polígrafo_2015

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Álgebra Linear 
 
 
 
 
 
 
 
 
2015/4 
Professora: Roselice Parmegiani 
-15 -10 -5 0 5 10 15
-10
-5
0
5
10
15
TRABALHO DE ÁLGEBRA LINEAR
Figura Original
Reflexão no eixo X
Reflexão no eixo Y com aumento
Reflexão no eixo y=-X com redução
Elaborado pelo graduando Willy Daros Santos - 2015/2
Polı́grafo	de	A� lgebra	Linear	 Página	2	
 
MATRIZES 
 
 Uma matriz nada mais é do que uma tabela onde os elementos estão dispostos em linhas e 
em colunas. Se quisermos nos referir a matrizes sem escrever especificamente todos os seus 
elementos, usaremos letras maiúsculas A, B, C e assim por diante. Em geral, aij denota o 
elemento da matriz A que fica na i-ésima linha e j-ésima coluna. Então, se A é uma matriz m x n, 
temos: 
A m x n=���� ��� ⋯ ������ ��� ⋯ ���⋮ ⋮ ⋯ ⋮��� ��� ⋯ ��	
 
 
IGUALDADE 
 Duas matrizes m x n A e B são ditas iguais se aij=bij para todos os i e j. 
 
 
MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR 
 Se A é uma matriz e α é um escalar, então αA é a matriz obtida multiplicando-se cada 
elemento de A por α. Por exemplo, se 
 
A=�2 3 10 �1 2� 
 
então 
3A=�6 9 30 �3 6� 
 
 
SOMA DE MATRIZES 
 Se A=(aij) e B=(bij) são ambas matrizes m x n, então a soma A+B é a matriz m x n cujo 
elemento (i,j) é aij+bij para cada par ordenado (i,j). Por exemplo, 
 �3 2 14 5 6�+ �2 2 21 2 3�= �5 4 35 7 9� 
 
 Se definirmos A−B por A + (-1)B, então A − B é obtida subtraindo-se de cada elemento de A 
o elemento correspondente de B. Então: 
 
 �2 43 1�- �4 52 3�= 
 
 
MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES 
 Se A=(aij) é uma matriz m x p e B=(bij) é uma matriz p x n, então o produto de A e B é a 
matriz C=(cij) m x n, definida por 
 
cij=ai1b1j + ai2b2j + .... + aipbpj (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n) 
 
 Para que exista o produto de duas matrizes A e B é necessário que o número de colunas 
de A seja igual ao número de linhas de B. 
 
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EXEMPLO 1: Sejam A=��2 1 34 1 6� e B = �3 −22 41 −3� 
 
então 
 AB= 
 
 
 
 
EXEMPLO 2: Sejam A=�3 41 2� e B = �1 24 5� 
 
então 
 
 AB= BA= 
 
 
 
 
 
APLICAÇÃO 
Uma indústria produz dois tipos de produto, P e Q, em duas fábricas X e Y. Ao fazer estes 
produtos, são gerados os poluentes dióxido de enxofre, óxido nítrico e partículas em suspensão. 
As quantidades de poluentes gerados são dadas (em quilos) na tabela A. 
 
 TABELA A 
 
 
Produtos 
Poluentes 
Dióxido de Enxofre Óxido Nítrico Partículas em suspensão 
 
P 300 100 150 
Q 200 250 400 
 
Leis e regulamentos federais e estaduais exigem que estes poluentes sejam eliminados. O custo 
diário para remover cada quilo de poluente é dado (em dólares) pela tabela B. Que informações 
os coeficientes do produto matricial AB fornecem ao fabricante? 
 
 TABELA B 
 
Poluentes 
Dióxido de Enxofre 
 
Fábrica X Fábrica Y 
8 12 
 
Óxido Nítrico 7 9 
Partículas em supensão 15 10 
 
 
 
 
 
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PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES 
 Cada uma das afirmações a seguir é válida quaisquer que sejam os escalares α e β e 
quaisquer que sejam as matrizes A, B e C para as quais as operações indicadas estão definidas. 
(1) A+B = B+A 
(2) (A+B)+C = A+(B+C) 
(3) (AB)C = A(BC) 
(4) A(B+C) = AB + AC 
(5) (A+B)C = AC + BC 
(6) (αβ)A = α(βA) 
(7) α (AB) = (αA)B = A(αB) 
(8) (α +β)A = αA+βA 
(9) α(A+B) = αA+αB 
 
Cuidado: Em geral, AB ≠ BA, ou seja, a multiplicação de matrizes não é comutativa. 
 
 
MATRIZ TRANSPOSTA 
 A transposta de uma matriz A m x n é a matriz B n x m definida por 
 
bij=aji 
 
para j=1, 2, ..., n e i = 1, 2, ..., m. A transposta é denotada por AT. 
 
EXEMPLO 3: Se A = �1 2 34 5 6�então AT= 
 
 
PROPRIEDADES DA TRANSPOSTA 
 Se α é um escalar e A e B são matrizes, então: 
(1) (AT)T=A 
(2) (A+B)T=AT+BT 
(3) (AB)T=BTAT 
(4) (αA)T=αAT 
 
 
TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZES 
a) Matriz Quadrada: Quando o número de linhas é igual ao número de colunas, tem-se uma 
matriz quadrada. Numa matriz quadrada A=(aij) de ordem n (ou n x n), os elementos aij em que i=j 
constituem a diagonal principal. 
 
EXEMPLO 4: A=�1 5 95 3 89 8 7� 
 
b) Matriz Diagonal: A matriz quadrada A=(aij) que tem os elementos aij=0 quando i≠ j é uma 
matriz diagonal. 
 
EXEMPLO 5: A=�3 0 0 00 −5 0 00 0 4 00 0 0 2
 
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c) Matriz Identidade: A matriz diagonal de qualquer ordem que tem os elementos aij=1 quando 
i= j é uma matriz identidade. É indicada por I e age como a identidade multiplicativa, ou seja: 
 
I A=AI=A 
 
�� = �1 00 1� , �� = �1 0 00 1 00 0 1� , �� = �
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
 , . .. 
 
EXEMPLO 6: Seja A=�3 −24 6 �, calcule I A e AI. 
 
 
 
d) Matrizes triangulares: Uma matriz quadrada A=(aij) é dita triangular superior se aij=0 quando i 
> j; ela é triangular inferior se aij=0 para i < j. A é simplesmente triangular se for triangular superior 
ou inferior. 
 
 
EXEMPLO 7: A=�2 3 10 1 20 0 4� e B=�
1 0 01 −2 02 −3 1� 
 
 
 
e) Matriz Simétrica: Uma matriz quadrada A=(aij) é simétrica se AT=A. 
 
EXEMPLO 8: F=�1 5 95 3 89 8 7� 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
 
1) Se A=� 3 1 4−2 0 11 1 2�e B=�
1 0 2−3 1 12 −4 1�, calcule: 
a) 2A 
b) (2A)T− (3B)T 
c) ATBT 
d) A+B 
e) AB 
f) BA 
g) 2A-3B 
h) (BA)T 
 
 
2) Para cada um dos pares de matrizes dados a seguir, determine se é ou não possível efetuar a 
multiplicação da primeira matriz pela segunda. Se for possível, efetue a multiplicação. 
a) � 3 5 1−2 0 2� �2 11 34 1� b) �
4 −26 −48 −6� 1 2 3! 
 
c)�1 4 30 1 40 0 2� �
3 21 14 5� d) �4 62 1� �3 1 54 1 6� 
 
e) �4 6 12 1 1� �3 1 54 1 6� 
 
 
 
 
3) Se A=�2 41 3�, B= �−2 10 4�, C=�3 12 1�verifique que: 
a) (A+B)+C=A+(B+C) 
b) 3(AB)=(3A)B=A(3B) 
c) (AC)T=CTAT 
 
 
4) Seja A=" �� − ��− �� �� #. Calcule A2 e A3. O que deve ser An? 
 
 
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5) Uma empresa fabrica três produtos. Suas despesas de produção estão divididas em três 
categorias. Em cada uma dessas categorias, faz-se uma estimativa do custo de produção de um 
único exemplar de cada produto. Faz-se, também, uma estimativa da quantidade de cada produto 
a ser fabricado por trimestre. Essas estimativas são dadas nas tabelas 3 e 4. A empresa gostaria 
de apresentar a seus acionistas uma única tabela mostrando o custo de produção por trimestre de 
cada uma das três categorias: matéria-prima, pessoal e despesas gerais e em cada estação. 
 
 Tabela 3: Custo de produção por item Tabela 4: Quantidade produzida por trimestre 
 (dólares) 
 
 
Gastos 
Produto 
A B C 
 
 
Produto 
Estação 
Verão Outono Inverno Primavera 
 
M. Prima 0,10 0,30 0,15 A 4000 4500 4500 4000 
Pessoal 0,30 0,40 0,25 B 2000 2600 2400 2200 
D. Gerais 0,10 0,20 0,15 C 5800 6200 6000 6000 
 
 
 
6) Um projeto de pesquisa sobre dietas consiste em adultos e crianças de ambos os sexos. A 
composição dos participantes no projeto é dada pela matriz A. O número de gramas diários de 
proteínas, gorduras e carboidratos consumidos por cada criança e adulto é dado pela matriz B. 
Pede-se: 
a) Quantos gramas de proteínas são consumidos diariamente pelos homens no projeto? 
b) Quantos gramas de gorduras são consumidos diariamente pelas mulheres no projeto? 
 
 $ = � 80 120100 200� % = �20 20 2010 20 30� 
 
 
 
7) Apresentetrês matrizes simétricas sendo a primeira de ordem 2, a segunda de ordem 3 e a 
terceira de ordem 4. 
 
 
 
8) Encontre todos os valores de a, b e c para os quais A é simétrica, sendo: 
A=�2 � − 2b + 2c 2a + * + +3 5 � + +0 −2 7 � 
 
Adultos Crianças
Masc. 
Fem. 
 Prot. Gord. Carb.
Adultos 
Crianças
 
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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 
Exercício 1 
a) � 6 2 8−4 0 22 2 4� b) �
3 5 −42 −3 142 −1 1 � c) �
5 −10 153 −2 38 −9 6 � d) �
4 1 6−5 1 23 −3 3� 
 
 
e) �8 −15 110 −4 −32 −7 5 � f) �
5 3 8−10 −2 −915 3 6 � g) �
3 2 25 −3 −1−4 14 1 � h) �
5 −10 153 −2 38 −9 6 � 
 
 
Exercício 2 
a) �15 194 0 � b) não é possível c) �19 2117 218 10� d)�36 10 5610 3 16� e) não é possível 
 
Exercício 4: A2=A3=...=An=" �� ,��,�� �� # 
 
 
Exercício 5: A=�1870 2160 2070 19603450 3940 3810 35801670 1900 1830 1740� 
 
 
Exercício 6: a) 2.800 g b) 6.000 g 
 
 
 
 
Exercício 8: a=11, b=-9, c=-13 
 
 
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MATRIZ INVERSA 
 
A inversa de uma matriz A n x n, se existir, é denotada por A-1 tal que: 
 
A.A-1 = A-1.A = I. 
 
Quando uma matriz possui inversa diz-se que ela é dita inversível ou não-singular . Uma 
matriz pode ter, no máximo, uma inversa multiplicativa. Uma matriz é dita não-inversível ou 
singular se ela não tem inversa multiplicativa. 
 
TEOREMA: Se uma matriz tem uma inversa, então a inversa é única. 
 
