apostila matemática alfacon

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Conjuntos Numéricos
Introdução
 Os conjuntos numéricos mostram a evolução 
do homem no decorrer do tempo mostrando 
que, de acordo com suas necessidades, criava 
novos números para atendê-las. Os conjuntos 
podem ser divididos em:
 » Naturais
 » Inteiros
 » Racionais
 » Reais
Neste material não veremos números 
complexos, conteúdo explorado em vestibulares 
não em concursos
Conjunto dos Números Naturais
Representamos o conjunto dos números 
naturais com a letra maiúscula “N”, daqui 
para frente sempre designados apenas 
números naturais.
Os números naturais são uma sequência 
numérica que inicia no número zero e segue 
até infinito.
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ... }
Sua criação esta ligada à necessidade do 
homem contar.
Representamos o conjunto dos números 
inteiros com a letra maiúscula “Z”, daqui para 
frente sempre designados apenas números 
inteiros.
Os números inteiros são uma sequência 
numérica em que número zero marca o valor 
central. Cada número a direita do zero tem 
seu o oposto a esquerda com sinal negativo
Z = { ..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
Os números inteiros têm como 
representação geométrica a reta numerada
Sua criação esta ligada a necessidade do 
homem em representar valores que não possuía, 
como por exemplo, a dívida.
Conjunto dos Números Racionais
O conjunto dos números racionais é 
representado pela letra maiúscula“Q”, daqui 
para frente sempre designados apenas 
números racionais.
Os números racionais não todos os números 
que podes ser escritos na forma em que“a” 
e “b” são números inteiros, e o número b é 
diferente de zero. Podemos, então, dizer que 
números naturais são os números que podem 
ser escritos como fração.
Ex.:
Sua criação esta ligada à necessidade do 
homem em representar valores que representam 
partes de um inteiro.
Conjunto dos Números Reais
O conjunto dos números reais é 
representado pela letra maiúscula “R”, 
daqui para frente sempre designados apenas 
números reais.
O conjunto dos números reais reúne os 
números que podem ser escritos como fração 
(racionais), unidos com os que não podem ser 
escritos como fração (irracionais).
Números irracionais, ou seja, que não 
podem ser escritos como frações temos 
como mais usuais os que não têm raiz exata 
e o número .
Representação por diagrama
Por meio do diagrama podemos verificar que:
2
Operações com números e suas Propriedades 
números consecutivos, sucessor e antecessor
Os conceitos de consecutivos, sucessor 
e antecessor são utilizados em números 
naturais e números inteiros.
Dois números inteiros são consecutivos 
quando entre eles não houver outro número 
inteiro.
Ex1.: Os números 3 e 4 são consecutivos 
pois entre eles não temos nenhum outro 
número inteiro.
Ex2.: Os números -3 e -2 são consecutivos 
pois entre eles não temos nenhum outro 
número inteiro.
Ex3.: Os números 3 e 6 não são consecutivos 
pois entre eles temos outros números 
inteiros, como 4 e 5.
Adição e subtração de Inteiros
a) (+ 4) + (+ 7) = + 4 + 7 = +11 (tiramos os 
parênteses e conservamos os sinais dos números)
b) (- 4) + (- 7) = - 4 - 7= -11 (tiramos os 
parênteses e conservamos os sinais dos números)
c) (+ 4) + (- 7) = + 4 - 7 = - 3 (tiramos os 
parênteses e conservamos os sinais dos números)
d) (+ 4) - (+ 7) = + 4 - 7 = -3 (tiramos os 
parênteses e trocamos o sinal do número que 
estava depois da subtração)
e) (- 4) - (- 7) = - 4 + 7 = + 3 (tiramos os 
parentes e trocamos o sinal do número que 
estava depois da subtração)
Multiplicação e divisão de inteiros
Na multiplicação de inteiros além de 
multiplicarmos ou dividirmos temos que usar 
o jogo de sinais:
Sinais iguais resulta em positivo e sinais 
diferentes resulta em negativo.
a) Exemplos de Multiplicação:
(-2) x (+5)= -10
(-3) x (-5)= +15
(+6) x (-4)= -24
(+5) x (+4)= +20
b) Exemplos de divisão:
(-20) ÷ (+5)= -4
(-35) ÷ (-5)= +7
(+56) ÷ (-4)= -14
(+48) ÷ (+4)= +12
Múltiplos dos Números Naturais
Um número natural x é múltiplo de um 
número natural y se existir um número 
natural k que, multiplicado por y, seja igual 
a x.
 Ex.:
15 é múltiplo de 5, pois 15 = 3 × 5.
24 é múltiplo de 4, pois 24 = 6 × 4.
24 é múltiplo de 6, pois 24 = 4 x 6
24 é múltiplo de 12, pois 24 = 2 × 12.
27 é múltiplo de 9, pois 27 = 3 × 9.
M (7) = { 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, ... }
M (11) = { 0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88,... }
Sendo 0 um número natural, então o zero será 
múltiplo de todos os números naturais, pois 
tudo número multiplicado por zero é zero.
Divisores de um Número Natural
A definição de divisor está relacionada com 
a de múltiplo. Um número natural é divisor de 
outro número natural, se este for múltiplo do 
mesmo. Por exemplo: 4 é divisor de 20, pois 
20 = 4 × 5, logo 20 é múltiplo de 4 e também 
é múltiplo de 5.
Ex.:
Divisores de 60: D (60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 
12, 15, 20, 30, 60}
Divisores de 18: D (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
Divisores de 20: D (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Divisores de 30: D (20) = {1, 2, 3, 5, 6, 12, 
15, 30}
x y k= ×
3
a) Múltiplos 
Zero é múltiplo de qualquer dos números 
naturais
O número de múltiplos de um número 
natural é infinito.
b) Divisores
1 é divisor de qualquer um dos números 
naturais.
O número de divisores de um número 
natural é finito.
Critérios de Divisibilidade
Os critérios de divisibilidade são regras que 
nos permitem verificar se um determinado 
número é divisível por outro sem a 
necessidade de efetuarmos a divisão.
As divisibilidades por 2, 3, 5, 6, 9 e 10 são as 
mais importantes e de fácil fixação.
 » Divisibilidade por 2
Um número natural será divisível por 2 
quando ele for par, ou seja, se termina em 0, 
2, 4, 6, ou 8.
Ex1.: 3746 é divisível por 2, porque é um 
numero par, pois termina em 6.
Ex2.: 235 não é divisível por 2, pois não é 
um número par, pois termina em 5. 
 » Divisibilidade por 3
Um número será divisível por 3 quando a 
soma dos valores dos seus algarismos for um 
número divisível por 3.
Ex1.: 432 é divisível por 3, pois a soma de 
seus algarismos é igual a 4+3+2=9, e como 9 
é divisível por 3, temos que 432 é divisível por 
3. 
Ex2.: 253 não é divisível por 3 pois a soma 
de seus algarismos é igual a 2+5+3=10, e 
como 10 não é divisível por 3, temos que 253 
não é divisível por 3
 » Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 quando termina 
em 00 ou quando o número formado pelos 
seus dois últimos algarismos, o da dezena e 
o da unidade for um número divisível por 4.
Ex1.: 1900 é divisível por 4, pois termina em 
00.
Ex2.: 2416 é divisível por 4, pois 16 é divisível 
por 4.
Ex3.: 2524 é divisível por 4, pois 24 é divisível 
por 4.
Ex4.: 3750 não é divisível por 4, pois não 
termina em 00 e 50 não é divisível por 4.
 » Divisibilidade por 5
Um número é divisível por 5 quando o 
algarismo das unidades for 0 ou 5.
Ex1.: 95 é divisível por 5, pois termina em 5.
Ex2.:
110 é divisível por 5, pois termina em 0.
Ex3.:
117 não é divisível por 5, pois termina com 
7 e não com 0 ou 5. 
 » Divisibilidade por 6
Quando um número é divisível por 2 e por 
3, ele também é divisível por 6.
Ex1.: 312 é divisível por seis, pois é par logo 
divisível por 2 e tem soma dos algarismos 6 
logo divisível por 3. 
Ex2.: 5214 é divisível por seis, pois é par logo 
divisível por 2 e tem soma dos algarismos 12 
logo divisível por 3. 
Ex3.: 716 não é divisível por seis, pois 
apesar de ser par e divisível por 2 sua soma 
dos termos é 14 que não é divisível por 3.
Ex4.: 3405 não é divisível por seis, a soma 
dos seus algarismos é 12 logo divisível por 
3 mais não divisível por 2 pois o numero é 
impar.
 » Divisibilidade por 9
Um número é divisível por 9 se a soma dos 
valores absolutosdos seus algarismos for 
divisível por 9.
Ex.: 2880 é divisível por 9, pois a soma de 
seus algarismos é igual a 2+8+8+0=18, e como 
18 é divisível por 9, então 2880 é divisível por 
9.
 » Divisibilidade por 10
Um número natural é divisível por 10 
quando o algarismo das unidades é zero.
Ex1.: 4150 é divisível por 10, pois termina 
em 0.
Ex2.: 2126 não é divisível por 10, pois não 
termina em 0.
Ex3.: 890 é divisível por 10, pois termina em 
0.
4
Números Primos
São números naturais primos os que têm 
apenas dois divisores distintos: o número 1 e 
ele mesmo.
Ex1.: 2 tem apenas dois divisores o número 
1 e ele mesmo 2, portanto 2 é um número 
primo.
Ex2.: 13 tem apenas os divisores o número 
1 e ele mesmo 13, portanto 13 é um número 
primo.
Ex3.: 9 tem os divisores 1, 3 e 9, portanto 9 
não é um número primo.
Considerando os números naturais até 100 
os primos são:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 
43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}
 » Decomposição em Fatores Primos
Todo número pode ser representado por 
uma multiplicação que envolve somente 
números primos 
 » Regra prática
Existe uma regra prática para fatorar um 
número.
Pelo dispositivo prático dividimos o número 
pelo seu menor divisor primo, até atingirmos 
o quociente um.
Ex.: Decomponha em fatores primos o 
número 420.
Temos, então, que 420 = 2 x 2 x 3 x 5 x 7, 
representado em matemática como 2² x 3 x 
5 x 7
Ex2.: Decomponha em fatores primos o 
número 72.
Temos que 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3, ou 2³ x 3².
Divisores de um Número Inteiro
Um número inteiro além dos divisores 
positivos também tem os divisores negativos, 
isso significa que quando consideramos os 
números inteiros temos o dobro de divisores 
em relação aos números naturais.
Ex.: Divisores de 18: D (18) = {-18, -9, -6, -3, 
-2, -1, 1, 2, 3, 6, 9, 18}
Veja o dispositivo para encontrar dispositivo 
para encontra o número de divisores inteiros
Primeiramente, decomponha o número em 
fatores primos, depois some 1 aos expoentes 
e multiplique os resultados e depois dobre o 
valor.
Ex.: o número 18 tem quantos divisores 
inteiros? 
Logo temos 2¹ x 3².
Somando 1 aos expoentes e multiplicando 
temos (1 + 1) x (2 + 1) = 2 x3 = 6
Dobro de 6 é 12.
Logo o número 18 tem 12 divisores inteiros.
Observação: quando queremos saber o 
numero de divisores positivos basta não dobrar 
o valor no final.
Ex2.: Qual o número de divisores positivos 
de 3500.
Fatorando:
3500 fatorado fica 2² x 5³ x 7¹.
Logo o número de divisores é dado por (2 + 
1) x (3 + 1) x (1 + 1) = 3 x 4 x 2 = 24.
Assim o número de divisores positivos de 
3500 é 24.
Máximo Divisor Comum (mdc)
Dois números naturais sempre têm divisores 
comuns. 
5
Ex.: Os divisores de 18 e 24 são:
D(18) = 1, 2, 3, 6, 9, 18
D(24) = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Divisores comuns a 18 e 24 são: 1, 2, 3 e 6.
O maior dos divisores comuns é o 6. Logo o 
6 é o Máximo divisor comum.
Mínimo Múltiplo Comum (mmc)
Dois ou mais números sempre têm múltiplos 
comuns. Para percebemos essa característica, 
vamos achar os múltiplos comuns de 3 e 4.
M(3) = (0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27...)
M(4) = (0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32,...)
O mínimo múltiplo comum denominado 
mmc é o menor múltiplo diferente de zero 
comum aos múltiplos dos dois números.
Neste caso o mmc entre 3 e 4 é 12.
Forma prática de encontra o mmc e o mdc
Podemos utilizar a fatoração cara encontrar 
o mmc e o mdc no mesmo dispositivo, a 
decomposição em fatores primos.
Ex1.: Qual é o mmc e o mdc entre 56 e 72?
 » Iremos decompor em fatores primos e 
toda vez que os dois valores tiverem o mesmo 
divisor marcaremos com “*”.
Para encontrar o mmc basta multiplicar 
todos os fatores primos na decomposição.
mmc = 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 7
 Para encontrar o mdc basta multiplicar os 
que contem *.
 mdc = 2 . 2 . 2 = 8
Ex2.: Qual é o mmc e o mdc entre os valores 
320, 400 e 720.
mmc = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 5 . 5 = 7200
mdc = 2 . 2 . 2 . 2 . 5 = 80
01. (CONESUL) Assinale a alternativa que 
apresenta o valor do M.D.C. de 72 e 168.
a) 12.
b) 24.
c) 8.
d) 16.
e) 36.
02. (VUNESP) Um eletricista tem 4 rolos do fio 
X, com 84 m cada um, 3 rolos do fio Y, com 144 
m cada um, e 5 rolos do fio Z, com 60 m cada um. 
Para fazer as ligações necessárias de uma obra, 
ele deverá cortar os fios dos 12 rolos em pedaços 
do mesmo tamanho, sendo esse tamanho o maior 
possível, de modo que não reste nenhum pedaço 
de fio nos rolos. Dessa maneira, ele deverá obter 
um número total de pedaços igual a:
a) 24
b) 36
c) 49
d) 64
e) 89
03. (FCC) Sistematicamente, dois funcionários 
de uma empresa cumprem horas-extras: um, a 
cada 15 dias, e o outro, a cada 12 dias, inclusive 
aos sábados, domingos ou feriados. Se em 15 de 
outubro de 2010 ambos cumpriram horas-extras, 
outra provável coincidência de horários das suas 
horas-extras ocorrerá em:
a) 9 de dezembro de 2010. 
b) 15 de dezembro de 2010. 
c) 14 de janeiro de 2011.
d) 12 de fevereiro de 2011.
e) 12 de março 2011.
04. (FCC) Ao sacar X reais de sua conta corrente, 
Alaíde recebeu do caixa do Banco um total de 
51 cédulas, que eram de apenas três tipos: 10, 
20 e 50 reais. Considerando que as quantias 
correspondentes a cada tipo de cédula eram 
iguais, o valor de X era:
a) R$ 300,00
b) R$ 450,00
c) R$ 600,00
d) R$ 750,00
e) R$ 900,00
6
05. O esportivo, comerciais dos produtos A, 
B e C, todos de uma mesma empresa, foram 
veiculados durante um tempo total de 140 s, 
80 s e 100 s, respectivamente, com diferentes 
números de inserções para cada produto. Sabe-
se que a duração de cada inserção, para todos 
os produtos, foi sempre a mesma, e a maior 
possível. Assim, o número total de comerciais 
dessa empresa veiculados durante a transmissão 
foi igual a:
a) 32
b) 30
c) 24
d) 18
e) 16.
06. (OBJETIVO-SP) - O m.m.c. entre os 
números é 360. Então, os valores de m e n são, 
respectivamente:
a) 3 e 2
b) 2 e 3
c) 1 e 4
d) 4 e 1
e) n.d.a
07. (FUVEST-SP) No alto de uma torre de 
uma emissora de televisão duas luzes piscam 
com freqüências diferentes. A primeira pisca 15 
vezes por minuto e a segunda pisca 10 vezes 
por minuto. Se certo instante as luzes piscam 
simultaneamente, após quantos segundos elas 
voltarão a piscar simultaneamente?
a) 10
b) 12
c) 15
d) 20
e) 30
08. (FCC) Três funcionários fazem plantões nas 
seções em que trabalham: um a cada 10 dias, 
outro a cada 15 dias, e o terceiro a cada 20 dias, 
inclusive aos sábados, domingos e feriados. Se 
no dia 18/05/02 os três estiveram de plantão, a 
próxima data em que houve coincidência no dia 
de seus plantões foi
a) 18/11/02
b) 17/09/02
c) 18/08/02
d) 17/07/02
e) 18/06/02
09. (FCC) No almoxarifado de uma Unidade 
do Tribunal Regional Eleitoral há disponível: 11 
caixas de lápis, cada qual com 12 unidades; 9 
caixas de borrachas, cada qual com 8 unidades; 
8 caixas de réguas, cada qual com 15 unidades. 
Sabe-se que:
•	 Todos	os	objetos	contidos	nas	caixas	acima	
relacionadas deverão ser divididos em pacotes 
e encaminhados a diferentes setores dessa 
Unidade;
•	 Todos os pacotes deverão conter a mesma 
quantidade	de	objetos;
•	 Cada	pacote	deverá	 conter	 um	único	tipo	
de objeto.
Nessas condições, a menor quantidade de 
pacotes a serem distribuídos é um número 
compreendido entre:
a) 10 e 20
b) 20 e 30
c) 30 e 40
d) 40 e 50
e) 50 e 60.
10. (CESGRANRIO) Considere dois grupos de 
agentes censitários, um deles com 66 agentes e o 
outro, com 72. Os dois grupos serão divididos em 
equipes de trabalho. Essas equipes deverão ter o 
mesmo número de agentes, sendo que todos os 
agentes de cada equipe devem ser originários do 
mesmo grupo. Desse modo, o número máximo de 
agentes por equipe será
a) 3
b) 4
c) 5d) 6
11. (CESGRANRIO) João tem 100 moedas, 
umas de 10 centavos, e outras de 25 centavos, 
perfazendo um total de R$ 20,20. O número de 
moedas de 25 centavos que João possui é
a) 32
b) 56
c) 64
d) 68
e) 72
1 2 3 4 5
B E D E E
6 7 8 9 10
A E D B C
11 - - - -
D - - - -
7
Frações
Definição
A expressão que representam números 
racionais não-negativos são chamados 
frações e os números inteiros utilizados 
na composição da fração são chamados 
numerador e denominador, separados por 
uma linha horizontal ou traço de fração, que 
representa uma divisão.
Onde: Numerador indica quantas partes 
do inteiro são tomadas e o denominador 
indica em quantas partes estamos dividimos 
o inteiro, sabendo que este número inteiro 
deve sempre ser diferente de zero.
Para representações de partes de um 
inteiro utilizamos frações próprias, ou seja, 
frações em que o numerador é menor que o 
denominador.
Ex.:
Na imagem vemos um retângulo dividido 
em 6 partes onde 5 delas estão pintadas, logo 
a fração que representa a parte pintada é de 
5
6
, que é uma fração própria.
Quando o numerador é maior que o 
denominador temos uma fração imprópria, 
pois temos mais de um inteiro.
Os retângulos foram divididos em 6 partes 
cada um, e o total de partes pintadas é de 9, 
logo a fração que representa a imagem é 
 ou em número misto , que se lê um 
inteiro e três sextos.
Para representação de frações impróprias 
podemos usar os números mistos com 
inteiros e frações.
Operações com Números Racionais
Soma e subtração com frações 
Soma de inteiros com frações é mais fácil se 
relacionarmos com números mistos.
Ex1.: 
 Para somarmos dois quintos com dois 
inteiros devemos pensar em figuras divididas em 
cinco partes. 
Dois inteiros representam 10 partes logo à 
soma fica:
Ex2: Dois sétimos que dizer que 
estamos dividindo em sete partes logo três 
inteiros são 7 x 3 = 21 partes. Temos:
Subtração de inteiros com frações
Ex3.: A fração tem denominador 3 logo 
estamos dividindo em três partes.
Três inteiro representam 9 pedaços, assim:
 
•	 Soma e Subtração de Frações com Frações
Soma de frações temos que garantir que as 
mesmas tenham denominadores iguais ou 
seja o inteiro esteja dividido em partes iguais.
Quando os denominadores são diferentes 
devemos reescrever as frações com um 
denominador comum, o mínimo múltiplo 
comum (mmc).
Ex.: 
O mmc entre 8 e 6 é 24, logo reescreveremos 
as duas frações com denominador 24.
Nunerador
Denominador
9
6
31
6
21 2 23
7 7 7
+ =
2 9 7
3 3 3
− = −
2 3
3
−
8
Para encontrar a fração equivalente 
com denominador 24 que substitui cada 
uma dividimos o numero 24 pelo antigo 
denominador e multiplicamos o resultado 
pelo antigo numerador:
24 dividido por 8 é 3, que multiplicado por 
5 resulta em 15.
24 dividido por 6 é 4, que multiplicado por 
1 resulta em 4.
Temos então:
Na subtração de frações a exemplo da suma 
temos que garantir que as mesmas tenham 
denominadores iguais ou seja o inteiro esteja 
dividido em partes iguais.
Ex.: 
•	 Multiplicação	de	Frações
Para efetuar a multiplicação de frações 
basta multiplicar numerador com numerador 
e denominador com denominador.
Ex.: 
Como o numerador e o denominador 
são múltiplos de 4 podemos efetuar a 
simplificação encontrando uma fração 
equivalente dividindo por 4.
Em problema quando pedimos, por 
exemplo:
 de quer dizer 
•	 Divisão de frações
Na divisão de duas frações temos que 
multiplicar a primeira pelo inverso da 
segunda.
Ex.: 
Lembramos que a divisão de frações pode 
aparecer representada por:
Dízimas Periódicas e Decimais Exatos
Um número racional pode ser uma dizima 
periódica ou um decimal exato.
Uma fração é um decimal exato quando 
efetuamos a divisão do numerador pelo 
denominador e encontramos o fim da mesma.
Ex.:
Uma fração é uma dízima periódica quando 
efetuamos a divisão do numerador pelo 
denominador e encontramos uma repetição 
infinita que chamamos de período.
Ex.:
Dízima com período 6
Dízima com período 3
Dízima com período 5
Dízima com período 15
•	 Transformação de Um Número Decimal 
Exato em Fração
Para transformar um decimal exato em 
fração contamos o número de casas depois 
da vírgula, para identificar quantos zeros terá 
o denominador.
Ex1.:
Escrevemos 23 sobre 100 porque o decimal 
original tinha duas casas depois da vírgula
Ex2.:
Escrevemos 211 sobre 100 porque o decimal 
original tinha duas casas depois da vírgula.
Ex3.:
3
4
1
5
3 1 3.
4 5 20
=
9
•	 Transformação de Um Número em Dízima 
Periódica para Fração Geratriz
Chamamos de fração geratriz a fração que 
gerou uma dízima periódica quando dividimos 
o numerador pelo denominador.
Para encontrar essa fração usamos uma 
artifício matemático descrito a seguir.
Ex1.:
2, 333...
Resolução:
Chamamos 2,333... de x temos
 x = 2,333... depois multiplicamos por 10 
pois o período da dizima tem só uma casa, 
logo 10 x = 23,33...
Agora fazemos o maior menos o menor
A fração geratriz da dizima periódica 2,333... 
é a fração 
Ex2.:
 Qual a fração geratriz da dizima periódica 
1,232323...
Resolução:
Chamamos 1,232323... de x temos
x = 1,232323... depois multiplicamos por 
100 pois o período da dizima tem duas casas, 
logo 100 x 123,2323... 
Agora fazemos o maior menos o menor
Ex3.:
Qual a fração geratriz da dizima periódica 
1,23333...
Resolução:
Chamamos 1,23333... de x temos
x = 1,23333... depois multiplicamos por 10 
pois temos um número que não faz parte do 
período da dizima, logo 10 x = 12,3333... 
Agora resolvemos como os anteriores.
10 x = 12,3333... multiplicamos por 10 pois 
o período da dizima tem só uma casa
•	 Expressões
Quando se resolve expressões numéricas 
devemos observar o seguinte:
Deve-se obedecer a seguinte prioridade de 
operação:
1º - multiplicação e divisão na ordem em 
que as mesmas aparecem
2º - soma e subtração na ordem em que as 
mesmas aparecem
II Deve-se primeiro resolver as operações 
dentro dos parênteses, depois do colchete e 
por fim as chaves, e dentro de cada um dos 
três obedecer às regras do item I
Ex1.:
 
Resolvemos primeiramente as operações 
que estão dentro dos parênteses:
mmc(3,5) = 15 e mmc(8,12) = 24
Antes de multiplicarmos podemos 
simplificar por 3 o 24 com o 15 temos então.
Ex2.:
Começamos pelos parênteses resolvendo 
as somas em seu interior
mmc(5,10)=10, e mmc(6,8)=24
Resolvendo a divisão temos.
Resolvendo a divisão temos.
10x 23,333...
x 2,333...
9x 21
=
− = −
=
21 7x
9 3
= =
7
3
100x 123,232323...
x 1,232323...
99x 122
=
− = −
=
122x
99
=
100x 123,3333...
10x 12,3333...
90x 111
=
− = −
=
111 37x
90 30
= =
10
Simplificando temos.
01. Evandro gasta um terço de seu salário com 
moradia e ainda lhe sobram R$ 800,00 reais. Qual 
o salário de Evandro?
02. Daniel gasta de seu salário com 
alimentação de seu salário com moradia e 
ainda lhe restam R$ 720,00. Qual o salário de 
Daniel?
03. Daniel gasta de seu salário com 
alimentação do restante com moradia e ainda
lhe restam R$ 720,00. Qual o salário de Daniel?
04. (FCC) Certo dia, um técnico judiciário 
trabalhou ininterruptamente por 2 horas e 50 
minutos na digitação de um texto. Se ele concluiu 
essa tarefa quando eram decorridos do dia, 
então ele iniciou a digitação do texto às:
a) 13h40min
b) 13h20min
c) 13h
d) 12h20min
e) 12h10min
05. (FCC) Suponha que, no instante em que 
a água de um bebedouro ocupava os de 
sua capacidade, uma mesma garrafa foi usada 
sucessivamente para retirar toda a água do seu 
interior. Considerando que tal garrafa equivale 
a de litroe foram necessárias 45 retiradas 
de garrafas totalmente cheias d'água até que 
o bebedouro ficasse completamente vazio, a 
capacidade do bebedouro, em metros cúbicos, 
era:
a) 0,054
b) 0,06
c) 0,54
d) 0,6
e) 5,4
06. (FCC) O funcionário A executa de uma 
tarefa em 1 hora. O funcionário B executa desta 
mesma tarefa em 1 hora. Os dois funcionários 
trabalharam juntos na tarefa durante 1 hora. O 
funcionário A retirou-se após 1 hora de trabalho 
e o funcionário B terminou a tarefa sozinho. 
Considerando que o funcionário B mantenha 
a sua mesma velocidade de execução, o tempo 
total que o funcionário B permaneceu executando 
a tarefa é:
a) 2h40min.
b) 2h50min
c) 3h00min
d) 3h30min
e) 4h00min
07. (FCC) Considere que Tancredo gasta, em 
média, horas para analisar N documentos fiscais. 
Assim sendo, para cada 10 documentos a mais 
que Tancredo analisar, o acréscimo de tempo na 
análise dos documentos será de 
a) 2 horas e 30 minutos. 
b) 2 horas e 15 minutos. 
c) 1 hora e 45 minutos. 
d) 1 hora e 30 minutos. 
e) 1 hora e 15 minutos. 
08. (CESGRANRIO) Em Floresta, no interior 
de Pernambuco, um tonel de 200 litros de água 
custa R$4,00. Na região central do Brasil, a água 
que abastece residências custam desse valor. 
Qual é, em reais, o preço de 100 litros da água 
que abastece residências na região central do 
Brasil?
a) 0,50
b) 1,00 
c) 1,50
d) 2,00
1
42
5
1 2 3 4 5
1 200,00 2057,14 1 600,00 A A
6 7 8
A E A
1
42
5
11
Geometria
A geometria plana é baseada em figuras que 
tem seus nomes determinados dependendo 
do número de lados ou de ângulos que possui 
e ainda dependendo do tamanho desses 
lados temos alguns nomes especiais.
Triângulo
Os triângulos posem ser classificados pelo 
tamanho de seus lados ou pelo tamanho de 
seus ângulos.
Lados
Pelo tamanho de seus lados podem ser:
 » Equilátero
 » Isósceles
 » Escaleno
Ângulo
Em relação ao ângulo temos três 
classificações
 » Retângulo
 » Acutângulo
 » Obtusângulo
Quando falamos de triângulos o mais 
conhecido é o retângulo, pois a relação entre 
o tamanho de seus lados é a mais conhecida:
“Teorema de Pitágoras” hipotenusa ao 
quadrado é igual a soma dos quadrados dos 
catetos.
No triângulo equilátero e no triângulo 
isósceles temos que usar o teorema de 
Pitágoras para encontrar a altura do triângulo. 
No triângulo equilátero podemos decorar a 
fórmula da altura ou usar Pitágoras.
Por Pitágoras temos:
2
2 2
2
2 2
2
2 2
L
L h
2
L
L h
4
L
L h
4
 = +  
 
= +
− =
 2 2
2
2
2
2
4L L
h
4
3L
h
4
3L
h
4
−
=
=
=
 
L 3
h
2
=
No triângulo isósceles vamos usar um 
exemplo:
 
2 2 2
2
2
2
13 h 5
169 h 25
169 25 h
144 h
h 144
h 12
= +
= +
− =
=
=
=
Nos quadriláteros os mais conhecidos são o 
quadrado e o retângulo.
O quadrado tem todos os lados e ângulos 
iguais logo podemos encontrar a fórmula 
para o calculo da diagonal.
00
2 2 25 3 4
25 9 16
25 25
= +
= +
=
2 2 2
2 2
2
d L L
d 2L
d 2L
d L 2
= +
=
=
=
12
Ex:
Qual a diagonal de um quadrado de lado 
12cm.
d 12 2cm=
A exemplo do quadrado o retângulo 
também tem diagonal calculada pelo teorema 
de Pitágoras.
Ex:
Qual é a diagonal de um retângulo que tem 
comprimento 20cm e largura 12cm?
2 2 2
2
d 12 20
d 144 400
d 544
d 4 34
= +
= +
=
=
Paralelogramo
No paralelogramo por termos lados 
oblíquos usamos o teorema de Pitágoras ou 
trigonometria no triângulo retângulo.
 
Qual é a altura do paralelogramo se x = 6
2 2 2
2
2
10 6 h
100 36 h
100 36 h
h 64
h 8
= +
= +
− =
=
=
Qual é a diagonal maior do paralelogramo.
Losango.
Losango tem todos os ângulos iguais e não 
tem ângulos internos iguais.
Ex.:
Calcule o lado do losango de diagonais 40 
cm e 30 cm?
2 2 2
2
L 15 20
d 225 400
d 625
d 25cm
= +
= +
=
=
Perímetro e Área.
Perímetro: é o contorno da figura 
Área: é o espaço interno, ou seja a extensão 
que ela ocupa.
Perímetro é a soma de todos os lados da 
figura.
Perímetro = 5 + 4 + 2 + 3 + 3 + 7 = 24
Área é o espaço interno
2 2 2
2
d 16 8
d 256 64
d 320
d 8 5
= +
= +
=
=
13
Área = 29 pois são 29 quadradinhos
Fórmula da área de figuras.
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14
Porcentagem
Toda fração que tem como denominador o 
número 100, representa uma porcentagem, 
o próprio nome quer dizer por cem.
Ex.:
O símbolo % que aparece nos exemplos 
acima substitui a palavra porcento.
Se repararmos em nosso volta, ao andarmos 
observando as vitrines das lojas vamos 
perceber que este símbolo % aparece com 
muita frequência como também o vemos 
em jornais, revistas, televisão e anúncios de 
liquidação, etc.
A porcentagem que pode serrepresentada 
por símbolo por fração ou como decimal 
Ex.:
Calcular 18% de 800.
Podemos resolver de três maneiras 
diferentes 
1º Forma
Multiplicando pela forma de fração.
 
