Matemática Aula 01

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1. Aula 1: Razão e proporção. Porcentagem. .............................................. 2 
1.1 Porcentagem .................................................................................. 2 
1.2. Razões e proporções ......................................................................... 4 
1.2.1 Divisão em partes diretamente proporcionais ................................ 5 
1.2.2 Divisão em partes inversamente proporcionais .............................. 6 
2. Exercícios comentados ......................................................................... 8 
3. Memorex ........................................................................................... 38 
4. Lista das Questões Comentadas em aula ............................................... 41 
Aula 1 
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1. Aula 1: Razão e proporção. Porcentagem. 
 
 
1.1 Porcentagem 
 
O que é percentual? 
 
Aula de português: Per-centual... “Per cem”... dividido por 100. 
 
Um número percentual, portanto, é um número que não se encontra de forma 
absoluta, e sim dividido por 100. Por exemplo: 
 
 
 
 
 
Todo número percentual pode ser expresso em decimais: 
 
 
 
 
A teoria é relativamente simples, mas na prática várias questões podem ser 
capciosas... 
 
Isso porque, na hora de resolver uma questão, muitas pessoas se esquecem 
do seguinte (vamos chamar de Regra Fundamental do Percentual): 
 
 
 
 
 
 
 
 
O percentual é um número relativo. Ele não está sozinho, não pode ser tratado 
em uma equação como um número sozinho. 
 
Por exemplo: “pagava 100 reais por dia para uma Senhora limpar minha casa, 
mas agora ela vai cobrar 25% a mais.” Quanto passarei a pagar? 
 
 
 
 
A resposta é fácil, intuitiva: 100 + 25 por cento é igual a 125. 
 
Mas e se acontecesse o contrário? 
 
15% = 15
100
 
15% = 0,15 
Regra fundamental do Percentual 
 
O percentual não está sozinho 
100 + 25%? 
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“Pago 125 para uma senhora limpar minha casa. Agora vou pagar 25% a 
menos. Quanto passarei a pagar?”. 
 
 
Neste caso, estaria certo “mudar o 25% de lado” na equação, chegando ao 
100 que chegamos na equação anterior? A resposta é NÃO. 
 
 
 
 
 
 
 
 
O percentual não está sozinho. Ou seja, quando falamos 125 – 25%, na 
verdade estamos querendo dizer: 
 
 
 
Quando dizemos “25% de 125”, estamos querendo pegar uma parcela do 
125, um pedaço, uma fração, um... percentual. Já vimos acima que o 
percentual equivale a algo dividido por 100. Então a expressão acima fica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Perceberam a diferença? 
 
Portanto, a resposta da equação 125 – 25% não é 100, e sim 93,75. 
 
Esse entendimento é muito importante, e grande parte das “pegadinhas” nas 
questões de percentual se baseia nisso... 
 
No mais, para verificar a variação percentual em um período, utilizamos a 
seguinte equação: 
 
125 – 25% = 100 
125 – (25% de 125) 
 125 – 25
100
. 125
125 – 0,25. 125
125 – 31,25 = 93,75
 
 
ERRADO!!! 
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Variação percentual = 
Valor Final - Valor Inicial
100
Valor Inicial
x
 
 
 
 
 
 
 
1.2. Razões e proporções 
 
Uma proporção acontece quando: 
 
 
a c
b d
= 
 
Por exemplo, digamos que eu tenha 1000ml de cerveja e deseje dividir entre 4 
amigos, que estão na minha casa. 
 
Então, teremos 1000/4 = 250ml de cerveja para cada, certo? 
 
Ocorre que chegam mais 2 amigos aqui em casa. Preciso distribuir mais 
cerveja para eles, mantendo a mesma proporção. Quanto de cerveja a mais 
vou precisar? 
 
Vejamos. Na primeira proporção, tivemos: 
 
1000
4
250
c
d
c
d
=
=
 
 
Agora, temos mais 2 amigos. Portanto, nosso “d” é 2: 
 
250
2
c
= 
 
Assim, multiplicando em cruz a equação acima (veremos a álgebra, com 
detalhes, na aula 2), obtemos que c = 500. Ou seja, precisamos de mais 
500ml para as 2 pessoas que chegaram. Voltando à equação inicial, temos: 
 
1000 500
250
4 2
= = 
 
Portanto, a divisão da cerveja entre os amigos na minha casa foi feita de 
maneira proporcional, pois a razão entre a quantidade de cerveja e o número 
de pessoas é sempre a mesma – 250ml por pessoa. 
 
Entendido? ;) 
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Visto isso, vamos para a divisão em partes proporcionais. 
 
A divisão em partes proporcionais pode ocorrer de duas formas: de forma 
diretamente proporcional e de forma inversamente proporcional. 
 
São exemplos de divisão diretamente proporcional: 
 
- Dividir um terreno para 5 filhos, de modo que quanto mais velho o filho, 
maior o tamanho do terreno que ele ganha; 
- Dividir um litro de cerveja entre 3 amigos, de modo que quanto mais 
velho o amigo, maior a quantidade de cerveja que ele ganha; 
 
Vejam que, no primeiro exemplo, o filho mais velho ganhará um terreno maior, 
e o filho mais novo ganhará um terreno menor. 
 
Já no segundo exemplo, o amigo mais velho beberá mais, e o amigo mais novo 
beberá menos. 
 
Ou seja, a divisão foi feita de maneira diretamente proporcional: mais 
terreno para o mais velho, mais cerveja para o mais velho. 
 
Já a divisão inversamente proporcional é o contrário. São exemplos: 
 
- Dividir um pacote de balas para 5 crianças, de modo que quanto mais 
velha a criança, menor a quantidade de balas que ela ganha; 
- Dividir uma quantidade de livros entre 3 concurseiros, de modo que 
quanto mais tempo o concurseiro estuda, menor a quantidade de livros 
que ele ganha; 
 
Percebam que, aqui, quanto mais velha a criança, menos bala vai ganhar. E 
quanto maior o tempo que o concurseiro estudou, menos livros vai ganhar. 
 
Ou seja, a divisão ocorreu de maneira inversamente proporcional: quanto 
mais, menos e quanto menos, mais. 
 
Entendido isso, vamos ver como funciona a divisão na prática, começando pela 
divisão em partes proporcionais. 
 
1.2.1 Divisão em partes diretamente proporcionais 
 
 
O que vamos aprender é uma técnica matemática, ou seja, um macete, que 
ajuda a estabelecer divisões proporcionais. 
 
Dividir um número N em partes diretamente proporcionais aos números a, b e 
c é o mesmo que determinar os números x, y e z, de maneira que: 
 
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- as seqüências (x, y, z) e (a, b, c) sejam diretamente proporcionais 
- x + y + z = N 
 
Neste caso, podemos usar uma técnica matemática, que é: 
 
 Se 
x y z
a b c
= =
, então 
x y z N x y z
a b c a b c a b c
+ +
= = = =
+ + + + 
 
Por exemplo. Temos 12 reais em notas de 1, e queremos dividir de forma 
proporcional à idade de 3 crianças, que possuem 5, 4 e 3 anos. Neste caso, 
temos: 
 
5 4 3
x y z
= =
 
 
Assim: 
 
12
1
5 4 3 12
x y z+ +
= =
+ + 
 
Portanto: 
 
1
5
5
x
x
=
= 
 
Da mesma forma, y = 4 e z = 3. As criança de 5 anos receberá 5 reais, a de 4 
anos receberá 4 reais, e a de 3 anos receberá 3 reais. 
 
1.2.2 Divisão em partes inversamente proporcionais 
 
No exemplo anterior, digamos que, ao invés de notas de 1 real, tenhamos uma 
quantia de 3000 reais para dividir entre jovens de 12, 15 e 20 anos, para que 
eles façam um intercâmbio. Só que queremos dividir de forma inversamente 
proporcional: o jovem com menosidade recebendo mais dinheiro para viajar, 
assim por diante. 
 