EXEMPLO 1: Mostre que as matrizes �2 43 1� e "�
��- �.��- � �.# são inversas uma da outra: 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DA INVERSA DE UMA MATRIZ 
 Um dos métodos que podem ser utilizados para o cálculo da inversa de uma matriz é o 
“Método das operações em linha” que consiste em transformar uma matriz quadrada em uma 
matriz identidade de mesma ordem utilizando uma sequência de operações elementares sobre as 
linhas de A. A mesma sequência de operações que transforma A na identidade I, também 
transformará I em A-1. Essa transformação é feita utilizando-se das operações elementares sobre 
as linhas de uma matriz, que são as seguintes: 
 a) Substituição de uma linha pela soma dela mesma com um múltiplo de outra linha. 
 b) Troca entre si duas linhas. 
c) Multiplicação de todos os termos de uma linha por uma constante não nula. 
 
EXEMPLO 2: Calcular a matriz inversa de A=�2 51 3� 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 3: Calcular a matriz inversa de B=� 2 3−1 1� 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 4: Utilizando a matriz inversa de A, ache uma matriz X tal que AX=B. 
 
A=�2 51 3�B=� 1 3 −5−1 −2 5 � 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROPRIEDADES: 
a) Se A for uma matriz inversível, então (A-1)-1=A 
b) Se A e B forem matrizes inversíveis nxn, então: (AB)-1=B-1A-1 
b) Se A é uma matriz inversível, então AT também é e: (AT)-1=(A-1)T
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EXERCÍCIOS 
 
1) Dada a matriz A= �4 71 2�, calcule A-1 e A-2. 
 
 
2) Calcule a inversa de A= � 2 1−4 3� 
 
 
3) Sendo A, B, C e X matrizes, encontre uma expressão para a matriz X tal que: 
a) ABX=C 
b) AXB=C 
c) XC=AB 
d) BCX=A 
 
 
RESPOSTAS 
1) � 2 −7−1 4 � , �11 −42−6 23 � 
 
2) 03/10 −1/102/5 1/5 2 
 
3) Conferir em aula 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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DETERMINANTES 
 
É possível associar a cada matriz A n x n um escalar det(A), cujo valor vai nos dizer se a matriz é 
ou não inversível. Uma matriz A é inversível se existir uma matriz B tal que AB=BA=I, em que I é a 
matriz identidade. A matriz A é dita não-singular ou inversível se det(A) ≠ 0. 
 
 
DETERMINANTE DE 2ª ORDEM 
 Se A é de ordem 2 x 2, então o determinante de A é obtido da seguinte forma: 
det(A) =∣∣∣��� ������ ���∣∣∣= a11×a22  a12×a21 
 
 
EXEMPLO 1: Determine os determinantes das matrizes A=�2 43 1�e B=�1 22 4� 
 
 
 
 
 
 
DETERMINANTE DE 3ª ORDEM 
 
 Se A é de ordem 3 x 3, então o determinante de A é obtido da seguinte forma: 
 
det(A)=∣∣∣∣
��� ��� ������ ��� ������ ��� ���∣∣∣
∣
= a11×a22×a33+a21×a32×a13+a31×a12×a23-
(a13×a22×a31+a32×a23×a11+a33×a21×a12) 
 
 
EXEMPLO 2: Determine os determinantes das matrizes A=� 2 4 13 1 0�2 1 4�e B=�
0 4 10 1 00 1 4� 
 
 
 
 
 
 
 
ALGUMAS PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES: 
a) Os determinantes de uma matriz e de sua transposta são iguais. 
b) Se a matriz B resulta da matriz A pela troca da posição relativa de duas linhas (colunas) de 
A, então |B|=-|A|. 
c) Se duas linhas (colunas) de A forem iguais, então |A|=0. 
d) Se uma linha (coluna) de A consiste somente em zeros, então |A|=0. 
e) Se a matriz A é triangular inferior (superior) então seu determinante é o produto dos 
elementos sobre a diagonal principal. 
f) Se A possui inversa, então |A| ≠ 0. 
 
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EXERCÍCIOS 
 
1) Calcule os determinantes das seguintes matrizes: 
a) A=�2 4 65 9 87 2 1� b) B=�3 −14 2 � 
 
 
2) Se A = �1 −1 23 4 12 5 1�verifique que |A|=|AT|. 
 
3) Calcule o valor de λ se ∣∣∣λ − 1 23 λ − 2∣∣∣=0. 
 
4) Resolver a equação: 
∣∣∣∣4 3 25 4 11 3 1∣∣∣
∣ = 12 
 
 
5) Use determinantes para verificar, para cada uma das matrizes a seguir, se a matriz é ou não 
inversível. 
a) A=�3 52 4� b) B=�3 62 4� c) C=�3 −62 4 � 
 
6) Calcule o determinante a seguir, escrevendo sua resposta como um polinômio em x. 
∣∣∣∣� − 4 * +1 −4 00 1 −4∣∣∣
∣
 
 
 
7) Encontre todos os valores de a e b para os quais A e B são ambas não invertíveis: 
A=�� + * − 1 00 3� B=�5 00 2a − 3b − 7� 
 
 
8) Use determinantes para determinar quais das seguintes matrizes são inversíveis: 
a)�3 −92 6 � b)� 1 −2 −1−1 5 65 4 5 � 
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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 
 
1) det(A)= -128 det(B)=10 
 
3) λ= 4 ou λ= -1 
 
4) x=3 ou x=2 
 
5) São inversíveis as matrizes A e C. 
 
6) -x3+ax2+bx+c 
 
7) a=2, b=-1 
 
8) (a) A matriz é inversível (b) A matriz é inversível 
 
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SISTEMAS LINEARES 
 
Uma equação linear em n incógnitas é uma equação da forma 
 
a1x1 + a2x2 + ...+anxn=b 
 
onde a1, a2, ..., an e b são números reais e x1, x2, ..., xn são as variáveis. Um sistema linear de m 
equações e n incógnitas é, então, um sistema da forma 
 
 ���4� + ���4� + ⋯ + ���4	 = *����4� + ���4� + ⋯ + ���4	 = *�⋮���4� + ���4� + ⋯ + ��	4	 = *� m equações e n incógnitas. 
 
 
onde os aij e os bi são números reais. Podemos representar um sistema linear sob a forma 
matricial: 
 
� ��� ��� ⋯ ������ ��� ⋯ ���⋮ ⋮ ⋯ ⋮��� ��� ⋯ ��	
.�
4�4�⋮4	
= �
*�*�⋮*�
 
 
 A x = b 
 
Ainda podemos associar ao sistema a matriz completa ou ampliada: 
 
 
 � ��� ��� ⋯ ��� *���� ��� ⋯ ��� *�⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮��� ��� ⋯ ��	 *�
 
 
 
A solução de um sistema m x n é uma n-upla ordenada de números (x1, x2, ..., xn) que satisfazem 
todas as equações do sistema. Por exemplo, o par ordenado (1,2) é solução do sistema 4 + 25 � 524 ' 35 � 8 
 
 
Diz-se que um sistema de equações lineares é compatível (possível) quando admite solução. Um 
sistema é compatível e determinado quando admite uma única solução e compatível e 
indeterminado quando admite infinitas soluções. Já um sistema é classificado como 
incompatível (impossível) quando não admite solução. 
 
 
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SISTEMAS EQUIVALENTES 
Doissistemas são equivalentes quando admitem a mesma solução. Por exemplo os sistemas 
abaixo têm, ambos, a solução S={(10,2)} 
 34 ' 65 � 4224 � 45 � 12 e 4 ' 25 � 144 � 25 � 6 
 
 
SISTEMA 2 X 2 
Através da resolução de três sistemas lineares vamos examinar, do ponto de vista geométrico, um 
sistema da forma 
 ���4 ' ���5 � *����4 ' ���5 � *� 
 
Ex.1: 
4 ' 5 � 4�4 ' 25 � 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ex.2: 
4 ' 5 � 424 ' 25 � 8 
 
 
 
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Ex.3: 4 + 5 = 424 + 25 = 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AS MATRIZES E A FORMA ESCALONADA 
Na resolução de um sistema linear é necessário transformar a matriz completa do sistema em 
formato de escada, ou seja, colocá-la na forma escalonada. Uma matriz está na forma escalonada 
por linhas quando satisfaz as seguintes propriedades: 
 
1. Todas as linhas não nulas estão acima de qualquer linha só de zeros. 
2. O pivô (primeiro coeficiente não-nulo) de cada linha está numa coluna à direita do pivô da 
linha acima. 
3. Todos os elementos de uma coluna abaixo de um pivô são zeros. 
 
Essas propriedades garantem que os pivôs posicionem-se formando uma escada. 
 
EXEMPLOS: 
 
�2 4 10 −1 20 0 0�, �
1 0 10 1 50 0 4�, �
1 1 2 10 0 1 30 0 0 0�, �
0 2 0 1 −1 30 0 −1 1 2 20 0 0 0 4 00 0 0 0 0 5
 
 
 
Exercício: Determine se a matriz dada está na forma escalonada por linhas. 
 
a) �1 0 10 0 30 1 0� b) �
7 0 1 00 1 −1 40 0 0 0� c) �0 1 3 00 0 0 1� d) �
1 0 3 −4 00 0 0 0 00 1 5 0 1� 
 
 
e) �0 0 10 1 01 0 0� f) �
1 2 31 0 00 1 10 0 1
 g) �
2 1 3 50 0 1 −10 0 0 30 0 0 0 
 
 
 
 
 
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RESOLUÇÃO DE SISTEMAS POR ESCALONAMENTO 
Para resolver um sistema de equações lineares por escalonamento deve-se transformar o sistema 
original em um sistema equivalente (isto é, um que tenha as mesmas soluções) por meio de 
operações elementares sobre as linhas da matriz ampliada correspondente ao sistema original. 
 As operações elementares sobre as linhas de uma matriz são as seguintes: 
 a) Substituição de uma equação pela soma dela mesma com um múltiplo de outra 
 equação. 
 b) Troca entre si duas equações. 
c) Multiplicação de todos os termos de uma equação por uma constante não nula. 
 
 Utilizando convenientemente as operações elementares sobre as linhas de uma matriz 
deve-se: 
a) eliminar a primeira variável da segunda equação; 
b) eliminar a primeira e segunda variáveis da 3ª equação; 
c) eliminar a primeira, segunda e terceira variáveis da quarta equação e assim 
sucessivamente. 
 
EXEMPLOS: 
 
a) 
24 + 65 + 6 = 74 + 25 − 6 = −154 + 75 − 46 = 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Polı́grafo	de	A� lgebra	Linear	 Página	19	
 
b) 
4 + 6 − 7 = 124 + 6 + 7 = 34 − 5 + 7 = −14 + 5 + 6 + 7 = 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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RESOLUÇÃO DE SISTEMAS PELO MÉTODO DA ELIMINAÇÃO DE GAUSS 
A estratégia básica é reduzir a matriz aumentada do sistema à forma escalonada por linhas de 
forma que os pivôs sejam todos unitários (1). 
 