Podemos cortar dois zeros do 800 com dois 
zeros do 100 cobrando 8 vezes 18 
8 x 18 = 144.
2º forma
Por multiplicação por decimal.
18% = 0,18
800 x 0,18 = 144
3º forma
Por regra de três
 800 - 100%
 x - 18%
Multiplicando Cruzado
Com o foco em concursos públicos a forma de 
resolução mais indicada é por regra de três, pois 
usamos operações com lucro e prejuízo sobre 
custo e sobre venda e relacionando com regra 
de três.
Ex2:
Uma certa mercadoria foi adquirida por 
R$ 2 000,00 e revendida com um lucro de 
30% sobre o custo. Qual o preço de venda?
Preço de venda R$ 2.600,00
Ex3.:
Uma certa mercadoria foi adquirida por 
Uma mercadoria foi adquirida por R$ 2 000,00 
e revendida com um lucro de 30% sobre a 
venda. Qual o preço de venda?
Preço de venda R$ 2 857,14
Operações financeiras podem ser realizadas 
com prejuízo que por sua vez pode ser sobre 
a venda ou sobre o custo.
Ex4:
Uma certa mercadoria foi adquirida por R$ 
2 000,00 e revendida com um prejuízo de 
30% sobre o custo. Qual o preço de venda?
Preço de venda R$ 1 538,36
00
15
Acréscimos sucessivos
Quando trabalhamos com acréscimos 
sucessivos temos tomar o cuidado para 
trabalhar com um acréscimo de cada vez.
Ex1:
Um produto sofreu dos acréscimos 
sucessivos uma de 15% e em seguida um de 
10%. Qual o novo valor do produto se antes 
dos aumentos o mesmo custava R$ 4 500,00.
Resolução:
Primeiramente encontramos o primeiro 
aumento que foi de 15%.
Depois do primeiro aumento o valor do 
produto passou a ser 5 175, que é o valor que 
sofrerá o segundo aumento.
Logo o novo preço do produto é 
R$ 5 175 + R$ 517,50 = R$ 5 692,50
Ex2.:
Um carro sofreu dois aumentos sucessivos 
um de 20% e depois outro de 10%. Que 
porcentagem única substituiria esses dois 
aumentos?
Resolução:
Considere que o valor do carro era de 100 
logo
20% de 100 é 20 assim o valor com o 
primeiro aumento é 120.
10% de 120 é 12 assim o valor com o 
segundo aumento é 131.
Logo como foi de 100 para 131 o aumento 
foi de 31%.
01. A renda de uma pessoa cresceu este ano de 
8% e atingiu R$ 2 700,00. Qual foi a sua renda do 
ano anterior?
02. Uma nota promissória de R$ 1980,00 
foi paga com R$ 1 683,00. Qual foi a taxa de 
desconto?
03. Sobre um investimento de R$ 2 500,00 
obteve-se lucro de R$ 550,00. Qual foi o percentual 
de lucro?
04. Uma pessoa recebeu R$ 210,00 para fazer 
a compra de um objeto, achando-se incluída 
naquela soma a sua comissão de 5%. Qual é o 
custo do objeto? 
05. O advogado recebe 90% de uma questão 
avaliada em R$ 50 000,00 e cobra 12% da 
importância recebida, a título de honorários. 
Qual a soma que coube ao cliente?
06. (CESPE) Ao entrar em vigor lei específica 
que estabeleceu novos direitos aos usuários de 
telecomunicações, uma operadora de telefonia 
celular perdeu 8% dos seus clientes. A empresa 
decidiu, então, diminuir sua margem de lucro 
sobre os serviços ao cliente, o que acarretou um 
aumento de 10% no número atual de clientes da 
empresa. Nessa situação, considerando que, após 
as medidas tomadas pela empresa, o número de 
clientes da operadora passou a ser de 80.960, 
então o número de clientes dessa operadora 
antes da perda dos 8% de clientes era
a) Inferior a 73.500.
b) Superior a 73.500 e inferior a 75.500.
c) Superior a 75.500 e inferior a 77.500.
d) Superior a 77.500 e inferior a 79.500.
e) Superior a 79.500.
07. (CESGRANRIO) Uma cidade, no ano de 
1990, tinha uma população de 1.500 milhões de 
habitantes. Essa mesma cidade, no ano 2000, 
apresentou uma população de 6.000 milhões. A 
taxa de crescimento dessa população, no período 
de 1990 a 2000, em termos percentuais, foi
a) 400%
b) 300%
c) 200%
d) 25%
e) 4%
08. (CESGRANRIO) Certa loja ofereceu, de 1 a 
10 de fevereiro, 20% de desconto em todas as 
mercadorias, em relação ao preço cobrado em 
janeiro. Pensando em vender mais, o dono da loja 
resolveu aumentar o desconto e, de 11 a 20 de 
fevereiro, este passou a ser de 30% em relação ao 
preço de janeiro. Uma pessoa pagou, no dia 9 de 
fevereiro, R$72,00 por certa mercadoria. Quanto 
ela pagaria, em reais, pela mesma mercadoria se 
a compra fosse feita em 12 de fevereiro?
a) 27,00
b) 56,00
c) 61,20
d) 63,00
e) 64,80
16
09. (FGV) Guido fez um investimento em 
um fundo de ações e, a cada 30 dias, recebe 
um relatório mostrando a valorização ou 
desvalorização das cotas do fundo nesse período. 
No primeiro mês o fundo teve uma valorização 
de 8% e, no segundo mês de 25%. O terceiro mês 
foi de crise e todas as ações caíram. Entretanto, 
no fim do terceiro mês, Guido verificou, com 
certo alívio, que tinha quase que exatamente o 
mesmo dinheiro que investiu. A desvalorização 
no terceiro mês foi de cerca de:
a) 22%.
b) 26%.
c) 30%.
d) 33%.
e) 37%
10. (FCC) Certo mês, um comerciante promoveu 
uma liquidação em que todos os artigos de sua 
loja tiveram os preços rebaixados em 20%. Se, 
ao encerrar a liquidação o comerciante pretende 
voltar a vender os artigos pelos preços anteriores 
aos dela, então os preços oferecidos na liquidação 
devem ser aumentados em.
a) 18,5%.
b) 20%.
c) 22,5%.
d) 25%.
e) 27,5%.
11. (FCC) Do total de processos que recebeu 
certo dia, sabe-se que um técnico judiciário 
arquivou 8% no período da manhã e 8% do 
número restante à tarde. Relativamente ao total 
de processos que recebeu, o número daqueles 
que deixaram de ser arquivados corresponde a
a) 84,64%
b) 85,68%
c) 86,76%
d) 87,98%
e) 89,84%
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_____________________________________________
_____________________________________________ 
_____________________________________________
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1 2 3 4 5
2 500,00 15% 22% 200,00 5 400,00
6 7 8 9 10
E A D B D
11
A
17
Sistemas de Medidas
Sistema Métrico Decimal
Conjunto de medidas que reúnem 
em sua formação inicial três grandezas 
(comprimento, volume e massa) de forma a 
eliminar as discrepâncias existentes em todo 
o mundo. Posteriormente esse sistema veio a 
ser substituído pelo SI - Sistema Internacional 
de unidades que abrange toda e qualquer 
forma de medidas existente. Vejamos agora 
algumas formas conhecidas:
Medida de Comprimento 
A medida padrão de comprimento adotado 
foi o metro que vem do grego métron e que 
significa “o que mede”. 
Múltiplos e Submúltiplos do Metro
Além da unidade fundamental de 
comprimento, o metro, existe ainda múltiplos 
e submúltiplos, que tem seus nomes formados 
com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, 
deci, centi e mili. Observe o quadro:
Os múltiplos da unidade padrão o metro 
são usados na medição de grandes distâncias, 
enquanto os submúltiplos, tem a função de 
representar pequenas distâncias.
Leitura das Medidas de Comprimento
Com o auxílio do quadro abaixo a 
compreensão torna-se mais simples.
Ex.: Faça a leitura da medida 87,052 m.
Observe agora:
Distribua os números nos respectivos 
campos abaixo.
Lemos a parte inteira acompanhada da 
unidade de medida do último algarismo bem 
como a parte decimal também acompanhada 
da unidade de medida de seu último 
algarismo.
87 052 milímetros ou 87 metros e 52 
milímetros.
6,07km “seis quilômetros e sete decâmetros”
82,107dam
“oitenta e dois 
decâmetros e cento e 
sete	centímetros”
0,003m “três milímetros”
Transformação de Unidades
Veja agora como fica aplicando o quadro 
acima.
Ex.:Converta 25,147 hm em m.
Para transformar de hm para m (que está 
duas posições à direita) devemos multiplicar 
por 100 (10 x 10).
 25,147 hm = 25,147 x 100 = 2.514,7m
Ex.: Transforme 456 m em km.
Para transformar de m para km (que está 
três posições à esquerda) devemos dividir 
por 1.000.
 456m = 456 : 1.000 = 0,456km
Para resolver uma expressão que contem 
termos em diferentes unidades, devemos 
inicialmente transformar todos para mesma 
unidade e em seguida efetuar as operações.
Multiplos
quilômetro hectômetro decâmetro
km hm dam
1000m 100m 10m
Submultiplos
decímetro centímetro milímetro
dm cm mm
0,1m 0,01m 0,001m
Unidade fundamental
metro
m
1m
km hm dam m dm cm mm
8 7, 0 5 2
km hm dam m dm cm mm
km hm dam m dm cm mm
18
Medida de Área e medida de Superfície
Antes de iniciar nossa breve definição 
vamos diferenciar Área de Superfície. 
Superfície é uma grandeza representada em 
duas dimensões. Já a Área é a medida dessa 
grandeza descrita por um número.
A POLEGADA é uma unidade de comprimento 
usada no sistema imperial de medidas britânico. 
Uma polegada são 2,54 CENTÍMETRO OU 25.4 
MILÍMETROS.
Metro Quadrado 
A unidade usada para representar a área 
de uma superfície denomina-se metro 
quadrado. O metro quadrado (m²) é a medida 
correspondente à superfície de um quadrado 
cujo lado mede 1m. 
 O dam², o hm² e km² são utilizados para 
medir grandes superfícies, são os múltiplos 
do metro quadrado, enquanto o dm², o cm² 
e o mm² são utilizados para as pequenas 
superfícies, pois são os submúltiplos do 
metro quadrado.
Medidas Agrárias
As medidas agrárias são utilizadas para 
medir superfícies na área rural, plantações, 
reservas, fazendas, etc. A principal unidade 
destas medidas é o are (a). Possui um, o 
hectare (ha); e um submúltiplo, o centiare. 
1 ha = 1hm2 =10.000 m² 1a =dam²= 10 m² 
1ca = 1m²
Transformação De Unidades
Para transformar as unidades de superfície 
devemos considerar que cada unidade é 100 
vezes maior do que a unidade imediatamente 
inferior:
Observe as seguintes transformações:
Ex: Transformar 5,52 m² em mm². 
Para transformar m² em mm² (que está 
três posições à direita) devemos multiplicar 
por 1.000.000, vezes 100 a cada casa 
(100x100x100).
Assim: 5,52 x 1.000.000 = 5 520 000 mm²
Ex.: Transformar 400,5 dam² em km².
Para transformar dam² em km² (que está 
duas posições à esquerda) devemos dividir 
por 10.000 pois duas casa representa dividir 
por (100 x 100).
Assim: 400,5 : 10.000 = 0,04005 km²
Medidas de Capacidade
Capacidade é o volume interno de um 
recipiente e a sua unidade denomina-se litro. 
Um litro equivale a 1dm³ (10cm³) ou o mesmo 
que um cubo com aresta de 1dm (10 cm).
Aresta: segmento que une dois planos
Obs.: as medidas para volume serão vistas 
no próximo tópico.
•	 Múltiplos	e	submúltiplos	do	litro.
Multiplos
km² hm² dam²
1000m² 100m² 10m²
Unidade Fundamental 
(Metro Quadrado)
m²
1m²
Submultiplos
dm² cm² mm²
0,1m² 0,01m² 0,001m
Unidade 
Agrária Hectare are(a)
centiare	
(ca)
Equivalência 
de valor. 100a 1a 0,01a
km² hm² dam² m² dm² cm² mm²
km² hm² dam² m² dm² cm² mm²
Multiplos
kl hl dal
1000l 100l 10l
Unidade Fundamental (Litro)
l
1l
19
Relações importantes:
1kl = 1m³ 1l = 1dm³ 1ml = 1cm³
Transformação de unidades
Ao transformar as unidades de capacidade 
usando o sistema métrico decimal, devemos 
lembrar que cada unidade é 10 vezes maior 
que a unidade imediatamente inferior.
Ex.:Converta 5,7 litros para ml 
Usando a tabela abaixo como referência 
observe como ficaria.
Para transformar l para ml (que está três 
posições à direita), devemos multiplicar por 
1.000, vezes 10 a cada casa (10x10x10).
Assim: 5,7 x 1.000 = 5 700 ml
Medidas de Volume
A medida do volume envolve três dimensões, 
a saber: comprimento, altura e largura. Para 
obtermos essa medida utilizaremos o metro 
cúbico (m³) que é a unidade padrão para 
volume. Vale lembrar que um m³ equivale ao 
espaço ocupado por um cubo com um metro 
de aresta.
Múltiplos e Submúltiplos do Metro Cúbico
Transformação de Unidades
Ao transformarmos unidades de volume 
usando o sistema métrico decimal, devemos 
lembrar que cada unidade de volume é 1.000 
vezes maior que a unidade imediatamente 
inferior.
Ex.:Converta 7,51 m³ para dm³.
Usando a tabela abaixo como referência 
temos:
Para transformar m³ em dm³ (que esta uma 
posição à direita) devemos multiplicar por 
1.000.
 Assim: 7,51 x 1.000 = 7 510 dm³
Relação entre Capacidade e Volume
Agora que conhecemos as medidas de 
Capacidade e de Volume podemos fazer uma 
breve correlação entre elas. Vale aqui o breve 
apanhado feito nas medidas de capacidade. 
1 kL = 1m³ 1m³ = 1000L 1L = 1dm³ 1ml = 1cm³
Medidas de Massa
É comum confundirmos massa com peso. 
Massa é a quantidade de matéria existente 
em um corpo aqui ou em qualquer lugar do 
espaço. Já o peso é a massa mais a gravidade 
que atua sobre esse corpo. Assim, um corpo 
aqui na Terra e o mesmo corpo na Lua teriam 
pesos distintos por conta da gravidade que 
atua nestes locais ser diferente.
A unidade fundamental da massa é o 
quilograma (kg), mas usualmente utilizamos 
o grama como unidade principal. 
1 l de água destilada (sem sais) = 1 dm³ = 1 
kg.
Transformação de Unidades
Submultiplos
dl cl ml
0,1l 0,01l 0,001l
Submultiplos
dm³ cm³ mm³
0,001m³ 0,0000001m³ 0,00000001m³
Unidade Fundamental 
(Metro Cúbico)
m³
1m³
Multiplos
km³ hm³ dam³
1.000.000.000m³ 1.000.000m³ 1.000m³
kl hl dal l dl cl ml
km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³
20
Ex: Converta 7,13 kg em dag. 
Usando o quadro como base, temos:
Para transformar kg para dag (que está duas 
posições à direita) devemos multiplicar por 
100 (10 x 10).
Assim: 7,13 x 100 = 713 dag
Peso bruto: é o peso do produto com a sua 
embalagem.
Peso líquido: é o peso somente do produto 
sem a embalagem.
Medidas de Tempo
As medidas de tempo não fazem parte do 
Sistema Métrico Decimal.Assim essas medidas 
serão regidas pelo Sistema Internacional (SI) 
e este considera como sendo a unidade de 
tempo padrão, o segundo.
Múltiplos e Submúltiplos do Segundo
Múltiplos
minutos hora dia
min h d
60s 60min = 3.600s 24h = 1440 min = 86.400s
Os submúltiplos do segundo são:
Décimo de segundo, centésimo de segundo 
e milésimo de segundo.
3,40h ≠ 3 h 40 min., pois 0,4 é uma fração da 
hora. Assim para obtermos os minutos teríamos 
que multiplicar 0,4 x 60 (min.) = 24 min. Logo 
3,40h = 3h e 24 min
Razão e Proporção
Razão
 A razão entre dois números nada mais é do 
que uma fração.
Vamos considerar, por exemplo, que em uma 
reunião compareçam 15 administradores e 25 
economistas. O número de administradores 
esta para o número de economistas assim 
como:
15 esta para 25.
 , simplificando podemos escrever o que 
significa dizer que para cada 3 administradores 
compareceram 5 economistas.
Na razão dizemos que 3 é o antecedente 
e 5 é o conseqüente.
Uma das maiores aplicações da razão 
esta nos mapas, pois neles aparece a escala 
utilizada que é uma razão entre a medida na 
figura e a medida real.
Ex.:Um mapa esta na escala de 1:125 000. 
Quer dizer que cada centímetro no mapa 
corresponde a 125 000 centímetros na 
realidade.
Sempre que fizemos uma comparação usando 
a palavra por, como em densidade demográfica: 
habitantes por metro quadrado, metros por 
segundo, gramas por metro cúbico, etc... 
Estamos usando uma razão.
Proporção
Quando temos duas frações que 
representam a mesma quantidade dizemos 
que temos uma proporção.
Ex.:
 São frações iguais logo diretamente 
proporcionais.
 São frações inversamente 
proporcionais, pois 2/5 é igual ao inverso de 
.
Em uma proporção direta o produto dos 
meios é igual ao produto dos extremos.
Usando o exemplo em que podemos 
também escrever: o numero 2 e o 
numero 10 são os extremos e o 5 e o 4 são os 
meios. 
Ao invés de produto entre meios e extremos 
é mais usual a multiplicação cruzada na 
representação por frações
kg hg dag g dg cg mg
21
Cálculo da Terceira Proporcional
Quando queremos a terceira proporcional x 
já nos é informado às duas primeiras.
Ex.:
Qual é a terceira proporcional a 2 e 8.
 Multiplicando cruzado, ou seja, os 
meios e os extremos temos: 
 
A terceira proporcional é 32.
Cálculo da quarta proporcional
Quando queremos a quarta proporcional x 
já nos é informado às três primeiras.
Ex.:
Qual é a quarta proporcional a 2, 4 e 8.
 Multiplicando cruzado, ou seja, os 
meios e os extremos temos:
 A quarta proporcional é 16.
Divisão de Grandezas Diretamente 
Proporcional
Entendemos por grandeza tudo o que 
pode ser medido ou contado. No nosso dia-
a-dia encontramos varias situações em que 
relacionamos duas ou mais grandezas.
Duas ou mais grandezas são diretamente 
proporcionais quando uma delas aumenta 
a outra também aumenta, ou quando uma 
delas diminui a outra também diminui.
Ex.:
A razão entre a idade de um pai e seu filho 
é de 7:4. Qual a idade de cada um se a soma 
de suas idades é 66?
Divisão de grandezas inversamente 
proporcional
Duas grandezas são inversamente 
proporcionais quando uma delas aumenta a 
outra diminui, ou quando uma delas diminui 
a outra aumenta.
Ex.:
Divida o numero 80 em grandezas 
inversamente proporcional a 3 e 5.
Saber se duas grandezas são diretas ou 
inversas é essencial para resolução correta de 
exercícios com regra de três composta.
Regra de Três
Regra de três simples
A regra de três simples compara duas 
grandezas e é dividida em duas partes a regra 
de três simples diretamente proporcionais 
e a regra de três simples inversamente 
proporcionais.
Diretamente Proporcional
Na regra de três diretamente proporcionais 
temos duas grandezas proporcionais, ou 
seja, quando uma grandeza aumenta a outra 
também aumenta e vice versa.
Ex.: 
20 operários colhem 150 caixas de tomates 
em uma manha. Para colher 600 caixas, 
quantos operários são necessários?
Resolução: As duas grandezas envolvidas 
são diretamente proporcionais, pois 
teoricamente se aumentarmos o numero 
de operários aumentam o numero de caixas 
colhidas.
Assim representamos por duas flechas com 
mesmo sentido. 
Multiplicando cruzado temos:
Multiplicando cruzado
22
Inversamente Proporcional
Na regra de três inversamente proporcionais 
temos duas grandezas inversamente 
proporcionais, ou seja, quando uma grandeza 
aumenta a outra diminui e vice versa.
Ex.: 
Uma viagem é feita em 12h com velocidade 
média de 60Km/h. Qual seria o tempo de 
viagem se a velocidade aumentasse para 80 
Km/h?
Resolução: As duas grandezas envolvidas 
são inversamente proporcionais, pois se 
aumentarmos a velocidade diminui o tempo 
de viagem.
Representamos por flechas com sentido 
oposto as grandezas inversas.
Conservamos a primeira fração e invertemos 
a segunda, que tem flecha contraria.
Regra de Três Composta
A regra de três composta compara mais de 
duas grandezas.
A interpretação se torna parte fundamental 
dos problemas. Nestes problemas temos 
que comparar informações aos pares, ou 
seja, de duas em duas considerando as 
restantes constantes, para definir quais são 
inversamente proporcionais e quais são 
diretamente proporcionais.
Ex 1
 30 operários gastam 15 dias de 8 horas 
para construir 52m de muro. Quantos dias de 
9 horas gastarão 25 operários, para construir 
39m de um muro igual? 
Resolução: Primeiro passo, temos que 
comparar todas as grandezas com a grandeza 
a ser calculada. Durante essa comparação 
consideramos as outras grandezas constantes.
Operários e dias são inversos, pois 
aumentando o número de operários 
diminuem os dias de trabalho.
Horas por dia e dias são inversos, pois 
trabalhando mais horas por dia diminuem os 
dias de trabalho.
Dias e metros são diretamente 
proporcionais, pois mais dias de trabalho 
mais metros de muro construídos.
Fixando o sentido da flecha dos dias, 
colocamos a flecha diretamente proporcional 
no mesmo sentido e as inversas com sentido 
contrario:
As frações com flecha contraria a da fração 
que contem a letra são invertidas.
Ex 2
Se 16 homens gastam 8 dias montando 32 
máquinas, o número de dias que 20 homens 
necessitarão para montar 60 máquinas é: 
Resolução: temos que comparar todas as 
grandezas com a grandeza a ser calculada, 
nesse caso o numero de dias.
Homens e dias são inversos, pois se 
aumentando o número de homens diminuem 
os dias de trabalho.
Dias e maquinas são diretamente 
proporcionais, pois se aumentarmos o 
número de dias de trabalho mais maquinas 
são montadas.
Fixando o sentido da flecha dos dias que 
é a grandeza a ser calculada, colocamos a 
diretamente proporcional no mesmo sentido 
e a inversa com sentido contrario temos:
Ex 3
Um grupo de 12 mulheres leva 6 dias 
trabalhando 4 hora por dia para colher 300 
caixas de morangos. Quantas mulheres 
serão necessárias para colher 400 caixas de 
morango em 8 dias trabalhando 6 hora por 
dia
5x = 60
x=12 dias
11700 x = 140400
 x= 12 dias
Simplificando Sem Simplificação
Simplificando Sem Simplificação
x=12 dias
x=12 dias
23
Resolução: temos que comparar todas as 
grandezas com a grandeza a ser calculada, no 
caso o numero de mulheres.
Mulheres e dias são inversos, pois se 
aumentando o número de mulheres 
diminuem os dias de trabalho.
Mulheres e horas por dia são inversos, 
pois se aumentando o número de mulheres 
diminuem as horas diárias de trabalho.
Mulheres e números de caixas são 
diretamente proporcionais, pois se 
aumentarmos o número de mulheres, 
aumentam o número de caixas de morangos 
colhidas.
Fixando o sentido da flecha dos dias que 
é a grandeza a ser calculada, colocamos a 
diretamenteproporcional no mesmo sentido 
e a inversa com sentido contrario temos:
São necessárias 8 mulheres 
01. (CESPE) Alexandre, Jaime e Vítor são 
empregados de uma empresa e recebem, 
respectivamente, salários que são 
diretamente proporcionais aos números 5, 7 
e 9. A soma dos salários desses 3 empregados 
corresponde a R$ 4.200,00. Nessa situação, 
após efetuar os cálculos, conclui-se 
corretamente que:
a) a soma do salário de Alexandre com o de 
Vítor é igual ao dobro do salário de Jaime.
b) Alexandre recebe salário superior a R$ 
1.200,00.
c) O salário de Jaime é maior que R$ 1.600,00.
d) O salário de Vítor é 90% maior do que o de 
Alexandre.
02. (CESPE) Flávio ganhou R$ 720,00 de 
salário. Desse valor, ele gastou 25% pagando 
dívidas e com alimentação. Nesse caso, o que 
sobrou do salário de Flávio foi:
a) Inferior a R$ 180,00.
b) superior a R$ 180,00 e inferior a R$ 230,00.
c) Superior a R$ 230,00 e inferior a R$ 280,00.
d) Superior a R$ 280,00.
03. (CESPE) Lavadora de roupas _ À vista 
1.300,00 ou 10 vezes de 162,50.
De acordo com o anúncio acima, o total do 
pagamento a prazo na compra da lavadora de 
roupas supera o valor do pagamento à vista 
em:
a) Exatamente 25% do valor à vista.
b) Mais de 25% e menos de 30% do valor à 
vista.
c) Exatamente 30% do valor à vista.
d) Mais de 30% do valor à vista.
04. (CESPE) A metade de um trabalho foi 
feito em 15 dias por 6 operários. No fim desse 
tempo 4 operários abandonaram o serviço. 
Os operários restantes terminarão o trabalho 
em quantos dias?
a) 18
b) 40
c) 25
d) 45
e) 30
05. (CESPE) Uma pessoa pagou 3/5 de uma 
divida. A seguir liquidou-a com o desconto de 
R$ 500,00, correspondente a 5%. Qual o valor 
da divida?
a) R$ 15.000,00
b) R$ 20.000,00
c) R$ 25.000,00
d) R$ 30.000,00
e) R$ 35.000,00
06. (CESPE) A taxa única que deverá 
substituir várias outras de 8%, 10% e 20% nos 
abatimentos sucessivos de uma fatura é:
a) 42,5%
b) 41,25%
c) 33,76%
d) 37,42%
e) 39,71%
07. (CESPE) Um viajante quer fazer em 8 dias um 
trajeto já feito em 12 dias, de 10 horas. Quantas 
horas por dia deverá andar, se aumentarmos de 
1/5 a sua velocidade?
a) 10 horas
b) 13 horas
c) 12,5 horas
d) 9 horas
e) 8 horas
24
08. (CESGRANRIO) Considere que a distância da 
Terra ao Sol seja, em certo dia, de 150 milhões 
de quilômetros. Sabendo que a velocidade da luz 
no vácuo é de 300 mil quilômetros por segundo, 
o tempo que a luz emitida do Sol demora para 
chegar ao nosso planeta é de:
a) 8 minutos e 20 segundos.
b) 9 minutos.
c) 12 minutos e 40 segundos 
d) 15 minutos e 30 segundos.
e) 20 minutos.
09. (CESGRANRIO) A cidade de Rio Claro tem, 
aproximadamente, 190 mil habitantes. Nessa 
cidade, um em cada cinco habitantes tem, no 
máximo, 10 anos de idade. Quantos são os 
habitantes de Rio Claro que têm mais de 10 anos 
de idade?
a) 19 mil
b) 38 mil
c) 72 mil
d) 144 mil
e) 152 mil
10. (FCC) Certo dia, Amaro, Belisário, Celina 
e Jasmin foram incumbidos de digitar as 150 
páginas de um texto. Para executar essa tarefa, o 
total de páginas foi dividido entre eles, de acordo 
com o seguinte critério:
•	 Amaro e Jasmim dividiram 3/5 do total 
de páginas entre si, na razão direta de suas 
respectivas	idades:	36	e	24	anos;
•	 Belisário e Celina dividiram entre si as 
páginas restantes, na razão inversa de suas 
respectivas	idades:	28	e	32	anos.
Nessas condições, aqueles que digitaram 
a maior e a menor quantidade de páginas 
foram, respectivamente,
a) Belisário e Celina
b) Amaro e Belisário
c) Celina e Jasmim.
d) Jasmim e Belisário
e) Amaro e Celina.
11. (FCC) Sabe-se que, juntos, três funcionários 
de mesma capacidade operacional são capazes 
de digitar as 160 páginas de um relatório em 4 
horas de trabalho ininterrupto. Nessas condições, 
o esperado é que dois deles sejam capazes de 
digitar 120 páginas de tal relatório se trabalharem 
juntos durante
a) 4 horas e 10 minutos
b) 4 horas e 20 minutos
c) 4 horas e 30 minutos.
d) 4 horas e 45 minutos
e) 5 horas.
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1 2 3 4 5
A D A D C
6 7 8 9 10
C C A E E
11 - - - -
C - - - -
 
