dessa sequência.
a20	=	a1q19	ou	a20	=	a7.q13	ou		a20	=	a14.q6	ou			a20	=	a18.q2
Exemplo 
Dada a progressão geométrica (5, 10, 20, 40, ...), determine:
a) razão	 b)	oitavo	termo	 c)	a10
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190
EXERCÍCIOS DE AULA
6. Calcule a razão da P.G. na qual o primeiro termo vale 2 é o quarto termo vale
54. 
a) 2
b)3
c)4
d)5
e)6
TERMO	GERAL	OU	MÉDIO
Numa progressão geométrica, a partir do segundo termo, o termo central é a 
média geométrica do termo antecessor e do sucessor, isto é:
 Exemplo
Na	P.G	(2,4,8,16,...)		veremos	que	:
DICA: Sempre a cada três termos consecutivos de uma P.G, o termo central é a 
média geométrica dos seus dois vizinhos, ou seja, o produto dos extremos é o quadrado 
do termo central.
EXERCÍCIOS DE AULA
7. Na	P.G.	cujos	três	primeiros	termos	são	x	–	10,	x	e	3x,	o	valor	positivo	de	x	é:
a) 15
b) 10
c) 5
d) 20
e) 45
SOMA DOS FINITOS TERMOS
Caso deseja-se a soma de uma quantidade exata de termos, usaremos:
EXERCÍCIOS DE AULA
8. Calcule	a	soma	dos	oito	primeiros	termos	da	progressão		(3,	6,	12,	24,	...)
a)725
b) 735
c) 745
d) 755
e) 765
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191
SOMA DOS INFINITOS TERMOS
Para	calcular	a	soma	de	uma	quantidade	infinita	de	termos	de	uma	P.G	usaremos:
EXERCÍCIOS DE AULA
9. o	valor	de	x	na	igualdade	x	+	x/3	+	x/9	+...	=	12	é	:
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e)nda
10. A	soma	dos	seis	primeiros	termos	da	PG		(1/3,1/6,1/12,...)
a) 12	/	33
b)15	/	32
c) 21	/	33
d) 21	/	32
e) 2	/	3
RAZÃO TERMO GERAL PROPRIEDADE SOMA DOS 
TERMOS
r	=	a2	–	a1		ou
r	=	a10	–	a9	ou	
r = a24 - a23 ou ...
an = ap + (n-p)r 2		4			6			8	...
Então	4	+	8	=	6	+	6
Sn	=	(a1	+	an)	.	n/2
q	=	a2	/	a1		ou
q	=	a10	/	a9		ou
q	=	a24	/	a23		ou..
an = ap. qn-p 2		4		8		16	...
Então	4	.	16	=	8.8
Sn = a1 (qn	-1)/q	-1	
(Soma FINITA)
Sn	=	a1/1-q	(Soma	
INFINITA)
COMO	A	BANCA	CESPE/CEBRASPE	JÁ	COBROU	ISSO?
1.	Com	relação	a	uma	sequência	numérica	a1,	a2,	…,	an,	julgue	o	item	subsequente.
Se a sequência for uma sequência de Fibonacci, em que a1 = 4 e a2 = 9, então
a6	=	57.	
( ) Certo
( ) Errado 
Comentário:		questão	de	identificação	de	sequencia	numérica.
2. A	sequência	infinita	A1,	A2,	A3,	A4,	...	é	definida	da	seguinte	maneira:
para cada j = 1, 2, 3, 4, ..., Aj = 1, se j for múltiplo de 3; Aj = 3, se j - 1 for múltiplo de 3; Aj 
= 5, se j - 2 for múltiplo de 3.
Dessa	 forma,	 por	 exemplo,	 A1	 =	 3	 e	 A2	 =	 5.	 Com	 base	 nessas	 informações,	
julgue os itens seguintes. Para todo índice j, tem-se que A2j - A2j- 1 + A3j > 2.
( ) Certo
( ) Errado 
Comentário:		questão	de	identificação	de	sequencia	numérica	e	aplicação	dos	
seus conceitos.
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3. A	sequência	infinita	A1,	A2,	A3,	A4,	...	é	definida	da	seguinte	maneira:para cada j = 1, 2, 3, 4, ...,Aj = 1, se j for múltiplo de 3; Aj = 3, se j - 1 for múltiplo de 3; Aj = 
5, se j - 2 for múltiplo de 3.
Dessa	forma,	por	exemplo,	A1	=	3	e	A2	=	5.	Com	base	nessas	informações,	julgue	
os itens seguintes. A soma dos primeiros 60 termos dessa sequência é igual a 160.
( ) Certo
( ) Errado 
Comentário: questão de calculo da soma dos termos da P.A
4. A	sequência	infinita	A1,	A2,	A3,	A4,	...	é	definida	da	seguinte	maneira:
para cada j = 1, 2, 3, 4, ...,Aj = 1, se j for múltiplo de 3; Aj = 3, se j - 1 for múltiplo de 3; Aj = 
5, se j - 2 for múltiplo de 3.
Dessa	forma,	por	exemplo,	A1	=	3	e	A2	=	5.	Com	base	nessas	informações,	julgue	
os	itens	seguintes.	O	produto	A14	×	A30	é	igual	a	8.
( ) Certo
( ) Errado 
Comentário: questão de calculo dos termos da P.A
5. A	sequência	infinita	A1,	A2,	A3,	A4,	...	é	definida	da	seguinte	maneira:
para cada j = 1, 2, 3, 4, ...Aj = 1, se j for múltiplo de 3; Aj = 3, se j - 1 for múltiplo de 3; Aj = 
5, se j - 2 for múltiplo de 3.
Dessa	forma,	por	exemplo,	A1	=	3	e	A2	=	5.	Com	base	nessas	informações,	julgue	
os	itens	seguintes.	O	produto	dos	primeiros	53	termos	dessa	sequência	é	igual	a	1518.
( ) Certo
( ) Errado 
Comentário: questão de calculo dos termos da P.A
6.	Com	relação	a	uma	sequência	numérica	a1,	a2,	…,	an,	julgue	o	item	subsequente.
Considere que a sequência seja formada pelos seguintes termos, nessa ordem:
10,	12,	15,	19,	24,	30,	37.	Nesse	caso,	a	sequência	numérica	bj	=	aj+1	-	aj	,	em	que	j	=	1,	
2,	…,	6	forma	uma	progressão	aritmética.
( ) Certo
( ) Errado 
Comentário: questão de calculo dos termos da P.A
7. A	tabela	seguinte	mostra	as	quantidades	de	livros	de	uma	biblioteca	que	foram
emprestados	em	cada	um	dos	seis	primeiros	meses	de	2017.
A partir dessa tabela, julgue o próximo item.
Situação hipotética: Os livros emprestados no referido semestre foram devolvidos 
somente	a	partir	de	julho	de	2017	e	os	números	correspondentes	às	quantidades	de	
livros devolvidos a cada mês formavam uma progressão aritmética em que o primeiro 
termo era 90 e razão, 30. 
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Assertiva: Nessa situação, mais de 200 livros foram devolvidos somente a partir 
de	2018.
( ) Certo
( ) Errado 
Comentário:		questão	identificação	da	P.A	e	calculo	de	termo	geral.
