Capitulo 3_aluno

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38 
 
 333 
 
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES NÃO-LINEARES 
 
3.1 – Introdução 
Conhecida uma função não linear, ( )xfy = , procuremos obter valores 
*x para os quais tem-se ( ) 0* == xfy . Conforme a representação 
gráfica apresentada na Fig. 3.1, estamos procurando os pontos onde 
( )xf intercepta o eixo x . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.1 – Raízes da equação ( ) 0=xf . 
 
 Em muitos casos soluções explícitas para 
 
( ) 0== xfy (3.1) 
 
não podem ser obtidas. Lançamos mão, então, de procedimentos 
numéricos iterativos, onde a partir de estimativas iniciais, novas 
estimativas são construídas, buscando a convergência para a solução. 
As estimativas iniciais podem estar baseadas no contexto em que o 
problema aparece, ou seja, podem ser escolhidas a partir de algum 
argumento físico, ou podem simplesmente ser obtidas a partir de uma 
representação gráfica aproximada para ( ) 0== xfy . 
 
 
 
 
 
 
 
3.2 – Isolamento 
 de Raízes e erros 
 
 CAPÍTULO 
)(xfy =
1x 2x 3x
x
 
 
 0 
• SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES NÃO - LINEARES • 
 39 
Erro relativo e absoluto 
 
 Erro Absoluto: é a diferença entre o valor exato de um número e o seu valor 
aproximado. 
 
1k k
absoluto
E x x+= − (3.1a) 
 
Erro Relativo que é o quociente entre o erro absoluto e o valor aproximado. 
 
1k k
relativo k
x x
E
x
+ −
= (3.1b) 
 
Geralmente é conveniente analisar uma função antes de tentar encontrar 
suas raízes (zero de função). O isolamento de raízes é útil principalmente 
quando usamos métodos numéricos, pois estes necessitam conhecer o intervalo 
onde a raiz procurada se encontra ou uma estimativa inicial próxima a essa raiz. 
Uma das alternativas é utilizar o método de Bolzano que basicamente consiste 
em obter um intervalo do domínio de uma função que contém a raiz via análise 
do sinal da função. 
Antes mesmo de iniciar com qualquer que seja o cálculo vamos responder 
ler o problema e criar formas possíveis de resolvê-lo. 
 
 
Exemplo: A captação de energia solar através da focagem de um campo plano 
de espelhos numa central de coleta foi estudada por Vant-Hull (1976). A 
equação para a concentração geométrica do fator C é dada por: 
( )( )
( ))cos(5,0)(15,0
cos/
2
2
AAsenD
FAh
C
−+
=
π
π
 
 
Em que A é o ângulo do campo, F é a cobertura da fração do campo com 
espelhos, D é o diâmetro do coletor e h é o comprimento do coletor. 
Considerando 300=h , 8,0=F e 14=D , calcule o ângulo positivo A inferior 
a 
25
π
para o qual a concentração do fator C é 1200. Utilize o método iterativo 
mais adequado e considere no critério de parada 310ε −= ou no máximo 3 
iterações. Organizando a equação resulta: 
Obs: será fácil usar de um método que usa de derivadas? 
 
 
( )
( )( )
( )
2
2
300 / cos 0,8
0 1200
0,5 14 1 ( ) 0,5cos( )
x
f x
sen x x
π
π
= = −
+ −
 
 
 
• SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES NÃO - LINEARES • 
 40 
 
Teorema de Bolzano 
 
Se uma função contínua ( )xf assume valores de sinais opostos nos pontos 
extremos do intervalo [ ]ba, , isto é ( ) ( ) 0.chamada de isolamento de 
raízes, que veremos na seção seguinte. 
 
 
Refinamento: 
 
Um método iterativo consiste em uma sequência de instruções que são 
executadas passo a passo, algumas das quais são repetidas em ciclos. 
A excussão de um ciclo recebe o nome de iteração. Cada iteração utiliza 
resultados das iterações anteriores e efetua determinados testes que permitem 
verificar se foi atingido um resultado próximo suficiente do resultado esperado. 
 
• SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES NÃO - LINEARES • 
 43 
 
 
Figura 3.3 – Representação esquemática de um processo iterativo. 
 
3.3 – Método da 
 Bisseção 
 
 
É apresentado a seguir o Teorema de Bolzano, que estabelece a base para a 
construção do método da bisseção: 
 
 Seja ( )xf contínua no intervalo fechado [ ]ba, e l é um número real tal 
que ( ) ( )bflaf + kk xfxf ; (iii) pare quando o sinal de ( )1+kxf for diferente do sinal de 
( )axf = ; (iv) faça 1+= kxb . Conforme estabelecido pelo Teorema de Bolzano, há 
ao menos uma raiz no intervalo [ ]ba, . Este procedimento para a escolha do 
intervalo [ ]ba, pode ser melhorado simplesmente fazendo kxa = entre os passos 
(ii) e (iii) desde que o sinal de ( )1+kxf seja igual ao sinal de )( kxf . 
O intervalo de busca será menor desta forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.4 – Representação esquemática para o teorema usado como base para o método 
de bisseção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
N
a 
Fig. 3.5 o algoritmo é representado graficamente. Observe como 
,,2 ,1 com , …=kck converge para a solução *
x . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a 
Vamos agora ao algoritmo para o método da bisseção: 
 
1) Defina o intervalo de busca [ ]kk ba , , inicialmente com 0=k ; 
2) Calcule ;
2
kk
k
ba
c
+
= 
3) Se ε≤− kk cb e ( ) ε≤kcf , onde ε é um número pequeno 
estabelecido a priori, faça solução = kc , e saia do algoritmo; 
4) Se ( ) ( ) 0>xfb
0x
 0 
( )y f x=
x
ε≈)( 0xf
*
x 0x
0)(')( ≈xfa
• SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES NÃO - LINEARES • 
 47 
[ ]
[ ] [ ]
0
0
1
1
2
1
0 0 0 0
0 01
0 0 0 0
1 1 0 02
0 0 0 0
3
0 0
1
0 , / 2
2 2
1 , / 2 , / 4
2 4 2
2
2 8 2
2 2
n
n
c
c
c
c
c
c
c n
b a b a
k a b
b a b a
k a b a b
b a b a
k
b a
k n −
+
− −
= → ∆ = = →
∆ − −
= → ∆ = = = → →
∆ − −
= → ∆ = = =
∆ −
= → ∆ = =
⋮
 (3.5) 
 
Das Eqs. (3.5) e (3.4) conclui-se que: 
 
( )
1
*
0 0
1
, 0, 1, 2,
2
k
kc x b a k
+
 − ≤ − = 
 
… (1.6) 
 
Podemos observar que o erro absoluto máximo será sempre metade do 
intervalo em questão. Por exemplo, sendo *
c o valor exato do zero da função, o 
erro na primeira interação será o representado na equação 3.6 e a cada iteração 
este erro aproximado será dividido para a metade do anterior: 
 
21
k
k
ε
ε =+ (3.7) 
 
Portanto, dizemos que o método da bisseção tem convergência linear. 
Podemos também utilizar a equação do erro absoluto para calcular o número de 
iterações necessário para atingir o erro desejado ε . 
 






=
ε
ε 0
2logn (3.8) 
 
 onde 0ε é o tamanho inicial do intervalo, ou seja, 0 0 0b aε = − .As vantagens do 
método da bisseção são: 
 
(i) Facilidade de programação. Observar que não é necessário armazenar 
todos os kkk cba e , , , para todas as iterações …,2 ,1=k . Basta manter os valores 
para a iteração que está sendo calculada. 
(ii) A convergência do método é garantida, desde que o primeiro passo do 
algoritmo, definição do intervalo de busca [ ]00, ba , seja feito adequadamente. 
A principal desvantagem do método é a convergência linear, ou seja, a 
convergência é relativamente lenta, quando comparada, por exemplo, com o 
método de Newton. 
 