 
Teoria de Conjuntos
Um assunto mais tranquilo depois das 
proposições e argumentos. Veremos aqui 
os principais conceitos dos conjuntos e suas 
operações.
Definições
O conceito de conjunto é redundante 
visto que se trata de um agrupamento de 
coisas, coisas essas que são os elementos do 
conjunto.
Ex.: Conjunto das vogais do alfabeto.
Elementos: a, e, i, o, u.
A nomenclatura dos conjuntos são letras 
maiúsculas do alfabeto
Ex.:
Conjunto dos estados da região sul do Brasil
A = {Paraná, Santa Catarina, Rio Grande do 
Sul}
Representação dos conjuntos
Os conjuntos podem ser representados 
tanto em chaves como em diagramas.
 » Representação em chaves:
Ex.:
Conjuntos dos estados brasileiros que 
fazem fronteira com o Paraguai.
B = {Paraná, Mato Grosso do Sul}
 » Representação em diagramas
Ex.: Conjuntos das cores da bandeira do 
Brasil.
Elementos e relação de pertinência
Nos conjuntos, os elementos pertencem 
ao conjunto, a relação de pertinência é 
representada pelo símbolo ∈ (pertence).
Ex.:
Conjunto dos algarismos pares
G = {2, 4, 6, 8, 0}
Observe que:
4 ∈ G
7 ∉ G
Conjunto unitário e conjunto vazio
Conjunto unitário: é aquele que possui um 
só elemento.
Ex.:
Conjunto da capital do Brasil
K = {Brasília}
Conjunto vazio: simbolizado por Ø ou {} é 
o conjunto que não tem nenhum elemento.
Ex.:
Conjunto dos estados brasileiros que fazem 
fronteira com o Chile.
M = Ø
 » Subconjuntos
Subconjuntos são partes de um conjunto.
Ex.:
- Conjunto dos algarismos
F = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}
- conjunto dos algarismos impares
H = {1, 3, 5, 7, 9}
Observe que o conjunto H esta dentro do 
conjunto F sendo então o conjunto H um 
subconjunto do conjunto F.
As relações entre subconjunto e conjunto 
são de: “esta contido ⊂” e “contém ⊃”.
Os subconjuntos “estão contidos” nos 
conjuntos e os conjuntos “contém” os 
subconjuntos. Veja:
H ⊂ F; e
F ⊃ H.
00
01. Todo conjunto é subconjunto de si próprio. 
(D ⊂ D)
02. O conjunto vazio é subconjunto de 
qualquer conjunto.(∅ ⊂ D)
03. Se um conjunto A possui “p” elementos, 
então ele possui subconjuntos.
04. O conjunto formado por todos os 
subconjuntos de um conjunto A é denominado 
conjunto das partes de A. Assim, se A = {4, 7}, o 
conjunto das partes de A, é dado por {∅, {4}, {7}, 
{4, 7}
Operações com conjuntos
União de conjuntos: a união de dois 
conjuntos quaisquer será representada por 
“A U B” e terá os elementos que pertencem a 
A “ou” a B, ou seja: A U B = {x / x ∈ A ou x ∈ B}
O número de elementos da união de dois 
conjuntos será dado por: n(AUB) = n(A) + 
n(B) - n(A∩B)
Para resolver as questões de conjunto que 
envolve união de conjuntos, começaremos a 
resolução sempre pelo que for mais comum aos 
conjuntos.
 » Interseção de conjuntos: a interseção de 
dois conjuntos quaisquer será representada 
por “A ∩ B” e terá os elementos que 
pertencem a A “e” a B, ou seja: A ∩ B = {x / x 
∈ A e x ∈ B} 
01. (FCC) Duas modalidades de esporte são 
oferecidas para os 200 alunos de um colégio: 
basquete e futebol. Sabe-se que 140 alunos 
praticam basquete, 100 praticam futebol e 20 
não praticam nenhuma destas modalidades. O 
número de alunos que praticam uma e somente 
uma destas modalidades é 
a) 120. 
b) 100. 
c) 80. 
d) 60. 
e) 40. 
Resolução: representando o enunciado, 
temos:
Calculando o valor de “x”:
140 – x + x + 100 – x + 20 = 200
260 – x = 200
X = 260 – 200
X = 60.
Se x = 60, então só 80 praticam somente 
basquete e só 40 praticam somente futebol. 
Como a questão está pedindo o número 
de alunos que praticam somente uma 
modalidade, essa será de:
80 + 40 = 120.
Portanto a resposta correta é a letra “A”.
 » Diferença de conjuntos: a diferença de 
dois conjuntos quaisquer será representada 
por “A – B” e terá os elementos que pertencem 
somente a A, mas não pertencem a B, ou seja: 
A – B = {x / x ∈ A e x ∉ B}
2p
02. (ESAF) X e Y são dois conjuntos não vazios. 
O conjunto X possui 64 subconjuntos. O conjunto 
Y, por sua vez, possui 256 subconjuntos. Sabe-
se, também, que o conjunto Z = X ∩ Y possui 2 
elementos. Desse modo, conclui-se que o número 
de elementos do conjunto P = Y - X é igual a: 
a) 4 
b) 6 
c) 8 
d) vazio 
e) 1 
Resolução: calculando o número de 
elementos do conjunto “X”, temos:
n = 6 (elementos de “X”);
Calculando o número de elementos de 
“Y”,fica:
n = 8 (elementos de “Y”).
Se Z = = X ∩ Y = 2 elementos, daí temos a 
seguinte representação dos conjuntos, com a 
quantidade dos seus elementos:
Então P (número de elementos) = Y – X = 6 
elementos. E alternativa correta, letra “B”.
01. (FCC) Sejam: X o conjunto dos municípios 
brasileiros; Y o conjunto dos municípios brasileiros 
que têm Agências do Banco do Brasil; Z o conjunto 
dos municípios brasileiros que têm mais de 30 
000 habitantes. Supondo que Y ∩ Z ≠ Ø, é correto 
afirmar que:
a) Pode existir algum município brasileiro que 
não tem Agência do Banco do Brasil e que tem 
mais de 30.000 habitantes.
b) Se um município brasileiro tem Agência do 
Banco do Brasil, então ele tem mais de 30.000 
habitantes.
c) Se um município brasileiro tem menos de 
30.000 habitantes, então ele não tem Agência do 
Banco do Brasil.
d) Todo município brasileiro que não tem 
Agência do Banco do Brasil tem menos de 30.000 
habitantes.
e) Todo município brasileiro que tem menos 
de 30.000 habitantes não tem Agência do Banco 
do Brasil. 
02. (FGV) Dado um conjunto A, chamamos 
subconjunto próprio não vazio de A a qualquer 
conjunto que pode ser formado com parte dos 
elementos do conjunto A, desde que:
 » Algum elemento de A seja escolhido; 
 » Não sejam escolhidos todos os 
elementos de A. 
Sabemos que a quantidade de subconjuntos 
próprios não vazios de A é 14. A quantidade 
de elementos de A é igual a:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8 
03. (CESPE) Sabendo-se que dos 110 
empregados de uma empresa, 80 são casados, 
70 possuem casa própria e 30 são solteiros e 
possuem casa própria, julgue o item seguinte.
Mais da metade dos empregados casados 
possui casa própria. 
Certo ( ) Errado ( )
Texto para as questões 4 a 7
Considere que todos os 80 alunos de uma 
classe foram levados para um piquenique em 
que foram servidos salada, cachorro-quente 
e frutas. Entre esses alunos, 42 comeram 
salada e 50 comeram frutas. Além disso, 27 
alunos comeram cachorro-quente e salada, 
22 comeram salada e frutas, 38 comeram 
cachorro-quente e frutas e 15 comeram os 
três alimentos. Sabendo que cada um dos 
80 alunos comeu pelo menos um dos três 
alimentos, julgue os próximos itens.
04. (CESPE) Quinze alunos comeram 
somente cachorro-quente.
Certo ( ) Errado ( )
2 64
2 2
n
n 6
=
=
2 256
2 2
n
n 8
=
=
05. (CESPE) Dez alunos comeram somente 
salada.
Certo ( ) Errado ( )
06. (CESPE) Cinco alunos comeram somente 
frutas.
Certo ( ) Errado ( )
07. (CESPE) Sessenta alunos comeram 
cachorro-quente.
Certo ( ) Errado ( )
08. (CESPE) Acerca de operações com 
conjuntos, julgue o item subsequente.
Considere que os conjuntos A, B e C tenham 
o mesmo número de elementos, que A e B 
sejam disjuntos, que a união dos três possuia 
150 elementos e que a interseção entre B e C 
possuia o dobro de elementos da interseção 
entre A e C. Nesse caso, se a interseção entre 
B e C possui 20 elementos, então B tem 
menos de 60 elementos.
09. (UPENET) Uma pesquisa de opinião 
envolvendo, apenas, dois candidatos (A e B) 
determinou que 57% das pessoas eram favoráveis 
ao candidato A e que 61% eram favoráveis 
ao candidato B. Sabendo-se que 23% eram 
favoráveis tanto ao candidato A quanto ao B, é 
CORRETO afirmar que:
a) A pesquisa não é válida, pois o total das 
preferências, considerando o candidato A e o 
candidato B, é de 118%, o que não é, logicamente, 
possível. 
b) Exatamente 5% das pessoas entrevistadas 
não são favoráveis a nenhum dos dois candidatos. 
c) Exatamente 4% das pessoas entrevistadas 
são favoráveis ao candidato A, mas não, ao 
candidato B. 
d) Exatamente 4% das pessoas entrevistadas 
são favoráveis ao candidato B, mas não, ao 
candidato A. 
e) Exatamente 38% das pessoas entrevistadas 
são favoráveis ao candidato A e indiferentes ao 
candidato B. 
10. (FCC) Do total de Agentes que trabalham 
em certo setor da Assembléia Legislativa de São 
Paulo, sabe-se que, se fossem excluídos os
 » Do sexo feminino, restariam 15 Agentes; 
 » Do sexo masculino, restariam 12 
Agentes; 
 » Que usam óculos, restariam 16 Agentes; 
 » Que são do sexo feminino ou usam 
óculos, restariam 9 Agentes. 
Com base nessas informações, o número 
de Agentes desse setor que são do sexo 
masculino e não usam óculos é:
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
11. (ESAF) Um colégio oferece a seus alunos 
a prática de um ou mais dos seguintes 
esportes: futebol, basquete e vôlei. Sabe-se 
que, no atual semestre.
 » 20 alunos praticam vôlei e basquete; 
 » 60 alunos praticam futebol e 65 praticam 
basquete;
 » 21 alunos não praticam nem futebol 
nem vôlei;
 » o número de alunos que praticam só 
futebol é idêntico ao número dos alunos que 
praticam só vôlei;
 » 17 alunos praticam futebol e vôlei;
 » 45 alunos praticam futebol e basquete; 
30, entre os 45, não praticam vôlei. 
O número total de alunos do colégio, no 
atual semestre, é igual a
a) 93. 
b) 110. 
c) 103. 
d) 99. 
e) 114. 
12. (FCC) Sobre os 55 técnicos e auxiliares 
judiciários que trabalham em uma Unidade do 
Tribunal Regional Federal, é verdade que: 
I. 60% dos técnicos são casados; 
II. 40% dos auxiliares não são casados; 
III. O número de técnicos não casados é 12. 
Nessas condições, o total de:
a) Auxiliares casados é 10. 
b) Pessoas não casadas é 30. 
c) Técnicos é 35.d) Técnicos casados é 20. 
e) Auxiliares é 25. 
13. (CONSULPLAN) Num grupo de 250 
pessoas, 34 usam óculos e lente de contato, 
29 usam apenas lente de contato e 95 não 
usam nem óculos nem lente de contato. 
Quantas pessoas desse grupo usam apenas 
óculos? 
a) 84
b) 90
c) 92
d) 88
e) 86
14. (FUMARC) Em minha turma da Escola, 
tenho colegas que falam, além do Português, 
duas línguas estrangeiras: Inglês e Espanhol. 
Tenho, também, colegas que só falam Português. 
Assim: 
 » 4 colegas só falam Português; 
 » 25 colegas, além do Português, só falam 
Inglês; 
 » 6 colegas, além do Português, só falam 
Espanhol; 
 » 10 colegas, além do Português, falam 
Inglês e Espanhol. 
Diante desse quadro, quantos alunos há na 
minha turma?
a) 46
b) 45
c) 44
d) 43
15. (CESGRANRIO) Em um grupo de 48 pessoas, 
9 não têm filhos. Dentre as pessoas que têm filhos, 
32 têm menos de 4 filhos e 12, mais de 2 filhos. 
Nesse grupo, quantas pessoas têm 3 filhos?
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
16. (ADVISE) Em uma escola que tem 415 
alunos, 221 estudam inglês, 163 estudam francês 
e 52 estudam ambas as línguas. Quantos alunos 
não estudam nenhuma das duas línguas?
a) 52
b) 31
c) 83
d) 93
e) 111
17. (FCC) Dos 36 funcionários de uma Agência 
do Banco do Brasil, sabe-se que: apenas 7 são 
fumantes, 22 são do sexo masculino e 11 são 
mulheres que não fumam. Com base nessas 
afirmações, é correto afirmar que o
a) Número de homens que não fumam é 18.
b) Número de homens fumantes é 5.
c) Número de mulheres fumantes é 4.
d) Total de funcionários do sexo feminino é 
15.
e) Total de funcionários não fumantes é 28.
18. (CESGRANRIO) Conversando com os 45 
alunos da primeira série de um colégio, o professor 
de educação física verificou que 36 alunos jogam 
futebol, e 14 jogam vôlei, sendo que 4 alunos 
não jogam nem futebol nem vôlei. O número de 
alunos que jogam tanto futebol quanto vôlei é
a) 5
b) 7
c) 9
d) 11
e) 13
19. (FGV) Considere o conjunto A = {2,3,5,7}. A 
quantidade de diferentes resultados que podem 
ser obtidos pela soma de 2 ou mais dos elementos 
do conjunto A é: 
a) 9
b) 10
c) 11
d) 15
e) 17
20. (FCC) Em um grupo de 100 pessoas, 
sabe-se que: 
 » 15 nunca foram vacinadas; 
 » 32 só foram vacinadas contra a doença A; 
 » 44 já foram vacinadas contra a doença A; 
 » 20 só foram vacinadas contra a doença C; 
 » 2 foram vacinadas contra as doenças A, B 
e C; 
 » 22 foram vacinadas contra apenas duas 
doenças. 
De acordo com as informações, o número 
de pessoas do grupo que só foi vacinado 
contra ambas as doenças B e C é
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
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1 2 3 4 5
A A ERRADO ERRADO CERTO
6 7 8 9 10
CERTO ERRADO B E D
11 12 13 14 15
D E C A B
16 17 18 19 20
C A C A C
Análise Combinatória
Neste capítulo, abordaremos Análise 
Combinatória e Probabilidade, são duas 
matérias muito importantes e muito cobradas 
nos concursos.
Definições
Disciplina que serve para descobrir o 
número de maneiras possíveis de realizar 
determinado evento, sem que seja necessário 
demonstrar todas essas maneiras.
Ex.: Quantos são os pares formados 
pelo lançamento de dois “Dados” 
simultaneamente.
Resolução:
(1º dado, 2º dado).
No primeiro dado temos 6 possibilidades 
– do 1 ao 6 – e no segundo dado também 
temos 6 possibilidades – do 1 ao 6. Juntando 
todos os pares formados, temos 36 pares (6 x 
6 = 36). Observe:
(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), 
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6); 
Logo temos 36 pares.
Veja que não há necessidade de se colocar todos 
os pares formados, basta que se saiba quantos 
são esses pares. Imagine se fossem 4 “dados” e 
quiséssemos todas as quadras possíveis.Todas 
as quadras possíveis são em numero de 1296 
quadras. Vale a pena colocar todas essas quadras 
no papel? Não, definitivamente não vale e você 
não precisa; basta saber a quantidade, para isso 
que serve a Análise Combinatória.
Para resolver as questões de Análise 
Combinatória, lançamos mão de algumas 
técnicas, que veremos a partir de agora.
Fatorial
Fatorial de um número (natural e maior que 
1) nada mais é do que a multiplicação desse 
número pelos seus antecessores em ordem 
atá o número 1 (um). 
Considerando um número “n” natural maior 
que 1, definimos o fatorial de “n” (indicado 
pelo símbolo n!) como sendo:
n! = n x (n-1) x (n-2) x ... x 4 x 3 x 2 x 1; para 
n ≥ 2. 
Ex.:
a) 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
b) 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
c) Observe que 6! = 6 x 5 x 4!
d) 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
e) 8! = 8 x 7 x 6!
Para n = 0, teremos: 0! = 1.
Para n = 1, teremos: 1! = 1.
Princípio Fundamental da Contagem (P.F.C)
Esta é uma das técnicas mais importantes e 
simples, além de muito utilizada nas questões 
de Análise Combinatória. O P.F.C é utilizado 
nas questões em que os elementos podem 
ser repetidos.
Consiste de dois princípios: o multiplicativo 
e o aditivo. A diferença dos dois consiste nos 
termos utilizados durante a resolução das 
questões.
 » Multiplicativo: usado sempre que na 
resolução das questões utilizarmos o termo 
“e”. Como o próprio nome já diz, faremos 
multiplicações.
 » Aditivo: usado quando utilizarmos o 
termo “ou”. Aqui realizaremos somas.
Vamos entender a diferença na pratica.
00
01. (CESPE) Com os algarismos 1, 3, 5 e 7, 
admitindo-se repetição, é possível formar mais 
de 60 senhas de três algarismos.
Resolução: Para formar senhas de 3 
algarismos temos a seguinte possibilidade:
SENHA = Algarismo E Algarismo E Algarismo
Número de SENHAS = 4 x 4 x 4 (já que são 
4 os algarismos que temos na questão, e 
observe o principio multiplicativo no uso do 
“e”)
Número de SENHAS = 64.
CERTA. Como a questão fala em mais de 60 
senhas.
Arranjos e Combinações
Outras duas técnicas utilizadas na Análise 
Combinatória. Nesses casos, os elementos 
não podem ser repetidos, mas a ordem 
desses elementos na questão determina qual 
das duas técnicas será utilizada.
Sempre que a ordem dos elementos 
fizer “diferença” no resultado da questão, 
resolveremos por ARRANJO. Quando a ordem 
não fizer “diferença” no resultado da questão, 
então resolveremos por COMBINAÇÃO.
 » Arranjo: de um conjunto de “n” 
elementos, um agrupamento de “p” 
elementos distintos, dispostos em 
determinada ordem forma um ARRANJO. Dois 
arranjos são diferentes quando a ORDEM dos 
seus elementos é diferente.
A fórmula do arranjo é: 
Onde: n é o número total de elementos 
do conjunto; e p é o número de elementos 
utilizados.
 » Combinação: de um conjunto de “n” 
elementos, um agrupamento de “p” elementos 
distintos forma uma COMBINAÇÃO. Duas 
combinações são diferentes quando os seus 
elementos são diferentes, não importando a 
ordem desses elementos.
A fórmula da combinação é: 
Onde n é o número total de elementos 
do conjunto; e p é o número de elementos 
utilizados.
Vejamos algumas questões para 
entendermos melhor.
02. (CESPE) Considerando uma corrida de 
Fórmula 1 com a participação de 22 carros e 22 
pilotos igualmente competitivos, julgue o item a 
seguir
Se sete carros quebrarem durante a corrida 
e seus pilotos forem obrigados a abandoná-la 
antes da bandeirada final, então a quantidade 
de maneiras diferentes de se formar a dupla 
dos primeiros classificados será inferior a 200. 
Resolução: para 1º e 2º colocados a ordem 
faz diferença no resultado, assim como um 
mesmo piloto não pode ser 1º e 2º ao mesmo 
tempo, portanto, vamos trabalhar com 
ARRANJO. Na questão: n = 22 – 7 = 15, e p = 
2; agora é só aplicar a fórmula e ver quanto 
vai dar. 
ERRADO. A questão fala em menos de 200.
03. (CESPE) Considere que seja possível chegar 
a uma pequena cidade por meio de carro, por um 
dos 5 ônibus ou por um dos 2 barcos disponíveis 
e que, dado o caráter sigiloso de uma operação 
a ser realizada nessa cidade, os agentes que 
participarão dessa operação devam chegar 
à referida cidade de maneira independente, 
em veículos distintos. Em face dessa situação, 
sabendo-se que o órgão de inteligência dispõe de 
apenas um carro e que os deslocamentos devem 
ocorrer no mesmo dia, é correto afirmar que o 
número de maneiras de o servidor responsável 
pela organização das viagens escolher os veículos 
para transporte de 3 agentes para essa missão é 
inferior a 50. 
Resolução: de acordo com a questão, 
temos 8 meio de transporte, dos quais 
queremos utilizar 3. A ordem com que esses 
meios de transporte serão utilizados não 
fazem a menor diferença; como um meio de 
transporte não poderá ser usado por 2 ou 
mais agentes, temos aqui uma questão de 
COMBINAÇÃO. Agora é só aplicar a fórmula e 
ver se a questão está certa ou não.
ERRADO. Foi dito ser inferior a 50 maneiras de 
organizar a missão.
Permutações
Situação interessante da Análise 
Combinatória em que, e quando, utilizamos 
todos os elementos “n” do conjunto para 
resolver as questões. Uma permutação difere 
da outra pela ORDEM dos seus elementos.
Os Anagramas - agrupamento formado 
pelas letras de uma palavra, que pode ter 
ou não significado na linguagem comum – 
utilizam essa técnica.
As permutações podem ser simples ou com 
elementos repetidos.
 » Permutação Simples
Onde: n é o número total de elementos do 
conjunto.
Ex.:
Quantos anagramas têm a palavra prova?
Resolução:
A palavra PROVA tem 5 letras, e nenhuma 
repetida, sendo assim n = 5, e:
Permutação com Elementos Repetidos
Fórmula de permetutação:
Onde:
n é o número total de elementos do 
conjunto.
k, y, w são as quantidades de elementos 
repetidos.
Ex.:
Quantos anagramas têm a palavra 
CONCURSO?
Resolução:
Observe que nessa palavra existem duas 
letras repetidas, o “C” e o “O”, e cada uma 
duas vezes, portanto n = 8, k = 2 e y = 2, agora:
Simplificando o 2! do numerador com um 
dos denominador, temos:
Para saber qual das técnicas utilizar basta 
você fazer duas, no máximo, três perguntas 
para a questão, veja:
1ª Pergunta: os elementos podem ser 
repetidos?
2ª Pergunta: a ordem dos elementos faz 
diferença no resultado da questão?
3ª Pergunta (opcional): vou utilizar todos 
os elementos para resolver a questão?
Se a resposta da primeira pergunta for sim, 
então você deve trabalhar com o p.F.C; se a 
resposta for não, você passa para a segunda 
pergunta; nessa, se a resposta for sim, 
trabalha-se então com arranjo; se a resposta 
for não, trabalha-se com as combinações. A 
terceira pergunta depende de se a primeira 
for não e a segunda for sim; daí pode-se fazer 
a terceira e se a resposta for sim, daí trabalha-
se com as permutacoes. 
• Permutações Circulares e Combinações 
com Repetição
Casos especiais (exceções) dentro da Análise 
Combinatória.
Permutação Circular (usada quando houver 
giros horários ou anti - horários)
Onde: n é o número total de elementos do 
conjunto.
Pc = permutação circular.
Combinação com Repetição (usada quando 
p > n ou quando a questão informar que pode 
haver repetição)
Onde: n é o número total de elementos 
do conjunto; e p é o número de elementos 
utilizados.
Cr = combinação com repetição.
Vamos entender isso nas questões.
04. (CESGRANRIO) Uma loja vende barras 
de chocolate de diversos sabores. Em uma 
promoção, era possível comprar três barras de 
chocolate com desconto, desde que estas fossem 
dos sabores ao leite, amargo, branco ou com 
amêndoas, repetidos ou não. Assim, um cliente 
que comprar as três barras na promoção poderá 
escolher os sabores de n modos distintos, sendo n 
igual a:
a) 20 
b) 16 
c)12 
d) 10 
e) 4
Resolução: note nessa questão que n = 4 
(quatro sabores de chocolate) e p = 3 (três 
barras de chocolate), e a questão informar 
que os sabores podem ser repetidos; então 
vamos trabalhar com a COMBINAÇÃO COM 
ELEMENTOS REPETIDOS, já que a ordem que 
as barras de chocolate são escolhidas não 
faz diferença no resultado. Basta aplicar a 
fórmula e ver qual alternativa esta certa.
Portanto a resposta certa é a letra “A”
05. (CESPE) O jogo de dominó tradicional é 
jogado com 28 peças, igualmente divididas entre 
4 jogadores sentados face a face em torno de 
uma mesa retangular. As peças são retangulares 
e possuem uma marcação que as divide em duas 
metades iguais; em cada metade: ou não há 
nada gravado, ou está gravado um determinado 
número de buracos que representam números. 
As metades representam 7 números: 1, 2, 3, 4, 
5, 6 e 0, sendo este último representado por uma 
metade sem marcação. Cada número ocorre 
em 7 peças distintas. Em 7 peças, denominadas 
buchas, o número aparece nas duas metades. 
Existe também uma variação de dominó 
conhecida como double nine, em que as metades 
representam os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 
9, em um total de 55 peças. M. Lugo. How to play 
better dominoes. New York: Sterling Publishing 
Company, 2002 (com adaptações).
A partir dessas informações, julgue o item 
subsequente.
No dominó tradicional, os 4 jogadores 
podem se sentar à mesa de 6 maneiras 
distintas.
Resolução: aqui nós temos a ideia dos giros, 
pois se você observar, a mudança de lugar só 
ocorre quando 2 ou mais jogadores mudam 
efetivamente de posição. Se houver só um 
giro dos competidores na mesa, sem que os 
jogadores que estiverem dos lados direito e 
esquerdo de um jogador mudem de lugar, 
então não houve mudança efetiva. Tente ver 
isso em casa com seus colegas e observe que 
só haverá mudança quando os colegas que 
estiverem do seu lado esquerdo e direito 
mudarem, se vocês só girarem na mesa não 
há mudança de lugar efetiva.
Agora deve-se aplicar a fórmula e ver se a 
questão esta certa ou não.
CERTA. A questão menciona em 6 maneiras 
diferentes.
01. (CESGRANRIO) Uma mesa redonda 
apresenta lugares para 7 computadores. 
De quantos modos podemos arrumar os 7 
computadores na mesa de modo que dois 
deles, previamente determinados, não 
fiquem juntos, considerando equivalentes 
disposições que possam coincidir por 
rotação? 
a) 120 
b) 240 
c) 480 
d) 720 
e) 840 
02. (CESPE) Considere que 7 tarefas devam 
ser distribuídas entre 3 funcionários de uma 
repartição de modo que o funcionário mais 
recentemente contratado receba 3 tarefas, e 
os demais, 2 tarefas cada um. Nessa situação, 
sabendo-se que a mesma tarefa não será 
atribuída a mais de um funcionário, é correto 
concluir que o chefe da repartição dispõe de 
menos de 120 maneiras diferentes para distribuir 
essas tarefas. 
Certo ( ) Errado ( )
03. (ACEP) Recomenda-se que, em um período 
de 24 meses, um dado terreno deva ser cultivado 
em sistema de rodízio por plantações de milho, 
arroz e feijão, sem repetição, em períodos de 6 
meses. Seguindo estas instruções, um agricultor 
decide iniciar o plantio em seus três terrenos 
das três culturas, de forma que as três sejam 
cultivadas, simultaneamente, uma em cada 
terreno. Quantas possibilidades de cultivo este 
agricultor teria ao cabo de 24 meses? 
a) 6 
b) 16 
c) 18 
d) 24 
e) 48
04. (CESGRANRIO) João, Pedro, Celso, Raul e 
Marcos foram aprovados em um concurso. Cada 
um trabalhará em uma unidade diferente da 
empresa: P, Q, R, S ou T. Considerando que João 
já foi designado para trabalhar na unidade P, de 
quantos modos distintos é possível distribuir os 
demais aprovados pelas unidades restantes? 
a) 12 
b) 24 
c) 48 
d) 90 
e) 120
05. (CESPE) Se os números das matrículas dos 
empregados de uma fábrica têm 4 dígitos e o 
primeiro dígito não é zero e se todos os números 
de matrícula são números ímpares, então há, no 
máximo, 450 números de matrícula diferentes.
Certo ( ) Errado ( ) 
06. (CESGRANRIO) Um posto de combustível 
comprou 6 bombas (idênticas) de abastecimento, 
que serão pintadas, antes de sua instalação, com 
uma única cor, de acordo com o combustível 
a ser vendido em cada uma. O posto poderá 
vender etanol (cor verde), gasolina (cor amarela) 
e diesel (cor preta). De quantas maneiras as 
bombas podem ser pintadas, considerando a não 
obrigatoriedade de venda de qualquer tipo de 
combustível?
a) 20 
b) 28 
c) 56 
d) 216 
e) 729 
07. (CESGRANRIO) Quantos números naturais 
de 5 algarismos apresentam dígitos repetidos?
a) 27.216 
b) 59.760 
c) 62.784 
d) 69.760 
e) 72.784 
08. (ESAF) O departamento de vendas de 
imóveis de uma imobiliária tem 8 corretores, 
sendo 5 homens e 3 mulheres. Quantas 
equipes de vendas distintas podem ser 
formadas com 2 corretores, havendo em 
cada equipe pelo menos uma mulher?
a) 15 
b) 45 
c) 31 
d) 18 
e) 25 
09. (ESAF) Marcos está se arrumando para ir ao 
teatro com sua nova namorada, quando todas as 
luzes de seu apartamento apagam. Apressado, 
ele corre até uma de suas gavetas onde guarda 
24 meias de cores diferentes, a saber: 5 pretas, 9 
brancas, 7 azuis e 3 amarelas. Para que Marcos 
não saia com sua namorada vestindo meias de 
cores diferentes, o número mínimo de meias que 
Marcos deverá tirar da gaveta para ter a certeza 
de obter um par de mesma cor é igual a: 
a) 30 
b) 40 
c) 246 
d) 124 
e) 5
10. (ESAF) Quatro casais compram ingressos 
para oito lugares contíguos em uma mesma 
fila no teatro. O número de diferentes 
maneiras em que podem sentar-se de modo 
a que a) homens e mulheres sentem-se em 
lugares alternados; e que b) todos os homens 
sentem-se juntos e que todas as mulheres 
sentem-se juntas, são, respectivamente, 
a) 1112 e 1152. 
b) 1152 e 1100. 
c) 1152 e 1152. 
d) 384 e 1112. 
e) 112 e 384. 
11. (CESPE) Considere que, em visita a uma 
discoteca, um indivíduo escolheu 10 CDs de 
cantores de sua preferência. Todos os CDs tinham 
o mesmo preço, mas esse indivíduo dispunha de 
dinheiro suficiente para comprar apenas 4 CDs. 
Nesse caso, a quantidade de maneiras diferentes 
que esse indivíduo dispõe para escolher os 4 CDs 
que irá comprar é inferior a 200.
Certo ( ) Errado ( )
12. (CESPE) Uma moeda é jogada para o alto 10 
vezes. Em cada jogada, pode ocorrer 1 (cara) ou 0 
(coroa) e as ocorrências são registradas em uma 
seqüência de dez dígitos, como, por exemplo, 
0110011010. Considerando essas informações, 
julgue o próximo item.
O número de seqüências nas quais é obtida 
pelo menos uma cara é inferior a 512. 
Certo ( ) Errado ( )
13. (CESPE) Considere que três alunos tenham 
camisetas azuis, três tenham camisetas brancas, 
dois tenham camisetas vermelhas, um tenha 
camiseta verde e um tenha camiseta preta. Nessas 
condições, existem 72 × 5! maneiras diferentes de 
se colocarem os dez alunos em fila, de tal forma 
que alunos com camisetas de mesma cor fiquem 
sempre juntos.
Certo ( ) Errado ( )
14. (FGV) Em uma urna, há 3 bolas brancas, 4 
bolas azuis e 5 bolas vermelhas. As bolas serão 
extraídas uma a uma, sucessivamente e de 
maneira aleatória. O número mínimo de bolas 
que devem ser retiradas para que se possa 
garantir que, entre as bolas extraídas da urna, 
haja pelo menos uma de cada cor é: 
a) 7 
b) 8 
c) 9 
d) 10 
e) 11 
15. (FGV) Deseja-se criar senhas bancárias 
de 4 algarismos. Quantas senhas diferentes 
podem ser criadas de modo que o último 
dígito seja ímpar e todos os algarismos da 
senha sejam diferentes? 
a) 3600. 
b) 3645. 
c) 2520. 
d) 2240. 
e) 2016.
16. (FCC) Astolfo pretendia telefonar para 
um amigo, mas não conseguia se lembrar por 
inteiro do número de seu telefone;lembrava-
se apenas do prefixo (constituído pelos quatro 
algarismos da esquerda) e de que os outros 
quatro algarismos formavam um número 
divisível por 15. Ligou para sua namorada 
que lhe deu a seguinte informação: “lembro-
me apenas de dois dos algarismos do número 
que você quer: o das dezenas, que é 3, e o das 
centenas, que é 4”. Com base no que ele já 
sabia e na informação dada pela namorada, 
o total de possibilidades para descobrir o 
número do telefone de seu amigo é?
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
17. (FCC) Um programa de televisão convida 
o telespectador a participar de um jogo por 
telefone em que a pessoa tem que responder 
sim ou não em 10 perguntas sobre ortografia. O 
número máximo de respostas diferentes ao teste 
que o programa pode receber é
a) 2048. 
b) 1024. 
c) 512. 
d) 200. 
e) 20. 
18. (CESPE) Sabe-se que no BB há 9 vice-
presidências e 22 diretorias. Nessa situação, 
a quantidade de comissões que é possível 
formar, constituídas por 3 vice-presidentes e 
3 diretores, é superior a 10 5.
Certo ( ) Errado ( ) 
19. (CESPE) Um correntista do BB deseja fazer 
um único investimento no mercado financeiro, 
que poderá ser em uma das 6 modalidades de 
caderneta de poupança ou em um dos 3 fundos de 
investimento que permitem aplicações iniciais de 
pelo menos R$ 200,00. Nessa situação, o número 
de opções de investimento desse correntista é 
inferior a 12.
Certo ( ) Errado ( ) 
20. (CESPE) O número de países representados 
nos Jogos Pan-Americanos realizados no Rio de 
Janeiro foi 42, sendo 8 países da América Central, 
3 da América do Norte, 12 da América do Sul e 19 
do Caribe. Com base nessas informações, julgue o 
item que se segue. 
Considerando-se que, em determinada 
modalidade esportiva, havia exatamente 
1 atleta de cada país da América do Sul 
participante dos Jogos Pan-Americanos, 
então o número de possibilidades distintas 
de dois atletas desse continente competirem 
entre si é igual a 66. 
Certo ( ) Errado ( ) 
1 2 3 4 5
C ERRADO D B ERRADO
6 7 8 9 10
B C D E C
11 12 13 14 15
ERRADO ERRADO CERTO D C
16 17 18 19 20
C B CERTO CERTO CERTO
Probabilidade
Nesse capitulo veremos como é fácil e 
interessante calcular probabilidade.
Definições
 » Disciplina que serve para calcular as 
chances de determinado acontecimento 
(evento) ocorrer.
Chance de determinado acontecimento 
ocorrer (probabilidade) 
≠ (diferente)
Maneiras possíveis de se realizar determinado 
evento (analise combinatória).
Para o calculo das probabilidades temos 
que saber primeiro 3 (três) conceitos básicos 
acerca do tema, que são:
 » Experimento Aleatório: é o experimento 
em que não é possível garantir o resultado, 
mesmo que esse seja feito diversas vezes nas 
mesmas condições.
Ex.:
a) Lançamento de uma moeda: você sabe que 
ao lançarmos uma moeda os resultados possíveis 
são o de cara e o de coroa, mas não tem como 
garantir qual será o resultado desse lançamento.
b) Lançamento de um “dado”: da mesma 
forma que a moeda, não temos como garantir 
qual vai ser dos números (1, 2, 3, 4, 5 e 6) o 
resultado para esse lançamento.
 » Espaço Amostral - (Ω) ou (U): é o 
conjunto de todos os resultados possíveis 
para um experimento aleatório.
Ex.:
a) Na moeda: o espaço amostral na moeda é Ω 
= 2, pois só temos dois resultados possíveis para 
esse experimento, que é ou CARA ou COROA.
b) No “dado”: o espaço amostral no “dado” 
é U = 6, pois temos do 1 (um) ao 6 (seis), como 
resultados possíveis para esse experimento.
 » Evento: é o acontecimento – dentro 
do experimento aleatório – que se quer 
determinar a chance de ocorrer. É uma parte 
do espaço amostral.
Fórmula da probabilidade
A fórmula da probabilidade nada mais é 
do que uma razão entre o evento e o espaço 
amostral.
Vejamos agora uma questão para entender 
melhor.
01. (CESPE) Considere que 9 rapazes e 6 moças, 
sendo 3 delas adolescentes, se envolvam em um 
tumulto e sejam detidos para interrogatório. Se a 
primeira pessoa chamada para ser interrogada for 
escolhida aleatoriamente, então a probabilidades 
de essa pessoa ser uma moça adolescente é igual 
a 0,2.
Resolução: de acordo com o enunciado 
temos 15 pessoas ao todo, portanto esse é o 
espaço amostral. O evento é 3, pois a questão 
esta perguntando qual a probabilidade de a 
pessoa chamada ser uma das adolescentes. 
Daí agora é só calcular e ver se a questão esta 
certa ou errada.
3
15
0,2.
=
=
=
eventoP 
espaco amostral
P 
P 
CERTA. a questão.
Os valores da probabilidade variam de 0 (0%) 
a 1 (100%).
Quando a probabilidade é de 0 (0%), diz-se 
que o evento é impossível.
Exemplo: chance de você não passar num 
concurso.
Quando a probabilidade é de 1 (100%), diz-se 
que o evento é certo.
Ex.: chance de você passar num concurso.
Qualquer outro valor entre 0 e 1, caracteriza-
se como a probabilidade de um evento.
00
Eventos Complementares
Dois eventos são ditos complementares 
quando a chance do evento ocorrer somado 
a chance dele não ocorrer sempre da 1 (um).
P(A) + P(Ā) = 1 
Onde:
P(A) é a probabilidade do evento ocorrer; e
P(Ā) é a probabilidade do evento não 
ocorrer.
02. (FCC) Em um escritório trabalham 10 
funcionários: 5 do sexo feminino e 5 do sexo 
masculino. Dispõe-se de 10 fichas numeradas de 1 
a 10, que serão usadas para sortear dois prêmios 
entre esses funcionários e, para tal, cada mulher 
receberá uma ficha numerada de 1 a 5, enquanto 
que cada homem receberá uma numerada de 6 
a 10. Se, para o sorteio, as fichas das mulheres 
forem colocadas em uma urna M e as dos homens 
em uma urna H, então, ao sortear-se uma ficha 
de cada urna, a probabilidade de que em pelo 
menos uma delas esteja marcado um número 
ímpar é de? 
a) 24% 
b) 38%. 
c) 52%. 
d) 68%. 
e) 76%. 
Resolução: Nessa questão conseguiremos 
ver o conceito de probabilidade 
complementar, pois basta que a gente calcule 
a probabilidade dos dois números serem 
pares e daí diminuir do todo, já que tirando a 
possibilidade dos dois números serem o que 
sobrar terá pelo menos um impar, correto?!?!
Calculando:
- Probabilidade de M:
( )
Probabilidade de H:
Probabilidade das duas urnas 
um numero de cada M e H :
2
5
3
5
2 3 6
5 5 25
=
=
= =
=
P 
P 
P x 
Probabilidade Complementar:
Logo, resposta certa letra “E”.
Casos especiais de probabilidade
A partir de agora veremos algumas situações 
típicas da probabilidade e que serve para 
nós não perdermos tempo na resolução das 
questões.
Na probabilidade também usamos o P.F.C 
(Principio Fundamental da Contagem), ou 
seja sempre que tivermos duas ou mais 
probabilidades ligadas pelo conectivo “e” 
multiplicá-las-emos, e quando for pelo “ou” 
somá-las-emos.
 » Probabilidade Condicional: é a 
probabilidade de um evento ocorrer sabendo 
que já ocorreu outro, relacionado a esse.
A fórmula para o calculo dessa probabilidade 
é: 
=
probabilidade dos eventos simultaneosP 
probabilidade do evento condicional
03. (ESAF) Maria ganhou de João nove 
pulseiras, quatro delas de prata e cinco delas de 
ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito 
delas de prata e três delas de ouro. Maria guarda 
todas essas pulseiras - e apenas essas - em sua 
pequena caixa de jóias. Uma noite, arrumando-
se apressadamente para ir ao cinema com João, 
Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua 
pequena caixa de jóias. Ela vê, então, que retirou 
uma pulseira de prata. Levando em conta tais 
informações, a probabilidade de que a pulseira 
de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras 
que ganhou de João é igual a:
a) 1/3.
b) 1/5.
c) 9/20.
d) 4/5.
e) 3/5. 
Resolução: ao todo Maria tem 12 pulseiras 
de prata e dessas 4 foram dadaspor João. 
Agora é só calcular o que a questão esta 
pedindo.
4
12
1
3
=
=
=
probabilidade dos eventos simultaneosP 
probabilidade do evento condicional
P 
P 
Daí, resposta certa, letra “A”.
 » Probabilidade da união de dois 
eventos: assim como na teoria de conjuntos, 
faremos a relação com a fórmula do numero 
de elementos da união de dois conjuntos. 
Aqui teremos que atentar para quando 
usaremos isso na pratica. Então, sempre que 
uma questão pedir a probabilidade disso “ou” 
daquilo usaremos essa probabilidade.
A fórmula para o calculo dessa probabilidade 
é: P (A U B)= P (A)+ P (B)-P (A ∩ B).
04. (CESPE) Em uma urna há 100 bolas 
numeradas de 1 a 100. Nesse caso, a probabilidade 
de se retirar uma bola cuja numeração seja um 
múltiplo de 10 ou de 25 será inferior a 0,13.
Resolução: de 1 a 100 temos 10 (10, 20, 30, 
40, 50, 60, 70, 80, 90, 100) múltiplos de 10, 
4 (25, 50, 75, 100) múltiplos de 25 e 2 (50, 
100) múltiplos simultâneos de 10 e 25. Veja 
aqui o uso do “ou”, que quando acontece 
já sabemos que faremos a probabilidade da 
união de dois eventos. Calculando:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
10
25
50
10 25 50
10 1
100 10
4 1
100 25
2 1
100 50
.
.
10 4 2 .
100 100 100
12 0,12
100
= =
= =
= =
= + −
= + −
= + −
= =
∩
P 
P 
P 
P A U B P A P B P A B
P A U B P P P
P A U B 
P A U B 
CERTA. Inferior a 0,13.
 » Probabilidade Binomial: essa 
probabilidade será tratada aqui de forma 
direta e com o uso da formula.
A fórmula para o calculo dessa probabilidade 
é:
,=
s f
n s sucesso fracassoP C * P * P
Onde: C combinação, n numero de 
repetições do evento s, números de “sucessos” 
desejados, f numero de “fracassos”
05. (CESPE) A probabilidade de serem 
encontrados defeitos em uma casa popular 
construída em certo local é igual a 0,1. Retirando-
se amostra aleatória de 5 casas desse local, a 
probabilidade de que em exatamente duas dessas 
casas sejam encontrados defeitos na construção 
é:
a) Inferior a 0,15. 
b) Superior a 0,16 e inferior a 0,30. 
c) Superior a 0,31 e inferior a 0,45. 
d) Superior a 0,46. 
Resolução: aplicando a formula:
,=
s f
n s sucesso fracassoP C * P * P
Cujo, n = 5, s = 2, f = 3,
0,1( )=sucessoP casa com defeito
0,9( )=fracassoP casa sem defeito
2 3
5,2 0,1 0,9
10 0,01 0,729
0,
Portanto a resposta certa é a
07
 letra
29
 “A”.
=
=
=
P C * * 
P * * 
P 
01. (CESGRANRIO) Dois dados comuns, 
“honestos”, são lançados simultaneamente. 
A probabilidade de que a soma dos resultados 
seja igual ou maior que 11 é
a) 11/12
b) 1/6
c) 1/12
d) 2/36
e) 1/36 
02. (CESPE) Um dado não viciado é lançado 
duas vezes. Nesse caso, a probabilidade de se ter 
um número par no primeiro lançamento e um 
número múltiplo de 3 no segundo lançamento é 
igual a 1⁄6.
Certo ( ) Errado ( )
03. (CESGRANRIO) Dois dados comuns, 
“honestos”, são lançados simultaneamente. A 
probabilidade do evento “a soma dos valores 
dos dados é ímpar e menor que 10” é igual a
a) 4/11. 
b) 17/36. 
c) 4/9. 
d) 12/36. 
e) 3/8. 
04. (CESGRANRIO) Pedro está jogando com seu 
irmão e vai lançar dois dados perfeitos. Qual a 
probabilidade de que Pedro obtenha pelo menos 
9 pontos ao lançar esses dois dados? 
a) 1/9
b) 1/4
c) 5/9
d) 5/18
e) 7/36
05. (ESAF) As apostas na Mega-Sena 
consistem na escolha de 6 a 15 números 
distintos, de 1 a 60, marcados em volante 
próprio. No caso da escolha de 6 números tem-
se a aposta mínima e no caso da escolha de 
15 números tem-se a aposta máxima. Como 
ganha na Mega-sena quem acerta todos os 
seis números sorteados, o valor mais próximo 
da probabilidade de um apostador ganhar 
na Mega-sena ao fazer a aposta máxima é o 
inverso de: 
a) 20.000.000. 
b) 3.300.000. 
c) 330.000. 
d) 100.000. 
e) 10.000. 
06. (CESPE) Em uma pesquisa de opinião, 
foram entrevistados 2.400 eleitores de 
determinado estado da Federação, acerca 
dos candidatos A, ao Senado Federal, e B, 
à Câmara dos Deputados, nas próximas 
eleições. Das pessoas entrevistadas, 800 
votariam no candidato A e não votariam em 
B, 600 votariam em B e não votariam em A 
e 600 não votariam em nenhum desses dois 
candidatos.
Com base nessa pesquisa, a probabilidade 
de um eleitor desse estado, escolhido ao 
acaso,
a) Votar em apenas um desses dois candidatos 
será igual a 0,5. 
b) Não votar no candidato A será igual a1/3. 
c) Votar no candidato A ou no candidato B 
será igual a 0,75. 
d) Votar nos candidatos A e B será igual a 0,2. 
e) Votar no candidato B e não votar no 
candidato A será igual a 1/3. 
07. (CESGRANRIO) Três dados comuns e 
honestos serão lançados. A probabilidade de que 
o número 6 seja obtido mais de uma vez é 
a) 5/216 
b) 6/216 
c) 15/216 
d) 16/216 
e) 91/216 
08. (CESPE) De 100 processos guardados em 
um armário, verificou-se que 10 correspondiam 
a processos com sentenças anuladas, 20 estavam 
solucionados sem mérito e 30 estavam pendentes, 
aguardando a decisão de juiz, mas dentro do 
prazo vigente. Nessa situação, a probabilidade de 
se retirar desse armário um processo que esteja 
com sentença anulada, ou que seja um processo 
solucionado sem mérito, ou que seja um processo 
pendente, aguardando a decisão de juiz, mas 
dentro do prazo vigente, é igual a 3/5.
Certo ( ) Errado ( )
09. (CESPE) Nas eleições majoritárias, em 
certo estado, as pesquisas de opinião mostram 
que a probabilidade de os eleitores votarem no 
candidato X à presidência da República ou no 
candidato Y a governador do estado é igual a 
0,7; a probabilidade de votarem no candidato 
X é igual a 0,51 e a probabilidade de votarem 
no candidato Y é igual a 0,39. Nessa situação, 
a probabilidade de os eleitores desse estado 
votarem nos candidatos X e Y é igual a
a) 0,19.
b) 0,2.
c) 0,31.
d) 0,39.
e) 0,5. 
10. (ESAF) Uma urna contém 5 bolas pretas, 
3 brancas e 2 vermelhas. Retirando-se, 
aleatoriamente, três bolas sem reposição, a 
probabilidade de se obter todas da mesma cor é 
igual a: 
a) 1/10 
b) 8/5 
c) 11/120 
d) 11/720 
e) 41/360 
11. (ESAF) Em uma urna existem 200 bolas 
misturadas, diferindo apenas na cor e na 
numeração. As bolas azuis estão numeradas de 1 
a 50, as bolas amarelas estão numeradas de 51 a 
150 e as bolas vermelhas estão numeradas de 151 
a 200. Ao se retirar da urna três bolas escolhidas 
ao acaso, com reposição, qual a probabilidade 
de as três bolas serem da mesma cor e com os 
respectivos números pares? 
a) 10/512. 
b) 3/512. 
c) 4/128. 
d) 3/64. 
e) 1/64. 
12. (FCC) Para disputar a final de um torneio 
internacional de natação, classificaram-se 8 
atletas: 3 norte-americanos, 1 australiano, 1 
japonês, 1 francês e 2 brasileiros. Considerando 
que todos os atletas classificados são ótimos e 
têm iguais condições de receber uma medalha 
(de ouro, prata ou bronze), a probabilidade 
de que pelo menos um brasileiro esteja entre 
os três primeiros colocados é igual a:
a) 5/14
b) 3/7
c) 4/7
d) 9/14
e) 5/7
13. (ESAF) Uma urna contém bolas vermelhas, 
azuis, amarelas e pretas. O número de bolas 
pretas é duas vezes o número de bolas azuis, 
o número de bolas amarelas é cinco vezes 
o número de bolas vermelhas, e o número 
de bolas azuis é duas vezes o número de 
bolas amarelas. Se as bolas diferem apenas 
na cor, ao se retirar ao acaso três bolas da 
urna, com reposição, qual a probabilidade de 
exatamente duas bolas serem pretas? 
a) 100/729. 
b) 100/243. 
c) 10/27. 
d) 115/243. 
e) 25/81. 
14. (ESAF) Em um experimento binomial 
com três provas, a probabilidade de ocorrerem 
dois sucessos é doze vezes a probabilidade 
de ocorrerem três sucessos. Desse modo, as 
probabilidades de sucesso e fracasso são,em 
percentuais, respectivamente, iguais a: 
a) 80 % e 20 % 
b) 30 % e 70 % 
c) 60 % e 40 % 
d) 20 % e 80 % 
e) 25 % e 75 %
15. (FGV) Um dado é dito “comum” quando 
faces opostas somam sete. Deste modo, num 
dado comum, o 1º opõe-se ao 6º, o 2º opõe-se ao 
5º e o 3º opõe-se ao 4º. Lançando-se duas vezes 
seguidas um mesmo dado comum, os resultados 
obtidos são descritos por um par ordenado (a,b), 
em que a é o resultado obtido no 1º lançamento e 
b, o resultado obtido no 2º lançamento. Assinale 
a alternativa que indique, corretamente, 
quantos pares ordenados diferentes podem 
ser obtidos de modo que a soma dos resultados 
seja sempre igual a 8.
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6 
16. (FUNIVERSA) Em um instituto de pesquisa 
trabalham, entre outros funcionários, 3 físicos, 
6 biólogos e 2 matemáticos. Deseja-se formar 
uma equipe com 4 desses 11 estudiosos, para 
realizar uma pesquisa. Se essa equipe for 
composta escolhendo-se os pesquisadores 
de forma aleatória, a probabilidade de todos 
os físicos serem escolhidos é um número cujo 
valor está compreendido entre 
a) 0,00 e 0,01. 
b) 0,01 e 0,02. 
c) 0,02 e 0,03. 
d) 0,03 e 0,04. 
e) 0,04 e 0,05. 
17. (FUNIVERSA) O mau funcionamento de 
uma das máquinas de uma indústria fez com que 
10% das peças produzidas em um determinado 
lote apresentassem defeito. Escolhendo-
se aleatoriamente cinco peças desse lote, a 
probabilidade aproximada de que menos de três 
delas apresentem esse defeito, se cada peça 
retirada é reposta antes de se retirar a próxima, 
é de
a) 90%. 
b) 91%. 
c) 93%. 
d) 96%. 
e) 99%. 
18. (CESPE) A diretoria da associação dos 
servidores de uma pequena empresa deve ser 
formada por 5 empregados escolhidos entre os 
10 de nível médio e os 15 de nível superior. A 
respeito dessa restrição, julgue o item seguinte.
Se a diretoria fosse escolhida ao acaso, 
a probabilidade de serem escolhidos 3 
empregados de nível superior seria maior 
que a probabilidade de serem escolhidos 2 
empregados de nível médio. 
Certo ( ) Errado ( )
19. (CESPE) Considere-se que, das 82 varas 
do trabalho relacionadas no sítio do TRT 
da 9.ª Região, 20 ficam em Curitiba, 6 em 
Londrina e 2 em Jacarezinho. Considere-se, 
ainda, que, para o presente concurso, haja 
vagas em todas as varas, e um candidato 
aprovado tenha igual chance de ser alocado 
em qualquer uma delas. Nessas condições, a 
probabilidade de um candidato aprovado no 
concurso ser alocado em uma das varas de 
Curitiba, ou de Londrina, ou de Jacarezinho é 
superior a1/3.
Certo ( ) Errado ( ) 
20. (CESPE) Se, em um concurso público 
com o total de 145 vagas, 4.140 inscritos 
concorrerem a 46 vagas para o cargo de 
técnico e 7.920 inscritos concorrerem para 
o cargo de analista, com provas para esses 
cargos em horários distintos, de forma que 
um indivíduo possa se inscrever para os 
dois cargos, então a probabilidade de que 
um candidato inscrito para os dois cargos 
obtenha uma vaga de técnico ou de analista 
será inferior a 0,025. 
Certo ( ) Errado ( )
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1 2 3 4 5
C CERTO C D E
6 7 8 9 10
C D CERTO B C
11 12 13 14 15
A D B D D
16 17 18 19 20
C E ERRADO CERTO CERTO
Matrizes
Nesse capitulo veremos um assunto que 
para muitos pode ser bastante complexo, 
mas que na verdade só precisamos olhar com 
bons olhos e ver que não tem o que temer.
Tentarei fazer com que vocês entendam 
esse assunto da melhor forma possível e 
espero que ao final vocês vejam que o que 
eu falei é verdade – o assunto não é tão difícil 
assim.
Definições
Matriz: é uma tabela que serve para 
organizar dados numéricos.
Uma matriz possui um numero “m” de linhas 
(horizontais) e “n” de colunas (verticais) que 
chamamos de ordem da matriz. Portanto toda 
matriz é de ordem “m x n” (que se lê: ordem “m” 
por “n”).
Representação de uma matriz
Uma matriz pode ser representada por 
parênteses ( ) ou colchetes [ ], com os dados 
dentro deles, além de uma letra maiúscula do 
alfabeto lhe dando nome – lembrando que 
a ordem da matriz é dada pelo numero de 
linhas e colunas – vejamos:
m x n m x n,A  =  ija 
Com: “i” ∈ {1, 2, 3, ..., m} e “j” ∈ {1, 2, 3, ..., 
n}, e no qual “aij” é o elemento da “i” linha 
com“j” coluna; generalizando:
11 12 13
21 22 23
3
3 x 3
1 32 33
A
 
 
 
  
=
a a a
a a a
a a a
Ex.:
3 x 2B matriz de orde
4 7
6 8
18 1
m 3 
0
 x 2
 
 
 
 
 
=
2 x 2
2 13
1 8
C
8 2

=

 
 
 matriz quadrada de ordem 
2 x 2, ou somente 2.
Matriz Quadrada: é aquela que tem o mesmo 
número de linhas e de colunas.
Lei de formação das matrizes
As matrizes possuem uma lei de formação 
que define seus elementos, a partir da 
posição (linha e coluna) de cada um deles na 
matriz, e podemos assim representar:
3 x 3 ij 3 x 3
D ,d 2i – j,= =  ijd matriz de 3 
linhas e 3 colunas.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
11 12 13
21 22 23
31 32 33
2. 1 1 1 2. 1 2 0 2. 1 3 1 1 0 1
2. 2 1 3 2. 2 2 2 2. 2 3 1 3 2 1
2. 3 1 5 2. 3 2 4 2. 3 3 3 5 4
D
3
 = − = = − = = − = −  − 
   = − = = − = = − = =   
  = − = = − =
=
= − =   
d d d 
d d d 
d d d 
Logo:
D= 1 0 1
3 2 1
5 4 3
− 
 
 
 
 
 
Tipos de matrizes
Existem alguns tipos de matrizes mais 
comuns, e usadas nas questões de concursos, 
que são:
I. Matriz Linha: é aquela que possui somente 
uma linha.
Ex.: 
A = [(4 7 10)]
II. Matriz Coluna: é aquela que possui 
somente uma coluna.
Ex.: 
3 x 1
6
13
22
B
 
 
 
 
=

III. Matriz Nula: é aquela que possui todos os 
elementos nulos, ou zero.
Exemplo: 
2 x 3
0 0 0
0
C
0 0

=

 
 
1 x 3
IV. Matriz Quadrada: é aquela que possui o 
numero de linhas igual ao numero de colunas.
Ex.: 
3 x 3
1 4 7
13 10 18
1
D
32 29
 
 
 
  
=
 
Características das matrizes quadradas – e só 
delas:
→ Tem diagonal principal e secundaria.
3 x 3
3 x 3
A diagonal principal
A
1 2 3
2 4 6
3 6 9
1 23
2 4 6
3 6 9
 diagonal secundaria
 
 
 
  
 
 
 
  
=
=
→ Formam matriz identidade (In): Aquela 
cujos elementos da diagonal principal são todos 
1 e o restante são zeros.
3 x 3
1 0 0
0 1 0 
1
A
0 0
 



= 

→ Formam matriz diagonal: Aquela cujos 
elementos da diagonal principal são diferentes 
de zero e o restante são zeros.
3 x 3
1 0 0
0 4 0 
7
A
0 0
 



= 

→ Formam matriz triangular: Aquela cujos 
elementos de um dos triângulos formados pela 
diagonal principal são zeros.
3 x 3
1 5 8
0 1 3
0 1
A
0
 
 


= 
 
V. Matriz Transposta (A ): É aquela em que 
ocorre a troca “ordenada” das linhas pelas 
colunas.
t
m x n n x m
t
2 x 3 3 x 2
1 6
1 4 7
4 8
A A
A A
6 8 9
7 9
     
 
   
   
= =
  
=

= → =
t
ij jia a
Veja que o que era linha virou coluna e o que 
era coluna virou linha, de maneira ordenada.
VI. Matriz Oposta: É aquela em que todos os 
elementos da matriz ficam multiplicados por -1.
2 x 2 2 x 2A 
4
A
1 4 1
6 7 6 7
=
− −   
   − −
−
 
=

→
VII. Matriz Simétrica: é aquela cujo At = A (só é 
possível com as matrizes quadradas)
t
3 x 3 3 x 3A 
1 2 3 1 2 3
2 4 6 2 4 6
3 9 9
A
6 3 6
=

↔
  
   
   
      
=
Notem que elas são exatamente iguais.
Operações com matrizes
Vamos ver agora as principais operações com 
as matrizes; atentem bem para a multiplicação 
de duas matrizes.
01. Igualdade de matrizes: duas matrizes são 
iguais quando possuem o mesmo numero de 
linhas e colunas (mesma ordem), e os elementos 
correspondentes são iguais.
Ex.: X = Y
2 x 2 2 x 2X e 
1 0 1 0
3 2
Y
3 2
=
   
   
   
=
02. Soma de matrizes: só é possível somar 
matrizes de mesma ordem, e basta somar os 
elementos correspondentes.
Ex.: S = X + Y (S = matriz soma de X e Y)
2 x 3 2 x 3X e 
6 8 9 18 22 30
;
10 13 4 9 14 28
Y
   
  = 
 
= 
 
9
4
1
3
4
3
2
6
9
t
2 x 3
6 18 8 22 9 30
10 9 13 14 4 28
24 30
S 
S
39
19 27 32
+ + + 
 + + + 
 
 

=

=
03. Produto de uma constante por uma 
matriz: basta multiplicar a constante por todos 
os elementos da matriz.
Ex.: P = 2 ∙ Y (matriz do produto de 2 pela 
matriz Y)
2 x 2
2 x 2
7 4
13 25
2 7 2 4
2 13 2 25
14
Y
P
8
26 5
 
0
P
 
 
 
 
 
 
 

 
=
=
= 
 x x 
 x x 
04. Produto de matrizes: para multiplicar 
duas matrizes existe uma exigência que deve ser 
seguida.
O número de colunas da primeira matriz tem 
que ser igual ao numero de linhas da segunda 
matriz: 
 → (2 x 3) x (3 x 2); 
E a nova matriz terá a ordem das linhas da 
primeira matriz pelas colunas da segunda 
matriz: 
 → (2 x 3) x (3 x 2);
Portanto a matriz M (produto de A por B) será 
de ordem 2 x 2 → .
Ex.: M = 
11 12
21 22
11 12
2
2 x 3 3 x 2
2 x 2
1 22
2 x 2
2 3
1 2 4
8 1
5 7 6
4 9
(1 2 2 8 4 4) (1 3 2 1 4 9)
(5 2 7 8 6 4) (5 3 7
A e
1 6 9)
 B
M
M
 