8. Em	 uma	 atividade,	 a	 professora	 de	 geografia	 solicitou	 que	 os	 estudantes
observassem	a	variação	da	população	de	um	município,	que	cresceu	à	taxa	constante	
de	 20%	 ao	 ano,	 a	 partir	 de	 2007,	 quando	 a	 população	 atingiu	 50.000	 habitantes.	 O	
objetivo	 da	 atividade	 era	 que	 eles	 calculassem	 a	 população	 do	 município	 ao	 fim	 de	
cada um dos três anos subsequentes, a partir daquele ano, analisando o resultado 
obtido. Nesse caso, os estudantes deveriam concluir que a sequência numérica 
correspondente	 à	 população	 desse	 município	 para	 os	 anos	 de	 2008,	 2009	 e	 2010	
representa uma progressão aritmética de razão 1,2.
( ) Certo
( ) Errado 
Comentário:			questão	identificação	da	P.A	e	calculo	de	termo	geral.
9.	Com	relação	a	uma	sequência	numérica	a1,	a2,	…,	an,	julgue	o	item	subsequente.
Se a sequência for uma progressão geométrica (PG), em que a1 = 5 e a4 = 135, então 
a razão dessa PG será maior que 4. 
( ) Certo
( ) Errado 
Comentário:		questão	identificação	da	P.G	e	calculo	da	sua	razão.
Gabarito
Exercicios de Aula
1-C	 2-C	 3-C	 4-D	 5-B	 6-B	 7-A	 8-E	 9-A	 10-D
Exercícios das Banca CESPE/CEBRASPE
1-C	 2-E	 3-E	 4-E	 5-C	 6-C	 7-E	 8-E	 9-E
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
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21.1FATORIAL
 Ao produto dos números naturais começando em n e decrescendo até 1 
denominamos de fatorial de n e representamos por n!. 
Exemplo:
7!	=	7.6.5.4.3.2.1	 12!	=	12.11.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
21.2 Princípio da Contagem
Ele	 multiplica	 as	 opções	 de	 itens	 de	 tipos/características	 distintas	 e	 calcula	 o	
total	de	configurações	possíveis.
São	as	chamadas	“LACUNAS” 
De maneira mais simples poderíamos dizer que: 
Se	um	evento	é	determinado	por	duas	escolhas	ordenadas	e	há	“n”	opções	para	
primeira	escolha	e	“m”	opções	para	segunda,	o	número	total	de	maneiras	de	o	evento	
ocorrer é igual a n.m.
De acordo com o princípio fundamental da contagem, se um evento é composto 
por	duas	ou	mais	etapas	sucessivas	e	independentes,	o	número	de	combinações	será	
determinado pelo produto entre as possibilidades de cada conjunto. 
EVENTO = etapa1 x etapa2 x etapa3 x ... etapa n 
Vamos supor que uma fábrica produza motos de tamanhos grande, médio e 
pequeno, com motores de 125 ou 250 cilindradas de potência. O cliente ainda pode 
escolher	as	seguintes	cores:	preto,	vermelha	e	prata.	Quais	são	as	possibilidades	de	
venda	que	a	empresa	pode	oferecer?
Tipos	de	venda:	3	.	2	.	3		=	18	possibilidades
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EXERCÍCIOS DE AULA
1. Durante	uma	aula	para	o	concurso	da	PRF	o	QB	decidiu	sortear	uma	camiseta
e um curso gratuito entre os alunos do curso que estivessem on line durante uma live.
O primeiro sorteado ganharia a camiseta e o segundo o curso.
Conferindo	 a	 lista	 de	 presentes	 havia	 70	 alunos	 na	 live.	 Assim	 ,de	 quantas	
maneiras	diferentes	que	esses	prêmios	poderiam	ser	sorteados	entre	os	presentes	?	
a) 4900
b) 4830
c) 3500
d) 70
e) 69
2. Estava	marcada	uma	reunião	dos	professores	do	QB,	para	mostrar	os	vários
resultados	positivos	de	aprovações	ao	redor	do	Brasil	de	seus	alunos.
Assim	que	chegaram	à	sala	de	reuniões,	8	professores	tentavam	se	acomodar	
em um sofá, com lugar para 5 pessoas. 
De	 quantas	 maneiras	 diferentes	 dos	 8	 professores	 poderiam	 acomodare-se	
nesse	sofá	?	
a) 56
b) 112
c) 540
d) 3360
e) 6720
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3. Os números pares com 4 algarismos distintos, que podemos obter com os
elementos	do	conjunto	{0;	3;	4;	5;	6;	7;	8},	são	em	número	de.	a)6!
b)420
c)5.6!
d)5.4!
e)380
21.3 Identificação
Sem dúvidas a parte mais importante do estudo da Análise Combinatória é a 
identificação.	
21.4 Permutação Simples
É	caracterizada	por	envolver	todos	os	elementos	,	nunca	deixando	nenhum	de	
fora.	Muito	comum	em	questões	que	envolvem	anagramas	de	palavras.	Usa	muito	o	
aspecto visual.
Fórmula: Pn = n!
Dica: A PERMUTAÇÃO embaralha TUDO!
Exemplo:
Quantos	anagramas	possui	a	palavra	AMOR.
Um anagrama formado com A, M, O, R corresponde a qualquer permutação 
dessas letras, de modo a formar ou não palavras. 
Temos 4 possibilidades para a primeira posição, 3 possibilidades para a segunda 
posição, 2 possibilidades para a 3 posição e 1 possibilidade para a quarta posição. 
Pelo princípio fundamental da contagem temos 4 . 3 . 2 . 1 = 24 possibilidades 
ou 24 anagramas. 
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Pela própria fórmula faremos P4 = 4! = 4.3.2.1= 24 anagramas.
Alguns anagramas: ROMA, AMRO, MARO, ARMO, MORA . . .
EXERCÍCIOS DE AULA 
4. Quantos	 anagramas	 possui	 a	 palavra	 FINAL	 de	 modo	 que	 as	 vogais	 fiquem
juntas?	
a)24
b) 48
c) 120
d) 720
e) 4320
5. Qual	o	numero	de	anagramas	da	palavra	CONCURSO	que	tem	todas	as	letras
repetidas	fixadas	nas	suas	posições	originais	?
a)24
b) 120
c) 720
d) 5040
e) 40320
E se houver elementos repetidos?
Assim temos a Permutação com Repetição na qual deveremos “descontar “ 
os elementos repetidos pois a troca de posição entre dois elementos repetidos não 
evidencia uma nova estrutura.
EXERCÍCIOS DE AULA 
6. Calcule a quantidade de anagramas distintos da palavra BANCAS. a)24
b) 120
c) 360
d) 720
e) 5060
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7. Qual	o	numero	de	anagramas	da	palavra	POLICIAL?
a)24
b)120
c)720
d)5040
e)10080
21.5 Arranjo
É	 uma	 seleção	 (não	 se	 usam	 todos	 ao	 mesmo	 tempo),	 em	 que	 a	 ordem	 FAZ	
diferença.
Muito	comum	em	questões	de	criação	de	senhas,	números,	telefones,	placas	
de	carro,	competições,	disputas,	onde	houver	hierarquia.
Fórmula: 
Dica: O ARRANJO ordena !
Dica: DEVE ser resolvido usando o P. F da Contagem
EXERCÍCIOS DE AULA8. Foi	feita	uma	pesquisa	entre	os	alunos	do	QB	que	deveriam	escolher	dentre
10 professores, os 3 mais competentes.