Um número N dividido em partes inversamente proporcionais aos números a, b 
e c, significa fazer a divisão de N em partes diretamente proporcionais aos 
inversos de a, b e c, sendo a.b.c ≠ 0. Ou seja: 
 
Se 
1 1 1
x y z
a b c
= = , então 
1 1 1 1 1 1
x y z x y z
a b c a b c
+ +
= = =
+ +
 
 
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No caso dos jovens, temos: 
 
3000
1 1 1 1 1 1
12 15 20 12 15 20
x y z
= = =
+ +
 
 
Na aula de álgebra veremos a fundo como funciona a soma de frações. Mas, já 
adianto que precisamos encontrar o Mínimo Múltiplo Comum, ou seja, um 
número que seja divisível por 12, 15 e 20. Já adianto que é o 60, mas não se 
preocupem, pois veremos isso mais a frente: 
 
3000 3000 3000 60.3000
5.3000 15000
1 1 1 5 4 3 12 12
12 15 20 60 60
= = = = =
+ +
+ +
 
 
 
Portanto: 
 
15000
1
12
12 15000
1250
x
x
x
=
=
=
 
 
 
15000
1
15
15 15000
1000
y
y
y
=
=
=
 
15000
1
20
20 15000
750
z
z
z
=
=
=
 
 
Vamos ver nos exercícios como funciona essa divisão de maneira mais prática 
: ) 
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2. Exercícios comentados 
 
 
Questão 1 – VUNESP/PM-SC/Assistente Administrativo/2012 
 
Um supermercado colocou em promoção sucos de fruta e chá, todos 
em embalagens de um litro. No primeiro dia da promoção, a razão 
entre o número de caixas de chá e o número de caixas de suco 
vendidas foi de 2/3. Sabendo-se que ao final desse dia o total de 
caixas vendidas (entre chá e suco) foi de 5400, então o número de 
caixas de suco superou o número de caixas de chá em 
(A) 1 080. 
(B) 1 800. 
(C) 2 180. 
(D) 3 250. 
(E) 3 520. 
 
Vamos fazer algumas questões de regra de três (assunto da aula passada). 
 
Vejamos esta questão. Primeiramente, vamos escrever o que diz o enunciado: 
 
- A razão entre o número de caixas de chá e de caixas de suco 
vendidas foi de 2/3: 
 
Temos: 
 
C = caixas de chá 
S = caixas de suco 
 
Então: 
 
2
3
C
S
= 
 
- Sabendo-se que ao final desse dia o total de caixas vendidas (entre 
chá e suco) foi de 5400: 
 
Assim: C + S = 5400 
 
Podemos isolar uma das incógnitas (“incógnitas” é a letra, como C ou S, ok?) 
acima e substituir na fração lá em cima, que tal?! 
 
Temos: 
 
C = 5400 – S 
 
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2
3
5400 2
3
C
S
S
S
=
−
=
 
 
Multiplicando em cruz: 
 
5400 2
3
(5400 ).3 2
3.5400 3 2
5 3.5400 16200
5 16200
3240
S
S
S S
S S
S
S
S
−
=
− =
− =
= =
=
=
 
 
Assim, encontramos o número de caixas de suco vendidas. Precisamos 
encontrar o número de caixas de chá. Podemos usar quaisquer das equações 
(tanto a razão C/S quanto a soma C + S). Vamos usar a soma: 
 
C + S = 5400 
 
C = 5400 – 3240 
 
C = 2160 
 
A questão pede quantos sucos a mais foram vendidos, ou seja, ela quer saber 
S – C: 
 
S – C = 3240 – 2160 = 1080 
 
Resposta: Letra A. 
 
Questão 2 – VUNESP/PM-SC/Assistente Administrativo/2012 
 
O proprietário de uma padaria notou que em cada cafezinho servido 
eram colocados 30 gramas de açúcar, porém, se fossem colocados 25 
gramas de açúcar por cafezinho, com a mesma quantidade de açúcar 
disponível num açucareiro, era possível servir 10 cafezinhos a mais. 
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Então o número de cafezinhos com 25 gramas de açúcar cada um que 
podem ser servidos é 
(A) 52. 
(B) 54. 
(C) 56. 
(D) 58. 
(E) 60. 
 
Como diria Jack (o estripador), vamos resolver por partes : ) 
 
O proprietário de uma padaria notou que em cada cafezinho servido 
eram colocados 30 gramas de açúcar: vamos chamar essa quantidade de 
Q1. Ou seja, Q1 = 30 
 
Porém, se fossem colocados 25 gramas de açúcar por cafezinho, com a 
mesma quantidade de açúcar disponível num açucareiro, era possível 
servir 10 cafezinhos a mais.: aqui, a questão fala do açucareiro. Ou seja, a 
quantidade de açúcar no açucareiro é sempre a mesma. O que muda é que ele 
diminui quanto de açúcar é colocado. Ou seja, Q2 = 25. 
 
Quando colocamos Q1 = 30, adoçamos X cafezinhos. 
 
Quando colocamos Q2 = 25, adoçamos X + 10 cafezinhos. 
 
Entenderam? 
 
Então o número de cafezinhos com 25 gramas de açúcar cada um que 
podem ser servidos é? 
 
Vocês concordam que a quantidade de açúcar no açucareiro é sempre a 
mesma, certo? 
 
Essa quantidade, quando são servidos X cafezinhos, é de 30.X. 
 
Já essa quantidade, quando são servidos X + 10 cafezinhos, é de 25.(X + 10). 
 
Então, igualamos as duas equaçõezinhas acima: 
 
30.X = 25.(X + 10) 
 
30X = 25X + 250 
 
5X = 250 
 
X = 50 
 
Voltando lá para cima: 
 
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Quando colocamos Q1 = 30, adoçamos X cafezinhos. 
 
Ou seja, quando colocamos 30g de açúcar em cada café, conseguimos adoçar 
50 cafezinhos. 
 
Quando colocamos Q2 = 25, adoçamos X + 10 cafezinhos. 
 
Da mesma forma, quando colocamos 25 gramas de açúcar em cada cafezinho, 
conseguimos adoçar 50 + 10 = 60 cafezinhos. 
 
Resposta: Letra E. 
 
Questão 3 – VUNESP/PM-Sertãozinho/Fiscal/2012 
 
Com base na sua experiência, um empreiteiro calculou que será 
necessário contratar 10 pedreiros para que determinado serviço seja 
feito em 6 dias. Para que o serviço seja feito em apenas 4 dias, 
conforme solicitação do cliente, ele necessitará, mantidas as demais 
condições, contratar mais 
(A) 2 pedreiros. 
(B) 4 pedreiros. 
(C) 5 pedreiros. 
(D) 6 pedreiros. 
(E) 8 pedreiros. 
 
Vejam que essa questão traz uma proporção. 
 
Quando mais pedreiros, menos dias para se fazer um serviço. 
 
Portanto, temos uma relação inversa. Podemos fazer uma regra de três 
inversa! 
 
Se temos 10 pedreiros, fazemos o serviço em 6 dias. Invertendo um dos 
termos (é uma regra de 3 inversa): 
 
10 ------- 1/6 
 
Precisaremos de X pedreiros para terminar o serviço em 4 dias. Então: 
 
X -------- 1/4 
 
Fazendo a regra de 3: 
 
10 ------- 1/6 
X -------- 1/4 
 
Multiplicando em cruz: 
 
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1 1
10. .
4 6
10
4 6
X
X
=
=
 
 
Novamente multiplicando em cruz (em igualdades de frações, sempre 
multiplicamos em cruz): 
 
4.X = 10.6 
 
4X = 60 
 
X = 15 
 
Portanto, ao invés de 10, serão necessários 15 pedreiros. Ou seja, 5 além dos 
iniciais devem ser contratados. 
 
Resposta: Letra C. 
 
Questão 4 – VUNESP/PM-SC/Assistente Administrativo/2012 
 
 
 
Suponha que o desconto dado na cueca tenha sido de 20%, então, em 
relação ao preço da cueca, sem o desconto, o valor do livro 
corresponderia aproximadamente a 
(A) 65%. 
(B) 62%. 
(C) 58%. 
(D) 53%. 
(E) 49%. 
 
Primeira questão de porcentagem. 
 
A figura fornece vários preços. O da cueca possui desconto. 
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A questão diz que o desconto foi de 20% e que, agora, ela vale 97 reais. 
Então, vamos calcular quanto que a cueca valia inicialmente? 
 
