M1-Matematica_Basica

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M1-Matemática Básica.pdf
1Matemáti	caMatemáti	ca	básica
Rua General Celso de Mello Rezende, 301 – Tel.: (16) 3238·6300
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SISTEMA COC DE ENSINO
Direção-Geral: Sandro Bonás
Direção Pedagógica: Zelci C. de Oliveira
Direção Editorial: Roger Trimer
Gerência pedagógica: Juliano de Melo Costa
Gerência Editorial: Osvaldo Govone
Gerência de Relacionamento: Giovanna Tofano
Ouvidoria: Regina Gimenes
Conselho Editorial:
Juliano de Melo Costa, Osvaldo Govone,
Sandro Bonás e Zelci C. de Oliveira
PRODUÇÃO EDITORIAL
Autoria: Clayton Furukawa, Frederico R. F. 
do Amaral Braga e Jeferson Petronilho
Editoria: José F. Rufato, Marina A. 
Barreto e Paulo S. Adami
Assistente Editorial: Luzia H. Fávero F. López
Assistente administrativo:: George R. Baldim
Projeto gráfico e direção de 
arte: Matheus C. Sisdeli
Preparação de originais: Marisa A. dos Santos 
e Silva e Sebastião S. Rodrigues Neto
Iconografia e licenciamento de texto: 
Cristian N. Zaramella, Marcela Pelizaro 
e Paula de Oliveira Quirino.
Diagramação: BFS bureau digital
Ilustração: BFS bureau digital
Revisão: Flávia P. Cruz, Flávio R. Santos, 
José S. Lara, Leda G. de Almeida e 
Maria Cecília R. D. B. Ribeiro.
Capa: LABCOM comunicação total
Fechamento: Edgar M. de Oliveira
Su
m
ár
io
CAPÍTULO 01 POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 7
1. Potenciação 7
2. Radiciação 10
CAPÍTULO 02 PRODUTOS NOTÁVEIS 17
1. Quadrado da soma de dois termos 17
2. Quadrado da diferença de dois termos 17
3. Produto da soma pela diferença de dois termos 17
4. Cubo da soma de dois termos 17
5. Cubo da diferença de dois termos 17
CAPÍTULO 03 FATORAÇÃO 19
1.	 Definição	 19
2.	 Casos	de	fatoração	 19
CAPÍTULO 04 PORCENTAGEM 22
1. Introdução 22
2.	 Definição	 22
3. Forma decimal 22
4.	 Porcentagem	de	quantias	 22
5. Lucro 24
6. Aumento percentual 25
7. Desconto percentual 26
8. Aumentos e descontos sucessivos 28
CAPÍTULO 05 MÚLTIPLOS E DIVISORES 30
1. Conceitos básicos 30
2. Propriedades 33
3. Máximo divisor comum 35
4.	 Mínimo	múltiplo	comum	 36
5. MDC e MMC pelo método da decomposição isolada 36
6. MMC e MDC pelo método da fatoração simultânea 36
7. MDC pelo método das divisões sucessivas 37
8. Propriedades do MDC e do MMC 37
CAPÍTULO 06 EQUAÇÕES 39
1.	 Introdução	 39
2.	 Equação	matemática	 39
3.	 Raiz	(ou	solução)	de	uma	equação	 39
4.	 Resolução	de	equações	 39
5. Equações equivalentes 40
6. Equação do 1º grau 40
7.	 Problemas	matemáticos	 40
8.	 Passos	para	resolver	um	problema	matemático	 40
9.	 Equação	do	2º	grau	 43
10. Resolução de equações com mudança de variável 47
11. Equações irracionais 48
CAPÍTULO 07 TEORIA DOS CONJUNTOS 50
1. Introdução 50
2. Notação e representação 50
3.	 Relação	de	pertinência	 50
4. Relação de inclusão 51
5. Conjuntos especiais 51
6. Conjunto universo 52
7. Conjunto de partes 52
8. Igualdade de conjuntos 52
9.	 Operações	com	conjuntos	 52
10. Número de elementos da união e da intersecção de conjuntos 55
11. Conjuntos numéricos 56
12. Operações com intervalos 57
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 59
Capítulo 01 61
Capítulo 02 66
Capítulo 03 68
Capítulo 04 70
Capítulo 05 78 
Capítulo 06 83
Capítulo	07	 93
GABARITO 101
Teoria
PV
-1
4-
11
Matemáti ca básica
7
Matemáti	ca
Exemplos
1. 105 · 102 = 105 + 2 = 10.000.000
2. (–10)5 · (–10)2 = (–10)5 + 2 = – 10.000.000
•	 P2: Quociente de potências de mesma 
base
Para	 dividirmos	 potências	 de	 mesma	 base,	
conservamos a base e subtraímos os expoentes.
a
a
m
n
m n= ≠a a= ≠a am n= ≠m na am na a= ≠a am na am n= ≠m n–m n= ≠m na am na a= ≠a am na a–a am na a= ≠a am na a, 0= ≠, 0= ≠a a= ≠a a, 0a a= ≠a a
Justificativa
a a a a e a a a am
m vezes
n
n vezes
= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅... ...� �� �� ��� ��
1º) Sendo m > n, temos:
a
a
a a a a
a a a a
a a a
m
n
m vezes
n vezes
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
...
...
...
� �� ��
� �� �� (( )m n vezes
m na
–
–
��� �� =
2º) Se m = n: a
a
a a
m
n
m n= = = =1 10( )–
3º) Se m < n: a
a a a a a
a
m
n
n m vezes
n m
m n=
⋅ ⋅ ⋅
= 

 =
1 1
...
( )
( )
( )
–
–
–
� �� ��
Exemplos
1. 
5
5
5 5 125
7
4
7 4 3= = =– 
2. 2
2
2 2
1
2
3
4
1= = =3 4– –
3. 2
2
2
2
x
= 2 x–
•	 P3: Produto de potências de mesmo 
expoente
Para	multiplicarmos	potências	de	mesmo	ex-
poente, conservamos o expoente e multipli-
camos as bases.
an · bn = (a · b)n
1. Potenciação
A. Defi	nições
Em todas as definições apresentadas a seguir, 
a representa um número real e n, um número 
natural diferente de zero.
1. Para n maior que 1, an é igual ao produ-
to	de	n	fatores	idênticos	a	a, isto é:
 
a a a a an
n
= · · ...
fatores idênticos
� �� ��
Notação: O elemento a é chamado base, n é 
denominado expoente e an, potência.
2. Para n= 1, define-se: a1 = a.
3. Para n = 0 e a ≠ 0, define-se: a0 = 1.
4. Expoente inteiro e negativo: a
a
n
n
– =
1 , 
com a ≠ 0.
Exemplos
1. 105 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 10.000
2. 51 = 5
3. (–2)0 = 1
4. 3
1
3
1
3 3 3 3
1
81
4
4
– = =
⋅ ⋅ ⋅
=
B. Propriedades
Consideremos os números reais a e b e os 
números naturais m e n. Então, são válidas as 
seguintes propriedades:
•	 P1: Produto de potências de mesma base
Para	 multiplicarmos	 potências	 de	 mesma	
base, conservamos a base e somamos os ex-
poentes.
am · an = am + n
Justificativa
a a a a a
a a a a a
a
m
m vezes
n
n vezes
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅






...
...
� �� ��
� �� ��
mm n
m vezes n vezes
m n
a
a a a a a a a a
a a a
⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ =
... ...� �� �� � �� ��
⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅
+
a a a
m n vezes
...
( )
� �� ��
Assim: am · an = am + n
CAPÍTULO 01 POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
Matemáti ca básica
PV
-1
4-
11
8
Matemáti	ca
Justificativa
a a a a a e b b b b b
a
n
n vezes
n
n vezes
n
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅
... ...
( )
� �� �� � ��� ���
bb a a a a b b b b
ab ab
n
n vezes n vezes
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
= ⋅
... ...� �� �� � ��� ���
⋅⋅ ⋅ ⋅ab ab
n vezes
...� ���� ����
Assim: an · bn = (ab)n
Exemplos
1. 23 · 33 = (2 · 3)3 = 63
2. (a · b · c)2 = a2 · b2 · c2
•	 P4: Quociente de potências de mesmo 
expoente
Para	dividirmos	potências	de	mesmo	expoente,	
conservamos o expoente e dividimos as 
bases.
a
b
a
b
b
n
n
n
= 












 













 , 0b, 0b ≠, 0≠
Justificativa
a a a a a e b b b b b
a
b
n
n vezes
n
n vezes
n
n
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
... ...� �� �� � ��� ���
aa a a a
b b b b
a
b
a
b
n vezes
n vezes
n
n
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= 

...
...
� �� ��
� ��� ���








 ⋅ ⋅




=
a
b
a
b
a
b
Assim
a
b
n vezes
n
n
...
:
� ���� ����
aa
b
n



Exemplos
1. 
2
11
2
11
2
2
2
= 


2. a
b c
a
b c
a
b c
3
3 3
3
3
3
⋅
=
⋅( )






=
⋅




•	 P5: Potência de uma potência
Para	elevarmos	uma	potência	a	um	novo	ex-
poente, conservamos a base e multiplicamos 
os expoentes.
(am)n = am · n
Justificativa
a a a a
a a
m n m m m
n vezes
m n m m m
n vezes
( ) = ⋅ ⋅ ⋅
( ) = + + +
...
...
� ��� ���
��� ��
⇒⇒( ) = ⋅a am n m n 
Exemplos
1. (25)2 = 25 · 2 = 210
2. 5 5 55
2 3 5 2 3 30( )( ) = =⋅ ⋅
Observação
As propriedades apresentadas podem ser es-
tendidas para os expoentes m e n inteiros.
Exemplos
a. 23 · 2–2 = 23 + (–2) = 21 (P1)
b. 5
5
2
3–
= 52 – (–3) = 52 + 3 = 55 (P2)
c. 5–3 · 2–3 = (5 · 2)–3 = 10–3 (P3)
d. 7
5
7
5
2
2
2
4
–
–
–
= 

 ( )P
e. (2–2)–3 = 2(–2) · (–3) = 26
C. Situações especiais
A. (–a)n e –an
As	potências	(–a)n e –an, em geral, apresentam 
resultados diferentes, pois:
( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )
...
– – – – –
– –
a a a a a
a a a a
n
n vezes
n
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
� ���� ����
⋅⋅a
n vezes
� ��� ���
Exemplos 
1. (–2)2 = (–2) · (–2) =
4
2. –22 = –(2) · (2) = –4
 
PV
-1
4-
11
Matemática básica
9
Matemática
B. a e am n m( ) n
As	potências a e am n m( ) n , em geral, apresentam 
resultados diferentes, pois:
a a a a am n m m m m
n vezes
( ) = ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( )⋅ ⋅( )...� ����� �����
e
a am m m m
n vezes
n = ⋅ ⋅ ⋅...
��� ��
Exemplos
1. (25)2 = 25 · 2 = 210
2. 2 2 25 5 5 252 = =⋅
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. UFMG
O valor da expressão (a–1 + b–1)–2 é:
a. 
ab
a b( )+ 2
b. 
ab
a b( )2 2 2+
c. a2 + b2.
d. 
a b
a b
2 2
2( )+
Resolução
a b
a b
b a
ab b a
ab
− − −
− −
+( ) = +



=
+



=
+









1 1 2
2 21 1 1






=
+




=
+( )
2
2
2 2
2
ab
a b
a b
a b
Resposta
D
02. UECE
Se a = 32 e b = a2, então o valor do produto ab 
é igual a:
a. 36
b. 38
c. 96
d. 98
Resolução
a · b = a · a2 = a3 = (32)3 = 36
Resposta
A
03. UFRGS
Sabendo-se que 6x + 2 = 72, tem-se que 6–x vale:
a. – 4
b. – 2
c. 0
d. 
1
2
e. 2
Resolução
6x + 2 = 72 ⇒ 6x · 62 = 72 ⇒ 6x = 72
36
 ⇒ 6x = 2
6–x = 1
6
1
2x
=
Resposta
D
04. ENEM
A resolução das câmeras digitais modernas é 
dada em megapixels, unidade de medida que 
representa um milhão de pontos. As informa-
ções sobre cada um desses pontos são arma-
zenadas, em geral, em 3 bytes. Porém, para 
evitar que as imagens ocupem muito espaço, 
elas são submetidas a algoritmos de compres-
são,	 que	 reduzem	em	 até	 95%	 a	 quantidade	
de bytes necessários para armazená-las. Con-
sidere 1 KB = 1.000 bytes, 1 MB = 1.000 KB,
1 GB = 1.000 MB.
Utilizando uma câmera de 2.0 megapixels cujo 
algoritmo	de	compressão	é	95%,	João	fotogra-
fou 150 imagens para seu trabalho escolar. Se 
ele deseja armazená-las de modo que o espa-
ço restante no dispositivo seja o menor espaço 
possível, ele deve utilizar:
a. um CD de 700 MB.
b. um pendrive de 1 GB.
Matemática básica
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11
10
Matemática
c. um HD externo de 16 GB.
d. um memory stick de 16 MB.
e. um cartão de memória de 64 MB.
Resolução
•	1	megapixel = 106 pontos
•	1	ponto	=	3	bytes
Após compressão, 1 ponto ocupará:
5
100
· 3 bytes = 0,15 byte
Trabalho de João:
150 · 2 · 106 · 0,15 = 45 · 106 bytes = 
 
=
⋅45 10
10
6
6 MB = 45 MB
Resposta
E
05. Ibmec-SP
Os astrônomos estimam que, no universo vi-
sível, existem, aproximadamente, 100 bilhões 
de galáxias, cada uma com 100 bilhões de es-
trelas. De acordo com esses números, se cada 
estrela tiver, em média, 10 planetas a sua vol-
ta, então existem no universo visível, aproxi-
madamente:
a. 1012 planetas.
b. 1017 planetas.
c. 1023 planetas.
d. 10121 planetas.
e. 10220 planetas.
Resolução
100 bilhões de galáxias: 102 · 109 = 1011 galáxias
100 bilhões de estrelas: 102 · 109 = 1011 estrelas 
em cada galáxia
Logo, temos:
(nº de galáxias) · (nº estrelas/galáxias)
1011 galáxias · 1011 estrelas = 1022 estrelas
Cada estrela tem, em média, 10 planetas. 
Assim, (nº de estrelas) · (nº de planetas/estrelas)
1022 · 10 = 1023 planetas
Resposta
C
2. Radiciação
A. Definições
1. Considere a um número real não negativo e n um número natural diferente de zero.
O símbolo an representa um número real b, não negativo, que satisfaz a igualdade bn = a.
Notação: O número a é chamado radicando, n é denominado índice e an é a raiz n-ésima de a.
Observação: O símbolo a representa o mesmo que a2 .
Exemplos
1. 25 = 5, pois 52 = 25 (raiz quadrada de 25)
2. 21 = 2, pois 21 = 2 (raiz primeira de 2)
3. 03 = 0, pois 03 = 0 (raiz cúbica de zero)
2. Considere a um número real e n um número natural ímpar.
O símbolo an representa um número real b que satisfaz a igualdade bn = a.
Exemplos 
1. 8 23 = , pois 23 = 8
2. – –8 23 = , pois (–2)3 = –8
PV
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Matemáti ca básica
11
Matemáti	ca
B. Raiz quadrada do quadrado 
de um número real
a a2 = , se a for um número real não negativo.
 a a2 = – , se a for um número real negativo.
Costuma-se indicar: a a2 = (valor absoluto de a), 
Exemplos 
1. 5 52 = 
2. – –(–5 5 5
2( ) = =)
3. 2 3 2 3 2 3 0
2
– – –( ) = >, pois
4. 2 5 2 5 5 2 2 5 0
2
– – – – –( ) = ( ) = <pois
Observação
Não devemos confundir 4 2 4 2= = ±com , 
pois é falso, de acordo com a definição.
Então, 2 = 4 e –2 = – 4.
Se considerarmos a equação x2 = 4, teremos 
como solução as raízes 2 e –2, pois:
x2 = 4 ⇒ x = ± 4 ⇒ x = ± 2
C. Potências	com	expoente	racional
Definição
a a com a
n
k nk= >, 0, n inteiro e k inteiro positivo.
Exemplo
5 5 5
1
2 12= =
Observação
Todas as propriedades apresentadas para po-
tências	de	expoentes	inteiros	são	válidas	para	
expoentes racionais.
D. Propriedades
Consideraremos os números reais a e b não 
negativos e os números naturais não nulos m, 
n e p. Então: 
•	 P1: Produto de radicais de mesmo índice
Para multiplicarmos radicais com o mes-
mo índice, conservamos o índice e multipli-
camos os radicandos.
a ba b abn nn na bn na b n⋅ =a b⋅ =a ba b⋅ =a b
Justificativa
a b a b a b a bn n n n n n⋅ = ⋅ = ⋅( ) = ⋅
1 1 1
Exemplos
1. 10 10 10 10 10 1023 3 2 13 33⋅ = ⋅ = = 
2. 2 64 2 64 2 8 8 2⋅ = ⋅ = ⋅ =
 
P2: Divisão de radicais de mesmo índice 
Para dividirmos radicais com o mesmo índice, 
conservamos o índice e dividimos os radicandos.
a
b
a
b
n
n
= ≠= ≠= ≠n= ≠n ( )b( )b= ≠( )= ≠b= ≠b( )b= ≠b( )0( )
Justificativa
a
b
a
b
a
b
a
b
n
n
n
n
n
n= = 

 =
1
1
1
Exemplos
1. 128
4
128
4
32 2
5
5
5 5= = =
2. 
4
25
4
25
2
5
0 4= = = ,
 
•	 P3: Potência de uma raiz
Para elevarmos uma raiz a um expoente, 
basta elevarmos o radicando a esse expoente.
a aa a
m
mna ana a( )( )a a( )a an( )n a a=a a
Justificativa
a a a an
m
n
m m
n mn( ) = 


= =
1
Observação
A propriedade P3 também é válida quando o 
expoente m é inteiro negativo.
Matemáti ca básica
PV
-1
4-
11
12
Matemáti	ca
Exemplos
1. ( )5 5 52 2= =
2. ( )2 2 43 2 23 3= =
 
•	 P4: Raiz de outra raiz
Exemplos
a. 10 10 1046 4 26 2 23= =::
b. 2 2 2208 20 48 4 5= =::
c. 5 5 548 12= =
E. Simplifi	cação	de	radicais
Simplificar um radical significa transformá-lo 
em uma expressão equivalente ao radical 
dado, porém escrita de forma mais simples. 
Obtemos essa transformação por meio da apli-
cação das propriedades anteriormente vistas.
Exemplos
a. 81 3
3 3
3
5 7 33 4 5 7 33
3 3 2 6 33
33 33 6
⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅
x y z x y z
x x y y z
x y33 33 23
2 23
3
3 3
⋅ ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
z x y
x y z x y
b. a b c a b b c b a bc2 65 2 55 25⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = 
c. 324 2 3 2 3 3
3 2 3 3 12
3 2 43 2 33
23 3
= ⋅ = ⋅ ⋅ =
= ⋅ =
F. Redução de radicais 
ao mesmo índice
Para reduzirmos dois ou mais radicais a um 
mesmo índice, inicialmente, calculamos o MMC 
de todos os índices, obtendo, assim, o índice co-
mum a todos os radicais. Em seguida, dividimos 
o novo índice por todos os índices anteriores, 
multiplicando o resultado pelos expoentes dos 
fatores do respectivo radicando.
Exemplos
a. xy x e y23 34;
 MMC (3, 4, 2) = 12, então:
 xy x y x x y y
23 4 812 34 912 612= = =; ; 
b. 2 3 53 4, e
 MMC (2, 3, 4) = 12, então:
 2 2 3 3 5 5
612 3 412 4 312= = =; ;
Para obtermos a raiz de uma outra raiz, bas-
ta conservarmos o radicando e multiplicar-
mos os índices.
a aa amn n ma a=a an m⋅n m
Justificativa
a a a a amn m
n m
n n m n m= = = =




⋅ ⋅
1
1
1
Exemplos
1) 7 7 754 2 4 5 40= =⋅ ⋅ 
2) 3 3 32 2 4= =⋅
•	 P5: Simplificação de radicais
Quando multiplicamos ou dividimos o índice 
de uma raiz e o expoente de seu radicando 
por um mesmo número natural não nulo, o 
valor da raiz não se altera.
a a pma ama an m pn p= ≠= ≠a a= ≠a aa a= ≠a am p= ≠m pn p= ≠n pa an pa a= ≠a an pa am p= ≠m p⋅m p= ≠m pn p⋅n p ( )p( )p= ≠( )= ≠p= ≠p( )p= ≠p( )0( )
Justificativa
a a a amn
m
n
m p
n p m pn p= = =
⋅
⋅ ⋅⋅
Exemplos
1. 5 5 53 3 42 4 128= =⋅⋅
2. 2 2 2 226 1 23 2 13 3= = =⋅⋅ 
Observação
Como podemos
observar nos exemplos, o valor 
de uma raiz não se altera quando dividimos o 
índice do radical e o expoente do radicando 
por um fator comum natural não nulo.
a amn m pn p= ::
PV
-1
4-
11
Matemática básica
13
Matemática
Observações
1. Conforme vimos nas propriedades P1 e 
P2, a multiplicação e a divisão de raízes 
só devem ser efetuadas se os radicais 
tiverem índices iguais, então esta pro-
priedade, que permite reduzir os radi-
cais ao mesmo índice, é bastante im-
portante nesses casos.
Exemplo
5 2 3 5 2 3 5 2 33 4 412 612 312 4 6 312⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
2. Para que possamos comparar raízes, 
também	devemos	tê-las	com	os	índices	
iguais, e a maior raiz será aquela que 
tiver o maior radicando.
Exemplos
2 2 4
3 3 3
3 2
3 1 23 2 6
1 32 3 36
3= =
= =




⇒ >
⋅⋅
⋅⋅
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
Dê	o	valor	de:
a. 81
b. 164
c. 1253
d. –1253
e. 06
Resolução
a. 81 9= ,	pois	92 = 81
b. 16 24 = , pois 24 = 16
c. 125 53 = , pois 53 = 125
d. − = −125 53 , pois (–5)3 = –125
e. 0 06 = , pois 06 = 0
02. UECE
A expressão numérica 5 54 3 163 3– é igual a: 
a. 1 4583 .
b. 7293
c. 2 703
d. 2 383
Resolução
5 54 5 2 3 5 3 2 15 2
3 16 3 2 3 2 2 3 2 2 6 2
5 54 3
3 33 3 3
3 43 33 3 3
3
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =
– 116 15 2 6 2 9 2
9 2 1458
3 3 3 3
33 3
= = =
= ⋅ =
–
Resposta
A
03. UFAL
A expressão 10 10 10 10+ ⋅ – é igual a:
a. 0
b. 10
c. 10 – 10
d. 3 10
e. 90
Resolução
10 10 10 10 10 10 10 10
10 10 100 10 90 3 102 2
+ − = +( ) −( ) =
= − = − = =
.
Resposta
D
04. 
Forme uma sucessão decrescente com os 
números reais 2 3 3 2, e 2.
Resolução 
2 3 2 3 12 12
3 2 3 2 18 18
2 2 2 16
18 16 12
2 4
2 4
1 1 41 4 4
4 4 4
⋅ = ⋅ = =
⋅ = ⋅ = =
= = =
> >
⋅⋅
Resposta
3 2 2 2 3⋅ > > ⋅
Matemáti ca básica
PV
-1
4-
11
14
Matemáti	ca
05. UFC-CE
Dentre as alternativas a seguir, marque aquela 
que contém o maior número.
a. 5 63 ⋅
b. 6 53
c. 5 63
d. 5 63
e. 6 53
Resolução
5 6 30 30
6 5 6 5 1080 1 080
5 6 5 6 750 750
5 6
3 3 6
3 33 3 6
3 33 3 6
3
⋅ = =
⋅ = ⋅ = =
⋅ = = =
=
·
55 6 150 150
6 5 5 180 180
23 3 6
3 3 3 6
⋅ = =
= ⋅ = =6
O maior número é 1.080
2
6 == 6 53 .
Resposta
B
G. Racionalização de denominadores
Racionalizar um denominador de uma fração significa transformá-lo em outra sem radicais irra-
cionais no denominador, a fim de facilitar o cálculo da divisão. Em termos práticos, racionalizar 
um denominador significa eliminar o radical do denominador.
A racionalização pode ser feita multiplicando-se o numerador e o denominador da fração por um 
mesmo fator, obtendo, assim, uma fração equivalente à anterior.
Esse fator é chamado fator de racionalização ou fator racionalizante.
1º caso: Denominadores do tipo amn
Observamos que:
a aa a a a
a aa a a
ma ama an n mna ana a m na am na a mn
m na am na ama ama an nna ana a
⋅ =a a⋅ =a aa a⋅ =a an m⋅ =n m ⋅ =a a⋅ =a am n⋅ =m na am na a⋅ =a am na a m⋅ =m
= == =a a= =a aa am na a= =a am na aa ama a= =a ama a =+m n+m na am na a+a am na aa am na a= =a am na a+a am na a= =a am na a
n m–n m –
–a a–a a
Assim, nas frações que apresentarem denominador do tipo amn , basta multiplicarmos o seu 
numerador e o seu denominador por an mn n m–n m (fator racionalizante) para eliminarmos o radical 
(número irracional) do denominador.
Exemplos
Racionalizar os denominadores:
a. 1
5
1 5
5 5
5
5
=
⋅
⋅
= 
b. 2
4
2
2
2 2
2 2
2 2
8
2 2
2
2
3 23
3
23 3
3
3
3
3= =
⋅
⋅
= = =
Notemos que, se no denominador aparecer uma raiz quadrada, o fator racionalizante é outra raiz 
quadrada igual à existente no denominador da fração.
PV
-1
4-
11
Matemática básica
15
Matemática
2º caso: Denominadores do tipo a b±
Nesse caso, vamos relembrar o produto notável (A + B) · (A – B) = A2 – B2. Percebemos que esse 
produto notável, aplicado aos denominadores deste caso, produz resultado racional.
Ou seja:
a b a b a b a b+( )( ) = ( ) ( ) =– – –2 2
Portanto, se tivermos que racionalizar denominadores do tipo a b± , basta multiplicarmos 
o numerador e o denominador da fração pelo conjugado do denominador, eliminando assim o 
radical (número irracional) do denominador.
Assim:
denominador: a b+ → conjugado: a b–
denominador: a b– → conjugado: a b+ 
Exemplos
1) 1
3 2
1 3 2
3 2 3 2
3 2
3 2
3 2
– – –
=
⋅ +( )
( )⋅ +( ) =
+( )
= +( )
2) 
2
6 2 1
2 6 2 1
6 2 1 6 2 1
6 2 2
36 2 1
12 2
+
=
⋅( )
+( )⋅ ( ) =
⋅( )
⋅
=
–
–
–
–
–
71
Observação
A racionalização permite fazer divisões com erros menores. Por exemplo, na fração 1
5
há a 
divisão de 1 por 5 =2,2360679774....	Como	o	denominador	é	um	decimal	infinito	e	não	perió-
dico, fica difícil saber qual é a melhor aproximação para 5 , mas, ao utilizar a fração equivalente 
5
5
, não só teremos o trabalho facilitado como também conseguiremos uma melhor aproximação.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
Racionalize os denominadores e simplifique, 
se possível, as frações.
a. 1
5
b. 14
7
c. 6
7
d. 4
44
e. 3 7
3 7
+
–
Resolução 
a. 
1
5
5
5
5
5
· = 
Matemática básica
PV
-1
4-
11
16
Matemática
b. 
14
7
7
7
14 7
7
2 7·
·
·= =
c. 
6
7
7
7
42
7
· = 
d. 
4
4
4
4
4 4
4
2 2 2 2
4
34
34
34
64 3·
·
·= = = =
e. 
3 7
3 7
3 7
3 7
9 6 7 7
9 7
8 3 7
+( )
−( )
+( )
+( ) =
+ +
−
= +·
02. UCSal-BA
Se x = − +
+
−
−
3 3
1
3 3
1
3 3
, então:
a. x ≥ 5
b. 3 ≤ x < 5
c. 1 ≤ x < 3
d. 0 ≤ x < 1
e. x < 0
Resolução
x = 3 3 
1
3 + 3
 
1
3 3
x = 3 3 + 
1
3 + 3
3 3
– –
–
–
–
+ ( ) ( )
( )
( )
·
33 3
x = 3 3 + 
9 3
 · 
3
3 9
–
–
–
–
–
– –
( ) ( )
+( )
+( )
( )
+
1
3 3
3 3
3 3
3 3 3
·
 
x = 3 3 + 
6
 
3
6
x = 3 3 + 
3
6
x = 3 3
–
–
–
–
–
–
3 3 3
3 3 3
6
6
4 3
+
+
+ +
+
=x
xx
x
≅
≅
4 1 7
2 3
– ,
,
Resposta
C
03. Fuvest-SP
2 3
3
+
=
a. 2 2 6 3
3
+ +
b. 5 2 6
3
+
c. 2 6
6
+
d. 3 6
3
+
e. 6 3
6
+
Resolução
2 3
3
3
3
6 3
3
6 3
32
+( )
=
+
( )
=
+·
·
Resposta
D
PV
-1
4-
11
Matemáti ca básica
17
Matemáti	ca
CAPÍTULO 02 PRODUTOS NOTÁVEIS
Os produtos notáveis obedecem a leis espe-
ciais de formação e, por isso, sua utilização 
permite agilizar determinados tipos de cálcu-
los que, pelas regras normais da multiplicação 
de expressões, ficariam mais longos. Apresen-
tam-se em grande número e dão origem a um 
conjunto de identidades de grande aplicação.
Considere a e b, expressões em .
1. Quadrado da soma de dois termos
(a + b)2 = (a + b) · (a + b) = a2 + 2ab + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2. Quadrado da diferença 
de dois termos
(a – b)2 = (a – b) · (a – b) = a2 – 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
3. Produto da soma pela 
diferença de dois termos
(a + b) · (a – b) = a2 – ab ab b+ – 2
(a + b) · (a – b) = a2 – b2
4. Cubo da soma de dois termos
(a + b)3 = (a + b) · (a + b)2 = (a + b) · (a2 + 2ab + b2)
(a + b)3 = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
5. Cubo da diferença de dois termos
(a – b)3 = (a – b) · (a2 – 2ab + b2)
(a – b)3 = a3 – 2a2b + ab2 – a2b + 2ab2 – b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
Desenvolva os produtos notáveis a seguir :
a. (3x + 2)2
b. 1
2
x
x+


 
c. (3x – 2y)2 
d. x x
2 2
3 4
–



Resolução
a. (3x + 2)2 = (3x)2 + 2 · (3x) · 2 + 22
 	 								=	9x2 + 12x + 4
Resposta
9x2 + 12x + 4
b. 
1 1
2
1
1 2
1
2
2 2
2
2
2
2
x
x
x x
x x
x
x
x
x
x
x
+

 =



 + ⋅



 ⋅ + =
= + + =
= + + 22
Resposta
1
2
2
2
x
x+ +
c. (3x – 2y)2 = (3x)2 – 2(3x) · (2y) + (2y)2 =
 																		=	9x2 – 12xy + 4y2
Resposta
9x2 – 12 xy + 4y2
d. x x x x x x
x
2 2 2 2 2 2
4
3 4 3
2
3 4 4
– –




= 







⋅ 



+ 



=
=
99
2
12 4
9 6 4
3 2
4 3 2
–
–
x x
x x x
+ =
= +
Resposta
x x x4 3 2
9 6 16
– +
Observe que, quando desenvolvemos o qua-
drado da soma ou da diferença de um binô-
mio, produzimos um trinômio chamado trinô-
mio quadrado perfeito.
Matemática básica
PV
-1
4-
11
18
Matemática
02. 
Desenvolva os produtos notáveis a seguir:
a. (3xy + 5) (3xy – 5)
b. 3 5 2 3 5 2+( )( )–
c. (x + 2)3 
d. (2x – 2)3 
Resolução
a. (3xy + 5) · (3xy – 5) = (3xy)2 – 52	=	9x2y2 – 25
Resposta
9x2y2 – 25
b. 3 5 2 3 5 2
3 5 2 9 5 4 41
2
2
+( )⋅( ) =
= ( ) = ⋅ =
–
– –
Resposta
41
c. (x + 2)3 = x3 + 3 · x2 · 2 + 3 · x · 22 + 23 = x3 + 6x2 + 
+ 12x + 8
Resposta
x3 + 6x2 + 12x + 8
d. (2x – 2)3 = (2x)3 – 3 · (2x)2 · 2 + 3 · 2x · 22 – 23 = 
 = 8x3 – 3 · 4 · x2 · 2 + 3 · 2 · x · 4 – 8 =
 = 8x3 – 24x2 + 24x – 8
Resposta
8x3 – 24x2 + 24x – 8
03. 
Desenvolva: (x – 1)2 – (2x + 4) (2x – 4).
Resolução
(x – 1)2 – (2x + 4) (2x – 4) =
= (x – 1)2 – ((2x)2 – 42) =
= (x – 1)2 – (4x2 – 16) =
= x2 – 2x + 1 – (4x2 – 16) = 
= x2 – 2x – 4x2 + 17 =
= –3x2 – 2x + 17
Resposta
–3x2 – 2x + 17
04. 
Calcule	31	·	29	usando	produto	notável.
Resolução
31	·	29	=	
= (30 + 1) · (30 – 1) = 
= (30)2 – 12 = 
=	900	–	1	=	
=	899
Resposta
899
05. 
Sendo x
x
+ =
1
2, determine x
x
3
3
1
+ .
Resolução
x+
1
x
=2
x + 3x ·
1
x
 + 3 · x ·
1
x
+
1
x
 = 8
x + 3x +
3
x
+
1
x
 = 
3
3
3 2
2 3
3
3