Sendo assim, o número de maneiras distintas de eleger os professores é a)1000
b) 800
c) 720
d) 650
e) 540
9.	Numa	turma	do	QB,	seriam	escolhidos	2	dentre	seus	18	alunos	para	assumirem
o papel de monitor da turma e câmera. O número de maneiras distintas dessa escolha
ser feita é de. a)324
b) 306
c) 289
d) 275
e) 238
21.6 Combinação
É	uma	seleção	(até	pode	usar	todos	ao	mesmo	tempo),	em	que	a	ordem	NÃO	faz	
diferença.
Muito	comum	em	questões	de	criação	de	grupos,	comissões,	agrupamentos	
onde não há distinção pela ordem dos elementos escolhidos.
Dica: A COMBINAÇÃO agrupa !
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200
Exemplo Resolvido
Uma	prova	consta	de	5	questões	das	quais	o	aluno	deve	resolver	2.	De	quantas	
formas	ele	poderá	escolher	essas	questões?
Solução:	Observe	que	a	ordem	das	questões	não	muda	o	teste.	Logo,	podemos	
concluir que se trata de um problema de combinação. Aplicando a fórmula chegaremos 
a:
C5,2	=	5!	/	[(5-2)!	.	2!]	=	5!	/	(3!	.	2!)	=	5.4.3.2.1.	/	3.2.1.2!	=	20/2	=	10
E	não	tem	um	atalho?
Método Prático
Esse	método	agilizará	a	resolução	das	questões.
Para isso basta usar a regra: rebobinar o “n” até o total de “p” itens e divide pelo 
“p” fatorial.
Exemplos: 
C5, 2 =
C10, 4 =
C8,	1	=
C7,	5	=
EXERCÍCIOS DE AULA 
10. Os	 alunos	 do	 QB	 querem	 fazer	 uma	 festa	 de	 confraternização	 e	 para	 isso
decidiram	convidar	os	professores,	o	problema	é	que	dos	7	professores	,	só	3	podem	
ser	convidados	para	o	evento	por	questão	de	custo.	Quantas	são	as		maneiras	distintas	
dos	professores	serem	escolhidos	para	esse	evento?	
a) 210
b)150
c)42
d)35
e)30
11. O professor Dudan adora sucos naturais e decidiu ir a uma lanchonete. Se
essa	lanchonete	dispõe	de	seis	frutas	tropicais	diferentes	para	a	venda	de	sucos	e	só	é	
possível escolher sucos com três ou quatro frutas misturadas.
O número máximo de sucos distintos que o professor Dudan podera tomar é de.
a)720
b)70
c)150
d)300
e)35
12. No	departamento	de	edição	de	aulas	do	QB	trabalham	8	funcionários,	sendo
5	homens	e	3	mulheres.	.	Quantos	grupos	distintos	podem	ser	formados	com	3	desses	
funcionários,	havendo	em	cada	equipe	pelo	menos	uma	mulher	?
a)15
b)46
c)31
d)18
e)45
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201
COMO	A	BANCA	CESPE/CEBRASPE	JÁ	COBROU	ISSO?
1. Supondo que André, Bruna, Cláudio, Leila e Roberto sejam,
não	necessariamente	nesta	ordem,	os	cinco	primeiros	classificados	em	um	concurso,	
julgue o item seguinte.
Com	Bruna,	Leila	e	Roberto	classificados	em	posições	consecutivas,	existem	
36	possibilidades	distintas	para	classificação.
( ) Certo
( ) Errado 
Comentário: questão de Permutação com uso do Princípio da Contagem 
2. Supondo que André, Bruna, Cláudio, Leila e Roberto sejam,
não	necessariamente	nesta	ordem,	os	cinco	primeiros	classificados	em	um	concurso,	
julgue o item seguinte.
Existem	120	possibilidades	distintas	para	essa	classificação.
( ) Certo
( ) Errado 
Comentário: questão de Permutação com uso do Princípio da Contagem 
3. Pesquisa feita entre alunos do ensino médio de escolas públicas revelou
as atividades extra-curriculares de suas preferências: teatro, música, coral, dança e 
xadrez. Acerca dessa pesquisa, julgue o item que se segue.
O número de modos diferentes que se pode dispor 3 livros de teatro, 3 livros de 
música e 2 livros de xadrez, em uma estante, de modo que livros do mesmo assunto 
permaneçam sempre juntos, é superior a 400.
( ) Certo
( ) Errado 
Comentário: questão de Permutação com elementos unidos
Considere a seguinte situação hipotética.
4. Um	trabalhador	dispõe	de	3	linhas	de	ônibus	para	ir	de	sua	casa	até	o	terminal
de	ônibus	no	centro	da	cidade	e,	a	partir	daí,	ele	dispõe	de	5	 linhas	de	ônibus	para	
chegar ao seu local de trabalho.
Nessa	situação,	considerando-se	que	o	trabalhador	possua	as	mesmas	opções	
para fazer o percurso de retorno do trabalho para casa e entendendo-se um trajeto de 
ida e volta ao trabalho desse trabalhador como uma escolha de quatro linhas de ônibus 
—	de	sua	casa	ao	centro,	do	centro	ao	trabalho,	do	trabalho	ao	centro	e	do	centro	de	
volta	para	casa	—,	então	o	trabalhador	dispõe	de,	no	máximo,	30	escolhas	distintas	
para o seu trajeto de ida e volta ao trabalho.
( ) Certo
( ) Errado 
Comentário: questão de uso do Princípio da Contagem 
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202
5.Na secretaria de um órgão público, as páginas dos processos, para serem
digitalizadas,	são	separadas	e	distribuídas	entre	7	servidores	—	4	servidores	recém-
contratados e 3 servidores antigos. Julgue o item a seguir, a respeito dessa situação.
A	quantidade	de	maneiras	distintas	de	se	escolher	2	entre	os	7	servidores,	para	
digitalizar um processo de 2 páginas, é superior a 20.
( ) Certo
( ) Errado 
Comentário: questão de Combinação
6.Considerando	que,	em	um	planejamento	de	ações	de	auditoria,	a	direção	de	um	
órgão de controle tenha mapeado a existência de 30 programas de governo passíveis 
de	análise,	e	sabendo	que	esse	órgão	dispõe	de	15	servidores	para	a	montagem	das	
equipes de análise e que cada equipe deverá ser composta por um coordenador, um 
relator e um técnico, julgue o próximo item. 
A quantidade de maneiras distintas de se escolherem 3 desses programas para serem 
acompanhados pelo órgão é inferior a 4.000. 
( ) Certo
( ) Errado 
Comentário: questão de Combinação
Julgue o próximo item, a respeito de contagem. 
7.Se	a	enfermaria	de	um	hospital	possuir	cinco	leitos	desocupados	e	se	cinco
pacientes forem ocupar esses leitos, então haverá mais de 100 formas diferentes de 
fazer essa ocupação.
( ) Certo
( ) Errado 
Comentário: questão de Princípio da Contagem 
Em	um	processo	de	coleta	de	fragmentos	papilares	para	posterior	identificação	
de	criminosos,	uma	equipe	de	15	papiloscopistas	deverá	se	revezar	nos	horários	de	8	h	
às	9	h	e	de	9	h	às	10	h.
Com relação a essa situação hipotética, julgue os itens a seguir. 
8. Se	dois	papiloscopistas	forem	escolhidos,	um	para	atender	no	primeiro	horário
e outro no segundo horário, então a quantidade, distinta, de duplas que podem ser 
formadas para fazer esses atendimentos é superior a 300. 