Se o desconto foi de 20%, então a variação percentual entre o preço inicial e o 
preço atual é foi de -20% (foi um desconto, e não um acréscimo, não 
esqueçam disso). Colocando na equação: 
 
Variação percentual= 
Valor Final - Valor Inicial
100
Valor Inicial
x
 
 
 
 
 
-20 = 
97 - Valor Inicial
100
Valor Inicial

x

 
 
 
 
Vou chamar o Valor Inicial de VI na equação, só para facilitar, ok? 
 
97 - VI
20 100
VI
20 97 - VI
100 VI
x
 
− =  
 
−  
=  
 
 
 
Multiplicando em cruz: 
 
20. 100.(97 )
20 9700 100
80 9700
9700
121,25
80
VI VI
VI VI
VI
VI
− = −
− = −
=
= =
 
 
Assim, o valor inicial da cueca era de 121,25 reais (PS: cueca cara, não 
acham?!). 
 
O livro custa 75 reais. Para saber o percentual do livro em relação a cueca, 
basta dividir um valor pelo outro. Encontraremos um valor decimal, entre 0 e 
1. Para descobrir o percentual, basta multiplicar por 100. 
 
Temos: 
 
Valor do livro: 75 
Valor da cueca sem desconto: 121,25 
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75
0,6185
121,25
= 
 
Ou seja, percentualmente (em relação a 100), o livro vale 61,85% do valor da 
cueca. 
 
Aproximando para 62%, encontramos a resposta: letra B. 
 
Resposta: Letra B. 
 
Questão 5 – VUNESP/PM-SC/Assistente Administrativo/2012 
 
Uma empresa criada há 5 anos fez um levantamento do número de 
anos completos que cada um de seus 160 funcionários trabalha nela. O 
gráfico mostra o resultado da pesquisa. 
 
 
 
 
De acordo com as informações do gráfico, a porcentagem de 
funcionários que trabalham nessa empresa há pelo menos 3 anos é de, 
aproximadamente, 
(A) 50%. 
(B) 55%. 
(C) 60%. 
(D) 65%. 
(E) 70%. 
 
Questão muito parecida com o finalzinho da anterior. 
 
O enunciado pede o número de funcionários que trabalham há pelo menos 3 
anos. Pelo menos 3 anos são 3, 4 ou 5 anos, certo? 
 
 
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Somando estas 3 “barrinhas”, vemos que 55+40+10 = 105 funcionários 
trabalham há pelo menos 3 anos. 
 
O enunciado diz que são 160 funcionários ao total. Portanto, basta dividir 
105/160, e encontraremos o decimal (entre 0 e 1). Multiplicando por 100, 
encontramos o percentual (entre 0 e 100): 
 
Temos: 
 
105
0,65625
160
= x100 = 65,625% 
 
Aproximadamente 65%, letra D. 
 
Resposta: Letra D. 
 
Questão 6 – VUNESP/PM-Sertãozinho/Fiscal/2012 
 
Dados do Departamento de Trânsito mostram que as motos estiveram 
envolvidas em cinco de cada oito colisões (acidentes entre veículos) 
ocorridas em 2011, em certo município. 
Com base nessa informação, pode-se concluir que as colisões que não 
tiveram a participação de motos representam, do número total de 
colisões ocorridas, 
(A) 33,5%. 
(B) 37,5%. 
(C) 42,5%. 
(D) 47,5%. 
(E) 62,5%. 
 
Questão igual a anterior. Até mais fácil, não tem gráfico :D 
 
5 em cada 8 colisões tiveram motos. Ou seja, 3 em cada 8 não tiveram. 
 
3/8 = 0,375. Percentualmente, 0,375*100 = 37,5%. 
 
Resposta: Letra B. 
 
Questão 7 – ESAF/SMF/Agente de Fazenda/2010 
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O PIB de um país que entrou em recessão no fim de 2008 tinha 
crescido 10% no primeiro trimestre de 2008, 5% no segundo 
trimestre, tinha ficado estável no terceiro trimestre e tinha caído 10% 
no último trimestre daquele ano. Calcule a taxa de crescimento do PIB 
desse País, em 2008. 
a) 1,25%. 
b) 5%. 
c) 4,58%. 
d) 3,95%. 
e) -5%. 
 
Vamos usar a equação da variação percentual para calcular a variação a cada 
trimestre. 
 
Como já viemos fazendo, vamos determinar um valor inicial para o PIB, que 
facilite os cálculos. Em questões de percentagem, o melhor valor é o próprio 
100. Temos: 
 
Variação percentual = 
Valor Final - Valor Inicial
100
Valor Inicial
x
 
 
 
 
 
Para o primeiro trimestre, o PIB cresceu 10%. Temos: 
 
Valor Final - 100
10 100
100
Valor Final - 100
0,1
100
10 Valor Final - 100
Valor Final=100+10=110
x
 
=  
 
=
=
 
 
No segundo trimestre, o PIB cresceu 5%: 
 
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Valor Final - 110
5 100
110
Valor Final - 110
0,05
110
5,5 Valor Final - 110
Valor Final=115,5
x
 
=  
 
=
=
 
 
No terceiro trimestre, ficou estável, e no quarto, caiu 10%, ou seja, a variação 
percentual foi de –10%. Assim: 
 
Valor Final - 115,5
10% 100
115,5
Valor Final - 115,5
0,1
115,5
11,55 Valor Final - 115,5
Valor Final=115,5-11,55 = 103,95
x
 
− =  
 
− =
− =
 
 
Assim, o valor do PIB, que era de 100, passou para 103,95. Quando o Valor 
Inicial é 100, o aumento percentual sai diretamente. Portanto, o aumento foi 
de 3,95%. 
 
Resposta: Letra D. 
 
Questão 8 – ESAF/SMF/Agente de Fazenda/2010 
 
Dois trabalhadores, trabalhando 8 horas por dia cada um, durante 15 
dias, colhem juntos 60 sacos de arroz. Três outros trabalhadores, 
trabalhando 10 horas por dia cada um, colhem juntos 75 sacos de 
arroz em 10 dias. Em média, quanto um trabalhador do primeiro grupo 
é mais ou menos produtivo que um trabalhador do segundo grupo? 
 
a) O trabalhador do primeiro grupo é 10% menos produtivo. 
b) O trabalhador do primeiro grupo é 10% mais produtivo. 
c) O trabalhador do primeiro grupo é 25% mais produtivo. 
d) As produtividades dos trabalhadores dos dois grupos é a mesma. 
e) O trabalhador do primeiro grupo é 25% menos produtivo. 
 
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Na situação 1, temos 2 trabalhadores trabalhando 8 horas por dia durante 15 
dias. Portanto, eles trabalham 8 * 15 = 120 horas, cada um. 
 
Colhem, juntos, 60 sacos de arroz. Portanto, cada um colhe 30 sacos. 
 
Assim, a produtividade é de 30/120 = 0,25 sacos por hora, por trabalhador. 
 
Na situação 2, temos 3 trabalhadores, trabalhando 10 horas por dia, em 10 
dias. Ou seja, eles trabalham 100 horas cada um. 
 
Como colhem 75 sacos, colhem 75/3 = 25 sacos cada. 
 
Assim, a produtividade deles é de 25/10 = 0,25 sacos por hora. 
 
Desta forma, a produtividade dos dois grupos é a mesma. 
 
Resposta: Letra D. 
 
Questão 9 – ESAF/RFB/ATRFB/2009 
 
Em um determinado período de tempo, o valor do dólar americano 
passou de R$ 2,50 no início para R$ 2,00 no fim do período. Assim, 
com relação a esse período, pode-se afirmar que: 
a) O dólar se desvalorizou 25% em relação ao real. 
b) O real se valorizou 20% em relação ao dólar. 
c) O real se valorizou 25% em relação ao dólar. 
d) O real se desvalorizou 20% em relação ao dólar. 
e) O real se desvalorizou 25% em relação ao dólar. 
 
Percebam que o enunciado desta questão fala da desvalorização do dólar 
(afinal, ele passou de 2,50 para 2,00), mas a maioria das alternativas fala da 
valorização/desvalorização do real. 
 