88
x
x + 3 2 + 
1
x
 = 8
x + 
1
x
 = 2
3
3
3
3
3
+ +

 + =
⋅
3
1 1
8
3
x
x x
PV
-1
4-
11
Matemáti ca básica
19
Matemáti	ca
CAPÍTULO 03 FATORAÇÃO
1. Defi nição
Fatorar uma expressão algébrica é modificar 
sua forma de soma algébrica para produto, 
isto é, obter outra expressão :
a. que seja equivalente à expressão dada;
b. cuja forma equivalente se apresente na 
forma de produto. 
Na maioria dos casos, o resultado de uma fato-
ração é um produto notável. 
Nas técnicas de fatoração que estudaremos a 
seguir, suponha a, b, c, x e y expressões não 
fatoráveis.
2. Casos de fatoração
A. Fator comum
Devemos reconhecer o fator comum, seja ele 
numérico, literal ou misto; em seguida, coloca-
mos	em	evidência	esse	fator	comum	e	simplifi-
camos	a	expressão	deixando	entre	parênteses	
a soma algébrica.
Observe os exemplos seguintes .
a. ab + ac = a · (b + c)
b. 3x3y – 6x2y3 = 3x2y(x – 2y2)
B. Agrupamento
Devemos dispor os termos do polinômio de 
modo que formem dois ou mais grupos entre 
os quais haja um fator comum e, em seguida, 
colocar	o	fator	comum	em	evidência.
Observe:
ax + ay + bx + by = 
= a · (x + y) + b · (x + y) = 
= (a + b) · (x +y) 
C. Diferença de quadrados
Utilizamos a fatoração pelo método de dife-
rença de quadrados sempre que dispuser-
mos da diferença entre dois monômios cujas 
literais tenham expoentes pares. A fatoração 
algébrica de tais expressões é obtida com os 
seguintes passos:
1º) extraímos as raízes quadradas dos fato-
res numéricos de cada monômio;
2º) dividimos por dois os expoentes das li-
terais;
3º) escrevemos a expressão como produto 
da soma pela diferença dos novos mo-
nômios assim obtidos.
Por exemplo, a expressão a2 – b2 seria fatorada 
da seguinte forma:
a2 – b2 = (a + b) · (a – b)
D. Trinômio quadrado perfeito
Uma expressão algébrica pode ser identificada 
como trinômio quadrado perfeito sempre que 
resultar do quadrado da soma ou diferença 
entre dois monômios.
Por exemplo, o trinômio x4 + 4x2 + 4 é quadrado 
perfeito, uma vez que corresponde a (x2 + 2)2.
São, portanto, trinômios quadrados perfeitos 
todas as expressões da forma a2 ± 2ab + b2, 
fatoráveis nas formas seguintes:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
e
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
Fatore a expressão: 8x3 – 6x2 .
Resolução
8x3 – 6x2 = 2x2(4x – 3)
Resposta
2x2(4x – 3)
02. 
Fatore a expressão: x3 – x2 + x – 1 .
Resolução
x3 – x2 + x – 1 = x2(x – 1) + 1(x – 1) = (x – 1) · (x2 + 1)
Resposta
(x – 1) · (x2 + 1)
Matemática básica
PV
-1
4-
11
20
Matemática
03. 
Fatore a expressão: x2 – 25y2.
Resolução
x2 – 25y2 = x2 – (5y)2 = (x + 5y) · (x – 5y)
Resposta
(x + 5y) · (x – 5y)
04. 
Fatore: (x2 + 2xy + y2) + 2(x + y) + 1.
Resolução
(x2 + 2xy + y2) + 2(x + y) + 1 =
(x + y)2 + 2(x + y) + 1 = [(x + y) + 1]2 = (x + y + 1)2
Resposta
(x + y + 1)2
05. Vunesp
Por hipótese, considere a = b.
Multiplique ambos os membros por a.
a2 = ab.
Subtraia b2 de ambos os membros.
a2 – b2 = ab – b2
Fatore os termos de ambos os membros. 
(a + b) · (a – b) = b (a – b)
Simplifique os fatores comuns (a + b) = b.
Use a hipótese de que a = b. 
2b = b 
Simplifique a equação e obtenha 2 = 1.
A explicação para isso é:
a. A álgebra moderna, quando aplicada à 
teoria	dos	conjuntos,	prevê	tal	resultado.
b. A hipótese não pode ser feita, pois 
como 2 = 1, a deveria ser (b + 1).
c. Na simplificação dos fatores comuns, 
ocorreu divisão por zero, gerando o 
absurdo.
d. Na fatoração, faltou um termo igual a 
– 2ab, no membro esquerdo.
e. Na fatoração, faltou um termo igual 
a +2ab, no membro esquerdo.
Resolução
(a + b) · (a – b) = b (a – b) ⇔ a + b = b
A	equivalência	 anterior	 só	 é	 possível	 se	 divi-
dirmos os dois membros por (a – b), porém da 
hipótese a = b, assim a – b = 0, e a divisão por 
zero não é definida.
Resposta
C
06. 
Simplifique a expressão:
a a
a a
4 2
2
1
1
+ +
+ +
.
Resolução 
a a
a a
a a a a
a a
a a a
a a
4 2
2
4 2 2 2
2
4 2 2
2
1
1
1
1
2 1
1
+ +
+ +
=
+ + + −
+ +
=
+ + −
+ +
a a
a a
a a a a
a a
2 2 2
2
2 2
2
1
1
1 1
1
+( ) −
+ +
=
+ +( ) + −( )
+ +
=
= a2 - a + 1
Resposta
a2 – a + 1
E. Trinômio do 2º grau
Considerando o trinômio do 2º grau ax2 + bx + c, a ≠ 0 e suas raízes reais x1 e x2, a seguinte igual-
dade é verdadeira:
ax2 + bx + c = a · (x – x1) · (x – x2)
F. Soma e diferença de cubos
Observe a multiplicação: 
(a + b) · (a2 – ab + b2) = 
= a3 – a2b + ab2 + ba2 – ab2 + b3 = 
= a3 + b3
PV
-1
4-
11
Matemática básica
21
Matemática
01. 
Fatore a expressão: x x2 1 2 2− + +( ) .
Resolução 
 
x x
S
P
x x
x x
2
1 2
1 2 2 0
1 2
2
1 2
1 2
–
– –
( )
;
( )·( )
+ + =
= +
=
= =
∴
Resposta
( ) · ( )x x– –1 2
02. 
Fatore a expressão: x6 – y6.
Resolução
x6 – y6 = (x2)3 – (y2)3 =
= (x2 – y2) · (x2 + x2y2 + y2) =
= (x + y) · (x - y) · (x2 + (xy)2 + y2)
Resposta
(x + y) · (x – y) · (x2 + (xy)2 + y2)
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
03. 
Simplifique a expressão:
x y
x y
x y
x y
3 3 3 3−
−
−
+
+
Resolução 
x y
x y
x y
x y
x y x xy y
x y
x y x xy y
x y
3 3 3 3
2 2 2 2
−
−
−
+
+
=
=
−( ) + +( )
−
−
+( ) − +( )
+
=
= xx xy y x xy y xy2 2 2 2 2+ +( ) − − +( ) =
04. 
Sendo (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 e (a – b)3 = 
= a3 – 3a2b + 3ab2 – b3, fatore as expressões:
a. 8x3 + 12x2 + 6x + 1
b. 8a3 – 12a2b + 6ab2 – b3
Resolução
a. 8x3 + 12x2 + 6x + 1 = 
 = (2x)3 + 3 · (2x)2 · 1 + 3 · 2x · 12 + 13 =
 = (2x + 1)3
b. 8a3 – 12a2b + 6ab2 – b3 =
 = (2a)3 – 3 · (2a)2 · b + 3 (2a) · b2 – b3 =
 = (2a – b)3
A partir desse resultado, podemos fatorar a soma de dois cubos:
a3 + b3 = (a + b) · (a2 – ab + b2)
Pode-se mostrar, de modo semelhante, que a3 – b3 = (a – b) · (a2 + ab + b2).
Matemática básica
PV
-1
4-
11
22
Matemática
CAPÍTULO 04 PORCENTAGEM
1. Introdução
Em	 uma	 empresa	 há	 três	 categorias	 de	 fun-
cionários, A, B e C, que possuem salários di-
ferentes reajustados na mesma época. Para 
não haver desconforto, é necessário fazer o 
aumento de maneira proporcional. O funcio-
nário responsável pelos cálculos consegue 
aplicar	uma	proporção	idêntica	a	cada	catego-
ria,	recorrendo	apenas	à	regra	de	três	simples.	
Tal procedimento pode ser até viável nessa si-
tuação, porém, se aumentarmos a quantidade 
de salários distintos, esse procedimento será 
inadequado, por isso foi preciso desenvolver 
uma técnica matemática para calcular propor-
ções equivalentes;
tal técnica, utilizada desde 
o século XVII, é conhecida por porcentagem. 
2. Definição
A porcentagem (ou percentagem) é uma for-
ma de apresentar frações em que o denomina-
dor é igual a 100, podendo também ser consi-
deradas as formas equivalentes. Para facilitar a 
sua	representação,	foi	criado	o	símbolo	%	que	
se	lê:	“por	cento”	e	que	significa:	“dividir	por	
cem”.
A	representação	30%	é	o	mesmo	que	 30
100
 .
3. Forma decimal
A	forma	percentual	30%	pode	ter	outras	repre-
sentações equivalentes:
30
30
100
3
10
0 3% ,= = =
•	 30%	é	a	representação	percentual.
•	 30
100
3
10
= são representações fracionárias.
•	 0,3 é sua representação decimal.
4. Porcentagem de quantias
O	cálculo	x%	de	P	é	efetuado	da	seguinte	ma-
neira: 
x%	de	P
x
P= 

 ⋅100
Exemplo
35%	de	200	=		 35
100
200 70

 ⋅ =
01. 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Calcule o valor de:
a. 30%	de	84
b. 2,5%	de	44
Resolução 
a.	 30%	de	84	=	0,30	·	84	=	25,20
b.	 2,5%	de	44	=	0,025	·	44	=	1,10
Resposta
a. 25,20
b. 1,10
02. Fuvest-SP
(10%)2 é igual a: 
a. 100%
b. 20%
c. 5%
d. 1%
e. 0,1%
Resolução
( %)
.
%10
10
100
10
100
1 0 0
10 00 0
1
100
12 = ⋅ = = =
Resposta
D
PV
-1
4-
11
Matemática básica
23
Matemática
03. 
Quatro é quantos por cento de cinco?
Resolução
Sendo	x%	a	taxa	percentual,	temos,	pela	defi-
nição, que:
x
100
5 4⋅ =
x
100
4
5
=
Ou, de outra forma:
4
5
0 8
80
100
80= = =, %
Resposta
80%	
04. Unicap-PE
Determine,	 em	 reais,	 10%	 do	 valor	 de	 um	
bem,	sabendo	que	15%	do	preço	do	 citado	
bem é R$ 18,00.
Resolução 
Valor do bem = x
15%	·	x	=	18
0,15x = 18
x =
18
0 15,
x = R$ 120,00
∴10%	de	R$	120,00	=	R$	12,00	
Resposta
R$ 12,00
05. UFRGS-RS
O gráfico a seguir representa o valor de um dólar 
em reais em diferentes datas do ano de 2003.
4,0
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
R$
01/1 31/1 28/2 31/3 30/4 31/5 30/6 31/7 31/8 Dia
3,53
3
2,89
0
2,96
6
2,87
2
2,96
6
2,96
7
3,52
6
3,56
3
3,35
3
Evolução das cotações da moeda norte-americana
A partir desses dados, pode-se afirmar que, no 
primeiro semestre de 2003, o real, em relação 
ao dólar:
a. desvalorizou 0,661.
b. desvalorizou	mais	de	10%.
c. manteve seu valor.
d. valorizou	menos	de	10%.
e. valorizou	mais	de	20%.
Resolução
No início do semestre: 
1 dólar = R$ 3,533
Logo: 1 real = 
1
3 533,
No fim do semestre:
1 dólar = 2,872 reais
Logo: 1 real = 
1
2 872,
Montando a equação da variação do real, temos:
1
3 533
1
2 872
3 533
2 872
1 23
,
·
,
,
,
,x x x= ⇒ = ⇒ ≈
Portanto,	uma	valorização	de	23%.
Resposta
E
06. ENEM
Para se obter 1,5 kg do dióxido de urânio puro, 
matéria-prima para a produção de combustível 
nuclear, é necessário extrair-se e tratar-se 
1,0 tonelada de minério. Assim, o rendimento 
(dado	em	%	em	massa)	do	tratamento	do	miné-
rio até chegar ao dióxido de urânio puro é de:
a. 0,10%.
b. 0,15%.
c. 	0,20%.
d. 1,5%.
e. 2,0%.
Resolução
Massa do minério = 1,0 t = 1.000 kg
Massa do dióxido de urânio puro = 1,5 kg
1.000	kg	––––––	100%
 1,5 kg –––––– x
x	=	0,15%
Resposta
B
Matemáti ca básica
PV
-1
4-
11
24
Matemáti	ca
07. Unicamp-SP modificado
Quando uma determinada marca de café custa 
R$12,00	o	quilo,	seu	preço	representa	40%	do	
preço do quilo de outra marca de café. Qual o 
preço do quilo desse café?
Resolução
Seja x o preço do quilo do café, assim 12 = 0,4 x 
∴ x = =
12
0 4
30
,
. 
Resposta
O preço do quilo é R$ 30,00.
08. ENEM
A escolaridade dos jogadores de futebol nos 
grandes centros é maior do que se imagina, 
como mostra a pesquisa a seguir , realizada 
com os jogadores profissionais dos quatro 
principais clubes de futebol do Rio de Janeiro.
0
Fu
nd
am
en
tal
inc
om
ple
to
20
40
60
14
Fu
nd
am
en
tal
16
Total: 112 jogadores
Mé
dio
inc
om
ple
to
14
Mé
dio
54
Su
pe
rio
r
inc
om
ple
to
14
O Globo, 24/7/2005.
De acordo com esses dados, o percentual dos 
jogadores dos quatro clubes que concluíram o 
Ensino Médio é de, aproximadamente:
a. 14%
b. 48%
c. 	54%
d. 60%
e. 68%
Resolução
Observando o gráfico, o número de jogadores 
que concluiu o Ensino Médio é 68, sendo 54 
apenas do Ensino Médio e 14 do Superior in-
completo (que concluíram obrigatoriamente o 
Ensino Médio).
Assim, num total de 112 jogadores, o percen-
tual dos jogadores dos quatro clubes que con-
cluiu o Ensino Médio é 68
112
0 607= , .
Logo,	a	melhor	alternativa	é	a	que	traz	60%.
Resposta
D
5. Lucro
Chamamos de lucro a diferença entre o preço de venda e o preço de custo.
Lucro = preço de venda – preço de custo.
Caso essa diferença seja negativa, ela será chamada de prejuízo.
Assim, podemos escrever:
Preço de custo + lucro = preço de venda
Preço de custo – prejuízo = preço de venda
Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem de duas formas:
Lucro sobre o custo = 
lucro
preço de custo
· %· %100· %
Lucro sobre a venda = 
lucro
preço de venda
· %· %100· %
Observação – A mesma análise pode ser feita para o caso de prejuízo.
PV
-1
4-
11
Matemáti ca básica
25
Matemáti	ca
01. PUC-SP
A semirreta representada no gráfico seguinte 
expressa o custo de produção C, em reais, de n 
quilos de certo produto.
C (reais)
180
80
200 n (quilogramas)
Se o fabricante vender um quilo desse produto 
a R$ 102,00, a porcentagem de lucro sobre o 
preço de custo será de:
a. 25%
b. 20%
c. 18%
d. 15%
e. 14%
Resolução
Se para 20 quilos o preço aumenta R$ 100,00, 
para cada 1 quilo, aumenta R$ 5,00.
Custo de 1 quilo = R$ 85 ,00
L = R$ 102,00 – 85,00 = R$ 17,00 
L
C
= = =
17
85
0 2 20, % 
Resposta
B
02. Fuvest-SP
Um vendedor ambulante vende os seus pro-
dutos	com	lucro	de	50%	sobre	o	preço	de	ven-
da. Então, o seu lucro sobre o preço de custo é 
de: 
a. 10%
b. 25%
c. 33,333...%
d. 100%
e. 120%
Resolução
Sejam: 
L : lucro, Pc : preço de custo e Pv : preço de venda
L P I
P L P P P P
P P P P II
Sub
v
C V C V V
C V V C
=
+ = ⇒ + =
= ⇒ =
0 50
0 50
0 50 2
, · ( )
, ·
, · · ( )
sstituindo I em II temos
L P L PC C
 ( ) ( ), :
, · ·= ⇒ =0 5 2
Portanto,	o	lucro	representa	100%	do	preço	de	
custo.
Resposta
D
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
6. Aumento percentual 
Consideremos	um	valor	inicial	V	que	deve	sofrer	um	aumento	de	p%	de	seu	valor.	Chamemos	de	
A o valor do aumento e VA o valor após o aumento. Então:
A p de V
p
V= =A p= =A p de= =de V= =V ⋅%= =%= =
100
V V A V
p
VA = + = + ⋅100
Matemáti ca básica
PV
-1
4-
11
26
Matemáti	ca
V
p
VAVAV = +
= += += += += +
= += +
= +
= += += +
= += += += += += +
= += +
= += +
= += +
= + 












 ⋅1= +1= +
100
em que 1
100
+


p é o fator de aumento.
Exemplos
Valor 
inicial
Aumento 
percentual
Fator de 
aumento
Valor após 
aumento
50 24% 1,24 1,24 · 50
40 5% 1,05 1,05 · 40
70 250% 3,50 3,50 · 70
7. Desconto percentual
Consideremos um valor inicial V que deve so-
frer	um	desconto	de	p%	de	seu	valor.	Chame-
mos de D o valor do desconto e VD o valor após 
o desconto. Então:
D p de V
p
V= =D p= =D p de= =de V= =V ⋅%= =%= =
100
V V D V
p
VD = = ⋅– – 100
V
p
VDVDV =














 













 ⋅1
100
–
em que 1
100
–
p



é o fator de desconto.
Exemplos
Valor 
inicial
Desconto 
percentual
Fator de 
desconto
Valor após 
desconto
50 24% 0,76 0,76 · 50
40 5% 0,95 0,95	·	40
70 1,5% 0,985 0,985	·	70
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
Dado o valor V, exprimir em função de V:
a. o	valor	de	um	aumento	de	25%;
b. o	valor	após	um	aumento	de	25%;
c. o	valor	de	um	desconto	de	45%;
d. o	valor	após	um	desconto	de	45%.
Resolução
a. 	25%	de	V	=	 25
100
 · V = 0,25 V
b. V	+	25%	de	V	=	V	+	
25
100
 · V = V + 0,25 V = 1,25 V
c. 45%	de	V	= 45
100
 · V = 0,45 V
d. 	V	–	45%	de	V	=	V	–		
45
100
 · V = V – 0,45 V = 0,55 V
Resposta
a. 0,25 V 
b. 1,25 V 
c. 0,45 V 
d. 0,55 V
02. Fuvest-SP
Uma certa mercadoria,
que custava R$ 12,50, 
teve um aumento, passando a custar R$ 13,50. 
A majoração sobre o preço antigo é de:
a. 1,0%
b. 10,0%
c. 12,5%
d. 8,0%
e. 10,8%
Resolução
Seja fA o fator de aumento.
Assim:
12 50 13 50
13 50
12 50
1 08, ,
,
,
,⋅ = ⇒ = =f fA A
O	aumento	foi	de	8%.
Resposta
D
PV
-1
4-
11
Matemática básica
27
Matemática
03. Uespi
Joana e Marta vendem um perfume a domi-
cílio. Joana dá desconto de R$ 10,00 sobre o 
preço	do	perfume	e	recebe	de	comissão	15%	
do preço de venda. Marta vende o mesmo 
perfume com desconto de R$ 20,00 e recebe 
30%	de	comissão	sobre	o	preço	de	venda.	Se	
as duas recebem o mesmo valor de comissão, 
qual o preço do perfume?
a. R$ 26,00
b. R$ 27,00
c. R$ 28,00
d. R$	29,00
e. R$ 30,00
Resolução
Preço do perfume = x
Joana vende por x – 10 e ganha 0,15 · (x – 10)
Marta vende por x – 20 e ganha 0,3 · (x – 20)
0,15 · (x – 10) = 0,3 · (x – 20)
x = R$ 30,00
Resposta
E
04. Vunesp
O fabricante de determinada marca de papel hi-
giênico	fez	uma	“maquiagem”	no	seu	produto,	
substituindo as embalagens com quatro rolos, 
cada um com 40 metros, que custavam R$ 1,80, 
por embalagens com quatro rolos, cada um 
com 30 metros, com custo de R$ 1,62.
Nessas condições, pode-se concluir que o pre-
ço	do	papel	higiênico	foi:
a. aumentado	em	10%.
b. aumentado	em	20%.
c. aumentado	em	25%.
d. aumentado	em	10%.
e. mantido o mesmo.
Resolução
Seja x1: preço do metro na 1ª embalagem
 x2: preço do metro na 2ª embalagem
 f: fator (aumento ou desconto)
x centavos
x centavos
1
2
1 80
40
0 045
1 62
30
0 054
= =
= =
,
,
,
,
5,4 = f · 4,5
f =
5 4
4 5
,
,
f = 1,2
Portanto,	o	aumento	foi	de	20%.
Resposta
B
05. Uespi
Um	artigo	é	vendido	à	vista	com	15%	de	des-
conto ou em duas parcelas iguais, sem descon-
to, uma paga no ato da compra e a outra após 
um	mês.	Quais	os	juros	mensais	embutidos	na	
compra a prazo? Indique o inteiro mais próximo.
a. 41%
b. 42%
c. 43%
d. 44%
e. 45%
Resolução
Preço do produto = x
À vista = 0,85 x
A prazo
parcela x
parcela x
1 0 5
2 0 5
ª ,
ª ,
=
=



Se vendesse sem juros, na segunda parcela de-
veria pagar 0,35x.
Logo, os juros são: 0,35x · j = 0,5x; J = fator de 
aumento
j ≈ 1,42 
Portanto,	o	juro	aproximado	de	42%
Resposta
B
Matemáti ca básica
PV
-1
4-
11
28
Matemáti	ca
8. Aumentos e descontos sucessivos
A. Aumentos sucessivos
 Consideremos um valor inicial V, que irá sofrer 
dois aumentos sucessivos de p1%	e	p2%.	Sendo	
V1 o valor após o primeiro aumento, temos:
V V
p
1
11
100
= ⋅ +



Sendo V2 o valor após o segundo aumento, te-
mos:
 V V p2 1 21 100= ⋅ +




V V
p p
2V V2V V
1 2p p1 2p p1
100
1 211 2
p p1 2p p1
p p1 2p p
100
= ⋅V V= ⋅V V +





p pp p1 21 2p p1 2p pp p1 2p p



1 21 2

1 21 2p p1 2p pp p1 2p p

p p1 2p pp p1 2p p

⋅ +1 2⋅ +1 21⋅ +11 211 2⋅ +1 211 2⋅ +1 2⋅ +1 2
p pp p1 21 2p p1 2p pp p1 2p p⋅ +⋅ +1 2⋅ +1 21 2⋅ +1 2

⋅ +

⋅ +⋅ +⋅ +
1 21 2

1 21 2p p1 2p pp p1 2p p

p p1 2p pp p1 2p p⋅ +⋅ +⋅ +
⋅ +1 2⋅ +1 21 2⋅ +1 2
1 2⋅ +1 21 2⋅ +1 2

⋅ +

⋅ +⋅ +
⋅ + 




 
B. Descontos sucessivos
Sendo V um valor inicial, vamos considerar 
que ele irá sofrer dois descontos sucessivos de 
p1%	e	p2%.
Sendo V1 o valor após o primeiro desconto, 
temos:
V V
p
1
11
100
= ⋅ 



–
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Sendo V2 o valor após o segundo desconto, 
temos:
V V
p
2 1
21
100
= ⋅ 



–
V V
p p
2 1V V2 1V V
1 2p p1 2p p1
100
11 211 2
p p1 2p p1
p p1 2p p
100
= ⋅V V= ⋅V V 





p pp p1 21 2p p1 2p pp p1 2p p



1 21 2

1 21 2p p1 2p pp p1 2p p

p p1 2p pp p1 2p p

⋅ 
p pp p1 21 2p p1 2p pp p1 2p p



1 21 2

1 21 2p p1 2p pp p1 2p p

p p1 2p pp p1 2p p







– –1– –1– –– –

– –

– –
– –

⋅– –⋅

– –

– –
– –

C. Aumentos e descontos sucessivos 
(Desconto e aumento sucessivo)
Seja V um valor inicial. V amos considerar que 
irá sofrer um aumento de p1	%	 e,	 sucessiva-
mente, um desconto de p2%.
Sendo V1 o valor após o aumento, temos:
V V
p
1
11
100
= ⋅ +



⋅
Sendo V2 o valor após o desconto, temos:
V V
p
2 1
21
100
= ⋅ 



–
V V
p p
2V V2V V
1 2p p1 2p p1
100
11 211 2
p p1 2p p1
p p1 2p p
100
= ⋅V V= ⋅V V +





p pp p1 21 2p p1 2p pp p1 2p p



1 21 2

1 21 2p p1 2p pp p1 2p p

p p1 2p pp p1 2p p

⋅ 
p pp p1 21 2p p1 2p pp p1 2p p



1 21 2

1 21 2p p1 2p pp p1 2p p

p p1 2p pp p1 2p p







–
Observação – Se for um desconto seguido de 
aumento, teremos:
V V
p p
2
1 21
100
1
100
= ⋅ 



⋅ +



–
01. FGV-SP
Certo capital C aumentou em R$ 1.200,00 e, 
em	 seguida,	 esse	 montante	 decresceu	 11%,	
resultando em R$ 32,00 a menos do que C. 
Sendo assim, o valor de C, em R$, é:
a. 9.600,00
b. 9.800,00
c. 9.900,00
d. 10.000,00 
e. 11.900,00
Resolução
Chamaremos C de capital e M de montante. 
Logo, teremos o sistema:
M C
M M C
M C
M C
= +
=



⇒
=
=



1 200
0 11 32
1 200
0 89 32
.
,
.
,– –
–
– – , 
Multiplicando-se os membros da segunda 
equação por (–1), temos: 
PV
-1
4-
11
Matemática básica
29
Matemática
M C
M C
M M
M M
–
–
–
=
+ =



⇒ = ⇒
⇒ = ⇒ =
1 200
32
0 89 1 232
0 11 1 232
1 232
.
, .
, .
.
0,89
00 11
11 200
,
.=
Como M = 11.200, temos, da primeira equa-
ção: M – C = 1.200 ⇒ 11.200 – C = 1.200 ⇒ – C 
= 1.200 – 11.200 ⇒ C = 10.000
Resposta
D
02. Vunesp 
Uma instituição bancária oferece um rendi-
mento	 de	 15%	 ao	 ano	 para	 depósitos	 feitos	
numa certa modalidade de aplicação finan-
ceira. Um cliente deste banco deposita 1.000 
reais nessa aplicação. Ao final de n anos, o ca-
pital que esse cliente terá em reais, relativo a 
esse depósito, é:
a. 1.000 + 0,15n
b. 1.000 – 0,15n
c. 1.000 · 0,15n
d. 1.000 + 1, 15n
e. 1.000 · 1,15n
Resolução
V
p
v
V
V
A
n
A
n
A
n
= +

 ⋅
= +

 ⋅
= ⋅
1
100
1
15
100
1 000
1 000 1 15
.
. ( , )
Resposta
E
 
 
03. Fuvest-SP
O	preço	de	uma	mercadoria	subiu	25%.	Calcu-
le a porcentagem que se deve reduzir do seu 
preço atual para que volte a custar o que cus-
tava antes do aumento.
Resolução
Se a mercadoria custa x, então, com o aumento 
de	25%,	ela	custará:
x x x
V desconto V
x D x
D
x
x
D
D
final inicial
+ =
=
⋅ =
=
=
=
1
4
5
4
5
4
5
4
4
5
0 8
·
,
Portanto,	o	desconto	terá	sido	de	20%.
04. PUC-SP
Descontos	sucessivos	de	20%	e	30%	são	equi-
valentes a um único desconto de:
a. 25%
b. 26%
c. 44%
d. 45%
e. 50%	
Resolução
V V
V V V
V
D
D
D
= 

 ⋅



 ⋅
= ⋅ ⋅ = ⋅
=
1
20
100
1
30
100
0 8 0 7 0 56
0 56
– –
, , ,
, VV V= 

 ⋅1
44
100
–
Assim,	o	valor	do	desconto	é	de	44%.
 
Matemáti ca básica
PV
-1
4-
11
30
Matemáti	ca
CAPÍTULO 05 MÚLTIPLOS E DIVISORES
1. Conceitos básicos
A. Números naturais
Os números 0, 1, 2, 3, ... formam o conjunto 
dos números naturais, que é representado 
pelo símbolo . 
Assim:
 = {0, 1, 2, 3,...}
Representamos o conjunto dos números natu-
rais não nulos por *. 
Assim:
* = (1, 2, 3, ...} =  – {0}
B. Números inteiros
Os números..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... formam 
o conjunto dos números inteiros, que é repres-
sentado pelo símbolo ¢. Assim:
¢ = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...} 
Representamos o conjunto dos números intei-
ros não nulos por ¢*.
Assim sendo:
¢* = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3, ...}
Observemos algumas outras notações:
•	¢ +: conjunto dos inteiros não negativos:
¢ + = (0, 1, 2, 3, ...} = 
•	¢–: conjunto dos inteiros não positivos:
¢– = {..., –3, –2, –1, 0}
•		¢ *+ : conjunto dos inteiros positivos:
¢ *+ = {1, 2, 3, ...} = *
•	¢*– : conjunto dos inteiros negativos:
¢*– : {..., –3, –2, –1}.
C. Divisor de um número inteiro
Dados dois números inteiros, d e n, d é um di-
visor ou fator de n se existir um número intei-
ro k, satisfazendo: n = k · d.
Exemplos
1. 2 é um divisor de 6, pois 2 · 3 = 6. Nesse 
caso, 3 seria o valor de k.
2. 5 é um fator de –35, pois 5 · (–7) = – 35 . 
N esse caso, –7 seria o valor de k.
3. Zero é divisor de zero, pois 0 · (k) = 0, 
para qualquer valor inteiro de k.
No entanto, 0(zero) não é divisor de 5, pois 
não existe um inteiro k, tal que:
0 · k = 5
Observemos que 1 é divisor de qualquer 
número inteiro k, pois sempre vai existir um 
número inteiro k tal que:
1 · k = k
Indicaremos por D (n) todos os divisores inteiros 
do número inteiro n.
Observemos algumas outras notações:
•	D*+ (n): divisores inteiros positivos (naturais 
não nulo s) do número inteiro n.
•	D*– (n) : divisores inteiros negativos do núme-
ro inteiro n.
Observação: Sendo n não nulo
D*+ (n) = D* (n) = D*+ (n) = D+ + (n) e D* (n) e D*– (n) e D* (n) = D (n) e D* (n) = D (n) e D*– (n) = D– (n) e D*– (n) e D* (n) = D (n) e D*– (n) e D* – (n)– (n)– 
D. Múlti	plos	de	um	número	inteiro
Dados dois números inteiros d e n, n é um 
múltiplo de d se existir um número inteiro k, 
satisfazendo: n = k · d.
1. 35 é múltiplo de 5, pois 35 = 7 · 5. Nesse 
caso, 7 seria o valor de k.
2. –	38	é	múltiplo	de	2,	pois	–	38	=	–	19	·	2.	
Nesse	caso,	–	19	seria	o	valor	de	k.
3. Zero é múltiplo de qualquer número in-
teiro d, pois 0 = 0 · (d), para qualquer 
valor inteiro de d.
Indicaremos por M(d) todos os múltiplos 
inteiros do número inteiro d.
Observemos algumas outras notações:
•	 M+(d): múltiplos inteiros não negativos 
(ou naturais) do número inteiro d.
•	 M– (d): múltiplos inteiros não positivos 
do número inteiro d.
•	 M*+ (d): múltiplos inteiros positivos do 
número inteiro d.
•	 M*+ (d): múltiplos inteiros negativos do 
número inteiro d.
PV
-1
4-
11
Matemáti ca básica
31
Matemáti	ca
E. Paridade de números inteiros
Dizemos que um número inteiro a é par se, e 
somente se, a ∈M(2). Sendo, então, a um múl-
tiplo de 2, temos que a forma geral de apre-
sentarmos um número par é:
a = 2k, em que k ∈ ¢
Dizemos que um número inteiro b é ímpar se, 
e somente se, b ∉ M(2). Uma forma geral de 
apresentarmos um número ímpar é:
b = 2k + 1, em que k ∈ ¢
F. Números primos e compostos
Um número inteiro é dito número primo quando 
na sua relação de divisores inteiros tivermos 
apenas quatro divisores.
p é primo ⇔ n [D(p)] = 4
Um número inteiro é dito número composto 
quando na sua relação de divisores inteiros ti-
vermos mais de quatro divisores.
a é composto ⇔ n [D(a)] > 4.
Para reconhecermos se um número é primo, 
devemos dividir ess e número, sucessivamente, 
pelos números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... 
até obtermos um quociente x menor ou igual 
ao divisor. Se até então não tivermos obtido 
divisão exata, dizemos que o número é primo.
Exemplos
a) Reconhecer se o número 673 é primo.
 