 
 
 
 
 
 
• SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES NÃO - LINEARES • 
 48 
Demonstração: Estimativa do número de iterações 
 
1 1 0 0 0 0 0 0
0
2 2 0 2 2
2
2 2 2
.log (2) log ( ) log ( ) log
kk k
k k k k
b a b a b a b a
b a
k k
ε
ε
ε
ε ε
ε
− −− − − −
− = = ⇒ ⇒
 > − ⇒ ≥  
 
 
Assim: 0
2logk
ε
ε
 ≥  
 
, onde k é o número de iterações. 
 
 
 
3.4 – Método de 
Newton Raphson 
 
 
 O método de Newton nem sempre é o melhor método, pois é necessário 
que a estimativa inicial esteja dentro de um intervalo de convergência. Porém, a 
sua simplicidade e ordem de convergência quadrática faz com que seja o 
primeiro método a ser tentado. 
 A geometria por trás do método de Newton Raphson está mostrada na 
figura 3.9, onde a raiz que tentamos encontrar é chamada *
x . Começamos com 
uma primeira aproximação 0x , que é obtida por conjectura, ou de um esboço da 
função, ou até mesmo um gráfico gerado por computador. Considere a reta 
tangente L à curva )(xfy = no ponto ))(,( 00 xfx . A intersecção da reta 
tangente L com eixo x , vamos denomina-lo 1x . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.9 – Representação gráfica do método de newton. 
 
x
y
0x1x*x
 
0
)(xfy =
))(,( 00 xfx
L
• SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES NÃO - LINEARES • 
 49 
Para encontrarmos uma fórmula para 1x usamos o fato de que a 
inclinação da reta tangente L é )(' xf . Assim a equação da reta tangente é: 
 
( ) ( )( )000 xxxfxfy −′=− (3.8) 
 
Uma vez que onde a reta tangente intercepta o eixo x quando 0=y . 
 
( ) ( )( )01000 xxxfxf −′=− (3.9) 
 
Se ( ) 00 ≠′ xf , podemos resolver essa equação para 1x : 
 
( )
( )0
0
01
xf
xf
xx
′
−= (3.10) 
 
 
 A seguir repetiremos o procedimento com 0x , substituído por 1x , 
usando a reta tangente em ( ))(,11 xfx . Isso dá uma terceira aproximação: 
 
( )
( )1
1
12
xf
xf
xx
′
−= (3.11) 
 
Repetindo o processo iterativamente chegaremos a uma aproximação 
para a raiz da função estudada. Uma generalização para o método das tangentes 
(Newton Raphson) é descrita pela equação 3.12 que descreve o procedimento 
para o cálculo das novas estimativas a cada iteração k e será aqui repetida 
usando uma contagem a partir de zero, ou seja 
 
( )
( )
… ,2 ,1 ,0 ,1 =
′
−=+ k
xf
xf
xx
k
k
kk (3.12) 
Vamos agora ao algoritmo para o método de Newton: 
 
1) Escolha uma estimativa inicial 0x ; 
2) Faça o contador de iterações 1=k ; 
3) Se ( ) εk número máximo de 
iterações informe a mensagem de erro E2 (não convergiu) e 
interrompa o algoritmo. 
• SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES NÃO - LINEARES • 
 50 
 
Exemplo 5: Use o método de Newton para fazer uma estimativa da raiz de 
( ) xexf
x −= − , utilizando uma aproximação inicial 0 0 0,0001x e ε= . Observe 
o gráfico. 
 