EXEMPLO 1: 
4 + 5 + 6 = 324 + 35 + 6 = 54 − 5 − 26 = −5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Interpretação geométrica: 
 
-6
-4
-2 0 2 4 6 -5
0
5
-10
-5
0
5
10
15
20
y
x/2 - y/2 + 5/2
x
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EXEMPLO 2: 
4 − 5 + 26 = 34 + 25 − 6 = −325 − 26 = 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Interpretação geométrica: 
 
 
-6
-4
-2
0
2
4
6
-5
0
5
-5
0
5
10
y
y - 1/2
x
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EXEMPLO 3: 
4 + 25 + 6 = 124 − 5 + 6 = 244 + 35 + 36 = 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Interpretação geométrica: 
 
-5
0
5
-6-4
-20
24
6
-20
-10
0
10
20
30
x
4/3 - y - (4 x)/3
y
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EXEMPLO 4: 
−4 − 5 + 26 + 8 = 1−24 − 5 + 36 + 28 = 34 − 5 − 8 = −3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 5: 4 + 5 + 6 = 124 + 45 + 26 = 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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RESOLUÇÃO DE SISTEMAS PELO MÉTODO DA ELIMINAÇÃO DE GAUSS-JORDAN 
Este método é uma variante do Método da Eliminação de Gauss e baseia-se em reduzir ainda 
mais a matriz completa. O escalonamento far-se-á satisfazendo a forma escalonada reduzida 
por linhas e, para tal, cada pivô deverá ser o único elemento não nulo em sua coluna. 
 
EXEMPLOS de matrizes na forma reduzida escalonada por linhas: 
 
�1 0 0 40 1 0 50 0 1 2�, �
1 2 0 0 20 0 1 0 10 0 0 1 0�, 9::
:;1 0 0 3 00 0 1 0 00 0 0 0 10 0 0 0 00 0 0 0 0<==
=>
 
 
 
EXEMPLO 1: 
−4 + 35 = 54 − 5 + 6 = 224 + 66 = 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 2: 4 + 5 − 26 = 524 + 35 + 46 = 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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RESOLUÇÃO DE SISTEMAS PELO MÉTODO DA INVERSÃO 
 
O método da inversão implica em obter a inversa da matriz dos coeficientes do sistema linear e, 
por isso, só pode ser utilizado para sistemas com mesmo número de equações e de incógnitas. O 
método somente é aplicável se det(A) ≠ 0 (sendo A a matriz dos coeficientes) pois, dessa forma, é 
possível obter a matriz inversa requerida. O método da inversão é útil em problemas industriais 
onde a matriz dos coeficientes não muda, ou seja, em casos em que a estrutura interna do 
processo permanece inalterada porém, apresenta grande gasto computacional. 
 
EXEMPLO: Resolver o sistema 
−4 + 35 = 54 − 5 + 6 = 224 + 66 = 2 pelo método da inversão. 
Polı́grafo	de	A� lgebra	Linear	 Página	26	
 
SISTEMA HOMOGÊNEO 
 
Um sistema linear em que todos os termos independentes são nulos é chamado de sistema linear 
homogêneo: 
 ���4� + ���4� + ⋯ + ���4	 = 0���4� + ���4� + ⋯ + ���4	 = 0���4� + ���4� + ⋯ + ��	4	 = 0 
 
Podemos também escrevê-lo sob forma matricial como 
 
 Ax = 0 
 
Um sistema homogêneo é sempre consistente. Se for determinado, apresentará a solução trivial 
x1=x2=...=xn=0. Se for indeterminado, além da solução trivial, apresentará outras soluções 
particulares. 
 
EXEMPLO 1: Resolver e classificar o sistema
24 + 5 + 36 = 034 − 25 + 6 = 04 − 35 − 26 = 0: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 2: Resolver e classificar o sistema
4 − 35 − 46 = 04 − 5 − 6 = 04 − 5 + 36 = 0 
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EXERCÍCIOS 
1) Dado o sistema linear 
4 − 5 − 6 = 234 − 35 + 26 = 1624 − 5 + 6 = 9 resolva-o: 
 
a) pelo método da Eliminação de Gauss. 
b) pelo método da eliminação de Gauss-Jordan. 
 
2) Resolva e classifique os sistemas lineares abaixo utilizando o método que mais achar 
conveniente: 
 
a)
24 − 35 + 46 = −124 − 25 + 6 = −534 + 5 + 26 = 1 b) 4 + 5 = 534 + 35 = 10 c)
4 + 25 − 38 + 7 = 24 + 25 + 6 − 38 + 7 + 2? = 34 + 25 − 38 + 27 + ? = 434 + 65 + 6 − 98 + 47 + 3? = 9 
d) 
4 + 5 = 124 − 5 = 534 + 45 = 2 e) 4 + 45 − 6 = 1234 + 85 − 26 = 3 f) 
4 + 5 + 6 + 8 = 04 + 8 = 04 + 25 + 6 = 0 
 
g) 
4 + 5+ 6 = 124 − 5 + 6 = 244 + 35 + 36 = 424 − 5 + 36 = 5 h) 
4 + 5 + 26 − 58 = 324 + 55 − 6 − 98 = −324 + 5 − 6 + 38 = −114 − 35 + 26 + 78 = −5 i) 
24 + 35 = 12−4 + 5 = 3 
 
3) Determine para que valores de k os sistemas abaixo têm (a) uma única solução; (b) nenhuma 
solução: (c) infinitas soluções. 
 
a) 
4 + 25 + 6 = 324 − 5 − 36 = 544 + 35 − 6 = @ b) 34 + 25 = 1164 + @5 = 21 c) 
4 + 5 + @6 = 224 + 35 − 6 = 134 + 45 + 26 = @ d) 24 + @5 = 34 + 85 = ℎ 
 
 
4) Resolva cada sistema linear a seguir e interprete-o geometricamente: 
a)
34 + 5 = 234 + 5 = 624 + 5 = −1 b) 
24 + 5 = 344 + 5 = 724 + 55 = −1 
 
5) Determine o ponto de interseção das retas 4� − 5x� = 1e 2x� − 3x� = 3. 
 
6) Resolva os sistemas dados nos exercícios (1) e (2)-(a) pelo método da inversão. 
 
7) Suponha que a matriz aumentada de um sistema de equações lineares foi reduzida por 
operações sobre linhas à forma escalonada reduzida por linhas dada abaixo. Resolva o sistema. 
 
a) �1 0 0 50 1 0 −20 0 1 4 � b) �
1 0 0 4 −10 1 0 2 60 0 1 2 2 � c) �
1 6 0 0 4 −20 0 1 0 3 10 0 0 1 5 20 0 0 0 0 0 
 d) �
1 0 0 00 1 2 00 0 0 1� 
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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 
 
Exercício 1: S={(3,-1,2)} 
 
Exercício 2: 
a) S={(1,2,-2)} SPD 
b) SI 
c) S={(-2y+3w+r, y, 1-2r, w, 2-r, r), y, w, r ∈ ℝ} SPI 
d) S={(2,-1)} SPD 
e) S={(-21, z/4+33/4, z), z ∈ ℝ} SPI 
f) S={(-w, w, -w, w), w∈ ℝ} SPI 
g) SI 
h) S={(-5-2w, 2+3w, 3+2w,w), w ∈ ℝ} SPI 
i) S={(3/5, 18/5}, SPD 
 
Exercício 3: 
a) O sistema nunca terá uma única solução; será impossível sempre que k ≠ 11 e terá infinitas 
soluções quando k=11. 
b) O sistema terá um única soluções sempre que k ≠ 4 e não terá solução se k=4. O sistema 
nunca será SPI. 
c) conferir em aula 
d) conferir em aula 
 
Exercício 4: 
Conferir em aula 
 
Exercício 5: 
S={(12/7, 1/7)} 
 
Exercício 7: 
a) S={(5,-2,4)} b) S={(-1-4w,6-2w,2-2w,w), w ∈ ℝ} 
c) S={(-2-6y-4w,y,1-3w,2-5w,w), y, w ∈ ℝ} d) Não existe solução 
 
Polı́grafo	de	A� lgebra	Linear	 Página	29	
 
APLICAÇÕES 
Circuitos Elétricos 
Circuitos elétricos formam um tipo especializado de redes com informações sobre fontes de 
energia, tais como baterias e dispositivos alimentados por essas fontes, tais como lâmpadas ou 
motores. Uma fonte de energia “força” o fluxo de uma corrente de elétrons através da rede, onde 
a corrente encontra vários resistores, cada um dos quais requerendo a aplicação de uma certa 
quantidade de força elétrica para que a corrente flua através dele. 
 
Lei de Ohm: 
 força elétrica (volts)= resistência (ohms) x corrente (ampères) 
 
 A lei de Ohm nos diz qual é a “queda de voltagem” quando uma corrente passa por um 
resistor, isto é, quanta voltagem é utilizada. 
 A corrente sai pelo terminal positivo de uma bateria e entra pelo terminal negativo, viajando 
em torno de um ou mais circuitos fechados no processo. Em um diagrama de um circuito elétrico, 
usa-se a seguinte representação: 
 
 Baterias: (a barra mais longa indica o terminal positivo) 
 
 Resistores: 
 
 As duas leis que aparecem a seguir governam os circuitos elétricos: 
 
Leis de Kirchhoff 
Lei da Corrente (nós) : A soma das correntes que entram em qualquer nó é igual a soma das 
correntes que saem dele. 
Lei da Voltagem (circuitos): A soma das quedas de voltagem ao longo de qualquer circuito é igual 
à voltagem total em torno do circuito (fornecida pelas baterias. 
 
EXECÍCIO 1: Determine as correntes I1, I2 e I3 no circuito elétrico mostrado na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Análise de redes 
 Redes aparecem em várias situações práticas: redes de transporte, redes de comunicação e 
redes econômicas, por exemplo. São particularmente interessantes os possíveis fluxos através 
das redes. Por exemplo, veículos fluem através de uma rede de estradas, informação flui através 
de uma rede de dados, bens e serviços fluem através de uma rede econômica. 
Uma rede consiste em um número infinito de nós conectados por uma série de segmentos 
dirigidos, conhecidos por ramos. Cada ramo é rotulado com um fluxo que representa a quantidade 
de uma mercadoria que pode fluir ao longo ou através daquele ramo na direção indicada. A regra 
fundamental que governa o fluxo através da rede é a conservação de fluxo: em cada nó, o fluxo 
de entrada é igual ao fluxo de saída. 
 
EXERCÍCIO 2: Descreva os possíveis fluxos através da rede de encanamento de água mostrada 
na figura abaixo, onde o fluxo é medido em litros por minuto (Escreva as equações que 
representam a conservação do fluxo em cada nó e, depois, resolva o sistema formado). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 3: A figura abaixo mostra uma rede de canos de água com fluxo medido em litros por 
minuto. 
a) Monte e resolva um sistema de equações lineares para encontrar os fluxos possíveis. 
b) Se o fluxo através de AB é restrito a 5 L/min, qual será o fluxo através dos outros dois ramos? 
c) Quais são os fluxos mínimo e máximo possíveis através de cada ramo? 
 