673 2
1 336
 
673 3
1 224
 
673 5
3 134
 
673 7
1 96
 
673 13
2 61
 
673 13
10 51
 
673 17
10 39
 
673 19
8 35
 
673 23
6 29
 
673 29
6 23
Na última divisão, o quociente já é menor que 
o divisor e ainda não obtivemos divisão exata, 
portanto o 673 é um número primo.
Observações importantes
1) Os números –1, 0 e 1 não são classi-
ficados nem como primo nem como 
número composto.
2) Todo número composto pode ser fa-
torado ou decomposto num produto 
de fatores primos.
G. Divisibilidade	aritméti	ca
Podemos verificar quando um número é divisí-
vel por outro efetuando a operação de divisão. 
Existem, porém, critérios que nos permitem 
reconhecer a divisibilidade entre dois núme-
ros sem que façamos a divisão. Tais critérios se 
aplicam aos principais e mais usados divisores, 
como observaremos a seguir:
•	 divisibilidade por 2: um número é divi-
sível por 2 quando for par.
•	 divisibilidade por 3: um número é 
divisível por 3 quando a soma dos 
algarismos que o formam resultar em 
um número múltiplo de 3.
Exemplos
3.210 é divisível por 2, pois é par, e também é 
divisível por 3, pois a soma dos algarismos 
3 + 2 + 1 + 0 = 6 é divisível por 3.
•	 divisibilidade por 4: um número é divi-
sível por 4 quando o número formado 
pelos seus dois últimos algarismos da 
direita for divisível por 4.
Exemplo
1.840 é divisível por 4, pois o número formado 
pelos dois últimos algarismos, 40, é divisível por 4.
•	 divisibilidade por 5: um número é divi-
sível por 5 quando o seu algarismo da 
unidade for zero ou cinco.
•	 divisibilidade por 6: um número é divi-
sível por 6 quando for divisível, separa-
damente, por 2 e por 3.
•	 divisibilidade por 8: um número é divi-
sível por 8 quando o número formado 
pelos	três	últimos	algarismos	da	direita	
for divisível por 8.
Matemáti ca básica
PV
-1
4-
11
32
Matemáti	ca
Exemplo
35.712 é divisível por 8, pois 712 é divisível por 8.
•	 divisibilidade por 9: um número é di-
visível	por	9	quando	a	soma	dos	alga-
rismos que o formam resultar em um 
número	múltiplo	de	9.
Exemplo
18.711 é divisível por 9, pois: 
 1	+	8	+	7	+	1	+	1	=	18	é	múltiplo	de	9.
•	 divisibilidade por 10: um número é 
divisível por 10 quando o seu algarismo 
da unidade for zero.
•	 divisibilidade por 11: um número é 
divisível por 11 quando a diferença en-
tre as somas dos valores absolutos dos 
algarismos de posição ímpar e a dos 
algarismos de posição par for divisível 
por 11. 
Exemplo
 83.765 é divisível por 11, pois a diferença 
da soma dos algarismos de posição 
ímpar (5 + 7 + 8 = 20) e a soma dos 
algarismos	de	posição	par	(3	+	6	=	9)	é	
um número divisível por 11.
• divisibilidade por 12: um número é 
divisível por 12 quando for divisível, 
separadamente, por 3 e por 4.
H. Fatoração numérica
Todo número composto pode ser decomposto 
ou fatorado num produto de números primos. 
Assim,	por	exemplo,	o	número	90,	que	não	é	
primo, pode ser decomposto como:
90	=	2	·	45
O número 45, por sua vez, sendo composto, 
pode ser fatorado na forma:
45 = 3 · 15
Dessa forma, poderíamos apresentar o núme-
ro	90	com	uma	fatoração:
90	=	2	·	3	·	15
Sendo o número 15 também um número com-
posto, podemos apresentá-lo por meio do se-
guinte produto:
15 = 3 · 5
Teremos, finalmente, a fatoração completa do 
número	90:
90	=	2	·	3	·	3	·	5
Como procedimento geral, podemos estabe-
lecer uma regra para a decomposição de um 
número natural em fatores primos.
Regra
Para decompormos um número natural em 
fatores primos, dividimos o número dado 
pelo seu menor divisor primo; dividimos o 
quociente obtido pelo seu menor divisor 
primo e procedemos da mesma maneira 
com os demais quocientes obtidos até che-
garmos a um quociente igual a 1. O produto 
indicado de todos os fatores primos obtidos 
representa o número fatorado.
Exemplos
90
45
15
5
1
2
3
3
5
 
300
150
75
25
5
1
2
2
3
5
5
 
72
36
18
9
3
1
2
2
2
3
3
90	=	2	·	32 · 5 300 = 22 · 3 · 52 72 = 23 · 32
I. Número de divisores de 
um número natural
Determinação dos divisores naturais do 
número 20
Decomposição prima do número 20: 20 = 22 · 5
Divisores de 20:
20 · 50 = 1
20 · 51 = 5
21 · 50 = 2
21 · 51 = 10
22 · 50 = 4
22 · 51 = 20
D(20) = {1; 2; 4; 5; 10; 20}
Observação – É possível provar :
PV
-1
4-
11
Matemáti ca básica
33
Matemáti	ca
Regra
O número de divisores naturais de um nú-
mero natural  é igual ao produto dos ex-
poentes dos seus fatores primos aumenta-
do, cada expoente, do número 1.
Assim, se  = aα · bβ · cγ, com a, b e c primos, γ, com a, b e c primos, γ
temos:
n[D+ ( )] = (α + 1) · (β + 1) · (γ + 1)
Exemplo
Determinar os divisores naturais do número 
natural 60.
60
30
15
5
1
2
2
3
5
1
2 60
4
3 6 12
5 10 20 15 30 60
60 1 2 3 4
D
D
+
+ =
( )
, ,
, , , , ,
( ) { , , , ,, , , , , , , , }5 6 10 12 15 20 30 60 
2. Propriedades
Os múltiplos e os divisores dos números na-
turais
apresentam algumas propriedades que 
nos são muito úteis e que passaremos a estu-
dar a seguir.
•	 Propriedade 1
Exemplo
No exemplo anterior, n[D(20)] = (2 + 1) · (1 + 1) = 6
Como observação, podemos estabelecer que 
o número de divisores inteiros de um número 
natural é o dobro do número de divisores na-
turais, pois a cada divisor natural existem dois 
divisores inteiros: um positivo e o oposto. 
Assim:
n[D( )] = 2 · n[D+ ()]
Exemplo
Consideremos: 60 = 22 · 31 · 51
Temos que o número de divisores naturais de 
60 é:
n[D+(60)] = (2 + 1) · (1 + 1) · (1 + 1) = 12
Temos que, a partir desse resultado, o número 
de divisores inteiros de 60 é:
n[D(60)] = 2 · n[D+(60)] = 2 · 12 = 24
J. Determinação dos divisores 
de um número natural
Regra
Para estabelecermos os divisores de um 
número natural, inicialmente devemos de-
compor o número em fatores primos e, à 
direita dessa fatoração, passamos um traço 
vertical. A seguir, colocamos ao lado direito 
do traço e acima do primeiro fator o número 
1. Os demais divisores do número dado são 
obtidos a partir da unidade, multiplicando-se 
cada um dos fatores primos que estão à es-
querda do traço pelos números que estão à 
direita e situados acima dele, evitando-se as 
repetições.
Se um número natural P dividido por um nú-
mero natural d deixa resto r, então (P – r) é 
múltiplo de d.
Justificativa
P d
r q P d q r P r d q⇒ = ⋅ + ⇒ = ⋅–
Portanto, (P – r) é múltiplo de d.
Exemplo
45 6
3 7 45 3 42⇒ =– que é, de fato, um 
múltiplo do divisor 6.
•	 Propriedade 2
Se um número natural P dividido por um nú-
mero natural d deixa resto r, então P + (d – r) 
é um múltiplo de d.
Justificativa
P d P d q r igualdade I
r q
⇒ = ⋅ + ( )
Matemáti ca básica
PV
-1
4-
11
34
Matemáti	ca
Adicionando-se (d – r) aos dois membros da 
igualdade I, teremos:
P + (d – r) = d · q + r + (d – r)
P + (d – r) = d · q + d
Assim:
P + (d – r) = d · (q + 1)
Portanto, P + (d – r) é um múltiplo de d.
Exemplo
45 6 45 6 3 48
3 7
⇒ + =( )– , que é, de fato, um 
múltiplo do divisor 6.
•	 Propriedade 3
Se um número A é múltiplo de um número 
B, então o número A será múltiplo de todos 
os divisores de B.
Justificativa
Sendo A um múltiplo de B, temos que:
A = k · B, onde k ∈ ¢ (I).
Sendo d um divisor qualquer de B, temos que:
B = k1 · d, em que k1 ∈ ¢ (II)
Substituindo (II) em (I), temos:
A = k · k1 · d, em que k · k1 ∈ ¢
Portanto, A é um múltiplo de d.
Exemplo
O número 40 é múltiplo de 20, pois 40 = 20 · 2.
Os divisores naturais de 20 são: 1; 2; 4; 5; 10 
e 20.
O número 40 também é múltiplo dos divisores 
de 20.
•	 Propriedade 4
Para um conjunto com n números naturais 
não nulos consecutivos, um deles é múltiplo 
de n.
Justificativa
Consideremos	a	sequência	dos	números	natu-
rais não nulos:
1,	2,	3,	4,	5,	6,	7,	8,	9,	10,	11,	12,	13,	14,	15,	16,...
Observemos que os múltiplos do número 3 
aparecem	de	 três	em	três	ness	a	 sequência	e	
que,	 portanto,	 qualquer	 conjunto	 com	 três	
números consecutivos vai apresentar, neces-
sariamente, um múltiplo de 3.
Podemos extrapolar a ideia para todos os nú-
meros naturais, confirmando a propriedade.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
Dado o número inteiro 60:
a. decomponha-o em fatores primos;
b. determine o seu número de divisores 
naturais;
c. determine o seu número de divisores 
inteiros;
d. determine todos os seus divisores na-
turais;
e. determine todos os seus divisores inteiros.
Resolução
a. 60
30
15
5
1
2
2
3
5
∴ 60 = 22 · 3 · 5
b. D(60) = (2+1) · (1+1) · (1+1) = 12
c. D(60) = 12 ·2 = 24
d. 1
60 2 2
30 2 4
15 3 3, 6, 12
5 5 5, 10, 20, 15, 30, 
60
1
 
D+(60) ={1, 2, 4, 3, 6, 5, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
e. D(60) = {±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, 
±15, ±20, ±30, ±60}
PV
-1
4-
11
Matemáti ca básica
35
Matemáti	ca
02. UEPB
Se k é um número inteiro positivo, então o 
conjunto A formado pelos elementos k2 + k é, 
necessariamente:
a. o conjunto dos inteiros não negativos.
b. um conjunto de múltiplos de 3.
c. um conjunto de números ímpares.
d. um conjunto de números primos.
e. um conjunto de múltiplos de 2.
Resolução
k2 + k = k(k + 1)
Número par para qualquer k.
Resposta
E
03. 
Mostre que, se a divisão de um número natu-
ral n, com n positivo, por 5, dá resto 1, en-
tão (n – 1) · (n + 4) é múltiplo de 25.
Resolução
Sabemos que: n n q
q
5 5 1
1
⇒ = ⋅ +
Pelas propriedades dos divisores:
•	n	–	1	é	múltiplo	de	5	 				n	–	1	=	5	K1 (1)
•	n	+	(5	–	1)	é	múltiplo	de	5			n	+	4	=	5	K2 (2)
Multiplicando 1 por 2:
(n – 1) (n + 4) = 5 K1 · 5 K2
(n – 1) (n + 4) = 25 K1 · K2
K1 · K2 = K ∈ ¢
Logo, (n – 1) (n + 4) = 25 K
Assim, (n – 1) (n + 4) é múltiplo de 25.
04. UEPE
O número N = 63 ·104 · 15x, sendo x um inteiro 
positivo, admite 240 divisores inteiros e posi-
tivos. Indique x.
Resolução
A fatoração em primos de N é:
27 · 33+x · 54+x, logo seu número de divisores é 
8(4 + x)(5 + x) = 240.
Segue que (4+x)(5+x) = 30 
⇒ 20 + 4x + 5x + x2 = 30
⇒ x2	+	9x	+	10	=	m0
∴ x = 1 ou x = – 10 (não convém)
Resposta
x = 1
05. Fuvest-SP
Um	 número	 natural	 N	 tem	 três	 algarismos.	
Quando	dele	subtraímos	396,	resulta	o	número	
que é obtido invertendo-se a ordem dos algaris-
mos de N. Se, além disso, a soma do algarismo 
das centenas e do algarismo das unidades de N é 
igual a 8, então o algarismo das centenas de N é:
3. Máximo divisor comum
O máximo divisor comum (MDC) de dois ou mais 
números é o maior número, que é divisor comum 
de todos os números dados.
a. 4
b. 5
c. 6
d. 7
e. 8
Resolução
N abc
abc cba
a b c c b a
a c
a c
a
=
− =
+ + − = + +
− =
− =
396
100 10 396 100 10
99 99 396
4
++ =



=
=
c
a
c
8
6
2
Resposta
C
Matemáti ca básica
PV
-1
4-
11
36
Matemáti	ca
Podemos	estabelecer	uma	 sequência	de	eta-
pas até determinarmos o valor do máximo di-
visor comum de dois ou mais números como 
veremos a seguir, num exemplo.
Consideremos:
1. O número 18 e os seus divisores naturais:
D+ (18)	=	{1,	2,	3,	6,	9,	18}
2. O número 24 e os seus divisores naturais:
D+ (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
Podemos descrever, agora, os divisores 
comuns a 18 e 24:
D+ (18) ∩ D+ (24) = {1, 2, 3, 6}
Observando os divisores comuns, podemos 
identificar o maior divisor comum dos números 
18 e 24, ou seja:
MDC (18, 24) = 6
4. Mínimo múlti plo comum
O mínimo múltiplo comum (MMC) de dois 
ou mais números é o menor número posi-
tivo que é múltiplo comum de todos os nú-
meros dados.
Podemos	estabelecer	uma	 sequência	de	eta-
pas até determinarmos o valor do mínimo 
múltiplo comum de dois ou mais números, 
como veremos a seguir, num exemplo.
Consideremos:
1. O número 6 e os seus múltiplos positivos:
M*+ (6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54,...}
2. O número 8 e os seus múltiplos positivos:
M*+ (8) = (8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64,...}
Podemos descrever, agora, os múltiplos posi-
tivos comuns:
M*+ (6) ∩ M*+ (8) = {24, 48, 72, ...}
Observando os múltiplos comuns, podemos 
identificar o mínimo múltiplo comum dos nú-
meros 6 e 8, ou seja: MMC (6, 8) = 24.
1) O máximo divisor comum (MDC) dos 
núm eros é o produto de todos os fatores 
comuns às fatorações com os menores 
expoentes com os quais eles se apresentam 
nas suas respectivas decomposições.
2) O mínimo múltiplo comum (MMC) dos 
números é o produto de todos os fatores 
existentes nas decomposições, comuns ou 
não, considerados com os maiores ex-
poentes com os quais eles se apresentam 
nas suas respectivas decomposições.
Exemplo
Consideremos os números A, B e C já fatorados:
A = 23 · 3 · 52
B = 22 · 5 · 7
C = 24 · 32 · 53
Teremos que:
MDC (A, B, C) = 22 · 5 e MMC (A, B, C) = 24 · 32 · 53 · 7
6. MMC e MDC pelo método 
da fatoração simultânea
Podemos determinar o MDC e o MMC de dois 
ou mais números pelo uso de um procedimen-
to	que	prevê	a	fatoração	simultânea de todos 
os números dados.
Para ess e procedimento, inicialmente, decom-
pomos, simultaneamente, os números, divi-
dindo sucessivamente
pelo menor fator primo 
e, no caso de algum número ou quociente não 
ser divisível pelo fator primo, o número deve 
ser repetido no algoritmo. Obtemos o MMC 
multiplicando todos os fatores primos da de-
composição.
Podemos, à medida que efetuamos fatoração 
simultânea, ir assinalando quais são os farores 
primos que dividem, ao mesmo tempo, todos 
os números ou quocientes. Obtemos o MDC 
multiplicando todos esses fatores assinalados.
5. MDC e MMC pelo método 
da decomposição isolada
Para determinarmos o MDC e o MMC de vários 
números, devemos colocar todos os números 
na forma fatorada. Após esse procedimento, 
podemos estabelecer:
PV
-1
4-
11
Matemáti ca básica
37
Matemáti	ca
Exemplo
Consideremos os números 2.520 e 2.700:
2 520 2 700
1 260 1 350
630 375
315 675
105 225
35 75
35 25
7 5
7
. , .
. , .
,
,
,
,
,
,
,11
1 1
2
2
2
3
3
3
5
5
7
,
*
*
*
*
*
Teremos que:
MDC (2.700, 2.520) = 22 · 32 · 5 e
MMC (2.700, 2.520) = 23 · 33 · 52 · 7
7. MDC pelo método das 
divisões sucessivas
A determinação do MDC pelo método das di-
visões sucessivas é um processo desenvolvi-
do por Euclides e consiste, basicamente, em 
dividir o número maior pelo número menor. 
Se a divisão for exata, o MDC será o menor 
número. Porém, caso a divisão apresente resto 
diferente de zero, deveremos dividir o menor 
número pelo resto e, assim, sucessivamente, 
até chegarmos a uma divisão exata. O último 
divisor será o MDC dos números. 
Exemplos
a) Determinar o MDC dos números 252 e 
140.
1 1 4
252 140 112 28
112 28 0
quocientes
restos
MDC (252, 140) = 28
b) Determinar o MDC dos números 330, 
210 e 165. Tomemos, inicialmente, os 
dois maiores números:
1 1 1 3
330 210 120 90 30
120 90 30 0
MDC (330, 210) = 30
Posteriormente, tomamos o terceiro número 
com o MDC dos dois primeiros:
5 2
165 30 15
15 0 
MDC (330, 210, 165) = 15
8. Propriedades do MDC e do MMC
•	 Propriedade 1
MDC (A, B) · MMC (A, B) = A · B
Justificativa
Consideremos os números A e B decompostos 
em fatores primos:
A = aα1 · bβ1 · cγ1 · ... pε1 e
B = aα2 · bβ2 · cγ2 · ... pδ1
Para o cálculo do MDC (A, B), tomamos os 
fatores comuns com os menores expoentes; 
para o cálculo do MMC (A, B), tomamos to-
dos os fatores comuns ou não comuns com os 
maiores expoentes. Vamos considerar o caso 
do fator a:
α1 < α2, teremos α1 no MDC e α2 no MMC.
α1 > α2, teremos α1 no MMC e α2 no MDC.
No produto A · B, o fator a terá expoente 
(α1 + α2). No produto MDC (A, B) · MMC (A, B), 
o fator a também terá expoente (α1 + α2). 
Fazendo a mesma consideração para todos 
os outros fatores primos, verificaremos que os 
mesmos fatores, com os mesmos expoentes, 
que compõem o produto dos números A e B, 
compõem, também, o produto do MDC e o 
MMC desses números e, portanto: 
MDC (A, B) · MMC (A, B) = A · B
•	 Propriedade 2
MDC (k · A, k · B) = k · MDC (A, B)
•	 Propriedade 3
MMC (k · A, k · B) = k · MMC (A, B)
Matemática básica
PV
-1
4-
11
38
Matemática
•	 Propriedade 4
Os divisores comuns de dois ou mais números 
naturais são os divisores do MDC desses números.
•	 Propriedade 5
Os múltiplos comuns de dois ou mais números 
naturais são os múltiplos do MMC desses números.
•	 Propriedade 6
Dois números são considerados primos entre 
si se o MDC deles é igual a 1.
Os números 5 e 7 são primos entre si, bem 
como	4	e	9,	pois	MDC	(5,	7)	=	1	e	MDC	(4,	9)	=	1.	
Notemos que, para que os números sejam primos 
entre si, não é necessário que eles sejam primos.
•	 Propriedade 7
Dois números naturais consecutivos são, sem-
pre, primos entre si.
•	 Propriedade 8
Para os dois números primos entre si, o MMC 
é o produto deles.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. Unisul-SC 
Num	 painel	 de	 propaganda,	 três	 luminosos	 se	
acendem em intervalos regulares: o primeiro a 
cada 12 segundos, o segundo a cada 18 segun-
dos e o terceiro a cada 30 segundos. Se, em um 
dado	instante,	os	três	se	acenderem	ao	mesmo	
tempo, os luminosos voltarão a se acender, si-
multaneamente, depois de:
a. 2 minutos e 30 segundos.
b. 3 minutos.
c. 2 minutos.
d. 1 minuto e 30 segundos.
e. 36 segundos.
Resolução
Os luminosos se acendem simultaneamente 
em um tempo múltiplo dos intervalos, pela 
primeira vez no menor múltiplo.
MMC(12, 30, 18) = 180 s = 3 min
Resposta
B
02. 
Os restos das divisões de 247 e de 315 por x são 
7 e 3, respectivamente. Os restos das divisões 
de 167 e de 213 por y são 5 e 3, respectivamente. 
O maior valor possível para a soma x + y é:
a. 36
b. 34
c. 30
d. 25
e. 48
Resolução
247 – 7 é múltiplo de x ⇒ x é divisor de 240.
315 – 3 é múltiplo de x ⇒ x é divisor de 312.
Para que a soma seja máxima, o número x deverá 
ser o maior divisor comum de 240 e de 312.
240 2 3 5
312 2 3 13
240 312 2 3 24 24
4
3
3
=
=



⇒ ( ) = = ∴ =. .
. .
, .MDC x
167 – 5 é múltiplo de y ⇒ y é divisor de 162
213 – 3 é múltiplo de y ⇒ y é divisor de 210
O número y deverá ser o maior divisor comum de 162 
e de 210.
162 2 3
210 2 3 5 7
160 210 2 3 6 6
4=
=



⇒ ( ) = = ∴ =.
. . .
, .MDC y
Assim, o valor máximo de x + y é 30.
Resposta
C
03. Unicamp-SP
Uma sala retangular medindo 3 m por 4,25 m 
deve ser ladrilhada com ladrilhos quadrados 
iguais. Supondo que não haja espaço entre la-
drilhos vizinhos, pergunta-se:
a. Qual deve ser a dimensão máxima, em 
centímetros, de cada um desses ladri-
lhos para que a sala possa ser ladrilha-
da sem cortar nenhum ladrilho?
b. Quantos desses mesmos ladrilhos são 
necessários?
Resolução
Sala: 300 cm x 425 cm
a. Seja n o lado do ladrilho
 n = MDC (300, 425) ∴ n = 25 cm
b. No lado de 425 cm : 425 ÷ 25 = 17
 No lado de 300 cm : 300 ÷ 25 = 12
 Número de ladrilhos: 17 · 12 = 204 ladrilhos
Resposta
a. 25 cm
b. 204 ladrilhos
PV
-1
4-
11
Matemática básica
39
Matemática
1. Introdução
Observemos as igualdades a seguir:
I. 4 + 7 = 10
II. 4 + 7 = 11
III. 4 + x = 7
As duas primeiras igualdades são sentenças 
matemáticas fechadas, uma vez que cada uma 
delas admite uma, e somente uma, das se-
guintes classificações: FALSA ou VERDADEIRA. 
No caso anterior, a sentença (I) é FALSA e a (II) 
é VERDADEIRA.
A igualdade (III) é uma sentença matemática 
aberta, pois não podemos classificá-la como 
FALSA ou VERDADEIRA, porque não sabe-
mos o valor que a letra x representa. Na sen-
tença matemática aberta, o ente matemáti-
co desconhecido, geralmente representado 
por uma letra, recebe o nome de incógnita, 
ou variável. Dependendo do valor que se 
atribui à incógnita em uma sentença aberta, 
pode-se obter uma sentença FALSA ou VER-
DADEIRA. Por exemplo, em (III), se atribuir-
mos o valor 3 para a letra x, teremos uma 
sentença VERDADEIRA, mas, se atribuirmos 
o valor 4, teremos uma sentença FALSA.
2. Equação matemática
As sentenças matemáticas abertas com uma 
ou mais incógnitas são denominadas equa-
ções matemáticas.
Exemplos de equações matemáticas:
01. 2x + 10 = 0
02. x2 + 1 = 0
03. x + x = 2
04. 
1
x + 1 = 1
05. x2 – 11x + 28 = 0
06. 0 · x = 1
07. 2x = 4
08. 0 · x = 0
3. Raiz (ou solução) de uma equação
É o número do conjunto universo que, quando 
colocado no lugar da incógnita, transforma a 
sentença matemática aberta em uma sen-
tença matemática fechada verdadeira. De 
maneira prática, podemos dizer que raiz é o 
número que, substituído no lugar da incógni-
ta,	“torna”	a	igualdade	verdadeira.
Observação – Conjunto universo de uma 
equação é o conjunto constituído dos possí-
veis valores que a incógnita pode assumir.
Exemplo 1 – Observe a equação 2x + 10 = 0 de-
finida em .
a. O conjunto universo é o conjunto , 
conjunto dos números reais.
b. Se substituirmos x por – 5 na equação 
2x + 10 = 0, teremos 2(– 5) + 10 = 0, 
que é uma igualdade verdadeira. Dize-
mos, então, que – 5 é raiz da equação.
c. O número 5, mesmo sendo um elemen-
to pertencente ao conjunto universo, 
não é solução da equação 2x + 10 = 0, 
pois 2(5) + 10 = 0 é falsa.
Exemplo 2 – Observe a equação 2x + 10 = 0 de-
finida em .
a. O conjunto universo é o conjunto
, 
conjunto dos números naturais.
b. Se substituirmos x por – 5 na equação 
2x + 10 = 0, teremos: 2(– 5) + 10 = 0, 
que é uma igualdade verdadeira, mas 
– 5 não é raiz da equação, pois o núme-
ro – 5 não é elemento pertencente ao 
conjunto .
4. Resolução de equações
Encontrar todas as raízes (ou soluções) da equa-
ção e representá-las em um conjunto denomi-
nado conjunto solução.
Ao resolver uma equação, é preciso estar aten-
to ao conjunto universo em que está definida 
a equação.
CAPÍTULO 06 EQUAÇÕES
Matemática básica
PV
-1
4-
11
40
Matemática
5. Equações equivalentes
São aquelas que possuem as mesmas raízes, 
isto é, o mesmo conjunto solução, no mesmo 
universo.
Exemplo
As equações 2x + 10 = 0 e x + 5 = 0 são equi-
valentes, pois ambas possuem uma única raiz, 
que é –5.
Os teoremas a seguir permitem transformar 
uma equação em outra equação equivalente.
T1. Adicionar (subtrair) um mesmo número, do 
conjunto universo, em ambos os membros da 
igualdade.
a = b ⇔ a + c = b + c ou a = b ⇔ a – c = b – c
T2. Multiplicar (dividir) um mesmo número dife-
rente de zero, do conjunto universo, em ambos 
os membros da igualdade.
a = b ⇔ a · c = b · c ou a = b ⇔ 
a
c
b
c=
Exemplo 
Observe a equação 2x + 10 = 0 definida em .
Considere os procedimentos a seguir:
2x + 10 = 0
2x + 10 = 0 (vamos subtrair 10 dos dois mem-
bros da igualdade, T1) 
2x + 10 – 10 = 0 – 10)
2x = – 10 (agora, vamos dividir os membros da 
igualdade por 2, T2)
2
2
10
2
x
=
–
x = – 5
Pelo teorema T1, a equação 2x + 10 = 0 é equi-
valente à equação 2x = – 10 e, pelo teorema T2, 
esta é equivalente à equação x = – 5. Assim, 
podemos	dizer	que	as	três	equações	são	equi-
valentes entre si, e a última é a mais simples e 
nos leva à solução. O uso de teoremas de equi-
valência	 é	de	 grande	auxílio	 na	 resolução	de	
equações matemáticas.
6. Equação do 1º grau
Observando os oito exemplos de equações ci-
tados anteriormente, percebemos que há di-
versos tipos distintos de equações, por isso é 
preciso organizar as equações em grupos com 
características semelhantes.
O primeiro grupo que iremos organizar para 
estudo é o das equações do 1º grau.
Denominamos equação do 1º grau em , na 
incógnita x, toda equação que pode ser escrita 
na forma ax + b = 0, com a	≠	0,	a	∈ e b ∈. 
Dentre os oito exemplos de equações citados 
anteriormente, apenas a primeira equação é 
do 1º grau, e, comparando a forma geral 
ax + b = 0 com a equação 2x + 10 = 0, verifica-
mos que a = 2 e b = 10.
Observe que a 6ª e a 8ª equações, embora 
possam ser escritas na forma ax + b = 0, não 
são equações do 1º grau, pois a = 0.
Os dois teoremas citados anteriormente nos 
auxiliam na resolução de equações do 1º grau. 
Observe:
Forma geral: ax + b = 0
(T1) Subtraindo b dos dois membros da 
igualdade: ax + b – b = 0 – b
Equação equivalente: ax = – b
(T2) Dividindo os dois membros por a: 
ax
a
b
a
=
–
Equação equivalente: x = – 
b
a (descobrimos o valor do x)
S =
b
a–
7. Problemas matemáticos
Proposição a ser resolvida a partir dos dados 
do problema, os quais são informações conti-
das no enunciado da questão de forma explí-
cita ou implícita. Um problema matemático 
pode ter uma solução, mais de uma solução 
ou não ter solução.
Para resolver um problema matemático, preci-
samos encontrar todos os possíveis valores das 
incógnitas propostas no enunciado da questão.
8. Passos para resolver um problema 
matemático
01. Equacionar o problema (organizar os 
dados da questão em uma ou mais 
equações matemáticas).
PV
-1
4-
11
Matemática básica
41
Matemática
02. Resolver as equações.
03. Analisar os resultados encontrados 
avaliando se algum serve, se todos ser-
vem ou se nenhum deles serve.
04. Apresentar a resposta final.
Exemplo
A soma das idades de dois irmãos é 30. A idade 
do mais velho excede a idade do mais novo em 
10 anos. Quais são as idades dos irmãos?
Podemos organizar os dados do problema em 
uma tabela, que é um artifício de muita utili-
dade.
Idade dos irmãos
Irmão mais novo x
Irmão mais velho
x + 10 (o enunciado diz 
que a idade do mais velho 
excede a idade do mais 
novo em 10 anos.)
Ainda do enunciado, temos: x + x + 10 = 30 
(a soma das idades é 30).
Resolver a equação: 2x + 10 = 30
 2x = 20
 x = 10
Resposta – O irmão mais novo tem 10 anos e o 
irmão mais velho tem 20 anos.
Um problema pode ter mais de um modo de 
se resolver.
2º modo
No exemplo anterior, poderíamos montar a ta-
bela do seguinte modo:
Idade dos irmãos
Irmão mais novo x
Irmão mais velho 30 – x (a soma das idades é 30)
Ainda do enunciado: 30 – x = x + 10 
(a idade do mais velho excede a idade do 
mais novo em 10 anos)
 30 – 10 = x + x
 20 = 2x
 10 = x
Resposta – O irmão mais novo tem 10 anos e o 
irmão mais velho tem 20 anos.
3º modo
O mesmo problema poderia ser resolvido utili-
zando-se duas incógnitas.
Idade
Mais novo x
Mais velho y
(A soma das idades é 30.) x + y = 30 
(A idade do mais velho excede a idade do mais 
novo em 10 anos.) y = x + 10 
Substituir a 2ª equação na 1ª: x + x + 10 = 30
 2x = 20
 x = 10
Substituir o resultado na 2ª equação: y = 10 + 10
 y = 20
Resposta – O irmão mais novo tem 10 anos e o 
irmão mais velho tem 20 anos.
Matemática básica
PV
-1
4-
11
42
Matemática
01. 
Resolver em  a equação 
x x−
+ =
1
2 3
1.
Resolução
1º passo: reduzindo a um denominador comum:
 
x x−
+ =
1
2 3
1
MMC (2; 3) = 6 → 3 1 2
6
6 1
6
⋅ − + ⋅
=
⋅( )x x 
Multiplicando ambos os 
membros por 6, temos: 3 · (x – 1) + 2 · x = 6 · 1
2º passo: isolar a incógnita em um dos membros da igualdade com auxílio dos teoremas T1 e T2 
anteriores:
 3 · x – 3 + 2 · x = 6
 5 · x – 3 = 6
 5 · x = 6 + 3
	 	 	 	 5	·	x	=	9
 x =
9
5
 x = 1,8
Conjunto solução → S = {1,8}
02. 
Yasmin, ao sair de casa, tinha em sua bolsa moedas, todas de mesmo valor. Entrou em uma loja e 
deixou metade delas na compra de um produto A. Em seguida, gastou a metade das moedas que 
sobraram na compra de um produto B, em outra loja, ficando com exatamente 30 moedas. Com 
quantas moedas Yasmin saiu de casa?
Resolução
Inicial 1ª compra 1ª sobra 2ª compra 2ª sobra
Moedas x
x
2
x
x x
−



