Apostila Algebra Linear Uerj

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<p>Notas de Álgebra Linear</p><p>III</p><p>Originais de:</p><p>Profa. Christina F. E. Maciel Waga</p><p>Profa. Regina Célia Hamaty de Freitas</p><p>Material revisado por :</p><p>Profa. Joice Santos do Nascimento</p><p>Bibliografia sugerida:</p><p>1. Anton, H., Rorres, C., Álgebra Linear com aplicações, Bookman.</p><p>2. Hoffman, K., Kunze, R., Álgebra Linear, Editora Polígono.</p><p>3. Kolman, B., Álgebra Linear, LTC</p><p>4. Lay, C.D., Álgebra Linear e suas aplicações, LTC.</p><p>5. Lima, E.L., Álgebra Linear, SBM.</p><p>6. Lipschutz, S., Lipson, M., Álgebra Linear, Coleção Schaum, Bookman.</p><p>Sumário</p><p>Introdução i</p><p>1 Matrizes 1</p><p>1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1</p><p>1.2 Operações com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4</p><p>1.2.1 Adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4</p><p>1.2.2 Multiplicação por Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . 6</p><p>1.2.3 Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7</p><p>1.2.4 Transposição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9</p><p>1.3 Classificação de Matrizes Quadradas . . . . . . . . . . . . . . 10</p><p>1.4 Operações Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11</p><p>1.4.1 Matriz Equivalente por Linha . . . . . . . . . . . . . . 12</p><p>1.4.2 Matriz na Forma Escalonada . . . . . . . . . . . . . . 12</p><p>1.4.3 Escalonamento por Linha de uma Matriz . . . . . . . 12</p><p>1.4.4 Posto de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13</p><p>1.4.5 Aplicações de Operações Elementares . . . . . . . . . 13</p><p>1.5 Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15</p><p>1.5.1 Permutações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15</p><p>1.5.2 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16</p><p>1.5.3 Desenvolvimento de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 16</p><p>1.5.4 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18</p><p>1.5.5 O cálculo do determinante através das operações ele-</p><p>mentares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19</p><p>1.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21</p><p>1.6.1 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25</p><p>2 Sistemas Lineares 27</p><p>2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27</p><p>2.2 Classificação de Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28</p><p>2.3 Resolução de Sistemas utilizando o Método de Eliminação</p><p>Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28</p><p>2.4 Resolução de Sistemas utilizando Inversão de Matrizes . . . . 31</p><p>2.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32</p><p>iii</p><p>2.5.1 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33</p><p>2.6 Apêndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34</p><p>2.6.1 Resolvendo e Interpretando Geometricamente Siste-</p><p>mas Lineares no R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34</p><p>2.6.2 Resolvendo e Interpretando Geometricamente Siste-</p><p>mas Lineares no R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37</p><p>3 Espaços vetoriais 42</p><p>3.1 Primeiros conceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42</p><p>3.1.1 Subespaço Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43</p><p>3.1.2 Combinação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44</p><p>3.1.3 Subespaço Vetorial Gerado e Conjunto Gerador . . . . 45</p><p>3.1.4 Vetores Linearmente Independentes e Linearmente De-</p><p>pendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47</p><p>3.1.5 Base e Dimensão de um Espaço Vetorial . . . . . . . . 48</p><p>3.1.6 Operações com Subespaços Vetoriais . . . . . . . . . . 49</p><p>3.1.7 Coordenadas de um Vetor em relação a uma Base Or-</p><p>denada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51</p><p>3.1.8 Matriz de Transição de uma Base para uma outra Base 52</p><p>3.1.9 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53</p><p>3.1.10 Apêndice B – Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . 59</p><p>4 Transformações lineares 63</p><p>4.1 Primeiros conceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63</p><p>4.1.1 Operadores Lineares no Espaço Vetorial R2 . . . . . . 64</p><p>4.1.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67</p><p>4.1.3 Obtendo a Lei de uma Transformação Linear . . . . . 68</p><p>4.1.4 Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear . . . 68</p><p>4.1.5 Transformação Linear Injetora . . . . . . . . . . . . . 69</p><p>4.1.6 Transformação Linear Sobrejetora . . . . . . . . . . . 70</p><p>4.1.7 Transformação Linear Bijetora – Isomorfismo . . . . . 70</p><p>4.1.8 Obtendo a Lei da Transformação Linear Inversa . . . 71</p><p>4.1.9 Matriz Associada a uma Transformação Linear . . . . 71</p><p>4.1.10 Operações com Transformações Lineares . . . . . . . . 77</p><p>4.1.11 Propriedades de Transformações Invertíveis . . . . . . 79</p><p>4.1.12 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79</p><p>4.1.13 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83</p><p>4.1.14 Apêndice C – Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . 86</p><p>5 Produto interno positivo definido 88</p><p>5.1 Primeiros conceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88</p><p>5.2 Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt . . . . . . . . 91</p><p>5.2.1 Processo para o R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91</p><p>5.2.2 Processo para o R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92</p><p>iv</p><p>5.2.3 Generalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93</p><p>5.3 Complemento ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93</p><p>5.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94</p><p>5.4.1 Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96</p><p>6 Autovalores e autovetores 98</p><p>6.1 Primeiros conceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98</p><p>6.2 Multiplicidade de autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104</p><p>6.3 Diagonalização de Operadores Lineares . . . . . . . . . . . . . 105</p><p>6.4 Lista de exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107</p><p>6.5 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108</p><p>6.6 Apêndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109</p><p>7 Operadores lineares especiais 110</p><p>7.1 A adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110</p><p>7.2 Operadores auto-adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112</p><p>7.3 Operadores normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112</p><p>7.4 Operadores ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113</p><p>7.5 Lista de exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113</p><p>7.6 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114</p><p>7.7 Apêndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114</p><p>v</p><p>Capítulo 1</p><p>Matrizes</p><p>1.1 Introdução</p><p>Definição 1.1.1. Uma matriz é um conjunto de números reais (ou com-</p><p>plexos) dispostos em forma de tabela, isto é, distribuídos em m linhas e n</p><p>colunas, sendo m e n números naturais não nulos.</p><p>A =</p><p></p><p>a11 a12 · · · a1n</p><p>a21 a22 · · · a2n</p><p>...</p><p>...</p><p>...</p><p>am1 am2 · · · amn</p><p></p><p>Notação:</p><p>• A = (aij)m×n com i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n;</p><p>• aij é um elemento genérico da matriz A;</p><p>• i é o índice que representa a linha do elemento aij ;</p><p>• j é o índice que representa a coluna do elemento aij ;</p><p>• m× n é a ordem da matriz. Lê-se “m por n”.</p><p>Representamos uma matriz usando parênteses ( ), conchetes [ ] ou chaves</p><p>{ }.</p><p>Exemplo 1.1.2.</p><p>1. A representação de um tabuleiro de xadrez pode ser feita por meio de</p><p>uma matriz 8× 8.</p><p>2. A matriz A = (aij)2×3 onde aij = i2 + j é A =</p><p>[</p><p>2 3 4</p><p>5 6 7</p><p>]</p><p>.</p><p>1</p><p>3. A matriz abaixo fornece (em milhas) as distâncias aéreas entre as ci-</p><p>dades indicadas:</p><p>A B C D</p><p>A 0 638 1244 957</p><p>B 638 0 3572 2704</p><p>C 1244 3572 0 1036</p><p>D 957 2704 1036 0</p><p>Esta é uma matriz 4× 4 (quatro por quatro).</p><p>4. A matriz abaixo representa a produção (em unidades) de uma confecção</p><p>de roupa feminina distribuída nas três lojas encarregadas da venda.</p><p>shorts blusas saias jeans</p><p>loja1 50 80 25 40</p><p>loja2 70 100 0 60</p><p>loja3 30 120 70 25</p><p>Esta é uma matriz 3 × 4(três por quatro) pois seus elementos estão</p><p>dispostos em 3 linhas e 4 colunas.</p><p>Igualdade</p><p>Duas matrizes de mesma ordem A = (aij)m×n e B = (bij)m×n são iguais</p><p>quando aij = bij , para todo i = 1, 2, . . . ,m e para todo j = 1, 2, . . . , n.</p><p>Matrizes Especiais</p><p>Definição 1.1.3. Uma matriz A é denominada</p><p>[</p><p>a11 a12</p><p>a21 a22</p><p>]</p><p>acima é denotada por [I]AB sendo denominada a</p><p>matriz de transição da base A para a base B. As colunas da matriz [I]AB são</p><p>as coordenadas dos vetores da base A em relação à base B.</p><p>Obtém-se a equação matricial,</p><p>[v]B = [I]AB [v]A.</p><p>Analogamente, [v]A = [I]BA [ v]B para mudança da base B para a base A.</p><p>Observe que, substituindo a expressão [v]B = [I]AB [v]A em [v]A = [I]BA [v]B</p><p>teremos que:</p><p>[v]A = [I]BA [I]AB [v]A.</p><p>Como [v]A = In [v]A, temos que In = [I]BA [I]AB.</p><p>Logo, ([I]BA)−1 = [I]AB.</p><p>3.1.9 Exercícios</p><p>1. Verifique se R2 é um espaço vetorial, para as operações definidas</p><p>abaixo.</p><p>(a) (x, y) + (z, t) = (x− z, y − t) e k(x, y) = (−kx,−ky).</p><p>(b) (x, y) + (z, t) = (x+ z, y + t) e k(x, y) = (kx, 0).</p><p>(c) (x, y) + (z, t) = (x+ z, y + t) e k(x, y) = (2kx, 2ky).</p><p>(d) (x, y) + (z, t) = (0, 0) e k(x, y) = (kx, ky).</p><p>(e) (x, y) + (z, t) = (xz, yt) e k(x, y) = (kx, ky).</p><p>(f) (x, y) + (z, t) = (x+ z + 1, y + t+ 1) e k(x, y) = (kx, ky).</p><p>(g) (x, y) + (z, t) = (x+ z, y + t) e k(x, y) = (kx, y).</p><p>2. Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços de R3.</p><p>(a) S = {(x, y, z) ∈ R3, z = 3}.</p><p>(b) S = {(x, y, z) ∈ R3, x2 = y}.</p><p>(c) S = {(x, y, z) ∈ R3, x = 2y}.</p><p>(d) S = {(x, y, z) ∈ R3, x > 0}.</p><p>(e) S = {(x, y, z) ∈ R3, y = x+ z}.</p><p>56</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>(f) S = {(0, y, y), y ∈ R}.</p><p>3. Verifique se o conjunto solução do sistema</p><p></p><p>x− y + z = 2</p><p>2x+ 4y − z = 0</p><p>x− 2y − z = 1</p><p>é um</p><p>subespaço vetorial de R3.</p><p>4. Escreva u = (1,−2) como combinação linear de (1, 2) e (0, 3).</p><p>5. O vetor v = (−2, 1, 0) pode ser escrito como combinação linear dos</p><p>vetores (1, 2, 0) e (0, 1, 0)?</p><p>6. Escreva p(x) = x2 + x− 1 como combinação linear de q(x) = x2 − 2x</p><p>e r(x) = 2x2 − 4</p><p>3 .</p><p>7. O conjunto {(−1, 2), (0, 1), (3, 1)} gera o R2?</p><p>8. Determine a equação do plano gerado pelos vetores (−1, 2, 0), (0, 1, 2)</p><p>e (−2, 5, 2).</p><p>9. Verifique se os conjuntos abaixo são LI ou LD.</p><p>(a) {(1, 0, 0), (1, 3, 5), (3, 2, 5)}</p><p>(b) {(1, 2,−1), (0, 0, 1), (1,−2, 3), (3, 0, 1)}</p><p>(c) {(1, 2), (3, 5), (2, 1)}</p><p>(d) {(1, 0, 2), (0,−1, 3), (0, 0, 2)}</p><p>(e) {(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1)}</p><p>10. Mostre que se {u, v, w} é LI então {u+ v, u+w, v+w} também é um</p><p>conjunto LI.</p><p>11. Complete com V(verdadeiro) ou F(falso), justificando sua resposta.</p><p>(a) ( ) {(0, 1, 2), (1, 0, 1)} gera R2.</p><p>(b) ( ) [(1, 2, 0), (2, 4, 0)] é um plano no R3 que passa pela origem.</p><p>(c) ( ) [(1, 2, 0), (2, 3, 0)] é um plano no R3 que passa pela origem.</p><p>(d) ( ) {v1, v2, . . . , vn} ⊂ V é LD quando pelo menos um destes veto-</p><p>res é combinação linear dos demais.</p><p>(e) ( ) {(−1, 2, 3), (0, 1, 2), (−1, 1, 1)} gera o R3.</p><p>(f) ( ) O conjunto {(1, 2, 3), (0, 0, 0), (2, 3, 5)} é LI.</p><p>(g) ( ) Se {v1, v2, . . . , vn} ⊂ V é LI então qualquer um dos seus</p><p>subconjuntos também é LI.</p><p>(h) ( ) Se todo subconjunto próprio de {(−1, 2, 3), (0, 1, 2), (−1, 1, 1)} ⊂</p><p>V é LI então {(−1, 2, 3), (0, 1, 2), (−1, 1, 1)} ⊂ V é LI.</p><p>57</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>Gustavo</p><p>Nota</p><p>Não é um S.V. porque (x,y,z)=(0,0,0), ou seja, o vetor nulo, nao satisfaz o sistema linear do enunciado.</p><p>(i) ( ) [(1, 2)] possui somente duas bases {(1, 2)} e {(2, 4)}.</p><p>(j) ( ) {(1, 0, 4), (7, 8, 0)} é base de [(1, 0, 4), (7, 8, 0)].</p><p>(k) ( ) Todo conjunto LI de vetores é uma base de seu subespaço</p><p>gerado.</p><p>(l) ( ) {(3, 5), (0, 0)} é base do R2.</p><p>(m) ( ) {(2, 3), (4, 5), (7, 9)} gera o R2 então {(2, 3), (4, 5)}, {(2, 3), (7, 9)}</p><p>e {(4, 5), (7, 9)} são bases do R2.</p><p>(n) ( ) Se [v1, v2, v3, v4] = R3 então quaisquer três vetores deste con-</p><p>junto formam uma base do R3.</p><p>(o) ( ) Um conjunto com três vetores do R3 é base do R3.</p><p>(p) ( ) Um conjunto com mais do que três vetores do R3 não será</p><p>uma base do R3.</p><p>(q) ( ) {(1, 2, 3), (2,−1, 3)} é base do R2.</p><p>(r) ( ) Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo</p><p>número de elementos.</p><p>(s) ( ) {(2, 3), (x, y)} é base do R2 quando (x, y) /∈ [(2, 3)].</p><p>(t) ( ) Sejam V um espaço vetorial n-dimensional e o conjunto {v1, v2, . . . , vn−1} ⊂</p><p>V LI. Então {v1, v2, . . . , vn−1, v} é base de V qualquer que seja o</p><p>vetor v ∈ V .</p><p>(u) ( ) Se dimV = n então qualquer conjunto LI com n vetores é</p><p>uma base de V .</p><p>(v) ( ) Todo conjunto gerador de um espaço vetorial V é uma base</p><p>para V .</p><p>(w) ( ) Se S = [(1, 0,−1), (2, 1, 3), (1, 1, 4)] então dimS = 3.</p><p>12. Para que valores de k os vetores (1, 2, 0, k), (0,−1, k, 1), (0, 2, 1, 0) e</p><p>(1, 0, 2, 3k) geram um espaço tridimensional?</p><p>13. Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços de R3.</p><p>(a) {(x, y, z) ∈ R3, y = 2x e z = y}</p><p>(b) {(x, y, z) ∈ R3, x+ 2y − z = 0}</p><p>(c) {(x, y, z) ∈ R3, y = 0 e x+ z = 0}</p><p>(d) {(x, y, z) ∈ R3, 2x− 3y − z = 0 e 3x− z = 0}</p><p>(e) {(x, y, z) ∈ R3, 2x+ y − 4z}</p><p>(f) {(x, y, z) ∈ R3, x+ y − z = 0, 2x− y − z = 0 e x+ z = 0}</p><p>14. Encontre uma base e a dimensão para o conjunto solução do sistema</p><p>x+ 2y − 2z − t = 0</p><p>2x+ 4y + z + t = 0</p><p>x+ 2y + 3z + 2t = 0</p><p>.</p><p>58</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>15. Mostre que a soma de subespaços é também um subespaço.</p><p>16. Determine o subespaço interseção e o subespaço soma para os casos</p><p>abaixo, indicando quando a soma é direta e as dimensões de todos os</p><p>subespaços envolvidos.</p><p>(a) S1 = {(x, y, z) ∈ R3, x − 2y + z = 0} e S2 = {(x, y, z) ∈ R3, x +</p><p>3y = 0}</p><p>(b) S1 = {(x, y, z) ∈ R3, y = 0} e S2 = [(−1, 2, 0), (3, 1, 1)]</p><p>(c) S1 = {(x, y, z) ∈ R3, x = y} e S2 = {(x, y, z) ∈ R3, x+ y+ z = 0}</p><p>(d) S1 = {(x, y, z) ∈ R3, x − 2y + z = 0 e 2x − z = 0} e S2 =</p><p>{(x, y, z) ∈ R3, x+ y = 0}</p><p>(e) S1 = {(x, y, z) ∈ R3, x− y + z = 0} e S2 = [(1, 1, 1)]</p><p>17. Seja v = (1, 2, 3) e a base A = {(1, 0, 3), (−1, 7, 5), (2,−1, 6)} ⊂ R3.</p><p>Indique [v]A.</p><p>18. Considere A = {(1, 1, 1), (0, 2, 3), (0, 2,−1)} uma base para o R3. En-</p><p>contre as coordenadas de v = (3, 5,−2) em relação a esta base.</p><p>19. Seja A = {(−1, 1, 1), (0, 2, 3), (0, 0,−1)} e [v]A = (−2, 0 − 3). Deter-</p><p>mine v.</p><p>20. Sendo A = {(−3,−1), (2, 0)} uma base para o R2 e [v]A =</p><p>[</p><p>1</p><p>5</p><p>]</p><p>.</p><p>Encontre:</p><p>(a) As coordenadas de v na base canônica.</p><p>(b) As coordenadas de v na base B = {(2, 1), (1, 5)}.</p><p>21. Encontre as coordenadas do vetor v =</p><p>[</p><p>1 2</p><p>0 3</p><p>]</p><p>em relação à base</p><p>B =</p><p>{[</p><p>1 2</p><p>2 1</p><p>]</p><p>,</p><p>[</p><p>0 1</p><p>−1 0</p><p>]</p><p>,</p><p>[</p><p>0 0</p><p>1 −2</p><p>]</p><p>,</p><p>[</p><p>0 3</p><p>0 0</p><p>]}</p><p>.</p><p>22. Dadas as basesA = {(−1, 0, 2), (0, 1, 0), (0, 0, 2)} eB = {(0, 0, 1), (0,−2, 1), (1, 0,−1)}</p><p>do R3.</p><p>(a) Determine [I]AB.</p><p>(b) Considere [v]A =</p><p> −1</p><p>2</p><p>3</p><p>. Calcule [v]B.</p><p>23. Dadas as basesA = {(−3, 0, 3), (−3, 2,−1), (1, 6,−1)} eB = {(−6,−6, 0), (−2,−6, 4), (−2,−3, 7)}</p><p>do R3.</p><p>59</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>(a) Achar a matriz mudança de base de B para A.</p><p>(b) Dado v = (−5, 8,−5), calcule [vA].</p><p>24. Seja [I]AB =</p><p>[</p><p>1 −2</p><p>0 −3</p><p>]</p><p>e B = {(1,−2), (2, 0)}. Determine a base A.</p><p>25. Seja</p><p>[</p><p>1 2</p><p>0 3</p><p>]</p><p>a matriz mudança de base de B para A. Determinar a</p><p>base A, sabendo que B = {(1,−1), (0, 1)}.</p><p>26. Sabendo que A = {u1, u2} e B = {w1, w2} são bases do R2 tais que</p><p>[v]A =</p><p>[</p><p>−1</p><p>0</p><p>]</p><p>, w1 = u1 − u2 e w2 = 2u1 − 3u2, determine [v]B.</p><p>27. ConsidereA = {(1, 1, 1), (0, 2, 3), (0, 2,−1)} eB = {(1, 1, 0), (1,−1, 0), (0, 0, 1)}</p><p>do R3. Determine as matrizes mudança de base.</p><p>Respostas</p><p>1. Nenhum deles é espaço vetorial.</p><p>2. As letras a, b e d não são subespaços e as letras c, e e f são.</p><p>3. Não</p><p>4. (1,−2) = 1.(1, 2)− 4</p><p>3 .(0, 3)</p><p>5. (−2, 1, 0) = −2.(1, 2, 0) + 5.(0, 1, 0). Sim.</p><p>6. x2 + x− 1 = −1</p><p>2(x2 − 2x) + 3</p><p>4(2x2 − 3</p><p>4)</p><p>7. Sim</p><p>8. 4x− 2y + z = 0</p><p>9. As letras a, d e e são LI e as letras b e c são LD.</p><p>10. Demonstração</p><p>11. a) (F) b) (V) c) (V) d) (F) e) (F) f) (F) g) (F) h) (F) i) (V) j) (V) l)</p><p>(V) m) (F) n) (F) o) (V) p) (F) q) (F) r) (V) s) (F) t) (V) u) (F) v)</p><p>(F) w) (F)</p><p>12. k = 1 ou k = −3</p><p>2</p><p>13. (a) {(2, 1, 2)} e dimensão é 1.</p><p>(b) {(1, 0, 1), (0, 1, 2)} e dimensão é 2.</p><p>60</p><p>(c) {(1, 0,−1)} e dimensão é 1.</p><p>(d) {(3, 1, 9)} e dimensão é 1.</p><p>(e) {(1,−2, 0), (0, 4, 1)} e dimensão é 2.</p><p>(f) O subespaço é nulo {0, 0, 0)} então a dimensão é 0.</p><p>14. Base {(1, 0, 3,−5), (0, 1, 6,−10)} e dimensão é 2.</p><p>15. Demonstração.</p><p>16. (a) dimS1 = 2, dimS2 = 2, S1 ∩ S2 = {(−3y, y, 5y), y ∈ R}, base</p><p>de S1 ∩ S2 pode ser dada por {(−3, 1, 5)}, dim(S1 ∩ S2) = 1,</p><p>S1 + S2 = R3 e dim(S1</p><p>+ S2) = 3.</p><p>(b) dimS1 = 2, dimS2 = 2, S1 ∩ S2 = {(7</p><p>2z, 0, z), z ∈ R}, base</p><p>de S1 ∩ S2 pode ser dada por {(7</p><p>2 , 0, 1)}, dim(S1 ∩ S2) = 1,</p><p>S1 + S2 = R3 e dim(S1 + S2) = 3.</p><p>(c) dimS1 = 2, dimS2 = 2, S1 ∩ S2 = {(x, x,−2x), x ∈ R}, base</p><p>de S1 ∩ S2 pode ser dada por {(1, 1,−2)}, dim(S1 ∩ S2) = 1,</p><p>S1 + S2 = R3 e dim(S1 + S2) = 3.</p><p>(d) dimS1 = 1, dimS2 = 2, S1 ∩ S2 = {(0, 0, 0)}, dim(S1 ∩ S2) = 0,</p><p>S1 + S2 = R3, dim(S1 + S2) = 3 e a soma é direta.</p><p>(e) dimS1 = 2, dimS2 = 1, S1 ∩ S2 = {(0, 0, 0)}, dim(S1 ∩ S2) = 0,</p><p>S1 + S2 = R3, dim(S1 + S2) = 3 e a soma é direta.</p><p>17. [v]A =</p><p> 5</p><p>0</p><p>−2</p><p></p><p>18. [v]A =</p><p> 3</p><p>−1</p><p>2</p><p></p><p>19. [v] =</p><p> 2</p><p>−2</p><p>1</p><p></p><p>20. (a) [v] =</p><p>[</p><p>7</p><p>−1</p><p>]</p><p>(b) [v]B =</p><p>[</p><p>4</p><p>−1</p><p>]</p><p>21. [v]B =</p><p> 1 1</p><p>−1 −1</p><p>3</p><p></p><p>61</p><p>22. (a) [I]AB =</p><p></p><p>1 1</p><p>2 2</p><p>0 −1</p><p>2 0</p><p>−1 0 0</p><p></p><p>(b) [v]B =</p><p> 6</p><p>−1</p><p>1</p><p></p><p>23. (a) [I]BA =</p><p></p><p>0 1</p><p>2 −17</p><p>9</p><p>3</p><p>2 −1</p><p>2 −5</p><p>4</p><p>−3</p><p>2 −5</p><p>6 − 1</p><p>12</p><p></p><p>(b) [v]A =</p><p></p><p>7</p><p>6</p><p>−14</p><p>3</p><p>4</p><p>3</p><p></p><p>24. A = {(1,−2), (−8, 4)}</p><p>25. A = {(1,−1), (−2</p><p>3 , 1)}</p><p>26. [v]B = (−3, 1)</p><p>27. [I]AB =</p><p> 1 1 1</p><p>0 −1 −1</p><p>1 3 1</p><p></p><p>[I]BA =</p><p></p><p>1 1 0</p><p>−1</p><p>4 −3</p><p>2</p><p>1</p><p>4</p><p>1</p><p>4 −1</p><p>2 −1</p><p>4</p><p></p><p>3.1.10 Apêndice B – Teoremas</p><p>Teorema 3.1.14. O elemento neutro é único.</p><p>Teorema 3.1.15. (Lei do Corte ou Lei do Cancelamento) Para quais-</p><p>quer u, v, w ∈ V , se u+ v = w + v então u = w.</p><p>Teorema 3.1.16. O elemento simétrico é único.</p><p>Teorema 3.1.17. Para quaisquer u, v ∈ V , se u+ v = v então u = 0V .</p><p>62</p><p>Teorema 3.1.18. Para quaisquer u, v ∈ V , se u+ v = 0V então u = −v.</p><p>Teorema 3.1.19. Para todo v ∈ V , 0.v = 0V .</p><p>Teorema 3.1.20. Para todo k ∈ R, k.0V = 0V .</p><p>Teorema 3.1.21. Para todo v ∈ V, v 6= 0V e para todo k ∈ R, k 6= 0,</p><p>k.v 6= 0V .</p><p>Corolário 3.1.22. Para todo v ∈ V e para todo k ∈ R, se k.v = 0V então</p><p>k = 0 ou v = 0V .</p><p>Teorema 3.1.23. Para todo v ∈ V , (−1).v = −v.</p><p>Teorema 3.1.24. Para todo v ∈ V e para todo n ∈ N− {0}, n.v = v + v +</p><p>. . .+ v (soma com n parcelas).</p><p>Teorema 3.1.25. Todo subespaço vetorial é um espaço vetorial.</p><p>Teorema 3.1.26. Se {v1, v2, . . . , vr} ⊂ V então [v1, v2, . . . , vr] é um subes-</p><p>paço vetorial de V .</p><p>Teorema 3.1.27. Sejam {v1, v2, . . . , vr} ⊂ V e v ∈ V . Se v é uma combina-</p><p>ção linear dos vetores v1, v2, . . . , vr então [v1, v2, . . . , vr, v] = [v1, v2, . . . , vr].</p><p>Teorema 3.1.28. Sejam {v1, v2, . . . , vr} ⊂ V e {u1, u2, . . . , us} ⊂ V .</p><p>[v1, v2, . . . , vr] = [u1, u2, . . . , us] se e somente se cada um dos vetores do</p><p>conjunto {v1, v2, . . . , vr} é uma combinação linear dos vetores {u1, u2, . . . , us}</p><p>e cada um dos vetores do conjunto {u1, u2, . . . , us} é uma combinação linear</p><p>dos vetores {v1, v2, . . . , vr}.</p><p>Teorema 3.1.29. Seja v ∈ V, v 6= 0V , {v} é linearmente independente.</p><p>Teorema 3.1.30. Seja {v1, v2, . . . , vr} ⊂ V . Se vi = 0V para algum i =</p><p>1, 2, . . . , r então {v1, v2, . . . , vr} é linearmente dependente.</p><p>Teorema 3.1.31. Seja {v1, v2, . . . , vr} ⊂ V . O conjunto {v1, v2, . . . , vr}</p><p>é linearmente dependente se e somente se pelo menos um destes vetores é</p><p>combinação linear dos demais.</p><p>Corolário 3.1.32. Sejam {v1, v2, . . . , vr} ⊂ V e v ∈ V . Se {v1, v2, . . . , vr}</p><p>é linearmente independente e {v1, v2, . . . , vr, v} é linearmente dependente</p><p>então v é uma combinação linear dos vetores v1, v2, . . . , vr.</p><p>Teorema 3.1.33. Seja S ⊂ {v1, v2, . . . , vr} ⊂ V não vazio. Se S é linear-</p><p>mente dependente então {v1, v2, . . . , vr} é linearmente dependente.</p><p>Teorema 3.1.34. Sejam {v1, v2, . . . , vr} ⊂ V um conjunto linearmente in-</p><p>dependente k1, k2, . . . , kr e l1, l2, . . . , , lr ∈ R. Se k1v1 + k2v2 + . . .+ krvr =</p><p>l1v1 + l2v2 + . . .+ lrvr então ki = li para todo i = 1, 2, . . . , r.</p><p>63</p><p>Corolário 3.1.35. Seja {v1, v2, . . . , vr} ⊂ V . Se {v1, v2, . . . , vr} é uma base</p><p>de V então todo vetor v pode ser escrito de forma única como combinação</p><p>linear dos vetores v1, v2, . . . , vr da base.</p><p>Teorema 3.1.36. Seja {v1, v2, . . . , vr} ⊂ V . O conjunto {v1, v2, . . . , vr} é</p><p>linearmente independente se e somente se nenhum destes vetores é combi-</p><p>nação linear dos demais.</p><p>Corolário 3.1.37. Seja {u, v} ⊂ V . O conjunto {u, v} é linearmente inde-</p><p>pendente se e somente se um vetor não é múltiplo escalar do outro.</p><p>Corolário 3.1.38. Seja {v1, v2, . . . , vr} ⊂ V um conjunto linearmente in-</p><p>dependente e v ∈ V . Se v /∈ [v1, v2, . . . , vr] então {v1, v2, . . . , vr, v} é um</p><p>conjunto linearmente independente.</p><p>Teorema 3.1.39. Seja {v1, v2, . . . , vr} ⊂ V . Se {v1, v2, . . . , vr} é linear-</p><p>mente independente então qualquer um de seus subconjuntos é linearmente</p><p>independente.</p><p>Teorema 3.1.40. Seja {v1, v2, . . . , vr} ⊂ V . Se [v1, v2, . . . , vr] = V então</p><p>existe uma base A de V tal que A ⊂ {v1, v2, . . . , vr}.</p><p>Corolário 3.1.41. Seja {v1, v2, . . . , vr} ⊂ V . Se {v1, v2, . . . , vr} gera o</p><p>espaço vetorial V então qualquer conjunto de vetores de V com mais do que</p><p>r elementos é linearmente dependente.</p><p>Corolário 3.1.42. Seja {v1, v2, . . . , vr} ⊂ V . Se {v1, v2, . . . , vr} gera V</p><p>então qualquer conjunto de vetores de V linearmente independente tem no</p><p>máximo r elementos.</p><p>Teorema 3.1.43. Seja {v1, v2, . . . , vr} ⊂ V . Se {v1, v2, . . . , vr} é linear-</p><p>mente independente então pode-se estender o conjunto {v1, v2, . . . , vr} a um</p><p>conjunto B base de V .</p><p>Teorema 3.1.44. Sejam dimV = n e {v1, v2, . . . , vn} ⊂ V . O conjunto</p><p>{v1, v2, . . . , vn} é uma base de V se {v1, v2, . . . , vr} é linearmente indepen-</p><p>dente ou se gera o espaço vetorial V .