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Cálculo 
Numérico
Cálculo Numérico
Professor: Leonardo Dagnino Chiwiacowsky – PPGEP/UCS
E-mail: ldchiwiacowsky@ucs.br
Solução de Equações Não-Lineares
• O problema de determinar a solução de uma equação, rotineiramente 
aparece em diversas áreas da ciência e engenharia;
• Uma equação de uma única variável pode ser escrita na forma f(x) = 0;
• A solução dessa equação, chamada raiz ou zero, é um valor numérico de x*
que satisfaz à equação;
• Graficamente, a solução é o ponto onde a função f(x) cruza ou toca o eixo 
horizontal;
Solução de Equações Não-Lineares
Exemplo: Verifique que
a) x1 = 1 é zero de f(x) = x3 – x2,
b) x2 = 1,465571231876768 é zero de g(x) = x3 – x2 – 1
c) x3 = 0,588532743981861 é zero de h(x) = e–x – sen(x)
Solução de Equações Não-Lineares
Exemplo: Verifique que
a) x1 = 1 é zero de f(x) = x3 – x2,
f(x1) = 13 – 12 = 1 – 1 = 0
b) x2 = 1,465571231876768 é zero de g(x) = x3 – x2 – 1
g(x2) = -4.4409e-16
c) x3 = 0,588532743981861 é zero de h(x) = e–x – sen(x)
h(x3) = 1.1102e-16
Solução de Equações Não-Lineares
• Uma equação pode não ter solução real ou ter uma ou várias raízes;
• Quando a equação é simples, o valor de x* pode ser determinado 
analiticamente, entretanto em muitas situações tal tarefa é impossível de 
ser realizada, sendo necessário o uso de técnicas numéricas para a 
determinação da raiz;
Solução de Equações Não-Lineares
• Em geral, a aplicação de técnicas numéricas para solução de equações 
não-lineares pode ser dividida em duas fases distintas:
– Fase I: localização ou isolamento das raízes, que consiste em obter um 
intervalo que contém a raiz;
– Fase II: refinamento, que consiste em, escolhida a aproximação inicial 
pertencente ao intervalo encontrado na Fase I, melhorá-la 
sucessivamente até ser obtida uma aproximação para a raiz dentro de 
uma precisão pré-fixada.
Fase I: Isolamento das Raízes
• Nesta fase, é feita uma análise teórica e gráfica da função f(x). É importante 
ressaltar que o sucesso da Fase II depende fortemente da precisão desta 
análise;
• Na análise teórica, é levado em consideração o fato de que se f(x) é uma 
função contínua em um intervalo [a, b] e se f(a)f(b) < 0, então existe pelo 
menos um ponto x = x* entre a e b que é raiz de f(x);
Fase I: Isolamento das Raízes
• Uma forma de se isolar as raízes de f(x), usando a propriedade anterior, é 
tabelar o valor da função para vários valores de x e analisar as mudanças 
de sinal. 
Exemplo: f(x) = x3 – 9x + 3
• Construindo uma tabela de valores para f(x) e considerando apenas os 
sinais, temos:
Após o cálculo de f(x),é possível visualizar apenas os sinais. Para tanto, deve-
se efetuar uma alteração de formato. Execute o comando “format +“
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
f(x)
Fase I: Isolamento das Raízes
• Uma forma de se isolar as raízes de f(x), usando a propriedade anterior, é 
tabelar o valor da função para vários valores de x e analisar as mudanças 
de sinal. 
Exemplo: f(x) = x3 – 9x + 3
• Construindo uma tabela de valores para f(x) e considerando apenas os 
sinais, temos:
Após o cálculo de f(x),é possível visualizar apenas os sinais. Para tanto, deve-
se efetuar uma alteração de formato. Execute o comando “format +“
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
f(x) - - + + + + - - + + +
Fase I: Isolamento das Raízes
Exemplo: f(x) = x3 – 9x + 3
Sabendo que f(x) é contínua para qualquer x real e observando as variações 
de sinal, podemos concluir que cada um dos intervalos I1=[-5, -3], I2=[0, 1] e 
I3=[2, 3] contém pelo menos uma raiz de f(x).