=
2 2
x
x2
2 4




=
x x x
2 4 4
30− = =
x
4
30=
x = 30 · 4
x = 120
Resposta
Yasmin tinha 120 moedas.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
PV
-1
4-
11
Matemática básica
43
Matemática
9. Equação do 2º grau
A. Introdução
O segundo grupo de equações que iremos 
organizar para estudo são as equações do 2º 
grau.
B. Equação do 2º grau
Denominamos equação do 2º grau em 
, na incógnita x, toda equação que 
pode ser escrita na forma ax2 + bx + c = 0, 
com a	≠	0,	a ∈, b ∈ e c ∈.
Exemplo
A equação 2x2 + x – 1 = 0 é do segundo grau. 
Comparando-a com a forma genérica ax2 + bx + c = 0, 
temos: a = 2, b = 1 e c = –1. 
C. Resolvendo equações do 2º grau
Exemplo 
Resolver, em , as equações:
a. x2 – 25 = 0
b. x2 – 2 x = 0
c. x2 – 4x – 7 = 0
Resolução: 
a. x2 – 25 = 0
 x2 = 25
 x = ± 25 (Note que o símbolo ± é 
exigência	da	equação	do	2º	grau,	e	não	da	raiz	
quadrada.)
x = ± 5 (leia-se x igual a mais ou menos cinco)
A igualdade anterior apresenta como soluções 
x = 5 ou x = – 5.
S = {5, – 5}
b. x2 – 2x = 0 
(Observe que x é um fator comum.)
x (x – 2) = 0 (Uma multiplicação de reais igual
 a zero significa que pelo menos 
 um dos fatores é igual a zero.)
 x = 0 ou x – 2 = 0
 x = 0 ou x = 2
 S = {0; 2}
c. x2 – 4x – 7 = 0
 x2 – 4x = 7 
(Somar número conveniente nos 
dois membros da igualdade para 
que o trinômio que irá surgir, no 
membro da esquerda, seja um tri-
nômio quadrado perfeito.)
x2 –4x + 4 = 7 + 4
(x – 2)2 = 11
( ) ( )
{ , }
x ou x
x ou x
S
− = − = −
= + = −
= + −
2 11 2 11
2 11 2 11
2 11 2 11
As equações dos itens (a) e (b) do exemplo 
anterior, são conhecidas como equações in-
completas do 2º grau, pois apresentam b 
= 0 ou c = 0. 
D. Equações incompletas do 2º grau 
As equações incompletas do 2º grau são de 
dois tipos:
a. ax2 + c = 0 (b = 0, resolução rápida: isolar 
o x)
b. ax2 + bx = 0 (c = 0, resolução rápida: 
fatoração)
E. Uma fórmula para resolver 
equações do 2º grau
Dada a equação do 2º grau na forma genérica
ax2 + bx + c = 0, consideremos os passos ma-
temáticos a seguir.
ax2 + bx + c = 0
Multiplicando os dois membros da equação por 
4a, temos:
4a2x2 + 4abx + 4ac = 0 
4a2x2 + 4abx = – 4ac
Adicionando-se b2 a cada um dos membros 
da equação, temos:
4a2x2 + 4abx + b2 = – 4ac + b2
(2ax)2 + 2(2ax)b + b2 = b2 – 4ac
Observe que (2ax + b)2 = (2ax)2 + 2(2ax)b + b2 
(trinômio quadrado perfeito). Substituindo, 
temos:
(2ax + b)2 = b2 – 4ac
Matemática básica
PV
-1
4-
11
44
Matemática
O termo b2 – 4ac é denominado discriminante 
e costuma ser representado pela letra grega ∆.
(2ax + b)2 = 
2ax + b = ∆±
2ax = – b ∆±
x = ∆
2a
–b ±
 
Conclusão – Dada a equação do 2º grau 
ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, podemos encontrar os valo-
res de x por medio da fórmula x = ∆
2a
–b ±
 com 
 = b2 – 4ac. Essa fórmula costuma ser designa-
da por fórmula resolutiva de Bhaskara.
Exemplo
Resolver em  as equações:
a. – 4x2 – 10x – 4 = 0
b. x2 – 20x + 100 = 0
c. – x2 – 2x – 2 = 0
Resolução
a. − − − =
= −
= −
= −




4x 10x 4 0 102
a
b
c
4
4
 ∆ = b2 – 4ac = (– 10)2 – 4 · ( – 4) · (– 4)
 ∆ = 100 – 64
 ∆ = 36
 x
b
a
x
x
=
− ±
=
− − ±
⋅ −
=
±
−
∆
2
10 36
2 4
10 6
8
( )
( )
 
x ou x
x ou x
=
+
−
=
−
−
= − = −
= − −




10 6
8
10 6
8
2
1
2
1
2
S 2;
b. x 2 x 12 − + =
=
= −
=




0 00 0
1
20
100
a
b
c
 ∆ = b2 – 4ac = ( –20)2 – 4 · 1 · 100
 ∆ = 400 – 400
 ∆ = 0
 x b
a
x
x
=
− ±
=
− − ±
⋅
=
±
∆
2
20 0
2 1
20 0
2
( )
 
x ou x=
+
=
−20 0
2
20 0
2
 x = 10 ou x = 10
 S = {10}
c. – x2 – 2x – 2 = 0
Mutiplicando os dois membros por (–1), temos:
 
x 2x 22 + + =
=
=
=




0
1
2
2
a
b
c
 ∆ = b2 – 4ac = 22 – 4 · 1 · 2
 ∆ = – 4 
Na fórmula resolutiva, é necessário calcular 
∆ e, nesse exemplo, precisaríamos encon-
trar - 4, porém esse número não existe no 
conjunto dos números reais. Dizemos, então, 
que não existe solução real.
S = Ø (conjunto vazio) 
Observações:
I. No exemplo a, encontramos um valor 
de ∆ positivo e duas raízes reais e dis-
tintas.
II. No exemplo b, o valor do ∆ é zero e as 
duas raízes são reais e iguais.
III. No exemplo c, o ∆ é negativo e não exis-
tem raízes reais.
De maneira geral, em uma equação do 2º grau, 
podemos dizer que:
a. ∆ > 0 ⇔ há duas raízes reais e distintas;
b. ∆ = 0 ⇔ há duas raízes reais e iguais;
c. ∆ < 0 ⇔ não há raiz real.
PV
-1
4-
11
Matemática básica
45
Matemática
F. A soma e o produto das raízes 
de uma equação do 2º grau
Consideremos a equação do 2º grau 
ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0. 
Pela fórmula resolutiva, temos:
x x21 2 2
=
− +
=
− −b
a
b
a
∆ ∆
;
Indicaremos a soma das raízes por S e o pro-
duto por P.
S x x1 2= + =
− +
+
− −
=
− + − −
= −
= −
 
b
a
b
a
S
b b
a
S
b
a
S
b
a
∆ ∆
∆ ∆
2 2
2
2
2
 
P
P
P
=
− +



− −



= −




= −


b
a
b
a
b
a
b
a
∆ ∆
∆
∆
2 2
4
4
2 2
2
2
2
·
( )

=
− −



P
b b ac
a
2 2
2
4
4
( )
P
P
P
=
− +



=
=
b b ac
a
a c
a a
c
a
2 2
2
4
4
4
4
· ·
· ·
Resumindo – Dada a equação do 2º grau 
ax2 + bx + c = 0, com raízes x1 e x2, então:
S = x1 + x2 = -
b
a
e P = x1 · x2 = 
c
a
 
Exemplo 
Resolver, em , a equação 
x x2 3 1 3 0− − − =( )
Resolução: 
x x
a
b
c
S
b
a
2 3 1 3 0
1
3 1
3
3
− − − =
=
= − −
= −





= − =
− −
( ) ( )
[ (
Soma das raízes:
−−
= −
= =
−
= −
1
1
3 1
3
1
3
)]
Produto das raízes: P
c
a
Os números 3 e –1 são dois números reais 
que possuem soma igual a 3 – 1 e produto 
igual a – 3. Assim, as raízes são x1 = –1 e x2 = 3.
S = {–1; 3}
G. Escrever uma equação do 2º 
grau conhecendo suas raízes
Considere a seguinte proposta: escrever uma 
equação do 2º grau que tem como raízes os 
números 10 e 8.
A equação x2 – 18x + 80 = 0 satisfaz a proposta. 
Vejamos:
102 – 18 · 10 + 80 = 100 – 180 + 80 = 0 
(10 é uma raiz.)
82 – 18 · 8 + 80 = 64 – 144 + 80 = 0 (8 é uma 
raiz.)
Analisemos como foi montada a equação. 
A forma geral de uma equação do 2º grau é 
ax2 + bx + c = 0. Observe que a foi substituído 
por 1, b por –18 e c por 80, em que 18 é a 
soma das raízes e 80 é o produto.
Podemos dizer que ax2 + bx + c = 0 é equi-
valente a x2 – Sx + P = 0, em que S é a soma 
das raízes e P é produto das raízes. As seguin-
tes passagens justificam essa afirmativa.
ax2 + bx + c = 0 (dividir os dois membros da 
igualdade por a)
ax bx c
a a
a
a
a
x
b
a
x
c
a
Como S
b
a
S
b
a
e P
c
a
te
2
2
0
0
0
+ +
= ≠
+ + =
= − − = =
,
, , mos:
x2 – Sx + P = 0.
Matemática básica
PV
-1
4-
11
46
Matemática
01. 
Resolver, em , a equação 
x x
x
2 2
2
3
−
−
= .
Resolução
x x
x
2 2
2
3
−
−
= (C.E.: x ≠ 2)
x2 – 2x = 3(x – 2)
x2 – 2x = 3x – 6
x x
a
b
c
2 5 6 0
1
5
6
− + =
=
= −
=




∆ = b2 – 4 · a · c
∆ = (–5)2 – 4 · 1 · 6
∆ = 1
x
b
a
x
x ou x
x ou x
S
não serve
=
− ±
=
− − ±
⋅
=
−
=
+
= =
=
∆
2
5 1
2 1
5 1
2
5 1
2
2 3
3
( )
{ }

02. 
Escreva duas equações do 2º grau que tenham 
como raízes os números 4 e 3.
Resolução
S = 4 + 3 = 7
P = 4 · 3 = 12
ax2 + bx + c = 0 é equivalente a x2 – Sx + P = 0; 
assim, temos:
x2 – 7x + 12 = 0
Para encontrar uma segunda equação, bas-
ta multiplicar ou dividir os dois membros da 
igualdade por um número real diferente de 
zero.
x2 – 7x + 12 = 0 (multiplicar os dois membros 
por 5)
5x2 – 35x + 60 = 0, que é equivalente a 
x2 – 7x + 12 = 0
Resposta
Duas	equações	que	têm	como	raízes	4	e	3	são:	
x2 – 7x + 12 = 0 e 5x2 – 35x + 60 = 0
Obs. – Dividindo ou multiplicando a equação
x2 – 7x + 12 = 0 por um número real dife-
rente de zero, obteremos novas equações 
equivalentes, portanto há infinitas equa-
ções do 2º grau que possuem as raízes 
4 e 3.
03. 
Considere a equação ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, 
com raízes x1 e x2. Mostre que a expressão 
ax 2 + bx + c é equivalente à expressão 
a · (x – x1) · (x – x2).
Resolução
Como x1 e x2 são raízes da equação ax2 + bx + c = 0, 
temos que x1 + x2 = -
b
a
(soma das raízes ) e 
x1· x2 =
c
a
(produto das raízes)
a · x2 + b · x + c = a x
b
a
x
c
a
⋅ + +



=2
= − −



+





a x
b
a
x
c
a
2 = a · [x2 – (x1 + x2) · x + (x1 · x2)] =
= a [x2 – x · x1 – x · x2 + x1 · x2) =
= a [x (x – x1) – x2 (x – x1)] =
= a · [(x – x1) · (x – x2)]=
= a · (x – x1) · (x – x2)
Assim, temos que: ax2 + bx + c = a · (x – x1) · (x – x2) 
(c. q. d.)
A forma a · (x – x1) · (x – x2) é a forma fatorada de 
ax2 + bx + c, quando x1 e x2 são as raízes. 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
PV
-1
4-
11
Matemáti ca básica
47
Matemáti	ca
10. Resolução de equações 
com mudança de variável
Frequentemente nos deparamos com equa-
ções que, mesmo não sendo do 2º grau, po-
dem ser resolvidas com o auxílio dela. Nessas 
situações, devemos nos valer de mudanças 
nas variáveis da equação de tal forma que ela 
se transforme, temporariamente, numa equa-
ção do 2º grau, como nos exemplos que vere-
mos a seguir:
Exemplos
a) Resolver a equação:
 x4 – 3x2 – 4 = 0
Notemos que essa é uma equação de quarto 
grau, porém com uma característica particu-
lar: apresenta apenas os termos de grau par.
Se fizermos:
x2 = y
teremos:
y2 – 3y – 4 = 0
Resolvendo
ess a equação, teremos:
y1 = –1 e y2 = 4
Considerando que y está ocupando o lugar de 
x2, teremos:
x2 = –1 ou x2 = 4
Considerando x ∈  , teremos:
x = –2 ou x = 2
Assim:
S= {–2, 2}
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
Resolver, em , a equação:
x6 – 28 x3 + 27 = 0
Resolução
Fazendo x3 = t, teremos x6 = t2, logo:
t2 – 28 t + 27 = 0
∆ = 784 – 108 = 676
t
t
t
=
±
=
=
=
28 26
2
27
1
1
2
Então, teremos:
x
x
x
x
x
x
3
3 3
3
3 3
27
3
3
1
1
1
=
=
=
=
=
=
Resposta
S = {1, 3}
02. 
Resolva em : (x2 + 2)2 - 5(x2 + 2) + 6 = 0.
Resolução 
(x2 + 2)2 - 5(x2 + 2) + 6 = 0
Fazendo x2 + 2 = m, vem:
m2 - 5m + 6 = 0
S
P
=
=
( )5
6
2 3, 
Então:
x2 + 2 = 2
x2 = 0
x = 0
ou
x2 + 2 = 3
x2 = 1
x = ± 1
S = {0, - 1, 1}
Matemática básica
PV
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4-
11
48
Matemática
03. 
Resolver em  a equação:
x x
x x
x2
2
4 5
4 1
0 0– –+ + = ≠( )
Resolução
Primeiro, arrumamos a equação:
x
x
x
x
x
x
x
x
I
2
2
2
2
1
4
4
5 0
1
4
1
5 0
+ + =
+

 +



 + =
– –
– ( )
Faremos a seguinte troca:
x
x
t+ =
1
Elevando ao quadrado, teremos:
x
x
t x
x
t2
2
2 2
2
22
1 1
2+ + = ⇒ + = –
Substituindo em (I):
(t2 – 2) – 4t + 5 = 0
t2 – 4t + 3 = 0
t
t
t
=
±
=
=
=
4 2
2
3
1
Voltando à mudança variável:
x
x
x
x
x x x x
x x não é real
+ = + =
+ = + =
=
±
=
±
1
3
1
1
3 1 0 1 0
3 5
2
1 3
2
2 2– –
–
Daí, teremos:
S =
+





3 5
2
3 5
2
–
,
11. Equações irracionais
Equação irracional é uma equação em que há incógnita em um ou mais radicais. São equações 
irracionais:
1. x + =2 53
2. x x+ =1 2–
3. 3 1 6x x+ + =–1
As raízes podem ter qualquer índice, mas, no nosso estudo, trataremos apenas das equações 
irracionais que apresentarem raízes quadradas. Não existe fórmula para resolver essas equações, 
mas temos um processo de resolução prático e seguro que nos conduz a equações cuja resolução 
já conhecemos.
Vamos acompanhar o método por meio de um exemplo.
Resolver a equação:
x x+ + =3 3
1º passo: Isolamos o radical num dos membros da equação. Se existir mais de um radical, esco-
lher um deles e isolar.
x x+ =3 3 –
2º passo: Elevamos ao quadrado os dois membros da equação.
x x
x x x
x x
+( ) = ( )
+ = +
+ =
3 3
3 9 6
7 6 0
2 2
2
2
–
–
–
PV
-1
4-
11
Matemática básica
49
Matemática
3º passo: Resolvemos a equação.
Se na primeira vez que elevarmos a equação 
ao quadrado continuar a existir a raiz qua-
drada, ela deve ser isolada e a equação será 
novamente elevada ao quadrado tantas vezes 
forem necessárias até que não exista mais ne-
nhum radical:
x2 – 7x + 6 = 0, que resolvida, fica: x = 1 ou x = 6
4º passo: Dessa maneira, obtemos uma ou-
tra equação que não tem, necessariamente, o 
mesmo conjunto verdade da equação propos-
ta. Quase sempre, a última equação admite 
todas as raízes da primeira equação.
Para contornar esse problema, iremos efetuar 
uma verificação para eliminar as raízes estra-
nhas e obter o conjunto solução correto. Essa 
verificação consiste em substituir, na equação 
original, os valores de x obtidos.
Observe:
para x = 1: 1 3 1 3
4 1 3
2 1 3
+ + =
+ =
+ = ( )V
para x = 6: 6 3 6 3
9 6 3
3 6 3
9 3
+ + =
+ =
+ =
= ( )F
Notamos que 1 é solução da equação, mas 6 
não é. Assim:
S = {1}
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. PUC-SP
O conjunto de soluções inteiras da equação 
4 1 2 1x x+ = – é:
a. {2}
b. {0, 2}
c. {0}
d. 0
1
2
,{ }
e. 1
2{ }
Resolução
4 1 2 1
4 1 2 1 4 1 4 4 1
2 0
0
2 2 2
2
x x
x x x x x
x x
x não conv
+ =
+( ) = ( ) ⇒ + = + ⇒
⇒ =
=
–
– –
–
( éém
x V
)
{ }= ∴ =


 2 2
Resposta
A
02. FEI-SP
Seja V o conjunto dos números reais que são so-
luções da equação irracional 2 7 1x x– + = .
Assim:
a. V = {2; 18}
b. V = {2}
c. V = {18}
d. V = ∅
e. V = {–2; –18}
Resolução
2 7 1
2 7 1 2 7 2 7 1
2 7 8 2 7 8
2 2
2
x x
x x x x x
x x x x
–
– –
+ =
( ) = + +( ) ⇒ = + + + +
+ = ⇒ +( ) = ( )22
2 20 36 0
2
18 18
⇒ + =
=
= ∴ =



x x
x não convém
x V
–
( )
{ }
Resposta
C
Matemáti ca básica
PV
-1
4-
11
50
Matemáti	ca
1. Introdução
A teoria dos conjuntos representa instrumento 
de grande utilidade nos diversos desenvolvi-
mentos da Matemática, bem como em outros 
ramos	das	ciências	físicas	e	humanas.
Devemos	aceitar,	inicialmente,	a	existência	de	
alguns conceitos primitivos (noções que ado-
tamos sem definição) e que estabelecem a 
linguagem do estudo da teoria dos conjuntos.
Adotaremos	a	existência	de	três	conceitos	pri-
mitivos: elemento, conjunto e perti nência. 
Assim, é preciso entender que cada um de 
nós é um elemento do conjunto de moradores 
desta cidade, ou melhor, cada um de nós é um 
elemento que pertence ao conjunto de habi-
tantes da cidade, mesmo que não tenhamos 
definido o que é conjunto, o que é elemento e 
o	que	é	pertinência.
2. Notação e representação
A notação dos conjuntos é feita mediante a 
utilização de uma letra maiúscula do nosso 
alfabeto, e a representação de um conjunto 
pode ser feita de diversas maneiras, como ve-
remos a seguir. 
A. Listagem dos elementos
Apresentamos um conjunto por meio da lista-
gem de seus elementos quando relacionamos 
todos os elementos que pertencem ao conjun-
to considerado e envolvemos essa lista por um 
par de chaves. Os elementos de um conjunto, 
quando apresentados na forma de listagem, 
devem ser separados por vírgula ou por ponto 
e vírgula, caso tenhamos a presença de núme-
ros decimais.
Exemplos
a. Seja A o conjunto das cores da bandeira 
brasileira, então:
 A = {verde, amarelo, azul, branco}
b. Seja B o conjunto das vogais do nosso 
alfabeto, então:
 B = {a, e, i, o, u}
c. Seja C o conjunto dos algarismos do 
sistema decimal de numeração, então:
 C	=	{0,	1,	2,	3,	4,	5,	6,	7,	8,	9}
B. Uma propriedade de 
seus elementos
Há situações em que podemos fazer a apre-
sentação do conjunto por meio de uma pro-
priedade dos elementos do conjunto e que 
sirva somente a eles.
A = {x | x possui uma determinada propriedade P}
Exemplos
a. Seja B o conjunto das vogais do nosso 
alfabeto, então:
 B = {x | x é vogal do nosso alfabeto}
b. Seja C o conjunto dos algarismos do sis-
tema decimal de numeração, então:
 C = {x | x é algarismo do sistema deci-
mal de numeração}
C. Diagrama de Euler-Venn
A apresentação de um conjunto por meio do 
diagrama de Euler-Venn é gráfica e, portanto, 
muito prática. Os elementos são representa-
dos por pontos interiores a uma linha fechada 
não entrelaçada. Dessa forma, os pontos exte-
riores à linha representam elementos que não 
pertencem ao conjunto considerado.
Exemplo 
B
a
i
u
o
e t
3. Relação de perti nência
Quando queremos indicar que um determina-
do elemento x faz parte de um conjunto A, di-
zemos que o elemento x pertence ao conjunto 
A e indicamos:
x ∈ A
em que o símbolo ∈é uma versão da letra gre-
ga epsílon e está consagrado em toda mate-
mática	 como	 símbolo	 indicativo	de	pertinên-
cia. Para indicarmos que um elemento x não 
pertence ao conjunto A, indicamos:
x ∉A
CAPÍTULO 07 TEORIA DOS CONJUNTOS
PV
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4-
11
Matemáti ca básica
51
Matemáti	ca
Exemplo
A = {a; e; i; o; u}
A letra a pertence ao conjunto A: a ∈ A.
A letra c não pertence ao conjunto A: c ∉ A.
4. Relação de inclusão 
Dizemos que o conjunto A está contido no 
conjunto B se todo elemento que pertencer 
a A pertencer também a B. Indicamos que o 
conjunto A está contido em B por meio da se-
guinte simbologia:
A ⊂ B 	 			(lê-se:	A	contido	em	B	)
Observação – Há também a notação:
B ⊃ A 				(lê-se:	B	contém	A	)
O conjunto A não está contido em B quando 
existe pelo menos um elemento de A que não 
pertence a B. Indicamos que o conjunto A não 
está contido em B dessa maneira:
A ⊄ B 			(lê-se:	A	não	está	contido	em	B)
B
A
A B
B
A
A B
B
A
A B
Observação – A é subconjunto de A, para todo 
conjunto A.
Importante –	A	relação
de	pertinência	relacio-
na um elemento a um conjunto, e a relação de 
inclusão refere-se sempre a dois conjuntos.
Falso: a ⊂ {a; e; i; o; u} 
 {a} ∈ {a; e; i; o; u} 
Verdadeiro: a ∈ {a; e; i; o; u} 
 {a} ⊂ {a ; e; i; o; u}
 {a} ∈ {{a} ; e; i; o; u}
 {a} ⊄ {{a} ; e; i; o; u}
Podemos notar que existe uma diferença en-
tre a e {a}. O primeiro é o elemento a, e o se-
gundo é o conjunto formado pelo elemento a.
Um conjunto pode ser um elemento de um 
outro conjunto. No exemplo {{a} ; e; i; o; u}, 
um dos elementos é o conjunto {a}.
Uma cidade é um conjunto de pessoas que 
representam os moradores da cidade, porém 
uma cidade é um elemento do conjunto de 
cidades que formam um Estado.
5. Conjuntos especiais
A. Conjunto unitário
Chamamos de conjunto unitário aquele for-
mado por um só elemento.
Exemplo
Conjunto dos satélites naturais da Terra:
{LUA}
B. Conjunto vazio
Chamamos de conjunto vazio aquele formado 
por nenhum elemento. Obtemos um conjunto 
vazio considerando um conjunto formado por 
elementos que admitem uma propriedade im-
possível.
O conjunto vazio pode ser representado pela 
letra norueguesa ∅ ou pelo símbolo { }.
Não podemos confundir as duas notações re-
presentando o conjunto vazio por {∅}, pois es-
taríamos apresentando um conjunto unitário 
cujo elemento é ∅.
O conjunto vazio está contido em qualquer 
conjunto e, por isso, é considerado subconjunto 
de qualquer conjunto, inclusive dele mesmo.
Demonstração
Vamos admitir que o conjunto vazio não este-
ja contido num dado conjunto A. Nesse caso, 
existe um elemento x que pertence ao conjun-
to vazio e que não pertence ao conjunto A, o 
que é um absurdo, pois o conjunto vazio não 
tem elemento algum. Conclusão: o conjunto 
vazio está contido no conjunto A, qualquer 
que seja A.
Matemáti ca básica
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11
52
Matemáti	ca
6. Conjunto universo 
Quando desenvolvemos um determinado as-
sunto dentro da M atemática, precisamos ad-
mitir um conjunto ao qual pertencem os ele-
mentos que desejamos utilizar. Esse conjunto 
é chamado de conjunto universo e é represen-
tado pela letra maiúscula U.
Uma determinada equação pode ter diversos 
conjuntos solução de acordo com o conjunto 
universo que for estabelecido.
Exemplos
a. A equação 2x3 – 5x2 – 4x + 3 = 0 apre-
senta:
 S = 
1
2
1 3, ,–{ } =se U  
 S = {–1, 3} se U = ¢
 S = {3} se U = 
7. Conjunto de partes 
Dado um conjunto A, dizemos que o seu con-
junto de partes, representado por P(A), é o 
conjunto formado por todos os subconjuntos 
do conjunto A.
A. Determinação do 
conjunto de partes
Vamos observar, com o exemplo a seguir, o 
procedimento que se deve adotar para a de-
terminação do conjunto de partes de um dado 
conjunto A. Seja o conjunto A = {2, 3, 5}. Para 
obtermos o conjunto de partes do conjunto A, 
basta escrevermos todos os seus subconjuntos:
1º) Subconjunto vazio: ∅, pois o conjunto 
vazio é subconjunto de qualquer con-
junto.
2º) Subconjuntos com um elemento: {2}, 
{3}, {5}.
3º) Subconjuntos com dois elementos: {2, 3}, 
{2, 5} e {3, 5}.
4º) Subconjuntos	 com	 três	 elementos:	
A = {2, 3, 5}, pois todo conjunto é sub-
conjunto dele mesmo.
Assim, o conjunto das partes do conjunto 
A pode ser apresentado da seguinte forma: 
P(A) = {∅, {2}, {3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}}.
B. Número de elementos 
do conjunto de partes
Podemos determinar o número de elementos 
do conjunto de partes de um conjunto A dado, 
ou seja, o número de subconjuntos do referi-
do conjunto, sem que haja necessidade de es-
crever	todos	os	elementos	do	conjunto	P (A).	
Para isso, basta partirmos da ideia de que cada 
elemento do conjunto A tem duas opções na 
formação dos subconjuntos: ou o elemento 
pertence ao subconjunto ou ele não pertence 
ao subconjunto e, pelo uso do princípio multi-
plicativo das regras de contagem, se cada ele-
mento apresenta duas opções, teremos:
n[P(A)] = 2n(A)
Observemos o exemplo anterior: o conjunto 
A	=	{2,	3,	5}	apresenta	três	elementos	e,	por-
tanto, é de se supor, pelo uso da relação apre-
sentada, que n [P (A)] = 23 = 8, o que de fato 
ocorreu.
8. Igualdade de conjuntos
Dois conjuntos são iguais se, e somente se, 
eles possuírem os mesmos elementos, em 
qualquer ordem e independentemente do nú-
mero de vezes que cada elemento se apresen-
ta. Vejamos os exemplos:
{1, 3, 7} = {1, 1, 1, 3, 7, 7, 7, 7} = {7, 3, 1}
Observação 
Se o conjunto A está contido em B (A ⊂ B) e B 
está contido em A (B ⊂ A), podemos afirmar 
que A = B.
9. Operações com conjuntos
A. União de conjuntos
Dados os conjuntos A e B, dizemos que a união 
dos conjuntos A e B, de notação A ∪	B	(lê-se:	A	
união B), é o conjunto formado pelos elemen-
tos que pertencem a A ou B. Podemos repre-
sentar a união de dois conjuntos pela seguinte 
sentença: 
A ∪ B = {x l x ∈ A ou x ∈ B}
PV
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Matemáti ca básica
53
Matemáti	ca
Graficamente, temos que a parte hachurada 
representa a união entre os conjuntos 
BA
A ∪ B A ∪ B
BA
A ∪ B
A B
B. Intersecção de conjuntos
Dados os conjuntos A e B, dizemos que a 
intersecção dos conjuntos A e B, de notação 
A ∩ B	(lê-se:	A	intersecção	B),	é	o	conjunto	for-
mado pelos elementos que pertencem a A e a 
B. Podemos representar a intersecção de dois 
conjuntos pela seguinte sentença:
A ∩ B = {x l x ∈A e x ∈ B}
Graficamente, temos que a parte hachurada 
representa a interseção 
BA
 
A B
BA
∅
C. Diferença de conjuntos
Dados os conjuntos A e B, dizemos que a dife-
rença dos conjuntos A e B, nessa ordem e com 
notação	A	–	B	(lê-se:	A	menos	B),	é	o	conjunto	
formado pelos elementos que pertencem a A 
e não pertencem a B. Podemos representar a 
diferença de dois conjuntos por meio da se-
guinte sentença:
A – B = {x l x ∈ A e x ∉ B}
Graficamente, temos que a região hachurada 
representa	o	conjunto	diferênça	
BA
– –
BA
B
–
A
D. Conjunto complementar
Quando dois conjuntos A e B são de tal manei-
ra que B está contido em A (B ⊂ A), dizemos 
que a diferença A – B é o conjunto comple-
mentar de B em relação a A, cuja representa-
ção podemos ver a seguir:
 CAB = A – B
Graficamente, temos que a parte hachurada 
representa o conjunto complementar 
BA
B
A
Exemplo
Dados A = {0, 1, 3, 4}, B = {2, 3, 4, 5}, C = {4, 5} 
e D = {5, 6, 7}, calcule:
a. (A ∪ C) ∩ B
b. (B ∩ C) ∪ D
c. (B – A) ∩ C
d. CBC U (A ∩ B)
Resolução
a. (A C) B = {0, 1, 3, 4, 5} {2, 3, 4, 5} = {3, 4, 5} ∪
b. (B C) D = {4, 5} {5, 6, 7} = {4, 5, 6, 7} 
c. (B – A) C = {2, 5} {4, 5} = {5} 
d. (A B) = {2, 3} {3, 4}
C
B = {2, 3, 4} 
Matemática básica
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54
Matemática
01. 
De acordo com a figura, classifique com V ou F 
cada uma das afirmações.
A
C
B
D
E
r
s
a. A ∈ r
b. A ⊂ r
c. {A} ⊂ r
d. AB ∈ r
e. AB ⊂ r
f. DE ⊂ AE
g. A ∈ AC
h. A ⊂ AC
Resolução 
a. V, pois A é ponto de r.
b. F, pois a relação ⊂ só é usada entre sub-
conjunto e conjunto, e não entre elemento e 
conjunto.
c. V, pois o ponto A é elemento da reta r.
d. F, pois AB não é elemento de r, mas sim 
subconjunto de r.
e. V, pois todo ponto da semirreta AB é ele-
mento de r.
f. V, pois todo ponto DE também é ponto de 
AE. Logo, a relação ⊂ está correta.
g. V, pois A é o ponto AC.
h. F, pois a relação ⊂ só é usada entre 
subconjunto e conjunto, e não entre elemento 
e conjunto.
02. Vunesp
Suponhamos que:
A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g, h}
A ∩ B = {d, e} 
A – B = {a, b, c} 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Então:
a. B = {f, g, h}
b. B = {d, e, f, g, h}
c. B = {a, b, c, d, e}
d. B = {d, e}
e. B = ∅
Resolução
A B
a
b
c
d
e
f
g
h
B = {d, e, f, g, h}
Resposta 
B
03. UFC-CE
Se um conjunto A possui n elementos, então 
o conjunto P(A), das partes de A, possui 2n 
elementos. Qual é o número de elementos do 
conjunto das partes de P(A)?
a. 2n
b. 4n
c. 22n
d. 8n
e. 16n
Resolução
n = 1 P(A) = 21 = 2
nº de elementos do conjunto das partes
de 
P(A) = 221 = 4
n = 2 P(A) = 22 = 4
nº de elementos do conjunto das partes de 
P(A) = 222 = 16
.
.
.
n = n P(A) = 2n
nº de elementos do conjunto das partes de 
P(A) = 22n
Resposta
C
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11
Matemática básica
55
Matemática
10. Número de elementos da união 
e da intersecção de conjuntos
Dados dois conjuntos, A e B, como vemos na 
figura a seguir, podemos estabelecer uma rela-
ção entre os respectivos números de elementos.
A
A
B
B
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
Note que ao, subtrairmos os elementos co-
muns (n(A ∩ B)), evitamos que eles sejam con-
tados duas vezes.
Observações
1ª) Se os conjuntos A e B forem disjuntos 
ou mesmo se um deles estiver contido 
no outro, ainda assim a relação dada 
será verdadeira.
2ª) Podemos ampliar a relação do número 
de	elementos	para	três	ou	mais	conjun-
tos	com	a	mesma	eficiência.
Observe o diagrama e comprove.
A
A
C
B
B
A C B C
A B C
n (A ∪ B ∪ C) = n (A) + n (B) + n (C) – n (A ∩ B) – 
 – n (A ∩ C) – n (B ∩ C) + n (A ∩ B ∩ C) 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
A e B são dois conjuntos tais que 13 elementos 
pertencem a A e não pertencem a B; 13 ele-
mentos pertencem a B e não pertencem a A, e 
39	elementos	pertencem	a	A	ou	B.	O	número	
de elementos que pertencem a A e a B é:
02. FVG-SP
Uma empresa entrevistou 300 de seus fun-
cionários	a	respeito	de	três	embalagens,	A,	B	
e C, para o lançamento de um novo produto. 
O resultado foi o seguinte: 160 indicaram a 
embalagem A; 120 indicaram a embalagem B; 
90	indicaram	a	embalagem	C;	30	indicaram	as	
embalagens A e B; 40 indicaram as embala-
gens A e C; 50 indicaram as embalagens B e C; 
e 10 indicaram as 3 embalagens.
Pergunta-se:
a. quantas pessoas indicaram apenas a 
embalagem A?
b. quantas pessoas indicaram as embala-
gens A ou B?
c. quantas não indicaram a embalagem C?
d. quantas	 não	 tinham	 preferência	 por	
nenhuma	das	três	embalagens?
Resolução
Usaremos os diagramas para resolver.
Vamos começar por A ∩ B ∩ C, que tem 10 
elementos.
a. 0 
b. 13
c. 39
d. 26
e. 23
Resolução
Fazendo um esquema:
n(A) = 13 + x
n(B) = 13 + x
n(A ∪	B)	=	39									
A B
13 13x
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) 
39	=	13	+	x	+	13	+	 x x– 
39	=	26	+	x
	 	 													x	=	39	–	26
 x = 13
Resposta
B
Matemáti ca básica
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56
Matemáti	ca
A B
C
10
Para n (A ∩ B) e já colocamos 10, restam 20 
elementos para completar a região A ∩ B; para 
completar (A ∩ C), faltam 30 e, para completar 
(B ∩ C), faltam 40.
A B
C
10
20
30 40
Da mesma forma, completamos os conjuntos 
A,	B	e	C;	veja	que	40	pessoas	não	têm	prefe-
rência	alguma.
A B
C
10
20
30 40
100 50
10
40
U
Agora, consultando o diagrama final, podemos 
responder às questões.
a. 100 pessoas indicaram apenas a embala-
gem A;
b. 100 + 30 + 10 + 20 + 50 + 40 = 250 indica-
ram as embalagens A ou B;
c. 100 + 20 + 50 + 40 = 210 não indicaram a 
embalagem C;
d. 40	 pessoas	 não	 tinham	 preferência	 por	
nenhuma embalagem.
11. Conjuntos numéricos
•	 Conjunto dos números naturais: 
 = {0, 1, 2, 3, ...}
•	 Conjunto dos números inteiros: 
¢ = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}
•	 Conjunto dos números inteiros não negativos
¢+ = {0, 1, 2, 3, ...} = 
Vamos convencionar que qualquer conjunto numérico que, em sua representação, tiver acres-
centado o símbolo * (asterisco) ficará sem o elemento 0 (zero). Assim:
* = {1, 2, 3, 4, ...}
¢* = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3, ...}
•	 Conjunto dos números racionais: 
� �� �� �= =� �� �� �� �� �� �= =� �� �= =� �


