Matemática_I-UCA_EAD (2)

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA I
 
“A Faculdade Católica Paulista tem por missão exercer uma ação integrada de suas atividades educacionais, visando à 
geração, sistematização e disseminação do conhecimento, 
para formar profissionais empreendedores que promovam 
a transformação e o desenvolvimento social, econômico e 
cultural da comunidade em que está inserida.
Missão da Faculdade Católica Paulista
 Av. Cristo Rei, 305 - Banzato, CEP 17515-200 Marília - São Paulo.
 www.uca.edu.br
Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma 
sem autorização. Todos os gráficos, tabelas e elementos são creditados à autoria, 
salvo quando indicada a referência, sendo de inteira responsabilidade da autoria a 
emissão de conceitos.
Diretor Geral | Valdir Carrenho Junior
Professora | Mariana Rodrigues Barbosa dos Santos
Sumário
UNIDADE 1 – LÓGICA MATEMÁTICA E TEORIA DOS 
CONJUNTOS
INTRODUÇÃO ................................................................ 6
1. Lógica e conjuntos ....................................................... 6
2. Conjuntos .................................................................. 22
3. Conjuntos numéricos .................................................. 38
4. Potência .................................................................... 49
CONCLUSÃO ............................................................... 56
 
REFERÊNCIAS ................................................................ 56
UNIDADE 2 – PROBLEMAS DE CONTAGEM E SEQUÊNCIAS
INTRODUÇÃO .............................................................. 58
1. Problemas de contagem.............................................. 58
2. Sequências e Progressão Aritmética (PG) ...................... 73
3. Progressão Geométrica (PG) ....................................... 87
CONCLUSÃO ............................................................... 94
REFERÊNCIAS ................................................................ 95
UNIDADE 3 – FUNÇÃO E SISTEMA CARTESIANO
INTRODUÇÃO .............................................................. 97
1. Funções ..................................................................... 97
2. Sistema Cartesiano – Par Ordenado e o Plano 
 Numérico ............................................................... 103
3. Função Polimonial do 1º Grau .................................. 113
4. Função Polimonial do 2º Grau .................................. 121
5. Funções Algébricas ................................................... 131
CONCLUSÃO ............................................................. 136
REFERÊNCIAS .............................................................. 136
UNIDADE 4 – ÁLGEBRA
INTRODUÇÃO ............................................................ 139
1. Introdução à Álgebra ................................................ 139
2. Equação do 2º Grau ................................................ 150
3. Sistema com Duas Equações Lineares de Duas 
 Variáveis .................................................................. 154
4. Equação Racional .................................................... 158
5. Inequações Algébricas .............................................. 161
CONCLUSÃO ............................................................. 172
REFERÊNCIAS .............................................................. 172
ANEXO ...................................................................174
Unidade
1
Objetivos de aprendizagem 
da unidade
• Conhecer as proposições lógicas e conectivos
• Compreender a ideia de conjunto como sendo um grupo 
de elementos 
• Conhecer os conjuntos numéricos, naturais, inteiros, 
racionais, irracionais e reais, bem como suas operações. 
• Compreender potência como uma multiplicação de 
fatores iguais e relacionar radiciação com potência
Professora Mestre Mariana Rodrigues Barbosa dos Santos
LóGICA MATEMÁTICA E TEORIA DOS 
CONjUNTOS
Unidade
1Lógica matemática e teoria dos conjuntos
6
INTRODUÇÃO 
Nesta Unidade você conhecerá as relações entre conjuntos, saberá também como operar com 
cada conjunto numérico, além de compreender como cada conjunto surgiu e também entenderá como 
funciona a lógica matemática, que é aplicada no seu computador, por exemplo. 
1. LóGICA E CONjUNTOS
Aristóteles: autor do primeiro trabalho de lógica 
 Fonte: Wikipédia.
Neste capítulo vamos estudar sobre as relações lógicas, estas relações são denominadas de lógicas 
aristotélicas ou lógicas matemáticas, as afirmações assumem dois valores: verdadeiro ou falso.
Observe o Problema 1:
Em uma sala de aula há 35 pessoas. Sabe-se que 30 alunos estão fazendo prova e 3 professores 
estão fiscalizando. Nada se sabe sobre as outras 2 pessoas. 
Cinco amigos estão fora da sala, observando e conversando. São verdadeiras ou falsas as 
proposições (sentenças) que eles falam:
•	 João: há 30 alunos na sala.
•	 Antônio: há mais do que 20 alunos na sala.
•	 Maria: não há menos do que 30 alunos na sala.
•	 Pedro: há 30 ou mais do que 30 alunos na sala.
•	 Madalena: há 30 alunos na sala e há mais do que 30 alunos na sala.
Lógica matemática e teoria dos conjuntos
7
Unidade
1
No problema 1 você observa dois tipos de proposições: proposições simples, proferidas por 
Antônio e João, pois apresentam apenas uma informação e as compostas, proferidas por Pedro e 
Madalena, pois possuem mais de uma afirmação. As proposições compostas usam conectivos (e, ou). 
A proposição proferida por Maria é uma proposição simples, mas formada a partir da negação de uma 
outra proposição simples.
De acordo com o problema 1, podemos concluir que:
•	 João: verdadeira;
•	 Antônio: verdadeira;
•	 Maria: verdadeira;
•	 Pedro: verdadeira;
•	 Madalena: falsa.
Este capítulo vai ensinar a manipular estes conectores e associar os valores lógicos (verdadeiro 
ou falso) às proposições (simples ou compostas). Mais ainda, serão investigadas situações mais 
complexas: implicações, equivalências e quantificadores. Será visto também que algumas proposições 
são sempre verdadeiras (tautologias) ou sempre falsas (contradições).
Proposição ou sentença afirmação
Uma proposição ou sentença afirmativa é uma frase declarativa que pode ser classificada em 
verdadeira ou falsa, possui sujeito e predicado bem definidos, não é exclamativa nem interrogativa e 
tem um, e somente um, dos dois valores lógicos: ou é verdadeira (V) ou é falsa (F).
Exemplo de afirmativas:
a) Três não é sete (3 7, três é diferente de 7)
b) Três é maior do que sete (3 > 7)
c) Sete é um número natural (7 , 3 pertence aos naturais)
d) Quatro é divisor de oito (4|8)
e) Três vezes dois é igual a dez (3 x 2 = 10).
Talvez você possa estranhar as proposições 2 e 5, pois como são sentenças afirmativas se são 
falsas? Faz parte da estratégia didática mostrar que uma proposição pode ser falsa, ou seja, o fato de 
ser falsa não muda o fato de que é uma proposição. A seguir são apresentados exemplos nos quais não 
temos uma proposição ou sentença afirmativa.
a) Três vezes cinco mais um (3 x 5+1)
 Não é uma proposição porque não tem predicado, logo não se pode associar um valor 
lógico.
b) A raiz quadrada de dois é um número racional? ( )
 Não é uma proposição porque é interrogativa, logo não se pode associar um valor lógico.
 c) O triplo de um número menos um é igual a onze (3x-1=11)
Unidade
1Lógica matemática e teoria dos conjuntos
8
Sozinha não é uma proposição porque o seu valor lógico depende do valor de x. Sentenças assim 
são chamadas de sentenças abertas. Como não sabemos o valor de x não podemos determinar o valor 
lógico da sentença. As sentenças abertas podem ser avaliadas com os quantificadores.
As proposições podem ser negadas sempre. Quando negamos uma proposição obtemos um 
valor lógico oposto ao valor lógico inicial (IEZZI, 2013).
Exemplos:
•	 p: Hoje o dia está ensolarado.
p: Hoje o dia não está ensolarado.
•	 p: 6 > 10 (6 é maior que 10).
p : 6 10 (6 é menor ou igual a 10).Aqui você conheceu o símbolo lógico que será utilizado para representar a negação de uma 
proposição.
É comum representarmos a relação entre p e p através de uma tabela denominada tabela 
verdade. Confira a Tabela 1.1 a seguir.
Tabela 1.1: Tabela Verdade
Para a obtenção de uma proposição composta é necessária a combinação de proposições simples 
através dos conectivos lógicos e Veja:
Lógica matemática e teoria dos conjuntos
9
Unidade
1
A conjunção de duas sentenças é muito comum na linguagem coloquial: p: Brasil é um país q: 
Bahia é um estado p ^ q: Brasil é um país e Bahia é um estado.
Na matemática também: p: -2 < -1
A conjunção p q é verdadeira somente quando p e q são ambas verdadeiras. Se ao menos uma 
delas for falsa, então p q é falsa. Para exemplificar tal fato, verifique a situação a seguir:
Eu vou me formar este ano e eu vou viajar ao exterior.
Só estará cumprida se as duas promessas forem cumpridas!
 Podemos utilizar uma tabela verdade (Tabela 1.2) para analisar essa situação.
Tabela 1.2: Tabela Verdade
Exercícios
1) Qual o valor lógico das proposições simples abaixo? Coloque verdadeiro ou falso.
a) Brasil é um país.
b) Bahia é um estado.
c) Bahia é um país.
d) -2 < -1.
e) (-2).(-3) < (-1).(-3).
2) Analise o valor lógico das proposições compostas a seguir, para isso utilize a Tabela 1.2:
a) Brasil é um país e Bahia é um estado.
b) Bahia é um país e Brasil é um país.
c) -2 < -1 e (-2).(-3) < (-1).(-3)
d) (-2).(3) > (-1).(3)
Assim como temos proposições compostas pelo conectivo , temos para A disjunção p n q 
é verdadeira quando ao menos uma das proposições p ou q são verdadeiras (IEZZI, 2013). Observe a 
Tabela 1.3:
n
Unidade
1Lógica matemática e teoria dos conjuntos
10
Tabela 1.3: Tabela Verdade para Disjunção
Exemplos:
1) Eu vou me formar este ano ou eu vou viajar ao exterior.
A proposição acima será verdadeira se ao menos uma das duas afirmativas for cumprida.
Exercícios:
1) Qual o valor lógico das proposições simples abaixo? Coloque verdadeiro ou falso.
a) Brasil é um país.
b) Bahia é um estado.
c) Bahia é um país.
d) -2 < -1.
e) (-2).(-3) < (-1).(-3).
f) (-2).(3) > (-1).(3)
2) Analise o valor lógico das proposições compostas a seguir, para isso utilize a Tabela 1.3:
a) Brasil é um país ou Bahia é um estado.
b) Bahia é um país ou Brasil é um país.
c) -2 < -1 ou (-2).(-3) < (-1).(-3)
3) Classifique as seguintes proposições em verdadeiro ou falso, atenção para os casos nos quais 
as proposições são compostas:
a) Um ano possui doze meses;
b) Uma semana possui cinco dias;
c) Um ano possui doze meses e uma semana possui cinco dias;
d) Um ano possui doze meses ou uma semana possui cinco dias;
e) 12 é um número par;
f) 3 é um número primo;
g) 12 é um número par e 3 é um número primo;
h) 12 é um número par ou 3 é um número primo;
i) 2.5 = 12
j) 3 + 7 = 10
k) 2.5 = 12 e 3 + 7 = 10
l) 2.5 = 12 ou 3 + 7 = 10
Lógica matemática e teoria dos conjuntos
11
Unidade
1
Além da disjunção, existe também a disjunção exclusiva. A disjunção exclusiva de duas 
sentenças é formada pelo uso duplo da disjunção ou, uma vez antes de cada proposição (DOCI; IEZZI; 
MURAKAMI, 2013). Veja o exemplo:
I p: Brasil é um país;
II q: Bahia é um estado;
III p q ou Brasil é um país ou Bahia é um estado;
A disjunção exclusiva, também conhecida como Ou exclusivo, é referenciado principalmente 
para ambientes de informática e computação de XOR, proveniente da adaptação do inglês eXclusive 
OR (IEZZI, 2013).
Podemos utilizar a disjunção exclusiva em exemplos matemáticos:
A disjunção exclusiva p q é verdadeira quando uma e somente uma das proposições p ou q é 
verdadeira. Ou seja, se as duas proposições forem verdadeiras, ou ambas falsas, então p q será falsa. 
Observe a Tabela 1.4:
Tabela 1.4: Tabela Verdade para Disjunção Exclusiva
Vamos analisar um exemplo:
1) Qual o valor lógico das proposições simples abaixo? Coloque verdadeiro ou falso.
a) Brasil é um país.
b) Bahia é um estado.
c) Bahia é um país.
d) -2 < -1.
e) (-2).(-3) < (-1):(-3).
f) (-2).(3) > (-1):(3)
Unidade
1Lógica matemática e teoria dos conjuntos
12
2) Analise o valor lógico das proposições compostas a seguir, para isso utilize a Tabela 1.4:
a) Ou Brasil é um país ou Bahia é um estado.
b) Ou Bahia é um país ou Brasil é um país.
c) Ou -2 < -1 ou (-2).(-3) < (-1).(-3).
Até agora estudamos os conectivos lógicos e, representado pelo símbolo , ou representado 
por e ou exclusivo representado por . Agora vamos conhecer uma sentença muito utilizada, a 
condicional simples. A condicional de duas sentenças é formada pelo uso de se e de então antes de 
cada uma delas, veja:
•	 p: Brasil é um país
•	 q: Bahia é um estado
•	 p q: se Brasil é um país, então Bahia é um estado.
•	 r: -2 < -1
•	 s: (-2).(-3) < (-1).(-3)
•	 p q : se -2 < -1 então (-2):(-3) < (-1):(-3).
O condicional simples p q só é falso quando p é verdadeira e q é falsa. Em qualquer outro caso 
p q será verdadeiro. Na frase “Se eu nasci em Salvador então eu sou baiano”, podemos perceber que 
a condição para ser baiano é ser nascido em Salvador, logo se uma pessoa não nasce em Salvador, ela 
não é baiana. Percebemos nesta frase que há uma condição para ser baiano, ter nascido em Salvador.
Agora, vamos falar um pouco sobre condições. Temos a condição suficiente e a condição 
necessária. Observe a seguinte situação:
Problema:
Imagine que durante um banho de cachoeira você encontra uma pedra transparente.
Será um diamante?
Sabemos que todo diamante é uma pedra transparente. Mas, nem toda pedra transparente é um 
diamante!
Aqui percebemos um caso onde ser uma pedra transparente é uma condição necessária para ser 
um diamante e ser um diamante é uma condição suficiente para ser uma pedra transparente. Então, se 
é um diamante então é uma pedra transparente. Aqui você pode perceber o que significa o “se, então”, se 
uma determinada condição é satisfeita, então outra também deve ser satisfeita (IEZZI, 2013).
No condicional simples p q diz que:
•	 p é condição suficiente para q;
•	 q é condição necessária para p.
No exemplo: se eu nasci em Salvador então eu sou baiano, temos:
•	 nascer em Salvador é condição suficiente para ser baiano: basta nascer em Salvador para ser 
baiano;
•	 ser baiano é condição necessária para nascer em Salvador: certamente será baiano todos que 
nascerem em Salvador.
Lógica matemática e teoria dos conjuntos
13
Unidade
1
Exercícios:
1. Qual o valor lógico das proposições simples abaixo? Coloque verdadeiro ou falso.
a) Brasil é um país.
b) Bahia é um estado.
c) Bahia é um país.
d) −2 < −1.
e) (−2).(−3) < (−1).(−3). 
f) (−2).(3) > (−1).(3).
Analise o valor lógico das proposições compostas a seguir:
a) Se Brasil é um país, então Bahia é um estado.
b) Se Bahia é um país, então Brasil é um país. 
c) Se −2 < −1, então (−2).(−3) < (−1).(−3).
Agora vamos analisar o bicondicional. O bicondicional de duas sentenças é formada pelo uso de 
se e somente se entre as duas proposições, veja:
•	p:	Brasil	é	um	país;	
•	q:	Bahia	é	um	estado;
	•	p	↔ q : Brasil é um país se e somente se Bahia é um estado. 
Analisando um exemplo matemático:
•	p:	−2	<	−1	
•	q:	(−2).(−3)	<	(−1).(−3)	
•	p	↔ q : −2 < −1 se e somente se (−2).(−3) < (−1).(−3). 
O bicondicional funciona como um condicional duplo, ou seja, as proposições envolvidas em 
um bicondicional são condições necessárias e suficientes. O bicondicional p ↔ q é verdadeiro quando 
p e q têm o mesmo valor, ou são ambos verdadeiros ou são ambos falsos. Agora, se um for verdadeiro 
e o outro falso, p ↔ q será falso. Observe a Tabela 1.5 do bicondicional:
Tabela 1.5: Tabela Verdade para Bicondicional
Unidade
1Lógica matemática e teoria dos conjuntos
14
Observe o exemplo abaixo:
I. Paulo está feliz se e somente se Camila está feliz.
Neste exemplo vemos que a felicidade de Camila basta para Paulo estar feliz e Paulo certamente 
estará feliz se Camila também estiver e a felicidade de Paulo basta para Camila estar feliz e Camila 
certamente estaráfeliz se Paulo também estiver.
Vamos analisar outros exemplos para você compreender o que significa o bicondicional:
1 Qual o valor lógico das proposições simples abaixo? Coloque verdadeiro ou falso.
a) Brasil é um país. (V)
b) Bahia é um estado.(V)
c) Bahia é um país.(F)
d) -2 < -1. (V)
e) (-2).(-3) < (-1):(-3).(F)
f) (-2).(3) > (-1).(3)(F)
2 Analise o valor lógico das proposições compostas a seguir, para isso utilize a Tabela 1.5:
a) o Brasil é um país se e somente se Bahia é um estado. Como analisamos que Brasil é uma 
país (V) e Bahia é um estado (V), então de acordo com 2.9 a proposição composta é (V).
b) Bahia é um país se e somente se Brasil é um país. Temos que Bahia é um país (F) e Brasil 
é um país (V), logo a proposição composta é (F).
c) -2 < -1 se e somente se (-2).(-3) < (-1).(-3), como -2 < -1 é (V) e (-2).(-3) <
d) (-1).(-3) é (F), então a proposição composta é (F).
e) (-2).(-3) < (-1).(-3) se e somente se (-2).(3) > (-1).(3). Como (-2).(-3) < (-1).(-3) é uma 
proposição (F) e (-2).(3) > (-1).(3) é uma proposição (F), então a proposição composta, de 
acordo com a Tabela 1.5 é (V).
Vamos agora tratar as contradições, para isso você precisa lembrar que p¬ significa a negação 
da proposição p. Então, considere a proposição composta p p¬ . Sabemos que se p é verdadeira, 
então p¬ é falsa e que se p é falsa, então p¬ é verdadeira. Agora analise a tabela verdade (Tabela 1.6) 
para as contradições:
Tabela 1.6: Tabela Verdade para Contradição
As contradições sempre serão falsas, pois as 
proposições analisadas sempre terão valores lógicos 
contrários, ou seja, contraditórios.
Fonte: Elaborado pela autora.
Lógica matemática e teoria dos conjuntos
15
Unidade
1
As proposições apresentadas na tabela 1.6 são chamadas de identicamente falsas ou 
contradições. Observe alguns exemplos práticos:
I p: Paulo gosta de matemática (V).
II p p¬ : Paulo gosta de matemática e Paulo não gosta de matemática (F).
I p: Hoje está chovendo (V).
II p p¬ : Hoje está chovendo e hoje não está chovendo (F).
I p: Amanhã irei viajar (F).
II p p¬ : Amanhã irei viajar e amanhã não irei viajar (F).
Cálculo Proposicional: Precedência de Operadores
Considere uma proposição composta como a seguinte:
 
Agora você percebe que temos uma sequência de operações para fazer, então como devemos 
proceder quando proposições desta maneira aparecerem?
Dado o nível de complexidade desta proposição, é necessário aplicar a regra de precedência:
1. Resolver parênteses, colchetes, etc.
2. Aplicar as negações ¬
3. Resolver as conjunções e disjunções, na ordem em que aparecerem.
4. Resolver os condicionais simples.
5. Resolver os bicondicionais.
Tautologias
Na lógica, uma tautologia é uma fórmula proposicional que é verdadeira para todos os possíveis 
valores de suas variáveis proposicionais.
Vamos construir a tabela verdade para a proposição (p p¬ p¬ . Como esta 
proposição tem apenas 2 proposições simples, a tabela verdade terá apenas 4 linhas. Cada linha 
representa uma combinação dos valores lógicos das proposições simples. As colunas são construídas 
paulatinamente segundo a ordem de precedência descrita anteriormente. Confira a Tabela 1.7.
Tabela 1.7: Tabela Verdade para Tautologias
#ANOTE ISSO# 
As contradições sempre serão falsas, pois as proposições analisadas sempre terão 
valores lógicos contrários, ou seja, contraditórios. 
Fonte: Elaborado pela autora. 
#ANOTE ISSO# 
As proposições apresentadas na tabela 1.6 são chamadas de identicamente falsas
ou contradições. Observe alguns exemplos práticos: 
I p: Paulo gosta de matemática (V). 
II p∧ p : Paulo gosta de matemática e Paulo não gosta de matemática (F). 
I p: Hoje está chovendo (V). 
II p∧ p : Hoje está chovendo e hoje não está chovendo (F). 
I p: Amanhã irei viajar (F). 
II p∧ p : Amanhã irei viajar e amanhã não irei viajar (F). 
Cálculo Proposicional: Precedência de Operadores 
Considere uma proposição composta como a seguinte: 
(p∧ �� � p � � � p
Agora você percebe que temos uma sequência de operações para fazer, então como 
devemos proceder quando proposições desta maneira aparecerem? 
Dado o nível de complexidade desta proposição, é necessário aplicar a regra de 
precedência: 
1. Resolver parênteses, colchetes, etc. 
2. Aplicar as negações 
3. Resolver as conjunções e disjunções, na ordem em que aparecerem. 
4. Resolver os condicionais simples. 
5. Resolver os bicondicionais. 
Tautologias 
Na lógica, uma tautologia é uma fórmula proposicional que é verdadeira para todos 
os possíveis valores de suas variáveis proposicionais. 
Unidade
1Lógica matemática e teoria dos conjuntos
16
Proposições do tipo apresentadas na Tabela 1.7 são chamadas de identicamente verdade ou 
tautologias.
Contingências
Uma proposição composta que não seja uma tautologia nem uma contradição é chamada de 
contingência. Veja o exemplo a seguir:
Vamos construir tabela verdade da proposição , analisando todos os possíveis 
valores lógicos da proposição simples. Observe a Tabela 1.8.
Tabela 1.8: Tabela Verdade para Contingências
Analisando a Tabela 1.8 você pode perceber que o valor verdade de uma contingência depende 
do valor verdade das proposições simples que a compõe.
Implicação Lógica
A proposição P implica proposição Q quando a condicional P Q for uma tautologia.
Vamos analisar o exemplo : . Veja a Tabela 1.9.
Tabela 1.9: Tabela Verdade para Implicação Lógica
 
Lógica matemática e teoria dos conjuntos
17
Unidade
1
Neste caso utilizamos o símbolo 
Lemos: p e q implica p se e somente se q.
Vamos agora analisar exemplos práticos para a implicação lógica:
Exemplos: 
•	 O cachorro late o cachorro está vivo. (O cachorro latir implica o cachorro estar vivo)
•	 X é par X é divisível por 2. (X é par implica que X é divisível por 2)
•	 X é ímpar X não é divisível por 2.
•	 X é primo X é 2 ou X é ímpar. (Sabemos que todos os números primos são ímpares com 
exceção do número 2)
Os exemplos acima são todos tautologias: nunca o antecedente será verdadeiro e o consequente 
será falso.
A proposição P equivale à uma proposição Q quando a bicondicional P Q for uma tautologia. 
Veja o exemplo pq ¬↔¬ ou seja, se p então q equivale a se não p então não q. Confira a 
Tabela 1.10.
 Tabela 1.10: Tabela Verdade para Equivalência
Agora veremos exemplos práticos de equivalências:
Uma equivalência é igual a uma implicação para os dois lados. Temos em P Q, que P Q e 
também Q P.
Exemplos:
•	 X é par X é divisível por 2. (Temos que se X é par implica que X é divisível por e que se X 
é divisível por 2 implica que X ser par)
•	 X é ímpar X não é divisível por 2. (Temos que X ser ímpar implica que X não é divisível 
por 2 e que se X não ser divisível por 2 implica que X é ímpar)
•	 X é primo X é 2 ou X é ímpar. (Sabemos que todos os números primos são ímpares com 
exceção do número 2)
Unidade
1Lógica matemática e teoria dos conjuntos
18
Sentenças abertas
Como vimos, as sentenças abertas não são proposições, pois não podem ter seu valor lógico 
calculado, como por exemplo, x é par, não podemos atribuir verdadeiro ou falso, pois não sabemos 
qual é o valor numérico de x, logo a sentença x é par é uma sentença aberta.
Entretanto, algumas proposições compostas com sentenças abertas podem ter seu valor lógico 
avaliado, como os exemplos seguir:
•	 x é par ou x é ímpar. Esta sentença é composta por duas sentenças abertas, porém ela é 
verdadeira, pois só temos duas possibilidades para um número no que diz respeito à sua 
paridade, ou um número é par, ou é ímpar.
•	 x é par x é múltiplo de 3. Aqui também temos a composição de duas sentenças abertas e 
podemos atribuir valor falso, pois se x é um número par não há garantia que todo par seja 
múltiplo de 3, nem como todo múltiplo de 3 seja um número par.
Por exemplo, o número 6 é par e é múltiplo de 3, porém o número 8 é um número par e não é 
múltiplo de 3, logo não se aplica nesta expressão, sendo assim, x é par x é múltiplo de 3 é falso.
Dando Valor Lógico a umaSentença Aberta
Sabemos que sentenças abertas só podem ser avaliadas logicamente se pudermos dar valor às 
variáveis envolvidas. Por exemplo, qual é o valor lógico da sentença x2 = 4? Se respondermos que x = 
2, a sentença será verdadeira e se respondermos que x = -2 a sentença também será verdadeira e para 
qualquer outro valor de x a sentença será falsa. Podemos também utilizar quantificadores, poderíamos 
dizer ( )(x²=4). O símbolo significa existe, desta forma fazemos a leitura da expressão como: existe 
algum x tal que x elevado ao quadrado é igual a quatro. Logo, a sentença se torna verdadeira, pois 
estamos afirmando que existe algum x que satisfaz a sentença e realmente existe, x = 2 ou x = -2. 
Podemos utilizar um outro quantificador, o que significa para todo, então fazendo: ( )(x²=4), lê-
se, para todo x, x elevado ao quadrado é igual a 4, temos que a sentença é falsa, pois não são todos os 
números que elevados ao quadrado resultam em quatro.
Na tabela 1.11 vamos colocar algumas sentenças abertas que se tornarão verdadeiras ou falsa 
através do uso dos quantificadores, você pode testar seus conhecimentos formando novas sentenças.
Tabela 1.11: Usando quantificadores
A seguir é apresentado como é realizada a negação de uma proposição composta. Todas estas 
equivalências podem ser deduzidas por cálculo lógico, mas isto foge do escopo do nosso texto.
Lógica matemática e teoria dos conjuntos
19
Unidade
1
São dadas as seguintes equivalências:
Vamos ver alguns exemplos práticos para a negação de p q.
Sentença p: Peixes vivem no mar e macacos gostam de árvore, é uma sentença verdadeira. Agora 
a negação da sentença p é ¬ p: Peixes não vivem no mar ou macacos não gostam de árvore, é uma 
sentença falsa.
Sentença q: 2 > 1 e 5.2 = 7, é uma sentença falsa. Agora a negação da sentença q, : ¬ q: 2 ≤ 1 ou 
5.2 ≠ 7, é verdadeira.
Sentença r: x+2 = 5 y < 2. ¬ r: x+2 ≠ 5 y ≥ 2. Para a sentença r e ¬ r não podemos atribuir 
verdadeiro ou falso, pois são sentenças abertas.
De maneira análoga, vamos fazer a negação da disjunção inclusiva p q. A negação é feita por 
meio de ¬ p ¬ q.
Exemplos:
Sentença p: Dentro do avião há homens ou mulheres (V). ¬ p: Dentro do avião não há homens 
e não há mulheres (F).
Sentença q: 2 > 1 ou 5.2 = 7 (V). ¬ q: 2 ≤ 1 e 5.2 7 (F).
Sentença r: x + 2 = 5 y < 2. ¬ r: x + 2 ≠ 5 y 2.
Vamos fazer a negação da disjunção exclusiva p → q. A negação é feita por meio de ¬ p ¬ q.
Veja alguns exemplos práticos para ilustrar este tipo de negação:
Sentença p: ou o Flamengo ganha ou o Fluminense ganha (V). ¬ p: o Flamengo não ganha se e 
somente se o Fluminense ganha (F).
Sentença q: ou 2 > 1 ou 5.2 = 7 (V). ¬ q: 2 ≤ 1 se e somente se 5.2 ≠ 7 (F).
Sentença r: x + 2 = 5 ↔ y < 2. ¬ r: x + 2 ≠ 5 y ≥ 2. 
Unidade
1Lógica matemática e teoria dos conjuntos
20
Assim como nos exemplos anteriores, as sentenças r e ¬ r são sentenças abertas e não 
conseguimos atribuir verdadeiro ou falso a elas.
Vamos fazer a negação da condicional simples p q. A negação é feita por meio de p ¬ q. 
Veja alguns exemplos para esse tipo de negação:
Sentença p: Se Paulo nasceu na Bahia, então Paulo é baiano (V). ¬ p: O Paulo nasceu na Bahia 
e Paulo não é baiano (F).
Sentença q: se 2 > 1 então 5.2 = 7 (F). ¬ q: 2 > 1 e 5.2 ≠ 7 (V).
Sentença r: x + 2 = 5 y < 2. ¬ r: x + 2 ≠ 5 y ≥ 2.
Faremos a negação da bicondicional p q. A negação é feita por meio de ¬ p ⊻¬ q.
Veja os exemplos a seguir:
Sentença p: o telefone toca se e somente se alguém liga para ele (V). ¬ p: ou o
telefone não toca ou ninguém liga para ele (F).
Sentença q: 2 > 1 se e somente se 5.2 = 7 (F). ¬ q 2 ≤ 1 ou 5.2 ≠ 7 (V).
Sentença r: x + 2 = 5 y < 2. ¬ r: x + 2 ≠ 5 ⊻ y ≥ 2.
Podemos também negar proposições quantificadas utilizando sentenças abertas e os 
quantificadores, já estudados neste capítulo, 9 e 8.
Considerando p(x) uma sentença aberta, como definimos anteriormente os dois quantificadores:
Assim como temos definidas as equivalências acima, definimos as equivalências abaixo:
A equivalência acima pode ser entendida como: Não existe algum x tal que p(x) é verdadeira se 
e somente se para todo x p(x) é falsa.
Da mesma maneira podemos escrever:
 
Podemos entender a equivalência como: Nem para todo x p(x) é verdadeira se e somente se 
existir um x tal que p(x) é falsa.
Sentença p: o telefone toca se e somente se alguém liga para ele (V).  p: ou o 
telefone não toca ou ninguém liga para ele (F). 
 