   
       
 
 
 
= + + = + + 
 = + + = + +
=
=

=

=
m m
m x x x m x x x
m x x x m x x x
m m
 
 
11
2 x 2
2 x
1
2 2
 
2
2
2
1
34 41
90 76
34 41
M
M
90 76
= = 
 = = 
 
 
 
=
=
m m
m m
 = produto dos elementos da linha “i” da 
primeira matriz pelos elementos da coluna “j” 
da segunda matriz, ordenadamente. Exemplo: 
m11 = produto dos elementos da primeira linha 
da primeira matriz pelos elementos da primeira 
coluna da segunda matriz = (1 x 2+2 x 8+4 x 4) 
= 34
05. Matriz Inversa ( ): outro tipo de matriz 
quadrada que será obtida multiplicando-se 
a matriz “A” pela sua matriz inversa “ ” e o 
resultado (produto) será a matriz identidade. 
Veja que na verdade se trata de mais um tipo 
de matriz, porem não dava pra falar desse tipo 
sem antes ver as operações com matrizes, em 
especial a multiplicação de duas matrizes.
Ex.: = In 
1
2 x 2 2 x 2A e A
Daí
1 2
3 1
1 2 1 0
x
3 1 0 1
1 2 1 2 1 0
3 1 3 1 0 1
1 2 11 2 1
3 1 01 2 0
3 1 0 1 2 0
3 1
:
1 1 3 1
−−   
   
   
−     
=     
     
− − 
= =
→
 
=   + +   
− =− =
 + =− = 
 + = − =
 + = + =
a b
c d
a b
c d
a c b d
a c b d
 a c
 b d
 
 a c
 b d
 a c
 I 
 a c
b d
 II 
 b d





 
• Resolvendo o sistema I
( )
1 2 1
3 1 0 2
− =
 + =
I
*
 a c 
a c
mij
A 1−−
A 1−−
A x A 1 −−
A x B 2 x 3 3 x 2
A x B 2 x 3 3 x 2
A x B 2 x 3 3 x 2
M 2 x 3
( )somando as equações
Substituindo “a” em uma das duas equações temos :
1 2 1
6 2 0
7 1
1
7
13 ( ) 1 0
7
3 1 0
7
3 1 0
7
3
7
− =
+ + =
=
=
+ =
+ =
+ =
−
=
I
a
a
c
 
 
a c 
a c 
c
c
c
Resolvendo o sistema II
( )somando as equ
1 2 0( 3)
3 1 1
3 6 0
3 1 1
7 1
1
ações
7
− = −
 + =
− + =
+ + =
=
=
II
II
d
d
 
 
 b d *
b d 
b d
b d
Substituindo “d” em uma das duas equações 
temos: 
11 2 ( ) 0
7
2 0
7
2
7
− =
− =
=
b
 b
b
Então:
a = 1/7; b = 2/7; c = -3/7; d = 1/7
Logo:
1
2 x 2
1 / 7 2 / 7
3 / 7 1 / 7
A−

=

 − 
01. (CESGRANRIO) Considere as três matrizes 
abaixo.
A ; B
1 2 3 0 1
2
 ;
1
 C 
2 3 0
     
=     
   
=
 
=
Pode-se afirmar que:
a) Não é possível somar as matrizes B e C. 
b) A matriz B é simétrica. 
c) A matriz C é uma matriz identidade. 
d) A matriz C é a inversa de B. 
e) O produto de matrizes BA é igual a 
8
8
 
 
 
Resolução: analisando as alternativas:
a) Esta errada, pois só podemos somar 
matrizes de mesma ordem o que é o caso das 
matrizes B e C.
b) Para que a matriz fosse simétrica o 
elemento b teria que ser igual a 3.
c) Para a matriz C ser identidade os elementos 
da 1ª linhas teriam que estar trocados de posição.
d) A matriz B não admite matriz identidade.
e) Calculado o produto B x A = ( )a condição esta sat
2 3 1
x isfeita , seguind :
2 2
o
3
   
   
   
(a condição esta satisfeita), seguindo:
B x A ; portanto a repos
2 1 3 2 8 8
2 1 3 2 8 8
ta correta.
+ =   
=   + =  
=

 x x 
 x x 
Determinantes
Continuação das matrizes. Acompanhe as 
regras e terá um bom aprendizado.
Determinante: é o valor de uma matriz.
Só há determinante de matriz quadrada.
Calculo dos determinantes
Vamos ver aqui como se calcula os 
determinantes.
• Determinante de uma Matriz de Ordem 1 
ou de 1ª ordem:
Se a matriz é de 1ª ordem, significa que 
ela tem apenas uma linha e uma coluna, 
portanto só um elemento que é o próprio 
determinante da matriz.
21
• Determinante de uma Matriz de Ordem 2 
ou de 2ª ordem:
Será calculado pela subtração do produto 
dos elementos da diagonal principal 
pelo produto dos elementos da diagonal 
secundaria.
 = 2 4
3 7
 
 
 
 
Det A = (2 x 7) – (4 x 3)
Det A = (14) – (12)
Det A = 2
( ) ( )
( ) ( )
2 x 2B
Det B 6 x 9 – –1 x 8
Det B 54 – –8
Det B 54 8
Det B 
6 1
8
 62
9
− 
=

=
=
= +
=


• Determinante de uma Matriz de Ordem 3 
ou de 3ª ordem:
Será calculado pelaREGRA DE SARRUS, que 
consiste em:
01. Repetir as duas primeiras colunas ao lado 
da matriz
02. Multiplicar os elementos da diagonal 
principal e das outras duas diagonais que seguem 
a mesma direção, e somá-los.
03. Multiplicar os elementos da diagonal 
secundaria e das outras duas diagonais que 
seguem a mesma direção, e somá-los.
04. O valor do determinante será dado pela 
operação matemática: REGRA 2 – REGRA 3.
Ex.: 
3 x 3
3 x 3
A
A
2 4 7 2 4
3 5 8 3 5
1 9 6 1 9
2 4 7 2 4
3 5 8 3 5
1 9 6 1 9
=
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Det A = (2 x 5 x 6 + 4 x 8 x 1 + 7 x 3 x 9) – (7x 
5 x 1 + 2 x 8 x 9 + 4 x 3 x 6)
Det A = (60 + 32 + 189) – (35 + 144 + 72)
Det A = (281) – (251)
Det A = 30
Se estivermos diante de uma matriz triangular 
ou matriz diagonal, o seu determinante será 
calculado pelo produto dos elementos da 
diagonal principal, somente.
Ex: 
• Matriz triagular
3 x 3
3 x 3
A
A
2 4 7 2 4
0 5 8 0 5
0 0 6 0 0
2 4 7 2 4
0 5 8 0 5
0 0 6 0 0
=
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Det A = (2 x 5 x 6 + 4 x 8 x 0 + 7 x 0 x 0) – (7 x 5 
x 0 + 2 x 8 x 0 + 4 x 0 x 6)
Det A = (60 + 0 + 0) – (0 + 0 + 0)
Det A = 60 (produto da diagonal principal = 2 
x 5 x 6)
• Matriz diagonal
3 x 3
3 x 3
B
B
2 0 0 2 0
0 5 0 0 5
0 0 6 0 0
2 0 0 2 0
0 5 0 0 5
0 0 6 0 0
=
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Det B = (2 x 5 x 6 + 0 x 0 x 0 + 0 x 0 x 0) – (0 x 
5 x 0 + 2 x 0 x 0 + 0 x 0 x 6)
Det B = (60 + 0 + 0) – (0 + 0 + 0)
Det B = 60 (produto da diagonal principal = 
2 x 5 x 6)
• Determinante de uma Matriz de Ordem 
igual ou superior a 3:
Será calculado pela REGRA DE CHIÓ ou 
TEOREMA DE LAPLACE.
A2 x 2 
A 13
Det A 13
B 7 
Det B 7
1 x 1
1 x 1
= [ ]
=
= −[ ]
= −
A REGRA DE CHIÓ consiste em: 
I. Escolher um elemento = 1. 
II. Retirando a linha (i) e a coluna (j) do 
elemento = 1, obtenha o menor complementar 
( ) do referido elemento – uma nova matriz com 
uma ordem a menos. 
III. Subtraia de cada elemento dessa nova 
matriz – menor complementar ( ) – o produto 
dos elementos que pertenciam a sua linha e 
coluna e que foram retirados, e forme outra 
matriz.
IV. Calcule o determinante dessa ultima matriz 
e multiplique por , sendo que i e j 
pertencem ao elemento = 1.
Ex.:
I. 
3 x 3
2 4 7
3 5 8
1 6
A
9
 
 


= 

 
II. 
3 x 3
2 4 7
4 7
3 5 8 
5 8
1 9 6
Det. A
 
   =    
 
=

III. 
3 x 3
2 4 7
4 (2 9) 7 (2 6)
3 5 8 Det. A 
5 (3 9) 8 (3 6)
1 9 6
 
− −   =    − − 

=


 x x 
 x x 
IV. 
( )3 1 3 x 3Det. A 1 *
14 5
22 10
+ − − 
 − −
−

=
V. Det. = (1) * (140 – 110)
Det A = 30
O TEOREMA DE LAPLACE fica assim:
Primeiramente precisamos saber o que é 
um cofator.
O cofator de um elemento aij de uma matriz 
é: = * .
Agora vamos ao TEOREMA:
a) Escolha uma fila (linha ou coluna) qualquer 
do determinante: 
3 x 3
2 4 7
3 5 8
1 6
A
9
 
 


= 

 
 
b) Calcule o cofator de cada elemento dessa 
fila:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1
11 11
2 1
21 21
3 1
31 31
5 8
9 6
4 7
9
a A 1 * 1 * 42
a A 1 * 1 * 39
a A 
6
4 7
5
1 * 1 
8
* 3
+
+
+
= = − = −
= = − = − −
= = −
 
 
 
 
 
 
 
 
 
= −
c) Multiplica-se cada elemento da fila 
selecionada, pelo seu respectivo cofator. O 
determinante da matriz será a soma desses 
produtos.
Propriedade dos determinantes
As propriedades dos determinantes serem 
para facilitar nossa vida, uma vez que, com elas, 
diminuímos nosso trabalho nas resoluções das 
questões de concursos.
I. Determinante de Matriz Transposta
Se A é uma matriz de ordem “n” e At sua 
transposta, então: 
Ex.: 
2 x 2
2 3
4
A
1
 
 
 
=
Det. A = 2 x 4 – 3 x1
Det. A = 8 – 3
Det. A = 5
t
2 x 2
2 1
4
A
3
 
 
 
=
II. Determinante de uma Matriz com Fila Nula
Se uma das filas (linha ou coluna) da matriz 
A for toda nula, então: Det. A = 0
Ex.: 
2 x 2
2 3
0
A
0
 
 
 
=
3 x 3
2 4 7
4 7
3 5 8 
5 8
1 9 6
Det. A
 
   =    
 
=

Dij
Dij
−( ) +1 i j
−( ) +1 i j Dij
Det.A = a *A + a *A + a *A
Det.A = 2* -42 +
3 x 3 11 11 21 21 31 31
3 x 3 ( ) 3*39 + 1* -3
Det.A = -84 + 117 + -3
Det.A = 1
3 x 3
3 x 3
( )
( ) ( )
117 87
Det A = 30
Det A Det At. . =
Det A 2 x 4 - 1 x 3
Det A 8 - 3
Det A 5
t
t
t
.
.
.
=
=
=
aij
aij
aij
–
Aij
Det. A = 2 x 0 – 3 x 0
Det. A = 0 – 0
Det. A = 0
III. Determinante de uma matriz cuja fila foi 
multiplicada por uma constante
Se multiplicarmos uma fila (linha ou coluna) 
qualquer da matriz A por um número k, o 
determinante da nova matriz será k vezes o 
determinante de A.
Det. A‘ (k vezes uma fila de A) = k * Det. A
Ex.:
2 x 2
2 3
0
A
0
 
 
 
=
Det. A = 2 x 2 – 1 x 3
Det. A = 4 – 3
Det. A = 1
( )
x 2
2 x 2
4 2
3 2
A‘ k 2
 
 

=

=
Det. A‘ = 4 x 2 – 2 x 3
Det. A‘ = 8 – 6
Det. A‘ = 2 
Det. A‘ = k * Det. A
Det. A’ = 2 * 1
Det. A’ = 2
IV. Determinante de uma Matriz multiplicada 
por uma constante
Se multiplicarmos toda uma matriz A, de 
ordem “n”, por um número k, o determinante 
da nova matriz será o produto (multiplicação) 
de kn pelo determinante de A.
Det (k.A) = * Det. A
Ex.: 
2 x 2
2 1
3
A
4
 
 
 
=
Det. A = 2 x 3 – 1 x 4
Det. A = 6 – 4
Det. A = 2
2 x 2
6 3
12 9
3 x A

=

 
 
Det. 3A = 6 x 9 – 3 x 12
Det. 3A = 54 – 36
Det. 3A = 18 
Det (k.A) = * Det. A
Det (3.A) = 3² * 2
Det (3.A) = 9 * 2
Det (3.A) = 18
V. Determinante de uma Matriz com Filas 
paralelas iguais
Se uma matriz A de ordem n ≥ 2 tem duas filas 
paralelas com os elementos respectivamente 
iguais, então: Det. A = 0
Ex.: 
2 x 2
2 3
3
A
2
 
 
 
=
Det. A = 2 x 3 – 3 x 2
Det. A = 6 – 6
Det. A = 0
VI. Determinante de uma Matriz com Filas 
paralelas proporcionais
Se uma matriz A de ordem n ≥ 2 tem duas filas 
paralelas com os elementos respectivamente 
proporcionais, então: Det. A = 0
Ex.:
 
2 x 2
3 6
8
A
4
 
 
 
= 
Det. A = 3 x 8 – 6 x 4
Det. A = 24 – 24
Det. A = 0
VII. Determinante de uma Matriz com Troca 
de filas Paralelas
Se em uma matriz A de ordem n ≥ 2 
trocarmos de posição duas filas paralelas 
obteremos uma nova matriz B tal que:
Det. A = – Det. B
Ex.: 
2 x 2
5 4
3
A
2
 
 
 
= 
Det. A = 5 x 3 – 2 x 4
Det. A = 15 – 8
Det. A = 7
kn
kn
1
3 2
( )
x 2
2 x 2
4 2
3 2
A‘ k 2
 
 

=

=
x 2
2 x 2
4 5
2
B
3
 
 
 
=
Det. B = 4 x 2 – 5 x 3
Det. B = 8 – 15
Det. B = -7
 
Det. A = – Det. B
Det. A = – (-7)
Det. A = 7
VIII. Determinante do Produto de Matrizes
Se A e B são matrizes quadradas de ordem 
n, então:
Det. (A x B) = Det. A x Det. B
Ex.: 
2 x 2
1 2
3
A
2
 
 
 
=
 
Det. A = 1 x 3 – 2 x 2
Det. A = 3 – 4
Det. A = -1
2 x 2
2 5
4
B
3
 
 
 
=
Det. B = 2 x 4 – 5 x 3
Det. B = 8 – 15
Det. B = -7
2 x 2
8 13
13 22
AxB
 
 
 
=
Det. (AxB) = 8 x 22 – 13 x 13
Det. (AxB) = 176 – 169
Det. (AxB) = 7
Det. (A x B) = Det. A x Det. B
Det. (AxB) = (-1) x (-7)
Det. (AxB) = 7
IX. Determinante de uma Matriz Triangular
O determinante é igual ao produto dos 
elementos da diagonal principal.(visto 
anteriormente)
X. Determinante de uma Matriz Inversa
Seja B a matriz inversa de A, então a relação 
entre os determinantes de B e A é dado por:
 1Det ( )
Det ( )
=B
A
Ex.: 
2 x 2
1 2
3 1
A
−
=

 
 
Det. A = 1 x 1 – (-2 x 3)
Det. A = 1 + 6
Det. A = 7
1
2 x 2
1 / 7 2 / 7
3 / 7 1 /
B
7
 A−= =
 
 − 
Det. B = (1/7 x 1/7) – (2/7 x -3/7)
Det. B = 1/49 + 6/49
Det. B = 7/49
Det. B = 1/7
1Det.
Det( )
1Det.
7
1Det.
7
=
=
=
B
A
B
B
02. (ESAF) Uma matriz X de quinta ordem possui 
determinante igual a 10. A matriz B é obtida 
multiplicando-se todos os elementos da matriz X 
por 10. Desse modo, o determinante da matriz B 
é igual a: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Resolução: aplicando uma das propriedades 
dos determinantes, conforme interpretado 
após o enunciado:
Det (k.A) = * Det. A
n = 5
B = 10.A
Det (10.A) = * 10
Det (B) = .
Assim, a resposta certa é a letra “D”.
1 60−
1 60
103
1010
105
kn
105
1 60
Sistemas Lineares
Continuação das matrizes e determinantes, 
e finalização do nosso aprendizado.
Definições
Equações Lineares: toda equação do 1º 
grau com uma ou mais incógnitas.
Sistemas Lineares: conjunto de equações 
lineares.
Ex.:
Equação: 2x+3y=7 
2 3
Sis
7
4 5 3
tema:
+ =
 − =
x y
x y
Equação: 2 8+ + =x y z
4
2Sis
8
ema: 5t
2
+ − =
 − + =
 + + =
x y z
x y z
x y z
Representação de um sistema linear em 
forma de matriz
Todo sistema linear pode ser escrito na 
forma de uma matriz. 
Isso será importante mais adiante quando 
da resolução dos sistemas.
Ex.: 
2 3 7
4 5 3
+ =
 − =
x y
x y 
Forma de Matriz:
Matriz incompleta:
2 3
4 5
 
 −  
Matriz de X:
7 3
3 5
 
 − 
 
Matriz de Y
 Substitui-se os coeficientes de y pelos 
termos independentes.
Resolução de um sistema linear
Resolveremos os sistemas pelo método dos 
determinantes, também conhecido como 
Regra de Cramer. 
A Regra de Cramer só é possível quando o 
numero de variáveis é igual ao numero de 
equações, no sistema.
A regra consiste em: o valor das variáveis 
será calculado dividindo-se o determinante 
da matriz da variável pelo determinante da 
matriz incompleta, do sistema.
Então:
• O valor de x é dado por:
 
 
x = deteminante da matriz de X
determinante da matriz incompleta
• O valor de y é dado por:
 
 
y = deteminante da matriz de Y
determinante da matriz incompleta
• O valor de z é dado por:
 
 
z = deteminante da matriz de Z
determinante da matriz incompleta
- Se o determinante da matriz incompleta for 
diferente de zero (Det. In. ≠ 0), teremos sempre 
um sistema possível e determinado; 
- Se o determinante da matriz incompleta 
for igual a zero (Det. In. = 0), ai temos duas 
situações: 
1ª Se os determinantes de todas as matrizes 
das variáveis também forem iguais a zero (Det. X 
= 0 e Det. Y = 0 e Det. Z = 0), teremos um sistema 
possível e indeterminado; 
2ª Se o determinante de pelo menos uma das 
matrizes das variáveis for diferente de zero (Det. 
X ≠ 0 ou Det. Y ≠ 0 ou Det. Z ≠ 0), teremos um 
sistema impossível.
2 7
4 3






* indep.
SPD: sistema possível e determinado 
(quando Det. In. ≠ 0).
SPI: sistema possível e indeterminado 
(quando Det. In. = 0, e Det. X = 0 e Det. Y = 0 
e Det. Z = 0).
SI: sistema impossível (quando Det. In. = 0, 
e Det. X ≠ 0 ou Det. Y ≠ 0 ou Det. Z ≠ 0).
Ex.:
4
2 5
2 8
+ − =
 − + =
 + + =
x y z
x y z
x y z
Matriz incompleta: : det. In. 9
Matriz de X
1 1 1
2 1 1
1 2 1
4 1 1
5 1 1
8 2
: det. X 27
1
 
− 
 − 
  
− 
 − 
 
=

= −
−
Matriz de Y : det. Y 18
Matriz de Z : det. Z 9
 valor dexé : x 
1 4 1
2 5 1
1 8 1
1 1 4
2 1 5
1 2 8
27
 valor deyé : y 
valo
3
9
18 2
r dezé : z 
9
9 1
9
− 
 
 = −
= −
− =

  
 
 − 
  
−
=
−
−
=
−
−
−
−
= =
=
03. (ESAF) Com relação ao sistema,
1
2 1 1
3 2 2
+ + =

− + = = + +
x y z
x y z 
z x y
Onde 3 z + 2 ≠ 0 e 2 x + y ≠ 0 , pode-se, com 
certeza, afirmar que:
a) É impossível.
b) Éindeterminado.
c) Possui determinante igual a 4.
d) Possui apenas a solução trivial.
e) É homogêneo.
Resolução: organizando o sistema:
1
2 3 2
2 1
+ + =
 − − =
 + − =
x y z
x y z
x y z
Resolvendo o sistema para depois avaliar as 
alternativas:
• Matriz incompleta:
1 1 1
2 1 3
2 1 1
 
 − − 
 − 
 det. In. = 4
• Matriz de X:
det. X 
1 1 1
2 1 3
1 1
6
1
 
 − − 
 
=
−
 det. X = 6
• Matriz de Y
det. Y 5
1 1 1
2 2 3
2 1 1
 
 − 
 
=
−
−

 det. Y = -5
• Matriz de Z
1 1 1
2 1 2
2 1 1
det. Z 3
 
 −
 
=

 det. Z = 3
A partir daqui já da para julgar as alternativas:
a) Esta errada, pois o sistema é possível e 
determinado.
b) Esta errada pelo mesmo motivo da letra A.
c) Esta certa, pois o determinante da matriz 
incompleta é igual a 4.
d) Esta errada pelo mesmo motivo da letra A.
e) Este errado devido o sistema ter suas 
equações todas iguais a termos independentes 
diferentes de zero.
Portanto a resposta certa é a letra “C”.
01. (ESAF) Sabendo-se que a matriz
 
1 1
0 1
 
=  
 
A e que n ∈ N e n ≥ 1 então o 
determinante da matriz n n 1A – A é igual a:−
a) 1
b) -1
c) 0
d) n
e) n - 1
02. (ACEP) Para cada número inteiro positivo 
n, seja Mn a matriz dada por:
1
0 1
 
=  
 
n
B 
Qual das afirmações, a seguir, acerca destas 
matrizes é INCORRETA?
a) m n m nM * M M +=
b) 1n nM M
− = −
c) ( )nn ndet. M det. M=
d) ( ) 21 2 ndet. M M M n+ + + =
e) nAs matrizes M são invertíveis.
03. (CESGRANRIO – 2008) 
[ ]
1 0
0 1 0
1 2 , , 0 1
1 0 1
0 0
 
−   
       
 
 
O produto de matrizes expresso acima é
a) Igual a [2 - 1].
b) Igual a 3.
c) Igual à matriz identidade.
d) Comutativo.
e) Não definido.
04. (CESGRANRIO) A Tabela I apresenta as 
quantidades médias de combustível, em litros, 
vendidas semanalmente em três postos de 
abastecimento de uma mesma rede. O preço 
praticado em um dos postos é o mesmo praticado 
pelos outros dois.
Esses preços, por litro, em duas semanas 
consecutivas, estão apresentados na Tabela 
II.
Com os dados da tabela I e II são montadas 
as matrizes A e B a seguir.
20.200 22.000 21.000
32.000 33.600 35.000
18.000 23.000 24.500
2.48 2,52
2,69 2,71
1,98 2,02
 
 =  
  
 
 =  
  
A 
B
Seja 2x3C a matriz que apresenta os valores 
médios arrecadados em cada um dos 
três postos, por semana, com a venda de 
combustíveis.
Identificando-se t tA e B como as matrizes 
transpostas de A e de B, respectivamente, a 
matriz C é definida pela operação.
a) A . B
b) t tA . B
c) B . A
d) t B . A
e) t tB . A
05. (FEPESE) Encontre o valor de a para que o 
sistema linear.
15
2 8 17
4 19
+ + =
 + =
 + =
ax y z
y z
x z
Não tenha solução:
a) -3/4
b) 3/4
c) -5/4
d) 5/4
e) 1/4
Tabela II
Semana 1 Semana 2
Etanol R$ 2,48 R$ 2,52
Gasolina R$ 2,69 R$ 2,71
Diesel R$ 1,98 R$ 2,02
Tabela I
Posto 1 Posto 2 Posto 3
Etanol 20.200 22.000 21.000
Gasolina 32.000 33.600 35.000
Diesel 18.000 23.000 24.500
06. (CESGRANRIO) Para que o sistema linear 
5 6 1
4
− =
 + =
x y
ax y b
 possua infinitas soluções,os 
valores de a e b devem ser tais que a/b valha:
a) - 5
b) - 2
c) 0
d) 2
e) 5
07. (ESAF) Genericamente, qualquer elemento 
de uma matriz Z pode ser representado por zij, 
onde “i” representa a linha e “j” a coluna em que 
esse elemento se localiza. Uma matriz A = (aij ), 
de terceira ordem, é a matriz resultante da soma 
das matrizes X = ( ) e Y=( ). Sabendo-se que 
( ) = e que = (i - j)², então a potência dada 
por (a22)a12 e o determinante da matriz X são, 
respectivamente, iguais a:
a) √2 e 2 
b) √2 e 0 
c) -√2 e 1 
d) 2 e 0 
e) -√2 e 0 
08. (ESAF) Considerando o sistema de equações 
lineares 1 2
1 2
2
2
− =
 − =
x x
x px q
 pode-se corretamente 
afirmar que:
a) Se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é 
impossível. 
b) Se p ≠ -2 e q = 4, então o sistema é possível 
e indeterminado. 
c) Se p = -2, então o sistema é possível e 
determinado. 
d) Se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é possível 
e indeterminado. 
e) Se p = 2 e q = 4, então o sistema é impossível. 
Para as questões 9 e 10
Considere o sistema de equações lineares a 
seguir:
2 1
6 9
− =
 + =
x ay
x y b em que a e b são constantes 
reais. Com relação aos valores de a e b, julgue 
os itens subsequentes.
09. (CESPE) Se a = -3 e b ≠ 3, então o sistema 
terá infinitas soluções.
Certo ( ) Errado ( ) 
10. (CESPE) Se a = -3 e b = 3, então o sistema 
não tem solução. 
Certo ( ) Errado ( ) 
11. (CESPE) Considere que A e B sejam duas 
matrizes quadradas, de dimensão n × n, e que C 
seja a matriz produto de A por B, isto é, C = A × B. 
Então, é correto afirmar que o determinante de C, 
det C, é diferente de zero se, e somente se, det A 
≠ 0 e det B ≠ 0.
Certo ( ) Errado ( ) 
12. (CESPE)Considere que A seja uma matriz 
quadrada, de dimensão n × n, e que A × A = A. 
Nesse caso, det A = 1.
Certo ( ) Errado ( ) 
13. (FCC) Os valores de k para os quais o 
sistema de equações 
2 0
1
2 1
− − =
 + =
− + + =
x y z
y z
x y kz
 admite 
como solução uma única “terna ordenada” são 
os números reais:
a) 0 ou 1.
b) diferentes de 1.
c) positivos.
d) diferentes de – 1.
e) 1 ou 2.
14. (CESGRANRIO) Se o sistema linear ( )ijA a= 
possui infinitas soluções reais, o produto “ab” é 
igual a:
a) −6 
b) −1 
c) −1/6
d) 1/6
e) 6
15. Qual é a matriz M que satisfaz a equação 
matricial M-4B=3A, sendo ( )ijA a= uma matriz 
quadrada de ordem 2 tal que ija 5i 2j e B .= − = e 
B =
−






4 7
0 1
 .
a) 
xij yij
xij i1 2/ yij
M=






25 31
24 14
b) 
c) 
d) 
e) 
16. (FCC ) Seja a matriz M=






1 1
0 1 . Se 
, então a + 1/5b – 3c – 10d é igual a:
a) 100.
b) 99.
c) 11.
d) 8.
e) 0.
17. (FCC) Se A =
−





5 1
3 1
 e I é a matriz
identidade, então o maior número real λ , que 
satisfaz a sentença det (A – λ x I) = 0 é:
a) Irracional.
b) Primo.
c) Divisível por 3.
d) Múltiplo de 5.
e) Par.
18. (CONSULPLAN) Sejam as matrizes: 
A
x
=
−
−






1 1
2 2 e 
B
x
=
−






1
2 1 . Qual e a soma
dos possíveis valores de x, para que o 
determinante da matriz “B x A” seja igual a − 6?
a) 3 
b) − 5 
c) − 2 
d) − 3 
e) 2
19. (VUNESP) Considere o seguinte 
sistema linear: 
x y z
x y z
x y z
− + =
+ + =
− + + =





2 2 5
2 4 9
4 2 3
 Pode-se afirmar
que o valor de z é:
a) –2.
b) –1.
c) 0.
d) 1.
e) 2.
20. (CONSULPLAN ) Sendo uma matriz 
A aij 2x2= ( ) com e uma matriz 
B bij 2x2= ( ) com b 2a ijij = . Se C = A x B, então, C 
é igual a:
a) 
 
b) 
c)
d)
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
____________________________________________
____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
M=