</p><p>Teorema 3.1.45. Seja {v1, v2, . . . , vn} uma base do espaço vetorial V e</p><p>{u1, u2, . . . , um} ⊂ V .</p><p>1. Se m > n então o conjunto {u1, u2, . . . , um} é linearmente dependente.</p><p>2. Se m < n então o conjunto {u1, u2, . . . , um} não gera o espaço vetorial</p><p>V .</p><p>Teorema 3.1.46. Todas as bases de um espaço vetorial possuem o mesmo</p><p>número de vetores.</p><p>64</p><p>Teorema 3.1.47. Para quaisquer subespaços vetoriais S e U de V , S∩U 6=</p><p>∅ e S + U 6= ∅.</p><p>Teorema 3.1.48. Para quaisquer subespaços vetoriais S e U de V , S ∩ U</p><p>é um subespaço vetorial de V .</p><p>Teorema 3.1.49. Para quaisquer subespaços vetoriais S e U de V , S + U</p><p>é um subespaço vetorial de V .</p><p>Teorema 3.1.50. Seja S é um subespaço vetorial de V tal que S 6= ∅. Então</p><p>dimS ≤ dimU .</p><p>Teorema 3.1.51. Se V é a soma direta dos subespaços vetoriais S e U</p><p>então todo vetor v ∈ V é escrito de maneira única na forma v = u+ s com</p><p>u ∈ U e s ∈ S.</p><p>Teorema 3.1.52. (Teorema da Dimensão) Se S e U são subespaços veto-</p><p>riais de V então dim(S + U) = dimS + dimU − dim(S ∩ U).</p><p>Corolário 3.1.53. Seja S um subespaço vetorial de V . Se dimS = dimV</p><p>então S = V .</p><p>65</p><p>Capítulo 4</p><p>Transformações lineares</p><p>4.1 Primeiros conceitos</p><p>Definição 4.1.1. Sejam V e W espaços vetoriais reais. Dizemos que uma</p><p>função T : V → W é uma transformação linear se a função T preserva as</p><p>operações de adição e de multiplicação por escalar, isto é, se os seguintes</p><p>axiomas são satisfeitos:</p><p>1. (TL1) Para quaisquer u, v ∈ V , tem-se que T (u+ v) = T (u) + T (v).</p><p>2. (TL2) Para todo v ∈ V e para todo k ∈ R, tem-se que T (k.v) = k.T (v).</p><p>Exemplo 4.1.2. 1. T : R2 → R2 definida por T (x, y) = (−x,−y).</p><p>Demonstração: Verificando os axiomas:</p><p>(a) (TL1) T ((x, y) + (z, t)) = T (x, y) +T (z, t), para quaisquer (x, y),</p><p>(z, t) ∈ R2?</p><p>T ((x, y) + (z, t)) = T (x+ z, y + t) = (−(x+ z),−(y + t)) = (−x− z,−y − t)</p><p>T (x, y) + T (z, t) = (−x,−y) + (−z,−t) = (−x− z,−y − t)</p><p>Assim, a transformação linear T preserva a operação de adição</p><p>de vetores.</p><p>(b) (TL2) T (k(x, y)) = kT (x, y), para todo (x, y) ∈ R2 e para todo</p><p>k ∈ R?</p><p>T (k(x, y)) = T (kx, ky) = (−kx,−ky)</p><p>kT (x, y) = k(−x,−y) = (−kx,−ky)</p><p>Assim, a transformação linear T preserva a operação de multipli-</p><p>cação por escalar. Logo, T é uma transformação linear. Observe</p><p>o que a transformação linear T faz com o vetor (2, 1):</p><p>66</p><p>2. Considere T : R3 → R3 definida por T (x, y, z) = (x, y, 0). (Verifique!)</p><p>Esta transformação linear associa a cada vetor do R3 sua projeção</p><p>ortogonal sobre o plano XY .</p><p>A transformação linear T0 : V →W tal que T0(v) = 0V para todo v ∈ V</p><p>é denominada Transformação Nula.</p><p>Seja a transformação linear T : V → W</p><p>. Se os conjuntos V e W são</p><p>iguais, V = W , então T é denominada um Operador Linear. O operador</p><p>linear IV : V → V tal que IV (v) = v é denominado Operador Identidade.</p><p>As transformações lineares T : V → R são denominadas Funcionais</p><p>Lineares.</p><p>4.1.1 Operadores Lineares no Espaço Vetorial R2</p><p>1. Reflexão em torno do eixo X: T (x, y) = (x,−y).</p><p>Figura 4.1: T (2, 1) = (2,−1)</p><p>2. Reflexão em torno do eixo Y : T (x, y) = (−x, y).</p><p>3. Reflexão em torno da origem: T (x, y) = (−x,−y).</p><p>4. Reflexão em torno da reta y = x: T (x, y) = (y, x).</p><p>67</p><p>Figura 4.2: T (2, 1) = (−2, 1)</p><p>Figura 4.3: T (2, 1) = (−2,−1)</p><p>Figura 4.4: T (2, 1) = (1, 2)</p><p>5. Reflexão em torno da reta y = −x: T (x, y) = (−y,−x).</p><p>Figura 4.5: T (2, 1) = (−1,−2)</p><p>6. Dilatação ou Contração de fator k na direção do vetor: T (x, y) =</p><p>(kx, ky).</p><p>(a) Se |k| > 1: dilatação.</p><p>(b) Se |k| < 1: contração.</p><p>(c) Se k < 0: troca de sentido.</p><p>(d) Se k = 1: operador identidade.</p><p>7. Dilatação ou Contração de fator k na direção do eixo X: T (x, y) =</p><p>(kx, y) com k ∈ R e k > 0.</p><p>68</p><p>(a) Se k > 1: dilatação.</p><p>(b) Se 0 < k < 1: contração.</p><p>Figura 4.6: k = 3 e T (2, 1) = (6, 1)</p><p>Dilatação ou Contração de fator k na direção do eixo Y : T (x, y) =</p><p>(x, ky) com k ∈ R e k > 0.</p><p>(a) Se k > 1: dilatação.</p><p>(b) Se 0 < k < 1: contração.</p><p>Figura 4.7: k = 3 e T (2, 1) = (2, 3)</p><p>8. Cisalhamento na direção do eixo X: T (x, y) = (x+ ky, y) com k ∈ R.</p><p>Figura 4.8: k = 2 e T (2, 1) = (4, 1)</p><p>9. Cisalhamento na direção do eixo Y : T (x, y) = (x, kx+ y) com k ∈ R.</p><p>10. Rotação: Tθ(x, y) = (xcosθ − ysenθ, xsenθ + ycosθ) com 0 ≤ θ ≤ 2π.</p><p>69</p><p>Figura 4.9: k = 3 e T (2, 1) = (2, 7)</p><p>Figura 4.10: θ = 45◦ Tθ(1, 1) = (0,</p><p>√</p><p>2)</p><p>4.1.2 Propriedades</p><p>1. Se T : V →W é uma transformação linear então T (0V ) = 0W .</p><p>Demonstração: Sabemos que T (0V ) = T (0V +0V ) = T (0V )+T (0V ).</p><p>Mas, T (0V ) = T (0V )+0W , pois T (0V ) ∈W e 0W é o elemento neutro</p><p>em W . Assim, T (0V ) + T (0V ) = T (0V ) + 0W , logo T (0V ) = 0W .</p><p>Portanto, se T (0V ) 6= 0W então T não é uma transformação linear.</p><p>No entanto, o fato de T (0V ) = 0W . não é suficiente para que T seja</p><p>linear.</p><p>Por exemplo, T : R2 → R2 tal que T (x, y) = (x2, y2).</p><p>T (1, 2) = (12, 22) = (1, 4)</p><p>T (2, 3) = (22, 32) = (4, 9)</p><p>T ((1, 2) + (2, 3)) = T (3, 5) = (32, 52) = (9, 25)</p><p>T (1, 2) + T (2, 3) = (12, 22) + (22, 32) = (1, 4) + (4, 9) = (5, 13)</p><p>Assim, T (u + v) 6= T (u) + T (v). Embora, T (0, 0) = (0, 0), T não é</p><p>uma transformação linear.</p><p>2. Seja T : V →W uma transformação linear. Então T (k1v1+k2v2+. . .+</p><p>knvn) = k1T (v1)+k2T (v2)+. . .+knT (vn) para quaisquer v1, v2, . . . , vn ∈</p><p>V e para quaisquer k1, k2, . . . , kn ∈ R.</p><p>Corolário 4.1.3. Sabendo-se as imagens dos vetores de uma base do espaço</p><p>vetorial V é possível determinar a transformação linear T : V →W .</p><p>70</p><p>4.1.3 Obtendo a Lei de uma Transformação Linear</p><p>Seja T : R2 → R2 um operador linear tal que T (2, 3) = (−1, 5) e</p><p>T (0, 1) = (2, 1). Como encontrar a lei que define este operador?</p><p>Solução 4.1.4. {(2, 3), (0, 1)} forma uma base para R2.(Verifique!) Por-</p><p>tanto, qualquer vetor (x, y) pode ser escrito como combinação linear destes</p><p>vetores, ou seja, (x, y) = k1(2, 3) + k2(0, 1) com k1, k2 ∈ R.</p><p>(x, y) = k1(2, 3) + k2(0, 1)</p><p>= (2k1, 3k1) + (0, k2)</p><p>= (2k1, 3k1 + k2)</p><p>Assim, x = 2k1 e y = 3k1 + k2.</p><p>Então, k1 = x</p><p>2 e k2 = 2y − 3x</p><p>2 .</p><p>Logo, (x, y) = x</p><p>2 (2, 3) + 2y − 3x</p><p>2 (0, 1).</p><p>Aplicando o operador linear:</p><p>T (x, y) = T</p><p>(</p><p>x</p><p>2 (2, 3) + 2y − 3x</p><p>2 (0, 1)</p><p>)</p><p>= T</p><p>(</p><p>x</p><p>2 (2, 3)</p><p>)</p><p>+ T</p><p>(2y − 3x</p><p>2 (0, 1)</p><p>)</p><p>= x</p><p>2T (2, 3) + 2y − 3x</p><p>2 T (0, 1)</p><p>= x</p><p>2 (−1, 5) + 2y − 3x</p><p>2 (2, 1)</p><p>=</p><p>(</p><p>−x2 , 5</p><p>x</p><p>2</p><p>)</p><p>+</p><p>(</p><p>22y − 3x</p><p>2 ,</p><p>2y − 3x</p><p>2</p><p>)</p><p>=</p><p>(</p><p>−x2 + 22y − 3x</p><p>2 , 5x2 + 2y − 3x</p><p>2</p><p>)</p><p>=</p><p>(4y − 7x</p><p>2 , x+ y</p><p>)</p><p>Logo, T (x, y) =</p><p>(4y − 7x</p><p>2 , x+ y</p><p>)</p><p>.</p><p>4.1.4 Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear</p><p>Definição 4.1.5. Núcleo de uma transformação linear T : V → W é</p><p>o conjunto de vetores do espaço vetorial V cuja imagem é o vetor 0W .</p><p>Notação: N(T ) = Ker(T ) = {v ∈ V |T (v) = 0W }</p><p>Definição 4.1.6. Imagem de uma transformação linear T : V → W</p><p>é o conjunto de vetores de W que são imagem dos vetores do conjunto V .</p><p>Notação: Im(T ) = {T (v)|v ∈ V }.</p><p>Propriedades</p><p>71</p><p>1. N(T ) é um subespaço vetorial de V .</p><p>2. Im(T ) é um subespaço vetorial de W .</p><p>3. (Teorema do Núcleo e da Imagem) Seja T : V → W uma transforma-</p><p>ção linear, então dimV = dim(N(T )) + dim(Im(T )).</p><p>Exemplo 4.1.7. Seja T : R2 → R3 tal que T (x, y) = (0, x+ y, 0).</p><p>N(T ) = {(x, y) ∈ R2|T (x, y) = (0, 0, 0)}</p><p>Então, T (x, y) = (0, x+ y, 0) = (0, 0, 0), ou seja, x+ y = 0 ∴ y = −x. Por-</p><p>tanto, N(T ) = {(x, y) ∈ R2|y = −x} = {(x,−x)|x ∈ R}. E ainda, {(1,−1)}</p><p>forma uma base para N(T ) e dim(N(T )) = 1.</p><p>Im(T ) = {T (x, y) = (0, x+ y, 0)|(x, y) ∈ R2} = {(x+ y)(0, 1, 0)|x, y ∈ R} =</p><p>[(0, 1, 0)]</p><p>Assim temos que {(0, 1, 0)} forma uma base para Im(T ) e dim(Im(T )) = 1.</p><p>Observe que, dimR2 = dim(N(T )) + dim(Im(T )), (2 = 1 + 1).</p><p>4.1.5 Transformação Linear Injetora</p><p>Definição 4.1.8. Uma transformação linear T : V →W é injetora, quando</p><p>para quaisquer u e v ∈ V , se u 6= v então T (u) 6= T (v). O que é equivalente</p><p>a, se T (u) = T (v) então u = v.</p><p>Exemplo 4.1.9. 1. A transformação linear T : R2 → R3 tal que T (x, y) =</p><p>(x, y, x + y) é injetora. Sejam (x, y) e (z, t) ∈ R2. Suponha que</p><p>T (x, y) = T (z, t), então (x, y, x + y) = (z, t, z + t) ∴ x = z e y = t.</p><p>Logo, T é injetora.</p><p>2. Seja o operador linear no R3 tal que T (x, y, z) = (x, 0, 0), que associa</p><p>a cada vetor sua projeção ortogonal no eixo X. Considere os vetores</p><p>(2, 1, 3) e (2,−2, 0). Observe que T (2, 1, 3) = (2, 0, 0) = T (2,−2, 0).</p><p>Então, T não é injetora, pois T (u) = T (v) com u 6= v.</p><p>Teorema 4.1.10. Uma transformação T : V →W é injetora se e somente</p><p>se N(T ) = {0V }.</p><p>Assim, basta verificar se N(T ) = {0V } para garantir que uma transfor-</p><p>mação linear T é injetora.</p><p>Exemplo 4.1.11. Seja o operador linear no R2 tal que T (x, y) = (2x, x +</p><p>y) é injetora, pois: N(T ) = {(x, y) ∈ R2|T (x, y) = (0, 0)} = {(x, y) ∈</p><p>R2|(2x, x+ y) = (0, 0)}.</p><p>Assim,</p><p>{</p><p>2x = 0</p><p>x+ y = 0 ∴ x = 0 e y = 0. Então, N(T ) = {(0, 0)} e T é</p><p>injetora.</p><p>72</p><p>4.1.6 Transformação Linear Sobrejetora</p><p>Definição 4.1.12. Uma transformação linear T : V → W é sobrejetora se</p><p>o conjunto imagem de T é o conjunto W , isto é, Im(T ) = W .</p><p>Exemplo 4.1.13. 1. O operador linear no R2 do exemplo anterior é in-</p><p>jetor, ou seja, N(T ) = {(0, 0)}. Pelo Teorema do Núcleo e da Ima-</p><p>gem, dimR2 = dimN(T ) + dimIm(T ) ∴ dimIm(T ) = 2. Como</p><p>Im(T ) ≤ R2 e dimIm(T ) = 2 tem-se que Im(T ) = R2. Logo, T</p><p>é sobrejetora.</p><p>2. Seja a transformação linear T : R3 → R2 tal que T (x, y, z) = (x− y +</p><p>z, x− y). Podemos determinar o núcleo da transformação:</p><p>N(T ) = {(x, y, z) ∈ R3|T (x, y, z) = (0, 0)} = {(x, y, z) ∈ R3|(x − y +</p><p>z, x − y) = (0, 0)} = {(x, x, 0)|z ∈ R} = [(1, 1, 0)]. Então {(1, 1, 0)}</p><p>forma uma base para N(T ) e dimN(T ) = 1.</p><p>Pelo teorema do núcleo e imagem temos que dimR3 = dimN(T ) +</p><p>dimIm(T ) ∴ 3 = 1+dimIm(T ) ∴ dimIm(T ) = 2. Como Im(T ) ≤ R2</p><p>e dimIm(T ) = 2 tem-se que Im(T ) = R2. Logo, T é sobrejetora.</p><p>3. Seja a trnasformação linear T : R2 → R3 tal que T (x, y) = (x+ y, x−</p><p>y, 3x). Podemos determinar o núcleo da transformação:</p><p>N(T ) = {(x, y) ∈ R2|T (x, y) = (0, 0, 0)} = {(x, y) ∈ R2|(x + y, x −</p><p>y, 3x) = (0, 0, 0)}. Então N(T ) = {(0, 0)}.</p><p>Pelo teorema do núcleo e imagem temos que dimR2 = dimN(T ) +</p><p>dimIm(T ) ∴ 2 = 0 + dimIm(T ) ∴ dimIm(T ) = 2. Assim, T é</p><p>injetora mas não é sobrejetora.</p><p>4.1.7 Transformação Linear Bijetora – Isomorfismo</p><p>Definição 4.1.14. Uma transformação linear T : V →W é bijetora quando</p><p>for injetora e sobrejetora. Transformações lineares bijetoras são também</p><p>denominadas isomorfismos e, conseqüentemente, V e W são denominados</p><p>espaços vetoriais isomorfos.</p><p>Exemplo 4.1.15. 1. T : R2 → R2 tal que T (x, y) = (y,−x).</p><p>2. IV : V → V tal que IV (v) = v.</p><p>3. T : M2×2(R)→ R4 tal que T</p><p>(</p><p>x y</p><p>z t</p><p>)</p><p>= (x, y, z, t).</p><p>Uma transformação T : V →W é denominada de transformação invertí-</p><p>vel quando existir uma transformação T−1 : W → V tal que T ◦T−1 = IW e</p><p>T−1 ◦ T = IV . A transformação T−1 é denominada a transformação inversa</p><p>de T .</p><p>73</p><p>Teorema 4.1.16. Seja T : V → W uma transformação. A transformação</p><p>T é bijetora se e somente se T é invertível.</p><p>Teorema 4.1.17. Seja T : V → W uma transformação linear invertível.</p><p>Então a transformação T−1 : W → V é linear.</p><p>4.1.8 Obtendo a Lei da Transformação Linear Inversa</p><p>Seja o operador linear T : R2 → R2 tal que T (x, y) = (2x,−y). O</p><p>operador linear inverso T−1 será obtido da maneira a seguir:</p><p>• {(1, 0), (0, 1)} é uma base para R2.</p><p>• T (1, 0) = (2, 0) e T (0, 1) = (0,−1).</p><p>• Portanto, T−1(2, 0) e T−1(0,−1) = (0, 1).</p><p>• Obtendo a lei de T−1: (x, y) = k1(2, 0) + k2(0,−1) = (2k1,−k2). As-</p><p>sim,</p><p>{</p><p>2k1 = x</p><p>−k2 = y</p><p>Tem-se que, k1 = x</p><p>2 e k2 = −y. Então, (x, y) =</p><p>x</p><p>2 (2, 0) − y(0,−1) ∴ T (x, y) = x</p><p>2T (2, 0) − yT (0,−1) = x</p><p>2 (1, 0) −</p><p>y(0, 1) = (x2 ,−y).</p><p>• Logo, a lei é T−1(x, y) = (x2 ,−y).</p><p>4.1.9 Matriz Associada a uma Transformação Linear</p><p>Sejam V um espaço vetorial n-dimensional, W um espaço vetorial m-</p><p>dimensional e T : V →W uma transformação linear. Considerando as bases</p><p>A = {v1, v2, . . . , vn} de V e B = {w1, w2, . . . , wm} deW e um vetor qualquer</p><p>v ∈ V , tem-se:</p><p>v = k1v1 + k2v2 + . . .+ knvn</p><p>com k1, k2, . . . , kn ∈ R.</p><p>Aplicando a transformação linear T ,</p><p>T (v) = T (k1v1 + k2v2 + . . .+ knvn)</p><p>T (v) = k1T (v1) + k2T (v2) + . . .+ knT (vn) (1)</p><p>Além disso, T (v) ∈W , portanto:</p><p>T (v) = l1w1 + l2w2 + . . .+ lmwm (2)</p><p>com l1, l2, . . . , ln ∈ R.</p><p>Como T (vi) ∈W para todo i = 1, 2, . . . , n</p><p>74</p><p></p><p>T (v1) = a11w1 + a21w2 + . . .+ am1wm</p><p>T (v2) = a12w1 + a22w2 + . . .+ am2wm</p><p>...</p><p>T (vn) = a1nw1 + a2nw2 + . . .+ amnwm</p><p>(3)</p><p>Substituindo (3) em (1), tem-se:</p><p>T (v) = k1(a11w1 + a21w2 + . . .+ am1wm) + k2(a12w1 + a22w2 + . . .+</p><p>am2wm) + . . .+ kn(a1nw1 + a2nw2 + . . .+ amnwm)</p><p>T (v) = (k1a11 + k2a12 + . . .+ kna1n)w1 + (k1a21 + k2a22 + . . .+ kna2n)w2 +</p><p>. . .+ (k1am1 + k2am2 + . . .+ knamn)wm)(4)</p><p>Comparando (2) e (4), tem-se:</p><p>l1 = k1a11 + k2a12 + . . .+ kna1n</p><p>l2 = k1a21 + k2a22 + . . .+ kna2n</p><p>...</p><p>lm = k1am1 + k2am2 + . . .+ knamn)wm</p><p>Na forma matricial:</p><p>l1</p><p>l2</p><p>...</p><p>lm</p><p> =</p><p></p><p>a11 a12 . . . a1n</p><p>a21 a22 . . . a2n</p><p>...</p><p>am1 am2 . . . amn</p><p> .</p><p></p><p>k1</p><p>k2</p><p>...</p><p>kn</p><p></p><p>ou seja, [T (v)]B = [T ]AB.[v]A.</p><p>A matriz [T ]AB é a matriz associada a transformação T em relação as</p><p>bases A e B.</p><p>Exemplo 4.1.18. Seja a transformação linear T : R2 → R3 tal que T (x, y) =</p><p>(x, y, x + y). Sendo A a base canônica do R2 e B a base canônica do R3,</p><p>tem-se:</p><p>T (1, 0) = (1, 0, 1) = 1.(1, 0, 0) + 0.(0, 1, 0) + 1.(0, 0, 1)</p><p>T (0, 1) = (0, 1, 1) = 0.(1, 0, 0) + 1.(0, 1, 0) + 1.(0, 0, 1)</p><p>Então, [T ]AB =</p><p> 1 0</p><p>0 1</p><p>1 1</p><p>.</p><p>Agora considere o vetor [v]A =</p><p>[</p><p>2</p><p>3</p><p>]</p><p>. Assim, aplicando T , tem-se:</p><p>[T (v)]B = [T ]AB.[v]A =</p><p> 1 0</p><p>0 1</p><p>1 1</p><p> . [ 2</p><p>3</p><p>]</p><p>=</p><p> 2</p><p>3</p><p>5</p><p></p><p>75</p><p>Vamos repetir o mesmo exercício anterior agora com as bases A′ = {(1, 2), (1, 0)} ⊂</p><p>R2 e B′ = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 0, 1)}:</p><p>T (1, 2) = (1, 2, 3) = 2.(1, 1, 0) + (−1).(1, 0, 1) + 4.(0, 0, 1)</p><p>T (1, 0) = (1, 0, 1) = 0.(1, 1, 0) + 1.(1, 0, 1) + 0.(0, 0, 1)</p><p>Então, [T ]AB =</p><p> 2 0</p><p>−1 1</p><p>4 0</p><p>.</p><p>Agora considere o vetor [v]A =</p><p>[</p><p>2</p><p>3</p><p>]</p><p>. Então, [v]A′ =</p><p></p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>. Assim,</p><p>aplicando T , tem-se:</p><p>[T (v)]B′ = [T ]A′B′ .[v]A′ =</p><p> 2 0</p><p>−1 1</p><p>4 0</p><p> .</p><p></p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p> =</p><p> 3</p><p>−1</p><p>6</p><p></p><p>Quando os espaços vetoriais do domínio e do contradomínio são distintos,</p><p>naturalmente, as bases serão distintas. No importante caso dos operadores</p><p>lineares T : V → V , quando domínio e contradomínio coincidem, é natural</p><p>utilizarmos uma única base para representar o operador. Consistentemente</p><p>escrevemos</p><p>[T (ν)]A = [T ]A · [ν]A</p><p>Repare que não precisamos escrever [T ]AA. Evitando a redundância, su-</p><p>avizamos a notação e escrevemos simplesmente [T ]A.</p><p>Contudo, temos a liberdade de escolher outra base em V para representar</p><p>T . Se escolhermos a base B, escrevemos</p><p>[T (ν)]B = [T ]B · [ν]B .</p><p>As representações matriciais podem ser comparadas se observarmos as</p><p>relações</p><p>[ν]B = [I]AB · [ν]A , [ν]A = [I]BA · [ν]B ,</p><p>[T (ν)]B = [I]AB · [T (ν)]A , [T (ν)]A = [I]BA · [T (ν)]B ,</p><p>de mudança de base dos vetores. Evidentemente</p><p>[T ]B = [I]AB · [T ]A · [I]BA , [T ]A = [I]BA · [T ]B · [I]AB ,</p><p>são as relações entre diferentes representações matriciais.</p><p>76</p><p>Exemplo 4.1.19. T : R3 → R3, definido por</p><p>T (x, y, z) = (2y + z, x− 4y, 3x)</p><p>e</p><p>A = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} .</p><p>Vamos exibir [T ]A e verificar a validade da fórmula [T (ν)]A = [T ]A · [ν]A</p><p>para todo ν ∈ R3.</p><p>T (1, 1, 1) = a1 1 · (1, 1, 1) + a2 1 · (1, 1, 0) + a3 1 · (1, 0, 0) = (3,−3, 3)</p><p>T (1, 1, 0) = a1 2 · (1, 1, 1) + a2 2 · (1, 1, 0) + a3 2 · (1, 0, 0) = (2,−3, 3)</p><p>T (1, 0, 0) = a1 3 · (1, 1, 1) + a2 3 · (1, 1, 0) + a3 3 · (1, 0, 0) = (0, 1, 3)</p><p>Resolvendo os três sistemas acima encontramos a1 1 = a1 2 = a1 3 = 3,</p><p>a2 1 = a2 2 = −6, a2 3 = −2, a3 1 = 6, a3 2 = 5 e a3 3 = −1 e tem-se</p><p>[T ]A =</p><p> 3 3 3</p><p>−6 −6 −2</p><p>6 5 −1</p><p> .</p><p>As coordenadas de um vetor qualquer ν = (a, b, c) relativas à base A podem</p><p>ser calculadas facilmente,</p><p>[ν]A =</p><p> c</p><p>b− c</p><p>a− b</p><p> .</p><p>Seguindo o que aprendemos, encontramos os valor de α, β e δ:</p><p>T (ν) = T (a, b, c) = (2b+ c, a− 4b, 3a) = α · (1, 1, 1) + β · (1, 1, 0) + δ · (1, 0, 0)</p><p>= (3a) · (1, 1, 1) + (−2a− 4b) · (1, 1, 0) + (−a+ 6b+ c) · (1, 0, 0)</p><p>e tem-se</p><p>[T (ν)]A =</p><p> 3a</p><p>−2a− 4b</p><p>−a+ 6b+ c</p><p> .</p><p>Por outro lado, 3 3 3</p><p>−6 −6 −2</p><p>6 5 −1</p><p> ·</p><p> c</p><p>b− c</p><p>a− b</p><p> =</p><p> 3a</p><p>−2a− 4b</p><p>−a+ 6b+ c</p><p> ,</p><p>77</p><p>confirmando [T (ν)]A = [T ]A · [ν]A.</p><p>De modo análogo, temos que considerando a base</p><p>B = {(0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1)}</p><p>a representação matricial do operador T nessa nova base é dada a seguir:</p><p>[T ]B =</p><p> −4 1 1</p><p>−1 −2 −1</p><p>4 2 2</p><p></p><p>Neste ponto podemos calcular as matrizes de transição (ou matrizes mudança</p><p>de base):</p><p>[I]AB =</p><p> 1 1 0</p><p>1 2 1</p><p>0 −1 0</p><p> [I]BA =</p><p> 1 0 1</p><p>0 0 −1</p><p>−1 1 1</p><p> .</p><p>O produto exposto abaixo ilustra a relação [T ]B = [I]AB · [T ]A · [I]BA</p><p>[T ]B =</p><p> 1 1 0</p><p>1 2 1</p><p>0 −1 0</p><p> ·</p><p> 3 3 3</p><p>−6 −6 −2</p><p>6 5 −1</p><p> ·</p><p> 1 0 1</p><p>0 0 −1</p><p>−1 1 1</p><p></p><p>=</p><p> 1 1 0</p><p>1 2 1</p><p>0 −1 0</p><p> ·</p><p> 0 3 3</p><p>−4 −2 −2</p><p>7 −1 0</p><p></p><p>=</p><p> −4 1 1</p><p>−1 −2 −1</p><p>4 2 2</p><p></p><p>Verifique a igualdade [T ]A = [I]BA · [T ]B · [I]AB.</p><p>Observação 4.1.20. Embora [T ]A e [T ]B sejam representações matriciais</p><p>diferentes do operador T , as diversas representações possuem propriedade e</p><p>relações que as ligam exclusivamente ao operador. No exemplo ilustrativo</p><p>acima det [T ]A = det [T ]B = −1. Verifique. O determinante é um exemplo</p><p>de invariante do operador, isto é, uma quantidade que independe da escolha</p><p>da base em que o operador será representado. De fato, todas as representa-</p><p>ções matriciais de T acima terão determinante −1.</p><p>Apenas pincelando o tema, podemos resumir que o número de quantida-</p><p>des invariantes depende do operador T : V → V e cresce com a dim(V ). O</p><p>espectro de autovalores, o determinante, o traço, o polinômio característico</p><p>são alguns exemplos importantes de quantidades invariantes que focamos</p><p>nesta disciplina. Essas quantidades podem ser calculadas diretamente de</p><p>qualquer matriz que represente o operador sob análise.</p><p>78</p><p>Exemplo 4.1.21. Considere o operador G(x, y, z) = (x + y,−x + z, x +</p><p>2y + z). Conforme vimos anteriormente, podemos efetuar os cálculos que</p><p>identificam o núcleo, a imagem e as, respectivas, bases utilizando a re-</p><p>presentação de G na base canônica. Ao fazer os cálculos, e peço-lhe que</p><p>os faça em detalhes como um exercício de recapitação, devemos encontrar</p><p>Im(G) = {(x, y, z) ∈ R3/2x + y − z = 0}, N(G) = [(1,−1, 1)]. Uma pos-</p><p>sível base da imagem pode ser {(1,−2, 0), (1, 0, 2)}. Digamos que se queira</p><p>utilizar uma outra base ordenada A = {(0, 1, 0), (0, 1,−1), (1, 0, 1)} para re-</p><p>presentar o operador G. Nesse caso, os cálculos diretos (confira) nos levarão</p><p>à</p><p>[G]A =</p><p> 1 −1 1</p><p>−1 0 −1</p><p>1 1 1</p><p> .</p><p>Lembrando que também poderíamos obter a representação acima fazendo uso</p><p>da fórmula [G]A = [I]canA · [G]can · [I]Acan, onde</p><p>[I]Acan =</p><p> 0 0 1</p><p>1 1 0</p><p>0 −1 1</p><p></p><p>é facilmente obtida à partir da base A. Nesta base temos [G(ν)]A = [G]A ·</p><p>[ν]A. O cálculo segue o mesmo argumento: se</p><p>[G(ν)]A =</p><p> x</p><p>y</p><p>z</p><p> , G(ν) ∈ Im(G) ,</p><p>então o sistema  1 −1 1</p><p>−1 0 −1</p><p>1 1 1</p><p> ·</p><p> a</p><p>b</p><p>c</p><p> =</p><p> x</p><p>y</p><p>z</p><p> ,</p><p>onde [ a b c ]t são as coordenadas de um vetor genérico relativas à base</p><p>A, necessariamente tem de ser compatível. Aprendemos que se obtém a</p><p>condição de compatibilidade impondo a igualdade entre o posto da matriz</p><p>ampliada e o posto da matriz dos coeficientes. Fazendo os cálculos você</p><p>encontrará que as coordenadas dos vetores relativas à base A na imagem</p><p>de G estão exclusivamente no conjunto Im([G]A) = {(x, y, z) ∈ R3/x +</p><p>2y + z = 0} (verifique). Uma base de Im([G]A) pode ser encontrada fa-</p><p>cilmente: {(1, 0,−1), (2,−1, 0)}, por exemplo. Observamos imediatamente</p><p>que Im([G]A) 6= Im(G). De fato, e é exatamente o ponto que queremos</p><p>focalizar, uma vez que obtivemos uma base de Im([G]A), podemos calcular</p><p>uma base de Im(G) usando a matriz [I]Acan: 0 0 1</p><p>1 1 0</p><p>0 −1 1</p><p> ·</p><p> 1</p><p>0</p><p>−1</p><p> =</p><p> −1</p><p>1</p><p>−1</p><p> ,</p><p> 0 0 1</p><p>1 1 0</p><p>0 −1 1</p><p> ·</p><p> 2</p><p>−1</p><p>0</p><p> =</p><p> 0</p><p>1</p><p>1</p><p> .</p><p>79</p><p>Por último, calculamos o espaço gerado por (−1, 1,−1) e (0, 1, 1). Fica</p><p>como exercício mostrar que [(−1, 1,−1), (0, 1, 1)] coincide com Im(G) ante-</p><p>riormente calculado.</p><p>As matrizes associadas a alguns dos operadores lineares no espaço veto-</p><p>rial R2 em relação à base canônica A{(1, 0), (0, 1)}.</p><p>Operador [T ]AA.[v]A = [T (v)]A</p><p>Reflexão em torno do eixo X</p><p>[</p><p>1 0</p><p>0 −1</p><p>]</p><p>.</p><p>[</p><p>x</p><p>y</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>x</p><p>−y</p><p>]</p><p>Dilatação ou contração de fator k</p><p>[</p><p>k 0</p><p>0 k</p><p>]</p><p>.</p><p>[</p><p>x</p><p>y</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>kx</p><p>ky</p><p>]</p><p>Cisalhamento na direção do eixo Y</p><p>[</p><p>1 0</p><p>k 1</p><p>]</p><p>.</p><p>[</p><p>x</p><p>y</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>x</p><p>kx+ y</p><p>]</p><p>Rotação</p><p>[</p><p>cosθ −senθ</p><p>senθ cosθ</p><p>]</p><p>.</p><p>[</p><p>x</p><p>y</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>xcosθ − ysenθ</p><p>xsenθ + ycosθ</p><p>]</p><p>4.1.10 Operações com Transformações Lineares</p><p>1. Adição: Sejam T, S : V → W transformações lineares entre os es-</p><p>paços vetoriais V e W . Define-se a adição de T e S como sendo a</p><p>transformação linear:</p><p>(T + S) V → W</p><p>v → (T + S)(v) = T (v) + S(v)</p><p>Matricialmente, [T +S]AB = [T ]AB + [S]AB, onde A é uma base de V e B</p><p>uma base de W .