Sentença q: 2 > 1 se e somente se 5.2 = 7 (F). q 2 ≤ 1 ou 5.2 ≠ 7 (V). 
 
Sentença r: x + 2 = 5↔ y < 2.  r: x + 2 ≠ 5 ⊻ y ≥ 2. 
 
Podemos também negar proposições quantificadas utilizando sentenças abertas e os 
quantificadores, já estudados neste capítulo, 9 e 8. 
 
Considerando p(x) uma sentença aberta, como definimos anteriormente os dois 
quantificadores: 
 
(∃x)(p(x)): existe algum x tal que p(x) é verdadeira. 
(∀x)(p(x)): para todo x, p(x) é verdadeira. 
Assim como temos definidas as equivalências acima, definimos as equivalências 
abaixo: 
 
 (∃x)(p(x))	⇔ (∀x)( p(x)). 
 
A equivalência acima pode ser entendida como: Não existe algum x tal que p(x) é 
verdadeira se e somente se para todo x p(x) é falsa. 
Da mesma maneira podemos escrever: 
 
 (	∀x)(p(x)) ⇔ (∃x)( p(x)). 
 
Podemos entender a equivalência como: Nem para todo x p(x) é verdadeira se e 
somente se existir um x tal que p(x) é falsa. 
Veja alguns exemplos práticos, para essas equivalências ficarem claras para você: 
Sentença p: o telefone toca se e somente se alguém liga para ele (V).  p: ou o 
telefone não toca ou ninguém liga para ele (F). 
 
Sentença q: 2 > 1 se e somente se 5.2 = 7 (F). q 2 ≤ 1 ou 5.2 ≠ 7 (V). 
 
Sentença r: x + 2 = 5↔ y < 2.  r: x + 2 ≠ 5 ⊻ y ≥ 2. 
 
Podemos também negar proposições quantificadas utilizando sentenças abertas e os 
quantificadores, já estudados neste capítulo, 9 e 8. 
 
Considerando p(x) uma sentença aberta, como definimos anteriormente os dois 
quantificadores: 
 
(∃x)(p(x)): existe algum x tal que p(x) é verdadeira. 
(∀x)(p(x)): para todo x, p(x) é verdadeira. 
Assim como temos definidas as equivalências acima, definimos as equivalências 
abaixo: 
 
 (∃x)(p(x))	⇔ (∀x)( p(x)). 
 
A equivalência acima pode ser entendida como: Não existe algum x tal que p(x) é 
verdadeira se e somente se para todo x p(x) é falsa. 
Da mesma maneira podemos escrever: 
 
 (	∀x)(p(x)) ⇔ (∃x)( p(x)). 
 
Podemos entender a equivalência como: Nem para todo x p(x) é verdadeira se e 
somente se existir um x tal que p(x) é falsa. 
Veja alguns exemplos práticos, para essas equivalências ficarem claras para você: 
Sentença p: o telefone toca se e somente se alguém liga para ele (V).  p: ou o 
telefone não toca ou ninguém liga para ele (F). 
 
Sentença q: 2 > 1 se e somente se 5.2 = 7 (F). q 2 ≤ 1 ou 5.2 ≠ 7 (V). 
 
Sentença r: x + 2 = 5↔ y < 2.  r: x + 2 ≠ 5 ⊻ y ≥ 2. 
 
Podemos também negar proposições quantificadas utilizando sentenças abertas e os 
quantificadores, já estudados neste capítulo, 9 e 8. 
 
Considerando p(x) uma sentença aberta, como definimos anteriormente os dois 
quantificadores: 
 
(∃x)(p(x)): existe algum x tal que p(x) é verdadeira. 
(∀x)(p(x)): para todo x, p(x) é verdadeira. 
Assim como temos definidas as equivalências acima, definimos as equivalências 
abaixo: 
 
 (∃x)(p(x))	⇔ (∀x)( p(x)). 
 
A equivalência acima pode ser entendida como: Não existe algum x tal que p(x) é 
verdadeira se e somente se para todo x p(x) é falsa. 
Da mesma maneira podemos escrever: 
 
 (	∀x)(p(x)) ⇔ (∃x)( p(x)). 
 
Podemos entender a equivalência como: Nem para todo x p(x) é verdadeira se e 
somente se existir um x tal que p(x) é falsa. 
Veja alguns exemplos práticos, para essas equivalências ficarem claras para você: 
Sentença p: o telefone toca se e somente se alguém liga para ele (V).  p: ou o 
telefone não toca ou ninguém liga para ele (F). 
 
Sentença q: 2 > 1 se e somente se 5.2 = 7 (F). q 2 ≤ 1 ou 5.2 ≠ 7 (V). 
 
Sentença r: x + 2 = 5↔ y < 2.  r: x + 2≠ 5 ⊻ y ≥ 2. 
 
Podemos também negar proposições quantificadas utilizando sentenças abertas e os 
quantificadores, já estudados neste capítulo, 9 e 8. 
 
Considerando p(x) uma sentença aberta, como definimos anteriormente os dois 
quantificadores: 
 
(∃x)(p(x)): existe algum x tal que p(x) é verdadeira. 
(∀x)(p(x)): para todo x, p(x) é verdadeira. 
Assim como temos definidas as equivalências acima, definimos as equivalências 
abaixo: 
 
 (∃x)(p(x))	⇔ (∀x)( p(x)). 
 
A equivalência acima pode ser entendida como: Não existe algum x tal que p(x) é 
verdadeira se e somente se para todo x p(x) é falsa. 
Da mesma maneira podemos escrever: 
 
 (	∀x)(p(x)) ⇔ (∃x)( p(x)). 
 
Podemos entender a equivalência como: Nem para todo x p(x) é verdadeira se e 
somente se existir um x tal que p(x) é falsa. 
Veja alguns exemplos práticos, para essas equivalências ficarem claras para você: 
Lógica matemática e teoria dos conjuntos
21
Unidade
1
Veja alguns exemplos práticos, para essas equivalências ficarem claras para você:
Vamos aprender mais dois quantificadores: o quantificador existencial exclusivo e o 
quantificador não existencial 
Exemplo:
1. ( x)(x + 5 = 6), que se lê existe um único x tal que x + 5 = 6, sentença verdadeira.
2. ( )(x² = -1), que se lê não existe x tal que x ao quadrado seja igual a menos um, sentença 
verdadeira.
Esses quantificadores lógicos são muito utilizados. Podemos conseguir deixar uma sentença 
verdadeira através da utilização deles, como vimos com ( x)(x² = -1), tal sentença era falsa, agora 
utilizando outro quantificador, temos uma sentença verdadeira: ( )(x² = -1).
Unidade
1Lógica matemática e teoria dos conjuntos
22
2. CONjUNTOS
Conjuntos A e B 
 Fonte: Wikipédia.
Neste tópico iremos estudar os conjuntos suas propriedades e operações e os conjuntos 
numéricos. Você irá relacionar muito elementos do seu cotidiano com os conjuntos aqui estudados. 
Fique atento e observe ao seu redor quantos conjuntos você tem e já teve contato.
No nosso dia a dia trabalhamos com conjuntos nas mais diversas atividades, como por exemplo: 
•	 O time de futebol de um clube é um conjunto de jogadores que defendem o seu clube contra 
outro conjunto de jogadores, isto é, os adversários.
•	 Os eleitores de um certo partido político são um conjunto de pessoas que votam em certo 
partido.
•	 As salas de aulas são conjuntos de alunos de uma determinada escola.
Conjunto é uma ideia primitiva. Na matemática uma ideia primitiva não possui definição. 
Podemos dizer que um conjunto é uma coleção, uma classe ou uma família de elementos. Conseguimos 
descrever os elementos do conjunto de três formas diferentes:
•	 Lista: relatando cada um dos elementos. Exemplo: A = {a; b; c; d; e}.
•	 Regra: enunciando uma propriedade característica. Exemplo: A = {x| x é uma vogal}.
•	 Representação: um esquema gráfico ou visual que facilite a interpretação do conjunto.
Lógica matemática e teoria dos conjuntos
23
Unidade
1
Observe a Figura 1.1.
Figura 1.1: Gráfico – Conjunto
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
O gráfico apresentado na Figura 1.1 é chamado Diagrama de Venn. Esses diagramas são muito 
utilizados na visualização das operações de conjunto, conforme demonstrado a seguir, porém você tem 
a liberdade de escolher qual representação de conjuntos acha melhor para cada tipo de situação. Por 
exemplo, quando devemos representar um conjunto infinito de termos, a lista não consegue descrever 
todos os elementos contidos nesse conjunto.
Pertinência
Se o objeto x é um elementos do conjunto A, escrevemos: x A (x pertence ao conjunto A). 
Porém, se o objeto x não é um elementos do conjunto A, escrevemos: x A, (x não pertence ao 
conjunto A).
Conjunto vazio
Um conjunto que não possui nenhum elemento é chamado de conjunto vazio e é representado 
por: ou { }.
Convém registrar que o que está registrado abaixo não é um conjunto vazio: { }.
Subconjuntos
Para compreender o que é um subconjunto veja a situação a seguir:
O conjunto das pessoas que votaram no candidato Z nas últimas eleições pode ser
subdividido de diversas maneiras (veja a Figura 1.2):
Unidade
1Lógica matemática e teoria dos conjuntos
24
Figura 1.2: Gráfico – Conjunto
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Sobre a Figura 1.2 podemos concluir que:
•	 O conjunto de eleitores foi dividido em dois subconjuntos.
•	 Cada subconjunto é um conjunto por si só. O conjunto das eleitoras (mulheres) foi dividido 
em dois subconjuntos.
•	 Numa visão geral, o conjunto inicial de eleitores foi dividido em 3 subconjuntos.
Subconjuntos - Relação de Inclusão
Se todo elemento de um conjunto A também for um elemento de um conjunto B, então podemos 
dizer que A é um subconjunto de B. O diagrama de Venn ilustrado na Figura 1.3 mostra uma relação 
de inclusão com conjuntos.
Figura 1.3: Subconjunto
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
De acordo com a Figura 1.3 temos que: A B e lemos: o conjunto A está contido no conjunto 
B. Temos também que: B A e lemos: o conjunto B contém o conjunto A, ou seja, dentro do conjunto 
B está o conjunto A.
Lógica matemática e teoria dos conjuntos
25
Unidade
1
Exemplo:
Dados os conjuntos A={1; 2; 3; 4} e B={1; 2; 3; 4; 5; 6} temos que A B, pois todos os elementos 
do conjunto A são elementos do conjunto B.
Relação de Não Inclusão
Quando em um determinado conjunto A, nem todo elemento de A é um elemento do conjunto 
B, dizemos que o conjunto A não está contido no conjunto B, e representamos por A B e lemos: A 
não está contido em B.
Veja um exemplo:
Dado o conjunto A={1; 2; 3; 4; 8; 9} e B={1; 2; 3; 4; 5; 6}, temos que A B, pois os
elementos 8 e 9 não fazem parte do conjunto B.
Na Figura 1.4 podemos observar que A B e C B.
Figura 1.4: Não inclusão
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Para os subconjuntos temos alguma propriedades elementares, elas são destacadas a seguir:
I. Para todo conjunto A é correto escrever que A está contido em A: A A.
II. O conjunto vazio é um subconjunto de qualquer conjunto A: A.
Conjuntos - Inclusão e a Lógica
A inclusão é logicamente definida assim:
A definição lógica acima diz que: A é subconjunto de B se e somente se, para todo x, se x pertence 
ao conjunto A então x pertence ao conjunto B, ou seja todo elemento de A é também um elemento de B.
Dados os conjuntos A={1; 2; 3; 4} e B={1; 2; 3; 4; 5; 6} temos que A ⊂ B, pois todos 
os elementos do conjunto A são elementos do conjunto B. 
Relação de Não Inclusão 
Quando em um determinado conjunto A, nem todo elemento de A é um elemento do 
conjunto B, dizemos que o conjunto A não está contido no conjunto B, e 
representamos por A ⊄ B e lemos: A não está contido em B. 
Veja um exemplo: 
Dado o conjunto A={1; 2; 3; 4; 8; 9} e B={1; 2; 3; 4; 5; 6}, temos que A ⊄	B, pois os 
elementos 8 e 9 não fazem parte do conjunto B. 
Na Figura 1.4 podemos observar que A ⊄	B e C ⊄	B. 
Figura 1.4: Não inclusão 
Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017. 
Para os subconjuntos temos alguma propriedades elementares, elas são destacadas 
a seguir: 
I. Para todo conjunto A é correto escrever que A está contido em A: A ⊂ A. 
II. O conjunto vazio é um subconjunto de qualquer conjunto A: ∅ ⊂ A. 
Conjuntos - Inclusão e a Lógica 
A inclusão é logicamente definida assim: 
A ⊂ B , (∀x)(x ∈ A ⇒ x ∈ B) 
A definição lógica acima diz que: A é subconjunto de B se e somente se, para todo x, 
se x pertence ao conjunto A então x pertence ao conjunto B, ou seja todo elemento 
de A é também um elemento de B. 
Unidade
1Lógica matemática e teoria dos conjuntos
26
Exemplos:
a) {a,b} {a,b,c,d}
b) {a,e,i} {a,b,c,d}
c) {x,y} {a,b,c,d}
d) {x|x é múltiplo de 4} {x|x x é par} . Aqui temos uma descrição de conjunto através de 
uma regra. O conjuntodos números múltiplos de 4 que está contido no conjunto dos 
números pares, pois todo múltiplo de 4 é um número par.
e) {x| x é mútiplo de 3} {x| x é par} . O conjunto dos números múltiplos de 3 não está 
contido no conjunto dos números pares, pois nem todo múltiplo de 3 é par, como por 
exemplo, 3 e 9.
Igualdade de Conjuntos
Dois conjuntos são iguais se e somente se possuem os mesmos elementos, isto é, A B e B A 
se e somente se A = B.
Esta definição é consequência de:
Vemos na definição acima que para todo x se x pertence ao conjunto A então x pertence ao 
conjunto B e para todo x se x pertence ao conjunto B então x pertence ao conjunto A, logo os conjuntos 
A e B são iguais.
Exemplos:
1 Dados os conjuntos A={1; 2; 3; 4} e B={1; 2; 3; 4}. Temos que A=B, pois A B e B A.
2 Dados os conjuntos A={1; 2; 3; 4; 5; 6} e B={1; 2; 3; 4}. Temos que A ≠ B, pois A B.
Conjuntos – União
Vamos agora estudar a união de dois ou mais conjuntos. Unir dois ou mais conjuntos
significa juntar seus elementos em um único conjunto. Veja a situação a seguir:
Situação 1:
Seu José tem uma lanchonete onde trabalham 5 funcionários e seu Antonio tem uma padaria 
ao lado, onde trabalham 6 funcionários. Seu José e seu Antônio resolvem ficar sócios e fundir os dois 
estabelecimentos, criando uma delicatessen. Se depois da fusão todos os funcionários continuarem 
trabalhando, haverá 11 funcionários na delicatessen..
Numa visão de conjuntos, o conjunto de funcionários da delicatessen é o resultado da união do 
conjunto de funcionários da lanchonete com o conjunto de funcionários da padaria.
Exemplos: 
a) {a,b}⊂ {a,b,c,d} 
b) {a,e,i} ⊄ {a,b,c,d} 
c) {x,y} ⊄{a,b,c,d} 
d) {x|x é múltiplo de 4} ⊂{x|x x é par} . Aqui temos uma descrição de conjunto 
através de uma regra. O conjunto dos números múltiplos de 4 que está contido 
no conjunto dos números pares, pois todo múltiplo de 4 é um número par. 
e) {x| x é mútiplo de 3}⊄{x| x é par} . O conjunto dos números múltiplos de 3 não 
está contido no conjunto dos números pares, pois nem todo múltiplo de 3 é par, 
como por exemplo, 3 e 9. 
 
Igualdade de Conjuntos 
Dois conjuntos são iguais se e somente se possuem os mesmos elementos, isto é, 
A⊂ B e B ⊂ A se e somente se A = B. 
 
Esta definição é consequência de: 
 
(∀x)(x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ (∀x)(x ∈ B ⇒ x ∈ A) 
 
Vemos na definição acima que para todo x se x pertence ao conjunto A então x 
pertence ao conjunto B e para todo x se x pertence ao conjunto B então x pertence 
ao conjunto A, logo os conjuntos A e B são iguais. 
 
Exemplos: 
1 Dados os conjuntos A={1; 2; 3; 4} e B={1; 2; 3; 4}. Temos que A=B, pois A ⊂ B e 
B ⊂ A. 
2 Dados os conjuntos A={1; 2; 3; 4; 5; 6} e B={1; 2; 3; 4}. Temos que A ≠ B, pois A ⊄ 
B. 
 
Conjuntos – União 
Vamos agora estudar a união de dois ou mais conjuntos. Unir dois ou mais conjuntos 
significa juntar seus elementos em um único conjunto. Veja a situação a seguir: 
 
Situação 1: 
Seu José tem uma lanchonete onde trabalham 5 funcionários e seu Antonio tem uma 
padaria ao lado, onde trabalham 6 funcionários. Seu José e seu Antônio resolvem 
ficar sócios e fundir os dois estabelecimentos, criando uma delicatessen. Se depois 
da fusão todos os funcionários continuarem trabalhando, haverá 11 funcionários na 
delicatessen.. 
Numa visão de conjuntos, o conjunto de funcionários da delicatessen é o resultado 
da união do conjunto de funcionários da lanchonete com o conjunto de funcionários 
da padaria. 
Lógica matemática e teoria dos conjuntos
27
Unidade
1
Situação 2:
Em uma empresa há 23 funcionários da área industrial e 45 funcionários da área comercial. 
Juliana é a funcionária do RH responsável pelos funcionários da área industrial, já Carla é a responsável 
pelos funcionários da área comercial. Carla sairá de férias e Juliana ficará responsável tanto pelos 
funcionários da área industrial quanto pelos funcionários da área comercial, logo ficará responsável 
por 68 funcionários.
O conjunto de funcionários que Juliana ficará responsável durante as férias de Carla é a união 
dos funcionários da área industrial e da área comercial.
Conjunto universo - Conjunto Complementar
O conjunto universo é simbolizado por U e contém todos os elementos de interesse para um 
determinado problema.
Exemplos:
1 Conjunto das letras do alfabeto. O conjunto universo neste caso deve conter todos os 
elementos de interesse, ou seja, contém todas as letras possíveis. Perceba que o conjunto das vogais é 
um subconjunto do conjunto das letras do alfabeto.
2 Conjunto dos Números Reais - muito utilizado como o conjunto universo para solução de 
equações matemáticas. Observe aqui também que, o conjunto dos Naturais é um subconjunto dos 
Números Reais.
Conjunto Complementar em relação do conjunto U
Conjunto complementar de A ou é o conjunto formado pelos elementos de U que não 
pertencem a A.
Exemplos:
1 Dados os conjuntos U={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} e A={1; 2; 3; 4}, temos que = {5; 6; 7}, pois os 
números 5, 6 e 7 são os elementos que pertencem o conjunto universo, porém não pertencem ao 
conjunto A. Veja a Figura 1.5.
Figura 1.5: Complementar
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Unidade
1Lógica matemática e teoria dos conjuntos
28
Podemos utilizar a lógica matemática para definir o complementar.
Se um conjunto A é definido pela propriedade p, então o conjunto é formado pelos elementos 
que não têm a propriedade p. Veja:
A = {x| x tem a propriedade p} e = {x| x não tem a propriedade p}.
Vamos agora formalizar a definição de união de conjuntos:
P = = {x| x∈ A ou x∈ B}. Veja a seguir alguns exemplos para união de conjuntos.
A Figura 1.6 apresenta dois conjuntos A e B. Podemos perceber que há elementos em comum 
aos conjuntos A e B, ou seja, existe pelo menos algum elemento na intersecção desses conjuntos. 
Podemos citar como um exemplo dessa situação o seguinte problema: em uma escola há 25 estudantes 
de inglês, 18 estudantes de espanhol e 10 estudantes das duas línguas estrangeiras.
Figura 1.6: União
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
A Figura 1.7 apresenta dois conjuntos A e B. Estes conjuntos são chamados de disjuntos, pois não 
há elementos em comum aos dois conjuntos. A situação 1 ilustrada do seu Antonio e seu José pode ser 
tomada como um exemplo para os conjuntos disjuntos, já que não há funcionários em comum eles.
Figura 1.7: União
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Lógica matemática e teoria dos conjuntos
29
Unidade
1
Percebam que no caso ilustrado na Figura 1.8 (a seguir), B A. Veja um exemplo para este tipo 
de situação: seja o conjunto dos alunos de uma determinada escola (A) e o conjunto dos alunos de uma 
sala desta escola (B). Sabemos que todos os alunos pertencentes a qualquer sala desta escola, são também 
alunos dessa escola. Logo, todos os elementos do conjunto B, também são elementos do conjunto A.
Figura 1.8: União
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Propriedades da União de Conjuntos
A seguir serão destacadas as propriedades para a união de conjuntos.
Conjunto - Interseção
Estudados a união de conjuntos, agora vamos estudar a interseção entre conjuntos.
A interseção de dois conjuntos é formada pelos elementos comuns entre eles, ou seja, forma-se 
um novo conjunto que contém apenas os elementos que estão ao mesmo tempo nos dois conjuntos.
Se considerarmos o conjunto de alunos da sala que falam inglês (A) e o conjunto de alunos que 
falam espanhol (B), o conjunto interseção entre os dois conjuntos é dado por todos os alunos que 
falam tanto inglês quanto espanhol.
Podemos definir a interseção de conjuntos como: P = A Figura 
1.9 ilustra o caso de interseção no qual existe ao menos um elemento em comum aos dois conjuntos. 
Podemos citar como exemplo: Em uma empresa há funcionários que possuem plano de saúde, 
plano odontológicoe funcionários que possuem tanto plano de saúde quanto plano odontológico. A 
interseção será formada pelos funcionários que possuem os dois tipos de plano.
Unidade
1Lógica matemática e teoria dos conjuntos
30
Figura 1.9: Interseção
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Na Figura 1.10 temos que a interseção entre os conjuntos é vazia, ou seja, não há elementos 
comuns aos dois conjuntos. Como exemplo temos: Em uma eleição há eleitores do candidato A e 
eleitores do candidato B. Neste caso sabemos que não há possibilidade de votar em dois candidatos 
que desempenharão a mesma função ao mesmo tempo, logo a interseção é vazia.
Figura 1.10: Interseção
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
O terceiro caso de interseção que temos (Figura 1.11) é o caso no qual um conjunto está contido 
dentro de outro. Veja: Os alunos de uma escola que participarão de uma excursão formam um conjunto 
que está contido dentro do conjunto dos alunos da escola. Neste tipo de situação a interseção é o 
próprio conjunto dos alunos que vão à excursão.
Lógica matemática e teoria dos conjuntos
31
Unidade
1
Figura 1.11: Interseção
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Propriedades da Interseção de Conjuntos
A seguir serão destacadas as propriedades para a interseção de conjuntos.
Conjuntos Disjuntos
Dois conjuntos A e B são considerados disjuntos se não tem nenhum elemento em comum:
A e B são disjuntos .
Exemplos:
1 O conjunto dos números pares e o conjunto dos números ímpares são disjuntos.
2 O conjunto dos eleitores que nas últimas eleições votaram no candidato A e o conjunto dos 
eleitores que votaram no candidato B são disjuntos.
Unidade
1Lógica matemática e teoria dos conjuntos
32
Propriedades Comuns
A seguir são apresentadas algumas propriedades para união e interseção de conjuntos. Essas 
propriedades podem ser verificadas nos diagramas de Venn, considerando as três situações diferentes: 
conjuntos com uma interseção, conjuntos disjuntos e subconjuntos.
A Interseção de Conjuntos é definida com base na conjunção lógica:
•	 A interseção entre os conjuntos A e B é formada pelos elementos que estão em A e em B.
•	 A União de Conjuntos é definida com base na disjunção (inclusiva) lógica:
•	 A união entre os conjuntos A e B é formada pelos elementos que estão em A ou em B.
•	 Podemos então perceber a similaridade entre os símbolos dos operadores:
•	 Interseção e conjunção: .
•	 União e disjunção: 
Conjuntos – Diferença
Vamos agora estudar a diferença entre dois conjuntos. Sendo dois conjuntos A e B, a diferença 
entre A e B, A-B, forma um novo conjunto que é composto por elementos que pertencem ao conjunto 
A, porém não pertencem ao conjunto B.
Exemplos:
1. Dados os conjuntos A={1; 2; 3; 4; 5} e B={1; 2; 5}, o conjunto C = A - B, é formado pelos 
elementos que pertencem somente ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B, então vamos olhar 
no conjunto A e verificar quais elementos também aparecem no conjunto B e retirar os elementos que 
são comuns aos dois conjuntos. Podemos ver que os elementos 1,2 e 5 pertencem tanto ao conjunto A 
quanto ao conjunto B. O conjunto C = A - B será: C = {3; 4}.
2. Dados os conjuntos A={1; 2; 3; 4; 5; 6} e B={1; 2; 5; 8; 9}, o conjunto D = A- B é D = {3; 4; 6}. 
Neste exemplos algumas dúvidas podem surgir, como: os elementos 8 e 9 não fazem parte do conjunto 
A, qual o motivo de ser excluídos também? Os elementos 8 e 9 foram excluídos, pois A- B é tirar de A 
os elementos repetidos em B, logo os elementos que pertencem ao conjunto B. mas não pertencem ao 
conjunto A não entram na diferença entre os dois conjuntos.
A seguir vamos ver a diferença entre dois conjuntos utilizando diagramas de Venn.
A Figura 1.12 ilustra o caso no qual B A, como a diferença entre conjuntos é somente o 
conjunto A sem o que tem igual no conjunto B e como o conjunto B está inteiro dentro do conjunto 
A, devemos tirar o conjunto B inteiro do conjunto A.
Conjuntos Disjuntos 
Dois conjuntos A e B são considerados disjuntos se não tem nenhum elemento em 
comum: 
A e B são disjuntos .
Exemplos: 
1 O conjunto dos números pares e o conjunto dos números ímpares são disjuntos. 
2 O conjunto dos eleitores que nas últimas eleições votaram no candidato A e o 
conjunto dos eleitores que votaram no candidato B são disjuntos. 
Propriedades Comuns 
A seguir são apresentadas algumas propriedades para união e interseção de 
conjuntos. Essas propriedades podem ser verificadas nos diagramas de Venn, 
considerando as três situações diferentes: conjuntos com uma interseção, conjuntos 
disjuntos e subconjuntos. 
A Interseção de Conjuntos é definida com base na conjunção lógica: 
 A interseção entre os conjuntos A e B é formada pelos elementos que estão 
em A e em B. 
A União de Conjuntos é definida com base na disjunção (inclusiva) lógica: 
 A união entre os conjuntos A e B é formada pelos elementos que estão em A 
ou em B. 
Podemos então perceber a similaridade entre os símbolos dos operadores: 
 Interseção e conjunção: .
 União e disjunção: .
Lógica matemática e teoria dos conjuntos
33
Unidade
1
Podemos colocar como exemplo: Dados os conjuntos A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} e B = {3; 4; 5}, como 
B A, então A - B = {1; 2; 6}.
Figura 1.12: Diferença de Conjuntos
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Na Figura 1.13 temos o mesmo caso em que B A, porém agora queremos B-A, quando 
efetuamos a diferença e tiramos de B todos os elementos que estão em comum no conjunto A e como 
todos os elementos de B são elementos de A, a diferença fica vazia. Confira:
Figura 1.13: Diferença de Conjuntos
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
No terceiro caso (Figura 1.14) nós temos que existe no mínimo um elemento em comum aos 
conjuntos A e B, e A - B será somente a parte destacada em verde na figura, pois do conjunto A tiramos 
os elementos que estão em comum, ou seja tiramos a interseção.
Unidade
1Lógica matemática e teoria dos conjuntos
34
Veja um exemplo: dados os conjuntos A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} e B = {2; 3; 9; 11}, A - B = {1; 4; 5; 6}.
A relação a seguir é válida:
A B = (A - B) (A B) (B - A).
Figura 1.14: Diferença de Conjuntos
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
A Figura 1.15 exemplifica a relação acima.
Figura 1.15: Diferença de Conjuntos
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Agora vamos estudar as aplicações práticas para união, interseção e diferença de conjuntos.
Lógica matemática e teoria dos conjuntos
35
Unidade
1
Em uma pesquisa feita pelas Faculdades LCL em seu 
curso de Administração com uma amostra de alunos, 
eles foram classificados em três grandes grupos: os que 
jogam futebol, tênis e vôlei. A comunidade pesquisada 
apresentava 108 alunos, dos quais:
•	 56 alunos jogavam tênis;
•	 12 alunos jogavam tênis e futebol, e não jogavam vôlei;
•	 10 alunos jogavam tênis e vôlei, e não jogavam futebol;
•	 6 alunos jogavam futebol e vôlei, e não jogavam tênis;
•	 8 apenas jogavam vôlei;
•	 O número de alunos que apenas jogam futebol é igual ao número de alunos que jogam 
apenas tênis;
•	 O número de alunos que jogam os três esportes simultaneamente é metade do total
•	 não pratica nenhum esporte;
Quantos alunos praticam os três esportes simultaneamente?
O problema descreve alguns conjuntos, a saber:
•	 Os alunos que jogam tênis
•	 Os alunos que jogam futebol
•	 Os alunos que jogam vôlei
Para ser genérico, o desenho supõe regiões de interseção:
•	 3 regiões com dupla interseção
•	 1 região com tripla interseção
Nestes tipos de problemas é importante também definir o conjunto universo, que inclui alunos 
que não praticam nenhum dos 3 esportes.
A Figura 1.16 ilustra as regiões importantes para a resolução de problemascom conjuntos.
Figura 1.16: Regiões
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Unidade
1Lógica matemática e teoria dos conjuntos
36
Outro ponto importante para a resolução desses tipos de problemas é definir as variáveis 
que representam cada região:
A: jogam só tênis
B: jogam só futebol
C: jogam só vôlei
D: jogam só tênis e futebol (não jogam vôlei)
E: jogam só tênis e vôlei (não jogam futebol)
F: jogam só futebol e vôlei (não jogam tênis)
G: jogam os três esportes
H: não jogam nenhum dos três esportes
U = A + B + C + D + E + F + G + H (universo)
Figura 1.17: Regiões
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Agora vamos descobrir qual o valor de cada uma das regiões do nosso problema.
Como a amostra pesquisada apresenta 108 alunos, então sabemos que U = 108.O exercício 
informou que 56 alunos jogavam tênis, no diagrama de Venn temos que a região que 
corresponde aos alunos que jogavam tênis são as regiões A, D, E e G, logo A+D+E+G = 
56. Ainda temos que: 12 alunos jogavam tênis e futebol, mas não jogavam vôlei, então D 
= 12. 10 alunos jogavam tênis e vôlei, mas não jogavam futebol, então E = 10, 6 alunos 
jogavam futebol e vôlei, e não jogavam tênis, então F = 6, apenas 8 alunos jogavam vôlei, 
C = 8; o número de alunos que apenas jogam futebol é igual ao número de alunos que 
jogam apenas tênis, então B = A; como o número de alunos que jogam os três esportes 
simultaneamente é a metade do número de alunos que não praticam nenhum dos esportes, 
podemos calcular o número de alunos que não praticam nenhum dos esportes como: H = 
108 - (A + B + C + D + E + F + G). Lembre-se que A + D + E + G = 56, D = 10, E = 10, e A 
= B. Então temos que: A = 30, B = 30, C = 8, D = 12, E = 10, F = 6, G = 4 e H = 8. E então, 
apenas 4 alunos praticam os 3 esportes simultaneamente.
Lógica matemática e teoria dos conjuntos
37
Unidade
1
A Netfics contratou a consultoria da LCL Qualidade 
para avaliar a satisfação dos seus clientes. A Netfics 
vende conteúdo de áudio e vídeo pela internet para 
smartphones
e computadores. A LCL Qualidade, para avaliar de forma 
direta, usou apenas uma pergunta: “você recomendaria 
a Netfics para um parente, amigo ou colega?”, e a 
resposta deveria ser “Sim” ou “Não”. Para poder analisar os resultados, a Netfics pediu uma 
segmentação por tipo de equipamento preferencialmente usado para acessar o conteúdo e 
obteve as seguintes informações:
Foram ouvidos 4.000 clientes
1.200 clientes disseram “Não”
1.400 clientes usam computador para acessar o conteúdo
400 usuários não satisfeitos usam computador
A Netfics deseja saber quantos clientes usam smartphone e disseram “Sim”.
Este problema tem duas características que o torna muito diferente do problema anterior:
Os conjuntos são definidos em função de dois atributos diferentes:
-A resposta (“Sim”/ “Não”) e
-O tipo de equipamento que usa mais (Smartphone / computador)
Os conjuntos não admitem interseção (dizemos que as opções são mutuamente excludentes):
-Os clientes ou responderam “Sim” ou responderam “Não”
-Os clientes ou preferem Smartphone ou preferem computador
Para problemas assim, a melhor forma de resolver é através de “tabelas de contingência”, onde 
usamos as linhas para um dos atributos e a coluna para o outro.
Pelos dados do problema:
4.000 clientes no total;
1.200 disseram “Não”, sabemos a partir dessa informação que 2800 disseram sim.
1.400 preferem computador
400 disseram “Não” e preferem computador, logo sabemos que 1000 disseram “Sim” e preferem 
o computador.
Agora vamos organizar os dados na tabela de contingência (Figura 1.18).
Figura 1.18: Tabela de Contingência
 