Vamos ver o que aconteceu com o dólar: 
 
Variação percentual = 
Valor Final - Valor Inicial
100
Valor Inicial
x
 
 
 
 
 
Variação percentual = 
2 - 2,5
100
2,5

x

 
 
 
 
Variação percentual = 
-0,5
100
2,5
x
 
 
 
= -20% 
 
Portanto, o dólar se desvalorizou 20%. 
 
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Vamos ver o que aconteceu com o real. Precisamos saber quanto valia 1 real 
no início e no final, em termos de dólar. 
 
Se, no início, 1 dólar valia 2,5 reais, quanto valia 1 real? Por regra de 3, 
temos: 
 
1 dólar ------- 2,5 reais 
x dólar ------- 1 real 
 
2,5x = 1 
x = 1/2,5 = 0,4 dólar. 
 
No final, 1 dólar valia 2 reais. Um real,portanto: 
 
1 dólar ------- 2 reais 
x dólar ------- 1 real 
 
x = 1 
x = 1/2 = 0,5 dólar. 
 
Assim, a variação percentual do real foi: 
 
Variação percentual = 
Valor Final - Valor Inicial
100
Valor Inicial
x
 
 
 
 
 
Variação percentual = 
0,5 - 0,4 0,1
100 100 0,25 100 25%
0,4 0,4
x x x
 
= = = 
 
 
 
Assim, o real se valorizou 25% frente ao dólar. 
 
Resposta: Letra C. 
 
Questão 10 – CEPERJ/SEE/Professor/2008 
 
Em uma semana, as ações de certa companhia valorizaram 20% e, na 
semana seguinte, desvalorizaram 20%. O valor das ações é: 
 
A) o mesmo que o valor inicial 
B) maior em 2% que o valor inicial 
C) menor em 2% que o valor inicial 
D) maior em 4% que o valor inicial 
E) menor em 4% que o valor inicial 
 
 
Essa questão é muito boa para fixarmos o que vimos na teoria. 
 
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Inicialmente, as ações da companhia valorizaram 20%, e, na semana seguinte, 
desvalorizaram 20%. 
 
Em questões assim, que não falam em valores (por exemplo, valor inicial das 
ações), facilita os cálculos se utilizarmos alguma quantidade X como base para 
os cálculos. Uma suposição de quanto foi o valor inicial. 
 
Por exemplo, podemos supor que no início as ações valiam 100. Se elas 
valorizaram 20%, seu valor passou para: 
 
100 + 20%.100 = 100 + 
20
.100
100
 = 100 + 20 = 120 
 
Em seguida, a questão diz que as ações desvalorizaram 20%. Como vimos na 
teoria, isso não significa que elas voltaram ao 100 inicial. Vamos fazer o 
cálculo: 
 
120 – 20%.120 = 120 – 0,2.120 = 120 – 24 = 96. 
 
Portanto, se no início as ações valiam 100, e agora valem 96, isso significa que 
elas variaram. Vamos fazer a variação percentual: 
 
Variação percentual = 
Valor Final - Valor Inicial
100
Valor Inicial
x
 
 
 
 
 
 
 
96 - 100
100 0,04 *100 4%
100

x

= − = − 
 
 
 
Seu valor é 4% menor do que no início. 
 
Resposta: Letra E. 
 
Questão 11 – CEPERJ/SEE/Professor/2008 
 
Pedro investiu certa quantia comprando ações de uma indústria. No 
final do primeiro ano, ele verificou que as ações tinham valorizado 
25%, mas no final do ano seguinte ele disse: “Puxa, eu tenho hoje o 
dobro do dinheiro que investi”. A valorização dessas ações no segundo 
ano foi de: 
 
A) 50% 
B) 55% 
C) 60% 
D) 70% 
E) 75% 
 
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Questão semelhante à anterior. 
 
No final do primeiro ano, Pedro verificou que as ações tinham valorizado 25%. 
Como na questão anterior, vamos definir uma base para o valor inicial das 
ações. Escolheremos 100, por ser a base mais fácil de trabalhar: 
 
100 + 25%.100 = 100 + 
25
.100
100
 = 100 + 25 = 125 
 
No fina do ano seguinte, ele viu que tinha o dobro do que investiu. Definimos 
que esse valor inicial foi de 100. Portanto, se ele tinha o dobro, tinha 200. 
 
A valorização das ações no segundo ano foi de: 
 
Variação percentual = 
Valor Final - Valor Inicial
100
Valor Inicial
x
 
 
 
 
 
 
200 125 75
100 0,6 100 60%
125 125
x x
−  
= = = 
 
 
 
Portanto, no segundo ano, as ações aumentaram 60%. 
 
Resposta: Letra C. 
 
Questão 12 – CEPERJ/Pref. Belford Roxo/Professor/2011 
 
Um trabalhador gasta com o aluguel de sua casa 25% do seu salário. 
Se o salário é corrigido com um aumento de 25% e o aluguel com um 
aumento de 35%, então o novo aluguel passará a consumir do novo 
salário a porcentagem de: 
A) 25% 
B) 35% 
C) 28% 
D) 37% 
E) 27% 
 
Já sabemos que a melhor maneira de resolver questões de porcentagem é 
definindo um valor inicial para tomarmos como base. 
 
O aluguel é de 25% do salário. Portanto, vamos definir que, inicialmente, o 
salário valia 100. O aluguel, portanto, valia 25%.100 = 25. 
 
O salário foi corrigido com aumento de 25%. Passou para: 
 
100 + 25%.100 = 100 + 25 = 125. 
 
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O aluguel foi corrigido com aumento de 35%. Ou seja, seu novo valor é de: 
 
25 + 35%.25 = 33,75. 
 
Precisamos saber de quanto é a participação percentual do novo aluguel no 
novo salário. Basta dividir um valor pelo outro e multiplicar por 100: 
 
 
33,75
0,27.100 27%
125
= = 
 
Resposta: Letra E. 
 
Questão 13 – CEPERJ/Pref. Itaboraí/Professor/2011 
 
Sabe-se que em 3/8 do total de escaninhos de um armário de uma 
escola estão guardados livros de matemática das professoras de 
primeiro segmento e, nos demais, livros de Ciências dos professores 
do 8º ano. Desse modo, o percentual de escaninhos onde estão 
guardados os livros de ciências dos professores do 8º ano é: 
 
A) 60,5% 
B) 60,75% 
C) 62,25% 
D) 62,5% 
E) 62,75% 
 
Temos dois tipos de livros guardados nos escaninhos: 
 
• Tipo 1: Livros de matemática das professoras de primeiro segmento; 
• Tipo 2: Livros de Ciências dos professores do 8º ano. 
 
3/8 do total de escaninhos guardam livros do Tipo 1. 
 
Se 3/8 estão ocupados por livros do Tipo 1, então 5/8 estão ocupados por 
livros do Tipo 2. O total de escaninhos é de 8/8 = 1. 
 
Percentualmente, 5/8 representam: 
 
5
5008 .100 62,5%
1 8
= = 
 
A resposta é a letra D. 
 
Resposta: letra D. 
 
Questão 14 – FCC/TCE-SP/AFF/2010 
 
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Pretende-se tirar 1 380 cópias de um texto e parte destas cópias será 
tirada por uma máquina X e o restante por uma máquina Y. Sabe-se 
que: X tem 2 anos de uso, enquanto que Y tem 16 meses; a capacidade 
operacional de X é 80% da de Y; os números de cópias que X e Y 
deverão tirar devem ser, ao mesmo tempo, diretamente proporcionais 
às suas respectivas capacidades operacionais e inversamente 
proporcionais aos seus respectivos tempos de uso. Assim sendo, é 
correto afirmar que 
 
(A) X deverá tirar mais de 500 cópias. 
(B) Y deverá tirar menos de 850 cópias. 
(C) X deverá tirar mais cópias do que Y. 
(D) Y deverá tirar 420 cópias a mais do que X. 
(E) X deverá tirar 240 cópias a mais do que Y. 
 