</p><p>Exemplo 4.1.22. Sejam T, S : R3 → R3 tal que T (x, y, z) = (x, 2y, z)</p><p>e S(x, y, z) = (0, 0, z).</p><p>A transformação soma é dado por T + S : R3 → R3 tal que (T +</p><p>S)(x, y, z) = (x, 2y, 2z).</p><p>E ainda, [T ] =</p><p> 1 0 0</p><p>0 2 0</p><p>0 0 1</p><p>, [S] =</p><p> 0 0 0</p><p>0 0 0</p><p>0 0 1</p><p> e [T+S] =</p><p> 1 0 0</p><p>0 2 0</p><p>0 0 2</p><p></p><p>em relação a base canônica do R3.</p><p>2. Multiplicação por Escalar: Sejam T : V → W transformação linear</p><p>entre os espaços vetoriais V e W e k ∈ R um escalar. Define-se a</p><p>transformação linear produto de T pelo escalar k como sendo:</p><p>80</p><p>(k.T ) V → W</p><p>v → (kT )(v) = k.T (v)</p><p>Matricialmente, [kT ]AB = k.[T ]AB, onde A é uma base de V e B uma</p><p>base de W .</p><p>Exemplo 4.1.23. Seja T : R2 → R3 tal que T (x, y) = (x+ 2y, y, 3x)</p><p>e k = 2.</p><p>Então, (2T ) : R2 → R3 tal que 2T (x, y) = (2x+ 4y, 2y, 6x).</p><p>E ainda, [T ] =</p><p> 1 2</p><p>0 1</p><p>3 0</p><p> e [2T ] =</p><p> 2 4</p><p>0 2</p><p>6 0</p><p> em relação a base canô-</p><p>nica do R2 e R3, respectivamente.</p><p>3. Composição: Sejam T : V →W e S : W → U transformações lineares</p><p>entre os espaços vetoriais V , W e U . Define-se a composta de S por</p><p>T como sendo a transformação linear:</p><p>(S ◦ T ) V → U</p><p>v → (S ◦ T )(v) = S(T (v))</p><p>Matricialmente, [S ◦ T ]AC = [S]BC .[T ]AB, onde A é uma base de V , B</p><p>uma base de W e C uma base de U .</p><p>Exemplo 4.1.24. (a) Sejam as transformações lineares: T : R3 →</p><p>R2 tal que T (x, y, z) = (x+y, y+z) e SR2 → R2 tal que S(x, y) =</p><p>(2x+ y, x− y).Então:</p><p>S ◦ T (x, y, z) = S(T (x, y, z)) = S(x+ y, y + z) =</p><p>(2(x+ y) + y + z, x+ y − (y + z)) = (2x+ 3y + z, x+ z)</p><p>(b) Sejam os operadores lineares no R2, T (x, y) = (2x + y,−y) e</p><p>S(x, y) = (2y,−x+ 3y). Então:</p><p>(T ◦ S)(x, y) = T (S(x, y)) = T (2y,−x + 3y) = (2.2y + (−x +</p><p>3y),−(−x+ 3y)) = (−x+ 7y, x− 3y)</p><p>(S ◦T )(x, y) = S(T (x, y)) = S(2x+y,−y) = (2.(−y),−(2x+y)+</p><p>3(−y)) = (−2y,−2x− 4y)</p><p>Com relação a base canônica temos que: [T ] =</p><p>[</p><p>2 1</p><p>0 −1</p><p>]</p><p>e [S] =[</p><p>0 2</p><p>−1 3</p><p>]</p><p>. Assim:</p><p>[T ].[S] =</p><p>[</p><p>2 1</p><p>0 −1</p><p>]</p><p>.</p><p>[</p><p>0 2</p><p>−1 3</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>−1 7</p><p>1 −3</p><p>]</p><p>= [T ◦ S]</p><p>e [S].[T ] =</p><p>[</p><p>0 2</p><p>−1 3</p><p>]</p><p>.</p><p>[</p><p>2 1</p><p>0 −1</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>0 −2</p><p>−2 −4</p><p>]</p><p>= [S ◦ T ].</p><p>81</p><p>4.1.11 Propriedades de Transformações Invertíveis</p><p>Sejam T : V → W e S : W → U transformações lineares invertíveis e</p><p>k ∈ R com k 6= 0.</p><p>1. (T−1)−1 = T</p><p>2. (k.T )−1 = 1</p><p>k</p><p>T−1</p><p>3. (S ◦ T )−1 = T−1 ◦ S−1</p><p>4.1.12 Exercícios</p><p>1. Verificar se as transformações são lineares:</p><p>(a) T : R3 → R2</p><p>(x, y, z) → T (x, y, z) = (x2, y + z)</p><p>(b) T : R3 → R2</p><p>(x, y, z) → T (x, y, z) = (x, 2y)</p><p>(c) T : R2 → R2</p><p>(x, y) → T (x, y) = (x+ a, y + b) com a e b ∈ R− {0}.</p><p>(d) T : R3 → R</p><p>(x, y, z) → T (x, y, z) = x− 3y + 1</p><p>(e) T : R3 → R</p><p>(x, y, z) → T (x, y, z) = |x|</p><p>(f) T : R3 → R3</p><p>(x, y, z) → T (x, y, z) = (x, 0, y + z)</p><p>(g) T : R3 → R</p><p>(x, y, z) → T (x, y, z) = x+ y + z</p><p>2. Para que valores de k ∈ R a transformação no R3 tal que T (x, y, z) =</p><p>(2x+ 3k, y, 3z) é linear?</p><p>3. Seja Mn×n(R) o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem n</p><p>com entradas reais eM ∈Mn×n(R) uma matriz arbitrária qualquer. A</p><p>transformação T : Mn×n(R)→Mn×n(R) tal que T (A) = M.A+A.M</p><p>é linear?</p><p>4. Sejam v = (0, 1), u = (1, 0), t = (2, 1), w = (1, 2) e T : R2 → R2 tal</p><p>que T (x, y) = (2x, 2y), que define a dilatação de fator 2 na direção do</p><p>vetor. Represente v, u, t, w, T (v), T (u), T (t) e T (w) em um sistema</p><p>de eixos cartesianos.</p><p>82</p><p>5. Considere a transformação linear T : R2 →M2×1(R) tal que T (x, y) =[</p><p>1 2</p><p>0 1</p><p>] [</p><p>x</p><p>y</p><p>]</p><p>. Determine T (1, 1), T (−3, 4) e T (x, y).</p><p>6. Encontre a lei que define o operador linear T : R2 → R2 que faz</p><p>associar cada vetor v = (x, y) à sua reflexão em torno do eixo Y .</p><p>Determine T (−2,−3). Represente no sistema de eixos cartesianos.</p><p>7. Seja T : R3 → R2 uma transformação linear tal que T : (1, 0, 0) =</p><p>(2, 4), T (0, 1, 0) = (3, 5) e T (1, 1, 1) = (1, 1). Indique a lei que define</p><p>T .</p><p>8. Seja T : R3 → R2 uma transformação linear tal que T : (1, 1, 1) =</p><p>(1, 2), T (1, 1, 0) = (2, 3) e T (1, 0, 0) = (3, 4).</p><p>(a) Determine T (x, y, z).</p><p>(b) Determine (x, y, z) ∈ R3 tal que T (x, y, z) = (−3,−2).</p><p>(c) Determine (x, y, z) ∈ R3 tal que T (x, y, z) = (0, 0).</p><p>9. Calcule o núcleo e o conjunto imagem das transformações abaixo:</p><p>(a) T : R3 → R2</p><p>(x, y, z) → T (x, y, z) = (x+ 2y + 3z, 3x+ 2y + z)</p><p>(b) T : R2 → R3</p><p>(x, y) → T (x, y) = (x+ y, 2x− y,−x+ 3y)</p><p>(c) T : R3 → R3</p><p>(x, y, z) → T (x, y, z) = (x− y + 3z, x− 2y, y + 3z)</p><p>(d) T : R3 → R3</p><p>(x, y, z) → T (x, y, z) = (x+ y + z, x− 2y, y + 3z)</p><p>10. Indique a lei da transformação inversa T−1 para cada um das trans-</p><p>formações lineares:</p><p>(a) T : R3 → R3</p><p>(x, y, z) → T (x, y, z) = (x+ y + z, x− 2y, y + 3z)</p><p>(b) T : R2 → R2</p><p>(x, y) → T (x, y) = (x+ y, x+ 2y)</p><p>(c) T : R3 → P2(R)</p><p>(a, b, c) → T (a, b, c) = (a+ b)X2 + (a+ b− c)X + (a+ 2b+ c)</p><p>(d)</p><p>T : R4 → M2×2(R)</p><p>(x, y, z, t) → T (x, y, z, t) =</p><p>[</p><p>z t</p><p>x y</p><p>]</p><p>83</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>Gustavo</p><p>Nota</p><p>Resolvendo isso aqui vou obter x=1 e y+z=6. Eu não vou conseguir obter um valor para y nem para z, não adianta (meu grau de liberdade é 1). Logo, a resposta será (x,y,z)=(1,(6-z),z).</p><p>11. Seja o operador linear T no R3 tal que T (x, y, z) = (x+ 2y, y, x+ z).</p><p>Mostre que T é um isomorfismo e indique sua inversa.</p><p>12. Considere B = {(1, 2, 1), (1, 1, 1), (−1, 0, 1)} uma base do R3.</p><p>(a) Ache uma fórmula para a transformação linear T : R3 → R2 tal</p><p>que T (1, 2, 1) = (1, 0), T (1, 1, 1) = (1, 0) e T (−1, 0, 1) = (0, 1).</p><p>(b) Encontre uma base e a dimensão do núcleo de T , N(T ).</p><p>(c) Encontre uma base e a dimensão da imagem de T , Im(T ).</p><p>(d) T é invertível? Justifique sua resposta.</p><p>13. Seja T : R3 → R2 tal que T (x, y, z) = (x+ y, x+ z). Indique:</p><p>(a) [T ]AB considerando A e B bases canônicas do R3 e R2, respectiva-</p><p>mente.</p><p>(b) [T ]CD onde C = {(1, 0, 0), (0,−1, 0), (0, 0, 2)} e {(1, 2), (2, 1)}.</p><p>(c) [T (v)]D onde v = (1, 1, 0).</p><p>14. Sejam S e T operadores lineares no R2 definidas por T (x, y) = (x, 3y)</p><p>e S(x, y) = (x+ 2y, y). Determine:</p><p>(a) S + T</p><p>(b) 2S + 4T</p><p>(c) S ◦ T</p><p>(d) T ◦ S</p><p>15. Seja T a transformação linear determinada pela matriz</p><p> 2 0</p><p>4 1</p><p>1 −4</p><p></p><p>(essa é a representação matircial de T na base canômica do R2 e R3,</p><p>respectivamente).</p><p>(a) Indique a lei da transformação.</p><p>(b) Calcule T (−2, 1).</p><p>16. Seja T o operador linear no R3 definido</p><p>por T (x, y, z) = (2y + z, x −</p><p>4y, 3x).</p><p>(a) Encontre a matriz de T na base {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 0, 0)}.</p><p>(b) Encontre [T (1, 0,−1]B utilizando [T ]BB.</p><p>17. Seja T : R3 → R3 a transformação linear associada a matriz</p><p> 1 0 2</p><p>3 0 −1</p><p>2 0 0</p><p>.</p><p>84</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>Gustavo</p><p>Nota</p><p>isomorfismo = bijetiva</p><p>(a) Ache uma base para o núcleo de T , N(T ).</p><p>(b) Ache uma base para a imagem T , Im(T ).</p><p>(c) T é sobrejetora ? E injetora?</p><p>(d) Determine a matriz associada a T em relação a base {(1, 2, 0), (0,−1, 1), (0, 1, 2)}.</p><p>18. Seja T : R2 → R3 a transformação linear definida por T (x, y) = (x +</p><p>2y,−x, 0).</p><p>(a) Ache a matriz associada a T relativa as bases A = {(1, 3), (−2, 4)}</p><p>e B = {(1, 1, 1), (2, 2, 0), (3, 0, 0)}.</p><p>(b) Use a matriz do item anterior para calcular [T (v)]B onde [v]A =(</p><p>−1</p><p>2</p><p>)</p><p>.</p><p>19. Seja T : R2 → R3 a transformação linear associada a matriz</p><p> −1 2</p><p>3 0</p><p>2 1</p><p>.</p><p>(a) Qual a lei que define T?</p><p>(b) Determine o núcleo de T e uma base para N(T ).</p><p>(c) Determine a imagem de T e uma base para Im(T ).</p><p>20. Seja a transformação linear T : R3 → R2 tal que T (x, y, z) = (2x−y+</p><p>3z, 4x+ 2y + 3z).</p><p>(a) Considerando A e B as bases canônicas do R3 e do R2, encontre</p><p>[T ]AB.</p><p>(b) Considerando C = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)} uma base do R3 e</p><p>D = {(1, 1), (1,−1)} uma base do R2, encontre [T ]CD.</p><p>(c) Encontre uma relação entre as duas matrizes encontradas nos</p><p>items anteriores.</p><p>21. Seja a transformação linear T : R2 → R3 tal que T (x, y) = (2x +</p><p>y, y, x+ y). Encontre:</p><p>(a) A matriz de T em relação a base canônica;</p><p>(b) A matriz de T em relação as bases A = {(1,−2), (0, 1)} e B =</p><p>{(1, 0, 0), (0, 2, 1), (0, 0, 3)}.</p><p>(c) Encontre uma relação entre as duas matrizes encontradas nos</p><p>items anteriores.</p><p>85</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>22. Considere [T ]AB =</p><p> 2 −1</p><p>1 0</p><p>0 2</p><p> ondeA = {(1, 0), (−1, 1)} eB = {(1, 2, 3), (0,−1, 1), (0, 0, 2)}.</p><p>Encontre as coordenadas de [T (v)]B sabendo que as coordenadas de v</p><p>em relação à base canônica do R2 são</p><p>[</p><p>−1</p><p>2</p><p>]</p><p>.</p><p>23. Sabendo que a transformação linear Tθ : R2 → R2, cuja matriz em</p><p>relação à base canônica é</p><p>[</p><p>cos(θ) −sen(θ)</p><p>sen(θ) cos(θ)</p><p>]</p><p>, aplicada a um vetor</p><p>[v] =</p><p>[</p><p>x</p><p>y</p><p>]</p><p>indica a rotação do vetor v de um ângulo θ. Utilizando a</p><p>matriz de rotação, determine o vértice C(x, y) de um triângulo retân-</p><p>gulo e isósceles em A, de vértices A(2, 1), B(5, 3) e C(x, y).</p><p>24. Seja</p><p> −2 0 0</p><p>0 1 0</p><p>0 0 2</p><p> a matriz associada a um operador T no R3 em</p><p>relação à base {(1, 0, 1), (0,−1, 1), (0, 0, 1)}. Determine a lei de T .</p><p>25. Mostre, usando a relação [T ]A = [I]BA · [T ]B · [I]AB e ([I]BA)−1 = [I]AB,</p><p>que det [T ]A = det [T ]B.</p><p>4.1.13 Respostas</p><p>1. a) Não b) Sim c) Não d) Não e) Não f) Sim g) Sim.</p><p>2. k = 0</p><p>3. Sim</p><p>4. T (v) = (0, 2), T (u) = (2, 0), T (t) = (4, 2) e T (w) = (2, 4). Faça a</p><p>representação gráfica em papel milimetrado para melhor compreensão.</p><p>5. T (1, 1) = (3, 1), T (−3, 4) = (5, 4) e T (x, y) = (x+ 2y, y)</p><p>6. T (x, y) = (−x.y) e T (−2,−3) = (2,−3)</p><p>7. T (x, y, z) = (2x+ 3y − 4z, 4x+ 5y − 8z)</p><p>8. (a) T (x, y, z) = (3x− y − z, 4x− y − z)</p><p>(b) {(1, 6− z, z)|z ∈ R}</p><p>(c) {(0,−z, z)|z ∈ R}</p><p>9. (a) N(T ){(x,−2x, x)|x ∈ R} e Im(T ) = R2</p><p>(b) N(T ) = {(0, 0)} e Im(T ) = [(1, 2,−1), (1,−1, 3)]</p><p>86</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>(c) N(T ){(−6z,−3z, z)|z ∈ R} e Im(T ) = [(1, 1, 0), (−1,−2, 1), (3, 0, 3)]</p><p>(d) N(T ) = {(0, 0, 0)} e Im(T ) = R3</p><p>10. (a) T−1 : R3 → R3 tal que T−1(x, y, z) = 1</p><p>8(6x+ 2y − 2z, 3x− 3y −</p><p>z,−x+ y + 3z)</p><p>(b) T−1 : R2 → R2 tal que T−1(x, y) = (2x− y,−x+ y)</p><p>(c) T−1 : P2(R)→ R3 tal que T−1(aX2 +bX+c) = (3a−b−c,−2a+</p><p>b+ c, a− b)</p><p>(d) T−1 : M2×2(R)→ R4 tal que T−1</p><p>[</p><p>x y</p><p>z t</p><p>]</p><p>= (z, t, x, y)</p><p>11. N(T ) = {(0, 0, 0)} então T é injetora. Im(T ) = R3 então T é sobreje-</p><p>tora. Assim T é um isomorfismo linear. E sua inversa é T−1 : R3 → R3</p><p>tal que T−1(x, y, z) = (x− 2y, y,−x+ 2y + z)</p><p>12. (a) T (x, y, z) =</p><p>(</p><p>x+ z</p><p>2 ,</p><p>−x+ z</p><p>2</p><p>)</p><p>(b) Uma base para T é dada por {(0, 1, 0)} e dimN(T ) = 1</p><p>(c) Im(T ) = R2 e dimIm(T ) = 2.</p><p>(d) Não pois não é injetora.</p><p>13. (a) [T ]AB =</p><p>[</p><p>1 1 0</p><p>1 0 1</p><p>]</p><p>(b) [T ]CD =</p><p></p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>4</p><p>3</p><p>1</p><p>3 −2</p><p>3 −2</p><p>3</p><p></p><p>(c) [T (1, 1, 0)]D = (0, 1)</p><p>14. (a) (S + T )(x, y) = (2x+ 2y, 4y)</p><p>(b) (2S + 4T )(x, y) = (6x+ 4y, 14y)</p><p>(c) (S ◦ T )(x, y) = (x+ 6y, 3y)</p><p>(d) (T ◦ S)(x, y) = (x+ 2y, 3y)</p><p>15. (a) T (x, y) = (2x, 4x+ y, x− 4y)</p><p>(b) T (−2, 1) = (−4,−7,−6)</p><p>16. (a) [T ]BB =</p><p> −3 1 1</p><p>3 3 3</p><p>2 −3 −4</p><p></p><p>(b) [v]B =</p><p> 1</p><p>3</p><p>−5</p><p></p><p>87</p><p>17. (a) Uma base para N(T ) é dada por {(0, 1, 0)} e dimN(T ) = 1</p><p>(b) Uma base para Im(T ) é dada por {(1, 3, 2), (2,−1, 0)} e dimIm(T ) =</p><p>2</p><p>(c) Não. Não.</p><p>(d)</p><p></p><p>1 2 4</p><p>6 10</p><p>3</p><p>20</p><p>3</p><p>2 −5</p><p>3 −10</p><p>3</p><p></p><p>18. (a) [T ]AB =</p><p></p><p>0 0</p><p>−1</p><p>2 1</p><p>8</p><p>3</p><p>4</p><p>3</p><p></p><p>(b) [T (v)]B =</p><p></p><p>0</p><p>5</p><p>2</p><p>8</p><p>3</p><p></p><p>19. (a) T (x, y) = (−x+ 2y, 3x, 2x+ y)</p><p>(b) N(T ) = {(0, 0)}, não tem base.</p><p>(c) Uma base para Im(T ) é dada por {(−1, 3, 2), (2, 0, 1)}</p><p>20. (a) [T ]AB =</p><p>[</p><p>2 −1 3</p><p>4 2 3</p><p>]</p><p>(b) [T ]CD =</p><p></p><p>7</p><p>2</p><p>7</p><p>2 6</p><p>−5</p><p>2 −3</p><p>2 −1</p><p></p><p>(c) [T ]CD = [I]BD[T ]AB[I]CD onde [I]CA =</p><p> 1 0 1</p><p>1 1 0</p><p>0 1 1</p><p> e [I]CD =</p><p></p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2 −1</p><p>2</p><p></p><p>21. (a) [T ]AB =</p><p> 2 1</p><p>0 1</p><p>1 1</p><p></p><p>(b) [T ]CD =</p><p></p><p>0 1</p><p>−1 1</p><p>2</p><p>0 1</p><p>6</p><p></p><p>88</p><p>(c) [T ]AB = [I]DBT ]CD[I]AC onde [I]DB =</p><p> 1 0 0</p><p>0 2 0</p><p>0 1 3</p><p> e [I]AC =</p><p>[</p><p>1 0</p><p>2 1</p><p>]</p><p>22. [T (v)]B =</p><p></p><p>−4</p><p>−7</p><p>23</p><p>3</p><p></p><p>23. C(0, 4) ou C(4,−2)</p><p>24. T (x, y, z) = (−2x, y,−4x+ y + 2z)</p><p>25. Demonstração.</p><p>4.1.14 Apêndice C – Teoremas</p><p>Considere T : V →W uma transformação linear.</p><p>Proposição 4.1.25. Para quaisquer v1, v2, . . . , vn ∈ V e para quaisquer</p><p>k1, k2, . . . , kn ∈ R,</p><p>T (k1v1 + k2v2 + . . .+ knvn) = k1T (v1) + k2T (v2) + . . .+ knT (vn)</p><p>Corolário 4.1.26. Sabendo-se as imagens dos vetores de uma base do es-</p><p>paço vetorial V é possível determinar a transformação linear T .</p><p>Proposição 4.1.27. Para quaisquer v, u ∈ V , T (−v) = −T (v) e T (v−u) =</p><p>T (v)− T (u).</p><p>Proposição 4.1.28. Seja S um subespaço vetorial do espaço vetorial V .</p><p>Então T (S) = {T (s)|s ∈ S} é um subespaço vetorial do espaço W .</p><p>Proposição 4.1.29. N(T ) é um subespaço vetorial de V .</p><p>Proposição 4.1.30. Im(T ) é um subespaço vetorial de W .</p><p>Teorema 4.1.31. (Teorema do Núcleo e da Imagem) dimV = dimN(T ) +</p><p>dimIm(T ).</p><p>Proposição 4.1.32. T é uma transformação linear injetora se e somente</p><p>se N(T ) = {0V }.</p><p>Proposição 4.1.33. Seja T uma transformação linear injetora e {v1, v2, . . . , vn} ⊂</p><p>V um conjunto de vetores linearmente independente. Então o conjunto</p><p>{T (v1), T (v2), . . . , T (vn)} ⊂W também é linearmente independente.</p><p>Proposição 4.1.34. Se T é uma transformação linear injetora e dimV =</p><p>dimW então T é sobrejetora.</p><p>89</p><p>Proposição 4.1.35. T é bijetora se e somente se for invertível.</p><p>Proposição 4.1.36. Considere T, T ′ : V → W e R,R′ : W → U transfor-</p><p>mações lineares.</p><p>1. A composta R ◦ T : V → U tal que (R ◦ T )(v) = R(T (v)) é uma</p><p>transformação linear.</p><p>2. Se T e R são bijetoras, então:</p><p>(a) A inversa T−1 : W → V é uma transformação linear.</p><p>(b) (T−1)−1 = T .</p><p>(c) (kT )−1 = 1</p><p>k</p><p>T−1 para qualquer k ∈ R e k 6= 0</p><p>(d) (R ◦ T )−1 = T−1 ◦ S−1</p><p>(e) (R+R′) ◦ T = (R ◦ T ) + (R′ ◦ T )</p><p>(f) R ◦ (T + T ′) = (R ◦ T ) + (R ◦ T ′)</p><p>(g) (k.R) ◦ T = k.(R ◦ T ) = R ◦ (k.T )</p><p>Proposição 4.1.37. Seja {v1, v2, . . . , vn} uma base de V . Se o vetor vi</p><p>pode ser associado a um vetor wi ∈W , para todo i = 1, 2, . . . , n então existe</p><p>uma única transformação linear T : V →W tal que T (vi) = wi.</p><p>Proposição 4.1.38. Seja L(V,W ) (ou Hom(V,W )) o conjunto de todas as</p><p>transformações lineares de V em W e as seguintes operações:</p><p>+ : L(V,W )× L(V,W ) → L(V,W )</p><p>(T, S) → T + S</p><p>. : R× L(V,W ) → L(V,W )</p><p>(k, T ) → k.T</p><p>Então (L(V,W ),+, .) é um espaço vetorial.</p><p>Proposição 4.1.39. Se dimV = n e dimW = m então dimL(V,W ) = n.m.</p><p>Definição 4.1.40. O conjunto L(V,R) ou Hom(V,R) ou V ∗ de todos os</p><p>funcionais de V em R é denominado espaço vetorial dual de V .</p><p>90</p><p>Capítulo 5</p><p>Produto interno positivo</p><p>definido</p><p>5.1 Primeiros conceitos</p><p>Considere V um espaço vetorial n dimensional sobre o corpo dos com-</p><p>plexos R. O produto interno</p><p>sobre V é uma função binária</p><p>〈 , 〉 V × V → R</p><p>(u, v) → 〈u, v〉</p><p>que satisfaz as propriedades:</p><p>PI1 Positiva Definida: para todo v ∈ V , 〈v, v〉 ≥ 0 e 〈v, v〉 = 0 se e somente</p><p>se v = 0V .</p><p>PI2 Simétrica: para quaisquer u, v ∈ V , 〈v, u〉 = 〈u, v〉.</p><p>PI3 Aditividade: para quaisquer u, v, w ∈ V , 〈(v+u), w〉 = 〈v, w〉+ 〈u,w〉.</p><p>PI4 Homogeneidade: para quaisquer u, v ∈ V e para todo k ∈ R, 〈(ku), v〉 =</p><p>k〈u, v〉.</p><p>Exemplo 5.1.1.</p><p>1. O produto interno usual no Rn é 〈(u1, . . . , un), (v1, . . . , vn)〉 = u1v1 +</p><p>· · ·+ unvn;</p><p>2. V : R2, 〈(x, y), (z, t)〉 = 1</p><p>2xz + 3yt;</p><p>3. V : R3, 〈(x1, x2, x3), (y1, y2, y3)〉 = x1y1 + 2x2y2 + 5x3y3.</p><p>Teorema 5.1.2. Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno.</p><p>Para quaisquer u, v, w ∈ V e k, ` ∈ R,</p><p>91</p><p>1. 〈u, kv〉 = k〈u, v〉</p><p>2. 〈ku, `v〉 = k`〈u, v〉</p><p>3. 〈u, v + w〉 = 〈u, v〉+ 〈u,w〉</p><p>4. 〈u, 0V 〉 = 0</p><p>5. Se u 6= 0V e 〈u, v〉 = 0 então v = 0V .</p><p>6. 〈u− v, w〉 = 〈u,w〉 − 〈v, w〉</p><p>7. Se u 6= 0V e 〈u, v〉 = 〈u,w〉 então v = w.</p><p>Definição 5.1.3. Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno.</p><p>A norma de um vetor é a função</p><p>‖ ‖ : V → R</p><p>‖v‖ →</p><p>√</p><p>〈v, v〉.</p><p>Assim, ‖v‖2 = 〈v, v〉. Observe que, a norma de vetores depende do</p><p>produto interno considerado. Um vetor v ∈ V é denominado vetor unitário</p><p>quando ‖v‖ = 1. Seja v 6= 0V , o vetor 1</p><p>‖v‖</p><p>v = v</p><p>‖v‖</p><p>é denominado vetor</p><p>normalizado ou versor de v e é um vetor unitário, isto é,</p><p>∥∥ v</p><p>‖v‖</p><p>∥∥ = 1.</p><p>Teorema 5.1.4. Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno.</p><p>Para quaisquer u, v, w ∈ V e k ∈ R,</p><p>1. Se v 6= 0V então</p><p>∥∥ v</p><p>‖v‖</p><p>∥∥ = 1.</p><p>2. ‖v‖ ≥ 0 e ‖v‖ = 0 se e somente se v = 0V .</p><p>3. (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) |〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖</p><p>4. (Corolário) 〈u, v〉2 ≤ ‖u‖2 ‖v‖2</p><p>5. (Desigualdade Triangular) ‖v + u‖ ≤ ‖v‖+ ‖u‖</p><p>6. ‖kv‖ = |k| ‖v‖</p><p>Definição 5.1.5. Define-se a função distância entre vetores como sendo</p><p>d : V × V → R</p><p>(u, v) → d(u, v) = ‖u− v‖.</p><p>Desta forma, d(u, v) =</p><p>√</p><p>〈u− v, u− v〉 e d(u, v)2 = 〈u− v, u− v〉.</p><p>Teorema 5.1.6. Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno.</p><p>Para quaisquer u, v, w ∈ V e k ∈ R,</p><p>92</p><p>1. d(u, v) ≥ 0 e d(u, v) = 0 se e somente se u = v.</p><p>2. d(u, v) = d(v, u)</p><p>3. d(u, v) ≤ d(u,w) + d(w, v)</p><p>Definição 5.1.7. O ângulo θ entre dois vetores u, v ∈ V é tal que</p><p>cos θ = 〈u, v〉</p><p>‖u‖‖v‖</p><p>com 0 ≤ θ ≤ π.</p><p>Dois vetores u, v ∈ V são vetores ortogonais, v⊥u, quando por 〈u, v〉 =</p><p>0. O conjunto de vetores A = {v1, . . . , vr} ⊆ V é dito conjunto ortogonal</p><p>quando 〈vi, vj〉 = 0, para todo i, j = 1, . . . , r, i 6= j. Se em um conjunto</p><p>ortogonal todos os vetores são unitários o conjunto é denomindado conjunto</p><p>ortonormal. Desta forma, se uma base do espaço vetorial for um conjunto</p><p>ortogonal, será denominada base ortogonal. Uma base ortogonal formada</p><p>por vetores unitários é chamada base ortonormal.</p><p>Exemplo 5.1.8. O conjunto {(1, 2, 0), (2,−1, 3), (−6, 3, 5)} é uma base or-</p><p>togonal e o conjunto {( 1√</p><p>5</p><p>,</p><p>2√</p><p>5</p><p>, 0), ( 2√</p><p>14</p><p>,− 1√</p><p>14</p><p>,</p><p>3√</p><p>14</p><p>), (− 6</p><p>6</p><p>√</p><p>2</p><p>,</p><p>3</p><p>6</p><p>√</p><p>2</p><p>,</p><p>5</p><p>6</p><p>√</p><p>2</p><p>)}</p><p>uma base ortonormal do R3.</p><p>Teorema 5.1.9. Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno.</p><p>Para quaisquer u, v, w ∈ V e k ∈ R,</p><p>1. 0V⊥v.</p><p>2. Se u⊥v então v⊥u.</p><p>3. Se u⊥w e v⊥w então u+ v⊥w.</p><p>4. Se u⊥v então ku⊥v.</p><p>5. (Generalização do Teorema de Pitágoras) Se {v1, . . . , vr} é um con-</p><p>junto ortogonal de vetores então ‖v1 + · · ·+vr‖2 = ‖v1‖2 + · · ·+‖vr‖2.</p><p>6. Se {v1, . . . , vr} ⊂ V é um conjunto ortogonal de vetores não nulos</p><p>então {v1, . . . , vr} é linearmente independente.</p><p>7. Seja S ≤ V , {v1, . . . , vr} uma base de S e v ∈ V tal que para todo</p><p>i = 1, . . . , r, v⊥vi então para todo s ∈ S, v⊥s.</p><p>8. Seja {v1, . . . , vn} uma base ortogonal de V então v = 〈v, v1〉</p><p>〈v1, v1〉</p><p>v1 + · · ·+</p><p>〈v, vn〉</p><p>〈vn, vn〉</p><p>vn.</p><p>Corolário 5.1.10. Se {v1, . . . , vn} é uma base ortonormal de V então v =</p><p>〈v, v1〉v1 + · · ·+ 〈v, vn〉vn.</p><p>93</p><p>5.2 Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt</p><p>O processo de ortogonalização de Gram-Schmidt resolve o pro-</p><p>blema de a partir de uma base qualquer de um espaço vetorial munido de</p><p>um produto interno, se obter uma base ortogonal. E, posteriormente, se</p><p>obter uma base ortonormal. O processo será apresentado para os espaços</p><p>vetoriais R2 e R3 para o produto interno usual e depois generalizado.</p><p>5.2.1 Processo para o R2</p><p>Considere {v1, v2} uma base do R2. Sejam u1 = v1 e u2 = v2 − ku1 tal</p><p>que 〈u1, u2〉 = 0.</p><p>u1 = v1</p><p>ku1</p><p>v2</p><p>u2</p><p>Figura 5.1: Interpretação geométrica no R2</p><p>O escalar k é tal que</p><p>〈u1, u2〉 = 0</p><p>〈u1, v2 − ku1〉 = 0</p><p>〈u1, v2〉 − k〈u1, u1〉 = 0</p><p>k = 〈u1, v2〉</p><p>〈u1, u1〉</p><p>Assim, u2 = v2 −</p><p>〈u1, v2〉</p><p>〈u1, u1〉</p><p>u1.</p><p>O vetor ku1 é a projeção ortogonal do vetor v2 no subespaço gerado pelo</p><p>vetor u1. proj[u1]v2 = ku1 = 〈u1, v2〉</p><p>〈u1, u1〉</p><p>u1.</p><p>Logo, {u1, u2} é uma base ortogonal e</p><p>{ u1</p><p>‖u1‖</p><p>,</p><p>u2</p><p>‖u2‖</p><p>}</p><p>é uma base orto-</p><p>normal do R2.</p><p>Exemplo 5.2.1. Ortogonalizando a base {(1, 2), (3, 5)} pelo processo de de</p><p>Gram-Schmidt.</p><p>94</p><p>• u1 = v1 = (1, 2)</p><p>• u2 = v2−</p><p>〈u1, v2〉</p><p>〈u1, u1〉</p><p>u1 = (3, 5)− 〈(1, 2), (3, 5)〉</p><p>〈(1, 2), (1, 2)〉(1, 2) = (3, 5)− 13</p><p>5 (1, 2) =</p><p>(2</p><p>5 ,−</p><p>1</p><p>5)</p><p>O vetor (13</p><p>5 ,</p><p>26</p><p>5 ) é a projeção ortogonal do vetor (3, 5) no subespaço [(1, 2)].</p><p>O conjunto</p><p>{</p><p>(1, 2), (2</p><p>5 ,−</p><p>1</p><p>5)</p><p>}</p><p>é uma base ortogonal e</p><p>{</p><p>( 1√</p><p>5</p><p>,</p><p>2√</p><p>5</p><p>), ( 2√</p><p>5</p><p>,− 1√</p><p>5</p><p>)</p><p>}</p><p>uma base ortonormal do R2.</p><p>5.2.2 Processo para o R3</p><p>Considere {v1, v2, v3} uma base do R3. Sejam u1 = v1 e u2 = v2 −</p><p>〈u1, v2〉</p><p>〈u1, u1〉</p><p>u1. O vetor u3 é obtido em função dos vetores u1, u2 e v3 de tal</p><p>forma forma que seja ortogonal tanto a u1 quanto ao u2. Assim, u3 =</p><p>v3 − k2u2 − k1u1 com 〈u1, u3〉 = 0 e 〈u2, u3〉 = 0.</p><p>u1</p><p>k1u1</p><p>k2u2</p><p>u2</p><p>u3</p><p>v3</p><p>k1u1 + k2u2</p><p>Figura 5.2: Interpretação geométrica no R3</p><p>O escalar k1 é tal que</p><p>〈u1, u3〉 = 0</p><p>〈u1, v3 − k2u2 − k1u1〉 = 0</p><p>〈u1, v3〉 − k2〈u1, u2〉 − k1〈u1, u1〉 = 0</p><p>Mas, u1⊥u2 ∴ 〈u1, u2〉 = 0 ∴ 〈u1, v3〉 − k1〈u1, u1〉 = 0 ∴ k1 = 〈u1, v3〉</p><p>〈u1, u1〉</p><p>O escalar k2 é tal que</p><p>95</p><p>〈u2, u3〉 = 0</p><p>〈u2, v3 − k2u2 − k1u1〉 = 0</p><p>〈u2, v3〉 − k2〈u2, u2〉 − k1〈u2, u1〉 = 0</p><p>Mas, u1⊥u2 ∴ 〈u2, u1〉 = 0 ∴ 〈u2, v3〉 − k2〈u2, u2〉 = 0 ∴ k2 = 〈u2, v3〉</p><p>〈u2, u2〉</p><p>Desta forma, u3 = v3 −</p><p>〈u2, v3〉</p><p>〈u2, u2〉</p><p>u2 −</p><p>〈u1, v3〉</p><p>〈u1, u1〉</p><p>u1.