 
 
A B 
D C 
10 
5 
10 
5 
30 
20 
f
f2 f4 
f3 
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Alocação de recursos 
EXERCÍCIO 4: Uma indústria produz três tipos diferentes de produtos químicos, A, B e C. Cada 
produto deve passar por duas máquinas processadoras, X e Y. Uma tonelada do produto A exige 
2 horas na máquina X e 2 horas na máquina Y. Uma tonelada do produto B exige 3 horas na 
máquina X e 2 horas na máquina Y. Uma tonelada do produto C exige 4 horas na máquina X e 3 
horas na máquina Y. Sabe-se que a máquina X está disponível 80 horas por semana, e a máquina 
Y, 60 horas por semana. Como a gerência não deseja manter inativas as máquinas X e Y, caras, 
gostaria de saber quantas toneladas de cada produto deve fabricar a fim de que as máquinas 
sejam totalmente utilizadas. Supõe-se que a indústria consiga vender todo o produto produzido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÌCIO 5: Uma refinaria de petróleo processa dois tipos de petróleo: com alto teor de enxofre 
e com baixo teor de enxofre. Cada tonelada de petróleo com baixo teor exige 5 minutos na 
unidade de mistura e 4 minutos na refinação; cada tonelada de alto teor exige 4 minutos de 
mistura e 2 minutos de refinação. Se a unidade de mistura está disponível durante 3 horas, e a 
refinaria durante 2 horas, quantas toneladas de cada tipo de óleo deveriam ser processadas para 
que as duas unidades sejam completamente utilizadas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Polı́grafo	de	A� lgebra	Linear	 Página	32	
 
Distribuição de temperatura 
EXERCÍCIO 6: Suponha que cada lado de uma placa de metal seja aquecida a uma temperatura 
constante (fig. 1). Com o passar do tempo, a temperatura em cada ponto do interior da placa 
alcançará um equilíbrio e a seguinte propriedade poderá ser comprovada: 
“A temperatura em cada ponto P interior em uma placa é a média das temperaturas na 
circunferência de qualquer círculo dentro da placa, centrado em P”. (fig 2) 
 A aplicação dessa propriedade em um exemplo real requer técnicas de cálculo diferencial e 
integral. Como alternativa, pode-se aproximar a situação colocando sobre a placa uma grade com 
um número finito de pontos de intersecção, como mostra a fig. 3. Para determinar as temperaturas 
nos pontos interiores t1, t2 e t3, utiliza-se o fato de que a temperatura em cada ponto é a média 
das temperaturas nos pontos adjacentes e forma-se um sistema linear que pode ser resolvido 
pelos métodos estudados. 
 
 
 
 
 
 
Fig 1Fig. 2 Fig 3 
Polı́grafo	de	A� lgebra	Linear	 Página	33	
 
EXERCÍCIO 7: Na fronteira da placa de metal, abaixo, estão mostradas as temperaturas 
constantes. Encontre a temperatura de equilíbrio em cada um dos pontos interiores indicados, 
através da montagem e resolução de um sistema de equações lineares. 
 
 
 
 
Polı́grafo	de	A� lgebra	Linear	 Página	34	
 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 
1) I1= 1 ampère, I2=4 ampères e I3=3 ampères 
 
 
2) Os fluxos f1, f2 e f3 são dados em função do fluxo f4. Por exemplo, se controlarmos o fluxo no 
ramo AD de modo que f4= 5 L/min, os outros fluxos serão f1=10, f2=0 e f3=25. 
 
 
3) a) f1=30-f3; f2=-10+f3; f3=f3. 
 b) f1=f3=15 
 c) 0 ≤ f1 ≤ 20; 0 ≤ f2 ≤ 20 ; 10 ≤ f3 ≤ 30 
 
 
4) S={D�-,E� , 20 − +, +F , + ∈ ℝ H 0 ≤ + ≤ 20} 
Há infinitas soluções dadas em função da quantidade para o produto C. 
 
 
5) 20 toneladas de cada tipo de petróleo 
 
 
6) As temperaturas de equilíbrio nos pontos interiores são: 
t1=74,108, t2=46,430; t3=61,607 
 
 
7) t1=25; t2=25; t3=75; t4=75 
 
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VETORES 
Um vetor, no plano cartesiano, é um segmento de linha orientado que corresponde ao 
deslocamento de um ponto A até outro ponto B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
O vetor de A até B é denotado por $%JJJJJK e tem A como ponto inicial ou origem e B como ponto final 
ou extremidade. Muitas vezes um vetor é denotado por uma só letra minúscula, como v. 
 
O conjunto de todos os pontos do plano corresponde ao conjunto de todos os vetores cujos 
pontos iniciais coincidem com a origem O do plano cartesiano. A cada ponto A corresponde um 
vetor a e a cada vetor a com um ponto inicial em O corresponde seu ponto final A. 
 
Utilizam-se coordenadas para representar vetores. Por exemplo, a=(3,2), a =D32F	ou a =�32�. O 
conjunto de todos os vetores com duas componentes é denotado por IR2. 
 
Dois vetores são iguais se eles têm o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido. 
Assim, por exemplo, sendo A(3,1) e B(6,3), O(0,0), P(3,2) os vetor $%JJJJJKe LMJJJJJK	são iguais. O vetor LMJJJJJK=(3,2) está na sua posição padrão. 
 
 
Sendo u=(u1,u2) e v=(v1,v2) e c um escalar, então: 
 u+v=(u1+v1,u2+v2) 
cv=c(v1,v2)=(cv1,cv2) 
 
 
Analogamente, o conjunto de todas as triplas ordenadas de números reais é denotado por R3 e o 
Polı́grafo	de	A� lgebra	Linear	 Página	36	
 
vetor v na posição padrão é representado tal como segue: 
 
 
 
 
Em geral, definimos Rn como o conjunto de todas as n-uplas ordenadas de números reais, 
escritos como vetores linha ou coluna. Assim, um vetor v em IRn é da forma: 
NO�,O�,. . . , O	P ou �O�O�. . .O	
 
 
A adição de vetores e multiplicação por escalar é realizada tal como foi definido para o R2. 
 
As propriedades algébricas dos vetores em Rn são as seguintes: 
 Sejam u, v e w vetores em Rn, e a, b, escalares, então: 
 A1. u + v = v + u (comutatividade) 
 A2. (u + v ) + w = u + (v + w) (associatividade) 
 A3. u+0=0+u=u (existência e unicidade do elemento neutro) 
 A4. u+(-u)=-u+u=0 (existência do elemento oposto) 
 M1. α (u + v) = α u + α v (distributividade) 
 M2. (α + β )v = α v + β v (distributividade) 
 M3. (α β )v = α (β v) (associatividade) 
 M4. 1v = v (existência do elemento neutro) 
 
 
EXEMPLO: Para os vetores u=(2,-3), v=(5,0) e w=(1,4) e para o escalar α=5, verifique a validade 
das propriedades A2 e M1. 
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EXERCÍCIOS 
Nos exercícios 1 e 2, calcule u+v e u-2v. 
 
1) Q = �32�, O = � 2−1� 
 
2) Q = �−12 �, O = �−3−1� 
 
 
3) Dados os vetores do exercício (2), represente graficamente os seguintes vetores no plano xy: 
u, v, -2v, v-u. 
 
Nos exercícios 4 e 5 obtenha um sistema de equações que seja equivalente à equação vetorial 
dada. 
4) 4� � 31−5� + 4� �
−204 � = �
8−63 � 
 
 
5) 4� �32� + 4� �−14 � + 4� �−71 � = �00� 
 
 
Nos exercícios 6 e 7, escreva uma equação vetorial que seja equivalente ao sistema de 
equações dado. 
 
6) 
−4 + 45 − 6 = 344 − 5 = 10−5 + 46 = 6 7) 
4� + 6x� + 2x� = 55x� − 6x� = 73x� − 4� + 4x� = −1 
 
 
8) Represente graficamente os vetores u= (3,2,-3), v=(-2, -2, 2), w=(0,4,4), t=(4,0,4), h=(4,4,0), 
l=(0,0,3), m=(3,0,0), n=(0,3,0). 
 
9) Represente graficamente no espaço tridimensional os planos solicitados: 
a) 442 =++ zyx 
b) 33 =+− yx 
c) 42 =+ zx 
d) 2=y 
e) 3=x 
 
10) Represente graficamente no espaço tridimensional as retas solicitadas: 
a) 



=
+=
2
4
y
zx
 
b) 



=
=
3
2
y
x
 
 
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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 
1) Q + O = �51�, Q − 2v = �−14 � 
 
2) Q + O = �−41 �, Q − 2v = �54� 
 
 
4) 
3x� − 2x� = 84� = −6−5x� + 4x� = 3 
 
5) 3x� − 4� − 7x� = 02x� + 4x� + 4� = 0 
 
6) 4 �−140 � + 5 �
4−1−1� + 6 �
−104 � = �
3106 � 
 
7) 4� �153� + 4� �
60−1� + 4� �
2−64 � = �
57−1� 
 
 
8) Conferir em aula 
 
9) Conferir em aula 
 
10) Conferir em aula 
 
 
 
 
 
 
 
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ESPAÇOS E SUBESPAÇOS VETORIAIS 
 
Vamos, agora, definir “vetores” de uma forma geral e estes poderão ser matrizes, polinômios, 
funções, vetores propriamente ditos ou, até mesmo, números. Como espaços vetoriais 
consideramos conjuntos, cujos elementos são ditos vetores, onde definimos duas operações, uma 
chamada adição e outra multiplicação por escalar que devem satisfazer oito axiomas, quatro 
deles referentes à adição e quatro à multiplicação por escalar. 
 
 
ESPAÇOS VETORIAIS 
 
 
Na definição acima destacamos: 
 
� As operações de adição e multiplicação por escalar podem ser representadas por + e ., 
respectivamente, e um espaço vetorial com essas operações por (V,+, . ); 
� Uma característica importante da definição é que um espaço vetorial é fechado em relação 
às duas operações, o que significa serem válidas as seguintes propriedades: 
 
 F1. Se u, v ∈ V, então u + v ∈ V; 
 F2. Se v ∈ V e α ∈ R , então αv ∈ V. 
 
 
EXEMPLO 1: Os conjuntos R2 e R3 são espaços vetoriais com relação às operações de adição e 
multiplicação por escalar. 
 
 EXEMPLO 2: O conjunto Mmxn de todas as matrizes m x n é um espaço vetorial. 
 
EXEMPLO 3: O conjunto V de todas as funções reais definidas num conjunto D (geralmente D é o 
conjunto dos números reais ou um intervalo da reta) é um espaço vetorial com relação à soma e 
multiplicação por escalar. 
 
EXEMPLO 4: Para S T 0, o conjunto Pn dos polinômios de grau menor ou igual a n, que consiste 
de todos os polinômios da forma 
 UN7P � �V ' ��7 ' ��7�'. . . '�	7	 
 
Def: Um conjunto não vazio V munido de duas operações, a adição de vetores e a multiplicação 
de um escalar (real) por um vetor é um espaço vetorial real se e somente se, para quaisquer 
vetores u, v e w de V e quaisquer a e b de R , essas duas operações satisfazem as seguintes 
propriedades: 
 
 A1. u + v = v + u (comutatividade) 
 A2. (u + v ) + w = u + (v + w) (associatividade) 
 A3. ∃| 0 ∈ V; v + 0 = v (existência e unicidade do elemento neutro) 
 A4. ∀ v ∈ V, ∃ (– v) ∈ V; v + (– v) = 0 (existência do elemento oposto) 
 M1. α (u + v) = α u + α v (distributividade) 
 M2. (α + β )v = α v + β v (distributividade) 
 M3. (α β )v = α (β v) (associatividade) 
 M4. 1v = v (existência do elemento neutro) 
Polı́grafo	de	A� lgebra	Linear	 Página	40	
 
 
onde os coeficientes �-,��,. . . , �	e a variável t são números reais. O conjunto Pn é um espaço 
vetorial em relação à propriedades de soma e multiplicaçãopor escalar de funções 
 
 
OBS: 
1) Para a comprovação que V é um espaço vetorial deve-se fazer a prova rigorosa de todas as 
propriedades de espaço vetorial. Porém, para negar, basta mostrar que, pelo menos uma das 
propriedades não se verifica. 
2) As operações usuais são utilizadas sempre que não forem definidas, explicitamente, outras 
operações. 
 