( ) Certo
( ) Errado 
Comentário: questão do Princípio da Contagem 
9.Considere que uma dupla de papiloscopistas deve ser escolhida para atender 
no	 horário	 das	 8	 h.	 Nessa	 situação,	 a	 quantidade,	 distinta,	 de	 duplas	 que	 podem	 ser	
formadas para fazer esse atendimento é inferior a 110.
( ) Certo
( ) Errado 
Comentário: questão de Combinação 
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203
Para cumprimento de um mandado de busca e apreensão serão designados 
um delegado, 3 agentes (para a segurança da equipe na operação) e um escrivão. O 
efetivo do órgão que fará a operação conta com 4 delegados, entre eles o delegado 
Fonseca; 12 agentes, entre eles o agente Paulo; e 6 escrivães, entre eles o escrivão 
Estêvão.
Em relação a essa situação hipotética, julgue os itens a seguir.
10. A quantidade de maneiras distintas de se escolher os três agentes para a
operação	de	forma	que	um	deles	seja	o	agente	Paulo	é	inferior	a	80.
( ) Certo
( ) Errado 
Comentário:		questão	de	Combinação	com	elemento	fixo.
11. Considerando todo o efetivo do órgão responsável pela operação, há mais de 
5.000 maneiras distintas de se formar uma equipe para dar cumprimento ao mandado.
( ) Certo
( ) Errado 
Comentário: questão de Combinação
12, Se o delegado Fonseca e o escrivão Estêvão integrarem a equipe que dará 
cumprimento ao mandado, então essa equipe poderá ser formada de menos de 200 
maneiras distintas.
( ) Certo
( ) Errado 
Comentário: questão de Combinação 
13. Há mais de 2.000 maneiras distintas de se formar uma equipe que tenha o
delegado Fonseca ou o escrivão Estêvão, mas não ambos.
( ) Certo
( ) Errado 
Comentário: questão de Combinação
Gabaritos 
Exercícios de Aula
1-B	 2-E	 3-B	 4-B	 5-A	 6-C	 7-E	 8-C	 9-B	 10-D	11-E12-B
Questões da Banca CESPE
1-C	 2-C	 3-C	 4-E	 5-C	 6-E	 7-C	 8-E	 9-C					10-C	 11-C	 12-E
13-E
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204
PROBABILIDADE QB MENTORIAqbmentoria@gmail.com
205
Probabilidade é o estudo das chances de obtenção de cada resultado de um 
experimento aleatório. 
A essas chances são atribuídos os números reais do intervalo entre 0 e 1. 
Resultados mais próximos de 1 têm mais chances de ocorrer. Além disso, a 
probabilidade também pode ser apresentada na forma percentual.
QUERO: é o evento favorável, ou seja, qualquer subconjunto de um espaço 
amostral.
Ele pode conter nenhum elemento (conjunto vazio) ou todos os elementos de um 
espaço amostral.
TENHO: é o espaço amostral , ou seja, o conjunto formado por todos os 
resultados	possíveis	.	Há	 várias	situações	 envolvendo	 Probabilidade,	 e	
consequentemente	muitas	maneiras	diferentes	de	interpretar	e	resolver	as	questões.
Alguns detalhes são muito importantes como por exemplo:
Definir	o	número	de	eventos;
Impor Ordem;
Agir com otimismo;
Lembrar	que	:	e	=	x	/	ou	=	+
Veremos a seguir alguns tipos mais comuns.
22.2 Questões Básicas envolvendo um evento
EXERCÍCIOS DE AULA
1.Jogando um dado não viciado, qual a probabilidade de ocorrer uma face maior
que	3?	
a) 1/2
b) 1/3
c) 1/4
d) 1/5
e) 1/6
22.1 DEFINIÇÃO
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206
2. Considerando	todos	os	funcionários	do	QB,	verifica-se	que	55%	são	do	sexo
masculino.	Verifica-se	também	que	37,5%	de	todos	os	funcionários	são	formados	pela	
Faculdade A e o restante pela Faculdade B. Se 20% destes funcionários formados pela 
faculdade A são do sexo feminino, então se for escolhido aleatoriamente um funcionário 
do	QB,	a	probabilidade	de	ele	ser	do	sexo	feminino	ou	ter	sido	formado	pela	faculdade
B é
a) 7/10.
b) 3/5.
c) 2/5.
d) 1/5.
e) 3/8.
3. João comprou diversos números de uma rifa que teve todos os seus 300
números vendidos. 
Se a probabilidade de um dos números de João ser sorteado é de 6%, quantos números 
ele	comprou?
a)6
b)12
c)16
d)18
e)24
22.3 Questões envolvendo mais de um evento
EXERCÍCIOS DE AULA
4. Em uma urna encontram-se 14 bolinhas numeradas de 1 a 14. Uma pessoa
retira,	 sem	 olhar	 e	 sem	 repor,	 duas	 bolas	 de	 dentro	 da	 caixa,	 sucessivamente.Qual	 a	
probabilidade	de	que	os	números	nas	duas	bolinhas	sejam	ímpares?	
a)1/3
b)1/8
c)1/16
d)3/13
e)5/14
5.Durante	uma	live	do	QB	haverá	um	sorteio	de	7	camisetas,	10	guarda-chuvas	e
12cadeiras de praia entre os alunos. Se já foram sorteadas 1 camiseta e 2 cadeiras de 
praia,	qual	a	probabilidade	de	que	o	próximo	contemplado	ganhe	uma	camiseta?
a) 7,69%.
b)16,67%.
c) 23,08%.
d)24,14%.
e)89,66%.
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207
6.Em	uma	turma	do	QB	com	25	alunos,	4	são	canhotos,	e	os	demais,	destros.
Escolhendo-se, ao acaso, dois alunos dessa turma, a probabilidade de que apenas um
deles seja canhoto é de
a) 14%
b) 16%
c) 20%
d) 28%
e) 40%
22.4 Questões envolvendo lançamento de Dados
Exercícios de Aula
7. Dois	 dados	 comuns,	 "honestos",	 são	 lançados	 simultaneamente.	 A
probabilidade de que a soma dos resultados seja igual ou maior que 11 é 
a) 11/12
b) 1/6
c) 1/12
d) 2/36
e) 1/36
8. Pedro	 está	 jogando	 com	 seu	 irmão	 e	 vai	 lançar	 dois	 dados	 perfeitos.	 Qual
a probabilidade de que Pedro obtenha pelo menos 9 pontos ao lançar esses dois 
dados?		
a) 1/9
b) 1/4
c) 5/9
d) 5/18
e) 7/36
22.5 Regra do “Pelo Menos Um(a)” 
A Regra do “Pelo menos um(a)” é baseada na hipótese de fazermos o cálculo por 
um outro “ângulo”, para isso basta entendermos que:
P( pelo menos um(a)...) = 1 - P (nenhum (a) )
Vale ressaltar que o “1” é o nosso 100% de quem descontaremos a probabilidade 
de ocorrer justamente o que NÃO se deseja , ou seja, iremos pela negação.
EXERCÍCIOS DE AULA
9. O	professor	Dudan	sempre	sonhou	em	ter	3	filhos	e	sempre	gostou	muito	de
Probabilidade.
Um	dia	estava	tentando	calcular	a	probabilidade	de	no	nascimento	de	3	filhos,	
ter pelo menos um do sexo masculino. Se calculada corretamente , essa probabilidade 
é de . 
a) 1/2.
b) 1/4.
c) 7/8.
d) 1/6.
e) 3/5.