 
 
 
( )
( )
( )
' ''
1 '
1
( ) ( ) 1
Pr 
1
k
x x x
k k
x
k
k k x
f x e x f x e f x e
ocesso iterativo
f x
x x
f x
e x
x x
e
− − −
+
−
+ −
= − → = − − → =
= −
 −
= −  − − 
 
 
 
Uma dedução alternativa para o método de Newton Raphson pode ser 
obtida fazendo uma expansão de Taylor em torno do ponto kk xxx ∆+= . 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3
2
2 kk
k
kkkkk xxf
xx
xfxxxfxxfxf ∆+′′−
+′−+=∆+= O (3.13) 
 
Truncando-se a série depois do termo da primeira derivada: 
 
( ) ( ) ( ) ( )kkkkk xfxxxfxxf ′−+≅∆+ (3.14) 
 
 Na intersecção com o eixo x , )( 1+kxf deveria ser igual a zero, ou 
 
( ) ( ) ( )kkkk xfxxxf ′−+= +10 (3.15) 
 
Que pode ser reescrita: 
 
( )
( )
… ,2 ,1 ,0 ,1 =
′
−=+ k
xf
xf
xx
k
k
kk (3.16) 
• SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES NÃO - LINEARES • 
 51 
 
 A Eq. (3.16) é idêntica à equação 3.12. Portanto deduzimos a fórmula de 
Newton utilizando a série de Taylor. 
 Além da dedução, a série de Taylor também pode ser usada para fazer 
uma estimativa do erro da fórmula, o que se consegue percebendo que, se a série 
de Taylor completa fosse usada, seria obtido um resultado exato ( )0=∆ kx . 
Nessa situação, a Eq. (3.13) é reescrita como: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ξf
xx
xfxxxfxf k
kkk
′′
−
+′−+=
2
2
 (3.17) 
 
 Nessa situação *
xx = , onde *
x é o valor verdadeiro da raiz ( )( )0* =xf , 
ou seja, 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )k
k
kkk f
xx
xfxxxf ξ′′
−
+′−+=
2
0
2*
* (3.18) 
 
com kξ entre kx e *x . 
 
 Da Eq. (3.18) obtém-se 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )k
k
kkk f
xx
xfxfxx ξ′′
−
−−=′−
2
2*
* (3.19) 
 
 Logo, 
 
( )
( )
( ) ( )
( )k
kk
k
k
k
xf
fxx
xf
xf
xx
′
′′−
−
′
−=
ξ
2
2*
* (3.20) 
 
 Combinando as Eqs. (3.16) e (3.20), 
 
( ) ( )
( )k
kk
k
xf
fxx
xx
′
′′−
−=− +
ξ
2
2*
1
* (3.21) 
 
 Agora perceba que o erro é igual a discrepância entre 1+kx e o valor 
verdadeiro *
x , como em 
 
 *
, 1 1, 0,1,2....t k kE x x k+ += − = 
 
Se supusermos a convergência, ambos kξ entre kx deveriam ser 
aproximados pela raiz *
x e a equação pode ser reescrita para fornecer: 
 
( )
( )k
kkt
kt
xf
fE
E
′
′′
−=+
ξ
2
2
,
1, (3.22) 
 
• SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES NÃO - LINEARES • 
 52 
De acordo com a equação 3.22 o erro é aproximadamente proporcional 
ao quadrado do erro anterior. Isso significa que o número de casas decimais 
corretas aproximadamente dobra a cada iteração. Tal comportamento é chamado 
de convergência quadrática. 
 
 
 
 
 
Problemas de convergência do método: 
 
O gráfico seguinte mostra um caso em que o método não converge. Note-
se que entre 0x e 1x existe um ponto de inflexão da função )(xf e que em 1x a 
derivada )(' 0xf é próxima de zero. 
 
Figura 3.10 – Representação gráfica do método de newton. 
 