Como f(x) é um polinômio de grau 3, podemos afirmar que cada intervalo 
contém um único zero.
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
f(x) - - + + + + - - + + +
Fase I: Isolamento das Raízes
• Outra estratégia, utilizada na determinação do intervalo de localização das 
raízes de uma função, é o emprego da análise gráfica;
• Conhecendo o gráfico de uma função f(x), os intervalos de localização de 
suas raízes podem ser determinados por inspeção visual;
• O Matlab é uma ferramenta que permite a realização desta tarefa de forma 
simples, por meio dos comandos para construção de gráficos já conhecidos:
– plot
– fplot
– ezplot
Fase I: Isolamento das Raízes
Exercício: Identifique, graficamente, o intervalo de localização das raízes das 
funções abaixo. Com base no intervalo identificado assuma uma aproximação 
inicial para a raiz da função:
a) f(x) = x3 – 9x + 3
b) f(x) = x1/2 – 5e–x
c) f(x) = 8 – 4,5[x – sen(x)]
d) f(x) = 1 + ln(x)
e) f(x) = x/2 + x4 – 1
Fase II: Refinamento
• Existem diferentes técnicas utilizadas para o refinamento da busca pela raiz 
de uma equação não-linear;
• Em geral, estes métodos pertencem à classe dos métodos iterativos 
(repetitivos);
• Um método iterativo consiste em uma sequência de instruções que são 
executadas passo a passo, algumas das quais repetidas em ciclos;
• A execução de um ciclo recebe o nome de iteração, onde cada nova 
iteração utiliza resultados das iterações anteriores;
Fase II: Refinamento
• Observa-se que os métodos iterativos fornecem apenas uma aproximação 
para a solução exata;
• Entretanto, esta aproximação pode ser tão precisa quanto se deseja, 
bastando para isso determinar o número de iterações (ciclos) a serem 
efetuados;
• O número de iterações a serem executadas é determinado de acordo com o 
critério de parada adotado;
• O critério de parada normalmente está baseado no cálculo do erro de 
estimação baseado na diferença relativa.
Método da Bissecção
• A ideia aplicada no método da bissecção baseia-se no Teorema de Anulamento
Seja f uma função contínua em um intervalo [a, b], tal que f(a) e f(b) tenham sinais 
contrários. Então existe (pelo menos) um x  (a, b) tal que f(x) = 0.
Objetivo desse método é reduzir a amplitude do 
intervalo que contém a raiz até se atingir a 
precisão requerida usando, para isso, a 
sucessiva divisão de [a, b] ao meio.
Método da Bissecção - Algoritmo
Passo 1: Definir um intervalo inicial de busca [a1, b1], tal que f(a1) e f(b1) tenham 
sinais contrários;
Passo 2: Na iteração k, dividir o intervalo [ak, bk] em dois subintervalos [ak, xk] e 
[xk, bk], sendo
o ponto médio entre ak e bk.
Passo 3: Decidir qual subintervalo contém o zero de f e renomear xk de modo a 
obter um novo intervalo [ak+1, bk+1] tal que f(ak+1) e f(bk+1) tenham sinais 
contrários.
Passo 4: Repetir os passos 2 e 3 até atingir a precisão desejada.
Critérios de Parada
• Usualmente são utilizados os seguintes critérios de parada:
• O critério 1 estabelece uma estimativa para o erro relativo;
• O critério 2 fornece a magnitude do resíduo da função, isto é, a diferença entre 
f(x) = 0 e f(xk);
• O critério 3 estabelece um número máximo de iterações.
Método da Bissecção
• O algoritmo ZEROBISSEÇÃO sistematiza o Método da Bissecção utilizando os 
critérios de parada 1 e 3.
Método da Bissecção
Exemplos:
1) Calcule o zero positivo da função f(x) = x2 - 3, com tol = 0,01 para o erro 
relativo.
Método da Bissecção
Exemplos:
1) Calcule o zero positivo da função f(x) = x2 - 3, com tol = 0,01 para o erro 
relativo.