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Como queremos descobrir o quantos clientes usam smartphone e disseram “Sim”, a partir 
dos dados apresentados na tabela de contingência, temos que se 1000 clientes disseram 
sim ao computador e que 2800 clientes disseram sim, então 2800-1000 = 1800, logo 1800 
clientes que usam smartphone e disseram “Sim”.
Unidade
1Lógica matemática e teoria dos conjuntos
38
3. CONjUNTOS NUMÉRICOS
Números Naturais 
 Fonte: Wikipédia.
Neste tópico vamos abordar os conjuntos numéricos: Naturais, Inteiros, Racionais e Reais, 
iremos também estudar as operações fundamentais em cada uma desses conjuntos. Estes estudos são 
fundamentais, pois constituem a base matemática para os demais conteúdos.
Os Números e o Conjunto dos Naturais
Os números têm propriedades que os diferenciam em cinco conjuntos fundamentais: naturais, 
inteiros, racionais, reais e complexos. As propriedades que diferenciam estes conjuntos numéricos 
estão associadas com a evolução histórica dos números e do uso que os seres humanos deram para os 
números.
Esta evolução e a especificação dos conjuntos numéricos também é dada pelas operações 
matemáticas elementares:
•	 Adição, Multiplicação, Subtração e Divisão.
•	 E pelas operações de Potenciação e Radiciação.
O conjunto dos naturais, representado por , nasceu com a necessidade fundamental de 
contagem.
O conjunto dos naturais é: N = {0; 1; 2; 3; 4; ...} e provavelmente foi criado por pastores de ovelha 
ou similar, que precisavam contar o rebanho para garantir que não tinham perdido nenhum animal; 
eles não conheciam os números, então provavelmente associavam cada animal a uma pequena pedra 
que carregavam em uma bolsa; o número 0 e o número 1 não foram criados neste momento, pois não 
havia a necessidade de contagem nestes casos. Estes números aparecem depois, com o desenvolvimento 
da matemática (IEZZI, 2013).
Lógica matemática e teoria dos conjuntos
39
Unidade
1
Operações Matemáticas em 
A Figura 1.19 mostra as propriedades do conjunto dos números naturais.
Figura 1.19: Propriedades dos Números Naturais
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
A propriedade do fechamento informa que se adicionarmos ou multiplicarmos dois números 
naturais, o resultado ainda será um número natural.
A subtração em 
O resultado de uma subtração de dois números naturais nem sempre será um número natural, 
como é o caso de 5 - 7 = -2, embora 5 e 7 sejam números naturais o resultado -2 não é, pois o conjunto 
dos naturais não possui números negativos nem números fracionários. Sempre que o subtraendo 
(segunda parcela) for maior do que o minuendo (primeira parcela), o resultado será um número 
negativo, que não pertence ao Conjunto dos Números Naturais. Subtrações assim não são naturais, 
ou seja, não aparecem a partir da relação natural de contagem: o pastor de ovelhas quando perdia 
uma parte do seu rebanho por causa de um ataque de animais selvagens, doença ou outro mal 
qualquer, nunca perdia mais do que tinha. Portanto, a subtração não está bem definida em N porque 
a propriedade de fechamento não é verificada.
O Conjunto dos Números Inteiros 
O conjunto dos números inteiros, representado , surge para fechar a operação de subtração 
(incluir todos os resultados possíveis desta operação), então o conjunto dos inteiros é: Z = {..., -3, -2, 
-1, 0, 1, 2, ...} e este conjunto tem uma característica importante, os números são simétricos em relação 
à origem, conforme a Figura 1.20.
Unidade
1Lógica matemática e teoria dos conjuntos
40
Figura 1.20: Números Inteiros
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Subconjuntos Notáveis de 
A partir do conjunto dos números inteiros, conseguimos vários subconjuntos importantes, que 
chamaremos de subconjuntos notáveis:
•	 Conjunto dos Números Inteiros não Negativos: = {0, 1, 2, 3, ...} = ;
•	 Conjunto dos Números Inteiros não Positivos: = {..., -3, -2, -1, 0};
•	 Conjunto dos Números Inteiros não Nulos: = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...};
•	 Conjunto dos Números Inteiros Positivos: 
•	 Conjunto dos Números Inteiros Negativos: 
Operações Matemática em 
As operações de adição e multiplicaçãoestão bem definidas em , e valem as mesmas propriedades 
que valeram em . Além das propriedades definidas em , acrescenta-se uma propriedade da adição, 
conforme a Figura 1.21.
Figura 1.21: Números Inteiros
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Lógica matemática e teoria dos conjuntos
41
Unidade
1
É possível definir a operação de subtração como uma extensão da adição: a - b = a+(-b), ou seja, 
a subtração é definida como a adição de um número com um simétrico.
Você verá em muitas situações no seu cotidiano que 
o conjunto dos números inteiros estará presente. Ao 
observar o seu extrato bancário, você vai perceber 
uma sequência de saques, depósitos, transferências, 
pagamentos entre outras operações que ao final podem 
resultar um saldo negativo, ou seja, o que você gastou 
ultrapassou o que você tinha.
 Fonte: Elaborado pela autora.
A Divisão em 
O resultado da divisão de dois números inteiros pode não ser um número inteiro, como é o caso 
da divisão 3÷2 = 1,5, não pertence ao conjunto dos números inteiros.
Quando o resultado de uma divisão é um número inteiro, dizemos que o dividendo é um 
múltiplo do divisor, por exemplo: 6 ÷ 2 = 3 ⇒ 6 é múltiplo de 3 e 3 é um divisor de 6, o mesmo ocorre 
para 15 ÷ 3 = 5 ⇒ 15 é múltiplo de 3 e 3 é um divisor de 15.
Porém, muitas divisões não possuem resultados inteiros, como é o caso de 3 ÷ 2 = 1,5, então 
para fechar a operação de divisão (incluir os resultados que também não são inteiros), foi necessário 
criar um novo conjunto, o conjunto dos números racionais.
O Conjunto dos Números Racionais 
Este conjunto contém os números que são resultados de todas as razões (frações/divisões) 
possíveis:
Temos na definição acima que o conjunto dos números racionais é representado por uma fração 
na qual: a que é o numerador pertence ao conjunto dos números inteiros e b que é o denominador 
pertence aos inteiros sem o zero.
Frações:
Unidade
1Lógica matemática e teoria dos conjuntos
42
Do mesmo jeito que foi definido para os inteiros, também são definidos para os racionais:
•	 Conjunto dos Números Racionais não Negativos: ;
•	 Conjunto dos Números Racionais não Positivos: ;
•	 Conjunto dos Números Racionais não Nulos: ;
•	 Conjunto dos Números Racionais Positivos: 
•	 Conjunto dos Números Racionais Negativos: 
Operações Matemáticas em 
As operações de adição, multiplicação e subtração estão bem definidas em . Além das 
propriedades definidas em , acrescenta-se agora a propriedade da multiplicação apresentada na 
Figura 1.22:
Figura 1.22: Simétrico
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
A operação de divisão é definida como:
Exemplo:
 
Os Conjuntos Numéricos e os Domínios de Problemas do Mundo Real
Agora você verá várias situações e deverá classificar cada uma das situações nos seus respectivos 
conjuntos numéricos. Uma dica importante é relembrar as principais características de cada um dos 
conjuntos numéricos.
Nos casos a seguir, X pertence a qual conjunto numérico?
Lógica matemática e teoria dos conjuntos
43
Unidade
1
1 Se X é a quantidade de funcionários da empresa que faltam em certo dia.
2 Uma loja as vezes vende produtos em quantidade maior do que tem no estoque. Nestes casos, 
quando o estoque é reposto, os produtos que já foram vendidos são entregues primeiro antes de novas 
vendas. Seja X o estoque líquido dessa loja, ou seja, o estoque físico menos a quantidade total vendida.
3 Na análise química de um produto é importante discriminar a quantidade de certos 
componentes. No caso da cerveja, seja X a quantidade de gramas de cereais diferentes da cevada que 
está contida em cada grama do produto.
No primeiro caso temos que os funcionários que faltam em determinado dia em uma empresa 
não podem ser representados por números negativos nem números fracionários, logo X .
Já na segunda situação o estoque líquido é representado pelo estoque físico menos a quantidade 
total vendida e o problema nos informa que a loja as vezes vende uma quantidade maior do que tem 
no estoque, logo X .
No último caso, a quantidade em gramas de cereais pode ser fracionária, porém não pode ser 
negativa, não podemos colocar, por exemplo menos 2 cereais, logo X .
Dízimas Periódicas
Uma dízima periódica é um número racional que quando escrito no sistema decimal apresenta 
uma série infinita de algarismos decimais que, a partir de um certo algarismo, se repetem em grupos 
de um ou mais algarismos, ordenados sempre na mesma disposição e chamados de período.
Exemplos:
1 0,666666... , algarismo que se repete é o 6.
2 3,4545..., algarismo que se repete é 45.
3 1,201201201..., algarismo que se repetem é 201.
Nos exemplos a segue vamos calcular a fração geratriz de cada dízima periódica, sendo assim, 
fração geratriz é a fração que gerou uma dízima periódica.
Observe na Figura 1.23 que x foi multiplicado por 10, mas por que a multiplicação foi feira 
por 10? Esta multiplicação é baseada nos números que se repetem, por exemplo, como apenas um 
número foi repetido (número 3), então multiplica-se por 10. Se dois números estivessem se repetindo 
na dízima periódica, então multiplicaríamos por 100, se três números se repetissem na dízima, então 
multiplicaríamos por 1000 e assim por diante. O objetivo dessa multiplicação é ficar com um número 
inteiro como resultado da subtração, veja que foi feito 3,3333... – 0,3333... = 3, ficamos com 3 como 
resultado da subtração.
Unidade
1Lógica matemática e teoria dos conjuntos
44
Figura 1.23: Fração Geratriz
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Já na Figura 1.24 x foi multiplicado por 100, pois a dízima periódica possui dois números que 
repetem. Note que o resultado da subtração é também um número inteiro e x = é a fração que 
gerou a dízima periódica 2,3535... .
Figura 1.24: Fração Geratriz
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Note que na Figura 1.25 é apresentado um caso diferente dos anteriores. Neste caso a repetição 
não se inicia logo após a vírgula, então a estratégia utilizada foi inicialmente multiplicar x por 1000, 
pois a repetição se iniciava após três números não repetidos (334), após a multiplicação ficamos com 
o número 334,657657...que apresenta a repetição logo após a vírgula, e essa repetição é feita a partir de 
três números 657, logo devemos multiplicar novamente por 1000. Observe que a subtração é sempre 
feita entre números que possuem a repetição logo após a vírgula.
Figura 1.25: Fração Geratriz
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Lógica matemática e teoria dos conjuntos
45
Unidade
1
Conjunto dos Números Irracionais I
O conjunto dos números irracionais é formado por todos os números cuja expansão decimal 
não é finita nem periódica, ou seja, os números irracionais têm a característica de serem infinitos e 
não periódicos. Temos dois tipos de números irracionais:
1. Algébricos (Raízes): = 1; 414214...; = 1; 912931...
2. Números Transcendentes: = 3,141593..., e = 2; 7182818.
 O número e é chamado de Número de Euler.
Leonhard Paul Euler  nasceu em 
Basileia,  15 de abril  de  1707    –São 
Petersburgo,  18 de setembro  de  1783) foi 
um matemático e físico suíço de língua alemã que 
passou a maior parte de sua vida na  Rússia  e 
na  Alemanha. Euler trabalhou em quase todas 
as áreas da matemática:  geometria,  cálculo 
infinitesimal, trigonometria, álgebra e teoria dos números, bem como deu continuidade 
na física, newtoniana, teoria lunar e outras áreas da física. É uma figura seminal na história 
da matemática, e suas obras, muitas das quais são de interesse fundamental, ocupam 
entre 60 e 80 volumes. O nome de Euler está associado a um grande número de temas. 
Euler é o único matemático que tem dois números em homenagem a ele: O número e, 
aproximadamente igual a 2,71828, e a constante de Euler-Mascheroni γ (gama) porvezes 
referida apenas como “constante de Euler”, aproximadamente igual a 0,57721. Não se sabe 
se γ é racional ou irracional.
Fonte: WIKIPEDIA.
Cuidado para não generalizar e entender que toda raiz é um número irracional, , que 
não é um número irracional e sim natural.
Conjunto dos Números Reais
O conjunto dos números reais é o conjunto universo da maior parte dos problemas por incluir 
todos os números, pois é resultado da união do conjunto dos racionais e dos irracionais: .
A Figura 1.26 ilustra o conjunto dos números reais como sendo a união dos racionais (perceba 
que os naturais e inteiros estão contidos no conjunto dos racionais).
Unidade
1Lógica matemática e teoria dos conjuntos
46
Figura 1.26: Conjuntos de Números Reais
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
O conjunto dos números reais não é o mais amplo na matemática, existem também:
•	 Conjunto dos hiper-reais, que inclui o infinito e o infinitésimo;
•	 Conjunto dos Números Complexos;
•	 As extensões algébricas dos complexos: os hiper-complexos, os quatérnios, os complexos 
hiperbólicos, etc.
Entretanto, estes macro-conjuntos são muito abstratos e com aplicações muito específicas. Não 
fazem parte do escopo deste curso.
Intervalos Numéricos
Os intervalos numéricos podem ser representados por retas numéricas. Tem-se o intervalo 
aberto de a a b, representado por (a; b).
Este intervalo contém todos os números que satisfazem determinadas condições, com exceção de 
a e b que são os extremos do intervalo. O conjunto que queremos são todos os números reais tais que 
a < x < b, ou seja, o número que queremos encontra-se no intervalo entre a e b. Confira a Figura 1.27.
Figura 1.27: Intervalo Aberto
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Lógica matemática e teoria dos conjuntos
47
Unidade
1
Por exemplo, o intervalo (2,5) contém todos os números entre dois e 5, exceto 2 e 5. O número 
2,000125 pertence a esse intervalo, já o número 5,00001 não pertence a esse intervalo.
Intervalo fechado de a a b é denotado por [a,b], é o conjunto de todos os números reais tais que 
a ≤ x ≤ b. Neste caso os extremos do intervalo entram como resposta do problema. Na Figura 1.28 as 
bolinhas onde estão os números a e b estão totalmente preenchidas, esta notação é utilizada quando o 
intervalo é fechado. Outra notação importante para intervalos fechados é a utilização dos símbolos ≤ 
(menor ou igual) e ≥ (maior ou igual).
O intervalo [5,9], é o conjunto de números que se inicia no 5 e vai até o 9, sendo que 5 e 9 fazem 
parte deste intervalo, números menores que 5 e maiores que 9 não fazem parte do intervalo [5,9].
Figura 1.28: Intervalo Fechado
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Intervalo semiaberto aberto à esquerda de a e fechado à direita de b, denotado por (a,b], é 
o conjunto de todos os números reais tais que a < x ≤ b. Neste caso o número a não faz parte do 
intervalo, e sim todos os números maiores que a e menores ou iguais a b (Figura 1.29).
Figura 1.29: Intervalo Semiaberto Aberto à Esquerda
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Intervalo semiaberto fechado à esquerda de a e aberto à direita de b, denotado por [a,b), é o 
conjunto de todos os números reais tais que a≤ x < b. Já neste tipo de intervalo, o número a faz parte 
do intervalo e o número b não (Figura 1.30).
Unidade
1Lógica matemática e teoria dos conjuntos
48
Figura 1.30: Intervalo Semiaberto Fechado à Direita
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Observe que em todos os casos de intervalos, o intervalo de interesse está destacado em vermelho. 
O mesmo vai ocorrer para os intervalos infinitos, que iremos estudar agora.
Intervalos Infinitos
Vamos estudar os intervalos chamados de intervalos infinitos, pois temos interesse em todos os 
números de um conjunto que tem início em um determinado número e continuam infinitamente para 
todos os valores maiores ou menores que este número.
A Figura 1.31 apresenta os tipos de intervalos infinitos que você pode se deparar ao resolver 
exercícios. O primeiro caso apresenta um intervalo fechado à direita e que na esquerda vai até 
, isso significa que todos os número menores ou iguais a b são do nosso interesse. O segundo caso é 
semelhante ao primeiro, com a diferença de que o intervalo é aberto à direita. Os dois últimos casos 
são intervalos fechados e abertos à esquerda, respectivamente e que continuam até - .
Figura 1.31: Intervalos Infinitos
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Lógica matemática e teoria dos conjuntos
49
Unidade
1
4. Potência
Cubo 
 Fonte: Wikipédia
Uma potência é uma multiplicação de fatores iguais. O fator que está sendo multiplicado por ele 
mesmo é chamado de base e a quantidade de vezes que a base se repete na multiplicação é chamada de 
expoente, ao resultado dessa multiplicação chamamos de potência (IEZZI, 2012).
an = a.a.a....a onde a se repete n vezes.
Neste caso a é a base, pois é o valor que se repete e n é o expoente, pois é a quantidade de vezes 
que a base se repete.
Exemplos:
a) 34 = 3x3x3x3 = 81, neste caso, 3 é a base, 4 é o expoente e 81 é a potência.
b) (-5)3 = (-5)x(-5)x(-5) = -125, em que (-5) é a base, 3 o expoente e -125 a potência.
Unidade
1Lógica matemática e teoria dos conjuntos
50
Potência de Expoente Natural
A seguir vamos apresentar algumas definições que são importantes para você. Por definição a1 = 
a, ou seja, todo número elevado a 1 resulta nele mesmo, e se a 6= 0; a0 = 1, todo número (diferente de 
zero) elevado a zero resulta em 1.
Exemplos:
a. 41 = 4, todo número elevado a 1 resulta nele mesmo.
b. 01 = 0
c. (-1)1 = -1
d. 60 = 1, todo número (diferente de zero) elevado a zero resulta em 1.
e. (-3)0 = 1
f. 10 = 1
Propriedades de Potências
Multiplicação de potências de mesma base: an.am = an+m .Na multiplicação de potências de 
mesma base devemos conservar a base e adicionar os expoentes.
Exemplos:
Potência de Potência: (an)m = am.n.
Exemplos:
Exemplo:
Potência de uma Fração: . Na potência de uma fração o expoente deve ser distribuído 
tanto para o numerador, quanto para o denominador, então efetuamos as operações de potências 
normalmente.
Lógica matemática e teoria dos conjuntos
51
Unidade
1
Exemplos:
Potência de Expoente Negativo
Vimos as propriedades para potências quando o expoente é natural, e quando o expoente é um 
número negativo, o que acontece?
Seja a um número real diferente de zero, então a-n = . Podemos dizer que o expoente negativo 
vai “inverter” a fração, o numerador vira denominador e o denominador vira numerador. Atenção, se 
a fração não possui denominador é por que ele é representado pelo número 1.
Exemplos:
Divisão de Potência de Mesma Base
Na divisão de potência de mesma base devemos conservar a base e subtrair os expoentes.
Exemplos:
Raiz Quadrada
Se a ≥ 0, a raiz quadrada de a é o número positivo b tal que b² = a: = b b² = a.
Então, um número possui raiz quadrada exata quando podemos escrevê-lo em forma de uma 
potência de expoente 2.
Unidade
1Lógica matemática e teoria dos conjuntos
52
Exemplos:
Propriedades
Se a e b são números positivos, então:
Exemplos:
Exemplos:
Exemplos:
Exemplos:
Outras Propriedades
A raiz de índice n de um número real a é representada e definida por: 
i. Se n é par, a deve necessariamente ser positivo; é o número positivo b tal que
Lógica matemática e teoria dos conjuntos
53
Unidade
1
bn = a. Este item nos informa que sempre que n for um número par, o número a dentro da raiz 
deve ser positivo. Exemplo:, como o índice da raiz é um número par (4), então o número dentro 
da raiz é um número positivo (16). Para o cálculo desta raiz devemos perguntar “qual número que 
elevado à quarta potência resulta em 16?”. Então o resultado é 24 = 16. Outro exemplo é: , “qual 
número que elevado à sextapotência resulta em 729?”, temos como resultado: 36 = 729.
ii Se n é ímpar, a pode ser positivo ou negativo; é o número b tal que bn = a. E neste caso: 
Se a é positivo, então b é um número positivo. Exemplo: , “qual número que elevado à 
terceira potência resulta em 27?”, o resultado será 33 = 27. Outro exemplo: , “qual número que 
elevado à quinta potência resulta em 32?”, o resultado será 25 = 32.
Se a é negativo, então b é um número negativo. Exemplo: , “qual número que elevado 
à terceira potência resulta em -27?”, o resultado será (-3)3 = -27. Outro exemplo: , “qual 
número que elevado à quinta potência resulta em -32?”, o resultado será (-2)5 = -32.
Radiciação como Potência de Expoente Racional
Seja a um número real positivo e n um número inteiro positivo, então: ,para os 
próximos exercícios iremos suprimir o expoente 1 em a, ele foi colocado para você compreender 
onde o número 1 está, então utilizaremos apenas , podemos escrever a1 = a, pois como já 
estudamos, todo número elevado a 1 resulta nele mesmo.
Exemplos:
Radiciação: Propriedades
Sejam a e b números positivos, n e m são números naturais não nulos, então:
Exemplo:
Exemplo:
Unidade
1Lógica matemática e teoria dos conjuntos
54
Exemplo:
Exemplo:
Exemplo:
Exercícios:
Utilizando as propriedades estudadas, determine os valores das potências abaixo:
Lógica matemática e teoria dos conjuntos
55
Unidade
1
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Lembrando que um cubo é um sólido geométrico formado por 6 faces que são quadrados, 
e a área de um quadrado de lado a é calculado por a².
Para calcular o custo do fundo temos a informação que a matéria-prima utilizada no 
fundo tem custo R$200,00 por m², então temos:
Custo do Fundo = 200. (0,5²), ou seja, 200 reais (custo) multiplicado pela área do fundo, 
o resultado é R$50, 00.
Custo das Laterais = 80. [4. (0, 5²)] = 80, aqui você percebeu que multiplicamos o
custo da matéria-prima utilizada na lateral por 4. (0,5²), ou seja, multiplicamos a área de 
cada lateral por 4, pois o cubo possui 4 laterais.
Custo da Tampa = 80. (0,5²) = 20.
Custo Total = 50 + 80 + 20 = R$150, 00.
A LCL Cartonagem S.A. fabrica uma embalagem 
especial, utilizada na indústria eletrônica. Devido 
ao peso das peças que são acondicionadas nessa 
embalagem, o fundo é preparado com uma base 
metálica e as laterais e a tampa são feitas de papelão. 
A matéria-prima utilizada no fundo tem um custo de 
R$200; 00 por m², a das laterais e da tampa R$80; 00 
por m². Sabendo-se que a embalagem deve ser um cubo de 50cm de lado, calcule o custo 
da matéria-prima utilizada nessa embalagem. Queremos saber o custo dessa embalagem 
que possui forma de um cubo conforme a Figura 1.32.
Figura 1.32: Cubo caso LCL
Unidade
1Lógica matemática e teoria dos conjuntos
56
CONCLUSÃO
Nesta unidade você conheceu a lógica de conjuntos e aprendeu como operar com cada uma 
das proposições, atribuindo valores lógicos a cada uma delas. Aprofundou seus conhecimentos 
sobre conjuntos, utilizando linguagem simbólica e conjuntos numéricos e também estudou sobre as 
potências, assunto com grande aplicação na Matemática.
REFERÊNCIAS
DOCI, Osvaldo; IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar vol. 
2 – Logaritmos. 10ª ed. Rio de Janeiro: Atual, 2013.
IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar vol. 4 – Sequências, matrizes, determinantes 
e sistemas. 8ª ed. Rio de Janeiro: Atual, 2012.
______. Fundamentos de Matemática Elementar vol. 6 – Complexos, Polinômios, Equações. 8ª ed. 
Rio de Janeiro: Atual, 2013. 
______. Fundamentos de Matemática Elementar vol. 5 – Combinatória e Probabilidade. 8ª ed. Rio 
de Janeiro: Atual, 2013.
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar vol. 1 - Conjuntos – 
Funções. 9ª ed. Rio de Janeiro: Atual, 2013. 
LACHTERMACHER, Gerson; COELHO, Paulo Sérgio de Souza. Matemática I. Rio de Janeiro: 
Editora FGV, 2017.
WAGNER, Eduardo. Matemática I. Rio de Janeiro: Editora FGV, 2011.
Unidade
2
Objetivos de aprendizagem 
da unidade
• Reconhecer os problemas de contagem no cotidiano e 
saber organizar agrupamentos
• Reconhecer quando uma sequência é finita e quando é 
uma Progressão aritmética (Pa)
• Reconhecer uma progressão geométrica (Pg) e operar 
com ela
Professora mestre mariana Rodrigues barbosa dos santos
PROblemas De CONTagem 
e seqUêNCIas
Unidade
2Problemas de contagem e sequências
58
INTRODUÇÃO 
Nesta unidade estudaremos alguns assuntos muito presentes no seu cotidiano como, por exemplo, 
decidir a melhor combinação de roupas para vestir, ou a melhor forma de compor os elementos de seu 
prato a partir da disponibilidade dos pratos quentes e frios de uma restaurante.
Você também estudará as sequências numéricas e suas aplicações, verá a relação entre alguns 
tipos especiais de sequências e as operações de juros simples e compostos.
1. PROblemas De CONTagem 
Combinação de possibilidades para formar senhas 
 Fonte: Pixabay.
Princípio Fundamental da Contagem
Os problemas de contagem estão presentem em nossas vidas em diversas situações cotidianas, 
por exemplos, ao acordar você estuda quais são as possibilidades que tem para escolher uma camiseta, 
uma bermuda e um sapato; quando você vai a um restaurante e tem várias possibilidades de combinar 
as refeições disponíveis.
Problemas de contagem e sequências
59
Unidade
2
Veja a situação a seguir:
exemplo:
1. Paulo, Camila e Maria formam a equipe de analistas de certo departamento. O chefe deles, 
Gustavo, resolveu que dois dos 3 analistas deveriam ser selecionados para fazer um curso de extensão. 
Quantas são as opções de Gustavo?
Solução:
As opções são:
•	 Paulo e Camila
•	 Paulo e Maria
•	 Camila e Maria
Seria tão fácil assim se no departamento de Gustavo houvesse 30 analistas? E se a seleção fosse 
de 10 destes?
Vemos aqui que os problemas de contagem podem apresentar uma quantidade grande de 
possibilidades, então estudar estratégias para a resolução destes tipos de problemas traz para nós 
facilidades nos cálculos e resolução dos problemas. Veja a segunda situação:
2. Se no departamento existem 30 analistas e Gustavo precisa selecionar 10 analistas para fazer 
um curso, então na hora de fazer as escolhas as opções são (Figura 2.1):
Figura 2.1: Problema de Contagem
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
A quantidade de opções ao todo é calculado fazendo a multiplicação das possibilidades:
30x29x28x27x26x25x24x23x22x21 = 109.027.350.432.000
Cento e nove trilhões vinte e sete bilhões trezentos e cinquenta milhões quatrocentos
e trinta e duas mil opções diferentes.
Unidade
2Problemas de contagem e sequências
60
Contando pares ordenados
Considerando dois conjuntos: A = {a1; a2; a3;...; am}, com m elementos e B = {b1; b2; b3; ...; 
bn}, com n elementos. É possível formar mxn pares ordenados do tipo (ai; bj) em que ai ∈ A e bj ∈ B.
A partir dessa ideia de conjuntos, vamos introduzir o princípio fundamental da contagem.
Princípio Fundamental da Contagem
Considerando r conjuntos:
Considerando r-uplas ordenadas (sequencias com r elementos) do tipo (ai; bj ; ...; xp)
Com: ai ∈ C1, bj ∈ C2, ..., xp ∈ Cr.
A quantidade de r-uplas é igual a n1.n2. ... nr. (Multiplicação da quantidade de elementos).
Vamos analisar um exemplo para ficar claro essa questão de multiplicação de possibilidades.
No guarda-roupas de Paulo existem 10 camisas, 5 
bermudas e 3 pares de sapatos.
De quantas formas diferentes Paulo pode se vestir 
(considerando que Paulo sempre veste uma camisa, 
uma bermuda e 1 par de sapatos)?
O problema equivale a montar uma tripla ordenada 
(ci; bj ; sk), onde:
•	 ci é uma das camisas, ou seja, ci ∈ C, o conjunto de camisas, que tem 10 elementos;
•	 bj é uma das bermudas, então bj ∈ B, que tem 5 elementos
•	 sk é um dos pares de sapato, então sk ∈ S, que tem 3 elementos
Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, há 10x5x3 = 150 maneiras diferentes 
paraPaulo se vestir.
Fonte: Elaborado pela autora.
Problemas de contagem e sequências
61
Unidade
2
arranjo
arranjo com Repetição
Utilizamos o arranjo para obter a quantidade de agrupamentos possíveis para organizar 
elementos de um determinado conjunto. Os agrupamentos nos quais a ordem dos termos importa, 
são denominados de arranjo. Por exemplo, você deve escolher 3 algarismos para formar um número, 
se você escolher 321 e 123, você escolheu os mesmos algarismos, porém a ordem desses algarismos 
formou dois números diferentes (DOCI; IEZZI; MURAKAMI, 2013). Veja a seguinte situação:
Aquela loja de ternos oferece apenas três opções de cores:
•	 Azul marinho (A)
•	 Grafite (G)
•	 Preto (P)
De quantas maneiras diferentes é possível que os dois primeiros clientes de amanhã venham a 
escolher a cor de seu terno?
Pelo princípio fundamental da contagem temos que montar pares (ai; aj), sendo ai ∈ T e aj ∈ T 
(T = A; G; P é o conjunto de cores dos ternos).
Temos então: 3 possibilidades de cor para o primeiro cliente escolher o terno e 3 possibilidade 
de cores para o segundo cliente escolher o terno. Ou seja, pelo princípio fundamental da contagem 
temos 3x3=9 possibilidades.
Esse é um caso de um arranjo com repetição, onde podemos repetir possibilidades em cada uma 
das opções.
Considere que se deseja formar uma r-upla -sequência com r elementos extraídos de um 
conjunto M, que possui ao todo m elementos. Se os elementos puderem ser repetidos, esta r-upla é 
chamada de Arranjo com Repetição.
A quantidade de diferentes arranjos com repetição que podem ser formados em um cenário 
como este é:
ARm;r = mr
Lê-se: o Arranjo com Repetição de m elementos tomados r a r é igual a mr.
O que acontece se quisermos analisar as opções de 10 clientes? Temos ainda m =3
(opções de cores dos ternos), mas agora r = 10 (quantidades de clientes). Aplicando a fórmula 
que estudamos para arranjo com repetição:
ARm;r = mr
AR3;10 = 310 = 59.049
E se considerarmos que a loja tem 8 diferentes opções de cores ternos? Temos agora m=8 (opções 
de cores dos ternos)
Considerando ainda r=10 (quantidades de clientes)
AR8;10 = 810 = 1.073.741.824
Vamos analisar outra situação que temos arranjo com repetição:
Unidade
2Problemas de contagem e sequências
62
O CPF - Cadastro de Pessoa Física, é uma sequência 
de 9 dígitos. Há dois dígitos a mais que são definidos 
com base nos outros 9 - os dígitos verificadores. 
Considerando que os 9 dígitos do CPF podem ser 
distintos ou não, e que cada um deles pode assumir 
qualquer valor, qual é a quantidade total de CPF que 
podem ser formados?
Neste caso temos que a sequência dos 9 dígitos que formam o CPF podem ser números 
repetidos, então temos um arranjo com repetição. Temos à disposição 10 algarismos {0; 
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} então para o primeiro dígito podemos utilizar 10 algarismos, para o 
segundo dígito dez algarismos e assim por diante até o nono dígito. O CPF é um Arranjo 
com Repetição, de 10 dígitos (M = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}) com 9 repetições, R = 9.
ARm;r = mr
AR10;9 = 109 = 1:000:000:000
Fonte: Elaborado pela autora.
exemplos:
1. Um restaurante tem 8 portas, mas nem sempre estão todas abertas. De quantas maneiras esse 
restaurante pode estar aberto?
Se pensarmos que cada porta pode estar aberta ou fechada, temos duas possibilidades em oito 
combinações, logo:
ARm;r = mr
AR2;8 = 28 = 64
Estas são todas as possibilidades do restaurante estar com as portas abertas ou fechadas, porém 
o exercício quer saber quantas são as possibilidades do restaurante estar aberto, logo a possibilidade de 
todas as portas estarem fechadas deve ser excluída. Só há uma possibilidade de todas as portas estarem 
fechadas, então as possibilidades são: 64 - 1 = 63 possibilidades.
2. Eu posso receber até 5 convidados na piscina do condomínio. De quantas maneiras distintas 
posso convidar 5 amigos para passar um dia comigo?
Vamos utilizar neste exemplo o mesmo raciocínio do exemplo anterior, para cada pessoa tenho 
a possibilidade de convidar ou não essa pessoa. Então temos:
ARm;r = mr
AR2;5 = 25 = 32
Nas 32 possibilidades temos que excluir a possibilidade de não convidar ninguém, então tenho 
32 - 1 = 31 possibilidades de convidar um amigo para passar o dia comigo.
Problemas de contagem e sequências
63
Unidade
2
arranjo sem Repetição
Agora vamos estudar os casos nos quais não podemos repetir as possibilidades em um arranjo.
Voltando àquela loja de ternos, com apenas três opções de cores (A, G e P). Considerando que 
só há uma unidade de cada cor em estoque. De quantas maneiras diferentes é possível que os dois 
primeiros clientes de amanhã venham a escolher a cor de seu terno?
Pelo princípio fundamental da contagem temos que montar pares (ai; aj).
O primeiro cliente tem à disposição 3 cores, porém o segundo cliente tem apenas duas cores à 
disposição, pois o primeiro cliente comprou uma das três cores. Então, as possibilidades são 3x2=6. 
Perceba que aqui não estamos focados em determinar quais cores foram vendidas e quais ainda restam, 
nosso objetivo é determinar o total de possibilidades.
Considere que se deseja formar uma r-upla -sequência com r elementos extraídos de um 
conjunto M, que possui ao todo m elementos. Se os elementos não puderem ser repetidos, esta r-upla 
é chamada de Arranjo (ou Arranjo sem Repetição). A quantidade de diferentes arranjos sem repetição 
que podem ser formados em um cenário como este é:
Aqui você precisa conhecer um conceito importante, fatorial. O fatorial na matemática é 
representado pela exclamação e é uma multiplicação decrescente, então:
 n! = n.(n - 1).(n - 2).(n - 3)...4.3.2.1.
 Outro fato importante que você precisa saber é que 1! = 1 e 0! = 1. Veja os exemplos a seguir:
exemplos:
1. 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720;
2. 10! = 10.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3.628.800.
Aplicando a fórmula para o caso da escolha dos ternos, temos que m = 3 cores e
r = 2 formas para escolher os ternos.
Unidade
2Problemas de contagem e sequências
64
O Caso do Cadeado de segredo
Um cadeado de segredo tem três discos numerados de 0 a 9. Quantas combinações diferentes 
podem ser feitas com estes discos?
Neste caso o problema não nos informou que os números devem ser diferentes, então temos um 
caso de arranjo com repetição, em que m = 10 e r = 3
Porém, e se houver um dispositivo que não permita que os dígitos sejam repetidos?
exemplos:
1. Uma equipe de vendas tem 20 funcionários e premia o vendedor que mais vende com R$1.000, 
o 2° maior vendedor com R$500 e o 3°, com R$200.
Para este tipo de problema, queremos premiar pessoas, logo sabemos que precisamos de 
primeiro, segundo e terceiro lugar e esses lugares não podem ser ocupados pelas mesmas pessoas, 
então temos um arranjo sem repetição. Temos 20 funcionários para formar grupos de 3 pessoas.
Nestes exemplos, utilizamos uma estratégia na qual não é necessário desenvolver todo o fatorial, 
pois a multiplicação ficaria muito grande, então escolhemos desenvolver o fatorial do numerador até 
o mais número do denominador, que no caso é 17. Porém, como o fatorial não foi completamente 
desenvolvido e paramos no 17, não podemos tirar a “!”, a “!”só pode ser retirada quando o fatorial é 
completamente desenvolvido, ou seja, a multiplicação decrescente vai até 1.
Solução: vamos seguir a sequência de 3 passos:
1 Quantos números há de 4 algarismos, com ou sem repetição? É necessário descartar os que 
começam com 0, pois um 0 a esquerda significa que o número tem apenas 3 algarismos
2 Quantos números há de 4 algarismos, sem repetição?
3 A quantidade procurada é a diferença dos números acima.
Problemas de contagem e sequências
65
Unidade
2
Vamos agora resolver cada um dos passos:
1. Quantos números há de 4 algarismos?
Neste primeiro passo queremos saber o total de números formados com 4 algarismos, então 
utilizando o princípio fundamental da contagem temos: 10.10.10.10 = 10.000 números. Porém 
precisamos excluir dessa quantidade todos os números que se iniciam com zero (zerona casa das 
unidades de milhar). Para isso temos que o zero deve ocupar a primeira posição e nas outras três 
posições os números 0; 1; 2; ...; 9 serão colocados, ou seja, 10 possibilidades: 1.10.10.10 = 1000. Perceba 
que o número 1 foi colocado na primeira posição, pois desejamos que apenas um número ocupe este 
lugar, que é o número zero. Então das 10.000 possibilidades iremos excluir as 1.000 possibilidades de 
números com zero na casa das unidades de milhar, restando assim 9.000 possibilidades.
2. Quantos números há de 4 algarismos sem repetição?
Primeiro vamos calcular o total de possibilidade de números com 4 algarismos. Temos então: 10 
algarismos possíveis para organizar em grupos com 4 números.
Precisamos também saber quantos números de 4 algarismos sem repetição começam com 0. 
Neste caso, para a primeira posição (casa das unidades de milhar), deixaremos o zero fixado e para as 
outras três posições (centena, dezena e unidade) teremos os números 1,2, 3, 4, 5, 6,7, 8,9 disponíveis. 
Resumindo: temos 9 números para organizar em 3 lugares (lembre-se que o quarto lugar já está 
ocupado com o zero).
Como temos um total de 5:040 números sem repetição e 504 números que começam com o zero, 
a quantidade que desejamos encontrar nesse primeiro passo é a diferença: 5.040 - 504 = 4536.
Por fim, faremos o passo 3 que é calcular a diferença entre as quantidades obtidas nos dois 
passos anteriores: 9.000 - 4536 = 4.464.
Perceba que é possível chegar ao mesmo resultado usando o Princípio Fundamental da 
Contagem: 9x10x10x10 - só há 9 opções para o primeiro digito porque exclui o zero.
Permutação
A permutação é um caso particular de arranjo, onde os elementos formarão agrupamentos que 
se diferenciarão somente pela ordem (DOCI; IEZZI; MURAKAMI, 2013). Veja um exemplo a seguir:
Unidade
2Problemas de contagem e sequências
66
exemplo:
De quantas maneiras diferentes podemos criar anagramas (palavras que não necessariamente 
tem sentidos) com as letras C,A,B,I,D,E?
Temos 6 letras para distribuir em 6 lugares, essa é a característica de uma permutação, a 
quantidade de elementos é a mesma que a quantidade de lugares que podem ser ocupados por esses 
elementos.
Pelo Princípio Fundamental da Contagem temos: 6x5x4x3x2x1=720 maneiras.
Para permutação utilizamos a seguinte fórmula:
Pm = m!, permutação de m elementos.
exercícios:
1. Existem 10 cadeiras numeradas de 1 a 10. De quantas maneiras 4 pessoas podem se sentar?
Para resolver esses problemas tenha claro que em um arranjo a ordem dos termos importa, ou 
seja, forma para nós uma nova possibilidade. Aqui temos que organizar 4 pessoas em 10 cadeiras, 
então se colocarmos por exemplo o João na primeira cadeira a Maria na última cadeira é diferente do 
que colocarmos a Maria na primeira e o João na última cadeira.
2. Um entregador de pizzas saiu da loja com entregas para serem feitas em 5 diferentes endereços. 
De quantas maneiras diferentes ele pode traçar sua rota? Neste exercício o entregador tem que fazer 
5 entregas e traçar 5 rotas, então temo uma permutação de 5 localidades diferentes: P5 = 5! = 120 
maneiras diferentes de traçar a rota.
Vamos analisar agora alguns exemplos em que temos casos especiais para permutações.
exemplos:
1. Qual o número total de anagramas que podem ser formados a partir das letras da palavra 
REPUBLICA?
Temos 9 letras para organizar em 9 lugares, então temos uma permutação simples de 9 elementos: 
P9 = 9!.
2. Qual o número total de anagramas que podem ser formados a partir da palavra REPÚBLICA 
que terminam com a letra A?
Temos as mesmas letras, porém devemos terminar a palavra com A, logo temos uma restrição 
para a última posição desta palavra, ela deve terminar com, então para a última posição temos apenas 
uma possibilidade restando assim 8 letras para distribuir em 8 lugares, P8 = 8!. Podemos resolver 
também pelo Princípio Fundamental da Contagem: 8x7x6x5x4x3x2x1x1.
Problemas de contagem e sequências
67
Unidade
2
3. Qual o número total de anagramas que podem ser formados a partir da palavra REPÚBLICA 
que começam com a letra R e que terminam com a letra A?
Agora temos mais uma restrição, a primeira letra deve ser R e a última A, então sobraram 7 
letras para serem distribuídas em 7 lugares, então P7 = 7!.
4. Quantos anagramas podem ser escritos com todas as letras da palavra ARARA? Observe 
que agora temos letras se repetindo, as letras A e R. Apesar de haver 5 letras, são apenas duas letras 
diferentes: A e R. A permutação de letras iguais não altera o anagrama. Por exemplo: permutando a 
primeira e a segunda letra de AAARR se obtém AAARR, que é o mesmo anagrama.
Existem apenas 10 anagramas, conforme mostra a Figura 2.2:
Figura 2.2: Permutação
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Quando temos um conjunto de n objetos, pessoas ou coisas, que possua k elementos repetidos, 
então para calcular todas as possíveis trocas dessas n coisas, vamos utilizar permutação com repetição.
Utilizando a fórmula para permutação com repetição, vamos resolver o problema dos anagramas 
para ARARA. Temos 5 letras, das quais 3 letras A repetidas e 2 letras R repetidas.
Unidade
2Problemas de contagem e sequências
68
exercícios
1. Quantos são os anagramas da palavra ARRASADO?
Temos um total de 8 letras, sendo 5 letras diferentes:
•	 A repete 3 vezes;
•	 R repete 2 vezes.
Logo, a permutação será:
2. De uma urna com 3 bolas brancas e 4 bolas pretas, de quantas maneiras pode ser feita uma 
extração das 7 bolas, uma por vez?
Temos 7 bolas no total com repetição de 3 bolas brancas e 4 bolas pretas.
Permutação Circular
O número de maneiras diferentes que se pode dispor n elementos de forma circular é dado por:
Pn = (n - 1)!
Veja a situação abaixo que exemplifica a permutação circular.
situação 1:
De quantas maneiras podemos dispor 4 pessoas em torno de uma mesa redonda? Repare que 
como a mesa é circular, as posições são relativas. As quatro combinações da Figura 2.3 são idênticas:
Problemas de contagem e sequências
69
Unidade
2
Figura 2.3: Permutação Circular
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Em qualquer configuração da Figura 2.3 temos, partindo do elemento a e girando sempre no 
mesmo sentido (horário) a mesma sequência: (a, b, c, d), ou seja as quatro configurações representam 
a mesma possibilidade.
Utilizando a fórmula da permutação circular temos:
Há apenas 6 permutações diferentes, que estão representadas na Figura 2.4.
Figura 2.4: Permutação Circular
 