Pela figura acima se vê que traçando a tangente a partir do ponto ( )0 0,A x f x   
pode-se encontrar um ponto [ ]1 ,x a b∉ e o método de Newton pode não convergir. Por 
outro lado, escolhendo-se 0b x= o processo convergirá. 
As condições suficientes de convergência podem ser estabelecidas com 
mais rigor: 
- Seja [ ]ba, , um intervalo que contém uma só raiz da equação 0)( =xf . 
A sucessão de valores kx gerados pelo método de Newton-Raphson é monótona 
e limitada pela raiz 0x (e, portanto convergente) se: 
1. 0)(' ≠xf , [ ]bax ,∈∀ , terá divisão por zero. 
2. )('' xf é de sinal constante em ] [ba, , ou seja, 0)('').('' >bfaf 
3. O valor inicial 0x for o extremo do intervalo [ ]ba, , em que 
0)('').( 00 >xfxf , isto é toma-se ax =0 ou bx =0 de modo que )( 0xf e 
tenham o mesmo sinal. 
 
• SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES NÃO - LINEARES • 
 53 
2
x 
 
 
 0 
As principais vantagens do método de Newton são: 
 
(i) facilidade de programação; 
(ii) ordem quadrática de convergência. 
 
A principal desvantagem é a falta de garantia de convergência. 
 Em alguns casos a convergência poderá ser obtida realizando uma subre-
relaxação: 
 
( )
( )
…,2 ,1 ,
1
1
1 =
′
−=
−
−
− k
xf
xf
xx
k
k
kk η (3.23) 
 
onde 10 k número máximo 
de iterações informe a mensagem de erro E1 (não convergiu) e 
interrompa o algoritmo. 
 
• SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES NÃO - LINEARES • 
 55 
(i) da Eq. (3.24) observa-se que o método necessita de duas estimativas iniciais: 
10 xx e ; (ii) o método não possui garantia de convergência, masquando ocorre 
é mais rápida do que no método da bisseção, 62,1=p , e mais lenta do que no 
método de Newton; (iii) conforme mostrado na Fig. 3.12, dependendo das 
estimativas iniciais consideradas, e da própria função ( )xf , o método pode 
apresentar um comportamento oscilatório antes de convergir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.12 – Representação gráfica do método da secante para um caso-exemplo em que 
ocorrem oscilações antes da convergência. 
 
 
Exemplo 7: Use o método da secante para fazer uma estimativa da raiz de 
( ) xexf
x −= − . Comece com as estimativas iniciais de 00 =x e 11 =x . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3.6 – Método Combinado 
 
 
 
)(xfy =
0x 1x2x3x 4x*x
)( 2xf
)( 0xf
)( 1xf
)( 3xf
)( 4xf
x
• SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES NÃO - LINEARES • 
 56 
 
 0 
 
 
 0 
 
Secante-Bisseção (Falsa Posição) 
 
 
 De forma a garantir a convergência do método da secante pode ser feita 
uma combinação do mesmo com o método da bisseção. O algoritmo 
simplificado para este método pode ser escrito da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.13 – Aplicação do algoritmo combinado secante-bisseção para quatro casos 
particulares. 
 
( )xfy = 
 
 
( )xfy = 
 
 
 
 
 
 
 0 
( ) ( 10 bfbf =
 
0 
 
 
( )xfy = 
 
 
x
)( 0af
)()( 10 afcf =
0a
10 bb =
1c
*x
*
x
1c
)( 0bf
0b
0 
 
 
x
)()( 10 afaf =
10 bc = 0b
*x
1c
10 aa =
)()( 10 bfcf =
)( 0bf
 
 
0 
x
10 ac =
0 1b b=*x
1c
)()( 10 afcf =
)( 0af
0a
( )xfy = 
 
 
x
)()( 10 afaf =
10 bc =
)()( 10 bfcf =
10 aa =
0 1
( ) ( )f b f b=
c
 
10 ac =
10 ac =0a
x
É apresentado a seguir um algoritmo para o método combinado 
secante-Bissecção. 
 