� �� �� �
� �

� �

� �

� �� �

� �� �








� �x x� �� �x x� �� �= =� �x x� �= =� �� �= =� �x x� �= =� �
p� �p� �
q
� �que� �p e� �p e� � q, *� �, *� � �, *�∈ ∈, *∈ ∈� �em� �, *� �em� �� �que� �, *� �que� �p e, *p e� �p e� �, *� �p e� �∈ ∈p e∈ ∈, *∈ ∈p e∈ ∈� �∈ ∈� �p e� �∈ ∈� �, *� �∈ ∈� �p e� �∈ ∈� � q, *q∈ ∈q∈ ∈, *∈ ∈q∈ ∈
PV
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4-
11
Matemática básica
57
Matemática
Com relação aos números racionais, eles po-
dem	ser	encontrados	de	três	maneiras:	núme-
ro inteiro ou número decimal exato ou número 
decimal periódico (dízimas periódicas).
Os números que não podem ser colocados na 
forma de fração com numerador inteiro e de-
nominador inteiro não nulo são chamados de 
números irracionais.
Exemplos: 2 75, ,p
•	 Conjunto dos números reais: 
  = {x | x é racional ou x é irracional}
Os números reais podem ser associados 
biunivoca men te com cada ponto de uma reta, 
estabelecendo o que nós chamaremos de reta 
real ou eixo real.
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
Origem
A partir dessa representação gráfica, iremos 
observar algumas propriedades importantes 
dos números reais.
O eixo real apresenta uma ordenação dos números 
de tal maneira que qualquer número colocado à 
direita de um outro será maior que esse outro.
a b
b > a
Numa comparação entre números reais repre-
sentados no eixo real, podemos estabelecer 
subconjuntos de extrema importância e que 
serão chamados de intervalos reais, cuja 
representação vamos estudar a seguir:
a
x
b a < x < b ] a, b [ ( a,b )
a
x
b a ≤ x ≤ b [ a, b ] [ a, b ]
a
x
b a < x ≤ b ] a, b ] ( a, b ]
a
x x > a ] a, +∞ [ ( a, + ∞ )
x
b x ≤ b ] –∞, b ] ( – ∞, b ]
Podemos	“explicar”	o	aparecimento	dos	con-
juntos numéricos por meio da necessidade 
que a Matemática manifestava em apresentar 
resultados que os conjuntos numéricos exis-
tentes até então não forneciam. A partir dos 
conjuntos dos números naturais, operações 
como, por exemplo, a subtração 5 – 8 só pude-
ram apresentar um resultado com o apare-
cimento do conjunto dos números inteiros. 
A divisão de número 8 por 3 só pode apresen-
tar resultado dentro do conjunto dos números 
racionais. O cálculo da raiz quadrada do núme-
ro 17, por exemplo, é um resultado possível 
somente dentro do conjunto dos números 
irracionais. Pela reunião do conjunto dos nú-
meros racionais com os números irracionais, 
obtivemos o conjunto dos números reais. Por 
mais amplo que possa parecer o conjunto dos 
números reais, não foi suficiente para cumprir 
todas	 as	 exigências	 quanto	 a	 esgotar	 as	 ne-
cessidades de resultados possíveis dentro da 
Matemática. Algumas operações matemáticas 
só puderam apresentar resultados dentro do 
conjunto dos números complexos.
Irr
ac
io
na
is
12. Operações com intervalos
Vejamos com exemplos:
1º) Dados A = [0, 3] e B = [1, 5[, calcule:
a. A ∪ B
b. A ∩ B
c. A – B
Resolução
A
0 1 3 5
B
A B
A B
A – B
A ∪ B = [0, 5[ = {x ∈ l 0 ≤ x < 5}
A ∩ B = [1, 3] = {x ∈  l 1 ≤ x ≤ 3}
A – B = [0,1 [ = {x ∈ l 0 ≤ x < 1}
Matemática básica
PV
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4-
11
58
Matemática
01. Unisinos-RS
Chama-se conjunto dos números racionais o 
conjunto:
a. x x ∈{ }
b. 
a
b
a b e b∈ ∈ ≠{ }¢ ¢, 0
c. 
a
b
a b∈ ∈{ } ,
d. x x a a∈ = ∈{ }� �,
e. 
a
b
a b e b∈ ∈ ≠{ } , 0
Resolução
Número racional é aquele que pode ser ex-
presso na forma de uma fração com numera-
dor inteiro e denominador inteiro e diferente 
de zero, como na forma descrita na alternativa B.
Resposta
B
02. PUC-MG
Quatro intervalos reais, A, B, C e D, são tais 
que:
x ∈ A ⇔ –10 ≤ x ≤ 10
x ∈ B ⇔ 0 < x ≤ 5
x ∈ C ⇔ –3 ≤ x < 2
D = B – C
Sendo D o complementar de D em relação ao 
conjunto A, então:
a. x ∈D ⇔ –10 ≤ x < 2 ou 2 < x ≤ 10
b. x ∈D ⇔ –10 ≤ x < –3 ou 5 < x ≤ 10
c. x ∈D ⇔ –10 ≤ x ≤ 0 ou 2 < x ≤ 10
d. x ∈D ⇔ –10 ≤ x ≤ 0 ou 2 ≤ x ≤ 10
e. x ∈D ⇔ –10 ≤ x < 2 ou 5 < x ≤ 10
Resolução
–3
B:
C:
50
B – C :
2
2 5
D C A DAD= = −
–10
A:
D:
10
D:
2 5
–10 2 5 10
D = {x ∈|–10 ≤ x < 2 ou 5 < x ≤ 10}
Resposta
E
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Exercícios	Propostos
PV
-1
4-
14
Matemática básica
61
Matemática
05. Mackenzie-SP
A fração 2 4 8
2 32 2
98 50 34
99 20 101
+ −
− +
é igual a:
a. 1
b. -11
6
c. 2
d. - 5
2
e. 7
4
06. Vunesp
Considere	as	 sequências	 (an) e (bn) definidas 
por an + 1 = 2n e bn + 1 = 3n, n ≠ 0. Então, o valor 
de a11 · b6 é:
01. 
Calcule:
a. 23 f. (– 2)4
b. 35 g. – 24
c. 06 h. (– 1)41
d. 1n, n ∈  i. (– 6)1
e. 24 j. 230
02. 
Se (x–1 + y–1)–1 = 2, então y é igual a:
a. x
1 2x-
b. –
x
1 2x-
c. 2xx 2-
d. x
x
- 2
2
e. x1 + x
03. UEL-PR
Simplificando-se a expressão:
3 3 3 9 3
9 3
3 2 1
2
− − −
−
+ ⋅ − ⋅
⋅
n n n
n
para n ∈ , obtém-se:
a. 
1
6
b. 
1
3
c. 6 · 3n – 1
d. 1 – 31 – n
e. –3n + 1
04. Mackenzie-SP
O número de algarismos do produto 515 · 46 é:
a. 21
b. 15
c. 18
d. 17
e. 23
CAPÍTULO 01 
a. 211 · 36
b. (12)5
c. 515
d. 615
e. 630
07. UFRN
A acidez de uma solução depende da sua con-
centração	 de	 íons	 hidrogênio	 [H+]. Tal acidez 
é medida por uma grandeza denominada pH, 
expressa em escala logarítmica de base 10–1. 
Assim, quando dizemos que o pH de uma so-
lução é x, isso significa que a concentração de 
íons	hidrogênio	é	10	–x mol/L. O pH do café é 5 
e o do leite de magnésia é 10.
Podemos dizer que o café, em relação ao leite 
de magnésia, apresenta uma concentração de 
íons	hidrogênio:
a. 100 vezes maior.
b. 1.000 vezes maior.
c. 10.000 vezes maior.
d. 100.000 vezes maior.
08. ENEM
Dados divulgados pelo Instituto Nacional de 
Pesquisas Espaciais mostraram o processo de 
devastação sofrido pela Região Amazônica 
entre	agosto	de	1999	e	agosto	de	2000.	Ana-
Matemática básica
PV
-1
4-
14
62
Matemática
lisando fotos de satélites, os especialistas con-
cluíram que, nesse período, sumiu do mapa 
um total de 20.000 quilômetros quadrados de 
floresta. Um órgão de imprensa noticiou o fato 
com o seguinte texto:
O assustador ritmo de destruição é de um 
campo de futebol a cada oito segundos.
Considerando que um ano tem apro-
ximadamente 32 · 106 s (trinta e dois 
milhões de segundos) e que a medida da 
área oficial de um campo de futebol é 
aproximadamente 10–2 km2 (um centési-
mo de quilômetro quadrado), as informa-
ções apresentadas nessa notícia permitem 
concluir que tal ritmo de desmatamento, 
em um ano, implica a destruição de uma 
área de:
a. 10.000 km2, e a comparação dá a ideia de 
que a devastação não é tão grave quanto 
o dado numérico nos indica.
b. 10.000 km2, e a comparação dá a ideia de 
que a devastação é mais grave do que o 
dado numérico nos indica.
c. 20.000 km2, e a comparação retrata exa-
tamente o ritmo da destruição.
d. 40.000 km2, e o autor da notícia exagerou 
na comparação, dando a falsa impressão 
de gravidade a um fenômeno natural.
e. 40.000 km2 e, ao chamar a atenção para 
um fato realmente grave, o autor da notí-
cia exagerou na comparação.
09. 
Dê	o	valor	de:
 
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
121
8
625
27
0
2 25
0 04
0 008
3
4
3
1
3
-
,
,
,
10. ESA-RJ
Simplificando 2 8 4 18 32− + , obtemos:
a. + 2
b. - 8
c. + 8
d. -4 2
e. -2 2
11. EFOA-MG
Calculando a a a a· − − −






1 1 1 ,encontrare-
mos:
a. 
1
6
a
b. 4 · a–1
c. a–1
d. a8
e. a
-1
12. 
Forme uma sucessão decrescente com os nú-
meros reais , e 2.
13. 
Calcule:
a. 2 · 33 4
b. 16
3
4 32
14. CPCAR
A diferença 80,666...		–		90,5 é igual a:
a. –2
b. 2 –3
c. –2 2
d. 1
15. UPF-RS
Sendo , então A–1 vale:
a. 4 d. 1
8
b. 8 e. 14
c. 1
4
PV
-1
4-
14
Matemática básica
63
Matemática
16. Fuvest-SP
2 2
10
28 30
3
+ =
a. 2
5
8
 d. 29
b. 2
6
2
 e. 2
10
58
1
3





c. 28
17. Fuvest-SP
a. Qual a metade de 222?
b. Calcule 8
2
3 	+	90,5.
18. CPCAR
Ao se resolver a expressão numérica: 
( · ) · ,
:
,
· ( , )
25 10 0 000075
10
5 1 5
10
0 0010
6
3
3
4
0
−












 − ,
 o valor encontrado é:
a. 23
b. 33
c. 1
d. 0,1
19. Unesp
Uma fórmula matemática para se calcular apro-
ximadamente a área, em metros quadrados, da 
superfície corporal de uma pessoa, é dada por: 
S(p) = 11
100
2
3· p , em que p é a massa da pessoa 
em quilogramas.
Considere uma criança de 8 kg. Determine:
a. a área da superfície corporal da criança;
b. a massa que a criança terá quando a 
área de sua superfície corporal dupli-
car. (Use a aproximação 2 = 1,4.)
20. Uneb-BA
A expressão P(t) = k · 20,05t fornece o número P 
de milhares de habitantes de uma cidade, em 
função	do	tempo	t	em	anos.	Se	em	1990	essa	
cidade tinha 300.000 habitantes, quantos ha-
bitantes, aproximadamente, espera-se que ela 
tenha no ano de 2000?
a. 325.000
b. 401.000
c. 423.000
d. 439.000
e. 441.000
21. 
Racionalize os denominadores e simplifique, 
se possível, as frações.
 
a.
b.
c.
1
3
10
5
7
8 
d.
e.
5
5
2 1
2 1
3
+
−
22. UEPB
Calculando	o	valor	de	9–0,333..., obtemos:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
23. Fuvest-SP
O valor da expressão é:
a. 2
b. 1
2
c. 2
d. 
1
2
e. 2 + 1
24. Fuvest-SP
2
5 3
2
23-
- é igual a:
a. 5 + 3 + 43
b. 5 + 3 23-
c. 5 3 23- -
d. 5 + 3 43-
e. 5 3 43- -
Matemática básica
PV
-1
4-
14
64
Matemática
25. ESPM-SP
O valor da expressão 2 1
2 1
2 1
2 1
−
+
− +
−
 é igual a:
a. 2 2
b. - 2 2
c. 0
d. 4 2
e. - 4 2
26. Uespi
A expressão 7 1
7 1
7 1
7 1
+
−
+ −
+
, na forma raciona-
lizada, é igual a: 
a. 
8
3 
b. 8
5
 
c. 1
d. 
8
7
e. 811
27. 
a. Racionalize os denominadores das fra-
ções:
 
�
b. Calcule o valor de:
28. Cesgranrio-RJ
Sendo x > 0, com denominador racionalizado,
a razão torna-se:
 
a. 
b.
c.
2x + 1
1
2 1
2x x
x
x
+
+ 
d.
e.
x
x
x x x
2 1
2
+
+ −
29. UFV-MG
A expressão 7
7 + −a a
, em que a é um nú-
mero positivo, equivale a:
a. 7
b. 7 + +a a
c. 7
d. 7
7
e. 1
30. FGV-SP
A expressão 3 5 2 13
7 5 3 13
−
+
 é igual a:
a. - 1
15
b. 5 65 2 13
3
-
c. 183 23 65
128
-
d. - 7
128
e. 1
31. Inatel-MG
A expressão 30
5 3 2- -
 é equivalente a:
a. 5 10 15
2
+ +
b. - - -5 10 15
2
c. − +5 25
2
d. 10 5
2
+
e. 10 6
3
+
32. Unifor-CE
Simplificando-se ,
obtém-se: 
a. d. 
b. e. 6
c. 
PV
-1
4-
14
Matemática básica
65
Matemática
33. UFC
Seja A e B=
+
=
−
1
3 2
1
3 2
, então, A + B é 
igual a:
a. –2 2
b. 3 2
c. –2 3
d. 3 3
e. 2 3
34. UFMG modificado
A expressão 
a a
a a
− −
−
−


1
9
1
3 2
2
21· ( )
: , com a ≠ 0, é 
equivalente a:
a. -a59
b. a
59
c. -a79
d. a79
e. -
a
a
29
35. Mackenzie-SP
A expressão 1
1 2
1
2 1−
−
+
 é igual a:
a. 2
b. –2
c. 2
d. 2( 2 + 1)
e. –2 2
36. PUC-MG
Se x =
2
3 +2 2
e y =
56
4 2-
, então x + y é igual 
a:
a. 22
b. 22 2
c. 8 2
d. 22 + 8 2
e. 160 + 4 2
37. UNB-DF
Se P Q R=
−
=
−
=
+1
7 5
1
8 5
5 8
3
, , , 
então:
a. P < Q < R
b. P < Q, Q < R
c. P > Q > R
d. P > Q = R
e. Q > P = R
38. CPCAR
O inverso de x
y
x
y
3 , com x > 0 e y > 0, é 
igual a:
a. xy
y
56
 c. yx
x
56
b. x y
x
23
 d. xy
y
23
39. Fuvest-SP
Qual é o valor da expressão
3 1
3 1
3 1
3 1
+
−
+
−
+
?
a. 3
b. 4
c. 3
d. 2
e. 2
40. Unifesp
Se 0 < a < b, racionalizando o denominador, 
tem-se que:
1
a b
b a
b a+
=
−
−
Assim, o valor da soma:
1
1 + 2
+
1
2 + 3
+
1
3 + 4
+ ... +
1
999 + 1.000
 é:
a. 10 10 1-
b. 10 10
c. 99
d. 100
e. 101
Matemática básica
PV
-1
4-
14
66
Matemática
41. 
Desenvolva os produtos notáveis:
a. (2x + 3y)2
b. (5x – 2y)2
c. (3a2 – b)2
42. 
Desenvolva os produtos notáveis:
a. (x - 2y)(x + 2y)
b. (a3 - 2b)(a3 + 2b)
c. (2xy + z2)(2xy - z2)
43. 
Desenvolva os produtos notáveis:
a. (x + 2y)3
b. (2x – y)3
c. (2x – 2y)3
44. 
Desenvolva os produtos notáveis:
a. x x x x+




−



1 1
b. x
y
y
x
x
y
y
x
+





 −






45. ETF-RJ
Qual a expressão que deve ser somada a 
x2 – 6x + 5 para que resulte o quadrado de (x – 3)?
a. 3x
b. 4x
c. 3
d. 4
e. 3x + 4x
46. 
Sendo x + y = 4 e x · y = 5, então x2 + y2 é igual a:
a. 6
b. 4
c. – 6
d.
10
e. – 1
47. 
Sendo x2 + y2 = 65 e x · y = 28, então x + y é 
igual a:
a. ± 5
b. ± 7
c. ±	9
d. ± 11
e. ± 13
48. ESPM-SP
A expressão (a + b + c)2 é igual a:
a. a2 + 2ab + b2 + c2
b. a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
c. a2 + b2 + c2 + 2abc
d. a2 + b2 + c2 + 4abc
e. a2 + 2ab + b2 + 2bc + c2
49. Ibmec-SP
A diferença entre o quadrado da soma e o 
quadrado da diferença de dois números reais 
é igual:
a. à diferença dos quadrados dos dois nú-
meros.
b. à soma dos quadrados dos dois números.
c. à diferença dos dois números.
d. ao dobro do produto dos números.
e. ao quádruplo do produto dos números.
50. FCC-SP
A expressão que deve ser somada a 
a2 + 6a2b2 – 12a2b para que resulte o quadrado 
de 2a – 3ab é:
a. 3a2 + 3a2b2
b. a2	–	9a2b2 + 12a2b
c. – 3a2 – 3a2b2
d. 3a2 + 3a2b2 + 24a2b
e. 3a2 – 3a2b2 + 24a2b
51. 
Sendo x
x
t+ =
1
, obter em função de t o valor 
de:
a. x
x
2
2
1
+
b. x x3 3+ −
c. x3 + x– 3
CAPÍTULO 02 
PV
-1
4-
14
Matemática básica
67
Matemática
52. 
Sendo E x y x y
xy
= + − −( ) ( )
( )
2 2
22
, calcule o valor da 
expressão E + 1, sabendo que x– 1 · y– 1 é 2.
53. 
Sendo A x e B x
x
= +



= −



1
2
12 2
, calcule 
(A + B)2.
54. ESPM
Sabendo-se que x + y–1 = 7 e que x = 4y, o valor 
da expressão x2 + y– 2 é igual a:
a. 49
b. 47
c. 45
d. 43
e. 41
55. Fuvest-SP
Se x
x
b calcule x
x
+ = +1 12 2, em função de b.
56. Fuvest-SP
Efetuando-se	(579.865)2	–	(579.863)2, obtém-se:
a. 4
b. 2.319.456
c. 2.319.448
d. 2.086.246
e. 1.159.728
57. 
Num paralelepípedo retângulo de dimensões 
a, b e c, sabe-se que a área total S e a diagonal 
d são dadas pelas fórmulas:
S = 2ab + 2ac + 2bc 
d a b c= + +2 2 2
Dado um paralelepípedo retângulo com S = 108 
e d = 6, obtenha a + b + c.
58. Fuvest-SP
A diferença entre o cubo da soma de dois núme-
ros inteiros e a soma de seus cubos pode ser:
a. 4
b. 5
c. 6
d. 7
e. 8
59. UFPR
Se 2x + 2–x = 3, o valor de 8x + 8–x é:
a. 12
b. 18
c. 21
d. 24
e. 28
60. 
Sendo E = 1 + 1.155 · 1.1572 com E > 0, então:
a. E = 26
b. E = 28
c. E = 32
d. E = 34
e. E = 36
Matemática básica
PV
-1
4-
14
68
Matemática
61. 
Simplificar a expressão x xy y
x y
2 2
2 2
2+ +
−
, supon-
do seu denominador diferente de zero.
62. 
Resolva os itens a seguir:
a. Fatorar: 25x2	+	70x	+	49
b. Fatorar: x2 – 2x + 1
c. Fatorar: a3 – 10a2 + 25a
d. Calcular:	2.4992
63. FEBA
Sabe-se que a + b = ab = 10. Então, o valor de 
a
b
b
a
+ é:
a. 2
b. 4
c. 8
d. 16
e. 20
64. Fameca-SP
Dado que x = a + x–1, a expressão x2 + x–2 é 
igual a:
a. a2 + 2
b. 2a + 1
c. a2 + 1
d. 2a – 1
e. a2
65. 
Resolva os itens a seguir:
a. Fatorar: a3 – 8
b. Fatorar: x3 + 1
c. Fatorar: x3 + 2x2 + 2x + 1
66. 
Resolva os itens a seguir:
a. a
a
3
2
1
1
-
-
b. m n
m m n mn
3 3
3 2 2
+
− +
c. x x y xy y
x y
x xy y
x xy y
3 2 2 3
3 3
2 2
2 2
3 3 2+ + +
+
+ +
− +
:
67. 
Sabendo-se que a + 1
a
 = 3, calcular o valor de 
a3 + 1
3a
.
68. 
Fatore as expressões.
a. x4 – y4
b. (a + b)2 – c2
c. 4a2	–	49b2m
d. (x + 3)2 – (3x – 4)2
69. 
Resolva os itens a seguir:
a. Fatorar: x2 + 2y2 + 3xy + x + y
b. Fatorar: 4a2	–	9b2
c. Fatorar: (x + y)2 – (x – y)2
d. Fatorar: x4 – y4
e. Calcular:	2.501	·	2.499
70. 
Resolva os itens a seguir:
a. Fatorar: 6a4b2c + 8a3b5 – 12ab3c2
b. Fatorar: (a + b) · x + 2 · (a + b)
c. Fatorar: 2x + ax + 2y + ay
d. Fatorar: x3 + x2 – 3x – 3
e. Fatorar: x2 – 5x + 6
71. PUC-MG
A diferença entre os quadrados de dois núme-
ros ímpares, positivos e consecutivos é 40. Es-
ses números pertencem ao intervalo:
a. [3,	9]
b. [4, 10]
c. [8, 14]
d. [10, 15]
e. [11, 14]
CAPÍTULO 03 
PV
-1
4-
14
Matemática básica
69
Matemática
72. UEFS-BA
Simplificando a expressão
x xy
xy y
x y
x y xy
2
2
2 2
2 2 2
+
−
−
+ +
· , obtém-se:
a. 1
2 2x y+
 d. x
y
2
2
b. 1
32 2x y xy+ +
 e. x
y
c. 
2 2
2 2
x x
x y xy
+
+ +
73. Fatec-SP
O valor da expressão , para 
, é:
a. 
b. 
c. 2
d. – 0,75
e. 
74. Unifor-CE
A expressão 2 3
2 1
2
1
1
2
2
x x
x x
x
x
com x
+ +
+ +
− +
+
≠ −, , 
é equivalente a:
a. x
x
−
+