Fase I: identificação do intervalo que contém a raiz
Método da Bissecção
Exemplos:
1) Calcule o zero positivo da função f(x) = x2 - 3, com tol = 0,01 para o erro 
relativo.
Fase I: identificação do intervalo que contém a raiz
No Matlab, efetuar a definição da função anônima e a construção do gráfico 
correspondente:
Método da Bissecção
Exemplos:
1) Calcule o zero positivo da função f(x) = x2 - 3, com tol = 0,01 para o erro 
relativo.
Fase I: identificação do intervalo que contém a raiz
No Matlab, efetuar a definição da função anônima e a construção do gráfico 
correspondente:
>> f=@(x) x^2 – 3
>> ezplot(f)
>> grid
Método da Bissecção
Exemplos:
1) Calcule o zero positivo da função f(x) = x2 - 3, com tol = 0,01 para o erro 
relativo.
Fase I: identificação do intervalo que contém a raiz
No Matlab, efetuar a definição da função anônima e a construção do gráfico 
correspondente:
>>f=@(x) x^2 – 3
>> ezplot(f)
>> grid
Fase II: refinamento pelo Método da Bissecção
Método da Bissecção
Exemplos:
1) Calcule o zero positivo da função f(x) = x2 - 3, com tol = 0,01 para o erro 
relativo.
Fase II: refinamento pelo Método da Bissecção
Preenchimento da tabela
k ak bk xk ERk
Método da Bissecção
Exemplos:
1) Calcule o zero positivo da função f(x) = x2 - 3, com tol = 0,01 para o erro 
relativo.
Fase II: refinamento pelo Método da Bissecção
Preenchimento da tabela
k ak bk xk ERk
1 1 2 1.5 
2 1.5 2 1.75 0.142857
3 1.5 1.75 1.625 0.076923
4 1.625 1.75 1.6875 0.037037
5 1.6875 1.75 1.71875 0.018181
6 1.71875 1.75 1.734375 0.009009
Método da Bissecção
Exemplos:
2) Determine as três raízes do função f(x) = x3 – 9x + 3 com tolerância para o erro 
relativo de 10-8.
3) Calcule a raiz real da equação x3 – 131x + 1 = 0 no intervalo [-12,-11], com 
tol = 0,007 para o resíduo da função.
4) Determine o maior zero do polinômio definido pela expressão p(x) = x6 – x – 1, 
com pelo menos 3 DSE. Use format long.
Método da Bissecção - Convergência
• Quanto à convergência do Método da Bissecção, podemos observar que as 
condições necessárias para que o método funcione são mínimas: f deve ser 
contínua e trocar de sinal em um intervalo [a, b] inicial (Teorema do 
Anulamento);
• Assumidas essas condições, o processo é seguramente convergente;
• Observa-se também, que, como, em média, ERk  (ERk-1)/2, o método possui 
convergência linear;
• São necessárias aproximadamente 3,3 iterações para cada DSE adicional;
• Essa convergência é considerada lenta.
Método da Bissecção
Exercícios:
1) Determine o único zero da função 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 5𝑒−𝑥, com tolerância tol = 0,01 
para o erro relativo.
2) Encontre o zero da função f(x) = x2 + ln(x) no intervalo [0, 1] tol = 0,005.
3) Pontos críticos de uma função são aqueles em que ocorrem os máximos ou 
mínimos da função. Um ponto crítico de uma função é um número “c” no 
domínio de f onde f ’(c) = 0 ou f ’(c) não existe.
Encontre os pontos críticos da função f(x) = x2/2 + x[ln(x)-1] com o auxílio do 
Método da Bissecção.
Método da Bissecção
Exercícios:
4) O montante acumulado de uma conta de poupança baseada em depósitos 
regulares periódicos pode ser determinado a partir da equação de anuidades 
devidas: 
𝐴 =
𝑃
𝑖
1 + 𝑖 𝑛 − 1
Nesta equação, A é o montante da conta, P é o valor regularmente depositado 
e i é a taxa de juros por período para os n períodos em que os depósitos foram 
efetuados. 