Vejam só a frase do enunciado: “os números de cópias que X e Y deverão 
tirar devem ser, ao mesmo tempo, diretamente proporcionais às suas 
respectivas capacidades operacionais e inversamente proporcionais 
aos seus respectivos tempos de uso.” Assim: 
 
 
 
 
Temos três grandezas relacionadas, e de formas diferentes. Duas delas 
(números de cópias e capacidades operacionais) são diretamente 
proporcionais, ou seja, quando uma aumenta, a outra também. Já o tempo 
de uso de cada máquina é inversamente proporcional às outras grandezas. 
Quanto mais velha a máquina, menos cópias ela deve produzir. 
 
Para resolver questões como essa, utilizamos a Regra de Três Composta, 
lembrando que uma das grandezas é inversamente proporcional: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Números de 
Cópias 
Capacidades 
Operacionais 
Tempos de 
Uso 
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Primeiramente, vamos somar as cópias das máquinas X e Y para saber o valor 
total, que será a grandeza A: 
 
Grandeza A: Cópias da máquina 
 
 
 
 
 
 
 
 
Grandeza B: Capacidade Operacional 
 
A questão fala que “a capacidade operacional de X é 80% da de Y”. 
Podemos escrever essa frase matematicamente. Se a capacidade de Y é 1, a 
de X será 0,8. Da mesma forma, se a capacidade de Y for 100, a da X será 80, 
e assim por diante. Quando a questão dá uma relaçãocomo essa, você pode 
escolher qualquer número para as variáveis... contanto que eles obedeçam à 
relação imposta. Vamos escolher, então, que: 
 
 
 
 
X = cópias da máquina X 
Y = cópias da máquina Y 
X + Y = 1.380 
Assim como: Assim como: 
Está para 
Está para 
Grandeza A 
Inicial 
Grandeza B 
Inicial 
Grandeza A 
Final 
Grandeza B 
Final 
MONTAGEM DA REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 1 __ 
Grandeza C 
Inicial 
 1 __ 
Grandeza C 
Final 
Está para 
Está para 
Como a grandeza 
é inversamente 
proporcional, é 
dividida por 1. 
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Grandeza C: Tempos de Uso 
 
 
 
 
 
 
 
Montando o “Esquema do Grude”: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com os dados: 
 
 
 
 
 
 
 
______________ _______________ ______________ = 
X 0,8 
Y 1 1 _ 
16 
x 
 1 _ 
24 
Capacidade Operacional X = 0,8 
Capacidade Operacional Y = 1 
Tempo de Uso X = 2 anos = 24 meses 
Tempo de Uso Y = 16 meses 
__________________ __________________ ________________ = 
Grandeza A 
Inicial 
Grandeza B 
Inicial 
Grandeza A 
Final 
Grandeza B 
Final 
 1 __ 
Grandeza C 
Inicial 
 1 __ 
Grandeza C 
Final 
RESOLUÇÃO DA REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
“ESQUEMA DO GRUDE” 
x 
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x
y
 = 0,8.


16
24


x
y
 = 0,8.


2
3

 = 1,6
3
x = 1,6
3
. y
 
 
Como x + y = 1.380, devemos substituir o x na equação: 
 
 1,6
3
. y + y = 1380
1,6y + 3y = 1380
3
 4,6y = 3.1380
y = 900 e x = 480
 
 
Logo, y – x = 420. 
 
Resposta: Letra D. 
 
 
Questão 15 – CESGRANRIO/EPE/Assistente Administrativo/2010 
 
Demanda das indústrias verificada no mês passado indica retomada do 
patamar pré-crise. A indústria liderou a expansão do consumo de 
eletricidade na rede em fevereiro de 2010, com crescimento de 14% 
em relação ao mesmo mês de 2009. (...) Em fevereiro de 2010, a 
indústria brasileira demandou da rede 14.438 GWh. 
Disponível em: 
http://www.epe.gov.br/ResenhaMensal/20100324_1.pdf (Adaptado) 
 
De acordo com as informações apresentadas, o consumo de 
eletricidade da indústria brasileira, em GWh, no mês de fevereiro de 
2009, 
 
(A) foi inferior a 11.500. 
(B) ficou entre 11.500 e 12.000. 
(C) ficou entre 12.000 e 12.500. 
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(D) ficou entre 12.500 e 13.000. 
(E) foi superior a 13.000. 
 
Vimos que: 
 
Variação percentual = 
Valor Final - Valor Inicial
100
Valor Inicial
x
 
 
 
 
 
A questão diz que houve crescimento de 14% entre fevereiro de 2009 e 
fevereiro de 2010. O Valor Inicial é o que queremos saber (o consumo em 
2009) e o Valor Final é o consumo em 2010, que foi de 14438: 
 
14 = 
14438 - Valor Inicial
100
Valor Inicial
x
 
 
 
 
 
14438 - Valor Inicial
0,14
Valor Inicial
0,14.Valor Inicial = 14438 - Valor Inicial
1,14Valor Inicial = 14438
 
=  
 
 
 
Valor Inicial = 14438/1,14 = 12664 
 
Portanto, o valor ficou entre 12500 e 13000. 
 
Resposta: Letra D. 
 
Questão 16 – CESGRANRIO/CITEPE/Técnico Segurança do 
Trabalho/2011 
 
Uma empresa realizou um concurso para contratar novos funcionários. 
Foram oferecidas 40 vagas, das quais 27 eram para o cadastro de 
reserva, e as restantes, para contratação imediata. Que percentual do 
total de vagas correspondia às vagas para contratação imediata? 
(A) 32,5% 
(B) 44,5% 
(C) 57,5% 
(D) 67,5% 
(E) 82,5% 
 
As vagas para contratação imediata (CI) são aquelas que não são para o 
cadastro reserva (CR). 
 
Portanto: 
 
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CI = Total – CR 
 
CI = 40 – 27 = 13 
 
Assim, o percentual é: 
 
13
0,325
40
0,325 100 32,5%
CI
Total
x
= =
=
 
 
Resposta: Letra A. 
 
 
Questão 17 – CESGRANRIO/PETROBRÁS/Técnico Contabilidade/2011 
 
A tabela abaixo apresenta dados sobre o PIB (Produto Interno Bruto), 
a renda e a poupança no Brasil, de 2001 a 2007. 
 
 
 
Disponível em: 
<http://www.ibge.gov.br/brasil_em_sintese/tabelas/contas_naciona
is_tabela01.htm>. 
 
Acesso em: 22 abr. 2011. 
 
Analisando-se os dados dessa tabela, conclui-se que, de 2005 para 
2006, a renda per capita aumentou em, aproximadamente, 
 
(A) 6% 
(B) 9% 
(C) 11% 
(D) 15% 
(E) 18% 
 
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Primeiramente, procuramos os dados na tabela. Precisamos dos valores da 
renda per capita em 2005 e em 2006 (circulados de vermelho): 
 
 
 
Em 2005, a renda per capita foi de 11658. Em 2006, a renda foi de 12688. 
 
Por fim, fazemos a variação percentual no período, com a equação que já 
sabemos: 
 
 
Valor Final - Valor Inicial
100
Valor Inicial
12688 - 11658 1030
100 100 0,08835 8,835%
11658 11658
VariaçãoPercentual x
VariaçãoPercentual x x
 
=  
 
 
= = = = 
 
A questão pede o valor aproximado. As opções de resposta mais próximas são 
6% e 9%, vamos arredondar para cima, e encontramos o valor mais próximo, 
que é de 9%. 
 
Resposta: Letra B 
 
 
Questão 18 – CESGRANRIO/Gov. RN/Prof. Matemática/2011 
 
Em um grupo de crianças, apenas 10% sabem nadar. Dentre as 
crianças que sabem nadar, 50% estudam de tarde, enquanto, dentre 
aquelas que não sabem nadar, 15% estudam de tarde. Relativamente 
ao grupo todo, qual é o percentual de crianças que estudam de tarde? 
 
(A) 65% 
(B) 32,5% 
(C) 18,5% 
(D) 13,5% 
(E) 5% 
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Vou aproveitar essa questão para dar uma dica para questões de percentual 
que envolvem apenas o percentual em si, sem valores absolutos. 
 
Reparem que nesta questão, em nenhum momento é dito quantas crianças há 
no grupo, quantas sabem nadar, etc. Só são fornecidos os valores percentuais. 
 
Portanto, o melhor a se fazer é definir um valor para começar os cálculos! 
 
E, como só há percentuais, o melhor é definir o valor total do grupo como 
100. 
 