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Unidade
2Problemas de contagem e sequências
70
situação 2:
Um colar de havaiana deve ser feito a partir de 6 cores diferentes. O colar não tem fecho. De 
quantas formas diferentes este colar pode ser feito?
O problema é uma permutação circular. Logo:
Combinação
Combinação são agrupamentos nos quais a ordem dos elementos não importa.
exemplo:
1. Escolher dois sabores de sorvete em uma festa. Neste caso escolher morango e chocolate e 
chocolate e morango representam a mesma escolha.
2. Seja o conjunto M={a; b; c; d}.
As combinações dos elementos de M tomados 2 a 2 são: {a; b}; {a; c}; {a; d}; {b; c}; {b; d}; {c; d}.
Observe no exemplo 2 que a possibilidade {b; a} não foi considerada, pois {b; a} = {a; b} e 
quando consideramos combinações a ordem dos elementos não forma uma possibilidade diferente, 
quando o problema se trata de um arranjo, a ordem dos elementos forma uma nova possibilidade, se 
o exemplo 2 fosse um arranjo devíamos ter considerado também os conjuntos: {b; a}; {c; a}; {d; a}; {c; 
b}; {d; b} e {d; c}.
A quantidade de combinações de n elementos tomados (com p ≤ n) é igual a:
exemplos:
1. Quantas combinações há a partir dos elementos de M={a; b; c; d} tomados 2 a 2?
Temos 4 elementos (valor de n) para formar grupos de 2 em 2 (valor de p).
2. Quantas comissões de 5 membros podem ser formadas em uma sala de 15 alunos?Neste problema não sabemos se ele é um arranjo ou uma combinação, porém queremos formar 
comissões com pessoas, se escolhermos, por exemplo: João, Maria, Ana, Carlos e Rita ou escolhermos 
Maria, Carlos, Rita, João e Ana teremos a mesma possibilidade, então se a ordem não forma uma nova 
possibilidade estamos trabalhando com uma combinação.
Problemas de contagem e sequências
71
Unidade
2
3. Quantos resultados distintos podem ser obtidos pelo produto de dois números extraídos do 
conjunto {2; 3; 5; 7; 9}? (Considere que os números não podem ser iguais).
Como a ordem dos fatores não altera o produto. Logo, o problema é contar quantas combinações 
há dos 5 elementos tomados 2 a 2:
Combinação com Repetição
Quais são os resultados distintos que podem ser obtidos pelo produto de dois números extraídos 
do conjunto {2; 3; 5; 7; 9}?
Vamos considerar dois casos possíveis:
O caso no qual não podemos repetir números na multiplicação e outro caso que podemos 
repetir números na multiplicação.
Se os números não podem ser iguais:
2x3, 2x5, 2x7, 2x9, 3x5, 3x7, 3x9, 5x7, 5x9, 7x9
10 possibilidades.
E se os números não pudessem ser iguais?
2x2, 2x3, 2x5, 2x7, 2x9, 3x3, 3x5, 3x7, 3x9, 5x5, 5x7, 5x9, 7x7, 7x9, 9x9
15 possibilidades.
As combinações que incluem repetição são chamadas de combinações completas, ou 
Combinações com Repetição.
A quantidade de combinações com repetição com p elementos extraídos de um conjunto com 
n elementos é igual a:
Unidade
2Problemas de contagem e sequências
72
Quais são os resultados distintos que podem ser obtidos pelo produto de dois números extraídos 
do conjunto {2; 3; 5; 7; 9}? (Considere que podemos repetir números).
Uma combinação com repetição pode ter mais elementos do que o conjunto universo:
Quantos resultados distintos podem ser obtidos pelo produto de dez números extraídos do 
conjunto {2; 3; 5; 7; 9}?
Temos um total de 5 elementos (n=5) para formar grupos de 10 números (p=10).
exercícios:
1. De quantos modos podemos colocar 50 alunos em 3 salas de aula?
Pode ser enunciado assim: De quantas formas 3 salas podem ser combinadas, 50 a 50? Ou seja, 
desejamos em três sala formar grupos de 50 alunos.
2. De quantos modos podemos dividir 20 moedas de um real entre 4 crianças?
Solução: as moedas são idênticas e o problema pode ser visto como: dados os nomes de quatro 
crianças, como associá-los entre as 20 moedas?
Problemas de contagem e sequências
73
Unidade
2
2. seqUêNCIas e PROgRessÃO aRITméTICa (Pa)
Sequências numéricas estão presentes no cotidiano das pessoas 
 Foto: Pixabay.
Muitas vezes temos a necessidade de colocar objetos, ou até mesmo pessoas, em ordem, logo 
esses objetos ou pessoas estão em uma sequência que possui termos (WAGNER, 2011).
O enfoque deste capítulo será nas sequências numéricas e dentro deste grupo iremos estudar 
duas sequências muito conhecidas na Matemática e com extensa aplicação em problemas cotidianos, 
a progressão aritmética, conhecida como PA e a progressão geométrica, conhecida como PG.
sequências e séries
Uma sequência é uma lista ordenada de números, como (4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18), onde 4 
é o primeiro termo da sequência, 6 é o segundo termo da sequência e assim por diante até 18 que 
é o oitavo e último termo da sequência. Uma sequência em que há um número finito de termos é 
chamada de sequência finita. Já a sequência (2, 5, 7, 10,...) é uma sequência infinita, pois apresenta 
um número infinitos de termos.
Na Matemática utilizamos para representar os termos por: a1 como sendo o primeiro termo, a2 o 
segundo e assim por diante e para representar um termo geral da sequência utilizamos an, termo que 
ocupa a posição n (WAGNER, 2011).
No exemplos da sequência finita temos: a1 = 4, a2 = 6, a3 = 8,..., a8 = 18. 
Algumas sequências possuem uma lei de formação, ou seja, ao observamos a sequência 
conseguimos escrever qual é a regra que a forma. Veja a sequência a seguir: (1, .
Unidade
2Problemas de contagem e sequências
74
Podemos ver uma relação entre a posição ocupada por um termo e este termos, por exemplo, o 
primeiro termo é 1, o segundo termo é , o terceiro termo é , o quarto termo é . Se quisermos saber 
qual é o quinto termo, é fácil de perceber que ele será , e se quisermos generalizar esta sequência, qual 
termo ocupará a posição n? Seguindo o mesmo pensamento o termo que ocupa a posição n é , então 
falamos que a regra geral ou lei de formação desta sequência é .
Nas sequências infinitas temos uma sequência muito conhecida que é a Sequência de Fibonacci 
(IEZZI,2013). A sequência é (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...), esta sequência possui uma lei de 
formação: a1 = 1, a2 = 1, a3 = 2 = a1 + a2, a4 = 3 = a2 + a1, a5 = 5 = a4 + a3, perceba que cada termo desta 
sequência, a partir do terceiro pode ser escrito como a soma dos dois termos antecessores, então temos:
Regra geral: a1 = 1, a2 = 1, an = an-1 + an-2.
No Ocidente, a sequência de Fibonacci apareceu 
pela primeira vez no livro  Liber Abaci  (1202) de 
Leonardo Fibonacci,  embora ela já tivesse sido descrita 
por gregos e indianos. Fibonacci considerou o crescimento 
de uma população idealizada (não realista biologicamente) 
de coelhos. Os números descrevem o número de casais na 
população de coelhos depois de n meses se for suposto que:
•	no	primeiro	mês	nasce	apenas	um	casal,
•	casais	amadurecem	sexualmente	(e	reproduzem-se)	apenas	após	o	segundo	mês	de	vida,
•	não	há	problemas	genéticos	no	cruzamento	consanguíneo,
•	todos	os	meses,	cada	casal	fértil	dá	à	luz	um	novo	casal,	e
•	os	coelhos	nunca	morrem.
Figura 2.5: Ilustração representativa da série de Fibonacci, 
demonstrando o crescimento populacional de coelhos
 Fonte: Wikipedia.
Problemas de contagem e sequências
75
Unidade
2
Progressão aritmética - Pa
Progressões Aritméticas são sequências nas quais cada termo a partir do segundo termo é a 
igual ao anterior somado de uma constante r, essa constante é chamada de razão da PA. O termo geral 
de uma PA é calculado através da seguinte equação: 
A razão de uma PA é obtida subtraindo do termo posterior o termo anterior.
exemplos:
Dada a progressão aritmética (2,5,8, 11,...), determinar:
a) A razão da PA
Sabemos que em uma PA a razão é calculada subtraindo do termo posterior o termo anterior, 
então escolhendo dois termos seguidos, vamos efetuar a subtração entre eles: a3 = 8 e a2 = 5, fazendo o 
termo 3 (posterior) menos o termo 2 (anterior) temos:
a3 - a2 = 8 - 5 = 3, logo a razão da PA é 3. E se você escolher outros termos consecutivos, sem ser 
o segundo e terceiro, será que vamos encontrar o valor da razão?
A resposta é sim, para quaisquer dois termos consecutivos que escolhermos na PA e efetuarmos 
a subtração sempre do posterior subtrair o anterior, iremos encontrar a razão. Por exemplo, vamos 
escolher agora o terceiro e quarto termos, fazendo então a subtração temos: a4 – a3 = 11 - 8 = 3, 
encontramos o mesmo valor para a razão, isto ocorre pelo fato da razão ser constante.
b) O sétimo termo da PA
Agora queremos determinar o termo que ocupa a posição 7, ou seja, n = 7. Como sabemos que 
a1 = 2 e r = 3, vamos substituir estes valores na fórmula do termo geral da PA:
Logo o sétimo termo da PA é 20.
Atenção, pois este exemplo informou que a sequência é uma PA, porém alguns problemas não 
temos essa garantia, então você deve testar todas as subtrações entre termo posterior e termo anterior 
para garantir que a razão é constante, logo a sequência é uma PA.
Unidade
2Problemas de contagem e sequências
76
exemplos:
1 Dada a sequência (5, 5, 5, 5), identifique quantos termos a sequência possui e se a sequência 
é uma PA.
A sequência possui 4 termos e para esta ser uma PA a razão deve ser constante, então faremos 
todas as subtrações entre termos posteriores e termos anteriores. Fazendo inicialmente a2 - a1 = 5 - 5 = 
0, agora a3 - a2 = 5 - 5 = 0 e por último calculandoa última subtração possível temos a4 - a3 = 5 - 5 = 0, 
como a razão foi a mesma em todas as subtrações, concluímos que a sequência é uma PA.
2 Quais os termos da sequência (1,x,y), sabendo que a mesma é uma PA, e que 2x+y=5?
O problema nos forneceu uma informação importante de que a sequência é uma PA, então 
sabemos que a3 - a2 = y - x = r e a2 - a1 = x - 1 = r, como as duas diferenças resultam em r, podemos 
igualar as duas expressões (pois assumem o mesmo valor: r), então temos que x-1 = y-x, passando o 
-x e y para o primeiro membro da equação e -1 para o segundo membro da equação temos: x+x-y = 
1, juntando termos semelhantes ficamos com: 2x - y = 1. O problema nos forneceu como informação 
que 2x + y = 5, então vamos resolver o sistema de equações (se você não lembra como se resolve um 
sistema de equações vale a pena relembrar!).
Resolvendo o sistema obtemos x = 1; 5 e y = 2.
Então a PA é (1;1,5;2). Podemos perceber que a razão é 0,5.
3 Seja a PA (2,4,6,8,...), determine:
a) Razão da PA
Se temos a garantia de que a sequência é uma PA, então a razão pode ser calculada como: a2 - a1 
= 4 - 2 = 2. Então r = 2.
b) Determine o termo que ocupa a posição 49 nessa PA.
Queremos descobrir o termo que ocupa a posição 49, então sabemos que n = 49 e queremos 
encontrar a49. Vamos utilizar a fórmula do termo geral da PA para encontrar o valor de a49.
Problemas de contagem e sequências
77
Unidade
2
4 Dada a PA (4, 6, 8, 10,...), determinar:
a) a5
Antes de calcular a5 precisamos determinar a razão desta PA: r = a4 - a3 = 10 - 8 = 2. Nem sempre 
precisamos utilizar a fórmula do termo geral de uma PA para encontrar algum determinado termo, 
neste exemplo, para encontrar a5 é mais fácil apenas somar a razão, pois toda PA para encontrar um 
termo posterior basta adicionar a razão. Então, a5 = a4 + r = 10 + 2 = 12.
b) a200 e a201.
Para encontrar a200, sabemos que n = 200. Utilizando a fórmula do termo geral da PA:
Para calcular a201, assim como fizemos no item a, é mais fácil apenas adicionar a razão ao termo 
anterior a200. Então: a201 = a200 + 2 = 402 + 2 = 404.
Vamos conhecer uma aplicação muito importante da 
PA na Matemática Financeira para o cálculo de juros 
Simples. Para você entender a relação existente entre 
Juros
Simples e PA você precisa saber que em Juros Simples 
o valor dos juros é constante em todos os períodos 
(pois é calculado sempre em relação ao capital inicial), logo o montante do mês 1 é o 
investimento adicionado dos juros, o montante do mês 2 é o montante do mês 1 (termo 
anterior) adicionado dos juros (que é constante) e assim sucessivamente.
Podemos perceber que em Juros Simples para obter o montante posterior basta somar ao 
montante anterior dos juros que é constante, que podemos comparar com a razão na PA.
Exemplo:
1 Marcelo pede ao seu pai R$100,00 emprestado e promete pagar o valor acrescido de 
juros, considerando juros simples de 10% a.m.
No regime de juros simples, a alíquota de 10% será aplicada sempre sobre o valor devido 
inicialmente. Os juros serão, para cada mês: J = 100:10%, ou seja, juros = R$10,00, em 
qualquer mês.
Se Marcelo levar 1 mês para pagar ao pai, quanto pagará? O saldo que ele terá que pagar 
será igual ao valor inicialmente devido mais os juros, ou seja: S = C + J = 100 + 10 = 110.
E se levar 2 meses? E se passarem 3, 4, 5? Qual a sequência de valores devidos?
Unidade
2Problemas de contagem e sequências
78
Para cada mês que passar o saldo da dívida vai aumentar mais uma parcela de J=10.
Para o mês 2, 120, mês 3, 130, mês 4 140 e mês 5, 150.
A Figura 2.6 ilustra o exemplo de Juros Simples, perceba a relação existente com PA, a 
cada mês são adicionados R$10 ao saldo final.
Figura 2.6: Exemplo - Juros Simples
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Temos então que a sequência de saldos devidos ai = (110, 120, 130, 140, 150) forma uma 
PA onde a1 = 110, a2 = 120, a3 = 130, a4 = 140, a5 = 150 e r = 10.
2 Se Marcelo levar 12 meses para pagar o empréstimo, quanto ele terá que pagar ao final?
Para resolver este problema vamos utilizar a fórmula do termo geral de uma PA, onde 
queremos descobrir a12:
Logo, ao final de 12 meses Sr Marcelo deverá pagar R$220.
Fonte: Elaborado pela autora.
Uma sequência pode ser vista como uma função . O gráfico de uma PA pode ser um 
dos casos da Figura 2.7
Problemas de contagem e sequências
79
Unidade
2
Figura 2.7: Gráfico Progressão Aritmética
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
A Figura 2.7 ilustra dois casos de PA, no primeiro caso a PA é crescente, para uma PA ser 
crescente a razão, r, deve ser maior que zero, ou seja, a razão deve ser positiva. Para o caso de uma PA 
crescente, sempre teremos que a PA será uma reta e a cada período a razão será acrescentada ao valor 
anterior, isso explica o fato de sempre a reta crescer uma quantidade r. Agora para o caso onde a PA 
é decrescente, a razão deve ser um número negativo e o gráfico será uma reta, onde a cada período a 
razão é subtraída do valor anterior.
Podemos escrever uma PA de diversas maneiras:
As situações acima são apenas algumas das inúmeras relações existentes em uma PA, observe 
que a primeira situação tem como base a1 e a partir desse termo a razão foi sendo adicionada para 
encontrar os termos subsequentes. Já no segundo caso, o termo base é a2 e a razão foi adicionada para 
encontrar os termos posteriores e retirada para encontrar os termos anteriores. Assim temos uma 
regra geral ampliada para a formação da PA que não depende de a1, ela é apresentada a seguir:
Unidade
2Problemas de contagem e sequências
80
exemplos:
1 Seja a PA (2, 4, 6, 8, 10), determine:
a) a5
Mas você pode se perguntar: porque encontrar a5 se já sabemos seu valor que é 10?
Vamos determinar a5 utilizando a regra geral ampliada, apenas para você entender claramente 
a relação com a regra geral ampliada e a escolha de qualquer elemento para encontrar a5. Se vamos 
determinar a5, então n = 5, sempre utilizamos para n a posição do termo que queremos determinar. 
A vantagem de se utilizar a regra geral ampliada é que você pode utilizar o termo que julgar melhor. 
Neste exemplo vamos utilizar como base o termo a4, então m = 4, utilizaremos para m o valor que 
temos como base, ou seja, um termo já conhecido por nós. Precisamos determinar a razão,
Ok, mas e se você quiser utilizar como valor base a2? A única coisa que muda é que o valor de m 
agora será 2, lembre-se: utilizamos para valor de m o nosso termo base.
Chegamos ao mesmo valor para a5 ! Viu como essa fórmula geral ampliada é muito interessante?
b) a1
Como queremos determinar a1, temos que n = 1 e vamos utilizar como termo base a3, então m 
= 3. (Lembre-se que o termo base você escolhe o que achar melhor!).
Problemas de contagem e sequências
81
Unidade
2
2 Dada a PA (7, 4, 1, -2, -5, ...), determinar:
a) a5.
Queremos determinar a5, então n = 5, vamos utilizar como valor base a4 = -2, então m = 4, falta 
apenas determinar a razão da PA, r = a2 - a1 = 4 - 7 = -3. Apenas para reforçar nossos estudos, como r 
= -3 a PA é decrescente.
Deu certo! Mesmo valor de a5!
b) a2.
Queremos determinar a2, então n = 2, vamos utilizar como valor base a3 = 1, então m = 3.
3 (LCL Construções). A LCL construções aceitou um contrato de construir 200 casas em um 
condomínio. A sua estrutura permite construir exatamente 10 casas por dia. Considere que todos os 
dias pela manhã, logo cedo, são contadas as casas já construídas.
A sequência contabilizada será:
(0, 10, 20, 30, 40, 50, 60,... 200)
Neste caso temos uma PA onde a1 = 0 e r = 10, ou seja, uma PA crescente, pois a razão é positiva. 
Noite que, a1 representa a quantidade de casas construídas até o início do primeiro dia, a2, quantidade 
de casas construídas até o início do segundo dia e assim sucessivamente.
Considere agora que o gerente de operações tem uma planilha que sinaliza a quantidade de 
casas que resta construir. A partir do primeiro dia, todasas manhãs, esta planilha tem a sequência:
(200, 190, 180, 170, 160, ... 20, 10; 0)
Já nesta outra situação a1 = 200 e r = -10, ou seja, uma PA decrescente, pois a razão é negativa.
Se as obras começaram no dia 1 daquele mês (um certo mês), em que dia estarão construídas 
120 casas?
Unidade
2Problemas de contagem e sequências
82
Observe que temos uma situação diferente das apresentadas em exercícios anteriores. Em outros 
exemplos estávamos determinando sempre o valor de um termo, neste caso nós temos o valor do 
termo, ou seja, temos a informação de que em um determinado dia 120 casas estarão construídas, 
o que não sabemos agora é o valor de n, sabemos que an = 120, sabemos ainda que a1 = 0 e r = 10. 
Estamos inicialmente usando o modelo que contabiliza as casas já construídas:
Ou seja, na manhã do dia 13 serão percebidas 120 casas construídas. Ao fim do dia 12 todas as 
120 casas já tinham sido construídas.
Agora vamos utilizar a PA de casas que faltam construir. Temos: a1 = 200, r =-10 e an = 80, pois 
faltam ainda 80 casas para serem construídas, pois 120 já foram construídas.
Chegamos ao mesmo resultado.
Colocamos as duas formas de resolução, pois você pode se sentir mais confortável com uma ou 
outra forma de modelar. E então, se for possível escolher o modelo é sempre razoável pensar qual o 
melhor modelo para o problema. Porém, em alguns casos, não há mais de uma opção de modelagem.
Interpolação aritmética
Um dos grandes desafios na gestão de projetos é dividir o projeto em etapas menores que possam 
ser verificadas, de maneira a controlar a execução do projeto como um todo.
O gerente da LCL Projetos tem em mãos um projeto de desenvolvimento de um site de 
relacionamento com os clientes. A equipe que está desenvolvendo se comprometeu a entregar o site 
Problemas de contagem e sequências
83
Unidade
2
pronto em 60 dias, a partir de amanhã. O gerente decidiu que deve criar 4 momentos de verificação 
intermediária do desenvolvimento. Se ele quiser criar estes dias de forma que estejam uniformemente 
espaçados no prazo completo, quais devem ser os dias de verificação?
E agora? Queremos saber quais serão os dias de verificação, de forma que estejam espaçadas ao 
longo do desenvolvimento do projeto. Para resolver este tipo de problema, iremos estudar um assunto 
chamado Interpolação Aritmética.
Em uma sequência finita qualquer (a1, a2, a3, ...,an-1; an). Os termos a1 e an são chamados de 
extremos (sempre 2 termos). Os termos a2, a3, ..., an-1 são chamados de meios (totalizando n-2 termos, 
pois do total de termos, n, tiramos 2 termos que são os extremos, restando assim os meios).
Se a partir dos extremos a e b for solicitado inserir k meios de forma que os k+2 termos formem 
uma PA, é possível fazer:
A equação acima apresenta a razão para uma interpolação aritmética.
exemplo:
1 Interpolar os extremos 1 e 11 com 3 termos. Ou seja, entre 1 e 11 queremos acrescentar 3 
termos de forma que fiquem igualmente espaçados. Então vamos calcular a razão desta interpolação, 
com b = 11, a = 1 e k = 3:
Agora vamos escrever os termos que formam essa PA, iniciando com o extremo 1.
(1; 3; 5; 6; 8; 5; 11)
Agora que sabemos fazer uma interpolação vamos resolver o problema inicial. Como o projeto 
vai começar amanhã, podemos considerar que os extremos são a=0, hoje, e b=60, o dia que o site deve 
estar pronto. Queremos acrescentar dentro desse intervalo 4 termos que representam as verificações, 
então k = 4. Vamos calcular a razão:
Unidade
2Problemas de contagem e sequências
84
Agora vamos construir a PA: (0, 12, 24, 36, 48, 60). Então o sistema será verificado nos dias 12, 
24, 36 e 48, contados desde hoje.
soma dos Termos de uma Pa
O professor ordenou à turma: Somem todos os 
números naturais de 1 a 100!
Ele imaginava que os alunos fossem levar algum 
tempo para realizar esta tarefa:
1+2+3+4+5+...
Mas um aluno respondeu rapidamente: 5.050. E ele estava certo. Coisas como essa faziam 
Gauss, ainda criança, surpreender seus professores.
Mas, como Gauss conseguir fazer isso tão rapidamente?
1 + 100 = 101
2 + 99 = 101
3 + 98 = 101
4 + 97 = 101
(...) + (...)
Ele percebeu que esse padrão ocorria sempre e que existiam 50 pares de valores que 
somados darão 101. Logo, o valor total da soma é 50x101=5.050.
Gauss conseguiu somar uma sequência de números que é uma PA de razão 1. A fórmula 
da soma dos termos de uma PA é dada por:
exemplos:
1 Qual é a soma todos os múltiplos de 3 que têm 3 dígitos?
Para resolver este tipo de exercício devemos primeiro saber qual é o primeiro múltiplo de 3 com 
3 dígitos e o último múltiplo de 3 com 3 dígitos.
O primeiro número com 3 dígitos é 100, porém 100 não é múltiplo de 3, o próximo número 102 
é um múltiplo de 3, então já descobrimos o primeiro termo da nossa sequência, como a sequência 
Problemas de contagem e sequências
85
Unidade
2
possui somente múltiplos de 3 ela é uma PA de razão 3. Os próximos múltiplos serão, 105, 108, 111, 
114 e assim por diante de 3 em 3. Nos resta saber qual é o último múltiplo de 3 com 3 dígitos. O maior 
número com 3 dígitos é 999 que é um múltiplo de 3. Então sabemos que: a1 = 102, an = 999 e r = 3. 
Ainda está faltando encontrar o valor de n. podemos encontrar esse valor utilizando a fórmula do 
termo geral da PA.
Agora que temos o valor de n, vamos calcular a soma dos termos da nossa sequência
dos números de três algarismos que são múltiplos de 3: (102, 105, 108, 111, 114, 117,...,999).
Para o cálculo da soma dos termos de uma PA, além da fórmula que acabamos de estudar, há 
também outra fórmula para calcular a soma que apresenta uma vantagem de não precisar do valor de 
an, o que pode ser mais rápido em alguns casos:
Unidade
2Problemas de contagem e sequências
86
A LCL inspeção é contratada por indústrias para 
inspecionar os lotes fabricados. O processo que 
um inspetor tem que realizar agora requer verificar 
75 lotes fabricados, que estão dispostos em linha 
reta, distantes 5 metros um do outro. Cada vez 
que inspeciona 3 lotes o inspetor precisa retornar 
à estação computacional para descarregar os dados 
coletados. A estação está distante 10 metros do primeiro lote, conforme a Figura 2.8:
Figura 2.8: Caso LCL Inspeção
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Quantos metros o inspetor terá que se deslocar para cumprir toda a tarefa?
Cada trajeto de ida e volta inspeciona 3 lotes, como são 75 lotes ao total, então são 
necessários = 25 trajetos para a inspeção.
O primeiro trajeto tem 40 metros de distância (10+5+5+5+5+10); já o segundo, tem 70 
metros de distância: os 30 metros adicionais são por conta dos 15 metros que separam os 
3 próximos lotes (vezes 2 - ida e volta); o terceiro trajeto terá 100 metros de distância, e 
assim sucessivamente.
As distâncias percorridas nos trajetos formam uma PA onde: a1 = 40 e r = 30.
Ou seja, o inspetor precisará andar 10000 metros o equivalente a 10 quilômetros!
Problemas de contagem e sequências
87
Unidade
2
3. PROgRessÃO geOméTRICa (Pg)
Progressão Geométrica 
 Fonte: Wikipédia.
Em uma progressão geométrica, PG, cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior 
multiplicado por uma constante. A constante é chamada de razão e indicada por q (IEZZI,2013).
Observe a diferença entre PA e PG, na PA cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior 
somado por uma constante, já na PG o termo posterior é obtido multiplicando-se a constante.
exemplos:
a (4, 8, 16, 32): Temos neste exemplo uma PG finita e o termo posterior é igual ao termo anterior 
multiplicado por 2, ou seja, q = 2.
Na PG para a obtenção da razão, devemos dividir um termo posterior pelo termo anterior.
A lei de formação da PG é dada pela fórmula:
Unidade
2Problemas de contagem e sequências
88
Nos seis primeiros meses que a LCL abriu a sua banca 
de jornais, a quantidade de exemplares vendidos 
diariamente dobrou todos os meses. No primeiro 
mês eram vendidos apenas 10 exemplares por dia.Quantos exemplares eram vendidos diariamente no 
5° mês?
Aqui temos um caso no qual percebemos que é uma PG, mas como percebemos isso? 
O exemplo nos informou que a quantidade de exemplares vendidos diariamente dobrou 
todos os meses, então temos que a cada mês a quantidade de exemplares foi multiplicada 
por 2, ou seja, uma PG. Então temos que: a1 = 10, quantidade de exemplares vendidos no 
primeiro mês, q = 2 e n = 5, pois queremos saber quantos exemplares foram vendidos no 
5° mês. Podemos resolver este exemplo de duas formas, a primeira aplicando o conceito 
de PG, multiplicando cada termo por uma constante e a segunda utilizando a fórmula do 
termo geral da PG.
Primeira forma: como o primeiro termo é 10, vamos multiplicá-lo por 2 e continuar essa 
multiplicação até a obtenção do 5° termo.
(10, 20, 40, 80, 160)
Assim, no 5° mês serão vendidos diariamente 160 exemplares.
Agora vamos utilizar a fórmula:
Das duas formas chegamos à mesma quantidade de exemplares vendidos no 5º mês, 160 
exemplares.
Representação gráfica da Pg
Vamos analisar como é a representação gráfica de uma PG.
Quando q > 0, a PG se comporta como uma função exponencial (com domínio em N), como 
ilustrado na Figura 2.9.
Problemas de contagem e sequências
89
Unidade
2
Figura 2.9: Gráfico Progressão Geométrica
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Observe na Figura 2.9 que temos dois casos para gráfico de uma PG quando q > 0: quando q > 1 
o gráfico é uma exponencial crescente e quando 0 < q < 1, ou seja a razão é um número compreendido 
no intervalo entre 0 e 1, o gráfico é uma exponencial decrescente. Agora há a possibilidade também da 
razão ser um número negativo. Veja a Figura 2.10 a seguir.
Figura 2.10: Gráfico Progressão Geométrica
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Unidade
2Problemas de contagem e sequências
90
Falta analisar o que acontece quando q = 1 e q = -1. Veja a Figura 2.11.
Figura 2.11: Gráfico Progressão Geométrica
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Na PA temos uma lei de formação ampliada que facilita o processo de cálculo quando não temos 
o termo a1. Para a PG também temos uma lei de formação ampliada (IEZZI, 2013):
exemplos:
1 Dada a PG (1, 2, 4, 8, 16...), determinar a5 e a2 tendo como base para a lei de formação ampliada a4.
Assim como fizemos na PA, se queremos calcular a5, então n = 5, como vamos utilizar com 
base a4, então m = 4. Antes de calcular a5 precisamos da razão da PG, vamos então dividir um termo 
posterior pelo seu termo anterior, então q = = 2. Agora, vamos utilizar a lei de formação ampliada:
Problemas de contagem e sequências
91
Unidade
2
Agora vamos proceder da mesma maneira para calcular a2, n = 2, tendo como base a4, m = 4.
2 Dada a PG (1; ; ; ; ; ...), determinar a5 e a2 tendo como base para lei de formação 
ampliada a4.
A resolução desse exemplo você encontra no anexo.
Vamos aplicar a PG em Matemática Financeira, porém 
com Juros Compostos. No regime de capitalização 
composto, os juros são calculados em relação ao 
montante do mês anterior, diferente do regime de 
capitalização simples que os juros são calculados em 
relação ao capital inicial.
Luís pede ao seu pai R$100,00 emprestado e promete pagar o valor acrescido de juros, 
considerando juros compostos de 10% a.m.
Para o primeiro mês o saldo devedor será os R$100,00 que foram emprestados mais
10% de juros, ou seja, J = 100:10% = 10, S = C +J = 100+10 = 110. Já para o segundo mês 
o juro será calculado em relação aos R$110,00 do saldo devedor do mês anterior, então 
J = 110:10% = 11, então o saldo devedor do segundo mês será S = C+J = 110+11 = 121 e 
assim sucessivamente.
Se Luís levar 1 mês para pagar seu pai ele pagará R$110,00, se levar 2 meses, R$121,00, 3 
meses, R$133,10, e assim por diante. Podemos perceber que é uma PG, pois q =
; q = ; a razão é constante nas divisões possíveis. Neste tipo de problema 
aplicado em matemática financeira a razão é calculada da seguinte forma: q = 1 + , 
onde i é a taxa de juros. Para você compreender a fórmula, reporte-se ao problema, cada 
saldo devedor é calculo somando ao saldo devedor anterior o valor dos juros, na fórmula 
o número 1 significa que estamos tomando o valor total anterior (100% pode ser escrito 
como 1) e adicionando a taxa de juros.
Os saldos devedores são apresentados na Figura 2.12.
Unidade
2Problemas de contagem e sequências
92
Figura 2.12: Saldo Juros Compostos
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Se Luís levar 12 meses para pagar o empréstimo, quanto ele terá que pagar ao final?
Como sabemos que a1 = 110, q = 1,1 e n = 12, vamos calcular a12:
Problemas de contagem e sequências
93
Unidade
2
A LCL Livraria criou em janeiro um programa de 
fidelidade para seus clientes. O número de clientes no 
programa aumenta 2% todo mês. Se em outubro (mês 
10) foram observados 1.195 clientes do programa 
fidelidade, pergunta-se:
a) Quantos clientes do programa havia em janeiro (mês 1)?
b) Se a taxa de crescimento permanecer constante, quanto clientes do programa deve haver
c) em outubro do ano seguinte (mês 22)?
d) Se há um envio de e-mail para cada cliente do programa todo mês, quantos e-mails
e) serão enviados no primeiro ano (do mês 1 ao mês 12)?
A resolução desse caso se encontra no anexo.
soma dos elementos de uma Pg
Existem duas fórmulas para o cálculo da soma dos termos de uma PG, a primeira útil quando 
conhecemos o valor de an e a segunda quando o valor de an não é conhecido (IEZZI, 2013).
Agora que temos a fórmula para o cálculo da soma dos termos de uma PG, podemos retornar e 
resolver o item c. do exemplo da livraria.
Então, temos que calcular a soma dos 12 termos da PG em que a1 = 1000 e q = 1,02, porém não 
temos o valor de a12, então vamos utilizar a fórmula quando o valor de an (a12) é desconhecido:
Unidade
2Problemas de contagem e sequências
94
Uma rede de restaurantes trabalha com cartões de 
fidelidade que permitem descontos para usuários 
mais frequentes. Em 2011 havia 15.432 usuários. Em 
2015 havia 16.379 usuários. Se a taxa de crescimento puder ser considerada constante 
nestes anos:
a) Quanto é essa taxa?
b) Quantos usuários são esperados existir em 2013?
Queremos descobrir quantos usuários haviam em 2013, tendo conhecidas a quantidade 
de 2011 e 2015, para isso queremos que a taxa de crescimento seja constante. Podemos 
perceber que temos os extremos, 2011 e 2015 e queremos inserir meios correspondentes 
aos anos 2012, 2013 e 2014. Assim como a PG tem a interpolação aritmética, em PG temos 
a interpolação geométrica.
 Interpolação geométrica
Se a partir dos extremos a e b for solicitado inserir k meios geométricos, de forma que os k+2 
termos formem uma PG, é possível fazer:
Agora vamos solucionar o problema dos cartões, temos que o extremo inferior é a = 15432 
e o extremo superior é b = 16379, queremos inserir 3 meios geométricos, k = 3, então 
vamos calcular o valor da razão para então descobrir os termos da PG
Agora vamos calcular os termos da PG multiplicando cada termo pela razão:
(15432; 15663,48; 15898,43; 16136,90; 16379)
CONClUsÃO
Nesta unidade você entrou em contato com os problemas de contagem que envolvem organização 
de possibilidade de ocorrência de determinado evento, como por exemplo a chance de ser sorteado 
na mega sena. Você estudou também as sequências numéricas, com destaque em específico para as 
duas sequências mais conhecidas e utilizadas, progressão aritmética e progressão geométrica, muitas 
Problemas de contagem e sequências
95
Unidade
2
situações cotidianas podem ser modeladas através de PA e PG, como por exemplo, o saldo bancário 
de um investimento.
ReFeRêNCIas
DOCI, Osvaldo; IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar vol. 
2 – Logaritmos. 10ª ed. Rio de Janeiro: Atual, 2013.
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar vol. 1 - Conjuntos – 
Funções. 9ªed. Rio de Janeiro: Atual, 2013. 
IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar vol. 4 – Sequências, matrizes, determinantes 
e sistemas. 8ª ed. Rio de Janeiro: Atual, 2012.
______. Fundamentos de Matemática Elementar vol. 6 – Complexos, Polinômios, Equações. 8ª ed. 
Rio de Janeiro: Atual, 2013. 
______. Fundamentos de Matemática Elementar vol. 5 – Combinatória e Probabilidade. 8ª ed. Rio 
de Janeiro: Atual, 2013. 
LACHTERMACHER, Gerson; COELHO, Paulo Sérgio de Souza. Matemática I. Rio de Janeiro: 
Editora FGV, 2017.
WAGNER, Eduardo. Matemática I. Rio de Janeiro: Editora FGV, 2011.
Unidade
3
Objetivos de aprendizagem 
da unidade
• estabelecer relações entre problemas cotidianos e funções
• Localizar pontos no sistema cartesiano
• Compreender as aplicações da função do primeiro grau
• Compreender as aplicações da função do segundo grau
• Compreender a importância de análise de domínio e 
imagem para a construção das funções algébricas
Professora mestre mariana Rodrigues Barbosa dos santos
FUNÇões e sIsTema CaRTesIaNO
Funções e sistema cartesiano
97
Unidade
3
INTRODUÇÃO 
Nesta unidade iremos estudar as relações entre números, um número que pode ser transformado 
em outro número a partir de uma relação, essa relação de transformação é chamada de função. Um 
número está em função do outro significa que um número depende do outro, ou é gerado a partir de 
outro número. Muitas são as aplicações das funções, temos a função custo de determinado produto, 
a função lucro de uma empresa, a função que descreve o crescimento das ações em uma empresa, 
entre outras. Tantas são as aplicações das funções logo é de extrema importância compreender o que 
significa ser uma função.
1. FUNÇões
Funções 
 Fonte: Pixabay. 
Neste capítulo iremos estudar as funções. Dentre os assuntos estudados temos:
•	 Definição
•	 Domínio e Imagem
•	 Tipos de Funções: Injetora, Sobrejetora e Bijetora
•	 Função Inversa
•	 Função Composta
•	 Dependência entre variáveis
Encontramos em nosso cotidiano diversas relações que envolvem grandezas, sendo que o valor 
que se obtém para uma delas depende do valor de uma ou mais outras grandezas. Inicialmente, 
trabalharemos com situações que relacionem entre si apenas duas grandezas:
•	 O valor de imposto a ser pago (I) (ISS - Imposto Sobre Serviço) sobre um serviço depende 
do seu preço (p).
•	 O preço a ser pago por uma refeição em um self-service (P) depende da quantidade de 
comida colocada no prato (k).
•	 A receita obtida na venda de uma mercadoria ou serviço (R) depende da quantidade vendida 
dessa mercadoria ou desse serviço (q).
Unidade
3Funções e sistema cartesiano
98
Perceba que em todas as situações há uma relação entre as grandezas, isso é função, é a relação 
existente entre grandezas.
Chamamos I, P e R de VARIÁVEIS DEPENDENTES, pois seus valores dependem dos valores 
de p, k e q. Já as variáveis p, k e q recebem o nome de VARIÁVEIS INDEPENDENTES, pois elas não 
dependem de nenhum outro valor.
Podemos substituir, nas frases, a palavra DEPENDE pela palavra FUNÇÃO e dizermos que:
•	 o Imposto (I) é FUNÇÃO do seu preço de venda (p);
•	 o preço da refeição (P) é FUNÇÃO de seu peso (k);
•	 a receita (R) é FUNÇÃO da quantidade vendida (q).
Utilizamos, simbolicamente, uma notação que indica a existência de uma relação de dependência 
entre duas variáveis.
•	 Utilizamos a notação I = f(p) para representar que o imposto (I) está em função do preço p.
•	 Utilizamos a notação P = f(k) para representar que o preço (P) está em função do peso k.
•	 Utilizamos a notação R = f(q) para representar que a receita (R) está em função da quantidade q.
Caso LCL Comércio de Peças Ltda.
A LCL Comércio de Peças Ltda. emitiu uma nota fiscal referente à venda de 4 produtos vendidos. 
A nota foi emitida para seu cliente a José Bolinha Representações
Ltda. Identifique, na nota fiscal da Figura 3.1, uma função receita, com variável dependente 
valor total e variáveis independentes o valor unitário e a quantidade. Apresente esta função utilizando 
a linguagem matemática.
Figura 3.1: LCL Comércio de Peças Ltda.
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Funções e sistema cartesiano
99
Unidade
3
Neste exemplo a variável dependente é o valor total, pois é dependente do preço do produto e da 
quantidade adquirida. As variáveis independentes são o preço do produto e a quantidade adquirida. 
O valor unitário está destacado em amarelo e a quantidade em vermelho na Figura 3.1. A função valor 
total pode ser escrita como: VT = f(P,Q), valor total é função do preço e da quantidade, e VT = P:Q.
Caso LCL Discos Ltda.
A LCL Discos Ltda. está fazendo uma liquidação com CDs de MPB. Os CDs desse gênero 
musical estão sendo vendidos ao preço de R$25,00 a unidade.
Qual a expressão matemática que permite calcular a receita diária que a LCL terá na venda de q 
unidades dos CDs de jazz?
Sabemos que o preço de cada unidade é conhecido, R$25,00, porém a quantidade diária é 
desconhecida, logo podemos chamar de q a quantidade de CDs de MPB vendidos. Então, diariamente 
a loja terá uma receita que é resultado da multiplicação do valor do CD pela quantidade vendida, ou 
seja, R(q) = 25.q, a receita está em função da quantidade vendida.
Receitas são  todos os recursos provenientes da 
venda de mercadorias ou de uma prestação de 
serviços, porém nem todos são oriundos de vendas ou 
prestações de serviços, como por exemplo:  alugueis, 
rendimentos de uma aplicação financeira, juros e etc.
Fonte: https://www.significados.com.br/receitas-e-
despesas/
b) Um cliente comprou 20 CDs de MPB, qual foi a receita que a loja teve com essa venda?
Já que conhecemos a função receita, podemos calcular a receita obtida com a venda dos 20 CDs.
R(q) = 25.q
R(20) = 25.20
R(20) = 500
A receita foi de R$500,00.
Funções: Domínio e Imagem
O conjunto de valores que as variáveis independentes assumem é chamado de Domínio e o 
conjunto de valores que as variáveis dependentes assumem é chamado de Imagem (IEZZI, 2013).
exemplo:
A função receita (R) depende da quantidade (Q) vendida de determinado produto, então R = f(Q).
O conjunto formado pelas possíveis quantidades Q recebe o nome de DOMÍNIO, ou seja, sabemos 
que a quantidade vendida não pode ser negativa, então se for o caso de CDs o domínio deve ser o conjunto 
dos números naturais, pois não podemos vender quantidade negativa e nem fracionada de CDs.
O conjunto formado pelas diferentes receitas R obtidas a partir de todas as quantidades do 
DOMÍNIO recebe o nome de IMAGEM. O conjunto correspondente à receita também não pode 
assumir valores negativos, tendo em vista que as quantidades vendidas correspondem a valores 
Unidade
3Funções e sistema cartesiano
100
positivos, porém pode assumir valores fracionados, como por exemplo, se o preço de venda for R$ 
29,90. Logo, o conjunto imagem, correspondente à receita, será o conjunto dos racionais positivos 
(IEZZI, 2013). A Figura 3.2 mostra domínio e imagem através de diagramas de Venn.
Figura 3.2: Domínio e Imagem de Funções
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Par Ordenado
Agora estudaremos um conteúdo muito importante e utilizado em diversas áreas, pares 
ordenados.
Vamos relacionar par ordenado com domínio e imagem.
x é a variável independente da função e o domínio é o conjunto de todos os valores possíveis de 
x. y é a variável dependente da função e imagem é o conjunto de todos os valores possíveis de y, isto é, 
todos os valores gerados pela função por cada um dos valores do domínio.
Um conjunto de dois números reais na ordem (x; y) é o que chamamos de um par ordenado. 
Vale ressaltar a importância das ordens dos elementos, por esse motivo que o par tem o nome de 
ordenado. Veja a Figura 3.3.
Figura 3.3: Pares Ordenados
Funções e sistema cartesiano
101
Unidade
3
A Figura 3.3 mostra cada elemento do domínio (quantidades vendidas) se relacionandocom 
um elemento da imagem (receita).
Podemos ainda encarar as funções como “máquinas” processadoras. Essa máquina é abastecida 
com uma “matéria-prima” (MP) que é a quantidade (Variável Independente).
A MP é “processada” pela função. A matéria-prima, após ser processada, fornece como “produto 
final (PF)” a Receita (Variável Dependente).
A LCL Lanchonetes Ltda. contratou recentemente uma 
nova cozinheira. A funcionária acertou um salário fixo 
mensal de R$1.500,00, mais R$10,00 por hora extra 
trabalhada.
a) Como contador da firma, expresse o salário (S), 
em reais, da cozinheira em função do número de horas extras (h) trabalhadas em um mês.
Para podermos escrever uma função, é importante identificar quais são as variáveis 
independente e dependente. Sabemos que o salário depende da quantidade de horas 
extras trabalhadas, então o salário é dependente da quantidade de horas extras. Logo o 
salário será: S(h) = 1500 + 10h.
b) Calcule os salários mensais da cozinheira para 10, 15 e 20 horas extras trabalhadas 
no mês.
Se a cozinheira trabalhar 10 horas extras ela terá como salário:
S(h) = 1500 + 10h
S(10) = 1500 + 10.10
S(10) = 1500 + 100
S(10) = 1600
O par ordenado formado é (10, 1600).
Se a cozinheira trabalhar 15 horas extras ela terá como salário:
S(h) = 1500 + 10h
S(10) = 1500 + 10.15
S(10) = 1500 + 150
S(10) = 1650
O par ordenado formado é (15, 1650).
Se a cozinheira trabalhar 20 horas extras ela terá como salário:
S(h) = 1500 + 10h
S(10) = 1500 + 10.20
S(10) = 1500 + 200
S(10) = 1700
O par ordenado formado é (20; 1700).
Unidade
3Funções e sistema cartesiano
102
Diferença entre Imagem e Contra Domínio
Todos os elementos do conjunto de saída (domínio) são usados, porém nem todos os elementos 
do conjunto de chegada são usados. Destes, os que são usados constituem a Imagem da função e o 
conjunto de chegada como um todo é o contra-domínio da função (IEZZI, 2013). Confira a Figura 3.4.
Figura 3.4: Domínio, Imagem e Contra-Domínio
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
A Figura 3.4 mostra a diferença entre contra-domínio e imagem, a imagem (parte destacada 
em vermelho) é o conjunto que possui relação com os elementos do domínio, já o contra-domínio é 
o conjunto B inteiro.
Função Injetora, sobrejetora e Bijetora 
Vamos estudar o que são funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras, alguns autores chamam 
essas funções de: injetivas, sobrejetivas e bijetivas.
Uma função é injetora quando elementos diferentes do domínio são transformados pela função 
em elementos diferentes no contra-domínio, ou seja, não há elemento do contra-domínio que seja 
imagem de mais de um elemento no domínio. Veja na Figura 3.5 que todos os elementos da imagem 
estão relacionados com um único elemento no domínio. Diferente do que ocorre na função sobrejetora, 
você pode verificar na Figura que um elemento da imagem está relacionado com dois elementos do 
domínio. Uma função é sobrejetora quando para qualquer elemento do contra-domínio pode se 
encontrar um elemento relacionado no domínio, uma função é sobrejetora, quando todo elemento do 
contra-domínio é imagem de pelo menos um elemento do domínio, perceba que o conjunto imagem é 
igual ao contra-domínio. Já uma função é bijetora quando ela é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, 
ou seja, todo elemento do contra-domínio é imagem de pelo menos um elemento do domínio (Im 
= CD) e não há elemento do contra-domínio que seja imagem de mais de um elemento no domínio.
Funções e sistema cartesiano
103
Unidade
3
Figura 3.5: Função Injetora, Sobrejetora e Bijetora
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
2. sIsTema CaRTesIaNO – PaR ORDeNaDO 
e PLaNO NUméRICO
Sistema cartesiano em localizações 
 Fonte: Pixabay. 
Um conjunto de dois números reais em uma determinada ordem forma um par ordenado.
exemplos:
O conjunto de todos os pares ordenados, formados por números reais, chama-se Plano Numérico, 
e cada par ordenado (x; y) é um ponto no Plano Numérico.
A Figura 3.6 nos mostra quatro regiões importantes no Plano Numérico, essas regiões são 
chamadas de quadrantes. O eixo horizontal, eixo x é denominado de eixo das abscissas e o eixo 
vertical, eixo das ordenadas.
Unidade
3Funções e sistema cartesiano
104
Figura 3.6: Quadrantes
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Podemos associar o Plano Cartesiano com a latitude e a 
longitude, temas relacionados aos estudos geográficos e 
à criação do atual sistema de posicionamento, o GPS. O 
Sistema de Posicionamento Global permite que saibamos 
nossa localização exata na terra, desde que tenhamos em 
mão um receptor de sinais GPS, informando a latitude, 
a longitude e a altitude com o auxílio de satélites em órbita da Terra. Um exemplo de 
utilização do GPS são os aviões, que para não se colidirem são monitorados e informados 
em qual rota devem seguir viagem.
Fonte: <http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/plano-cartesiano.htm>.
Vamos observar alguns gráficos de funções que ainda não estudamos, porém nosso objetivo é 
estudar conceitos como crescimento de funções, analisar pares ordenados e localizá-los.
A Figura 3.7 mostra uma função f(x) = x, essa função transforma o x escolhido nele mesmo. O 
ponto (0, 0) é localizado no centro dos quadrantes, chamado de origem do sistema, lembre-se que x 
= 0 “andamos 0 no eixo x” e y = 0, então “andamos 0 no eixo y”. O segundo valor escolhido de x foi 
2, a função transformará 2 nele mesmo, logo x = 2 e y = 2, então “andamos 2 unidades no eixo x” e 
a partir desse ponto “subimos 2 unidades no eixo y”. Observe ainda que, à medida que os valores de 
x aumentam, os valores de y também aumentam, então a função é crescente. Esta função é bijetora, 
pois todos os elementos do domínio são utilizados, a imagem coincide com o contra-domínio e cada 
elemento da imagem se relaciona apenas uma vez com os elementos do domínio.
Funções e sistema cartesiano
105
Unidade
3
Figura 3.7: Gráficos de Funções
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
A Figura 3.8 mostra uma função f(x) = -2x, essa função multiplica o x escolhido por -2. 
Quando x = 0, f(0) = -2:0 = 0, o ponto (0, 0) é localizado no centro dos quadrantes. O segundo valor 
escolhido de x foi 2, a função multiplicará 2 por -2, então f(2) = -2.2 = -4, logo x = 2 e y = -4, logo x = 2 
e y = -4, então “andamos 2 unidades no eixo x”e a partir desse ponto “descemos 4 unidades no eixo y”. 
Observe ainda que, à medida que os valores de x aumentam, os valores de y diminuem, então a função 
é decrescente. Esta função também é bijetora.
Figura 3.8: Gráficos de Funções
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Unidade
3Funções e sistema cartesiano
106
A Figura 3.9 mostra uma função f(x) = -x2. Quando x = -2, f(-2) = -(-2)2 = -4, o ponto (-2,- 4) 
“andamos para a esquerda 2 unidades “e a partir desse ponto “descemos 4 unidades no eixo y”. O 
segundo valor escolhido de x foi 0, então f(0) = -02 = 0, ponto localizado na origem do sistema e 
o terceiro valor de x é 3, f(3) = -32 = -9, então “andamos para a direita 3 unidades” e a partir desse 
ponto “descemos 9 unidades no eixo y” Esta função é crescente no intervalo (- ; 0) e decrescente no 
intervalo (0;+ ). Esta função não é nem injetora nem sobrejetora.
Figura 3.9: Gráficos de Funções
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Agora faça você os cálculos para obtenção de pares ordenados e acompanhe a localização dos 
pares ordenados em cada caso.
Figura 3.10: Gráficos de Funções
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Funções e sistema cartesiano
107
Unidade
3
Figura 3.11: Gráficos de Funções
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
sobre a Definição do Domínio e do Contra-Domínio das Funções
A grande maioria das funções que trabalharemos são chamadas funções reais. Tem domínio e 
contra-domínio real. Domínioé o conjunto de saída, ou seja, o conjunto dos elementos que utilizaremos 
como x na função. É importante analisar se todos os valores de x podem ser utilizados na função. Em 
relação ao domínio, existem dois problemas que precisam ser analisados, não existe divisão por zero, 
ou seja, em uma fração o denominador não pode ser zero, e o outro problema com domínio é que 
no conjunto dos números reais não existe raiz de número negativo, então em raízes de índices pares, 
números negativos não podem ficar dentro da raiz (radicando).
exemplos:
Unidade
3Funções e sistema cartesiano
108
Função Inversa
Se f é o conjunto de pares ordenados (x, y) e se existe uma função tal que : x = (y) se e 
somente se y = f(x)
Então, , que é o conjunto dos pares ordenados (y; x), é chamada a inversa da função f.
Chamamos f e de funções inversas. Para que uma função f admita a inversa, ela precisa ser 
bijetora (e portanto a imagem é igual ao contradomínio).
Veja um exemplo de como obter a inversa de uma função. Lembre-se: uma função admite 
inversa se ela for bijetora.
exemplo:
1 Determinar a função inversa de cada uma das funções:
Funções e sistema cartesiano
109
Unidade
3
Observe que o domínio de f se tornou contra-domínio de e que o contra-domínio de f se 
tornou o domínio de , pois são inversas.
Função Composta
Dadas duas funções f e g, a função composta é representada por :
(g○f)(x) = g(f(x))
A ideia geral em uma função composta é “trocar” o valor de x por uma outra função. Veja o 
exemplo a seguir:
exemplos:
1 Dadas as funções f(x) = e g(x) = 2-4x, determine a função f(g(x)), seu domínio e sua 
imagem.
Queremos determinar f(g(x)), então na função f vamos trocar o x pela função g(x).
Veja:
f(g(x)) = 
Como já substituímos na função f o valor de x pela função g, conseguimos encontrar a função 
f(g(x)).
Agora vamos analisar o domínio dessa função, como estamos trabalhando com uma raiz de 
índice par, o radicando 2 - 4x precisa ser um número positivo, então:
2 - 4x ≥ 0
-4x ≥ -2.(-1), atenção quando multiplicamos uma desigualdade por (-1), devemos alterar todos 
os sinais, inclusive o sinal da desigualdade, então se estamos com ≥ e vamos multiplicar por (-1), 
ficaremos com (≤).
4x ≤ 2
x ≤ 
x ≤ 
D =] ]
A imagem dessa função são os reais positivos, pois a resposta que a função nos fornece são 
números resultantes de uma raiz, e os resultados de uma raiz quadrada são somente positivos, Im = 
R+. Observe a Figura 3.12, ela esboça o gráfico da função f(g(x)).
Unidade
3Funções e sistema cartesiano
110
Figura 3.12: Gráficos de Funções
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
2 Dadas as funções f(x) = 2x2 - x e g(x) = x + 1, determinar f(g(x)) e g(f(x)).
Inicialmente vamos determinar f(g(x)), então na função f vamos substituir os valores
de x por g(x).
Agora para determinar g(f(x)), devemos na função g(x) trocar o valor de x por f(x):
Funções e sistema cartesiano
111
Unidade
3
A LCL Telefonia Ltda. produz celulares para 
empresas de telecomunicações. A produção consiste 
de duas etapas distintas, que são executadas cada 
uma em um galpão diferente da empresa. A primeira 
etapa consiste da produção do circuito integrado, na 
qual existe uma perda de 5% das placas produzidas. 
A segunda etapa, na montagem dos aparelhos, que 
tem uma perda de 10% de produtos. A LCL recebeu um pedido de 1.000 celulares de um 
de seus clientes, e o gerente de produção deseja determinar quantos circuitos impressos 
deve mandar produzir para atender a esse pedido. Considere x o número de componentes 
que entram em uma etapa de produção.
a) Qual função representa a produção de circuitos integrados? Sabemos que na produção 
as perdas representam 5% da produção, logo o aproveitamento é de 95%. Então, vamos 
construir uma função que represente a produção de circuitos integrados:
f(x) = 0, 95 .x
b) Qual função representa a montagem de celulares? A montagem de celulares tem uma 
perda de 10%, logo o aproveitamento é de 90% dos aparelhos.
g(x) = 0,9 .x
c) Determine a função g(f(x)).
g(f(x)) = 0, 9. (0, 95. x)
g(f(x)) = 0, 855x
A Figura 3.13 ilustra bem o que representa a função composta. Muitos livros tratam a função 
composta como sendo uma função que “passou” por uma determinada máquina e foi 
transformada e logo após “passou” por uma outra máquina e foi transformada novamente.
Figura 3.13: Função Composta
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Unidade
3Funções e sistema cartesiano
112
Figura 3.14: Função Composta
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Determine qual é o valor de x quando g(f(x)) = 1000?
g(f(x)) = 1000
0. 855x = 1000
x = 
x = 1169,59 1170 circuitos.
Dependência entre Variáveis
Uma variável y é diretamente proporcional à n-ésima potência da variável
x(n > 0) se:
y = k . xn
Onde k é uma constante não nula e é chamada de Constante de Proporcionalidade.
Uma variável y é inversamente proporcional à n-ésima potência da variável x(n > 0) se:
y = 
Onde k é uma constante não nula (DOCI, IEZZI e MURAKAMI, 2013).
Funções e sistema cartesiano
113
Unidade
3
3. FUNÇÃO POLINOmIaL DO 1º gRaU
Funções 
 Fonte: Pixabay. 
Uma função polinomial é dita do 1o grau se:
Sendo 
O coeficiente a é chamado de coeficiente angular. E o coeficiente b é chamado de coeficiente 
linear. A função polinomial do 1º grau também é chamada de Função Afim (IEZZI, 2012).
•	 Domínio e Imagem da Função Polinomial do 1º Grau
O domínio da função polinomial do 1º grau é todo o conjunto real. Na expressão que define a 
função, pode assumir qualquer valor, logo 
A imagem da função polinomial do 1º grau é todo o conjunto real, logo . Para qualquer 
valor real de sempre haverá um tal que . De fato, basta fazer .
Unidade
3Funções e sistema cartesiano
114
Por exemplo:
Se a função é e quisermos saber qual o valor de que resulta em um ,fazemos 
 , ou podemos substituir diretamente na função: 
•	 Gráfico da Função do 1º Grau
O gráfico da função do primeiro grau, y = ax + b, é representado por meio de uma reta e para 
traçar uma reta são necessários pelo menos dois pontos, é possível escolher quaisquer dois pontos, 
mas há dois pontos notáveis:
1) A interseção com o eixo , chamada de raiz da função, dada por ou também você 
pode igualar a função a zero, ou seja, substituir no lugar de y o valor zero.
2) A interseção com o eixo , chamada de interseção ou coeficiente linear, dada por , esse 
valor pode ser encontrado substituindo x por zero (IEZZI, 2012).
Exemplo:
Construir o gráfico da função y = 2x + 6.
A resolução desse exemplo você encontra no anexo.
Figura 3.15: Gráfico da função y = 2x+6.
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Funções e sistema cartesiano
115
Unidade
3
Como já foi citado, o coeficiente a é chamado de coeficiente angular. O coeficiente angular é o 
valor que y aumenta em resposta a cada unidade que x aumenta, por exemplo:
Quando x=1
f(x) = 2x + 6
f(1) = 2.1 + 6
f(1) = 2 + 6
f(1) = 8
Quando x=2
f(x) = 2x + 6
f(2) = 2.2 + 6
f(2) = 4 + 6
f(2) = 10
Na Matemática chamamos uma variação de . Então, na situação ilustrada acima, , 
enquanto Veja outro exemplo:
Quando x=5
f(x) = 2x + 6
f(5) = 2.5 + 6
f(5) = 10 + 6
f(5) = 16
Quando x=10
f(x) = 2x + 6
f(10) = 2.10 + 6
f(10) = 20 + 6
f(10) = 26
Observe que enquanto , ou seja, novamente podemos ver que a cada unidade 
de variação em x, y varia 2 unidades.
O coeficiente angular costuma ser definido como a taxa de variação de y em relação à variação 
de x, ou seja:
Outro exemplo
Observe que, o valor de x aumentou 1 
unidade, enquanto o valor da função 
aumentou duas unidades. Isso se deve 
ao fato do coeficiente angular ser 2.
 