32 42
24 18
M=






40 14
24 25
M=






25 40
28 12
M=






32 42
24 14
M100 =






a b
c d
a 2i 3jij = − +
6 24
6 0−






− −





6 24
6 0
−





6 24
6 0
− −
−






6 24
6 0
1 2 3 4 5
C B A D A
6 7 8 9 10
E D A ERRADO ERRADO
11 12 13 14 15
CERTO ERRADO B A A
16 17 18 19 20
C E C E C
 
 
1
Ética no serviço público
Nesta unidade, trabalharemos o seguinte 
conteúdo: Ética e moral; Ética, princípios 
e valores; Ética e democracia: exercício da 
cidadania; Ética e função pública; Ética no 
setor público: Código de Ética Profissional 
do Serviço Público (Decreto nº 1.171/1994). 
Acrescentamos, ao final, o Decreto nº 
6.029/2007, que revogou o Decreto nº 
1.171/1994 em parte, e que, muito embora 
não seja mencionado no edital, tem sido 
cobrado.
O Código de Ética Profissional do Serviço 
Público (Decreto nº 1.171/1994) contempla 
essencialmente duas partes.
A primeira, dita de ordem substancial 
(fundamental), fala sobre os princípios morais 
e éticos a serem observados pelo servidor, e 
constitui o Capítulo I, que abrange as regras 
deontológicas (Seção I), os principais deveres 
do servidor público (Seção II), bem como as 
vedações (Seção III).
Já a segunda parte, de ordem formal, 
dispõe sobre a criação e funcionamento de 
Comissões de Ética, e constitui o Capítulo II, 
que trata das Comissões de Ética em todos os 
órgãos do Poder Executivo Federal (Exposição 
de Motivos nº 001/94-CE).
Este conteúdo, referente ao Código de Ética 
Profissional do Serviço Público, considerando 
os últimos conteúdos cobrados, é um dos mais 
relevantes e que mais deve ser estudado.
Ética e moral
Ética
A palavra “ética” vem do grego ethos, que 
significa “modo de ser” ou “caráter” (índole).
A Ética é a parte da filosofia que estuda a 
moralidade das ações humanas, isto é, se são 
boas ou más. É uma reflexão crítica sobre a 
moralidade.
A ética faz parte do nosso dia a dia. Em 
todas as nossas ações e também relações, em 
algum grau, utilizamos nossos valores éticos. 
Isso não quer dizer que o homem já nasça 
com consciência plena do que é bom ou mau. 
Essa consciência existe, mas se desenvolve 
a partir do relacionamento com o meio e do 
auto descobrimento.
A ética pode ser definida como a teoria ou a 
ciência do comportamento moral, que busca 
explicar, compreender, justificar e criticar a moral 
ou as morais de uma sociedade. Compete à ética 
chegar, por meio de investigações científicas, à 
explicação de determinadas realidades sociais, 
ou seja, ela investiga o sentido que o homem dá 
a suas ações para ser verdadeiramente feliz. A 
ética é, portanto, filosófica e científica.
A ética representa uma abordagem científica 
sobre as constantes morais, ou seja, refere-
se àquele conjunto de valores e costumesmais ou menos permanente no tempo e 
no espaço. Em outras palavras, a ética é a 
ciência da moral, isto é, de uma esfera do 
comportamento humano. (VÁZQUEZ, 2011).
Mas a Ética não é puramente teoria; é um 
conjunto de princípios e disposições voltados 
para a ação, historicamente produzidos, cujo 
objetivo é balizar (limitar) as ações humanas.
Todavia, não cabe à ética formular juízos 
de valor sobre a prática moral de outras 
sociedades, ou de outras épocas, em nome 
de uma moral absoluta e universal, mas 
deve antes explicar a razão de ser desta 
pluralidade e das mudanças de moral; isto é, 
deve esclarecer o fato de os homens terem 
recorrido a práticas morais diferentes e até 
opostas. (VÁZQUEZ, 2011).
Em um sentido mais amplo, a ética engloba 
um conjunto de regras e preceitos de ordem 
valorativa, que estão ligados à prática do bem 
e da justiça, aprovando ou desaprovando a 
ação dos homens de um grupo social ou de 
uma sociedade.
2
Em suma, a ética é um conjunto de normas 
que rege a boa conduta humana.
Fonte: educacao-charge.digao.bio.br/rizomas/
charges-sobreeducacao.html
Para que uma conduta possa ser 
considerada ética, três elementos essenciais 
devem ser ponderados: a ação (ato moral), 
a intenção (finalidade), e as circunstâncias 
(conseqüências) do ato. Se um único desses 
três elementos não for bom, correto e certo, 
o comportamento não é ético.
A normas ética é aquela que prescreve 
como o homem deve agir. Possui, como uma 
de suas características, a possibilidade de ser 
violada, ao contrário da norma legal (lei).
A ética não deve ser confundida com a lei, 
embora, com certa freqüência, a lei tenha 
como base princípios éticos. Ao contrário da 
lei, nenhum indivíduo pode ser compelido, 
pelo Estado ou por outros indivíduos, 
a cumprir as normas éticas, nem sofrer 
qualquer sanção pela desobediência a estas.
A Ética tem por objeto o comportamento 
humano no interior de cada sociedade, e o 
estudo desse comportamento com o fim de 
estabelecer níveis aceitáveis que garantam 
a convivência pacífica dentro das sociedades 
e entre elas, constitui o objetivo da Ética. 
(LISBOA; MARTINS, 2011).
O estudo da ética demonstra que a 
consciência moral nos inclina para o caminho 
da virtude, que seria uma qualidade própria da 
natureza humana. Logo, um homem para ser 
ético precisa necessariamente ser virtuoso, 
ou seja, praticar o bem usando a liberdade 
com responsabilidade constantemente.
Segundo a classificação de Eduardo 
Garcia Maýnez, são quatro as formas de 
manifestação do pensamento ético ocidental:
01. Ética empírica
02. Ética dos bens
03. Ética formal
04. Ética de valores
A Ética empírica está dividida em:
•	 Ética	 Anarquista:	 Só	 tem	 valor	 o	 que	 não	
contraria as tendências naturais.
•	 Ética	Utilitarista:	É	bom	o	que	é	útil.
•	 Ética	 Ceticista:	 Não	 se	 pode	 dizer	 com	
certeza o que é certo ou errado, bom ou mau, 
pois ninguém jamais será capaz de desvendar os 
mistérios da natureza.
•	 Ética	 Subjetivista:	 “O	 homem	 é	 a	 medida	
de todas as coisas existentes ou inexistentes” 
(Protágoras).
Já a Ética dos bens divide-se em:
•	 Ética	 Socrática:	 Para	 Sócrates	 (469	 –	 399	
a.C.), o supremo bem, a virtude máxima é a 
sabedoria. As 2 máximas de Sócrates são: “Só sei 
que	nada	sei”	e	“Conhece-te	a	ti	mesmo”.
•	 Ética	 Platônica:	 Para	 Platão	 (427	 –	 347	
a.C),	 todos	 os	 fenômenos	 naturais	 são	 meros	
reflexos	de	formas	eternas,	imutáveis,	sugerindo	
o “mundo das idéias”.
•	 Ética	 Aristotélica:	 Para	 Aristóteles	 (384	 –	
322	a.C.),	a	felicidade	só	pode	ser	conseguida	com	
a	 integração	 de	 suas	 3	 formas:	 prazer,	 virtude	
(cidadania	 responsável),	 sabedoria	 (filosofia/
ciência).
•	 Ética	 Epicurista:	 Para	 Epicuro	 (341	 –	 270	
a.C.),	o	bem	supremo	é	a	felicidade,	a	ser	atingido	
por meio dos prazeres (eudemonismo hedonista) 
e os do espírito são mais elevados que os do 
corpo.	Seu	objetivo	maior	era	afastar	a	dor	e	os	
sofrimentos.
•	 Ética	Estóica:	Zenon	(300	a.C.)	fundou	esta	
filosofia	que	ensina	a	ética	da	virtude	como	fim:	o	
estóico não aspira ser feliz, mas ser bom.
Para a Ética formal, segundo Kant, uma ação 
é boa, tem valor, deve ser feita, se obedece o 
“princípio categórico”, que está baseado na 
idéia do dever (vale sempre e é uma ordem).
Por fim, para a Ética de valores, uma ação 
é boa (e conseqüentemente é um dever) se 
estiver fundamentada em um valor.
3
Moral
Os romanos traduziram o ethos grego para 
o latim mos, de onde vem a palavra “moral”.
O termo “moral”, portanto, deriva do latim 
“mos” ou “mores”, que significa “costume” 
ou “costumes (VÁZQUEZ, 2011).
A moral é definida como o conjunto de 
normas, princípios, preceitos, costumes, 
valores que norteiam o comportamento 
do indivíduo no seu grupo social. A moral é 
normativa.
Em outras palavras, a moral é um conjunto de 
regras de conduta adotadas pelos indivíduos 
de um grupo social e tem a finalidade de 
organizar as relações interpessoais segundo 
os valores do bem e do mal.
A moral é a “ferramenta” de trabalho da 
ética. Sem os juízos de valor aplicados pela 
moral seria impossível determinar se a ação 
do homem é boa ou má.
A moral ocupa-se basicamente de questões 
subjetivas, abstratas e de interesse particular 
do indivíduo e da sociedade, relacionando-se 
com valores ou condutas sociais.
A moral possui, poranto, um caráter 
subjetivo, que faz com que ela seja 
influenciada por vários fatores, alterando, 
assim, os conceitos morais de um grupo 
para outro. Esses fatores podem ser sociais, 
históricos, geográficos etc. Observa-se, 
então, que a moral é dinâmica, ou seja, ela 
pode mudar seus juízos de valor de acordo 
com o contexto em que esteja inserida.
Sendo assim, a moral é mutável e 
varia historicamente, de acordo com o 
desenvolvimento de cada sociedade e, 
com ela, variam os seus princípios e as suas 
normas. Ela norteia os valores éticos na 
Administração Pública. (VÁZQUEZ, 2011).
Aristóteles, em seu livro “A Política”, 
assevera que “os pais sempre parecerão 
antiquados para os seus filhos”. Essa 
afirmação demonstra que, na passagem de 
uma geração para outra, os valores morais 
mudam.
Para que um ato seja considerado moral, 
ou seja, bom, deve ser livre, consciente, 
intencional e solidário. O ato moral tem, em 
sua estrutura, dois importantes aspectos: o 
normativo e o factual. O normativo são as 
normas e imperativos que enunciam o “dever 
ser”. Ex.: cumpra suas obrigações, não minta, 
não roube etc. O factual são os atos humanos 
que se realizam efetivamente, ou seja, é a 
aplicação da norma no dia a dia, no convívio 
social.
Apesar de se assemelharem, e mesmo por 
vezes se confundirem, ética e moral são 
termos aplicados diferentemente. Enquanto 
o primeiro trata o comportamento humano 
como objeto de estudo e normatização, 
procurando tomá-lo de forma mais 
abrangente possível, o segundo se ocupa de 
atribuir um valor à ação. Esse valor tem como 
referências as normas e conceitos do que 
vem a ser bom ou mau, baseados no senso 
comum.
No contexto da ação pública, ética e moral 
não	 são	 considerados	 termos	 sinônimos.	
Portanto, não devem ser confundidos.
Enquanto a ética é teórica e busca explicar 
e justificar os costumes de uma determinada 
sociedade, a moral é normativa. Enquanto 
a ética tem caráter científico, a moral tem 
caráter prático imediato, visto que é parte 
integrante da vida quotidiana das sociedades 
e dos indivíduos. A moral é a aplicação da 
ética no cotidiano, é a prática concreta. A 
moral, portanto, não é ciência, mas objeto da 
ciência; e, neste sentido, é por ela estudada 
e investigada.
DIFERENÇAS ENTRE ÉTICA E MORAL
ÉTICA MORAL
Teórica Normativa
Científica Prática (objeto da 
ciência)
Permanente Temporal
Universal (absoluta) Cultural (relativa)Regra Conduta de regra
Princípio Aspectos de condutas 
específicas
Geral Específica
Objetiva Subjetiva
4
Ética: princípios e valores
Princípios
Princípio pode designar “onde alguma coisa 
ou conhecimento se origina”. Pode também 
ser definido como um conjunto de regras ou 
código de (boa) conduta, com base no qual se 
governa a própria vida e ações.
Dados esses conceitos, percebe-se que os 
princípios que regem a conduta em sociedade 
são aqueles conceitos ou regras que se 
aprende por meio do convívio, passados de 
geração para geração.
Esses conhecimentos se originaram, em 
algum momento, no grupo social em que 
estão inseridos, convencionando-se que sua 
aplicação é boa, e assim aceita pelo grupo.
Quando uma pessoa afirma que determinada 
ação fere seus princípios, ela está se referindo 
a um conceito ou regra, que foi originado em 
algum momento em sua vida ou na vida do 
grupo social em que está inserida, e que foi 
aceito como ação moralmente boa.
Valores
O conceito de valor tem sido investigado e 
definido em diferentes áreas do conhecimento 
(filosofia,	 sociologia,	 ciências	 econômicas,	
“marketing” etc).
Os valores são as normas, princípios ou 
padrões sociais aceitos ou mantidos por 
indivíduos, classe ou sociedade. Dizem, 
portanto, respeito a princípios que merecem 
ser buscados.
O valor exprime uma relação entre as 
necessidades do indivíduo (respirar, comer, 
viver, posse, reproduzir, prazer, domínio, 
relacionar, comparar) e a capacidade das 
coisas, objetos ou serviços de satisfazê-las.
É na apreciação desta relação que se 
explica a existência de uma hierarquia de 
valores, segundo a urgência/prioridade das 
necessidades e a capacidade dos mesmos 
objetos para as satisfazerem, diferenciadas 
no espaço e no tempo.
Nas mais diversas sociedades, 
independentemente do nível cultural, 
econômico	 ou	 social	 em	 que	 estejam	
inseridas, os valores são fundamentais para 
se determinar quais são as pessoas que agem 
tendo por finalidade o bem.
O caráter dos seres, pelo qual são mais 
ou menos desejados ou estimados por uma 
pessoa ou grupo, é determinado pelo valor 
de suas ações.
Todos os termos que servem para qualificar 
uma ação ou o caráter de uma pessoa têm 
um peso bom e um peso ruim. Cite-se, como 
exemplo, os termos verdadeiro e falso, 
generoso e egoísta, honesto e desonesto, 
justo e injusto. Os valores dão “peso” à ação 
ou caráter de uma pessoa ou grupo.
Kant afirmava que toda ação considerada 
boa moralmente deveria ser universal, 
ou seja, ser boa em qualquer tempo e em 
qualquer lugar. Infelizmente o ideal kantiano 
de valor e moralidade está muito longe de 
ser alcançado, pois as diversidades culturais 
e sociais fazem com que o valor dado a 
determinadas ações mude de acordo com o 
contexto.
O complexo de normas éticas se alicerça em 
valores, normalmente designados valores do 
bom.
“Valores éticos são indicadores da relevância 
ou do grau de atendimento aos princípios 
éticos”. Por exemplo, a dignidade da pessoa 
sugere e exige que se valorize o respeito às 
pessoas. (ALONSO; LÓPEZ; CASTRUCCI, 2010).
Esses valores éticos só podem ser atribuídos 
a pessoas, pois elas são os únicos seres que 
agem com conhecimento de certo e errado, 
bem e mal, e com liberdade para agir. 
(ALONSO; LÓPEZ; CASTRUCCI, 2010). Algumas 
condutas podem ferir os valores éticos.
A prática constante de respeito aos valores 
éticos conduz as pessoas às virtudes morais. 
(ALONSO; LÓPEZ; CASTRUCCI, 2010).
Ética e democracia: exercício da 
cidadania
Ética e democracia
O Brasil ainda caminha a passos muito lentos 
no que diz respeito à ética, principalmente no 
cenário político.
Vários são os fatores que contribuíram para 
esta realidade, dentre eles, principalmente, 
os	golpes	de	Estado,	a	saber,	o	Golpe	de	30	e	
o Golpe de 64.
5
Durante o período em que o país vivenciou 
a ditadura militar e em que a democracia foi 
colocada de lado, tivemos a suspensão do 
ensino da filosofia e, conseqüentemente, 
da ética, nas escolas e universidades, e 
além disso, os direitos políticos do cidadão 
suspensos, a liberdade de expressão caçada 
e o medo da repressão.
Como consequência dessa série de medidas 
autoritárias e também arbitrárias, nossos 
valores morais e sociais foram perdendo 
espaço para os valores que o Estado queria 
impor, levando a sociedade a uma espécie de 
“apatia” social.
Nos dias atuais estamos presenciando uma 
nova fase em nosso país, no que tange à 
aplicabilidade das leis e da ética no poder.
Os crimes de corrupção envolvendo desvio 
de dinheiro estão sendo mais investigados e a 
polícia tem trabalhado com mais liberdade de 
atuação em prol da moralidade e do interesse 
público, o que tem levado os agentes públicos 
a refletir mais sobre seus atos antes ainda de 
praticá-los.
Essa nova fase se deve principalmente à 
democracia, implantada como regime político 
com	a	Constituição	de	1988.
Etimologicamente, o termo democracia vem 
do grego demokratía, em que demo significa 
governo e kratía, povo. Logo, a democracia, 
por definição, é o “governo do povo”.
A democracia confere ao povo o poder 
de influenciar na administração do Estado. 
Por meio do voto, o povo é que determina 
quem vai ocupar os cargos de direção do 
Estado. Logo, insere-se nesse contexto a 
responsabilidade tanto do povo, que escolhe 
seus dirigentes, quanto dos escolhidos, que 
deverão prestar contas de seus atos no poder.
A ética exerce papel fundamental em todo 
esse processo, regulamentando e exigindo 
dos governantes comportamento adequado 
à função pública, que lhe foi confiada por 
meio do voto, e conferindo ao povo as 
noções e os valores necessários tanto para o 
exercício e cobrança dos seus direitos quanto 
para atendimento de seus deveres.
É	 por	 meio	 dos	 valores	 éticos	 e	 morais	 –	
determinados	pela	sociedade	–	que	podemos	
perceber se os atos cometidos pelos 
ocupantes de cargos públicos estão visando 
ao bem comum e ao interesse público.
Exercício da cidadania
Em se tratando do exercício da cidadania, 
podemos afirmar que todo cidadão tem 
direito a exercer a cidadania, isto é, seus 
direitos de cidadão; direitos esses garantidos 
constitucionalmente.
Direitos e deveres andam juntos no que 
tange ao exercício da cidadania. Não se pode 
conceber um direito que não seja precedido 
de um dever a ser cumprido; é uma via de 
mão dupla.
Os direitos garantidos constitucionalmente, 
individuais, coletivos, sociais ou políticos, 
são precedidos de responsabilidades que o 
cidadão deve ter perante a sociedade. Por 
exemplo, a Constituição garante o direito 
à propriedade privada, mas exige-se que o 
proprietário seja responsável pelos tributos 
que o exercício desse direito gera, como, por 
exemplo, o pagamento do Imposto Predial e 
Territorial Urbano (IPTU).
Exercer a cidadania, por conseqüência, é 
ser probo (íntegro, honrado, justo, reto), agir 
com ética assumindo a responsabilidade que 
advém de seus deveres enquanto cidadão 
inserto no convívio social.
Ética e função pública
Função pública é a competência, atribuição 
ou encargo para o exercício de determinada 
função. Ressalta-se que essa função não é 
livre, devendo, portanto, estar o seu exercício 
sujeito ao interesse público, ou seja, da 
coletividade.
No exercício das mais diversas funções 
públicas, os servidores devem respeitar, 
além das normatizações vigentes nos órgãos 
e entidades públicas que regulamentam e 
determinam a forma de agir dos agentes 
públicos, os valores éticos e morais que a 
sociedade impõe para o convívio em grupo. A 
não observação desses valores acarreta uma 
série de erros e problemas no atendimento 
ao público e aos usuários do serviço, o que 
contribui de forma significativa para uma 
imagem negativa do órgão ou entidade e 
também doserviço público.
O padrão ético dos servidores públicos, no 
exercício da função pública, advém de sua 
natureza, ou seja, do caráter público e de sua 
relação com o público. 
6
a responsabilidade em atender as demandas, 
no papel de representantes democráticos, 
com integridade e eficiência.
Durante as últimas décadas, o setor público 
foi alvo, tanto por parte da mídia quanto 
do senso comum vigente, de um processo 
deliberado de formação de uma caricatura, 
que transformou sua imagem no estereótipo 
de um setor muito burocrático, que não 
funciona e custa caro à população.
O cidadão, mesmo bem atendido por um 
servidor público, não consegue sustentar 
uma boa imagem do servidor e também do 
serviço público, pois o que faz a imagem de 
um órgão ou entidade pública parecer boa 
diante da população é o atendimento de seus 
funcionários, e por mais que os servidores 
sérios e responsáveis se esforcem, existe uma 
minoria que consegue facilmente acabar com 
todos os esforços levados a cabo por aqueles 
bons funcionários.
Nesse ponto, a ética se insere de maneira 
determinante para contribuir e melhorar 
a qualidade do atendimento, inserindo no 
âmbito do poder público os princípios e regras 
necessários ao bom andamento do serviço e 
ao respeito aos usuários.
Os novos códigos de ética, além de 
regulamentar a qualidade e o trato 
dispensados aos usuários e ao serviço público 
e de trazer punições para os que descumprem 
as suas normas, também têm a função de 
proteger a imagem e a honra do servidor 
que trabalha seguindo fielmente as regras 
nele contidas, contribuindo, assim, para uma 
melhoria na imagem do servidor e do órgão 
ou entidade perante a população.
Em se tratando da ética no serviço público, 
destacamos o Código de Ética Profissional do 
Servidor Público do Poder Executivo Federal, 
aprovado pelo Decreto nº 1.171, de 22 de 
junho de 1994, que foi revogado em parte 
pelo Decreto nº 6.029, de 1º de fevereiro 
de 2007, que institui Sistema de Gestão da 
Ética do Poder Executivo Federal. Ambos os 
Decretos seguem na íntegra.
Código de Ética Profissional do Serviço 
Público (Decreto nº 1.171/1994)
DECRETO Nº 1.171, DE 22 DE JUNHO DE 
1994. Aprova o Código de Ética Profissional 
do Servidor Público Civil do Poder Executivo 
Federal.
O servidor deve estar atento a esse padrão 
não apenas no exercício de suas funções, mas 
também na vida particular. O caráter público 
do seu serviço deve se incorporar à sua vida 
privada, a fim de que os valores morais e a 
boa-fé, amparados constitucionalmente 
como princípios básicos e essenciais a uma 
vida equilibrada, sejam inseridos e se tornem 
uma constante em seu relacionamento com 
os usuários do serviço bem como com os 
colegas.
Os princípios constitucionais devem ser 
observados para que a função pública se 
integre de forma indissociável ao direito. Os 
princípios são:
•	 Legalidade:	 todo	 ato	 administrativo	 deve	
seguir	fielmente	os	meandros	da	lei.
•	 Impessoalidade:	 aplicado	 como	 sinônimo	
de	 igualdade	 –	 todos	 devem	 ser	 tratados	 de	
forma igualitária e respeitando o que a lei prevê.
•	 Moralidade: respeito ao padrão moral 
para não comprometer os bons costumes da 
sociedade.
•	 Publicidade: refere-se à transparência de 
todo ato público, salvo os casos previstos em lei.
•	 Eficiência:	 ser	 o	 mais	 eficiente	 possível	
na	 utilização	 dos	 meios	 que	 são	 postos	 a	 sua	
disposição para a execução do seu mister (cargo 
ou função).
Ética no setor público
As questões éticas estão cada vez mais 
em voga na cena pública brasileira, dada 
a multiplicação de casos de corrupção e, 
sobretudo, a reação da sociedade frente a 
um tal grau de desmoralização das relações 
políticas e sociais.
Com os escândalos e denúncias de 
corrupção expostas pela mídia, refletir sobre 
essas questões traz à tona os conceitos éticos 
que envolvem a busca por melhores ações 
tanto na vida pessoal como na vida pública.
A ética é pautada na conduta responsável 
das pessoas. Daí a importância da escolha de 
um político com esse caráter, a fim de diminuir 
o mau uso da máquina pública e evitar que se 
venha auferir ganhos e vantagens pessoais.
Porém, as normas morais apenas fornecem 
orientações, cabendo ao político determinar 
quais são as exigências e limitações e decidir 
pela melhor alternativa de ação, que detém 
7
O PRESIDENTE DA REPÚBLICA, no uso das 
atribuições	que	lhe	confere	o	art.	84,	incisos	
IV e VI, e ainda tendo em vista o disposto no 
art.	37	da	Constituição,	bem	como	nos	arts.	
116	e	117	da	Lei	n°	8.112,	de	11	de	dezembro	
de 1990, e nos arts. 10, 11 e 12 da Lei n° 
8.429,	de	2	de	junho	de	1992,
DECRETA:
Art. 1° Fica aprovado o Código de Ética Profissional 
do Servidor Público Civil do Poder Executivo Federal, 
que com este baixa.
Art. 2° Os órgãos e entidades da Administração 
Pública Federal direta e indireta implementarão, em 
sessenta dias, as providências necessárias à plena 
vigência do Código de Ética, inclusive mediante 
a Constituição da respectiva Comissão de Ética, 
integrada por três servidores ou empregados titulares 
de cargo efetivo ou emprego permanente.
Parágrafo único. A constituição da Comissão de 
Ética será comunicada à Secretaria da Administração 
Federal da Presidência da República, com a indicação 
dos respectivos membros titulares e suplentes.
Art. 3° Este decreto entra em vigor na data de sua 
publicação.
Brasília, 22 de junho de 1994, 173° da 
Independência e 106° da República.
ITAMAR FRANCO
Romildo Canhim
Este texto não substitui o publicado no DOU de 
23.6.1994.
ANEXO
Código de Ética Profissional do Servidor Público 
Civil do Poder Executivo Federal
Seção I
Das Regras Deontológicas
I. A dignidade, o decoro, o zelo, a eficácia e a 
consciência dos princípios morais são primados 
maiores que devem nortear o servidor público, seja 
no exercício do cargo ou função, ou fora dele, já que 
refletirá o exercício da vocação do próprio poder 
estatal. Seus atos, comportamentos e atitudes serão 
direcionados para a preservação da honra e da 
tradição dos serviços públicos.
II. O servidor público não poderá jamais desprezar 
o elemento ético de sua conduta. Assim, não terá que 
decidir somente entre o legal e o ilegal, o justo e o 
injusto, o conveniente e o inconveniente, o oportuno 
e o inoportuno, mas principalmente entre o honesto e 
o desonesto, consoante as regras contidas no art. 37, 
caput, e § 4°, da Constituição Federal.
III. A moralidade da Administração Pública não 
se limita à distinção entre o bem e o mal, devendo 
ser acrescida da idéia de que o fim é sempre o bem 
comum. O equilíbrio entre a legalidade e a finalidade, 
na conduta do servidor público, é que poderá 
consolidar a moralidade do ato administrativo. (grifo 
da autora)
IV. A remuneração do servidor público é custeada 
pelos tributos pagos direta ou indiretamente por 
todos, até por ele próprio, e por isso se exige, como 
contrapartida, que a moralidade administrativa se 
integre no Direito, como elemento indissociável de 
sua aplicação e de sua finalidade, erigindo-se, como 
conseqüência, em fator de legalidade.
V. O trabalho desenvolvido pelo servidor público 
perante a comunidade deve ser entendido como 
acréscimo ao seu próprio bem-estar, já que, como 
cidadão, integrante da sociedade, o êxito desse 
trabalho pode ser considerado como seu maior 
patrimônio.
VI. A função pública deve ser tida como exercício 
profissional e, portanto, se integra na vida particular 
de cada servidor público. Assim, os fatos e atos 
verificados na conduta do dia-a-dia em sua vida 
privada poderão acrescer ou diminuir o seu bom 
conceito na vida funcional. (grifo da autora)
VII. Salvo os casos de segurança nacional, 
investigações policiais ou interesse superior do Estado 
e da Administração Pública,a serem preservados em 
processo previamente declarado sigiloso, nos termos 
da lei, a publicidade de qualquer ato administrativo 
constitui requisito de eficácia e moralidade, ensejando 
sua omissão comprometimento ético contra o bem 
comum, imputável a quem a negar. (grifo da autora)
VIII. Toda pessoa tem direito à verdade. O servidor 
não pode omiti-la ou falseá-la, ainda que contrária 
aos interesses da própria pessoa interessada ou da 
Administração Pública. Nenhum Estado pode crescer 
ou estabilizar-se sobre o poder corruptivo do hábito 
do erro, da opressão ou da mentira, que sempre 
aniquilam até mesmo a dignidade humana quanto 
mais a de uma Nação.
IX. A cortesia, a boa vontade, o cuidado e o tempo 
dedicados ao serviço público caracterizam o esforço 
pela disciplina. Tratar mal uma pessoa que paga seus 
tributos direta ou indiretamente significa causar-
lhe dano moral. Da mesma forma, causar dano a 
qualquer bem pertencente ao patrimônio público, 
deteriorando-o, por descuido ou má vontade, não 
constitui apenas uma ofensa ao equipamento e às 
instalações ou ao Estado, mas a todos os homens 
de boa vontade que dedicaram sua inteligência, 
seu tempo, suas esperanças e seus esforços para 
construí-los.
X. Deixar o servidor público qualquer pessoa à 
espera de solução que compete ao setor em que 
exerça suas funções, permitindo a formação de 
longas filas, ou qualquer outra espécie de atraso 
na prestação do serviço, não caracteriza apenas 
atitude contra a ética ou ato de desumanidade, mas 
principalmente grave dano moral aos usuários dos 
serviços públicos. (grifo da autora)
8
XI. O servidor deve prestar toda a sua atenção 
às ordens legais de seus superiores, velando 
atentamente por seu cumprimento, e, assim, evitando 
a conduta negligente. Os repetidos erros, o descaso e 
o acúmulo de desvios tornam-se, às vezes, difíceis de 
corrigir e caracterizam até mesmo imprudência no 
desempenho da função pública. (grifo da autora)
XII. Toda ausência injustificada do servidor de seu 
local de trabalho é fator de desmoralização do serviço 
público, o que quase sempre conduz à desordem nas 
relações humanas.
XIII. O servidor que trabalha em harmonia com a 
estrutura organizacional, respeitando seus colegas 
e cada concidadão, colabora e de todos pode 
receber colaboração, pois sua atividade pública 
é a grande oportunidade para o crescimento e o 
engrandecimento da Nação.
Seção II
Dos Principais Deveres do Servidor Público
XIV. São deveres fundamentais do servidor público:
a) desempenhar, a tempo, as atribuições do cargo, 
função ou emprego público de que seja titular;
b) exercer suas atribuições com rapidez, 
perfeição e rendimento, pondo fim ou procurando 
prioritariamente resolver situações procrastinatórias, 
principalmente diante de filas ou de qualquer outra 
espécie de atraso na prestação dos serviços pelo 
setor em que exerça suas atribuições, com o fim de 
evitar dano moral ao usuário; (grifo da autora)
c) ser probo, reto, leal e justo, demonstrando toda 
a integridade do seu caráter, escolhendo sempre, 
quando estiver diante de duas opções, a melhor e a 
mais vantajosa para o bem comum; (grifo da autora)
d) jamais retardar qualquer prestação de contas, 
condição essencial da gestão dos bens, direitos e 
serviços da coletividade a seu cargo;
e) tratar cuidadosamente os usuários dos serviços 
aperfeiçoando o processo de comunicação e contato 
com o público;
f) ter consciência de que seu trabalho é regido por 
princípios éticos que se materializam na adequada 
prestação dos serviços públicos;
g) ser cortês, ter urbanidade, disponibilidade e 
atenção, respeitando a capacidade e as limitações 
individuais de todos os usuários do serviço público, 
sem qualquer espécie de preconceito ou distinção de 
raça, sexo, nacionalidade, cor, idade, religião, cunho 
político e posição social, abstendo-se, dessa forma, 
de causar-lhes dano moral; (grifo da autora)
h) ter respeito à hierarquia, porém sem 
nenhum temor de representar contra qualquer 
comprometimento indevido da estrutura em que se 
funda o Poder Estatal; (grifo da autora)
i) resistir a todas as pressões de superiores 
hierárquicos, de contratantes, interessados e outros 
que visem obter quaisquer favores, benesses ou 
vantagens indevidas em decorrência de ações 
imorais, ilegais ou aéticas e denunciá-las; (grifo da 
autora)
j) zelar, no exercício do direito de greve, pelas 
exigências específicas da defesa da vida e da 
segurança coletiva;
k) ser assíduo e freqüente ao serviço, na certeza 
de que sua ausência provoca danos ao trabalho 
ordenado, refletindo negativamente em todo o 
sistema;
l) comunicar imediatamente a seus superiores 
todo e qualquer ato ou fato contrário ao interesse 
público, exigindo as providências cabíveis;
m) manter limpo e em perfeita ordem o local de 
trabalho, seguindo os métodos mais adequados à sua 
organização e distribuição;
n) participar dos movimentos e estudos que se 
relacionem com a melhoria do exercício de suas 
funções, tendo por escopo a realização do bem 
comum;
o) apresentar-se ao trabalho com vestimentas 
adequadas ao exercício da função;
p) manter-se atualizado com as instruções, as 
normas de serviço e a legislação pertinentes ao órgão 
onde exerce suas funções;
q) cumprir, de acordo com as normas do serviço 
e as instruções superiores, as tarefas de seu cargo 
ou função, tanto quanto possível, com critério, 
segurança e rapidez, mantendo tudo sempre em boa 
ordem.
r) facilitar a fiscalização de todos atos ou serviços 
por quem de direito;
s) exercer com estrita moderação as prerrogativas 
funcionais que lhe sejam atribuídas, abstendo-se de 
fazê-lo contrariamente aos legítimos interesses dos 
usuários do serviço público e dos jurisdicionados 
administrativos;
t) abster-se, de forma absoluta, de exercer sua 
função, poder ou autoridade com finalidade estranha 
ao interesse público, mesmo que observando as 
formalidades legais e não cometendo qualquer 
violação expressa à lei;
u) divulgar e informar a todos os integrantes da 
sua classe sobre a existência deste Código de Ética, 
estimulando o seu integral cumprimento.
9
Seção III
Das Vedações ao Servidor Público
XV. E vedado ao servidor público;
a) o uso do cargo ou função, facilidades, amizades, 
tempo, posição e influências, para obter qualquer 
favorecimento, para si ou para outrem;
b) prejudicar deliberadamente a reputação 
de outros servidores ou de cidadãos que deles 
dependam;
c) ser, em função de seu espírito de solidariedade, 
conivente com erro ou infração a este Código de Ética 
ou ao Código de Ética de sua profissão;
d) usar de artifícios para procrastinar ou dificultar 
o exercício regular de direito por qualquer pessoa, 
causando-lhe dano moral ou material;
e) deixar de utilizar os avanços técnicos e científicos 
ao seu alcance ou do seu conhecimento para 
atendimento do seu mister; (grifo da autora)
f) permitir que perseguições, simpatias, antipatias, 
caprichos, paixões ou interesses de ordem 
pessoal interfiram no trato com o público, com os 
jurisdicionados administrativos ou com colegas 
hierarquicamente superiores ou inferiores;
g) pleitear, solicitar, provocar, sugerir ou receber 
qualquer tipo de ajuda financeira, gratificação, 
prêmio, comissão, doação ou vantagem de qualquer 
espécie, para si, familiares ou qualquer pessoa, para 
o cumprimento da sua missão ou para influenciar 
outro servidor para o mesmo fim;
h) alterar ou deturpar o teor de documentos que 
deva encaminhar para providências; (grifo da autora)
i) iludir ou tentar iludir qualquer pessoa que 
necessite do atendimento em serviços públicos;
j) desviar servidor público para atendimento a 
interesse particular;
l) retirar da repartição pública, sem estar 
legalmenteautorizado, qualquer documento, livro ou 
bem pertencente ao patrimônio público;
m) fazer uso de informações privilegiadas obtidas 
no âmbito interno de seu serviço, em benefício 
próprio, de parentes, de amigos ou de terceiros;
n) apresentar-se embriagado no serviço ou fora 
dele habitualmente;
o) dar o seu concurso a qualquer instituição que 
atente contra a moral, a honestidade ou a dignidade 
da pessoa humana;
p) exercer atividade profissional aética ou ligar o 
seu nome a empreendimentos de cunho duvidoso.
10
CAPÍTULO II
DAS COMISSÕES DE ÉTICA
XVI. Em todos os órgãos e entidades da 
Administração Pública Federal direta, indireta 
autárquica e fundacional, ou em qualquer órgão 
ou entidade que exerça atribuições delegadas pelo 
poder público, deverá ser criada uma Comissão de 
Ética, encarregada de orientar e aconselhar sobre 
a ética profissional do servidor, no tratamento com 
as pessoas e com o patrimônio público, competindo-
lhe conhecer concretamente de imputação ou de 
procedimento susceptível de censura.
XVII. (Revogado pelo Decreto nº 6.029, de 2007)
XVIII. À Comissão de Ética incumbe fornecer, aos 
organismos encarregados da execução do quadro 
de carreira dos servidores, os registros sobre sua 
conduta ética, para o efeito de instruir e fundamentar 
promoções e para todos os demais procedimentos 
próprios da carreira do servidor público.
XIX. (Revogado pelo Decreto nº 6.029, de 2007)
XX. (Revogado pelo Decreto nº 6.029, de 2007)
XXI. (Revogado pelo Decreto nº 6.029, de 2007)
XXII. A pena aplicável ao servidor público pela 
Comissão de Ética é a de censura e sua fundamentação 
constará do respectivo parecer, assinado por todos os 
seus integrantes, com ciência do faltoso.
XXIII. (Revogado pelo Decreto nº 6.029, de 2007)
XXIV. Para fins de apuração do comprometimento 
ético, entende-se por servidor público todo aquele 
que, por força de lei, contrato ou de qualquer ato 
jurídico, preste serviços de natureza permanente, 
temporária ou excepcional, ainda que sem 
retribuição financeira, desde que ligado direta ou 
indiretamente a qualquer órgão do poder estatal, 
como as autarquias, as fundações públicas, as 
entidades paraestatais, as empresas públicas e as 
sociedades de economia mista, ou em qualquer setor 
onde prevaleça o interesse do Estado
XXV. (Revogado pelo Decreto nº 6.029, de 2007)
Decreto nº 6.029/2007
Considerando que os incisos XVII, XIX, XX, 
XXI, XXIII e XXV, do Decreto nº 1.171/1994 
foram revogados pelo Decreto nº 6.029/2007, 
e que, muito embora este último não 
tenha sido mencionado expressamente 
no edital, seu conteúdo tem sido cobrado, 
transcrevemo-lo na íntegra a seguir.
DECRETO Nº 6.029, DE 1º DE FEVEREIRO 
DE 2007
Institui Sistema de Gestão da Ética do Poder 
Executivo Federal, e dá outras providências.
O PRESIDENTE DA REPÚBLICA, no uso da atribuição 
que lhe confere o art. 84, inciso VI, alínea “a”, da 
Constituição, 
DECRETA: 
Art. 1o Fica instituído o Sistema de Gestão da 
Ética do Poder Executivo Federal com a finalidade de 
promover atividades que dispõem sobre a conduta 
ética no âmbito do Executivo Federal, competindo-
lhe: 
I. integrar os órgãos, programas e ações 
relacionadas com a ética pública; 
II. contribuir para a implementação de políticas 
públicas tendo a transparência e o acesso à 
informação como instrumentos fundamentais para o 
exercício de gestão da ética pública;
III. promover, com apoio dos segmentos 
pertinentes, a compatibilização e interação de 
normas, procedimentos técnicos e de gestão relativos 
à ética pública;
IV. articular ações com vistas a estabelecer e 
efetivar procedimentos de incentivo e incremento ao 
desempenho institucional na gestão da ética pública 
do Estado brasileiro. 
11
Art. 2o Integram o Sistema de Gestão da Ética do 
Poder Executivo Federal:
I. a Comissão de Ética Pública - CEP, instituída pelo 
Decreto de 26 de maio de 1999;
II. as Comissões de Ética de que trata o Decreto no 
1.171, de 22 de junho de 1994; e
III. as demais Comissões de Ética e equivalentes 
nas entidades e órgãos do Poder Executivo Federal. 
Art. 3o A CEP será integrada por sete brasileiros 
que preencham os requisitos de idoneidade 
moral, reputação ilibada e notória experiência em 
administração pública, designados pelo Presidente 
da República, para mandatos de três anos, não 
coincidentes, permitida uma única recondução. 
§ 1o A atuação no âmbito da CEP não enseja 
qualquer remuneração para seus membros e os 
trabalhos nela desenvolvidos são considerados 
prestação de relevante serviço público. 
§ 2o O Presidente terá o voto de qualidade nas 
deliberações da Comissão. 
§ 3o Os mandatos dos primeiros membros serão 
de um, dois e três anos, estabelecidos no decreto de 
designação.
Art. 4o À CEP compete:
I. atuar como instância consultiva do Presidente 
da República e Ministros de Estado em matéria de 
ética pública;
II. administrar a aplicação do Código de Conduta 
da Alta Administração Federal, devendo:
a) submeter ao Presidente da República medidas 
para seu aprimoramento;
b) dirimir dúvidas a respeito de interpretação de 
suas normas, deliberando sobre casos omissos;
c) apurar, mediante denúncia, ou de ofício, 
condutas em desacordo com as normas nele 
previstas, quando praticadas pelas autoridades a ele 
submetidas;
III. dirimir dúvidas de interpretação sobre as 
normas do Código de Ética Profissional do Servidor 
Público Civil do Poder Executivo Federal de que trata 
o Decreto no 1.171, de 1994;
IV. coordenar, avaliar e supervisionar o Sistema de 
Gestão da Ética Pública do Poder Executivo Federal; 
V. aprovar o seu regimento interno; e
VI. escolher o seu Presidente. 
Parágrafo único. A CEP contará com uma 
Secretaria-Executiva, vinculada à Casa Civil da 
Presidência da República, à qual competirá prestar 
o apoio técnico e administrativo aos trabalhos da 
Comissão. 
Art. 5o Cada Comissão de Ética de que trata o 
Decreto no 1171, de 1994, será integrada por três 
membros titulares e três suplentes, escolhidos entre 
servidores e empregados do seu quadro permanente, 
e designados pelo dirigente máximo da respectiva 
entidade ou órgão, para mandatos não coincidentes 
de três anos. 
Art. 6o É dever do titular de entidade ou órgão da 
Administração Pública Federal, direta e indireta:
I. assegurar as condições de trabalho para que 
as Comissões de Ética cumpram suas funções, 
inclusive para que do exercício das atribuições de 
seus integrantes não lhes resulte qualquer prejuízo 
ou dano; 
II. conduzir em seu âmbito a avaliação da gestão da 
ética conforme processo coordenado pela Comissão 
de Ética Pública. 
Art. 7o Compete às Comissões de Ética de que 
tratam os incisos II e III do art. 2o:
I. atuar como instância consultiva de dirigentes 
e servidores no âmbito de seu respectivo órgão ou 
entidade;
II. aplicar o Código de Ética Profissional do Servidor 
Público Civil do Poder Executivo Federal, aprovado 
pelo Decreto 1.171, de 1994, devendo:
a) submeter à Comissão de Ética Pública propostas 
para seu aperfeiçoamento;
b) dirimir dúvidas a respeito da interpretação de 
suas normas e deliberar sobre casos omissos;
c) apurar, mediante denúncia ou de ofício, conduta 
em desacordo com as normas éticas pertinentes; e
d) recomendar, acompanhar e avaliar, no âmbito 
do órgão ou entidade a que estiver vinculada, 
o desenvolvimento de ações objetivando a 
disseminação, capacitação e treinamento sobre as 
normas de ética e disciplina;
III. representar a respectiva entidade ou órgão na 
Rede de Ética do Poder Executivo Federal a que se 
refere o art. 9o; e
IV. supervisionar a observância do Código 
de Conduta da Alta Administração Federal e 
comunicar à CEP situações que possam configurar 
descumprimento de suas normas. 
§ 1oCada Comissão de Ética contará com uma 
Secretaria-Executiva, vinculada administrativamente 
à instância máxima da entidade ou órgão, para 
cumprir plano de trabalho por ela aprovado e prover 
o apoio técnico e material necessário ao cumprimento 
das suas atribuições. 
§ 2o As Secretarias-Executivas das Comissões de 
Ética serão chefiadas por servidor ou empregado do 
quadro permanente da entidade ou órgão, ocupante 
de cargo de direção compatível com sua estrutura, 
alocado sem aumento de despesas. 
Art. 8o Compete às instâncias superiores dos 
órgãos e entidades do Poder Executivo Federal, 
abrangendo a administração direta e indireta:
I. observar e fazer observar as normas de ética e 
disciplina;
II. constituir Comissão de Ética;
III. garantir os recursos humanos, materiais e 
financeiros para que a Comissão cumpra com suas 
atribuições; e
IV. atender com prioridade às solicitações da CEP. 
Art. 9o Fica constituída a Rede de Ética do Poder 
Executivo Federal, integrada pelos representantes 
das Comissões de Ética de que tratam os incisos 
I, II e III do art. 2o, com o objetivo de promover a 
cooperação técnica e a avaliação em gestão da ética. 
12
Parágrafo único. Os integrantes da Rede de Ética 
se reunirão sob a coordenação da Comissão de Ética 
Pública, pelo menos uma vez por ano, em fórum 
específico, para avaliar o programa e as ações para a 
promoção da ética na administração pública. 
Art. 10. Os trabalhos da CEP e das demais 
Comissões de Ética devem ser desenvolvidos com 
celeridade e observância dos seguintes princípios:
I. proteção à honra e à imagem da pessoa 
investigada;
II. proteção à identidade do denunciante, que 
deverá ser mantida sob reserva, se este assim o 
desejar; e
III. independência e imparcialidade dos seus 
membros na apuração dos fatos, com as garantias 
asseguradas neste Decreto. 
Art. 11. Qualquer cidadão, agente público, pessoa 
jurídica de direito privado, associação ou entidade 
de classe poderá provocar a atuação da CEP ou de 
Comissão de Ética, visando à apuração de infração 
ética imputada a agente público, órgão ou setor 
específico de ente estatal. 
Parágrafo único. Entende-se por agente público, 
para os fins deste Decreto, todo aquele que, por 
força de lei, contrato ou qualquer ato jurídico, preste 
serviços de natureza permanente, temporária, 
excepcional ou eventual, ainda que sem retribuição 
financeira, a órgão ou entidade da administração 
pública federal, direta e indireta. (grifo da autora)
Art. 12. O processo de apuração de prática de 
ato em desrespeito ao preceituado no Código de 
Conduta da Alta Administração Federal e no Código 
de Ética Profissional do Servidor Público Civil do Poder 
Executivo Federal será instaurado, de ofício ou em 
razão de denúncia fundamentada, respeitando-se, 
sempre, as garantias do contraditório e da ampla 
defesa, pela Comissão de Ética Pública ou Comissões 
de Ética de que tratam o incisos II e III do art. 2º, 
conforme o caso, que notificará o investigado para 
manifestar-se, por escrito, no prazo de dez dias. 
§ 1o O investigado poderá produzir prova 
documental necessária à sua defesa. 
§ 2o As Comissões de Ética poderão requisitar os 
documentos que entenderem necessários à instrução 
probatória e, também, promover diligências e 
solicitar parecer de especialista. 
§ 3o Na hipótese de serem juntados aos autos da 
investigação, após a manifestação referida no caput 
deste artigo, novos elementos de prova, o investigado 
será notificado para nova manifestação, no prazo de 
dez dias. 
§ 4o Concluída a instrução processual, as 
Comissões de Ética proferirão decisão conclusiva e 
fundamentada. 
§ 5o Se a conclusão for pela existência de falta 
ética, além das providências previstas no Código de 
Conduta da Alta Administração Federal e no Código 
de Ética Profissional do Servidor Público Civil do Poder 
Executivo Federal, as Comissões de Ética tomarão as 
seguintes providências, no que couber:
I. encaminhamento de sugestão de exoneração 
de cargo ou função de confiança à autoridade 
hierarquicamente superior ou devolução ao órgão de 
origem, conforme o caso; 
II. encaminhamento, conforme o caso, para a 
Controladoria-Geral da União ou unidade específica 
do Sistema de Correição do Poder Executivo Federal 
de que trata o Decreto n o 5.480, de 30 de junho 
de 2005, para exame de eventuais transgressões 
disciplinares; e
III. recomendação de abertura de procedimento 
administrativo, se a gravidade da conduta assim o 
exigir. 
Art. 13. Será mantido com a chancela de 
“reservado”, até que esteja concluído, qualquer 
procedimento instaurado para apuração de prática 
em desrespeito às normas éticas. 
§ 1o Concluída a investigação e após a deliberação 
da CEP ou da Comissão de Ética do órgão ou entidade, 
os autos do procedimento deixarão de ser reservados. 
§ 2o Na hipótese de os autos estarem instruídos 
com documento acobertado por sigilo legal, o acesso 
a esse tipo de documento somente será permitido 
a quem detiver igual direito perante o órgão ou 
entidade originariamente encarregado da sua 
guarda. 
§ 3o Para resguardar o sigilo de documentos que 
assim devam ser mantidos, as Comissões de Ética, 
depois de concluído o processo de investigação, 
providenciarão para que tais documentos sejam 
desentranhados dos autos, lacrados e acautelados. 
Art. 14. A qualquer pessoa que esteja sendo 
investigada é assegurado o direito de saber o que lhe 
está sendo imputado, de conhecer o teor da acusação 
e de ter vista dos autos, no recinto das Comissões de 
Ética, mesmo que ainda não tenha sido notificada da 
existência do procedimento investigatório. 
Parágrafo único. O direito assegurado neste 
artigo inclui o de obter cópia dos autos e de certidão 
do seu teor. 
Art. 15. Todo ato de posse, investidura em função 
pública ou celebração de contrato de trabalho, dos 
agentes públicos referidos no parágrafo único do 
art. 11, deverá ser acompanhado da prestação de 
compromisso solene de acatamento e observância 
das regras estabelecidas pelo Código de Conduta 
da Alta Administração Federal, pelo Código de 
Ética Profissional do Servidor Público Civil do Poder 
Executivo Federal e pelo Código de Ética do órgão ou 
entidade, conforme o caso. 
Parágrafo único . A posse em cargo ou função 
pública que submeta a autoridade às normas do 
Código de Conduta da Alta Administração Federal 
deve ser precedida de consulta da autoridade à 
Comissão de Ética Pública, acerca de situação que 
possa suscitar conflito de interesses. 
Art. 16. As Comissões de Ética não poderão 
escusar-se de proferir decisão sobre matéria de 
sua competência alegando omissão do Código de 
Conduta da Alta Administração Federal, do Código de 
Ética Profissional do Servidor Público Civil do Poder 
Executivo Federal ou do Código de Ética do órgão 
ou entidade, que, se existente, será suprida pela 
analogia e invocação aos princípios da legalidade, 
impessoalidade, moralidade, publicidade e eficiência. 
§ 1o Havendo dúvida quanto à legalidade, 
a Comissão de Ética competente deverá ouvir 
previamente a área jurídica do órgão ou entidade.
13
§ 2o Cumpre à CEP responder a consultas sobre 
aspectos éticos que lhe forem dirigidas pelas demais 
Comissões de Ética e pelos órgãos e entidades que 
integram o Executivo Federal, bem como pelos 
cidadãos e servidores que venham a ser indicados 
para ocupar cargo ou função abrangida pelo Código 
de Conduta da Alta Administração Federal. 
Art. 17. As Comissões de Ética, sempre que 
constatarem a possível ocorrência de ilícitos penais, 
civis, de improbidade administrativa ou de infração 
disciplinar, encaminharão cópia dos autos às 
autoridades competentes para apuração de tais 
fatos, sem prejuízo das medidas de sua competência. 
Art. 18. As decisões dasComissões de Ética, na 
análise de qualquer fato ou ato submetido à sua 
apreciação ou por ela levantado, serão resumidas 
em ementa e, com a omissão dos nomes dos 
investigados, divulgadas no sítio do próprio órgão, 
bem como remetidas à Comissão de Ética Pública. 
Art. 19. Os trabalhos nas Comissões de Ética de que 
tratam os incisos II e III do art. 2o são considerados 
relevantes e têm prioridade sobre as atribuições 
próprias dos cargos dos seus membros, quando estes 
não atuarem com exclusividade na Comissão. 
Art. 20. Os órgãos e entidades da Administração 
Pública Federal darão tratamento prioritário às 
solicitações de documentos necessários à instrução 
dos procedimentos de investigação instaurados pelas 
Comissões de Ética . 
§ 1o Na hipótese de haver inobservância do dever 
funcional previsto no caput, a Comissão de Ética 
adotará as providências previstas no inciso III do § 5o 
do art. 12. 
§ 2o As autoridades competentes não poderão 
alegar sigilo para deixar de prestar informação 
solicitada pelas Comissões de Ética. 
Art. 21. A infração de natureza ética cometida 
por membro de Comissão de Ética de que tratam os 
incisos II e III do art. 2o será apurada pela Comissão 
de Ética Pública. 
Art. 22. A Comissão de Ética Pública manterá 
banco de dados de sanções aplicadas pelas 
Comissões de Ética de que tratam os incisos II e III 
do art. 2o e de suas próprias sanções, para fins de 
consulta pelos órgãos ou entidades da administração 
pública federal, em casos de nomeação para cargo 
em comissão ou de alta relevância pública. 
Parágrafo único. O banco de dados referido neste 
artigo engloba as sanções aplicadas a qualquer dos 
agentes públicos mencionados no parágrafo único do 
art. 11 deste Decreto. 
Art. 23. Os representantes das Comissões de Ética 
de que tratam os incisos II e III do art. 2o atuarão 
como elementos de ligação com a CEP, que disporá em 
Resolução própria sobre as atividades que deverão 
desenvolver para o cumprimento desse mister. 
Art. 24. As normas do Código de Conduta da Alta 
Administração Federal, do Código de Ética Profissional 
do Servidor Público Civil do Poder Executivo Federal 
e do Código de Ética do órgão ou entidade aplicam-
se, no que couber, às autoridades e agentes públicos 
neles referidos, mesmo quando em gozo de licença. 
Art. 25. Ficam revogados os incisos XVII, XIX, XX, 
XXI, XXIII e XXV do Código de Ética Profissional do 
Servidor Público Civil do Poder Executivo Federal, 
aprovado pelo Decreto no 1.171, de 22 de junho 
de 1994, os arts. 2o e 3o do Decreto de 26 de maio 
de 1999, que cria a Comissão de Ética Pública, e os 
Decretos de 30 de agosto de 2000 e de 18 de maio de 
2001, que dispõem sobre a Comissão de Ética Pública. 
Art. 26. Este Decreto entra em vigor na data da 
sua publicação. 
Brasília, 1º de fevereiro de 2007; 186o da 
Independência e 119o da República. 
LUIZ INÁCIO LULA DA SILVA
Dilma Rousseff
Este texto não substitui o publicado no DOU de 
2.2.2007
01. Com relação à ética no serviço público, 
julgue o item a seguir.
Devido à impossibilidade de relativização 
do direito constitucional à privacidade, 
considera-se que os atos praticados pelo 
servidor público no âmbito privado são 
dissociados de sua conduta pública, não 
influenciando, portanto, seu conceito 
funcional nem a prestação de serviços ao 
público.
Certo ( ) Errado ( )
02. Com relação à ética no serviço público, 
julgue o item a seguir.
No contexto da ação pública, ética e moral 
são	 considerados	 termos	 sinônimos,	 visto	
que ambos dizem respeito a um conjunto de 
normas, princípios, preceitos e valores que 
norteiam o comportamento de indivíduos e 
grupos, na distinção entre o bem e o mal, o 
legal e o ilegal.
Certo ( ) Errado ( )
03. Com relação à ética no serviço público, 
julgue o item a seguir.
O servidor público que age contra a injustiça, 
ainda que em prejuízo próprio, demonstra 
um comportamento ético.
Certo ( ) Errado ( )
04. Com relação à ética no serviço público, 
julgue o item a seguir.
Considera-se agente público o cidadão ou 
cidadã que exerça qualquer atividade pública 
remunerada, excluindo-se, portanto, dessa 
classificação, os que desempenham funções 
voluntárias e transitórias.
Certo ( ) Errado ( )
14
05. Com relação à ética no serviço público, 
julgue o item a seguir.
A garantia de direitos fundamentais, 
estabelecida na CF, é uma forma de promover 
a conduta ética do Estado e de seu povo.
Certo ( ) Errado ( )
06. Com relação à ética no serviço público, 
julgue o item a seguir.
Adota conduta ética, no exercício de seu 
cargo, o servidor público que preserva seus 
valores pessoais bem como os da organização 
onde atua.
Certo ( ) Errado ( )
07. A respeito de ética no serviço público e dos 
atos de improbidade administrativa, julgue o 
item a seguir.
A alteração do teor de documentos sob 
avaliação ou validação para providências 
deve ocorrer somente em situações em que 
a qualidade e a clareza das informações neles 
contidas estejam comprometidas.
Certo ( ) Errado ( )
08. Com relação à ética no serviço público, 
julgue o item a seguir.
De acordo com a ética individualista, as 
ações são consideradas morais quando 
promovem os interesses individuais ao longo 
do tempo.
Certo ( ) Errado ( )
09. Com relação à ética no serviço público, 
julgue o item a seguir.
De acordo com a abordagem utilitária, ética 
diz respeito ao cuidado do servidor público 
com a sua conduta, de modo a considerar 
sempre os efeitos desta na realização dos 
próprios interesses.
Certo ( ) Errado ( )
10. Com relação à ética no serviço público, 
julgue o item a seguir.
O servidor público que escolhe agir de 
acordo com os interesses coletivos e procura 
orientar seus esforços para a otimização 
da satisfação do maior número de pessoas 
manifesta conduta ética baseada na moral e 
nos direitos.
Certo ( ) Errado ( )
11. Com relação à ética no serviço público, 
julgue o item a seguir.
Os dirigentes de organizações públicas que 
estabelecem regras claramente explicitadas, 
consistentes e que sejam imparcialmente 
executadas manifestam conduta ética 
baseada nos princípios de justiça, equidade e 
imparcialidade.
Certo ( ) Errado ( )
12. Considerando o estabelecido no Código 
de Ética Profissional do Servidor Público Civil do 
Poder Executivo Federal, julgue o item a seguir.
O estabelecimento de um código de ética 
para o exercício das funções públicas busca 
garantir que as diferenças individuais não 
sejam tratadas de modo particular, arbitrário, 
ou seja, com base na vontade do agente 
público que presta determinado serviço.
Certo ( ) Errado ( )
13. Considerando o estabelecido no Código 
de Ética Profissional do Servidor Público Civil do 
Poder Executivo Federal, julgue o item a seguir.
A moralidade dos atos do servidor público 
é consolidada quando ele, ao agir, considera 
a legalidade e a finalidade desses atos, tendo 
em vista o bem comum.
Certo ( ) Errado ( )
14. Considerando o estabelecido no Código 
de Ética Profissional do Servidor Público Civil do 
Poder Executivo Federal, julgue o item a seguir.
A honra e a tradição dos serviços públicos 
devem ser preservadas pela conduta ética 
dos servidores públicos, a qual fundamenta 
a confiança da sociedade nos serviços 
prestados pela administração pública.
Certo ( ) Errado ( )
15. Considerando o estabelecido no Código 
de Ética Profissional do Servidor Público Civil do 
Poder Executivo Federal, julgue o item a seguir.
Em toda e qualquer situação, oato 
administrativo, para ser eficaz e moral, deve 
ser público.
Certo ( ) Errado ( )
15
16. Acerca da atuação do servidor público no 
que se refere à sua conduta, julgue o item que se 
segue.
Em casos de solicitações aéticas e amorais 
de sua chefia, o servidor público deve 
procrastinar o atendimento a esses pedidos, 
como uma forma efetiva de não cometer 
qualquer ação que atente contra o código de 
ética.
Certo ( ) Errado ( )
17. Acerca da atuação do servidor público no 
que se refere à sua conduta, julgue o item que se 
segue.
Na escolha entre duas opções, o servidor 
público que decide pela opção mais vantajosa 
para o bem comum demonstra conduta ética.
Certo ( ) Errado ( )
18. Acerca da atuação do servidor público no 
que se refere à sua conduta, julgue o item que se 
segue.
O servidor público deve atentar para as 
ordens de seus superiores, cumprindo-as 
sempre, sem hesitação e contestação, pois 
é o que recomenda um dos princípios éticos 
referentes à função pública.
Certo ( ) Errado ( )
19. Acerca da atuação do servidor público no 
que se refere à sua conduta, julgue o item que se 
segue.
Novos conhecimentos e habilidades ao seu 
alcance só devem ser utilizados pelo servidor 
público em situações complexas, que 
exijam raciocínio mais elaborado e soluções 
específicas.
Certo ( ) Errado ( )
20. Acerca da atuação do servidor público no 
que se refere à sua conduta, julgue o item que se 
segue.
A urbanidade e a cortesia são características 
exigidas do servidor público no exercício de 
suas atribuições funcionais.
Certo ( ) Errado ( )
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1 2 3 4 5
ERRADO ERRADO CERTO ERRADO CERTO
6 7 8 9 10
CERTO ERRADO CERTO ERRADO ERRADO
11 12 13 14 15
CERTO CERTO CERTO CERTO ERRADO
16 17 18 19 20
ERRADO CERTO ERRADO ERRADO CERTO
 