Por exemplo, nesta questão, definimos que o total de crianças no grupo é 
de 100 crianças. 
 
E, continuando com os dados do enunciado, temos: 
 
apenas 10% sabem nadar: portanto, das 100 crianças, 10 nadam. 
 
Dentre as crianças que sabem nadar, 50% estudam de tarde: ou seja, 
se 10 nadam, e 50% (metade) estudam à tarde, então 5 estudam à tarde. 
 
dentre aquelas que não sabem nadar, 15% estudam de tarde: Das 100 
crianças do grupo todo, 10 nadam, portanto 90 não nadam. Dessas 90 que não 
nadam, 15% estudam à tarde, portanto 15%.90 = 0,15.90 = 13,5 crianças 
estudam à tarde. 
 
Por fim, somamos as crianças que estudam à tarde, dentre as que sabem e as 
que não sabem nadar: 
 
Crianças que estudam à tarde e sabem nadar = 5 
Crianças que estudam à tarde e não sabem nadar = 13,5 
 
Total de crianças que estudam à tarde = 13,5 + 5 = 18,5. 
 
O percentual de crianças é obtido dividindo esse número pelo grupo todo (100 
crianças), e multiplicando por 100: 
 
 
18,5
% .100 18,5%
100
= = 
 
Percebam que quando usamos o valor de 100 para o grupo todo, o percentual 
já sai diretamente, sem precisar da conta acima. 
 
Resposta: Letra C. 
 
 
Questão 19 – CESGRANRIO/BB/ESCRITURÁRIO/2010 
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Um investidor aplicou certa quantia em um fundo de ações. Nesse 
fundo, 1/3 das ações eram da empresa A, 1/2 eram da empresa B e as 
restantes, da empresa C. Em um ano, o valor das ações da empresa A 
aumentou 20%, o das ações da empresa B diminuiu 30% e o das ações 
da empresa C aumentou 17%. Em relação à quantia total aplicada, ao 
final desse ano, este investidor obteve 
(A) lucro de 10,3%. 
(B) lucro de 7,0%. 
(C) prejuízo de 5,5%. 
(D) prejuízo de 12,4%. 
(E) prejuízo de 16,5%. 
 
Essa questão usa apenas frações e percentuais, novamente sem utilizar 
valores absolutos (vejam que ele até fala que o investidor aplicou “certa 
quantia”). 
 
Nesses casos, fazemos como vimos na questão anterior, e estipulamos um 
valor inicial para a quantia. Como vimos, o melhor valor é o de 100. 
 
Portanto, começamos analisando o enunciado, assumindo que o investidor 
tenha aplicado a quantia de $100: 
 
1/3 das ações eram da empresa A: ou seja, 100/3. 
 
1/2 eram da empresa B: 100/2 = 50 
 
as restantes, da empresa C: 
 
100 3.100 100 3.50 300 100 150 50
100 50
3 3 3 3
− − − −
− − = = = 
 
Em um ano, o valor das ações da empresa A aumentou 20%: 
 
Aqui, temos a variação percentual e precisamos do valor final: 
 
Variação percentual = 
Valor Final - Valor Inicial
100
Valor Inicial
x
 
 
 
 
 
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100
Valor Final - 
320 100
100
3
3Valor Final 100
320 100
100
3
3Valor Final 100
20 100
100
20.100 (3Valor Final 100) 100
20 (3Valor Final 100)
20 3Valor Final 100
3Valor Final 120
Va
x
x
x
x
 
 
=  
  
 
− 
 
=  
  
 
− 
=  
 
= −
= −
= −
=
120
lor Final 40
3
= = 
o das ações da empresa B diminuiu 30%: as empresas B valiam 50: 
 
Variação percentual = 
Valor Final - Valor Inicial
100
Valor Inicial
x
 
 
 
 
 
Valor Final - 50
30 100
50
Valor Final - 50
0,30
50
0,30.50 Valor Final - 50
15 Valor Final - 50
Valor Final 50 15 35
x
 
− =  
 
 
− =  
 
− =
− =
= − =
 
 
o das ações da empresa C aumentou 17%: as empresas C valiam 50/3: 
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Variação percentual = 
Valor Final - Valor Inicial
100
Valor Inicial
x
 
 
 
 
 
50
Valor Final - 
317 100
50
3
3Valor Final 50
30,17
50
3
3Valor Final 50
0,17
50
0,17.50 3Valor Final 50
3Valor Final 50 8,5
58,5
Valor Final 19,5
3
x
 
 
=  
  
 
− 
 
=  
  
 
−
=
= −
= +
= =
 
 
Finalmente, temos os 3 valores finais das ações: 
 
A = 40 
B = 35 
C = 19,5 
 
A + B + C = 94,5. 
 
A questão pergunta qual a variação percentual do valor total das ações. Elas 
começaram valendo 100 (pelo valor que estipulamos) e terminaram valendo 
94,5. Calculando a variação percentual: 
 
Variação percentual = 
Valor Final - Valor Inicial
100
Valor Inicial
x
 
 
 
 
 
94,5 - 100
100 5,5%
100
x
 
= − 
 
 
 
O investidor obteve 5,5% de prejuízo (vejam que o sinal do percentual é 
negativo). 
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Resposta: Letra C. 
 
 
Questão 20 – CESGRANRIO/IBGE/Recenseador/2009 
 
"Espanha já perdeu 90% das suas geleiras. 
 
As montanhas dos Pirineus perderam 90% de suas geleiras ao longo 
do último século, com consequências para o abastecimento de água na 
Espanha. (...) Há cem anos, as geleiras cobriam 3.300 hectares dos 
Pirineus. 
 
" Jornal O Globo, 25 fev. 2009. 
 
De acordo com as informações da reportagem acima, qual é, em 
hectares, a área atual de geleiras nas montanhas dos Pirineus? 
(A) 330 
(B) 660 
(C) 970 
(D) 1.250 
(E) 2.970 
 
Vejam que, nesta questão, diferentemente das anteriores que vimos, é dado o 
valor absoluto inicial: eram 3300 hectares de geleiras. 
 
A questão também diz que as montanhas “perderam 90%”, ou seja, variação 
percentual foi de –90%. 
 
Precisamos saber o valor final de geleiras, para isso usamos a equação: 
 
Variação percentual = 
Valor Final - Valor Inicial
100
Valor Inicial
x
 
 
 
 
 
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Valor Final - 3300
90 100
3300
Valor Final - 3300
90 100
3300
Valor Final - 3300
0,9
3300
0,9.3300 Valor Final - 3300
Valor Final 3300 0,9.3300 3300(1 0,9) 3300.0,1 330
x
x
 
− =  
 
 
− =  
 
 
− =  
 
− =
= − = − = =
 
 
Resposta: Letra A. 
 
Questão 21 – ESAF/SUSEP/Analista Técnico/2010 
 
Um pai deseja dividir uma fazenda de 500 alqueires entre seus três 
filhos, na razão direta da quantidade de filhos que cada um tem e na 
razão inversa de suas rendas. Sabendo-se que a renda do filho mais 
velho é duas vezes a renda do filho mais novo e que a renda do filho do 
meio é três vezes a renda do mais novo, e que, além disso, o filho mais 
velho tem três filhos, o filho do meio tem dois filhos e o filho mais 
novo tem dois filhos, quantos alqueires receberá o filho do meio? 
 
a) 80 
b) 100 
c) 120 
d) 160 
e) 180 
 
Essa questão é uma das poucas que já vi sobre divisão proporcional. Esse 
assunto é raro em concursos... 
 
O pai deseja dividir a fazenda de 500 alqueires entre os 3 filhos. 
 
Mas não é para dividir igualmente. A divisão deve ser na razão direta (ou seja, 
diretamente proporcional) à quantidade de filhos que cada um tem e na 
razão inversa (ou seja, inversamente proporcional) às suas rendas. 
 
Diante disso, a questão dá diversas relações entre as rendas e o número de 
filhos dos 3 filhos do pai. Vamos colocar tudo na tabela abaixo, para que a 
gente não se perca: 
 
 
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Filho Filho 1 Filho 2 Filho 3 
Renda 
Número de 
Filhos 
 
 
A questão diz: “Sabendo-se que a renda do filho mais velho é duas vezes a 
renda do filho mais novo, e que a renda do filho do meio é três vezes a renda 
do mais novo”. 
 