Como já foi citado, o coeficiente a é chamado de coeficiente angular. O coeficiente 
angular é o valor que y aumenta em resposta a cada unidade que x aumenta, por 
exemplo: 
Quando x=1 
f(x) = 2x + 6 
f(1) = 2.1+ 6 
f(1) = 2 + 6 
f(1) = 8 
Quando x=2 
f(x) = 2x + 6 
f(2) = 2.2 + 6 
f(2) = 4 + 6 
f(2) = 10 
Na Matemática chamamos uma variação de ∆. Então, na situação ilustrada acima, 
∆� � �, enquanto ∆� � �� Veja outro exemplo: 
Quando x=5 
f(x) = 2x + 6 
f(5) = 2.5 + 6 
f(5) = 10 + 6 
f(5) = 16 
Quando x=10 
f(x) = 2x + 6 
f(10) = 2.10 + 6 
f(10) = 20 + 6 
f(10) = 26 
Observe que enquanto ∆� � �� ∆� � ��, ou seja, novamente podemos ver que a 
cada unidade de variação em x, y varia 2 unidades. 
O coeficiente angular costuma ser definido como a taxa de variação de y em relação 
à variação de x, ou seja: 
� � ∆�∆�
Outro exemplo
Na função do 1º grau: � � ��� ���� �, o coeficiente angular é �
�
�, isto é, para cada aumento 
de uma unidade no x o y vai aumentar�� ��, unidades (quer dizer, o y vai diminuir 
�
� 
unidades). 
Como sugestão de exercício, determine os dois pontos necessários para a construção da reta 
da função � � ��� ���� �. 
Figura 3.15: Gráfico da função y = �� ���� �.
Observe que, o valor de x 
aumentou 1 unidade, enquanto o 
valor da função aumentou duas 
unidades. Isso se deve ao fato 
do coeficiente angular ser 2. 
Unidade
3Funções e sistema cartesiano
116
Figura 3.15: Gráfico da função y = .
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
A seguir é apresentado um esquema que contém as possíveis representações de uma função do 
primeiro grau: .
Figura 3.16: Função Crescente e Decrescente
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
ANOTE ISSO: o 
coeficiente angular nos 
informa se a função é 
crescente ou decrescente.
Funções e sistema cartesiano
117
Unidade
3
O custo unitário de produção de geradores da LCL 
Eletromecânica Ltda. é uma função polinomial do 1º 
grau da quantidade mensal produzida. 
Sabe-se que:
•	 para uma produção de 30 unidades, o custo unitário é 
de R$20,00 e,
•	 para uma produção de 100 unidades, esse custo é de 
R$10,00.
Pergunta-se:
a. Como a função que descreve o valor do custo unitário em função da quantidade 
produzida é representada graficamente?
Sabemos que a função passa nos pontos P1=(30;20) e P2 = (100 ; 10), portanto é possível 
obter a representação gráfica:
Figura 3.17: Representação Gráfica
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Podemos perceber que esta função é decrescente, assim a<0 e como o ponto que o gráfico 
intercepta o eixo y está na parte positiva do eixo, b>0.
b. Qual é a equação para esta função?
Para determinar a equação desta função, vamos considerar as informações conhecidas. 
No ponto, P1=(30;20), x = 30 e y = 20, e P2 = (100 ; 10), x=100 e y = 10, então vamos 
substituir esses valores na função.
Temos então duas equações, então vamos construir um sistema de equações:
Resolvendo o sistema (pelo método que julgar melhor) temos como resultado: 
Para x = 100 e y = 10.
y = ax + b
10 = a.100 + b
100a + b = 10
Para x = 30 e y = 20.
y = ax + b
20 = a.30 + b
30a + b = 20
 
