Lista 01 - Álgebra Linear (1)

Prévia do material em texto

FEMASS – Faculdade Professor Miguel Ângelo da Silva Santos 
Lista 1 de Álgebra Linear – 2020-1 
1 
 
 
Álgebra Linear 
Lista 1 – 2020-1 
Matrizes – Tipos, operações e propriedades 
 
1. Sejam 
 
𝐴 = [
1 2 3
2 1 −1
], 𝐵 = [
−2 0 1
3 0 1
], 𝐶 = [
−1
2
4
] e 𝐷 = [2 −1]. 
Encontre: 
a) 𝐴 + 𝐵 
b) 𝐴 ∙ 𝐶 
c) 𝐵 ∙ 𝐶 
d) 𝐶 ∙ 𝐷 
e) 𝐷 ∙ 𝐴 
f) 𝐷 ∙ 𝐵 
g) −𝐴 
h) – 𝐷 
 
2. Seja 𝐴 = [ 2 𝑥
2
2𝑥 − 1 0
]. Se 𝐴′ = 𝐴, então 𝑥 =____________________ 
 
3. Se 𝐴2 = 𝐴. 𝐴, então [
−2 1
3 2
] =_______________________ 
 
4. Dadas 𝐴 = [
2 −3 −5
−1 4 5
1 −3 −4
], 𝐵 = [
−1 3 5
1 −3 −5
−1 3 5
] e 𝐶 = [
2 −2 −4
−1 3 4
1 −2 −3
], 
a) Mostre que 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 0, 𝐴𝐶 = 𝐴 e 𝐶𝐴 = 𝐶. 
b) Use os resultados de (a) para mostrar que 𝐴𝐶𝐵 = 𝐶𝐵𝐴 e 𝐴2 − 𝐵2 = (𝐴 − 𝐵)(𝐴 + 𝐵). 
 
5. (Vunesp) Determine os valores de x, y e z na igualdade abaixo, envolvendo matrizes reais 2 × 2: 
[
0 0
𝑥 0
] [
0 𝑥
0 0
] = [
𝑥 − 𝑦 0
𝑥 𝑧
] + [
𝑧 − 4 0
𝑦 − 𝑧 0
] 
 
6. (UFF – Vestibular 2006) Nos processos de digitalização, imagens podem ser representadas por 
matrizes cujos elementos são algarismos 0 e 1. 
Considere que a matriz linha L = (1 0 1 0 0 1) representa a figura a seguir: 
 
Onde 1 representa “quadrinho” escuro e 0 representa “quadrinho” branco. 
Seja X a matriz linha formada por X = LM, onde M é a matriz M = (mij) com 
(mij) = {
1, se 𝑖 + 𝑗 = 7
0, se 𝑖 + 𝑗 ≠ 7
 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 6, 1 ≤ 𝑗 ≤ 6 
Dessa forma, a matriz X representa a figura da opção: 
(A) 
 
(B) 
 
(C) 
 
(D) 
 
(E) 
 
 
FEMASS – Faculdade Professor Miguel Ângelo da Silva Santos 
Lista 1 de Álgebra Linear – 2020-1 
2 
 
 
7. (UFF – Vestibular 2011) A transmissão de mensagens codificadas em tempos de conflitos militares é 
crucial. Um dos métodos de criptografia mais antigos consiste em permutar os símbolos das mensagens. 
Se os símbolos são números, uma permutação pode ser efetuada usando-se multiplicações por matrizes de 
permutação, que são matrizes quadradas que satisfazem as seguintes condições: 
• cada coluna possui um único elemento igual a 1 (um) e todos os demais elementos são iguais a 
zero; 
• cada linha possui um único elemento igual a 1 (um) e todos os demais elementos são iguais a zero. 
Por exemplo, a matriz 𝑀 = [
0 1 0
0 0 1
1 0 0
] permuta os elementos da matriz coluna 𝑄 = [
𝑎
𝑏
𝑐
], transformando-a 
na matriz 𝑃 = [
𝑏
𝑐
𝑎
], pois 𝑃 = 𝑀. 𝑄. 
Pode-se afirmar que a matriz que permuta [
𝑎
𝑏
𝑐
], transformando-a em [
𝑐
𝑎
𝑏
], é 
(A) [
0 0 1
1 0 0
0 1 0
] (B) [
1 0 0
0 0 1
0 1 0
] (C) [
0 1 0
1 0 0
0 0 1
] (D) [
0 0 1
0 1 0
1 0 0
] (E) [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
] 
 
8. (Unifor – CE) Sejam as matrizes 𝐴 = [
𝑥 0
2 1
], 𝐵 = [
2 1
𝑦 0
] e 𝐶 = [
2 1
3 𝑧
]. 
Se 𝐴. 𝐵 = 𝐶, então é verdade que: 
 
(A) 𝑥 = 𝑦 
(B) 𝑧 = 2𝑦 
(C) 𝑥 + 𝑦 = 1 
(D) 𝑦 + 𝑧 = 0 
(E) 𝑥. 𝑦 = −1