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CAPÍTULO V
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
CONCEITOS GERAIS
INTERPOLAÇÃO DE LAGRANGE
INTERPOLAÇÃO DE NEWTON-DIFERENÇAS DIVIDIDAS(DD)
DIFERENÇAS FINITAS
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5.1 Conceitos 
CAPÍTULO V
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
 Consiste em determinar um único polinômio de grau n que passa
pelos n+1 pontos fornecidos.
 Embora exista um único polinômio de grau n que passa por n+1
pontos, há diversas fórmulas matemáticas para expressá-lo.
Formas adequadas para implementação computacional: Newton e
Lagrange
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INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
Suponhamos que conhecemos a função f em apenas em (n+1)
pontos do intervalo [a,b] e que pretendemos conhece-la em
qualquer outro ponto desse intervalo. Para tal vamos, com base nos
pontos conhecidos, construir uma função que “substitua” f(x)
dentro de um limite de precisão. Uma tal função designa-se por
função aproximante.
Seja, f uma função definida em A, f: A⊆ ℜ→ℜ, e admitamos que
são conhecidos os pontos (X0, f(X0)), (X1, f(X1)), ..., (Xn, f(Xn)),
com Xida Álgebra Linear, sabe-se que seu
valor é dado por:
𝐝𝐞𝐭 𝐀 =ෑ
𝐢>𝐣
(𝐱𝐢 − 𝐱𝐣) .
Como xi xj para i  j, vem que det(A)  0. Logo, P(x) é único.
Exemplo: Sejam os valores: x0 = 1, x1 = 0, x2 = 3 e x3 = 2. Determinar
ς𝐢>𝐣(𝐱𝐢 − 𝐱𝐣)
Resposta: 12
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
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5.4.1 Obtenção da Fórmula
Sejam x0, x1, x2, ..., xn, (n + 1) pontos distintos e yi = f(xi), i = 0,1,..., n.
Seja Pn(x) o polinômio de grau  n que interpola f em x0, ..., xn. Podemos
representar Pn(x) na forma Pn(x) = y0L0(x) + y1L1(x) + ... + ynLn(x), onde
os polinômios Lk(x) são de grau n. Para cada i, queremos que a condição
Pn(xi) = yi seja satisfeita, ou seja:
Pn(xi) = y0L0(xi) + y1L1(xi) + ... + ynLn(xi) = yi
A forma mais simples de se satisfazer esta condição é impor:
Lk xi = ቊ
0 se k = i
1 se k ≠ i
e, para isso, definimos Lk(x) por
Lk =
x − x0 x − x1 … x − xk−1 x − xk+1 …(x − xn)
xk − x0 xk − x1 … xk − xk−1 xk − xk+1 …(xk − xn)
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
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Como o numerador de Lk x é um produto de n factores da forma:
(x - xi), i = 0, 1, ..., n, i  k, então Lk x é um polinômio de grau n e,
assim, Pn(x) é um polinômio de grau menor ou igual a n.
Além disso, para x = xi, i = 0, ..., n temos:
𝐏𝐧 𝐱𝐢 = σ𝐤=𝟎
𝐧 𝐲𝐤𝐋𝐤 𝐱𝐢 = 𝐲𝐢𝐋𝐢(𝐱𝐢 )= 𝐲𝐢
Então, a interpolação de Lagrange para o polinômio interpolador é:
𝐏𝐧 𝐱 = ෍
𝐤=𝟎
𝐧
𝐲𝐤𝐋𝐤 𝐱
Onde Lk(x) = ςj=0
i≠k
n x−xj
xk−xj
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
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Pn x = ෍
k=0
n
[yk ∗ෑ
j=0
i≠k
n
x − xj
xk − xj
],
é a fórmula da interpolação lagrangeana.
Exemplo 1: Determinar o polinômio de interpolação de Lagrange para a
função conhecida pelos pontos tabelados abaixo e o resultado em P(0.5):
Resposta: P(0,5)=0.25
i xi yi
0 0 0
1 1 1
2 2 4
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
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Exercício 1: Determinar o polinômio interpolador de Lagrange para a
função conhecida pelos pontos da tabela abaixo:
Resposta: P3 x = x3 − 4𝑥 + 1
i xi yi
0 -1 4
1 0 1
2 2 1
3 3 16
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
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5.6 Interpolação de Newton com Diferenças Divididas
5.6.1 Diferenças Divididas
Seja f(x) uma função tabelada em n + 1 pontos distintos x0, x1, x2, ...
xn. Definimos o operador diferenças divididas por:
f x0 = f x0
f x0, x1 =
f x1 − f x0
x1 − x0
=
f x1 − f x0
x1 − x0
f x0, x1, x2 =
f x1, x2 − f x0, x1
x2 − x0
.........................................................
f x0, x1, x2, … , xn =
f x1, x2, … , xn − f x0, x1, … , xn−1
xn − x0
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
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Diz-se que f[x0,x1,x2,...xk] é a diferença dividida de ordem k da função
f(x) sobre os k + 1 pontos.
Conhecidos os valores que f(x) assume nos pontos distintos x0, x1, x2, ...
xn, pode-se construir a tabela:
xi Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 ... Ordem n
x0 f x0 f x0, x1 f x0, x1, x2 f x0, x1, x2, … , xn
x1 f x1 f x1, x2 f x1, x2, x3 ...
x2 f x2 f x2, x3 f x2, x3, x4 ...