 
SUBESPAÇOS VETORIAIS 
 Em muitos problemas, um espaço vetorial consiste em um determinado subconjunto de 
vetores de um espaço vetorial maior. Nesse caso, apenas três dos dez axiomas de espaço 
vetorial precisam ser verificados; os demais já são automaticamente satisfeitos: 
 
 
OBSERVAÇÕES 
a) A melhor forma de verificar se W é subespaço é observando primeiro se ele contém o vetor 
nulo de V. Se 0 está em W, então as propriedades (ii) e (iii) precisam ser verificadas. De outro 
modo, se 0 não está em W, então W não pode ser um subespaço e assim, as propriedades (ii) e 
(iii) não precisam ser verificadas; 
b) É fácil ver que as oito propriedades da definição 1.1.1 continuam válidos em W. 
 
EXEMPLO 1: O conjunto que consiste apenas no vetor nulo de um espaço vetorial V é um 
subespaço de V, chamado subespaço trivial e denotado por {0}. 
 
EXEMPLO 2: O espaço vetorial R2 não é um subespaço do IR3, porque o R2 não é nem mesmo 
um subconjunto do R3. (Os vetores do R3 têm todos três componentes, enquanto os vetores do R2 
têm apenas duas). 
 
EXEMPLO 3: Verifique se W={(x,y)/y=3x} é subespaço vetorial do R2. O que representa, 
geometricamente, esse subespaço? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Def.: Um subconjunto W de um espaço vetorial V é um subespaço vetorial de V, se: 
 (i) O vetor nulo de V está em W; 
 (ii) Se u ∈ W e v ∈ W então u + v ∈ W; 
 (iii) Se u ∈ W e α ∈ IR então αu ∈ W. 
Polı́grafo	de	A� lgebra	Linear	 Página	41	
 
EXEMPLO 4: Um plano no R3 que não passa pela origem não é um subespaço do R3, porque o 
plano não contém o vetor nulo do R3. 
 
 
 
OBS: 
 Todo espaço vetorial V contém, pelo menos, dois subespaços: o conjunto {0}, chamado 
subespaço nulo e o próprio espaço vetorial V. Esses dois são os subespaços triviais de V. Os 
demais são denominados subespaços próprios de V. 
 
 
 
Polı́grafo	de	A� lgebra	Linear	 Página	42	
 
TRANSFORMAÇÕES LINEARES 
A equação matricial Ax=b pode ser pensada de uma forma diferente: uma matriz A agindo sobre 
um vetor, por multiplicação, e produzindo um novo vetor chamado Ax. Sob esse novo ponto de 
vista, resolver a equação Ax=b significa determinar todos os vetores x do Rn que são 
transformados no vetor b do Rm sob a “ação” da multiplicação por A. 
Exemplo: Ax=b e Ax=0, ou seja, a matriz A transforma x em b e transforma u no vetor nulo: 
�4 �3 1 32 0 5 1� . �
1111
 � �
58�e �4 �3 1 32 0 5 1� . �
14�13 
 � �
00� 
 
EXEMPLO 1: Sejam $ � � 1 �33 5�1 7 �, Q � � 2�1�, * � �
32�5�, + � �
325�e seja a transformação W: Y� →Y�dada por T(x)=Ax. 
a) Determine T(u), a imagem de u pela transformação T. 
b) Determine um x do R2 cuja imagem por T é b. 
c) Existe mais de um x cuja imagem por T é b? 
d) Determine se c está na imagem da transformação T. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma transformação linear T do Rn no Rm é uma regra que associa a cada vetor x do Rn um vetor 
T(x) do Rm. O conjunto Rn é chamado de domínio de T e Rm é chamado de contradomínio de T.
Notação: W: Y	 → Y�. Para x do Rn o vetor T(x) do Rm é chamado de imagem de x. O conjunto de 
todas as imagens T(x) é chamado de imagem de T. 
Polı́grafo	de	A� lgebra	Linear	 Página	43	
 
EXEMPLO 2: Analise a ação da matriz A na transformação T(x)=Ax, sendo $ = �1 0 00 1 00 0 0� 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Toda transformada linear do Rn para o Rm é, na verdade, uma transformada 4 → $4 e 
propriedades importantes de T estão intimamente relacionadas a propriedades conhecidas de A. 
A chave para se determinar A é observar que T fica completamente determinada pela sua ação 
nas colunas da matriz identidade n x n. 
 
Teorema: 
 
Seja W: Y	 → Y�uma transformada linear. Então existe uma única matriz A tal que T(x)=Ax para 
todo x do IR''. 
De fato, A é a matriz m x n cuja j-ésima coluna é o vetor T(ej), onde ej é a j-ésima coluna da matriz 
identidade no IRn. 
A=[T(e1) ... T(en)] → matriz canônica 
 
EXEMPLO 3: Determine a matriz canônica A para a dilatação T(x)=3x, para x no R2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição: Uma transformação T é linear se: 
i) T(u+v)=T(u)+T(v) para todo u, v no domínio de T. 
ii) T(cv)=cT(v) para todo v e todo escalar c. 
Polı́grafo	de	A� lgebra	Linear	 Página	44	
 
TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS 
 
Reflexão em relação à reta 5 = 4 Rotação em sentido anti-horário 
 �cos] −^HS]^HS] cos] � 
 
 
Reflexão no eixo x
Reflexão no eixo y
Reflexão em relação à reta y=-x
Reflexão em relação à origem
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Cisalhamento horizontal
Cisalhamento vertical
Projeção em relação ao eixo x
Fonte: LAY, David C. Álgebra Linear e suas aplicações.
2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999. 
Expansão ou contração horizontal
Expansão ou contração vertical
Projeção em relação ao eixo y
Projeção em relação ao eixo x
Polı́grafo	de	A� lgebra	Linear	 Página	46	
 
EXEMPLO 4: Use um sistema de coordenadas retangulares para representar graficamente os 
vetores u=(1,3) e v=(-2,-4) e suas imagens pela transformada T(x)=Ax, sendo: 
 
a)$ = �2 00 2� 
 
b) $ = �−1 00 1�. 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 5: Seja W: Y� → Y�a transformação que aplica uma rotação de um ângulo θ em cada 
ponto do R2. Sabendo que a matriz canônica dessa transformação é $ = �cos] −^HS]^HS] cos] �calcule a 
rotação de 90º em sentido horário para os vetores u=(1,2) e v=(-2,4). Represente os vetores u e v 
e suas respectivas transformações no plano cartesiano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 6: Seja o vetor u=(2,1). 
a) Encontrar o vetor v girando u 90º em sentido anti-horário. 
b) Encontrar o vetor w a partir da reflexão do vetor v em relação ao eixo x. 
c) Encontrar uma única matriz que realize as duas transformações simultaneamente, nesta 
ordem, ou seja achar a matriz que transforma u em w. 
 
Polı́grafo	de	A� lgebra	Linear	 Página	47	
 
EXERCÍCIOS: 
1) Seja $ = �3 00 3�e a transformação W: Y� → Y�definida por T(x)=Ax. Determine as imagens por T 
de Q = �15�e O = �−4−1�. 
2) Sejam $ = �2 0 00 2 00 0 2�, Q = �
10−3�, O = �
5−14 �e a transformação W: Y� → Y�definida por T(x)=Ax. 
Calcule T(u) e T(v). 
3) Sejam as transformações T definidas por T(x)=Ax, onde A é dada abaixo. Encontre um x cuja 
imagem por T é b, e determine se este x é único. 
a) $ = � 1 0 −13 1 −5−4 2 1 �, * = �
0−5−6� b) $ = � 1 0 3−2 1 −3�, * = �−49 � 
c) $ = � 1 0 30 1 −43 2 1−2 −1 −2
, * = �
1−5−73 
 
4) Seja A uma matriz 7x5. Quais os valores de a e b de modo que W: Y_ → Y`possa ser definida 
por T(x)=Ax? 
5) Quantas linhas e quantas colunas é preciso que a matriz A tenha de modo que se possa definir 
uma aplicação do IR3 no IR4 pela regra T(x)=Ax? 
6) Encontre todos os x do R4 que são aplicados no vetor nulo pela transformada 4 → $4. 
$ = �1 3 4 −30 1 3 −23 7 6 −5� 
7) Sejam * = 1 −1 7! e a matriz do exercício anterior. O vetor b está na transformada 4 → $4? 
Nos exercícios 8 a 12, use um sistema de coordenadas retangulares para representar 
graficamente os vetores u=(4,2) e v=(-5,-2) e suas imagens pela transformada T. (Faça uma figura 
diferente para cada exercício). Dê uma descrição geométrica do efeito da aplicação de T em um 
vetor do R2. 
8) WN4) = 00,5 00 0,52 . �4�4�� 9) WN4) = �0 11 0� . �4�4�� 
10) WN4) = �2 00 1� . �4�4�� 11) WN4) = �0 00 1� . �4�4��12) WN4) = �−1 00 −1� . �4�4�� 
 
 
Polı́grafo	de	A� lgebra	Linear	 Página	48	
 
Nos exercícios 13 a 20, suponha que T seja uma transformação linear. Determine a matriz 
canônica da transformação. 
13) W: Y� → Y� faz uma rotação no sentido horário de pi radianos. 
14) W: Y� → Y� faz uma rotação de pontos, no sentido anti-horário de pi /2 radianos. 
15) W: Y� → Y� projeta cada ponto (x,y,z) verticalmente no plano xy. 
16) W: Y� → Y� projeta cada ponto (x,y,z) verticalmente no plano yz. 
17) W: Y� → Y� é um cisalhamento horizontal de fator -3. 
18) W: Y� → Y� é uma reflexão em relação a reta y=x seguida por uma reflexão no eixo x. 
19) W: Y� → Y� faz uma rotação de pontos, no sentido anti-horário, de pi /4 radianos e, depois, faz 
uma reflexão no eixo y. 
20) W: Y� → Y�faz uma reflexão em relação à origem e, depois, uma rotação de pontos no sentido 
anti-horário de pi /2 radianos. 
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RESPOSTAS 
1) (3,15) e (-12,-3) 
2) (2,0,-6) e (10,-2,8) 
3) a) (4,3,4). É único. 
 b) (-4,1,0). Não é único. 
 c) (1,-5,0). Não é único. 
6) Todos os vetores da forma: (5z-3t,-3z+2t,z,t), com z,t ∈ IR. 
7) Não 
13) �−1 00 −1� 
14) �0 −11 0 � 
15) �1 0 00 1 00 0 0� 
16) �0 0 00 1 00 0 1� 
17) �1 −30 1 � 
 
Polı́grafo	de	A� lgebra	Linear	 Página	50	
 
 
COMBINAÇÃO LINEAR 
 
Uma das características mais importantes de um espaço vetorial é a obtenção de “novos vetores” 
a partir de um conjunto pré-fixado de vetores desse espaço. Por exemplo, ao fixarmos em IR3 o 
vetor u=(2,-1,3), poderemos obter w=(-4,2,-6) fazendo -2u. Na verdade, qualquer vetor da reta que 
contém u é “criado” por u ou então, podemos dizer que u “gera” a reta que o contém. 
 
Def.: Sejam os vetores v1, v2, ..., vn do espaço vetorial V e os escalares c1, c2, ...., cn. Qualquer 
vetor v ∈ V da forma 
v=c1v1+c2v2+...+cnvn 
 
é uma combinação linear dos vetores v1, v2, ..., vn. 
 