1
1
2
b. x
x
−
+
1
1
c. 1
d. x x
x
2
2
4 5
1
+ +
+( )
e. x
x
+
+
5
1
75. UFG-GO
Simplificando ( ) ( )x y y y x
x y
+ − +
−
3 2
2 2
2 , temos:
a. ( )y x
x y
+
−
2
b. x - y
c. x - y - 2x2y
d. x y
x y
2 2+
−
e. x + y
76. UFU-MG
Sabendo-se que x y e x y+ = − =15
7
1
14
, qual 
é o valor da expressão: 
E
x xy y x y
x y x xy y
x xy
x
=
+ + −
− + +
−( )( )
( )( )
:
( )2 2 3 3
2 2 2 2
22
2
?
a. 30 c. 60 e. 25
b. d. 
77. UFPE
A diferença 555552 – 444442 não é igual a:
a. 9	·	111112
b. 99999	·	11111
c. 1111088889
d. 333332
e. 11110	·	88889
78. Fatec-SP
Se a, x, y e z são números reais tais que
z
x y ax ay
a a a
a
a
=
− + −
− − +
+
−
2 2
1
2
13 2 2
: , então z é igual a:
a. 
x y
a
-
-1
 d. x y
a
+
− 1
b. x y
a
-
-2 1
 e. ( ) · ( )x y a
a
− +
−
1
1
c. 
x y
a
+
+ 1
79. Unifesp
Se 1
1
27
373x x+ +
= , então 
1
23x x+ +
 é igual a:
a. 27
84
b. 27
64
c. 27
38
d. 28
37
e. 64
27
80. 
Prove que 20 14 2 20 14 23 3+ + − é um 
número racional.
Matemática básica
PV
-1
4-
14
70
Matemática
81. 
Calcule o valor de:
a. 0,1%	de	460
b. 125%	de	540
82. 
Represente as porcentagens na forma decimal 
e os decimais e frações na forma de porcen-
tagem.
a. 64%	 	 d. 135%
b. 142,7%	 	 e. 
c. 0,37%	 	 f. 
83. 
Se um em cada 320 habitantes de uma cidade 
é engenheiro, então a porcentagem de enge-
nheiros nessa cidade é de:
a. 0,32%
b. 3,2%
c. 0,3125%
d. 0,3215%
e. 3,125%
84. UFV-MG
Observando a figura, podemos dizer que a ra-
zão entre a área colorida e a área do triângulo 
MNP é expressa, na forma percentual, por:
a. 37,5%
b. 37%
c. 63%
d. 53%
e. 62,5%
85. FGV
Se	P	é	30%	de	Q,	Q	é	20%	de	R	e	S	é	50%	de	R,	
então P
S
 é igual a:
a.
b.
c.
3
250
3
25
1
 d.
e.
6
5
4
3
86. Unicamp-SP
Uma quantidade de 6.240 litros de água apre-
sentava	um	índice	de	salinidade	de	12%.	Devi-
do	à	evaporação,	esse	índice	subiu	para	18%.	
Calcule, em litros, a quantidade de água que 
evaporou.
87. Fuvest-SP
O	salário	de	Antônio	é	igual	a	90%	do	de	Pedro.	
A diferença entre os salários é de R$ 500,00. O 
salário de Antônio é:
a. R$ 5.500,00
b. R$ 45.000,00
c. R$ 4.000,00
d. R$ 4.500,00
e. R$ 3.500,00
88. Vunesp
Uma pesquisa realizada com pessoas com ida-
de maior ou igual a sessenta anos residentes 
na cidade de São Paulo, publicada na revista 
Pesquisa/Fapesp de maio de 2003, mostrou 
que, dentre os idosos que nunca frequenta-
ram	a	escola,	17%	apresentam	algum	tipo	de	
problema cognitivo (perda de memória, de ra-
ciocínio e de outras funções cerebrais). Se den-
tre 2.000 idosos pesquisados, um em cada cinco 
nunca foi à escola, o número de idosos pesqui-
sados nessa situação e que apresentam algum 
tipo de problema cognitivo é:
a. 680
b. 400
c. 240
d. 168
e. 68
CAPÍTULO 04 
PV
-1
4-
14
Matemática básica
71
Matemática
89. Fuvest-SP
Num	colégio	com	1.000	alunos,	65%	dos	quais	
são do sexo masculino, todos os estudantes 
foram convidados a opinar sobre o novo plano 
econômico do governo. Apurados os resulta-
dos,	verificou-se	que	40%	dos	homens	e	50%	
das mulheres manifestaram-se favoravelmen-
te ao plano. A porcentagem de estudantes fa-
voráveis ao plano vale:
a. 43,5%	 	 d. 17,5%
b. 45%	 	 e.	26%
c. 90%
90. ENEM
O tabagismo (vício em fumo) é responsável por 
uma grande quantidade de doenças e mortes 
prematuras na atualidade. O Instituto Nacional 
do	 Câncer	 divulgou	 que	 90%	 dos	 casos	 diag-
nosticados	 de	 câncer	 de	 pulmão	 e	 80%	 dos	
casos diagnosticados de enfisema pulmonar 
estão associados ao consumo de tabaco. Para-
lelamente, foram mostrados os resultados de 
uma pesquisa realizada em um grupo de 2.000 
pessoas com doenças
de pulmão, das quais 
1.500 são casos diagnosticados de câncer e 500 
são casos diagnosticados de enfisema.
Com base nessas informações, pode-se esti-
mar que o número de fumantes desse grupo 
de 2.000 pessoas é, aproximadamente:
a. 740
b. 1.100
c. 1.310
d. 1.620
e. 1.750
91. Fuvest-SP
Um recipiente contém uma mistura de leite 
natural e leite de soja num total de 200 li-
tros,	dos	quais	25%	são	de	leite	natural.	Qual	
a quantidade de leite de soja que deve ser 
acrescentada a essa mistura para que venha a 
conter	20%	de	leite	natural?
92. Fuvest-SP
Um lote de livros foi impresso em duas gráfi-
cas,	A	e	B;	A	imprimiu	70%	dos	livros	e	B,	30%.	
Sabe-se	que	3%	dos	 livros	 impressos	em	A	e	
2%	dos	livros	impressos	em	B	são	defeituosos.	
Qual a porcentagem dos livros defeituosos do 
lote?
93. Faap-SP
Em	20	kg	de	uma	liga	com	30%	de	cobre,	quan-
tos quilos se deve acrescentar desse material 
para	que	aquela	porcentagem	passe	para	40%?
94. 
Um negociante vendeu mercadorias compra-
das a R$ 4.000,00 por R$ 5.000,00. De quantos 
por cento foi seu lucro sobre o preço de com-
pra e sobre o preço de venda?
95. Fuvest-SP
Em uma prova de 25 questões, cada respos-
ta certa vale + 0,4 e cada resposta errada vale 
– 0,1. Um aluno resolveu todas as questões e 
teve nota 0,5. Qual a porcentagem de acertos 
desse aluno?
a. 	25%
b. 	24%
c. 	20%
d. 	16%
e. 	5%
96. ITA-SP
Certa	liga	contém	20%	de	cobre	e	5%	de	esta-
nho. Quantos quilos de cobre e quantos quilos 
de estanho devem ser adicionados a 100 qui-
los dessa liga para a obtenção de uma outra 
com	30%	de	cobre	e	10%	de	estanho?
97. ENEM
As	“margarinas”	e	os	chamados	“cremes	vege-
tais”	 são	 produtos	 diferentes,	 comercializados	
em	embalagens	quase	idênticas.	O	consumidor,	
para diferenciar um produto do outro, deve ler 
com atenção os dizeres do rótulo, geralmente 
em letras muito pequenas. As figuras que se-
guem representam rótulos desses dois produtos.
Peso líquido 500 g
MARGARINA
65% de lipídeos
Valor energético por porção de 10 g: kcal
Peso líquido 500 g
CREME VEGETAL
35% de lipídeos
Valor energético por porção de 10 g: kcal
Matemática básica
PV
-1
4-
14
72
Matemática
Uma função dos lipídios no preparo das mas-
sas alimentícias é torná-las mais macias. Uma 
pessoa que, por desatenção, use 200 g de 
creme vegetal para preparar uma massa cuja 
receita pede 200 g de margarina não obterá 
a	consistência	desejada,	pois	estará	utilizando	
uma quantidade de lipídios que é, em relação 
à recomendada, aproximadamente:
a. o triplo.
b. o dobro.
c. a metade.
d. um terço.
e. um quarto.
98. 
Uma	pessoa	aplica	60%	do	 seu	 capital	 a	uma	
taxa	de	20%	ao	ano.	A	que	taxa	ao	ano	essa	pes-
soa deve aplicar a outra parte do seu capital 
para que, após um ano, os montantes obtidos 
sejam iguais?
a. 30%	
b. 40%	
c. 60%
d. 80%
e. 120%
99. 
A União da Indústria de cana-de-açú-
car, Unica, quer retomar os 25% de eta-
nol anidro misturado na gasolina. Há dois 
meses, o governo federal reduziu o nível 
para 20% como uma forma de controlar a 
escalada dos preços do etanol e evitar um 
desabastecimento.
O Estado de S. Paulo, 14.12.2011.
Admita	que	certo	 tanque	contenha	9.000	 li-
tros de uma mistura combustível composta 
de	80%	de	gasolina	e	20%	de	etanol	anidro.	
Para	que	essa	mistura	passe	a	ter	25%	de	eta-
nol anidro, conforme desejo dos produtores, 
será necessário adicionar à mistura original 
uma quantidade, em litros, de etanol anidro 
igual a:
a. 600
b. 550
c. 500
d. 450
e. 400
100. ENEM
A	eficiência	de	anúncios	num	painel	eletrônico	
localizado em uma certa avenida movimenta-
da foi avaliada por uma empresa. Os resulta-
dos mostraram que, em média:
– passam, por dia, 30.000 motoristas em 
frente ao painel eletrônico;
– 40%	dos	motoristas	que	passam	obser-
vam o painel; 
– um	mesmo	motorista	passa	três	vezes	
por semana pelo local.
Segundo os dados anteriores, se um anúncio 
de um produto ficar exposto durante sete dias 
nesse painel, é esperado que o número míni-
mo de motoristas diferentes que terão obser-
vado o painel seja:
a. 15.000
b. 28.000
c. 42.000
d. 71.000
e. 84.000
101. Uneb-BA
O preço do cento de laranja sofreu dois au-
mentos	consecutivos	de	10%	e	20%,	passando	
a custar R$ 5,28. O preço do cento da laranja 
antes dos aumentos era de:
a. R$ 4,00
b. R$ 3,80
c. R$ 3,70
d. R$ 4,40
e. R$ 4,20
102. Fafeod-MG
Um vendedor resolve aumentar o preço de 
venda	de	um	determinado	produto	em	30%.	
Sabendo-se que o lucro do vendedor antes do 
aumento	era	de	15%	e	que	não	houve	altera-
ção no preço de custo, podemos afirmar que 
após o aumento seu lucro é de:
a. 	18%
b. 15%
c. 	45%
d. 49,5%
e. 19,5%
PV
-1
4-
14
Matemática básica
73
Matemática
103. Fuvest-SP
A cada ano que passa, o valor de um carro di-
minui	30%	em	relação	ao	valor	anterior.	Se	V	
for o valor do carro no primeiro ano, o seu va-
lor no oitavo ano será:
a. (0,7)7 · V
b. (0,3)7 · V
c. (0,7)8 · V
d. (0,3)8 · V
e. (0,3)9 · V
104. Mackenzie-SP
Numa loja, um determinado produto de pre-
ço	p	é	posto	em	promoção,	do	tipo	“leve	5	e	
pague	3”.	O	desconto	que	a	promoção	oferece	
sobre o preço p do produto é de:
a. 	40%
b. 35%
c. 30%
d. 25%
e. 20%
105. UFG-GO
Uma	 empresa	 concedeu	 aumento	 de	 8%	 a	
seus funcionários. Após o aumento, um dos 
funcionários passou a receber R$ 237,60. Qual 
era o salário desse funcionário?
106. FGV-SP
Roberto Mathias investiu R$ 12.000,00 em 
ações das empresas A e B. Na época da compra, 
os preços unitários das ações eram R$ 20,00 
para a empresa A e R$ 25,00 para a B.
Depois de algum tempo, o preço unitário de 
A	aumentou	200%	e	o	de	B	aumentou	apenas	
10%.	Nessa	ocasião,	o	valor	total	das	ações	da	
carteira era de R$ 17.000,00.
A diferença, em valor absoluto, entre as quan-
tidades de ações compradas de A e B foi de:
a. 200
b. 225
c. 300
d. 250
e. 275
107. UFMG
Um comerciante aumentou os preços de 
suas	mercadorias	 em	 150%.	 Como	 a	 venda	
não estava satisfatória, voltou aos preços 
praticados antes do aumento. Em relação 
aos preços aumentados, o percentual de re-
dução foi de:
a. 0%
b. 60%
c. 75%
d. 100%
e. 150%
108. FGV-SP
Um	lucro	de	30%	sobre	o	preço	de	venda	de	
uma mercadoria representa que porcentagem 
sobre o preço de custo da mesma mercadoria?
a. 	30%
b. 15%
c. 42,86%
d. 7,5%
e. 21,42%
109. Fuvest-SP
Um vendedor ambulante vende os seus pro-
dutos	com	lucro	de	50%	sobre	o	preço	de	ven-
da. Então, o seu lucro sobre o preço de custo é 
de: 
a. 10%
b. 25%
c. 33,333...%
d. 100%
e. 120%
110. UERJ
Um trem transportava, em um de seus vagões, 
um número inicial n de passageiros. Ao parar 
em	uma	estação,	20%	desses	passageiros	de-
sembarcaram. Em seguida, entraram nesse 
vagão	20%	da	quantidade	de	passageiros	que	
nele permeneceu após o desembarque. Dessa 
forma, o número final de passageiros no vagão 
corresponde a 120.
Determine o valor de n.
Matemática básica
PV
-1
4-
14
74
Matemática
111. Unesp
O lucro líquido mensal de um produtor ru-
ral com a venda de leite é de R$ 2.580,00. 
O custo de produção de cada litro de leite, 
vendido por R$ 0,52, é de R$ 0,32. Para au-
mentar	 em	 exatamente	 30%	 o	 seu	 lucro	 lí-
quido mensal, considerando que os valores 
do custo de produção e do lucro, por litro 
de leite, permaneçam os mesmos, quantos 
litros a mais de leite o produtor precisa ven-
der mensalmente?
a. 16.770
b. 12.900
c. 5.700
d. 3.870
e. 3.270
112. Unifesp
André aplicou parte de seus R$ 10.000,00 a 
1,6%	ao	mês,	e	o	restante	a	2%	ao	mês.	No	fi-
nal	de	um	mês,	recebeu	um	total	de	R$	194,00	
de juros das duas aplicações. O valor absoluto 
da	diferença	entre	os	valores	aplicados	a	1,6%	
e	a	2%	é:
a. R$ 4.000,00.
b. R$ 5.000,00.
c. R$ 6.000,00.
d. R$ 7.000,00.
e. R$ 8.000,00.
113. Fuvest-SP
Sobre o preço de um carro importado incide 
um	 imposto	de	 importação	de	30%.	 Em	 fun-
ção disso, o seu preço para o importador é de 
R$	19.500,00.	Supondo	que	tal	imposto	passe	
de	30%	para	60%,	qual	será,	em	reais,	o	novo	
preço do carro
para o importador?
a. R$ 22.500,00
b. R$ 24.000,00
c. R$ 25.350,00
d. R$ 31.200,00
e. 	R$	39.000,00
114. Fuvest-SP
Uma certa mercadoria é vendida nas lojas A e B, 
sendo R$ 20,00 mais cara em B. Se a loja B ofe-
recesse	um	desconto	de	10%,	o	preço	nas	duas	
lojas seria o mesmo. Qual é o preço na loja A?
115. Uespi
Uma máquina que fazia 80 fotocópias por mi-
nuto	foi	substituída	por	outra	que	é	30%	mais	
veloz. Quantas fotocópias a nova máquina faz, 
em 30 segundos?
a. 48 d. 54
b. 50 e. 56
c. 52
116. Fuvest-SP
Um comerciante compra calças, camisas e 
saias	e	as	 revende	com	 lucro	de	20%,	40%	e	
30%,	respectivamente.	O	preço	x	que	o	comer-
ciante	paga	por	uma	calça	é	três	vezes	o	que	
ele paga por uma camisa e duas vezes o que 
ele paga por uma saia. Certo dia, um cliente 
comprou duas calças, duas camisas e duas 
saias	 e	 obteve	um	desconto	de	10%	 sobre	o	
preço total.
a. Quanto esse cliente pagou por sua 
compra, em função de x?
b. Qual o lucro aproximado, em porcen-
tagem, obtido pelo comerciante nessa 
venda?
117. Unifesp
Uma	empresa	brasileira	tem	30%	de	sua	dívida	
em	dólares	e	os	70%	restantes	em	euros.	Ad-
mitindo-se	uma	valorização	de	10%	do	dólar	e	
uma	desvalorização	de	2%	do	euro,	ambas	em	
relação ao real, pode-se afirmar que o total da 
dívida dessa empresa, em reais:
a. aumenta	8%.
b. aumenta	4,4%.
c. aumenta	1,6%.
d. diminui	1,4%.
e. diminui	7,6%.
118. FGV-SP
Um aparelho de TV é vendido por R$ 1.000,00 
em dois pagamentos iguais, sem acréscimo, 
sendo	o	1º	como	entrada	e	o	2º,	um	mês	após	
a compra. Se o pagamento for feito à vista, 
há	 um	 desconto	 de	 4%	 sobre	 o	 preço	 de	
R$ 1.000,00. A taxa mensal de juros simples 
do financiamento é, aproximadamente, igual a:
a. 8,7%	 	 d.	5,7%
b. 7,7%	 	 e.	4,7%
c. 6,7%
PV
-1
4-
14
Matemática básica
75
Matemática
119. Unesp
Suponhamos que, para uma dada eleição, uma 
cidade tivesse 18.500 eleitores inscritos. Supo-
nhamos ainda que, para essa eleição, no caso 
de	se	verificar	um	índice	de	abstenções	de	6%	
entre	os	homens	e	de	9%	entre	as	mulheres,	
o número de votantes do sexo masculino será 
exatamente igual ao de votantes do sexo fe-
minino.
Determine o número de eleitores inscritos de 
cada sexo.
120. Fuvest-SP
O valor, em reais, de uma pedra semipreciosa 
é sempre numericamente igual ao quadrado 
de sua massa, em gramas. Infelizmente uma 
dessa pedras, de 8 gramas, caiu e se partiu em 
dois pedaços. O prejuízo foi o maior possível.
Em relação ao valor original, o prejuízo foi de:
a. 92%
b. 80%
c. 50%
d. 20%
e. 18%
121. UFPE
Se	a	liga	A	contém	25%	de	ouro	e	75%	de	prata	
e	a	liga	B	contém	55%	de	ouro	e	45%	de	prata,	
quantos gramas da liga A se deve misturar com 
a liga B de modo a se obterem 120 g de uma liga 
com a mesma concentração de ouro e prata?
122. Fuvest-SP
O preço de certa mercadoria sofre anualmente 
um	acréscimo	de	100%.	Supondo	que	o	preço	
atual	seja	R$	100,00,	daqui	a	três	anos	será:
a. R$ 300,00
b. R$ 400,00
c. R$ 600,00
d. R$ 800,00
e. R$ 1.000,00
123. Mackenzie-SP 
Nos	 três	 primeiros	 trimestres	 de	 um	 ano,	 a	
inflação	 foi,	 respectivamente,	 5%,	 4%	 e	 6%.	
Nessas condições, a inflação acumulada nesse 
período foi:
a. 15%
b. 15,75%
c. 16%
d. 16,75%
e. 15,25%
124. FGV-SP
O salário de um gerente sofreu em março e 
abril	aumentos	de	15%	e	12%,	respectivamen-
te.	No	mês	de	maio,	esse	gerente	foi	obrigado	
a	aceitar	uma	 redução	de	8%	em	seu	salário	
em função de mudança de emprego. O que 
ocorreu com o salário desse gerente no tri-
mestre?
a. Aumentou	em	aproximadamente	18,5%.
b. Aumentou	em	aproximadamente	28%.
c. Aumentou	em	aproximadamente	25%.
d. Aumentou	em	aproximadamente	21,5%.
e. Aumentou	em	aproximadamente	17%.
125. E.N.
Uma senhora extremamente gorda resolveu 
fazer	uma	dieta	e	perdeu	em	três	meses	30%	
de	 seu	 peso;	 entretanto,	 nos	 três	meses	 se-
guintes,	ela	aumentou	seu	peso	em	40%.	No	
decorrer desse semestre, o peso da senhora:
a. aumentou	16%.
b. aumentou	10%.
c. manteve seu valor inicial.
d. diminuiu	10%.
e. diminuiu	2%.
126. Unesp
Cássia aplicou o capital de R$ 15.000,00 a juros 
compostos, pelo período de 10 meses e à taxa 
de	2%	a.m.	(ao	mês).
Considerando a aproximação (1,02)5 = 1,1, 
Cássia computou o valor aproximado do mon-
tante a ser recebido ao final da aplicação. Esse 
valor é:
a. R$ 18.750,00.
b. R$ 18.150,00.
c. R$ 17.250,00.
d. R$ 17.150,00.
e. R$ 16.500,00
127. FEI modificado
Fiz a compra de um aparelho numa loja em 
liquidação	 que	 dava	 10%	 de	 desconto	 sobre	
o preço de qualquer mercadoria. Estava para 
Matemática básica
PV
-1
4-
14
76
Matemática
pagar a conta, com o referido desconto, quando 
encontrei	na	gerência	um	amigo	de	infância	que,	
em nome da velha amizade, deu-me um descon-
to	de	10%	sobre	o	que	estava	prestes	a	pagar.	Pa-
guei, então, a importância de R$ 810,00. Qual era 
o preço inicial do aparelho?
a. R$ 830,00
b. R$	900,00
c. R$ 1.000,00
d. R$ 1.110,00
e. R$ 1.200,00
128. Fatec-SP
Numa microempresa, consomem-se atual-
mente X litros de combustível por dia. Para a 
próxima	semana,	haverá	um	aumento	de	5%	
no preço do combustível. Com o objetivo de 
manter a mesma despesa, será feita uma re-
dução no consumo. O novo consumo diário de 
combustível deverá ser de, aproximadamente:
a. 94,2%	X
b. 95%	X
c. 95,13%	X
d. 95,24%	X
e. 95,5%	X
129. Fuvest-SP
Pedro e João são concorrentes na venda de car-
nês.	Em	maio,	eles	venderam	o	mesmo	número	
de	carnês.	Em	junho,	Pedro	conseguiu	aumen-
tar	em	32%	as	suas	vendas.	Porém,	neste	mês	
de	junho,	as	vendas	de	João	foram	25%	supe-
riores	às	de	Pedro.	Em	relação	ao	mês	de	maio,	
de quanto foi o aumento nas vendas de João?
a. 32%	 	 d.	60%
b. 40%	 	 e.	65%
c. 57%
130. FEI
Uma loja vende um liquidificador por R$ 16,00 
para pagamento à vista ou em duas prestações 
fixas	de	R$	9,00,	uma	entrada	e	outra	para	30	
dias. A taxa de juros mensais cobrada pela fir-
ma está no intervalo:
a. de	10%	a	14%	ao	mês.
b. de	15%	a	19%	ao	mês.
c. de	20%	a	24%	ao	mês.
d. de	25%	a	29%	ao	mês.
e. de	mais	de	30%	ao	mês.
131. Unesp
O quadro, reproduzido da revista Veja	(7/6/95),	
mostra quanto renderam os investimentos do 
início	de	1995	a	31	de	maio	desse	ano.
Perdas e lucros
Quanto renderam os
investimentos do início
do ano até 31 de maio,
descontada a inflação
(em %).
10,7 CDB
7,0
poupança
4,8
fundão
– 3,7
ouro
– 21,5
Ibovespa
– 18,2
IBV
– 6,2 dólar
paralelo
– 1,6 dólar
comercial
Considerando esses dados, suponhamos que 
uma	pessoa,	no	primeiro	dia	útil	de	1995,	ti-
nha investido na poupança metade das enco-
nomias que possuía e investido no dólar para-
lelo a outra metade. Se o rendimento global 
obtido por ela no período foi de R$ 400,00, 
quanto investiu ao todo?
132. Mackenzie-SP
Numa loja, a diferença entre o preço de ven-
da solicitado e o preço de custo de um deter-
minado produto é 3.000. Se esse produto for 
vendido	 com	 20%	 de	 desconto,	 ainda	 assim	
dará	um	lucro	de	30%	à	loja.	Então,	a	soma	en-
tre os preços de venda e de custo é:
a. 15.200
b. 14.600
c. 13.600
d. 12.600
e. 6.400
133. Mackenzie-SP
Um comerciante comprou uma peça de 50 
metros por R$ 1.000,00. Se ele vender 20 me-
tros	com	 lucro	de	50%,	20	metros	com	 lucro	
de	30%	e	10	metros	pelo	preço	de	custo,	o	seu	
lucro total na venda dessa peça será de:
a. 8%	 	 d. 32%
b. 12%	 	 e. 40%
c. 20%
PV
-1
4-
14
Matemática básica
77
Matemática
134. Fuvest-SP
Um automóvel consumia trimetil-2,24-penta-
no puro, ao preço de R$ 5/L e percorria 12 km/L. 
Posteriormente, passou a consumir a mis-
tura	 de	 80%	 de	 trimetil-2,2,2-pentano	 com	
20%	de	álcool	etílico,	20%	mais	cara	(R$	6/L),	e	
a percorrer 10 km/L. O aumento percentual do 
custo do km percorrido foi de:
a. 25%	
b. 40%	
c. 44%
d. 60%
e. 72%
135. FGV-SP
As	vendas	de	uma	empresa	 foram,	em	1982,	
60%	superiores	às	vendas	de	1980.	Em	relação	
a	 1982,	 as	 vendas	 de	 1980	 foram	 inferiores	
em:
a. 25%
b. 42,5%
c. 30%
d. 27,50%
e. 37,5%
136. Vunesp
Um lojista sabe que,
para não ter prejuízo, o 
preço de venda de seus produtos deve ser, no 
mínimo,	44%	superior	ao	preço	de	custo.	As-
sim, ele prepara a tabela de preços de venda 
acrescentando	80%	ao	preço	de	custo,	porque	
sabe que o cliente gosta de obter desconto no 
momento da compra. Qual é o maior descon-
to que ele pode conceder ao cliente, sobre o 
preço de tabela, de modo a não ter prejuízo?
a. 10%
b. 15%
c. 20%
d. 25%
e. 36%
137. Fuvest-SP
a. Se	 os	 preços	 aumentam	 10%	 ao	mês,	
qual a porcentagem de aumento em 
um trimestre?
b. Supondo a inflação constante, qual 
deve ser a taxa trimestral de inflação 
para	que	a	taxa	anual	seja	100%?
138. FVG-SP
O	“Magazine	Lúcia”	e	a	rede	“Corcovado”	de	
hipermercados vendem uma determinada 
marca de aparelho de som do tipo Home Ci-
nema pelo mesmo preço à vista. Na venda a 
prazo, ambas as lojas cobram a taxa de juros 
compostos	de	10%	ao	mês,	com	planos	de	pa-
gamentos distintos.
Comprando	a	prazo	no	“Magazine	Lúcia”,	um	
consumidor deve pagar R$ 2.000,00 no ato 
da compra e R$ 3.025,00 depois de 2 meses, 
enquanto	na	rede	“Corcovado”	ele	pode	levar	
o aparelho sem desembolsar dinheiro algum, 
pagando	uma	parcela	de	R$	1.980,00,	1	mês	
após a compra, e o saldo em 2 meses após a 
compra.
a. Qual o valor à vista do aparelho de som?
b. Se um consumidor comprar o aparelho 
de	 som	 a	 prazo	 na	 rede	 “Corcovado”,	
qual o valor da parcela final, vencível 2 
meses após a compra?
139. UFMG
Uma loja oferece duas formas de pagamento 
a	seus	clientes:	10%	de	desconto	sobre	o	pre-
ço anunciado se o pagamento for à vista, ou 
o preço anunciado dividido em duas parcelas 
iguais: a 1ª no ato da compra e a 2ª no trigési-
mo dia após a compra.
A taxa mensal de juros efetivamente cobrada, 
no pagamento parcelado, é de:
a. 10%	 	 d.	30%
b. 15%	 	 e.	50%
c. 25%
140. FGV-SP
Numa loja, os preços dos produtos expostos 
na	vitrine	incluem	um	acréscimo	de	50%	sobre	
o preço de custo.
Durante uma liquidação, o lojista decidiu ven-
der	os	produtos	com	um	lucro	real	de	20%	so-
bre os preços de custo.
a. Calcule o desconto que ele deve dar so-
bre os preços da vitrine.
b. Quando não há liquidação, sua venda é 
a prazo, com um único pagamento após 
dois meses e uma taxa de juros com-
postos	de	10%	ao	mês.	Nessa	condição,	
qual será a porcentagem do lucro sobre 
o preço de custo?
Matemática básica
PV
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78
Matemática
141. Fuvest
Determine os números que são divisores de 
40.
142. Uespi
O número de divisores do inteiro 1.800 é:
a. 24
b. 36
c. 48
d. 60
e. 72
143. ESPM-SP
O número natural N = 180 · p, em que p é um 
número primo, possui 27 divisores naturais. 
O valor de p é:
a. 2 d. 7
b. 3 e. 11
c. 5
144. UFPE
Um cubo tem aresta 23 · 32. Para quantos natu-
rais n esse cubo pode ser dividido em (mais de 
um) cubos congruentes de aresta n?
a. 7
b. 9
c. 11
d. 13
e. 15
145. Unifesp
O número de inteiros positivos que são di-
visores do número N = 214 · 353, inclusive 
1 e N, é:
a. 84
b. 86
c. 140
d. 160
e. 162
146. Fatec-SP
O número inteiro N = 1615 + 256 é divisível por:
a. 5 d. 13
b. 7 e. 17
c. 11 
147. 
Qual o número de dois algarismos que dividi-
do	por	25	tem	resto	2	e	que	dividido	por	9	tem	
resto 5?
148. Unicamp-SP
A divisão de um certo número positivo N por 
1.994	deixa	resto	148.	Calcule	o	resto	da	divi-
são	de	N	+	2.000	pelo	mesmo	número	1.994.
149. 
Determine o menor número que se deve so-
mar a 8.746 para se obter um múltiplo de 11 
aumentado de 4 unidades.
150. 
Mostre que a soma de um número de dois alga-
rismos com aquele que se obtém invertendo-se 
a ordem de seus algarismos é múltiplo de 11.
151. Unifesp
O	conhecido	quebra-cabeça	“Leitor	virtual	de	
pensamentos”	baseia-se	no	seguinte	fato:	se	
x	≠	0	é	o	algarismo	das	dezenas	e	y	é	o	algaris-
mo das unidades do número inteiro positivo 
“xy”,	então	o	número	z	=	“xy”	−	(x	+	y)	é	sem-
pre	múltiplo	de	9.
a. Verifique a veracidade da afirmação 
para os números 71 e 30.
b. Prove que a afirmativa é verdadeira 
para qualquer número inteiro positivo 
de dois algarismos.
152. UnB-DF
Se	x,	y	e	z	são	três	números	inteiros	positivos	e
a x y
b y z
c x z
= +
= +
= +




 , então:
a. (a + b + c) é sempre um número par.
b. (a + b + c) é sempre um número ímpar.
c. (a + b + c) é sempre um múltiplo de 3.
d. (a + b + c) é sempre um múltiplo de 5.
e. (a + b + c) é sempre um múltiplo de 7.
CAPÍTULO 05 
PV
-1
4-
14
Matemática básica
79
Matemática
153. UFMG
Considera-se o conjunto M de todos os números 
inteiros	 formados	 por	 exatamente	 três	 algaris-
mos iguais. Pode-se afirmar que todo n ∈ M é 
múltiplo de:
a. 5
b. 7
c. 13
d. 17
e. 37
154. FGV-SP
Em uma sala de aula, a razão entre o núme-
ro de homens e o de mulheres é 3
4
. Seja N o 
número total de pessoas (número de homens 
mais o de mulheres). Um possível valor para 
N é:
a. 46
b. 47
c. 48
d. 49
e. 50
155. Mackenzie-SP
Um número N é formado por dois algarismos, a 
e b, tais que a + b = 7. Se N - 1 é divisível por 7, 
então N + 1 é múltiplo de:
a. 11
b. 9
c. 3
d. 13
e. 5
156. UFU-MG
Considere a e b dois números inteiros, tais 
que a – b = 23, sendo b > 0. Sabendo-se que 
na divisão de a por b o quociente é 8 e o resto 
é o maior valor possível nessa divisão, então 
a + b é igual a:
a. 29
b. 26
c. 32
d. 36
157. UFRR
A quantidade de números primos de 2 algaris-
mos que, divididos por 13, deixam resto 3 é 
igual a:
a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
e. 4
158. Fuvest-SP
Mostre que se m é um número ímpar, então 
m2 - 1 é divisível por 8.
159. 
Em uma festa com n pessoas, em um dado 
instante, 31 mulheres se retiraram e restaram 
convidados na razão de 2 homens para cada 
mulher. Um pouco mais tarde, 55 homens se 
retiraram e restaram, a seguir, convidados na 
razão de 3 mulheres para cada homem. O nú-
mero n de pessoas presentes inicialmente na 
festa era igual a:
a. 100
b. 105
c. 115
d. 130
e. 135
160. 
Considere o critério de divisibilidade por 3: 
“um	número	natural	é	divisível	por	3	quando	
a soma dos algarismos que o formam resultar 
em	um	número	múltiplo	de	3”.
Prove a validade desse critério para um núme-
ro natural de 3 algarismos.
161. Vunesp
Três	 viajantes	 partem	 num	 mesmo	 dia	 de	
uma	cidade	A.	Cada	um	desses	três	viajantes	
retorna à cidade A exatamente a cada 30, 48 
e 72 dias, respectivamente. O número mínimo 
de	dias	transcorridos	para	que	os	três	viajantes	
estejam juntos novamente na cidade A é:
a. 144
b. 240
c. 360
d. 480
e. 720
Matemática básica
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14
80
Matemática
162. Unicamp-SP
Numa linha de produção, certo tipo de manu-
tenção é feito na máquina A a cada 3 dias, na 
máquina B a cada 4 dias e na máquina C a cada 
6 dias. 
Se no dia 2 de dezembro foi feita a manuten-
ção	nas	três	máquinas,	a	próxima	vez	em	que	
a	manutenção	das	três	ocorreu	no	mesmo	dia	
foi: 
a. 5 de dezembro.
b. 6 de dezembro.
c. 8 de dezembro.
d. 14 de dezembro.
e. 26 de dezembro.
163. UEM-PR
As merendas servidas nas escolas da cidade 
de Alegria são todas preparadas em uma cozi-
nha central e depois são embaladas em paco-
tes contendo, cada um, o mesmo número de 
merendas. Para facilitar o transporte, a quan-
tidade de pacotes deve ser a menor possível. 
Sabendo que as escolas A, B, C e D recebem, 
respectivamente, 700, 630, 805 e 560 meren-
das, qual é o número de merendas em cada 
pacote?
164. Mackenzie-SP
Nas	 últimas	 eleições,	 três	 partidos	 políticos	
tiveram	direito,	por	dia,	a	90	s,	108	s	e	144	s	de	
tempo gratuito de propaganda na televisão, 
com diferentes números de aparições. O tempo 
de cada aparição, para todos os partidos, foi 
sempre o mesmo e o maior possível. A soma 
do número das aparições diárias dos partidos 
na TV foi de:
a. 15
b. 16
c. 17
d. 19
e. 21
165. PUC-MG 
A partir das 07h00min, as saídas de ônibus de 
Belo Horizonte para Sete Lagoas, Ouro Preto e 
Monlevade obedecem à seguinte escala:
•	 Para Sete Lagoas, de 35 em 35 minutos.
•	 Para Ouro Preto, de 40 em 40 minutos.
•	 Para Monlevade, de 70 em
70 minutos.
Às sete horas, os ônibus saem juntos. Após as 
sete horas, os ônibus para essas cidades volta-
rão a sair juntos às:
a. 10h20min
b. 11h40min
c. 12h10min
d. 13h00min
166. PUC-MG
O terreno da figura tem a forma de um triân-
gulo retângulo cujos catetos medem, respecti-
vamente, 30 m e 40 m. Em volta desse terreno, 
devem ser plantadas n palmeiras igualmente 
espaçadas, considerando as distâncias medi-
das sobre os lados do triângulo, de modo que 
a distância entre uma e outra planta seja a 
maior possível e o número de palmeiras seja o 
menor. Nessas condições, o valor de n é:
a. 10
b. 12
c. 15
d. 20
167. Fuvest-SP
No alto da torre de uma emissora de televisão, 
duas	 luzes	 "piscam"	 com	 frequências	
diferentes. A primeira "pisca" 15 vezes por 
minuto e a segunda "pisca" 10 vezes por 
minuto. Se, num certo instante, as luzes piscam 
simultaneamente, após quantos segundos elas 
voltarão a "piscar" simultaneamente?
a. 12 d. 15
b. 10 e. 30
c. 20
168. Mackenzie-SP
Um painel decorativo retangular, com dimen-
sões	2,31	m	e	92,4	cm,	foi	dividido	em	um	nú-
mero mínimo de quadrados de lados paralelos 
aos lados do painel e áreas iguais. Esse núme-
ro de quadrados é:
a. 10 d. 14
b. 8 e. 12
c. 16
PV
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4-
14
Matemática básica
81
Matemática
169. PUC-MG 
Um	 latifundiário	 decide	 lotear	 três	 terrenos	
com áreas de 145 ha, 174 ha e 232 ha, de 
modo que os lotes sejam de áreas iguais e 
cada um deles tenha a maior área possível. 
Nessas condições, o número de lotes, depois 
de feita a divisão, é:
a. 15
b. 17
c. 19
d. 21
170. Mackenzie-SP 
Os números compreendidos entre 400 e 
1.500, divisíveis ao mesmo tempo por 18 e 75, 
têm	soma:
a. 1.600
b. 2.350
c. 1.350
d. 2.700
e. 1.800
171. Unicamp-SP
Uma sala retangular medindo 3 m por 4,25 m 
deve ser ladrilhada com ladrilhos quadrados 
iguais. Supondo que não haja espaço entre la-
drilhos vizinhos, pergunta-se:
a. Qual deve ser a dimensão máxima, em 
centímetros, de cada um desses ladri-
lhos para que a sala possa ser ladrilha-
da sem cortar nenhum ladrilho?
b. Quantos desses mesmos ladrilhos são 
necessários?
172. Cesgranrio-RJ
Se o mínimo múltiplo comum entre os inteiros 
(2m · 15) e (4 · 3n) é 360, então:
a. m = n.
b. m + n é ímpar.
c. m · n é múltiplo de 4.
d. m · n é múltiplo de 15.
e. m = 2n.
173. Unicamp-SP 
Dividindo-se 7.040 por n, obtém-se resto 20. 
Dividindo-se	12.384	por	n,	obtém-se	 resto	9.	
Ache n.
174. 
No conjunto dos números naturais, conside-
re um número n, que, quando dividido por 
3, deixa resto 2, quando dividido por 4, deixa 
resto 3 e, quando dividido por 5, deixa resto 
4. Conclui-se que o menor valor de n pertence 
ao intervalo:
a. 30 < n < 50
b. 80 < n < 110
c. 50 < n < 80
d. 130 < n < 180
e. 110 < n < 140
175. Fuvest-SP 
Maria quer cobrir o piso de sua sala com lajotas 
quadradas, todas com lado de mesma medida 
inteira, em centímetros. A sala é retangular, de 
lados 2 m e 5 m. Os lados das lajotas devem 
ser paralelos aos lados da sala, devendo ser 
utilizadas somente lajotas inteiras. Quais são 
os possíveis valores do lado das lajotas?
176. UFMG
Sejam a, b e c números primos distintos, em 
que a > b.
O máximo divisor comum e o mínimo múltiplo 
comum de m = a2 · b · c2 e n = a · b2 são, res-
pectivamente, 21 e 1.764.
Pode-se afirmar que a + b + c é:
a. 9
b. 10
c. 12
d. 42
e. 62
177. 
A altura, em centímetros, do nível da água ar-
mazenada em um reservatório com a forma de 
um prisma reto de base retangular é igual a x, 
conforme mostra a figura. 
xh
Matemática básica
PV
-1
4-
14
82
Matemática
Usando todo esse volume de água armaze-
nado, pode-se encher completamente uma 
quantidade exata de recipientes com capa-
cidade de 20 litros cada, ou uma quantidade 
exata de recipientes com capacidade de 50 
litros cada. Se x = h
3
, em que h é a altura do 
reservatório, então a menor capacidade, em 
litros, desse reservatório cheio é:
a. 200
b. 300
c. 400
d. 500
e. 600
178. PUC-RJ
A editora do livro Como ser aprovado no ves-
tibular	 recebeu	os	 seguintes	 pedidos	 de	 três	
livrarias:
Livraria Número de exemplares
A 1.300
B 1.950
C 3.900
A	editora	deseja	remeter	os	três	pedidos	em	n	
pacotes iguais, de tal forma que n seja o me-
nor possível. Calcule o número n.
179. Fuvest-SP
O produto de dois números naturais a e b é 
600.
a. Quais são os possíveis divisores natu-
rais primos de a?
b. Quais são os possíveis valores do máxi-
mo divisor comum de a e b?
180. 
Murilo possui uma empresa e resolveu investir 
mais em propaganda. Para isso, procurou uma 
emissora de televisão que lhe ofereceu o se-
guinte pacote: 180 segundos diários durante a 
primeira semana; 216 segundos diários duran-
te a segunda semana e 144 segundos diários 
na terceira semana. Por motivo de economia, 
Murilo gravou um único comercial. Assim:
a. qual o máximo tempo do comercial 
para que ele seja exibido sem cortes 
nas	três	semanas?
b. quantas vezes ele passará durante esse 
período?
PV
-1
4-
14
Matemática básica
83
Matemática
181. 
Resolver em  as equações:
a. 2 · (2 · (x – 8) – 10) = 100
b. 2
3 2
x x+ + x = 1
182. 
Resolver em  a equação x x
2
1
3
1− + =
183. 
O professor Dzor Ganizado entrou em sua sala 
de aula sem preparar a aula. Em determinado 
instante inventou e propôs o seguinte proble-
ma:	 “Florinda	 tinha	 em	 sua	 carteira	 x	 reais.	
Com a visita de alguns parentes ela ganhou da 
avó o que tinha mais 10 reais, do avô o que ti-
nha inicialmente mais 20 reais e do tio ganhou 
duas vezes o que tinha inicialmente mais 30 
reais. No final, Florinda ficou com um total de 
cinco vezes o que tinha inicialmente. Quantos 
reais	tinha	Florinda	inicialmente?”
Faça o que se pede:
a. Equacione o problema proposto pelo 
professor e escreva a equação equiva-
lente na forma mais simples.
b. A equação encontrada é uma equação 
do 1º grau?
c. Qual é o conjunto solução?
184. 
Resolver em  a equação 
x x x
2
1
3
2
4
1− − − − = .
185. 
Pérola é uma leitora dedicada, porém sistemá-
tica.	Ela	tem	uma	mania,	lê	exatamente	núme-
ros de páginas inteiras e 5 páginas a mais do 
que leu no dia anterior. O último livro que leu 
tinha 100 páginas e foi lido em exatos 5 dias 
seguidos. Quantas páginas Pérola leu no quin-
to dia?
186. Insper-SP
Dois	 dados	 idênticos,	 cujas	 planificações	 são	
dadas na figura a seguir, possuem em suas fa-
ces pontuações diferentes das convencionais. 
Todas	as	faces	dos	dois	dados,	no	entanto,	têm	
iguais probabilidades de ficarem voltadas para 
cima quando eles são lançados.
n n
2 3 4 2 3 4
2 2
3 3
Considere que n representa um número intei-
ro e positivo.
Nos dados convencionais, a soma dos pontos 
de duas faces opostas quaisquer é sempre 
igual a um mesmo valor. Para que os dados 
descritos no enunciado também tenham essa 
propriedade, n deverá representar o número:
a. 1 d. 4
b. 2 e. 5
c. 3
187. UFF 
Colocando-se 24 litros de combustível no tan-
que de uma caminhonete, o ponteiro do mar-
cador, que indicava 1
4
 do tanque, passou a 
indicar 5
8
 .
Determine a capacidade total do tanque de 
combustível da caminhonete. Justifique sua 
resposta.
188. AFA-SP
Três	 amigos,	 Samuel,	 Vitória	 e	 Júlia,	 foram	 a	
uma lanchonete.
•	 Samuel tomou 1 guaraná, comeu 2 es-
firras e pagou 5 reais.
•	 Vitória tomou 2 guaranás, comeu 1 es-
firra e pagou 4 reais.
•	 Júlia tomou 2 guaranás, comeu 2 esfir-
ras e pagou k reais.
Considerando-se	que	cada	um	dos	três	pagou	
o valor exato do que consumiu, é correto afir-
mar que:
a. o guaraná custou o dobro da esfirra.
b. os	três	amigos,	juntos,	consumiram	16	
reais.
c. cada esfirra custou 2 reais.
d. Júlia pagou 8 reais pelo que consumiu.
CAPÍTULO 06 
Matemática básica
PV
-1
4-
14
84
Matemática
189. FGV-SP modificado
Por volta de 1650 a.C., o escriba Ahmes resol-
via equações como x + 0,5x = 30, por meio de 
uma	regra	de	três,	que	chamava	de	“regra	do	
falso”.	Atribuía	 um	valor	 falso	 à	 variável,
por	
exemplo, x = 10 , 10 + 0,5 · 10 = 15 e montava 
a	regra	de	três:
Valor falso Valor verdadeiro
x
x
x
10
15 30
10
15 30
20= → =
Resolva este problema do Papiro Ahmes pelo 
método anterior:
“Uma	quantidade,	sua	metade,	seus	dois	ter-
ços, todos juntos somam 26. Qual é a quanti-
dade?
190. Fuvest-SP
Uma geladeira é vendida em n parcelas iguais, 
sem juros. Caso se queira adquirir o produto, 
pagando-se 3 ou 5 parcelas a menos, ainda 
sem juros, o valor de cada parcela deve ser 
acrescido de R$ 60,00 ou de R$ 125,00, res-
pectivamente. Com base nessas informações, 
conclui-se que o valor de n é igual a:
a. 13
b. 14
c. 15
d. 16
e. 17
191. FGV-SP
Em uma escola, a razão entre o número de alu-
nos e o de professores é de 50 para 1.
Se houvesse mais 400 alunos e mais 16 profes-
sores, a razão entre o número de alunos e o de 
professores seria de 40 para 1.
Podemos concluir que o número de alunos da 
escola é:
a. 1.000
b. 1.050
c. 1.100
d. 1.150
e. 1.200
192. FGV-SP
Marta quer comprar um tecido para forrar 
uma superfície de 10 m2. Quantos metros, 
aproximadamente, ela deve comprar de uma 
peça que tem 1,5 m de largura e que, ao lavar, 
encolhe	cerca	de	4%	na	largura	e	8%	no	com-
primento?
Aproxime a resposta para o número inteiro 
mais próximo.
?
1,5 m
193. FGV-SP 
A figura incluída nesta questão representa 
quatro balanças.
As duas primeiras balanças estão em equilí-
brio. Temos pesos de 1, 2, 5, 10 e 20 gramas. 
Nos	pratos	da	esquerda,	os	pesos	têm	a	forma	
de cubos e cones, em que cada cubo pesa x 
gramas e cada cone, y gramas.
20 g
1a
 
