4. quadratura gauss legendre

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Quadratura Gaussiana
As fórmulas de integração de Newton-Cotes com repetição são construídas para
pontos igualmente espaçados, pois a partição do intervalo [a,b] definida por 
h b a
n
−= , onde n é o número de partições. desta forma temos as fórmulas mais
usuais 
dos Trapézios 
a
b
xf x( )⌠
⌡
d h
2
f x0( ) 2
1
n 1−
k
f xk( )∑
=








+ f xn( )+






⋅=
de Simpson
a
b
xf x( )⌠
⌡
d h
3
f x0( ) 2
1
n
2
1−
k
f x2k( )∑
=










+ 4
1
n
2
k
f x2k 1−( )∑
=










+ f xn( )+










⋅=
Observando que no caso de Simpson, n tem que ser par.
De um modo geral estas fórmulas podem ser expressas através da expressão
a
b
xf x( )⌠
⌡
d
1
n
k
wk f xk( )⋅( )∑
=
=
onde wk são ponderações da função f(x) calculada em pontos igualmente espaçados de
[a,b]
Se apenas 2 pontos xk são dados (fórmula dos trapézios), para determinar a fórmula de
integração é necessário encontrar dois valores, os dos coeficiantes w1 e w2. De maneira
análoga, se 3 pontos são dados precisamos encontrar 3 parâmetros. 
Gauss observou que, se os pontos xk não são mais fixados, temos o dobro de incógnitas
para serem determinadas: os pontos xk e os pesos wk. Isso corresponde, para o caso
de 3 pontos a uma interpolação de um polinômio de grau 5.
É importante observar que a função f(x) deve ser conhecida em sua forma algébrica no
intervalo de integração, já que deverá ser possível calculá-la em qualquer ponto desse
intervalo.
Dedução para o caso de 2 pontos, ou seja precisamos determinar os dois pontos
x1, x2, e os dois pesos w1 e w2.
Para facilitar os cálculos iremos considerar o intervalo de integração [-1,1], lembrando
que sempre é possível fazer uma mudança de intervalo de um intervalo qualquer [a,b]
para o intervalo [-1,1].
1−
1
xf x( )⌠
⌡
d w1 f x1( )⋅ w2 f x2( )⋅+=
Por hipótese essa fórmula deve ser válida para qualquer polinômio de grau 3, ou seja o
erro de integração é zero quando a função f(x) é um polinômio de grau 3. Portanto deve
ser válida também para as seguintes funções:
f x( ) x3=
1−
1
xx
3⌠