</p><p>O vetor k1u1 + k2u2 é a projeção ortogonal do vetor v3 no subespaço</p><p>gerado pelos vetores u1 e u2. proj[u1,u2]v3 = k1u1 + k2u2 = 〈u1, v3〉</p><p>〈u1, u1〉</p><p>u1 +</p><p>〈u2, v3〉</p><p>〈u2, u2〉</p><p>u2.</p><p>Logo, {u1, u2, u3} é uma base ortogonal e</p><p>{ u1</p><p>‖u1‖</p><p>,</p><p>u2</p><p>‖u2‖</p><p>,</p><p>u3</p><p>‖u3‖</p><p>}</p><p>é uma</p><p>base ortonormal do R3.</p><p>5.2.3 Generalização</p><p>Considere {v1, . . . , vn} uma base de V e os vetores:</p><p>u1 = v1</p><p>u2 = v2 −</p><p>〈u1, v2〉</p><p>〈u1, u1〉</p><p>u1</p><p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p><p>un = vn −</p><p>n−1∑</p><p>i=1</p><p>〈ui, vn〉</p><p>〈ui, ui〉</p><p>ui</p><p>Então, {u1, . . . , un} é uma base ortogonal e</p><p>{ u1</p><p>‖u1‖</p><p>, . . . ,</p><p>un</p><p>‖un‖</p><p>}</p><p>uma base</p><p>ortonormal de V .</p><p>Para j = 2, . . . , n, a projeção ortogonal do vetor vj no subes-</p><p>paço gerado pelos vetores u1, . . . , uj−1 é o vetor proj[u1,...,uj−1]vj =</p><p>j−1∑</p><p>i=1</p><p>〈ui, vj〉</p><p>〈ui, ui〉</p><p>ui</p><p>5.3 Complemento ortogonal</p><p>Seja S um subespaço vetorial de V . O complemento ortogonal de S</p><p>é o conjunto S⊥ = {v ∈ V, 〈v, s〉 = 0, para todo s ∈ S}.</p><p>Exemplo 5.3.1. 1. S = {(x, y, z) ∈ R3, x = 0}. Encontrar um vetor</p><p>ortogonal ao subespaço S significa encontrar um vetor ortogonal aos</p><p>vetores de uma base de S.</p><p>96</p><p>Seja {(0, 1, 0), (0, 0, 1)} uma base de S. Assim,</p><p>S⊥ = {(x, y, z) ∈ R3, (x, y, z)⊥(0, 1, 0) e (x, y, z)⊥(0, 0, 1)}.</p><p>〈(x, y, z), (0, 1, 0)〉 = 0 e 〈(x, y, z), (0, 0, 1)〉 = 0 ∴ y = 0 e z = 0</p><p>Então, S⊥ = {(x, y, z) ∈ R3, y = 0 e z = 0}.</p><p>2. S = {(3y − z, y, z), y, z ∈ R}. Seja {(3, 1, 0), (−1, 0, 1)} uma base de</p><p>S.</p><p>S⊥ = {(x, y, z) ∈ R3, 〈(x, y, z), (3, 1, 0)〉 = 0 e 〈(x, y, z), (−1, 0, 1)〉 =</p><p>0}.</p><p>Assim,</p><p>{</p><p>3x+ y = 0</p><p>−x+ z = 0</p><p>Então, S⊥ = {(z,−3z, z), z ∈ R}.</p><p>Teorema 5.3.2. Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno.</p><p>Para quaisquer u, v, w ∈ V e k ∈ R,</p><p>1. S⊥ 6= ∅</p><p>2. S⊥ ≤ V</p><p>3. S ∩ S⊥ = {0V }</p><p>4. Sejam S,R ≤ V . Então (S⊥)⊥ = S, (S+R)⊥ = S⊥∩R⊥ e (S∩R)⊥ =</p><p>S⊥ +R⊥.</p><p>5. V = S ⊕ S⊥</p><p>Corolário 5.3.3. (Teorema da Dimensão) dimS + dimS⊥ = dimV</p><p>5.4 Exercícios</p><p>1. Verifique se as funções abaixo definem produtos internos no R2.</p><p>(a) 〈(x, y), (z, t)〉 = 2xz + 3yt</p><p>(b) 〈(x, y), (z, t)〉 = xz − yt</p><p>(c) 〈(x, y), (z, t)〉 = 4xz</p><p>(d) 〈(x,</p><p>y), (z, t)〉 = xz + yt+ 1</p><p>(e) 〈(x, y), (z, t)〉 = 2x2z + y2t</p><p>(f) 〈(x, y), (z, t)〉 = x2z2 + y2t2</p><p>(g) 〈(x, y), (z, t)〉 = xz − 2xt− 2yz + 5yt</p><p>(h) 〈(x, y), (z, t)〉 = k1`1 + k2`2 onde A = {v1, v2} é uma base do R2</p><p>e (x, y) = k1v1 + k2v2 e (z, t) = `1v1 + `2v2.</p><p>97</p><p>2. Considere o espaço vetorial das matrizes quadradas Matn(R) com as</p><p>operações usuais. Mostre que a função 〈A,B〉 = tr(ABT ) é um pro-</p><p>duto interno.</p><p>3. Calcule a norma do vetor (1,−5, 2) considerando:</p><p>(a) o produto interno usual no R3.</p><p>(b) 〈(x, y, z), (w, r, t)〉 = 1</p><p>2xw + yr + 3zt.</p><p>4. Considere o R3. Indique o valor de k ∈ R para que ‖(6, k, 1)‖ =</p><p>√</p><p>41.</p><p>5. Mostre que para todo v ∈ V ,</p><p>∥∥∥ v</p><p>‖v‖</p><p>∥∥∥ = 1.</p><p>6. Sejam u, v ∈ V tais que ‖u‖ = 3, ‖v‖ = 5. Indique o valor de k ∈ R</p><p>para que 〈u+ kv, u− kv〉 = 0.</p><p>7. Considere o produto interno usual no R2, u = (1, 2) e v = (3, 5).</p><p>(a) Interprete geometricamente u+ v, u− v e v − u.</p><p>(b) Calcule d(v, u) e o ângulo entre eles.</p><p>8. Considere o produto interno usual no R2, ‖u‖ = 3, ‖v‖ = 4 e ‖u+v‖ =</p><p>2</p><p>√</p><p>5. Indique o ângulo entre v e u.</p><p>9. Verifique se os vetores (2,−3) e (3, 2) são ortogonais em relação aos</p><p>produtos internos:</p><p>(a) usual.</p><p>(b) 〈(x, y), (z, t)〉 = 4xz + 3yt.</p><p>10. Se u⊥v então ‖u+ v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2?</p><p>11. Verifique se as bases são ortogonais:</p><p>(a) {(1, 2), (3, 5)}</p><p>(b)</p><p>{(2</p><p>3 ,−</p><p>2</p><p>3 ,</p><p>1</p><p>3</p><p>)</p><p>,</p><p>(2</p><p>3 ,</p><p>1</p><p>3 ,−</p><p>2</p><p>3</p><p>)</p><p>,</p><p>(1</p><p>3 ,</p><p>2</p><p>3 ,</p><p>2</p><p>3</p><p>)}</p><p>12. Encontre um vetor unitário que seja ortogonal aos vetores (1,−1, 0) e</p><p>(2,−1, 1).</p><p>13. Se u⊥v unitários então ‖u− v‖ =</p><p>√</p><p>2?</p><p>14. A partir da base {(1, 2), (3, 5)} indique duas bases ortonormais distin-</p><p>tas.</p><p>15. Normalize o conjunto {(2,−1, 3), (−6, 3, 5)}.</p><p>98</p><p>16. Ortonormalize as bases:</p><p>(a) {(1, 1, 2), (1, 2, 0), (0,−1, 1)}</p><p>(b) {(1, 1, 1), (−1, 1, 0), (1, 2, 1)}</p><p>(c) {(1, 0, 0), (3, 7,−2), (0, 4, 1)}</p><p>17. Seja o subespaço S gerado pela base ortogonal {(0, 1, 0), (−4, 0, 3)}.</p><p>Encontre a projeção do vetor (1, 1, 1) em S.</p><p>18. O conjunto {(1, 0, 2), (0, 1, 1)} é uma base do subespaço S.</p><p>(a) Ortogonalize-a obtendo uma base B.</p><p>(b) Encontre a projeção do vetor (1, 1,−1) no subespaço gerado por</p><p>B.</p><p>19. Indique S⊥ sendo:</p><p>(a) S = {(3y − z, y, z), y, z ∈ R}.</p><p>(b) S = [(1, 2,−3), (2,−4, 2)].</p><p>20. Considere o produto interno 〈(x, y, z), (w, r, t)〉 = xw + 2yr + 3zt do</p><p>R3. Ortogonalize a base {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}</p><p>21. Considere o produto interno 〈(x, y, z), (w, r, t)〉 = 2xw + 3yr + 4zt do</p><p>R3 e o subespaço S = {(z, y, z), y, z ∈ R}. Indique S⊥, uma base e sua</p><p>dimensão.</p><p>5.4.1 Gabarito</p><p>1. Apenas as letras a e h são produtos internos.</p><p>2. Demonstração</p><p>3. a-</p><p>√</p><p>30 b- 5</p><p>√</p><p>6</p><p>2</p><p>4. k = ±2</p><p>5. Demonstração</p><p>6. k = ±3</p><p>5</p><p>7. a- Interpletação geométrica. b- d(u, v) =</p><p>√</p><p>13 e θ = arccos</p><p>( 13√</p><p>170</p><p>)</p><p>8. θ = arccos</p><p>(</p><p>− 5</p><p>24</p><p>)</p><p>9. a- Sim b- Não</p><p>99</p><p>10. Demonstração</p><p>11. a- Não b- Sim</p><p>12.</p><p>(√</p><p>3</p><p>3 ,</p><p>√</p><p>3</p><p>3 ,−</p><p>√</p><p>3</p><p>3</p><p>)</p><p>ou</p><p>(</p><p>−</p><p>√</p><p>3</p><p>3 ,−</p><p>√</p><p>3</p><p>3 ,</p><p>√</p><p>3</p><p>3</p><p>)</p><p>13. Sim</p><p>14. {(1, 2),</p><p>(2</p><p>5 ,−</p><p>1</p><p>5</p><p>)</p><p>} e {(3, 5),</p><p>(</p><p>− 5</p><p>34 ,</p><p>3</p><p>34</p><p>)</p><p>}</p><p>15.</p><p>{(√</p><p>14</p><p>7 ,</p><p>−</p><p>√</p><p>14</p><p>14 ,</p><p>3</p><p>√</p><p>14</p><p>14</p><p>)</p><p>,</p><p>(</p><p>− 6√</p><p>70</p><p>,</p><p>3√</p><p>70</p><p>,</p><p>5√</p><p>70</p><p>)}</p><p>16. Use o processo de ortogonalização de Graham Schmitz</p><p>17. projS(1, 1, 1) =</p><p>( 4</p><p>25 , 1,−</p><p>3</p><p>25</p><p>)</p><p>18. a-</p><p>{</p><p>(1, 0, 2),</p><p>(</p><p>−2</p><p>5 , 1,</p><p>1</p><p>5</p><p>)}</p><p>b- projS(1, 1,−1) =</p><p>(</p><p>−1</p><p>3 ,</p><p>1</p><p>3 ,−</p><p>1</p><p>3</p><p>)</p><p>19. a- S⊥ = {(x,−3x, x)|x ∈ R} b- S⊥ = {(x, x, x)|x ∈ R}</p><p>20. Use o processo de ortogonalização de Graham Schmitz</p><p>21. S⊥ = {(−2z, 0, z)|z ∈ R}, {(−2, 0, 1)} forma uma base para S⊥ e</p><p>dimS⊥ = 1.</p><p>100</p><p>Capítulo 6</p><p>Autovalores e autovetores</p><p>6.1 Primeiros conceitos</p><p>Definição 6.1.1. Seja T : V → V um operador linear. Um vetor v ∈ V</p><p>não nulo, é dito autovetor, vetor próprio ou vetor característico do</p><p>operador T , se existir λ ∈ R tal que T (v) = λv. E ainda, o escalar λ é</p><p>dito autovalor, valor próprio ou valor característico do operador T</p><p>associado ao autovetor v.</p><p>Exemplo 6.1.2. 1. T : R2 → R2 tal que T (x, y) = (−7x+10y,−5x+8y).</p><p>O vetor (2, 1) é um autovetor de T associado ao autovalor −2, pois</p><p>T (2, 1) = (−4,−2) = −2(2, 1). E ainda, o vetor (1, 1) é um autovetor</p><p>de T associado ao autovalor 3, pois T (1, 1) = (3, 3) = 3(1, 1).</p><p>2. T : R3 → R3 tal que T (x, y, z) = (y + z, x + z, x + y). O vetor</p><p>(1, 1, 1) é um autovetor de T associado ao autovalor 2, pois T (1, 1, 1) =</p><p>(2, 2, 2) = 2(1, 1, 1). E ainda, o vetor (1, 0,−1) é um autovetor de T as-</p><p>sociado ao autovalor −1, pois T (1, 0,−1) = (−1, 0, 1) = −1(1, 0,−1).</p><p>3. A transformaçaõ linear no plano que tem como autovalores os escalares</p><p>−1 e 3 e autovetores associados os vetores (1, 0) e (1, 2), respectiva-</p><p>mente, pode ser determinada da seguinte maneira:</p><p>• Observe que o conujunto {(1, 0), (1, 2)} forma uma base para o</p><p>R2 (Verificar!). E portanto, podemos escrever:</p><p>(x, y) =</p><p>(2x− y</p><p>2</p><p>)</p><p>.(1, 0) +</p><p>(y</p><p>2</p><p>)</p><p>.(1, 2);</p><p>• Pela definição vista acima temos que T (1, 0) = −1(1, 0) = (−1, 0)</p><p>e T (1, 2) = 3(1, 2) = (3, 6);</p><p>101</p><p>• Assim, pela definição de transformações lineares, temos que:</p><p>T (x, y) = T</p><p>(2x− y</p><p>2 .(1, 0) + y</p><p>2 .(1, 2)</p><p>)</p><p>T (x, y) = T</p><p>(2x− y</p><p>2 .(1, 0)</p><p>)</p><p>+ T</p><p>(y</p><p>2 .(1, 2)</p><p>)</p><p>T (x, y) =</p><p>(2x− y</p><p>2</p><p>)</p><p>.T (1, 0) +</p><p>(y</p><p>2</p><p>)</p><p>.T (1, 2)</p><p>T (x, y) =</p><p>(2x− y</p><p>2</p><p>)</p><p>(−1, 0) +</p><p>(y</p><p>2</p><p>)</p><p>(3, 6)</p><p>T (x, y) =</p><p>(</p><p>− 2x− y</p><p>2 , 0</p><p>)</p><p>+</p><p>(</p><p>3.y2 , 6.</p><p>y</p><p>2</p><p>)</p><p>T (x, y) = (−x+ 2y, 3y)</p><p>Assim a transformação linear procurada é dada por T : R2 → R2 tal</p><p>que T (x, y) = (−x+ 2y, 3y).</p><p>Seja λ é um autovalor do operador linear T : V → V . O conjunto</p><p>Vλ = {v ∈ V |T (v) = λv} de todos os autovetores associados a λ junto com</p><p>o vetor nulo, é denominado autoespaço correspondente ao autovalor</p><p>λ.</p><p>Como calcular autovalores e autoespaços:</p><p>Considere o operador linear T : V → V onde V é um espaço vetorial de</p><p>dimensão dimV = n, um autovetor v ∈ V associado a λ ∈ R e o operador</p><p>identidade IV : V → V tal que IV (v) = v.</p><p>Por definição temos que T (v) = λv, então podemos escrever T (v) =</p><p>λIV (v) e, portanto, temos que T (v) − λIV (v) = 0V (0V é o vetor nulo de</p><p>V ).</p><p>Pela definição de transformações lineares, (T − λIV )(v) = 0V . Isso quer</p><p>dizer que existe um vetor não nulo v ∈ V no núcleo da transformação linear</p><p>(T − λIV ).</p><p>Assim podemos afirmar que o operador linear (T − λIV ) não é injetivo,</p><p>consequentemente, não é bijetivo, nem invertível. O fato do operador linear</p><p>não ser invertível é equivalente ao do determinate de sua matriz associada,</p><p>dada qualquer base*, ser zero. Isto é, det([T ]β − λIn) = 0 onde β é uma</p><p>base qualquer de V e In é a matriz identidade de ordem n.</p><p>A equação det([T ]β − λIn) = 0 é denominada de equação caracterís-</p><p>tica e o polinômio p(λ) = det([T ]β − λIn) é denominado de polinômio</p><p>característico de T . A importância do polinômio característico de T está</p><p>no fato de suas raízes serem exatamente os autovalores de T .</p><p>Observação 6.1.3. (∗) Por que podemos escolher qualquer base para cal-</p><p>cular o polinômio característico de um operador linear?</p><p>102</p><p>Sejam dadas β e α duas bases quaisquer de V , sabemos que existe uma rela-</p><p>ção entre as matrizes associadas ao operador linear T relativas à cada base</p><p>dada por:</p><p>[T ]β = [P ].[T ]α.[Q]</p><p>onde [P ] é a matriz mudança de base α para a base β e [Q] sua inversa (ou</p><p>seja, [P ].[Q] = In e det[P ].det[Q] = 1). Assim:</p><p>p(λ) = det([T ]β − λIn)</p><p>p(λ) = det([P ].[T ]α.[Q]− λIn)</p><p>p(λ) = det([P ].[T ]α.[Q]− λ[P ].In.[Q])</p><p>p(λ) = det([P ].([T ]α − λIn).[Q])</p><p>p(λ) = det[P ].det([T ]α − λIn).det[Q]</p><p>p(λ) = det[P ].det[Q].det([T ]α − λIn)</p><p>p(λ) = det([T ]α − λIn)</p><p>Para calcular um autoespaço associado a um autovalor λ de um operador</p><p>linear T basta ver que ele é o conjunto solução da equação vetorial T (v) = λv.</p><p>Agora, sem deixar qualquer dúvida, vamos aplicar o estudo feito nos</p><p>exemplos a seguir:</p><p>Exemplo 6.1.4. Para cada operador linear abaixo, determine o polinômio</p><p>característico, os autovalores reais (se possível) e os seus respectivos auto-</p><p>espaços.</p><p>1. T : R2 → R2 definida por T (x, y) = (x− 4y, 2x− 5y);</p><p>Solução 6.1.5. Vamos considerar a matriz associada a T relativa à</p><p>base canônica do R2 e a matriz identidade de ordem 2 abaixo:</p><p>[T ] =</p><p>[</p><p>1 −4</p><p>2 −5</p><p>]</p><p>e I2 =</p><p>[</p><p>1 0</p><p>0 1</p><p>]</p><p>Assim, [T ]− λI2 =</p><p>[</p><p>1 −4</p><p>2 −5</p><p>]</p><p>− λ</p><p>[</p><p>1 0</p><p>0 1</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>1− λ −4</p><p>2 −5− λ</p><p>]</p><p>Então, det([T ]−λI2) = det</p><p>[</p><p>1− λ −4</p><p>2 −5−</p><p>λ</p><p>]</p><p>= λ2 +4λ+3. E ainda,</p><p>fazendo det([T ]−λI2) = 0 temos λ2 +4λ+3 = 0 e λ1 = −1 e λ2 = −3.</p><p>Logo, temos que o polinômio característico de T é dado por λ2 +4λ+3</p><p>e seus autovalores são λ1 = −1 e λ2 = −3.</p><p>Agora vamos determinar os autoespaços associados a −1 e −3:</p><p>Quando λ = −1, temos T (x, y) = −1(x, y), ou seja, (x−4y, 2x−5y) =</p><p>−1(x, y).</p><p>103</p><p>{</p><p>x− 4y = −x</p><p>2x− 5y = −y ∴ x = 2y.</p><p>Logo, V−1 = {(2y, y)|y ∈ R} é o autoespaço de T correspondente ao</p><p>autovalor −1.</p><p>Quando λ = −3, temos T (x, y) = −3(x, y), ou seja, (x−4y, 2x−5y) =</p><p>−3(x, y). {</p><p>x− 4y = −3x</p><p>2x− 5y = −3y ∴ x = y.</p><p>Logo, V−3 = {(y, y)|y ∈ R} é o autoespaço de T correspondente ao</p><p>autovalor −3.</p><p>2. T : R2 → R2 definida por T (x, y) = (x− 2y, x− y);</p><p>Solução 6.1.6. Vamos considerar a matriz associada a T relativa à</p><p>base canônica do R2 e a matriz identidade de ordem 2 abaixo:</p><p>[T ] =</p><p>[</p><p>1 −2</p><p>1 −1</p><p>]</p><p>e I2 =</p><p>[</p><p>1 0</p><p>0 1</p><p>]</p><p>Assim, [T ]− λI2 =</p><p>[</p><p>1 −2</p><p>1 −1</p><p>]</p><p>− λ</p><p>[</p><p>1 0</p><p>0 1</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>1− λ −2</p><p>1 −1− λ</p><p>]</p><p>Então, det([T ] − λI2) = det</p><p>[</p><p>1− λ −2</p><p>1 −1− λ</p><p>]</p><p>= λ2 + 1. E ainda,</p><p>fazendo det([T ] − λI2) = 0 temos λ2 + 1 = 0 que é uma equação que</p><p>não possui raízes reais. Logo, o polinômio característico de T é dado</p><p>por λ2 + 1 e T não possui autovalores reais.</p><p>3. T : R3 → R3 definida por T (x, y, z) = (2x+ y, x+ y + z, x+ 3y − z);</p><p>Solução 6.1.7. Vamos considerar a matriz associada a T relativa à</p><p>base canônica do R3 e a matriz identidade de ordem 3 abaixo:</p><p>[T ] =</p><p> 2 1 0</p><p>1 1 1</p><p>1 3 −1</p><p> e I3 =</p><p> 1 0 0</p><p>0 1 0</p><p>0 0 1</p><p></p><p>Assim, [T ]−λI3 =</p><p> 2 1 0</p><p>1 1 1</p><p>1 3 −1</p><p>−λ</p><p> 1 0 0</p><p>0 1 0</p><p>0 0 1</p><p> =</p><p> 2− λ 1 0</p><p>1 1− λ 1</p><p>1 3 −1− λ</p><p>.</p><p>Então, det([T ]−λI3) = det</p><p> 2− λ 1 0</p><p>1 1− λ 1</p><p>1 3 −1− λ</p><p> = (1−λ)(λ2−</p><p>104</p><p>λ−6).E ainda, fazendo det([T ]−λI3) = 0 temos (1−λ)(λ2−λ−6) = 0</p><p>e λ1 = 1, λ2 = 3 e λ3 = −2.</p><p>Logo, temos que o polinômio característico de T é dado por (1−λ)(λ2−</p><p>λ− 6) e seus autovalores são λ1 = 1, λ2 = 3 e λ3 = −2.</p><p>Agora vamos determinar os autoespaços associados a 1, 3 e −2:</p><p>Quando λ = 1, temos T (x, y, z) = 1(x, y, z), ou seja, (2x+ y, x+ y +</p><p>z, x+ 3y − z) = 1(x, y, z).</p><p>2x+ y = x</p><p>x+ y + z = y</p><p>x+ 3y − z = z</p><p>∴ y = −x e z = −x.</p><p>Logo, V1 = {(x,−x,−x)|x ∈ R} é o autoespaço de T correspondente</p><p>ao autovalor 1.</p><p>Quando λ = 3, temos T (x, y, z) = 3(x, y, z), ou seja, (2x+ y, x+ y +</p><p>z, x+ 3y − z) = 3(x, y, z).</p><p>2x+ y = 3x</p><p>x+ y + z = 3y</p><p>x+ 3y − z = 3z</p><p>∴ y = x e z = x.</p><p>Logo, V3 = {(x, x, x)|x ∈ R} é o autoespaço de T correspondente ao</p><p>autovalor 3.</p><p>Quando λ = −2, temos T (x, y, z) = −2(x, y, z), ou seja, (2x + y, x +</p><p>y + z, x+ 3y − z) = −2(x, y, z).</p><p>2x+ y = −2x</p><p>x+ y + z = −2y</p><p>x+ 3y − z = −2z</p><p>∴ y = −4x e z = 11x.</p><p>Logo, V−2 = {(x,−4x, 11x)|x ∈ R} é o autoespaço de T correspondente</p><p>ao autovalor −2.</p><p>4. T : R3 → R3 definida por T (x, y, z) = (y + z, x+ z, x+ y);</p><p>Solução 6.1.8. Vamos considerar a matriz associada a T relativa à</p><p>base canônica do R3 e a matriz identidade de ordem 3 abaixo:</p><p>[T ] =</p><p> 0 1 1</p><p>1 0 1</p><p>1 1 0</p><p> e I3 =</p><p> 1 0 0</p><p>0 1 0</p><p>0 0 1</p><p></p><p>105</p><p>Assim, [T ]−λI3 =</p><p> 0 1 1</p><p>1 0 1</p><p>1 1 0</p><p>−λ</p><p> 1 0 0</p><p>0 1 0</p><p>0 0 1</p><p> =</p><p> −λ 1 1</p><p>1 −λ 1</p><p>1 1 −λ</p><p>.</p><p>Então, det([T ] − λI3) = det</p><p> −λ 1 1</p><p>1 −λ 1</p><p>1 1 −λ</p><p> = −λ3 + 3λ + 2. E</p><p>ainda, fazendo det([T ]− λI3) = 0 temos −λ3 + 3λ+ 2 = 0 e λ1 = −1,</p><p>λ2 = −1 e λ3 = 2.</p><p>Logo, temos que o polinômio característico de T é dado por −λ3+3λ+2</p><p>e seus autovalores são λ1 = −1, λ2 = −1 e λ3 = 2.</p><p>Agora vamos determinar os autoespaços associados a −1 e 2:</p><p>Quando λ = −1, temos T (x, y, z) = −1(x, y, z), ou seja, (y + z, x +</p><p>z, x+ y) = −1(x, y, z).</p><p>y + z = −x</p><p>x+ z = −y</p><p>x+ y = −z</p><p>∴ x+ y + z = 0.</p><p>Logo, V−1 = {(x, y, z) ∈ R3|x + y + z = 0} é o autoespaço de T</p><p>correspondente ao autovalor −1.</p><p>Quando λ = 2, temos T (x, y, z) = 2(x, y, z), ou seja, (y+ z, x+ z, x+</p><p>y) = 2(x, y, z). </p><p>y + z = 2x</p><p>x+ z = 2y</p><p>x+ y = 2z</p><p>∴ x = y = z.</p><p>Logo, V2 = {(x, x, x)|x ∈ R} é o autoespaço de T correspondente ao</p><p>autovalor 2.</p><p>5. T : R3 → R3 definida por T (x, y, z) = (−x,−2y, y − 2z).</p><p>Solução 6.1.9. Vamos considerar a matriz associada a T relativa à</p><p>base canônica do R3 e a matriz identidade de ordem 3 abaixo:</p><p>[T ] =</p><p> −1 0 0</p><p>0 −2 0</p><p>0 1 −2</p><p> e I3 =</p><p> 1 0 0</p><p>0 1 0</p><p>0 0 1</p><p></p><p>Assim, [T ]−λI3 =</p><p> −1 0 0</p><p>0 −2 0</p><p>0 1 −2</p><p>−λ</p><p> 1 0 0</p><p>0 1 0</p><p>0 0 1</p><p> =</p><p> −1− λ 0 0</p><p>0 −2− λ 0</p><p>0 1 −2− λ</p><p></p><p>Então, det([T ] − λI3) = det</p><p> −1− λ 0 0</p><p>0 −2− λ 0</p><p>0 1 −2− λ</p><p> = (−1 −</p><p>106</p><p>λ)(−2 − λ)(−2 − λ). E ainda, fazendo det([T ] − λI3) = 0 temos</p><p>(−1− λ)(−2− λ)(−2− λ) = 0 e λ1 = −1, λ2 = −2 e λ3 = −2.</p><p>Logo, temos que o polinômio característico de T é dado por (−1 −</p><p>λ)(−2 − λ)(−2 − λ) e seus autovalores são λ1 = −1, λ2 = −2 e</p><p>λ3 = −2.</p><p>Agora vamos determinar os autoespaços associados a −1 e −2:</p><p>Quando λ = −1, temos T (x, y, z) = −1(x, y, z), ou seja, (−x,−2y, y−</p><p>2z) = −1(x, y, z).</p><p>−x = −x</p><p>−2y = −y</p><p>y − 2z = −z</p><p>∴ y = 0 e z = 0.</p><p>Logo, V−1 = {(x, 0, 0)|x ∈ R} é o autoespaço de T correspondente ao</p><p>autovalor −1.</p><p>Quando λ = −2, temos T (x, y, z) = −2(x, y, z), ou seja, (−x,−2y, y−</p><p>2z) = −2(x, y, z).</p><p>−x = −2x</p><p>−2y = −2y</p><p>y − 2z = −2z</p><p>∴ x = 0 e y = 0.</p><p>Logo, V−2 = {(0, 0, z)|z ∈ R} é o autoespaço de T correspondente ao</p><p>autovalor −2.</p><p>6.2 Multiplicidade de autovalores</p><p>Sejam V um espaço vetorial, T um operador linear em V e λi ∈ R um</p><p>autovalor deste operador, com 1 ≤ i ≤ dimV . O número de vezes que</p><p>(λ− λi) aparece como fator do polinômio característico de T é denominado</p><p>de multiplicidade algébrica de λi e denotado por ma(λi).</p><p>Observação 6.2.1. Observemos que o autoespaço Vλi</p><p>correspondente ao</p><p>autovalor λi do operador T é um subespaço vetorial de V !</p><p>Demonstração: De fato, note que o vetor nulo 0V pertence a Vλi</p><p>pois</p><p>por definição de transformação linear temos que T (0V ) = 0V = λi0V . E</p><p>ainda, se u e v pertencem a Vλi</p><p>, então por definição T (u) = λiu e T (v) = λiv.</p><p>Logo, para qualquer escalar k ∈ R temos que T (u− kv) = T (u)− kT (v) =</p><p>λiu − kλiv = λi(u − kv), onde a primeira igualdade é consequência da</p><p>definição de transformação linear. Assim, temos que u−kv também pertence</p><p>a Vλi</p><p>. O que prova que Vλi</p><p>é um subespaço vetorial de V .</p><p>A dimensão do autoespaço Vλi</p><p>é denominada a multiplicidade geo-</p><p>métrica de λi e denotada por mg(λi).</p><p>107</p><p>Exemplo 6.2.2. 1. Considere o operador linear T : R2 → R2 definida</p><p>por T (x, y) = (x− 4y, 2x− 5y). Já vimos que o polinômio caracterís-</p><p>tico de T é dado por p(λ) = λ2 + 4λ + 3 = (λ + 1)(λ + 3), então a</p><p>multiplicidade algébrica de cada autovalor é ma(−1) = ma(−3) = 1.</p><p>E ainda os autoespaços associados são V−1 = {(2y, y)|y ∈ R} e V−3 =</p><p>{(y, y)|y ∈ R}. Assim a multiplicidade geométrica de cada autovalor é</p><p>mg(−1) = mg(−3) = 1.</p><p>2. Considere o operador linear T : R3 → R3 definida por T (x, y, z) =</p><p>(2x + y, x + y + z, x + 3y − z). Já vimos que o polinômio caracte-</p><p>rístico de T é dado por p(λ) = (1 − λ)(λ2 − λ − 6) = (1 − λ)(λ +</p><p>2)(λ−3), então a multiplicidade algébrica de cada autovalor é ma(1) =</p><p>ma(−2) = ma(3) = 1. E ainda os autoespaços associados são V1 =</p><p>{(x,−x,−x)|x ∈ R}, V3 = {(x, x, x)|x ∈ R} e V−2 = {(x,−4x, 11x)|x ∈</p><p>R}. Assim a multiplicidade geométrica de cada autovalor é mg(1) =</p><p>mg(−2) = mg(3) = 1.</p><p>3. Considere o operador linear T : R3 → R3 definida por T (x, y, z) =</p><p>(y + z, x + z, x + y). Já vimos que o polinômio característico de T é</p><p>dado por p(λ) = −λ3 +3λ+2 = (λ+1)2(2−λ), então a multiplicidade</p><p>algébrica de −1 é dada por ma(−1) = 2 e a multiplicidade algébrica</p><p>de 2 é dada por ma(2) = 1. E ainda os autoespaços associados são</p><p>V−1 = {(x, y, z) ∈ R3|x + y + z = 0} e V2 = {(x, x, x)|x ∈ R}. As-</p><p>sim, a multiplicidade geométrica de −1 é dada por mg(−1) = 2 e a</p><p>multiplicidade geométrica de 2 é dada por mg(2) = 1.</p><p>4. Considere o operador linear T : R3 → R3 definida por T (x, y, z) =</p><p>(−x,−2y, y − 2z). Já vimos que o polinômio característico de T é</p><p>dado por p(λ) = (−1 − λ)(−2 − λ)2, então a multiplicidade algébrica</p><p>de −1 é dada por ma(−1) = 1 e a multiplicidade algébrica de −2 é</p><p>dada por ma(−2) = 2. E ainda os autoespaços associados são V−1 =</p><p>{(x, 0, 0)|x ∈ R} e V−2 = {(0, 0, z)|z ∈ R}. Assim, a multiplicidade</p><p>geométrica de −1 é dada por mg(−1)</p><p>= 1 e a multiplicidade geométrica</p><p>de 2 é dada por mg(−2) = 1.</p><p>6.3 Diagonalização de Operadores Lineares</p><p>Dado um operador linear T : V → V , existem representações matriciais</p><p>de T relativas as bases de V . Dentre estas representações, a considerada mais</p><p>simples é uma matriz diagonal. Como a cada base corresponde uma matriz,</p><p>a questão se resume na obtenção de uma certa base, cuja representação</p><p>matricial do operador linear T em relação a esta base é uma matriz diagonal.</p><p>Assim, esta base diagonaliza o operador linear T .</p><p>108</p><p>Definição 6.3.1. Seja V um espaço vetorial de dimensão n e T : V →</p><p>V um operador linear. O operador linear T é denominado um operador</p><p>linear diagonalizável se existir uma base α de V tal que [T ]α é uma matriz</p><p>diagonal.</p><p>Pela definição de matriz associada a transformação linear relativa a uma</p><p>base, temos que se um operador é diagonalizável então a base que o dia-</p><p>gonaliza é formada por autovetores do operador. O teorema abaixo é uma</p><p>ferramenta muito útil para determinar se um operador é ou não é diagona-</p><p>lizável.</p><p>Teorema 6.3.2. Seja V um espaço vetorial de dimensão n e um operador</p><p>linear T : V → V . Se exitem r ≤ n autovalores distintos λ1, λ2, . . . , λr,</p><p>para qualquer autovalor a multiplicidade algébrica for igual a multiplicidade</p><p>geométrica, isto é, para todo i = 1, . . . , r,ma(λi) = mg(λi) e mg(λ1) +</p><p>mg(λ2) + . . .+mg(λr) = n então o operador linear T é diagonalizável.</p><p>Exemplo 6.3.3. 