20 g 20 g
2a
3a 4a
? ?
3a
?
 
4a
?
a. Qual é o menor número de pesos que 
devemos colocar no prato da direita da 
3ª balança para que ela fique em equi-
líbrio?
b. Queremos colocar no prato da direita 
da 4ª balança somente pesos de 2 g e 
5 g. Quantos pesos devemos colocar, 
de modo que ela fique em equilíbrio? 
Descreva todos os modos possíveis.
PV
-1
4-
14
Matemática básica
85
Matemática
194. FGV-SP
Segundo	antiga	lenda	chinesa,	um	gênio,	que	
vivia em um estreito desfiladeiro, avisou aos 
camponeses da região que quem passasse 
pela sua morada teria de pagar 16 moedas.
Entretanto, para não desagradar-lhes, na vol-
ta, como prova de amizade, dobraria a quantia 
que tinham na bolsa.
Um	 astuto	 camponês	 juntou	 todas	 as	 suas	
economias e, em um só dia, atravessou o des-
filadeiro e voltou quatro vezes.
Para sua surpresa, descobriu, no fim do dia, 
que a sua bolsa estava completamente vazia.
Quantas moedas tinha ele inicialmente?
195. Vunesp
Uma estrada foi percorrida por um ciclista em 
dois dias. No primeiro dia percorreu 0,35 da es-
trada pela manhã, 1
5
 à tarde e 15
100
 à noite. 
A parte da estrada que deixou para percorrer no 
dia seguinte foi de:
a. 0,7
b. 0,3
c. 0,35
d. 2
10
e. 75
100
196. FGV-SP
No seu livro Introdução à Àlgebra, Leonhard 
Euler propõe um curioso e interessante pro-
blema aos leitores:
Duas camponesas juntas carregam 100 ovos 
para vender em uma feira e cada uma vai co-
brar seu preço por ovo. Embora uma tivesse 
levado mais ovos que a outra, as duas recebe-
ram a mesma quantia em dinheiro. Uma delas 
disse, então:
— Se eu tivesse trazido o mesmo número 
de	 ovos	 que	 você	 trouxe,	 teria	 recebido	 15	
kreuzers (antiga moeda austríaca).
Ao que a segunda respondeu:
— Se eu tivesse trazido a quantidade de ovos 
que	você	trouxe,	teria recebido 20
3
 kreuzers.
Releia o texto com atenção e responda à questão:
Quantos ovos carregava cada uma?
197. ESPM-SP
Numa família de 4 pessoas, a mãe pesa o triplo da 
filha, o pai pesa 12 kg a mais que a mãe e o filho 
pesa a metade do pai. Se o peso médio dos ele-
mentos dessa família é 51,25 kg, pode-se afirmar 
que o filho pesa:
a. 32 kg a menos que a mãe.
b. 36 kg a menos que o pai.
c. o dobro da filha.
d. 17 kg a mais que a filha.
e. a metade da mãe.
198. FGV-SP
Um	 feirante	 vende	 maçãs,	 peras	 e	 pêssegos	
cobrando certo preço por unidade para cada 
tipo	de	fruta.	Duas	maçãs,	três	peras	e	quatro	
pêssegos	 custam	 R$	 13,00;	 três	maçãs,	 uma	
pera	e	cinco	pêssegos	custam	R$	11,50.
Se o preço de cada pera for R$ 2,00, podemos 
afirmar que o preço de seis maçãs, seis peras e 
seis	pêssegos	é:
a. R$ 27,00
b. R$ 26,50
c. R$ 26,00
d. R$ 25,50
e. R$ 25,00
199. UFMG
De um recipiente cheio de água tiram-se 23 de 
seu conteúdo. Recolocando-se 30 L de água, o 
conteúdo passa a ocupar a metade do volume 
inicial. A capacidade do recipiente é:
a. 45L
b. 75L
c. 120L
d. 150L
e. 180L
Matemática básica
PV
-1
4-
14
86
Matemática
200. PUC-SP
Vítor e Valentina possuem uma caderneta de 
poupança conjunta. Sabendo que cada um de-
les dispõe de certa quantia para, numa mesma 
data, aplicar nessa caderneta, considere as se-
guintes afirmações:
•	 se apenas Vítor depositar nessa cader-
neta a quarta parte da quantia de que 
dispõe, o seu saldo duplicará;
•	 se apenas Valentina depositar nessa ca-
derneta a metade da quantia que tem, 
o seu saldo triplicará;
•	 se ambos depositarem ao mesmo tempo 
as respectivas frações das quantias que 
têm,	mencionadas	nos	itens	anteriores,	o	
saldo	será	acrescido	de	R$	4.947,00.
Nessas condições, se nessa data não foi feito 
qualquer saque de tal conta, é correto afirmar 
que:
a. Valentina	tem	R$	6.590,00.
b. Vítor	tem	R$	5.498,00.
c. Vítor tem R$ 260,00 a mais que Valen-
tina.
d. o saldo inicial da caderneta era 
R$	1.649,00.
e. o saldo inicial da caderneta era 
R$ 1.554,00.
201. 
Resolver em  as equações:
a. x2 – 400 = 0
b. x2 – 7 · x = 0 
c. x x
2
2
40 1 000 0− + =.
202. 
Resolver em  as equações:
a. x2 – 7 = 0
b. x2 + 4 = 0
c. 5x2 – 6 · x = 0
d. x2 – 
x
5
 = 0
203. 
Resolver em  as equações:
a. x2 – x – 1 = 0
b. x2 – 5 · x – 8 = 0 
204. ESPM-SP
Por causa de limitações do mercado, o preço 
unitário de uma certa mercadoria pode variar 
de 15 a 30 reais.
Quando se cobram x reais por unidade, são 
vendidas 86 – 2x unidades por dia.
Dessa forma, podemos concluir que receita diá-
ria é obtida multiplicando-se o preço unitário 
pela quantidade de unidades vendidas, isto é, 
R = x · (86 – 2x), em que R representa a receita 
diária. Existem dois possíveis valores de x, que 
não estão compreendidos entre 15 a 30 reais, 
para os quais a receita diária fica nula. Qual é a 
média aritmética desses valores?
a. R$ 18,50
b. R$ 21,50
c. R$ 16,00
d. R$ 20,00
e. R$ 23,50
205. Cesgranrio-RJ
Sobre	a	equação	1.983x2 -	1.984x	-	1.985	=	0,	
a afirmação correta é:
a. não tem raízes reais.
b. tem duas reais e distintas.
c. tem duas raízes simétricas.
d. tem duas raízes positivas.
e. tem duas raízes negativas.
206. FGV-SP
O produto de 3 números positivos e consecu-
tivos é igual a 8 vezes a sua soma. A soma dos 
quadrados desses 3 números é igual a:
a. 77
b. 110
c. 149
d. 194
e. 245
207. Fuvest-SP
No segmento AC , toma-se um ponto B de for-
ma que AB
AC
BC
AB
= 2 .
Então, o valor de BC
AB
 é:
PV
-1
4-
14
Matemática básica
87
Matemática
a. 1
2
 
b. 3 1
2
- 
c. 5 1-
d. 5 1
2
-
e. 5 1
3
-
208. UFPE 
O proprietário de uma loja comprou certo número 
de artigos, todos custando o mesmo valor, por R$ 
1.200,00. Cinco dos artigos estavam danificados e 
não puderam ser comercializados; os demais fo-
ram vendidos com lucro de R$ 10,00 por unidade. 
Se o lucro total do proprietário com a compra e a 
venda dos artigos foi de R$ 450,00, quantos foram 
os artigos comprados inicialmente?
209. ENEM
Vinte anos depois da formatura, cinco colegas 
de turma decidem organizar uma confraterni-
zação. Para marcar o dia e o local da confrater-
nização, precisam comunicar-se por telefone. 
Cada um conhece o telefone de alguns colegas 
e desconhece o de outros. No quadro a seguir, 
o número 1 indica que o colega da linha cor-
respondente conhece o telefone do colega da 
coluna correspondente; o número 0 indica que 
o colega da linha
não conhece o telefone do co-
lega da coluna. Exemplo: Beto sabe o telefone 
do Dino que não conhece o telefone do Aldo.
Aldo Beto Carlos Dino Ênio
Aldo 1 1 0 1 0
Beto 0 1 0 1 0
Carlos 1 0 1 1 0
Dino 0 0 0 1 1
Ênio 1 1 1 1 1
O número mínimo de telefonemas que o Aldo 
deve fazer para se comunicar com Carlos é:
210. ESPM-SP modificado 
No estudo da geometria plana, estuda-se a 
seguinte	 propriedade:	 “Em	 qualquer	 polígo-
no convexo o número d de diagonais e o nú-
mero n de lados se relacionam pela fórmula 
d
n n
=
−( )3
2
·
”.	 Por	 exemplo,	 um	quadrilátero 
convexo tem 4 lados, isto é, n = 4 e o número 
de diagonais dada por d =
−( )4 3 4
2
· = 2 dia-
gonais.
Resolva o problema a seguir com base nas in-
formações anterior:
Se o número de lados de um polígono convexo 
fosse acrescido de 3 unidades, seu número de 
diagonais triplicaria. Qual é o número de lados 
do polígono?
211. UFSC
As equações x2 +	px	=	0	e	4x	–	1	=	0	têm	uma	
raiz em comum. Determine o valor de p.
212. Unicamp-SP
Quarenta pessoas em excursão pernoitam em 
um hotel. Somados, os homens despendem 
R$ 2.400,00. O grupo de mulheres gasta a 
mesma quantia, embora cada uma tenha pago 
R$ 64,00 a menos que cada homem.
Denotando por x o número de homens do gru-
po, uma expressão que modela esse problema 
e permite encontrar tal valor é:
a. 2.400x	=	(2.400	−	64x)(40	−	x)
b. 2.400x	=	(2.400	+	64x)(40	−	x)
c. 2.400(40	−	x)	=	(2.400	–	64x)x
d. 2.400(40	−	x)	=	(2.400	+	64x)x
213. UFPR
Durante	o	mês	de	dezembro,	uma	loja	de	cos-
méticos	obteve	um	total	de	R$	900,00	pelas	
vendas de um certo perfume. Com a chega-
da	do	mês	de	 janeiro,	 a	 loja	decidiu	dar	um	
desconto para estimular as vendas, baixando 
o preço desse perfume em R$ 10,00. Com 
isso, vendeu em janeiro 5 perfumes a mais 
do que em dezembro, obtendo um total de 
R$ 1.000,00 pelas vendas de janeiro. O preço 
pelo qual esse perfume foi vendido em de-
zembro era de:a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. 5
Matemática básica
PV
-1
4-
14
88
Matemática
a. R$ 55,00
b. R$ 60,00
c. R$ 65,00
d. R$ 70,00
e. R$ 75,00
214. 
Considere um retângulo de largura (x – 2) cm, 
comprimento (x + 2) cm e área 103 cm2. Em 
relação ao número que fornece o perímetro 
pode-se afirmar que:
a. é primo.
b. é quadrado perfeito.
c. é múltiplo de 5.
d. pode ser ímpar.
e. é irracional.
215. Fuvest-SP
Dada a equação , então:
a. V = ∅
b. V = {–1, 0, 1}
c. V = {–1, 1}
d. V = {–1, 0}
e. V = {0}
216. FGV-SP modificado
O transporte aéreo de pessoas entre duas ci-
dades, A e B, é feito por uma única companhia 
em um único voo diário. 
O avião utilizado tem 180 lugares, e o preço da 
passagem p relaciona-se com o número x de pas-
sageiros por dia pela relação p = 300 – 0,75x.
Quantos passageiros esse avião transportou 
em um dia que a receita da companhia foi de 
R$ 22.500,00?
217. ESPM-SP modificado
Um triângulo retângulo se diz pitagórico se 
as medidas dos seus lados são expressas por 
números inteiros, numa certa unidade. Se um 
dos catetos de um triângulo pitagórico mede 
50 cm menos que a hipotenusa, e o outro ca-
teto mede 1 cm a menos, também em relação 
à hipotenusa, seu perímetro será igual a:
a. 192	cm
b. 132 cm
c. 151 cm
d. 125 cm
e. 137 cm
218. Insper-SP
Numa empresa de auditoria, há duas máqui-
nas trituradoras de papel, cuja função é frag-
mentar os documentos descartados todas as 
semanas nos escritórios da empresa. 
O volume de papel descartado semanalmen-
te é sempre o mesmo e as duas máquinas le-
vam juntas, trabalhando sem interrupções, 20 
horas para fragmentar todos os documentos. 
Cada uma das máquinas precisou ficar para-
da para manutenção durante uma semana, 
na qual todo o papel foi triturado apenas pela 
outra.	Percebeu-se	que	as	máquinas	não	têm	
rendimento	igual	e	que	a	mais	rápida	levou	9	
horas a menos que a mais lenta para fazer a 
fragmentação.
O tempo que a mais lenta levou para triturar 
todo o papel sozinha é igual a:
a. 41 horas.
b. 43 horas.
c. 45 horas.
d. 47 horas.
e. 49	horas.
219. UFAC
A condição sobre p, de modo que a equação 
px2 + x + 1 = 0 tenha duas raízes reais e distin-
tas, é:
a. p < 1
4
b. p > 1
4
c. p e p< ≠1
4
0
d. p = 1
4
e. p = 0
220. Fuvest-SP
O conjunto verdade da equação:
x
x
+ +
−
= −2
2
2
2
1
2
 é:
a. {– 2}
b. {– 2; – 1}
c. {2; – 1}
d. ∅
e. {– 2; 1}
PV
-1
4-
14
Matemática básica
89
Matemática
221. 
Na equação do 2º grau 2x2 – 5x + 1 = 0, as le-
tras p e q representam suas raízes. Calcule:
a. p + q
b. p · q
c. 1 1
p q
+
d. p2 + q2
222. 
Na equação do 2º grau 2 · x2 – x – 1 = 0, as 
letras r e s representam suas raízes. Calcule:
a. r + s
b. r · s
c. 1 1
r s
+
d. r2 + s2
223. 
Se x1 e x2 são as raízes da equação 
3x2 - 2x - 8 = 0, sendo x1 < x2, então 3 22x - 2x1 - 8 
é igual a: 
a. 2
3
 c. 16
3
b. 8
3
 d. 20
3
224. FESP-PE
A equação do 2o grau ax2 + x – 6 = 0 tem uma 
raiz cujo valor é 2. A outra raiz é:
a. – 3
b. – 2
c. – 1
d. 1
e. 3
225. UECE
Se s e p são, respectivamente, a soma e o pro-
duto das raízes da equação x
x
x
x1
2 1 0
−
+ − − = , 
então:
a. s = p
b. s · p é negativo
c. s > p
d. s < p
226. 
A soma das raízes da equação 
(k – 2)x2 –	3kx	+	1	=	0,	com	k	≠	2,		é	igual	ao	pro-
duto dessas raízes. Nessas condições, temos:
a. k = 1/2
b. k = 3/2
c. k = 1/3
d. k = 2/3
e. k = -2
227. UFSCar-SP
Considere a equação x2 + kx + 36 = 0, em que x’ 
e	x”	representam	suas	raízes.	Para	que	exista	a	
relação 1 1 5
12x x' "
+ = , o valor de k na equação 
deverá ser:
a. – 15
b. – 10
c. + 12
d. + 15
e. + 36
228. UEPI
Sejam x1 e x2 as raízes da equação 
4x2 – 20x + 24 = 0. O valor de 
5
10
1 2
2
1 2
⋅ +( )x x
x x
 é:
a. 12
25
 d. 25
24
b. 20
25
 e. 30
25
c. 25
12
229. FGV-SP modificado
Sejam A e B as raízes da equação x2 – nx + 2 = 0.
Se A
B
e B
A
+ +1 1 são raízes da equação 
x2 – p · x + q = 0, então q é igual a:
a. 4,5
b. 4
c. 3,5
d. 2,5
e. 2
Matemática básica
PV
-1
4-
14
90
Matemática
230. Unifor-CE
Seja a equação x2 + 4x + k = 0, em que k é uma 
constante real. Se uma das raízes dessa equa-
ção é igual à terça parte da outra, então o nú-
mero k é tal que:
a. k	≤	–	4
b. –	4	<	k	≤	0
c. 0	<	k	≤	2
d. 2	<	k	≤	4
e. k > 4
231. Unicentro-PR
Dois colegas foram resolver uma equação do 
2º grau, com o coeficiente do termo do 2º 
igual a 1. Um copiou errado o coeficiente do 
termo do 1º grau e encontrou as raízes 2 e 3. 
O outro copiou errado o termo independente 
e obteve as raízes 3 e 4. Se x1 e x2, com x1 < x2, 
forem as raízes da equação original, então 
2x1 – x2 será igual a:
a. – 6
b. – 4
c. – 2
d. 2
e. 4
232. 
Dada a equação 2x2 - 5x - 7 = 0 com raízes x1 
e x2, obtenha:
a. x1 + x2
b. x1 · x2
c. x12 · x22
233. 
Se as raízes x1 e x2 da equação x2 – 3ax + a2 = 0 
satisfazem a condição x12 + x22 = 1,75, pode-
mos concluir que o valor de a é:
a. 1
2
b. – 1
2
c. ± 1
2
d. 1
e. 0
234. 
Resolver em  a equação: 
x x2 47 7 329 0− + + =( ) ·
235. 
a. Escreva uma equação do 2º grau na for-
ma ax2 + bx + c = 0, sabendo que 2 e 5 
são suas raízes.
b. Escreva a equação do item anterior na 
forma fatorada.
236. 
Escrever uma equação do 2º grau que tenha 
como raízes os números 5 e 6.
237. 
Escreva o trinômio do 2º grau x2 – 5 · x + 4 na 
forma fatorada a · (x – x1) · (x – x2).
238. AFA-SP modificado 
Os números 3 e 1 são raízes da equação do 2º 
grau a · x2	+	b	·	x	+	c	=	0	(a	≠	0)		e	2	é	raiz	da	
equação a · x2 + b · x + c = 2. Determine o valor 
de a2 + b2 + c2.
239. 
Uma equação do 2º grau a · x2 + b · x + c = 0 
(a	≠	0),	definida	em	, apresenta uma curiosi-
dade em relação ao trinômio ax2 + bx + c: para 
qualquer valor de x em  tem-se:
a · x2 + b · x + c = a · (1 – x)2 + b · (1 – x) + c.
Assim, o oposto da média aritmética das raízes 
da equação do 2º grau é igual a:
a. – 0,25
b. – 0,5
c. 1
d. –2
e. 4 
240. Unifor-CE
Sejam a e b as raízes reais da equação 
2x2 – 3x – 2 = 0. Uma equação do 2º grau cujas 
raízes são (a + 1) e
(b + 1) pode ser:
a. 2x2 – 7x + 3 = 0
b. 2x2 + 7x + 3 = 0
c. 2x2 – 5x + 3 = 0
d. x2 + 5x = 0
e. x2 – 5x = 0
PV
-1
4-
14
Matemática básica
91
Matemática
241. 
Resolva, em , a equação: x4 – 3x2 – 4 = 0
242. 
Resolva, em , a equação: x4 – 20x2 – 21 = 0
243. 
Resolva em : x6 – 4x3 + 3 = 0
244. 
Resolva, em , a equação: x
x
x
x
2
2
2
2
−
=
−
245. 
Resolva em : x x
x x
x
x
4 2
2
22 1
4 4
1
2
2+ +
− +
+ +
−
=
246. 
Resolva, em , a equação: x x− + − =2 3 2 10
247. Mackenzie-SP
Sejam x e y dois números reais e positivos, 
de tal forma que ocorra a igualdade 
x2 + 2xy + y2 + x + y – 6 = 0.
Assim, a soma x + y vale:
a. 2
b. 3
c. 4
d. 5
e. 6
248. FEI-SP
A soma das raízes reais da equação 
x6	–	19x3 – 216 = 0 é:
a. 1
b. 2
c. 0
d. – 1
e. – 2
249. 
Resolva, em , a equação:
250. 
Resolva, em , a equação: 
251. PUC-SP
A solução da equação x x− + =2 2 3 é:
a. 1 d. 3
b. –1 e. 7
c. 2
252. UFV-MG
Com relação à equação 3 7 3x x+ − = , é corre-
to afirmar que:
a. seu conjunto solução é vazio.
b. seu conjunto solução é formado por 
dois números inteiros negativos.
c. seu conjunto solução é unitário.
d. seu conjunto solução é formado por 
dois números inteiros positivos.
e. seu conjunto solução é formado por 
dois números simétricos.
253. UEL-PR
O conjunto solução da equação x - 1 = x + 11, 
em , está contido no intervalo:
a. ]– ∞; 0]
b. [–3; 2]
c. [–2; 5[
d. ]3; 6]
e. [6; + ∞[
254. 
Resolva, em , a equação: x x+ − − =2 3 1
255. 
Subtraindo-se 3 de um certo número, obtém-se 
o dobro da sua raiz quadrada. Qual é esse nú-
mero?
a. 2 d.	9
b. 3 e. 11
c. 7
256. PUC-SP
O conjunto verdade da equação irracional 
x x− + − =1 2 2 2 é:
a. V = {3}
b. V	=	{3;	9}
c. V	=	{9}
d. V = ∅
e. V = {0}
Matemática básica
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92
Matemática
257. PUC-SP
As raízes de x x x23 1 1− − = − estão no in-
tervalo:
a. [–2; –1]
b. [–1; 0]
c. [0; 3]
d. [3; 7]
e. [7; + ∞]
258. UECE
A soma das raízes da equação
 x x23 32 15 0− − = é:
a. 98
b. 97
c. 96
d. 95
259. FAAP-SP
Resolver a equação
260. Urca-RS
Com relação à equação:
x x x+ − + = − −11 2 5 3 2
podemos afirmar que ela:
a. admite uma única solução real positiva.
b. admite uma única solução real negativa.
c. não admite solução real.
d. admite duas soluções reais negativas.
e. admite duas soluções reais positivas.
PV
-1
4-
14
Matemática básica
93
Matemática
261. 
Escreva	como	se	lê	cada	sentença	a	seguir.
a. e ∈ C
b. d ∉ C
c. A ⊂ B
d. A ⊄ B
e. D ⊃ C
262. 
Utilize os símbolos ∈, ∉, ⊂, ⊄ e ⊃ e complete 
as lacunas de modo a tornar as sentenças ver-
dadeiras.
a. a ______ {a, e, i, o, u}
b. b ______ {a, e, i, o, u}
c. {a} _____ {a, e, i, o, u}
d. {a, b, e, i, o} ______ {a, e, i, o, u}
e. {a, b, e, c, i, o, u} ______ {a, e, i, o, u}
263. 
Diga se é verdadeira ou falsa cada uma das 
afirmações.
a. ∅ ∈ A,∀ A
b. ∅ ⊂ A,∀ A
c. 0 ∈ ∅
d. ∅ ∈ {0}
e. ∅ ⊂ {0}
f. A ⊂ A,∀ A
g. A ⊂ ∅,∀ A.
h. {5} ⊂ {∅, {1}, {5}, {1, 5}}
i. {x} ∈ {x, {x, y}}
264. 
Quantos elementos possui o conjunto 
A = {x ∈¢| x é primo e x é par}?
265. 
Quantos elementos possui o conjunto 
B = {x ∈ | x2 + 1 = 0}?
266. 
Classifique em V (verdadeiro) ou F (falso):
a. ∅ ⊂ ∅
b. ∅ ∈ ∅
c. {∅} ∈ ∅
CAPÍTULO 07 
d. ∅ ∈ {∅}
e. {∅} ⊂ ∅
f. ∅ ⊃ ∅
g. {∅} ∈ {{∅}, ∅}
267. 
Considere as seguintes afirmações sobre o 
conjunto A = {– 3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}:
I. ∅ ⊂ A e n(A) = 11
II. ∅ ∈ A e n(A) = 11
III. 0 ∈ A e {0} ⊂ A
IV. 0 ⊂ A e {0} ∈ A
Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s):
a. apenas I e III.
b. apenas II e IV.
c. apenas II e III.
d. apenas IV.
e. todas as afirmações.
268. 
Escreva em forma de listagem (ou enumera-
ção) cada um dos conjuntos a seguir.
a. {x ∈ ¢| –2 < x ≤ 5}
b. {x ∈ | –2 < x ≤ 5}
c. {x ∈ | 5 · x = 3}
269. 
Escreva uma propriedade que define cada um 
dos conjuntos enumerados a seguir.
a. {..., –3, –1, 1, 3, 5, 7, ...}
b. {0,	1,	4,	9,	16,	25,	36,	49,	64,	...}
c. {–8, 8}
270. 
Determinar os possíveis valores de x e y para 
que as igualdades a seguir sejam verdadeiras.
a. {–1, 0, 1} = {–1, 1, x}
b. {–1, 0, 1} = {–1, 0, 1, y}
271. 
Obtenha x e y, de modo que: {0, 1, 2} = {0, 1, x} 
e {2, 3} = {2, 3, y}.
Matemática básica
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14
94
Matemática
272. 
Se x e y são números tais que:
{–1, 0, 3, 7} = {–1, 0, x, y} , então podemos afir-
mar que:
a. x = 3 e y = 7
b. x < y
c. x > y
d. x ≠ 3
e. x + y = 10
273. 
Determine todos os subconjuntos de A = {0, 1}.
274. 
Determine todos os subconjuntos de A = {a, e, i}.
275. 
Quantos subconjuntos tem um conjunto com 
10 elementos?
276. 
Um conjunto A com n elementos é tal que o 
número	de	elementos	de	P(A)	=	4.096.	Deter-
mine o valor de n.
277. FCMSC-SP
Um conjunto A possui n elementos e um con-
junto B possui um elemento a mais do que A. 
Sendo x e y os números de subconjuntos de A 
e B, respectivamente, tem-se que:
a. y é o dobro de x.
b. y é o triplo de x.
c. y x= +
2
1.
d. y = x + 1.
e. y pode ser igual a x.
278. 
Classifique em V (verdadeiro) ou F (falso) cada 
sentença seguinte.
a. ∅ é um conjunto unitário.
b. {∅ } é um conjunto unitário.
c. {–1, 1} = {1, –1}
d. {0, 1} = {0, 0, 0, 1, 1, 1, 1}
e. A ⊂ A, qualquer que seja o conjunto A.
279. Uespi
Seja o conjunto A a seguir: 
A = {0, {0}, 1, {1}, {0,1}}
É correto afirmar que:
a. 0 ∉ A
b. {0, 1} ∈ A
c. {0, 1} ⊄ A
d. os elementos de A são 0 e 1.
e. o número de subconjuntos de A é 22 = 4.
280. UFF-RJ
Dado o conjunto P = { {0}, 0, ∅, {∅} }, conside-
re as afirmativas:
I. {0} ∈ P 
II. {0} ⊂ P 
III. ∅ ∈ P
Com relação a essas afirmativas, conclui-se 
que:
a. todas são verdadeiras.
b. apenas a I é verdadeira.
c. apenas a II é verdadeira.
d. apenas a III é verdadeira.
e. todas são falsas.
281. Unifesp
O quadro mostra o resultado de uma pesquisa 
realizada com 200 moradores de competição 
da cidade de São Paulo, visando apontar o per-
centual desses nadadores que já tiveram le-
sões (dores) em certas articulações do corpo, 
decorrentes da prática de natação, nos últimos 
três	anos.
Articulação Percentual de nadadores
ombro 80%
coluna 50%
joelho 25%
pescoço 20%
Com base no quadro, determine quantos na-
dadores do grupo pesquisado tiveram lesões 
(dores) no joelho ou no pescoço, consideran-
do	que	5%	dos	nadadores	tiveram	lesões	nas	
duas articulações, joelho e pescoço.
PV
-1
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Matemática básica
95
Matemática
282. Vunesp
Se A = {1, 2, x}, B = {2, 3}, C = {3, 4} e 
(A – B) ∩ C = ∅, então C – A será igual ao con-
junto:
a. {x}
b. {3}
c. {4}
d. C
e. {4} ou {3, 4}, dependendo do valor de x.
283. PUC-RS
Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {a, d} e 
C = {a, b, d}, o conjunto X tal que A ∪ C = B ∪ 
X e B ∩ X = ∅ é:
a. {a}
b. {b}
c. {c}
d. {a, b}
e. {b, c}
284. UFPE
Dados os conjuntos A e B, a opera-
ção de diferença simétrica (⊕) é de-
finida por A ⊕ B = (A ∪ B) – (A ∩ B). 
Se A = {1, {1}, ∅, a} e B = {1, 2, {∅}, a, b}, então 
o conjunto A ⊕ B é igual a:
a. {1, {1}, ∅, {∅}, 2, a, b}
b. {1, a}
c. {{1}, {∅}, 2, b}
d. {{1}, ∅, {∅}, 2, b}
e. ∅
285. UFRGS-RS
O conjunto A é subconjunto de
B e A ≠ B, A ∪ (B – A) é:
a. B
b. A
c. ∅
d. A – B
e. A ∩ B
286. UEPG-PR
Indica-se por n(X) o número de elementos do 
conjunto X. Se A e B são conjuntos tais que 
n(A) = 20, n(B – A) = 15 e n(A ∩ B) = 8, assinale 
o que for correto.
01. n(A – B) = 12
02. n(B) = 23
03. n(A ∪ B) = 35
04. n(A ∪ B) – n(A ∩ B) = 27
05. n(A) – n(B) = n(A – B)
287. UFT-TO
Foi	aplicado	um	teste	contendo	três	questões	
para um grupo de 80 alunos. O gráfico a seguir 
representa a porcentagem de acerto dos alu-
nos por questão.
Acertos
Questões
70%
60%
40%
1ª 2ª 3ª
Suponha que 52 alunos acertaram pelo menos 
duas questões e 8 alunos não acertaram ne-
nhuma. O número de alunos que acertaram as 
três	questões	é:
a. 44
b. 40
c. 12
d. 20
e. 30
288. FGV-SP modificado
Em um grupo de 300 pessoas sabe-se que:
•	 50%	aplicam	dinheiro	em	caderneta	de	
poupança.
•	 30%	aplicam
dinheiro	em	fundos	de	in-
vestimento.
•	 15%	aplicam	dinheiro	em	caderneta	de	
poupança e fundos de investimento si-
multaneamente.
O número de pessoas que não aplicam em ca-
derneta de poupança nem em fundos de in-
vestimento é:
a. 105
b. 45
c. 90
d. 150
e. 100
Matemática básica
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Matemática
289. Unifoa
Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas 
consultadas, 100 liam o jornal A, 150 liam o 
jornal B, 20 liam os dois jornais (A e B) e 110 
não liam nenhum dos dois jornais. Quantas 
pessoas foram consultadas?
a. 260. d. 340
b. 280. e. 380
c. 320.
290. UFF modificado
Seiscentos estudantes de uma escola foram 
entrevistados	sobre	suas	preferências	quanto	
aos esportes vôlei e futebol.
O resultado foi o seguinte: 204 estudantes 
gostam somente de futebol, 252 gostam so-
mente de vôlei e 48 disseram que não gostam 
de nenhum dos dois esportes.
Determine o número de estudantes entrevis-
tados que gostam dos dois esportes.
291. ITA-SP
Considere as seguintes afirmações sobre o 
conjunto	U	=	{0,	1,	2,	3,	4,	5,	6,	7,	8,	9}:
I. ∅ ∈U e n(U) = 10
II. ∅ ⊂ U e n(U) = 10 
III. 5 ∈ U e {5} ⊂ U 
IV. {0, 1, 2, 5} ∩ {5} = 5
Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s):
a. apenas I e III.
b. apenas II e IV.
c. apenas II e III.
d. apenas IV.
e. todas as afirmações.
292. EFOMM
Considere-se o conjunto universo U, formado 
por uma turma de cálculo da Escola de Forma-
ção de Oficiais da Marinha Mercante (EFOMM) 
e composta por alunos e alunas. São dados os 
subconjuntos de U:
A: conjunto formado pelos alunos; e
B: conjunto formado por todos os alunos e alu-
nas aprovados.
Pode-se concluir que CU
B – (A – B) é a quanti-
dade de
a. alunos aprovados.
b. alunos reprovados.
c. todos os alunos e alunas aprovados.
d. alunas aprovadas.
e. alunas reprovadas.
293. Unifoa-RJ
Os exames Holter-24 horas e ecocardiograma 
foram realizados em pacientes com a finali-
dade de diagnosticar uma possível arritmia 
cardíaca. Em 1.000 pacientes analisados, de 
acordo com a origem das arritmias, foram 
constatados: 150 pacientes apresentaram 
arritmias atriais, 380 apresentaram arritmias 
juncionais, 270 apresentaram arritmias ven-
triculares, 58 apresentaram arritmias atriais e 
juncionais,	29	apresentaram	arritmias	atriais	e	
ventriculares, 36 apresentaram arritmias jun-
cionais e ventriculares, 12 apresentaram as 
três	origens	de	arritmias.	Determine	a	quan-
tidade de pacientes que não apresentaram 
nenhuma arritmia.
a. 311
b. 289
c. 368
d. 256
e. 196
294. PUC-RS
Em enquete realizada numa turma de 60 alu-
nos da PUC-RS, tomou-se conhecimento dos 
seguintes dados, que relacionam o número de 
alunos ao(s) esporte(s) que praticam no Cen-
tro Esportivo:
Nº de alunos Esporte praticado
40 futebol
30 natação
15 tênis
20 futebol e natação
10 futebol	e	tênis
8 natação	e	tênis
5 futebol,	natação	e	tênis
O número de alunos que não praticam espor-
te, nesse grupo, é:
a. 0 d. 13
b. 5 e. 25
c. 8
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14
Matemática básica
97
Matemática
295. IME
Em relação à teoria dos conjuntos, considere 
as seguintes afirmativas relacionadas aos con-
juntos A, B e C:
I. Se A ∈ B e B ⊆ C então A ∈ C.
II. Se A ⊆ B e B ∈ C então A ∈ C.
III. Se A ⊆ B e B ∈ C então A ⊆ C.
Está(ão) correta(s):
a. nenhuma das alternativas.
b. somente a alternativa I.
c. somente as alternativas I e II.
d. somente as alternativas II e III.
e. todas as alternativas.
Leia o texto atentamente e responda ás ques-
tões	296	e	297.
Ao utilizar sites de buscas na Internet, o usuá-
rio terá possibilidades de efetuar combinações 
de palavras que deverão ser pesquisadas. Por 
exemplo, no site de busca Google, o usuário 
poderá efetuar as seguintes combinações de 
busca:
•	 Se o usuário digitar palavras separadas 
com um espaço entre elas, a busca será 
feita por uma palavra e a outra palavra.
•	 Se o usuário digitar palavras entre as-
pas, a busca será feita pela expressão 
(frases exatas).
•	 Se o usuário digitar um sinal de –(me-
nos) na frente de uma palavra, a busca 
será feita excluindo-se os sites que con-
tenham tal palavra.
Com base nessas regras, um usuário realizou a 
seguinte pesquisa: universidade "unifoa volta 
redonda" – facebook. Considere o conjunto V 
que é formado por todos os sites	que	contêm	
a palavra universidade, F que é formado por 
todos os sites	que	contêm	a	expressão	“unifoa	
volta	redonda”	e	B	que	é	formado	por	todos	os	
sites	que	contêm	a	palavra	facebook.	
296. Unifoa-RJ
Dos diagramas de Venn a seguir, qual melhor 
representa o conjunto que contém o resultado 
da busca?
a. 
F V
B
b. 
F V
B
c. 
F V
B
d. 
F V
B
e. 
F V
B
297. Unifoa-RJ
O conjunto que representa o resultado da bus-
ca pode ser representado matematicamente, 
utilizando noções de teorias de conjuntos, por:
a. F ∪ (V ∩ B)
b. (F ∪ V) – B
c. (F ∩ V) ∪ B
d. F ∪ V – (B ∩ F ∩ V)
e. (F ∩ V) – B
Matemática básica
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98
Matemática
298. Udesc
A tabela 1 apresenta informações a respeito 
da Carteira Nacional de Habilitação (CBH).
Tabela 1: Categorias da CNH e suas caracterís-
ticas
Categoria Características
A
Destinada a condutor de veículo 
motorizado	de	02	(duas)	ou	03	(três)	
rodas, com ou sem carro lateral, 
que tenha a idade mínima de 18 
(dezoito) anos.
B
Destinada a condutor de veículo 
motorizado cujo peso bruto total 
não ultrapasse a 3.500 kg e cuja 
locação não exceda a 08 (oito) 
lugares, excluído o do motorista, 
e que tenha a idade mínima de 18 
(dezoito) anos.
C
Destinada a condutor de veículo 
motorizado voltado ao transporte 
de carga, cujo peso bruto total 
ultrapasse a 3.500 kg, que esteja 
habilitado no mínimo há um ano na 
categoria B e não tenha cometido 
nenhuma infração grave ou 
gravíssima, ou ser reincidente em 
infrações médias, durante os últimos 
doze meses.
Disponível em: <http://www.detran.rr.gov.br/habilitacao/
informacao/cat_cnh.htm>. Acesso em: 22 mar. 2011.
Uma pesquisa de rua foi realizada com 2.000 
jovens entre 18 e 25 anos. Os dados dessa 
pesquisa	mostraram	que	somente	20%	desses	
jovens	não	possuem	CNH;	70%	possuem	CNH	
da categoria B e metade destes também pos-
sui	CNH	da	categoria	A;	5%	possuem	CNH	da	
categoria	C;	e	2%	possuem	CNH	das	categorias	
A e C.
Então, o percentual de jovens entrevistados 
que possuem CNH da categoria A é igual a:
quisa com 3.000 pessoas, perguntou-se quais 
novelas agradavam. A tabela a seguir indica o 
número de telespectadores que designaram 
as novelas como agradáveis.
Novelas Número de telespectadores
A 1.450
B 1.150
C 900
A e B 350
A e C 400
B e C 300
A, B e C 100
Quantos telespectadores entrevistados não 
acham	agradável	nenhuma	das	três	novelas?
a. 300 telespectadores
b. 370 telespectadores
c. 450 telespectadores
d. 470 telespectadores
e. 500 telespectadores
300. UFF-RJ
Uma pesquisa foi realizada para avaliar o con-
sumo	de	três	marcas	de	sucos.
Descobriu-se que de 100 pessoas entrevistadas, 
83	consomem	pelo	menos	uma	das	três	marcas,	
57	consomem	somente	uma	delas	e	19	conso-
mem	somente	duas	das	três	marcas	citadas.
Determine o número de pessoas entrevistadas:
a. que	não	consomem	nenhuma	das	três	
marcas.
b. que	consomem	as	três	marcas	citadas.
301. Unisinos-RS
Chama-se conjunto dos números racionais o 
conjunto:
a. {x | x ∈ }
b. 
a
b
a b e b| ,∈ ∈ ≠{ }¢ ¢ 0
c. a
b
a b| ,∈ ∈{ } 
d. x x a a∈ = ∈{ }� �| ,
e. a
b
a b e b| ,∈ ∈ ≠{ }  0
a. 42%
b. 45%
c. 65%
d. 55%
e. 37%
299. UEL-PR
Num	dado	momento,	três	canais	de	TV	tinham,	
em sua programação, novelas em seus horá-
rios nobres: a novela A no canal A, a novela B 
no canal B e a novela C no canal C. Numa pes-
PV
-1
4-
14
Matemática básica
99
Matemática
302. Fuvest-SP
Seja r = +2 3.
a. Escreva 6 em função de r.
b. Admitindo que 6 seja irracional, prove 
que r também é irracional.
303. Unisa-SP
Assinale a afirmação verdadeira.
a. 5 1 5 1+( ) ⋅ −( ) é	irracional	e	0,999...	é	
racional.
b. 5 1 5 1+( ) ⋅ −( ) é	 racional
e	 0,999...	 é	
racional.
c. 5 1 5 1+( ) ⋅ −( ) é	 racional	 e	 0,999...	 é	
irracional.
d. 5 1 5 1+( ) ⋅ −( ) é	irracional	e	0,999...	é	
irracional.
e. 5 1 5 1+( ) ⋅ −( ) e	 0,999...	 não	 são	 nú-
meros reais.
304. UEPG-PR
Assinale o que for correto.
01. O número real representado por 0,5222... 
é um número racional.
02. O quadrado de qualquer número irra-
cional é um número racional.
04. Se m e n são números irracionais, então 
m · n pode ser racional.
08. O número real 3 pode ser escrito sob a 
forma a
b
, em que a e b são inteiros e b ≠ 0.
16. Toda raiz de uma equação algébrica do 
2º grau é um número real.
305. 
Um número natural possui 3 algarismos. Reti-
rando-se o algarismo 0 desse número e man-
tendo-se a ordem dos outros dois, seu valor se 
reduz à sexta parte do original.
A soma dos algarismos desse número é igual a:
307. EFOMM
Se a= 3
61
50
4 , b = e c = 1,222222..., assinale a 
opção correta.
a. 6
b. 7
c. 8
d. 9
e. 10
306. 
Um conjunto é formado por 18 números natu-
rais distintos, dos quais 12 são ímpares e 7 são 
múltiplos de 3. A quantidade máxima de múl-
tiplos de 6 que esse conjunto pode conter é:
a. 7
b. 6
c. 5
d. 4
e. 3
a. a < c < b
b. a < b < c
c. c < a < b
d. b < a < c
e. b < c < a
308. UFSM-RS
Assinale verdadeira (V) ou falsa (F) em cada 
uma das afirmações a seguir:
( ) A letra grega p representa o número ra-
cional	que	vale	3,14159265.
( ) O conjunto dos números racionais e o 
conjunto dos números irracionais são 
subconjuntos dos números reais e pos-
suem apenas um ponto em comum.
( ) Toda dízima periódica provém de uma 
divisão de dois números inteiros, por-
tanto é um número racional.
A	sequência	correta	é:
a. F – V – V
b. V – V – F
c. V – F – V
d. F – F – V
e. F – V – F
309. PUC-SP
Sabe-se que o produto de dois números irra-
cionais pode ser um número racional.
Um exemplo é:
a. 12 3 36⋅ =
b. 4 9 6⋅ =
c. 3 1 3⋅ =
d. 2 2 8⋅ =
e. 2 3 6⋅ =
310. UFMG
Considere x, y e z números naturais. Na divi-
são de x por y, obtém-se quociente z e resto 8. 
Sabe-se que a representação decimal de x
y
 é 
a dízima periódica 7,363636...
Então, o valor de x + y + z é:
a. 190
b. 193
c. 191
d. 192
Matemática básica
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100
Matemática
311. PUC-MG
Considere os seguintes conjuntos de números 
naturais:
A = {x ∈ |0 ≤ x ≤ 25} e {B = x ∈ |16 ≤ x < 25}
O número de elementos do conjunto A ∩ B é:
a. 9
b. 10
c. 11
d. 12
312. Fuvest-SP
Na figura estão representados geometrica-
mente os números reais 0, x, y e 1.
Qual é a posição do número x · y?
a. À esquerda de 0
b. Entre 0 e x
c. Entre x e y
d. Entre y e 1
e. À direita de 1
313. UEPB-PR
O número π − 3 pertence ao intervalo:
para analisar as afirmações que seguem.
01. B ⊃ C 
02. A ∪ B = [1; 6] 
03. A ∩ C = ]2; 3]
04. B – C = {x ∈  | 1 ≤ x ≤ 2 ou 4 < x < 5}
05. Se A é o complementar de A em relação 
ao universo , então 
5
3
A∈ .
316. ITA-SP
Sobre o número x = − +7 4 3 3, é correto 
afirmar que:
a. 1
2
1,



