Ficha 2 - Exercicios - Interpolacao

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Docente: Abel Miguel Página 1 
 
 
Universidade Zambeze 
Faculdade de Ciências e Tecnologia 
Disciplina de Métodos Numéricos 
 
Curso: Eng. Mecatrónica e Eng. De Processos Industriais 
Tema 1: Interpolação 
Exercícios práticos 
I. Interpolação linear 
1. O número de bactérias, por unidade de volume, existente em uma cultura após x horas é 
apresentado na tabela: 
Numero de horas (x) 0 1 2 3 4 
Numero de bacterias unitario (y) 32 47 65 92 132 
Usando a interpolacao linear: 
a) Calcule P1 (t), onde t e igual ao instante 30 min. 
b) Calcule P1 (t), onde t e igual ao instante 2h 30min. 
c) Calcule P1 (t), onde t e igual ao instante 3h 42min. 
2. A resistência de certa barra metálica f(x), varia com o diâmetro. A partir de uma experiência 
registraram-se os seguintes valores: 
Diametro 1,5 2,0 3,0 
f(x) 4,9 3,3 2,0 
Usando a interpolação linear estime a resistência da barra com o diâmetro 2,7. 
 
3. 13.Dada a tabela: 
X(rad) 0.1 0.2 0.3 0.4 
Sen(x) 0.010 0.199 0.296 0.384 
Calcule aproximadamente sen(0,15) e sen(0,32) com base na interpolação linear. 
 
4. Dado que f(x)= , encontre f(1.5) usando interpolação linear entre x=1 e x=2. 
5. Na fabricação de determinadas cerâmicas é muito importante saber as condições de 
temperatura em que o produto foi assado no forno. Como não é possível medir a 
temperatura do forno a todo instante, ela é medida em intervalos periódicos de tempo e 
esses dados são interpolados para o instante em que cada peça foi "queimada" a fim de se 
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conhecer a temperatura do forno nesse instante. Em um dia de funcionamento do forno, 
os seguintes dados foram coletados: 
Horário 10:00 13:00 16:00 19:00 
Temperatura (102°C) 2,51 2,63 2,55 2,41 
Com base na interpolação linear estime a temperatura do forno ás 14:30. 
6. Usando a tabela: 
 
a) Calcule uma aproximação por interpolação linear para f(2.25) 
b) Calcule o erro cometido na estimação de f(2.25). 
7. Usando a tabela: 
𝑥� 1 2 3 4 
𝑓�(𝑥�)= 2
x 1 2 4 8 
a) Determine uma aproximação para 2
0.75
 com base na interpolacao linear 
b) Determine uma cota para o erro cometido 
8. Usando a tabela: 
𝑥� 3 4 
𝑓(𝑥) 𝑥 
a) Calcule uma aproximação por interpolação linear para 
b) Calcule o erro cometido na estimação da alínea anterior; 
 
9. Dada a tabela: 
𝑥� 1.0 1.2 1.4 1.6 
𝑓�(𝑥�) =𝑐�𝑜�𝑠�𝑥� 0.5403 0.3624 0.1691 −0.0292 
a) Ache uma aproximação para cos(1.575) com base na interpolação linear. 
b) Calcule uma cota para o erro cometido. 
10. Seja a tabela 
𝑥� 0.1 0.2 0.3 0.4 
𝑓�(𝑥�) = �x 1.1052 1.2214 1.3499 1.4918 
a) Determine uma aproximação para �0.2
. 
b) Calcule uma cota para o erro cometido. 
 
 
𝑥� 3 4 
𝑓(𝑥) 
 
𝑥
 
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II. Interpolação de Lagrange 
 
1. Seja dada a função tabelada: 
x 1 3 4 
f(x) 5 12 1 
Determine o polinómio de Lagrange para esta função. 
2. Seja dada a função tabelada: 
x 1 3 4 5 
f(x) 5 12 1 6 
a) Determine o polinómio de Lagrange. 
b) Calcule f(3.5) usando o polinómio determinado na alínea anterior. 
3. Usando a tabela 
x 1.00 1.10 1.20 1.30 
𝑓(𝑥) 𝑥 0.841 0.891 0.932 0.964 
a) Calcule uma aproximação para sen(1.25) por meio do polinómio interpolador de 
Lagrange. 
b) Determine o erro de estimação. 
4. Usando a tabela 
x 1 1.1 1.2 1.3 
arctg(x) 0.7854 0.7378 0.6947 0.6557 
a) Calcular arctg (1.24) usando interpolação de Lagrange. 
b) Calcule o erro cometido nesta interpolação. 
5. Construir o polinómio de interpolação na forma de Lagrange para a função 
𝑠 ( 𝑥), escolhendo os pontos: 𝑥 �𝑥 
 
 
� �𝑥 
 
 
. 
6. Seja f(x) = cos 
 
 
�e considere a tabela: 
x 0 1 2 3 
f(x) 1 0 -1 0 
Determine o polinómio interpolador p(x) da tabela na forma de Lagrange. 
7. Determine P3(x), polinómio de grau 3 que passa pelos pontos abaixo usando a fórmula 
de Lagrange. Calcule P3(2) e o seu respectivo erro de aproximação. 
Xi 0 1 3 4 
fi 2 4 5 0 
8. Use o polinómio interpolador de Lagrange para determinar f (8.4) se f (8.1) = 16.94410 , 
f (8.3) = 17.56492 , f (8.6) = 18.505115 e f (8.7) = 18.82091 
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9. A relação entre ponto de congelamento e proporção (em peso) da mistura de água e 
glicerina é dada pela tabela abaixo: 
%glicerina (em peso) 10 20 30 40 50 60 
Temp. de congel. (oC) -1,6 -4,8 -9,5 -15,5 -22 -33,6 
Determine uma estimativa para temperatura de congelamento de uma solução com 27% 
de glicerina (em peso) a partir da Interpolação de polinomial de Lagrange de quatro 
valores da tabela no intervalo de concentração de glicerina entre 10% e 40%. 
 
III. Interpolação de Newton com diferenças divididas 
1. Dado o conjunto de pontos (-1, -1), (0, 1), (1, 3), (2, 7). 
 a) Calcule as primeiras e segundas diferenças divididas. 
 b) Construa o polinómio interpolador de Newton. 
 c) Determine o valor interpolado para x = 1.5. 
2. Considere os pontos (0, 1), (1, 3), (2, 7), (3, 13). 
 a) Determine as diferenças divididas de todas as ordens. 
 b) Construa o polinómio interpolador de Newton. 
 c) Use o polinómio para calcular o valor da função em x = 2.5 
3. Utilize o método de interpolação de Newton para aproximar a função f(x) = 
 
 
� em [1, 2] 
usando 5 pontos igualmente espaçados. Calcule o erro entre o valor aproximado e o valor 
real da função em x = 1.5. 
4. A tabela seguinte apresenta a velocidade de queda de um paraquedista em função do 
tempo: 
Tempo(s) 1 3 5 7 20 
V(cm/s) 800 2310 3090 3940 8000 
a) Estime o valor da velocidade no instante de tempo t=10s, utilizando um polinômio 
interpolador Newton de grau 3. 
b) Calcule uma aproximação do erro cometido na alínea anterior.