EXEMPLO 1: A figura abaixo identifica algumas combinações lineares de v1=(-1, 1) e v2=(2, 1) 
 
 
EXEMPLO 2: No espaço vetorial R3, o vetor v=(-7,-15,22) é uma combinação linear dos vetores 
v1=(2,-3,4) e v2=(5,1,-2) pois v=4v1-3v2. Verifique: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Polı́grafo	de	A� lgebra	Linear	 Página	51	
 
EXEMPLO 3: Escrever o vetor v=(-4,-18,7) como combinação linear dos vetores v1=(1,-3,2) e 
v2=(2,4,-1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONJUNTO GERADOR 
 Um conjunto de vetores {v1, v2, ..., vn} de um espaço vetorial V é dito gerador de V se todo 
vetor em V pode ser escrito como combinação linear desses vetores. Ou seja, para todo v ∈ V, 
existem escalares c1, c2, ..., cn, tais que 
v=c1v1+c2v2+...+cnvn 
 
 
EXEMPLO 4: Os vetores i=(1,0) e j=(0,1) geram o espaço vetorial V=R2, pois qualquer par (x,y) do 
IR2 é combinação linear de i e j. 
 
EXEMPLO 5: Os vetores i=(1,0,0) e j=(0,1,0) do R3 geram o subespaço 
S={(x,y,0) ∈ R3 / x,y ∈ IR} que representa, geometricamente, o plano xOy. 
 
EXEMPLO 6: Verificar se o conjunto {v1=(1,2), v2=(3,5)} gera o R2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Polı́grafo	de	A� lgebra	Linear	 Página	52	
 
 
 
EXEMPLO 7: O conjunto W={(1,1,2), (2,-1,1)} gera o R3 ? Em caso negativo, identifique o 
subespaço gerado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS: 
 
O método para verificar se S={v1,v2,...vn} gera o espaço vetorial V é o seguinte: 
 
1° PASSO: Escolha um vetor arbitrário v em V. Este vetor envolve alguns parâmetros arbitrários. 
2° PASSO: Determine se v é uma combinação linear dos vetores de S. Ou seja, o sistema linear 
correspondente tem sempre solução, para qualquer escolha dos parâmetros de v? Se houver 
solução somente para certas escolhas de parâmetros, então S não gera V. 
 
 
 
A EQUAÇÃO MATRICIAL Ax=b 
 Se A é uma matriz mxn, com colunas a1, a2, ... an e se x pertence a Rn, então o produto de 
A e x denotado por Ax, é a combinação linear das colunas de A usando as componentes 
correspondentes de x como pesos, isto é: 
$4 = ����. . . ã	! �4�4�⋮4	
 = 4��� + 4���+. . . +4	�	 
Teorema: 
Se A é uma matriz m x n,com colunas a1, a2, ... an e se b pertence a IRm, a equação matricial 
Ax=b 
tem o mesmo conjunto solução que a equação vetorial 
x1a1+x2a2+...+xnan=b 
Polı́grafo	de	A� lgebra	Linear	 Página	53	
 
 
que, por sua vez, tem o mesmo conjunto solução que o sistema de equações lineares cuja matriz 
completa é 
[a1 a2 ... an b] 
 
Por exemplo: 
 
4 + 45 + 26 = 224 + 55 + 6 = 134 + 65 = 0 → 4 �
123� + 5 �
456� + 6 �
210� = �
210� → �
1 4 2 22 5 1 13 6 0 0� 
 
Existência de soluções 
A definição de Ax leva diretamente ao seguinte fato muito útil: 
 
A equação Ax=b tem solução se e somente se b é uma combinação linear das colunas de A. 
 
 
EXEMPLO 8: Sejam $ = �3 −16 −2�e * = 0*�*�2. Mostre que a equação Ax=b não é possível para 
todas as escolhas de b1 e b2 e descreva o conjunto de todos os b para os quais Ax=b é possível. 
 
Polı́grafo	de	A� lgebra	Linear	 Página	54	
 
EXERCÍCIOS 
Nos exercícios de 1 a 5, determine se o vetor v é uma combinação linear dos demais vetores. 
1) v=(1 ,2), u1=(1 ,-1), u2=(2 ,-1) 
2) v=(2 ,1), u1=(4 ,-2), u2=(-2, 1) 
3) v=(1, 2, 3), u1=(1, 1, 0), u2=(0, 1, 1) 
4) v=(3, 2, -1), u1=(1, 1, 0), u2=(0, 1 ,1) 
5) v=(1, 2, 3), u1=(1, 1, 0), u2=(0, 1, 1), u3=(1,0, 1) 
 
Nos exercícios 6 e 7 determine se o vetor b pertence ao conjunto gerado pelas colunas da matriz 
A. 
6) $ = �1 23 4� , * = �56� 7) $ = �1 2 34 5 67 8 9� , * = �
101112� 
 
8) Mostre que o R2 pode ser gerado pelos vetores v1=(1, 1) e v2=(1, -1). 
 
9) Mostre que o R3 pode ser gerado pelos vetores (1, 0, 1), (1, 1, 0), ( 0 ,1 ,1). 
Nos exercícios de 10 a 12 descreva o conjunto gerado pelos vetores dados. 
10) (2 ,-1), (-1, 2) 
11) (1 ,2), (2, 4) 
12) (1, 2, 0), (3, 2, -1) 
13) Sejam �� = � 13−1�, �� = �
−5−82 �e * = �
3−5ℎ �. Para que valores de h o vetor b pertence ao plano 
gerado por a1 e a2? 
14) Sejam O� = � 10−2�, O� = �
−217 �e 5 = �
ℎ−3−5�. Para que valores de h o vetor y pertence ao plano 
gerado por v1 e v2? 
15) 3) Verificar se as matrizes $� = �1 0 23 1 −1�, $� = �−1 1 42 3 0�e $� = �−1 0 21 2 1�geram o M23. 
16) Mostre que os polinômios 1-t3, (1-t)2, 1-t e 1 geram o espaço dos polinômios de grau ≤ 3. 
17) Considere o subespaço de IR4 
S=[(1,2,-2,4), (1,1,-1,2), (1,4,-4,8)] 
a) o vetor (2/3, 1, -1, 2) ∈ S? 
b) o vetor (0,0,1,1) ∈ S? 
Polı́grafo	de	A� lgebra	Linear	 Página	55	
 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 
 
1) Sim 
2) Não 
3) Não 
4) Sim 
5) Sim 
6) Sim 
7) Sim. Existem infinitas escolhas para c1, c2 e c3 tal que b=c1v1+c2v2+c3v3. 
10) Os vetores geram todo o IR2. 
11) Os vetores geram a reta y=2x do IR2. 
12) Os vetores geram o plano -4z-2x+y=0 do IR3. 
13) h=3 
14) h=-2 
15) As matrizes não geram o M23. 
17) a) Sim b) Não 
 
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DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR 
 
Um conjunto de vetores é linearmente dependente (LD) quando pelo menos um deles pode ser 
escrito como combinação linear de outro(s). Caso contrário, o conjunto é dito linearmente 
independente (LI). Por exemplo, os vetores v1=(2,0,1), v2=(1,0,-1) e v3= (7,0,-1) são LD pois 
v3=2v1+3v2 
 
Def.: Um conjunto de vetores {v1, v2, ..., vn} do R
n é chamado linearmente independente (LI) se a 
equação vetorial 
c1v1+c2v2+...+cnvn= 0 (1) 
tem apenas a solução trivial c1=0, ..., cn=0. O conjunto {v1, v2, ..., vn}é chamado linearmente 
dependente (LD) se a equação vetorial admite solução não trivial, ou seja, se existem 
constantes c1, c2, cn não todas iguais a zero tal que (1) seja válido. 
 
EXEMPLO 1: No espaço vetorial R2, os vetores i=(1,1) e j=(1,2) são LI. Verifique algebricamentee 
geometricamente. 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 2: No espaço vetorial R2, os vetores v1=(2,3) e v2=(-4,-6) são LD. Verifique 
algebricamente e geometricamente. 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 3: No espaço vetorial IR3, os vetores v1=(2,0,1), v2=(2,0,4) e (3,2,0) são LI. Verifique 
algebricamente e geometricamente. 
 
 
 
 
 
 
 
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Teorema: Seja S={v1,v2,...vn} um conjunto de vetores não nulos em um espaço vetorial V. Então, 
S será linearmente dependente se e somente se um dos vetores vi for uma combinação linear dos 
vetores de S. 
 
Teorema: Seja S={v1,v2,...vn} um conjunto de vetores não nulos em um espaço vetorial V. Um 
vetor v ∈ S pode ser escrito de maneira única como uma combinação linear de v1,v2,...vn se e 
somente se v1,v2,...vn for linearmente independente. 
 
Teorema: Se um conjunto S={v1,v2,...vn} de vetores do Rn contém o vetor nulo, então o conjunto 
é linearmente dependente. 
 
Teorema: Um conjunto de dois vetores {v1,v2} é linearmente dependente se um dos vetores é 
múltiplo do outro. 
 
 O processo para determinar se um conjunto de vetores é LD ou LI é o seguinte: 
 1º PASSO: Forme a equação c1v1+c2v2+...+cnvn= 0 que conduz a um sistema homogêneo. 
2° PASSO: Se o sistema homogêneo obtido tiver somente a solução trivial, então o 
conjunto é LI; se tiver uma solução não trivial, então o conjunto é LD. 
 
 
EXEMPLO 4: Verifique se os vetores p1(t)=t2+t+2, p2(t)=2t2+t, p3(t)=3t2+2t+2 são LI ou LD. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 5: Comprove que o conjunto abaixo é LD e, em seguida, encontre uma relação de 
dependência entre as matrizes. $� = � 1 −1−2 2 �, $� = �3 01 1�, $� = � 0 2−3 1�, $� = � 4 −1−1 3 � 
 
 
 
 
 
 
Polı́grafo	de	A� lgebra	Linear	 Página	58	
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Verificar se os vetores u=(2,-1,1,3), v=(1,0,-1,2), w=(1,3,-1,1) e t=(-1,2,1,0) são LI. ou LD. 
2) Determine se o conjunto {1+x, x+x2, 1+x2} é LI. 
3) Determine se os seguintes conjuntos de vetores são LI. ou LD. Para os que forem LD encontre 
uma relação de dependência. 
a) {(1,2), (-1,3)}; em R2 
b) {(-3,2), (1,10), (4,-5)}; em R2 
c) {(2,-1,4), (4,-2,8)}; em R3 
d) {(1,-2,1,1), (3,0,2,-2), (0,4,-1,-1), (5,0,3,-1)}; em R4 
e) {1-t, 1+t, t2}; em P2 
f) {t, t2-t, t3-t}; em P3 
g) 












−





 −





 −
57
14
,
51
30
,
04
12
; em M22. 
h) 






























11
22
,
12
13
,
21
32
,
11
11
; em M22. 
i) (1 -1 2 1), (3 2 2 4), (2 3 1 -) 
j) (0 0 0 1), ( 0 0 2 1), (0 3 2 1), (4 3 2 1) 
k) � 1−110 
, �
−1101 
, �
101−1
,�
01−11 
 
 
 
Polı́grafo	de	A� lgebra	Linear	 Página	59	
 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 
 
1) Os vetores são LI. 
2) O conjunto é LI. 
3) a) LI. 
 b) LD e uma possível relação entre os vetores é 45v1+7v2+32v3=0 (existem infinitas) 
 c) LD e uma possível relação entre os vetores é 2v1-v2=0 
 d) LD e uma possível relação entre os vetores é 2v1+v2+v3-v4=0 
 e) LI 
 f) LI 
 g) LD e uma possível relação entre as matrizes é -2A1+A2+A3=0 
 demais LI 
 
 
 
 
Polı́grafo	de	A� lgebra	Linear	 Página	60	
 
BASE E DIMENSÃO 
Uma base de um espaço ou subespaço vetorial é um conjunto “eficiente” que contém o número 
de vetores estritamente necessários para gerar o espaço ou subespaço. 
 