b. 1 3
2
,



c. 3
2
2,



d. 0 1
2
,



e. −



1
2
0,
314. PUC-MG
Sendo: 
A = {x ∈ | –2 ≤ x < 3} e B = {x ∈ ¢ | –2 < x ≤ 3}
a. A ∪ B = A
b. A ∪ B ⊂ Z
c. A ∩ B = A
d. A ∩ B ⊂ Z
e. A ∩ B = B
315. UFS-SE 
Considere os conjuntos:
A = {x ∈ |1 < x ≤ 3 ou 4 ≤ x ≤ 6}
B = {x ∈ |1 ≤ x < 5 e x ≠ 3}
C = {x ∈ |2 < x ≤ 4}
a. x ∈ ]0, 2[.
b. x é racional.
c. 2x é irracional.
d. x2 é irracional. 
e. x ∈ ]2, 3[.
317. UFAL/PSS
No universo , sejam A o conjunto dos núme-
ros pares, B o conjunto dos números múltiplos 
de 3 e C o conjunto dos números múltiplos de 
5. Determine os 10 menores números que per-
tencem ao conjunto B – (A ∪ C).
318. UEL-PR
Dados os conjuntos X e Y, a diferença entre X 
e Y é o conjunto X – Y = {x ∈ X: x ∉Y}. Dados 
os conjuntos (intervalos) A = [2, 5] e B = [3, 4], 
temos:
a. A – B = {2, 5} e B – A = {–1, –2}
b. A – B = B – A
c. A – B = ∅ e B – A = [2, 3] ∪ [4, 5]
d. A – B = (2, 3] ∪ [4, 5) e B – A = ∅
e. A – B = [2, 3) ∪ (4, 5] e B – A = ∅
319. FCC-SP
Dados os conjuntos P = [2; 7] e Q = [– 3; 5[, 
podemos afirmar que:
a. P ∪ Q = [– 1; 12[
b. 3 ∈ Q – P
c. 5 ∉ P ∪ Q
d. [3; 4] ⊂ P ∩ Q
e. P – Q = ] – 3; 2]
320. 
Considere os conjuntos: A = [2, 5], B = ]5, 8] e 
C = [8, 10]. Determine A ∪ B ∪ C.
PV
-1
4-
14
Matemática básica
101
MatemáticaR:
CAPÍTULO 01 
01. a. 8
b. 243
c. 0
d. 1
e. 16
f. 16
g. – 16
h. – 1
i. – 6
j. 1
02. C
03. B
04. B
05. B
06. B
07. D
08. E
09. 
 
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h
121 11
8 2
625 5
27 3
0 0
2 25 1 5
0 04 0 2
3
4
3
1
=
=
=
− = −
=
=
=
, ,
, ,
.. 0 008 0 23 , ,=
10. D
11. D
12. 3 2 2 2 3> >
13. a
b
.
.
432
2
12
12
14. D
15. E
GABARITO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
16. D
17. a. 221
b. 7
18. C
19. a. 0,44 m2
b. 22,4 kg
20. C
21. 
 
a.
b.
c.
3
3
2 5
56
8
 
d.
e.
25
3 2 2
3
+
22. A
23. A
24. D
25. E
26. A
27. a.
I.
1
2 +1
= 2 1-
II.
1
3 + 2
= 3 2-
 III.
1
n+1 + n
= n + 1 n-
b. S = 10
CAPÍTULO 02 
41. 
a. (2x + 3y)2 = 4x2	+	12xy	+	9y2
b. (5x – 2y)2 = 25x2 – 20xy + 4y2
c. (3a2 – b)2	=	9a4 – 6a2b + b2
42. 
a. (x – 2y) · (x + 2y) = x2 - 4y2
b. (a3 – 2b) · (a3 + 2b) = a6 - 4b2
c. (2xy + z2) · (2xy – z2) = 4x2y2 - z4
43. 
a. (x + 2y)3 = x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3
b. (2x – y)3 = 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3
c. (2x – 2y)3 = 8x3 – 24x2y + 24xy2 – 8y3
44. 
a. x
x
x
x
2
2
4
2
1 1− = −
b. x
y
y
x
x y
x y
2
2
2
2
4 4
2 2− =
−
28. E
29. B
30. C
31. B
32. B
33. E
34. E
35. E
36. A
37. D
38. B
39. B
40. A
Matemática básica
PV
-1
4-
14
102
Matemática R:
45. D
46. A
47. D
48. B
49. E
50. A
51. 
a. x
x
t2 2
21 2+ = −
b. x3 + x–3 = t3 – 3t
52. E = 3
53. (A + B)2 = 4x4 + 8 + 
4
x4
54. E
55. x
x
b2 2
21 2+ = −
56. B
57. a + b + c = 12
58. C
59. B
60. D
CAPÍTULO 03 
61. x y
x y
+
−
62. 
a. (5x + 7)2
b. (x – 1)2
c. a · (a – 5)2
d. 6.245.001
63. C
64. A
65. a. (a – 2) · (a2 + 2a + 4)
b. (x + 1) · (x2 – x + 1)
c. (x + 1) · (x2 + x +1)
66. a. a a
a
2 1
1
+ +
+
b. 
m n
m
+
c. 1
67. a3 + 
1
3a
= 18
68. 
a. x4 – y4 = (x2 – y2) (x2 + y2) = (x2 + y2)(x – y)(x + y)
b. (a + b)2 – c2 = (a + b + c) (a + b – c)
c. 4a2	–	49b2m = (2a – 7bm) (2a + 7bm)
d. (x + 3)2 – (3x – 4)2 = (x + 3 + 3x – 4) (x + 3 – 3x + 4) = (4x – 1) · (7 – 2x)
69. a. (x + y) · (x + 2y + 1)
b. (2a + 3b) · (2a – 3b)
c. 4xy
d. (x2 + y2) · (x + y) · (x – y)
e. 6.249.999
70. a. 2ab2 · (3a3c + 4a2b3 – 6bc2)
b. (a + b) · (x + 2)
c. (2 + a) · (x + y)
d. (x + 1) · (x2 – 3)
e. (x – 2) · (x – 3)
71. C
72. E
73. A
74. A
75. E
76. C
77. E
78. A
79. B
80. x = 4, x ∈ 
CAPÍTULO 04 
81. a. 0,46
b. 675
82. 
a. 0,64
b. 1,427
c. 0,0037
d. 1,35
e. 104%
f. 80%
83. C
84. E
85. B
PV
-1
4-
14
Matemática básica
103
MatemáticaR:
86. 2.080 litros.
87. D
88. E
89. A
90. E
91. 50 litros de leite de soja
92. 2,7%	do	total
93. 10
3
kg
94. Lucro	=	20%	de	venda
									Lucro	=	25%	da	compra
95. B
96. Devemos acrescentar 17,5 
quilos de cobre e 7,5 quilos de 
estanho.
97. C
98. D
99. A
100. B
101. A
102. D
103. A
104. A
105. Logo o salário anterior sem 
aumento era de R$ 220,00.
106. C
107. B
108. C
109. D
110. 125
111. D
112. D
113. B
114. 180 reais
115. C
116. a. 4,17 x
b. 14%
117. C
118. A
119. 9.400	 eleitores	 do	 sexo	
feminino	 e	 9.100	 eleitores	 do	
sexo masculino
120. C
121. 20 g da liga A
122. D
123. B
124. A
125. E
126. B
127. C
128. D
129. E
130. D
131. R$ 100.000,00
132. D
133. D
134. C
135. E
136. C
137. 
a. 33,1%
b. Aproximadamente 
19%.
138. 
a. 4.500,00
b. m = 3.267,00
139. C
140. 
a. O desconto que ele 
deve dar sobre os preços da 
vitrine	é	de	20%.
b. O lucro sobre o preço 
de	custo	é	81,5%.
CAPÍTULO 05
141. D(40) = ±1; ±2; ±4; ±5; ±8; 
±10; ±20; ±40
142. E
143. C
144. C
145. D
146. E
147. 77
148. 154
149. 3
150. Logo, esta soma
é uma 
número múltiplo de 11.
151. 
a. z1	=	71	–	(7	+	1)	=	63	=	9	·	7
 z2	=	30	–	(3	+	0)	=	27	=	9	·	3
 Como z1 e z2 são multi-
plos	de	9,	a	afirmação	é	verda-
deira para os números 71 e 30.
b. z	=	“xy”	–	(x	+	y)
 z = 10 x + y – x – y
 z	=	9	·	x
 Como x é inteiro, de 1 
a	9,	então	z	é	múltiplo	de	9.
152. A
153. E
154. D
155. A
156. A
157. B
158. Se m é ímpar, então é um 
número do tipo 2k + 1.
Assim, m2 - 1 = (2k + 1)2 - 1 ⇒ 
⇒ − = + + − ⇒
⇒ − = +( )
m k k
m k k
2 2
2
1 4 4 1 1
1 4 1
Sendo k e k + 1 dois núme-
ros inteiros consecutivos, um 
deles é um número par, ad-
mitindo, portanto, o fator 2. 
Considerando-se que já existe 
o fator 4, pode-se concluir que 
m2 - 1 é divisível por 8.
159. D
160. 
N = abc (o símbolo abc repre-
senta um número natural de 3 
algarismos).
N = 100a + 10b + c
A soma a + b + c é múltiplo de 
3: a + b + c = 3k, k ∈ .
Matemática básica
PV
-1
4-
14
104
Matemática R:
N a b c
k a b c
N k a b
= + +
= + +
− = +
100 10
3
3 99 9
N		=		99a		+	9b	+	3k
N = 3(33a + 3b + k)
Portanto, N é múltiplo de 3 ou 
N é divisível por 3.
equação do 1º grau. A equação 
na forma a.x + b = 0 terá o valor 
de a igual a zero.
c. 0x = 60 não apresenta 
raiz, pois qualquer número mul-
tiplicado por zero é zero e, por-
tanto, não poderá resultar 60.
Assim, o conjunto solução é o 
conjunto vazio: S = { } = Ø.
184. S = { – 2}
185. Pérola leu 30 páginas no 
5º dia.
186. D
187. 64 litros
188. C
189. x = 12
190. A
191. E
192. Marta deve comprar 8 m 
de tecido.
193. 
a. O menor número de 
pesos que devemos colocar no 
prato da direita da 3ª balança 
para que ela fique em equilí-
brio é 3 pesos de 20 g.
b. 4ª balança: temos no 
prato da esquerda um cubo e 
um cone. Portanto, 15g assim, 
com a e b ∈ , temos a = 5 e
b = 1 ou b = 3 e a = 0.
194. Ele tinha inicialmente 30 
moedas.
195. B
196. A 1ª camponesa carrega-
va 40 ovos, e a 2ª, 60 ovos.
197. D
198. A
199. E
200. D
201. 
a. S = { 20, – 20}
b. S = { 0, 7 }
c. S = Ø
202. 
a. S = {– 7 ; 7 }
b. S = Ø
c. S = {0; 6
5
}
d. S = { 0; 1
5
}
203. 
a. S = 1 5
2
1 5
2
− +







;
b. 
S =
− +







5 57
2
5 57
2
161. E
162. D
163. 35
164. E
165. B
166. B
167. A
168. A
169. C
170. D
171. a. A dimensão máxima 
será de 25 cm.
b. Serão necessários 204 
ladrilhos.
172. B
173. n = 45
174. C
175. Os possíveis valores, em 
cm, são: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 
50 e 100.
176. C
177. B
178. 11
179. a. Os possíveis divisores 
são: 2, 3 e 5.
b. Os possíveis valores 
do MDC (a, b) são: 1, 2, 5 e 10.
180. a. 36s
b. 105 exibições
CAPÍTULO 06 
181. 
a. S = { 38 }
b. S = 




6
13
182. S = {8}
183. 
a. 0x = 60
b. A equação não é uma 
204. B
205. B
206. A
207. B
208. 60
209. C
210. O polígono tem 6 lados.
211. p = – 1
4
212. A
213. B
214. E
215. E
216. 100 passageiros
217. B
218. C
219. C
220. E
221. 
a. 5
2
b. 1
2
c. 5
d. 21
4
222. 
a. r + s = 2
2
b. r · s = – 
2
2
PV
-1
4-
14
Matemática básica
105
MatemáticaR:
c. 
s r
r s
+
·
 = – 1
d. r2 + s2 = 
1 2 2
2
+
223. D
224. A
225. A
226. C
227. A
228. C
229. A
230. D
231. B
232. 
a. x1 + x2 = 5
2
b. x1 · x2 = -
7
2
c. x x12 22
53
4
+ =
233. C
234. S = { 7 47; }
235. 
a. x2 – 7x + 10 = 0
b. (x – 2) · (x – 5) = 0
236. 
x2– ( 5 + 6) · x + 6 · 5 = 0
237. x2 – 5 · x + 4 = (x – 4) · ( x – 1)
238. a2 + b2 + c2 = 104
239. B
240. A
241. S = {–2,2}
242. S = −{ }21 21,
243. S= { }3 13 ,
244. ∴ S = {– 2, – 1, 1, 2}
245. S = {1, – 3}
246. S = {6}
247. A
248. A
249. S = {–1, –2}
250. S = {3}
251. E
252. B
253. D
254. V = {7}
255. D
256. A
257. C
258. A
259. S = 5
4





260. D
CAPÍTULO 07 
261. 
a. e pertence a C.
b. d não pertence a C.
c. A é subconjunto de B 
ou A está contido em B ou A é 
parte de B.
d. A não é subconjunto 
de B ou A não está contido em 
B ou A não é parte de B.
d. D contém C
262. 
a. ∈
b. ∉
c. ⊂
d. ⊄
e. ⊃ ou ⊄
263. 
a. Falsa, pois ∅ não é 
elemento de qualquer conjun-
to.
b. Verdadeira, pois o 
conjunto vazio é considerado 
contido em qualquer conjunto.
c. Falsa, pois, se o con-
junto vazio não possui elemen-
tos, o 0 não poderia estar con-
tido nele.
d. Falsa, pois o elemento 
∅ não pertence ao conjunto 
unitário {0}.
e. Verdadeira, pois o 
conjunto vazio é considerado 
contido em qualquer conjunto.
f. Verdadeira, pois todo 
conjunto é considerado conti-
do nele mesmo.
g. Falsa, pois o único 
conjunto contido no vazio é o 
próprio conjunto vazio.
h. Falsa, pois, se o ele-
mento 5 não pertence ao con-
junto A, o conjunto {5} não es-
tará contido em A.
i). Falsa, pois o elemento 
{x} não pertence ao conjunto 
{x, {x, y}}.
264. 2
265. O conjunto B não possui 
elementos.
266. 
a. V
b. F
c. F
d. V
e. F
f. V
g. V
267. A
268. 
a. {–1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
b. {0, 1, 2, 3, 4, 5}
c. 3
5{ }
269. 
a. {x ∈ ¢ | x é um núme-
ro ímpar}
b. {x ∈  | x é um qua-
drado perfeito}
c. {x ∈ | x2 – 64 = 0}
270. 
a. x = 0
b. y = –1 ou y = 0 ou y = 1
271. 
x = 2 e y = 2 ou y = 3
Matemática básica
PV
-1
4-
14
106
Matemática R:
272. E
273. P(A) = {∅ , {0}, {1}, A}
274. 
P(A) = {∅ ,{a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e}, 
{a, i}, {e, i}, A}
275. 1.024
276. 12
277. A
278. 
a. F
b. V
c. V
d. V
e. V
279. B
280. A
281. 80 nadadores
282. E
283. E
284. D
285. A
286. 01; 02; 04; 08
287. C
288. A
289. D
290. 96	estudantes	entrevista-
dos gostam dos dois esportes.
291. C
292. E
293. A
294. C
295. B
296. A
297. B
298. B
299. C
300. a. 17 pessoas
b. 7 pessoas
301. B
302. 
a. r r2
2
5 2 6 6 5
2
= + ⇒ = −
b. Se r fosse racional, r2, r2 – 5 e r
2 5
2
- seriam racionais, 
contrariando a hipótese de que 6 é irracional.
303. B
304. 01 + 04 = 05
305. D
306. B
307. E
308. D
309. A
310. C
311. A
312. B
313. B
314. D
315. 
01. F
02. V
03. F
04. V
05. F
316. B
317. {3,	9,	21,	27,	33,	39,	51,	57,	63,	69}
318. E
319. D
320. A ∪ B ∪ C = [2, 10].
PV
-1
4-
14
Matemática básica
107
MatemáticaR:
ANOTAÇÕES
Matemática básica
PV
-1
4-
14
108
Matemática R:
ANOTAÇÕES
PV
-1
4-
14
Matemática básica
109
MatemáticaR:
ANOTAÇÕES
Matemática básica
PV
-1
4-
14
110
Matemática R:
ANOTAÇÕES
PV
-1
4-
14
Matemática básica
111
MatemáticaR:
ANOTAÇÕES
Matemática básica
PV
-1
4-
14
112
Matemática R:
ANOTAÇÕES