... ... ... ...
xn−2 f xn−2 f xn−2, xn−1f xn−2, xn−1, xn ...
xn−1 f xn−1 f xn−1, xn ....
xn f xn ... ... ....
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
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O polinômio interpolador de Newton corresponde ao operador de
grau n de diferenças divididas:
𝐏𝐧 𝐱 = 𝐟 𝐱𝟎 + 𝐟 𝐱𝟎, 𝐱𝟏 (x- 𝐱𝟎 )+ 𝐟 𝐱𝟎, 𝐱𝟏, 𝐱𝟐 (x- 𝐱𝟎 )(x- 𝐱𝟏 ) +
𝐟 𝐱𝟎, 𝐱𝟏, 𝐱𝟐, … , 𝐱𝐧 (x-𝐱𝟎) (x-𝐱𝟏) (x-𝐱) (x-𝐱) … (x-𝐱𝐧−𝟏)
Exemplo 1: Obter f(0.5) usando um polinômio interpolador de
Newton do segundo grau . Considere a seguinte tabela:
Resposta: 1.25
xi -1 0 1 2 3
f(xi) 2 1 2 5 10
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
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Exercício 1: Obter f(0.47) usando um polinômio interpolador de
Newton do segundo grau (3 pontos). Considere a seguinte tabela:
Resposta: P2 0,47 =0,27802
Exercício 2: Obter f(0.5) usando um polinômio interpolador de
Newton do quarto grau (5 pontos). Considere a seguinte tabela
Resposta: P4 0,5 =0,
xi 0,2 0,34 0,4 0,52 0,6 0,72
f(xi) 0,16 0,22 0,27 0,29 0,32 0,37
xi -1 0 1 2 3
f(xi) 1 1 0 -1 -2
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
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5.7 Interpolação de Gregory-Newton
Muitas vezes são encontrados problemas de interpolação cuja tabela 
de pontos conhecidos tem valores que são igualmente espaçados, ou 
seja:
x1 - x0 = x2 - x1 = x3 - x2 = ... = xn - xn-1 = h
Assim xi+1 - xi = h , para todo i, sendo h uma constante.
xi = xi-1 + h xi = x0 + i * h
5.7.1 Diferenças Ordinárias ou Finitas
∆0f(x) = f(x)
∆1f(x) = f(x + h) - f(x)
∆2f(x) = ∆1 (x + h) - ∆1f(x)
...
∆𝑛f(x) = ∆𝑛−1f(x + h) - ∆𝑛−1f(x)
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
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xi Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 ... Ordem n
x0 f(x0) ∆1f(x0) ∆2f(x0) ∆𝑛f(x0)
x1 f(x1) ∆1f(x1) ∆2f(x1) ….
x2 f(x2) ∆1f(x1) ∆2f(x1) ....
... ... ... ... ….
xn−2 f(xn−2) ∆1f(xn−2) ∆2f(xn−2) ….
xn−1 f(xn−1) ∆1f(xn−1) .... ....
xn f(xn) ... ... ….
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
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5.7.2 Relação entre diferenças divididas e diferenças ordinárias
Teorema: Se xj = x0 + j.h, para j = 0, 1, 2, ..., n, então
f x0, x1, x2, … , xn =
∆nf(x0)
n!hn
Prova:
f[x0] = f(x0)
f x0, x1 =
f x1 −f x0
x1−x0
=
f x1 −f x0
x1−x0
=
f x0+h −f x0
h
=
∆1f(x0)
h
f x0, x1, x2 =
f x1,x2 −f x0,x1
x2−x0
=
∆1f(x1)
h
−
∆1f(x0)
h
2h
=
∆2f(x0)
2h2
e por indução pode-se mostrar que esta regra é valida para valores
maiores que 2.
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
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5.7.3 Gregory-Newton usando Diferenças Ordinárias
Partindo da formula original do método de Newton, que é:
𝐏𝐧 𝐱 = 𝐟 𝐱𝟎 + 𝐟 𝐱𝟎, 𝐱𝟏 (x- 𝐱𝟎 )+ 𝐟 𝐱𝟎, 𝐱𝟏, 𝐱𝟐 (x- 𝐱𝟎 )(x- 𝐱𝟏 ) +
𝐟 𝐱𝟎, 𝐱𝟏, 𝐱𝟐, … , 𝐱𝐧 (x-𝐱𝟎) (x-𝐱𝟏) (x-𝐱) (x-𝐱) … (x-𝐱𝐧−𝟏)
Podemos derivar a nova formula que utiliza as diferenças ordinárias:
Pn(x) = f(x0) +
∆1f(x0)
h
(x-𝐱𝟎)+
∆2f(x0)
2h2
(x-𝐱𝟎)(x-𝐱𝟏) +
∆nf(x0)
n!hn
(x-𝐱𝟎) (x-
𝐱𝟏) (x-𝐱) (x-𝐱) … (x-𝐱𝐧−𝟏) 
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Exemplo 1: Obter f(0.5) usando um polinômio interpolador de
Gregory-Newton (G-N) do segundo grau(3 pontos). Considere a
seguinte tabela:
Resposta: P2 0,5 = 1,25
Exercício 1: Obter f(3.7) usando um polinômio interpolador de
Gregory-Newton do terceiro grau (4 pontos), onde f(x) = ln(x).
Considere a seguinte tabela:
Resposta: P3 3,7 = 1,30225590
xi -1 0 1 2 3
f(xi) 2 1 2 5 10
xi 1 2 3 4
f(xi) 0 0,6931 1,0986 1,3863
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