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208
COMO	A	BANCA	CESPE/CEBRASPE	JÁ	COBROU	ISSO?
1. Acerca de probabilidade e estatística, julgue o próximo item.
Considere	que	fichas	numeradas	de	11	a	99	sejam	colocadas	em	uma	urna	e	que	uma	
delas	seja	retirada	aleatoriamente.	Nesse	caso,	a	probabilidade	de	o	número	da	ficha	
retirada ter o algarismo das dezenas menor que o algarismo das unidades é inferior a 
35%.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão de Probabilidade com um evento.
Em	 uma	 blitz,	 de	 150	 veículos	 parados,	 60	 foram	 flagrados	 com	 extintor	 de	
incêndio com data de validade vencida. Além disso, em 45 veículos, o motorista estava 
sem o documento de habilitação para dirigir. O total de veículos em pelo menos uma 
dessas	duas	situações	foi	de	90.
Acerca dessa situação, julgue o item seguinte.
2. Selecionando-se aleatoriamente um dos veículos parados na blitz,a
probabilidade de ser escolhido um em que o motorista estivesse sem documento de 
habilitação para dirigir seria inferior a 25%.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão de Probabilidade com Teoria dos Conjuntos.
3 .Em uma cidade onde circulam os jornais Correio da Manhã e Jornal da Tarde, 
foi feita uma pesquisa com 1.000 moradores. A pesquisa constatou que 450 dos 
entrevistados assinam apenas o Correio da Manhã, 400 assinam o Jornal da Tarde, 100 
assinam os dois jornais e o restante não assina nenhum dos 2 jornais. Nessa situação, 
escolhendo-se ao acaso um dos entrevistados, a probabilidade de ele assinar apenas o 
Jornal da Tarde é igual a 0,3.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão de Probabilidade com Teoria dos Conjuntos.
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4. Com	base	nas	informações	e	no	diagrama	precedentes,	julgue	o	item	a	seguir.
Se um casal dessa comunidade for escolhido ao acaso, então a probabilidade de ele ter 
menos	de	4	filhos	será	superior	a	0,3.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão de Probabilidade com Teoria dos Conjuntos.
5. Em um aeroporto, 30 passageiros que desembarcaram de determinado voo e
que estiveram nos países A, B ou C, nos quais ocorre uma epidemia infecciosa, foram 
selecionados para ser examinados. Constatou-se que exatamente 25 dos passageiros 
selecionados estiveram em A ou em B, nenhum desses 25 passageiros esteve em C e 6 
desses 25 passageiros estiveram em A e em B.
Com referência a essa situação hipotética, julgue o item que segue.
 Se 2 dos 30 passageiros selecionados forem escolhidos ao acaso, então a 
probabilidade de esses 2 passageiros terem estado em 2 desses países é inferior a 
1/30.	
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão de Probabilidade com Teoria dos Conjuntos.
6. Acerca de probabilidade e estatística, julgue o próximo item.
Considere que de uma urna com 10 bolas numeradas de 1 a 10, uma pessoa deva retirar, 
aleatoriamente, duas bolas ao mesmo tempo. Nesse caso, a probabilidade de que seja 
12 a soma dos números das bolas retiradas é superior a 9%.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão de Probabilidade com dois eventos.
 Uma pesquisa revelou características da 
população de uma pequena comunidade composta 
apenas	 por	 casais	 e	 seus	 filhos.	 Todos	 os	 casais	
dessa comunidade são elementos do conjunto A 
B	 C,	 em	 que	 A	 =	 {casais	 com	 pelo	 menos	 um	 filho	
com	mais	de	20	anos	de	idade};	B	=	{casais	com	pelo	
menos	um	filho	com	menos	de	10	anos	de	idade};	C	
=	{casais	com	pelo	menos	4	filhos}.
Considerando que n(P) indique a quantidade de 
elementos	de	um	conjunto	P,	suponha	que	n(A)	=	18;	
n(B)	=	20;	n(C)	=	25;	n(A∩B)	=	13;	n(A∩C)	=	11;	n(B∩C)	=	
12	e	n(A∩B∩C)	=	8.	O	diagrama	a	seguir	mostra	essas	
quantidades de elementos. 
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210
 Como forma de melhorar a convivência, as famílias Turing, Russell e Gödel 
disputaram,	 no	 parque	 da	 cidade,	 em	 um	 domingo	 à	 tarde,	 partidas	 de	 futebol	 e	 de	
vôlei. O quadro a seguir mostra os quantitativosde membros de cada família presentes 
no parque, distribuídos por gênero.
7. A	partir	dessa	tabela,	julgue	o	item	subsequente.
Considere que, em eventual sorteio de brindes, um nome tenha sido retirado, ao acaso, 
do interior de uma urna que continha os nomes de todos os familiares presentes no 
evento. 
Nessa situação, sabendo-se que o sorteado não é uma mulher da família
Gödel, a probabilidade de ser uma mulher da família Russel será superior a 20%. 
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão de Probabilidade Condicional.
Uma população de 1.000 pessoas acima de 60 anos de idade foi dividida nos 
seguintes dois grupos:
A: aqueles que já sofreram infarto (totalizando 400 pessoas); e
B: aqueles que nunca sofreram infarto (totalizando 600 pessoas).
Cada uma das 400 pessoas do grupo A é ou diabética ou fumante ou ambos 
(diabética e fumante).
A população do grupo B é constituída por três conjuntos de indivíduos: fumantes, 
ex-fumantes e pessoas que nunca fumaram (não fumantes).
Com	base	nessas	informações,	julgue	o	item	subsecutivo.
8. Se,	no	grupo	B,	a	quantidade	de	fumantes	for	igual	a	20%	do	total	de	pessoas
do grupo e a quantidade de ex-fumantes for igual a 30% da quantidade de pessoas 
fumantes desse grupo, então, escolhendo-se aleatoriamente um indivíduo desse 
grupo, a probabilidade de ele não pertencer ao conjunto de fumantes nem ao de ex-
fumantes	será	inferior	a	70%.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão de Probabilidade 
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9. Um	batalhão	é	composto	por	20	policiais:	12	do	sexo	masculino	e	8	do	sexo
feminino. A região atendida pelo batalhão é composta por 10 quadras e, em cada dia da 
semana, uma dupla de policiais policia cada uma das quadras.
Com referência a essa situação, julgue o item subsequente.
Caso as duplas de policiais sejam formadas aleatoriamente, então a probabilidade 
de que em determinado dia os policiais que policiarão determinada quadra sejam do 
mesmo sexo será superior a 0,5. 
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão de Probabilidade com Análise Combinatória.
10. Para	fiscalizar	determinada	entidade,	um	órgão	de	controle	escolherá	12	de
seus servidores: 5 da secretaria de controle interno, 3 da secretaria de prevenção da 
corrupção, 3 da corregedoria e 1 da ouvidoria. Os 12 servidores serão distribuídos, por 
sorteio, nas equipes A, B e C; e cada equipe será composta por 4 servidores. A equipe 
A será a primeira a ser formada, depois a equipe B e, por último, a C.
A respeito dessa situação, julgue o item subsequente.
A probabilidade de a equipe A ser composta por quatro servidores da secretaria 
de controle interno é inferior a 0,01.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão de Probabilidade com Análise Combinatória.