⌡
d 0= ⇒ w1 x1( )3⋅ w2 x2( )3⋅+ 0= ( 1 )
f x( ) x2=
1−
1
xx
2⌠

⌡
d 2
3
= ⇒ w1 x1( )2⋅ w2 x2( )2⋅+ 23= ( 2 )
f x( ) x=
1−
1
xx
⌠

⌡
d 0= ⇒ w1 x1⋅ w2 x2⋅+ 0= ( 3 )
f x( ) 1=
1−
1
x1
⌠

⌡
d 2= ⇒ w1 1⋅ w2 1⋅+ 2= ( 4 )
Fazendo (1) - x12 * (3) 
0 w1 x1( )2⋅ w2 x2( )3⋅+=
⇒ 0 w2 x2⋅ x2( )2 x1( )2− ⋅= w2 x2⋅ x2 x1−( )⋅ x2 x1+( )⋅=
0 w1 x1( )3⋅ w2 x2⋅ x1( )2⋅+=
As soluções são, w2 0= x2 0= x1 x2= x1 x2−=
A única possibilidade é x1 x2−= , pois as demais levam a inconsistências oureduzem
as fórmulas a um único termo.
Substituindo em (3), obtemos w1 w2= e de (4), temos que 
w1 w2= 1.= 
Da equação (2) temos
1 x1( )2⋅ 1 x1( )2⋅+ 23= ⇒ x1 x2−=
1
3
= 0.5773=
Substituindo os valores encontrados na integral
1−
1
xf x( )⌠
⌡
d w1 f x1( )⋅ w2 f x2( )⋅+= ⇒
1−
1
xf x( )⌠
⌡
d 1 f 0.5773−( )⋅ 1 f 0.5773( )⋅+=
É importanto ressaltar que essa soma representa o valor exato da integral de
qualquer função f(x) que é um polinômio de grau 3 no intervalo [-1,1].
A mesma dedução pode ser feita para n pontos distintos a qual será exata para
polinômios de grau menor ou igual a 2n-1. Mais ainda, estendendo o método para n
pontos temos um sistema com 2n equações do tipo:
1
n
j
wk tk( ) j⋅ ∑
=
0 k 2n 1−=if
2
k 1+
k 2n 2−=if
=
com n = 1,2,...
O problema neste caso é a solução do sistema linear que não é muito trivial. A saída é
escolher os tk de uma forma consistente, que facilite essa escolha pois, após definidos
os t´s a solução dos w´s é a solução de um sistema linear. 
Teorema : Se p0(x), p1(x),... pk(x) são polinômios ortogonais de grau 0, 1, ..., k ,
respectivamente, em relação ao produto interno (f | g ) = 
a
b
xf x( ) g x( )⌠
⌡
d , então p
k
possui k zeros reais, distintos no intervalo (a,b).
Da mesma forma que as fórmulas de Newton-Cotes a Quadratura Gaussiana
também será escrita como uma soma ponderada de f(x) calculada em pontos
distintos, mas neste caso os pontos serão escolhidos como as raízes de polinômios
ortogonais. Dependendo da família de polinômios ortogonais escolhida, teremos
diferentes fórmulas de integração tais como, Gauss-Legendre, Gauss-Laguerre, etc..
Fórmulas de Gauss-Legendre
Calcular 
a
b
xf x( )⌠
⌡
d pelas fórmulas de Gauss-Legendre
Os polinômios de Legendre são ortogonais no intervalo [-1,1], portanto, deve ser feita
uma mudança de variável do intervalo [a,b] para a variável t no intervalo [-1,1]:
t x( ) 2x a b+( )−
b a−
=
a
b
xf x( )⌠
⌡
d b a−
2 1−
1
tf x t( )( )⌠
⌡
d⋅= b a−
2
0
n
k
wk f tk
b a−
2
⋅
a b+
2
+




⋅





∑
=
⋅=
I
b a−
2
0
n
k
wk F tk( )⋅( )∑
=
⋅=
onde tk, k = 0,1,...,n, são os zeros dos polinômios de Legendre de grau n+1. Os w´s
são dados por 
 
wk
1−
1
t
0
n
j
t tj−
tk tj−





∏
=
⌠



⌡
d=
 onde j é diferente de k
Para nossa sorte, existem tabelas dos t´s e dos w´s, não só para os polinômios de
Legendre mas também para as outras famílias de polinômios ortogonais, o que
tornará esses cálculos de integrais uma simpes consulta à tabelas e substituição dos
w´s e t´s, na soma ponderada.
O erro cometido na integração nas fórmulas de Gauss-Legendre é dado por 
E
1−
1
t
0
n
j
t tj−( ) F
n 1+ ξ( )⋅
n 1+( )!⋅





∏
=
⌠



⌡
d= 2
2n 3+
n 1+( )!( )4⋅
2n 3+( ) 2n 2+( )!( )3⋅
F2n 2+⋅ ξ( )= ξ ∈ [-1,1]
A tabela para Gauss-Legendre é: 
n zeros de pn+1(t) = tk coeficientes wk exata até o polinômio de ordem
1 - 0.57735027 1.00000000 3
 0.57735027 1.00000000
2 - 0.77459667 0.555555556 5
 0.00000000 0.888888889
 0.77459667 0.555555556
3 - 0.86113631 0.34785485 7
- 0.33998104 0.65214515
 0.86113631 0.34785485
 0.33998104 0.65214515
4 - 0.90617985 0.23692689 9
- 0.53846931 0.47862867
 0.00000000 0.56888889
 0.90617985 0.23692689
 0.53846931 0.47862867
Exemplo: Calcular a seguinte integral pela fórmula de Gauss-Legendre para n = 2
0.2
1.5
xe
x
2
−
⌠

⌡
d
mudança de variável x 1.5 0.2−( )t 1.5+ 0.2+
2
= 0.65t 0.85+=
I
1.5 0.2−
2 1−
1
te 0.65 t⋅ 0.85+( )
2
−
⌠

⌡
d⋅=
I
1.5 0.2−
2
0.555556 e 0.65 0.7745967−( )⋅ 0.85+[ ]
2
−
⋅ 0.8888889 e 0.65 0( )⋅ 0.85+[ ]
2
−
⋅+ +

⋅=
0.555556 e 0.65 0.7745967( )⋅ 0.85+[ ]
2
−
⋅ ]
I 0.65860=