 
Figura 3.17: Representação Gráfica 
 
Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017. 
 
Podemos perceber que esta função é decrescente, assim a<0 e como o ponto que 
o gráfico intercepta o eixo y está na parte positiva do eixo, b>0. 
 
b. Qual é a equação para esta função? 
Para determinar a equação desta função, vamos considerar as informações 
conhecidas. No ponto, P1=(30;20), x = 30 e y = 20, e P2 = (100 ; 10), x=100 e y = 10, 
então vamos substituir esses valores na função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos então duas equações, então vamos construir um sistema de equações: 





10100
2030
ba
ba
 
Resolvendo o sistema (pelo método que julgar melhor) temos como resultado: 
 e . 
#ISSO ACONTECE NA PRÁTICA# 
 
Caso LCL Financeira Ltda. 
A LCL Financeira Ltda. realiza operações de CDC (Crédito Direto ao Consumidor). 
Como uma vantagem competitiva sobre a concorrência, ela divulga que seus 
Para x = 30 e y = 
20. 
y = ax + b 
20 = a.30 + b 
30a + b = 20 
Para x = 100 e y = 
10. 
y = ax + b 
10 = a.100 + b 
100a + b = 10 
Figura 3.17: Representação Gráfica 
Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017. 
Podemos perceber que esta função é decrescente, assim a<0 e como o ponto que 
o gráfico intercepta o eixo y está na parte positiva do eixo, b>0. 
b. Qual é a equação para esta função? 
Para determinar a equação desta função, vamos considerar as informações 
conhecidas. No ponto, P1=(30;20), x = 30 e y = 20, e P2 = (100 ; 10), x=100 e y = 10, 
então vamos substituir esses valores na função. 
Temos então duas equações, então vamos construir um sistema de equações: 





10100
2030
ba
ba
Resolvendo o sistema (pelo método que julgar melhor) temos como resultado: 
 e .
#ISSO ACONTECE NA PRÁTICA#
Para x = 30 e y = 
20.
y = ax + b 
20 = a.30 + b 
30a + b = 20 
Para x = 100 e y = 
10. 
y = ax + b 
10 = a.100 + b 
100a + b = 10 
Unidade
3Funções e sistema cartesiano
118
Caso LCL Financeira Ltda.
A LCL Financeira Ltda. realiza operações de CDC (Crédito Direto ao Consumidor). Como uma 
vantagem competitiva sobre a concorrência, ela divulga que seus empréstimos utilizam a cobrança 
de juros simples, isto é, um percentual de 10% a.m. sobre o capital inicial do empréstimo. Um cliente 
deseja tomar um CDC no valor de R$100.000,00 e devolver em três meses o valor do empréstimo 
acrescido dos juros. Quanto o cliente terá que devolver ao final do período?
solução
O valor de juros é de 10% ao mês sobre o valor emprestado. Os juros funcionam como se fosse 
um aluguel do dinheiro emprestado: para cada mês que o dinheiro ficar emprestado o valor do aluguel 
é 10%. O símbolo % (por cento) significa por cem, e então 10% quer dizer . Como o cliente 
quer pegar R$100.000,00, então para cada mês o valor do “aluguel do dinheiro”, ou seja, do juros é 
de: 10%(100.000) = 0,1x(100.000) = 10.000. Ao final do 1º mês o valor do saldo devedor é igual a 
R$110.000,00 (valor do empréstimo + juros), isto é, para x = 1, y = 110.000. Temos então, dois pontos: 
P1 = (0;100.000) e P2 = (1, 110.000), substituindo os valores de x e y na relação de função : y=ax+b, 
para poder determinar a e b e assim escrever a função do “aluguel do dinheiro”. Resolvendo o sistema 
resultante teremos como resposta a = 10000 e b = 100000, logo a função é:
y = 10.000x + 100.000
Conhecendo a função podemos calcular quanto o cliente deverá devolver ao final do período 
que corresponde a 3 meses, então x=3.
y = 10.000x + 100.000
y = 10000.3 + 100000
y = 30000 + 100000
y = 130000
Vamos retornar novamente ao estudo dos gráficos da função polinomial do 1º grau. A seguir são 
apresentados os gráficos das funções y = x e y = x+4. 
Figura 3.18: Gráfico das funções y = x e y = x+4 
DICA: Pratique 
a construção desse 
tipo de gráfico que 
é uma reta!
 
Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Funções e sistema cartesiano
119
Unidade
3
O foco desse estudo sobre gráficos é você observar que à primeira função foram adicionadas 
4 unidades. A pergunta é: o que acontece com o gráfico y = x quando adicionamos 4 unidades a ele, 
deixando-o como y = x + 4?
Uma alteração no coeficiente linear (b) provoca um deslocamento vertical no gráfico da função 
– movimento de translação vertical. Observe na figura a seguir que essa alteração no coeficiente 
linear NÃO ALTERA os valores de x, apenas de y.
Figura 3.19: Gráfico translação vertical
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Agora vamos ver o que acontece com o gráfico quando efetuamos uma alteração no coeficiente 
angular. Considere as funções y = x e y = 2x. Uma alteração no coeficiente angular provoca uma 
rotação no gráfico da função. Observe a figura com a comparação destes dois gráficos.
Figura 3.20: Gráfico de comparação das funções y = x e y = 2x
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Unidade
3Funções e sistema cartesiano
120
Quando na função do 1o grau 
ocorre de , a função é chamada de Função Linear que é da forma. As funções lineares 
sempre passam na origem – o ponto (0 , 0). Se, além de se tem , a função é chamada de 
Função Identidade e assume a forma: . função identidade é uma função linear importante, 
pois ela passa em todos os pontos da forma , a saber: (-2,-2), (0,0), (1,1),(5,5), (120,120), entre 
muitos outros nos quais a x = y. Os gráficos a seguir mostram a comparação entre a função linear e a 
identidade.
Figura 3.21: Função Linear e Função Identidade
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Caso LCL motores
A LCL Motores Ltda. está à procura de um modelo matemático que relacione o valor de 
suas receitas mensais em função da quantidade de motores vendidos no mês. O departamento 
de marketing fixou o preço de venda em R$25,00. A operação da empresa precisa ser lucrativa. O 
departamento de produção precisa descobrir qual o custo total máximo que pode ocorrer para uma 
produção de 50 unidades. 
Para fazer esta análise, deseja-se descrever e estudar a função de receita. Receita é praticamente 
equivalente ao termo “ganho”, mas em contabilidade é feita uma sutil diferença entre estes termos. 
Uma empresa tem operações recorrentes, que geram um fluxo financeiro positivo através da venda de 
seus produtos ou serviços. Diz-se que este fluxo financeiro é a receita da empresa. Um ganho seria um 
fluxo financeiro positivo que fosse oriundo de uma operação não corriqueira, como o recebimento de 
uma doação, por exemplo.
Vamos chamar de a quantidade produzida e de a receita, então . O preço de venda 
é constante e igual a 25 para qualquer nível de produção, ou seja, para qualquer valor de . Logo, a 
função receita pode ser descrita como y = 25.x. Como a>0 sabemos que a função é crescente e como 
b= 0, a função é linear. Queremos saber o custo máximo quando x = 50, então:
Funções e sistema cartesiano
121
Unidade
3
y = 25.x
y = 25.50
y = 1250
Assumindo a hipótese de que os 50 itens produzidos foram vendidos, o custo de produção deve 
ser menor que o total da receita, logo a operação não pode custar mais de R$ 1250,00. 
 