 
2.3 Métodos de Arquivamento 
Arquivamento é técnica de como será acondicionado e armazenado os documentos, ou seja, o arquivamento 
corresponde á forma como os documentos serão armazenados, visando a obter precisamente a sua localização no 
futuro. Assim, o arquivamento pode ser dividido em dois sistemas: direto e indireto. 
 Direito: é quando a localização dos documentos é encontrada de forma direta, ou seja, é encontrado 
diretamente no local onde se encontra arquivado. 
 Indireto: é quando se necessita consultar antes em outro lugar para se encontrar a localização do documento, 
como por exemplo, um índice ou código. 
Os principais métodos utilizados para organizar um arquivo são: 
2.3.1 Alfabético 
Ordena-se a partir do nome existente no documento. 
Esse método presa pelo ordenamento de pastas e fichas pela ordem alfabética divididas por guias divisórias (essas 
devem ser assinaladas com anotações que façam referência aos documentos ali arquivados), e também devem 
respeitar as normas gerais para a alfabetação. 
Existem 13 regras de alfabetação: 
I. Quando se tratar de nomes de pessoas físicas deve considerar primeiramente o sobrenome depois o 
nome. 
II. Sobrenomes que forem composto com hífen por um substantivo e um adjetivo não devem ser separados. 
III. Também seguem a regra dos sobrenomes compostos por substantivo e um adjetivo os sobrenomes 
compostos com as palavras: Santa, Santo ou São. 
IV. Há preferência para as inicias abreviativas de prenomes na classificação de sobrenomes iguais. 
V. Não serão considerados os artigos e preposições. 
VI. Serão considerados como parte integrante do ultimo sobrenome, mas não serão utilizados para 
consideração alfabética os sobrenomes que demonstrem grau de parentesco como: Filho, Junior ou 
Neto. 
VII. Não serão considerados os títulos na hora da alfabetização, os mesmos devem ser colocados entre 
parênteses após o nome completo. 
VIII. Serão considerados pelo ultimo sobrenome os nomes estrangeiros. 
IX. È facultativo considerar as partículas dos nomes estrangeiros, contudo é comum considerá-las se forem 
grafadas com letra maiúscula. 
X. São registrados pelo penúltimo sobrenome os nomes espanhóis, já que estes referem-se ao sobrenome 
da família da pai. 
XI. Serão registrados como são apresentados os nomes orientais ( chineses, árabes ou japoneses). 
XII. Nomes de pessoas jurídicas ( empresas, instituições e órgãos do governo) devem ser transcritos como 
se apresentam, contudo não serão contados para a ordenação os artigos e preposições. 
XIII. Os números romanos ou arábicos devem aparecer no fim entre parênteses quando presentes em títulos 
de congressos ou conferências. 
2.3.2 Numérico 
Pode ser dividido em: 
2.3.2.1 Numérico simples 
Ordenado conforme o numero relativo ao documento. Para esse método são conferidos aos documentos um 
numero que será utilizado para o arquivamento. Para que os documentos possam ser encontrados é feito um índice 
alfabético onde se pode descobrir qual numero foi conferido ao documento, esse índice é chamado também de 
anomástico. 
Observação: este método é considerado de arquivamento INDIRETO. 
2.3.2.2 Cronológico 
 
 
Ordenado conforme a data do documento. Esse método leva em consideração uma data, normalmente a da 
produção do documento. Podemos citar como exemplo da utilização desse método o arquivo de notas fiscais, onde 
arquivo leva em consideração o dia, mês e ano. 
2.3.2.3 Dígito-terminal 
Ordenado conforme os dois últimos dígitos de um número do documento. Geralmente utilizado no arquivo de 
documentos que possuem um grande volume e em situações em que os mesmos possuam um numero muito grande. 
2.3.3 Geográfico 
Ordenado conforme o local de produção do documento. È utilizado como parâmetro para o arquivo o lugar de 
procedência do documento, ou seja, onde ele foi produzido. Para facilitar a organização no caso de nomes de 
cidades deve-se levar em consideração: 
 Quando as cidades forem do mesmo estado primeiro começa-se pela capital (mesmo que ela não seja da 
ordem alfabética). 
 Essa mesma lógica deve ser utilizada ao nos referirmos a cidades de um país. Devemos começar pela capital 
do mesmo. 
 Porém, quando as cidades estão espalhadas em diferentesestados devemos levar em consideração apenas a 
ordem alfabética e colocar as siglas dos estados, entre parênteses, após o nome da cidade (não necessita 
colocarmos primeiramente as capitais). 
2.3.4 Ideográfico 
Ordenado conforme o assunto do documento. Neste método deve-se levar em consideração o assunto do 
documento, e para ter eficiência exige-se a interpretação dos documentos e um vasto conhecimento das atividades 
da organização. Assim, podemos dividir esse método em duas categorias: alfabética e numérica. 
 Alfabética: essa categoria subdivide-se em: 
• Dicionário; e 
• Enciclopédia. 
 Numérica: subdivide-se também em duas categorias: 
• Decimal; e 
• Dúplex. 
Atenção: Não há um método superior ao outro, a escolha de um método em detrimento de outro deve ser feito 
levando em consideração as necessidades da organização. 
3.4 Acondicionamento e armazenamento de documentos de arquivo. 
O armazenamento é a guarda de documentos em propriamente dita, em depósitos destinados para esse fim. Já o 
acondicionamento é a colocação de documentos em mobiliário e invólucros apropriados, que assegurem a sua 
preservação. 
3.4.1 Armazenamento 
Todos os documentos devem ser armazenados em instalações que ofereçam um ambiente adequado a sua 
preservação. 
Apesar dos avanços tecnológicos em matéria de restauração documental, é um princípio de preservação arquivística 
quase consensual que a manutenção de um ambiente de armazenamento dentro dos padrões convencionais 
(umidade relativa e temperatura) para o material que está sendo armazenado é a medida mais eficaz, em termos de 
custo-benefício, para uma maior sobrevida dos documentos arquivísticos. Quando falamos de armazenamento de 
documentos magnéticos ou ópticos há que se observarem as recomendações específicas ou especiais quanto às 
melhores condições possíveis de armazenamento. O ambiente deve ser constantemente monitorado e as leituras, 
verificadas com regularidade. 
3.4.2 Acondicionamento 
A escolha da forma de acondicionar os documentos será em função do suporte documental e suas peculiaridades. 
A confecção e a disposição do mobiliário deverão acatar as normas existentes sobre qualidade e resistência e sobre 
segurança no trabalho. A observância desses preceitos proporciona: 
 Facilidade de acesso aos documentos 
 Proteção contra eventuais danos físicos, químicos e mecânicos. 
 
 
Uma medida que vem de encontro a necessidade de preservação dos documentos é a opção de utilizar em sua 
guarda, arquivos, estantes, armários ou prateleiras, apropriados a cada suporte e formato. 
3.4.2.1 Algumas peculiaridades no acondicionamento e armazenamento de documentos: 
Devido as suas características, certos documentos como mapas, plantas e cartazes, devem ser armazenados 
horizontalmente em móveis especiais para o acondicionamento horizontal com gavetas próprias para a sua guarda 
sem a necessidade de dobrá-las de acordo com suas medidas. Um móvel que atende a essa finalidade é a 
Mapoteca. Outra opção é enrolá-los em tubos confeccionados em cartão alcalino e acondicioná-los em armários ou 
gavetas. 
Nenhum documento deve ser armazenado diretamente sobre o chão. 
Campos magnéticos causam a distorção ou a perda de dados em mídias magnéticas, como fitas de vídeo, áudio e de 
computador, que por isso devem ser armazenadas em locais onde aja proteção contra essa influência. 
O armazenamento será preferencialmente em mobiliário de aço tratado com pintura sintética, de efeito antiestático. 
3.4.2.2 Vantagens do acondicionamento em embalagens: 
 Os documentos de valor permanente que apresentam grandes formatos, como mapas, plantas e cartazes, 
devem ser armazenados horizontalmente, em mapotecas – móveis especiais para o acondicionamento 
horizontal com gavetas próprias para a guarda de mapas, cartas geográficas, históricas, sem a necessidade 
de dobrá-las - adequadas às suas medidas, ou enrolados sobre tubos confeccionados em cartão alcalino e 
acondicionados em armários ou gavetas. 
 Nenhum documento deve ser armazenado diretamente sobre o chão. 
 As mídias magnéticas, como fitas de vídeo, áudio e de computador, devem ser armazenadas longe de 
campos magnéticos que possam causar a distorção ou a perda de dados. 
 O armazenamento será preferencialmente em mobiliário de aço tratado com pintura sintética, de efeito 
antiestático. 
3.4.2.2 Vantagens do acondicionamento em embalagens: 
 Protegem os documentos contra a poeira e danos acidentais; 
 Minimizam as variações externas de temperatura e umidade relativa; e 
 Diminuem a probabilidade de danos em eventual contato com água e fogo em casos de desastre. 
3.4.2.3 Características das caixas de acondicionamento de documentos de arquivo: 
 Devem suportar o peso dos documentos e à pressão, caso tenham de ser empilhadas. 
 Devem ser limpos e conservados, de forma a proteger os documentos. 
 As medidas de caixas, envelopes ou pastas devem respeitar formatos padronizados, devendo exceder a dos 
documentos que irão abrigar. 
 Não devem ser utilizados para o armazenamento de documentos permanentes materiais quimicamente 
instáveis, devido ao risco quanto à preservação dos documentos. 
 Para a confecção de caixas para o acondicionamento dos documentos devem ser utilizados papeis especiais, 
que atendam a necessidade de preservação e conservação dos documentos 
Observação: No caso de caixas não confeccionados em cartão alcalino, recomenda-se o uso de invólucros internos 
de papel alcalino, para evitar o contato direto de documentos com materiais instáveis. 
3.4.2.4 Condições ambientais 
O estudo das condições ambientais para o armazenamento e preservação de documentos subdivide-se na análise 
da: 
 Temperatura; e 
 Umidade relativa do ar (UR) 
As condições adequadas de temperatura e de umidade relativa do ar são elementos vitais para postergar a 
sobrevivência dos registros. 
Fatores importantes a se considerar na UR: 
 Se os níveis de umidade relativa (UR) são muito baixos, aumenta-se o risco de quebra das fibras e 
esfarelamento dos materiais orgânicos fibrosos. 
 Para pergaminhos e encadernações em couro a UR abaixo de 40% é perigosa e o papel também sofre 
abaixo desses níveis. Já nas faixas de UR acima de 65% crescem microorganismos e ocorrem reações 
químicas danosas. 
 A faixa segura de umidade relativa é entre 45% e 55%, com variação diária de +/- 5%. 
 
 
 
Fatores importantes a se considerar na Temperatura: 
 A temperatura deve também estar relacionada com a umidade relativa. 
 A temperatura ideal para documentos é 20º C, com variação diária de +/- 1º C. 
Observações: 
 A estabilidade da temperatura e da UR é especialmente importante, e as mudanças bruscas ou constantes 
são muito danosas. 
 No caso de não existir a possibilidade de se instalar um sistema de climatização, a instalação de 
umidificadores, desumidificadores, exaustores e ventiladores pode surtir bons resultados. 
 O sistema de ar condicionado ideal é aquele que controla a temperatura, a umidade e ainda filtra os agentes 
poluentes, antes de insuflar o ar no ambiente interno. Ele deve ficar em funcionamento durante as 24 horas 
do dia. Os custos iniciais de instalação e os de manutenção são muito altos. 
Capítulo 2 
Legislação Arquivística (tópico) 
O CONARQ 
O Conselho Nacional de Arquivos - CONARQ é um órgão colegiado, vinculado ao Arquivo Nacional do Ministério 
da Justiça, que tem por finalidade definir a política nacional de arquivos públicos e privados, como órgão central de 
um Sistema Nacional de Arquivos, bem como exercer orientação normativa visando à gestão documental e à 
proteção especial aos documentos de arquivo. 
A Constituição Federal de 1988 e particularmente a Lei nº 8.159, de 8 de janeiro de 1991, que dispõe sobre a 
política nacional de arquivos públicos e privados, delegaramao Poder Público estas responsabilidades, 
consubstanciadas pelo Decreto nº 4.073, de 3 de janeiro de 2002, que consolidou os decretos anteriores - nºs 1.173, 
de 29 de junho de 1994; 1.461, de 25 de abril de 1995, 2.182, de 20 de março de 1997 e 2.942, de 18 de janeiro de 
1999. 
De acordo com estes dispositivos legais, as ações visando à consolidação da política nacional de arquivos 
deverão ser emanadas do Conselho Nacional de Arquivos - CONARQ. 
 
Destacamos para efeito de leitura e fixação, as seguintes normas legais: 
LEI Nº 8.159, DE 8 DE JANEIRO DE 1991 
Dispõe sobre a política nacional de arquivos públicos e privados e dá outras providências. 
Decreto nº 2.942, de 18.1.99, regulamenta os arts. 7º, 11 e 16 (revogado) 
Decreto nº 4.073, de 03.01.02, regulamenta a Lei 8.159/91 
 O PRESIDENTE DA REPÚBLICA, faço saber que o Congresso Nacional decreta e eu sanciono a 
seguinte lei: 
CAPÍTULO I 
Disposições Gerais 
 Art. 1º É dever do Poder Público a gestão documental e a de proteção especial a documentos de 
arquivos, como instrumento de apoio à administração, à cultura, ao desenvolvimento científico e como 
elementos de prova e informação. 
 Art. 2º Consideram-se arquivos, para os fins desta lei, os conjuntos de documentos produzidos e 
recebidos por órgãos públicos, instituições de caráter público e entidades privadas, em decorrência do 
exercício de atividades específicas, bem como por pessoa física, qualquer que seja o suporte da informação 
ou a natureza dos documentos. 
 Art. 3º Considera-se gestão de documentos o conjunto de procedimentos e operações técnicas 
referentes à sua produção, tramitação, uso, avaliação e arquivamento em fase corrente e intermediária, 
visando a sua eliminação ou recolhimento para guarda permanente. 
 Art. 4º Todos têm direito a receber dos órgãos públicos informações de seu interesse 
particular ou de interesse coletivo ou geral, contidas em documentos de arquivos, que serão prestadas 
no prazo da lei, sob pena de responsabilidade, ressalvadas aquelas cujos sigilo seja imprescindível à 
segurança da sociedade e do Estado, bem como à inviolabilidade da intimidade, da vida privada, da 
honra e da imagem das pessoas. (Grifo nosso) 
 Art. 5º A Administração Pública franqueará a consulta aos documentos públicos na forma desta lei. 
 Art. 6º Fica resguardado o direito de indenização pelo dano material ou moral decorrente da violação 
 
 
do sigilo, sem prejuízo das ações penal, civil e administrativa. 
CAPÍTULO II 
Dos Arquivos Públicos 
 Art. 7º Os arquivos públicos são os conjuntos de documentos produzidos e recebidos, no exercício 
de suas atividades, por órgãos públicos de âmbito federal, estadual, do Distrito Federal e municipal em 
decorrência de suas funções administrativas, legislativas e judiciárias. 
 § 1º São também públicos os conjuntos de documentos produzidos e recebidos por instituições de 
caráter público, por entidades privadas encarregadas da gestão de serviços públicos no exercício de suas 
atividades. 
 § 2º A cessação de atividades de instituições públicas e de caráter público implica o recolhimento de 
sua documentação à instituição arquivística pública ou a sua transferência à instituição sucessora. 
 Art. 8º Os documentos públicos são identificados como correntes, intermediários e permanentes. 
 § 1º Consideram-se documentos correntes aqueles em curso ou que, mesmo sem movimentação, 
constituam de consultas freqüentes. 
 § 2º Consideram-se documentos intermediários aqueles que, não sendo de uso corrente nos órgãos 
produtores, por razões de interesse administrativo, aguardam a sua eliminação ou recolhimento para guarda 
permanente. 
 § 3º Consideram-se permanentes os conjuntos de documentos de valor histórico, probatório e 
informativo que devem ser definitivamente preservados. 
 Art. 9º A eliminação de documentos produzidos por instituições públicas e de caráter público será 
realizada mediante autorização da instituição arquivística pública, na sua específica esfera de competência. 
 Art. 10. Os documentos de valor permanente são inalienáveis e imprescritíveis. 
CAPÍTULO III 
Dos Arquivos Privados 
 Art. 11. Consideram-se arquivos privados os conjuntos de documentos produzidos ou recebidos por 
pessoas físicas ou jurídicas, em decorrência de suas atividades. 
 Art. 12. Os arquivos privados podem ser identificados pelo Poder Público como de interesse público 
e social, desde que sejam considerados como conjuntos de fontes relevantes para a história e 
desenvolvimento científico nacional. (Por exemplo, o que dispõe o DECRETO DE 9 DE MAIO DE 2012, que 
Declarou de interesse público e social o acervo documental privado da Cúria Diocesana de Nova 
Iguaçu, no Estado do Rio de Janeiro). 
 Art. 13. Os arquivos privados identificados como de interesse público e social não poderão ser 
alienados com dispersão ou perda da unidade documental, nem transferidos para o exterior. 
 Parágrafo único. Na alienação desses arquivos o Poder Público exercerá preferência na aquisição. 
 Art. 14. O acesso aos documentos de arquivos privados identificados como de interesse público e 
social poderá ser franqueado mediante autorização de seu proprietário ou possuidor. 
 Art. 15. Os arquivos privados identificados como de interesse público e social poderão ser 
depositados a título revogável, ou doados a instituições arquivísticas públicas. 
 Art. 16. Os registros civis de arquivos de entidades religiosas produzidos anteriormente à vigência do 
Código Civil ficam identificados como de interesse público e social. 
CAPÍTULO IV 
 Da Organização e Administração de Instituições Arquivísticas Públicas 
 Art. 17. A administração da documentação pública ou de caráter público compete às instituições 
arquivísticas federais, estaduais, do Distrito Federal e municipais. 
 § 1º São Arquivos Federais o Arquivo Nacional do Poder Executivo, e os arquivos do Poder 
Legislativo e do Poder Judiciário. São considerados, também, do Poder Executivo os arquivos do Ministério da 
Marinha, do Ministério das Relações Exteriores, do Ministério do Exército e do Ministério da Aeronáutica. 
 § 2º São Arquivos Estaduais o arquivo do Poder Executivo, o arquivo do Poder Legislativo e o 
arquivo do Poder Judiciário. 
 § 3º São Arquivos do Distrito Federal o arquivo do Poder Executivo, o Arquivo do Poder Legislativo e 
o arquivo do Poder Judiciário. 
 § 4º São Arquivos Municipais o arquivo do Poder Executivo e o arquivo do Poder Legislativo. 
 § 5º Os arquivos públicos dos Territórios são organizados de acordo com sua estrutura político-
 
 
jurídica. 
 Art. 18. Compete ao Arquivo Nacional a gestão e o recolhimento dos documentos produzidos e 
recebidos pelo Poder Executivo Federal, bem como preservar e facultar o acesso aos documentos sob sua 
guarda, e acompanhar e implementar a política nacional de arquivos. 
 Parágrafo único. Para o pleno exercício de suas funções, o Arquivo Nacional poderá criar unidades 
regionais. 
 Art. 19. Competem aos arquivos do Poder Legislativo Federal a gestão e o recolhimento dos 
documentos produzidos e recebidos pelo Poder Legislativo Federal no exercício das suas funções, bem como 
preservar e facultar o acesso aos documentos sob sua guarda. 
 Art. 20. Competem aos arquivos do Poder Judiciário Federal a gestão e o recolhimento dos 
documentos produzidos e recebidos pelo Poder Judiciário Federal no exercício de suas funções, tramitados 
em juízo e oriundos de cartórios e secretarias, bem como preservar e facultar o acesso aos documentos sob 
suaguarda. 
 Art. 21. Legislação estadual, do Distrito Federal e municipal definirá os critérios de organização e 
vinculação dos arquivos estaduais e municipais, bem como a gestão e o acesso aos documentos, observado o 
disposto na Constituição Federal e nesta lei. 
CAPÍTULO V 
Do Acesso e do Sigilo dos Documentos Públicos 
 Art. 22. É assegurado o direito de acesso pleno aos documentos públicos (Revogado pela Lei 
12.527, de 18 de novembro de 2011) 
 Art. 23. Decreto fixará as categorias de sigilo que deverão ser obedecidas pelos órgãos 
públicos na classificação dos documentos por eles produzidos. (Revogado pela Lei 12.527, de 18 de 
novembro de 2011) 
 § 1º Os documentos cuja divulgação ponha em risco a segurança da sociedade e do Estado, 
bem como aqueles necessários ao resguardo da inviolabilidade da intimidade, da vida privada, da 
honra e da imagem das pessoas são originariamente sigilosos. (Revogado pela Lei 12.527, de 18 de 
novembro de 2011) 
 § 2º O acesso aos documentos sigilosos referentes à segurança da sociedade e do Estado 
será restrito por um prazo máximo de 30 (trinta) anos, a contar da data de sua produção, podendo esse 
prazo ser prorrogado, por uma única vez, por igual período. (Revogado pela Lei 12.527, de 18 de 
novembro de 2011) 
 § 3º O acesso aos documentos sigilosos referente à honra e à imagem das pessoas será 
restrito por um prazo máximo de 100 (cem) anos, a contar da sua data de produção. 
 Art. 24. Poderá o Poder Judiciário, em qualquer instância, determinar a exibição reservada de 
qualquer documento sigiloso, sempre que indispensável à defesa de direito próprio ou esclarecimento 
de situação pessoal da parte. (Revogado pela Lei 12.527, de 18 de novembro de 2011) 
 Parágrafo único. Nenhuma norma de organização administrativa será interpretada de modo a, 
por qualquer forma, restringir o disposto neste artigo. (Revogado pela Lei 12.527, de 18 de novembro de 
2011) 
Disposições Finais 
 Art. 25. Ficará sujeito à responsabilidade penal, civil e administrativa, na forma da legislação em 
vigor, aquele que desfigurar ou destruir documentos de valor permanente ou considerado como de interesse 
público e social. 
 Art. 26. Fica criado o Conselho Nacional de Arquivos (Conarq), órgão vinculado ao Arquivo Nacional, 
que definirá a política nacional de arquivos, como órgão central de um Sistema Nacional de Arquivos (Sinar). 
 § 1º O Conselho Nacional de Arquivos será presidido pelo Diretor-Geral do Arquivo Nacional e 
integrado por representantes de instituições arquivísticas e acadêmicas, públicas e privadas. 
 § 2º A estrutura e funcionamento do conselho criado neste artigo serão estabelecidos em 
regulamento. 
 Art. 27. Esta lei entra em vigor na data de sua publicação. 
 Art. 28. Revogam-se as disposições em contrário. 
FERNANDO COLLOR 
Jarbas Passarinho 
[Diário Oficial da União, de 09 janeiro de 1991, e pub. ret. em 28 de janeiro de 1991] 
Lei nº 12.527, de 18 de novembro de 2011 
 
 
LEI Nº 12.527, DE 18 DE NOVEMBRO DE 2011 
 
 
Regula o acesso a informações previsto no 
inciso XXXIII do art. 5º, no inciso II do § 3º do art. 
37 e no § 2º do art. 216 da Constituição Federal; 
altera a Lei nº 8.112, de 11 de dezembro de 1990; 
revoga a Lei no 11.111, de 5 de maio de 2005, e 
dispositivos da Lei nº 8.159, de 8 de janeiro de 
1991; e dá outras providências. 
 A PRESIDENTA DA REPÚBLICA Faço saber que o Congresso Nacional decreta e eu sanciono a 
seguinte Lei: 
CAPÍTULO I 
DISPOSIÇÕES GERAIS 
 
 Art. 1º Esta Lei dispõe sobre os procedimentos a serem observados pela União, Estados, Distrito 
Federal e Municípios, com o fim de garantir o acesso a informações previsto no inciso XXXIII do art. 5º, no 
inciso II do § 3º do art. 37 e no § 2º do art. 216 da Constituição Federal. 
 Parágrafo único. Subordinam-se ao regime desta Lei: 
 I - os órgãos públicos integrantes da administração direta dos Poderes Executivo, Legislativo, 
incluindo as Cortes de Contas, e Judiciário e do Ministério Público; 
 II - as autarquias, as fundações públicas, as empresas públicas, as sociedades de economia mista e 
demais entidades controladas direta ou indiretamente pela União, Estados, Distrito Federal e Municípios. 
 Art. 2º Aplicam-se as disposições desta Lei, no que couber, às entidades privadas sem fins lucrativos 
que recebam, para realização de ações de interesse público, recursos públicos diretamente do orçamento ou 
mediante subvenções sociais, contrato de gestão, termo de parceria, convênios, acordo, ajustes ou outros 
instrumentos congêneres. 
 Parágrafo único. A publicidade a que estão submetidas as entidades citadas no caput refere-se à 
parcela dos recursos públicos recebidos e à sua destinação, sem prejuízo das prestações de contas a que 
estejam legalmente obrigadas. 
 Art. 3º Os procedimentos previstos nesta Lei destinam-se a assegurar o direito fundamental de 
acesso à informação e devem ser executados em conformidade com os princípios básicos da administração 
pública e com as seguintes diretrizes: 
 I - observância da publicidade como preceito geral e do sigilo como exceção; 
 II - divulgação de informações de interesse público, independentemente de solicitações; 
 III - utilização de meios de comunicação viabilizados pela tecnologia da informação; 
 IV - fomento ao desenvolvimento da cultura de transparência na administração pública; 
 V - desenvolvimento do controle social da administração pública. 
 Art. 4º Para os efeitos desta Lei, considera-se: 
 I - informação: dados, processados ou não, que podem ser utilizados para produção e transmissão 
de conhecimento, contidos em qualquer meio, suporte ou formato; 
 II - documento: unidade de registro de informações, qualquer que seja o suporte ou formato; 
 III - informação sigilosa: aquela submetida temporariamente à restrição de acesso público em razão 
de sua imprescindibilidade para a segurança da sociedade e do Estado; 
 IV - informação pessoal: aquela relacionada à pessoa natural identificada ou identificável; 
 V - tratamento da informação: conjunto de ações referentes à produção, recepção, classificação, 
utilização, acesso, reprodução, transporte, transmissão, distribuição, arquivamento, armazenamento, 
eliminação, avaliação, destinação ou controle da informação; 
 VI - disponibilidade: qualidade da informação que pode ser conhecida e utilizada por indivíduos, 
equipamentos ou sistemas autorizados; 
 VII - autenticidade: qualidade da informação que tenha sido produzida, expedida, recebida ou 
modificada por determinado indivíduo, equipamento ou sistema; 
 VIII - integridade: qualidade da informação não modificada, inclusive quanto à origem, trânsito e 
destino; 
 IX - primariedade: qualidade da informação coletada na fonte, com o máximo de detalhamento 
 
 
possível, sem modificações. 
 Art. 5º É dever do Estado garantir o direito de acesso à informação, que será franqueada, mediante 
procedimentos objetivos e ágeis, de forma transparente, clara e em linguagem de fácil compreensão. 
CAPÍTULO II 
DO ACESSO A INFORMAÇÕES E DA SUA DIVULGAÇÃO 
Art. 6o Cabe aos órgãos e entidades do poder público, observadas as normas e procedimentos específicos 
aplicáveis, assegurar a: 
I - gestão transparente da informação, propiciando amplo acesso a ela e sua divulgação; 
II - proteção da informação, garantindo-se sua disponibilidade, autenticidade e integridade;e 
III - proteção da informação sigilosa e da informação pessoal, observada a sua disponibilidade, 
autenticidade, integridade e eventual restrição de acesso. 
Art. 7o O acesso à informação de que trata esta Lei compreende, entre outros, os direitos de obter: 
I - orientação sobre os procedimentos para a consecução de acesso, bem como sobre o local onde poderá 
ser encontrada ou obtida a informação almejada; 
II - informação contida em registros ou documentos, produzidos ou acumulados por seus órgãos ou 
entidades, recolhidos ou não a arquivos públicos; 
III - informação produzida ou custodiada por pessoa física ou entidade privada decorrente de qualquer 
vínculo com seus órgãos ou entidades, mesmo que esse vínculo já tenha cessado; 
IV - informação primária, íntegra, autêntica e atualizada; 
V - informação sobre atividades exercidas pelos órgãos e entidades, inclusive as relativas à sua política, 
organização e serviços; 
VI - informação pertinente à administração do patrimônio público, utilização de recursos públicos, licitação, 
contratos administrativos; e 
VII - informação relativa: 
a) à implementação, acompanhamento e resultados dos programas, projetos e ações dos órgãos e 
entidades públicas, bem como metas e indicadores propostos; 
b) ao resultado de inspeções, auditorias, prestações e tomadas de contas realizadas pelos órgãos de 
controle interno e externo, incluindo prestações de contas relativas a exercícios anteriores. 
§ 1o O acesso à informação previsto no caput não compreende as informações referentes a projetos de 
pesquisa e desenvolvimento científicos ou tecnológicos cujo sigilo seja imprescindível à segurança da 
sociedade e do Estado. 
§ 2o Quando não for autorizado acesso integral à informação por ser ela parcialmente sigilosa, é 
assegurado o acesso à parte não sigilosa por meio de certidão, extrato ou cópia com ocultação da parte sob 
sigilo. 
§ 3o O direito de acesso aos documentos ou às informações neles contidas utilizados como fundamento 
da tomada de decisão e do ato administrativo será assegurado com a edição do ato decisório respectivo. 
§ 4o A negativa de acesso às informações objeto de pedido formulado aos órgãos e entidades referidas no 
art. 1o, quando não fundamentada, sujeitará o responsável a medidas disciplinares, nos termos do art. 32 
desta Lei. 
§ 5o Informado do extravio da informação solicitada, poderá o interessado requerer à autoridade 
competente a imediata abertura de sindicância para apurar o desaparecimento da respectiva documentação. 
§ 6o Verificada a hipótese prevista no § 5o deste artigo, o responsável pela guarda da informação 
extraviada deverá, no prazo de 10 (dez) dias, justificar o fato e indicar testemunhas que comprovem sua 
alegação. 
Art. 8o É dever dos órgãos e entidades públicas promover, independentemente de requerimentos, a 
divulgação em local de fácil acesso, no âmbito de suas competências, de informações de interesse coletivo ou 
geral por eles produzidas ou custodiadas. 
§ 1o Na divulgação das informações a que se refere o caput, deverão constar, no mínimo: 
I - registro das competências e estrutura organizacional, endereços e telefones das respectivas unidades e 
horários de atendimento ao público; 
II - registros de quaisquer repasses ou transferências de recursos financeiros; 
III - registros das despesas; 
IV - informações concernentes a procedimentos licitatórios, inclusive os respectivos editais e resultados, 
 
 
bem como a todos os contratos celebrados; 
V - dados gerais para o acompanhamento de programas, ações, projetos e obras de órgãos e entidades; e 
VI - respostas a perguntas mais frequentes da sociedade. 
§ 2o Para cumprimento do disposto no caput, os órgãos e entidades públicas deverão utilizar todos os 
meios e instrumentos legítimos de que dispuserem, sendo obrigatória a divulgação em sítios oficiais da rede 
mundial de computadores (internet). 
§ 3o Os sítios de que trata o § 2o deverão, na forma de regulamento, atender, entre outros, aos seguintes 
requisitos: 
I - conter ferramenta de pesquisa de conteúdo que permita o acesso à informação de forma objetiva, 
transparente, clara e em linguagem de fácil compreensão; 
II - possibilitar a gravação de relatórios em diversos formatos eletrônicos, inclusive abertos e não 
proprietários, tais como planilhas e texto, de modo a facilitar a análise das informações; 
III - possibilitar o acesso automatizado por sistemas externos em formatos abertos, estruturados e legíveis 
por máquina; 
IV - divulgar em detalhes os formatos utilizados para estruturação da informação; 
V - garantir a autenticidade e a integridade das informações disponíveis para acesso; 
VI - manter atualizadas as informações disponíveis para acesso; 
VII - indicar local e instruções que permitam ao interessado comunicar-se, por via eletrônica ou telefônica, 
com o órgão ou entidade detentora do sítio; e 
VIII - adotar as medidas necessárias para garantir a acessibilidade de conteúdo para pessoas com 
deficiência, nos termos do art. 17 da Lei no 10.098, de 19 de dezembro de 2000, e do art. 9o da Convenção 
sobre os Direitos das Pessoas com Deficiência, aprovada pelo Decreto Legislativo no 186, de 9 de julho de 
2008. 
§ 4o Os Municípios com população de até 10.000 (dez mil) habitantes ficam dispensados da divulgação 
obrigatória na internet a que se refere o § 2o, mantida a obrigatoriedade de divulgação, em tempo real, de 
informações relativas à execução orçamentária e financeira, nos critérios e prazos previstos no art. 73-B da Lei 
Complementar no 101, de 4 de maio de 2000 (Lei de Responsabilidade Fiscal). 
Art. 9o O acesso a informações públicas será assegurado mediante: 
I - criação de serviço de informações ao cidadão, nos órgãos e entidades do poder público, em local com 
condições apropriadas para: 
a) atender e orientar o público quanto ao acesso a informações; 
b) informar sobre a tramitação de documentos nas suas respectivas unidades; 
c) protocolizar documentos e requerimentos de acesso a informações; e 
II - realização de audiências ou consultas públicas, incentivo à participação popular ou a outras formas de 
divulgação. 
CAPÍTULO III 
DO PROCEDIMENTO DE ACESSO À INFORMAÇÃO 
Seção I 
Do Pedido de Acesso 
Art. 10. Qualquer interessado poderá apresentar pedido de acesso a informações aos órgãos e entidades 
referidos no art. 1o desta Lei, por qualquer meio legítimo, devendo o pedido conter a identificação do 
requerente e a especificação da informação requerida. 
§ 1o Para o acesso a informações de interesse público, a identificação do requerente não pode conter 
exigências que inviabilizem a solicitação. 
§ 2o Os órgãos e entidades do poder público devem viabilizar alternativa de encaminhamento de pedidos 
de acesso por meio de seus sítios oficiais na internet. 
§ 3o São vedadas quaisquer exigências relativas aos motivos determinantes da solicitação de informações 
de interesse público. 
Art. 11. O órgão ou entidade pública deverá autorizar ou conceder o acesso imediato à informação 
disponível. 
§ 1o Não sendo possível conceder o acesso imediato, na forma disposta no caput, o órgão ou entidade 
que receber o pedido deverá, em prazo não superior a 20 (vinte) dias: 
 