1. Considere o operador linear T : R2 → R2 definida</p><p>por T (x, y) = (x−4y, 2x−5y). Já vimos que as multiplicidade algébrica</p><p>e geométrica de cada autovalor são dadas por ma(−1) = mg(−1) = 1,</p><p>ma(−3) = mg(−3) = 1 e mg(−1) + mg(−3) = 2 = dimR2. Assim o</p><p>operador T é diagonalizável. A base de autovetores que diagonaliza T</p><p>pode ser encontrada unindo as bases de cada autoespaço associado a T :</p><p>{(2, 1)} forma uma base para V−1 = {(2y, y)|y ∈ R} e {(1, 1)} forma</p><p>uma base para V−3 = {(y, y)|y ∈ R}. Logo, α = {(2, 1), (1, 1)} forma</p><p>uma base do R2 que diagonaliza o operador T e sua representação</p><p>matricial é dada por:</p><p>[T ]α =</p><p>[</p><p>−1 0</p><p>0 −3</p><p>]</p><p>2. Considere o operador linear T : R3 → R3 definida por T (x, y, z) =</p><p>(y+z, x+z, x+y). Já vimos que a multiplicidade algébrica e geométrica</p><p>de −1 é dada por ma(−1) = mg(−1) = 2, a multiplicidade algébrica e</p><p>geométrica de 2 é dada por ma(2) = mg(2) = 1 e mg(−1) + mg(2) =</p><p>3 = dimR3. Assim o operador T é diagonalizável. A base de autove-</p><p>tores que diagonaliza T pode ser encontrada unindo as bases de cada</p><p>autoespaço associado a T : {(1,−1, 0), (1, 0,−1)} forma uma base para</p><p>V−1 = {(x, y, z) ∈ R3|x + y + z = 0} e {(1, 1, 1)} forma uma base</p><p>para V2 = {(x, x, x)|x ∈ R}. Logo, α = {(1,−1, 0), (1, 0,−1), (1, 1, 1)}</p><p>forma uma base de autovalores para R3 que diagonaliza T e sua repre-</p><p>sentação matricial é dada por:</p><p>[T ]α =</p><p> −1 0 0</p><p>0 −1 0</p><p>0 0 2</p><p></p><p>109</p><p>3. Considere o operador linear T : R3 → R3 definida por T (x, y, z) =</p><p>(−x,−2y, y − 2z). Já vimos que a multiplicidade algébrica de −2 é</p><p>dada por ma(−2) = 2 e a multiplicidade geométrica de 2 é dada por</p><p>mg(−2) = 1. Logo, T não é diagonalizável.</p><p>6.4 Lista de exercícios</p><p>1. Verifique, usando a definição, se os vetores dados são autovetores dos</p><p>operadores abaixo:</p><p>(a) v = (−2, 1), T : R2 → R2 tal que T (x, y) = (2x+ 2y, x+ 3y);</p><p>(b) v = (−2, 1, 3), T : R3 → R3 tal que T (x, y, z) = (x− y, 2x+ 3y +</p><p>2z, x+ 2y + z);</p><p>2. Os vetores (1, 1) e (2,−1) são autovetores de um operador linear</p><p>T : R2 → R2 associados aos autovalores λ1 = 5 e λ2 = −1, res-</p><p>pectivamente. Determine T (4, 1).</p><p>3. Determine o operador linear T : R2 → R2 cujos os autovalores são</p><p>λ1 = 1 e λ2 = 3 associados aos autoespaços V1 = {(−y, y), y ∈ R} e</p><p>V3 = {(0, y), y ∈ R}</p><p>4. Determine o operador linear T : R2 → R2 cujos os autovalores são</p><p>λ1 = −2 e λ2 = 3 associados aos autoespaços V−2 = {(3y, y)|y ∈ R} e</p><p>V3 = {(−2y, y)|y ∈ R}.</p><p>5. Determine os autovalores e os autoespaços dos seguintes operadores</p><p>lineares no plano:</p><p>(a) T (x, y) = (x+ 2y,−x+ 4y);</p><p>(b) T (x, y) = (y,−x);</p><p>(c) T (x, y) = (x+ 2y,−y);</p><p>(d) T (x, y) = (x+ y, x+ y).</p><p>6. Dado o operador linear T : R2 → R2 tal que T (x, y) = (−3x− 5y, 2y),</p><p>encontre uma base de autovetores que diagonalize o operador T :</p><p>7. Dado o operador linear T : R2 → R2 tal que T (x, y) = (4x+5y, 2x+y),</p><p>encontre uma base de autovetores que diagonalize o operador T :</p><p>8. Para cada operador abaixo exiba, se possível: seu polinômio carac-</p><p>terístico, os autovalores, os autoespaços, as multiplicidades algébricas</p><p>e geométricas, e uma base de autovetores que os diagonalize:</p><p>(a) T : R3 → R3 tal que T (x, y, z) = (x+ y + z, 2y + z, 2y + 3z);</p><p>(b) T : R3 → R3 tal que T (x, y, z) = (x,−2x− y, 2x+ y + 2z);</p><p>110</p><p>(c) T : R3 → R3 tal que T (x, y, z) = (x,−2x+ 3y − z,−4y + 3z);</p><p>(d) T : R3 → R3 tal que T (x, y, z) = (x+ 2y + 3z, y + 2z, z);</p><p>(e) T : R3 → R3 tal que T (x, y, z) = (3x− 3y + 4z, 3y + 5z,−z);</p><p>(f) T : R3 → R3 tal que T (x, y, z) = (x+y+2z, x+2y+z, 2x+y+z);</p><p>(g) T : R3 → R3 tal que T (x, y, z) = (y, z,−x);</p><p>(h) T : R3 → R3 tal que T (x, y, z) = (x+ 3y − 3z, 4y,−3x+ 3y + z).</p><p>9. O operador linear T : R4 → R4 tal que T (x, y, z, t) = (x+y+z+ t, x+</p><p>y + z, y + z + t, x+ y) é diagonalizável?</p><p>10. Prove a afirmação 2 do apêndice: Sejam os autovetores v e v′ do ope-</p><p>rador linear T : V → V associados, respectivamente, aos autovalores</p><p>λ e λ′ distintos entre si. Então v e v′ são linearmente independentes.</p><p>6.5 Respostas</p><p>1. a) Sim. b) Não.</p><p>2. T (4, 1) = (8, 11).</p><p>3. T : R2 → R2 tal que T (x, y) = (x, 2x+ 3y)</p><p>4. T : R2 → R2 tal que T (x, y) = (−6y,−x+ y)</p><p>5. (a) λ1 = 2, λ2 = 3, V2 = {(2y, y)|y ∈ R} e V3{(y, y)|y ∈ R}.</p><p>(b) Não existe autovalores reais.</p><p>(c) λ1 = 1, λ2 = −1, V1 = {(x, 0)|x ∈ R} e V−1{(x,−x)|x ∈ R}.</p><p>(d) λ1 = 2, λ2 = 0, V2 = {(x, x)|x ∈ R} e V0{(x,−x)|x ∈ R}.</p><p>6. Uma base pode ser dada por {(1, 0), (1,−1)}.</p><p>7. Uma base pode ser dada por {(5, 2), (−1, 1)}.</p><p>8. (a) p(λ) = (1−λ)2(4−λ), λ1 = 1, λ2 = 4, V1 = {(x, y,−y)|x, y ∈ R}</p><p>e V4 = {(y, y, 2y)|y ∈ R}. E ainda, ma(1) = mg(1) = 2 e ma(4) =</p><p>mg(4) = 1. Uma base pode ser dada por {(1, 0, 0), (0, 1,−1), (1, 1, 2)}.</p><p>(b) p(λ) = (1 − λ)(−1 − λ)(2 − λ), λ1 = 1, λ2 = −1, λ3 = 2,</p><p>V1 = {(x,−x,−x)|x ∈ R}, V−1 = {(0,−3z, z)|z ∈ R} e V2 =</p><p>{(0, 0, z)|z ∈ R}. E ainda, ma(1) = mg(1) = 1, ma(−1) =</p><p>mg(−1) = 1 e ma(2) = mg(2) = 1. Uma base pode ser dada</p><p>por {(1,−1,−1), (0,−3, 1), (0, 0, 1)}.</p><p>(c) p(λ) = (1 − λ)2(5 − λ), λ1 = 1, λ2 = 5, V1 = {(0, y, 2y)|y ∈ R}</p><p>e V5 = {(0, y,−2y)|y ∈ R}. E ainda, ma(1) = 2, mg(1) = 1 e</p><p>ma(5) = mg(5) = 1. Não existe base que diagonalize T .</p><p>111</p><p>(d) p(λ) = (1 − λ)3, λ1 = 1 e V1 = {(x, 0, 0)|x ∈ R}. E ainda,</p><p>ma(1) = 3 e mg(1) = 1. Não existe base que diagonalize T .</p><p>(e) p(λ) = (3−λ)2(−1−λ), λ1 = −1, λ2 = 3, V−1 = {(−31</p><p>16 z,</p><p>−5</p><p>4 z, z)|z ∈</p><p>R} e V3 = {(x, 0, 0)|x ∈ R}. E ainda, ma(−1) = 2, mg(−1) = 1 e</p><p>ma(3) = mg(3) = 1. Não existe base que diagonalize T .</p><p>(f) p(λ) = (1 − λ)(−1 − λ)(4 − λ), λ1 = 1, λ2 = −1, λ3 = 4,</p><p>V1 = {(z,−2z, z)|z ∈ R}, V−1 = {(−z, 0, z)|z ∈ R} e V4 =</p><p>{(x, x, x)|x ∈ R}. E ainda, ma(1) = mg(1) = 1, ma(−1) =</p><p>mg(−1) = 1 e ma(4) = mg(4) = 1. Uma base pode ser dada por</p><p>{(1,−2,−1), (−1, 0, 1), (1, 1, 1)}.</p><p>(g) p(λ) = −1 − λ3, λ1 = −1 e V−1 = {(x,−x, x)|x ∈ R}. E ainda,</p><p>ma(−1) = 1 e mg(−1) = 1. Não existe base que diagonalize T .</p><p>(h) p(λ) = (4 − λ)2(−2 − λ), λ1 = 4, λ1 = −2, V4 = {(x, y, z) ∈</p><p>R3| −x+ y− z = 0} e V−2 = {(x, 0, x)|x ∈ R}. E ainda, ma(4) =</p><p>mg(4) = 2 e ma(−2) = mg(−2) = 1. Uma base pode ser dada</p><p>por {(1, 1, 0), (−1, 0, 1), (1, 0, 1)}.</p><p>9. Sim.</p><p>10. Demonstração pode ser encontrada no Livro Lima, E.L. Álgebra Li-</p><p>near. IMPA. página 154, Teorema 12.2.. (Obs.: Pode-se encontrar a</p><p>demostração nos demais livros da bibliografia.)</p><p>6.6 Apêndice</p><p>Seja V um espaço vetorial de dimensão dimV = n e T : V → V um</p><p>operador linear.</p><p>1. Se v ∈ V, v 6= 0V é um autovetor do operador linear T associado ao</p><p>autovalor λ ∈ R então para todo k ∈ R, k 6= 0, o vetor kv é também</p><p>um autovetor de T associado ao autovalor λ.</p><p>2. Sejam os autovetores v e v′ do operador linear T : V → V associados,</p><p>respectivamente, aos autovalores λ e λ′ distintos entre si. Então v e v′</p><p>são linearmente</p><p>matriz linha quando pos-</p><p>suir uma única linha.</p><p>Notação: A = (aij)1×n</p><p>Exemplo 1.1.4.</p><p>[</p><p>−8 3 4</p><p>]</p><p>Definição 1.1.5. Uma matriz A é denominada matriz coluna quando</p><p>possuir uma só coluna.</p><p>Notação: A = (aij)m×1</p><p>2</p><p>Exemplo 1.1.6.</p><p> 3</p><p>9</p><p>−1</p><p></p><p>Definição 1.1.7. Uma matriz A é denominada matriz nula quando todos</p><p>os seus elementos forem nulos, isto é, aij = 0 para todo i = 1, 2, . . . ,m e</p><p>para todo j = 1, 2, . . . , n.</p><p>Notação: 0m×n</p><p>Exemplo 1.1.8.</p><p>[</p><p>0 0 0</p><p>0 0 0</p><p>]</p><p>2×3</p><p>Definição 1.1.9. Uma matriz A é uma matriz quadrada quando possuir</p><p>o mesmo número de linhas e de colunas, isto é, n = m.</p><p>Notação:</p><p>A =</p><p></p><p>a11 a12 · · · a1n</p><p>a21 a22 · · · a2n</p><p>...</p><p>...</p><p>...</p><p>an1 an2 · · · ann</p><p></p><p>Definição 1.1.10. Diagonal Principal é composta pelos elementos da</p><p>matriz quadrada A tais que i = j, para todo i, j = 1, 2, . . . , n.</p><p>Diagonal Secundária é composta pelos elementos da matriz quadrada A</p><p>onde i+ j = n+ 1, para todo i, j = 1, 2, . . . , n.</p><p>Definição 1.1.11. Dada uma matriz quadrada A de ordem n, o traço de</p><p>A é o somatório dos elementos da diagonal principal de A, denotado por</p><p>tr(A).</p><p>tr(A) =</p><p>n∑</p><p>k=1</p><p>akk = a11 + a22 + . . .+ ann</p><p>Exemplo 1.1.12. A =</p><p> 2 3 4</p><p>5 7 0</p><p>10 −1 9</p><p></p><p>3×3</p><p>Elementos da diagonal principal: 2, 7 e 9.</p><p>Elementos da diagonal secundária: 4, 7 e 10.</p><p>Traço: tr(A) = 2 + 7 + 9 = 18.</p><p>3</p><p>Definição 1.1.13. Uma matriz quadrada A é chamada de matriz diago-</p><p>nal quando todos os elementos que não pertencem à diagonal principal são</p><p>nulos, isto é, para todo i, j = 1, 2, . . . , n, i 6= j, aij = 0.</p><p>Exemplo 1.1.14. A =</p><p> 2 0 0</p><p>0 1 0</p><p>0 0 3</p><p></p><p>3×3</p><p>Definição 1.1.15. Uma matriz diagonal A é chamada de matriz identi-</p><p>dade quando os elementos da diagonal principal forem todos iguais a um,</p><p>isto é, aii = 1, para todo i = 1, 2, . . . , n.</p><p>Notação: In</p><p>Exemplo 1.1.16. I3 =</p><p> 1 0 0</p><p>0 1 0</p><p>0 0 1</p><p></p><p>3×3</p><p>Definição 1.1.17. Uma matriz quadrada A é uma matriz triangular su-</p><p>perior quando os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, isto é,</p><p>para todo i, j = 1, 2, . . . , n, i > j, aij = 0.</p><p>Exemplo 1.1.18. A =</p><p></p><p>1 2 3 4</p><p>0 5 6 7</p><p>0 0 −1 0</p><p>0 0 0 −2</p><p></p><p>3×3</p><p>Definição 1.1.19. Uma matriz quadrada A é chamada de matriz trian-</p><p>gular inferior quando os elementos acima da diagonal principal são nulos,</p><p>isto é, para todo i, j = 1, 2, . . . , n, i < j, aij = 0.</p><p>Exemplo 1.1.20. A =</p><p> 1 0 0</p><p>4 8 0</p><p>7 −1 3</p><p></p><p>3×3</p><p>1.2 Operações com Matrizes</p><p>1.2.1 Adição</p><p>Sejam A = (aij)m×n e B = (bij)m×n matrizes de mesma ordem, define-se</p><p>a matriz soma C = A+B tal que C = (cij)m×n e cij = aij + bij , para todo</p><p>i = 1, 2, . . . ,m e para todo j = 1, 2, . . . , n.</p><p>Exemplo 1.2.1.</p><p>4</p><p>1. Sejam A =</p><p>[</p><p>1 2 −1</p><p>5 3 4</p><p>]</p><p>e B =</p><p> 0 −7 5</p><p>2</p><p>−4 1</p><p>2 5</p><p>.</p><p>Então:</p><p>A+B =</p><p> 1 + 0 2− 7 −1 + 5</p><p>2</p><p>5− 4 3 + 1</p><p>2 4 + 5</p><p> =</p><p> 1 −5 3</p><p>2</p><p>1 7</p><p>2 9</p><p></p><p>2. Um laboratório farmacêutico produz um certo medicamento. Os custos</p><p>relativos à compra e transporte de quantidades específicas da substân-</p><p>cia necessárias para a sua elaboração, adquiridas em dois fornecedores</p><p>distintos são dados (em reais) respectivamente, pelas seguintes matri-</p><p>zes.  3 15</p><p>12 8</p><p>5 2</p><p> e</p><p> 6 8</p><p>9 9</p><p>3 5</p><p></p><p>A matriz que representa os custos totais de compra e de transporte de</p><p>cada uma das substâncias A, B e C é dada por: 9 23</p><p>21 17</p><p>8 7</p><p></p><p>Propriedades da Operação de Adição</p><p>1. Associatividade: para quaisquer matrizes A, B e C de mesma or-</p><p>dem,</p><p>(A+B) + C = A+ (B + C).</p><p>2. Comutatividade: Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem,</p><p>A+B = B +A.</p><p>3. Elemento neutro: a matriz nula 0m×n é o elemento neutro da ope-</p><p>ração de adição pois para toda matriz A de ordem m× n tem-se que</p><p>A+ 0 = 0 +A = A.</p><p>4. Elemento simétrico: para toda matriz A de ordem m × n existe</p><p>uma matriz S de mesma ordem tal que A+ S = S +A = 0m×n.</p><p>O elemento simétrico de uma matriz A é chamado de matriz oposta e</p><p>é denotada por −A, onde se A = (aij)m×n então −A = (−aij)m×n.</p><p>5. Aditividade do traço: para quaisquer matrizes quadradas de mesma</p><p>ordem A e B, tr(A+B) = tr(A) + tr(B).</p><p>5</p><p>1.2.2 Multiplicação por Escalar</p><p>Sejam a matriz A = (aij)m×n e λ um escalar real, define-se a matriz</p><p>produto por escalar B = λA tal que B = (bij)m×n e bij = λaij , para todo</p><p>i = 1, 2, . . . ,m e para todo j = 1, 2, . . . , n.</p><p>Exemplo 1.2.2.</p><p>1. A =</p><p> 1 0</p><p>3 −5</p><p>−1 7</p><p> e λ = −3.</p><p>Então −3A =</p><p> (−3).1 (−3).0</p><p>(−3).3 (−3).(−5)</p><p>(−3).(−1) (−3).7</p><p> =</p><p> −3 0</p><p>−9 15</p><p>3 −21</p><p></p><p>2. O quadro abaixo mostra a produção de trigo, cevada, milho e arroz em</p><p>três regiões, em uma determinada época do ano.</p><p>trigo cevada milho arroz</p><p>I 1200 800 500 700</p><p>II 600 300 700 900</p><p>III 1000 1100 200 450</p><p>Com os incentivos oferecidos, estima-se que a safra no mesmo período</p><p>do próximo ano seja duplicada. A matriz que representa a estimativa</p><p>de produção para o próximo ano é dada por: 2400 1600 1000 1400</p><p>1200 600 1400 1800</p><p>2000 2200 400 900</p><p>.</p><p>Propriedades da Operação de Multiplicação por Escalar</p><p>1. Para toda matriz A e para quaisquer escalares reais k1 e k2 tem-se</p><p>(k1 + k2)A = k1A+ k2A.</p><p>2. Para toda matriz A e para quaisquer escalares reais k1 e k2 tem-se</p><p>(k1.k2)A = k1(k2A).</p><p>3. Para quaisquer matrizes A e B e para todo escalar real k tem-se k(A+</p><p>B) = kA+ kB.</p><p>4. Para toda matriz A de ordem m× n, 0A = 0m×n.</p><p>5. Para toda matriz A de ordem m× n, 1A = A.</p><p>6. Para toda matriz quadrada A e para todo escalar real k, tr(kA) =</p><p>k.tr(A).</p><p>6</p><p>1.2.3 Multiplicação</p><p>Sejam as matrizes A = (aij)m×n e B = (bij)n×p, define-se a matriz</p><p>produto C = A.B tal que C = (cij)m×p e cij =</p><p>k=1∑</p><p>n</p><p>aikbkj , isto é,</p><p>cij = ai1b1j + ai2b2j + . . .+ ainbnj ,</p><p>para todo i = 1, 2, . . . ,m e para todo j = 1, 2, . . . , p.</p><p>Exemplo 1.2.3.</p><p>1. Sejam as matrizes A =</p><p>[</p><p>−2 5 3</p><p>]</p><p>e B =</p><p> 3 −1</p><p>4 0</p><p>−1 12</p><p>, vamos</p><p>calcular, se possível, A.B. O produto pode ser calculado pois A tem 3</p><p>colunas e B tem 3 linhas.</p><p>Assim A.B =</p><p>[</p><p>(−2).3 + 5.4 + 3.(−1) (−2).(−1) + 5.0 + 3.12</p><p>]</p><p>=[</p><p>11 38</p><p>]</p><p>2. Sejam as matrizes A =</p><p>[</p><p>5 −2 1</p><p>−2 0 7</p><p>]</p><p>e B =</p><p> 4 −1</p><p>2 1</p><p>1 2</p><p>, vamos</p><p>calcular, se possível, A.B. O produto pode ser calculado pois A tem 3</p><p>colunas e B tem 3 linhas.</p><p>Assim A.B =</p><p>[</p><p>5.4 + (−2).2 + 1.1 5.(−1) + (−2).1 + 1.2</p><p>(−2).4 + 0.2 + 7.1 (−2).(−1) + 0.1 + 7.2</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>17 −5</p><p>−1 16</p><p>]</p><p>3. A tabela abaixo nos fornece as quantidades de vitaminas A, B e C</p><p>obtidas em cada unidade dos alimentos I e II.</p><p>A B C</p><p>I 4 3 0</p><p>II 5 0 1</p><p>Ao serem ingeridas 5 unidades do alimento I e 2 unidades do alimento</p><p>II a quantidade consumida de cada tipo de vitamina é dada por:</p><p>[</p><p>5 2</p><p>]</p><p>.</p><p>[</p><p>4 3 0</p><p>5 0 1</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>5.4 + 2.5 5.3 + 2.0 5.0 + 2.1</p><p>]</p><p>=[</p><p>30 15 2</p><p>]</p><p>Serão consumidas 30 unidades de vitamina A, 15 unidades de vitamina</p><p>B e 2 unidades de vitamina C.</p><p>7</p><p>Propriedades da Operação de Multiplicação</p><p>1. Associativa: para quaisquer matrizes A, B e C de ordens m × n,</p><p>n× p e p× q, respectivamente, tem-se que (A.B).C = A.(B.C).</p><p>2. Distributiva da Multiplicação em relação à Adição: para quais-</p><p>quer matrizes A e B de ordem m × n, para toda matriz C de ordem</p><p>n× p e para toda matriz D de ordem l×m, tem-se que (A+B).C =</p><p>A.C +B.C e D.(A+B) = D.A+D.B.</p><p>3. Elemento Neutro: a matriz identidade In é o elemento neutro da</p><p>operação de multiplicação pois para toda matriz quadrada A de ordem</p><p>n, tem-se que A.In = In.A = A.</p><p>4. Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem tem-se tr(A.B) =</p><p>tr(B.A).</p><p>5. Para quaisquer matrizes A eB de ordensm×n e n×p, respectivamente,</p><p>e para todo escalar real k tem-se que k.(A.B) = A.(k.B) = (k.A).B.</p><p>6. Para toda matriz quadrada de ordem n, A.0n = 0n.A = 0n.</p><p>Em geral, não vale a propriedade comutativa para a operação de mul-</p><p>tiplicação. Assim, A.B 6= B.A. Quando A.B = B.A, diz-se que A e B são</p><p>matrizes comutáveis, ou ainda que A e B são matrizes que comutam</p><p>entre si. Pelos itens 3 e 6, qualquer matriz quadrada comuta com a matriz</p><p>quadrada nula e com a matriz identidade de mesma ordem.</p><p>Exemplo 1.2.4.</p><p>1. Sejam as matrizes A = (aij)2×3 e B = (bij)3×2. Observe que A.B é</p><p>uma matriz de ordem 2×2 e B.A é uma matriz de ordem 3×3, então</p><p>é claro que A.B 6= B.A.</p><p>2. Sejam as matrizes A = (aij)2×3 e B = (bij)3×1. Observe que A.B é</p><p>uma matriz de ordem 2× 1, porém</p><p>independentes.</p><p>3. Sejam v1, v2, . . . , vr autovetores do operador linear T : V → V asso-</p><p>ciados, respectivamente, aos autovalores λ1, λ2, . . . , λr distintos entre</p><p>si. Então v1, v2, . . . , vr são linearmente independentes.</p><p>4. Se T possui n autovalores distintos então existe um base de V consti-</p><p>tuída por autovetores que diagonaliza T , ou seja, T é diagonalizável.</p><p>112</p><p>Capítulo 7</p><p>Operadores lineares especiais</p><p>7.1 A adjunta</p><p>Transformações lineares definidas em espaços vetoriais com</p><p>produto interno</p><p>Definição 7.1.1. Sejam V eW espaços vetoriais reais com · produto interno</p><p>positivo definido e T : V → w uma transformação linear. A transformação</p><p>linear T ∗ : W → V tal que:</p><p>T (v) · w = v · T ∗(w),</p><p>para todo v ∈ V e w ∈W , é denominada transformação linear adjunta</p><p>de T .</p><p>Exemplo 7.1.2. Seja T : R3 → R2 tal que T (x, y, z) = (2x+y− z, x+ 3y−</p><p>2z) e considere os produtos internos usuais ·2 e ·3 do R2 e do R3, respecti-</p><p>vamente. A transformação linear adjunta de T é dada por T : R2 → R3 tal</p><p>que T ∗(a, b) = (2a+ b, a+ 3b,−a− 2b).</p><p>Solução 7.1.3. De fato, basta conferir o que diz a definição:</p><p>T (x, y, z) ·2 (a, b) = (2x+ y − z, x+ 3y − 2z) ·2 (a, b)</p><p>= (2x+ y − z)a+ (x+ 3y − 2z)b</p><p>= 2xa+ ya− za+ xb+ 3yb− 2zb</p><p>= x(2a+ b) + y(a+ 3b) + z(−a− 2b)</p><p>= (x, y, z) ·3 (2a+ b, a+ 3b,−a− 2b)</p><p>= (x, y, z) ·3 T ∗(a, b)</p><p>113</p><p>Teorema 7.1.4. Sejam α = {v1, v2, . . . , vn} ⊂ V e β = {w1, w2, wm} ⊂ W</p><p>bases ortonormais. Se [T ]αβ = [aij ]m×n é a matriz associada a transformação</p><p>linear T : V →W associada às bases α e β, então matriz da transformação</p><p>linear adjunta T ∗ : W → V associada às bases β e α é a matriz transposta</p><p>[T ∗]βα = [aji]n×m de [T ]αβ .</p><p>Propriedades:</p><p>• I∗V = IV onde IV : V → V é o operador indentidade;</p><p>• Sejam T, S : V → W transformações lineares. Então (T + S)∗ =</p><p>T ∗ + S∗;</p><p>• Seja T : V →W transformação linear. Então (λT )∗ = λT ∗;</p><p>• Sejam T : V →W e S : W → U transformações lineares sobre espaços</p><p>vetoriais com produto interno. Então (S ◦ T )∗ = T ∗ ◦ S∗;</p><p>• Seja T : V →W transformação linear. Então T ∗∗ = T .</p><p>Teorema 7.1.5. Seja T : V → W uma transformação linear entre espaços</p><p>vetoriais munimos de um produto interno positivo definido, tem-se:</p><p>• Ker(T ∗) = Im(T )⊥</p><p>• Im(T ∗) = Ker(T )⊥</p><p>• Ker(T ) = Im(T ∗)⊥</p><p>• Im(T ) = Ker(T ∗)⊥</p><p>Exemplo 7.1.6. Seja T : R3 → R2 tal que T (x, y, z) = (2x+y−z, x+ 3y−</p><p>2z) e considere os produtos internos usuais ·2 e ·3 do R2 e do R3, respecti-</p><p>vamente. Não é preciso determinar a adjunta de T para encontrar o núcleo</p><p>e imagem de T ∗.</p><p>Solução 7.1.7. De fato, pelo teorema acima temos que Ker(T ∗) = Im(T )⊥.</p><p>Note que Im(T ) é gerado pelo conjunto de vetores {(2, 1), (1, 3), (−1,−2)}</p><p>e como tais vetores são dois a dois linearmente independentes (Verificar!),</p><p>temos que Im(T ) = R2, assim, Ker(T ∗) = Im(T )⊥ = {(0, 0)}.</p><p>E ainda, sabemos que Im(T ∗) = Ker(T )⊥. Podemos calcular o núcleo de T</p><p>resolvendo o sistema linear homogêneo abaixo:{</p><p>2x+ y − z = 0</p><p>x+ 3y − 2z = 0 ∴ y = 3x e z = 5x</p><p>Assim, Ker(T ) = {(x, 3x, 5x)|x ∈ R} = [(1, 3, 5)]. Logo, Im(T ∗) =</p><p>Ker(T )⊥ = [(1, 3, 5)]⊥ = {(x, y, z) ∈ R3|x+ 3y + 5z = 0}.</p><p>114</p><p>7.2 Operadores auto-adjuntos</p><p>Definição 7.2.1. Seja V um espaço vetorial munido com produto interno.</p><p>O operador linear T : V → V é denominado operador auto-adjunto</p><p>quando T (v) · w = v · T (w), para todo v e w ∈ V .</p><p>Teorema 7.2.2. Sejam o operador linear T : V → V , T é auto-adjunto se</p><p>e somente se a matriz [T ]α é simétrica, para qualquer base ortonormal α de</p><p>V .</p><p>Exemplo 7.2.3. Os operadores abaixo são auto-adjuntos:</p><p>1. T : R2 → R2 tal que T (x, y) = (2x+ 4y, 4x− z)</p><p>Solução 7.2.4. Basta ver que a matriz [T ]α é simétrica, onde α é a</p><p>base canônica do R2.</p><p>[T ]α =</p><p>[</p><p>2 4</p><p>4 −1</p><p>]</p><p>= [T ]tα</p><p>2. T : R3 → R3 tal que T (x, y, z) = (x− y,−x+ 3y − 2z,−2y).</p><p>Solução 7.2.5. A matriz de T na base canônica α do R3 é simétrica.</p><p>[T ]α</p><p> 1 −1 0</p><p>−1 3 −2</p><p>0 −2 0</p><p> = [T ]tα</p><p>7.3 Operadores normais</p><p>Definição 7.3.1. O operador linear T : V → V é demoninado operador</p><p>normal quando comuta com seu operador adjunto, isto é, T ◦ T ∗ = T ∗ ◦ T .</p><p>Exemplo 7.3.2. Seja T : R2 → R2 tal que T (x, y) = (3x + 6y,−6x + 3y).</p><p>O operador adjunto de T é T ∗ : R2 → R2 tal que T ∗(x, y) = (3x−6y, 6x+3y).</p><p>(T ◦ T ∗)(x, y) = T (3x− 6y, 6x+ 3y) = (45x, 45y) e</p><p>(T ∗ ◦ T )(x, y) = T ∗(3x+ 6y,−6x+ 3y) = (45x, 45y)</p><p>115</p><p>7.4 Operadores ortogonais</p><p>Definição 7.4.1. O operador linear T : V → V é demoninado operador</p><p>ortogonal quando T (v) ◦ T (u) = v ◦ u, isto é, T ∗ = T−1.</p><p>Exemplo 7.4.2. Seja T : R2 → R2 tal que T (x, y) = (y,−x). O operador</p><p>adjunto de T é T ∗ : R2 → R2 tal que T ∗(x, y) = (−y, x).</p><p>(T ◦ T ∗)(x, y) = T (−y, x) = (x, y)</p><p>7.5 Lista de exercícios</p><p>1. Calssifique os operadores abaixo:</p><p>(a) T : R2 → R2 tal que T (x, y) = (2x− 2y,−2x+ 5y);</p><p>(b) T : R3 → R3 tal que T (x, y, z) = (</p><p>√</p><p>3</p><p>3 x+</p><p>√</p><p>3</p><p>3 y +</p><p>√</p><p>3</p><p>3 z,−</p><p>√</p><p>6</p><p>3 x+</p><p>√</p><p>6</p><p>6 y +</p><p>√</p><p>6</p><p>6 z,−</p><p>√</p><p>2</p><p>2 y +</p><p>√</p><p>2</p><p>2 z);</p><p>(c) T : R3 → R3 tal que T (x, y, z) = (2x+ y, x+ y + z, y − 3z);</p><p>(d) T : R3 → R3 tal que T (x, y, z) = (9x−3y−6z, 3x+ 9y+ 6z, 6x−</p><p>6y + 9z);</p><p>(e) T : R3 → R3 tal que T (x, y, z) = (x+ 2y+ 3z, 2x+ 2y+ 2z, 3x+</p><p>2y + 5z);</p><p>(f) T : R3 → R3 tal que T (x, y, z) = (x,−y + 2z,−2y − z).</p><p>2. Ache valores para x e y tais que</p><p>[</p><p>x y</p><p>−1 0</p><p>]</p><p>seja uma matriz ortogonal.</p><p>3. Seja [T ] =</p><p> 1 4 2</p><p>4 −5 −4</p><p>2 −4 4</p><p>. Verifique que T é diagonalizável sem usar</p><p>os critérios de diagonalização.</p><p>4. Todo operador auto-adjunto é um operador normal? Por quê?</p><p>5. Todo operador ortononal é um operador normal? Por quê?</p><p>6. Seja o operador linear T : R3 → R3 tal que T (x, y, z) = (x+y+z, 3x−</p><p>2y− z,−2x+ 3y+ 2z), obtenha bases para os seguintes subespaços do</p><p>R3: Im(T ), Ker(T ), Im(T ∗) e Ker(T ∗).</p><p>116</p><p>7.6 Respostas</p><p>1. a) operdador auto-adjunto e normal; b) operador ortogonal e normal;</p><p>c) operador auto-adjunto e normal. d) operador normal e) operador</p><p>auto-adjunto f) operador normal.</p><p>2. x = 0 e y = ±1.</p><p>3. Use o teorema Espectral que está no apêndice abaixo.</p><p>4. Sim.</p><p>5. Sim.</p><p>6. Uma base para Im(T ) = {(1, 3,−2), (1,−2, 3)}, uma base paraKer(T ) =</p><p>{(1, 4,−5)}, uma base para Im(T ∗) = {(−4, 1, 0), (5, 0, 1)} e uma base</p><p>para Ker(T ∗) = {(−1, 1, 1)}.</p><p>7.7 Apêndice</p><p>Considere V um espaço vetorial de dimensão dimV = n minudo de um</p><p>produto interno e T, T1, T2 : V → V operadores lineares.</p><p>1. Sejam T1 e T2 operadores uto-adjuntos e k ∈ R. Então (T1 +T2) e kT1</p><p>também são operadores auto-djuntos.</p><p>2. T é auto-adjunto se e somente se [T ]α uma matriz simétrica, qualquer</p><p>que seja a base ortonormal α.</p><p>3. Seja T auto-adjunto e v1, v2, . . . , vr autovetores associados a autovalo-</p><p>res distintos λ1, λ2, . . . , λr de T . Então vi é ortogonla a vj , para todo</p><p>i, j = 1, . . . , r, i 6= j.</p><p>4. Se T é auto-adjunto então T possui um autovalor real, isto é, possui</p><p>um autovetor (não nulo).</p><p>Teorema 7.7.1. (Teorema Espectral) Seja T um operador auto-adjunto</p><p>então T é diagonalizável, issto é, existe uma base ortonormal α de autove-</p><p>tores de T tal que [T ]α é uma matriz diagonal.</p><p>1. São equivlentes:</p><p>(a) T é um operador ortogonal.</p><p>(b) T transforma bases ortonormais em bases ortonormais.</p><p>(c) T preserva produto interno, isto é, T (v) ◦ T (u) = v ◦ u para todo</p><p>v e u ∈ V .</p><p>(d) T preserva norma, isto é, ‖T (v)‖ = ‖v‖ para todo v ∈ V .</p><p>117</p><p>2. Seja T um operador ortogonal. Então:</p><p>(a) T preserva distância.</p><p>(b) Os únicos autovalores possíveis para T são ±1.