Gabaritos 
Exercícios de Aula
1-A	 2-A	 3-D	 4-D	 5-C	 6-D	 7-C	 8-D	 9-C
Questões da Banca CESPE
1-E	 2-E	 3-C	 4-E	 5-E	 6-E	 7-E	 8-E	 9-E	 10-E
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212
GEOMETRIAQB MENTORIAqbmentoria@gmail.com
213
23.1TRIÂNGULOS
Triângulo	é	uma	figura	geométrica	formada	por	três	retas	que	se	encontram	duas	
a duas e não passam pelo mesmo ponto, formando três lados e três ângulos.
Para fazer o cálculo do perímetro de um triângulo basta fazer a soma da medida 
de todos os lados.
A	soma	dos	ângulos	internos	é	sempre	180°.
Quanto à medida do seu lado
Triângulo Equilátero: apresenta os três lados com a mesma medida. 
Triângulo Isósceles: apresenta dois lados com a mesma medida.
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214
Triângulo Escaleno: apresenta os três lados com medidas diferentes, ou seja, 
três lados de tamanhos diferentes.
Quanto à medida dos ângulos
Triângulo Acutângulo: apresenta os três ângulos internos menores agudos.
Triângulo Obtusângulo: apresenta ângulo interno maior que 90º ou obtuso.
Triângulo Retângulo: apresenta um ângulo interno reto ou de 90o.
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ÁREA DE TRIÂNGULOS 
A área de um triângulo é a metade do produto da medida da sua altura pela 
medida da sua base. Assim, a área do triângulo pode ser calculada pela fórmula:
 ,onde h é altura do triângulo, b a medida da base. 
TRIANGULO RETÂNGULO
EXERCÍCIOS DE AULA
1. A	área	do	triângulo	sombreado	da	figura	abaixo	é
A = (B. h)
 2
a)13,5
b)9 √10
c)10,5
d)21
e)10,5 √10
|
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216
23.2 QUADRILÁTEROS
Um quadrilátero é um polígono de quatro lados. 
Em	geral,	um	quadrilátero	será	uma	figura	geométrica	limitada	por	quatro	lados,	
todos diferentes e que formam entre si quatro ângulos internos também diferentes. 
Em qualquer caso, a soma dos valores dos ângulos internos de um quadrilátero 
é sempre 360°.
Algumas Propriedades dos quadriláteros:
1. A soma dos seus ângulos internos é 360°.
2. A soma dos seus ângulos externos é 360°.
3. Todos os quadriláteros apresentam 2 diagonais.
Classificação
Os	quadriláteros	classificam-se	em		paralelogramos	e	trapézios.
Paralelogramos : são quadrilátero de lados opostos paralelos. 
Exemplos:
-> Retângulo - Paralelogramo em que todos os ângulos são retos. O retângulo 
cujos lados são congruentes chama-se quadrado.
->	Quadrado-	Retângulo	cujos	lados	tem	medidas	iguais.
Losango, paralelogramo:
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Trapézio: Apresenta 2 lados paralelos apenas.
Paralelogramo
Características: 
Lados paralelos congruentes, ângulos opostos congruentes.
Losango
Características: 
Lados paralelos congruentes, todos os lados de mesma medida, ângulos opostos 
congruentes, diagonais cortam-se nos seus pontos médios e são perpendiculares 
entre si.
Retângulo
Características: 
Todos os ângulos internos são retos, lados paralelos congruentes, diagonais de 
mesma medida e que se cortam nos seus pontos médios.
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Quadrado
Características: 
Todos os ângulos internos são retos, lados paralelos congruentes, todos os 
lados de mesma medida, diagonais de mesma medida, perpendiculares entre si e que 
se cortam nos seus pontos médios.
23.3 FIGURAS CIRCULARES
De acordo com a Geometria Euclidiana, circunferência é o espaço geométrico 
de uma região circular que compreende todos os pontos de um plano, localizados a 
uma determinada distância, denominada raio, de um ponto chamado centro. Podemos 
definir	 o	 círculo	 como	 a	 região	 interna	 da	 circunferência.	 A	 circunferência	 limita	 o	
círculo, observe a ilustração a seguir:
A circunferência e o círculo possuem um elemento denominado diâmetro, que 
constitui	em	um	segmento	que	passa	pelo	centro	da	figura.	Outro	segmento	importante	
pertencente	às	duas	figuras	é	o	raio,	que	corresponde	à	metade	do	diâmetro.	Observe	
a	figura:
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219
CÍRCULO	/	CIRCUNFERÊNCIA
23.4ÁREA
Área	é	um	conceito	matemático	que	pode	ser	definida	como	quantidade	de	
espaço bidimensional, ou seja, de superfície.
Existem várias unidades de medida de área, endo a mais utilizada o metro 
quadrado	(m²)	e	os	seus	múltiplos	e	submúltiplos.	Para	não	haver	erro	,	lembre-se:	
Exemplo:
ALTURA
BASE
A = (B. h)
 2
“Área é o que eu posso pintar”QB MENTORIAqbmentoria@gmail.com
220
TRIÂNGULO RETÂNGULO
Exemplo
TRIÂNGULO	EQUILÁTERO
Exemplo
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221
QUADRADO
Exemplo
 RETÂNGULO
Exemplo
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222
 LOSANGO
Exemplo
 PARALELOGRAMO
Exemplo
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223
TRAPÉZIO
Exemplo
 CIRCUNFERÊNCIA
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224
2. Os arquitetos estão projetando um jardim com quadrados de 2 m de lado
contendo	canteiros	triangulares	com	área	destinada	ao	plantio	de	flores	da	estação	e	
áreas	destinada	com	pedras	d’água.	A	figura	abaixo	representa	um	desses	quadrados,	
onde M e N são os pontos médios dos lados AB e BC, respectivamente.
23.5VOLUME
Para	 	 a	 grande	 maioria	 dos	 sólidos	 abordados	 em	 questões	 de	 concursos	
públicos, o cálculo do volume será feito usando uma fórmula clássica.
Calcularemos a área de sua base para, em seguida, multiplicá-la pela suaaltura.
A	área	da	base	dependerá	de	que	figura	da	geometria	plana	serve	de	base	ao	
prisma.
Sendo assim: 
V = (área da base) . altura
Cubo
Volume = Ab .H = a² .a = a³
Paralelepípedo 
Volume = AB. H = ab.c = abc 
Se	 as	 flores	 forem	 plantadas	 no	 triângulo	 DMN,	 elas	
ocuparão uma área de: 
a) 1,5	m²
b) 2	m²
c) 2,5	m²
d) 3,5	m²
e) 4	m²
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225
Prisma Qualquer
Um prima é um poliedro que possui uma base inferior e uma base superior. Essas 
bases	são	paralelas	e	congruentes,	isto	é,	possuem	as	mesmas	formas	e	dimensões,	e	
não se interceptam. 
Usaremos a mesma ideia: 
Vol = Ab. H , mas o calculo da área da base será feita separadamente, 
dependendo da base.
Cilindro
Usaremos a mesma ideia
Vol = AB . H = R² .H
Lembrando que no caso do cilindro reto a geratriz serve como altura.
 Obs: Há casos em que teremos que usar a mesma ideia de volume porem 
deveremos dividir o resultado por “3” .Esses casos ocorrem nas pirâmides e cones.
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226
Pirâmides
Usaremos a mesma estratégia do cone mas com atenção especial ao cálculo da 
área	da	base	,	pois	assim	como	nos	prismas,	dependerá	da	figura	plana	que	serve	de	
base desse sólido.