 
I - comunicar a data, local e modo para se realizar a consulta, efetuar a reprodução ou obter a certidão; 
II - indicar as razões de fato ou de direito da recusa, total ou parcial, do acesso pretendido; ou 
III - comunicar que não possui a informação, indicar, se for do seu conhecimento, o órgão ou a entidade 
que a detém, ou, ainda, remeter o requerimento a esse órgão ou entidade, cientificando o interessado da 
remessa de seu pedido de informação. 
§ 2o O prazo referido no § 1o poderá ser prorrogado por mais10 (dez) dias, mediante justificativa 
expressa, da qual será cientificado o requerente. 
§ 3o Sem prejuízo da segurança e da proteção das informações e do cumprimento da legislação aplicável, 
o órgão ou entidade poderá oferecer meios para que o próprio requerente possa pesquisar a informação de 
que necessitar. 
§ 4o Quando não for autorizado o acesso por se tratar de informação total ou parcialmente sigilosa, o 
requerente deverá ser informado sobre a possibilidade de recurso, prazos e condições para sua interposição, 
devendo, ainda, ser-lhe indicada a autoridade competente para sua apreciação. 
§ 5o A informação armazenada em formato digital será fornecida nesse formato, caso haja anuência do 
requerente. 
§ 6o Caso a informação solicitada esteja disponível ao público em formato impresso, eletrônico ou em 
qualquer outro meio de acesso universal, serão informados ao requerente, por escrito, o lugar e a forma pela 
qual se poderá consultar, obter ou reproduzir a referida informação, procedimento esse que desonerará o 
órgão ou entidade pública da obrigação de seu fornecimento direto, salvo se o requerente declarar não dispor 
de meios para realizar por si mesmo tais procedimentos. 
Art. 12. O serviço de busca e fornecimento da informação é gratuito, salvo nas hipóteses de reprodução de 
documentos pelo órgão ou entidade pública consultada, situação em que poderá ser cobrado exclusivamente 
o valor necessário ao ressarcimento do custo dos serviços e dos materiais utilizados. 
Parágrafo único. Estará isento de ressarcir os custos previstos no caput todo aquele cuja situação 
econômica não lhe permita fazê-lo sem prejuízo do sustento próprio ou da família, declarada nos termos da Lei 
no 7.115, de 29 de agosto de 1983. 
Art. 13. Quando se tratar de acesso à informação contida em documento cuja manipulação possa 
prejudicar sua integridade, deverá ser oferecida a consulta de cópia, com certificação de que esta confere com 
o original. 
Parágrafo único. Na impossibilidade de obtenção de cópias, o interessado poderá solicitar que, a suas 
expensas e sob supervisão de servidor público, a reprodução seja feita por outro meio que não ponha em risco 
a conservação do documento original. 
Art. 14. É direito do requerente obter o inteiro teor de decisão de negativa de acesso, por certidão ou 
cópia. 
Seção II 
Dos Recursos 
Art. 15. No caso de indeferimento de acesso a informações ou às razões da negativa do acesso, poderá o 
interessado interpor recurso contra a decisão no prazo de 10 (dez) dias a contar da sua ciência. 
Parágrafo único. O recurso será dirigido à autoridade hierarquicamente superior à que exarou a decisão 
impugnada, que deverá se manifestar no prazo de 5 (cinco) dias. 
Art. 16. Negado o acesso a informação pelos órgãos ou entidades do Poder Executivo Federal, o 
requerente poderá recorrer à Controladoria-Geral da União, que deliberará no prazo de 5 (cinco) dias se: 
I - o acesso à informação não classificada como sigilosa for negado; 
II - a decisão de negativa de acesso à informação total ou parcialmente classificada como sigilosa não 
indicar a autoridade classificadora ou a hierarquicamente superior a quem possa ser dirigido pedido de acesso 
ou desclassificação; 
III - os procedimentos de classificação de informação sigilosa estabelecidos nesta Lei não tiverem sido 
observados; e 
IV - estiverem sendo descumpridos prazos ou outros procedimentos previstos nesta Lei. 
§ 1o O recurso previsto neste artigo somente poderá ser dirigido à Controladoria-Geral da União depois de 
submetido à apreciação de pelo menos uma autoridade hierarquicamente superior àquela que exarou a 
decisão impugnada, que deliberará no prazo de 5 (cinco) dias. 
§ 2o Verificada a procedência das razões do recurso, a Controladoria-Geral da União determinará ao 
órgão ou entidade que adote as providências necessárias para dar cumprimento ao disposto nesta Lei. 
§ 3o Negado o acesso à informação pela Controladoria-Geral da União, poderá ser interposto recurso à 
Comissão Mista de Reavaliação de Informações, a que se refere o art. 35. 
 
 
Art. 17. No caso de indeferimento de pedido de desclassificação de informação protocolado em órgão da 
administração pública federal, poderá o requerente recorrer ao Ministro de Estado da área, sem prejuízo das 
competências da Comissão Mista de Reavaliação de Informações, previstas no art. 35, e do disposto no art. 
16. 
§ 1o O recurso previsto neste artigo somente poderá ser dirigido às autoridades mencionadas depois de 
submetido à apreciação de pelo menos uma autoridade hierarquicamente superior à autoridade que exarou a 
decisão impugnada e, no caso das Forças Armadas, ao respectivo Comando. 
§ 2o Indeferido o recurso previsto no caput que tenha como objeto a desclassificação de informação 
secreta ou ultrassecreta, caberá recurso à Comissão Mista de Reavaliação de Informações prevista no art. 35. 
Art. 18. Os procedimentos de revisão de decisões denegatórias proferidas no recurso previsto no art. 15 e 
de revisão de classificação de documentos sigilosos serão objeto de regulamentação própria dos Poderes 
Legislativo e Judiciário e do Ministério Público, em seus respectivos âmbitos, assegurado ao solicitante, em 
qualquer caso, o direito de ser informado sobre o andamento de seu pedido. 
Art. 19. (VETADO). 
§ 1o (VETADO). 
§ 2o Os órgãos do Poder Judiciário e do Ministério Público informarão ao Conselho Nacional de Justiça e 
ao Conselho Nacional do Ministério Público, respectivamente, as decisões que, em grau de recurso, negarem 
acesso a informações de interesse público. 
Art. 20. Aplica-se subsidiariamente, no que couber, a Lei no 9.784, de 29 de janeiro de 1999, ao 
procedimento de que trata este Capítulo. 
CAPÍTULO IV 
DAS RESTRIÇÕES DE ACESSO À INFORMAÇÃO 
Seção I 
Disposições Gerais 
Art. 21. Não poderá ser negado acesso à informação necessária à tutela judicial ou administrativa de 
direitos fundamentais. 
Parágrafo único. As informações ou documentos que versem sobre condutas que impliquem violação dos 
direitos humanos praticada por agentes públicos ou a mando de autoridades públicas não poderão ser objeto 
de restrição de acesso. 
Art. 22. O disposto nesta Lei não exclui as demais hipóteses legais de sigilo e de segredo de justiça nem 
as hipóteses de segredo industrial decorrentes da exploração direta de atividade econômica pelo Estado ou 
por pessoa física ou entidade privada que tenha qualquer vínculo com o poder público. 
Seção II 
Da Classificação da Informação quanto ao Grau e Prazos de Sigilo 
Art. 23. São consideradas imprescindíveis à segurança da sociedade ou do Estado e, portanto, passíveis 
de classificação as informações cuja divulgação ou acesso irrestrito possam: 
I - pôr em risco a defesa e a soberania nacionais ou a integridade do território nacional; 
II - prejudicar ou pôr em risco a condução de negociações ou as relações internacionais do País, ou as que 
tenham sido fornecidas em caráter sigiloso por outros Estados e organismos internacionais; 
III - pôr em risco a vida, a segurança ou a saúde da população; 
IV - oferecer elevado risco à estabilidade financeira, econômica ou monetária do País; 
V - prejudicar ou causar risco a planos ou operações estratégicos das Forças Armadas; 
VI - prejudicar ou causar risco a projetos de pesquisa e desenvolvimento científico ou tecnológico, assim 
como a sistemas, bens, instalações ou áreas de interesse estratégico nacional; 
VII - pôr em risco a segurança de instituições ou de altas autoridades nacionais ou estrangeiras e seus 
familiares; ou 
VIII - comprometer atividades de inteligência, bem como de investigação ou fiscalização em andamento, 
relacionadas com a prevenção ou repressão de infrações. 
Art. 24. A informação em poder dosórgãos e entidades públicas, observado o seu teor e em razão de sua 
imprescindibilidade à segurança da sociedade ou do Estado, poderá ser classificada como ultrassecreta, 
secreta ou reservada. 
§ 1o Os prazos máximos de restrição de acesso à informação, conforme a classificação prevista no caput, 
vigoram a partir da data de sua produção e são os seguintes: 
 
 
I - ultrassecreta: 25 (vinte e cinco) anos; 
II - secreta: 15 (quinze) anos; e 
III - reservada: 5 (cinco) anos. 
§ 2o As informações que puderem colocar em risco a segurança do Presidente e Vice-Presidente da 
República e respectivos cônjuges e filhos(as) serão classificadas como reservadas e ficarão sob sigilo até o 
término do mandato em exercício ou do último mandato, em caso de reeleição. 
§ 3o Alternativamente aos prazos previstos no § 1o, poderá ser estabelecida como termo final de restrição 
de acesso a ocorrência de determinado evento, desde que este ocorra antes do transcurso do prazo máximo 
de classificação. 
§ 4o Transcorrido o prazo de classificação ou consumado o evento que defina o seu termo final, a 
informação tornar-se-á, automaticamente, de acesso público. 
§ 5o Para a classificação da informação em determinado grau de sigilo, deverá ser observado o interesse 
público da informação e utilizado o critério menos restritivo possível, considerados: 
I - a gravidade do risco ou dano à segurança da sociedade e do Estado; e 
II - o prazo máximo de restrição de acesso ou o evento que defina seu termo final. 
Seção III 
Da Proteção e do Controle de Informações Sigilosas 
Art. 25. É dever do Estado controlar o acesso e a divulgação de informações sigilosas produzidas por seus 
órgãos e entidades, assegurando a sua proteção. (Regulamento) 
§ 1o O acesso, a divulgação e o tratamento de informação classificada como sigilosa ficarão restritos a 
pessoas que tenham necessidade de conhecê-la e que sejam devidamente credenciadas na forma do 
regulamento, sem prejuízo das atribuições dos agentes públicos autorizados por lei. 
§ 2o O acesso à informação classificada como sigilosa cria a obrigação para aquele que a obteve de 
resguardar o sigilo. 
§ 3o Regulamento disporá sobre procedimentos e medidas a serem adotados para o tratamento de 
informação sigilosa, de modo a protegê-la contra perda, alteração indevida, acesso, transmissão e divulgação 
não autorizados. 
Art. 26. As autoridades públicas adotarão as providências necessárias para que o pessoal a elas 
subordinado hierarquicamente conheça as normas e observe as medidas e procedimentos de segurança para 
tratamento de informações sigilosas. 
Parágrafo único. A pessoa física ou entidade privada que, em razão de qualquer vínculo com o poder 
público, executar atividades de tratamento de informações sigilosas adotará as providências necessárias para 
que seus empregados, prepostos ou representantes observem as medidas e procedimentos de segurança das 
informações resultantes da aplicação desta Lei. 
Seção IV 
Dos Procedimentos de Classificação, Reclassificação e Desclassificação 
Art. 27. A classificação do sigilo de informações no âmbito da administração pública federal é de 
competência: (Regulamento) 
I - no grau de ultrassecreto, das seguintes autoridades: 
a) Presidente da República; 
b) Vice-Presidente da República; 
c) Ministros de Estado e autoridades com as mesmas prerrogativas; 
d) Comandantes da Marinha, do Exército e da Aeronáutica; e 
e) Chefes de Missões Diplomáticas e Consulares permanentes no exterior; 
II - no grau de secreto, das autoridades referidas no inciso I, dos titulares de autarquias, fundações ou 
empresas públicas e sociedades de economia mista; e 
III - no grau de reservado, das autoridades referidas nos incisos I e II e das que exerçam funções de 
direção, comando ou chefia, nível DAS 101.5, ou superior, do Grupo-Direção e Assessoramento Superiores, 
ou de hierarquia equivalente, de acordo com regulamentação específica de cada órgão ou entidade, 
observado o disposto nesta Lei. 
§ 1o A competência prevista nos incisos I e II, no que se refere à classificação como ultrassecreta e 
secreta, poderá ser delegada pela autoridade responsável a agente público, inclusive em missão no exterior, 
vedada a subdelegação. 
 
 
§ 2o A classificação de informação no grau de sigilo ultrassecreto pelas autoridades previstas nas alíneas 
“d” e “e” do inciso I deverá ser ratificada pelos respectivos Ministros de Estado, no prazo previsto em 
regulamento. 
§ 3o A autoridade ou outro agente público que classificar informação como ultrassecreta deverá 
encaminhar a decisão de que trata o art. 28 à Comissão Mista de Reavaliação de Informações, a que se refere 
o art. 35, no prazo previsto em regulamento. 
Art. 28. A classificação de informação em qualquer grau de sigilo deverá ser formalizada em decisão que 
conterá, no mínimo, os seguintes elementos: 
I - assunto sobre o qual versa a informação; 
II - fundamento da classificação, observados os critérios estabelecidos no art. 24; 
III - indicação do prazo de sigilo, contado em anos, meses ou dias, ou do evento que defina o seu termo 
final, conforme limites previstos no art. 24; e 
IV - identificação da autoridade que a classificou. 
Parágrafo único. A decisão referida no caput será mantida no mesmo grau de sigilo da informação 
classificada. 
Art. 29. A classificação das informações será reavaliada pela autoridade classificadora ou por autoridade 
hierarquicamente superior, mediante provocação ou de ofício, nos termos e prazos previstos em regulamento, 
com vistas à sua desclassificação ou à redução do prazo de sigilo, observado o disposto no art. 
24. (Regulamento) 
§ 1o O regulamento a que se refere o caput deverá considerar as peculiaridades das informações 
produzidas no exterior por autoridades ou agentes públicos. 
§ 2o Na reavaliação a que se refere o caput, deverão ser examinadas a permanência dos motivos do sigilo 
e a possibilidade de danos decorrentes do acesso ou da divulgação da informação. 
§ 3o Na hipótese de redução do prazo de sigilo da informação, o novo prazo de restrição manterá como 
termo inicial a data da sua produção. 
Art. 30. A autoridade máxima de cada órgão ou entidade publicará, anualmente, em sítio à disposição na 
internet e destinado à veiculação de dados e informações administrativas, nos termos de regulamento: 
I - rol das informações que tenham sido desclassificadas nos últimos 12 (doze) meses; 
II - rol de documentos classificados em cada grau de sigilo, com identificação para referência futura; 
III - relatório estatístico contendo a quantidade de pedidos de informação recebidos, atendidos e 
indeferidos, bem como informações genéricas sobre os solicitantes. 
§ 1o Os órgãos e entidades deverão manter exemplar da publicação prevista no caput para consulta 
pública em suas sedes. 
§ 2o Os órgãos e entidades manterão extrato com a lista de informações classificadas, acompanhadas da 
data, do grau de sigilo e dos fundamentos da classificação. 
Seção V 
Das Informações Pessoais 
Art. 31. O tratamento das informações pessoais deve ser feito de forma transparente e com respeito à 
intimidade, vida privada, honra e imagem das pessoas, bem como às liberdades e garantias individuais. 
§ 1o As informações pessoais, a que se refere este artigo, relativas à intimidade, vida privada, honra e 
imagem: 
I - terão seu acesso restrito, independentemente de classificação de sigilo e pelo prazo máximo de 100 
(cem) anos a contar da sua data de produção, a agentes públicos legalmente autorizados e à pessoa a que 
elas se referirem; e 
II - poderão ter autorizada sua divulgação ou acesso por terceiros diante de previsão legal ou 
consentimento expresso da pessoa a que elas se referirem. 
§ 2o Aqueleque obtiver acesso às informações de que trata este artigo será responsabilizado por seu uso 
indevido. 
§ 3o O consentimento referido no inciso II do § 1o não será exigido quando as informações forem 
necessárias: 
I - à prevenção e diagnóstico médico, quando a pessoa estiver física ou legalmente incapaz, e para 
utilização única e exclusivamente para o tratamento médico; 
II - à realização de estatísticas e pesquisas científicas de evidente interesse público ou geral, previstos em 
lei, sendo vedada a identificação da pessoa a que as informações se referirem; 
 
 
III - ao cumprimento de ordem judicial; 
IV - à defesa de direitos humanos; ou 
V - à proteção do interesse público e geral preponderante. 
§ 4o A restrição de acesso à informação relativa à vida privada, honra e imagem de pessoa não poderá ser 
invocada com o intuito de prejudicar processo de apuração de irregularidades em que o titular das informações 
estiver envolvido, bem como em ações voltadas para a recuperação de fatos históricos de maior relevância. 
§ 5o Regulamento disporá sobre os procedimentos para tratamento de informação pessoal. 
CAPÍTULO V 
DAS RESPONSABILIDADES 
Art. 32. Constituem condutas ilícitas que ensejam responsabilidade do agente público ou militar: 
I - recusar-se a fornecer informação requerida nos termos desta Lei, retardar deliberadamente o seu 
fornecimento ou fornecê-la intencionalmente de forma incorreta, incompleta ou imprecisa; 
II - utilizar indevidamente, bem como subtrair, destruir, inutilizar, desfigurar, alterar ou ocultar, total ou 
parcialmente, informação que se encontre sob sua guarda ou a que tenha acesso ou conhecimento em razão 
do exercício das atribuições de cargo, emprego ou função pública; 
III - agir com dolo ou má-fé na análise das solicitações de acesso à informação; 
IV - divulgar ou permitir a divulgação ou acessar ou permitir acesso indevido à informação sigilosa ou 
informação pessoal; 
V - impor sigilo à informação para obter proveito pessoal ou de terceiro, ou para fins de ocultação de ato 
ilegal cometido por si ou por outrem; 
VI - ocultar da revisão de autoridade superior competente informação sigilosa para beneficiar a si ou a 
outrem, ou em prejuízo de terceiros; e 
VII - destruir ou subtrair, por qualquer meio, documentos concernentes a possíveis violações de direitos 
humanos por parte de agentes do Estado. 
§ 1o Atendido o princípio do contraditório, da ampla defesa e do devido processo legal, as condutas 
descritas no caput serão consideradas: 
I - para fins dos regulamentos disciplinares das Forças Armadas, transgressões militares médias ou 
graves, segundo os critérios neles estabelecidos, desde que não tipificadas em lei como crime ou 
contravenção penal; ou 
II - para fins do disposto na Lei no 8.112, de 11 de dezembro de 1990, e suas alterações, infrações 
administrativas, que deverão ser apenadas, no mínimo, com suspensão, segundo os critérios nela 
estabelecidos. 
§ 2o Pelas condutas descritas no caput, poderá o militar ou agente público responder, também, por 
improbidade administrativa, conforme o disposto nas Leis nos 1.079, de 10 de abril de 1950, e 8.429, de 2 de 
junho de 1992. 
Art. 33. A pessoa física ou entidade privada que detiver informações em virtude de vínculo de qualquer 
natureza com o poder público e deixar de observar o disposto nesta Lei estará sujeita às seguintes sanções: 
I - advertência; 
II - multa; 
III - rescisão do vínculo com o poder público; 
IV - suspensão temporária de participar em licitação e impedimento de contratar com a administração 
pública por prazo não superior a 2 (dois) anos; e 
V - declaração de inidoneidade para licitar ou contratar com a administração pública, até que seja 
promovida a reabilitação perante a própria autoridade que aplicou a penalidade. 
§ 1o As sanções previstas nos incisos I, III e IV poderão ser aplicadas juntamente com a do inciso II, 
assegurado o direito de defesa do interessado, no respectivo processo, no prazo de 10 (dez) dias. 
§ 2o A reabilitação referida no inciso V será autorizada somente quando o interessado efetivar o 
ressarcimento ao órgão ou entidade dos prejuízos resultantes e após decorrido o prazo da sanção aplicada 
com base no inciso IV. 
§ 3o A aplicação da sanção prevista no inciso V é de competência exclusiva da autoridade máxima do 
órgão ou entidade pública, facultada a defesa do interessado, no respectivo processo, no prazo de 10 (dez) 
dias da abertura de vista. 
Art. 34. Os órgãos e entidades públicas respondem diretamente pelos danos causados em decorrência da 
 
 
divulgação não autorizada ou utilização indevida de informações sigilosas ou informações pessoais, cabendo a 
apuração de responsabilidade funcional nos casos de dolo ou culpa, assegurado o respectivo direito de 
regresso. 
Parágrafo único. O disposto neste artigo aplica-se à pessoa física ou entidade privada que, em virtude de 
vínculo de qualquer natureza com órgãos ou entidades, tenha acesso a informação sigilosa ou pessoal e a 
submeta a tratamento indevido. 
CAPÍTULO VI 
DISPOSIÇÕES FINAIS E TRANSITÓRIAS 
Art. 35. (VETADO). 
§ 1o É instituída a Comissão Mista de Reavaliação de Informações, que decidirá, no âmbito da 
administração pública federal, sobre o tratamento e a classificação de informações sigilosas e terá 
competência para: 
I - requisitar da autoridade que classificar informação como ultrassecreta e secreta esclarecimento ou 
conteúdo, parcial ou integral da informação; 
II - rever a classificação de informações ultrassecretas ou secretas, de ofício ou mediante provocação de 
pessoa interessada, observado o disposto no art. 7o e demais dispositivos desta Lei; e 
III - prorrogar o prazo de sigilo de informação classificada como ultrassecreta, sempre por prazo 
determinado, enquanto o seu acesso ou divulgação puder ocasionar ameaça externa à soberania nacional ou 
à integridade do território nacional ou grave risco às relações internacionais do País, observado o prazo 
previsto no § 1o do art. 24. 
§ 2o O prazo referido no inciso III é limitado a uma única renovação. 
§ 3o A revisão de ofício a que se refere o inciso II do § 1o deverá ocorrer, no máximo, a cada 4 (quatro) 
anos, após a reavaliação prevista no art. 39, quando se tratar de documentos ultrassecretos ou secretos. 
§ 4o A não deliberação sobre a revisão pela Comissão Mista de Reavaliação de Informações nos prazos 
previstos no § 3o implicará a desclassificação automática das informações. 
§ 5o Regulamento disporá sobre a composição, organização e funcionamento da Comissão Mista de 
Reavaliação de Informações, observado o mandato de 2 (dois) anos para seus integrantes e demais 
disposições desta Lei. (Regulamento) 
Art. 36. O tratamento de informação sigilosa resultante de tratados, acordos ou atos internacionais 
atenderá às normas e recomendações constantes desses instrumentos. 
Art. 37. É instituído, no âmbito do Gabinete de Segurança Institucional da Presidência da República, o 
Núcleo de Segurança e Credenciamento (NSC), que tem por objetivos: (Regulamento) 
I - promover e propor a regulamentação do credenciamento de segurança de pessoas físicas, empresas, 
órgãos e entidades para tratamento de informações sigilosas; e 
II - garantir a segurança de informações sigilosas, inclusive aquelas provenientes de países ou 
organizações internacionais com os quais a República Federativa do Brasil tenha firmado tratado, acordo, 
contrato ou qualquer outro ato internacional, sem prejuízo das atribuições do Ministério das Relações 
Exteriores e dos demais órgãos competentes. 
Parágrafo único. Regulamento disporá sobre a composição, organização e funcionamento do NSC. 
Art. 38. Aplica-se, no que couber, a Lei no 9.507, de 12 de novembro de 1997, emrelação à informação de 
pessoa, física ou jurídica, constante de registro ou banco de dados de entidades governamentais ou de caráter 
público. 
Art. 39. Os órgãos e entidades públicas deverão proceder à reavaliação das informações classificadas 
como ultrassecretas e secretas no prazo máximo de 2 (dois) anos, contado do termo inicial de vigência desta 
Lei. 
§ 1o A restrição de acesso a informações, em razão da reavaliação prevista no caput, deverá observar os 
prazos e condições previstos nesta Lei. 
§ 2o No âmbito da administração pública federal, a reavaliação prevista no caput poderá ser revista, a 
qualquer tempo, pela Comissão Mista de Reavaliação de Informações, observados os termos desta Lei. 
§ 3o Enquanto não transcorrido o prazo de reavaliação previsto no caput, será mantida a classificação da 
informação nos termos da legislação precedente. 
§ 4o As informações classificadas como secretas e ultrassecretas não reavaliadas no prazo previsto no 
caput serão consideradas, automaticamente, de acesso público. 
Art. 40. No prazo de 60 (sessenta) dias, a contar da vigência desta Lei, o dirigente máximo de cada órgão 
ou entidade da administração pública federal direta e indireta designará autoridade que lhe seja diretamente 
subordinada para, no âmbito do respectivo órgão ou entidade, exercer as seguintes atribuições: 
 
 
I - assegurar o cumprimento das normas relativas ao acesso a informação, de forma eficiente e adequada 
aos objetivos desta Lei; 
II - monitorar a implementação do disposto nesta Lei e apresentar relatórios periódicos sobre o seu 
cumprimento; 
III - recomendar as medidas indispensáveis à implementação e ao aperfeiçoamento das normas e 
procedimentos necessários ao correto cumprimento do disposto nesta Lei; e 
IV - orientar as respectivas unidades no que se refere ao cumprimento do disposto nesta Lei e seus 
regulamentos. 
Art. 41. O Poder Executivo Federal designará órgão da administração pública federal responsável: 
I - pela promoção de campanha de abrangência nacional de fomento à cultura da transparência na 
administração pública e conscientização do direito fundamental de acesso à informação; 
II - pelo treinamento de agentes públicos no que se refere ao desenvolvimento de práticas relacionadas à 
transparência na administração pública; 
III - pelo monitoramento da aplicação da lei no âmbito da administração pública federal, concentrando e 
consolidando a publicação de informações estatísticas relacionadas no art. 30; 
IV - pelo encaminhamento ao Congresso Nacional de relatório anual com informações atinentes à 
implementação desta Lei. 
Art. 42. O Poder Executivo regulamentará o disposto nesta Lei no prazo de 180 (cento e oitenta) dias a 
contar da data de sua publicação. 
Art. 43. O inciso VI do art. 116 da Lei no 8.112, de 11 de dezembro de 1990, passa a vigorar com a 
seguinte redação: 
“Art. 116. ................................................................... 
............................................................................................ 
VI - levar as irregularidades de que tiver ciência em razão do cargo ao conhecimento da autoridade 
superior ou, quando houver suspeita de envolvimento desta, ao conhecimento de outra autoridade competente 
para apuração; 
.................................................................................” (NR) 
Art. 44. O Capítulo IV do Título IV da Lei no 8.112, de 1990, passa a vigorar acrescido do seguinte art. 126-
A: 
“Art. 126-A. Nenhum servidor poderá ser responsabilizado civil, penal ou administrativamente por dar 
ciência à autoridade superior ou, quando houver suspeita de envolvimento desta, a outra autoridade 
competente para apuração de informação concernente à prática de crimes ou improbidade de que tenha 
conhecimento, ainda que em decorrência do exercício de cargo, emprego ou função pública.” 
Art. 45. Cabe aos Estados, ao Distrito Federal e aos Municípios, em legislação própria, obedecidas as 
normas gerais estabelecidas nesta Lei, definir regras específicas, especialmente quanto ao disposto no art. 9o 
e na Seção II do Capítulo III. 
Art. 46. Revogam-se: 
I - a Lei no 11.111, de 5 de maio de 2005; e 
II - os arts. 22 a 24 da Lei no 8.159, de 8 de janeiro de 1991. 
Art. 47. Esta Lei entra em vigor 180 (cento e oitenta) dias após a data de sua publicação. 
Brasília, 18 de novembro de 2011; 190o da Independência e 123o da República. 
DILMA ROUSSEFF 
José Eduardo Cardoso 
Celso Luiz Nunes Amorim 
Antonio de Aguiar Patriota 
Miriam Belchior 
Paulo Bernardo Silva 
Gleisi Hoffmann 
José Elito Carvalho Siqueira 
Helena Chagas 
Luís Inácio Lucena Adams 
Jorge Hage Sobrinho 
Maria do Rosário Nunes 
 
 
 
 
Questão comentada 
(CESPE - 2012 - MPE-PI - Analista Ministerial) 
A respeito das políticas públicas de arquivo e da legislação arquivística, julgue os itens que se seguem. 
Os critérios de organização e vinculação dos arquivos estaduais assim como a gestão desses arquivos e o 
acesso aos documentos neles mantidos devem ser estabelecidos por legislação federal. 
Comentário: Questão ERRADA. O artigo 21, da Lei Nº 8.159/91, que dispõe sobre a política nacional de 
arquivos públicos e privados, diz: “Legislação estadual, do Distrito Federal e municipal definirá os critérios de 
organização e vinculação dos arquivos estaduais e municipais, bem como a gestão e o acesso aos documentos, 
observado o disposto na Constituição Federal e nesta lei”. O erro da questão está em sua parte final, no termo 
“federal”, quando o correto seria estadual. 
Questão comentada 
A respeito das políticas públicas de arquivo e da legislação arquivística, julgue os itens que se seguem. 
É assegurado por lei o acesso a documentos públicos, ressalvados os cuja divulgação ponha em risco a 
segurança da sociedade e do Estado, e os cujo sigilo seja necessário ao resguardo da inviolabilidade da intimidade, 
da vida privada, da honra e da imagem das pessoas. 
Comentário: Questão CORRETA. A Lei 8159/1994 estabelece em seu Art. 4º que: “Todos têm direito a receber 
dos órgãos públicos informações de seu interesse particular ou de interesse coletivo ou geral, contidas em 
documentos de arquivos, que serão prestadas no prazo da lei, sob pena de responsabilidade, ressalvadas aquelas 
cujos sigilo seja imprescindível à segurança da sociedade e do Estado, bem como à inviolabilidade da intimidade, da 
vida privada, da honra e da imagem das pessoas." Interessante notar que o referido art está em consonância com o 
previsto na LEI Nº 12.527, DE 18 DE NOVEMBRO DE 2011, que regula o acesso a informação previsto no inciso 
XXXIII do art. 5o, no inciso II do § 3o do art. 37 e no § 2o do art. 216 da Constituição Federal. 
 
 
 
 
BACKUP 
Um backup, algumas vezes descrito como becape, nada mais é do que uma cópia de segurança dos dados. 
Essa cópia tem por finalidade manter os dados mais atuais salvos de maneira que se, porventura, os dados originais 
sejam perdidos, seja por falha ou exclusão, a perda não tenha um grande impacto, pois é possível restaurar a partir 
das versões salvas, minimizando assim a perda. Um backup não impede que os dados sejam acessados por 
terceiros. 
Em um backup devem ser salvos os dados do usuário, ou seja, não é necessário, muito menos indicado, salvar 
os arquivos dos sistemas, como os que ficam na pasta Arquivos de Programas. 
Os dados devem ser salvos, preferencialmente, em outras unidades de armazenamento, diferentes de onde 
estão os dados originais como CD, DVD, BlueRay, Pendrive, outros HD, disquetes e até mesmo fitas magnéticas. 
A frequência de realização de uma cópia de segurança depende da importância dos dados, bem como da sua 
alteração, ou seja, se os dados sofrem constante alteração o backup deve ser realizado commaior regularidade. Já 
se raramente sofrem alteração a frequência de backup também cai. 
Existem diversos tipos de backup, dos quais podemos destacar o Backup Completo, o Backup Incremental e o 
Backup Diferencial. 
Backup Completo: também chamado de Backup Total, é aquele em que todos os dados são salvos em uma 
única cópia de segurança indicado para ser feito com menor frequência, pois é o mais demorado para ser processado 
como também para ser recuperado, contudo localizar um arquivo fica mais fácil, pois se tem apenas uma cópia dos 
dados. 
Backup Incremental: neste tipo de backup são salvos apenas os dados que foram alterados após a última cópia 
de segurança realizada. Este procedimento é mais rápido de ser processado, porém leva mais tempo para ser 
restaurado, pois envolve restaurar todos os backups anteriores. Os arquivos gerados são menores do que os gerados 
pelo backup diferencial. 
Backup Diferencial: este procedimento de backup grava os dados alterados desde o ultimo backup completo, 
assim no próximo backup diferencial somente são salvos os dados modificados desde o ultimo backup completo. No 
entanto esse becape é mais lento de ser processado do que o backup incremental, porém é mais rápido de ser 
restaurado do que o incremental, pois é necessário apenas restaurar o ultimo backup completo e o ultimo backup 
diferencial. 
CONCEITOS RELACIONADOS À INTERNET 
Nesta seção são apresentados alguns conceitos, tecnologias e ferramentas relacionadas à Internet que são 
cobrados pelas provas dos concursos. 
MOTORES DE BUSCA 
Os motores de busca são normalmente conhecidos por buscadores, e tem como representante mor o Google. 
Dentre os principais motores de busca estão: 
Google; 
Yahoo; 
Cadê? O primeiro buscador nacional (comprado pelo Yahoo) pode ser chamado de Yahoo! Cadê?; 
Aonde; 
Altavista; 
MSN transformado em Bing; 
É importante observar que nos navegadores atuais os motores de busca são integrados, com isso podemos definir 
qual se deseja utilizar, por exemplo: o Google Chrome e o Mozilla Firefox utilizam como motor de busca padrão o 
Google, já o Internet Explorer utiliza o Bing. Esta informação é relevante pois é possível nestes navegadores digitar 
os termos buscados diretamente na barra de endereços, ao invés de acessar previamente o site do motor de busca 
para isso. 
 
 
BUSCA AVANÇADA 
Os motores de busca oferecem alguns recursos para otimizar a busca, como operadores lógicos, também 
conhecidos como operadores booleanos1. Dentre os quais podemos destacar a negação (-): ao realizar uma busca 
na qual se deseja encontrar resultados que sejam relacionados a determinado assunto, porém os termos usados são 
comuns a outro, podemos utilizar o sinal de menos precedendo o termo do assunto irrelevante, como o exemplo de 
uma questão que já caiu em prova: realizar a busca por leite e cão, contudo se for inserido apenas estes termos na 
busca, muitos resultados serão relacionados a gatos e leite, para que as páginas que contenham a palavra gato não 
sejam exibidas na lista de páginas encontradas, basta digitar o sinal de menos (-) antes da palavra gato (sem espaço 
entre o sinal e a palavra), assim a pesquisa a ser inserida no buscador fica Cão Leite -Gato. 
Também é possível se realizar a busca por uma frase exata, assim somente serão listados os sites que 
contenham exatamente a mesma expressão, para isso basta digitar a frase desejada entre aspas duplas. 
Busca por ou em Domínio específico: para buscar sites que possuam determinado termo em seu nome de 
domínio basta inserir o texto: site: seguido da palavra desejada, lembrando que não deve haver espaço entre site: e 
o termo desejado, de forma similar também se pode utilizar: inurl:termo para buscar sites que possuam o termo na 
URL. 
Quando o domínio já conhecido é possível realizar a busca por determinado termo apenas nas páginas do 
domínio, para tanto se deve digitar site:Dominiodosite termo. 
Calculadora: é possível, ainda, utilizar o Google como uma calculadora, bastando para tanto digitar a expressão 
algébrica que se deseja resolver como 2+2 e como resultado da “pesquisa” é apresentado o resultado da operação. 
Operador * quando não se sabe exatamente qual é a palavra para completar uma expressão, pode-se completar 
a lacuna com um asterisco, assim o motor de busca irá entender que naquele espaço pode ser qualquer palavra. 
Busca por tipo de arquivo: podemos refinar as buscas a resultados que consistam apenas em determinado 
formato de arquivo, para tanto demos utilizar o operador filetype: assim para buscar determinado tema, mas que seja 
em PDF, por exemplo, pode-se digitar filetype:pdf tema 
TIPOS DE BUSCA 
Os principais motores de busca permitem realizar as buscas de forma orientada a conteúdo gerais da web, como 
refinar a busca para exibir apenas imagens, vídeos ou mapas relacionados aos termos digitados. 
CHAT 
Um chat é normalmente citado como um bate papo em tempo real, é a forma de comunicação em que ambos os 
interlocutores estão Conectados (online) simultaneamente, muitas chats operam com salas de bate papo. Um chat 
pode ser em um site específico como o chat do Uol. Conversas pelo MSN ou FaceBook podem ser consideradas 
como Chat desde que ambos interlocutores estejam conectados. 
FÓRUM 
Também conhecido como Listas de Discussão, os fóruns funcionam como debates sobre determinados assuntos. 
Em um fórum não é necessário que os envolvidos estejam conectados para receber os comentários, pois estes ficam 
disponíveis para acesso futuro pelo usuário ou mesmo por pessoas que não estejam cadastradas no fórum, contudo 
existem muitos fóruns fechados, nos quais só se entra por convite ou mediante aquisição. A maioria dos fóruns 
vincula o e-mail dos envolvidos em uma discussão, alertando-os assim, caso um novo comentário seja acrescentado. 
REDES SOCIAIS 
Atualmente tem se falado muito em redes sociais, contudo aplicado de forma errônea, pois uma rede social é um 
grupo que interage com um objetivo comum. Assim Orkut, Facebook, Twiiter, Myspace e LinkedIn são apenas 
ferramentas que potencializam uma rede social, que também podem ser chamadas de mídias sociais. 
Devemos observar algumas características importantes a respeito de algumas dessas mídias como o twitter que 
tem por finalidade envio de pequenas mensagens de texto, no máximo 140 caracteres, além de disponibilizar apenas 
texto ou links, ou seja, não é possível o envio de imagens ou vídeos, mas apenas o envio de um link para esse 
conteúdo. 
Também pode ser questionado a respeito do LinkedIn que é uma rede social de caráter profissional, pela qual são 
estabelecidas relações entre empresas e funcionários, estes entre si também, com intuito profissional, 
disponibilizando um currículo online, bem como a realização e indicações e divulgação de ofertas de emprego. 
Cloud (Nuvem) 
 
1 Em referência a lógica de Boole, ou seja a lógica que você estuda para o concurso. 
 
 
Cloud Computing 
Pode-se dizer que a computação na numvem é uma forma de evolução do conceito de Mainframes. 
Os Mainframes são supercomputadores normalmente usados em redes privadas (intranets) os quais são 
responsáveis pelo trabalho pesado de processamento de informações, de forma geral quando se emprega o uso de 
mainframes se associa o uso de thin clients pelos usuários, ou seja, terminais burros, apenas pontas para iteração do 
usuário, pois os dados coletados e apresentados ao usuário são processados e armazenados nos mainframes. 
A computação na nuvem é uma ideia similar que ao invés de manter supercomputadores internamente na 
empresa, que seja feito uso de computadores (servidores) localizados na Internet, otimizando assim seu uso. 
Nesta forma de computação o usuário apenas envia os dados via conexão com a Internet para os servidores, quetrabalham esta informação e devolvem-lhe a resposta, o que possibilita que o dispositivo que o usuário utilizou seja 
mais simples como um celular, um netbook, um tablete ou mesmo um computador convencional. Assim esses 
dispositivos não precisão possuir alta capacidade de desempenho, pois se tornam apenas uma interface com o 
usuário. 
Um exemplo de cloud computing é o aplicativo TALK do Google disponível para o sistema Android, através do 
qual o usuário não precisa digitar os termos de uma pesquisa, ele apenas grava uma fala, esta fala é enviada para a 
nuvem, que a processa e devolve ao usuário o texto dos termos a serem buscados, o usuário então confirma e 
realiza sua busca. Você pode estar se perguntando, mas o celular não poderia ter ele processado a voz, infelizmente 
não seria algo interessante, pois processar a voz não é uma tarefa muito simples, assim o hardware do celular não 
daria tal suporte. 
Cloud Storage 
O armazenamento na nuvem é uma extensão da computação na nuvem, é uma forma bastante interessante de se 
manter backup de dados, como também de compartilhar informações. O Google Disco e o Microsoft Skydrive são 
exemplos dessa abordagem. Esses serviços oferecem ao usuário a criação de contas de armazenamento, que 
podem ser sincronizadas com uma pasta do computador do usuário, assim como o serviço do Dropbox. Contudo o 
serviço de forma gratuita é limitado em espaço, mas pode ser adquirido mais espaço se necessário. 
Para fazer uso dos serviços de Cloud Storage e Cloud Computing na maioria dos casos não é necessário que 
usuário instale aplicativos extras, a exemplo o Gloogle Disco e o Microsoft Skydrive o usuário pode fazer uso dos 
serviços diretamente online (por intermédio de um navegador) sem instalar ferramentas específicas para isso. 
 