</p><p>(c) Autovetores de T são sempre ortogonais.</p><p>3. Seja T um operador normal. Entáo:</p><p>(a) (kT ) também é um operador normal.</p><p>(b) ‖T (v)‖ = ‖T ∗(v)‖, para todo v ∈ V .</p><p>(c) Se λ é um autovalor de T então λ é um autovalor de T ∗.</p><p>(d) T e T ∗ possuem os mesmos autovetores.</p><p>(e) Ker(T ) = Ker(T ∗)</p><p>(f) Im(T ) = (Ker(T ))⊥.</p><p>118</p><p>Introdução</p><p>Matrizes</p><p>Introdução</p><p>Operações com Matrizes</p><p>Adição</p><p>Multiplicação por Escalar</p><p>Multiplicação</p><p>Transposição</p><p>Classificação de Matrizes Quadradas</p><p>Operações Elementares</p><p>Matriz Equivalente por Linha</p><p>Matriz na Forma Escalonada</p><p>Escalonamento por Linha de uma Matriz</p><p>Posto de uma Matriz</p><p>Aplicações de Operações Elementares</p><p>Determinante</p><p>Permutações</p><p>Definição</p><p>Desenvolvimento de Laplace</p><p>Propriedades</p><p>O cálculo do determinante através das operações elementares</p><p>Exercícios</p><p>Respostas</p><p>Sistemas Lineares</p><p>Introdução</p><p>Classificação de Sistemas</p><p>Resolução de Sistemas utilizando o Método de Eliminação Gaussiana</p><p>Resolução de Sistemas utilizando Inversão de Matrizes</p><p>Exercícios</p><p>Respostas</p><p>Apêndice</p><p>Resolvendo e Interpretando Geometricamente Sistemas Lineares no R2</p><p>Resolvendo e Interpretando Geometricamente Sistemas Lineares no R3</p><p>Espaços vetoriais</p><p>Primeiros conceitos</p><p>Subespaço Vetorial</p><p>Combinação Linear</p><p>Subespaço Vetorial Gerado e Conjunto Gerador</p><p>Vetores Linearmente Independentes e Linearmente Dependentes</p><p>Base e Dimensão de um Espaço Vetorial</p><p>Operações com Subespaços Vetoriais</p><p>Coordenadas de um Vetor em relação a uma Base Ordenada</p><p>Matriz de Transição de uma Base para uma outra Base</p><p>Exercícios</p><p>Apêndice B – Teoremas</p><p>Transformações lineares</p><p>Primeiros conceitos</p><p>Operadores Lineares no Espaço Vetorial R2</p><p>Propriedades</p><p>Obtendo a Lei de uma Transformação Linear</p><p>Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear</p><p>Transformação Linear Injetora</p><p>Transformação Linear Sobrejetora</p><p>Transformação Linear Bijetora – Isomorfismo</p><p>Obtendo a Lei da Transformação Linear Inversa</p><p>Matriz Associada a uma Transformação Linear</p><p>Operações com Transformações Lineares</p><p>Propriedades de Transformações Invertíveis</p><p>Exercícios</p><p>Respostas</p><p>Apêndice C – Teoremas</p><p>Produto interno positivo definido</p><p>Primeiros conceitos</p><p>Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt</p><p>Processo para o R2</p><p>Processo para o R3</p><p>Generalização</p><p>Complemento ortogonal</p><p>Exercícios</p><p>Gabarito</p><p>Autovalores e autovetores</p><p>Primeiros conceitos</p><p>Multiplicidade de autovalores</p><p>Diagonalização de Operadores Lineares</p><p>Lista de exercícios</p><p>Respostas</p><p>Apêndice</p><p>Operadores lineares especiais</p><p>A adjunta</p><p>Operadores auto-adjuntos</p><p>Operadores normais</p><p>Operadores ortogonais</p><p>Lista de exercícios</p><p>Respostas</p><p>Apêndice</p><p>a matriz B.A não é definida.</p><p>3. Sejam as matrizes A =</p><p>[</p><p>1 2</p><p>3 4</p><p>]</p><p>e B =</p><p>[</p><p>−1 0</p><p>1 2</p><p>]</p><p>. Observe que:</p><p>A.B =</p><p>[</p><p>1 2</p><p>3 4</p><p>]</p><p>.</p><p>[</p><p>−1 0</p><p>1 2</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>1 4</p><p>1 8</p><p>]</p><p>B.A =</p><p>[</p><p>−1 0</p><p>1 2</p><p>]</p><p>.</p><p>[</p><p>1 2</p><p>3 4</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>−1 −2</p><p>7 10</p><p>]</p><p>Logo, as matrizes A e B não comutam entre si.</p><p>8</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>Potência de uma Matriz Quadrada de Ordem n.</p><p>A0 = In</p><p>A1 = A</p><p>A2 = A.A</p><p>...</p><p>Ak = Ak−1.A</p><p>Toda matriz quadrada A comuta com qualquer potência de A.</p><p>Exemplo 1.2.5.</p><p>1. Seja a matriz A =</p><p>[</p><p>1 3</p><p>0 1</p><p>]</p><p>. Então A2 =</p><p>[</p><p>1 3</p><p>0 1</p><p>]</p><p>.</p><p>[</p><p>1 3</p><p>0 1</p><p>]</p><p>=[</p><p>1 6</p><p>0 1</p><p>]</p><p>2. Sejam o polinômio f(x) = x2 + 2x − 11 = x2 + 2x − 11x0 e a matriz</p><p>A =</p><p>[</p><p>1 2</p><p>4 −3</p><p>]</p><p>. Determinando o valor de f(A):</p><p>f(A) = A2 + 2A1 − 11A0 = A2 + 2A− 11I2</p><p>f(A) =</p><p>[</p><p>9 −4</p><p>−8 17</p><p>]</p><p>+ 2</p><p>[</p><p>1 2</p><p>4 −3</p><p>]</p><p>− 11</p><p>[</p><p>1 0</p><p>0 1</p><p>]</p><p>f(A) =</p><p>[</p><p>9 −4</p><p>−8 17</p><p>]</p><p>+</p><p>[</p><p>2 4</p><p>8 −6</p><p>]</p><p>+</p><p>[</p><p>−11 0</p><p>0 −11</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>0 0</p><p>0 0</p><p>]</p><p>A matriz A é uma raiz do polinômio f(x) já que f(A) = 02×2</p><p>Matriz Idempotente</p><p>Uma matriz quadrada A é idempotente quando A2 = A.</p><p>Exemplo 1.2.6. A matriz A =</p><p> 2 −1 1</p><p>−3 4 −3</p><p>−5 5 −4</p><p> é idempotente. (Verifi-</p><p>que).</p><p>1.2.4 Transposição</p><p>Seja a matriz A = (aij)m×n, define-se a matriz transposta B tal que</p><p>B = (bij)n×m e bij = aji, isto é, é a matriz obtida a partir da matriz A pela</p><p>troca de suas linhas pelas colunas correspondentes.</p><p>Notação: B = At.</p><p>Propriedades da Operação de Transposição</p><p>9</p><p>1. Involução: para toda matriz A, (At)t = A.</p><p>2. Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem, (A+B)t = At +Bt.</p><p>3. Para toda matriz A e para todo escalar real k, (kA)t = kAt.</p><p>4. Para toda matriz A de ordem m × n e para toda matriz B de ordem</p><p>n× p,</p><p>(A.B)t = Bt.At.</p><p>5. Para toda matriz quadrada A, tr(At) = tr(A).</p><p>1.3 Classificação de Matrizes Quadradas</p><p>Matriz Simétrica: Uma matriz quadradaA é denominada simétrica quando</p><p>At = A.</p><p>Exemplo 1.3.1.</p><p> 4 3 −1</p><p>3 2 0</p><p>−1 0 5</p><p></p><p>Observe que os elementos da matriz dispostos simetricamente em re-</p><p>lação à diagonal principal são iguais.</p><p>Matriz Anti-simétrica: Uma matriz quadradaA é denominada anti-simétrica</p><p>quando At = −A.</p><p>Exemplo 1.3.2.</p><p> 0 3 −1</p><p>−3 0 7</p><p>−1 −7 0</p><p></p><p>Todos os elementos da diagonal principal são iguais a zero e os ele-</p><p>mentos simetricamente dispostos em relação à diagonal principal têm</p><p>sinais contrários.</p><p>Matriz Invertível ou Não-singular: Uma matriz quadrada A de ordem</p><p>n é dita invertível se existir uma matriz quadrada B de mesma ordem</p><p>tal que A.B = B.A = In.</p><p>A matriz B é dita matriz inversa da matriz A.</p><p>Notação: B = A−1 e A.A−1 = A−1.A = In.</p><p>Exemplo 1.3.3.</p><p>1. A matriz</p><p>[</p><p>2 5</p><p>1 3</p><p>]</p><p>é invertível e sua inversa é</p><p>[</p><p>3 −5</p><p>−1 2</p><p>]</p><p>pois:</p><p>10</p><p>[</p><p>2 5</p><p>1 3</p><p>]</p><p>.</p><p>[</p><p>3 −5</p><p>−1 2</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>3 −5</p><p>−1 2</p><p>]</p><p>.</p><p>[</p><p>2 5</p><p>1 3</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>1 0</p><p>0 1</p><p>]</p><p>2. Obtendo a matriz inversa da matriz A =</p><p>[</p><p>2 −1</p><p>1 0</p><p>]</p><p>.</p><p>Considere B =</p><p>[</p><p>x z</p><p>y t</p><p>]</p><p>.</p><p>Se A.B = In então</p><p>[</p><p>2 −1</p><p>1 0</p><p>]</p><p>.</p><p>[</p><p>x z</p><p>y t</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>2x− y 2z − t</p><p>x z</p><p>]</p><p>.</p><p>[</p><p>1 0</p><p>0 1</p><p>]</p><p>.</p><p>Assim,</p><p></p><p>2x− y = 1</p><p>x = 0</p><p>2z − t = 0</p><p>z = 1</p><p>.</p><p>Desta forma, B =</p><p>[</p><p>0 1</p><p>−1 2</p><p>]</p><p>.</p><p>Verifica-se que B.A = In, então a matriz inversa de A é B.</p><p>Matriz Ortogonal: Uma matriz quadrada A de ordem n invertível é de-</p><p>nominada ortogonal quando At = A−1.</p><p>Exemplo 1.3.4.</p><p>[</p><p>cos θ −sen θ</p><p>sen θ cos θ</p><p>]</p><p>Matriz Normal: Uma matriz quadradaA de ordem n é dita normal quando</p><p>comuta com sua matriz transposta, isto é, A.At = At.A.</p><p>Exemplo 1.3.5.</p><p>[</p><p>6 −3</p><p>3 6</p><p>]</p><p>1.4 Operações Elementares</p><p>São operações realizadas nas linhas de uma matriz.</p><p>OE1. A troca da linha i pela linha j. (Li ↔ Lj)</p><p>OE2. A multiplicação da linha i por um escalar não nulo. (Li ← kLi)</p><p>OE3. A substituição da linha i por ela mesma mais k vezes a linha j, sendo</p><p>k não nulo. (Li ← Li + kLj)</p><p>Exemplo 1.4.1. 0 0</p><p>2 4</p><p>1 5</p><p>L1 ↔ L3</p><p> 1 5</p><p>2 4</p><p>0 0</p><p>L2 ←</p><p>1</p><p>2L2</p><p> 1 5</p><p>1 2</p><p>0 0</p><p>L2 ← L2+(−1)L1</p><p> 1 5</p><p>0 −3</p><p>0 0</p><p></p><p>11</p><p>1.4.1 Matriz Equivalente por Linha</p><p>Sejam A e B matrizes de mesma ordem. A matriz B é denominada</p><p>equivalente por linha a matriz A, quando for possível transformar a matriz</p><p>A na matriz B através de um número finito de operações elementares sobre</p><p>as linhas da matriz A.</p><p>Exemplo 1.4.2. A matriz</p><p> 1 5</p><p>0 −3</p><p>0 0</p><p> é equivalente a matriz</p><p> 0 0</p><p>2 4</p><p>1 5</p><p> pois</p><p>usando somente operações elementares nas linhas da segunda matriz foi pos-</p><p>sível transformá-la na primeira.</p><p>1.4.2 Matriz na Forma Escalonada</p><p>Uma matriz está na forma escalonada quando o número de zeros, que</p><p>precede o primeiro elemento não nulo de uma linha, aumenta linha a linha.</p><p>As linhas nulas, se existirem, aparecem abaixo das não nulas.</p><p>Exemplo 1.4.3.</p><p>7 1 0 3</p><p>0 1 0 5</p><p>0 0 2 6</p><p>0 0 0 −1</p><p> ,</p><p></p><p>2 0 0 5</p><p>0 0 3 1</p><p>0 0 0 5</p><p>0 0 0 0</p><p> ,</p><p>[</p><p>1 2 3</p><p>0 0 0</p><p>]</p><p>,</p><p></p><p>1 −2 0 5</p><p>0 1 4 0</p><p>0 0 0 0</p><p>0 0 0 0</p><p> ,</p><p> 1 0 0</p><p>0 1 0</p><p>0 0 1</p><p></p><p>1.4.3 Escalonamento por Linha de uma Matriz</p><p>Dada uma matriz qualquer, é possível obter uma matriz equivalente por</p><p>linhas a esta matriz na forma escalonada:</p><p>Exemplo 1.4.4.</p><p>1.</p><p> 1 2 3</p><p>4 5 6</p><p>7 8 9</p><p>L2 ← L2 + (−4)L1</p><p> 1 2 3</p><p>0 −3 −6</p><p>7 8 9</p><p>L3 ← L3 + (−7)L1</p><p> 1 2 3</p><p>0 −3 −6</p><p>0 −6 −12</p><p>L2 ← L3 + (−2)L2</p><p> 1 2 3</p><p>0 −3 −6</p><p>0 0 0</p><p></p><p>2.</p><p></p><p>0 0 2</p><p>0 3 0</p><p>0 1 2</p><p>0 −1 3</p><p>L1 ↔ L3</p><p></p><p>0 1 2</p><p>0 3 0</p><p>0 0 2</p><p>0 −1 3</p><p>L2 ← L2 + (−3)L1</p><p>12</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p></p><p>0 1 2</p><p>0 0 −6</p><p>0 0 2</p><p>0 −1 3</p><p></p><p>L4 ← L4 + L1</p><p>L2 ← (−1</p><p>6)L2</p><p>L3 ← L3 + (−2)L2</p><p>L4 ← L4 + (−5)L2</p><p></p><p>0 1 2</p><p>0 0 −6</p><p>0 0 0</p><p>0 0 0</p><p></p><p>A escolha de operações em um escalonamento não é única. O importante</p><p>é observar que o objetivo é aumentar o número de zeros, que precede o</p><p>primeiro elemento não nulo de cada linha, linha a linha.</p><p>1.4.4 Posto de uma Matriz</p><p>O posto de uma matriz A pode ser obtido escalonando-se a matriz A.</p><p>O número de linhas não nulas após o escalonamento é o posto da matriz A.</p><p>Notação: PA.</p><p>Exemplo 1.4.5. Nos dois exemplos anteriores o posto das matrizes é igual</p><p>a dois.</p><p>1.4.5 Aplicações de Operações Elementares</p><p>Temos três aplicações de operações elementares: cálculo da inversa de</p><p>uma matriz, cálculo do determinante de uma matriz e resolução e classificção</p><p>de sistemas lineares. A seguir veremos a primeira aplicação. As demais</p><p>veremos no contexto de cada tópico.</p><p>Teorema 1.4.6. Uma matriz quadrada A de ordem n é invertível se e so-</p><p>mente se a matriz A é equivalente por linha a matriz In.</p><p>Desta forma, a sequência de operações elementares que reduz a matriz</p><p>A na matriz In, também transforma a matriz In na matriz A−1 a inversa da</p><p>matriz A. Para explicar melhor a aplicação do teorema acima vamos esta-</p><p>belecer alguns passos para o cálculo da Inversa de uma Matriz Quadrada A</p><p>de ordem n.</p><p>Passo 1: Construir a matriz (A|In) de ordem n× 2n.</p><p>Passo 2: Utilizar operações elementares nas linhas da matriz (A|In) de</p><p>forma a transformar o bloco A na matriz identidade In.</p><p>Caso seja possível, o bloco In terá sido transformado na matriz A−1.</p><p>Se não for possível transformar A em In é porque a matriz A não é</p><p>invertível.</p><p>Exemplo 1.4.7.</p><p>13</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>1. Vamos calcular a inversa da matriz</p><p> 1 2 2</p><p>3 1 0</p><p>1 1 1</p><p>.</p><p> 1 2 2 1 0 0</p><p>3 1 0 0 1 0</p><p>1 1 1 0 0 1</p><p>L2 ← L2−3L1</p><p> 1 2 2 1 0 0</p><p>0 −5 −6 −3 1 0</p><p>1 1 1 0 0 1</p><p>L3 ←</p><p>L3 − L1 1 2 2 1 0 0</p><p>0 −5 −6 −3 1 0</p><p>0 −1 −1 −1 0 1</p><p>L3 ↔ L2</p><p> 1 2 2 1 0 0</p><p>0 −1 −1 −1 0 1</p><p>0 −5 −6 −3 1 0</p><p>L2 ←</p><p>(−1)L2 1 2 2 1 0 0</p><p>0 1 1 1 0 −1</p><p>0 −5 −6 −3 1 0</p><p>L3 ← L3 + 5L2</p><p> 1 2 2 1 0 0</p><p>0 1 1 1 0 −1</p><p>0 0 −1 2 1 −5</p><p>L1 ← L1 − 2L2</p><p> 1 0 0 −1 0 2</p><p>0 1 1 1 0 −1</p><p>0 0 −1 2 1 −5</p><p>L3 ← (−1)L3</p><p> 1 0 0 −1 0 2</p><p>0 1 1 1 0 −1</p><p>0 0 1 −2 −1 5</p><p>L2 ←</p><p>L2 − L3 1 0 0 −1 0 2</p><p>0 1 0 3 1 −6</p><p>0 0 1 −2 −1 5</p><p></p><p>Então: A−1 =</p><p> −1 0 2</p><p>3 1 −6</p><p>−2 −1 5</p><p>.</p><p>2. Considere a matriz A =</p><p>[</p><p>1 2</p><p>0 3</p><p>]</p><p>.</p><p>A redução da matriz A à matriz identidade é:[</p><p>1 2</p><p>0 3</p><p>]</p><p>L3 ←</p><p>1</p><p>3L2</p><p>[</p><p>1 2</p><p>0 1</p><p>]</p><p>L1 ← L1 − 2L2</p><p>[</p><p>1 0</p><p>0 1</p><p>]</p><p>Aplicando em In a mesma sequência de operações:</p><p>[</p><p>1 0</p><p>0 1</p><p>]</p><p>L3 ←</p><p>1</p><p>3L2</p><p> 1 2</p><p>0 1</p><p>3</p><p>L1 ← L1 − 2L2</p><p> 1</p><p>−2</p><p>3</p><p>0 1</p><p>3</p><p></p><p>Assim, a matriz</p><p> 1 −2</p><p>3</p><p>0 1</p><p>3</p><p> é a matriz inversa da matriz A.</p><p>14</p><p>1.5 Determinante</p><p>1.5.1 Permutações</p><p>Seja um conjunto finito Λ qualquer, uma permutação em Λ é qualquer</p><p>função bijetora f : Λ→ Λ. Sendo n a cardinalidade do conjunto, existem n!</p><p>permutações possíveis.</p><p>Exemplo 1.5.1.</p><p>1. Seja Λ = {a, b} e as bijeções f1 : Λ→ Λ tal que f1(a) = a e f1(b) = b</p><p>e f2 : Λ→ Λ tal que f2(a) = b e f2(b) = a.</p><p>A notação usual é f1 :</p><p>(</p><p>a b</p><p>a b</p><p>)</p><p>e f2 :</p><p>(</p><p>a b</p><p>b a</p><p>)</p><p>.</p><p>Nesta notação matricial, a primeira linha indica os elementos originais</p><p>e a segunda sua imagens.</p><p>2. Seja Λ = {1, 2, 3}.(</p><p>1 2 3</p><p>1 2 3</p><p>)</p><p>,</p><p>(</p><p>1 2 3</p><p>1 3 2</p><p>)</p><p>e</p><p>(</p><p>1 2 3</p><p>3 1 2</p><p>)</p><p>são três das seis permuta-</p><p>ções possíveis em Λ.</p><p>3. Seja Λ = {a, b, c, d}.</p><p>(</p><p>a b c d</p><p>b c d a</p><p>)</p><p>é uma das 24 permutações pos-</p><p>síveis.</p><p>Se Λ for um conjunto munido de uma relação de ordem, as permutações</p><p>podem ser classificadas como permutações pares e permutações ímpares.</p><p>Uma permutação é par quando o número de elementos fora de ordem da</p><p>segunda linha for par e a permutação é ímpar quando este número for</p><p>ímpar. Além disto, às permutações pares é associado o sinal positivo e às</p><p>ímpares o sinal negativo.</p><p>Exemplo 1.5.2.</p><p>1. Seja Λ = {1, 2, 3} com a ordem numérica usual, isto é, 1 < 2 < 3.</p><p>As permutações</p><p>(</p><p>1 2 3</p><p>2 1 3</p><p>)</p><p>e</p><p>(</p><p>1 2 3</p><p>1 3 2</p><p>)</p><p>são ímpares e</p><p>(</p><p>1 2 3</p><p>3 1 2</p><p>)</p><p>é par.</p><p>2. Seja Λ = {a, b, c, d} com a ordem lexicográfica (alfabética) usual.(</p><p>a b c d</p><p>b c d a</p><p>)</p><p>é uma permutação ímpar.</p><p>15</p><p>1.5.2 Definição</p><p>Dada uma matriz quadrada A de ordem n é possível fazer corresponder</p><p>um certo número denominado determinante da matriz A.</p><p>Notação: det(A), |A| ou det(aij)n×n</p><p>Considere, por exemplo, uma matriz quadrada genérica de ordem 3 e as</p><p>permutações possíveis no conjunto de índices {1, 2, 3}. A partir da permu-</p><p>tação ímpar</p><p>(</p><p>1 2 3</p><p>1 3 2</p><p>)</p><p>associa-se o produto −a11a23a32 onde os índices</p><p>linha correspondem à primeira linha da representação da permutação, os ín-</p><p>dices coluna são obtidos da segunda linha e o sinal negativo é correspondente</p><p>da classificação da permutação.</p><p>O determinante de uma matriz de ordem 3 é obtido a partir de todas</p><p>as seis permutações possíveis no conjunto de índices {1, 2, 3} classificadas e</p><p>sinalizadas. Assim, o determinante é dado por:</p><p>det</p><p> a11 a12 a13</p><p>a21 a22 a23</p><p>a31 a32 a33</p><p> = a11a22a33−a11a23a32−a12a21a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31</p><p>Genericamente, para uma matriz de ordem n, o determinante é o nú-</p><p>mero obtido do somatório dos produtos sinalizados de elementos aij da</p><p>matriz, combinados de acordo com as permutações do conjunto de índices</p><p>{1, 2, . . . , n}.</p><p>Exemplo 1.5.3.</p><p>1. det(6) = 6</p><p>2. det</p><p>(</p><p>−1 0</p><p>2 7</p><p>)</p><p>= (−1).7− 0.2 = −7</p><p>3. det</p><p></p><p>2 5 −2</p><p>−1 0 4</p><p>0 1</p><p>2 0</p><p> = 2.0.0−2.4.12−5.(−1).0+5.4.0+(−2).(−1)1</p><p>2−</p><p>(−2).0.0 = −3</p><p>1.5.3 Desenvolvimento de Laplace</p><p>Seja uma matriz quadrada de ordem n:</p><p>a11 a12 . . . a1n</p><p>a21 a22 . . . a2n</p><p>... . . . ...</p><p>an1 an2 . . . ann</p><p></p><p>16</p><p>Considere um elemento aij qualquer com i, j = 1, 2, . . . , n e a submatriz Aij</p><p>de ordem n− 1 obtida a partir da matriz A retirando-se a i-ésima linha e a</p><p>j-ésima coluna. O determinante da submatriz Aij sinalizado por (−1)i+j é</p><p>denominado o cofator do elemento aij .</p><p>Exemplo 1.5.4. Seja a matriz</p><p></p><p>2 5 −2</p><p>−1 0 4</p><p>0 1</p><p>2 0</p><p>.</p><p>O cofator do elemento a23 = 4 é (−1)2+3.det</p><p> 2 5</p><p>0 1</p><p>2</p><p> = (−1).1 = −1.</p><p>O cofator do elemento a31 = 0 é (−1)3+1.det</p><p>(</p><p>5 −2</p><p>0 4</p><p>)</p><p>= 1.20 = 20.</p><p>Considere uma certa linha i fixada. O determinante da matriz A fica definido</p><p>por:</p><p>det(A) =</p><p>n∑</p><p>j=1</p><p>aij (−1)i+j det(Aij)</p><p>A expressão é uma fórmula de recorrência (faz uso de determinantes de ma-</p><p>trizes de ordem menores) conhecida como desenvolvimento de Laplace.</p><p>Este desenvolvimento pode ser feito fixando-se uma certa coluna j e a ex-</p><p>pressão passa a ser:</p><p>det(A) =</p><p>n∑</p><p>i=1</p><p>aij (−1)i+j det(Aij)</p><p>Exemplo 1.5.5.</p><p>1. Considere a matriz A =</p><p>[</p><p>−1 0</p><p>2 7</p><p>]</p><p>fixada a linha 2.</p><p>det(A) = a21(−1)2+1det(A21) + a22(−1)2+2det(A22)</p><p>det(A) = 2.(−1)3.|0|+ 7.(−1)4.| − 1| = 2.(−1).0 + 7.1.(−1)</p><p>det(A) = −7</p><p>2. Considere a matriz A =</p><p></p><p>2 5 −2</p><p>−1 0 4</p><p>0 1</p><p>2 0</p><p> fixada a linha 1 para a matriz</p><p>A e para as submatrizes.</p><p>det(A) = a11(−1)1+1det(A11)+a12(−1)1+2det(A12)+a13(−1)1+3det(A13)</p><p>det(A) = 2.1.</p><p>∣∣∣∣∣∣</p><p>0 4</p><p>1</p><p>2 0</p><p>∣∣∣∣∣∣+ 5.(−1).</p><p>∣∣∣∣∣ −1 4</p><p>0 0</p><p>∣∣∣∣∣+ (−2).1.</p><p>∣∣∣∣∣∣</p><p>−1 0</p><p>0 1</p><p>2</p><p>∣∣∣∣∣∣</p><p>17</p><p>det(A) = 2[0.(−1)1+1.|0|+ 4.(−1)1+2.|12 |]</p><p>−5[(−1).(−1)1+1.|0|+ 4.(−1)1+2.|0|]</p><p>−2[(−1)(−1)1+1|12 |+ 0.(−1)1+2.|0|</p><p>det(A) = 2[−2]− 5[0]− 2[−1</p><p>2]</p><p>det(A) = −3</p><p>1.5.4 Propriedades</p><p>Considere A e B matrizes quadradas de ordem n e k um escalar não</p><p>nulo.</p><p>1. SeA é uma matriz triangular superior (inferior) então det(A) = a11.a22. . . . .ann.</p><p>2. det(A) = 0, quando A possuir uma linha (ou coluna) nula.</p><p>3. det(A) = 0, quando A possuir duas linhas (ou colunas) iguais.</p><p>4. det(kA) = kndet(A)</p><p>5. det(A.B) = det(A).det(B)</p><p>6. det(A) = det(At)</p><p>7. Considere a matriz A e B a matriz obtida a partir de A por aplicação</p><p>de operações elementares:</p><p>(a) Li ↔ Lj . Então det(B) = −det(A).</p><p>(b) Li ← kLi. Então det(B) = kdet(B).</p><p>(c) Li ← Li + kLj . Então det(B) = det(A).</p><p>8. A é uma matriz invertível se e somente se det(A) 6= 0.</p><p>9. Se A é uma matriz invertível então det(A−1) = 1</p><p>det(A) .</p><p>10. Se A e B são matrizes semelhantes então det(A) = det(B).</p><p>11. Se A é uma matriz ortogonal então det(A) = ±1.</p><p>Usando as propriedades anteriores podemos calcular o determinate a</p><p>partir das operações elementares:</p><p>18</p><p>1.5.5 O cálculo do determinante através das operações ele-</p><p>mentares</p><p>O cálculo do determinante de uma matriz quadrada, utilizando-se ope-</p><p>rações elementares nas linhas da matriz, consiste em encontrar uma matriz</p><p>triangular equivalente por linha à matriz dada, respeitando-se as proprieda-</p><p>des de determinantes acima.</p><p>Exemplo 1.5.6.</p><p>1. det</p><p> 0 1 5</p><p>3 −6 9</p><p>2 6 1</p><p> = 3 det</p><p> 0 1 5</p><p>1 −2 3</p><p>2 6 1</p><p> = (−3)det</p><p> 1 −2 3</p><p>0 1 5</p><p>2 6 1</p><p> =</p><p>= (−3)det</p><p> 1 −2 3</p><p>0 1 5</p><p>0 10 −5</p><p> = (−3)det</p><p> 1 −2 3</p><p>0 1 5</p><p>0 0 −55</p><p> = (−3).1.1.(−55) =</p><p>165</p><p>Operações elementares usadas, respectivamente:</p><p>L2 ←</p><p>1</p><p>3L2, L1 ↔ L2, L3 ← L3 − 2L1, L3 ← L3 − 10L2</p><p>2. det</p><p></p><p>2 3 −4 1</p><p>2 0 0 −3</p><p>1 1 −2 −5</p><p>0 1 2 3</p><p> = (−1)det</p><p></p><p>1 1 −2 −5</p><p>2 0 0 −3</p><p>2 3 −4 1</p><p>0 1 2 3</p><p> = (−1)det</p><p></p><p>1 1 −2 −5</p><p>0 −2 4 7</p><p>0 1 0 11</p><p>0 1 2 3</p><p></p><p>= det</p><p></p><p>1 1 −2 −5</p><p>0 1 0 11</p><p>0 −2 4 7</p><p>0 1 2 3</p><p> = det</p><p></p><p>1 1 −2 −5</p><p>0 1 0 11</p><p>0 0 4 29</p><p>0 0 2 −8</p><p> = 1</p><p>2det</p><p></p><p>1 1 −2 −5</p><p>0 1 0 11</p><p>0 0 4 29</p><p>0 0 0 −45</p><p></p><p>= 1</p><p>2 .1.1.4.(−45) = −90</p><p>Uma aplicação do desenvolvimento de Laplace pode ser vista no teorema</p><p>a seguir:</p><p>Teorema 1.5.7. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se A é invertí-</p><p>vel, sua inversa pode ser calculada da seguinte maneira:</p><p>A−1 = 1</p><p>detA</p><p>.A∗</p><p>onde A∗, chamada de matriz adjunta de A, é a transposta da matriz de</p><p>cofatores de A.</p><p>19</p><p>Exemplo 1.5.8. 1. Seja A =</p><p>[</p><p>a11 a12</p><p>a21 a22</p><p>]</p><p>, encontremos sua inversa.</p><p>Já vimos por propriedade que se A é invertível então detA 6= 0. Logo,</p><p>detA = a11a22 − a12a21 6= 0. E ainda, podemos calcular que:</p><p>cof(a11) = (−1)1+1.det(A11) = (−1)2.det(a22) = 1.a22 = a22</p><p>cof(a12) = (−1)1+2.det(A12) = (−1)3.det(a21) = (−1).a21 = −a21</p><p>cof(a21) = (−1)2+1.det(A21) = (−1)3.det(a12) = (−1).a12 = −a12</p><p>cof(a22) = (−1)2+2.det(A22) = (−1)4.det(a11) = 1.a11 = a11</p><p>Assim a matriz cofatora de A, cof(A), e a matriz adjunta de A, A∗,</p><p>são dadas respectivamente por:</p><p>cof(A) =</p><p>[</p><p>a22 −a21</p><p>−a12 a11</p><p>]</p><p>e A∗ =</p><p>[</p><p>a22 −a12</p><p>−a21 a11</p><p>]</p><p>Logo, a inversa de A pode ser encontrada através da fórmula:</p><p>A−1 = 1</p><p>detA</p><p>.</p><p>[</p><p>a22 −a12</p><p>−a21 a11</p><p>]</p><p>.</p><p>2. Seja a matriz A =</p><p> 1 1 2</p><p>2 −1 1</p><p>3 1 0</p><p>. Vamos calcular os cofatores dos</p><p>elementos da primeira linha para determinar o detA. Se o detA 6= 0</p><p>então calcularemos a matriz inversa de A.</p><p>cof(a11) = (−1)1+1.det(A11) = (−1)2.det</p><p>(</p><p>−1 1</p><p>1 0</p><p>)</p><p>= 1.(−1) = −1</p><p>cof(a12) = (−1)1+2.det(A12) = (−1)3.det</p><p>(</p><p>2 1</p><p>3 0</p><p>)</p><p>= (−1).(−3) = 3</p><p>cof(a13) = (−1)1+3.det(A13) = (−1)4.det</p><p>(</p><p>2 −1</p><p>3 1</p><p>)</p><p>= 1.5 = 5</p><p>Então detA = a11.cof(a11) + a12.cof(a12) + a13.cof(a13) = 1.(−1) +</p><p>1.3 + 2.5 = 12 6= 0, logo, existe A−1.</p><p>Vamos calcular os demais cofatores:</p><p>cof(a21)</p><p>= (−1)2+1.det(A21) = (−1)3.det</p><p>(</p><p>1 2</p><p>1 0</p><p>)</p><p>= (−1).(−2) = 2</p><p>cof(a22) = (−1)2+2.det(A22) = (−1)4.det</p><p>(</p><p>1 2</p><p>3 0</p><p>)</p><p>= 1.(−6) = −6</p><p>20</p><p>cof(a23) = (−1)2+3.det(A23) = (−1)5.det</p><p>(</p><p>1 1</p><p>3 1</p><p>)</p><p>= (−1).(−2) = 2</p><p>cof(a31) = (−1)3+1.det(A31) = (−1)4.det</p><p>(</p><p>1 2</p><p>−1 1</p><p>)</p><p>= 1.(3) = 3</p><p>cof(a32) = (−1)3+2.det(A32) = (−1)5.det</p><p>(</p><p>1 2</p><p>2 1</p><p>)</p><p>= (−1).(−3) = 3</p><p>cof(a33) = (−1)3+3.det(A33) = (−1)6.det</p><p>(</p><p>1 1</p><p>2 −1</p><p>)</p><p>= 1.(−3) = −3</p><p>Assim a matriz cofatora de A, cof(A) e a matriz adjunta de A, A∗</p><p>são dadas respectivamente por:</p><p>cof(A) =</p><p> −1 3 5</p><p>2 −6 2</p><p>3 3 −3</p><p> e A∗ =</p><p> −1 2 3</p><p>3 −6 3</p><p>5 2 −3</p><p></p><p>Logo, a inversa de A é:</p><p>A−1 = 1</p><p>12 .