Caso LCL Tratores Ltda.
A LCL Tratores Ltda. está estudando a implantação de uma fábrica no Brasil. A decisão da 
implantação está na dependência da viabilidade econômico-fi nanceira desse empreendimento:
•	 O investimento total é de R$500.000,00.
•	 A LCL Tratores espera que o retorno deste investimento ocorra em até três anos.
•	 A demanda no período (3 anos) foi estimada em 200 unidades.
Cada trator é vendido por R$50.000,00 e tem um custo de fabricação de R$30.000,00. 
Desconsiderando outros custos, a fábrica deve ou não ser implementada?
A resolução deste caso encontra-se no anexo.
4. FUNÇÃO POLINOmIaL DO 2º gRaU
Função do 2º grau 
 Fonte: Pixabay.
Uma função polinomial é dita do 2º grau se...
Fonte: Pixabay. 
Uma função polinomial é dita do 2º grau se... 
sendo 
A função polinomial do 2º grau também é chamada de Função Quadrática. O 
gráfico de uma função quadrática é uma curva especial chamada de parábola 
(IEZZI, MURAKAMI; 2013). 
Para fazer a representação gráfica da função do 2º grau, três pontos para 
determinar a parábola, porém usamos 5 para perceber o eixo de simetria. A seguir é 
apresentado o gráfico da função do 2º grau y = x²+2x+1. Mas como este gráfico foi 
construído? Ele foi construído atribuindo-se valores a x e calculando a resposta 
através da função. 
Figura 3.21: Gráfico da função do 2º grau 
Fonte: Pixabay. 
Uma função polinomial é dita do 2º grau se... 
sendo 
A função polinomial do 2º grau também é chamada de Função Quadrática. O 
gráfico de uma função quadrática é uma curva especial chamada de parábola 
(IEZZI, MURAKAMI; 2013). 
Para fazer a representação gráfica da função do 2º grau, três pontos para 
determinar a parábola, porém usamos 5 para perceber o eixo de simetria. A seguir é 
apresentado o gráfico da função do 2º grau y = x²+2x+1. Mas como este gráfico foi 
construído? Ele foi construído atribuindo-se valores a x e calculando a resposta 
através da função. 
Figura 3.21: Gráfico da função do 2º grau 
Unidade
3Funções e sistema cartesiano
122
 A função polinomial do 2º grau também é chamada de Função Quadrática. O gráfico de uma 
função quadrática é uma curva especial chamada de parábola (IEZZI, MURAKAMI; 2013).
Para fazer a representação gráfica da função do 2º grau, três pontos para determinar a parábola, 
porém usamos 5 para perceber o eixo de simetria. A seguir é apresentado o gráfico da função do 2º 
grau y = x²+2x+1. Mas como este gráfico foi construído? Ele foi construído atribuindo-se valores a x 
e calculando a resposta através da função.
Figura 3.21: Gráfico da função do 2º grau
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Não se esqueça que quando vamos construir o gráfico de 
uma função temos valores de x e y que formam, nessa 
ordem, o par ordenado (x,y).
Fonte: Elaborado pela autora.
O eixo de simetria divide a parábola em duas partes que tem o comportamento exatamente 
oposto (simétrico). No exemplo, a primeira parte é decrescente e a segunda parte é crescente. O eixo 
de simetria passa pelo vértice da parábola, que é o ponto exato da função onde há a mudança de 
comportamento, ou seja, é o ponto onde a função que está crescente começa a decrescer e vice-versa. 
Veja na figura a seguir o vértice destacado e observe que exatamente neste ponto a função que estava 
decrescente, no intervalo e no intervalo a função fica crescente.
Funções e sistema cartesiano
123
Unidade
3
Figura 3.22: Vértice da função do 2º grau
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Para a construção do gráfico da função do 2º grau, utilizamos a estratégia de atribuir valores à x e 
calcular y através da função, mas para alguns pontos, como o vértice, temos uma fórmula matemática 
que nos auxilia a fazer isso, veja a seguir:
 (x do vértice) e (y do vértice)
Temos então o par ordenado que forma o vértice: ( ). Vamos verificar se isso funciona? Na 
função y = x²+2x+1 vamos calcular o ( ).
Inicialmente identificando a, b e c, temos: a = 1, b = 2 e c = 1. Vamos calcular :
Calculando 
Unidade
3Funções e sistema cartesiano
124
Agora, 
Logo o par ordenado que representa o vértice é (-1,0). Exatamente o ponto que esboçamos no 
gráfico. Agora, você tem como calcular esse ponto importante para o gráfico da função do 2º grau de 
uma maneira correta, sem ser por tentativa de acerto.
Você deve se lembrar de quando estudamos a equação do 2º grau, nós sabíamos a quantidade 
de raízes que a equação do 2º grau possuía através do cálculo do ∆. O mesmo ocorre com a função 
quadrática, ela pode ter duas raízes, x1 e x2, ou não ter raízes. Mas estas raízes podem ser diferentes 
uma da outra ou iguais entre si, o que dá a sensação de ser uma raiz só. As raízes de cada função do 
segundo grau comportam-se de acordo com o valor do delta (∆), se:
 a função possui duas raízes reais distintas
 a função possui duas raízes reais iguais
 a função não possui raízes reais
Para obter o valor das raízes da função é necessário resolver a equação do segundo grau, que, 
conforme já foi estudado, é feito com a Fórmula de Bháskara:
Caro aluno, já estudamos o vértice que é um ponto muito importante na parábola, agora você 
vai conhecer outo ponto importante na parábola, isso vai te ajudar muito, pois não terá que ficar 
atribuindo valores para x e calculando o resultado de y. O coeficiente c é o local onde a parábola corta 
o eixo y, veja alguns exemplos nos gráficos a seguir:
OBSERVE: No exemplo anterior 
observamos no gráfico uma só raiz, pois 
de fato: .
Para obter o valor das raízes da função é necessário resolver a equação do 
segundo grau, que, conforme já foi estudado, é feito com a Fórmula de Bháskara: 
� � � ���√∆��� �1 � �
���√∆
2�� e �2 � �
���√∆
2��
Caro aluno, já estudamos o vértice que é um ponto muito importante na parábola, 
agora você vai conhecerouto ponto importante na parábola, isso vai te ajudar muito, 
pois não terá que ficar atribuindo valores para x e calculando o resultado de y. O 
coeficiente c é o local onde a parábola corta o eixo y, veja alguns exemplos nos 
gráficos a seguir: 
Figura 3.23: Efeito do coeficiente c no gráfico da função do 2º grau 
Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017. 
É conveniente registrar que após a translação a função sofre alteração nas suas 
raízes. No exemplo, a função original tinha duas raízes iguais a -1 e passou a não 
ter raízes, se não tem raiz então significa que ∆� �, porém com essa translação, o 
eixo de simetria não se alterou! 
Outra informação importante de se ter em relação à função do 2º grau é sobre o 
coeficiente a O coeficiente a está ligado à concavidade da parábola (concavidade é 
o lado da parábola que possui a “cavidade”). Então temos que: 
 Se a > 0, então a concavidade da parábola está voltada para cima. 
 Se a < 0, então a concavidade da parábola está voltada para baixo. 
OBSERVE: Quando ∆� �, não 
há raízes reais, logo o gráfico 
não intercepta o eixo x. 
Funções e sistema cartesiano
125
Unidade
3
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
É conveniente registrar que após a translação a função sofre alteração nas suas raízes. No 
exemplo, a função original tinha duas raízes iguais a -1 e passou a não ter raízes, se não tem raiz então 
significa que , porém com essa translação, o eixo de simetria não se alterou!
Outra informação importante de se ter em relação à função do 2º grau é sobre o coeficiente a 
O coeficiente a está ligado à concavidade da parábola (concavidade é o lado da parábola que possui a 
“cavidade”). Então temos que:
•	 Se a > 0, então a concavidade da parábola está voltada para cima.
•	 Se a < 0, então a concavidade da parábola está voltada para baixo.
Figura 3.24: Concavidade da parábola
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Resumindo: Para a construção do gráfico de uma função do 2º grau, temos alguns pontos 
importantes a analisar:
Figura 3.23: Efeito do coeficiente c no gráfico da função do 2º grau
OBSERVE: Quando , não há raízes 
reais, logo o gráfico não intercepta o eixo x.
Unidade
3Funções e sistema cartesiano
126
Concavidade da parábola: o coeficiente a nos informa que se a>0 a concavidade da parábola é 
para cima e se a<0 a concavidade é voltada para baixo;
•	 Vértice da parábola temos que e . 
•	 Outro ponto importante é calcular as raízes da função do 2º grau, pois saberemos onde a 
função intercepta o eixo x.
•	 E por último, devemos analisar onde a função intercepta o eixo y, o coeficiente c nos traz 
essa informação.
Agora podemos construir uma função do 2º grau a partir desses quatro passos importantes.
Exemplo: Represente graficamente: .
•	 Você encontra o passo a passo dessa resolução no anexo.
Vamos expandir um pouco mais o nosso conhecimento sobre gráficos da função do 2º grau.
O coeficiente a está relacionado com a concavidade da parábola, quando o valor de a aumenta a 
concavidade da parábola fica mais “fechada” e quando o valor do coeficiente a diminui, a concavidade 
da parábola fica mais “aberta” (IEZZI, MURAKAMI; 2013). Veja os gráficos a seguir com alterações 
no coeficiente a e perceba o que ocorre com a concavidade da parábola.
Figura 3.25: Alteração no coeficiente a
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
O coeficiente b está ligado ao deslocamento (simultaneamente horizontal e vertical) da parábola: 
Figura 3.26: Alteração no coeficiente b, quando b é positivo
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Funções e sistema cartesiano
127
Unidade
3
Figura 3.27: Alteração no coeficiente b, quando b é negativo
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
E por último o coeficiente c está ligado ao deslocamento estritamente vertical da parábola. 
Quando c>0 o deslocamento é para cima e quanto c<0 o deslocamento é para baixo.
Figura 3.28: Alteração no coeficiente c, quando c>0
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Figura 3.29: Alteração no coeficiente c, quando c<0
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Unidade
3Funções e sistema cartesiano
128
A Maçãs Verdes Agrícola Ltda. vende suas frutas para 
o mercado varejista, e o preço de venda é variável 
com a quantidade de caixas que o varejista compra. 
Para uma caixa de 20kg, o preço é de R$200,00. Um 
desconto de R$2,00 é dado por cada caixa adicional, 
isto é, se o atacadista comprar duas caixas, ele pagará 
por cada caixa R$199,00; se o atacadista comprar três caixas, ele pagará R$198 por cada 
caixa, e assim sucessivamente.
Perguntas:
1. Como é possível descrever a receita da venda para um cliente da Maçãs Verdes Agrícola 
Ltda. como uma função da quantidade vendida?
2. É possível determinar a quantidade que vai gerar a maior receita por venda para a 
empresa?
•	 A resolução deste problema você encontra no anexo.
Caro aluno, você estudou no problema Caso Maçãs Verdes Agrícola Ltda. que uma 
função do segundo grau atinge um valor máximo e que podemos calcular este valor. 
Vamos então aprofundar no assunto de máximos e mínimos da função do 2º grua, pois é 
um assunto de extrema importância, pois tem aplicações em diversos setores.
Ponto máximo da Função do 2º grau
Uma função polinomial do 2º grau tem um ponto de máximo sempre 
que , pois quando a concavidade da parábola está voltada para baixo. Temos três casos 
possíveis que são apresentados abaixo.
Figura 3.30: Casos de ponto máximo da parábola
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Temos três casos possíveis, o primeiro onde a função intercepta o eixo x em dois pontos, logo 
, o segundo em que a função intercepta o eixo x em um único ponto, então , e por último 
onde a função não intercepta o eixo x, então 
Funções e sistema cartesiano
129
Unidade
3
O maior valor de vai ser igual a e ocorrerá quando for igual a .
Vamos retornar ao caso das Maçãs Verdes Agrícolas Ltda.
Seja o custo de produção por caixa de R$100,00 e o custo de frete de entrega a R$2,00 por caixa, 
pago à transportadora. A transportadora dá um desconto de R$0,10 dado por cada caixa adicional 
entregue a um mesmo cliente.
a. Quais são as expressões da Função Custo e da Função Receita?
Agora temos uma situação em que temos um custo adicional, custo de produção e custo de frete. 
Então a Função Custo é: 
Onde:
•	 é o Custo Total,
•	 é o Custo de Produção. O custo de produção é calculado multiplicando R$100,00 pela 
quantidade de caixas, então: 
•	 é o Custo de Frete, que é , e como o frete tem o valor de R$2,00 por caixa e 
é dado um desconto de R$0,10 por caixa podemos escrever então: 
.
•	 Agora podemos escrever a função Custo Total:
•	
•	 , aplicando a propriedade distributiva, temos:
b. Qual a quantidade transacionada proporciona o maior custo?
A partir da função , podemos calcular o vértice, pois o vértice corresponde 
ao ponto máximo dessa função. Então temos que o vértice é composto por ( . A variável que 
representa é a quantidade e a variável que representa é o custo total
.
Logo, a quantidade que proporciona maior lucro é 
c. Qual será o valor do maior custo?
Para calcular o maior custo, precisamos calcular o , que neste exemplo é o custo total.
Da mesma maneira que a função polinomial do 2º grau tem ponto de máximo, ela também tem 
ponto de mínimo. Uma função do 2º grau terá um ponto de mínimo sempre que 
, observe o gráfico a seguir.
Unidade
3Funções e sistema cartesiano
130
Figura 3.31: Casos de ponto máximo da parábola
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
O menor valor de vai ser igual a e ocorrerá quando for igual a .
O domínio da função polinomial do 2º grau é todo o conjunto real, ou seja, na expressão que 
define a função, pode assumir qualquer valor, logo 
Já a imagem da função polinomialdo 2º grau não é todo o conjunto real, pois para podemos 
determinar qual é a imagem da função do 2º grau precisamos levar em consideração a concavidade 
da função, pois:
Quando a função tem um ponto de mínimo, então a imagem é limitada inferiormente pelo 
vértice, em outras palavras: quando temos .
Quando a função tem um ponto de máximo, então a imagem é limitada superiormente pelo 
vértice, ou seja, quando temos .
Veja alguns exemplos:
Figura 3.32: Exemplos: domínio e imagem da função do 2º grau
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Funções e sistema cartesiano
131
Unidade
3
5. FUNÇões aLgéBRICas
Funções 
 Fonte: Pixabay.
Vamos agora estudar outras funções algébricas, iniciando com uma expansão nas funções 
polinomiais. 
Uma função é dita Polinomial de grau n se
Sendo 
•	 n um número natural 
•	
Nós já estudamos detalhadamente as seguintes funções polinomiais:
•	 de grau 1, ou de 1º grau, chamadas de Funções Afins
•	 de grau 2, ou de 2º grau, chamadas de Funções Quadráticas
Vamos observar agora outras funções polinomiais.
Unidade
3Funções e sistema cartesiano
132
Função polinomial de grau 3
Toda função polinomial de grau 3 pode ser escrita na forma:
Onde necessariamente .
Os valores são as raízes da função e podem ser iguais entre si ou não. Portanto, uma 
função polinomial de grau 3 pode ter até 3 raízes diferentes.
Observe os gráficos a seguir, neles fica claro observar a relação 
.
Figura 3.33: Gráficos da função do 3º grau
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Observe no primeiro gráfico que da função f(x) = x³, verifique que o único ponto que o gráfico 
intercepta o eixo x é quando x=0, então substituindo os valores na relação, como ilustrado no gráfico, 
resolvendo 1.(x-0).(x-0).(x-0), ficaremos com 1x³, que corresponde à primeira função do gráfico, já no 
segundo exemplo, o gráfico também intercepta o eixo x em um único ponto, quando x=0, resolvendo 
-1.(x-0).(x-0).(x-0), ficaremos com -1x³, que corresponde à primeira função do gráfico.
Veja mais exemplos no gráfico a seguir.
Figura 3.34: Gráfico da função f(x) = 2x³ - 10x² -2x + 10
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Funções e sistema cartesiano
133
Unidade
3
Percebemos que as raízes são: -1, 1 e 5 e o valor do coeficiente a é 2. Substituindo esses valores 
na relação , temos:
, aplicando a distributiva
Sempre é possível escrever a função do 3º grau a partir do gráfico ou a partir de suas raízes.
Função do 4º grau
Toda função polinomial de grau 4 pode ser escrita na forma:
Onde necessariamente .
Os valores são as raízes da função e podem ser iguais entre si ou não, portanto, uma 
função polinomial de grau 4 pode ter até 4 raízes diferentes, esta lógica permanece assim: uma função 
polinomial de grau pode ter até raízes diferentes.
Função Potência
Uma função é dita Função Potência quando:
 onde é a base e a é o expoente, sendo importante que 
Os expoentes podem ser naturais, neste caso a função é polinomial, por exemplo: f(x) = x, f(x) 
= x², f(x) = x³, e assim por diante.
Função Recíproca
Uma função é recíproca quando
Unidade
3Funções e sistema cartesiano
134
Perceba que escrever , é o mesmo que Então, a função recíproca é uma 
função potência de expoente inteiro -1. O gráfico a seguir mostra a função recíproca. O gráfico foi 
construído atribuindo-se valores a x e encontrando os valores em y.
Figura 3.35: Função recíproca
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
•	 A função recíproca possui as seguintes características:
•	
•	
•	 O gráfico é uma curva chamada hipérbole.
•	 A função apresenta uma descontinuidade em . Você aprenderá em Matemática II o que 
significa o termo descontinuidade.
•	 Para valores de próximos de 0, assume valores muito grandes (se ) ou muito 
pequenos (se ).
Função Racional
Uma função é racional quando
onde e são polinômios de 
Exemplos de funções racionais:
a) , podemos estudar o domínio dessa função. Como já estudamos na aula sobre 
domínio das funções, toda função que apresenta denominador ela tem problema de domínio, pois 
podemos utilizar quaisquer valores de x para essa função, menos o x que deixa o denominador igual a 
zero. Então, o denominador deve sempre ser diferente de zero.
b) 
c) 
d) 
Funções e sistema cartesiano
135
Unidade
3
Logo, . Para os próximos itens, faça você a determinação sobre o domínio das funções.
, 
, 
d) , 
No anexo você encontrará os gráficos de cada uma dessas funções, bem como a indicação de 
imagem.
Função Irracional
Uma função é dita irracional se...
sendo uma expressão algébrica de (um polinômio ou uma operação de polinômios).
O domínio da função irracional é limitado principalmente quando for par, pois neste caso é 
necessário que (WAGNER, 2011). (Se a dúvida persistir, retorne nas aulas sobre domínio 
de funções e você irá verificar que em raízes de índices pares a função do radicando deve ser positiva, 
ou seja, maior ou igual a zero).
Vamos nos concentrar no caso em que , ou seja, a raiz é quadrada. Vamos prosseguir da 
mesma forma, analisar o gráfico e determinar domínio e imagem da função 
Figura 3.36: Gráfico de 
#ANOTE ISSO# Domínio (você deve 
observar os valores de x que são 
utilizados): Veja que os únicos valores de 
x utilizados são os positivos, logo D = .
#ANOTE ISSO# Imagem (você deve 
observar quais valores de y são utilizados): 
Os valores de y utilizados são todos os 
positivos, logo Im = .
Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Unidade
3Funções e sistema cartesiano
136
É crescente em todo o seu domínio e é a função inversa de (você pode verificar isso 
utilizando seus conhecimentos de função inversa). 
Pratique com os exemplos a seguir:
Figura 3.37: Gráfico dos exemplos
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
CONCLUsÃO
Nesta unidade você estudou as funções e modelou diversos problemas cotidianos a partir 
dos conhecimentos adquiridos. As funções correspondem a uma área de grande aplicabilidade na 
Matemática e outras ciências. Você também aprofundou seus conhecimentos sobre análise gráfica e 
determinação de domínio e imagem de uma função.
ReFeRÊNCIas
DOCI, Osvaldo; IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar vol. 
2 – Logaritmos. 10ª ed. Rio de Janeiro: Atual, 2013.
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar vol. 1 - Conjuntos – 
Funções. 9ª ed. Rio de Janeiro: Atual, 2013. 
IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar vol. 4 – Sequências, matrizes, determinantes 
e sistemas. 8ª ed. Rio de Janeiro: Atual, 2012.
______. Fundamentos de Matemática Elementar vol. 6 – Complexos, Polinômios, Equações. 8ª ed. 
Rio de Janeiro: Atual, 2013. 
Funções e sistema cartesiano
137
Unidade
3
______. Fundamentos de Matemática Elementar vol. 5 – Combinatória e Probabilidade. 8ª ed. Rio 
de Janeiro: Atual, 2013. 
LACHTERMACHER, Gerson; COELHO, Paulo Sérgio de Souza. Matemática I. Rio de Janeiro: 
Editora FGV, 2017.
WAGNER, Eduardo. Matemática I. Rio de Janeiro: Editora FGV, 2011.
Unidade
4
Objetivos de aprendizagem 
da unidade
• Transformar a linguagem de um problema em linguagem 
matemática por meio do uso das variáveis
• conhecer os coeficientes da equação do 2º grau e resolver a 
equação do 2º grau
• Transformar um problema usando a linguagem matemática; 
relacionar duas variáveis em duas equações
• Reconhecer a equação racional como equação que envolve 
cálculos com raízes
• Resolver situações que envolvem inequações, inequações produto 
e quociente
Professora Mestre Mariana Rodrigues barbosa dos Santos
ÁlgebRa
Álgebra
139
Unidade
4
INTRODUÇÃO 
Aqui começa a álgebra no nosso curso. E ela vai nos acompanhar para sempre. A álgebra 
representa a substituição de números (e outros elementos matemáticos) por variáveis. Essas variáveis 
são trocadas por letras (x, y, z, w, a, entre outras).A álgebra é utilizada como recurso fundamental 
de abstrair e generalizar. A álgebra permite que estudemos, de forma abstrata, regras que podem ser 
aplicadas a diversas situações diferentes, ou seja, podem ser generalizadas.
1. INTRODUÇÃO à ÁlgebRa
Álgebra, recurso de abstrair e generalizar 
 Fonte: Pixabay.
Veja uma situação cotidiana:
Um vendedor ganha 10% de comissão. Se ele vendeu uma televisão por R$2.000, a comissão dele 
foi: 10%.2000 = 2000 = 0,1.2000 = 200.
E se ele vender um produto que custa R$4.500, qual será sua comissão? Será: 10%.4500 = 0,1 
.4500 = 450.
 Perceba que independentemente do valor vendido, o cálculo da comissão será sempre o mesmo, 
então neste caso conseguimos escrever uma regra geral, ou seja, generaliza.
Unidade
4Álgebra
140
Vamos então chamar o valor da venda de x e C(x) a comissão obtida com a venda do produto 
x, então podemos escrever uma regra geral para a comissão: C(x) = 0,1.x. Na expressão C(x) = 0, 1.x 
utilizamos símbolo para representar o valor da venda, x e símbolo para representar a comissão, C(x), 
então podemos dizes que x e C(x) são as variáveis do problemas, pois mudam de valor, diferente do 
0,1, como ele sempre assumirá esse valor, não trocamos ele por um símbolo, logo não é uma variável.
Podemos calcular novamente as comissões utilizando a regra geral:
Para x = 2000, C(x) = 0, 1.x = 0,1.2000 = 200, trocamos x na expressão por 2000.
Para x = 4500, C(x) = 0, 1.x = 0,1.4500 = 450, trocamos x na expressão por 4500.
Termo algébrico
Termo Algébrico é o produto de um número (chamado coeficiente) por potências racionais de 
variáveis (WAGNER, 2011).
•	 0,1.x: neste caso 0, 1 é o coeficiente e x é a variável;
•	 4xy: neste caso 4 é o coeficiente e x e y são as variáveis;
•	 : observe neste caso que não há número, então o coeficiente é 1, não colocamos o 
coeficiente, pois ele é o elemento neutro da multiplicação. x e y são as variáveis. Lembre-se: 
sempre que a raiz não possui índice é por que ela é uma raiz quadrada.
•	 ∛(x²√y): o coeficiente é 1 e x e y são as variáveis.
Monômio, grau de um Monômio
Denominamos monômio ou termo algébrico quaisquer expressões algébricas representadas por 
um número, por uma incógnita, ou pelo produto de números e incógnitas. Como por exemplo: 6x, 
4x2, 2xy, -14zx, entre outros (WAGNER, 2011).
O grau de um monômio é obtido através da soma dos expoentes de todas as variáveis.
exemplos:
•	 4xy, o grau desse monômio é a soma dos expoentes das variáveis x e y. Quando alguma variável 
não possui expoente, é porque o expoente dela é 1, então o monômio 4xy tem grau 2.
•	 , monômio de grau 4.
•	 5, monômio de grau 0, pois não possui variável.
•	 7zy², monômio de grau 3.
Polinômio e grau de um Polinômio
Um polinômio é a soma de monômios, como 4xy+2x2 e x3-2x2+7, são exemplos de polinômios.
O grau de um polinômio é o mais alto grau dentre os seus monômios.
Se um polinômio possui apenas uma variável x, ele é, em geral, representado por P(x). Se um 
polinômio possui duas variáveis x e y, ele é, em geral, representado por P(x, y).
Álgebra
141
Unidade
4
Valor Numérico de um Polinômio
O valor numérico de um polinômio é obtido quando substituímos a variável por um número.
exemplos:
1 Dado P(x) = 2x3 - x2 + 2, determine:
a) O valor numérico do polinômio P(x) quando x = 3. Então: P(3) = 2.33 - 32 + 2 =
 P(3) = 2.27 - 9 + 2 = P(3) = 54 - 9 + 2 = P(3) = 47.
b) Qual o valor de P(-1). Vamos substituir x por -1. P(-1) = 2.(-1)3 - (-1)2 +2 =
 P(-1) = 2.(-1) - (+1) + 2 = P(-1) = -2 - 1 + 2 = P(-1) = -1.
Fatoração
Fatorar um polinômio significa transformá-lo num produto de polinômios de graus menores 
que o do original (DOCI; IEZZI; MURAKAMI, 2013).
O polinômio 2x4 - 6x3 + 10x2, pode ser reescrito como: 2x2 .x2 - 6x2.x + 10x2.
Podemos escrever x4 como x2.x2. Relembre a aula de multiplicação de potências de mesma base, 
conservamos a base e somamos os expoentes. O mesmo ocorre para x3 = x2.x. Como x2 é um termo 
comum podemos colocá-lo em evidência, ficando com x2(2x2 - 6x + 10).
adição e Subtração de Polinômios
Agora iniciaremos os estudos com as operações entre polinômios. As operações de adição 
e subtração são efetuadas entre os termos semelhantes (que tem as variáveis com os mesmos 
expoentes), para isso somamos ou subtraímos as constantes dos termos semelhantes e mantemos os 
termos não semelhantes (específicos). A Figura 4.1 mostra os termos dos polinômios P(x, y) e Q(x, 
y) que são semelhantes (possuem mesmas variáveis e mesmo expoentes) e os termos não semelhantes 
(específicos).
Figura 4.1: Operação com P(x, y) e Q(x, y)
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Efetuando as operações com termos semelhantes temos: xy +2xy = 3xy, mantivemos as variáveis 
e efetuamos a operação de adição com as constantes; 3y2 + y2 = 4y2; já x e x2 são específicos, pois não 
possuem mesmas variáveis com mesmos expoentes. Então temos:
P(x, y) + Q(x, y) = 3xy + 4y2 + x2 - x
Unidade
4Álgebra
142
Multiplicação de Polinômios
Na multiplicação de polinômios devemos:
•	 Efetuar a propriedade da distributiva e levar em consideração a multiplicação de potências.
•	 Agrupar termos semelhantes.
exemplo:
Sejam P(x, y) = xy+x+2y e Q(x; y) = 2xy+y2. A Figura 4.2 ilustra a distributiva para a multiplicação 
dos polinômios P(x) e Q(x).
Figura 4.2: Multiplicação de Polinômios
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Para efetuar a distributiva, devemos multiplicar o primeiro termo do primeiro parênteses por 
todos os termos do segundo parênteses, depois o segundo termo do primeiro parênteses por todos os 
termos do segundo parênteses e assim sucessivamente até acabarem os termos do primeiro parênteses.
Agora observe um outro exemplo:
Dados P(x, y) = 2x3 + 3xy - 6 e Q(x; y) = -x2 + 4x - 5, efetuar P(x, y):Q(x, y).
P(x, y).Q(x, y) = (2x3 + 3xy - 6):(-x2 + 4x - 5)
Multiplicando inicialmente 2x3 por todos os termos do segundo parênteses temos como 
resultado: -2x5 + 8x4 - 10x3.
Multiplicando 3xy por todos os termos do segundo parênteses temos como resultado:
-3x3y + 12x2y - 15xy.
Por fim, multiplicando -6 por todos os termos do segundo parênteses temos como resultado: 
6x2 - 24x + 30.
Agora para escrever o resultado de P(x, y).Q(x, y) vamos agrupar termos semelhantes.
Álgebra
143
Unidade
4
P(x; y).Q(x, y) = -2x5 + 8x4 - 10x3 - 3x3y + 12x2y - 15xy + 6x2 - 24x + 30.
Observe que não haviam termos semelhantes, com mesmas variáveis e mesmos expoentes, 
então não conseguimos juntar termos.
Divisão de Polinômios
Vamos estudar a divisão d polinômios que é feita de forma muito parecida com a divisão de 
números.
Você se lembra como faz para dividir 32.435 por 205?
Observe a Figura 4.3 que explica detalhadamente o passo a passo de uma divisão numérica, aqui 
utilizamos o método longo da divisão.
Figura 4.3: Divisão Numérica
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
O resto sempre é um número menor do que o divisor. No domínio dos números inteiros, não 
pode ser fracionado, por isso não continuamos a divisão acrescentando uma vírgula ao quociente, 
porém se fosse no domínio dos números racionais (ou reais), a divisão continuaria com uma vírgula 
no quociente.
O resultado é lido assim: 32.435 dividido por 205 dá 158 e restam (ou sobram) 45, ou 32:245 = 
158.205 + 45.
Agora vamos expandir a divisão numérica para a divisão de polinômios. Porém, para a divisão 
de polinômios temos uma condição: Somente se efetua a divisão entre dois polinômios quando o grau 
do dividendo for maior ou igual ao grau do divisor. Veja um exemplo a seguir na Figura 4.4.
Unidade
4Álgebra
144
Figura 4.4: Divisão de Polinômios
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Ok! Mas, como foi feito esse cálculo?
Iniciamos com 10x3, sempre com um único elemento do dividendo, então dividimos pelo 
primeiro elemento do divisor, que é 2x2, efetuando a divisão temos como resultado 5x, esse resultado écolocado no quociente, assim como na divisão de números, após colocarmos um número no quociente, 
multiplicamos o número do quociente pelos números do divisor, então iremos multiplicar 5x por 2x2 
- 3x + 5, o resultado da multiplicação é:
10x2 - 15x2 + 25x, porém você se lembra que na divisão numérica sempre efetuamos a subtração 
embaixo do dividendo? Então, aqui também vamos efetuar a subtração embaixo do dividendo, observe 
na Figura 4.4 que 10x³-15x2 +25x aparecem embaixo do dividendo com os sinais trocados, essa troca de 
sinais se deve à subtração, efetuamos a operação com os polinômios e obtemos como resultado dessa 
subtração 12x2 - 22x + 10, agora vamos prosseguir com a divisão utilizando o primeiro monômio do 
resto. O monômio que vamos utilizar é 12x2 e vamos dividi-lo pelo primeiro monômio do divisor, 2x2, 
o resultado dessa divisão é 6, e esse valor é colocado no quociente e procedemos da mesma forma que 
na divisão anterior, multiplicaremos 6 por todos os termos do divisor, então obtemos como resultado 
12x2 - 18x + 30, esse polinômio será colocado em baixo do dividendo com os sinais trocados devido 
à subtração. Colocando -12x2 + 18x - 30 embaixo de 12x2 - 22x + 10 e efetuando as operações entre 
polinômios, chegamos com o resultado -4x - 20, neste momento o processo de divisão termina, pois, 
a condição para uma divisão de polinômios é que o grau do dividendo tem que ser maior ou igual ao 
grau do divisor, e neste caso o grau do dividendo é 1 e do divisor é 2.
O resultado é lido assim:
10x3 - 3x2 + 3x + 10 dividido por 2x2 - 3x + 5 resulta em 5x + 6 e restam (ou sobram) -4x - 20.
O dividendo por ser recomposto como: 10x3 -3x2 +3x+10 = 5x+6.(2x2 - 3x+ 5) - 4x - 20.
Divida 3x2 - 2x + 4 por x - 3. Tente fazer a divisão sozinho, depois confira a resolução na Figura 4.5.
Álgebra
145
Unidade
4
Figura 4.5: Resolução do Exercício
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Produtos Notáveis
Agora vamos estudar os produtos notáveis que são alguns produtos de polinômios muito 
comuns. Observe os produtos notáveis na Figura 4.6:
Figura 4.6: Produtos Notáveis
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Você conseguirá demonstrar cada um dos 
resultados utilizando a propriedade da distributiva, 
tente fazer isso para exercitar seus conhecimentos 
de distributiva.
Fonte: Elaborado pela autora.
Unidade
4Álgebra
146
Na Figura 4.7 são apresentadas as divisões dos produtos notáveis. Você pode fazer como exercício 
essas divisões de polinômios.
Figura 4.7: Divisões Notáveis
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
exercícios:
1 Desenvolva os seguintes produtos notáveis. Da letra “a” até a letra “e” você pode acompanhar 
a resolução. Pratique seus conhecimentos da letra “f ” até a letra “j”.
Álgebra
147
Unidade
4
 