Poderíamos, como fizemos na questão anterior, chamar a renda do filho mais 
novo (filho 3) de 100. Se a renda do filho mais novo é fosse 100, e a renda do 
filho mais velho (filho 1) é de 2x a do filho mais novo, a renda do filho mais 
velho seria de 200. E, da mesma forma, a renda do filho do meio (filho 2) seria 
de 3x100 = 300. Mas, será muito mais fácil trabalhar com número menores, 
portanto vamos utilizar apenas 2, 3 e 1. 
 
Filho Filho 1 Filho 2 Filho 3 
Renda 2 3 1 
Número de 
Filhos 
 
 
A questão também diz: “o filho mais velho tem três filhos, o filho do meio tem 
dois filhos e o filho mais novo tem dois filhos”. Vamos completar na tabela: 
 
Filho Filho 1 Filho 2 Filho 3 
Renda 2 3 1 
Número de 
Filhos 
3 2 2 
 
A questão pergunta quantos alqueires receberá o filho do meio. 
 
Isso será diretamente proporcional à quantidade de filhos do filho 2 (que tem 2 
filhos) e inversamente proporcional à sua renda (ele ganha 3). 
 
Portanto, vamos “juntar” a divisão diretamente proporcional e a divisão 
inversamente proporcional. Temos a seguinte relação: 
 
3 2 2
2 3 1
x y z
= = 
 
Assim: 
 
500 500 500.6
3 2 2 9 4 12 25
2 3 1 6
= =
+ +
+ +
 
 
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Desta forma:500.6
2 25
3
3 500.6
2 25
500.6.2 500.2.2
80
25.3 25
y
y
y
=
=
= = =
 
 
Resposta: Letra A. 
 
 
Finalizamos por aqui a aula de hoje. 
 
Nos vemos no Fórum :D 
 
Um abraço, 
 
Karine 
 
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3. Memorex 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
x 
Grandeza A 
Inicial 
 1___ 
Grandeza B 
Inicial 
Grandeza A 
Final 
 1___ 
Grandeza B 
Final 
RESOLUÇÃO DA REGRA DE TRÊS INVERSA 
Multiplicar em 
Cruz 
x 
x 
Grandeza A 
Inicial 
Grandeza B 
Inicial 
Grandeza A 
Final 
Grandeza B 
Final 
RESOLUÇÃO DA REGRA DE TRÊS 
Multiplicar em 
Cruz 
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Assim como: Assim como: 
Está para 
Está para 
Grandeza A 
Inicial 
Grandeza B 
Inicial 
Grandeza A 
Final 
Grandeza B 
Final 
MONTAGEM DA REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
Grandeza C 
Inicial 
Grandeza C 
Final 
Está para 
Está para 
Se a grandeza for 
inversamente 
proporcional, não 
esqueça de dividi-
la por 1 
Regra fundamental do Percentual 
 
O percentual não está sozinho 
Regra Fundamental da Regra de Três: 
 
Cada lado em uma 
unidade!!! 
Antes de começar a Regra de Três, escolha 
trabalhar com: 
 
• Gigabyte OU Megabyte OU Byte; 
• Hora OU minuto OU segundo; 
• Km OU metro; 
• Ano OU meses OU dias. 
• Dentre outros. 
 
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Variação percentual = 
Valor Final - Valor Inicial
100
Valor Inicial
x
 
 
 
 
 
 
 
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4. Lista das Questões Comentadas em aula 
 
Questão 1 – VUNESP/PM-SC/Assistente Administrativo/2012 
 
Um supermercado colocou em promoção sucos de fruta e chá, todos 
em embalagens de um litro. No primeiro dia da promoção, a razão 
entre o número de caixas de chá e o número de caixas de suco 
vendidas foi de 2/3. Sabendo-se que ao final desse dia o total de 
caixas vendidas (entre chá e suco) foi de 5400, então o número de 
caixas de suco superou o número de caixas de chá em 
(A) 1 080. 
(B) 1 800. 
(C) 2 180. 
(D) 3 250. 
(E) 3 520. 
 
Questão 2 – VUNESP/PM-SC/Assistente Administrativo/2012 
 
O proprietário de uma padaria notou que em cada cafezinho servido 
eram colocados 30 gramas de açúcar, porém, se fossem colocados 25 
gramas de açúcar por cafezinho, com a mesma quantidade de açúcar 
disponível num açucareiro, era possível servir 10 cafezinhos a mais. 
Então o número de cafezinhos com 25 gramas de açúcar cada um que 
podem ser servidos é 
(A) 52. 
(B) 54. 
(C) 56. 
(D) 58. 
(E) 60. 
 
Questão 3 – VUNESP/PM-Sertãozinho/Fiscal/2012 
 
Com base na sua experiência, um empreiteiro calculou que será 
necessário contratar 10 pedreiros para que determinado serviço seja 
feito em 6 dias. Para que o serviço seja feito em apenas 4 dias, 
conforme solicitação do cliente, ele necessitará, mantidas as demais 
condições, contratar mais 
(A) 2 pedreiros. 
(B) 4 pedreiros. 
(C) 5 pedreiros. 
(D) 6 pedreiros. 
(E) 8 pedreiros. 
 
Questão 4 – VUNESP/PM-SC/Assistente Administrativo/2012 
 
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Suponha que o desconto dado na cueca tenha sido de 20%, então, em 
relação ao preço da cueca, sem o desconto, o valor do livro 
corresponderia aproximadamente a 
(A) 65%. 
(B) 62%. 
(C) 58%. 
(D) 53%. 
(E) 49%. 
 
Questão 5 – VUNESP/PM-SC/Assistente Administrativo/2012 
 
Uma empresa criada há 5 anos fez um levantamento do número de 
anos completos que cada um de seus 160 funcionários trabalha nela. O 
gráfico mostra o resultado da pesquisa. 
 
 
 
 
De acordo com as informações do gráfico, a porcentagem de 
funcionários que trabalham nessa empresa há pelo menos 3 anos é de, 
aproximadamente, 
(A) 50%. 
(B) 55%. 
(C) 60%. 
(D) 65%. 
(E) 70%. 
 
 
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Questão 6 – VUNESP/PM-Sertãozinho/Fiscal/2012 
 
Dados do Departamento de Trânsito mostram que as motos estiveram 
envolvidas em cinco de cada oito colisões (acidentes entre veículos) 
ocorridas em 2011, em certo município. 
Com base nessa informação, pode-se concluir que as colisões que não 
tiveram a participação de motos representam, do número total de 
colisões ocorridas, 
(A) 33,5%. 
(B) 37,5%. 
(C) 42,5%. 
(D) 47,5%. 
(E) 62,5%. 
 
Questão 7 – ESAF/SMF/Agente de Fazenda/2010 
 
O PIB de um país que entrou em recessão no fim de 2008 tinha 
crescido 10% no primeiro trimestre de 2008, 5% no segundo 
trimestre, tinha ficado estável no terceiro trimestre e tinha caído 10% 
no último trimestre daquele ano. Calcule a taxa de crescimento do PIB 
desse País, em 2008. 
a) 1,25%. 
b) 5%. 
c) 4,58%. 
d) 3,95%. 
e) -5%. 
 
Questão 8 – ESAF/SMF/Agente de Fazenda/2010 
 
Dois trabalhadores, trabalhando 8 horas por dia cada um, durante 15 
dias, colhem juntos 60 sacos de arroz. Três outros trabalhadores, 
trabalhando 10 horas por dia cada um, colhem juntos 75 sacos de 
arroz em 10 dias. Em média, quanto um trabalhador do primeiro grupo 
é mais ou menos produtivo que um trabalhador do segundo grupo? 
 
a) O trabalhador do primeiro grupo é 10% menos produtivo. 
b) O trabalhador do primeiro grupo é 10% mais produtivo. 
c) O trabalhador do primeiro grupo é 25% mais produtivo. 
d) As produtividades dos trabalhadores dos dois grupos é a mesma. 
e) O trabalhador do primeiro grupo é 25% menos produtivo. 
 