</p><p> −1 2 3</p><p>3 −6 3</p><p>5 2 −3</p><p> =</p><p></p><p>− 1</p><p>12</p><p>1</p><p>6</p><p>1</p><p>4</p><p>1</p><p>4 −1</p><p>2</p><p>1</p><p>4</p><p>5</p><p>12</p><p>1</p><p>6 −1</p><p>4</p><p>.</p><p>1.6 Exercícios</p><p>1. Resolva a equação matricial</p><p>[</p><p>a− b b+ c</p><p>3d+ c 2a− 4d</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>8 1</p><p>7 6</p><p>]</p><p>indi-</p><p>cando os valores para a, b, c, d ∈ R.</p><p>2. Considere as matrizes A =</p><p> 2 −1 3</p><p>0 4 5</p><p>−2 1 4</p><p>, B =</p><p> 8 −3 −5</p><p>0 1 2</p><p>4 −7 6</p><p>,</p><p>C =</p><p> 0 −2 3</p><p>1 7 4</p><p>3 9 9</p><p> e k = 4. Verifique se:</p><p>(a) (A.B).C = A.(B.C)</p><p>(b) k(B − C) = k.B − k.C</p><p>(c) tr(A+B) = tr(A) + tr(B)</p><p>(d) tr(A.C) = tr(A).tr(C)</p><p>21</p><p>3. Seja A =</p><p>[</p><p>1 2</p><p>3 6</p><p>]</p><p>. Indique uma matriz quadrada B de ordem 2 não</p><p>nula tal que A.B = 02×2.</p><p>4. Seja A =</p><p>[</p><p>2 1</p><p>1 1</p><p>]</p><p>. Resolva a equação matricial A.X = I2, onde</p><p>X = (xij)2×2.</p><p>5. Mostre que, em geral, A2 − B2 6= (A + B).(A − B) , sendo A e B</p><p>matrizes quadradas de mesma ordem.</p><p>6. Seja A =</p><p>[</p><p>1 2</p><p>0 1</p><p>]</p><p>. Encontre An.</p><p>7. Verifique que a matriz A =</p><p>[</p><p>3 0</p><p>8 −1</p><p>]</p><p>é uma raiz do polinômio f(x) =</p><p>x2 − 2x− 3.</p><p>8. Considere A =</p><p>[</p><p>2 0</p><p>4 1</p><p>]</p><p>.</p><p>(a) Indique a matriz A2 − 2A+ I2;</p><p>(b) A matriz A é invertível? Em caso afirmativo, indique A−3 =</p><p>(A−1)3.</p><p>9. Mostre que as únicas matrizes quadradas de ordem 2 que comutam</p><p>tanto com a matriz A =</p><p>[</p><p>0 1</p><p>0 0</p><p>]</p><p>quanto com a matriz B =</p><p>[</p><p>1 0</p><p>0 0</p><p>]</p><p>são múltiplas de I2.</p><p>10. Determine todas as matrizes de ordem 2 que comutam com a matriz</p><p>A =</p><p>[</p><p>1 2</p><p>−2 1</p><p>]</p><p>.</p><p>11. Sejam A =</p><p>[</p><p>1 2</p><p>3 −4</p><p>]</p><p>e B =</p><p>[</p><p>5 0</p><p>−6 7</p><p>]</p><p>. Verifique a igualdade</p><p>(A.B)t = Bt.At.</p><p>12. Mostre que se a matriz quadrada A for invertível e A.B = A.C então</p><p>B = C. (Lei do Corte)</p><p>13. Sejam A =</p><p> 2 −1 3</p><p>1 0 2</p><p>0 0 1</p><p> e B =</p><p> 1</p><p>2</p><p>3</p><p>. É possível calcular X na</p><p>equação A.X = B?</p><p>22</p><p>14. Sejam A, B, C e X matrizes quadradas de mesma ordem e invertíveis.</p><p>Resolva as equações, considerando a variável X.</p><p>(a) ABX = C</p><p>(b) CAXt = C</p><p>(c) AX2C = AXBC</p><p>(d) AB−1X = CA</p><p>(e) A2Xt = ABA</p><p>15. Seja A um matriz quadrada de ordem n tal que a matriz (AtA) é</p><p>invertível. A matriz (A(AtA)−1At) é simétrica? E idempotente?</p><p>16. Mostre que a matriz A =</p><p>[</p><p>cos θ −sen θ</p><p>sen θ cos θ</p><p>]</p><p>é uma matriz ortogonal.</p><p>17. Determine a, b, c ∈ R de modo que a matriz A =</p><p></p><p>1 0 0</p><p>0 1√</p><p>2</p><p>1√</p><p>2</p><p>a b c</p><p></p><p>seja ortogonal.</p><p>18. Mostre que a soma de duas matrizes simétricas é também uma matriz</p><p>simétrica.</p><p>19. Mostre que o mesmo vale para matrizes anti-simétricas.</p><p>20. Se A e B são matrizes simétricas que comutam entre si então a matriz</p><p>B.A2 também é simétrica? Justifique.</p><p>21. Toda matriz ortogonal é também uma matriz normal? Justifique.</p><p>22. O produto de duas matrizes ortogonais é uma matriz ortogonal? Jus-</p><p>tifique.</p><p>23. Em uma pesquisa onde foram consideradas 3 marcas de refrigerante,</p><p>Gelato, Delícia e Suave, o elemento aij da matriz abaixo indica a possi-</p><p>bilidade de uma pessoa que consuma o refrigerante i passar a consumir</p><p>o refrigerante j. O elemento da diagonal principal representa a pos-</p><p>sibilidade de uma pessoa que consuma um determinado refrigerante</p><p>permaneça consumindo o mesmo refrigerante.</p><p>(a) Qual a possibilidade de uma pessoa que consuma o refrigerante</p><p>Gelato passar a consumir o refrigerante Suave? E a de quem</p><p>consuma Suave passar a consumir Gelato?</p><p>23</p><p>Gelato Delícia Suave</p><p>Gelato 0.8 0.1 0.1</p><p>Delícia 0.4 0.5 0.1</p><p>Suave 0.6 0.2 0.2</p><p>(b) Escreva a matriz que indica a possibilidade de se mudar de marca</p><p>após duas pesquisas.</p><p>24. Verifique se a matriz</p><p> 1 2 −4</p><p>−1 −1 5</p><p>2 7 −3</p><p> é invertível. Em caso afirma-</p><p>tivo, indique a matriz inversa.</p><p>25. Para que valores de a ∈ R a matriz</p><p> 1 2 −1</p><p>0 1 1</p><p>1 1 a</p><p> admite inversa?</p><p>26. Dada a matriz A =</p><p> 1 3 0</p><p>2 5 −1</p><p>0 1 2</p><p>. Indique a matriz (A|I3) e deter-</p><p>mine A−1.</p><p>27. Dada a matriz A−1 =</p><p> 1 3 −3</p><p>0 −1 2</p><p>1 −2 1</p><p>. Indique a matriz A.</p><p>28. Determinar o valor de a ∈ R a fim de que a matriz</p><p> 1 1 1</p><p>2 1 2</p><p>1 2 a</p><p> seja</p><p>invertível.</p><p>29. Calcule o determinante das matrizes</p><p> 1 −2 4</p><p>2 −3 5</p><p>3 −4 6</p><p> e</p><p> 3 0 1</p><p>2 4 6</p><p>−4 1 2</p><p>.</p><p>30. Sabendo que A é uma matriz quadrada de ordem n e que det(A) = 5,</p><p>determine:</p><p>(a) det(3A)</p><p>(b) det(At)</p><p>(c) det(−A)</p><p>(d) det(A2)</p><p>31. Encontre todos os valores de a ∈ R para os quais det</p><p>(</p><p>a− 1 5</p><p>0 a+ 3</p><p>)</p><p>=</p><p>0.</p><p>24</p><p>1.6.1 Respostas</p><p>1. a = 5, b = −3, c = 4 e d = 1</p><p>2. Faça as contas.</p><p>3. B =</p><p>{[</p><p>−2z −2t</p><p>z t</p><p>]</p><p>, t, z ∈ R∗</p><p>}</p><p>.</p><p>4. X =</p><p>[</p><p>1 −1</p><p>−1 2</p><p>]</p><p>5. Escolha matrizes de mesma ordem e faça o teste.</p><p>6. An =</p><p>[</p><p>1 2n</p><p>0 1</p><p>]</p><p>7. Basta substituir a matriz A no polinômio.</p><p>8. a)</p><p>[</p><p>1 0</p><p>4 0</p><p>]</p><p>b)</p><p></p><p>1</p><p>8 0</p><p>−7</p><p>2 1</p><p></p><p>9. Demonstração.</p><p>10.</p><p>{[</p><p>x y</p><p>−y x</p><p>]</p><p>, x, y ∈ R</p><p>}</p><p>.</p><p>11. Verificação</p><p>12. Demonstração</p><p>13. Sim, X =</p><p> −4</p><p>0</p><p>3</p><p></p><p>14. a) X = B−1A−1C b) X = (A−1)t c) X = B d) X = BA−1CA e)</p><p>X = (A−1BA)t</p><p>15. Sim. Sim.</p><p>16. Demonstração</p><p>17. b =</p><p>√</p><p>2</p><p>2 e c = −</p><p>√</p><p>2</p><p>2 ou b = −</p><p>√</p><p>2</p><p>2 e c =</p><p>√</p><p>2</p><p>2</p><p>18. Demonstração</p><p>19. Demonstração</p><p>20. Demonstração</p><p>25</p><p>21. Demonstração</p><p>22. Demonstração</p><p>23. a)0, 1 e 0, 6 b)</p><p> 0, 74 0, 15 0, 11</p><p>0, 58 0, 31 0, 11</p><p>0, 68 0, 2 0, 12</p><p></p><p>24. A−1 =</p><p></p><p>−16 −11 3</p><p>7</p><p>2</p><p>5</p><p>2 −1</p><p>2</p><p>−5</p><p>2 −3</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p></p><p>25. a 6= −2</p><p>26.</p><p> 1 3 0 1 0 0</p><p>2 5 −1 0 1 0</p><p>0 1 2 0 0 1</p><p> e A−1 =</p><p> −11 6 3</p><p>4 −2 −1</p><p>−2 1 1</p><p></p><p>27. A =</p><p></p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>3</p><p>2</p><p>3 −1</p><p>3</p><p>1</p><p>6</p><p>5</p><p>6 −1</p><p>6</p><p></p><p>28. a 6= 1</p><p>29. 0 e 24, respectivamente.</p><p>30. a) 3n.5 b) 5 c)5, se n for par e −5, se n for ímpar d) 25</p><p>31. a = 1 ou a = −3.</p><p>26</p><p>Capítulo 2</p><p>Sistemas Lineares</p><p>2.1 Introdução</p><p>Definição 2.1.1. Dados os números reais a1, a2, . . . , an, b com n ≥ 1, a</p><p>equação</p><p>a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = b</p><p>é denominada equação linear nas variáveis x1, x2, . . . , xn. Cada ai é o coe-</p><p>ficiente da variável xi, para i = 1, 2, . . . , n, e b é o termo livre ou indepen-</p><p>dente.</p><p>Um Sistema Linear sobre R comm equações e n incógnitas é um conjunto</p><p>de m ≥ 1 equações lineares com n ≥ 1 variáveis, e é representado por:</p><p>a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1</p><p>a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2</p><p>...</p><p>...</p><p>am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bn</p><p>com aij e bj números reais, para i = 1, 2, . . . ,m e j = 1, 2, . . . , n. Sistemas</p><p>podem ser representados na forma matricial:</p><p>a11 a12 . . . a1n</p><p>a21 a22 . . . a2n</p><p>... . . . ...</p><p>am1 am2 . . . amn</p><p> .</p><p></p><p>x1</p><p>x2</p><p>...</p><p>xn</p><p> =</p><p></p><p>b1</p><p>b2</p><p>...</p><p>bm</p><p></p><p>onde C = (cij)m×n é matriz dos coeficientes, X = (xj)n×1 é a matriz de</p><p>variaveis e B = (bi)m×1 é a matriz dos termos independentes. Assim, um</p><p>sistema linear com m equações e n incógnitas fica representado pela equação</p><p>matricial C.X = B.</p><p>Outra matriz que pode ser associada a um sistema linear é a Matriz</p><p>Ampliada ou Completa do sistema.</p><p>27</p><p></p><p>a11 a12 . . . a1n b1</p><p>a21 a22 . . . a2n b2</p><p>... . . . ...</p><p>...</p><p>am1 am2 . . . amn bm</p><p></p><p>2.2 Classificação de Sistemas</p><p>Classifica-se um sistema linear de acordo com o tipo de solução. Uma</p><p>solução para um sistema de equações lineares é uma n-upla de números</p><p>reais (s1, s2, . . . , sn) que satisfaz todas as equações, simultaneamente, isto é,</p><p>substituindo-se a variável xi pelo valor si, para i = 1, 2, . . . , n, em cada uma</p><p>das equações, todas as igualdades são verdadeiras. O conjunto solução S do</p><p>sistema é o conjunto de todas as soluções.</p><p>Exemplo 2.2.1. Dado o sistema</p><p>{</p><p>2x− y = 4</p><p>x+ y = 2 , o par ordenado (2, 0) é</p><p>solução deste sistema, ou seja, (2, 0) ∈ S.</p><p>Pergunta-se: O conjunto solução S sempre existe? Se existe, pode não ser</p><p>unitário? De forma geral, temos que um dado sistema de equações lineares</p><p>sobre R pode ser classificado como:</p><p>Sistema Possível (ou Compatível ou Consistente)</p><p>• Determinado (SPD): há uma única solução</p><p>• Indeterminado (SPI): há infinitas</p><p>soluções</p><p>Sistema Impossível (ou Incompatível ou Inconsistente) (SI): não há</p><p>solução.</p><p>2.3 Resolução de Sistemas utilizando o Método de</p><p>Eliminação Gaussiana</p><p>Dado um sistema de equações lineares, espera-se encontrar sua solução,</p><p>isto é resolvê-lo. O método de resolução utilizado será o Método de Elimi-</p><p>nação Gaussiana. A idéia do método é obter um sistema mais “simples”</p><p>equivalente ao sistema dado. Dois sistemas de equações lineares são deno-</p><p>minados sistemas equivalentes quando possuem a mesma solução.</p><p>Exemplo 2.3.1. Os sistemas</p><p>{</p><p>2x+ y = 2</p><p>x− y = 4 e</p><p>{</p><p>2x+ y = 2</p><p>2x− 2y = 8 são equiva-</p><p>lentes pois ambos possuem o mesmo conjunto solução S = {(2,−2)}.</p><p>O Método</p><p>Dado um sistema linear com m equações e n variáveis:</p><p>28</p><p>1. Obter a matriz ampliada.</p><p>2. Escalonar a matriz ampliada utilizando operações elementares.</p><p>3. Fazer a análise, de acordo com o teorema abaixo:</p><p>Teorema 2.3.2. Um sistema linear de m equações e n variáveis ad-</p><p>mite solução se e somente se o posto da matriz ampliada (PA) for igual</p><p>ao posto da matriz de coeficientes (PC).</p><p>Assim:</p><p>(a) Se PA = PC = n, o sistema é Possível Determinado (SPD).</p><p>(b) Se PA = PC < n, o sistema é Possível Indeterminado (SPI).</p><p>(c) Se PC 6= PA, o sistema é Impossível (SI).</p><p>4. Reescrever o sistema, associado a matriz escalonada, equivalente ao</p><p>sistema dado, e:</p><p>(a) Se o sistema for SPD, encontrar o valor de uma variável e, por</p><p>substituição, determinar as demais variáveis.</p><p>Indicar o conjunto solução S, que neste caso, conterá apenas uma</p><p>n-upla.</p><p>(b) Se o sistema for SPI, escolher n− PA variáveis livres ou inde-</p><p>pendentes. O número n − PA também é denominado o grau</p><p>de liberdade ou grau de indeterminação do sistema. As</p><p>variáveis que dependem das variáveis livres são denominadas va-</p><p>riáveis amarradas ou ligadas.</p><p>Indicar o conjunto solução S, apresentando todas as ordenadas</p><p>da n-upla em função das variáveis livres.</p><p>(c) Se o sistema for SI, indicar S = ∅.</p><p>Exemplo 2.3.3. Seja o sistema</p><p></p><p>x+ y + z = 1</p><p>2x− y + 3z = 0</p><p>−x+ y − 5z = 2</p><p>com 3 equações e 3</p><p>incógnitas.</p><p>A matriz ampliada é</p><p> 1 1 1 1</p><p>2 −1 3 0</p><p>−1 1 −5 2</p><p>.</p><p>Após o escalonamento temos a matriz</p><p></p><p>1 1 1 1</p><p>0 1 −1</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>0 0 1 −1</p><p>2</p><p>.</p><p>29</p><p>E a matriz de coeficientes é:</p><p></p><p>1 1 1</p><p>0 1 −1</p><p>3</p><p>0 0 1</p><p>.</p><p>Análise: PA = PC = n = 3. Logo, o sistema é possível determinado</p><p>(SPD).</p><p>O sistema equivalente é</p><p></p><p>x+ y + z = 1</p><p>y − 1</p><p>3z = 2</p><p>3</p><p>z = −1</p><p>2</p><p>Após as substituições, y = 1</p><p>2 e x = 1. A solução do sistema é S =</p><p>{(1, 1</p><p>2 ,−</p><p>1</p><p>2)}.</p><p>Definição 2.3.4. Um Sistema Homogêneo é um sistema de equações</p><p>lineares onde todos os termos independentes são iguais a zero.</p><p>A matriz de termos independentes B é a matriz nula, assim um sistema</p><p>homogêneo é sempre possível, já que admite a solução trivial, isto é, S =</p><p>{(0, 0, . . . , 0)}. No entanto, um sistema possível pode ainda ser classificado</p><p>como determinado ou indeterminado. Se o sistema é possível e determinado,</p><p>a única solução é a trivial. Se o sistema é possível e indeterminado, outras</p><p>soluções, além da trivial, existem.</p><p>Exemplo 2.3.5. 1. Seja o sistema</p><p></p><p>x+ y − z = 0</p><p>2x− y + z = 0</p><p>x+ 2y − z = 0</p><p>.</p><p>Matriz ampliada</p><p> 1 1 −1 0</p><p>2 −1 1 0</p><p>1 2 −1 0</p><p>, matriz escalonada</p><p> 1 1 −1 0</p><p>2 −1 1 0</p><p>1 2 −1 0</p><p></p><p>e matriz de coeficientes</p><p> 1 1 −1</p><p>2 −1 1</p><p>1 2 −1</p><p>.</p><p>Análise, PA = PC = n = 3: Sistema Possível Determinado (SPD).</p><p>Sistema equivalente</p><p></p><p>x+ y − z = 0</p><p>y = 0</p><p>3z = 0</p><p>Este sistema só admite solução trivial. Assim, S{(0, 0, 0)}.</p><p>2. Seja o sistema</p><p></p><p>x+ y + z = 0</p><p>2x− y − 2z = 0</p><p>x− 2y − 3z = 0</p><p>6x− 3y − 6z = 0</p><p>.</p><p>30</p><p>Matriz ampliada</p><p></p><p>1 1 1 0</p><p>2 −1 −2 0</p><p>1 −2 −3 0</p><p>6 −3 −6 0</p><p>, matriz escalonada</p><p></p><p>1 1 1 0</p><p>0 1 4</p><p>3 0</p><p>0 0 0 0</p><p>0 0 0 0</p><p></p><p>e matriz de coeficientes</p><p></p><p>1 1 1</p><p>0 1 4</p><p>3</p><p>0 0 0</p><p>0 0 0</p><p>.</p><p>Análise, PC = PA = 2 < n = 3: Sistema Possível Indeterminado</p><p>(SPI).</p><p>Sistema equivalente</p><p> x+ y + z = 0</p><p>y + 4</p><p>3z = 0 ∴</p><p>x = −y − z</p><p>y = −4</p><p>3z</p><p>∴</p><p>x = 4</p><p>3z − z = 1</p><p>3z</p><p>y = −4</p><p>3z</p><p>A variável z está livre e as variáveis x e y estão amarradas.</p><p>A solução do sistema é S = {(1</p><p>3z,−</p><p>4</p><p>3z, z), z ∈ R}.</p><p>2.4 Resolução de Sistemas utilizando Inversão de</p><p>Matrizes</p><p>O sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas pode</p><p>ser representado pela equação matricial C.X = B, sendo C uma matriz</p><p>quadrada de ordem n. Se a matriz C for invertível, isto é, existir a matriz</p><p>inversa C−1, significa que o sistema é possível e determinado.</p><p>CX = B</p><p>C−1(C.X) = C−1B</p><p>(C−1C)X = C−1B</p><p>InX = C−1B</p><p>X = C−1B</p><p>Exemplo 2.4.1. Seja o sistema</p><p></p><p>x+ y + z = 1</p><p>2x− y + 3z = 0</p><p>−x+ y − 5z = 2</p><p>.</p><p>A equação matricial CX = B é</p><p> 1 1 1</p><p>2 −1 3</p><p>−1 1 −5</p><p> .</p><p> x</p><p>y</p><p>z</p><p> =</p><p> 1</p><p>0</p><p>2</p><p>.</p><p>31</p><p>A matriz inversa da matriz C é</p><p></p><p>1</p><p>5</p><p>3</p><p>5</p><p>2</p><p>5</p><p>7</p><p>10 −2</p><p>5 − 1</p><p>10</p><p>1</p><p>10 −1</p><p>5 − 3</p><p>10</p><p>.</p><p>Assim,</p><p> x</p><p>y</p><p>z</p><p> =</p><p></p><p>1</p><p>5</p><p>3</p><p>5</p><p>2</p><p>5</p><p>7</p><p>10 −2</p><p>5 − 1</p><p>10</p><p>1</p><p>10 −1</p><p>5 − 3</p><p>10</p><p> .</p><p> 1</p><p>0</p><p>2</p><p> =</p><p></p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>−1</p><p>2</p><p>.</p><p>A solução do sistema é S = {(1, 1</p><p>2 ,−</p><p>1</p><p>2)}.</p><p>2.5 Exercícios</p><p>1. Resolva o sistema</p><p></p><p>x− 2y + 4z = 2</p><p>2x− 3y + 5z = 3</p><p>3x− 4y + 6z = 7</p><p>.</p><p>2. Indique a solução do sistema</p><p></p><p>x− 2y − 3z = 2</p><p>4x− y − 4z = 1</p><p>2x+ 3y − 2z = 5</p><p>, o posto da matriz</p><p>ampliada e o posto da matriz de coeficientes.</p><p>3. Um fabricante de objetos de cerâmica produz jarras e pratos decora-</p><p>tivos. Cada jarra exige 16 minutos de modelagem, 8 minutos de po-</p><p>limento e 30 minutos de pintura. Cada prato decorativo necessita de</p><p>12 minutos de modelagem, 6 de polimento e 15 de pintura. Sabendo-</p><p>se que são reservadas por semana 8 horas para modelagem, 4 horas</p><p>para polimento e 13 horas para pintura, encontre a quantidade de cada</p><p>tipo de objeto que deverá ser fabricada por semana, considerando-se</p><p>a melhor utilização do tempo disponível para cada etapa.</p><p>jarras pratos decorativos minutos por semana</p><p>modelagem 16 12 8.60</p><p>polimento 8 6 4.60</p><p>pintura 30 15 13.60</p><p>Considerando-se x como sendo a quantidade de jarras a serem produ-</p><p>zidas por semana e y a quantidade de pratos decorativos, escreva o</p><p>sistema de equações lineares que representa o problema e resolva-o.</p><p>32</p><p>Gustavo</p><p>Nota</p><p>O sistema dessa questão é SPD e não SPI por uma razão muito simples. A segunda linha da matriz abaixo é igual a linha da primeira matriz, mas dividido por dois. Logo, mesmo eu tendo duas incógnitas e três equações, na prática eu tenho 2 retas com mesmo coef. angular e linear (que são referentes as equações das duas primeiras linhas da matriz). Essas duas retas iguais encontram a terceira reta num único ponto, por isso uma única solução.</p><p>4. Determine os valores de a ∈ R de modo que o sistema</p><p></p><p>x+ y − z = 1</p><p>2x+ 3y + az = 3</p><p>x+ ay + 3z = 2</p><p>seja:</p><p>(a) SPD</p><p>(b) SPI</p><p>(c) SI</p><p>5. Calcule os valores para a, b ∈ R de modo que o sistema</p><p></p><p>x+ 2y + 2z = a</p><p>3x+ 6y − 4z = 4</p><p>x+ by − 6z = 1</p><p>seja SPI e resolva-o para estes valores.</p><p>6. Estabeleça a condição que deve ser satisfeita pelos termos independen-</p><p>tes para que o sistema</p><p></p><p>2x+ 4y + 2z = a</p><p>3x+ 6y + 3z = b</p><p>−3x− 4y − z = c</p><p>seja possível.</p><p>7. Escreva a condição para que o sistema</p><p></p><p>x+ 8y − 2z = a</p><p>5x+ 4y − 2z = b</p><p>7x− 16y + 2z = c</p><p>tenha</p><p>solução.</p><p>8. Indique o conjunto solução do sistema homogêneo</p><p></p><p>x+ y + z = 0</p><p>x+ 2y + 3z = 0</p><p>−3x+ y − z = 0</p><p>.</p><p>9. Determine o conjunto solução S do sistema</p><p></p><p>x− y + z + t = 0</p><p>x+ y − z + t = 0</p><p>−x+ y − z + t = 0</p><p>2x− y − z + 3t = 0</p><p>10. Considere o sistema</p><p></p><p>x+ 2y − 2z = 1</p><p>2x+ 5y − 4z = 2</p><p>3x+ 7y − 5z = 3</p><p>. Escreva na forma matricial</p><p>e calcule a matriz X utilizando a inversão de matrizes.</p><p>2.5.1 Respostas</p><p>1. Sistema Impossível.</p><p>2. S = {(−38</p><p>7 ,</p><p>9</p><p>7),−2)}.</p><p>3.</p><p></p><p>16x+ 12y = 480</p><p>8x+ 6y = 240</p><p>30x+ 15y = 780</p><p>e S = {(18, 16)}.</p><p>33</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>Gustavo</p><p>Realce</p><p>4. a)a 6= −3 e a 6= 2. b)a = 2 c)−3</p><p>5. b = 2, a = 11</p><p>7 e S = {(−2y + 10</p><p>7 , y,</p><p>1</p><p>14)|y ∈ R}.</p><p>6. 3a− 2b = 0.</p><p>7. 3a− 2b+ c = 0</p><p>8. S = {(0, 0, 0)}</p><p>9. S = {(0, 0, 0, 0)}</p><p>10. S = {(1, 0, 0)}</p><p>2.6 Apêndice</p><p>2.6.1 Resolvendo e Interpretando Geometricamente Siste-</p><p>mas Lineares no R2</p><p>O conjunto de pares ordenados de números reais é designado por R2 =</p><p>{(x,</p><p>y), x, y ∈ R}. Geometricamente tem-se o plano R2, descrito por dois</p><p>eixos - eixo X e eixo Y - perpendiculares entre si, interceptando-se no ponto</p><p>(0, 0), denominado origem.</p><p>1. Seja o sistema com 2 equações e 2 variáveis</p><p>{</p><p>x+ y = 1</p><p>2x+ 3y = 7 .</p><p>Matriz ampliada</p><p>[</p><p>1 1 1</p><p>2 3 7</p><p>]</p><p>, matriz escalonada</p><p>[</p><p>1 1 1</p><p>0 1 5</p><p>]</p><p>e matriz</p><p>de coeficientes</p><p>[</p><p>1 1</p><p>0 1</p><p>]</p><p>.</p><p>Análise, PA = PC = n = 2: (SPD).</p><p>Sistema equivalente</p><p>{</p><p>x+ y = 1</p><p>y = 5</p><p>Substituindo o valor de y na primeira equação, tem-se x = −4.</p><p>Logo a solução do sistema é S = {(−4, 5)}.</p><p>Interpretando geometricamente: cada equação do sistema representa</p><p>uma reta, estas retas se interceptam em um único ponto (−4, 5).</p><p>34</p><p>−10 −5 5 10</p><p>−10</p><p>−5</p><p>5</p><p>10</p><p>x</p><p>y</p><p>2. Dado o sistema</p><p>{</p><p>x− 2y = −2</p><p>2x− 4y = −4 .</p><p>Matriz ampliada</p><p>[</p><p>1 −2 −2</p><p>2 −4 −4</p><p>]</p><p>, matriz escalonada</p><p>[</p><p>1 −2 −2</p><p>0 0 0</p><p>]</p><p>e matriz de coeficientes</p><p>[</p><p>1 −2</p><p>0 0</p><p>]</p><p>.</p><p>Análise, PA = PC = 1 < n = 2: (SPI).</p><p>Sistema equivalente</p><p>{</p><p>x− 2y = −2</p><p>0y = 0</p><p>A variável y está livre, podendo assumir qualquer valor real e a variável</p><p>x amarrada ao y, isto é, x = 2y − 4.</p><p>A solução do sistema é {(x, y) ∈ R2 |x = 2y−4} = {(2y−4, y), y ∈ R}.</p><p>Geometricamente, tem-se duas retas coincidentes, a equação 2x−4y =</p><p>−4 é múltipla da equação x−2y = −2. Assim, as retas se interceptam</p><p>em infinitos pontos.</p><p>35</p><p>−10 −5 5 10</p><p>−10</p><p>−5</p><p>5</p><p>10</p><p>x</p><p>y</p><p>3. Dado o sistema</p><p>{</p><p>x+ y = 2</p><p>x+ y = −3 .</p><p>Matriz ampliada</p><p>[</p><p>1 1 2</p><p>1 1 −3</p><p>]</p><p>, matriz escalonada</p><p>[</p><p>1 1 2</p><p>0 0 −5</p><p>]</p><p>e</p><p>matriz de coeficientes</p><p>[</p><p>1 1</p><p>0 0</p><p>]</p><p>.</p><p>Análise, PA = 2 6= PC = 1: (SI).</p><p>Sistema equivalente</p><p>{</p><p>x+ y = 2</p><p>0x+ 0y = −5 , isto é,</p><p>{</p><p>x+ y = 2</p><p>0 = −5 .</p><p>Logo, S = ∅.</p><p>Assim, se um sistema possui equações que representam retas paralelas,</p><p>como no exemplo, não há solução é possível.</p><p>−10 −5 5 10</p><p>−10</p><p>−5</p><p>5</p><p>10</p><p>x</p><p>y</p><p>36</p><p>Resumindo, para sistemas de equações de duas incógnitas com duas ou</p><p>mais equações, tem-se que:</p><p>Retas Classificação do Sistemas</p><p>concorrentes possível e determinado</p><p>coincidentes possível e indeterminado</p><p>paralelas impossível</p><p>2.6.2 Resolvendo e Interpretando Geometricamente Siste-</p><p>mas Lineares no R3</p><p>O conjunto de todos as triplas de números reais é designado por R3 =</p><p>{(x, y, z)|x, y, z ∈ R}. Geometricamente tem-se o espaço R3, descrito por</p><p>três eixos, eixo X, eixo Y e eixo Z, que são perpendiculares entre si,</p><p>interceptando-se no ponto (0, 0, 0), denominado origem.</p><p>Exemplo 2.6.1. 1. Considere o sistema</p><p></p><p>x+ y + z = 3</p><p>2y + z = 2</p><p>y + 2z = 2</p><p>.</p><p>Matriz ampliada</p><p> 1 1 1 3</p><p>0 2 1 2</p><p>0 1 2 2</p><p>, escalonada</p><p> 1 1 1 3</p><p>0 2 1 2</p><p>0 0 −3 −2</p><p> e de</p><p>coeficientes escalonada</p><p> 1 1 1</p><p>0 2 1</p><p>0 0 −3</p><p>. Análise, PA = PC = n = 3:</p><p>(SPD). Sistema equivalente</p><p></p><p>x+ y + z = 3</p><p>2y + z = 2</p><p>−3z = −2</p><p>Sendo z = 2</p><p>3 , fazendo-</p><p>se as substituições: y = 2</p><p>3 e z = 5</p><p>3 . A solução do sistema é S ={(2</p><p>3 ,</p><p>2</p><p>3 ,</p><p>5</p><p>3</p><p>)}</p><p>. Geometricamente, o sistema representa três planos dis-</p><p>tintos que se interceptam no ponto</p><p>(2</p><p>3 ,</p><p>2</p><p>3 ,</p><p>5</p><p>3</p><p>)</p><p>.</p><p>37</p><p>−10 −5 0 5 10−10</p><p>0</p><p>10</p><p>−20</p><p>0</p><p>20</p><p>Gráfico tridimensional</p><p>2. Dado o sistema</p><p></p><p>x+ y + z = 3</p><p>2y + z = 2</p><p>x− z = 1</p><p>.</p><p>Matriz ampliada</p><p> 1 1 1 3</p><p>0 2 1 2</p><p>1 0 −1 1</p><p>, escalonada</p><p> 1 1 1 3</p><p>0 2 1 2</p><p>0 0 0 0</p><p> e de</p><p>coeficientes escalonada</p><p> 1 1 1</p><p>0 2 1</p><p>0 0 0</p><p>. Análise, PA = PC = 2 < n = 3:</p><p>(SPI). Sistema equivalente</p><p></p><p>x+ y + z = 3</p><p>2y + z = 2</p><p>0z = 0</p><p>Pela terceira equação, a</p><p>variável z está livre, a variável y fica em função de z, isto é, y = 2−2z.</p><p>A variável x também fica amarrada a variável z, após as substituições,</p><p>tem-se que x = 1 + z. Esta sistema possui grau de liberdade 1. A</p><p>solução do sistema é S = {(1+z, 2−2z, z), z ∈ R}. Geometricamente,</p><p>o sistema representa três planos distintos que se interceptam em uma</p><p>reta.