Base de um espaço vetorial: 
 Um conjunto B={v1, v2, ..., vn} ⊂ V é base de um espaço vetorial V se: 
I) B é l.i. 
II) B gera V 
 
EXEMPLO 1: B={(1,0), (0,1)} é base do R2, denominada base canônica. 
 
EXEMPLO 2: B={(1,2), (3,5)} é base do R2. 
 
EXEMPLO 3: B={(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} é base do R3. 
 
EXEMPLO 4: B={(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)} é base do R3. 
 
EXEMPLO 5: B={(1,2), (2,4)} não é base do R2. 
 
Dimensão de um Espaço Vetorial: 
A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base do espaço. Se V é um 
espaço vetorial e possui uma base com n vetores, V tem dimensão n. A dimensão de V se indica 
por dim V=n. 
 
EXEMPLOS: 
 dim R2 = 2 dim R3 = 3 dim {0} = 0 
 
 
Teoremas: 
1) Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita e {v1, v2, ..., vn} uma base qualquer de V. 
a) Um conjunto com mais do que n vetores é linearmente dependente. 
b) Um conjunto com menos do que n vetores não gera V 
2) Todas as bases de um espaço vetorial de dimensão finita têm o mesmo número de vetores. 
3) Se B={v1, v2, ..., vn} é uma base de um espaço vetorial V, qualquer vetor v ∈ V é combinação 
linear dos vetores da base. 
Se V é um espaço vetorial tal que dim V= n e S é um subespaço vetorial de V, então dim S ≤ n. 
 
 
Polı́grafo	de	A� lgebra	Linear	 Página	61	
 
BASES CANÔNICAS 
As bases chamadas de canônicas são as mais naturais para representar um determinado espaço. 
Assim: 
� {(1,0), (0,1)} é base canônica do R2 
� {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} é base canônica do R3 
� b1 00 0 , 0 10 0 , 0 01 0 , 0 00 1cé base canônica de M22 
� {1, x, x2, ..., xn} é base canônica de Pn 
 
EXEMPLO 1: Sejam v1=(1,2,1), v2=(2,9,0), v3=(3,3,4). Mostre que o conjunto V= {v1, v2, ..., vn} é 
uma base do R3. 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 2: Seja V a base do exemplo anterior. Encontre as coordenadas de v=(5,-1,9) em 
relação à base V. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 3: Encontre uma base para o R4 dentre os vetores a=(1,2,3,0), b=(2,3,-1,5), 
c=(0, 0 ,2,7), d=(1,-1,-1, 3), e=(2,2,2,2), f=(7,-3,2,-1) 
Polı́grafo	de	A� lgebra	Linear	 Página	62	
 
EXERCÍCIOS 
1) Quais dos conjuntos de vetores abaixo são base para R2? 
a) {(1,3), (-1,1)} b) {(0,0), (1,2), (-1,3)} c) {(1,2), (2,-3), (3,2)} d) {(1,3), (-2,6)} 
 
2) Quais dos seguintes conjuntos de vetores são base para P2? 
a) {-t2+t+2, 2t2+2t+3, 4t2-1} b) {t2+2t-1, 2t2+3t-2} c) {3t2+2t+1, t2+t+1, t2+1} 
 
3) Quais dos seguintes conjuntos de vetores são base para M22? 
a) 












−





−












70
10
,
60
15
,
00
23
,
00
13
 
 
b) 






























dc
ba
0
00
,
0
00
,
00
0
,
00
0
, com a,b, c e d ≠ 0 
 
c) 

















 −





−











−
00
10
,
01
27
,
85
16
,
41
12
,
13
01
 
 
d) 






























− 00
00
,
30
00
,
21
00
,
12
10
 
 
4) Nos exercícios abaixo, determine uma base e a dimensão para o espaço ou subespaço gerado 
pelos vetores: 
a) u=(1, 0, -3, 2), v=(0, 1, 2, -3), w=(-3, -4, 1, 6), t=(1, -3, -8, 7), s=(2, 1, -6, 9) 
b) u=(1, 0, 0, 1), v=(-2, 1, -1, 1), w=(6, -1, 2, -1), t=(5, -3, 3, -4), s=(0, 3, -1, 1) 
c) u=(8, 9, -3, -6, 0), v=(4, 5, 1, -4, 4), w=(-1, -4, -9, 6, -7), t=(6, 8, 4, -7, 10), s=(-1, 4, 11, -8, -7) 
 
5) Seja S={v1,v2,v3,v4}, onde v1=(1,2,2), v2=(3,2,1), v3=(11,10,7) e v4=(7,6,4). Encontre uma base 
para o subespaço W=[S] de R3. Quanto é dim W? 
 
6) Escreva a base canônica dos espaços: 
a) R2 b) R3 c) M22 d) P3 
 
7) Encontre as coordenadas de w em relação à base S={u,v}: 
a) u=(1,0), v=(0,1), w=(3,-7) 
b) u=(1,1), v=(0,2), w=(3,-5) 
c) u=(2,-4), v=(3,8), w=(1,1) 
Polı́grafo	de	A� lgebra	Linear	 Página	63	
 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 
 
1) a) Sim 
 b) Não 
 c) Não 
 d) Sim 
 
2) a) Não 
 b) Nãoc) Sim 
 
3) a) Não 
 b) Sim 
 c) Não 
 d) Não 
 
4) a) B={u, v, t}, dim=3 (subespaço do R4) 
 b) B={u, v, w}, dim=3 (subespaço do R4) 
 c) B={u, v, w}, dim=3 (subespaço do R5) 
 
5) B={v1, v2}, dim=2 (subespaço do R3) 
 
7) a) wS=(3,-7) b) wS=(3,-4) c) wS=(5/28, 3/14) 
 
Polı́grafo	de	A� lgebra	Linear	 Página	64	
 
ESPAÇOS MATRICIAIS FUNDAMENTAIS 
Os espaços fundamentais associados a uma matriz A são os espaço-coluna, espaço-linha e 
espaço-nulo. 
 
EXEMPLO 1: Dada a matriz $ = � 1 �3 �4�4 6 �2�3 7 6 � determine os espaços linha, coluna e nulo de A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 2: Seja $ � � 1 �3 �4�4 6 �2�3 7 6 �			e 		* � �
33�4�. Determine se b pertence ao espaço das 
colunas de A. 
 
 
 
 
 
 
Definições: Sendo A mxn, então: 
 O espaço coluna de uma matriz A , Col(A), é o conjunto de todas as combinações lineares 
das colunas de A. Ele é um subespaço do IRm. 
 O espaço linha de uma matriz A, Lin(A), é o conjunto de todas as combinações lineares 
das linhas de A. Ele é um subespaço do IRn 
 O espaço nulo de uma matriz A, nul(A), é o conjunto de todas as soluções da equação 
homogênea Ax=0. Trata-se de um subespaço do IRn. 
Polı́grafo	de	A� lgebra	Linear	 Página	65	
 
 
OBS: 
- As operações elementares sobre linhas não alteram o espaço-nulo e nem o espaço linha de uma 
matriz. 
- Quando A é transformada para a forma escalonada reduzida B, as colunas mudam 
drasticamente, mas mantém as mesmas relações de dependência linear. A base para Col(A) são 
os vetores li de A correspondentes aos vetores li de B. 
 
EXEMPLO 3: Encontre bases para os espaços linha coluna e nulo de 
$ = � 1 3 3 2 −9−2 −2 2 −8 22 3 0 7 13 4 −1 11 −8
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição: 
 O posto de uma matriz A, pos(A), é o número de linhas não nulas de qualquer uma de 
suas formas escalonadas por linhas, que corresponde a dimensão do espaço linha e do espaço 
coluna de A. A dimensão do espaço nulo de A é chamada nulidade de A – nul(A). 
 
EXEMPLO 4: Encontre o posto e a nulidade da matriz do exemplo anterior. 
 
 
Teoremas: 
- As colunas pivôs de uma matriz A formam uma base para o espaço das colunas de A. 
- Os vetores-linha não nulos de uma matriz escalonada obtida de A formam uma base para o 
espaço linha de A. 
- Se A é uma matriz qualquer, então o espaço linha e o espaço coluna de A têm a mesma 
dimensão. 
Polı́grafo	de	A� lgebra	Linear	 Página	66	
 
 
 
Determine se o sistema $ = �1 −2 −3 44 −1 −5 62 3 1 −2� �
4�4�4�4�
= �
123�, tem ou não solução, comparando os 
postos da matriz dos coeficientes e da matriz aumentada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teoremas: 
- Se A é uma matriz com n colunas, então pos(A)+dim nul(A)=n. 
- Um sistema de m equações e n incógnitas: 
(i) admite solução se, e somente se, o posto da matriz ampliada do sistema é igual ao posto da 
matriz dos coeficientes. 
(ii) se as duas matrizes têm o mesmo posto e pos(A)=n, a solução é única 
(iii) se as duas matrizes têm o mesmo posto e pos(A)<n haverá n-pos incógnitas. 
Polı́grafo	de	A� lgebra	Linear	 Página	67	
 
EXERCÍCIOS 
1) Sejam O� = � 2−86 �, O� = �
−38−7�, O� = �
−46−7�, O� = �
6−1011 �, U = �
6011�e seja A={v1, v2, v3, v4} responda: 
a) Qual é o espaço coluna de A? 
b) Qual é o espaço linha de A? 
c) Encontre bases para o espaço coluna, espaço linha e espaço nulo de A. 
d) O vetor p pertence ao espaço-coluna de A? Justifique. 
e) Determine o posto e a nulidade de A. 
2) Dadas as matrizes $ = � 3 2 1 −5−9 4 1 79 2 −5 1 �e % = �
1 2 34 5 7−5 −1 02 7 11
faça o que se pede: 
a) Dê inteiros p e q tais que o espaço-nulo e A seja do IRp e o espaço-coluna do IRq. 
b) Determine bases para o espaço linha, espaço coluna e espaço nulo de A. 
c) Determine bases para o espaço linha, espaço coluna e espaço nulo de B. 
d) determine um vetor não-nulo do espaço-nulo de B e um vetor não-nulo do espaço-coluna de A. 
 
3) Sejam as matrizes abaixo. Determine bases para o espaço coluna, espaço linha e para o 
espaço nulo. Determine, também, o posto e a nulidade de cada matriz. 
a) � 3 2 1−2 3 −93 4 11� b) �
1 4 11 −4 −9−1 2 −5 6 160 4 12 5 18−1 2 7 4 6 
 
 
4) Um cientista descobriu duas soluções para um sistema homogêneo de 40 equações e 42 
variáveis. As duas soluções não são múltiplos escalares uma da outra, e todas as demais 
soluções podem ser obtidas somando múltiplos escalares dessas duas. O cientista pode ter 
certeza de que um sistema não-homogêneo associado (com os mesmo coeficientes) tem 
solução? 
 