Esfera 
 Caso mais particular ainda, seu volume será calculado por uma fórmula 
específica:
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227
COMO	A	BANCA	CESPE/CEBRASPE	JÁ	COBROU	ISSO?
1. A	 figura	 seguinte	 mostra,	 em	 um	 sistema	 de	 coordenadas	 cartesianas
ortogonais xOy, em que a unidade de medida é o metro, uma região retangular OABC. O 
lado	OA	mede	600	m	e	o	lado	OC	mede	800	m.	A	figura	mostra	também	os	pontos	F	=	
ponto médio de OA, H = ponto médio de CB, G = centro do retângulo OABC, D = ponto 
médio de FG, e 
E = ponto médio de GH. Nos pontos O, A, B, C, D e E foram instalados pontos de acesso 
à	Internet	—	wi-fi.	
Nessa	configuração,	o	usuário	consegue	se	conectar	à	Internet	desde	que	o	seu	
smartphone esteja a 200 m ou menos de qualquer desses pontos de acesso. Com base 
nessas	informações	e	na	figura	apresentada,	julgue	o	próximo	item.	Na	parte	externa	ao	
retângulo	OABC,	o	acesso	à	Internet	a	partir	dos	referidos	pontos	de	acesso	se	restringe	
a	uma	região	em	que	a	área	é	inferior	a	384.000	m².
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão de Geometria Plana com calculo da área de circulos.
A	figura	a	seguir	mostra	uma	mesa	em	que	o	tampo	é	um	hexágono	regular	cujo	
lado	mede	80	cm.																					
Julgue o item que se segue, a respeito da geometria do tampo dessa mesa.
2. Se esse tampo tiver espessura de 2 cm, então o seu volume será superior a
0,04	m³	.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão de Geometria Plana com calculo da área hexágono.
 GABARITOS
Exercícios de Aula
1-C 2-A
Exercícios	da	Banca	CESPE/CEBRASPE
1-C 2-E
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228
COMO	FORAM	AS	ULTIMAS	PROVAS	DA	PRF	?
Ano:2019 Banca: CESPE/CEBRASPE Prova : PRF 
1. Uma unidade da PRF interceptou, durante vários meses, lotes de mercadorias
vendidas	por	uma	empresa	com	a	emissão	de	notas	fiscais	falsas.	A	sequência	dos	
números	 das	 notas	 fiscais	 apreendidas,	 ordenados	 pela	 data	 de	 interceptação,	 é	 a	
seguinte:	25,	75,	50,	150,	100,	300,	200,	600,	400,	1.200,	800,	....
 Tendo como referência essa situação hipotética, julgue o item seguinte, 
considerando	que	a	sequência	dos	números	das	notas	 fiscais	apreendidas	segue	o	
padrão apresentado.
O padrão apresentado pela referida sequência indica que os números podem 
corresponder,	na	ordem	em	que	aparecem,	a	ordenadas	de	pontos	do	gráfico	de	uma	
função	afim	de	inclinação	positiva.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão de função e seus conceitos.
Ano:2019 Banca: CESPE/CEBRASPE Prova : PRF 
2. Uma unidade da PRF interceptou, durante vários meses, lotes de mercadorias
vendidas	por	uma	empresa	com	a	emissão	de	notas	fiscais	falsas.	A	sequência	dos	
números	 das	 notas	 fiscais	 apreendidas,	 ordenados	 pela	 data	 de	 interceptação,	 é	 a	
seguinte:	25,	75,	50,	150,	100,	300,	200,	600,	400,	1.200,	800,	....
Tendo como referência essa situação hipotética, julgue o item seguinte, considerando 
que	 a	 sequência	 dos	 números	 das	 notas	 fiscais	 apreendidas	 segue	 o	 padrão	
apresentado.
A partir do padrão da sequência, infere-se que o 12.º termo é o número 1.600. 
( ) Certo
( ) Errado
Comentário:	questão	de	identificação	sequencia	numéricas	
Ano:2019 Banca: CESPE/CEBRASPE Prova : PRF 
3. Uma unidade da PRF interceptou, durante vários meses, lotes de mercadorias
vendidas	por	uma	empresa	com	a	emissão	de	notas	fiscais	falsas.	A	sequência	dos	
números	 das	 notas	 fiscais	 apreendidas,	 ordenados	 pela	 data	 de	 interceptação,	 é	 a	
seguinte:	25,	75,	50,	150,	100,	300,	200,	600,	400,	1.200,	800,	....
Tendo como referência essa situação hipotética, julgue o item seguinte, considerando 
que	 a	 sequência	 dos	 números	 das	 notas	 fiscais	 apreendidas	 segue	 o	 padrão	
apresentado.
Se	an	for	o	n-ésimo	termo	da	sequência,	em	que	n	=	1,	2,	3,	...,	então,	para	n	≥	3,	tem-se	
que an=	2	×an−2
( ) Certo
( ) Errado
Comentário:				questão	de	identificação	sequencia	numéricas	
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229
Ano:2019 Banca: CESPE/CEBRASPE Prova : PRF 
4. Para avaliar a resposta dos motoristas a uma campanha educativa promovida
pela PRF, foi proposta a função f(x) = 350 + 150e-x , que modela a quantidade de 
acidentes	de	trânsito	com	vítimas	fatais	ocorridos	em	cada	ano.	Nessa	função,	x	≥	0	
indica o número de anos decorridos após o início da campanha. Com referência a essa 
situação hipotética, julgue o item que se segue.
De	 acordo	 com	 o	 modelo,	 no	 final	 do	 primeiro	 ano	 da	 campanha,	 apesar	 do	
decréscimo com relação ao ano anterior, ainda ocorreram mais de 400 acidentes de 
trânsito com vítimas fatais.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão de função Exponencial.
Ano:2019 Banca: CESPE/CEBRASPE Prova : PRF 
5. Para avaliar a resposta dos motoristas a uma campanha educativa promovida
pela PRF, foi proposta a função função f(x) = 350 + 150e-x, que modela a quantidade 
de	acidentes	de	trânsito	com	vítimas	fatais	ocorridos	em	cada	ano.	Nessa	função,	x	≥	0	
indica o número de anos decorridos após o início da campanha. Com referência a essa 
situação hipotética, julgue o item que se segue.
Segundo o modelo apresentado, após dez anos de campanha educativa, haverá, em 
cada um dos anos seguintes, menos de 300 acidentes de trânsito com vítimas fatais.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão de função Exponencial
Ano:2019 Banca: CESPE/CEBRASPE Prova : PRF 
As	figuras	seguintes	ilustram	a	vista	frontal	e	a	vista	da	esquerda	de	um	sólido	
que foi formado empilhando-se cubos de mesmo tamanho. 
6. A	partir	das	figuras	precedentes,
julgue	 o	 item	 a	 seguir,	 com	 relação	 à	
possibilidade	de	a	figura	representar	uma	
vista superior do referido sólido.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão de 
visualização	de	figuras	e	sólidos
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230
Ano:2019 Banca: CESPE/CEBRASPE Prova : PRF 
As	figuras	seguintes	ilustram	a	vista	frontal	e	a	vista	da	esquerda	de	um	sólido	
que foi formado empilhando-se cubos de mesmo tamanho. 
Ano:2019 Banca: CESPE/CEBRASPE Prova : PRF 
As	figuras	seguintes	ilustram	a	vista	frontal	e	a	vista	da	esquerda	de	um	sólido	
que foi formado empilhando-se cubos de mesmo tamanho.