Identidade e equações
Uma identidade é uma igualdade que se verifica para quaisquer valores atribuídos às variáveis:
(x + 2)2 = x2 + 4x + 4. Esta é uma identidade, pois se desenvolvermos o produto notável (x + 2)2 
ele ficará igual a x2 + 4x + 4, então teremos:
x2+4x+4 = x2+4x+4, ou seja, todos os termos são iguais, então é uma identidade.
Já x + 2 = 4 não é uma identidade, pois em ambos lados da igualdade, os termos não são todos 
iguais. Neste caso resolvemos a equação. Resolvemos uma equação para encontrar a raiz desta equação.
Raiz de uma equação
A raiz de uma equação é um número que torna a igualdade verdadeira.
exemplos:
1 Encontrar a raiz da equação x+2 = 4. Qual número que quando adicionamos 2 resulta em 4? 
O número 2, logo 2 é a raiz desta equação, pois deixa a igualdade verdadeira.
Se substituirmos x = 2 na equação, vamos ficar com: x + 2 = 4 .
2 + 2 = 4 .
2 + 2 = 4
4 = 4, chegamos em uma identidade.
2 x2 - x = 2, admite como raiz x = -1 e x = 2, pois se substituirmos na equação estes valores, a 
igualdade ficará verdadeira.
Vamos substituir juntos x = -1 e você verifique a substituição de x = 2 como exercício.
x2 - x = 2 
(-1)2 - (-1) = 2 
1 + 1 = 2
2 = 2
Unidade
4Álgebra
148
grau de uma equação
O grau de uma equação é dado pelo termo que possui maior expoente.
exemplos:
•	 x2 + 4x + 4 = 0 possui grau 2, logo chamamos de equação do segundo grau.
•	 x5 - 4x6 + 4
•	 x = 0 possui graus 6, logo chamamos de equação do sexto grau.
•	 x + 5 = 0 possui grau 1, logo é chamada de equação do 1° grau.
equação do 1° grau
Agora iremos iniciar a resolução de uma equação, ou seja, vamos encontrar o valor das incógnitas 
dos problemas. Para isso, você pode seguir as seguintes orientações que irão te ajudar na resolução das 
equações:
1 Numa equação, podemos transpor um termo (isto é, mudá-lo de lado da equação), desde que 
o multipliquemos por -1 (alteremos o seu sinal).
2 Uma equação não se altera quando multiplicamos ambos os membros (todos os termos da 
equação de ambos os lados) por uma constante diferente de zero.
Uma equação do primeiro grau é qualquer equação que pode ser escrita na forma ax + b = 
0, sendo , e x é uma variável. O valor a é chamado de raiz da equação do 
primeiro grau.
exemplos:
1 . A Figura 4.8 mostra o passo a passo da resolução desta equação.
Figura 4.8: Resolução exemplo 1
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Álgebra
149
Unidade
4
2. . Veja a resolução na Figura 4.9.
Figura 4.9: Resolução exemplo 2
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
3 . Veja a resolução na Figura 4.10.
Figura 4.10: Resolução exemplo 3
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Unidade
4Álgebra
150
Observe que chegamos que 0 = -45 e isso não é uma igualdade verdadeira, na Matemática isso 
se chama contradição, ou absurdo, logo a equação não tem solução possível.
Cada Pipoca LCL quando é vendida dá um lucro 
unitário de R$0,50 (cinquenta centavos). Os custos 
fixos para botar um carrinho de pipocas na rua 
(incluindo mão de obra, gás, etc.) é de R$50. Quantas 
pipocas devem ser vendidas, no mínimo, para que 
um carrinho dê um lucro de R$30?
Chamando de x a quantidade de pipocas que serão 
vendidas, podemos pensar que o lucro final do carrinho será dado por L(x) = 0; 5x􀀀􀀀50, ou 
seja, o lucro unitário (ganho com vendas) menos o custo fixo. Deseja-se L(x) = 30, ou seja:
0, 5x - 50 = 30 Resolvendo a equação do primeiro grau, temos:
0, 5x = 30 + 50
0, 5x = 80
x = 
x = 160
Ou seja, devem ser vendidas 160 pipocas.
Fonte: Elaborado pela autora.
2. eqUaÇÃO DO 2º gRaU
 Fonte: Pixabay.
Uma equação do 2o grau possui a seguinte forma:
Álgebra
151
Unidade
4
ax2 + bx + c = 0
Onde a, b e c ∈ Para facilitar sua compreensão:
•	 a= número que acompanha o x2.
•	 b= número que acompanha o x.
•	 c= termo independente (número sozinho).
Para resolver a equação do 2o grau calculamos o valor de ∆ (delta):
∆ = b2 – 4.a.c
Após calcular o valor de ∆ temos três situações que podem acontecer:
•	 Se ∆ > 0, a equação admite suas raízes reais distintas;
•	 Se ∆ = 0, a equação tem duas raízes reais iguais, ou apenas uma raiz;
•	 Se ∆ < 0, a equação não admite raiz real.
Depois calculamos as raízes da equação do segundo grau. As raízes x1 e x2 são calculadas através 
da seguinte fórmula, conhecida como Fórmula de Bháskara.
A partir da fórmula de Bháskara podemos obter as raízes x1 e x2:
 e 
exercícios:
1. Encontre as raízes das seguintes equações do 2o grau:
a) x2 + 1 = 2x. Observe que a equação não está da forma de uma equação do 2° grau, sempre 
trabalhamos com a equação igual à zero, então vamos transpor 2x para o outro lado da 
igualdade:
x2 - 2x + 1 = 0. Vamos agora identificar os coeficientes a, b e c. Temos: a = 1,
b = -2 e c = 1. Agora vamos calcular o valor de ∆.
∆ = (-2)2 – 4.1.1
∆ = 4 – 4
∆ = 0. Como ∆ = 0 a equação do segundo grau terá apenas uma raiz ou duas raízes iguais. Agora 
vamos calcular qual é o valor dessas raízes:
Unidade
4Álgebra
152
Agora é com você, resolva aspróximas equações do 2° grau. Atenção, pois determinar 
corretamente os coeficientes a; b e c é fundamental para a resolução do exercício, lembre-se:
equação do 2° graus – Fatoração
É possível construir uma equação do segundo grau que tenha como raízes reais x1 e x2 (iguais ou 
diferentes) fazendo:
Esta é a forma fatorada da equação do segundo grau, sendo a ≠ 0.
exemplos:
1 Nos itens a seguir, escreva a forma fatorada e a equação do segundo grau correspondente, 
usando x1 = 3 e x2 = -2:
Para a = 1.
Resolva a equação e confirme que as raízes são x1 = 3 e x2 = -2.
Álgebra
153
Unidade
4
Para a = 3.
Resolva a equação e confirme que as raízes são x1 = 3 e x2 = -2.
Para a = -1.
Resolva a equação e confirme que as raízes são x1 = 3 e x2 = -2.
Uma indústria vende seu produto por R$5 e verificou 
que os seus custos unitários podem ser calculados em 
função da quantidade fabricada e vendida, x, através 
da expressão:
C(x) = 12x - x2 - 10
Qual a menor quantidade a ser fabricada e vendida de 
forma que o lucro unitário (preço menor custo unitário) seja igual a R$ 4?
Desejamos que R(x) - C(x) = 4, ou seja a receita menos o custo deve ser igual a 4.
Resolvendo a equação do 2° grau chegaremos em x1 = 1 e x2 = 6. Portanto, a menor 
quantidade possível é 1.
Unidade
4Álgebra
154
3. SISTeMa cOM DUaS eqUaÇõeS lINeaReS 
De DUaS VaRIÁVeIS
 Fonte: Pixabay. 
Um sistema de equação de com duas incógnitas é formado por: duas equações com duas 
incógnitas diferentes em cada equação. Veja um exemplo: 
Queremos descobrir quais são os valores de x e y que satisfazem as duas equações.
Podemos perceber que x = 2 e y = 1 tornam as duas equações do sistema verdadeiras, logo são 
soluções para esse sistema.
Neste exemplo foi relativamente simples perceber qual era a solução do sistema, porém para casos 
mais complexos não será tão simples. Para isso, temos três métodos de solução para sistemas de equações.
Sistemas de equações - Métodos de Solução
Existem três métodos básicos para se resolver um sistema de equações, eles são:
•	 Substituição;
•	 Comparação;
•	 Adição (ou eliminação).
Álgebra
155
Unidade
4
Estes métodos são equivalentes e não há método sempre melhor ou sempre pior, porém algumas 
vezes um é preferido do que outro, mas você sempre pode resolver por qualquer um deles.
Método da Substituição
Neste método, usa-se uma das equações para isolar uma das variáveis. Você escolhe qual variável 
quer isolar. Após isolar uma variável, substitui-se na outra equação a expressão correspondente à 
essa variável, então obtém-se uma equação de 1o grau, com uma só variável. Após a resolução desta 
equação descobriremos o valor desta variável. Então, retornamos à variável isolada primeiramente e 
substituímos o valor obtido da outra variável. Veja um exemplo (Figura 4.11) para ficar mais claro:
Figura 4.11: Método da substituição
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Método da comparação
Vamos agora estudar um outro método de resolução de sistemas, o método da comparação. 
Como o próprio nome diz, ele consiste em comparar expressões. Veja um passo a passo para a resolução 
de sistemas utilizando o método da comparação.
1 Isola-se uma das variáveis em ambas equações;
2 Monta-se uma equação do 1o grau igualando as duas expressões;
3 Resolve-se esta equação para obter o valor de uma variável;
4 Substitui o valor desta variável em uma das expressões para obter o valor da outra.
Veja um exemplo na Figura 4.12.
Figura 4.12: Método da comparação
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Unidade
4Álgebra
156
Método da adição
O método da adição é muito utilizado quando as equações possuem variáveis opostas, pois 
adicionamos as duas equações a fim de desaparecer com uma das incógnitas, porém este método pode 
ser utilizado também quando as variáveis não são opostas (IEZZI, 2013).
1. Multiplica-se os termos de uma das equações por uma constante k1;
2. Multiplica-se os termos da outra equação por uma constante k2;
3. As equações são somadas, termo a termo:
•	 O resultado deve ser uma equação de 1° grau com apenas uma variável;
•	 Por isso a escolha dos valores de k1 e k2 é fundamental. Por exemplo: se a constante da 
variável x da primeira equação é 2 e a constante da variável x da segunda equação é -3, 
iremos multiplicar a primeira equação por -3 e a segunda equação por 2; agora se a constante 
da variável x da primeira equação é 4 e a constante da variável x da segunda equação é 5, 
iremos multiplicar a primeira equação por -5 e a segunda equação por 4. É muito importante 
que as constantes k1 e k2 tenham sinais contrários para ser possível eliminar uma variável;
•	 Algumas vezes não é necessário multiplicar (ou k1 = k2 = 1).
4. Substitui-se o valor obtido para a primeira variável para obter a outra variável
Veja um exemplo na Figura 4.13.
Figura 4.13: Método da adição
 
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Neste primeiro exemplo, não houve a necessidade de multiplicar as equações por constantes, 
pois ao observar a variável y, vemos que as elas já são opostas, agora vamos ver na Figura 4.14 um 
exemplo onde temos que multiplicar as equações por constantes.
Álgebra
157
Unidade
4
Figura 4.14: Método da adição
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Nestes exemplos, ao observar as variáveis x e y, vemos que nenhuma das duas são opostas e nem 
possuem sinais opostos, então a escolha da constante fica a seu critério.
Escolhemos eliminar a variável y, então na primeira equação a constante que multiplica a 
variável y é 3, e na segunda equação 2, então multiplicaremos a primeira equação por 2 e a segunda 
por -3. Observe que como as constantes não tinha sinais contrário, escolhermos uma para inverter o 
sinal (você escolhe a que julgar melhor).
No estacionamento LCL há um dispositivo que 
conta as rodas (no chão) dos veículos e identifica, 
por computação, quantos carros e quantas motos 
há. Em certo dia, há um total de 70 veículos, tendo 
o dispositivo contado um total 200 rodas. Quantos 
carros e quantas motos estão no estacionamento?
Vamos chamar de c a quantidade de carros no estacionamento neste dia e de m a quantidade 
de motos, podemos montar as equações:
Total de veículos: c + m = 70;
Total de rodas: 4c + 2m = 200. Multiplicamos c por 4, pois cada carro possui quatro rodas 
e m por 2, pois a moto possui e rodas.
Sendo assim, ficamos com um sistema de equações: 8
Podemos resolver este sistema por qualquer um dos métodos estudados, porém vamos 
resolver pelo método da substituição.
Unidade
4Álgebra
158
Isolando c na primeira equação temos:
c = 70 - m
Agora vamos substituir na segunda equação, onde aparecer c por 70 - m
Logo, havia 30 carros e 40 motos.
Fonte: Elaborado pela autora.
4. eqUaÇÃO RacIONal
 Fonte: Pixabay.
Uma equação é dita irracional quando a incógnita aparece embaixo de uma raiz.
Para se resolver esse tipo de equação, devemos elevar ambos os termos a uma potência 
conveniente de maneira que possamos eliminar a raiz. Por exemplo, se temos uma raiz quadrada, 
Álgebra
159
Unidade
4
iremos elevar ambos os termos ao quadrado, se temos uma raiz cúbica, vamos elevar ambos os termos 
ao cubo e assim por diante (IEZZI, 2013).
exemplos:
Unidade
4Álgebra
160
No conjunto dos números reais não é possível calcular 
raiz quadrada de número negativo, porém é possível 
no conjunto dos números complexos.
Fonte: Elaborado pela autora.
Álgebra
161
Unidade
4
5. INeqUaÇõeS algébRIcaS
 Fonte: Pixabay.
Vamos dar início ao estudo das inequações. Uma inequação é uma expressão matemática onde 
a comparação é feita através de um sinal de desigualdade: ou 
exemplos:
•	 , é uma inequação do 1º grau.
•	 , é uma inequação do 2º grau.
•	 , é uma inequação quociente.
A solução de uma inequação costuma ser um intervalode valores, ao contrário da solução de 
uma equação. Uma equação do primeiro grau, apenas um único valor resolve a equação (IEZZI, 2012).
exemplo:
1) Seja a inequação do primeiro grau: . Resolvemos uma inequação seguindo os 
mesmos passos de resolução de uma equação, porém tomando o cuidado que na inequação trabalhamos 
com desigualdades e não com igualdades como nas equações.
Unidade
4Álgebra
162
A solução é , ou seja, todo o intervalo . Fique atento que dizer que a solução é 
 significa que todos os valores maiores ou iguais a 3 satisfazem essa inequação, por exemplo 6 é 
uma solução para a inequação, pois é um valore maior ou igual a 3.
Veja o que acontece se na inequação inicial substituirmos valores maiores ou iguais a 3.
Sete é maior ou igual a 1? Sim, por isso 6 também é uma solução para a inequação. E se você 
escolher 3, ele é uma solução para essa inequação? Vamos testar:
Um é maior ou igual a 1? Sim. Mas, você pode falar: um não é maior que um. Realmente, mas 
o a desigualdade (maior ou igual) nos permite usar números maiores que um ou iguais a um e 1 é 
igual a 1, logo 3 é também uma solução para esta inequação.
Agora, vamos resolver a inequação 
Álgebra
163
Unidade
4
Logo, os valores que resolvem a inequação são todos maiores que -1, . Então temos 
que a partir do -1 todos os valores são solução da inequação. Mas, até ? Sim, TODOS valores 
servem como solução, desde que sejam maiores que -1.
E o -1, é também uma solução? NÃO, a desigualdade > (maior) não inclui o -1, se fosse maior 
ou igual poderíamos utilizar o -1 como solução.
Ao multiplicar uma inequação por -1, devemos também 
inverter a desigualdade.
Fonte: Elaborado pela autora.
Agora vamos estudar onde uma inequação se torna positiva e negativa, para isso você irá 
conhecer a função suporte equivalente, ela te auxiliará no estudo do sinal dos intervalos.
A inequação pode ser escrita como:
Podemos então usar a função para estudar a inequação. Essa função é do 1º grau 
então o seu gráfico é representado por uma reta. Na Figura 4.15 está representado o gráfico dessa função.
Figura 4.15: Gráfico da função y = 2x – 6
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Unidade
4Álgebra
164
Analisando a inequação: temos que é positiva quando e 
 é negativa quando .
Veja outro exemplo: use a função equivalente para resolver .
Logo, pode ser escrita como y = Construindo o gráfico de y = 
podemos analisar em quais intervalos a função se torna positiva e negativa. Confira a Figura 4.16.
Figura 4.16: Gráfico da função y = -3 -3x
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Mas, todas as vezes teremos que construir o gráfico da função para estudar o sinal de uma 
inequação? Não! Agora vamos estudar um método para o estudo do sinal de uma inequação.
Para fazer o estudo do sinal de uma inequação você deverá transformá-la em uma função 
equivalente. Após encontrar a função equivalente você vai:
•	 Determinar a raiz dessa função;
•	 Localizar a raiz em uma reta numérica;
•	 Antes da raiz a função tem o sinal contrário do coeficiente a e após a raiz a função tem o 
mesmo sinal que o coeficiente a.
Veja a Figura 4.17 a seguir.
Observe que para valores maiores que 
-1 a função assume valores negativos e 
para valores menores que que -1 a função 
assume valores positivos.
Álgebra
165
Unidade
4
Figura 4.17: Estudo do sinal de uma função
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
exemplo:
Resolver a inequação 2x-6<0.
Como não há números após a desigualdade, já podemos escrever a função equivalente, então y 
= 2x – 6. Vamos então determinar a raiz dessa função:
2x – 6 = 0
2x = 6
x = 3. 
Agora vamos localizar o número 3 em uma reta numérica. O espaço antes do 3 vai ter sinal 
contrário do coeficiente a. Mas, qual é o coeficiente a mesmo? É o número que acompanha o x na 
função, então a = 2, logo a é positivo, então o intervalo antes do 3 tem sinal negativo (sinal contrário 
do coeficiente a) e o intervalo após o número 3 tem sinal positivo (mesmo sinal que o coeficiente a). 
Veja a Figura 4.18, a seguir.
Figura 4.18: Estudo do sinal de y = 2x – 6
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Como já estudamos o sinal da função y = 2x – 6, vamos resolver a inequação 2x-6<0. Queremos 
que a inequação assuma valores menores que zero, ou seja, negativos, então vamos destacar antes do 
3. Antes de destacarmos o intervalo de interesse você precisa saber sobre a desigualdade e o que vamos 
destacar:
•	 > 0, queremos a parte positiva, com bolinha aberta na raiz;
•	 < 0, queremos a parte negativa, com bolinha aberta na raiz;
•	 , queremos a parte positiva, com bolinha fechada na raiz (pois é maior ou igual, a raiz 
também entra para o resultado).
•	 , queremos a parte negativa, com bolinha fechada na raiz (pois é menor ou igual, a raiz 
também entra para o resultado).
Unidade
4Álgebra
166
Como o sinal da nossa inequação é <, a bolinha será aberta. Sendo assim, temos como resposta 
o que mostra a Figura 4.19. 
Figura 4.19: Intervalo da inequação 2x-6<0: 
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Agora resolva a equação 4x – 15 -3. Vamos transformar para função equivalente, passa isso 
devemos deixar zero após a desigualdade.
4x – 15 -3
4x – 15 +3 0
4x – 12 0
Então a função equivalente é y = 4x-12. Precisamos agora encontrar a raiz da função. Você pode 
efetuar o cálculo e verificar que a raiz da função é x= 3. Lembrando que o coeficiente a neste exemplo 
é 4, que é positivo. Então, antes do 3 a função tem sinal negativo (sinal contrário do coeficiente a) e o 
intervalo após o número 3 tem sinal positivo (mesmo sinal que o coeficiente a). Veja o que mostra a 
Figura 4.20:
Figura 4.20: Estudo do sinal de y = 4x-12
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Retornando para a inequação 4x – 12 0, queremos destacar o intervalo positivo, pois a inequação 
deve ser 0, e a bolinha é fechada. Então, conforme mostra a Figura 4.21, o intervalo de interesse é:
Figura 4.21: Intervalo da inequação 4x – 12 0: 
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Álgebra
167
Unidade
4
Suponha que a empresa que você trabalha possua 
uma função custo para a compra de sacolas 
descrita por C(x) = 20x + 8. Para você determinar 
a quantidade máxima de sacolas que você pode 
adquirir se tem disponível no caixa R$800,00, você 
utilizará inequações do 1º grau.
Fonte: Elaborado pela autora.
Inequação do 2º grau
As inequações do 2º grau também estão associadas a uma função.
Exemplo: , para obter uma função equivalente, após a desigualdade 
de estar o número zero, então a inequação ficará que está associada a 
 , o gráfico da função do 2º grau está ilustrado na Figura 4.22.
Figura 4.22: Gráfico da função y = x²+x-6
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Assim como na inequação do 2º grau, não precisamos desenhar o gráfico seguindo todos os 
procedimentos para poder analisar com segurança os intervalos de interesse.
Veja a seguir como estudar o sinal da função do 2º grau. Os casos são diferentes de acordo com 
o sinal de Confira a Figura 4.23.
Assim, a função assumirá valores maiores ou 
iguais a zero (bolinha fechada na raiz) quando 
 
ou 
Unidade
4Álgebra
168
Figura 4.23: Estudo do sinal da função do 2º grau
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Você precisará para estudar o sinal da função do 2º grau: encontrar as raízes, localizá-las na reta 
numérica e verificar quais dos casos acima a função se encaixa.
 
exemplo:
Atenção, nos exemplos a seguir não resolveremos as equações do segundo grau, isso você deve 
fazer para praticar seus conhecimentos.
Resolver as inequações do 2º grau:
a. , como a inequação já possui zero do outro ladoda desigualdade, então 
é ó transformar para função equivalente. Lembre-se ao final do exercício que devemos destacar o 
intervalo que é (negativo com bolinha fechada).
Para encontrar a raiz da função, devemos igualar a zero.
Após resolver a equação chegamos que: a = 1 (a>0), (raízes iguais), raiz = 1. Como a>0 
e o gráfico será correspondente ao segundo caso quando a>0., ou seja, tanto antes como após a 
raiz a função é positiva, apenas na raiz que ela se anula. Veja a Figura 4.24.
Álgebra
169
Unidade
4
Figura 4.24: S = {1}
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
b. não está com zero após a desigualdade, deixando com zero após a desigualdade 
temos: , que possui como função . Atente para o fato de que a = 
-1, (a<0). Encontrando as raízes da função temos que: , raiz = 1. Veja a Figura 4.25.
Figura 4.25: .
 
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
c. , a função é y = , encontrando as raízes da função temos: 
(duas raízes reais), raízes 1 e 2, a = 1 (a>0). Veja a Figura 4.26.
ATENÇÃO! Após construir o gráfico de estudo 
de sinal volte para a inequação x2- 2 x + 1 ≤ 0. 
Queremos destacar o intervalo onde a função 
é ≤ 0, negativa ou igual a zero. A função assume 
apenas valores positivos, porém quando x = 1 
a função fica igual a zero.
Voltando para a inequação temos: -x2+2x-1≤0, 
queremos então destacar o intervalo onde a 
função é ≤0, ou seja, queremos todo intervalo 
negativo e ainda onde a função se torna igual 
a zero. Perceba no gráfico que tanto à direita 
quanto à esquerda de 1 a função é negativa e 
quando a x=1 a função fica igual a zero, então 
todos os reais satisfazem a inequação.
Unidade
4Álgebra
170
Figura 4.26: Gráfico da Função y = x²-3x+2
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Voltando à inequação , queremos destacar o intervalo negativo e a bolinha 
deve ser aberta, então queremos o seguinte intervalo (Figura 4.27):
Figura 4.27: Intervalo da inequação 
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Mas, e se você quiser escrever a inequação do 2º grau na forma fatorada? (Caso não lembre, 
retorne à aula de fatoração da equação do segundo grau).
Podemos escrever como . Tem como resolver esse tipo de 
inequação? A resposta é sim! Essa inequação tem o nome de inequação produto.
Inequação Produto e quociente
Podemos resolver as inequações em forma de produto ou quociente de maneira a estudar o 
sinal separadamente de cada uma das expressões que compõe o produto ou quociente (IEZZI; 
MURAKAMI, 2013).
Na inequação , temos o produto de duas expressões do 1º grau, x-1 e x-2, 
então iremos estudar o sinal de cada uma das expressões separadamente e depois efetuar a multiplicação 
das duas expressões (IEZZI; MURAKAMI, 2013).
Analisando o sinal das expressões separadamente, temos o que está ilustrado na Figura 4.28:
Álgebra
171
Unidade
4
Figura 4.28: Sinais das expressões (x-1) e (x-2)
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Agora vamos fazer a multiplicação das duas expressões, e destacar ao final o intervalo onde a 
inequação é <0. Confira a Figura 4.29 a seguir.
Figura 4.29: Resolução da inequação 
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
Veja que chegamos no mesmo resultado para e .
A mesmo procedimento pode ser aplicado para inequações quociente:
É importante que a inequação esteja sendo comparada a zero (ou seja, tenha apenas zero no 
segundo membro).
, vamos calcular o m.m.c entre 6x+5 e 1 (denominador do 4)
Unidade
4Álgebra
172
Agora vamos analisar o sinal de cada umas das expressões da inequação quociente, atente para 
o fato de que embora a bolinha seja fechada, no denominador a bolinha sempre será aberta, pois não 
podemos levar em consideração números que deixem o denominador igual a zero. Observe a Figura 
4.30 a seguir.
Figura 4.30: Solução da inequação 
 Fonte: LACHTERMACHER; COELHO, 2017.
cONclUSÃO
Nesta unidade você aprofundou um pouco mais seus conhecimentos sobre a área algébrica da 
Matemática. Através da resolução de equações, podemos solucionar diversos problemas presentes em 
nosso cotidiano. Você estudou também sobre os polinômios e suas operações.
ReFeRÊNcIaS
DOCI, Osvaldo; IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar vol. 
2 – Logaritmos. 10ª ed. Rio de Janeiro: Atual, 2013.
IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar vol. 4 – Sequências, matrizes, determinantes 
e sistemas. 8ª ed. Rio de Janeiro: Atual, 2012.
______. Fundamentos de Matemática Elementar vol. 6 – Complexos, Polinômios, Equações. 8ª ed. 
Rio de Janeiro: Atual, 2013. 
______. Fundamentos de Matemática Elementar vol. 5 – Combinatória e Probabilidade. 8ª ed. Rio 
de Janeiro: Atual, 2013.
Álgebra
173
Unidade
4
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar vol. 1 - Conjuntos – 
Funções. 9ª ed. Rio de Janeiro: Atual, 2013. 
LACHTERMACHER, Gerson; COELHO, Paulo Sérgio de Souza. Matemática I. Rio de Janeiro: 
Editora FGV, 2017.
WAGNER, Eduardo. Matemática I. Rio de Janeiro: Editora FGV, 2011.
Anexo
174
Anexo
UnIDADe 2
TÓPICo 3
Progressão Geométrica
exemplo 2:
Encontrando a razão: q = ???
Caso LCL Livraria
No item a. queremos descobrir o valor de a1 e temos como base a10 = 1195, então vamos utilizar a 
fórmula ampliada para P.G. A razão precisa ser calculada. Como o número de clientes cresce 2% todo 
mês, então:
175
Anexo
Calculando a1, n = 1 com base em a10, m = 10:
Logo, em janeiro havia 1000 clientes.
No item b. queremos saber a22. Podemos tomar como base a10 = 1195 e utilizar a fórmula 
ampliada ou tomar como base a1 = 1000 e utilizar a lei de formação da PG. A escolha da fórmula fica a 
seu critério, vamos utilizar a lei de formação da PG para você ver no mesmo exercício as duas fórmulas 
sendo utilizadas.
E no item c.? Queremos calcular a soma dos clientes de cada mês, S12 = a1 + a2 + a3 +...+ a12. Você pode 
calcular a quantidade de clientes de cada mês, ou utilizar a fórmula da soma dos elementos de uma P.G. 
TÓPICo 4
 Construção de 
Identificando os coeficientes: a=1, b=-4, c=3.
Sabemos que nossa parábola tem a concavidade voltada para cima, pois a = 1>0.
Agora vamos determinar o par ordenado que forma o vértice da parábola.
Primeiramente, vamos calcular o valor de .
Anexo
176
Como >0, sabemos que a função do 2º grau terá duas raízes reais distintas.
Logo o vértice terá como par ordenado: (2,-1)
Agora, precisamos determinar as raízes da função, já sabemos o valor de , então vamos utilizar 
a fórmula de Bháskara:
 
 
 e 
Então, o gráfico intercepta o eixo do x nos pontos (3,0) e (1,0).
Por último, falta calcular o ponto onde a função intercepta o eixo y. Como estudamos, o 
coeficiente c indica onde a função tocará o eixo y, como o coeficiente c = 3, então a função interceptará 
o eixo y no ponto (0,3).
Com esses valores, agora você pode construir o gráfico da função do 2º grau.
Gráfico função: 
Caso Maçãs Verdes Agrícola Ltda.
Sabemos que a função receita é calculada multiplicando o preço pela quantidade:
177
Anexo
Onde:
•	 é a receita total da empresa,
•	 é o preço de venda do produto (caixa com 20 quilos de frutas) e 
•	 é a quantidade de caixas transacionadas.
Nesse caso, o preço é uma função da quantidade pedida pelo cliente (desconto de R$2,00 por 
caixa adquirida):
E então a função de Receita se torna:
Um passo importante é analisar o gráfico da função preço. Essa função é do primeiro grau, logo 
é uma reta, observe o gráfico a seguir.
Gráfico da função preço
 
Agora que temos a função preço construída vamos construir a função receita. A função receita 
é uma função do 2º grau (parábola) e temos alguns pontos importantes a serem determinados: raízes 
da função, vértice, onde o gráfico intercepta o eixo y e determinar a concavidade da parábola.
Caroaluno, a análise desse gráfico e do 
contexto do problema é fundamental. Observe 
que não podemos vender uma quantidade 
negativa de produtos e que devemos vender no 
máximo 101 produtos, pois para quantidades 
maiores que 101 o preço fica negativo, ou seja 
o desconto foi tanto que empresa ainda terá 
que devolver dinheiro ao cliente. 
Anexo
178
Gráfico da função Receita
Como sabemos a função do 2º grau possui intervalo no qual a função é crescente e intervalo 
onde a função é decrescente. 
Você obteve como vértice o par ordenado (50,5;5100,5), ou seja, para a empresa ter uma receita 
de R$5.100,50 é necessário vender 50 caixas e meia. Veja que o vértice é o ponto máximo que a parábola 
pode atingir, logo o valor máximo de receita é R$5.100,50, vendendo 50 caixas e meia.
TÓPICo 5
Função Racional
Gráficos da função racional e análise de imagem. 
No exemplo da letra a), observe que a imagem são todos os reais menos o zero, observando o 
gráfico você percebe que quando a curva se aproxima de y=0, ela não intercepta o eixo onde y=0? 
Por isso, excluímos o zero da imagem. O mesmo ocorre no exemplo b), quando y=0 (eixo x inteiro) o 
gráfico não intercepta o eixo x, por isso excluímos o zero da imagem.
179
Anexo
No exemplo c), quando y=1 o gráfico se aproxima muito dos valores de y=1, porém não chega 
a interceptar esse valor. No exemplo d) observe que há uma espaço entre zero e que não passa 
nenhum gráfico, logo tiramos esse intervalo da imagem. Mas, você pode se perguntar: como eu verifico 
matematicamente que esse intervalo não faz parte da imagem? Ainda não é o momento de fazer esse 
tipo de verificação, o objetivo aqui é que você consiga perceber graficamente que em um determinado 
intervalo ou em um determinado número o gráfico não “passa”.
Função Irracional
A seguir você encontrará exercícios adicionais para a determinação de domínio e imagem a 
partir da análise gráfica.
Anexo
180
UnIDADe 3
TÓPICo 3
Construção do gráfico da função y = 2x + 6.
Primeiramente vamos encontrar o ponto de interseção com o eixo x, ou seja, y=0.
0 = 2x + 6
-2x = 6 (-1)
2x = -6
 x = -3
Logo, o primeiro ponto encontrado é (-3,0)
Agora vamos encontrar a interseção com o eixo y, ou seja, x=0.
y = 2x + 6
y = 2.0 + 6
y = 6.
O segundo ponto é (0,6).
A partir desses pontos, traçamos a reta referente à função y = 2x + 6.
Caso LCL Tratores Ltda.
Solução
Vamos chamar de a quantidade produzida, de as receitas e de os custos. Temos os seguintes 
modelos:
Custo Total = Custo Fixo + Custo Unitário.Quantidade
C = 500000+30000x
Receita Total = Receita Unitária.Quantidade
R = 50.000x
Podemos perceber que tanto a função custo quanto receita são crescente.
181
Anexo
Gráfico da função custo e função receita
A função Receita total está destacada em Vermelho e a Função Custo Total está destacada em 
azul.
O ponto onde as duas funções se encontram é chamado de ponto de equilíbrio.
No ponto de equilíbrio, o custo total é igual à receita total. Igualando a Receita Total ao Custo 
Total, temos apenas uma equação de uma variável:
Custo Total = Receita Total
C = R
500.000 + 30.000x = 50.000x
500.000 = 20.000x
20.000x = 500.000
x = 
x = 25
Ao resolver, se descobre que a quantidade de equilíbrio é tratores.
Ou seja:
Quando a LCL tratores vender 25 tratores a receita total será igual ao custo total.
A demanda para 3 anos é de 200 tratores
Como visto antes, a receita total vai superar o custo total
Logo, a fábrica deve ser instalada.