5) Classifique os sistemas abaixo em SPD, SPI ou SI comparando os postos da matriz dos 
coeficientes e da matriz aumentada com o número de incógnitas. 
a) $ = �1 2 5 −22 3 −2 45 1 0 2 � �
4�4�4�4�
= �
000� b) $ = �
1 2 5 −22 3 −2 45 1 0 2 � �
4�4�4�4�
= �
1−131 � 
c) $ = �1 2 4 34 1 2 52 3 6 5� �
4�4�4�4�
= �
122� d) $ = �
1 1 11 −1 15 1 4� �
4�4�4��= �
625� 
Polı́grafo	de	A� lgebra	Linear	 Página	68	
 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 
1) a) defN$) = g�286� , �
387� , �
467� , �
61011�h b) ijSN$) = k 2 3 4 6!, 8 8 6 10!, 6 7 7 11!l 
c) %�^HdefN$) = g�286� , �
387�h ; %�^HijSN$) = k 2 3 4 6!, 8 8 6 10!l 
 %�^HmQfN$) = n� 7 4⁄−5 2⁄10 
 , �
9 4⁄−7 2⁄01 
p d) Não e) pos(A)=2; Nul(A)=2 
2) a) p=3 e q=4 
b) %�^HmQfN$) = 1 0 2 1!, %�^HdefN$) = g� 3−99 � , �
242� , �
11−5�h, 
 %�^HijSN$) = k 3 2 1 −5!, −9 4 1 7!, 9 2 −5 1!l 
c) %�^HmQfN%) = 1 3⁄ 5 3⁄ 1!, %�^HdefN%) = n� 14−52 
 , �
25−17 
p, 
 %�^HijSN%) = k 1 2 3!, 4 5 7!l 
d) 1 3⁄ 5 3⁄ 1! ou qualquer múltiplo dele pertencem ao Nul(A). 3 −9 9! ou qualquer outro vetor da base ou, ainda, qualquer combinação linear dos vetores da 
base pertencem ao Col(A). 
3) a) %�^HmQfN$) =, %�^HdefN$) = g� 3−23 � , �
234� , �
1−911�h, 
 %�^HijSN$) = k 3 2 1!, −2 3 −9!, 3 4 11!l; post(A)=3, nul(A)={0} 
b) , 
%�^HmQfN$) =
qrs
rt
9::
:;−53 6⁄01 6⁄−41 <==
=>
urv
rw %�^HdefN$) = n� 1−10−1
 , �
4242
 , �
11−5127 
 , �
−4654 
p,%�^HijSN$) =k 1 4 11 −4 −9!, −1 2 −5 6 16!, 0 4 12 5 18!, −1 2 7 4 6!l 
 post(A)=4, nul(A)=1 
 
4) Sim. Sabe-se que pos(A) + nul(A)=42. Como nul(A)=2, então pos(A)=40, ou seja, há 40 linhas 
não nulas na matriz ampliada escalonada do sistema. Então. Esse fato permite concluir que o 
sistema terá solução para qualquer escolha de termos independentes. 
 
5) Sejam A a matriz dos coeficientes e B a matriz ampliada dos sistemas: 
a) pos(A)=pos(B)=3<n=4 – SPI b) pos(A)=pos(B)=3<n=4 – SPI 
c) pos(A) 2 ≠ pos(B)=3 – SI d) pos(A)=pos(B)=n=3 - SPD 
Polı́grafo	de	A� lgebra	Linear	 Página	69	
 
AUTOVALORES E AUTOVETORES 
Uma transformação 4 → $4 desloca vetores em muitas direções mas, às vezes, existem vetores 
especiais para os quais a ação de A é muito simples. 
Exemplo:Sejam $ = �3 �21 0 �, Q � ��11 �e O � �21�. As imagens de u e v na multiplicação por A 
podem ser determinadas algebricamente e geometricamente: 
 
 
 
 
Pode-se observar que Av=2v. Assim, A apenas “estica” ou dilata v. 
Definição: Um autovetor de uma matriz A, n x n, é um vetor não-nulo x tal que Ax= λx para algum 
escalar λ. Um escalar λ é chamado autovalor para A se existe solução não-trivial x para Ax= λx; 
este x é chamado autovetor associado a λ . 
 
Exemplo 1: Sejam $ � �1 65 2�, Q � � 6�5�, O � � 3�2�. 
a) Verifique se u é autovetor de A. 
b) Verifique se v é autovetor de A. 
c) Mostre que 7 é um autovalor para a matriz A e determine os autovetores associados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O vetor nulo e todos os autovetores associados a λ forma o auto-espaço de A associado a λ, 
sendo o auto-espaço um subespaço do IRn . 
Polı́grafo	de	A� lgebraLinear	 Página	70	
 
Exemplo 2: Seja $ = �4 −1 62 1 62 −1 8�. Um autovalor de A é 2. Determine uma base para o auto-
espaço associado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA: Os autovalores de uma matriz triangular são os elementos de sua diagonal principal. 
Exemplo: Os autovalores de $ = �3 6 −80 0 60 0 2 �e % = �
4 0 0−2 1 05 3 4� são ...................e .................... 
TEOREMA: Seja A uma matriz nxn. Então A é inversível se e somente se o número 0 não é 
autovalor para A. 
TEOREMA: Se v1, v2, ..., vr, são autovetores associados a autovalores distintos λ1, λ2, ..., λr, de 
uma matriz A n x n então o conjunto {v1, v2, ..., vr} é linearmente independente. 
 
A Equação Característica e o polinômio característico 
 Sendo Ax= λx, tem-se que λé autovalor de A se e somente se: 
 
 Ax-λx=0 
 (A-λI)x=0 
 det(A-λI)=0 essa condição garante que (A-λI) tenha solução não-trivial (*) 
 
 
A equação xH7N$ − y�) = 0é chamada equação característica de A. Um escalar λ é autovalor de 
uma matriz A nxn se e somente se λ satisfaz a equação característica xH7N$ − y�) = 0. Pode ser 
mostrado que para A, xH7N$ − y�)é um polinômio de grau n chamado polinômio característico 
de A. A cada autovalor conhecido e determinado em (*) corresponde um conjunto de autovetores 
obtido por: 
 
 (A-λI) x=0 
 
Polı́grafo	de	A� lgebra	Linear	 Página	71	
 
Exemplo: Determine os autovalores e autovetores de $ = �2 33 −6� 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Determine a equação característica, o polinômio característico, os autovalores e os 
autovetores de $ = �3 −21 0 �. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Polı́grafo	de	A� lgebra	Linear	 Página	72	
 
EXERCÍCIOS 
1) É verdade que �14�é autovetor para �−3 1−3 8�? 
2) É verdade que � 1−21 �é autovetor para �
3 6 73 3 75 6 5�? 
3) É verdade que λ=2 é autovalor para �3 23 8�? 
4) É verdade que λ=-2 é autovalor para �7 33 −1�? 
5) É verdade que λ=4 é autovalor para � 3 0 −12 3 1−3 4 5 �? 
6) Determine uma base para o auto-espaço associado ao autovalores 1 e 5 associados a matriz $ = �5 02 1�. 
7) Determine uma base para o auto-espaço associado ao autovalor 10 associado a matriz $ = � 4 −2−3 9 �. 
8) Determine uma base para o auto-espaço associado ao autovalores 1, 2 e 3 associados a matriz 
$ = � 4 0 1−2 1 0−2 0 1�. 
9) Determine o polinômio característico, os autovalores e os autovetores das matrizes dadas 
abaixo: 
$ = �2 77 2�, % = �3 −21 −1�, d = � 2 1−1 4�, z = � 4 0 05 3 2−2 0 2� 
 
Polı́grafo	de	A� lgebra	Linear	 Página	73	
 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 
1) Não 
2) Sim 
3) Sim 
4) Sim 
5) Sim 
6) [0,1] e [2,1] 
7) [-1,3] 
8) [0, 1, 0], [-1, 2, 2] e [-1, 1, 1] 
9) λ2-4λ-45; λ=9 e λ=-5 
 λ2−2λ−1; λ=1 ± √2 
 λ2-6λ+9; λ=3 
 λ3-9λ2+26λ-24; λ=2, λ=3 e λ=4 
 
Polı́grafo	de	A� lgebra	Linear	 Página	74	
 
DIAGONALIZAÇÃO 
 Em muitos casos, quando uma matriz possui autovalores e autovetores, ela pode ser 
fatorada na forma A=PDP-1. Essa fatoração permite calcular Ak rapidamente para valores grandes 
de k, uma idéia fundamental em muitas aplicações da álgebra linear. 
Ex.1: Se z = �5 00 3�, calcule Dk. 
 
 
 
 
 
 
Ex.2: Seja $ � � 7 2�4 1�. Calcule A5, dado que A=PDP-1, onde M � � 1 1�1 �2�e z � �5 00 3� 
 
 
 
 
 
 
Matriz Diagonalizadora: 
 Uma matriz A mxn é dita diagonalizável se existirem uma matriz P e uma matriz diagonal D 
satisfazendo: 
D=P-1AP 
Nesse caso, dizemos que P diagonaliza A. 
 
 
OBS: 
1) Se A é diagonalizável, então as colunas de P são os autovetores de A e os elementos da 
diagonal D são os autovalores. 
2) Se A é n x n e tem n autovalores distintos, então A é diagonalizável. Se os autovalores não 
forem distintos A pode ou não ser diagonalizável, dependendo se tem ou não autovetores li. 
 
Polı́grafo	de	A� lgebra	Linear	 Página	75	
 
Ex. Dada a matriz $ = �1 20 −1�pede-se: 
a) Calcular os autovalores de A. 
b) Calcular os autovetores de A. 
c) Escrever A como um produto A=PDP-1 
d) Calcular A4 sendo A=PDP-1 
e) Qual é a matriz que diagonaliza A? 
 
 
 
 
 
Polı́grafo	de	A� lgebra	Linear	 Página	76	
 
EXERCÍCIOS 
Nos exercícios 1 e 2, seja A=PDP-1. Calcule A4. 
1) M = �5 72 3�, z = �2 00 1� 2) M = � 2 −3−3 5 �, z = 01 00 1 2⁄ 2 
 
Nos exercícios 3 e 4 a matriz A está fatorada na forma PDP-1. Determine os autovalores de A e 
uma base para cada auto-espaço. 
 
3) �2 2 11 3 11 2 2�= �
1 1 21 0 −11 −1 0 � �
5 0 00 1 00 0 1� �
1 4⁄ 1 2⁄ 1 4⁄1 4⁄ 1 2⁄ −3 4⁄1 4⁄ −1 2⁄ 1 4⁄ � 
 
4) �4 0 −22 5 40 0 5 �=�
−2 0 −10 1 21 0 0 � �
5 0 00 5 00 0 4� �
0 0 12 1 4−1 0 −2� 
 
Diagonalize as matrizes abaixo, se possível: 
 
 5) $ = �1 06 −1� 
 
6) % = �3 −11 5 � 
7) d = �−1 4 −2−3 4 0−3 1 3 � sabendo que os autovalores são 1, 2 e 3. 
 
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 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 
1) $� = �226 −52590 −209� 
 
2) $� = 0 151 16⁄ 45 8⁄−225 16⁄ 67 8⁄ 2 
 
 5) $ = �1 03 1�.�1 00 −1� � 1 0−3 1� 
 
 6) A não é diagonalizável 
 
7) $ = �1 2 13 3 14 3 1� �
3 0 00 2 00 0 1� �
0 −1 1−1 3 −23 −5 3 � 
 
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BIBLIOGRAFIA 
 
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Cambridge University, 2001. 
 
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http://w3.impa.br/~koiller/NotasAlgLinear/NotasColomboKoiller_EM_PREPARACAO.pdf pg 96 
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