Questão 9 – ESAF/RFB/ATRFB/2009 
 
Em um determinado período de tempo, o valor do dólar americano 
passou de R$ 2,50 no início para R$ 2,00 no fim do período. Assim, 
com relação a esse período, pode-se afirmar que: 
a) O dólar se desvalorizou 25% em relação ao real. 
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b) O real se valorizou 20% em relação ao dólar. 
c) O real se valorizou 25% em relação ao dólar. 
d) O real se desvalorizou 20% em relação ao dólar. 
e) O real se desvalorizou 25% em relação ao dólar. 
 
Questão 10 – CEPERJ/SEE/Professor/2008 
 
Em uma semana, as ações de certa companhia valorizaram 20% e, na 
semana seguinte, desvalorizaram 20%. O valor das ações é: 
 
A) o mesmo que o valor inicial 
B) maior em 2% que o valor inicial 
C) menor em 2% que o valor inicial 
D) maior em 4% que o valor inicial 
E) menor em 4% que o valor inicial 
 
Questão 11 – CEPERJ/SEE/Professor/2008 
 
Pedro investiu certa quantia comprando ações de uma indústria. No 
final do primeiro ano, ele verificou que as ações tinham valorizado 
25%, mas no final do ano seguinte ele disse: “Puxa, eu tenho hoje o 
dobro do dinheiro que investi”. A valorização dessas ações no segundo 
ano foi de: 
 
A) 50% 
B) 55% 
C) 60% 
D) 70% 
E) 75% 
 
Questão 12 – CEPERJ/Pref. Belford Roxo/Professor/2011 
 
Um trabalhador gasta com o aluguel de sua casa 25% do seu salário. 
Se o salário é corrigido com um aumento de 25% e o aluguel com um 
aumento de 35%, então o novo aluguel passará a consumir do novo 
salário a porcentagem de: 
A) 25% 
B) 35% 
C) 28% 
D) 37% 
E) 27% 
 
Questão 13 – CEPERJ/Pref. Itaboraí/Professor/2011 
 
Sabe-seque em 3/8 do total de escaninhos de um armário de uma 
escola estão guardados livros de matemática das professoras de 
primeiro segmento e, nos demais, livros de Ciências dos professores 
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do 8º ano. Desse modo, o percentual de escaninhos onde estão 
guardados os livros de ciências dos professores do 8º ano é: 
 
A) 60,5% 
B) 60,75% 
C) 62,25% 
D) 62,5% 
E) 62,75% 
 
Questão 14 – FCC/TCE-SP/AFF/2010 
 
Pretende-se tirar 1 380 cópias de um texto e parte destas cópias será 
tirada por uma máquina X e o restante por uma máquina Y. Sabe-se 
que: X tem 2 anos de uso, enquanto que Y tem 16 meses; a capacidade 
operacional de X é 80% da de Y; os números de cópias que X e Y 
deverão tirar devem ser, ao mesmo tempo, diretamente proporcionais 
às suas respectivas capacidades operacionais e inversamente 
proporcionais aos seus respectivos tempos de uso. Assim sendo, é 
correto afirmar que 
 
(A) X deverá tirar mais de 500 cópias. 
(B) Y deverá tirar menos de 850 cópias. 
(C) X deverá tirar mais cópias do que Y. 
(D) Y deverá tirar 420 cópias a mais do que X. 
(E) X deverá tirar 240 cópias a mais do que Y. 
 
Questão 15 – CESGRANRIO/EPE/Assistente Administrativo/2010 
 
Demanda das indústrias verificada no mês passado indica retomada do 
patamar pré-crise. A indústria liderou a expansão do consumo de 
eletricidade na rede em fevereiro de 2010, com crescimento de 14% 
em relação ao mesmo mês de 2009. (...) Em fevereiro de 2010, a 
indústria brasileira demandou da rede 14.438 GWh. 
Disponível em: 
http://www.epe.gov.br/ResenhaMensal/20100324_1.pdf (Adaptado) 
 
De acordo com as informações apresentadas, o consumo de 
eletricidade da indústria brasileira, em GWh, no mês de fevereiro de 
2009, 
 
(A) foi inferior a 11.500. 
(B) ficou entre 11.500 e 12.000. 
(C) ficou entre 12.000 e 12.500. 
(D) ficou entre 12.500 e 13.000. 
(E) foi superior a 13.000. 
 
Questão 16 – CESGRANRIO/CITEPE/Técnico Segurança do 
Trabalho/2011 
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Uma empresa realizou um concurso para contratar novos funcionários. 
Foram oferecidas 40 vagas, das quais 27 eram para o cadastro de 
reserva, e as restantes, para contratação imediata. Que percentual do 
total de vagas correspondia às vagas para contratação imediata? 
(A) 32,5% 
(B) 44,5% 
(C) 57,5% 
(D) 67,5% 
(E) 82,5% 
 
Questão 17 – CESGRANRIO/PETROBRÁS/Técnico Contabilidade/2011 
 
A tabela abaixo apresenta dados sobre o PIB (Produto Interno Bruto), 
a renda e a poupança no Brasil, de 2001 a 2007. 
 
 
 
Disponível em: 
<http://www.ibge.gov.br/brasil_em_sintese/tabelas/contas_naciona
is_tabela01.htm>. 
 
Acesso em: 22 abr. 2011. 
 
Analisando-se os dados dessa tabela, conclui-se que, de 2005 para 
2006, a renda per capita aumentou em, aproximadamente, 
 
(A) 6% 
(B) 9% 
(C) 11% 
(D) 15% 
(E) 18% 
 
Questão 18 – CESGRANRIO/Gov. RN/Prof. Matemática/2011 
 
Em um grupo de crianças, apenas 10% sabem nadar. Dentre as 
crianças que sabem nadar, 50% estudam de tarde, enquanto, dentre 
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aquelas que não sabem nadar, 15% estudam de tarde. Relativamente 
ao grupo todo, qual é o percentual de crianças que estudam de tarde? 
 
(A) 65% 
(B) 32,5% 
(C) 18,5% 
(D) 13,5% 
(E) 5% 
 
Questão 19 – CESGRANRIO/BB/ESCRITURÁRIO/2010 
 
Um investidor aplicou certa quantia em um fundo de ações. Nesse 
fundo, 1/3 das ações eram da empresa A, 1/2 eram da empresa B e as 
restantes, da empresa C. Em um ano, o valor das ações da empresa A 
aumentou 20%, o das ações da empresa B diminuiu 30% e o das ações 
da empresa C aumentou 17%. Em relação à quantia total aplicada, ao 
final desse ano, este investidor obteve 
(A) lucro de 10,3%. 
(B) lucro de 7,0%. 
(C) prejuízo de 5,5%. 
(D) prejuízo de 12,4%. 
(E) prejuízo de 16,5%. 
 
Questão 20 – CESGRANRIO/IBGE/Recenseador/2009 
 
"Espanha já perdeu 90% das suas geleiras. 
 
As montanhas dos Pirineus perderam 90% de suas geleiras ao longo 
do último século, com consequências para o abastecimento de água na 
Espanha. (...) Há cem anos, as geleiras cobriam 3.300 hectares dos 
Pirineus. 
 
" Jornal O Globo, 25 fev. 2009. 
 
De acordo com as informações da reportagem acima, qual é, em 
hectares, a área atual de geleiras nas montanhas dos Pirineus? 
(A) 330 
(B) 660 
(C) 970 
(D) 1.250 
(E) 2.970 
 
Questão 21 – ESAF/SUSEP/Analista Técnico/2010 
 
Um pai deseja dividir uma fazenda de 500 alqueires entre seus três 
filhos, na razão direta da quantidade de filhos que cada um tem e na 
razão inversa de suas rendas. Sabendo-se que a renda do filho mais 
velho é duas vezes a renda do filho mais novo e que a renda do filho do 
DETRAN – MATEMÁTICA 
PROFESSORA: KARINE WALDRICH 
 
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meio é três vezes a renda do mais novo, e que, além disso, o filho mais 
velho tem três filhos, o filho do meio tem dois filhos e o filho mais 
novo tem dois filhos, quantos alqueires receberá o filho do meio? 
 
a) 80 
b) 100 
c) 120 
d) 160 
e) 180