</p><p>38</p><p>−10 −5 0 5 10−10</p><p>0</p><p>10</p><p>−20</p><p>0</p><p>20</p><p>Gráfico tridimensional</p><p>3. Seja o sistema</p><p></p><p>x+ 2y + z = 3</p><p>−x− 2y − z = −3</p><p>2x+ 4y + 2z = 6</p><p>. Matriz ampliada</p><p> 1 2 1 3</p><p>−1 −2 −1 −3</p><p>2 4 2 6</p><p>,</p><p>escalonada</p><p> 1 2 1 3</p><p>0 0 0 0</p><p>0 0 0 0</p><p> e de coeficientes escalonada</p><p> 1 2 1</p><p>0 0 0</p><p>0 0 0</p><p>.</p><p>Análise, PA = PC = 1 < n = 3: (SPI). Sistema equivalente</p><p></p><p>x+ 2y + z = 3</p><p>0y = 0</p><p>0z = 0</p><p>As variáveis y e z estão livres, o grau de liberdade do sistema é igual a</p><p>2, e a variável x está amarrada pela relação x = 3− 2y− z. A solução</p><p>do sistema é S = {(3 − 2y − z, y, z), y, z ∈ R}. Geometricamente, os</p><p>três planos são coincidentes e, consequentemente, qualquer ponto deste</p><p>plano é solução para o sistema.</p><p>39</p><p>−10 −5 0 5 10−10</p><p>0</p><p>10−20</p><p>0</p><p>20</p><p>Gráfico tridimensional</p><p>4. Seja o sistema</p><p></p><p>x− 4y − 3z = 2</p><p>3x− 12y − 9z = 6</p><p>x+ y + z = 1</p><p>. Matriz ampliada</p><p> 1 −4 −3 2</p><p>3 −12 −9 6</p><p>1 1 1 1</p><p>,</p><p>escalonada</p><p></p><p>1 −4 −3 2</p><p>0 1 4</p><p>5 −1</p><p>5</p><p>0 0 0 0</p><p> e de coeficientes escalonada</p><p></p><p>1 −4 −3</p><p>0 1 4</p><p>5</p><p>0 0 0</p><p>.</p><p>Análise, PA = PC = 2 < n = 3: (SPI). Sistema equivalente</p><p></p><p>x− 4y − 3z = 2</p><p>y + 4</p><p>5z = −1</p><p>5</p><p>0z = 0</p><p>A variável z está livre, o grau de liberdade é 1. As variáveis x e y estão</p><p>ligadas à variável z, e irão assumir valores de acordo as relações y =</p><p>−1− 4z</p><p>5 e x = 6− z</p><p>5 . A solução é S =</p><p>{(6− z</p><p>5 ,</p><p>−1− 4z</p><p>5 , z</p><p>)</p><p>, z ∈ R</p><p>}</p><p>.</p><p>Geometricamente, o sistema representa dois planos coincidentes que</p><p>interceptam um terceiro. A interseção é uma reta.</p><p>40</p><p>−10 −5 0 5 10−10</p><p>0</p><p>10</p><p>−20</p><p>0</p><p>20</p><p>Gráfico tridimensional</p><p>5. Seja o sistema</p><p></p><p>x+ y + z = −10</p><p>2x+ y + z = −20</p><p>y + z = −40</p><p>. Matriz ampliada</p><p> 1 1 1 −10</p><p>2 1 1 −20</p><p>0 1 1 −40</p><p>,</p><p>matriz escalonada</p><p> 1 1 1 −10</p><p>0 1 1 −40</p><p>0 0 0 −40</p><p> e matriz de coeficientes escalo-</p><p>nada</p><p> 1 1 1</p><p>0 1 1</p><p>0 0 0</p><p>. Análise, PA = 3 6= PC = 2: (SI). Sistema equiva-</p><p>lente</p><p></p><p>x+ y + z = −10</p><p>y + z = −40</p><p>0z = −40</p><p>A terceira equação é equivalente a 0 = −40,</p><p>o que é impossível. A solução é S = ∅. Geometricamente, o sistema</p><p>representa três planos distintos que se interceptam dois a dois, isto é,</p><p>sem solução comum.</p><p>41</p><p>−10 −5 0 5 10−10</p><p>0</p><p>10</p><p>−50</p><p>0</p><p>Gráfico tridimensional</p><p>6. Dado o sistema</p><p></p><p>x+ 3y − 5z = −20</p><p>7x− 2y + 3z = 2</p><p>2x+ 6y − 10z = 50</p><p>. Matriz ampliada</p><p> 1 3 −5 −20</p><p>7 −2 3 2</p><p>2 6 −10 50</p><p>,</p><p>escalonada</p><p> 1 3 −5 −20</p><p>0 −23 38 142</p><p>0 0 0 90</p><p> e de coeficientes escalonada</p><p> 1 3 −5</p><p>0 −23 38</p><p>0 0 0</p><p>.</p><p>Análise, PA = 3 6= PC = 2: (SI). Sistema equivalente</p><p></p><p>x+ 3y − 5z = −20</p><p>−23y + 38z = 142</p><p>0z = 90</p><p>A última equação não possui solução. Assim, S = ∅. Geometrica-</p><p>mente, o sistema representa dois planos paralelos interceptados por</p><p>um terceiro.</p><p>−10 −5 0 5 10−10</p><p>0</p><p>10−20</p><p>0</p><p>20</p><p>Gráfico tridimensional</p><p>42</p><p>7. Dado o sistema</p><p></p><p>x+ y + z = 10</p><p>x+ y + z = 20</p><p>x+ y + z = 30</p><p>. Matriz ampliada</p><p> 1 1 1 10</p><p>1 1 1 20</p><p>1 1 1 30</p><p>,</p><p>escalonada</p><p> 1 1 1 10</p><p>0 0 0 10</p><p>0 0 0 20</p><p> e de coeficientes escalonada</p><p> 1 1 1</p><p>0 0 0</p><p>0 0 0</p><p>.</p><p>Análise, PA = 3 6= PC = 1: (SI). Sistema equivalente</p><p></p><p>x+ y + z = 10</p><p>0y = 10</p><p>0z = 20</p><p>As duas últimas equações são impossíveis. A solução do sistema é</p><p>S = ∅. Geometricamente, o sistema representa três planos paralelos.</p><p>−10 −5 0 5 10−10</p><p>0</p><p>100</p><p>50</p><p>Gráfico tridimensional</p><p>8. Seja o sistema</p><p></p><p>9x+ y − 5z = 16</p><p>18x+ 2y − 10z = 32</p><p>−9x− y + 5z = 4</p><p>. Matriz ampliada</p><p> 9 1 −5 116</p><p>18 2 −10 32</p><p>−9 −1 5 4</p><p>,</p><p>escalonada</p><p> 9 1 −5 16</p><p>0 0 0 20</p><p>0 0 0 0</p><p> e de coeficientes escalonada</p><p> 9 1 −5</p><p>0 0 0</p><p>0 0 0</p><p>.</p><p>Análise, PA = 2 6= PC = 1: (SI). Sistema equivalente</p><p></p><p>9x+ y − 5z = 16</p><p>0y = 20</p><p>0z = 0</p><p>A segunda equação é impossível e S = ∅. Geometricamente, o sistema</p><p>representa dois planos coincidentes paralelo a um terceiro.</p><p>43</p><p>−10 −5 0 5 10−10</p><p>0</p><p>10−20</p><p>0</p><p>20</p><p>Gráfico tridimensional</p><p>44</p><p>Capítulo 3</p><p>Espaços vetoriais</p><p>3.1 Primeiros conceitos</p><p>Definição 3.1.1. Sejam um conjunto não vazio V , o conjunto dos números</p><p>reais R e duas operações binárias de adição e multiplicação por escalar.</p><p>+ : V × V → V . : R× V → V</p><p>(v, u) 7→ v + u (k, u) 7→ k.u</p><p>V é um espaço vetorial sobre R, ou espaço vetorial real ou um R-</p><p>espaço vetorial, com estas operações se as propriedades abaixo, chamadas</p><p>axiomas do espaço vetorial, forem satisfeitas:</p><p>EV1 (Associativa) Para quaisquer v, u e w ∈ V , (v+u) +w = v+ (u+w).</p><p>EV2 (Comutativa) Para todo u e v ∈ V , u+ v = v + u.</p><p>EV3 (Elemento Neutro) Existe</p><p>e ∈ V tal que para todo v ∈ V , e + v =</p><p>v + e = v.</p><p>Notação: e = 0V .</p><p>EV4 (Elemento Simétrico) Para todo v ∈ V , existe v′ ∈ V tal que v+ v′ =</p><p>v′ + v = 0V .</p><p>Notação: v′ = −v.</p><p>v + (−u) = v − u.</p><p>EV5 Para quaisquer k1, k2 ∈ R e para todo v ∈ V , k1.(k2.v) = (k1.k2).v.</p><p>EV6 Para quaisquer k1, k2 ∈ R e para todo v ∈ V , (k1 +k2).v = k1.v+k2.v.</p><p>EV7 Para todo k ∈ R e para quaisquer v e u ∈ V , k.(v + u) = k.v + k.u.</p><p>EV8 Para todo v ∈ V , 1.v = v.</p><p>45</p><p>Os elementos de V são denominados vetores e os números reais de</p><p>escalares.</p><p>Exemplo 3.1.2.</p><p>1. R2 com as operações (x, y)+(z, t) = (x+z, y+t) e k.(x, y) = (k.x, k.y) é</p><p>um espaço vetorial sobre R, pois os oito axiomas acima são verificados.</p><p>Cabe lembrar que o elemento neutro da adição 0V é o par ordenado</p><p>(0, 0) e o elemento simétrico de (x, y) é −(x, y) = (−x,−y).</p><p>2. Rn com as operações: (x1, x2, . . . , xn)+(y1, y2, . . . , yn) = (x1 +y1, x2 +</p><p>y2, . . . , xn + yn) e k.(x1, x2, . . . , xn) = (k.x1, k.x2, . . . , k.xn) é um es-</p><p>paço vetorial sobre R. O elemento neutro é a n-tupla (0, 0, . . . , 0) e</p><p>−(x1, x2, . . . , xn) = (−x1,−x2, . . . ,−xn)</p><p>3. O conjunto das matrizes reais de ordem m × n, Mm×n(R), com as</p><p>operações usuais de soma e produto por escalar é um espaço vetorial,</p><p>tal que o elemento neutro da adição é a matriz nula e a matriz simétrica</p><p>da matriz A é −A.</p><p>4. O conjunto dos polinômios Pn(R) com coeficientes reais de grau menor</p><p>ou igual a n, com as operações abaixo:</p><p>p(x) + q(x) = (an + bn)xn + . . .+ (a1 + b1)x+ (a0 + b0)</p><p>k.p(x) = k.anx</p><p>n + . . .+ k.a1x+ k.a0</p><p>onde p(x) = anx</p><p>n + . . .+ a1x+ a0 e q(x) = bnx</p><p>n + . . .+ b1x+ b0 é um</p><p>espaço vetorial.</p><p>O elemento neutro da adição é o polinômio nulo 0xn + . . .+ 0x+ 0 e</p><p>−p(x) = −anxn − . . .− a1x− a0 o polinômio simétrico de p(x).</p><p>5. R2 com as operações (x, y) ⊕ (z, t) = (x + z, 0) e k.(x, y) = (k.x, k.y)</p><p>não é um espaço vetorial. Por exemplo, sendo 0V = (e1, e2), (1, 2) ⊕</p><p>(e1, e2) = (1+e1, 0). Mas, pelo axioma (EV3), (x, y)⊕(e1, e2) = (x, y).</p><p>Assim, (1 + e1, 0) = (1, 2) ∴ 0 = 2. Absurdo! Logo, a opração de ⊕</p><p>não possui elemento neutro.</p><p>3.1.1 Subespaço Vetorial</p><p>Definição 3.1.3. Um subespaço vetorial de V é um subconjunto não</p><p>vazio S ⊆ V com as seguintes propriedades:</p><p>(Sub1) 0V ∈ S.</p><p>(Sub2) Fechamento de S em relação à operação de Adição, ou seja, se u e</p><p>v ∈ S então u+ v ∈ S.</p><p>46</p><p>(Sub3) Fechamento de S em relação à operação de Multiplicação por Es-</p><p>calar, ou seja, se k ∈ R e v ∈ S então k.v ∈ S.</p><p>Notação: S ≤ V .</p><p>Exemplo 3.1.4.</p><p>1. S = {(x, 0, 0), x ∈ R} é um subespaço vetorial do R3 com as operações</p><p>de adição e multiplicação por escalar usuais pois as propriedades de</p><p>subespaço se verificam:</p><p>(Sub1) (0, 0, 0) ∈ S.</p><p>(Sub2) Sejam u = (x1, 0, 0) ∈ S e v = (x2, 0, 0) ∈ S. Então u + v =</p><p>(x1 + x2, 0, 0) ∈ S. Logo, S é fechado sob a operação de adição</p><p>de vetores.</p><p>(Sub3) Sejam u = (x, 0, 0) ∈ S e k ∈ R. Então k.u = (k.x, 0, 0) ∈ S.</p><p>Logo, S é fechado sob a operação de multiplicação por escalar.</p><p>O subespaço S poderia ser descrito ainda por S = {(x, y, z) ∈ R3, y =</p><p>0 e z = 0}.</p><p>2. O conjunto S = {(x, y, z) ∈ R3, x = 0 e y ≥ z} não é um subespaço</p><p>vetorial do R3 com as operações usuais.</p><p>De fato, seja u = (0, 3, 1) ∈ S e k = −1. k.u = (0,−3,−1) /∈ S. Logo,</p><p>S não é um subespaço vetorial do R3 .</p><p>3. S = {(x, y, z) ∈ R3, x = y + 1} não é um subespaço vetorial de R3,</p><p>pois (0, 0, 0) /∈ S</p><p>O fato do vetor {0V } pertencer ao conjunto S não implica que este seja</p><p>um subespaço. Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços:</p><p>o próprio espaço V e o conjunto {0V }, chamado subespaço nulo. Estes</p><p>dois subespaços são denominados subespaços triviais de V e os demais</p><p>subespaços próprios de V .</p><p>3.1.2 Combinação Linear</p><p>Definição 3.1.5. Sejam os vetores v1, v2, . . . , vn ∈ V . Um vetor v ∈</p><p>V é uma combinação linear dos vetores v1, v2, . . . , vn quando existem</p><p>k1, k2, . . . , kn ∈ R tais que</p><p>v = k1v1 + k2v2 + . . .+ knvn.</p><p>Exemplo 3.1.6.</p><p>1. O vetor (−1,−1) é uma combinação linear dos vetores (1, 2) e (3, 5)</p><p>pois (−1,−1) = 2(1, 2) + (−1)(3, 5).</p><p>47</p><p>2. O vetor (1, 2, 3) não pode ser escrito como combinação linear dos ve-</p><p>tores (1, 0, 0) e (0, 0, 1). Observe que,</p><p>k1(1, 0, 0) + k2(0, 0, 1) =</p><p>(∗)</p><p>(1, 2, 3) ∴ (k1, 0, k2) = (1, 2, 3)</p><p>Assim,</p><p></p><p>k1 = 1</p><p>0 = 2</p><p>k2 = 3</p><p>. O sistema é impossível. Logo não existem valores</p><p>reais para k1 e k2 que satisfaçam a igualdade (∗).</p><p>3. Determinando a ‘lei"que define (todos) os vetores que podem ser es-</p><p>critos como combinação linear de (1, 0, 0) e (0, 0, 1).</p><p>k1(1, 0, 0) + k2(0, 0, 1) =</p><p>(∗)</p><p>(x, y, z) ∴ (k1, 0, k2) = (x, y, z)</p><p>Assim,</p><p></p><p>k1 = x</p><p>0 = y</p><p>k2 = z</p><p>. O sistema é possível quando y = 0 e quaisquer</p><p>x, z ∈ R. Assim, {(x, y, z) ∈ R3, y = 0} é o conjunto de todos os</p><p>vetores escritos como combinação linear de (1, 0, 0) e (0, 0, 1). Geome-</p><p>tricamente, trata-se do plano XZ no R3.</p><p>3.1.3 Subespaço Vetorial Gerado e Conjunto Gerador</p><p>Sejam os vetores v1, v2, . . . , vn ∈ V e [v1, v2, . . . , vn] a notação usada para</p><p>definir o conjunto de todas as combinações lineares destes vetores. O con-</p><p>junto [v1, v2, . . . , vn] é um subespaço vetorial de V , denominado subespaço</p><p>vetorial gerado pelos vetores v1, v2, . . . , vn.</p><p>O conjunto {v1, v2, . . . , vn} é o conjunto gerador do subespaço [v1, v2, . . . , vn].</p><p>Exemplo 3.1.7.</p><p>1. O vetor (1, 2) ∈ R2 gera o conjunto [(1, 2)] = {(x, 2x), x ∈ R}.</p><p>De fato, pois se (x, y) = k(1, 2) então (x, y) = (k, 2k). Assim,</p><p>{</p><p>k = x</p><p>2k = y</p><p>∴</p><p>y = 2x.</p><p>O conjunto de todas as combinações lineares do vetor (1, 2) é o con-</p><p>junto de todos os seus múltiplos escalares. Geometricamente, [(1, 2)]</p><p>é uma reta definida pela equação y = 2x.</p><p>2. Mostrar que [(1, 1, 0), (1, 2, 1)] = {(x, y, z) ∈ R3, x− y + z = 0}.</p><p>48</p><p>Estudemos a combinação linear dos vetores (1, 1, 0) e (1, 2, 1).</p><p>k1(1, 1, 0) + k2(1, 2, 1) = (x, y, z)</p><p>(k1, k1, 0) + (k2, 2k2, k2) = (x, y, z)</p><p>(k1 + k2, k1 + 2k2, k2) = (x, y, z)</p><p>Assim,</p><p></p><p>k1 + k2 = x</p><p>k1 + 2k2 = y</p><p>k2 = z</p><p>.</p><p>Matriz ampliada</p><p> 1 1 x</p><p>1 2 y</p><p>0 1 z</p><p> e matriz escalonada</p><p> 1 1 x</p><p>0 1 y − x</p><p>0 0 x− y + z</p><p>.</p><p>Para se determinar os vetores que são combinações lineares de (1, 1, 0)</p><p>e (1, 2, 1) é necessário que o sistema seja possível, isto é, x− y+ z = 0.</p><p>Logo, [(1.1.0), (1, 2, 1)] = {(x, y, z) ∈ R3|x − y + z = 0} = {(y −</p><p>z, y, z), y, z ∈ R}. Geometricamente, [(1, 1, 0), (1, 2, 1)] é um plano no</p><p>R3 com equação x− y + z = 0.</p><p>3. [(1, 3), (4, 2)] = R2.</p><p>k1(1, 3) + k2(4, 2) = (x, y)</p><p>(k1, 3k1) + (4k2, 2k2) = (x, y)</p><p>(k1 + 4k2, 3k1 + 2k2) = (x, y)</p><p>Assim,</p><p>{</p><p>k1 + 4k2 = x</p><p>3k1 + 2k2 = y</p><p>.</p><p>Matrizes ampliada</p><p>[</p><p>1 4 x</p><p>3 2 y</p><p>]</p><p>e escalonada</p><p>[</p><p>1 4 x</p><p>0 −10 y − 3x</p><p>]</p><p>.</p><p>Como o sistema é possível e determinado, [(1, 3), (4, 2)] = R2.</p><p>4. Encontre a equação do espaço gerado pelos vetores (1, 1, 2), (−2, 0, 1)</p><p>e (−1, 1, 3). O espaço gerado é o conjunto de vetores (x, y, z) ∈ R3 que</p><p>podem ser escritos como combinação linear dos vetores dados, isto é,</p><p>k1(1, 1, 2) + k2(−2, 0, 1) + k3(−1, 1, 3) = (x, y, z).</p><p>Assim,</p><p></p><p>k1 − 2k2 − k3 = x</p><p>k1 + k3 = y</p><p>2k1 + k2 + 3k3 = z</p><p>.</p><p>Matrizes ampliada</p><p> 1 −2 −1 x</p><p>1 0 1 y</p><p>2 1 3 z</p><p> e escalonada</p><p> 1 −2 −1 x</p><p>0 2 2 y − x</p><p>0 0 0 x− 5y + 2z</p><p>.</p><p>49</p><p>Para que o sistema seja possível é necessário que x − 5y + 2z = 0.</p><p>Com esta condição satisfeita, obtém-se vetores (x, y, z) ∈ R3 que são</p><p>combinação linear dos vetores dados. Portanto, o espaço gerado é</p><p>{(x, y, z) ∈ R3, x− 5y + 2z = 0}, que geometricamente representa um</p><p>plano no R3.</p><p>3.1.4 Vetores Linearmente Independentes e Linearmente De-</p><p>pendentes</p><p>Um conjunto de vetores {v1, v2, . . . , vn} é linearmente independente</p><p>(LI) quando</p><p>k1v1 + k2v2 + . . .+ knvn = 0 se e somente se ki = 0, i = 1, 2, . . . , n.</p><p>Se existir pelo menos um ki 6= 0, para algum i = 1, 2, . . . , n, então o</p><p>conjunto é linearmente dependente (LD).</p><p>Exemplo 3.1.8.</p><p>1. Seja v ∈ V um vetor não nulo então {v} é um conjunto LI.</p><p>De fato, se k.v = 0V para algum k ∈ R então, como v 6= 0V , temos</p><p>que k = 0. Assim {v} é um conjunto LI.</p><p>2. {(1, 3), (4, 2)} é LI, pois:</p><p>k1(1, 3) + k2(4, 2) = (0, 0)</p><p>(k1, 3k1) + (4k2, 2k2) = (0, 0)</p><p>(k1 + 4k2, 3k1 + 2k2) = (0, 0)</p><p>Assim,</p><p>{</p><p>k1 + 4k2 =</p><p>0</p><p>3k1 + 2k2 = 0 .</p><p>Matriz ampliada</p><p>[</p><p>1 4 0</p><p>3 2 0</p><p>]</p><p>e matriz escalonada</p><p>[</p><p>1 4 0</p><p>0 −10 0</p><p>]</p><p>.</p><p>O sistema é possível e determinado com k1 = 0 e k2 = 0. Assim, o</p><p>conjunto é LI. Um dos vetores não é múltiplo escalar do outro.</p><p>3. {(1, 3), (2, 6)} é LD, pois:</p><p>k1(1, 3) + k2(2, 6) = (0, 0)</p><p>(k1, 3k1) + (2k2, 6k2) = (0, 0)</p><p>(k1 + 2k2, 3k1 + 6k2) = (0, 0)</p><p>Assim,</p><p>{</p><p>k1 + 2k2 = 0</p><p>3k1 + 6k2 = 0 . Matrizes ampliada</p><p>[</p><p>1 2 0</p><p>3 6 0</p><p>]</p><p>e escalo-</p><p>nada</p><p>[</p><p>1 2 0</p><p>0 0 0</p><p>]</p><p>.</p><p>50</p><p>O sistema é possível e indeterminado, com k1 = −2k2. Então, o con-</p><p>junto é LD, pois (2, 6) = 2(1, 3). Os vetores (1, 3) e (2, 6) pertencem a</p><p>uma mesma reta.</p><p>O espaço gerado pelo conjunto {(1, 3), (2, 6)} é {(x, y) ∈ R2, y = 3x},</p><p>isto é,</p><p>[(1, 3), (2, 6)] = {(x, y) ∈ R2, y = 3x} = [(1, 3)].</p><p>4. {(2, 0, 5), (1, 2, 3), (3, 2, 8)} é LD, pois: k1(2, 0, 5)+k2(1, 2, 3)+k3(3, 2, 8) =</p><p>(0, 0, 0).</p><p>Assim,</p><p></p><p>2k1 + k2 + 3k3 = 0</p><p>2k2 + 2k3 = 0</p><p>5k1 + 3k2 + 8k3 = 0</p><p>.</p><p>Matriz ampliada</p><p> 2 1 3 0</p><p>0 2 2 0</p><p>5 3 8 0</p><p> e escalonada</p><p> 2 1 3 0</p><p>0 2 2 0</p><p>0 0 0 0</p><p>.</p><p>Como o sistema é possível e indeterminado, o conjunto é LD.</p><p>3.1.5 Base e Dimensão de um Espaço Vetorial</p><p>Considere um conjunto finito B ⊆ V . Diz-se que B é uma base do</p><p>espaço vetorial V quando B é um conjunto linearmente independente e gera</p><p>V , isto é, [B] = V .</p><p>O número de elementos (cardinalidade) de uma base B do espaço vetorial</p><p>V é denominado dimensão do espaço vetorial V . Se a dimensão de V é igual</p><p>a n, diz-se que V é um espaço vetorial finito n-dimensional. Em particular,</p><p>a dimensão do espaço nulo {0V } é zero. Não há base para o espaço nulo.</p><p>Notação: dimV</p><p>Exemplo 3.1.9.</p><p>1. Os conjuntos {(1, 0), (0, 1)} e {(1, 3), (4, 2)} são bases do R2.</p><p>2. O conjunto {(1, 2), (3, 5), (2, 1)} não é base do R2 pois, apesar de gerar</p><p>R2, não é LI.</p><p>O conjunto {(1, 2)} é LI mas não gera o R2, portanto também não é</p><p>uma base do R2.</p><p>Toda base de R2 tem dois vetores de R2 que geram R2 e que são LI.</p><p>Logo, dimR2 = 2.</p><p>3. {(−1, 0, 1), (2, 3, 0), (1, 2, 3)} é uma base do R3.</p><p>O conjunto {(−1, 0, 1), (2, 3, 0)} é LI mas não gera o R3. Logo, não é</p><p>base do R3.</p><p>51</p><p>O conjunto {(−1, 0, 1), (2, 3, 0), (1, 2, 3), (0, 2, 4)} gera o R3 mas não é</p><p>LI. Também não é uma base do R3.</p><p>Toda base de R3 é formada por três vetores LI de R3. Logo, dimR3 =</p><p>3.</p><p>4. Um vetor qualquer (x, y, z) ∈ R3 pode ser escrito como (x, y, z) =</p><p>x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + y(0, 0, 1).</p><p>Assim, {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} gera o R3, isto é, [(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)] =</p><p>R3. Além disso, este conjunto é LI. Logo, {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}</p><p>é uma base do R3, denominada a base canônica do R3.</p><p>Vejamos a tabela abaixo.</p><p>Espaço Vetorial Base Canônica Dimensão</p><p>R {1} 1</p><p>R2 {(1, 0), (0, 1)} 2</p><p>R3 {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} 3</p><p>M2×2(R)</p><p>{(</p><p>1 0</p><p>0 0</p><p>)</p><p>,</p><p>(</p><p>0 1</p><p>0 0</p><p>)</p><p>,</p><p>(</p><p>0 0</p><p>1 0</p><p>)</p><p>,</p><p>(</p><p>0 0</p><p>0 1</p><p>)}</p><p>4</p><p>P2(R) {1, x, x2} 3</p><p>3.1.6 Operações com Subespaços Vetoriais</p><p>Interseção</p><p>Sejam S1 e S2 subespaços vetoriais do espaço vetorial real V . O conjunto</p><p>interseção de S1 e S2, S1 ∩ S2 = {v ∈ V, v ∈ S1 e v ∈ S2}, é também um</p><p>subespaço vetorial de V .</p><p>(Sub1) 0V ∈ S1 ∩ S2?</p><p>0V ∈ S1 pois S1 ≤ V . 0V ∈ S2 pois S2 ≤ V . Assim, 0V ∈ S1 ∩ S2.</p><p>(Sub2) Se v ∈ S1 ∩ S2 e u ∈ S1 ∩ S2 então v + u ∈ S1 ∩ S2?</p><p>Se v ∈ S1 ∩ S2 então v ∈ S1 e v ∈ S2. Se u ∈ S1 ∩ S2 então u ∈ S1 e</p><p>u ∈ S2.</p><p>Assim, v + u ∈ S1 pois S1 ≤ V e v + u ∈ S2 pois S2 ≤ V . Logo,</p><p>v + u ∈ S1 ∩ S2.</p><p>52</p><p>(Sub(3) Se v ∈ S1 ∩ S2 e k ∈ R então kv ∈ S1 ∩ S2?</p><p>Se v ∈ S1 ∩ S2 então v ∈ S1 e v ∈ S2. Então, kv ∈ S1 pois S1 ≤ V e</p><p>kv ∈ S2 pois S2 ≤ V . Logo, kv ∈ S1 ∩ S2.</p><p>Exemplo 3.1.10.</p><p>1. Sejam S1 = {(x, 0, 0), x ∈ R} e S2 = {(x, y, z) ∈ R3, y = x+ z}.</p><p>S1 ∩ S2 = {(x, y, z) ∈ R3, (x, y, z) ∈ S1 e (x, y, z) ∈ S2}.</p><p>Assim,</p><p></p><p>y = 0</p><p>z = 0</p><p>y = x+ z</p><p>.</p><p>Logo, S1 ∩ S2 = {(0, 0, 0)}. Geometricamente, tem-se que a reta S1 e</p><p>o plano S2 no R3 se interceptam na origem.</p><p>2. Sejam S1 = {(x, y, z) ∈ R3, y = 3x} e S2 = {(x, y, z) ∈ R3, 2x−y+3z =</p><p>0}.</p><p>S1 ∩ S2 = {(x, y, z) ∈ R3, (x, y, z) ∈ S1 e (x, y, z) ∈ S2}.</p><p>Assim,</p><p>{</p><p>−3x+ y = 0</p><p>2x− y + 3z = 0 .[</p><p>−3 1 0 0</p><p>2 −1 3 0</p><p>]</p><p>L2 ← 3L2 + 2L1</p><p>[</p><p>−3 1 0 0</p><p>0 −1 9 0</p><p>]</p><p>Logo, y = 9z e x = 3z, ou seja, S1 ∩S2 = {(3z, 9z, z), z ∈ R}. Geome-</p><p>tricamente, a interseção é representada por uma reta que passa pelos</p><p>pontos (0, 0, 0) e (3, 9, 1).</p><p>Soma</p><p>Sejam S1 e S2 subespaços do espaço vetorial real V . O conjunto soma</p><p>de S1 e S2, S1 + S2 = {v + u, v ∈ S1 e u ∈ S2} é também um subespaço</p><p>vetorial de V (a prova é um exercício).</p><p>Exemplo 3.1.11.</p><p>1. Sejam S1 = {(x, 0, 0), x ∈ R} e S2 = {(x, y, z) ∈ R3, y = x+ z}.</p><p>S1 + S2 = {(x, y, z) ∈ R3, (x, y, z) = v + u com v ∈ S1 e u ∈ S2}.</p><p>Tem-se que, (x, 0, 0) ∈ S1 e (x, x+ z, z) ∈ S2, para quaisquer x, z ∈ R.</p><p>Mas, x(1, 0, 0) ∈ S1 e x(1, 1, 0)+z(0, 1, 1) ∈ S2, para quaisquer x, z ∈ R</p><p>Assim, {(1, 0, 0)} é base do subespaço S1 e {(1, 1, 0), (0, 1, 1)} é uma</p><p>base do subespaço S2.</p><p>Então, (x, y, z) ∈ S1 + S2 quando (x, y, z) = k1(1, 0, 0) + k2(1, 1, 0) +</p><p>k3(0, 1, 1).</p><p>53</p><p>Assim,</p><p></p><p>k1 + k2 = x</p><p>k2 + k3 = y</p><p>k3 = z</p><p>.</p><p>Sistema possível, logo S1 + S2 = R3.</p><p>2. Sejam S1 = {(x, y, z, t) ∈ R4, x− y− t = 0} e S2 = {(0, 0, z, 0), z ∈ R}.</p><p>S1 + S2 = {(x, y, z, t) ∈ R4, (x, y, z, t) = v + u com v ∈ S1 e u ∈ S2}.</p><p>Tem-se que, (y + t, y, z, t) ∈ S1 e (0, 0, z, 0) ∈ S2, para quaisquer</p><p>y, z, t ∈ R.</p><p>Mas, y(1, 1, 0, 0) + z(0, 0, 1, 0) + t(1, 0, 0, 1) ∈ S1 e z(0, 0, 1, 0) ∈ S2,</p><p>para quaisquer y, z, t ∈ R.</p><p>Então {(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1)} é uma base para S1 e {(0, 0, 1, 0)}</p><p>é uma base para S2.</p><p>Como {(0, 0, 1, 0)} ⊂ {(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1)}, temos que S2 ⊂</p><p>S1.</p><p>Assim, S1 = S1 + S2.</p><p>Teorema 3.1.12. (Teorema da dimensão) Seja V um espaço vetorial</p><p>n-dimensional. Se S1 e S2 são subespaços de V então:</p><p>dim(S1 + S2) = dimS1 + dimS2 − dim(S1 ∩ S2).</p><p>Soma Direta</p><p>Sejam S1 e S2 subespaços do espaço vetorial real V . A soma de S1 + S2</p><p>é denominada soma direta quando S1 ∩ S2 = {0V }.</p><p>Notação: S1 ⊕ S2.</p><p>3.1.7 Coordenadas de um Vetor em relação a uma Base Or-</p><p>denada</p><p>Seja V é um espaço vetorial n-dimensional e uma base de V . Ao se</p><p>escolher uma base para o espaço vetorial V , está-se adotando um sistema</p><p>referencial no qual qualquer vetor de V pode ser referenciado.</p><p>Considere B = {v1, v2, . . . , vn} uma base ordenada de V , qualquer</p><p>vetor v ∈ V pode ser expresso de maneira única como combinação linear</p><p>dos vetores da base B,</p><p>v = k1v1 + k2v2 + . . .+ knvn</p><p>onde k1, k2, . . . , kn são as coordenadas do vetor v em relação a base or-</p><p>denada B.</p><p>54</p><p>Notação: vB = (k1, k2, . . . , kn) e na forma matricial [v]B =</p><p></p><p>k1</p><p>k2</p><p>...</p><p>kn</p><p>.</p><p>Toda vez que a expressão “coordenadas em relação a uma base"é utili-</p><p>zada, uma base ordenada está sendo considerada.</p><p>Exemplo 3.1.13. Considere o vetor v = (1, 2).</p><p>1. A base canônica do R2.</p><p>(1, 2) = 1(1, 0) + 2(0, 1), ou seja, [v] =</p><p>[</p><p>1</p><p>2</p><p>]</p><p>.</p><p>2. A base B = {(1, 1), (−1, 0)}.</p><p>Escrevendo como combinação linear: (1, 2) = k1(1, 1) + k2(−1, 0).</p><p>Assim,</p><p>{</p><p>k1 − k2 = 1</p><p>k1 = 2 . Logo, k1 = 2 e k2 = 1.</p><p>Portanto, (1, 2) = 2(1, 1) + 1(−1, 0) e [v]B =</p><p>[</p><p>2</p><p>1</p><p>]</p><p>.</p><p>3.1.8 Matriz de Transição de uma Base para uma outra Base</p><p>Que relação existe entre as coordenadas de um vetor no antigo referen-</p><p>cial e em um novo referencial? Uma matriz permitirá a relação entre estes</p><p>referenciais, as bases do espaço vetorial. Esta matriz é denominada matriz</p><p>de transição ou matriz mudança de base.</p><p>O desenvolvimento a seguir considera duas bases do R2, no entanto o</p><p>mesmo raciocínio pode ser utilizado para qualquer espaço vetorial V n-</p><p>dimensional.</p><p>Sejam A = {u1, u2} e B = {w1, w2} bases do R2.</p><p>Para qualquer v ∈ R2, tem-se:</p><p>v = au1 + bu2 (3.1)</p><p>isto é, [v]A =</p><p>[</p><p>a</p><p>b</p><p>]</p><p>.</p><p>Como u1 e u2 são vetores do R2, podem ser escritos como combinação</p><p>linear dos vetores da base B.{</p><p>u1 = a11w1 + a21w2</p><p>u2 = a12w1 + a22w2</p><p>(3.2)</p><p>Substituindo 3.2 em 3.1:</p><p>v = a(a11w1 + a21w2) + b(a12w1 + a22w2)</p><p>v = (a a11 + b a12)w1 + (a a21 + b a22)w2</p><p>55</p><p>Portanto, a a11 + b a12 e a a21 + b a22 são as coordenadas de v em relação</p><p>à base B.</p><p>Assim, [v]B =</p><p>[</p><p>aa11 + ba12</p><p>aa21 + ba22</p><p>]</p><p>.</p><p>Podendo ser rescrito como, [v]B =</p><p>[</p><p>a11 a12</p><p>a21 a22</p><p>]</p><p>.</p><p>[</p><p>a</p><p>b</p><p>]</p><p>.</p><p>A matriz</p>