1) Defina um intervalo de busca [ ]kk ba , inicialmente com 0=k 
(conforme o algoritmo descrito na seção 3.3); 
2) Calcule o ponto ( )
( ) ( )kk
kk
kkk
afbf
ab
bfbc
−
−
−= (3.29); 
3) Se 1ε≤− kk cb ou ( ) 2ε≤kcf , onde 1ε e 2ε são tolerâncias 
estabelecidas a priori, faça solução = kc , e saia do algoritmo; 
4) Se ( ) ( ) 0ϕ = −
−
 
Observe que: ( )2 xϕ é contínua em { }/ 6S x x= ∈ ≤ℝ e ( )'
2 xϕ é contínua em 
{ }' / x 6S x= ∈ 




+= ttd
π
 
em que d (cm) representa a distância até à parede de referência e depende do 
número de segundos t desde que o pêndulo foi posto em movimento. 
Calcule o instante de tempo t para o qual o pêndulo toca na parede da sala. 
Utilize o método de Newton, use para aproximação inicial 40 =t e 
considere ε1 = ε2 = 10−3 ou no máximo 4 iterações. Apresente uma 
estimativa do erro relativo. 
 
3.8.7 O volume v de um líquido num tanque esférico de raio r está relacionado 
com a profundidade h do líquido da seguinte forma: 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAMPA 
• SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES NÃO - LINEARES • 
 65 
 
( )
3
32
hrh
v
−
=
π
 
a) Calcule utilizando um método que não recorre ao cálculo de 
derivadas, a profundidade h, num tanque de raio r = 1 para um 
volume de 0.5. Utilize para aproximação inicial o intervalo 



2
1
,
4
1
e 
considere ε1 = ε2 = 10−2 ou no máximo 3 iterações. 
 
 
b) Repita os cálculos, nas mesmas condições da alínea anterior, mas 
utilizando para aproximação inicial o intervalo 



3,
2
5
. Comente os 
resultados e analise a viabilidade da solução encontrada. 
 
 
 
3.8.8 Em engenharia ambiental, a seguinte equação pode ser usada para 
calcular o nível de concentração de oxigénio c em um rio, em função da 
distância x , medida a partir do local de descarga de poluentes: 
 
( )xx eexC 75,02,02010)( −− −−= 
 
Calcule, usando um método que recorre ao cálculo de derivadas, a 
distância para a qual o nível de oxigénio desce para o valor 5. Utilize para 
aproximação inicial o valor 0,10 =x e considere ε1 = ε2 = 10−2 ou no 
máximo 3 iterações. Utilize nos cálculos 4 casas decimais. 
 
3.8.9 Encontre as raízes da equação 073 =−− xe
x , com precisão de 5 casas 
decimais corretas, usando o Método de Newton-Raphson. Apresente a 
(tabela) sequência de aproximações numéricas convergindo a sua(s) 
resposta(s). 
 
3.8.10 O polinômio ( ) ∑
=
=
4
0i
i
i xaxp com ;400 =a 5,191 −=a ; 2,212 −=a ; 
3,03 −=a e 14 =a possui mais de uma raiz real no intervalo [ ]10,10− . 
 
(i) Escreva três rotinas computacionais para a determinação destas raízes 
usando: 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAMPA 
• SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES NÃO - LINEARES • 
 66 
 
(i.1) o método da bisseção; 
(i.2) o método de Newton; 
(i.3) o método da secante. 
 
(ii) Apresente os resultados em tabela contendo as estimativas obtidas a cada 
iteração. 
 
(iii) Após a obtenção das soluções, complemente a tabela elaborada no item 
anterior visando observar o comportamento dos erros. 
 
(iv) Comente o comportamento observado no item (iii). 
 
Observações: 
 
a) Para fazer a validação das rotinas computacionais obtenha a 
raiz 134724,1* =x do polinômio ( ) 16 −−= xxxF 
 
b) Para o critério de parada use εx uma fracção do 
número de ciclos de propagação. 
 
 
 
Pretende-se saber para que valores de x a velocidade de propagação é 
nula. Utilize um método que não recorre ao cálculo de derivadas, usando 
como critério de paragem ε1 = ε2 = 10−2 ou no máximo três iterações.