Um engenheiro gostaria de ter em sua conta um total de R$750.000,00 para 
efetuar retiradas após 10 anos e poder dispor de R$1.500,00 por mês para 
atingir essa meta.
Método da Bissecção
Exercícios:
4) Qual a taxa de juros mínima a que esse valor deve ser investido, assumindo 
que o período de capitalização é mensal?
Para a resolução desse exercício pede-se:
a) A identificação do intervalo que contém a raiz da função.
b) A raiz com tolerância de 1e-5 (10-5) para o resíduo da função, bem como o 
erro relativo e o número de interações necessários para o método da 
Bissecção atingir o critério de parada.
Método da Bissecção
Exercícios:
5) Duas escadas, uma de 20 m e outra de 30 m, apoiam-se em edifícios frontais a 
uma avenida, conforme ilustrado na figura. 
Se o ponto no qual as escadas se cruzam 
está a 8 m de altura do solo, determinar a 
largura da avenida. 
Gruenberger e Jeffrey, em Problems for 
Computer Solution (New York: Wiley, 
1964), mostraram que este problema pode 
ser formulado pela seguinte equação:
𝑦4 − 16𝑦3 + 500𝑦2 − 8000𝑦 + 32000 = 0
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑙 𝑥 = 400 − 𝑦2
Método da Bissecção
Exercícios:
5) Com base na situação descrita anteriormente:
a) Encontre o intervalo em que a raiz da equação em y se encontra.
b) Encontre uma estimativa para a raiz da equação em y pelo método da 
Bissecção com tolerância de 1e-5 para o erro relativo.
c) Qual é a largura da avenida?
Método de Newton-Raphson
• Também chamado de Método de Newton, é um método utilizado para a 
obtenção de raízes de funções contínuas e diferenciáveis;
• Ele pode ser deduzido da sua interpretação geométrica:
Dado um ponto (xk, f(xk)), a 
aproximação seguinte é 
determinada a partir da reta 
tangente passando por este 
ponto.
Método de Newton-Raphson
• Sabendo que a expansão em série de Taylor de f(x) em torno de xk é dada por:
• Se xk+1 é uma solução da equação f(x) = 0 e xk é um ponto próximo a este 
ponto, então:
Método de Newton-Raphson
• Considerando apenas os dois primeiros termos da série, temos:
• Resolvendo a equação anterior para x* temos:
• Esta expressão pode ser generalizada para que a próxima solução xk+1 seja 
obtida a partir da solução atual xk:
Critérios de Parada
• Os critérios de parada são os mesmos que vêm sendo empregados:
– Erro relativo;
– Resíduo da função;
– Número máximo de iterações;
– Número de DSE.
Método de Newton-Raphson
• O algoritmo ZERONEWTON 
sistematiza o Método de 
Newton-Raphson utilizando 
os critérios de parada ER e 
kmax.
Método de Newton-Raphson
Exemplos:
1) Calcular a raiz real de x3 – x – 1 = 0 com tol = 10-4 para o resíduo da função.
Método de Newton-Raphson
Exemplos:
1) Calcular a raiz real de x3 – x – 1 = 0 com tol = 10-4 para o resíduo da função.
Fase I: identificação do intervalo que contém a raiz e determinação de uma 
aproximação inicial;
Método de Newton-Raphson
Exemplos:
1) Calcular a raiz real de x3 – x – 1 = 0 com tol = 10-4 para o resíduo da função.
Fase I: identificação do intervalo que contém a raiz e determinação de uma 
aproximação inicial;
No Matlab, efetuar a definição da função anônima e a construção do gráfico 
correspondente:
>> f=@(x) x^3 – x – 1 
>> ezplot(f)
>> grid
Método de Newton-Raphson
Exemplos:
1) Calcular a raiz real de x3 – x – 1 = 0 com tol = 10-4 para o resíduo da função.