7.	A	partir	das	figuras	precedentes,	julgue
o item	 a	 seguir,	 com	 relação	 à	 possibilidade
de	 a	 figura	 representar	 uma	 vista	 superior	 do
referido sólido.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão de visualização de 
figuras	e	sólidos
8. A	partir	das	figuras	precedentes,	julgue
o item	a	seguir,	com	relação	à	possibilidade	de	a
figura	representar	uma	vista	superior	do	referido
sólido.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão de visualização de 
figuras	e	sólidos
Questões da Banca CESPE/CEBRASPE 2019 
1-E 2-E 3-C 4-C 5-E 6-C 7-C
8-E
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231
Ano:2021 Banca: CESPE/CEBRASPE Prova : PRF 
Em	 uma	 operaçãoda	 PRF,	 foram	 fiscalizados:	 20	 veículos	 automotores	 até	 o	
fim	da	primeira	hora;	60	veículos	automotores	até	o	fim	da	segunda	hora;	120	veículos	
automotores	até	o	fim	da	terceira	hora;	200	veículos	automotores	até	o	fim	da	quarta	
hora;	e	300	veículos	automotores	até	o	fim	da	quinta	hora.	O	padrão	numérico	observado	
manteve-se	até	o	fim	da	décima	hora,	quando,	então,	foi	finalizada	a	operação.	
Considerando essa situação hipotética, julgue o item seguinte.
1. Considere	 que	 {qn},	 para	 n	 variando	 de	 1	 a	 10,	 seja	 a	 sequência	 numérica
formada	 pelas	 quantidades	 de	 veículos	 fiscalizados	 apenas	 no	 decorrer	 da	 n-ésima	
hora	 de	 realização	 da	 operação,	 ou	 seja,	 q1	 é	 a	 quantidade	 de	 veículos	 fiscalizados	
apenas no decorrer da primeira hora de realização da operação; q2 é a quantidade de 
veículos	fiscalizados	apenas	no	decorrer	da	segunda	hora	de	realização	da	operação;	
e	assim	por	diante.	Nessa	situação,	a	sequência	{qn},	para	n	variando	de	1	a	10,	é	uma	
progressão aritmética.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário:		questão	de	identificação	de	sequencias
Ano:2021 Banca: CESPE/CEBRASPE Prova : PRF 
Em	 uma	 operação	 da	 PRF,	 foram	 fiscalizados:	 20	 veículos	 automotores	 até	 o	
fim	da	primeira	hora;	60	veículos	automotores	até	o	fim	da	segunda	hora;	120	veículos	
automotores	até	o	fim	da	terceira	hora;	200	veículos	automotores	até	o	fim	da	quarta	
hora;	e	300	veículos	automotores	até	o	fim	da	quinta	hora.	O	padrão	numérico	observado	
manteve-se	até	o	fim	da	décima	hora,	quando,	então,	foi	finalizada	a	operação.	
2. Considerando essa situação hipotética, julgue o item seguinte.
Mais	de	550	veículos	terão	sido	fiscalizados	até	o	fim	da	sétima	hora	de	realização	da	
operação.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão de séries numéricas.
Ano:2021 Banca: CESPE/CEBRASPE Prova : PRF 
Foi	modelado	que	o	espalhamento	de	uma	notícia	em	uma	população	—	entendido	
como o percentual de indivíduos dessa população que recebe essa notícia por unidade 
de	tempo	—	é	diretamente	proporcional	ao	percentual	de	indivíduos	da	população	que	
já conhecem a notícia multiplicado pelo percentual de indivíduos dessa população que 
ainda não a conhecem até aquele instante. A constante k de proporcionalidade depende, 
entre outros fatores, do impacto da notícia na vida dos envolvidos e de propriedades 
dos meios de comunicação disponíveis.
3. Tendo	como	base	essas	informações	e	considerando	que,	para	certa	notícia,	k
= 1, julgue o item seguinte.
O espalhamento de uma notícia será tanto maior quanto maior for o número de 
pessoas que dela tiverem tomado conhecimento.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão de porcentagem e proporção.
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232
Ano:2021 Banca: CESPE/CEBRASPE Prova : PRF 
Foi	 modelado	 que	 o	 espalhamento	 de	 uma	 notícia	 em	 uma	 população	 —	
entendido como o percentual de indivíduos dessa população que recebe essa notícia 
por	 unidade	 de	 tempo	 —	 é	 diretamente	 proporcional	 ao	 percentual	 de	 indivíduos	
da população que já conhecem a notícia multiplicado pelo percentual de indivíduos 
dessa população que ainda não a conhecem até aquele instante. A constante k de 
proporcionalidade depende, entre outros fatores, do impacto da notícia na vida dos 
envolvidos e de propriedades dos meios de comunicação disponíveis.
Tendo	como	base	essas	informações	e	considerando	que,	para	certa	notícia,	k	
= 1, julgue o item seguinte.
4. De acordo com a modelagem realizada, é possível que, em determinado
instante, o espalhamento da notícia seja superior a 50% por unidade de tempo.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão de porcentagem e proporção.
Ano:2021 Banca: CESPE/CEBRASPE Prova : PRF 
Foi	 modelado	 que	 o	 espalhamento	 de	 uma	 notícia	 em	 uma	 população	 —	
entendido como o percentual de indivíduos dessa população que recebe essa notícia 
por	 unidade	 de	 tempo	 —	 é	 diretamente	 proporcional	 ao	 percentual	 de	 indivíduos	
da população que já conhecem a notícia multiplicado pelo percentual de indivíduos 
dessa população que ainda não a conhecem até aquele instante. A constante k de 
proporcionalidade depende, entre outros fatores, do impacto da notícia na vida dos 
envolvidos e de propriedades dos meios de comunicação disponíveis.
Tendo	como	base	essas	informações	e	considerando	que,	para	certa	notícia,	k	
= 1, julgue o item seguinte.
5. Se, em determinado instante, o espalhamento de uma notícia é igual a
16%	por	unidade	de	tempo,	então,	nesse	instante,	mais	de	75%	da	população	ainda	
desconhece a notícia.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão de porcentagem e proporção.
Ano:2021 Banca: CESPE/CEBRASPE Prova : PRF 
Foi	 modelado	 que	 o	 espalhamento	 de	 uma	 notícia	 em	 uma	 população	 —	
entendido como o percentual de indivíduos dessa população que recebe essa notícia 
por	 unidade	 de	 tempo	 —	 é	 diretamente	 proporcional	 ao	 percentual	 de	 indivíduos	
da população que já conhecem a notícia multiplicado pelo percentual de indivíduos 
dessa população que ainda não a conhecem até aquele instante. A constante k de 
proporcionalidade depende, entre outros fatores, do impacto da notícia na vida dos 
envolvidos e de propriedades dos meios de comunicação disponíveis.
Tendo	como	base	essas	informações	e	considerando	que,	para	certa	notícia,	k	
= 1, julgue o item seguinte.
6. Se, em determinado instante, 30% da população já conhece a notícia, então,
nesse instante, o seu espalhamento estaria em patamar superior a 20% por unidade 
de tempo.
( ) Certo
( ) Errado
Comentário: questão de porcentagem e proporção.
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233
Questões da Banca CESPE/CEBRASPE 2021
1-C 2-C 3- E 4-E 5-E 6-C
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