 
AVALIAÇÃO DE DESEMPENHO 
Avaliação de desempenho é uma sistemática verificação, medição e acompanhamento (formal ou informal) do 
desempenho do indivíduo no cargo, e de seu potencial de desenvolvimento. 
Um dos conceitos de Avaliação de Desempenho é definido por Chiavenato (1999) como um processo que mede o 
desempenho do funcionário. A Avaliação do desempenho é a identificação, mensuração e administração do 
desempenho humano nas organizações. 
Objetivos 
A avaliação do desempenho representa um conjunto de técnicas direcionadas para a obtenção e análise de 
informações que possam caracterizar a qualidade da contribuição que tem sido oferecida à organização por cada 
empregado. Devem ser identificadas as causas dos eventuais problemas e deficiências, determinando-se meios 
eficazes para superá-las. Da mesma forma, devem ser estudados os aspectos positivos verificados, de modo a que 
os mesmos possam ser maximizados e que o potencial de crescimento dos empregados possa ser estimulado. 
Os principais objetivos da avaliação de desempenho são: 
- Favorecer a adequação dos indivíduos aos cargos e à organização. 
- Identificar o estágio atual e as potencialidades de desenvolvimento profissional de cada empregado. 
- Gerar subsídios para a estruturação de programas de treinamento e desenvolvimento de pessoal. 
- Proporcionar o levantamento de indicadores que possibilitem a definição de quais empregados deverão ser 
promovidos. 
Muitas são as metodologias que podem ser utilizadas na avaliação de desempenho, porém é necessário que cada 
organização escolha aquela que se revele mais adaptada às suas características e necessidades. 
Responsabilidades do gerenciamento de desempenho 
 
No geral, a avaliação do desempenho é uma responsabilidade de linha (do supervisor) e uma função de staff (do 
departamento de recursos humanos). Contudo, de acordo com a política de recursos humanos adotada, a 
responsabilidade pelo processamento da avaliação do desempenho pode ser: 
 
1) Centralizada: avaliação por um órgão de staff da área de recursos humanos; 
 
2) Centralização média: avaliação por uma Comissão de Avaliação do Desempenho, com a participação de 
avaliadores de diversas áreas. 
 
Em algumas organizações a avaliação de desempenho é atribuída a uma comissão especialmente designada 
para este fim e constituída de elementos pertencentes a diversos órgãos ou departamentos. A avaliação neste 
caso, é coletiva, e cada membro terá igual participação e responsabilidade nos julgamentos. 
Geralmente, a comissão é formada de membros permanentes e transitórios. Os membros permanentes e 
estáveis participarão de todas as avaliações e seu papel será a manutenção do equilíbrio dos julgamentos, do 
atendimento aos padrões e da constância ao sistema. 
Os membros transitórios ou interessados, que participarão exclusivamente dos julgamentos dos empregados 
direta ou indiretamente ligados a sua área de atuação terão o papel de trazer as informações a respeito dos 
avaliados e proceder ao julgamento e a avaliação. Enquanto os membros transitórios trazem a avaliação e 
julgam seus subordinados diretos ou indiretos. Os membros permanentes procuram manter a estabilidade e a 
homogeneidade das avaliações. 
Exemplo de comissão de avaliação do desempenho (membros estáveis ou permanentes): 
- Presidente ou diretor; 
- Diretor de RH; 
- Especialista em avaliação de desempenho; 
- Executivo de organização e métodos. 
Realmente, se a organização conseguir obter pleno funcionamento da comissão e, através dela uma harmonia 
consistente nas avaliações terá atingido uma técnica avançada de avaliação de desempenho. 
 
3) Descentralizada: Avaliação pelo próprio empregado, com o controle do supervisor direto. É pouco utilizada, por 
exigir nível cultural e não-subjetivismo dos funcionários. Utilizada com sucesso a pessoal de nível universitário, 
com elevadas posições hierárquicas. 
 
No "meio termo" mais utilizado, existe centralização do projeto, construção e implantação, com relativa 
descentralização quanto à aplicação e execução. 
 
 
 
Os métodos de avaliação e suas principais características 
 
A avaliação do desempenho é feita através de vários métodos, conforme as áreas de distribuição de pessoal 
(horistas, burocrático, supervisores, chefes, executivos, vendedores, etc), podendo-se estruturar cada um dos 
métodos em um método próprio. 
 
MÉTODO DESCRIÇÃO CARACTERÍSTICAS VANTAGENS DESVANTAGENS 
Escala 
gráfica 
Utiliza "fatores de 
avaliação" previamente 
graduados, através de um 
formulário de dupla entrada 
com linhas de fatores e 
colunas de graus 
O mais utilizado. É 
aparentemente 
simples, mas requer 
cuidados para 
neutralização da 
subjetividade e 
prejulgamento. 
 
• De fácil 
entendimento e 
aplicação simples 
 
• Permite uma 
boa visão do que a 
empresa deseja x a 
situação do 
empregado 
 
• Um pouco 
trabalhoso para o 
avaliador registrar 
• Não permite 
muita flexibilidade ao 
avaliador 
 
• Sujeito a 
generalização dos 
avaliadores quanto à 
pontuação dos 
fatores. Método 
subjetivo que exige 
prejulgamento(se o 
funcionário é bom em 
um fator, a tendência 
é avaliá-lo bom em 
todos os demais) 
 
• Tende a bitolar 
os resultados das 
avaliações 
 
• Necessita de 
procedimentos 
matemáticos e 
estatísticos para 
correção das 
distorções e 
influência pessoal 
(que tendem a 
apresentar resultados 
exigentes ou 
condescendentes a 
todos os seus 
subordinados) 
Escolha 
forçada 
Utiliza blocos de "frases 
descritivas" (positivas ou 
positivas e negativas), 
escolhidas de acordo com 
os critérios existentes na 
empresa, entre as quais o 
avaliador deve escolher 
apenas uma ou duas que 
mais se aplicam ao 
desempenho do seu 
avaliado 
 
 
• Proporciona 
resultados mais 
confiáveis e isentos 
de subjetividade, 
pois elimina a 
generalização 
 
• Sua aplicação 
é simples e não 
exige preparo dos 
avaliadores 
• Sua elaboração é 
complexa, exigindoum planejamento 
mais demorado 
• Apresenta 
resultados globais 
(discrimina apenas os 
empregados bons, 
médios e fracos, pois 
é fundamentalmente 
comparativo) 
• Quando utilizado 
para desenvolvimento 
de pessoal, necessita 
de complementação 
de informações 
• Deixa o avaliador 
sem noção de qual 
será o resultado da 
avaliação dos seus 
subordinados 
 
 
Pesquisa de 
campo 
São entrevistas de um 
especialista em avaliação 
em cada setor, com o 
supervisor imediato, onde 
levanta as causas, origens 
e motivos do desempenho 
dos seus subordinados, 
através de análise de fatos 
e situações 
 
A entrevista obedece 
ao seguinte roteiro: 
 
1) Avaliação 
inicial: O 
desempenho é 
avaliado como 
mais que 
satisfatório (+), 
satisfatório (+-) ou 
menos que 
satisfatório (-) 
 
2) Análise 
suplementar: Uma 
análise mais 
aprofundada do 
desempenho do 
funcionário, 
através de 
perguntas do 
especialista ao 
chefe 
 
3) Planejamento: 
Faz-se o plano de 
ação para o 
funcionamento 
(aconselhamento, 
readaptação, 
treinamento, 
desligamento e 
substituição, 
promoção ou 
manutenção no 
cargo) 
• É um método 
mais amplo, pois 
permite também o 
planejamento do 
empregado na 
função e na 
empresa. 
• Necessidade de 
retroação de dados 
acerca do 
desempenho dos 
empregados 
 
• Possui uma enorme 
gama de aplicações 
 
• Permite um 
acompanhamento 
muito mais dinâmico 
do empregado 
Comparação 
aos pares 
 
A comparação dois a dois, 
de cada vez, dos 
empregados, anotando-se 
o que é considerado melhor 
quanto ao desempenho, 
podendo-se também utilizar 
fatores de avaliação 
É recomendado 
apenas quando os 
avaliadores não têm 
condições de utilizar 
outros métodos 
• É um 
processo muito 
simples 
• Pouco eficiente 
Frases 
Descritivas 
Apenas difere do método 
da escolha forçada por não 
exigir obrigatoriedade na 
escolha entre um bloco de 
frases (existem várias 
frases para o avaliador 
escolher as que 
caracterizam e as que não 
caracterizam o 
desempenho do 
subordinado. O avaliador 
escolherá aquelas frases 
que mais representam o 
corportamento dos 
avaliados) 
 
 
 
 
Além desses métodos ainda temos: 
Método dos Incidentes Críticos 
É um método de avaliação de desempenho bastante simples. Segundo Chiavenato (1999), esse método se baseia 
nas características extremas (incidentes críticos) que representam desempenhos altamente positivos (sucesso) ou 
altamente negativos (fracasso). Ele afirma também que, o método não se preocupa com o desempenho normal, mas 
com desempenho positivos ou negativos excepcionais. Cada fator de avaliação do desempenho é transformado em 
incidente critico ou excepcional, para avaliar os pontos fortes e os pontos fracos de cada empregado. 
Lista de Verificação 
Esse método é considerado tradicional na avaliação de desempenho. Para Chiavenato (1999), esse método é 
baseado em uma relação de fatores de avaliação a serem considerados (check-lists) a respeito de cada empregado. 
Cada um desses fatores de desempenho recebe uma avaliação quantitativa. 
Vejamos agora os métodos de Avaliação por Objetivos e Avaliação 360 graus. Esses métodos são considerados os 
diferenciados dos demais, pois são métodos mais modernos e sofisticados: 
Avaliação por Objetivos 
Esse método está profundamente relacionado ao modelo de administração por objetivos. É um método no qual o 
superior (o chefe) e o subordinado (o operário) identificam, juntos, os objetivos a serem atingidos pelo funcionário em 
um determinado período de tempo. Nesse método permite um acompanhamento periódico dos resultados 
alcançados e os anteriormente fixados e a identificação das providências necessárias para o próximo período. 
Avaliação 360 Graus 
É um método de avaliação de desempenho que se baseia na ampla participação de todos os integrantes da equipe, 
as informações sobre o desempenho do avaliado são coletadas de todas as pessoas ao redor do funcionário. É 
também chamada de “feedback 360”. Segundo Chiavenato (1999), a avaliação de desempenho é feita de modo 
circular por todos os elementos que mantêm alguma interação com o avaliado. 
Elementos do gerenciamento de desempenho 
- O Avaliador De Desempenho 
Conforme a política de RH adotada pela organização, a responsabilidade pela avaliação de desempenho das 
pessoas pode ser atribuídas ao gerente, ao próprio indivíduo, ao indivíduo e seu gerente conjuntamente, à equipe de 
trabalho, ao órgão de gestão de pessoal ou a uma comissão de avaliação de desempenho. Cada uma dessas seis 
alternativas envolve uma filosofia de ação. 
Na maior parte das organizações, cabe ao gerente a responsabilidade de linha pelo desempenho de seus 
subordinados e por sua avaliação. Nelas, quem avalia o desempenho do pessoal é o próprio gerente ou supervisor, 
com a assessoria do órgão de gestão de pessoal que estabelece os meios e os critérios para tal avaliação. Como o 
gerente ou o supervisor não tem o conhecimento especializado para projetar, manter e desenvolver um plano 
sistemático de avaliação das pessoas, o órgão de gestão de pessoas entra com a função de staff de montar, 
acompanhar e controlar o sistema, enquanto cada chefe mantém sua autoridade de linha avaliando o trabalho dos 
subordinados por meio do esquema traçado pelo sistema. Modernamente, esta linha de trabalho tem proporcionar 
maior liberdade e flexibilidade para que cada gerente seja realmente o gestor de seu pessoal. 
- O Avaliado De Desempenho 
O papel do avaliado é aproveitar ao máximo esse projeto e beneficiar-se do mesmo, almejando através dele uma 
posição melhor na organização. 
Benefícios da avaliação de desempenho 
Quando um programa de avaliação é bem planejado, coordenado e desenvolvido, traz benefícios a curto, médio e 
longo prazos. A seguir são elencados alguns dos benefícios da avaliação ou gerenciamento do desempenho traz 
para o chefe, para o subordinado e para a organização: 
a) Benefícios para o chefe 
• Melhor avaliar o desempenho e o comportamento dos subordinados, contando com uma avaliação que elimina a 
subjetividade; 
• Propor medidas e providências no sentido de melhorar o padrão de comportamento de seus subordinados; 
• Comunicar-se com seus subordinados, fazendo-os compreender a mecânica da avaliação do desempenho como 
um sistema objetivo. 
 
 
b) Benefícios para o subordinado 
• Aprende quais são os aspectos de comportamento e de desempenho que a empresa mais valoriza em seus 
funcionários. 
• Fica conhecendo quais as expectativas de seu chefe a respeito de seu desempenho e seus pontos fortes e 
fracos, segundo a avaliação do chefe; 
• Conhece as providências tomadas por seu chefe quanto à melhoria de seu desempenho (programa de 
treinamento, estágios, etc.) e as que ele próprio deverá tomar (auto correção, maior capricho, mais atenção no 
trabalho, cursos por conta própria, etc.); 
• Condições para fazer avaliação e crítica para o seu próprio desenvolvimento e controle. 
c) Benefícios para a organização 
• Mais condições para avaliar seu potencial humano a curto, médio e longo prazos e definir a contribuição de cada 
empregado; 
• Identificação dos empregados que necessitam de reciclagem e/ou aperfeiçoamento em determinadas áreas de 
atividade e selecionar os empregados com condições de promoção ou transferências; 
• Pode dinamizar sua política de recursos humanos, oferecendo oportunidades aos empregados (não só de 
promoções, mas principalmente de crescimento e desenvolvimento pessoal), estimulando a produtividade e 
melhorando o relacionamento humano no trabalho. 
Falhas na avaliação de desempenho 
No processo de avaliação de desempenho, dentro das organizações, existem muitas falhas.Os métodos tradicionais 
de avaliação do desempenho humano apresentam certas características ultrapassadas. Chiavenato (1999) afirma 
que, os métodos tradicionais são geralmente burocratizados, rotineiros e repetitivos. Além do mais, são autocontidos 
pelo fato de a avaliação funcionar como fim e não como meio. A avaliação do desempenho não é um fim em si 
mesma, mas um importante meio para melhorar e impulsionar o comportamento das pessoas. 
A seguir serão apresentadas algumas falhas ou erros do processo de avaliação de desempenho: 
• Padrões obscuros – É quando um escala de avaliação apresenta os aspectos e os graus de mérito muito aberto à 
interpretação, isso poderá causar avaliação injustas. 
• Erro de tendência Central – Ocorre quando o avaliador tende a evitar as pontuações máximas e mínimas, 
pontuando todos os empregados, em todos os aspectos na média. Essa situação produz avaliações distorcidas e de 
pouca utilidade. Desta forma, ele mantêm uma tendência a oferecer notas centrais para seus avaliados, fugindo do 1 
ou 10 das avaliações mais extremas. 
• Rigor ou Brandura (complacência) – Consiste em comportamento dos avaliadores que tendem a avaliar todos os 
empregados ou muito bem ou muito mal. Desta forma, um avaliador pode optar por ter um perfil mais complacente, 
enquanto o outro um perfil mais rigoroso. Este tipo de erro é prejudicial para todo o processo de avaliação, uma vez 
que adota critérios diferenciados para as avaliações. 
• Parcialidade – É a tendência de permitir que as diferenças individuais afetem a avaliação que os empregados 
recebem. 
• Efeito Halo - Consiste no fato de o avaliador estender uma avaliação positiva, conhecida como efeito de Halo, ou 
negativa, conhecida como efeito de Horn, de uma determinada pessoa. Este erro aparece em todos os itens da 
avaliação, quando o avaliador segue um mesmo raciocínio durante toda a avaliação, seja o de avaliar de forma 
positiva ou negativa. Assim, este erro acontece, muitas vezes, devido a não separação dos itens a serem avaliados, 
fazendo com que todos eles sejam analisados de forma igual, sem uma análise individual adequada. Na cabeça do 
avaliador que comete este erro, se o funcionário avaliado é bom em determinada tarefa, ele, automaticamente será 
bom em todas as outras. Ou o contrário. 
• Recenticidade - Aqui, o avaliador usa apenas sua memória recente para atribuir notas aos seus avaliados. Assim, 
ele usa apenas os acontecimentos mais recentes, sejam eles bons ou ruins, para dizer como está sendo o 
desempenho dos avaliados. Este tipo de erro é muito prejudicial para aqueles funcionários que tiveram algum tipo de 
problema de relacionamento ou desempenho nos últimos meses. Porém, é benéfico para aqueles funcionários que 
sempre possuem um bom comportamento dentro da empresa. Fato este que pode forçar alguns comportamentos 
falsos em épocas próximas às avaliações de desempenho. 
• Erro de ‘primeira impressão’ - Um erro muito comum é utilizar a primeira impressão que o funcionário deixa para 
avaliar o seu desempenho no decorrer do ano. O avaliador não utiliza os feitos atuais da pessoas para medir seu 
desempenho, utilizando apenas as primeiras impressões que teve de seu comportamento quando do início de suas 
 
 
atividades na empresa. Mas como bem sabemos, as pessoas mudam e evoluem em seu desempenho nas empresas, 
por isso, seria injustiça não levar em conta suas realizações dos últimos meses e anos na hora de avaliá-lo. 
• Erros de semelhança (auto-identificação) - Em alguns casos, os avaliadores tendem a avaliar de forma mais positiva 
aqueles colaboradores que se parecem com eles, que possuem os mesmos interesses, a mesma formação 
profissional, os mesmos gostos pessoais etc. Desta forma, a avaliação fica prejudicada por interesses outros que não 
os critérios definidos antes do início do processo de análise e avaliação de desempenho. 
• Erro de fadiga / rotina - Em empresas com muitos funcionários, onde o volume de avaliações é elevado, é normal 
que os avaliadores cheguem ao final do dia muito cansados. E após realizarem inúmeras avaliações, os critérios de 
análise dos colaboradores já começa a ser esquecido, dando lugar ao cansaço e à fadiga. Por isso, é importante que 
as avaliações não sejam feitas uma em seguida da outra, de forma contínua, a fim de evitar o cansaço e os erros de 
avaliação por causa da fadiga. 
O feedback na avaliação de desempenho 
O gerenciamento da avaliação de desempenho conta com uma ferramente muito importante que o feedback. Um 
conceito bem simples de feedback é de retroalimentação, esse termo é utilizado na eletrônica, mas, também é 
utilizado em outras áreas. Segundo Chiavenato (2000), o conceito de feedback ou retroação é um mecanismo 
segundo o qual uma parte da energia de saída de um sistema volta à entrada. 
Figura 1: Feedback-Retroação 
 
Sendo assim pode-se dizer que o feedback como um sistema que avalia os resultados do sistema através do 
processo de retroalimentação. 
QUESTÕES 
Julgue as questões a seguir e indique se as alternativas estão certas ou erradas: 
1) A opção pelo método de escolha forçada para a avaliação do desempenho profissional em uma organização 
possibilita alta probabilidade de ocorrência do efeito Halo. 
2) A ocorrência de prejulgamento e subjetividade constitui uma das desvantagens da adoção do método da 
escala gráfica para a avaliação de desempenho dos profissionais em uma organização. 
3) Considere que, em determinada organização, o coordenador de uma equipe de trabalho utilize a técnica de 
frases descritivas para avaliar o desempenho dos membros dessa equipe. Nessa situação, o referido 
coordenador está livre para escolher e avaliar, entre as frases disponibilizadas, as que sejam mais 
representativas do comportamento dos avaliados. 
4) A técnica de incidentes críticos constitui método de avaliação pautado nos fatos excepcionalmente negativos 
e excepcionalmente positivos relacionados ao desempenho do avaliado. 
5) A avaliação de desempenho bem estruturada deve ter como objetivo a apreciação sistemática do 
desempenho dos colaboradores no exercício do cargo bem como a do seu potencial de desenvolvimento. 
6) As características individuais que favorecem o desempenho no trabalho são resultantes da responsabilidade 
da pessoa no trabalho e independem da atuação da organização. 
7) Na ausência de métodos apurados para a avaliação de desempenho, a avaliação por comparação entre os 
pares é uma solução eficiente. 
GABARITO 
1E 2C 3C 4C 5C 6E 7C 
 
 
ANEXOS – MODELOS 
A seguir serão apresentados alguns modelos dos métodos de avaliação de desempenho mencionados no texto: 
ESCALA GRÁFICA 
 
 
 
 
ESCOLHA FORÇADA: 
 
INCIDENTES CRÍTICOS: 
 
 
 
1. Recursos Patrimoniais: Conceitos e objetivos 
Os recursos patrimoniais são formados por elementos imprescindíveis para que uma organização possa operar 
produzir produtos e serviços que irão atender as demandas de mercados. Para tanto, uma perfeita adequação e 
manutenção dos bens patrimoniais de uma organização é de suma importância. (POZO, 2004). 
O fato é que as organizações transacionam constantemente seus recursos patrimoniais, seja comprando, vendendo 
ou trocando-os sempre com o objetivo de otimizar os processos e proporcionar mais satisfação para os clientes 
externos e internos. Desta forma, gerenciar os recursos patrimoniais de uma empresa é atividade fundamental na 
administração empresarial. (POZO, 2004). 
1.1 Recursos Patrimoniais 
Mas o que são os recursos patrimoniais? Recursos patrimoniais são as instalações utilizadas nas operações do 
dia-a-dia da empresa, mas que são adquiridas esporadicamente. Prédios, equipamentos e veículos da empresa, por 
exemplo, podem ser classificados como recursos patrimoniais (MARTINS E ALT, 2009). São todos os bens 
necessários paraas empresas operar, criar valor e proporcionar satisfação ao cliente. Os bens patrimoniais não são 
adquiridos todos de uma só vez, mas durante a sua existência, eles podem ser classificados como equipamentos e 
máquinas, edificações, terrenos, jazidas e intangíveis, segundo mencionado em Pozo (2004): 
• Equipamentos e maquinas são as ferramentas, máquinas operatrizes, caldeiras, guindastes, pontes rolantes, 
compressoras, dispositivos, veículos, computadores, móveis etc. 
• Prédios são os galpões, escritórios, almoxarifados, garagens etc.; 
• Terrenos compreendem o local onde estão as instalações, suas áreas livres e terrenos vazios que pertençam 
à empresa; 
• Jazidas são as localizações onde a empresa tem direitos, poder ou autorização de extração de produtos 
minerais; 
• Intangíveis são os recursos que não podemos tocar, não tem corpo ou forma física; são as patentes, projetos, 
direitos autorais e marcas. 
A compra de um recurso patrimonial, em razão de sua peculiaridade e complexidade, deve ser feita mediante 
contratos que garantam todas as especificações e exigências legais e do projeto. 
A aquisição de bens patrimoniais pode ocorrer em duas etapas: 
• Primeira etapa: é quando se está iniciando o negócio, desta forma elabora-se um projeto amplo, envolvendo 
todas as necessidades iniciais da empresa e os bens são adquiridos em uma só vez ou dentro de um 
planejamento financeiro para que em determinado período a empresa tenha todos os recursos necessários 
para iniciar suas atividades. 
• Segunda etapa: é o momento em que se está ampliando ou trocando os recursos, esta troca deverá estar 
subordinada a um planejamento estratégico de médio e longo prazo e fundamentada em uma projeção de 
retorno de investimento para sua aprovação e garantia de sucesso. 
 
Pozo (2004) menciona ainda os móveis e imóveis também fazem parte dos recursos patrimoniais. Os 
móveis são aqueles que podem ser movimentados, deslocados de um lugar para outro (máquinas, veículos, 
móveis etc). Imóveis são aqueles que, se forem movidos ou deslocados de seu local perdem sua forma física. 
 
1.2 Patrimônio da Empresa 
Para a contabilidade, os recursos patrimoniais fazem parte dos ativos imobilizados, ou seja, é o conjunto 
de bens, direitos e obrigações que são colocados à sua disposição pelos sócios e/ou fornecedores. O papel 
do administrador de recursos patrimoniais é zelar pelos recursos, gerindo-os de forma a garantir sua 
utilização racionalmente para permitir que se atinjam os objetivos organizacionais de maximização dos 
resultados (lucros). 
Esse “conjunto de bens, direitos e obrigações” segundo Razzolini Filho (2012) representa os recursos que, 
bem administrado, poderá contribuir com os objetivos da organização. 
2. Controle Físico de bens patrimoniais 
A inclusão dos bens patrimoniais do ativo permanente da empresa se dá na data do seu fornecimento pelo órgão 
supridor com base na documentação prevista pelo sistema de Administração de Material e seus respectivos modelos. 
A inclusão física do bem no sistema de patrimônio será feita pelo órgão de controle de movimentação e 
compreenderá os seguintes procedimentos: 
• Registro no livro de tombamento; 
• Emissão da ficha de controle físico. 
• Identificação por número de tombamento através de plaquetas; 
• Confecção do termo de transferências de Responsabilidade de Bens Patrimoniais ao usuário. 
 
 
A inclusão contábil do bem no sistema de patrimônio será efetuada pela área da contabilidade – através de 
procedimentos previamente determinados pela empresa. 
• Classificação contábil analítica do bem; 
• Registro do custo de aquisição; 
• Data de aquisição e outros dados pertinentes. 
Para o caso de bens doados e de bens existentes e não incorporados, os dados que dizem respeito aos 
procedimentos para inclusão serão retirados do documento de doação, nota fiscal ou laudo de avaliação existentes 
ou emitidos por comissão de avaliação especialmente designada (SEVERO FILHO, 2006). 
2.1 Transferências 
Os bens patrimoniais podem ser transferidos por: 
• Remanejamento interno: é quando acontece o remanejamento do bem patrimonial dentro da empresa entre 
setores ou funcionários. 
• Remanejamento inter órgãos: é quando acontece a transferência dos bens patrimoniais entre órgãos 
diferentes da empresa. 
• Remanejamento interestadual: é quando a transferência acontece entre órgãos situados em diferentes 
unidades federativas. 
• Remanejamento contratual: é a transferência dos bens patrimoniais à terceiros, por termo de depósito ou 
contrato de comodato. 
Como se pode perceber a transferência de bens patrimoniais pode ocorrer de diversas formas, para tanto é 
necessário o preenchimento do formulário “transferência de responsabilidade de bens patrimoniais”, esse 
preenchimento só não é necessário quando o mesmo ocorre internamente, ou seja, sem alteração de local. 
3. Inventário de Bens Patrimoniais 
Para manter atualizado os registros dos bens patrimoniais, é de responsabilidade dos setores manter atualizados 
a localização dos mesmos. Para tanto serão realizados periodicamente, inventários através de verificações físicas no 
encerramento de cada exercício fiscal. A partir das diferenças observadas por meio do inventário será possível 
elaborar um relatório à administração explicando os índices encontrados. 
No final do exercício será realizado um inventário geral, onde será contado todos os itens, será feito uma 
avaliação e a consequentemente a contabilização dos Bens Patrimoniais. Nesse momento são levantados todos os 
bens patrimoniais que se encontram obsoletos, em desuso ou avariados, e de posse dessa informação o setor 
responsável por este inventário deverá informar a área de Administração de Recursos Materiais e Patrimoniais para 
que a mesma proceda à alienação. 
No levantamento do inventario anual deverá ser incluído todos os bens patrimoniais, inclusive aqueles que 
fisicamente se encontram fora da empresa, tais como: 
• Bens patrimoniais enviados para terceiros que não pertencem à empresa; 
• Bens patrimoniais em trânsito entre as filiais sendo arrolados pelo órgão de origem; 
• Bens Patrimoniais cedidos por empréstimo a outros órgãos públicos ou a terceiros. 
Deverão ainda serem incluídos no inventário, porém relacionados à parte, os bens patrimoniais que, embora se 
encontrem na empresa fisicamente eles pertencem a terceiros, como por exemplo: 
• Bens patrimoniais a serem devolvidos aos fornecedores por não terem sido aprovados na inspeção; 
• Bens patrimoniais recebidos de órgão públicos de fornecedores como demonstração. 
3.1 Emplaquetamento de Bens Patrimoniais 
Segundo Severo Filho (2006), o emplaquetamento tem a finalidade de colocar plaquetas de identificação de 
bens, buscando sempre não ferir a estética dos mesmos. 
 Critérios de fixação de Plaquetas 
A colocação de plaquetas de identificação de bens patrimoniais é da competência do órgão de patrimônio dos 
setores afins. Devem seguir os seguintes critérios: 
• Fixação na parte superior não visível; 
• Fixação na parte superior visível 
• Fixação no local mais adequado. 
3.1.2 Critérios utilizados na colocação de plaquetas: 
A fim de determinar os modos de colocação, os bens se dividem nos seguintes grupos para fixação dos registros 
de identificação: 
• Equipamento de ar, agua e ventilação: parte superior visível. 
• Equipamentos de duplicação: parte superior visível. 
• Equipamentos de escritório: parte superior não visível. 
• Equipamento foto cinematográfico: parte inferior visível ou de melhor adaptação. 
• Equipamentos de limpeza: parte superior visível. 
 
 
• Equipamento de prevenção e proteção ao fogo: parte superior visível. 
• Equipamento de processamento de dados: parte superior visível. 
• Equipamento elétrico: parte superior ou de melhor adaptação. 
• Mobiliário de escritório: parte superiorvisível. 
• Mobiliário hospitalar: parte superior visível. 
• Mobiliário residencial: parte superior visível. 
1. Alterações e baixa de bens 
Baixa de um bem patrimonial: 
A baixa de um bem patrimonial só poderá ocorrer mediante autorização da administração – em documentos 
próprios e nas seguintes condições: 
• Por doação: é quando o bem patrimonial é doado definitivamente para alguma instituição pública ou privada, 
porém que não pertença a empresa. 
• Por Alienação: é quando há constatação de inservibilidade. Quando ocorre a decisão por vender o bem, a 
alienação será processada de forma análoga às decisões de compras previstas na norma de contratação de 
compras, serviços e obras referente a material ou observando-se as disposições legais pertinentes e também 
com base na instrução de alienação (SEVERO FILHO, 2006). 
• Por perda ou extravio: é quando algum dos setores da empresa informa o setor de patrimônio que houve 
perda ou extravio de um determinado bem. Quando isso ocorre imediatamente, á área que promove o 
controle de bens patrimoniais procederá a análise sem prejuízo da apuração da responsabilidade. 
Assim, de posse dos documentos da área contábil, o gestor de materiais patrimoniais irá proceder a baixa do bem 
patrimonial, baseando-se em dados, tais como: motivos da baixa, o favorecido e outros dados necessários para a 
realização do lançamento contábil. 
ALIENAÇÃO DE BENS 
É o ato de transferir o domínio de bens de um indivíduo ou corporação, seja por venda, por troca ou doação para 
um terceiro. Ou seja, é a transferência de qualquer item de valor econômico, como por exemplo: imóveis, moto, 
automóvel, barco, computador, filmadora e etc., que pode ser convertido em dinheiro. 
Nos exemplos mais comuns de alienação têm-se os títulos, contas a receber, estoque, equipamentos de 
escritório, imobiliária, carros e outros bens. 
Importa mencionar também a existência da alienação de bens públicos, esta ocorre quando a administração dos 
bens públicos admite unicamente sua utilização e conservação segundo a destinação natural ou legal de cada coisa, 
e em sentido amplo os bens públicos devem ser alienados quando se mostrarem inúteis ou inconvenientes ao 
domínio público. 
Para melhor compreensão, vale ressaltar que na administração pública a alienação está sujeita a certas regras, 
como veremos a seguir: 
Alienação de bens públicos: 
A alienação de bens públicos é a transferência do domínio de um bem do ente governamental para qualquer 
pessoa, física ou jurídica, e subordina-se sempre à existência de um interesse público devidamente justificado. 
Existem cinco formas de alienação de bens pelo poder público: Venda; dação em pagamento; doação, permuta, 
investidura. Quando se tratar de bens imóveis, a alienação estará sujeita a previa autorização legislativa. Já nas 
demais situações os bens, obrigatoriamente devem ser alienados pela modalidade de licitação leilão. Quanto aos 
bens de uso comum do povo e aos bens de uso especial, é vedada sua alienação, sob qualquer forma enquanto 
guardarem essa qualidade. 
1. Alienação de bens públicos - Dação em pagamento 
Ato de transferência de um bem em pagamento de um débito ou uma obrigação. Depende sempre de avaliação 
prévia e, se tratar de bem imóvel, também de autorização legislativa. A licitação é dispensada, por tornar-se inviável. 
2. Alienação de bens públicos – Doação 
Ato de transferência de um bem, mediante autorização legal e avaliação prévia (dispensada também a licitação), 
do poder público para o particular. O título gratuito ou oneroso. 
3. Alienação de bens Públicos - Investidura 
Entende-se como tal, a alienação aos proprietários de imóveis lindeiros (vizinhos), por preço nunca inferior ao da 
avaliação, de área remanescente ou resultante da obra pública, desde que se torne inaproveitável isoladamente. 
Além da avaliação, depende de autorização legislativa; desta forma a licitação, mais uma vez, é dispensada pela 
legislação. 
4. Alienação de bens públicos – Permuta 
Ocorre quando há interesse do Poder Público na realização de negócio com particular ou outra entidade pública. 
Exige que os valores dos bens envolvidos sejam compatíveis. Depende de avaliação prévia e autorização legislativa, 
porém a licitação está dispensada pela Lei 8.666, de 1993. 
5. Alienação de Bens Públicos – Venda 
Tratando-se de bem imóvel, será sempre precedida de autorização e de licitação, na modalidade de concorrência, 
conforme determina a Lei no. 8.666, de 1993. Não cumpridos esses requisitos, poderá ser decretada a nulidade da 
transação. Tratando-se de bem móvel, a mesma legislação exige que se proceda à licitação, dispensada, porém, a 
autorização legislativa. Em ambos os casos, é forçoso realizar a correspondente avaliação. 
 
 
 “No entanto, na defesa da “ordem jurídica, do regime democrático e dos interesses sociais e individuais 
indisponíveis” – seus objetivos institucionais – a atuação do MP vai muito além da postulação junto ao Poder 
Judiciário, seja como órgão agente ou como órgão interveniente. 
Apesar de ser essencial ao funcionamento da Justiça, a atuação do MP não se circunscreve ao âmbito judicial, 
atuando também extrajudicialmente. Assim, por exemplo, o MP pode expedir recomendações, visando à melhoria dos 
serviços públicos e de relevância pública (art. 6º, inciso XX, da LOMPU); tomar dos interessados termo de 
compromisso de ajustamento de sua conduta aos ditames estabelecidos na lei (art. 5º, § 6º, da LACP).” 
 
 “São princípios institucionais de todo o Ministério Público (art. 127, § 1º, da CF), repetidos no art. 4º, da 
LOMPU: 
(a) a unidade. Apesar de o MP ser uma instituição nacional, a própria Constituição Federal cria vários “ramos”, 
exercendo, cada um deles, parcela de atribuições próprias. A unidade existe, assim, apenas em relação a cada um 
dos ramos do MP e implica em reconhecer que os seus respectivos membros integram um único órgão, com chefia 
também única; 
(b) a indivisibilidade. Como decorrência do princípio anterior, aponta para a possibilidade de, dentro de um 
mesmo ramo, um membro poder substituir outro no desempenho das funções institucionais, sejam estas judiciais ou 
extrajudiciais, sem qualquer prejuízo. Isto se dá diante da impessoal atuação de cada membro, que não o faz em 
nome próprio, mas em nome do ramo a que pertence; 
(c) a independência funcional, a qual possui dois aspectos. Primeiramente, ela informa que a instituição do 
Ministério Público (MP) não se subordina ou submete a quaisquer outros órgãos ou Poderes do Estado. Sob outro 
aspecto informa que entre os seus membros e órgãos não existe subordinação no desempenho das funções 
institucionais, havendo, desta forma, autonomia de convicção. A hierarquia existente internamente no MP diz 
respeito, unicamente, ao aspecto administrativo, não funcional.” 
 O Procurador-Geral da República: requisitos para a investidura e procedimento de destituição. 
O MPU tem por chefe o Procurador-Geral da República (PGR), nomeado pelo Presidente da República dentre 
integrantes da carreira, maiores de 35 (trinta e cinco) anos, após a aprovação de seu nome pela maioria absoluta dos 
membros do Senado Federal, para mandato de 2 (dois) anos, permitida a recondução, precedida de nova decisão do 
Senado Federal (art. 25, da LOMPU). 
Atente ao fato de que o PGR pode ser reconduzido mais de uma vez, desde que, para cada recondução haja nova 
decisão do Senado Federal. 
A exoneração (destituição), de ofício, do PGR, antes do término do seu mandato, por iniciativa do Presidente da 
República, também deverá ser precedida de autorização da maioria absoluta do Senado Federal, em votação secreta 
(art. 25, parágrafo único, LOMPU). 
Já sabemos que o princípio da unidade envolve especificadamente cada um dos ramos do Ministério Público e 
não a instituição como um todo. Neste sentido, o art. 32,da LOMPU dispõe que as carreiras dos diferentes ramos do 
MPU são independentes entre si, tendo cada uma delas organização própria. 
Assim, cada um dos ramos do MPU possui, também, um Procurador-Geral próprio. 
O Procurador-Geral da República é o chefe de todo o MPU e também exerce a chefia funcional de um dos seus 
ramos, o Ministério Público Federal (MPF), conforme estabelece o art. 45, da LOMPU. 
 
 
	nome das materias gambis
	gambis.pdf
	2.3 Métodos de Arquivamento
	AVALIAÇÃO DE DESEMPENHO
	Objetivos
	Responsabilidades do gerenciamento de desempenho
	Os métodos de avaliação e suas principais características