Fase I: identificação do intervalo que contém a raiz e determinação de uma 
aproximação inicial;
No Matlab, efetuar a definição da função anônima e a construção do gráfico 
correspondente:
>> f=@(x) x^3 – x – 1 
>> ezplot(f)
>> grid
Fase II: refinamento pelo Método de Newton-Raphson
Método de Newton-Raphson
Exemplos:
1) Calcular a raiz real de x3 – x – 1 = 0 com tol = 10-4 para o resíduo da função.
Fase II: refinamento pelo Método de Newton-Raphson
Preenchimento da tabela:
k xk |f(xk)|
Método de Newton-Raphson
Exemplos:
1) Calcular a raiz real de x3 – x – 1 = 0 com tol = 10-4 para o resíduo da função.
Fase II: refinamento pelo Método de Newton-Raphson
Preenchimento da tabela:
k xk |f(xk)|
1 1.0 1.0
2 1.5 8.75e-1
3 1.34782609 1.00682173e-01
4 1.32520040 2.05836192e-03
5 1.32471817 9.24377760e-07
Método de Newton-Raphson
Exemplos:
2) Determine, pelo método de Newton-Raphson, as quatro primeiras 
aproximações da menor raiz de f(x) = xe-x - 0,2. Calcule o ER e o número de 
DSE para a última aproximação. Apresente os cálculos com seis algarismos 
significativos.
3) Calcule a menor raiz positiva da equação 4cos(x) – sen(x) = 0 com erro relativo 
inferior a 0,01. Apresente as expressões utilizadas para obtenção da última 
aproximação e do respectivo erro relativo.
4) Determine, pelo método de Newton-Raphson, uma aproximação para a raiz de 
f(x) = ln(x) – sen(x), tal que |f(xk)| < 10
-3. Apresente a expressão utilizada para a 
obtenção da última aproximação e forneça o número de DSE. Apresente os 
cálculos com seis algarismos significativos.
Método de Newton-Raphson - Convergência
• É possível observar que, em geral, o método de Newton-Raphson é mais rápido 
que o método da bissecção;
• Quando xk  x
*, temos ERk  (ERk-1)
2, isto é, temos uma taxa de convergência 
quadrática;
• Isto significa que a quantidade de DSE dobra a cada iteração;
• Entretanto, o método nem sempre converge, tipicamente quando o valor de f ’(x)
é próximo de zero na vizinhança da solução;
• A não convergência, usualmente, acontece devido ao ponto de partida (Fase I) 
não estar suficientemente próximoda solução.
Método de Newton-Raphson - Convergência
• As situações em que o método de Newton-Raphson não converge são ilustradas 
abaixo:
Método de Newton-Raphson
Exercícios:
2) Usando os métodos da Bissecção e de Newton-Raphson, determine as raízes 
reais das equações no caso de o número de raízes ser finito. No caso de a 
função possuir infinitas raízes reais, determine a menor raiz positiva. Preencha 
a tabela abaixo utilizando tol=1e-6 para o erro relativo.
a) x3 – x2 + 1 = 0
b) 2e-x – sen(x) = 0
c) (ex + x)/4 – cos(x) = 0
d) xln(x) – 0,8 = 0
Bissecção Newton-Raphson
Intervalo que 
contém a raiz
Raiz obtida
Número de 
iterações
Resíduo da Função
Método de Newton-Raphson
Exercícios:
3) O deslocamento horizontal da estrutura de um prédio é definido pela seguinte 
equação de amortecimento: y(t) = 10e-kt cos(wt) onde k = 0,5 e w = 2. Determine 
o tempo necessário para que o deslocamento horizontal chegue a y(t) = 4.
4) A equação de Kepler, usada para determinar órbitas de satélites, é dada por: 
M = x – E sen(x). Dado que E = 0,2 e M = 0,5, obtenha a solução da equação de 
Kepler usando o método de Newton-Raphson.
5) A concentração de bactérias em um lago é dada pela seguinte expressão: 
c = 70e-1,5t + 25e-0,075t onde c0 é a concentração no instante inicial (t=0). 
Determine o tempo no qual a concentração c é igual a 0,7c0 com uma precisão 
de 10-3. Utilize o método de Newton-Raphson.